管理运筹学讲义 第6章 动态规划
第6章动态规划
第6章 动态规划动态规划（Dynamic Programming ）是解决多阶段决策过程最优化的一种有用的数学方法。
它是由美国学者Richard .Bellman 在1951年提出的，1957年他的专著《动态规划》一书问世，标志着运筹学的一个重要分支－动态规划的诞生.动态规划也是一种将多变量问题转化为单变量问题的一种方法。
在动态规划中，把困难的多阶段决策问题变换成一系列相互联系的比较容易的单阶段问题一个个地求解。
动态规划是考察解决问题的一种途径 ,而不是一种特殊的算法，不像线性规划那样有统一的数学模型和算法（如单纯形法）.事实上，在运用其解决问题的过程中还需要运用其它的优化算法。
因此，动态规划不像其它方法局限于解决某一类问题,它可以解决各类多阶段决策问题。
动态规划在工程技术、经济管理等社会各个领域都有着广泛的应用，并且获得了显著的效果。
在经济管理方面,动态规划可以用来解决最优路径问题、资源分配问题、生产调度问题、库存管理问题、排序问题、设备更新问题以及生产过程最优控制问题等，是经济管理中一种重要的决策技术。
许多规划问题用动态规划的方法来处理,常比线性规划或非线性规划更有效。
特别是对于离散的问题，由于解析数学无法发挥作用，动态规划便成为了一种非常有用的工具。
动态规划可以按照决策过程的演变是否确定分为确定性动态规划和随机性动态规划；也可以按照决策变量的取值是否连续分为连续性动态规划和离散性动态规划。
本教材主要介绍动态规划的基本概念、理论和方法,并通过典型的案例说明这些理论和方法的应用。
6.1动态规划的基本理论6.1.1多阶段决策过程的数学描述有这样一类活动过程,其整个过程可分为若干相互联系的阶段，每一阶段都要作出相应的决策,以使整个过程达到最佳的活动效果。
任何一个阶段(stage ，即决策点)都是由输入(input ）、决策（decision ）、状态转移律（transformation function )和输出(output )构成的，如图6-1（a ）所示.其中输入和输出也称为状态(state ）,输入称为输入状态，输出称为输出状态。
运筹学额 第6章：动态规划
当指标函数满足 Vk , n v j ( s j ,u j ) 时，有：
n
f k (sk ) opt
uk Dk ( sk )
vk (sk , uk ) f k 1 (sk 1 )
j k
动态规划的求解有两种基本方法：逆序解法和顺序解法。 若寻优方向与实际行进方向相反，即从最后一阶段开始计 算，逐段前推，求得全过程的最优解，则称为逆序解法。 若寻优方向与实际行进方向相同，计算时从第一阶段开始 向后递推，计算后一阶段要用到前一阶段的结果，最后一阶段 的结果就是全过程的最优结果，则称为顺序解法。
下面我们用例6-4来说明顺序解法。 将求s至t的最短路问题视为一个四阶段决策问题，设： sk ——第k阶段的初始状态。 sk+1 ——第k阶段的终止状态。
uk ——第k阶段选择的路线。状态转移方程：sk＝uk(sk+1)
vk(sk+1，uk)——第k阶段选择路线uk时增加的距离，即从初 始状态sk到sk+1的距离。
【例6-2】设备更新问题。企业在使用设备时都要考虑设备 的更新问题，因为设备越陈旧所需的维修费用越多，但购买新 设备则要一次性支出较大的费用。现某企业要决定一台设备未 来8年的更新计划，已预测了第j 年购买设备的价格为Ki，设Gj 为设备经过j年后的残值，Cj为设备连续使用j-1年后在第j年的 维修费(j=1，2，…，n)，问应在哪些年更新设备可使总费用 最小。 【例6-3】投资决策问题。某公司现有资金Q万元，在今后5 年内考虑给A、B、C、D四个项目投资，这些项目投资的回收期 限、回报率均不相同，问该公司应如何确定这些项目每年的投 资额，使到第5年年末拥有资金的本利总额最大。这是一个5阶 段决策问题。
j k
运筹学第6章new
6.1 动态规划问题与数学模型
动态规划是运筹学的一个重要的分支，它是 一种将复杂的多阶段决策问题转化为一系列比较 简单的最优化问题的方法，它的基本特征是优化 过程的多阶段性。
动态规划是一种用于处理多阶段决策问题的数 学方法，主要是先将一个复杂的问题分解成相互 联系的若干阶段，每个阶段即为一个子问题，然 后逐个解决，当每个阶段的决策确定之后，整个 过程的决策也就确定了，阶段一般用时间段来表 示，这就是动态的含义，把这种处理问题的方法 称为动态规划方法。
⒉状态(state):状态表示在任一阶段所处的 位置,通常一个阶段有若干个状态，它既是 某阶段过程演变的起点，又是前一阶段某种
决策的结果。
描述状态的变量称为状态变量,第k阶段的 状态变量用 sk 表示.状态变量取值的全体称 为状态空间或状态集合，记为Sk. 对于n个阶 段的决策过程有n+1个状态变量。
在实际生活中尚有许多不包含时间因素的 一类静态决策问题，就其本质而言是一次决 策问题，是非动态决策问题，但可以人为地 引入阶段的概念作为多阶段决策问题，并应 用动态规划方法加以解决。
资源分配问题便属于这类静态问题。
如：某工业部门或公司，拟对其所属 企业进行可用资源分配，为此需要制定出 收益最大的资源分配方案。
sk+1=Tk（sk，xk） 这种表示从第k阶段到第k+1阶段状态转移规律的 方程称为状态转移方程，它反映了系统状态转移的递
推规律。例如例1中，上一阶段的决策就是下一阶段 的状态，所以状态转移方程为：
sk+1= xk（sk）
⒍指标函数(index function):指标函数是用来衡 量实现过程优劣的一种数量指标.它是从状态 sk 出发至过程最终,当采取某种策略时,按预定标准 得到的效益值,这个值既与 sk 有关,又与 sk 以 后所选取的策略有关,它是两者的函数,称为过程 指标函数,记为 Vk,n (sk , xk , sk1, xk1, , sn ). 特别地,仅第k阶段的指标函数,可记为 vk (sk , xk )
管理运筹学 第6章 目标规划
目标规划问题及模型
∵正负偏差不可能同时出现，故总有：
x1－x2+d--d+ =0
若希望甲的产量不低于乙的产量，即不希望d->0,用目标约束可
表为:
min{d }
x1
x2
d
d
0
若希望甲的产量低于乙的产量，即不希望d＋>0,用目标约束可
表为:
min{d }
x1
x2
d
d
0
若希望甲的产量恰好等于乙的产量，即不希望d＋>0,也不希望
2x1 2x2 12
s.t
4
x1 x1
2x2
8 16
4x2 12
x1 , x2 0
其最优解为x1＝4，x2＝2，z＊＝14元
目标规划问题及模型
但企业的经营目标不仅仅是利润，而且要考虑多个方面，如： (1) 力求使利润指标不低于12元； (2) 考虑到市场需求，甲、乙两种产品的生产量需保持1:1的比
标决策的需要而由线性规划逐步发展起来的一个分支。 由于现代化企业内专业分工越来越细，组织机构日益复
杂，为了统一协调企业各部门围绕一个整体的目标工作，产 生了目标管理这种先进的管理技术。目标规划是实行目标管 理的有效工具，它根据企业制定的经营目标以及这些目标的 轻重缓急次序，考虑现有资源情况，分析如何达到规定目标 或从总体上离规定目标的差距为最小。
min Z = f（ d ++ d - ）
（2） 要求不超过目标值，但允许达不到目标值，即只有使 正偏差量要尽可能地小（实现最少或为零）
min Z = f（ d +）
目标规划问题及模型
例1. 某企业计划生产甲，乙两种产品，这些产品分别要在 A,B,C,D四种不同设备上加工。按工艺文件规定，如表所示。
运筹学课件--动态规划
初始状态s1是T(3,3)
结束状态sn是 T(0,0)
可达状态有哪些?(3,J) (2,2) (1,1) (0,J) J 3 2 1 0
2013-6-9
A
1
运筹学课件
2
3
I
阶段指标——每阶段选定决策xk后所产生的效益，记
vk= vk(Sk， xk)。
指标函数——各阶段的总效益，记相应于Pkn的指标函数
2013-6-9 运筹学课件
动态规划模型的分类： 以“时间”角度可分成：
离散型和连续型。
从信息确定与否可分成：
确定型和随机型。
从目标函数的个数可分成： 单目标型和多目标型。
2013-6-9 运筹学课件
8.2基本概念与方程
1.基本概念
阶段（Stage）——分步求解的过程，用阶段变量k表示，k=1，，n 状态（State）——每阶段初可能的情形或位置，用状态变 量Sk表示。 按状态的取值是离散或连续，将动态规划问题分为
当 k 3，f Max f v
3 0
3 3
3
4
Max 3x 5s 13.6(0.9s 0.2x )
0
3 3
3
3
3
3
Max 0.28x 17.24s
0
3 3
3
3
x s , f 17.52s ,即第3年初将全部完好机器都 投入高负荷。
指标函数vkn=
v
5
表示第k至5年的总产量；
1
递推公式：f Max f v
6
f 0, k 5, ,1
2013-6-9
运筹学课件
运筹学课件 第六章 动态规划
求解规划问题可从最终阶段逐步推至最初阶段或从 最初阶段逐步推至最终阶段，我们称前者为逆序解 法，称后者为顺序解法。
动态规划的基本方程（逆序法）：
fk (sk) = opt { wk(sk,uk )⊙ f k+1(sk+1) }
fn+1(sn+1) = φ(sn+1) f k ( sk) — 从第k阶段状态sk到终点的最优效益值
fk (sk+1)=max { vk(xk ) + f k-1(sk) }
f0(x1)=0
0
0
0
0
0
17 14
1
0
3
14
4
01
5
15
01
8
12
7
11
4
8
5
0 10 2 0
20
29
4
4
7
13
7
5
11
8
6
16 3 0
4
30
5
3
0 18
40
40
4
连续型动态规划问题的求解
例:某公司有资金10万元，若投资于项目i的投资额 为xi（i = 1 , 2 , 3)时，其收益分别为 g 1(x1)=2 x12, g 2 ( x 2 ) = 9 x2 , g 3 ( x 3 ) = 4 x3, 问应如何分配投资
第六章 动态规划
6.1 引言 6.2 最优化原理及基本概念 6.3 应用举例
例 6.1
多阶段决策过程最优化
多阶段决策过程，是指一类特殊的过程，它们可以按 时间顺序分解成若干个相互联系的阶段，称为“时段”， 在每个时段都要做决策，全部过程的决策是一个决策序列。 多阶段决策问题也称为序贯决策问题。
运筹学教案动态规划
运筹学教案动态规划一、引言1.1 课程背景本课程旨在帮助学生掌握运筹学中的动态规划方法，培养学生解决实际问题的能力。
1.2 课程目标通过本课程的学习，学生将能够：（1）理解动态规划的基本概念和原理；（2）掌握动态规划解决问题的方法和步骤；（3）能够应用动态规划解决实际问题。
二、动态规划基本概念2.1 定义动态规划（Dynamic Programming，DP）是一种求解最优化问题的方法，它将复杂问题分解为简单子问题，并通过求解子问题的最优解来得到原问题的最优解。
2.2 特点（1）最优子结构：问题的最优解包含其子问题的最优解；（2）重叠子问题：问题中含有重复子问题；（3）无后效性：一旦某个给定子问题的解确定了，就不会再改变；（4）子问题划分：问题可以分解为若干个子问题，且子问题之间是相互独立的。
三、动态规划解决问题步骤3.1 定义状态状态是指某一阶段问题的一个描述，可以用一组变量来表示。
3.2 建立状态转移方程状态转移方程是描述从一个状态到另一个状态的转换关系。
3.3 确定边界条件边界条件是指初始状态和最终状态的取值。
3.4 求解最优解根据状态转移方程和边界条件，求解最优解。
四、动态规划应用实例4.1 0-1背包问题问题描述：给定n个物品，每个物品有一个重量和一个价值，背包的最大容量为W，如何选择装入背包的物品，使得背包内物品的总价值最大。
4.2 最长公共子序列问题描述：给定两个序列，求它们的最长公共子序列。
4.3 最短路径问题问题描述：给定一个加权无向图，求从源点到其他各顶点的最短路径。
5.1 动态规划的基本概念和原理5.2 动态规划解决问题的步骤5.3 动态规划在实际问题中的应用教学方法：本课程采用讲授、案例分析、上机实践相结合的教学方法，帮助学生深入理解和掌握动态规划方法。
教学评估：课程结束后，通过课堂讨论、上机考试等方式对学生的学习情况进行评估。
六、动态规划算法设计6.1 动态规划算法框架介绍动态规划算法的基本框架，包括状态定义、状态转移方程、边界条件、计算顺序等。
运筹学第六章 动态规划
f
3
(C
2
)
min
((CC22,,DD21
) )
f f
4 4
( (
D1 D2
) )
6 5
11
min
5
2
min
7
7
最优决策C2 D2
15
f3(C1)=8
2
A5
1
B1 12 14
10
6
B2 10
4 13
B3
12 11
C1
3
9
f3(C2)=7
6
C2
5 8
C3
10
f4(D1)=5
D1
5 f5(E)=0
B1 12 14
2 f2(B2)=110 4
6
5
B2 10
4
1
13
B3
12 11
f2(B3)=19
f3(C1)=8
C1
3
9
f3(C2)=7
6
C2
5 8
C3
10
f3(C3)=12
f4(D1)=5
D1
5 f5(E)=0
E
D2 2
f4(D2)=2
状态 最优决策 状态 最优决策 状态 最优决策 状态 最优决策 状态 A （ A，B2） B2 （B2，C1） C1
22
f1(A)=19
A
f2(B1)=21
B1 12 14
2 f2(B2)=110 4
6
5
B2 10
4
1
13
B3
12 11
f2(B3)=19
f3(C1)=8
C1
3
9
运筹学第六章 动态规划
第六章 动态规划主要内容：1、动态规划的基本概念2、动态规划的最优性原理和基本方程3、动态规划的模型及其应用重点与难点：动态规划的状态转移方程、基本方程；动态规划的建模思路与方法；运用递推原理确定最优解的方法与技巧。
要 求：理解动态规划的基本概念，掌握动态规划的建模步骤和求解方法，能够创造性地建立数学模型，并能运用动态规划方法解决实际问题。
§1 动态规划的基本概念例1 最短线路问题。
给定一个运输网络（如图），两点之间的数字表示两点间的距离，试求一条从A 0到A 4的运输线路，使总距离为最短?1、阶段对于一给定的多阶段过程，恰当地分为若干个相互联系的阶段，以便能按一定的次序去求解。
描述阶段的变量称为阶段变量，常用K 表示。
1）阶段数固定的问题称为定期多阶段决策问题；如例1，可分为四个阶段。
2）阶段数不固定的问题称为不定期多阶段决策问题。
如2、状态状态表示某阶段的出发位置。
它既是某阶段过程演变的起点，又是前一阶段决策的结果。
例1中，第一阶段有一种状态即A 0点，第二阶段有三个状态，即点集合{A 1，B 1，C 1}，一般第K 阶段的状态就是第K 阶段所有始点的集合。
描述过程状态的变量称为状态变量。
第K 阶段的状态变量，记为k x 。
3、决策决策表示当过程处于某一阶段的某个状态时，可以作出不同的决定（或选择），从而确定下一阶段的状态，这种决A 0A 1B 1C 1A 2B 2C 2B 3A 3A 420 40 3070 5030 2040 40 1050 10 4060 3030 3030 40B ACDE4 724 2621 1定称为决策。
描述决策的变量称为决策变量，常用)(k k x u 表示处于状态k x 时的决策变量，它是状态变量的函数。
如： 21A B → ， 记为()212A B U =决策变量可取值的全体，称为允许决策集合。
常用()k k x D 表示状态k x 的允许决策集合。
运筹学课程动态规划课件
5 A
3
1 B1 3
6
8 B2 7
6
C1 6 8
3 C2 5
3 C3 3
84 C4
2 D1
2
D2 1 2
3 D3
3
E1 3
5 5 E2 2
6 6
E3
F1 4
G 3 F2
1
2
3 4 运筹学课程动态规划
5
6
7
示例5（生产与存储问题）：
某工厂生产并销售某种产品。已知今后四个月市场需求 预测及每月生产j个单位产品的费用如下：
上一个阶段的决策直接影响下一个阶段的决策
运筹学课程动态规划
8
示例6（航天飞机飞行控制问题）：
由于航天飞机的运动的环境是不断变化的，因 此就要根据航天飞机飞行在不同环境中的情况， 不断地决定航天飞机的飞行方向和速度（状态）， 使之能最省燃料和实现目的（如软着落问题）。
运筹学课程动态规划
9
所谓多阶段决策问题是指一类活动过程，它可以分为若 干个相互联系的阶段，在每个阶段都需要作出决策。这 个决策不仅决定这一阶段的效益，而且决定下一阶段的 初
1 6
C3
D1
10
E
D2
6
运筹学课程动态规划
12
以上求从A到E的最短路径问题，可以转化为四个性质完
全相同，但规模较小的子问题，即分别从 Di 、 Ci 、Bi、
A到E的最短路径问题。
第四阶段：两个始点 D 1 和 D 2 ，终点只有一个；
本阶段始点 （状态）
D1 D2
本阶段各终点（决策） E 10 6
cj30j
j0 j1,2,6
月1 2 3
4
需求 2 3 2
《管理运筹学》演示(动态规划)
动态规划
C1 6
(最短路问题)
1
B1 3 6
8 3
2
D1 2 E1 5 E2
3
5 F1 4
5
A
C2
5 D2 1 2 3
2
G
3
k=1 fu (A) = = 18 B1 1 1(A)
8 7
B2 6
C3
8
3
3 D3 3
6
E3 6 F2
3
k=4 k=2 C4 (D =7 7 ff ))= k = 3 4(D 1 4 1 f2 13 u4(D1)=E2 u 1 2(B1 2 1) = C2 f (C1)=D ) = 13 ff (D u 33(C2 =6 6 ))= 1 4 (D 2 4 2 f2 (B2 ) = 16 f (C ) = 10 2 2 3 2 (D =8 8 ff (D ))= 44 33 A f B C D E (C ) = 9 2 1 2 3 13 G 1 2 4 f3 (C4) =312
动态规划(基本概念)－5 状态转移方程
状态转移方程描述了过程由一个状态向另一个状态
转移规律或者说演变规律。也就是说，如果给定第k阶 段状态变量sk的值，该阶段的决策变量uk也确定，那么， 第 k+1 阶段的状态变量 sk+1 的值也就完全确定，这种状 态之间的对应关系，称为状态转移方程，记为，
sk+1=T(sk,uk)
动态规划(基本概念)－4 策略 允许策略集合 全(子)过程策略 最优策略 由一系列决策所构成的决策序列，称为一个策略。 从第1阶段到第n阶段的决策序列,则称为一个全过程 策略；用P1,n(s1)={ u1(s1), u2(s2), … un(sn) }. 若决策序列是从第 k 阶段到第 n 阶段 , 则称为 k 子过程 策略；用Pk,n(sk)={ uk(sk), uk+1(sk+1),…un(sn) }. 在实际问题中，存在着许多不同的策略，这些可供 选择的策略范围，称为允许策略集合，用P表示。 在允许策略集合中，使问题达到最优效果的策略， 称为最优策略，用P1,n*。 如在上例中，从 A 到 E 共有 18 种策略，最优策略只有 一个，即A→B2→C1→D1→E。
运筹学中的动态规划原理-教案
运筹学中的动态规划原理-教案一、引言1.1动态规划的基本概念1.1.1动态规划的定义：动态规划是一种数学方法，用于求解多阶段决策过程的最优化问题。
1.1.2动态规划的特点：将复杂问题分解为简单的子问题，通过求解子问题来得到原问题的最优解。
1.1.3动态规划的应用：广泛应用于资源分配、生产计划、库存控制等领域。
1.2动态规划的基本原理1.2.1最优性原理：一个最优策略的子策略也是最优的。
1.2.2无后效性：某阶段的状态一旦确定，就不受这个状态以后决策的影响。
1.2.3子问题的重叠性：动态规划将问题分解为子问题，子问题之间往往存在重叠。
1.3动态规划与静态规划的关系1.3.1静态规划：研究在某一特定时刻的最优决策。
1.3.2动态规划：研究在一系列时刻的最优决策。
1.3.3动态规划与静态规划的区别：动态规划考虑时间因素，将问题分解为多个阶段进行求解。
二、知识点讲解2.1动态规划的基本模型2.1.1阶段：将问题的求解过程划分为若干个相互联系的阶段。
2.1.2状态：描述某个阶段的问题情景。
2.1.3决策：在每个阶段，根据当前状态选择一个行动。
2.1.4状态转移方程：描述一个阶段的状态如何转移到下一个阶段的状态。
2.2动态规划的基本算法2.2.1递归算法：通过递归调用求解子问题。
2.2.2记忆化搜索：在递归算法的基础上，保存已经求解的子问题的结果，避免重复计算。
2.2.3动态规划算法：自底向上求解子问题，将子问题的解存储在表格中。
2.2.4动态规划算法的优化：通过状态压缩、滚动数组等技术，减少动态规划算法的空间复杂度。
2.3动态规划的经典问题2.3.1背包问题：给定一组物品，每种物品都有自己的重量和价值，求解在给定背包容量下，如何选择物品使得背包中物品的总价值最大。
2.3.2最长递增子序列问题：给定一个整数序列，求解序列的最长递增子序列的长度。
2.3.3最短路径问题：给定一个加权有向图，求解从源点到目标点的最短路径。
运筹学-第6章动态规划
f2(B1)=20
f3(C1)=8
12 14
B1
f1(A)=19
2 5 10 f2(B2)=14 6
C1
f3(C2)=7
9 6
3
f4(D1)=5
D1
5
f5(E)=0
A
B2
4 13
10
C2
5 8
E D2
f4(D2)=2
2
1
B3
f2(B3)=19
12
11
C3
f3(C3)=12
10
状态 最优决策 状态 最优决策 状态 最优决策 状态 最优决策 状态 A （ A，B2） B2 （B2，C1） C1 （C1，D1） D1 （D1，E） E 从A到E的最短路径为19，路线为A→B 2→C1 →D1 →E
2018/8/17
3
6.1 多阶段决策过程及其问题举例
动态规划研究的问题-----多阶段决策问题（顺序决策问题）
研究的问题可以在时间或空间上划分为若干个相互联系 阶段，称为”时段”。 在每一个时段都需要做出决策,每时段的决策将影响到
下一时段的决策, 因此决策者每段决策时, 不仅要考虑 本阶段目标最优,还应考虑最终目标的最优, 最终达到整 个决策活动的总体目标最优.
离散确定型
离散随机型
连续确定型 连续随机型
其中离散确定性是最基本的, 本章主要介绍这种类型的问题,介 绍动态规划的基本思想、原理和方法.
2018/8/17 2
本章主要内容
多阶段决策过程及其问题举例
最短路问题
动态规划的基本概念和基本方程
动态规划应用举例
运筹学概论 第6章 动态规划
越陈旧所需的维修费用越多，但购买新设备则要一次性支出
较大的费用。现某企业要决定一台设备未来8年的更新计划， 已预测了第 j 年购买设备的价格为 Kj，设 Gj 为设备经过 j 年后 的残值，Cj为设备连续使用j-1年后在第j年的维修费(j＝1， 2，…，8)，问应在哪些年更新设备可使总费用最小。
这是一个8阶段决策问题，每年年初要作出决策，是继续
过程中,总可以按照时间（也可人为引入）进程分为状态相
互联系而又相互区别的各个阶段； （2）整个活动过程总体效果最优。各时段决策有机联 系，上阶段影响下一阶段决策，进而影响总体。每个阶段 都要进行决策,但最终要使整个过程的决策达到最优效果。
动态规划问题的特点：
1、系统所处的阶段和状态是进行决策的重要因素； 2、在系统发展的不同时刻（或阶段）根据系统所处的状态，
3. 决策、决策变量
过程的某一阶段、 某个状态, 可以做出不同的决定(选择), 下一阶段的状态，这种决定称为决策。 决定
描述决策的变量，称为决策变量。常用 u k (sk ) 表示第 k 阶段当状态 为sk 时的决策变量。 决策变量是状态变量的函数。 在实际问题中决策变量的取值往往在某一范围之内，此范围称为允许 决策集合。常用 Dk(sk) 表示第 k 阶段从状态sk出发的允许决策集合。
sk Sk
2 4
C1 C2 C3
8 4
5 8 5 3 4 4
B1
3 6 8 7 7
D1 D2 D3
3 6 2 1 5
E1 E2
4 3
A
5
F
B2
3
C4 1 2
3
4
5
在例2中，第一阶段状态为A，第二阶段则有二个状态：Bl，B2。状 态变量s1的集合 S1 A ，后面各段的状态集合分别是：
动态规划(运筹学讲义).
)
min
d d
( (
E2 E2
, ,
F1) F2 )
f6 (F1) f6 (F2 )
min
5 2
4 3
5
u*5 (E2 )= F2
f5
(E3
)
min
d d
( (
E3 E3
, ,
F1) F2 )
f6 (F1) f6 (F2 )
min
fk
(sk
)
opt
uk Dk ( sk
)
vk (sk ,uk ) fk1(sk1)
fn1(sn1) 0
k=n, n 1, ,1
(8.4a) (8.4b)
Opt 可根据题意取 min 或 max
11
动态规划的基本思想如下：
（1）动态规划方法的关键在于正确写出基本递推关系式和恰当的边界条 件，因此必须将多阶段决策过程划分为n个相互联系的阶段，恰当地选取 状态变量、决策变量及定义最优指标函数，从而把问题化为一族同类型 的子问题，然后逐个求解 （2）求解时从边界条件开始，逆（或顺）过程逐段递推寻优。在每一个 子问题求解中，均利用了它前面子问题的最优结果，最后一个子问题的 最优解，就是这个问题的最优解。 （3）动态规划方法既把当前阶段与未来阶段分开，又把当前效益和未来 效率结合，因此每段的最优决策选取是从全局来考虑。 （4）在求这个问题的最优解时，由于初始状态是已知，而每阶段的决策 都是该段状态的函数，故最优策略所经过的各各阶段状态可逐次变换得 到，从而确定最优路线。
量最高。
决策
决策
决策
第6章目标规划管理运筹学
目标规划的正式提出
目标规划（Goal Programming）:是针对线性规划目标单一 的局限性而提出的，是线性规划的应用拓展，是解决实际问题 的一种方法。线性规划是研究资源有效分配和利用，其特点是 在满足一组约束条件的情况下，寻求某一个目标的最大值或最 小值。而在现实社会中，经常遇到需要考虑多个目标的优化问 题。目标规划与传统方法不同，它强调了系统性，其方法在于 寻找一个“尽可能”满足所有目标的解，而不是绝对满足这些 目标的值。
根据背 景材料 列出全 部约束 不等式
目标 约束
系统 约束
xj ≥0 d±≥0
“≥”min{d-} “≤”min{d+} “=”min{d-+d+}
左端+ d－－d+=右端
确定优先 级和权系 数,构造目 标偏差最 小的目标 函数
约束 条件
目标 规划 数学 模型
管理运筹学 第6章 目标规划
例6-1
已知某实际问题的线性规划模型 为：
目标规划有着极大的灵活性，表现在它可以模拟系统的约束和 目标优先等级变化的各种模型，为管理决策提供众多的信息。 解决目标规划问题首先要根据目标的重要性分清主次先后、轻 重缓急，引入偏差变量，将目标按等级转化为目标约束，最终 形成可用线性规划方法解决的问题。
管理运筹学 第6章 目标规划
目标规划的正式提出
（2）据市场预测，I、II两种产品 需求量的比例大致是1:2；
（3）A为贵重设备，严格禁止超时 使用；
（4）设备C可以适当加班，但要控 制；设备B既要求充分利用，又尽可 能不加班，在重要性上设备B是C的 3倍。
综合考虑上述因素，企业应如何决 策？这里本章所要讨论的问题。
管理运筹学 第6章 目标规划
运筹学课件：第六章 动态规划
8 8
7 6
14
f3 (C3 )
min
8 8
f4 f4
(D2 (D3
) )
min
8 6 8 8
14
f3(C4 ) 9 f4 (D3) 9 8 17
u3*(C1) D1 u3*(C2 ) D2 u3*(C3 ) D2 u3*(C4 ) D3
所以最优策略为：
u1 *(A) B1,u2 *(B1) C2,u3 *(C2 ) D2,u4 *(D2 ) E
策集合Dk(sk)； 写出状态转移方程sk+1=Tk(sk,uk)。 定义阶段效益函数和效益函数，按照动态规划基
本方程寻求最优策略。
动态规划求解连续问题
例6.4 用动态规划方法求解
min z x12 x22 x32 x42
s.t.
x1 xi
x2 0
x3
x4
12
解：首先将问题划分为4个阶段，第i个阶段决策变量xi的取值;
min f4(s4)
{x42} s42
x4 s4
*
x4 s4
当k=3时
min f3(s3)
{x32 f4 (s4 )}
min x3s3 {x32 s42}
min x3s3 {x32 (s3 x3 )2}
x3 s3
1 2
s32
x3
*
1 2
s3
动态规划求解连续问题
当k=2时
min f2(s2)
4、策略： 由决策组成的序列称为策略。
p 1 , n { u 1(s 1) , u 2(s 2) , … , u n(s n) } 允许策略集合：P1 , n 最优策略： p* 1 , n
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• 状态转移方程：sk+1 =T(sk, xk(sk))
下一阶段状态sk+1 是本阶段状态sk 和决策xk的函数
sk+1 =T(sk, xk(sk)) =T(sk, xk)
状态sk演进到下一阶段状态sk+1的转移规律称状态转移方程
11
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第二节 动态规划原理
一、动态规划的基本概念
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第一节 多阶段决策
一、多阶段决策问题
在生产经营活动中，某些问题决策过程可以划分为若 干相互联系的阶段，每个阶段需要做出决策，从而使 整个过程取得最优。由于各个阶段不是孤立的，而是 有机联系的，也就是说，本阶段的决策将影响下一阶 段的发展，从而影响整个过程效果，所以决策者在进 行决策时不能够仅考虑选择的决策方案使本阶段最优， 还应该考虑本阶段决策对最终目标产生的影响，从而 做出对全局来讲是最优的决策。当每个阶段的决策确 定以后，全部过程的决策就是这些阶段决策所组成的 一个决策序列，所以多阶段决策问题也称为序贯决策 问题。
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9
第二节 动态规划原理
一、动态规划的基本概念
• 阶段变量：k
将决策全过程按时空顺序划为若干阶段 用k表示阶段变量，阶段编号为顺序编号
• 状态变量：sk(i)
状态表示过程发展中某阶段的起始状况 描述各阶段状态演进的变量，称为状态变量，用Sk表示 • 第 k 阶段可能有若干状态，用Sk 表示阶段k的状态集合 • sk(i)表示第k阶段的第 i 个状态 选取的状态变量必须满足无后效性
4 4
1 1 f4 (S4 ) min{v4 (S4 , ST ) f5 (S5 )} min{3 0} 3 x 4D 4
2 2 f4 (S4 ) min{v4 (S4 , ST ) f5 (S5 )} min{4 0} 4 x 4D 4
* 1 x4 ( S4 ) ST
3 S33
1 (S4 , 6)4Fra bibliotek4S32
3
(ST , 4)
( S32 ,8)
供 应 商
18
阶段1
出 口 港
阶段2
进 口 港
阶段3
城 市
阶段4
某 公 司
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第三节 逆序求解过程
二、递推算法
{v4 [ S 4 , x4 ( S 4 )] f 5 ( S5 )} ，即有 当k=4时，f 4 (S4 ) xOpt D
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积
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解多阶段决策过程问题，求出
最优策略，即最优决策序列
{x , x ,, x }
最优轨线，即执行最优策略时的状态序列
* 1
* 2
* n
{ s , s ,, s }
最优目标函数值
* 1
* 2
* n
f 1 ( s1 )
* * * * * * 从 k 到终点最优策略 V V ( s , x , , s , x 1,n 1,n 1 1 n n)
子策略的最优目标函数值
f s opt v s , x
k k
x
k
,,
x n
k ,n
k
k
,, s n 1
16
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第二节 动态规划原理
三、动态规划的数学模型
动态规划建模过程 对问题进行阶段划分，确定阶段变量k 确定状态变量sk 确定决策变量xk 、允许决策集合Dk (sk ) 写出状态转移方程sk+1 =Tk (sk,xk) 写出指标函数的基本递推方程 明确边界条件
3
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第一节 多阶段决策
二、多阶段决策问题举例
例1 工厂生产过程：由于市场需求是一随着时间而变化的
因素，因此，为了取得全年最佳经济效益，就要在全年的
生产过程中，逐月或者逐季度地根据库存和需求情况决定 生产计划安排。
4
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第一节 多阶段决策
例2 设备更新问题：一般企业用于生产活动的设备， 刚买来时故障少，经济效益高，即使进行转让，处 理价值也高，随着使用年限的增加，就会逐渐变为 故障多，维修费用增加，可正常使用的工时减少， 加工质量下降，经济效益差，并且，使用的年限越 长、处理价值也越低，自然，如果卖去旧的买新的， 还需要付出更新费。因此就需要综合权衡决定设备 的使用年限，使总的经济效益最好。
案。这种问题原本要求一次确定出对各企业的资 源分配量，它与时间因素无关，不属动态决策， 但是，我们可以人为地规定一个资源分配的阶段 和顺序，从而使其变成一个多阶段决策问题。
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第一节 多阶段决策
例4 有供应商要运输一批货物去公司,试求一条运输路径最短。
S12 2 S1 7 4 3 4 3 4 5 1 5
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12
第二节 动态规划原理
二、动态规划的基本思路
• 最优性原理：美国运筹学家贝尔曼提出
无论过去的状态和决策如何，对前面的决策所形成的状态而言， 余下的诸决策必须构成最优策略。即一个最优策略的子策略也 是最优的。
• 逆序算法：逆着阶段顺序的方向，由后向前推算。
各阶段求解都是在后部子过程最优策略基础上，再考虑本阶段 的指标函数，求出本阶段的最优策略。
“静态”决策问题，就其本质而言是一次决策问题，是非动
态决策问题，但是也可以人为地引入阶段的概念当作多阶段 决策问题，应用动态规划方法加以解决。
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第一节 多阶段决策
例3 资源分配问题：便属于这类静态问题。如：
某工业部门或公司，拟对其所属企业进行稀缺资
源分配，为此需要制定出收益最大的资源分配方
第6章 动态规划
学习要点 Sub title
理解多阶段决策问题的基本特征和阶段划分
区分阶段变量、状态变量、决策变量的含义 理解过程决策、状态方程、指标函数的表述 理解动态规划的最优性原理和状态无后效性 了解动态规划逆序求解思路和递推求解方法
1
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第6章 动态规划
效益
f (s ) optV (s , x ,, s
k k k ,n k k
n 1
)
可递推
Vk ,n (sk , xk , sk 1 , xk 1 ,, sn1 )
Vk ( sk , xk ) *Vk 1, n (sk 1 , xk 1 , , sn1 )
指标函数形式: 和、
2 1 1 6 3 v3 ( S3 , S 4 ) f 4 ( S 4 ) f3 ( S ) min min 7 2 2 2 3 4 v3 ( S3 , S4 ) f 4 ( S4 ) 2 3
* 2 x3 (S32 ) S4
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第二节 动态规划原理
一、动态规划的基本概念
• 决策变量：xk(sk)
变量xk(sk)表示阶段k状态sk的决策，称为决策变量，简记xk 决策变量取值被限制在某一范围内，称允许决策集合Dk(sk) 决策变量组成的序列，称为策略 • 全过程策略 p1,n(s1)= {x1, x2,…, xn} • k子过程策略 pk,n(sk)= {xk, xk+1,…, xn}
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第三节 逆序求解过程
一、逆序标号
3 ( S3 ,9) 1 (S4 ,5)
S12
1 ( S2 ,11) 2
7
4 3 4 3 4 5 1 5
S13
6
2 ( S4 ,7)
2
( ST , 3)
S14 3
S1
4 4
( S ,9)
1 3
S22
S2
6 3
(ST ,0)
3
ST S2
决 策 x1 状态S1 决 策 x2 状态S2 决 策 xk 状态S3 决 策 xk+1 状态Sk+1 决 策 xn
阶段1
阶段2
… 阶段k
阶段k+1
… 阶段n
v1
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v2
vk
vk+1
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vn
寻求最优解的方向
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第二节 动态规划原理
二、动态规划的基本思路
• 递推方程：
加法合成
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第一节 多阶段决策
特别注意：
动态规划求解的多阶段决策问题的特点： 适合于用动态规划方法求解的只是一类特殊的多 阶段决策问题，即具有“无后效性”的多阶段决 策过程。所谓无后效性，又称马尔柯夫性，是指 系统从某个阶段往后的发展，仅由本阶段所处的 状态及其往后的决策所决定，与系统以前经历的 状态和决策(历史)无关。比如国家政策的制定。
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小结: 无后效性 动态规划本质上是多阶段决策过程;
概念 : 阶段变量k﹑状态变量sk﹑决策变量xk; 方程 :状态转移方程 sk 1 Tk ( sk , xk ) 指标: Vk ,n Vk ,n (sk , xk , sk1 , xk1,, sn1 )
动态规划（Dynamic Programming）是运筹学的 一个重要分支，它是解决多阶段决策过程最优化 的一种方法。美国数学家贝尔曼（R. E. Bellman）等人在上世纪50年代初提出了解决多 阶段决策问题的“最优性原理”（Principle of Optimality）。1957年贝尔曼出版了专著“动态 规划”，该书是动态规划的第一本著作。目前动 态规划已经用于解决最优路径问题、资源分配问 题、生产调度问题、设备更新问题、复合系统可 靠性问题及生产过程最优控制等，并且取得了显 著的效果。