小学数学数学故事赌徒分钱问题
可能性
知识要点
可能性分为三种一定、不可能和可能。在一定 条件实验时，有的事件在每一次实验中一定 会发生，有的事件在每一次实验中不可能会 发生，有的事件在每一次实验中可能会发生。
请用“一定”、“可能”、“不可能”来判断下 列事件发生的可能性，并简要说明理由。 1. 地球每天都在转动。 （一 定）
2. 三天后下雨。
C D 偶然停在 不可能停在 黄色区域 黄色区域
谢谢！
3. 太阳从西边升起。
（可 能） （不可能）
4. 小方吃饭时用左手拿筷子。 （可 能） 5. 小明的年龄比他爸爸小。 （一 定）
还有一种可能性叫做概率
你认为抛硬币决定谁开球公平吗？
出现正面和 出现反面的 可能性是相 同的，都是 1/2 。
运用巩固：
（1）用转盘转出一个最大的四位数“9999”或是一个最小的
小故事——概率的起源
17世纪，法国有两个大数学家，一个叫帕 斯卡，一个叫费马。 帕斯卡认识两个赌徒，这 两个赌徒向他提出了一个问题。他们说，他俩 下赌金之后（12个金币），约定谁先赢满5局， 谁就获得全部赌金。赌了半天，A赢了4局，B 赢了3局，时间很晚了，他们都不想再赌下去了。 那么，这些赌金应该怎么分？
“0000”都不是一件容易的事，得到它的可能性为万分之 一(1/10000)。怎样设计一个转盘，仍然按照前面的游戏规 则，能使我们得到最大或最小的数的可能性都比较大呢？ （2）每人掷一个均匀的骰子，仿照上面游戏的做法，你得 到的四位数是什么？与课本中游戏得到的四位数有何不同， 并说出最小四位数与最大四位数，从游戏中得到最小四位 数与最大四位数的可能性大吗？你认为掷出5000以下的数
的可能性大吗？
桌子上摆着9张卡片，分别 写着1-9各数。如果摸到单数小 明赢，如果摸到双数小芳赢。
数学极限的小故事
数学极限的小故事在数学的世界里，极限是一个重要的概念。
它描述了一个数列、函数或序列在趋近于某个点或无穷时的行为。
这个概念虽然有些抽象，但可以通过一些小故事来帮助我们更好地理解。
故事一：银行家的故事一个银行家与一个赌徒打赌，赌注是100美元。
他们两人轮流掷骰子，每次掷骰子后，点数可以被6整除的那一局，赌徒都要给银行家1美元。
如果赌徒在掷出6点之前已经欠了银行家超过100美元，那么他就输掉了比赛。
现在，假设赌徒非常幸运，他连续掷出了三个6点。
这时，银行家问他：“你现在欠我多少钱？”赌徒回答说：“我已经欠你3美元了。
”但银行家却说：“不对，你已经欠我100美元了。
”这是因为当赌徒欠的钱达到100美元时，无论他接下来掷出什么点数，他都会输掉比赛。
因此，在这种情况下，赌徒的债务可以看作是“趋近于无穷大”，而银行家的收益则趋近于100美元。
这个故事告诉我们，在现实生活中，我们需要注意极限的概念，因为有时候事物会趋近于某个点或无穷大，这会对我们的决策产生重大影响。
故事二：赛车手的故事在一场赛车比赛中，一个赛车手在赛道上遥遥领先。
当比赛还剩下最后一圈时，他开始减速，准备庆祝胜利。
但这时，他的对手却突然加速并超过了他。
原来，对手在最后一圈时采用了更加激进的驾驶策略，因为他知道在数学上有一个极限叫做“慢动快转”，意思是说在完成比赛之前，你需要在赛道上保持较低的速度，然后在最后关头加速通过终点线。
这个故事告诉我们，极限的概念不仅存在于数学中，它还存在于现实生活中。
在竞争激烈的环境中，了解和利用极限的概念可以帮助我们更好地应对挑战。
故事三：医生和病人的故事一个医生给他的病人开了一剂药方，要求病人每天服用三次，每次两片。
几天后，病人回来复诊，表示药效不够明显。
医生问：“你按照我的要求每天服用三次，每次两片了吗？”病人回答说：“是的，我每天都按时服用。
”这时，医生拿出一盒药片给病人看，里面只剩下三片药了。
原来，这个病人的理解是每天服用三片药片，而不是每次服用两片。
数学故事
1.富翁打赌有两个富翁，一个头脑精明，一个吝啬刁钻。
贪财好利是他们的共同特点。
一天，两个富翁遇到了一起，双方争强好胜，话不投机，竟然打起赌来。
精明的富翁说：“我可以每天给你一万元，只收回你一分钱。
”吝啬的富翁以为对方吹牛皮，便说：“你若真的每天给我一万元，别说我给你1分，就是再给你一千我也干！”“不！”精明的富翁说，“条件只是第一天，你给我一分。
”“难道你第二天还要给我一万？”“是的”，精明的富翁说：“只是你第二天收了我的一万，要给我二分。
第三天……”没等精明的富翁说完，吝啬的富翁急切地问：“第三天你再给我一万，我给你……”“四分！就是说，我每天得到的钱都是前一天的两倍。
”吝啬的富翁心想：这家伙可能神经出了毛病，便问：“每天送我一万，这样下去，你的钱够送多少天呢？”“我是人人都知道的百万富翁。
”精明的富翁说：“我不打算都送给你，只拿出三十万，先送你一个月足够了。
但是你给我的钱也一个不能少！”嘿，还当真呢！吝啬的富翁说：“你敢签订协议吗？”“不签协议算什么打赌？”精明的富翁说：“咱们还要找几个公证人呢！”吝啬的富翁真是喜出望外。
于是他们签了协议，找来了几个公证人。
协议上写道：甲方每天给乙方一万元，乙方每天给甲方的钱数从一分开始，以后每天都是前一天的两倍。
双方持续时间为30天。
就这样，把手续办好了。
吝啬的富翁回到家，高兴得一夜没合眼，生怕对方反悔。
不料，天刚亮，对方提着一万元送上门来，按约定他给了对方一分钱。
第二天，对方仍然如约送来了一万元。
他简直像做梦一般，这样下去一个月，便可以有30万元的收入了！想着，想着，数钱的手都颤抖了！于是自己也如约给了对方2分钱。
对方高高兴兴地拿走了2分钱，还叮嘱“别忘了，明天给我4分钱！”话休繁叙，当吝啬的富翁拿到十万元时，精明的富翁只得到十元二角三分钱。
但是，他仍高高兴兴地每天如约送来一万。
可是，20多天以后，吝啬的富翁突然要求打赌终止。
对方以及一些证人当然不会同意，30天的时间已经过去大半了，任何一方都无权不执行协议。
小学数学 数学故事 阿凡提智斗财主巴依
阿凡提智斗财主巴依
有一天，正赶上贪婪狠毒的财主巴依在和老婆下棋的时候，阿凡提从他们的身边走过。
于是巴依就对阿凡提说：“你能不能猜到这盘没有下完的棋会是谁赢呢？你要是能够猜对，那我就赏给你一个元宝；可要是你猜错了，那我就必须打你50皮鞭才行。
”
听了巴依的话，阿凡提连想都没想就答应了他的条件。
于是，阿凡提向巴依要来一张纸，然后在上面写下了“你赢她输”这几个字。
巴依看到阿凡提已经这样写了，所以就故意把棋输给老婆，然后得意地对阿凡提说：“这回你猜错了吧，我可要打你50皮鞭了！”
谁知等到阿凡提把写在纸上面的字念了一遍后，财主巴依立刻就没话说了，只好把一个元宝交给了阿凡提那么，阿凡提是怎样让巴依输得无话可说的呢？。
你想知道答案吗？[ 聪明的阿凡提虽然的确是写下了“你赢她输”四个字，可他却没有为这四个字注上任何的标点，这样他就可以利用读四个字时的不同语气，来表示不同的意思了。
尽管财主巴依故意输给了自己的老婆，可阿凡提却把这四个字读成了：“你赢她？输！”于是，自以为聪明的巴依也就只好认输了。
]。
概率统计小故事
1.分赌本问题A 、B 二人赌博，各出注金a 元，每局每个人获胜的概率都是2/1，约定：谁先胜S 局，即赢得全部注金a 2元，现进行到A 胜1S 局、B 胜2S 局(1S 与2S 都小于S )时赌博因故停止，问此时注金a 2应如何分配给A 和B 才算公平？此问题文字上最早见于1494年帕西奥利的一本著作，是对6=S ，51=S 和22=S 的情况的分析.由于对“公平分配”一词的意义没有一个公认的正确理解，在早期文献中出现过关于此问题的种种不同的解法，如今看来都不正确.例如，帕西奥利本人提出按2:S S 1的比例分配.塔泰格利亚则在1556年怀疑能找到一种数学解法的可能性，他认为这是一个应由法官来解决的问题，但他也提出了如下的解法：若2S S 1>，则A 取回自己下的注a ,并取走B 下的注的S S S 1/)(2-，这等于按)(:)(22S S S S S S 11+--+的比例瓜分注金.法雷斯泰尼在1603年根据某种理由，提出按)12(:)12(22S S S S S S 11+---+-的比例分配.卡丹诺在其1539年的著作中，通过较深的推理提出了一种解法：记1S S r -=1，22S S r -=.把注金按)1(22+r r ：)1(11+r r 之比分给A 和B.他这个解法如今看来虽然仍不正确，但有一个重要之点，即他注意到起作用的是1S ,2S 与S 的差距，而不在其本身.这个问题的症结在于：它关乎各人在当时状况下的期望值.从以上这些五花八门的解法中，似乎可以认为，这些作者已多少意识到这一点，但未能明确期望与概率的关系.而与此处有关的是：假定赌博继续进行下去，各人最终取胜的概率.循着这个想法问题很易解决：至多再赌121-+=r r r 局，即能分出胜负.假如A 获胜，他在这r 局中至少须胜1r 局.因此按二项分布，A 取胜的概率为r r r i A i r p -=∑⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21，而B 取胜的概率为1B A p p =-.注金按B A p p :之比分配给A 和B ，因A ap 2和B ap 2是A 、B 在当时状态下的期望值.这个解是巴斯噶（B.Pascal, 1623～1662）在1654年提出的.他用了两种方法，其一是递推公式法，其二是用“巴斯噶三角”（即杨辉三角）.1710年，蒙特姆特在一封信中给出了我们在前面写出的解法，且不必规定二人的获胜概率相同.后来他又把此问题推广到多个赌徒的情形.分赌本问题在概率史上起的作用，在于通过对这个在当时来说较复杂的问题的探索，对数学期望及其与概率的关系，有了启示.有的解法，特别是巴斯噶的解法，使用或隐含了若干直到现在还广为使用的计算概率的工具.如组合法、递推公式、条件概率和全概率公式等.可以说，通过对这个问题的研究，概率计算从初期简单计数步入较为精细的阶段.2. 巴斯噶与费尔马的通信巴斯噶与费尔马(P. de Fermat ，1601～1665)的名字，对学习过中学以上数学的人来说，想必不陌生.巴斯噶三角，在我国称杨辉三角，中学教科书中已有提及.至于费尔马，因其“费尔马大定理”(不存在整数,,,≠xyx z y x xyz≠0和整数3≥n ，使n n n z y x =+) 于近年得到证明，名声更远播数学圈子内外.费尔马在数学上的名声主要因其数论方面的工作，其在概率史上占到一席地位，多少有些偶然——由于他与巴斯噶在1654年7～10月间来往的7封信件，其中巴致费的有3封.这几封信全是讨论具体的赌博问题.与前人一样，他们用计算等可能的有利与不利情况数，作为计算“机遇数”即概率的方法(他们没有使用概率这个名称).与前人相比，他们在方法的精细和复杂性方面大大前进了.他们广泛使用组合工具和递推公式，初等概率一些基本规律也都用上了.他们引进了赌博的值(value)的概念，值等于赌注乘以获胜概率.3年后，惠更斯改“值”为“期望”(expectation)这就是概率论的最重要概念之一——(数学)期望的形成和命名过程.前文已指出：此概念在更早的作者中已酝酿了一段时间.这些通信中讨论的一个重要问题之一是分赌本问题，还讨论了更复杂的输光问题：甲、乙二人各有赌本a 和b 元(a 、b 为正整数)，每局输赢1元，要计算各人输光的概率.这个问题拿现在的标准看也有相当的难度.由此也可看出这组通信达到的水平及其在概率论发展史上的重要性.有的学者，如丹麦概率学者哈尔德，认为巴、费2人在1654年的这些信件奠定了概率论的基础.这话有相当的道理，但也应指出，这些通信的内容是讨论具体问题，没有明确陈述并提炼出概率运算的原则性内容.例如，他们视为当然地使用了概率加法和乘法定理.但未将其作为一般原则凸现出来.促使巴、费2人进行这段通信的，是一个名叫德梅尔的人，他曾向巴斯噶请教几个有关赌博的问题.1564年7月29日巴斯噶首先给费尔马写信，转达了这些问题之一，请费尔马解决.所提问题并不难，但不知为何巴斯噶未亲自回答：将两颗骰子掷24次，至少掷出一个“双6”的机遇小于2/1（其值为4914.0)36/35(124≈-）.但从另一方面看，投两个骰子只有36种等可能结果，而24占了36的3/2，这似乎有矛盾，如何解释.现今学过初等概率论的读者都必能毫无困难地回答这个问题.巴、费通信中涉及的有关分赌本问题的解法，包含了一些在当时看很先进且直到现在仍广为使用的想法和技巧.3. 惠更斯的《机遇的规律》惠更斯是一个有多方面成就的、在当时声名与牛顿相若的大科学家.人们熟知他的贡献之一是单摆周期公式g l T /2π=.他在概率论的早期发展史上也占有重要地位，其主要著作《机遇的规律》出版于1657年，出版后得到学术界的高度重视，在欧洲作为概率论的标准教本长达50年之久.该著作的写作方式不大像一本书，而更像一篇论文.他从关于公平赌博(fair game)的值的一条公理出发，推出关于“期望”（这是他首先引进的术语）的3条定理.基于这些定理并利用递推法等工具，惠更斯解决了当时感兴趣的一些机遇博弈问题.最后，他提出了5个问题，对其中的3个给出了答案但未加证明.3条定理加11个问题，被称为惠更斯的14个命题.前3条如下述：命题1 若某人在赌博中以等概率2/1得a 、b 元，则其期望为2/)(b a +元.命题2 若某人在赌博中以等概率3/1得a 、b 和c 元，则其期望为3/)(c b a ++元.命题3 若某人在赌博中以概率p ,)1(=+q p q 得a 、b 元，则其期望为qb pa +元.看了这些命题，现代的读者或许会感到惶惑：为何一个应取为定义的东西，要当作需要证明的定理? 答案在于，这反映了当时对纯科学的一种公认的处理方法，即应从尽可能少的“第一原理”（first principle ，即公理）出发，把其他内容推演出来.惠更斯只从一条公理出发而导出上述命题，其推理颇为别致，此处不细述.这几个命题是期望概念的一般化.此前涉及或隐含这一概念只是相当于命题3中0=b 的特例，即注金乘取胜概率，因而本质上没有超出概率这个概念的范围.惠更斯的命题将其一般化，是这个重要概念定型的决定性的一步.实际上，据惠更斯的命题不难证明：若某人在赌博中分别以概率11,,(1)k k p p p p +=得k a a ,,1 元，则其期望为11k k p a p a ++.这与现代概率论教科书中关于离散随机变量的期望的定义完全一致.余下的11个命题及最后的5个问题，都是在形形色色的赌博取胜约定下，去计算各方取胜的概率，其中命题4～9是关于2人和多人的分赌本问题.对这些及其他问题，惠更斯都用了现行概率论教科书中初等概率计算方法，通过列出一定的方程求解，大体上与巴斯噶的做法相似.这种方法后来被伯努利称为“惠更斯的分析方法”.最后5个问题较难一些，其解法的技巧性也较强.现举其一为例：A 、B 二人约定按ABBAABBAABB …掷两颗骰子，即A 先掷一次，然后从B 开始轮流各掷两次.若A 掷出和为6点，则A 胜；若B 掷出和为7点，则B 胜.求A 、B 获胜的概率.A 在一次投掷时掷出和为6的概率36/5=A p ，而B 在一次投掷时掷出和为7的概率6/136/6==B p .记B B A A p q p q -=-=1,1，又记i e 为在第1i -次投掷完时A 、B 都未取胜，求在这一条件下A 最终取胜的概率.利用全概率公式，并注意到约定的投掷次序，可以列出方程组：14433221,,,e q p e e q e e q e e q p e A A B B A A +===+=.由此容易得出2122(1)10355(1)22631A A B A B p q q e q q +==-，略小于1/2.故此赌法对A 不利.机遇博弈在概率概念的产生及其运算规则的建立中，起了主导的作用.这一点不应当使人感到奇怪：虽说机遇无时不在，但要精确到数量上去考虑，在几百年前那种科学水平之下，只有在像掷骰子这类很简单的情况下才有可能.但这门学科建立后，既脱离赌博的范围又找到了多方面的应用.这也是一个有趣的例子，表明一种看似无益的活动(如赌博），可以产生对人类文明极有价值的副产物.把概率论由局限于对赌博机遇的讨论拓展出去的转折点和标志，应是1713年伯努利划时代著作《推测术》的出版，是在惠更斯的《机遇的规律》出版后56年.截至惠更斯这一著作为止，内容基本上限于掷骰子等赌博中出现各种情况的概率的计算，而伯努利这本著作不仅对以前的成果作了总结和发挥，更提出了“大数定律”这个无论从理论和应用角度看都有着根本重要性的命题，可以说其影响一直到今日而不衰.其对数理统计学的发展也有不可估量的影响，许多统计方法和理论都是建立在大数定律的基础上.有的概率史家认为，这本著作的出版，标志着概率概念漫长的形成过程的终结与数学概率论的开端.假定有一个事件A.根据某种理论，我们算出其概率为p A P =)(.这理论是否正确呢？一个检验的方法就是通过实际观察，看其结果与此论理论的推论——p A P =)(是否符合.或者，一开始我们根本就不知道)(A P 等于多少，而希望通过实际观察去估计其值.这些包含了数理统计学中两类重要问题——检验与估计.这个检验或估计概率p 的问题，是数理统计学中最常见、最基本的两个问题.要构造具体例子，最方便的做法是使用古典概率模型.拿一个缸子，里面装有大小、质地一样的球b a +个，其中白球a 个，黑球b 个.这时，随机从缸中抽出一球(意指各球有同等可能被抽出），则“抽出之球为白球”这事件A 有概率)/(b a a p +=.如果不知道a 、b 的比值，则p 也不知道.但我们可以反复从此缸内抽球(每次抽出记下其颜色后再放回缸中）.设抽了N 次，发现白球出现N X 次，则用N X N /去估计p .这个估计含有其程度不确定的误差，但我们直观上会觉得，抽取次数N 愈大，误差一般会愈小.这一点如伯努利所说：“哪怕最愚笨的人，也会经由他的本能，不须他人的教诲而理解的”.但对这个命题却无人能给出一个严格的理论证明.伯努利决心着手解决这个问题，其结果导致了以他的名字命名的大数定律的发现.这个发现对概率论和数理统计学有极重大的意义.伯努利把这一研究成果写在他的著作《推测术》的第4部分中，是该著作的精华部分.由于该书在概率统计史上的重要意义，值得对伯努利其人及此书的整个面貌先作一点介绍.4. 伯努利的《推测术》伯努利1654年出生于瑞士巴塞尔.在其家族成员中，对数学各方面做出过不同程度贡献的至少有12人，在概率论方面有5人，其中杰出的除他本人外，还有其弟弟约翰与侄儿尼科拉斯.伯努利的父亲为其规划的人生道路是神职人员.但他的爱好却是数学.他对数学的贡献除概率论外，还包括微积分、微分方程和变分法等.后者包括著名的悬链线问题.他和牛顿、莱布尼兹是同时代人，并与后者有密切的通信联系，因而非常了解当时新兴的微积分学的进展，学者们认为他在这方面的贡献，是牛、莱之下的第一人.此外，他对物理学和力学也做出过贡献.他与惠更斯长期保持通信联系，仔细阅读过惠更斯的《机遇的规律》，由此引发了他对概率论的兴趣.从他与莱布尼兹的通信中，可知他写《推测术》这一著作是在他生命的最后两年.在1705年他去世时，此书尚未整理定稿.由于家族内部的问题，整理和出版遗稿的工作，迟迟未能实现.先是其遗孀因对其弟约翰的不信任，不愿把整理和出版的事委托给他，后来又拒绝了欧洲一位富有学者捐资出版的建议.最后在莱布尼兹的敦促下，才决定由其侄儿尼科拉斯来承担这件事情.尼科拉斯也是当时重要的数学家，与欧拉和莱布尼兹保持通信联系.当时尚无科学期刊，学者的通信是学术交流的一种重要方式.《推测术》一书共239页，分四个部分.第一部分(P 2～71)对《机遇的规律》一书作了详细的注解，总量比惠更斯的原书长4倍.第二部分(P 72～137)是关于排列组合的系统的论述.第三部分(P 138～209)利用前面的知识，讨论了一些使用骰子等的赌博问题.第四部分(P 210～239)是关于概率论在社会、道德和经济等领域中的应用，其中包括了该书的精华、奠定了概率史上不朽地位的，以其名字命名的“伯努利大数定律”——大数定律的名称不是出自该书，首见于泊松1837年的一篇著作中.该书若缺了这一部分，则很可能会像某些早期概率论著作那样湮没无闻，或至多作为一本一般著作被人评价.该书最后有一长为35页的附录，用与友人通信的形式讨论网球比赛中计分问题.5. 伯努利大数定律现在我们来介绍伯努利《推测术》中最重要的部分——包含了如今被称之为“伯努利大数定律”的第4部分.回到前面的缸中抽球模型：缸中有大小、质地一样的球b a +个，其中白球a 个，黑球b 个，“抽出之球为白球”的概率为p ，则有)/(b a a p +=.假设有放回地从缸中抽球N 次，记N X 为抽到白球的次数，以N X N /估计p .这种估计法现今仍是数理统计学中最基本的方法之一.此处的条件是，每次抽取时都要保证缸中b a +个球的每一个有同等机会被抽出，但这一点在实践中并不见得容易保证.例如，产生中奖号码时可能要用复杂的装置.在实际工作中，统计学家有时用一种叫做“随机数表”的工具.这是一本很厚的书，各页按行、列排列着数字9,,2,1,0 ，它们是用据说是“充分随机”的方法产生的.在使用时，“随机地”翻到一页并随机地点到一个位置，以此处的数字确定抽出的对象.伯努利企图证明的是：用N X N /估计p 可以达到事实上的确定性——他称为道德确定性.其确切含义是：任意给定两个数0>ε和0>η，总可以取足够大的抽样次数N ，使事件{}ε>-|)/(|p N X N 的概率不超过η.这意思就很显然：ε>-|)/(|p N X N 表明估计误差未达到指定的接近程度ε，但这种情况发生的可能性可以“随心所欲地小”(代价是加大N ).为忠实于伯努利的表达形式，应指出两点：一是伯努利把ε限定于1)(-+b a ，虽然其证明对一般ε也有效.但他做这一模型限定与所用缸子模型的特殊性有关：必要时把缸中的白、黑球分别改为ra 和rb 个，则p 不变，1)(-+b a 改为1)(-+rb ra ，只须取r 足够大，便可使1)(-+rb ra 任意小.其次，伯努利欲证明的是：对任给的0>c ，只要抽取次数足够大，就可使⎭⎬⎫⎩⎨⎧>->⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤-εεp N X cP p N X P N N . （5）这与前面所说是一回事.因为由上式得.11c p N X P N +<⎭⎬⎫⎩⎨⎧>-ε （6）取c 充分大，可使(6)式右边小于η.另外要指出的是：伯努利使用的这个缸子模型使被估计的p 值只能取有理数，因而有损于结果的普遍性.但其证明对任意的p 成立，故这一细节并不重要.伯努利上述对事实上确定性数学的理解，即(5)式，有一个很值得赞赏的地方，即他在概率论的发展刚刚起步的阶段，就给出了问题的一个适当的提法.因为，既然我们欲证明的是当N 充分大时，N X N /和p 可以任意接近，则一个看来更直截了当的提法是,lim p N X N N =∞→ （7）而这不可能实现.因为原则上不能排除“每次抽到白球”的可能性，这时N X N /总为1，不能收敛到1<p .或者退一步：要求(7)式成立的概率为1，这一结论是对的，但直到1909年才由波莱尔给予证明，证明的难度比伯努利的提法大得多.设想一下，如果当时伯努利就采用该提法，他也许在有生之年不能完成这一工作.由于波莱尔的结论比伯努利的结论强，现今人们又把他们的结论分别称之为强大数定律和弱大数定律.6. 狄莫佛的研究动因亚伯拉罕•狄莫佛出生在法国一个信教徒家中，19岁那年因宗教信仰的原因曾被捕入狱，并度过了两年铁窗生涯.出狱后为逃避迫害，21岁的他流亡到伦敦，做了一名教师.在那里，他在教书之余继续研习数学，主要是阅读刚出版不久的牛顿的著作《自然哲学的数学原理》.后来，他在数学领域内取得了多方面成就，并于1697年当选为英国皇家学会会员，这一年他刚届而立.狄莫佛的一项广为人知的成果是著名的狄莫佛公式：)sin()cos()sin (cos θθθθn i n i n +=+(但狄莫佛并未把公式写成这种形式).在1718年，狄莫佛出版了《机遇论》(Doctrine of Chances)一书，此书奠定了他在概率史上的地位.该书一共出了三版，分别在1718年、1738年和1756年.人们常说概率史上有三部里程碑性质的著作，狄莫佛的《机遇论》乃其一.另两部为伯努利的《推测术》及拉普拉斯于1812年出版的《概率的分析理论》.有趣的是，吸引狄莫佛投身到二项概率的研究契机，并不是为改进伯努利在该项研究上的结果.事实上，1718年版的《机遇论》一书表明，狄氏对伯努利颇有一番看法.狄莫佛之所以注意到这一问题，与下述偶然情况有关.1721年，一个叫亚历山大•喀明的人向狄氏提出了一个问题：A 、B 二人在甲家赌博，每局A 获胜的概率为p ，B 获胜的概率为p q -=1，共赌N 局.以X 记A 获胜局数.约定：若Np X ≥，则A 付给甲Np X -；若Np X <，则B 付给甲X Np -.问甲所得期望值是多少？按定义，此期望值为∑=-=-=Ni N i p N b Np i Np X E D 1),,,(|||)(|其中N i q p i N i p N b i N i ,,1,0,),,( =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-.狄莫佛在Np 为整数条件下得到了),,,(2Np p N b Npq D N ⋅= （8）且他只对2/1=p 的特例给出了证明.不过，其证法易推广到一般的p .狄氏声称此公式他在1721年得到，但证明首次发表是在1730年.现在我们容易在一般情况下证明.1][),,,(2+=⋅=Np p N b q D N μμμ （9）此处及以下的][a 表示不超过a 的最大整数.易验证，当Np 为整数时，公式(8)与(9)一致.(8)与(9)回答了喀明所提出的问题，但在N 较大时，),,(i p N b 的计算不易.因此，狄莫佛想找到一个便于计算),,(i p N b 的近似公式).2exp(2),,(Npq Npq p N b -⋅≈πμ (10)7. 泊松公式、泊松分布与泊松大数定律泊松（Possion ）的名字对学概率论与数理统计的人来说，可谓耳熟能详.原因主要在于泊松近似公式，以及更重要的源于该近似公式的泊松分布，泊松分布的重要性和知名度在离散型分布中仅次于二项分布.泊松的另一个重要工作是把伯努利大数定律推广到每次试验中事件发生的概率可以不同的情况，现称泊松大数定律.继狄莫佛给出二项概率近似计算公式(10)之后，丹尼尔和拉普拉斯也给出了二项概率近似计算公式，但这些公式在现今的教科书上已很少提及，只有泊松近似公式则不然，其形式为,!),,(lim k e k p N b k N λλ-∞→= （11）其中Np N ∞→=lim λ，N k ,,2,1,0 =.公式(11)在教科书上通称为泊松逼近公式、泊松近似公式或泊松公式.它是泊松在1838年于《概率在法律审判的应用》一书中所引进，此公式适用于p 很小，N 很大而Np 又不很大时，这正好填补了狄莫佛公式(10)的不足，因后者只适用于p 不太接近于0和1的时候.不过，从历史上看，狄莫佛早在1712年已做出了这个结果.8. 贝叶斯及其传世之作托马斯•贝叶斯(Thomas Bayes,1701－1761)其人在18世纪上半叶的欧洲学术界，恐怕不能不算是一个很知名的人物.在他生前，没有发表过片纸只字的科学论著.那时，学者之间的私人通信，是传播和交流科学成果的一种重要方式.许多这类信件得以保存下来并发表传世，而成为科学史上的重要文献，例如前面提到的费尔马和巴斯噶的通信，伯努利与莱布尼兹的通信等.但对贝叶斯来说，这方面材料也不多.在他生前，除在1755年有一封致约翰•康顿的信(其中讨论了辛普森有关误差理论的工作)外，历史上没有记载他与当时的学术界有何重要的交往.但他曾在1742年当选为英国皇家学会会员(相当于科学院院士），因而可以想到，他必定曾以某种方式表现出其学术造诣而为当时的学术界所承认.如今，我们对这个生性孤僻、哲学气味重于数学气味的学术怪杰的了解，是因他的一篇题为“An essay towards solving a problem in the doctrine of chance(机遇理论中一个问题的解)”的遗作.此文发表后很长一个时期在学术界没有引起什么反响，但到20世纪以来突然受到人们的重视，成为贝叶斯学派的奠基石.1958年，国际权威性的统计杂志《Biometrika 》（生物计量）重新刊载了这篇文章.此文也有中译本(见廖文等译《贝叶斯统计学——原理、模型及应用》的附录4，中国统计出版社1992年版）.此文是他的两篇遗作之一，首次发表于1764年伦敦皇家学会的刊物《Philosophical Transactions 》上.此文在贝叶斯生前已写就，为何当时未交付发表，后来的学者有些猜测，但均不足定论.据文献记载，在他逝世之前4个月，他在一封遗书中将此文及100英镑托付给一个叫普莱斯的学者，而贝叶斯当时对此人在何处也不了然.所幸的是，后来普莱斯在贝叶斯的文件中发现了这篇文章，他于1763年12月23日在皇家学会上宣读了此文，并在次年得以发表.发表时普莱斯为此文写了一个有实质内容的前言和附录.据普莱斯说，贝叶斯自己也准备了一个前言.这使人们无法确切区分：哪些思想属于贝叶斯本人，哪些又是普莱斯所附加的.贝叶斯写作此文的动机，说法也不一.一种表面上看来显然的说法是为了解决伯努利和狄莫弗未能解决的、二项分布概率p 的“逆概率”问题，因为当时距这两位学者的工作发表后尚不久，有人认为他是受了辛普森误差工作的触动，想为这种问题的处理提供一种新的思想.还有人主张，贝叶斯写作此文，是为了给“第一推动力”的存在提供一个数学证明.这些说法现在都无从考证.上面提到“逆概率”这个名词.在较早的统计学著作中这个名词用得较多，现在已逐渐淡出.顾名思义，它是指“求概率这个问题的逆问题”：已知事件的概率为p ，可由之计算某种观察结果出现的概率如何.反过来，给定了观察结果，问由之可以对概率p 做出何种推断.推广到极处可以说，“正概率”是由原因推结果，是概率论；“逆概率”是由结果推原因，是数理统计.9. 拉普拉斯的“不充分推理原则”贝叶斯工作发表后很长一段时期，都没有得到学术界的注意，因而他的这种思想未能及早地发展成为一种得到广泛应用的统计推断方法.但是，也有些学者独立地朝这个方向思考，提出类似的思想并付诸实用，其中最重要的当属拉普拉斯.拉普拉斯在1774年的一篇文章中提出了所谓的“不充分推理原则”（principle of insufficient reasoning ）.他的思想大致如下：如果一个问题中存在若干个不同的原因(cause) n A A A ,,,21 ，则在没有理由认为其中哪一个特别有优势时，概率应各取n /1，即认为各原因有同等机会出现.在统计问题中，。
分赌注问题
分赌注问题经过150多年对概率论发展早期史料的收集、整理、考订与研究，目前大多数人已同意此前（1837年）泊松（1781 —1840）作出的论断：“由某广有交游者向严肃的詹森派信徒提出的一个博弈问题乃是概率演算的起源”。
这个博弈问题就是分赌注问题，古代一般称作点数问题。
1.1分赌注问题的由来分赌注问题大意如下：A , B 两个赌徒按某种方式下注赌博，说定先胜s 局者将贏得全部赌注，但进行到A 胜1s 局，B 胜2s 局12(,)s s s s <<时，因故不得不中止,试问如何分配这些赌注才公平合理？这个分赌注问题大概相当古老，因为至少在帕乔利（Pacioli ，1445—1517)出版于1494年的《算术、几何、比与比例集成》的专门论述“稀奇问题”的一节中已经出现，其中126,5,2s s s ===. 这个问题知道的人也应该相当多，因为上述书籍是当时流行的百科全书式数学教科书。
帕乔利把这个问题看作一个比例问题，提出以1s 比2s 分赌注。
其论证思路是：原定的先胜s 局者为贏者的玩法至多在2(1)121s s -+=-局内可完成，因此赌注应按121s s -比221s s -分配。
在这个论证中既没有概率也没有组合。
这个答案受到当时最大的赌徒与数学家卡尔达诺 (Cardano,1501—1576) 的反对，他在发表于1539年的一篇文章中认为“帕乔利按照已经贏得的局数成比例地分配赌金，但没有考虑尚待每个赌徒去贏的局数”。
卡尔达诺虽有概率想法也深通组合理论但对分赌注问题也提不出正确解法。
不过在当时的数学家中只有他意识到分配规则不取决于12(,,)s s s 全体而只与未胜局数1s s -及2s s -的有关。
另—个当时著名数学家塔塔利亚（Tartaglia ，1499一1557)在出版于1556年的《论数学与度量》中也批评帕乔利，他举例说如果A 先胜10点，B 未胜过，难道赌注全归A 所有？并怀疑这个问题是否有数学答案，他认为是一个司法的问题，不过他也提出自己的答案12s s s +-比12s s s -+.1558年Pereron, 1603年Forestani都对此写过文章，但都未提供正确答案。
分赌本问题
分赌本问题分赌本问题又称为分点问题，在概率论中是一个极其著名的问题，在历史上它对概率论这门学科的形成和发展曾起过非常重要的作用。
1654年法国有个叫De Mere 的赌徒向法国天才的数学家帕斯卡（Bvlaise Pascal ）提出了如下的分赌本问题：甲、乙两个赌徒下了赌注后，就按某种方式赌了起来，规定：甲、乙谁胜一局就得一分，且谁先得到某个确定的分数就赢得所有的赌本。
但是在谁也没有得到确定的分数之前，赌博因故中止了，如果甲需再得分才赢得所有赌注，乙需再得m 分才赢得所有赌注，那么如何分这些赌注呢？n 帕斯卡为解决这一问题，就与当时享有很高声誉的法国数学家费尔马（Pierre de Fermat ）建立了联系。
当时，荷兰年轻的物理学家惠更斯（C.Huygans 1629—1695）知道了这事后，也赶到巴黎参加他们的讨论。
这样，使得当时世界上很多有名的数学家对概率论产生了浓厚的兴趣，从而使得概率论这门学科得到了迅速的发展。
后来人们把帕斯卡与费尔马建立联系的日子（1654年7月29日）作为概率论的生日，公认帕斯卡与费尔马为概率论的奠基人。
如何解决分赌注问题呢？帕斯卡提出了一个重要的思想：赌徒分得赌注的比例应该等于从这以后继续赌下去他们能获胜的概率。
算例如下：甲乙两位赌徒相约，用掷硬币进行赌博，谁先赢三次就得全部赌本100法郎。
当甲赢了二次，乙只赢一次时，他们就不愿再赌下去了，问赌本应如何分配呢？这个问题引起了不少人的兴趣，有人建议按已赢次数的比例来分赌本，即甲得全部赌本的32，乙得余下的31。
有人提出异议，认为这完全没有考虑每个赌徒必须再赢的局数，这样不符合事先约定的规则。
1654年帕斯卡提出如下的解决办法：在甲赢得二次而乙只赢得一次时，最多只需再玩二次即可结束这场赌博，而再玩二次可能出现的结果有如下四种，并且这四种情况出现的概率相等：其中前三种结果都使得甲赢得100法郎，其相应的概率为4，而甲得0法郎的概率为41，故甲赢得的数学期望为7541043100=×+×法郎；而乙赢得的数学期望为2541100430=×+×法郎。
统计学故事
统计学基本原理——赌场的故事赌场为什么赚钱？没有任何trick，统计学原理。
?例子。
我有100块钱，你有10块钱，我们扔硬币，头算你赢1块，字算我赢1块。
规则：赌到输完才许结束。
那么问，各自的胜负概率多少？我赢到你的10块钱的几率大于90%！这个就是统计学基本原理。
?赌场。
庄家资金大概是入场赌徒的资金的千倍或者万倍，如果扔硬币，赌徒的胜率会有多少？自己算一下吧，0.00..01%。
因此，庄家允许玩一些花样，一方面提高赌徒的玩兴，一方面允许庄家在每笔小赌中胜率略小于50%：没关系，表面上你赢的多，最后都是我的，嘿嘿，这就是庄家。
?具体庄家胜率能小到多少？跟怎样的赌徒可以玩怎样的胜率？这些是无数赌场百年来经验积累，为什么不用统计学算一下呢？?当然，你可以argue。
?1，我干吗赌完才走？我赢到满意了就走。
这种小赌徒有，但是不输到精光不停才是真正的赌徒，赌场主要生意面向真正的赌徒。
小赢就跑的人毕竟不多，对赌场没有大的损失，反而做了活广告，——“瞧，这家赌场多好玩，还能赚钱，大家以后都去阿~~~”?2，虽然庄家胜率极高极高，但是庄家只有一个，赌徒多阿~~~ ‘人海战术’打败庄家。
统计上说，多次贝努利实验的结果也是很容易算的。
赌徒数线性增长，赌场的胜率减弱却是级数型。
注意：级数增长是很可怕的，但是级数减弱缓慢得让人挠头发火。
人多到把赌场挤爆都不一定能扭转局面，庄家此时已经赚得笑不动了。
?因此，最严谨的科学——数学说：你赢不了赌场；你每次下注赢回的期望值都是正的，但是你每次去赌场回家时口袋里的期望值是零；赌钱就是happy一下，千万别沉迷。
激励我们一生的几个经典故事??? 1、勤奋，机会，乐观是成功的三要素。
（注意：传统观念认为勤奋和机会是成功的?要素，但是经过统计学和成功人士的分析得出，乐观是成功的第三要素）??? 2、（一般情况下）不想三年以后的事，只想现在的事（现在有成就，以后才能更辉煌）??? 3、把问题看宽广些，没有解决不了的事。
第8章 赌徒的难题
• 伯努利大数定理（1713年）：即在多次重复试
验中，频率有越趋稳定的趋势 .当重复试验 的次数n逐渐增大时，频率fn(A)呈现出稳定 性，逐渐稳定于某个常数，这个常数就是 事件A的概率.这种“频率稳定性”也就是通 常所说的统计规律性。
• 1) 取一张白纸，在上面画上许多条间距为 d的平行线，见图 (1) • 2) 取一根长度为L的针，随机地向画有平 行直线的纸上掷n次，观察针与直线相交的 次数，记为m
• 3）计算针与直线相交的概率． • 由分析知针与平行线相交的充要条件是
• 其中
d 0≤ y≤ 2
0≤ϕ ≤π
• 上述条件在坐标系下将是曲线 所围成的曲边梯形区域
8 概率论的产生与发展
•
•
对概率问题的研究起源于赌博．
1654年，帕斯卡与费马在通信中认真讨论了赌博中的概 率问题．他们的信件被看作数学史上最早的概率论文献． • 例如两个赌徒各投放32枚金币作为赌金，先得3分者可 赢得全部赌金．(赌具亦可为一硬币，掷币落地后，若正 面朝上，甲得1分，若背面朝上，乙得1分．)帕斯卡假定 甲已得2分而乙只有1分． • 甲认为:若甲再掷一次而赢了，他将得到全部64枚金币； 甲输了也可拿回自己的32枚金币，因为这时比分为 2∶2．这就是说，不管这一次结果如何，赌金中的32枚金 币已属于他了．至于另外32枚金币，甲乙二人得到的机会 1 32 均等， + × 32 = 48 枚,乙得16枚。 2 • 乙认为:甲得三分之二,乙得三分之一.
8.2 来自保险业的推动
• 18世纪保险业兴起,推动了概率和数理统计 的发展. • 例:P123
数理统计故事
1.分赌本问题A 、B 二人赌博，各出注金a 元，每局个人获胜概率都是2/1，约定：谁先胜S 局，即赢得全部注金a 2元，现进行到A 胜1S 局、B 胜2S 局(1S 与2S 都小于S )时赌博因故停止，问此时注金a 2应如何分配给A 和B 才算公平？此问题文字上最早见于1494年帕西奥利的一本著作，是对6=S ，51=S 和22=S 的情况。
由于对“公平分配”一词的意义没有一个公认的正确理解，在早期文献中出现过关于此问题的种种不同的解法，如今看来都不正确。
例如，帕西奥利本人提出按2:S S 1的比例分配。
塔泰格利亚则在1556年怀疑找到一种数学解法的可能性，他认为这是一个应由法官来解决的问题，但他也提出了如下的解法：若2S S 1>，则A 取回自己下的注a ,并取走B 下的注的S S S 1/)(2-，这等于按)(:)(22S S S S S S 11+--+的比例瓜分注金。
法雷斯泰尼在1603年根据某种理由，提出按)12(:)12(22S S S S S S 11+---+-的比例分配。
卡丹诺在其1539年的著作中，通过较深的推理提出了一种解法：记1S S r -=1，22S S r -=。
把注金按)1(22+r r ：)1(11+r r 之比分给A 和B 。
他这个解法如今看来虽然仍不正确，但有一个重要之点，即他注意到起作用的是1S ,2S 与S 的差距，而不在其本身。
这个问题的症结在于：他关乎各人在当时状况下的期望值。
从以上这些五花八门的解法，似乎可以认为，这些作者已多少意识到这一点，但未能明确期望与概率的关系。
而此处有关的是：假定赌博继续进行下去，各人最终取胜的概率。
循着这个想法问题很易解决：至多再赌121-+=r r r 局，即能分出胜负。
为A 获胜，他在这r 局中至少须胜1r 局。
因此按二项分布，A 取胜的概率为r r r i A i r p -=∑⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21，而B 取胜的概率为1B A p p =-。
小学数学数学故事一场温和的赌博
精品资料
一场温和的赌博
“我没有一美分的零币，”汉克说着，一边叮当地敲着他的钱币，“你有多少？”
本恩查看了一下回答道：“正好五枚。
怎么啦？”
“想知道吗？我想我们来一次小小的赌博游戏怎么样？”汉克一边说一边开始分牌，“规定这样的：第一局输的人，输掉他钱的五分之一；第二局输的人，输掉他那时拥有的四分之一；而第三局输的人，则须支付他当时拥有的三分之一。
”
于是他们玩了，并且互相间准确付了钱。
第三局本恩输了，付完钱后他站起来声明说：“我觉得这种游戏投入的精力过多，回报太少。
直到现在我们之间的钱数，总共也只相差七美分。
”
这自然是很小的赌博，因为他们合起来一共也只有75美分的赌本。
试问，在游戏开始的时候汉克有多少钱呢？。
概率的应用：“分赌金”问题
"这不公平"精通赌博的德梅尔对此提出异议："我只要再胜一局就能得到全部金币，而你要得到全部金币还须再胜两局。即使你接下来胜一局，我们两人也是平分秋色，何况就这次我还有一半的机会获胜呢！所以我应得到全部赌金的3/4，即9枚金币，而你只能得到1/4即3枚金币"。
到底谁的分法对呢当时可使两位数学家费了不少脑筋，历史上古典概率正是由研究诸如此类的赌博游戏中的问题引起的。现在我们一起来求解，显然，为确保能分出胜负，最多需要再赛两局，为简单计，用""表示"德梅尔胜"，用"-"表示"保罗胜"，于是这两局的所有可能结果为：
概率的应ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ——“分赌金”问题
17世纪中时，法国数学家巴斯卡写信给当时号称数坛"怪杰"的费尔马，信中提到赌徒德梅尔，向他提出的一个"分赌金"问题。
有一天，德梅尔和赌友保罗赌钱，他们事先每人拿出6枚金币作赌金，用扔硬币作赌博手段，一局中若掷出正面，则德梅尔胜，否则保罗胜。约定谁先胜三局谁就能得到所有的12枚金币，已知他们在每局中取胜的可能性是相同的，比赛开始后，保罗胜了一局，德梅尔胜了两局，这时一件意外的事中断了他们的赌博，后来他们也不再想继续这场还没有结局的赌博，于是一起商量这12枚金币应如何分才公平合理。
数学万花筒(6)公平分赌金
数学万花筒(6)公平分赌金早些时候，法国有两个大数学家，一个叫巴斯卡尔，一个叫费马.巴斯卡尔认识两个赌徒，这两个赌徒向他提出了一个问题.他们说，他俩下赌金之后，约定谁先赢满5局，谁就获得全部赌金.赌了半天，A赢了4局，B赢了3局，时间很晚了，他们都不想再赌下去了.那么，这个钱应该怎么分？两位大家展开了讨论.是不是把钱分成7份，赢了4局的就拿4份，赢了3局的就拿3份呢？或者，因为最早说的是满5局，而谁也没达到，所以就一人分一半呢？这两种分法都不合适，他们得到的结论是：赢了4局的拿这个钱的，赢了3局的拿这个钱的.为什么呢？假定他们俩再赌一局，或者A赢，或者B赢.若是A赢满了5局，钱应该全归他；A如果输了，即A、B各赢4局，这个钱应该对半分.现在，A输、赢的可能性都是，所以，A获得赌金的分布列为：1他拿的钱应该是，当然，B就应该得.通过这次讨论，开始形成了概率论当中一个重要的概念——数学期望.所谓数学期望，就是一个平均值. 不过，这种平均值是加权平均值.在赌局里则是赌徒的期望所得，因此冠以数学期望，以区别世俗的期望一词.但为了方便，人们又把“数学”二字去掉，这样一来，有意无意中又返回了世俗.真乃世事难料啊！公平断案在还未禁猎的年代里，一天，两个年龄较长的猎人，同时向一只兔子射击，将其击毙.两人直奔猎物，都想得到这个战利品，他们互不相让，争执了起来.这时，一智者刚好路过此地，问明事由后，愿意帮助他们调解.智者对二人说“你们各自说说要争得这个猎物的理由吧.”猎人甲说“我的枪法是百发百中，兔子是我击毙的.”猎人乙争辩道“我的枪法比他好，兔子分明是我打中的.”智者道“你们不必争吵了，请听我的安排.”于是，智者让两人向同一目标各射击5次，结果甲击中2次，乙击中3次，即甲的命中率为，乙的命中率为.猎人甲以为这下完了，兔子肯定会被判给乙，很是灰心丧气，提枪准备离开……，智者忙对甲说到“且慢，听我把话说完嘛.”智者又对二人说道“根据你们二人刚才的命中率，按两枪算，甲两枪都单独击中的机会为，乙两枪都单独击中的机会为，两人同时击中的机会也只有，可见你们都声称兔子是自己击毙的依据是不足的.”二人不无疑惑地向智者问道“兔子被我们击毙是事实吧，为什么被我们各自击毙的机会如此之小？请您帮我们再分析分析吧！”智者想了想，道“兔子被甲或乙击中的机会为：.现在兔子既然已被你们击中，那么甲单独击中的机会就应为÷，乙单独击中的机会为，两人共同击中的机会为.智者又道：现在我给你们出一个主意，如果兔子是被哪个打死的，兔子就归谁；如果是共同打死的就一人一半.怎么样？”二人听后异口同声地说“好，好！就按您说的办.”智者又想了想，说“根据刚才的分析，我给你们一个具体的分配方案，甲与乙你们可按7:12的比例进行分割.”两猎人听后还是不明就里，一脸茫然.智者只好继续向他们解释道“按刚才我给你们出的主意，对于甲来说，他应得整个兔子的份额是，.这就是概率中的数学期望.你们有机会，要把这方面的知识好好的补一补哟.”据说，后来二人一起把兔子拿到集贸市场卖了38元，结果甲分得14元，乙分得24元，二人十分感谢智者，也深深地体会到了概率知识的重要性.亲爱的读者，你能成为智者吗？注：这个故事的内涵十分丰富，它涉及概率的的多个基本概念：(1)加法定理，P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=；(2)条件概率：设兔子被击中的事件为C，被甲单独击中的概率为P(A/C)=;(3)分布列：甲获得兔子份额X：1（4）数学期望：E(X)=.。
数学思维-赌场真相
其实最终结论只有一个：除了100%赢，任何时候 都不应下全部赌注，即使赢的概率高达99.9%。
世界上有为数不多的“赌神” 他们当中有信息论的发明者香农，数学家爱德华·索普，
路径理论的创始人蒙特卡罗等，他们通过一系列复杂 的计算和艰深的数学理论，把某些赌戏的赢率扳回到 50％以上
你会怎么赌呢？
有一个简单2赔1的赌局，扔硬币下注，硬币为正 面则得2元，如果为反面则输掉1元，你的总资产为 100元，每一次的押注都可投入任意金额。
如果你是冒险主义者，你可能会想，要玩就玩票大的， 一次性把100元全压上，幸运的话，一次正面就可以获 得200元，可是，如果输了得把100元资产拱手献给对 方，你就一无所有，好不容易来赌一次，这肯定不是 明策。
如果你是保守主义者，你可以会想，谨慎点，百分之 一慢慢来。你每次只下注1元，正面赢2元，反面输1元。 玩了20把突然觉得，对方下注10元一次就赢得20元， 自己一次才赢2元、10次才能赢得20元，后悔已经错过 几个亿！
100太多1块太少，该投入多少比例下注？普通赌徒看 似无解，但凯利公式告诉你答案是25%！
赌场操盘者的每一次下注的时候，都会谨记数学原则， 而作为普通赌徒，除了心中默念“菩萨保佑”外，哪 里知道这后面的数理知识。
所以，就算你赢得了财神爷的支持，但你也永远赢不 了“凯利公式”。
3条准则
1、期望值（bp-q）为0时，赌局为公平游戏，这时不 应下任何赌注。
2、期望值（bp-q）为负时，赌徒不具备任何优势，也 不应下任何赌注。
凯利公式的庐山真面目
f* =（bp-q）/ b
在公式中，各参数意义为： f* = 应投注的资本比值 p = 获胜的概率（也就是抛硬币正面的概率） q = 失败的概率，即1 - p（也就是硬币反面的概率） b = 赔率，等于期望盈利 ÷可能亏损（也就是盈亏比） 公式上面的分子bp-q代表“赢面”，数学中叫“期望
赌徒问题的两种算法数学史
赌徒问题的两种算法数学史在历史上，有很长的一段时间里面，数学家们都没研究过概率。
数学史中，研究概率的起源其实是赌博，所以当我们研究 probability 时，有许多问题都是关于扔硬币、掷骰子和扑克牌。
最早在16 世纪，数学家卡尔达诺 (1501-1576)，他深陷赌博不可自拔，长达25 年。
他在自传中如此写道：那段时间里，我并不是“时不时”参与赌博，说来可耻，我是每天都在赌博。
他甚至留下如此的名言：“赢得赌博最好的办法，就是完全不参加赌博。
”卡尔达诺写过一本关于赌博的入门书，里面涉及许多概率的计算。
但其中有不少算法是错误的，数学史并不把他当作数学中概率论的创始人。
这告诉我们，连有名的数学家都能在概率的运算大量犯错了，那我们初学概率时，题算错也是情有可原的！今天要介绍的赌徒破产问题，也是早期数学家在思考的一个和赌博相关的概率问题。
我们常听说“十赌九输”，这句话的意思当然不是说赌徒在赌博中的每一局胜率都只有10%，而是说：如果你一赌再赌，不知节制，很大可能性终究是输钱的。
今天要介绍的赌徒破产问题，可以说是“十赌九输”的数学证明。
赌徒破产问题要说的意思是：任何一个拥有有限赌本的赌徒，只要长期赌下去，必然有一天会输个精光。
这是因为：即使一开始赢得多，总是一定有输回来的概率。
但输光了，却没有再赢回来的资本。
值得注意的是，在赌徒破产问题中，并没有讨论到赌徒的单局胜率多大。
无论赌徒单局胜率多高，只要不是100% 的胜率（当然实际上也不可能，那样就不叫赌博了），那么必然会在足够多的局数之后把资本输光。
为了简化讨论，让我们先考虑下面这问题：问题赌徒A 与赌徒B 分别持有m、n 份筹码。
每一局输的人要把一份筹码交给对方，两人胜率皆为 0.5 。
游戏一直进行到其中一方没有筹码为止，求 A 获胜（对方破产）的概率。
先讲结论：A 获胜的概率为分母为两人筹码总和，分子为自己筹码数。
要计算出这结果并不容易，而且冗长。
如果你学过期望值，那么这里附上一个比较高超而简便的计算：因为双方胜率各半，这是个公平赌局，因此就 A 而言，无论玩几局之后，他的手上筹码期望值等于初始的 m。
《如何分取赌金》读后感
《如何分取赌金》读后感今天晚上，我阅读了《如何分取赌金？》这篇数学趣题，它引发了我很大兴趣和启发。
这篇文章主要是讲，公元1651年，欧洲号称“神童”的数学家帕斯卡，遇见赌徒梅尔，梅尔向帕斯卡请教了一个自己亲身所遇至今尚未解决的“分赌金”问题。
有一次，梅尔和一位赌友玩骰子，押注24金*，双方约定谁先掷出3个6点谁就胜。
赌博开始不久，梅尔已经掷出2个6点，赌友掷出1个6点，可偏偏这时，梅尔有紧急要事要开，于是两人讨论如何分这24枚金*，赌友认为，根据获胜的局数，自己应得总数三分之一，梅尔得三分之二。
但梅尔却不同意，他争辩，即使再赌一局赌友赢了，两人也是平分秋*，何况自己还有一半可能获胜，所以，他主张自己得总数的四分之三，赌友只得四分之一。
这个问题居然把帕斯卡难住了。
而我觉得如果就此罢休，不在继续赌了，确实应该按赌友说的分钱，但是，梅尔却要继续赌，就要把所有情况都考虑清楚。
但此时梅尔已经2比1领先了，所以梅尔获得24枚金*的机率远大于赌友。
帕斯卡冥思苦想了三年，终于悟出了一些道理，他发现分配赌金是需要考虑的不是已经赌过的次数，而是剩下的次数。
他认为，如果再玩一局，若是梅尔胜，则得到全部赌金，若是赌友胜，则平分秋*，这局胜率相等，即（1－二分之一）÷2＝四分之三，另一种为赌友所有，即（0二分之一）÷2=四分之一。
所以，他们应得18枚金*和6枚金*，*实了梅尔的说法是正确的。
在这之前，我的想法是，这种赌博至多再玩两局就一定能分出胜负，所以就会出现如下四种结果：梅尔胜，赌友胜；赌友胜，梅尔胜；梅尔胜，梅尔胜；赌友胜，赌友胜。
其中三种都是梅尔胜，只有第四种才是赌友胜，所以，梅尔取胜的可能*为四分之三，赌友取胜的可能*为四分之一。
因此梅尔因分18枚金*，赌友因分6枚金*。
帕斯卡这一分取赌金问题引发了数学的分支学科——概率论的诞生，帕斯卡也为此进行了大量开创*的工作。
小学数学 数学故事 赌徒分钱问题
赌徒分钱问题
传说，17世纪中叶，法国贵族公子梅累参加赌博，和赌友掷骰子，各押赌注32个金币．双方约定，梅累如果先掷出三次6点，或者赌友先掷出三次4点，就算赢了对方．赌博进行了一段时间，梅累已经两次掷出6点，赌友已经一次掷出4点．这时候梅累接到通知，要他马上陪国王接见外宾，赌博只好中断了．这就碰到一个问题：两个人应该怎样分这64个金币才算合理呢？
赌友说，他要再碰上两次4点，或梅累要再碰上一次6点就算赢，所以梅累分64个金币2/3的，自己分64个金币的1/3．
梅累急辩说，不对，即使下一次赌友掷出了4点，他还可以得1/2，即32个金币；再加上下一次还有一半希望得16个金币，所以他应该分64的个金币的3/4，赌友只能分得64个金币的1/4．两人到底谁说得对呢？
梅累为这问题苦恼好久，最后他不得不向法国数学家、物理学家帕斯卡请教，请求他帮助作出公正的裁判，这就成为有趣的“分赌注”问题．
帕斯卡是17世纪有名的“神童”数学家．可是，梅累提出的“分赌注”的问题，却把他难住了．他苦苦思考了近三年，到1654年才算有了点眉目，于是写信给他的好友费马，两人讨论结果，并取得了一致的意见：梅累的分法是对的，他应得64个金币的，赌友应得64个金币的.
大致是这个意思，细节上有些问题，不细究了。
用期望解释比较好。
1。
小学数学 数学故事 贪婪的独眼小狼王4(智力赌博)
贪婪的独眼小狼王4（智力赌博）独眼小狼王一瘸一拐地走回家,心里想:这活兔子八成是吃不上了,我要另想别的办法。
他伸手揭下贴在左眼上的橡皮膏,说:“为了吓唬树林中的动物,每天要贴上这讨厌的橡皮膏,装扮成独眼狼王。
唉,这要贴到什么时候才算完!”说完顺手把橡皮膏贴到了右眼上。
独眼小狼王心想,瘸腿狐狸生前做过买卖,可是做买卖我没有本钱呀!他左眼珠一转,双手一拍说:“有主意了,我来它个无本万利!”第二天清早,独眼小狼王在树林的一块空地上摆了一个摊,还立了一个牌子,牌子上写着“智力赌博”4个字。
小狼王大声吆喝:“快来发大财呀!谁能解答出我的问题,我给他20元;如果解答不出来,给我10元就行了。
”动物们听他这么一喊,围了一大圈。
小鹿姑娘走上前说:“我来做道题。
”“好,好。
”小狼王满脸堆笑说,“题目非常非常简单,你一看就会,白得20元钱!请你在2分钟内把下面两个十位数的乘积算出来!”说完,写了一个乘法算式:3333333333×6666666666小鹿姑娘一看这个多位数乘法立刻傻眼了,她想列个竖式来乘,可是连一行也没乘完,小狼王就说:“2分钟已到,你输啦!要给我10元。
”小鹿姑娘只好乖乖地把10元钱交给了小狼王。
小狼王高兴极啦!他又大声吆喝起来:“快来捡钱啊!做对一道题就得20元!”一个动物“嗖”的一声从树上跳了下来,小狼王定睛一看,是猴子。
小狼王对猴子是又恨又怕,他恶狠狠地问:“猴子,你又来捣乱?”猴子笑笑说:“不来捣乱,是来发财。
我来做这个乘法。
”猴子写出,猴子把猴眼向上一翻,把手向前一伸说:“20元钱,拿钱来!”独眼小狼王仔细看了一遍计算过程,一点错也没有。
没办法,把刚刚赢小鹿姑娘的10元钱交给了猴子。
猴子一瞪眼说:“还差10元!”小狼王摇摇头说:“我自己连一分钱也没有!”“打!打这个骗子!”围观的动物们一起动手,打得小狼王落荒而逃。
1。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
赌徒分钱问题
传说，17世纪中叶，法国贵族公子梅累参加赌博，和赌友掷骰子，各押赌注32个金币．双方约定，梅累如果先掷出三次6点，或者赌友先掷出三次4点，就算赢了对方．赌博进行了一段时间，梅累已经两次掷出6点，赌友已经一次掷出4点．这时候梅累接到通知，要他马上陪国王接见外宾，赌博只好中断了．这就碰到一个问题：两个人应该怎样分这64个金币才算合理呢？
赌友说，他要再碰上两次4点，或梅累要再碰上一次6点就算赢，所以梅累分64个金币2/3的，自己分64个金币的1/3．
梅累急辩说，不对，即使下一次赌友掷出了4点，他还可以得1/2，即32个金币；再加上下一次还有一半希望得16个金币，所以他应该分64的个金币的3/4，赌友只能分得64个金币的1/4．两人到底谁说得对呢？
梅累为这问题苦恼好久，最后他不得不向法国数学家、物理学家帕斯卡请教，请求他帮助作出公正的裁判，这就成为有趣的“分赌注”问题．
帕斯卡是17世纪有名的“神童”数学家．可是，梅累提出的“分赌注”的问题，却把他难住了．他苦苦思考了近三年，到1654年才算有了点眉目，于是写信给他的好友费马，两人讨论结果，并取得了一致的意见：梅累的分法是对的，他应得64个金币的，赌友应得64个金币的.
大致是这个意思，细节上有些问题，不细究了。
用期望解释比较好。