《材料力学》第9章 压杆稳定 习题解

第九章 压杆稳定 习题解

[习题9-1] 在§9-2中已对两端球形铰支的等截面细长压杆，按图a 所示坐标系及挠度曲线形状，导出了临界应力公式2

2l

EI

P cr π=

。试分析当分别取图b,c,d 所示坐标系及挠曲线形

状时，压杆在cr F 作用下的挠曲线微分方程是否与图a 情况下的相同，由此所得cr F 公式又是否相同。

解： 挠曲线微分方程与坐标系的y 轴正向规定有关，与挠曲线的位置无关。

因为（b ）图与（a ）图具有相同的坐标系，所以它们的挠曲线微分方程相同，都是

)("x M EIw -=。（c ）、(d)的坐标系相同，它们具有相同的挠曲线微分方程：)("x M EIw =，显然，这微分方程与（a ）的微分方程不同。

临界力只与压杆的抗弯刚度、长度与两端的支承情况有关，与坐标系的选取、挠曲线的位置等因素无关。因此，以上四种情形的临界力具有相同的公式，即：2

2l

EI

P cr π=。

[习题9-2] 图示各杆材料和截面均相同，试问杆能承受的压力哪根最大，哪根最小（图f 所示杆在中间支承处不能转动）？

解：压杆能承受的临界压力为：2

2).(l EI

P cr μπ=。由这公式可知，对于材料和截面相同的压杆，

它们能承受的压力与 原压相的相当长度l μ的平方成反比，其中，μ为与约束情况有关的长

度系数。

（a ）m l 551=⨯=μ （b ）m l 9.477.0=⨯=μ （c ）m l 5.495.0=⨯=μ （d ）m l 422=⨯=μ （e ）m l 881=⨯=μ

（f ）m l 5.357.0=⨯=μ（下段）；m l 5.255.0=⨯=μ（上段） 故图e 所示杆cr F 最小，图f 所示杆cr F 最大。

[习题9-3] 图a,b 所示的两细长杆均与基础刚性连接，但第一根杆（图a ）的基础放在弹性地基上，第二根杆（图b ）的基础放在刚性地基上。试问两杆的临界力是否均为2

min

2)

.2(l EI P cr π=

？为什么？并由此判断压杆长因数μ是否可能大于2。

螺旋千斤顶（图c ）的底座对丝杆（起顶杆）的稳定性有无影响？校核丝杆稳定性时，把它看作下端固定（固定于底座上）、上端自由、长度为l 的压杆是否偏于安全？

解：临界力与压杆两端的支承情况有关。因为(a)的下支座不同于(b)的下支座，所以它们的临界力计算公式不同。(b)为一端固定，一端自由的情况，它的长度因素2=μ，其临界力为：2

min

2)

.2(l EI P cr π=

。但是，(a) 为一端弹簧支座，一端自由的情况，它的长度因素

2≠μ，因此，不能用2

min

2)

.2(l EI P cr π=

来计算临界力。

为了考察（a ）情况下的临界力，我们不妨设下支座（B ）的转动刚度l

EI

M

C 20

==ϕ

，且无侧向位移，则：

)()("w F x M EIw cr -=-=δ

令

2k EI

F cr

=，得： δ22"k w k w =+ 微分方程的通解为：δ++=kx B kx A w cos sin kx Bk kx Ak w sin cos '

-= 由边界条件：0=x ，0=w ，C

F C M w cr δϕ==

='

；l x =，δ=w 解得： Ck F A cr δ=

，δ-=B ，δδδ

δ+-=kl kl Ck

F cr cos sin 整理后得到稳定方程：20/tan ==

l

EI C

kl kl 用试算法得： 496.1=kl

故得到压杆的临界力：2

22

)

1.2()496.1(l EI

l EI F cr π==。 因此，长度因素μ可以大于2。这与弹性支座的转动刚度C 有关，C 越小，则μ值越大。当0→C 时，∞→μ。

螺旋千斤顶的底座与地面不是刚性连接，即不是固定的。它们之间是靠摩擦力来维持相

对的静止。当轴向压力不是很大，或地面较滑时，底座与地面之间有相对滑动，此时，不能看作固定端；当轴向压力很大，或地面很粗糙时，底座与地面之间无相对滑动，此时，可以看作是固定端。因此，校核丝杆稳定性时，把它看作上端自由，下端为具有一定转动刚度的弹性支座较合适。这种情况，2>μ，算出来的临界力比“把它看作下端固定（固定于底座上）、上端自由、长度为l 的压杆”算出来的临界力要小。譬如，设转动刚度l

EI

M

C 20

==

ϕ

，则： 1025.12

1.222

==弹簧固端

cr cr P P ，弹簧固端,1025.1cr cr P P =。因此，校核丝杆稳定性时，把它

看作下端固定（固定于底座上）、上端自由、长度为l 的压杆不是偏于安全，而是偏于危险。

[习题9-4] 试推导两端固定、弯曲刚度为EI ，长度为l 的等截面中心受压直杆的临界应力cr P 的欧拉公式。

[解]：设压杆向右弯曲。压杆处于临界状态时，两端的竖向反力为cr P ，水平反力为0，约束反力偶矩两端相等，用e M 表示，下标e 表示端部end 的意思。若取下截离体为研究对象，则e M 的转向为逆转。

e cr M x v P x M -=)()(

)()("x v P M x M EIv cr e -=-= e cr M x v P EIv =+)("

EI M x v EI P v e cr =+)("

，令EI P k cr =2

，则 EI

P k cr 12=

cr

e

P M k v k v 2

2"=+ 上述微分方程的通解为：

cr

e

P M kx B kx A v +

+=cos sin …………………………….(a) kx Bk kx Ak v sin cos '-=

边界条件：① 0=x ；0=v ： cr e P M B A +

+=0cos 0sin 0；cr

e P M

B -=。 ② 0=x 0'

=v ：0sin 0cos 0Bk Ak -=；0=A 。 把A 、B 的值代入（a ）得： )cos 1(kx P M v cr e -= kx k P M

v cr

e sin '⋅=

边界条件：③ L x =；0=v ：)cos 1(0kL P M cr

e

-=

， 0cos 1=-kL ④ 0=x 0'

=v ：kL k P M cr

e

sin 0⋅=

0sin =kL 以上两式均要求：πn kL 2=，,......)3,1,0(=n