数列在日常理财生活中的运用
第1章 第4节 数列在日常经济生活中的应用
§4 数列在日常经济生活中的应用 学习目标 1.能够利用等差数列、等比数列解决一些实际问题.2.了解“零存整取”，“定期自动转存”及“分期付款”等日常经济行为的含义．知识点一 单利、复利思考1 第一月月初存入1 000元，月利率0.3%，按单利计息，则每个月所得利息是否相同？ 答案 按单利计息，上一个月的利息在下一个月不再计算利息，故每个月所得利息是一样的． 思考2 第一月月初存入1 000元，月利率0.3%，按复利计息，则每个月所得利息是否相同？ 答案 不同．因为按复利计息，上一个月的本金和利息就成为下一个月的本金，所以每个月的利息是递增的．梳理 一般地，(1)单利是指：仅在原有本金上计算利息，对本金所产生的利息不再计算利息． 利息按单利计算，本金为a 元，每期利率为r ，存期为x ，则本利和为a (1＋rx )．(2)复利是指把上期末的本利和作为下一期的本金，在计算时每一期的本金是不同的． 利息按复利计算，本金为a 元，每期利率为r ，存期为x ，则本利和a (1＋r )x . 知识点二 数列应用问题的常见模型1．整存整取定期储蓄一次存入本金金额为A ，存期为n ，每期利率为p ，到期本息合计为a n ，则a n ＝A (1＋np )．其本质是等差数列已知首项和公差求第n 项问题．2．定期存入零存整取储蓄每期初存入金额A ，连存n 次，每期利率为p ，则到第n 期末时，应得到本息合计为：nA ＋n (n ＋1)2Ap .其本质为已知首项和公差，求前n 项和问题．3．分期付款问题 贷款a 元，分m 个月将款全部付清，月利率为r ，各月所付款额和贷款均以相同利率以复利计算到贷款全部还清为止．其本质是贷款按复利整存整取，还款按复利零存整取，到贷款全部还清时，贷款本利合计＝还款本利合计．1．复利在第二次计息时，将上一次的本利和当作本金．(√)2．增长率＝增长量增长前的量.(√) 3．同一笔钱，相同的利率，用单利计息和用复利计息收益是一样的．(×)类型一 等差数列模型例1 第一年年初存入银行1 000元，年利率为0.72%，那么按照单利，第5年末的本利和为________元．考点 等差数列的应用题题点 等差数列的应用题答案 1 036解析 设各年末的本利和为{a n }，由a n ＝a (1＋nr )，其中a ＝1 000，r ＝0.72%，∴a 5＝1 000×(1＋5×0.72%)＝1 036(元)．即第5年末的本利和为1 036元．反思与感悟 把实际问题转化为数列模型时，一定要定义好数列，并确认该数列的基本量包括首项，公比(差)，项数等．跟踪训练1 李先生为今年上高中的儿子办理了“教育储蓄”．从8月1号开始，每个月的1号都存入100元，存期三年，已知当年“教育储蓄”存款的月利率是2.7‰.问到期时，李先生一次可支取本息多少元？考点 等差数列的前n 项和应用题题点 等差数列前n 项和应用题解 设第n 个月存入的100元到期利息为a n ，则a 1＝100×2.7‰×36，{a n }是公差为100×2.7‰的等差数列．∴数列{a n }的前36项和S 36＝36a 1＋36×352d ＝36×100×2.7‰×36＋18×35×100×2.7‰＝179.82，3年共存入本金100×36＝3 600(元)．∴到期一次可支取3 600＋179.82＝3 779.82(元)．类型二 等比数列模型例2 现存入银行8万元，年利率为2.50%，若采用1年期自动转存业务，则5年末的本利和是________万元．考点 等比数列的应用题题点 等比数列的应用题答案 8×1.0255解析 定期自动转存属于复利问题，设第n 年末本利和为a n ，则a 1＝8＋8×0.025＝8×(1＋0.025)，a 2＝a 1＋a 1×0.025＝8×(1＋0.025)2，a 3＝a 2＋a 2×0.025＝8×(1＋0.025)3，∴a 5＝8×(1＋0.025)5，即5年末的本利和是8×1.0255.反思与感悟 在建立模型时，如果一时搞不清数列的递推模式，可以先依次计算前几项，从中寻找规律．跟踪训练2 银行一年定期储蓄存款年息为r ，按复利计算利息；三年定期储蓄存款年息为q ，按单利计算利息．银行为吸收长期资金，鼓励储户存三年定期的存款，那么q 的值应大于________．考点 等比数列的应用题题点 等比数列的应用题答案 13[(1＋r )3－1] 解析 设储户开始存入的款数为a ，由题意得，a (1＋3q )>a (1＋r )3，∴q >13[(1＋r )3－1]． 类型三 分期付款例3 用分期付款的方式购买价格为25万元的住房一套，如果购买时先付5万元，以后每年付2万元加上欠款利息．签订购房合同后1年付款一次，再过1年又付款一次，直到还完后为止，商定年利率为10%，则第5年该付多少元？购房款全部付清后实际共付多少元？ 考点 等差数列的前n 项和应用题题点 等差数列前n 项和应用题解 购买时先付5万元，余款20万元按题意分10次分期还清，每次付款数组成数列{a n }，则a 1＝2＋(25－5)·10%＝4(万元)；a 2＝2＋(25－5－2)·10%＝3.8(万元)；a 3＝2＋(25－5－2×2)·10%＝3.6(万元)，…，a n ＝2＋[25－5－(n －1)·2]·10%＝⎝⎛⎭⎪⎫4－n －15(万元)(n ＝1,2，…，10)． 因而数列{a n }是首项为4，公差为－15的等差数列． a 5＝4－5－15＝3.2(万元)． S 10＝10×4＋10×(10－1)×⎝⎛⎭⎫－152＝31(万元)． 因此第5年该付3.2万元，购房款全部付清后实际共付36万元．反思与感悟 建立模型离不开准确理解实际问题的运行规则．不易理解时就先试行规则，从中观察归纳找到规律．跟踪训练3 某企业在今年年初贷款a 万元，年利率为γ，从今年年末开始每年偿还一定金额，预计5年还清，则每年应偿还( )A.a (1＋γ)(1＋γ)5－1万元 B.aγ(1＋γ)5(1＋γ)5－1万元 C.aγ(1＋γ)5(1＋γ)4－1万元 D.aγ(1＋γ)5万元 考点 等比数列的前n 项和应用题题点 等比数列的前n 项和应用题答案 B解析 根据已知条件知本题属于分期付款问题，设每年应偿还x 万元，则x [(1＋γ)4＋(1＋γ)3＋…＋1]＝a (1＋γ)5，∴x ·1－(1＋γ)51－(1＋γ)＝a (1＋γ)5 故x ＝aγ(1＋γ)5(1＋γ)5－1(万元).1．一个蜂巢里有1只蜜蜂，第1天它飞出去找回了5个小伙伴；第2天，6只蜜蜂飞出去，各自找回了5个伙伴，…，如果这个找伙伴的过程断续下去，第6天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有蜜蜂()A．65只B．66只C．216只D．36只考点等比数列的应用题题点等比数列的应用题答案 B解析设第n天蜜蜂飞出蜂巢中共有a n只蜜蜂，则a1＝1，a2＝5a1＋a1＝6a1，a3＝5a2＋a2＝6a2，…，∴{a n}是首项为1，公比为6的等比数列．∴a7＝a1·q7－1＝66.2．某种细胞开始时有2个，1小时后分裂成4个并死去1个，2小时后分裂成6个并死去1个，3小时后分裂成10个并死去1个，……，按照这种规律进行下去，6小时后细胞的存活数是()A．32 B．31 C．64 D．65考点等比数列的应用题题点等比数列的应用题答案 D解析可递推下去，4小时后分裂成18个并死去一个，5小时后分裂成34个并死去一个；6小时后分裂成66个并死去一个，65个存活．3．一群羊中，每只羊的重量数均为整千克数，其总重量为65千克，已知最轻的一只羊重7千克，除去一只10千克的羊外，其余各只羊的千克数恰构成一等差数列，则这群羊共有() A．6只B．5只C．8只D．7只考点等差数列的前n项和应用题题点等差数列前n项和应用题答案 A解析依题意除去一只羊外，其余n－1只羊的重量从小到大依次排列构成等差数列．设a1＝7，d>0，S n－1＝65－10＝55，∴(n －1)a 1＋(n －1)(n －2)2d ＝55， 即7(n －1)＋(n －1)(n －2)d 2＝55， ∴(n －1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤7＋(n －2)d 2＝55. ∵55＝11×5且(n －1)为正整数，⎣⎢⎡⎦⎥⎤7＋(n －2)d 2为正整数． ∴⎩⎨⎧ n －1＝5，7＋n －22d ＝11.解得n ＝6.1．数列应用问题的常见模型(1)一般地，如果增加(或减少)的量是一个固定的具体量时，那么该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差，其一般形式是：a n ＋1－a n ＝d (d 为常数)．(2)如果增加(或减少)的百分比是一个固定的数时，那么该模型是等比模型．(3)如果容易找到该数列任意一项a n ＋1与它的前一项a n (或前几项)间的递推关系式，那么我们可以用递推数列的知识求解问题.2．数列综合应用题的解题步骤(1)审题——弄清题意，分析涉及哪些数学内容，在每个数学内容中，各是什么问题.(2)分解——把整个大题分解成几个小题或几个“步骤”，每个小题或每个小“步骤”分别是数列问题、函数问题、解析几何问题、不等式问题等．(3)求解——分别求解这些小题或这些小“步骤”，从而得到整个问题的解答．(4)还原——将所求结果还原到实际问题中．一、选择题1．夏季高山上的气温从山脚起每升高100米降低0.7度，已知山脚气温为26度，山顶气温为14.1度，那么此山相对山脚的高度为( )A ．1 600米B ．1 700米C ．1 800米D ．1 900米考点 等差数列的应用题题点 等差数列的应用题答案 B解析 从山脚到山顶气温的变化成等差数列，首项为26，末项为14.1，公差为－0.7，设数列的项数为n ，则14.1＝26＋(n －1)×(－0.7)，解得n ＝18，所以山的高度为h ＝(18－1)×100＝1 700(米)．2．通过测量知道，温度每降低6℃，某电子元件的电子数目就减少一半．已知在零下34℃时，该电子元件的电子数目为3个，则在室温27℃时，该元件的电子数目接近( )A ．860个B ．1 730个C ．3 072个D ．3 900个 考点 等比数列的应用题题点 等比数列的应用题答案 C解析 由题设知，该元件的电子数目变化为等比数列，且a 1＝3，q ＝2，由27－(－34)＝61，616＝1016， 可得，a 11＝3·210＝3 072，故选C.3．一个卷筒纸，其内圆直径为4 cm ，外圆直径为12 cm ，一共卷60层，若把各层都视为一个同心圆，π＝3.14，则这个卷筒纸的长度为(精确到个位)( )A ．14 mB ．15 mC ．16 mD ．17 m 考点 等差数列的前n 项和应用题题点 等差数列前n 项和应用题答案 B解析 纸的厚度相同，且各层同心圆直径成等差数列，则l ＝πd 1＋πd 2＋…＋πd 60＝60π·4＋122＝480×3.14＝1 507.2(cm)≈15 m ，故选B.4．某放射性物质的质量每天衰减3%，若此物质衰减到其质量的一半以下，则至少需要的天数是(参考数据lg 0.97＝－0.013 2，lg 0.5＝－0.301 0)( )A ．22B ．23C ．24D ．25考点 等比数列的应用题题点 等比数列的应用题答案 B解析 依题意有(1－3%)n <0.5，所以n >lg 0.5lg 0.97≈22.8，故选B. 5．某人从2009年1月1日起，且以后每年1月1日到银行存入a 元(一年定期)，若年利率r 保持不变，且每年到期后存款均自动转为新一年定期，至2015年1月1日将所有存款及利息全部取回，他可取回的钱数(单位为元)为( )A ．a (1＋r )7B.a r[(1＋r )7－(1＋r )] C ．a (1＋r )8D.a r[(1＋r )8－(1＋r )] 考点 等比数列的前n 项和应用题题点 等比数列的前n 项和应用题答案 B解析 2009年存入钱为a 元，2010年本息和为a ＋a (1＋r )，2011年本息和为a ＋a (1＋r )＋a (1＋r )2，2012年本息和为a ＋a (1＋r )＋a (1＋r )2＋a (1＋r )3，2013年本息和为a ＋a (1＋r )＋a (1＋r )2＋a (1＋r )3＋a (1＋r )4，2014年本息和为a ＋a (1＋r )＋a (1＋r )2＋a (1＋r )3＋a (1＋r )4＋a (1＋r )5，2015年本息和为a (1＋r )＋a (1＋r )2＋a (1＋r )3＋a (1＋r )4＋a (1＋r )5＋a (1＋r )6，故选B.6．某厂在2010年年底制定生产计划，要使2020年年底的总产量在原有基础上翻两番(变为原来的四倍)，则年平均增长率为( )A ．1104－1B ．1102－1C ．1114－1D ．1112－1考点 等比数列的应用题题点等比数列的应用题答案 A解析设年增长率为x,2010年总产量为1，到2020年年底翻两番后的总产量为4，故1·(1＋x)10＝4，∴x＝1104－1.二、填空题7．小王每月除去所有日常开支，大约结余a元．小王决定采用零存整取的方式把余钱积蓄起来，每月初存入银行a元，存期1年(存12次)，到期取出本息和．假设一年期零存整取的月利率为r，每期存款按单利计息．那么，小王存款到期利息为________元．考点等差数列的前n项和应用题题点等差数列前n项和应用题答案78ar解析依题意得，小王存款到期利息为12ar＋11ar＋10ar＋…＋3ar＋2ar＋ar＝78ar.8．据某校环保小组调查，某区垃圾量的年增长率为b,2009年产生的垃圾量为a吨，由此预测，该区下一年的垃圾量为________吨，2016年的垃圾量为________吨．考点等比数列的应用题题点等比数列的应用题答案a(1＋b)a(1＋b)7解析2009年产生的垃圾量为a吨，下一年的垃圾量在2009年的垃圾量的基础之上增长了ab吨，所以下一年的垃圾量为a(1＋b)吨；2016年是从2009年起再过7年，所以2016年的垃圾量是a(1＋b)7吨．9．某彩电价格在去年6月份降价10%之后经10,11,12三个月连续三次回升到6月份降价前的水平，则这三次价格平均回升率是________．考点等比数列的应用题题点等比数列的应用题答案3109－1解析设6月份降价前的价格为a，三次价格平均回升率为x，则a×90%×(1＋x)3＝a，∴1＋x＝3109，x＝3109－1.10．某大楼共有20层，有19人在第1层上了电梯，他们分别要去第2层至第20层，每层1人，而电梯只允许停1次，可只使1人满意，其余18人都要步行上楼或下楼，假设乘客每向下走1层的不满意度为1，每向上走一层的不满意度为2，所有人的不满意度之和为S ，为使S 最小，电梯应当停在________层．考点 等差数列的前n 项和应用题题点 等差数列前n 项和应用题答案 14解析 设停在第x 层，则S ＝[1＋2＋…＋(20－x )]×2＋[1＋2＋…＋(x －2)]＝3x 2－85x 2＋421， ∴当x ＝856时取最小值， 而x ∈{2,3，…，20}，∴当x ＝14时取最小值．三、解答题11．家用电器一件，现价2 000元，实行分期付款，每期付款数相同，每期为一月，购买后一个月付款一次，每月付款一次，共付12次，购买后一年还清，月利率为0.8%，按复利计算，那么每期应付款多少？(1.00812＝1.1)．考点 等比数列的前n 项和应用题题点 等比数列的前n 项和应用题解 方法一 设每期应付款x 元．第1期付款与到最后一次付款所产生利息之和为x (1＋0.008)11(元)．第2期付款与到最后一次付款所产生利息之和为x (1＋0.008)10(元)，…，第12期付款没有利息．所以各期付款连同利息之和为x (1＋1.008＋…＋1.00811)＝1.00812－11.008－1x ， 又所购电器的现价及其利息之和为2 000×1.00812，于是有1.00812－11.008－1x ＝2 000×1.00812， 解得x ＝16×1.008121.00812－1＝176(元)．即每期应付款176元．方法二 设每期应付款x 元，则第1期还款后欠款2 000×(1＋0.008)－x第2期还款后欠款(2 000×1.008－x )×1.008－x＝2 000×1.0082－1.008x －x ，…，第12期还款后欠款2 000×1.00812－(1.00811＋1.00810＋…＋1)x ，第12期还款后欠款应为0，所以有2 000×1.00812－(1.00811＋1.00810＋…＋1)x ＝0.∴x ＝2 000×1.008121.00812－11.008－1＝176(元)． 即每期应还款176元．12．假设某市2009年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中低价房．预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米．那么，到哪一年年底(1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2009年为累计的第一年)将首次不少于4 750万平方米？(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%？(1.085≈1.47) 考点 等差数列的前n 项和应用题题点 等差数列前n 项和应用题解 (1)设中低价房面积构成数列{a n }，由题意可知{a n }是等差数列．其中a 1＝250，d ＝50，则S n ＝250n ＋n (n －1)2×50＝25n 2＋225n . 令25n 2＋225n ≥4 750，即n 2＋9n －190≥0，而n 是正整数，∴n ≥10.∴到2018年年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4 750万平方米．(2)设新建住房面积构成数列{b n }，由题意可知{b n }是等比数列．其中b 1＝400，q ＝1.08，则b n ＝400×1.08n －1.由题意可知a n >0.85b n ，有250＋(n －1)·50>400×1.08n －1×0.85.由1.085≈1.47解得满足上述不等式的最小正整数n ＝6，∴到2014年年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.13．为了加强环保建设，提高社会效益和经济效益，某市计划用若干年时间更换10 000辆燃油型公交车．每更换一辆新车，则淘汰一辆旧车，更换的新车为电力型车和混合动力型车．今年初投入了电力型公交车128辆，混合动力型公交车400辆，计划以后电力型车每年的投入量比上一年增加50%，混合动力型车每年比一年多投入a 辆．设a n ，b n 分别为第n 年投入的电力型公交车、混合动力型公交车的数量，设S n ，T n 分别为n 年里投入的电力型公交车、混合动力型公交车的总数量．(1)求S n ，T n ，并求n 年里投入的所有新公交车的总数F n ；(2)该市计划用7年时间完成全部更换，求a 的最小值．考点 等比数列的前n 项和应用题题点 等比数列的前n 项和应用题解 (1)依题意知，数列{a n }是首项为128，公比为1＋50%＝32的等比数列； 数列{b n }是首项为400，公差为a 的等差数列，所以数列{a n }的前n 项和S n ＝128⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫32n 1－32＝256·⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫32n －1， 数列{b n }的前n 项和T n ＝400n ＋n (n －1)2a . 所以经过n 年，该市更换的公交车总数F n ＝S n ＋T n ＝256⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫32n －1＋400n ＋n (n －1)2a . (2)易知F n 是关于n 的单调递增函数，依题意得F 7≥10 000，即256⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫327－1＋400×7＋7×62a ≥10 000， 解得a ≥3 08221， 又a ∈N ＋，所以a 的最小值为147.四、探究与拓展14.如图是毕达哥拉斯的生长程序：正方形上连接着一个等腰直角三角形，等腰直角三角形的直角边上再连接正方形，…，设起始正方形的边长为22，若共有1 023个正方形，则最小正方形的边长为________．考点 等比数列的应用题题点 等比数列的应用题答案 132解析 由题意可知，正方形的边长构成以22为首项，22为公比的等比数列． 设连接n 次后可得到1 023个正方形．由题意可知，1＋2＋…＋2n ＝1 023，∴n ＝9，∴最小正方形的边长为22×⎝⎛⎭⎫229＝132. 15．某软件公司新开发一款学习软件，该软件把学科知识设计为由易到难共12关的闯关游戏．为了激发闯关热情，每闯过一关都奖励若干慧币(一种网络虚拟币)．该软件提供了三种奖励方案：第一种，每闯过一关奖励40慧币；第二种，闯过第一关奖励4慧币，以后每一关比前一关多奖励4慧币；第三种，闯过第一关奖励12慧币，以后每一关比前一关奖励翻一番(即增加1倍)．游戏规定：闯关者需在闯关前任选一种奖励方案．(1)设闯过n (n ≤12，且n ∈N ＋)关后三种奖励方案获得的慧币总数依次为A n ，B n ，C n ，试求出A n ，B n ，C n 的表达式；(2)如果你是一名闯关者，为了得到更多的慧币，你应如何选择奖励方案？考点 等比数列的前n 项和应用题题点 等比数列的前n 项和应用题解 (1)第一种奖励方案中，闯过各关所得慧币构成常数列，∴A n ＝40n (n ≤12，且n ∈N ＋)．第二种奖励方案中，闯过各关所得慧币构成首项为4，公差为4的等差数列，∴B n ＝4n ＋n (n －1)2×4＝2n 2＋2n (n ≤12，且n ∈N ＋)． 第三种奖励方案中，闯过各关所得慧币构成首项为12，公比为2的等比数列，∴C n ＝12(1－2n )1－2＝12(2n －1)(n ≤12，n ∈N ＋)． (2)令A n >B n ，即40n >2n 2＋2n (n ≤12，n ∈N ＋)，解得0<n ≤12，∴A n >B n 恒成立．令A n >C n ，即40n >12(2n －1)(n ≤12，n ∈N ＋)， 可得0<n <10，∴当0<n <10时，A n >C n ；当10≤n ≤12时，C n >A n .综上可知，若冲过的关数小于10时，应选用第一种奖励方案；若冲过的关数大于等于10时，应选用第三种奖励方案．。
生活中数列知识点归纳总结
生活中数列知识点归纳总结数列是数学中的一个重要概念，它在我们的日常生活中无处不在。
数列不仅仅存在于数学课本中的题目里，它还隐藏在我们的生活中的方方面面。
本文将就生活中数列的应用进行归纳总结，帮助读者更好地理解数列的概念及其在实际生活中的应用。
1. 薪水增长生活中，我们经常会面对工作与收入的问题。
假设某位年薪为10万元的职工，每年薪水增长率为5%。
那么他的薪水数列可以表示为：10, 10.5, 11.025, 11.57625, ...。
这个数列是一个等比数列，每一项都是前一项乘以一个相同的比率，即1.05。
通过数列的概念，我们可以方便地计算出未来几年该职工的年薪。
2. 光的传播光的传播速度在真空中是恒定的，约为每秒30万公里。
假设某事件发生后，我们观察到这个事件的时间间隔为1秒，那么光从事件发生地传播到我们所在的位置所需的距离就是30万公里。
我们可以将这个过程看作是一个等差数列，其中每一项表示光传播1秒所经过的距离。
通过数列的性质，我们可以推算出每一秒光传播的距离。
3. 财务投资在投资财务领域，数列也有着广泛的应用。
比如，我们在银行存款或理财产品中所获得的利息。
假设某人将1万元存入银行，年利率为4%。
每年的利息将会按照4%的比率增加。
这个数列可以表示为：1,1.04, 1.04^2, 1.04^3, ...。
通过数列的概念，我们可以计算出未来几年该存款的本金和利息总和。
4. 花费节省人们经常会制定消费计划，力图合理安排自己的日常花费。
假设某人每月花费的金额比上个月花费增加10%，那么他的花费数列可以表示为：1000, 1100, 1210, 1331, ...。
这个数列是一个等比数列，每一项都是前一项乘以一个相同的比率，即1.10。
通过数列的性质，我们可以预测未来几个月的花费情况。
5. 人口增长人口的增长也可以用数列进行描述。
假设某地的人口增长率为2%，初始人口为100万。
那么该地未来几年的人口数可以通过数列进行计算。
数列在日常生活中的应用
数列在日常生活中的应用储蓄与人们的日常生活密切相关，它对支援国家建设、安排好个人与家庭生活具有积极意义。
数列的知识在解决活期储蓄、分期存款及分期付款等问题时，充分体现了数列在生活中的广泛应用。
一、关于数列的理论数列是按一定的次序排成的一列数，数列中的每一个数都叫做数列的项。
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就是等差数列。
德国著名数学家高斯在十岁时就已经用等差数列的思想解答了1+2+3+…+99+100=5050这个问题。
假设等差数列的首项为a1，第n项为an，那么数列前n项的和为Sn=n(a1+an)/2或者Sn=na1+n(n－1)d/2（其中d是等差数列的公差）。
二、数列在日常生活中的应用我们的生活离不开储蓄，计算储蓄所得利息的基本公式是：利息=本金×存期×利率。
根据国家的规定，个人取得储蓄存款利息应依法纳税，计算公式为：应纳税额=利息全额×税率。
其中的税率为20%。
1、差数列在分期存款中的应用分期存款是分期存入后一次取出的一种储蓄方式。
一对夫妇为了给他们的独生孩子支付将来上大学的费用，从孩子一出生就在孩子每年生日那天到银行储蓄5000元一年定期，若年利率为0.2%保持不变，当孩子十八岁上大学时，将所有存款（含利息）全部取回，那么取回的钱的总数是多少？第一期存款利息：a1=5000×0.2%×18；第二期存款利息：a2=5000×0.2%×17；……第十七期存款利息：a17=5000×0.2%×2；第十八期存款利息：a18=5000×0.2%×1。
于是，应该得的全部利息就是上面各期利息的和，因为a1至a18构成一个等差数列，所以把各期利息加起来就是：S18=a1+a2+……+a17+a18。
根据等差数列前n项和的公式Sn=n(a1+an)/2可知：S18=18×（5000×0.2%×18+5000×0.2%×1）×1/2=1710（元）。
日常生活具体数列的例子
日常生活具体数列的例子在我们的日常生活中，数列被广泛地应用于各种场合。
从购物、生物、运动到计算机科学，数列都被用来处理数据，辅助决策。
那么，日常生活中的具体数列有哪些呢？下面我将从不同角度为大家举出一些例子：一、购物中的数列我们在购物中经常遇到各种数列。
比如，我们买卫生纸时，店员告诉我们这款卫生纸一包有12卷，而一包又分为两层，每层有6卷。
那么，我们可以得到以下数列：12, 6, 6其中，第一项12表示一包卫生纸的总卷数，第二项6表示一层卫生纸的卷数，第三项6表示一包卫生纸的层数。
再比如，我们看到打折商品时，常常会看到“买3送1”的优惠条件。
这时，我们可以把这个优惠条件看作是一个等差数列，公差为1，首项为1，求n项和就是这个优惠条件的总价：S(n) = n∗a1 + n(n−1)2∗d其中，n表示买几件商品，a1表示第一件商品的价格，d表示优惠后每件商品的价格。
二、生物中的数列在生物学上，数列有非常重要的应用。
比如，DNA序列就是通过数列来描述的。
DNA不同的碱基可以用不同的数字代替，从而把DNA序列转化为数字序列。
这个数字序列就是数列。
除了DNA序列，还有一些其他生物现象也可以转化为数列。
比如，斐波那契数列是由兔子繁殖规律演化而来。
斐波那契数列中的每一项都是前两项之和。
当我们把兔子看做是生物现象时，这个数列就可以用来描述兔子的数量变化。
又比如，可以用格雷码来描述DNA中两个序列的差异。
格雷码是一个数列，在这个数列中，每一项与前一项只有一位不同。
通过比较两份DNA序列的格雷码，科学家可以找出这两份DNA序列的差异。
三、运动中的数列运动中也有很多数列应用。
比如，高中时我们学过的运动员跑圈问题。
题目大意是：两名运动员从同一起点同时起跑，一个运动员以每秒4米的速度匀速奔跑，另一个运动员以每秒5米的速度匀速奔跑。
如果要第一名运动员追上第二名运动员，需要跑多久？这道题的答案可以通过数列来解决。
定义第一个运动员跑了x秒，那么第一个运动员跑的路程就是4∗x，第二个运动员跑的路程就是5∗x。
数列实际应用
数列实际应用
数列是按照一定规律排列的数的集合，它在数学中有广泛的应用，同时也在现实生活中有许多实际应用。
以下是一些数列在实际中的应用：
1.金融和经济学：在金融和经济学中，数列可以用于建模和分析投资回报、股票价格的变化、经济增长等。
例如，等差数列可以用来描述定期投资的增长，而等比数列可以用来建模复利效应。
2.工程：在工程领域，数列可以用于描述周期性变化。
例如，振动和波动的频率可以通过正弦或余弦函数的数列来表示。
这在机械工程、电子工程和声学等领域都有应用。
3.计算机科学：在计算机科学中，数列被广泛用于算法和数据结构。
例如，斐波那契数列常用于递归算法和动态规划，而等差数列和等比数列可以用于表示计算机内存中的数据结构。
4.统计学：在统计学中，数列可以用于建模和分析随机过程。
例如，随机游走模型中的数列描述了随机变量的变化。
这在风险管理、市场分析等方面有应用。
5.物理学：在物理学中，数列可以用于描述时间和空间中的变化。
例如，牛顿的运动定律中的等差数列描述了运动物体的位移随时间的变化。
6.生物学：在生物学中，数列可以用于描述生物体的生长、衰老和其他变化。
例如，菲波那契数列可以用于描述植物的分枝结构。
7.电信和通信：在通信领域，数列可以用于描述信号的变化。
例如，正弦数列可用于表示模拟信号，而二进制数列可用于表示数字信号。
8.交通规划：数列可以用于模拟交通流量的变化。
例如，等差数列可以用于描述车辆在道路上的运动，有助于交通规划和优化。
这些都只是数列在实际中的一些例子，数列的应用领域非常广泛，涵盖了几乎所有科学和工程领域。
数列在日常生活中的应用
运输成本控制
利用数列分析，可以精确 计算运输成本，为企业制 定合理的价格策略提供依 据。
运输安全保障
通过数列分析，可以发现 运输过程中的安全隐患， 采取有效措施保障运输安 全。
04
CATALOGUE
医学与健康
医学研究
疾病预测
药物研发
建筑材料
混凝土的配合比设计
混凝土是建筑工程中常用的建筑材料之一，其配合比设计对工程质量有着至关重要的影响。通过数列 的方法进行配合比设计，可以更加准确地确定各种材料的比例关系，提高混凝土的强度和耐久性。
钢材的规格与数列
在建筑工程中，钢材也是必不可少的建筑材料之一。不同规格的钢材具有不同的力学性能和适用范围 ，通过数列的方法可以对各种规格的钢材进行分类和排列，便于工程中选用合适的钢材规格。
药物副作用监测
通过收集和分析患者的用药数据，可以及时发现 药物的副作用和不良反应，保障患者安全。
05
CATALOGUE
教育与培训
课程设计
数学课程
数列是数学教育中的重要内容，用于教授学生数列的基本概念、 性质和计算方法。
编程课程
在编程中，数列常用于算法设计和数据结构，如数组和链表等。
经济学课程
在经济学中，数列用于描述经济数据的变化趋势和规律，如时间序 列分析。
物流管理
01
02
03
库存管理
利用数列表示不同商品的 销售量，可以预测商品的 库存需求，避免库存积压 和浪费。
配送路线优化
通过数列分析，可以找到 最优的配送路线，降低物 流成本和提高配送效率。
物流数据分析
利用数列分析，可以对物 流数据进行挖掘和可视化 ，帮助企业做出更科学的 决策。
数列在日常经济生活中的应用(课堂PPT)
§4 数列在日常经济生活中的应用（一）
若每月存入金额为x元,月利率r保持不变,存期为n个月, 试 推导出到期整取是本利和的公式:
第一个月存入的x元,到期利息为: x•r•n 元
第二个月存入的x元,到期利息为: x•r•（n-1）元
第三个月存入的x元,到期利息为: x•r•（n-2）元
……
……
第n个月存入的x元,到期利息为: x•r•1 元. 本金为 n•x 元
1
……1000英磅赠给波士顿的居民，如果他 们接受了这一千英磅，那么这笔钱应该托
付给由选举出来的公民组成的基金会，基 金会得把这笔钱按每年5%的利率借给一些 年轻的手工业者去生息.这笔钱过了100年 增加到131000英磅.我希望，那时候用 100000英磅来建立一所公共建筑物，剩下 的31000英磅拿去继续生息100年.在第二个 100年末了，这笔款增加到4061000英磅， 其中1061000英磅还是由波士顿的基金会支 配，而其余的3000000英磅让马萨诸州组成 同样的基金会来管理.过此之后，我可不敢 多作主张了！”
1. 现有10万元,如果存一年,有多少钱? 100000 ×(1+3.00%)=103000
2. 10万元钱,如果存两年,又有多少钱? 存期的选择
3. 如果选择存一年期,但到期忘了取出,5年后 才去取,你猜银行会如何处理?
自动转存
14
§4 数列在日常经济生活中的应用（一）
定期自动转存模型: 客户存款到期后，客户如不前往银行办理转存手
某人选择存期为1年的“零存整取”需到银行存款几次12次 ()
某人选择存期为3年的“零存整取”需到银行存款几次36次 ()
8
§4 数列在日常经济生活中的应用（一）
数列在日常理财生活中的运用
数列在日常理财生活中的运用摘要：运用数列知识中的等比、等差数列，针对银行的理财储蓄产品种类，进行分析探究，建立起计算利息的数学模型；并通过计算理财品种的各项利息收益情况，做好日常资金理财方案规划，力求做到收益最大化。
关键词：数列；日常理财；应用一、在银行理财品种中，数列的应用及数学模型的建立1.等差数列在零存整取（整存零取）中的应用什么是零存整取？在银行存款理财中，有一种零存整取的储蓄项目，它是每月某日间隔一定时间存入一笔相同的金额，这是零存；到一定时间段后，可以取出全部本金及利息，这是整取。
举例：我们若从年初开始，每3个月初存入1 000元，3个月零存整取利率为a‰，到第12月底的本息和是多少？分析：若每3个月初存入1 000元，12个月一共存入4期，合计本金4 000元。
我们分别计算每期到12月底的本息和：第一次存1 000元，到12月底的本息和：A1=本金+利息= 1 000+1 000×4×a‰；第二次存1 000元，到12月底的本息和：A2=本金+利息=1 000 +1 000×3×a‰；第三次存1 000元，到12月底的本息和：A3=本金+利息=1 000+1 000×2×a‰；第四次存1 000元，到12月底的本息和：A4=本金+利息=1 000+1 000×1×a‰。
通过观察不难发现A1、A2、A3、A4构成一个等差数列，公差是1 000a‰，计算到12月份本息和，就是数列A1、A2、A3、A4的四项和，其本息和是：A=1 000×4+1 000×（4+3+2+1）×a‰=4 000+1 000×10×a‰；我们按照等差数列求和公式，求得本息和A=1 000×4+1 000×[4×（4+1）×（1/2）]×a‰ = 4 000+1 000×10×a‰。
高一数学中的数列在实际问题中的应用有哪些
高一数学中的数列在实际问题中的应用有哪些在高一数学的学习中，数列作为一个重要的知识板块，不仅在数学理论中具有重要地位，还在实际生活中有着广泛的应用。
通过数列，我们可以更好地理解和解决许多现实世界中的问题，从经济领域的投资和贷款计算，到自然科学中的生物繁殖和放射性物质衰变，再到日常生活中的排队和资源分配等。
接下来，让我们深入探讨一下高一数学中数列在实际问题中的具体应用。
一、经济领域1、储蓄与利息计算在银行储蓄中，常常会涉及到利息的计算。
假设我们将一笔本金 P存入银行，年利率为 r，存期为 n 年。
如果按照单利计算，到期后的本息和 A 可以用数列公式表示为：A ＝ P(1 ＋ nr) ；而如果按照复利计算，到期后的本息和 A 则为：A ＝ P(1 ＋ r)＾n 。
通过这样的数列公式，我们可以清楚地计算出不同储蓄方式下的最终收益，帮助我们做出更明智的理财决策。
2、分期付款在购买一些价格较高的商品时，如汽车、房屋等，我们可能会选择分期付款。
假设购买一件价格为 P 的商品，分 n 期付款，每期利率为 r。
每期的还款金额可以通过数列计算得出，从而帮助我们规划好每月的财务支出，避免逾期还款和额外的利息费用。
3、投资回报在投资领域，数列也发挥着重要作用。
例如，我们投资一项每年回报率为 r 的项目，初始投资为 P，经过 n 年后的投资总额可以用数列公式计算。
通过对不同投资项目的回报进行数列分析，我们可以评估其风险和收益，选择最适合自己的投资组合。
二、科学研究1、生物繁殖在生物学中，许多生物的繁殖现象可以用数列来描述。
比如，某种细菌每小时繁殖的数量是前一小时的 2 倍，如果初始时有 x 个细菌，经过 n 小时后的细菌数量就是一个等比数列。
通过数列的计算，我们可以预测生物种群的增长趋势，为生态保护和资源管理提供重要依据。
2、放射性物质衰变放射性物质的衰变过程也符合数列规律。
假设某种放射性物质的半衰期为 T，初始质量为 M，经过 n 个半衰期后的剩余质量可以用数列公式表示为：M(1/2)＾（n/T) 。
等比数列的应用
等比数列的应用等比数列是一种特殊的数列，它的每一项与前一项的比值相等。
在数学中，等比数列具有广泛的应用，涵盖了各个领域。
本文将探讨等比数列在几个具体的应用场景中的运用。
一、金融领域1. 存款利息在银行存款中，利息通常按照等比数列的方式计算。
假设你存款的利率是r，第一个月存入的金额是a，那么第二个月的存款金额就是a*r，第三个月的存款金额就是a*r^2，依次类推。
这里，存款金额就是等比数列的项，r就是比值。
2. 投资收益等比数列也可以用于投资收益的计算。
假设你投资的某项理财产品每个月的回报率是r，初始投资金额为a，那么随着时间的增长，每个月的投资收益将以等比数列的方式增加。
二、物理学等比数列在物理学中也有着广泛的应用。
以下是其中的两个例子：1. 自由落体在自由落体的过程中，物体每次跳跃的高度都是前一次跳跃高度的某个比值，这个比值就是等比数列的比值。
通过分析等比数列的性质，我们可以计算出物体在每一次跳跃后的高度。
2. 光的反射与折射当光线从一种介质进入另一种介质时，其入射角和折射角之间的关系可以用等比数列来表示。
根据斯涅尔定律，入射角和折射角的正弦值成等比数列关系。
三、经济学等比数列在经济学中也有着重要的应用，以下是其中的两个例子：1. GDP增长国家的GDP增长率通常可以用等比数列来描述。
假设一个国家的GDP在初始时期是a，年度的增长率是r，那么经过n年，该国的GDP 可以通过等比数列的公式来计算。
2. 人口增长人口的增长也常常以等比数列的形式呈现。
假设一个地区的初始人口是a，年度的增长率是r，那么经过n年，该地区的人口可以用等比数列的方式来计算。
四、生物学生物学中的一些现象也可以通过等比数列进行描述，以下是其中的两个例子：1. 繁殖规律某些生物的繁殖规律可以用等比数列来表示。
例如，某种昆虫的繁殖率是100只/年，每年的增长率是0.5，那么经过n年后，该种昆虫的数量可以用等比数列来计算。
2. 细胞分裂细胞分裂是生物学中常见的现象，其中细胞数量的增长可以用等比数列来描述。
浅析数列在日常生活中的应用
浅析数列在日常生活中的应用在实际生活和经济活动中, 很多问题都与数列密切相关.如分期付款、个人投资理财以及人口问题、资源问题等都可运用所学数列知识进行分析,从而予以解决. 与此同时,数列在艺术创作上也有突出的作用. 数学家华罗庚曾经说过:"宇宙之大,粒子之微,火箭之速,化工之巧,地球之变,日用之繁,无处不用数学. " 这是对数学与生活关系的精彩描述. 下面笔者将举几个生活中的小例子来浅谈一下数列在日常生活中的运用.一、在生产生活中在给各种产品的尺寸划分级别时, 当其中的最大尺寸与最小尺寸相差不大时, 常按照等差数列进行分级. 若为等差数列, 且有an=m,am=n. 则a(m+n)=0.其实等差数列生活中处处可见, 关键是发现它, 并用以解决实际问题. 在路灯的排列、银行的按揭贷款、银行的利息结算等等.例如1 台电脑售价为1 万元, 如果采取分期付款, 在1 年内将款全部还清的前提下,商家还提供下表所示的几种付款方案(月利率为1%). 假定你的父母为给你创建更好的学习条件,打算买台电脑,除一次性付款外商家还提供三种分期付款方式. 你能帮他们参谋选择一下吗?方案分几次付清付款方法每期所付款额方案1.分6 次付清. 购买后2 个月第1次付款, 再过2 个月第2 次付款……购买后12 个月第6 次付款方案2.分12 次付清. 购买后1 个月第1次付款, 再过1 个月第2 次付款……购买后12 个月第12 次付款方案3.分3 次付清. 购买后4 个月第1次付款,再过4 个月第2 次付款,再过4 个月第3 次付款分析:思路1: 本题可通过逐月计算欠款来处理,根据题意,到期还清即第12 个月的欠款数为0 元.设每次应付x 元,则:二、细胞分裂中的数列自然界是由许许多多的细胞组成的,细胞分裂产生新的生命, 人的孕育也是由细胞分裂开始的. 以某种细胞为例我们一起来分析一下细胞是如何分裂的.某种细胞每过30 分钟便由 1 个分裂成 2 个,经过 5 小时,这种细胞由 1 个分裂成几个?经过N 小时,细胞由1 个能分裂成几个?该细胞分裂数是公比为2 的等比数列方式增加.显然不用减去那最初的一个母细胞了,因为题目问的是:"经过5 小时, 这种细胞由一个分裂成几个,"当然是1024 了,又不是问由一个分裂"出"几个,那就要减去最初的母细胞了.显然N 时后,该细胞会由一个分裂"成"2(k-1)个(k为自然数,k=2N+1)即:N 时后,会有22N个细胞,(其中N 表示整时,单位为时,N=0,1,2,3,……)因此,经过N 时后,细胞由一个分裂成22N个(N=0,1,2,3,…)三、爬楼梯小明同学在小的时候喜欢爬楼梯, 不为什么,只是觉得这种阶梯状的建筑非常好玩,等到他长大了,可以一次跨上一级,也可以跨两级,所以,他想知道,有多少种不同的上到楼梯顶端的方案.首先假设楼梯只有一级,那么小明只有一种爬法;如果有 2 级,那么小明可以一级一级地往上爬,也可以一次就上两级,用算式表示为1+1 或2, 说明他上 2 级楼梯有 2 种不同的爬法;如果有 3 级,小明的第一步可以上一级,也可以上二级. 如果上一级,那么还剩下 2 级, 上面已经讨论过了有 2 种不同的爬法;如果上二级,那么还剩下 1 级,上面也已经讨论过了,只有 1 种爬法;合计起来就有2+1=3 种不同的爬法. 有算式表示为3=1+2(2 种不同的爬法)=2+1(1 种不同的爬法);如果有4 级,小明的第一步可以上一级,也可以上二级. 如果上一级, 那么还剩下3级,上面已经讨论过了有3 种不同的爬法;如果上二级,那么还剩下 2 级,上面也已经讨论过了,有 2 种不同的爬法;合计起来就有3+2=5 种不同的爬法. 用算式表示为4=1+3(3种不同的爬法)=2+2(2 种不同的爬法);……照这样推下去, 可以得一串斐波那契数列:1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,……由此可知,爬上有10 级台阶的楼梯,一共有89 种不同的爬法.随着科学的进步,数学学科在我们的生活中扮演着一个不可忽视的重要角色,作为跨世纪的中学生, 我们不仅要学会数学知识,而且要会应用数学知识去分析、解决生活中遇到的问题,这样才能更好地适应社会的发展和需要. 数学既不严峻,也不遥远,它既和所有的人类活动有关,又对每一个真正感兴趣的人有益. 数学研究、科学研究从身边的活动做起. 让我们从一个小小的数列开始,多思考,找规律,相信任何问题都可以迎刃而解的.。
数列在日常生活中的应用
教材P38 例3 分期付款模型 教材 另一解法： 另一解法： 每期付款产生的本利和的累加 = 一年后付款的总额 解：设每期还款x元，则 设每期还款 元 x（1+1.0082+1.0084+…+1.00810）= 5000*1.00812 （
பைடு நூலகம்
3、有若干台型号相同的联合收割机收割小麦，若 、有若干台型号相同的联合收割机收割小麦， 同时投入工作到收割完毕需24小时 小时， 同时投入工作到收割完毕需 小时，但它们是 每隔相同的时间按顺序投入工作的， 每隔相同的时间按顺序投入工作的，每一台投入 工作后都一直工作到小麦收割完毕。 工作后都一直工作到小麦收割完毕。如果第一台 收割时间是最后一台的5倍 收割时间是最后一台的 倍，求用这种方法收割 完毕需多少时间？ 完毕需多少时间？
a1 = 5a n a1 a2 an 24n + 24n + ⋯ + 24n = 1
a1=40
1、小王每日节省100元，想以零存整取的方式存入 、小王每日节省 元 银行，攒足 元购买冰箱， 银行，攒足2625元购买冰箱，如果月利率为 元购买冰箱 P=0.0075，问存两年能否够购买冰箱的钱？ ，问存两年能否够购买冰箱的钱？ 2、现有1万元存入银行，存30年，年利率为 ，利息 、现有 万元存入银行 万元存入银行， 年 年利率为r， 税20%，以下列方式存储，则到期本息共多少？ ，以下列方式存储，则到期本息共多少？ 定期一年 定期二年 定期三年
1.4数列在日常经济生活中的应用（讲义+典型例题+小练）（原卷版）
1.4数列在日常经济生活中的应用（讲义+典型例题+小练）一、例述数列在生活中的应用数学不仅仅是我们生活中的工具，更大程度上是我们生活中的必需品，并影响着人们的生活。
以生活中的一个常见问题为例：例1：1．为了防止某种新冠病毒感染，某地居民需服用一种药物预防.规定每人每天定时服用一次，每次服用m毫克.已知人的肾脏每24小时可以从体内滤除这种药物的80%，设第n=）.次服药后（滤除之前）这种药物在人体内的含量是n a毫克，（即1a mm=，求2a､3a；(1)已知12(2)该药物在人体的含量超过25毫克会产生毒副作用，若人需要长期服用这种药物，求m的最大值.举一反三：1．顾客采用分期付款的方式购买一件5000元的商品，在购买一个月后第一次付款，且每月等额付款一次，在购买后的第12个月将货款全部付清，月利率0.5％.按复利计算，该顾客每月应付款多少元（精确到1元）？二、银行储蓄与分期付款中的数列应用储蓄与贷款与国计民生、社会生活发展息息相关，大到支援国家建设，小到个人家庭的财政支出管理，处处都嵌套着数列的应用。
在人们日常的生活规划中，为未来进行资金储备的零存整取的存储模式是银行储蓄中常见的一种金融计算方式。
下面将以某一常见模式为例，进行数列在储蓄领域应用的解析。
（1）储蓄业务种类①活期储蓄②定期储蓄（整存整取定期储蓄、零存整取定期储蓄、整存零取定期储蓄、存本取息定期储蓄、定活两便储蓄）③教育储蓄④个人通知存款⑤单位协定存款（2）银行存款计息方式：①单利单利的计算是仅在原有本金上计算利息,对本金所产生的利息不再计算利息.其公式为：利息=本金×利率×存期以符号P代表本金,n代表存期,r代表利率,S代表本金和利息和(以下简称本利和),则有②复利把上期末的本利和作为下一期的本金,在计算时每一期本金的数额是不同的.复利的计算公式是（3）零存整取模型例1：1．复利是指一笔资金产生利息外，在下一个计息周期内，以前各计息周期内产生的利息也计算利息的计息方法，单利是指一笔资金只有本金计取利息，而以前各计息周期内产生的利息在下一个计息周期内不计算利息的计息方法.小闯同学一月初在某网贷平台贷款10000元，约定月利率为1.5%，按复利计算，从一月开始每月月底等额本息还款，共还款12次，直到十二月月底还清贷款，把还款总额记为x元.如果前十一个月因故不还贷款，到十二月月底一次还清，则每月按照贷款金额的1.525%，并且按照单利计算利息，这样的还款总额记为y元.则y-x的值为（）(参考数据：1.01512≈1.2)A．0B．1200C．1030D．9002.银行有一种叫作零存整取的储蓄业务,即每月定时存入一笔相同数目的现金,这是零存;到约定日期,可以取出全部本利和,这是整取.规定每次存入的钱不计复利(暂不考虑利息税).(1)若每月存入金额为x元,月利率r保持不变,存期为n个月,试推导出到期整取是本利和的公式;(2)若每月初存入500元,月利率为0.3%,到第36个月末整取时的本利和是多少?(3)若每月初存入一定金额,月利率为0.3%,希望到第12个月末整取时取得本利和2000元.那么每月初应存入的金额是多少?举一反三：1．某企业在2013年年初贷款M万元，年利率为m，从该年年末开始，每年偿还的金额都是a万元，并恰好在10年间还清，则a的值为（）A．()()1010111M mm++-B．()101Mmm+C．()()1010111Mm mm++-D．()()1010111Mm mm+++2.银行有一种叫作零存整取的储蓄业务,即每月定时存入一笔相同数目的现金,这是零存;到约定日期,可以取出全部本利和,这是整取.规定每次存入的钱不计复利.银行按国家规定到期扣除20﹪的利息税(应纳税额=应纳税利息额×税率).(1)若每月存入金额为x 元,月利率r 保持不变,存期为n 个月,试推导出到期整取时本利和的公式;(2)若每月初存入500元,月利率为0.3%,到第36个月末整取时的本利和是多少?三、 环境资源利用中的数列应用进入21世纪以来，能源的短缺成为困扰人类社会发展的主要问题之一，尤其是不可再生资源的合理有效利用问题，更是人类社会进一步发展需要解决的首要问题。
§4 数列在日常经济生活中的应用
第一章 数 列
此类问题在计算利息时，每次存入的钱不计复利，即对应等差 数列模型．
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第一章 数 列
Hale Waihona Puke 1.(1)某人在一年 12 个月中，每月 10 日向银 行存入 1 000 元，假设银行的月利率为 5‰(按单利计算)，则到 第二年的元月 10 日，此项存款一年的利息之和是( A．5(1＋2＋3＋…＋12)元 B．5(1＋2＋3＋…＋11)元 C．1 000[1＋5‰＋(5‰)2＋…＋(5‰)11]元 D．1 000[1＋5‰＋(5‰)2＋…＋(5‰)12]元 )
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第一章 数 列
(2)有一批影碟机原销售价为每台 800 元，在甲、乙两家商场均 有销售．甲商场用如下方法促销：买一台单价为 780 元，买两 台单价为 760 元，依次类推，每多买一台则所买各台单价均减 少 20 元，但每台最低价不能低于 440 元；乙商场一律都按原 价的 75%销售．某单位需购买一批此类影碟机，问去哪一家商 场购买花费较少？
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第一章 数 列
解：(1)选 A.存款利息是以 5 为首项，5 为公差的等差数列，12 个月的存款利息之和为 5(1＋2＋3＋…＋12)元，故选 A. (2)设某单位需购买影碟机 n 台， 在甲商场购买每台售价不低于 440 元时，售价依台数 n 成等差数列，设该数列为{an}， an＝780＋(n－1)(－20)＝800－20n， 解不等式 an≥440，即 800－20n≥440，得 n≤18， 当购买台数小于 18 时，每台售价为(800－20n)元， 当台数大于或等于 18 时，每台售价为 440 元．
第一章 数 列
§4
数列在日常经济生活中的应用
第一章 数 列
数列在实际问题中的应用
数列在实际问题中的应用在我们的日常生活和众多领域中，数列的身影无处不在。
从金融投资到生物繁殖，从工程建设到资源分配，数列都发挥着重要的作用。
它不仅是数学中的一个重要概念，更是解决实际问题的有力工具。
先来说说银行存款中的复利计算。
假设你在银行存入一笔本金 P，年利率为 r，存款期限为 n 年。
如果每年复利一次，那么 n 年后你的存款总额 A 就可以用等比数列的通项公式来计算：A ＝ P(1 ＋ r)＾n 。
比如说，你存入 10000 元，年利率为 5%，存 5 年，那么 5 年后你的存款总额就是 10000×（1 ＋ 005)＾5 ≈ 1276282 元。
这里的每年的存款金额就构成了一个等比数列，通过这个数列的计算，我们可以清晰地了解到资金的增长情况，从而更好地规划自己的财务。
在房屋贷款的计算中，数列也同样有着重要的应用。
假设你向银行贷款 P 元，月利率为 r，还款期限为 n 个月。
等额本息还款方式下，每月还款额 M 可以通过等差数列和等比数列的知识来推导得出。
通过这样的计算，你可以清楚地知道每个月需要还款的金额，以及在还款过程中本金和利息的比例变化。
这有助于你合理安排每月的收支，避免出现逾期还款等问题。
数列在资源分配问题中也大显身手。
比如，一家公司有一定数量的资源要分配给不同的项目。
假设公司共有资源 R，有 n 个项目需要分配资源，每个项目的资源需求按照一定的比例增长或减少。
通过构建等差数列或等比数列，可以找到最优的资源分配方案，使得资源得到最有效的利用，从而实现公司的最大效益。
再看人口增长问题。
在理想情况下，人口的增长可以看作是一个等比数列。
假设初始人口为 P₀，年增长率为 r，经过 n 年后，人口数量P ＝ P₀(1 ＋ r)＾n 。
通过对这个数列的分析，可以预测未来人口的变化趋势，为政府制定相关的政策，如教育、医疗、就业等方面的规划，提供重要的参考依据。
在工程建设中，数列也有着广泛的应用。
数列在日常经济生活中的应用
例3.某种电讯产品自投放市场以来,经过三次降 价,单价由原来的174元降到58元.这种电讯产品 平均每次降价的百分率大约是多少(精确到1%)?
解： 将原单价与三次降价后的单有 (1-x)为公比等比数列 a n ，
a1 174, a4 58, n 4, q 1 x
1 如果储户存入定期为1年的a元存款,定期年利率为r,
连存n年后, 再取出本利和, 试求出储户n年后所得本利 和的公式;
2 如果存入10000元定期存款, 存期1年,年利率为
2.25%,那么5年后共得本利和多少万元?
《金榜》阶段性检测（二） 10
EX.家用电器每件20000元，实行分期付款， 每期付相同款数，每期一个月，购买一年 则每期应付款________元(精确到0.1元） 1777.7
因此，
58 174 (1 x )
4 1
.
x 31%
答：上述电讯产品平均每次降价的百分率大约是31%.
练.每次用相同体积的水洗一件衣物, 且每次能洗去污垢的3/4,若洗n次 后,存留的污垢在1%以下,则n的最 小值为多少?
后付清。若按月利1%，每月复利一次计算，
课本P70 B组 5
课本P70 B组 3
《金榜》P42 例3 举一反三 (参考 P49 19 )
EX.张老师今年向银行贷款16万元购买一套 住房, 付现金6万元, 按合同分6年付清,年 利率为10%, 每年以复利计算.问每年年底 应支付多少元?
数列{an }中，a1 0, a2 3, an1an (an1 2)(an 2 2) 证明：an an 2 2
1 若每月存入x元, 月利率r保持不变, 存期为n个月,
试求到期取款的本利和.
数列知识在日常生活中的应用例谈
数列知识在日常生活中的应用例谈数列知识有着广泛的应用，如生物种群数量变化，银行中的利息计算，人口增长，粮食增长、住房建设等等问题，都会用到高中的数列知识。
本文举例说明，有助于学生认识和理解数列知识。
例1：在植物组织培养过程中，某细胞在培养基中按照1个分裂为2个，2个分裂为4个，依次分裂下去进行增加，而且每15分钟分裂一次。
那么，1小时后，这种细胞会增加到多少个？解析：这是生物学上的一个比较常见的问题（细菌的分裂已是如此）。
应用数列知识我们很快就会求得。
显然，a1＝2，q＝2，n＝4，那么a4＝a1 ×qn-1＝2×23=16（个）例2：某房地产公司推出的售房有两套方案：一种是分期付款的方案，当年要求买房户首付3万元，然后从第二年起连续十年，每年付款8000元；另一种方案是一次性付款，优惠价为9万元，若一买房户有现金9万元可以用于购房，又考虑到另有一项投资年收益率为5%，他该采用哪种方案购房更合算？请说明理由．(参考数据1.059≈1.551，1.0510≈1.628)解析：如果分期付款，到第十一年付清后看其是否有结余，设首次付款后第n年的结余数为an，∵a1=(9－3)×(1＋0.5%)－0.8=6×1.05－0.8a2=(6×1.05－0.8)×1.05－0.8=6×1.052－0.8×(1＋1.05)……a10=6×1.0510－0.8(1＋1.05＋…＋1.059)=6×1.0510－0.8×=6×1.0510－16×(1.0510－1)=16－10×1.0510≈16－16.28=－0.28(万元)所以一次性付款合算．例3：假如某市2010年新建住房面积为4000平方米，其中，250平方米为中低价房，预计在今后若干年内该市每年新建住房面积平均不上一年增长8%，加50平方米，问到哪一年底该市历年新建的中低价房的累计面积将首次不少于4750平方米？解析：设中低价房的面积构成数列{ an},由题意可以知道，an 为等差数列，a1=250，d=50sn =250×n +[n(n-1)/2] ×50=25n2 +225n令25n2 +225n≥4750，解之得到：n≥10或者n≤-19（不符合题意，舍去）由此可知，要到2020年底该市历年新建的中低价房的累计面积将首次不少于4750平方米。
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数列在日常理财生活中的运用
摘要：运用数列知识中的等比、等差数列，针对银行的理财储蓄产品种类，进行分析探究，建立起计算利息的数学模型；并通过计算理财品种的各项利息收益情况，做好日常资金理财方案规划，力求做到收益最大化。
关键词：数列；日常理财；应用
一、在银行理财品种中，数列的应用及数学模型的建立
1.等差数列在零存整取（整存零取）中的应用
什么是零存整取？在银行存款理财中，有一种零存整取的储蓄项目，它是每月某日间隔一定时间存入一笔相同的金额，这是零存；到一定时间段后，可以取出全部本金及利息，这是整取。
举例：我们若从年初开始，每3个月初存入1 000元，3个月零存整取利率为a‰，到第12月底的本息和是多少？
分析：若每3个月初存入1 000元，12个月一共存入4期，合计本金4 000元。
我们分别计算每期到12月底的本息和：
第一次存1 000元，到12月底的本息和：A1=本金+利息= 1 000+1 000×4×a‰；第二次存1 000元，到12月底的本息和：A2=本金+利息=1 000 +1 000×3×a‰；第
三次存1 000元，到12月底的本息和：A3=本金+利息=1 000+1 000×2×a‰；第四次存1 000元，到12月底的本息和：A4=本金+利息=1 000+1 000×1×a‰。
通过观察不难发现A1、A2、A3、A4构成一个等差数列，公差是1 000a‰，计算到12月份本息和，就是数列A1、A2、A3、A4的四项和，其本息和是：A=1 000×4+1 000×（4+3+2+1）×a‰=4 000+1 000×10×a‰；我们按照等差数列求和公式，求得本息和A=1 000×4+1 000×[4×（4+1）×（1/2）]×a‰ = 4 000+1 000×10×a‰。
我们可以比较一下，发现两次计算结果完全相同。
依据以上分析计算，我们得出零存整取或整存零取（单利计息）的存款储蓄品种，它的本息计算可以按照等差数列求和公式，构建起零存整取（整存零取）的本息和的数学计算模型是：本息和=每期存入金额×[存期数+ 存期数×（存期数+1）×（1/2）×利率]。
（以下记做公式1。
）
2.等比数列，在银行存款中定期转存的应用
什么是定期转存？在银行存款理财中，有一种储蓄项目，它是从某日存入一定金额的固定存期储蓄，并约定每次到期存款均自动转为下一个存期的定期存款，这就是定期转存。
举例：我们若从年初开始存入1 000元的3个月定期转存储蓄，3个月利率为a‰，到第12月底的本息和是多少？
分析：年初存入的1 000元，3个月到期后，自动转存时，第一个存期的利息，加入的1 000元本金里，作为新的“本金”开始记取利息（这叫“复利”），到12月底时，一共转存了3次，记取了3次复利，正好取出本息。
现在我们分别计算每期结束的本息和：
第一次存期到期的本息和：A1=本金+利息=1 000+1 000×a‰=1 000（1+a‰）；
第二次存期到期的本息和：A2=本金+利息=1 000×（1+a‰）+1 000×a‰×（1+a‰）=1 000×（1+a‰）2；
以此类推，第三次存期到期的本息和：A3=本金+利息=1 000×（1+a‰）3；
第四次存期到期的本息和：A4=本金+利息=1 000×（1+a‰）4；
通过观察，发现A1、A2、A3、A4，构成一个等比数列，它的公比是（1 +a‰）。
我们可以按照等比数列，已知A1，和公比（1+a‰），运用数列的知识求数列的第4项的值，到期的本息和A= A1×（1+a‰）[4-1]= 1 000×（1+ a‰）4，A和上述分析得出的A4相等，也就是两次计算结果完全相同。
依据以上分析计算，我们得出定期转存（复利计息）储蓄，它的本息计算可以按照等比数列的通项公式，构建起这种银行存款品种的本息和的数学计算模型是：本息和=每期存入金额×（1+利率）存期。
（以下记做公式2。
）
通过对以上两个代表性的银行存款储蓄品种的分析，可以类推出这样的结论，如果是单利计算的储蓄品种，一般都可以应用等差数列建立数学模型，计算利息；如果按照复利支付利息的储蓄品种，一般都可以通过等比数列建立数学模型，计算本息和，算出利息。
二、运用数列知识，分析日常理财收益，规划科学的理财方案
以一个双工薪（一个企业，一个老师）的家庭的薪金收入为例，做好理财方案的分析和规划。
收入来源一是工资收入，一人3 000元，一人4 000元；二是前三个季度绩效考核工资3 000元；三是年末的绩效收入10 000元。
我们假设以每月4 000元为生活费，年末的10 000元作为全年花销的备用金，其余家庭收入参与理财规划，做一年的理财方案如下：
1.方案一：粗放的活期理财模式
现在的薪金发放，都是打在折（卡）上，粗心的家庭会积攒一年，到年底盘点后，再考虑提取资金，转成高息理财产品。
按照这个活期方案，我假定工资都是月初发放，工资收入每月存入3 000元，到12月末收益记作A1，季度绩效月初发放，一共发放3次，每次3 000元，到12月末收益记作A2，年末奖金10 000元次年1月初发放，留做全年备用，收益记作A3。
按照中国银行2014年公布的年利率值：活期0.35%，3个月定期2.6%，零存整取（整存零取）1.71%，半年定期2.8%，一年的定期3.25%。
计算家庭一年薪金理财收益：按照活期月利率=0.35%/12=0.029167%，计算的利息和是：A=A1+A2+A3，其中工资收入的活期利息按照公式（1）进行计算， A1=3 000×12×（12+1）×（1/2）×0.029167% =60.25元；季度绩效奖金的活期利息按照公式（1）进行计算，A2=3 000×3×（3+1）×（1/2）×（3×0.029167）% =15.75元；10 000元备用金的收益，相当于5 000元存6个月的活期利息，其计算模型：利息=存入金额×存期×月利率（推导过程略去），A3=5 000×6×0.029167%=8.75元。
通过以上计算出理财方案一，每年薪金收入产生的利息之和是：A=60.25+15.75+8.75=84.75元。
2.方案二：“工资零存整取+绩效定期转存+备用金整存零取”的理财模式
我们假定月初发放的工资，每月零存整取的方式存入3 000元，到12月末的收益记作A1，每季度初的3 000元绩效奖，按照3个月的定期转存，到12月末的收益记作A2，上年度的年末奖金10 000元，按照一年4次的整存零取，有计划的季度资金备用方式，到12月末的收益记作A3。
计算家庭一年薪金理财收益的利息和是：
A=A1+A2+A3，其中A1，工资的零存整取存款方式，利用（公式1）利息=每期存入金额×存期数×（存期数+1）×（1/2）×月利率]。
月利率=1.71%/12=0.1425%%。
计算出A1=3000×12×（12+1）×（1/2）×0.1425% = 333.45元；
A2，绩效奖金按照三个月的定期转存的存款方式，到12月末，一季度的3 000元奖金经历了3个存期，二季度的奖金经历2个存期，三季度的奖金经历1个存期，是复利计息，符合等比数列，按照通项公式建模。
直接利用公式（2），本息和=每期存入金额*（1+利率）存期，三个月定期利率=2.6%/4=0.65%。
计算的利息A2=3 000×（1+0.65%）1+3 000×（1+0.65%）2
+3 000×（1+ 0.65%）-9 000= 117.5元。
A3，1 000元备用金年初整存，按照每季度末存款支取2 500元，支取4次，是单利计息。
其符合等差数列关系，直接利用数学模型公式（1），计算其本息和=每期消费金额×消费期×（消费期+1）×（1/2）×利率，利率1.71%/4=0.4275%。
计算出到期的利息A3=2 500×4×（4+1）×（1/2）×0.4275%=106.87元
通过以上计算出的理财方案二，一年薪金产生的利息是A= A1+ A2+ A3=333.45+117.5+106.87 =
557.82元。
3.理财方案收益效果比较
一个家庭的一年薪金，如果按照方案一粗放的在银行的工资卡上，算作存活期，方便取用，但只能达到钱在银行的“保值”目的，利息收益太低了。
方案二采取分类选择相应的理财品种，通过运用数列方法分析计算的资金收益结果看，在既达到资金保值目的同时，又平均提高了家庭理财收益558%，经济效益可观。
现做两种理财方案的收益比较表如下：
通过这次对数列在家庭日常理财中应用的探究，既了解不同储蓄品种的分类及利息计算方式的原理，更主要的是运用数列的公式，建立了利息计算的数学模型，运用这些方法分析论证了薪金的不同，理财方案的效益，这是数学知识解决实际生活问题的一个很好应用。
■编辑/吕秀妍。