数列解答题专练(春招)

合集下载

(word完整版)09数列(中职数学春季高考练习题)

学校______________班级______________专业______________考试号______________姓名______________数学试题数列．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分100分，考试时间90分钟，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．．本次考试允许使用函数型计算器，凡使用计算器的题目，最后结果精确到0.01．第Ⅰ卷（选择题，共60分）30小题，每小题2分，共60分．在每小题列出的四个选项中，只有一项．数列1111--，，，，……的一个通项公式是 A ．1n a =±B ．()1nn a =-C ．()11n n a +=-D ．1nn a =-．已知数列{}n a 的通项公式为()1n a n n =-，则72是这个数列的 A ．第7项B ．第8项C ．第9项D ．第10项．数列()1111111242n n +---，，，……，，……的第5项是 A ．110B ．116C ．116-D ．132．以下四个数中，是数列()1223341n n ⨯⨯⨯+L L ，，，，，中的一项的是 A ．17B ．18C ．19D ．20．在数列{}n a 中，111112n n a a a +=-=+，，则23a a +等于A ．34B ．43C ．47D ．74．已知数列{}n a 满足1121n n a a a +=-=，，则通项公式为 A ．21n a n =+B ．21n a n =-C ．23n a n =-+D ．23n a n =+．在2和16之间插入3个数a b c ，，，使216a b c ，，，，成等差数列，则b 的值为 A ．7B ．8C ．9D ．108．在等差数列258---，，，……中，已知32n a =-，则n 的值为A ．8B ．9C ．10D ．119．在等差数列中，若28510a a ==，，则14a 的值为A ．15B ．16C ．17D ．1810．等差数列{}n a 中，3815a a +=，那么29a a +=A ．20B ．15C ．10D ．511．在等差数列{}n a 中，34567450a a a a a ++++=，那么28a a +等于A ．45B ．75C ．180D ．30012．已知等差数列的前三项为1223a a a -++，，，则此数列的通项公式为A ．35n -B ．32n -C ．31n -D ．31n +13．若a b c ，，成等差数列，公差不为零，则二次函数()22f x ax bx c =++的图象与x 轴的交点个数为A ．0B ．1C ．2D ．不确定14．数列{}n a 为等比数列的充要条件是A ．1n na a +=常数 B ．1n n a a +-=常数C ．1nn a a -=常数 D ．1n n a a +⨯=常数15．已知数列{}n a 为等比数列，下列等式中成立的是A ．2824a a a =B ．2423a a a =C ．2417a a a =D ．2214a a a =16．下列数列中，既是等差数列又是等比数列的是 A ．0000，，，，…… B ．1111--，，，，……C ．111124816，，，，……D ．1111，，，，……学校______________班级______________专业______________考试号______________姓名______________．已知等比数列128643216，，，，……，则116是它的 A ．第10项B ．第11项C ．第12项D ．第14项．若数列{}n a 为等比数列，358a a ⨯=，则17a a ⨯等于 A ．8B ．10C ．15D ．25． “2b ac =”是“b 为a c ，的等比中项”的 A ．充要条件B ．充分条件C ．必要条件D ．不充分不必要条件．等比数列{}n a 中，45032n a a a >=，，则212228log log log a a a +++=…A ．10B ．20C ．36D ．128．已知等比数列{}n a 中，2435460225n a a a a a a a >++=，，那么35a a +的值等于A ．5B ．10C ．15D ．20．等比数列{}n a 中，已知12323463a a a a a a ++=++=-，，则345678a a a a a a +++++=A ．2116B ．1916C ．98D ．34．在等比数列{}n a 中，2462256a a a ==，，则8a 的值为 A ．128B ．256C ．64D ．32．已知数列3333--，，，，…，，则该数列是 A ．等差数列 B ．等比数列C ．既是等差数列又是等比数列D ．既非等差数列又非等比数列．设a R ∈，且0a ≠，则23na a a a ++++…的值为A ．()11n a a a-- B ．()111n a a a+-- C ．()11n a a a--或nD ．()111n a a a+--或n26．在等差数列{}n a 中，已知前15项之和为1590S =，则8a 的值为A ．3B ．4C ．6D ．1227．已知等比数列{}n a 中，3516a a ⨯=，则147a a a ⨯⨯等于A ．128B ．128±C ．64D ．64±28．已知数列{}n a 的首项为1，其他各项由公式111n n a a -=+给出，则这个数列的第4项为A ．2B ．32C ．53 D ．13±29．某种电子产品自投放市场以来，经过三次降价，单价由375元降到192元，若每次降价的百分率相同，则这种产品每次降价的百分率是A ．18％B ．20％C ．19％D ．17％30．两个数的等比中项为8，等差中项为10，则这两个数为A ．8，8B ．4，16C ．2，18D ．6，14第Ⅱ卷（非选择题，共40分）二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）31．在等比数列{}n a 中，若1324510a a a a +=+=，，则该数列前四项依次为__________________．32．公差不为零的等差数列{}n a 中，1a 与2a 是方程2340x a x a -+=的两个根，则n a =_______________________．33．等比数列{}n a 中，已知1232342856a a a a a a ++=++=，，则此数列的通项公式是_______________________．34．设12x x ，是方程2650x x ++=的两根，则12x x ，的等比中项是______________．学校______________班级______________专业______________考试号______________姓名______________4小题，共28分）．在等比数列{}n a 中，已知333922a S ==，，求公比q ．．一个等比数列{}n a ，前三项的和为7，积为8，求这个数列的公比． 37．已知数列{}n a 的前n 项和为22n S n n =--，求数列{}n a 的通项公式n a ．38．成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上1，3，9后又成等比数列，求这三个数．。

数列基础知识练习(答案)

等差等比数列基础练习[例1]解答下述问题：（Ⅰ）已知cb a 1,1,1成等差数列，求证：（1）c b a b a c a c b +++,,成等差数列；（2）2,2,2bc b b a ---成等比数列.[解析]该问题应该选择“中项”的知识解决，.2,2,2,)2(4)(2)2)(2)(2(;,,.)(2)()(2)()1(),(222112222222成等比数列成等差数列bc b b a bb c a b ac b c b a c b a b a c a c b bc a c a b c a ac c a c a b ac ab a c bc c b a a c b c a b ac b ac c a b c a ---∴-=++-=--+++∴+=++=+++=+++=++++=⇒=+⇒=+[评析]判断（或证明）一个数列成等差、等比数列主要方法有：根据“中项”性质、根据“定义”判断，.（Ⅱ）等比数列的项数n 为奇数，且所有奇数项的乘积为1024，所有偶数项的乘积为 2128，求项数n. [解析]设公比为2421281024,142531==-n n a a a a a a a q)1(24211=⋅⇒-n qa.7,23525,2)2()1(,2)(2)1(221281024235252352112353211235321==∴==⋅⇒=-+⋅⇒=⨯=-++n n q a n q a a a a a nn n n 得代入得将而（Ⅲ）等差数列{a n }中，公差d ≠0，在此数列中依次取出部分项组成的数列：,17,5,1,,,,32121===k k k a a a n k k k 其中恰为等比数列求数列.}{项和的前n k n[解析],,,,171251751a a a a a a ⋅=∴成等比数列① ②①②.1313132}{,132)1(2)1(323,34}{,2,00)2()16()4(111111115111121--=---⨯=-⋅=-+=-+=⋅=⋅=∴=+==∴=∴≠=-⇒+⋅=+⇒---n n S n k k d k d d k a a d a a a d a a a q a d a d d a d d a a d a n n n n n n n n k n n k k n n n 项和的前得由而的公比数列[评析]例2是一组等差、等比数列的基本问题，熟练运用概念、公式及性质是解决问题的基本功. [例3]解答下述问题：（Ⅰ）三数成等比数列，若将第三项减去32，则成等差数列；再将此等差数列的第二项减去4，又成等比数列，求原来的三数.[解析]设等差数列的三项，要比设等比数列的三项更简单，设等差数列的三项分别为a －d , a , a +d ，则有.9338,926,9250,10,2,92610,388,06432316803232))(()4()32)((22222或原三数为或得或∴===∴=+-⇒⎪⎩⎪⎨⎧+==-+⇒⎪⎩⎪⎨⎧+-=-=++-a d d d d da a d d d a d a a a d a d a（Ⅱ）有四个正整数成等差数列，公差为10，这四个数的平方和等于一个偶数的平方，求此四数. [解析]设此四数为)15(15,5,5,15>++--a a a a a ,⎩⎨⎧=+=-⇒⎩⎨⎧=+=-∴+<-+-⨯=⨯==+-⇒=+⇒∈=++++-+-∴*2521251,,,2551251125,125))((45004)()2()15()5()5()15(2222222a m a m a m a m a m a m a m a m a m a m m a N m m a a a a 且均为正整数与解得∴==),(1262不合或a a 所求四数为47，57，67，77[评析]巧设公差、公比是解决等差、等比数列问题的重要方法，特别是求若干个数成等差、等比数列的问题中是主要方法.数列综合题①②①，②二、填空题 13.251+ 14. 2926 15. n )31(34- 16. ±63 三、解答题17.a 1b =a 1,a 2b =a 10=a 1+9d ,a 3b =a 46=a 1+45d由{a bn }为等比数例，得（a 1+9d ）2=a 1(a 1+45d )得a 1=3d ,即a b 1=3d ,a b 2=12d ,a b 3=48d . ∴q =4 又由{a bn }是{a n }中的第b n a 项，及a bn =a b 1·4n -1=3d ·4n -1,a 1+(b n -1)d =3d ·4n -1 ∴b n =3·4n -1-218.∴ a 3=3b 3 , ∴a 1+2d =3a 1d 2 , ∴a 1(1-3d 2)=-2d ① a 5=5b 5, ∴a 1+4d =5a 1d 4 , ∴a 1(1-5d 4)=-4d ②②① ,得243151d d --=2，∴ d 2=1或d 2=51,由题意，d =55,a 1=-5。

2023届高考数学解答题专练-数列的性质(含答案)

2025届高考数学解答题专练：数列的性质一、解答题（共13题）1.我们知道，在等差数列{a n}中，当公差d>0时，{a n}单调递增；当公差d<0时，{a n}单调递减．请你探究等比数列{b n}单调递增的充要条件．2.在数列{a n}中，a n=2n−5，求数列{a n}的最大项与最小项．2n−7a n，n∈N∗．3.已知各项都是正数的数列{a n}的前n项和为S n，S n=a n2+12(1) 求数列{a n}的通项公式；}的前n项和T n，求证：(2) 设数列{b n}满足：b1=1，b n−b n−1=2a n(n≥2)，数列{1b nT n<2；(3) 若T n≤λ(n+4)对任意n∈N∗恒成立，求λ的取值范围．4.已知有限数列{a n}共有30项，其中前20项成公差为d的等差数列，后11项成公比为q的等比数列，记数列的前n项和为S n．从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求：条件①：a2=4，S5=30，a21=20；条件②：S3=0，a20=−36，a22=−9；条件③：S1=48，a21=20，a24=160．(1) d，q的值；(2) 数列{a n}中的最大项．5.在公比大于0的等比数列{a n}中已知a3a5=a4，且a2，3a4，a3成等差数列．(1) 求{a n}的通项公式；(2) 已知S n=a1a2⋯a n，试问当n为何值时，S n取得最大，并求S n的最大值（n∈N∗，a∈R，且a≠0）．6.已知数列{a n}中，a n=1+1a+2(n−1)(1) 若a=−7，求数列{a n}中的最大项和最小项的值；(2) 若对任意的n∈N∗，都有a n≤a6成立，求实数a的取值范围．7. 在数列 {a n } 中，若 a n ∈N ∗，且 a n+1={a n2,a n 是偶数a n +3,a n 是奇数（n =1,2,3,⋯），则称 {a n } 为“J 数列”．设 {a n } 为“J 数列”，记 {a n } 的前 n 项和为 S n ． (1) 若 a 1=10，求 S 3n 的值； (2) 若 S 3=17，求 a 1 的值；(3) 证明：{a n } 中总有一项为 1 或 3．8. 用 [x ] 表示一个小于或等于 x 的最大整数．如：[2]=2，[4.1]=4，[−3.1]=−4．已知实数列 a 0，a 1，⋯ 对于所有非负整数 i 满足 a i+1=[a i ]⋅(a i −[a i ])，其中 a 0 是任意一个非零实数． (1) 若 a 0=−2.6，写出 a 1，a 2，a 3； (2) 若 a 0>0，求数列 {[a i ]} 的最小值；(3) 证明：存在非负整数 k ，使得当 i ≥k 时，a i =a i+2．9. 若数列 {a n } 是首项为 6−12t ，公差为 6 的等差数列；数列 {b n } 的前 n 项和为 S n =3n −t ． (1) 求数列 {a n } 和 {b n } 的通项公式；(2) 若数列 {b n } 是等比数列，试证明：对于任意的 n (n ∈N,n ≥1)，均存在正整数 c n ，使得b n+1=ac n ，并求数列 {c n } 的前 n 项和 T n ．(3) 设数列 {d n } 满足 d n =a n b n ，且 {d n } 中不存在这样的项 d k ，使得“d k <d k−1 与 d k <d k+1”同时成立（其中 k ≥2，k ∈N ∗），试求实数的取值范围．10. 已知等比数列 {a n } 的公比为 q ，a 1=32，其前 n 项和为 S n (n ∈N ∗)，S 2，S 4，S 3 成等差数列．(1) 求数列 {a n } 的通项公式； (2) 求 b n =S n −1S n(n ∈N ∗) ,求 b n 的最大值与最小值．11. 在数列 {a n } 中，a 1=1，a n+1=1−14a n，b n =12an−1，其中 n ∈N ∗． (1) 证明数列 {b n } 是等差数列，并写出证明过程；(2) 设 c n =2bn2b n−1，数列 {c n } 的前 n 项和为 T n ，求 T n ；(3) 已知当 n ∈N ∗且 n ≥6 时，(1−mn+3)n<(12)m，其中 m =1,2,⋯n ，求满足等式 3n +4n +⋯+(n +2)n =(b n +3)b n 的所有 n 的值之和．12. 设 m 为正整数，各项均为正整数的数列 {a n } 定义如下：a 1=1，a n+1={a n2,a n 为偶数a n +m,a n 为奇数．(1) 若m=5，写出a8，a9，a10；(2) 求证：数列{a n}单调递增的充要条件是m为偶数；(3) 若m为奇数，是否存在n>1满足a n=1？请说明理由．13.已知数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，a2=a．(1) 若数列{a n}是等差数列，且a8=15，求实数a的值；(2) 若数列{a n}满足a n+2−a n=2(n∈N∗)，且S19=19a10，求证：{a n}是等差数列；(3) 设数列{a n}是等比数列，试探究当正实数a满足什么条件时，数列{a n}具有如下性质M：对于任意的n≥2(n∈N∗)，都存在m∈N∗，使得(S m−a n)(S m−a n+1)<0，写出你的探究过程，并求出满足条件的正实数a的集合．答案一、解答题（共13题）1. 【答案】b1>0，q>1或b1<0，0<q<1，其中q是等比数列{b n}的公比．2. 【答案】{a n}的最大项为a4=3，最小项为a3=−1．3. 【答案】(1) n=1时，a1=a12+12a1，所以a1=12，{S n+1=a n+12+12a n+1,S n=a n2+12a n⇒a n=a n2−a n−12+12a n−12a n−1⇒(a n+a n−1)(a n−a n−1−12)=0，因为a n>0，所以a n−a n−1=12，所以{a n}是以12为首项，12为公差的等差数列，所以a n=12n．(2) b n−b n−1=n，{b2−b1=2,b3−b2=3,⋮b n−b n−1=n⇒b n−b1=(n+2)(n−1)2⇒b n=n(n+1)2，1 b n =2n(n+1)=2(1n−1n+1)，所以T n=2(1−12+12−13+⋯+1n−1n+1)=2(1−1n+1)=2nn+1．(3) 由2nn+1≤λ(n+4)得λ≥2n(n+1)(n+4)=2n+4n+5，当且仅当n=2时，2n+4n+5有最大值29，所以λ≥29．4. 【答案】(1) 选择条件①：a2=4，S5=30，a21=20．因为{a n}的前20项成等差数列，a2=4，S5=30，所以 {a 1+d =4,5a 1+5×42d =30, 解得 {a 1=2,d =2.所以 a 20=2+19×2=40．因为数列 {a n } 后 11 项成公比为 q 的等比数列，所以 q =a 21a 20=12．综上，d =2，q =12．选择条件②：S 3=0，a 20=−36，a 22=−9．因为 {a n } 的前 20 项成等差数列，S 3=0，a 20=−36，所以 {3a 1+3d =0,a 1+19d =−36,所以 {a 1=2,d =−2.因为数列 {a n } 后 11 项成公比为 q 的等比数列，a 20=−36，又因为 a 22=−9，q 2=a22a 20=14，所以 q =±12．综上，d =−2，q =±12．选择条件③：S 1=48，a 21=20，a 24=160．因为数列 {a n } 后 11 项成公比为 q 的等比数列，a 21=20，a 24=160，所以 q 3=a24a 21=8，解得 q =2，所以 a 20=a 21q=10，又因为 {a n } 的前 20 项成等差数列，S 1=a 1=48，所以 d =a 20−a 120−1=−2，综上，d =−2，q =2．(2) 选择条件①：a 2=4，S 5=30，a 21=20． {a n } 的前 20 项成等差数列，d >0，所以前 20 项为递增数列．即：前 20 项的最大项为 a 20=40，数列 {a n } 的后 11 项成等比数列，q =12，所以后 11 项是递减数列．即：后 11 项的最大项为 a 20=40，综上，数列 {a n } 的最大项为第 20 项，其值为 40．选择条件②：S 3=0，a 20=−36，a 22=−9．{a n } 的前 20 项成等差数列，d <0，所以前 20 项为递减数列，前 20 项的最大项为 a 1=2，因为 q =±12，ⅰ．当 q =12 时，a n =−36(12)n−20（20≤n ≤30 且 n ∈N ∗），所以当 20≤n ≤30 时，a n <0，此时，数列 {a n } 的最大项为第 1 项，其值为 2． ⅱ．当 q =−12 时，a n =−36(−12)n−20（20≤n ≤30 且 n ∈N ∗），后 11 项的最大项为 a 21=18，此时，数列 {a n } 的最大项为第 21 项，其值为 18．综上，当 q =12 时，数列 {a n } 的最大项为第 1 项，其值为 2；当 q =−12 时，数列 {a n } 的最大项为第 21 项，其值为 18．选择条件③：S 1=48，a 21=20，a 24=160． {a n } 的前 20 项成等差数列，d <0，所以前 20 项为递减数列，前 20 项的最大项为 a 1=48， {a n } 的后 11 项成等比数列，而 a 20=10，q =2， a n =10⋅2n−20（20≤n ≤30 且 n ∈N ∗），所以后 11 项为递增数列，后 11 项的最大项为 a 30=10240，综上，数列 {a n } 的最大项为第 30 项，其值为 10240．5. 【答案】(1) 设 {a n } 的公比为 q ，由 a 3a 5=a 4，得 a 4=1．因为 a 2，3a 4，a 3 成等差数列，所以 a 2+a 3=6a 4，则 6q 2−q −1=0，解得 q =12 或 q =−13（舍），故 a 1=8．所以 a n =8×(12)n−1=24−n ．(2) S n =a 1a 2⋯a n =23+2+1+⋯+(4−n )=2(7−n )n 2，当 n =3或4 时，S n 取得最大值，(S n )max =64．6. 【答案】(1) 因为 a n =1+1a+2(n−1)（n∈N ∗，a ∈R ，且 a ≠0），a =−7，所以 a n =1+12n−9．结合函数 f (x )=1+12x−9 的单调性，可知 1>a 1>a 2>a 3>a 4，a 5>a 6>a 7>⋯>a n >1(n ∈N ∗)．所以数列 {a n } 中的最大项为 a 5=2，最小项为 a 4=0． (2) a n =1+1a+2(n−1)=1+12n−2−a 2．因为对任意的 n ∈N ∗，都有 a n ≤a 6 成立，并结合函数 f (x )=1+12x−2−a 2的单调性，所以 5<2−a 2<6，所以 −10<a <−8．即实数 a 的取值范围为 (−10,−8)．7. 【答案】(1) 由 a 1=10，a n+1={a n2,a n 是偶数a n +3,a n 是奇数（n =1,2,3,⋯），得 a 2=5，a 3=8，a 4=4，a 5=2，a 6=1，a 7=4，⋯，由上可知，数列 {a n } 自第四项起以 3 为周期周期出现，当 n =1 时，S 3n =23；当 n ≥2 时，S 3n =23+3(n −1)=3n +20．所以 S 3n ={23,n =13n +20,n ≥2．(2) S 3=a 1+a 2+a 3=17，若 a 1 为偶数，则 a 2=a 12，若 a 2 为偶数，则 a 3=a 14，此时 S 3=74a 1=17，a 1=687（舍）；若 a 2 为奇数，则 a 3=a 12+3，此时 S 3=2a 1+3=17，a 1=7（舍）；若 a 1 为奇数，则 a 2=a 1+3 为偶数，则 a 3=a 1+32，此时 S 3=5a 1+92=17，a 1=5；综上，a 1 的值为 5．(3) 利用数学归纳法（Ⅱ）证明如下：（1）当 a 1=1,2,3 时，对应的数列分别为： 1，4，2，1，4，2，1，⋯ 2，1，4，2，1，4，2，⋯ 3，6，3，6，3，6，3，⋯ 可知当 a 1=1,2,3 时，命题为真；（2）假设当 a 1<k （k ≥4）命题成立，下面证明 a 1=k 时命题成立．若 k 为偶数，则 a 2=k2<k ，由归纳假设，自 a 2 以后，必然出现 1 或 3，命题为真；若 k 为奇数，则 a 2=k +3，a 3=k+32<k （k ≥4），由归纳假设，自 a 3 以后，必然出现 1 或3，命题为真．综（1）（2）可知，{a n } 中总有一项为 1 或 3．8. 【答案】(1) a 1=−1.2，a 2=−1.6，a 3=−0.8．(2) 因 a 0>0，则 [a 0]≥0，所以 a 1=[a 0](a 0−[a 0])≥0，设 [a i ]≥0，i ≥1，则 a i+1=[a i ](a i −[a i ])≥0，所以 [a i ]≥0，∀i ≥0．又因 0≤a i −[a i ]<1，则 a i+1=[a i ](a i −[a i ])≤[a i ]，则 [a i+1]≤[a i ]，∀i ≥0．假设 ∀i ≥0，都有 [a i ]>0 成立，则 a i+1=[a i ](a i −[a i ])<[a i ]，则 [a i+1]<[a i ]，∀i ≥0，即 [a i+1]≤[a i ]−1，∀i ≥0，则 [a n ]≤[a 0]−n ，∀n ≥1，则当 n ≥[a 0] 时，[a n ]≤0，这与假设矛盾，所以 [a i ]>0，∀i ≥0 不成立，即存在 k ∈N ，[a k ]=0，从而 {[a i ]} 的最小值为 0．(3) 当 a 0>0 时，由（2）知，存在 k ∈N ，[a k ]=0，所以 a k+1=0，所以 [a k+1]=0，所以 a i =0，∀i ≥k ，成立．当 a 0<0 时，若存在 k ∈N ，a k =0，则 a i =0，∀i ≥k ，得证；若 a i <0，∀i ≥0，则 [a i ]≤−1，则 a i+1=[a i ](a i −[a i ])>[a i ]，则 [a i+1]≥[a i ]，∀i ≥0，所以数列 {[a i ]} 单调不减．由于 [a i ] 是负整数，所以存在整数 m 和负整数 c ，使得当 i ≥m 时，[a i ]=c ．所以，当 i ≥m 时，a i+1=c (a i −c )，则 a i+1−c 2c−1=c (a i −c 2c−1)，令 b i =a i −c 2c−1，即 b i+1=cb i ，i ≥m ．当 b m =0 时，则 b i =0，i ≥m ，则 a i =c 2c−1，i ≥m ，得证．当 b m ≠0 时，b i ≠0，i ≥m ，b i =c i−m b m ，i ≥m ，因当 i ≥m 时，[a i ]=c ，则 a i ∈[c,c +1)，则 {b i } 有界，所以 ∣c∣≤1，所以负整数 c =−1．所以 a i =−12+(−1)i−m b m =−12+(−1)i−m (a m +12)(i ≥m )，则 a i ={a m ,i =m,m +2,m +4,⋯−1−a m ,i =m +1,m +3,⋯．令 k =m ，满足当 i ≥k 时，a i =a i+2．综上，存在非负整数 k ，使得当 i ≥k 时，a i =a i+2．9. 【答案】(1) 因为 {a n } 是等差数列，所以 a n =(6−12t )+6(n −1)=6n −12t ，而数列 {b n } 的前 n 项和为 S n =3n −t ，所以当 n ≥2 时，b n =(3n −1)−(3n−1−1)=2×3n−1，又 b 1=S 1=3−t ，所以 b n ={3−t,n =12×3n−1,n ≥2．(2) 因为 {b n } 是等比数列，所以 3−t =2×31−1=2，即 t =1，所以 a n =6n −12．对任意的 n (n ∈N,n ≥1)，由于 b n+1=2×3n =6×3n−1=6×(3n−1+2)−12，令 c n =3n−1+2∈N ∗，则 a c n =6(2+3n−1)−12=b n+1，所以命题成立．数列 {c n } 的前 n 项和 T n =2n +1−3n 1−3=12×3n +2n −12．(3) 易得 d n ={6(3−t )(1−2t ),n =14(n −2t )3n ,n ≥2，由于当 n ≥2 时，d n+1−d n =4(n +1−2t )3n+1−4(n −2t )3n =8[n −(2t −32)]×3n ，所以（ⅰ）若 2t −32<2，即 t <74，则 d n+1>d n ，所以当 n ≥2 时，{d n } 是递增数列，故由题意得 d 1≤d 2，即 6(3−t )(1−2t )≤36(2−2t )，解得−5−√974≤t ≤−5+√974<74．（ⅱ）若 2≤2t −32<3，即 74≤t <94，则当 n ≥3 时，{d n } 是递增数列，故由题意得 d 2=d 3，即 4(2t −2)32=4(2t −3)33，解得 t =74．（ⅲ）若 m ≤2t −32<m +1(m ∈N ∗,m ≥3)，即m 2+34≤t <m 2+53(m ∈N,m ≥3)，则当 2≤n ≤m 时，{d n } 是递减数列，当 n ≥m +1 时，{d n } 是递增数列，则由题意，得 d m =d m+1，即 4(2t −m )3m =4(2t −m −1)3m+1，解得 t =2m+34．综上所述，取值范围是 −5−√974≤t ≤−5+√974或 t =2m+34（m ∈N ，m ≥2）．10. 【答案】(1) 若 q =1，又 a 1=32，所以 S 2=2a 1=3，S 4=4a 1=6，S 3=3a 1=92，则 2S 4≠S 2+S 3，不满足条件，所以 q ≠1，由 S 2，S 4，S 3 成等差数列，得 2S 4=S 2+S 3，所以2a 1(1−q 4)1−q=a 1(1−q 2)1−q+a 1(1−q 3)1−q,整理得2q 4=q 2+q 3,又 q ≠0，所以 2q 2=1+q ，解得 q =−12 或 q =1 (舍)，所以q =−12,所以a n =a 1q n−1=32(−12)n−1.(2) 由（1）知 S n =32[1−(−12)n ]1−(−12)=1−(−12)n={1+(12)n,n 为奇数,1−(12)n,n 为偶数.①当 n 为奇数时，S n 随着 n 的增大而减少，所以 1<S n ≤S 1=32，因为 y =x −1x 在 (0,+∞) 上为增函数，故 0<S n −1S n≤S 1−1S 1=32−23=56，即0<b n ≤56;②当 n 为偶数时，S n 随着 n 的增大而增大，所以 S 2≤S n <1，因为 y =x −1x 在 (−∞,0) 上为增函数，故 S 2−1S 2≤S n −1S n<0，又 S 2=1−(12)2=34，则S 2−1S 2=34−43=−712,所以 −712≤S n −1S n<0，即 −712≤b n <0，综上，∀n ∈N ∗，总有 −712≤b n ≤56，且 b n ≠0，所以 b n 的最大值为 56，最小值为 −712．11. 【答案】(1) 因为 a 1=1，a n+1=1−14a n，b n =12an −1，所以b n+1−b n=12a n+1−1−12an −1=12(1−14a n)−1−12an −1=11−12a n−12an −1=2a n2a n−1−12a n −1=1.所以数列 {b n } 是以 1 为公差，1 为首项的等差数列． (2) 由（1）可得 b n =1+n −1=n ，所以 c n =2b n 2b n−1=2n 2n−1=2n ⋅(12)n−1，所以 T n =2[(12)0+2(12)1+3(12)2+⋯+(n −1)(12)n−2+n (12)n−1]，12T n =2[(12)1+2(12)2+3(12)3+⋯+(n −1)(12)n−1+n (12)n]，所以12T n=2[(12)0+(12)1+(12)2+(12)3+⋯+(12)n−1]−2n (12)n =2⋅1−(12)n1−12−2n (12)n=4−4(12)n −2n (12)n .所以 T n =8−8(12)n −4n (12)n ． (3) 由（1）将 3n +4n +⋯+(n +2)n =(b n +3)b n 化为 3n +4n +⋯+(n +2)n =(n +3)n ，即 (3n+3)n +(4n+3)n +⋯+(n+2n+3)n =1，所以 (1−n n+3)n +(1−n−1n+3)n +⋯+(1−1n+3)n =1，因为当 n ∈N ∗ 且 n ≥6 时，(1−m n+3)n <(12)m ，所以 (1−1n+3)n <12，(1−2n+3)n <(12)2，⋯⋯，(1−n n+3)n <(12)n ，所以 (1−n n+3)n +(1−n−1n+3)n +⋯+(1−1n+3)n <12+(12)2+⋯+(12)n =1−(12)n<1，所以当 n ≥6 时，3n +4n +⋯+(n +2)n <(n +3)n ，当 n =1 时，31<(1+3)1，当 n =2 时，32+42=(2+3)2，当 n =3 时，33+43+53=(3+3)3=216，当 n =4 时，34+44+54+64=2258<(4+3)4=2401，当 n =5 时，35+45+55+65+75=12168<(5+3)5=32768，所以满足 3n +4n +⋯+(n +2)n =(b n +3)b n 的所有 n =2和3，其和为 5．12. 【答案】(1) a 8=6，a 9=3，a 10=8．(2) 先证“充分性”．当 m 为偶数时，若 a n 为奇数，则 a n+1 为奇数．因为 a 1=1 为奇数，所以归纳可得，对 ∀n ∈N ∗，a n 均为奇数，则 a n+1=a n +m ，所以 a n+1−a n =m >0，所以数列 {a n } 单调递增．再证“必要性”．假设存在 k ∈N ∗ 使得 a k 为偶数，则 a k+1=a k 2<a k ，与数列 {a n } 单调递增矛盾，因此数列 {a n } 中的所有项都是奇数．此时 a n+1=a n +m ，即 m =a n+1−a n ，所以 m 为偶数．(3) 存在 n >1 满足 a n =1，理由如下：因为 a 1=1，m 为奇数，所以 a 2=1+m ≤2m 且 a 2 为偶数，a 3=1+m 2≤m ．假设a k为奇数时，a k≤m；a k为偶数时，a k≤2m．当a k为奇数时，a k+1=a k+m≤2m，且a k+1为偶数；当a k为偶数时，a k+1=a k2≤m．所以若a k+1为奇数，则a k+1≤m；若a k+1为偶数，则a k+1≤2m．因此对∀n∈N∗都有a n≤2m．所以正整数数列{a n}中的项的不同取值只有有限个，所以其中必有相等的项．设集合A={(r,s)∣a r=a s,r<s}，设集合B={r∈N∗∣(r,s)∈A}⊆N∗．因为A≠∅，所以B≠∅．令r1是B中的最小元素，下面证r1=1．设r1>1且a r1=a s1(r1<s1)．当a r1≤m时，a r1−1=2a r1，a s1−1=2a s1，所以a r1−1=a s1−1；当a r1>m时，a r1−1=a r1−m，a s1−1=a s1−m，所以a r1−1=a s1−1．所以若r1>1，则r1−1∈B且r1−1<r1，与r1是B中的最小元素矛盾．所以r1=1，且存在1<s1∈N∗满足a s1=a1=1，即存在n>1满足a n=1．13. 【答案】(1) 设等差数列{a n}的公差为d．由a1=1，a8=15得1+7d=15，解得d=2，则得a2=a1+d=1+2=3，所以a=3．(2) 由S19=19a10，得10×1+10×92×2+9a+9×82×2=19×(a+8)，解得a=2，由a n+2−a n=2，且a1=1，a2=2，得当n为奇数时，a n=a1+n−12×2=n；当n为偶数时，a n=a2+n−22×2=n．所以对任意n∈N∗，都有a n=n，当n≥2时，a n−a n−1=1，所以数列{a n}是以1为首项、1为公差的等差数列．(3) 由题意a n=a n−1．①当0<a<1时，a3<a2<a1≤S m，所以对任意m∈N∗，都有(S m−a2)(S m−a3)>0，因此数列{a n}不具有性质M；②当a=1时，a n=1，S n=n，所以对任意m∈N∗，都有(S m−a2)(S m−a3)=(m−1)2≥0，因此数列{a n}不具有性质M；③当1<a<2时，(a−1)2>0⇔a(2−a)<1⇔12−a >a⇔log a12−a>1n≥log a12−a ⇔a n−1a−1≥a n⇔S n≥a n+1，n<log a12−a ⇔a n−1a−1<a n⇔S n<a n+1，取⌈log a12−a⌉=n0（⌈x⌉表示不小于x的最小整数），则S n0≥a n0+1，S n0−1<a n．所以对于任意m∈N∗，(S m−a n0)(S m−a n0+1)≥0，即对于任意m∈N∗，S m都不在区间(a n0,a n0+1)内，所以数列{a n}不具有性质M；④当a≥2时，S n−a n+1=a n−1a−1−a n=(2−a)a n−1a−1<0，且S n>a n，即对任意的n≥2(n∈N∗)，都有(S m−a n)(S m−a n+1)<0，所以当a≥2时，数列{a n}具有性质M．综上，使得数列{a n}具有性质M的正实数a的集合为[2,+∞)．③④的另解：当a>1时，{a n}单调递增，{S n}单调递增，且n≥2时，S n>a n．若对任意n≥2(n∈N∗)，都存在m∈N∗，使得(S m−a n)(S m−a n+1)<0，即存在S m在区间(a n,a n+1)内．观察(a2,a3)，(a3,a4)，⋯，发现在(a n,a n+1)内的S m只能是S n．证明：在n−1个区间(a2,a3)，(a3,a4)，⋯，(a n,a n+1)内需要n−1个S m，因为S1<a2，S n+1>a n+1，所以可选择的S m只能是S2，S3，⋯，S n，共n−1个．由S2<S3<⋯<S n，得a n<S n<a n+1．所以只需满足S n<a n+1恒成立，即a n−1a−1<a n，得2−1a n<a对任意n∈N∗都成立．因为数列{2−1a n }单调递增，且limn→∞(2−1a n)=2，所以a≥2．综上，使得数列{a n}具有性质M的正实数a的集合为[2,+∞)．结束。

数列练习题(附答案)

数列综合题一、填空题1．各项都是正数的等比数列{a n }，公比q ≠1,a 5,a 7,a 8成等差数列，则公比q= 2．已知等差数列{a n }，公差d ≠0,a 1,a 5,a 17成等比数列，则18621751a a a a a a ++++=3． 3已知数列{a n }满足S n =1+n a 41,则a n =4．已知二次函数f(x)=n(n+1)x 2-(2n+1)x+1,当n=1,2,…，12时，这些函数的图像在x 轴上截得的线段长度之和为5.已知数列{a n }的通项公式为a n =log (n+1)(n+2),则它的前n 项之积为6.数列{(-1)n-1n 2}的前n 项之和为7．一种堆垛方式，最高一层2个物品，第二层6个物品，第三层12个物品，第四层20个物品，第五层30个物品，…，当堆到第n 层时的物品的个数为8．已知数列1，1，2，…，它的各项由一个等比数列与一个首项为0的等差数列的对应项相加而得到，则该数列前10项之和为9．在2和30之间插入两个正数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则插入的这两个数的等比中项为10．已知整数对的序列如下：（1，1），（1，2），（2，1），（1，3），（2，2），（3，1），（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），（1，5），（2，4），……，则第60个数对为 11．设等差数列｛a n ｝的前n 项和是S n ，若a 5=20－a 16，则S 20=___________． 12．若｛a n ｝是等比数列，a 4· a 7= －512，a 3+ a 8=124，且公比q 为整数，则a 10等于___________．13．在数列｛a n ｝中，a 1=1，当n ≥2时，a 1 a 2… a n =n 2恒成立，则a 3+ a 5=___________． 14．设｛a n ｝是首项为1的正项数列，且（n ＋1）21+n a －na 2n ＋a n +1 a n =0（n =1，2，3，…），则它的通项公式是a n =___________．二.解答题1.已知数列{a n }的通项公式为a n =3n +2n +(2n-1),求前n 项和2．已知数列{a n }是公差d 不为零的等差数列，数列{a bn }是公比为q 的等比数列， b 1=1,b 2=10,b 3=46,，求公比q 及bn 。

数列练习题及答案(通用)

必修5第二章《数列》练习题一、选择题1．数列1，3，6，10，的一个通项公式是：（）A. 12+-=n n a nB.)1(21-=n n a nC.)1(21+=n n a nD.)1)(1(21+-=n n n a n2．若三个连续整数和为48，则紧随它们后面的三个连续整数的和是（） A ．48 B ．46 C ．54 D ．573．等差数列的前三项依次为a-1，a+1，2a+3，则a 的值为（） A ．1 B ．-1 C ．0 D ．24．在等差数列中，若1a +2a +…+10a =65，11a +12a +…+20a =165，则1a 的值为；（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 45．若ac ＞0，m 是a ，c 的等比中项，则有（）6.下列等比数列中,首项为1的是( )A.n n a 4=B.n n a 21=C.nn a ⎪⎭⎫⎝⎛⋅=313 D.122-⋅=n n a7.下列几种说法正确的是( )A. 常数列是等差数列也是等比数列B. 常数列是等比数列但不可能是等差数列C. 常数列是等差数列但不可能是等比数列D. 常数列是等差数列也可能是等比数列8.首项为3,末项为3072,公比为2的等比数列的项数有( )A. 11项B. 12项C. 13项D. 10项 9.在等比数列}{n a 中,,24,3876543==a a a a a a 则=11109a a a ( )A. 48B. 72C. 144D. 192 10.公差不为零的等差数列的第2,3，6项组成等比数列，则公比为（） A 、1 B 、2 C 、3 D 、411.在等比数列{}n a 中，如果66=a ，99=a ，那么=3a （）A 、4B 、23C 、916D 、312.在等比数列{}n a 中，5642a a a +=，则公比q 等于（） A 、1或2 B 、－1或－2 C 、1或－2 D 、－1或213．若数列{}n a 的前n 项和322+-=n n S n ,则这个数列的前三项分别是: ( ) A. -1,1,3 B. 2,1,3 C. 2,1,0 D. 2,1,614．已知等比数列的公比是2，且前四项和为1，那么前八项之和为（） A ．15 B ．17 C ．19 D ．2115.设等差数列{}n a 的公差为d ，如果它的前n 项和Sn=－n 2，那么（） A 、2,12-=-=d n a n B 、2,12=-=d n a n C 、 2,12-=+-=d n a n D 、2,12=+-=d n a n二、填空题1．等差数列{a n }中，a 1=-1，a 7=8，则a 8=____。

数列专项训练(含答案)

数列与数学归纳法专项训练1. 如图，曲线y2= x(y�0)上的点E与x轴的正半轴上的点Q及原点0构成一系列正三角形D.OP从，D.Q1P从，…D.Qn-1P从…设正三角形Q n-l�Q n的边长为a n'n EN*记Q。

为0),�(S n,O). Cl)求a l的值，(2)求数列{a n}的通项公式a n02. 设忆｝，｛九｝都是各项为正数的数列，对任意的正整数n,都有a n, 历，a n+l成等差数列，历，a n+l'b�+l成等比数列．(1)试问仇｝是否成等差数列？为什么？1(2)如果a,=l,b1 =五，求数列厂｝的前n项和s".3. 已知等差数列{a n }中，a2=8,S6=66. 。

yQ1 QX2C I)求数列{a n }的通项公式；2 1C II)设仇＝，兀=b l + b2 + ... + b n , 求证：T n 2—.(n+l)a n 63 1 14. 酰n数列{a n}中a l=—,a n=2-(n?:2, n EN十），数列｛仇｝，满足丸＝5 a n-1 a n -1C n E N+)Cl)求证数列{b n}是等差数列；(2)求数列{a n}中的最大项与最小项，并说明理由；(3)记S n=b l +b2 +…+b求1iin(n-I)b nn➔oo sn+l5已知数列{a,,}中，a,>O,且8,c=厂汇，(I)试求a的值，使得数列{a n}是一个常数数列；(II)试求a的取值范围，使得a,i+1>a n对任何自然数n都成立；(III)若a1=2,设b n=I a叶1-a n l c严1,2, 3, …)，并以＄表示数列｛妇的前n项的和，求证：55,<—·1 x+l 1 6. (1)已知：x E (O+oo ), 求证<l n <—;x+lx x 1 1 1 1 1(2)已知：nEN且n�2,求证：—＋—十···+—<n n <l+—+···十2 3 n 2 n-l7. 已知数列忆｝各项均不为0'其前n 项和为S n , 且对任意nEN*, 都有(1-p )· 旯=p -p a n(p为大于1的常数），并记f(n) =1 + C ! . a l + c �. a2 + ... + c : . a n 2n .s n(1)求a n ;p+l(2)比较f (n+l )与·f (n)的大小nE N 勹2p (3)求证：(2n -l)·f (n) :5笘/(i ):', ; : �·[勹;::厂}nE N 勹．8. 已知nEN*,各项为正的等差数列{a n }满足a 2·a 6 = 21, a 3 + a 5 = 10 , 又数列{lgb n }的前n 项和是1S n = n (n+ l ) l g 3 --n (n -l)。

高中数学--数列大题专项训练(含详解)

高中数学--数列大题专项训练（含详解）一、解答题（本大题共16小题，共192.0分）1.已知{}n a 是等比数列，满足12a =，且2a ，32a +，4a 成等差数列，数列{}n b 满足*1231112()23n b b b b n n N n+++⋅⋅⋅+=∈(1)求{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)设(1)()n n n n c a b =--，求数列{}n c 的前2n 项和2.n S 2.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且233.n n S a +=(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若32log n n n b a a +=⋅，求数列{}n b 的前n 项和.n T 3.在数列{}n a 中，111,(1n n n a a a c c a +==⋅+为常数，*)n N ∈，且1a ，2a ，5a 成公比不为1的等比数列．(1)求证：数列1{}na 是等差数列；(2)求c 的值；(3)设1n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和.n S4.在ABC 中，已知三内角A ，B ，C 成等差数列，且11sin().214A π+=()Ⅰ求tan A 及角B 的值；()Ⅱ设角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且5a =，求b ，c 的值．5.在数列{}n a 中，11a =，11(1)(1)2nn n a a n n +=+++⋅(1)设n n a b n=，求数列{}n b 的通项公式(2)求数列{}n a 的前n 项和nS 6.已知数列的各项均为正数，前项和为，且()Ⅰ求证数列是等差数列；()Ⅱ设求7.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n n a a S S =+对一切正整数n 都成立．(1)求1a ，2a 的值；(2)设10a >，数列110lg n a a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，当n 为何值时，n T 最大？并求出n T 的最大值．8.已知等差数列{}n a 的前四项和为10，且2a ，3a ，7a 成等比数列．(1)求通项公式na (2)设2n a nb =，求数列n b 的前n 项和.n S 9.已知在数列{}n a 中，13a =，1(1)1n n n a na ++-=，*.n N ∈(1)证明数列{}n a 是等差数列，并求n a 的通项公式；(2)设数列11{}n n a a +的前n 项和为n T ，证明：1.(126n T <分)10.已知函数2(1)4f x x +=-，在等差数列{}n a 中，1(1)a f x =-，232a =-，3().a f x =(1)求x 的值；(2)求数列{}n a 的通项公式.n a 11.已知数列{}n a 是公比大于1的等比数列，1a ，3a 是函数2()109f x x x =-+的两个零点.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若数列{}n b 满足3log n n b a n =+，求数列{}n b 的前n 项和n S 。

数列综合练习题(含答案)精选全文

3月6日数列综合练习题一、单选题1．已知数列为等比数列，是它的前n项和．若,且与的等差中项为，则（）A ．35B ．33C ．31D ．29【答案】C 【解析】试题分析：∵等比数列{}n a ，∴21a a q =⋅，∴13134222a q a a q a a ⋅⋅=⇒⋅=⇒=，又∵与的等差中项为54，∴477512244a a a ⋅=+⇒=，∴3741182a q q a ==⇒=，∴41316a a q ==，515116(1)(1)32311112a q S q--===--.2．等差数列{}n a 中，19173150a a a ++=则10112a a -的值是（）A．30B．32C．34D．25【答案】A 【解析】试题分析：本题考查等差数列的性质，难度中等．由条件知930a =，所以10112a a -=930a =，故选A．3．数列满足且，则等于（）A．B．C．D．【答案】D 【解析】由有解知数列1n x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1，公差为211112x x -=的等差数列；所以11121(1),221n n n n x x n +=+-=∴=+.故选D 4．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列21{}n a -的前n 项和为n T ，下列说法错误．．的是（）A ．若n S 有最大值，则n T 也有最大值B ．若n T 有最大值，则n S 也有最大值C ．若数列{}n S 不单调，则数列{}n T 也不单调D ．若数列{}n T 不单调，则数列{}n S 也不单调【答案】C 【解析】【详解】解：数列{a 2n ﹣1}的首项是a 1，公差为2d ，A ．若S n 有最大值，则满足a 1＞0，d ＜0，则2d ＜0，即T n 也有最大值，故A 正确，B ．若T n 有最大值，则满足a 1＞0，2d ＜0，则d ＜0，即S n 也有最大值，故B 正确，C ．S n ＝na 1()12n n -+•d 2d =n 2+（a 12d -）n ，对称轴为n 111122222d da a a d d d --=-==--⨯，T n ＝na 1()12n n -+•2d ＝dn 2+（a 1﹣d ）n ，对称轴为n 111222a d d -=-=-•1a d，不妨假设d ＞0，若数列{S n }不单调，此时对称轴n 11322a d =-≥，即1a d-≥1，此时T n 的对称轴n 1122=-•111122a d ≥+⨯=1，则对称轴1122-•132a d ＜有可能成立，此时数列{T n }有可能单调递增，故C 错误，D ．不妨假设d ＞0，若数列{T n }不单调，此时对称轴n 1122=-•132a d ≥，即1a d-≥2，此时{S n }的对称轴n 11122a d =-≥+25322＞=，即此时{S n }不单调，故D 正确则错误是C ，故选C ．5．设n=（）A ．333n 个B ．21333n - 个C ．21333n- 个D ．2333n 个【答案】A【解析】1013333n n -====⋅⋅⋅ 个.故选A.6．已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足2124n n a S n +=++，且21a -，3a ，7a 恰好构成等比数列的前三项，则4a =（）．A ．1B ．3C ．5D ．7【答案】C 【详解】∵2124n n a S n +=++，当2n ≥，()21214n n a S n -=+-+，两式相减，化简得()2211n n a a +=+，∵0n a >，∴11n n a a +=+，数列{}n a 是公差1的等差数列．又21a -，3a ，7a 恰好构成等比数列的前三项，∴()()211126a a a +=+，∴12a =，∴45a =．故选：C第II 卷（非选择题)二、填空题7．已知数列{}n a 的首项11a =，且1(1)12nn na a n a +=+ ，则5a =____．【答案】198．等差数列{}n a 中，39||||a a =，公差0d <，则使前n 项和n S 取得最大值的自然数n 是________．【答案】5或6【解析】试题分析：因为0d <，且39||||a a =，所以39a a =-，所以1128a d a d +=--，所以150a d +=，所以60a =，所以0n a >()15n ≤≤，所以n S 取得最大值时的自然数n 是5或6．9．数列{}n a 满足：11a =，121n n a a +=+，且{}n a 的前n 项和为n S ，则n S =__.【答案】122n n +--【详解】由121n n a a +=+得()1+121n n a a +=+所以1112+n n a a +=+，且112a +=所以数列{}1n a +是以2为首项，2为公比的等比数列，且11=222n nn a -+⨯=所以21nn a =-前n 项和()123121222222212n nn nS n n n +-=++++-==--- 10．已知数列{}n a 中,132a =前n 项和为n S ，且满足()*123n n a S n N ++=∈，则满足2348337n n S S ＜＜所有正整数n 的和是___________.【答案】12【详解】由()*123n n a S n N++=∈得()123n n n SS S +-+=，即()11332n n S S +-=-，所以数列{}3n S -是首项为113332S a -=-=-，公比为12的等比数列，故31322n nS -=-⋅，所以332n n S =-，所以22332n n S =-.由2348337n n S S <<得2332334833732n n -<-<，化简得1113327n <<，故3,4,5n =.满足2348337n nS S ＜＜所有正整数n 的和为34512++=.故答案为：12三、解答题11．已知数列{a n }满足a 1＝3，a n ﹣a n ﹣1﹣3n ＝0，n ≥2．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）设b n 1na =，求数列{b n }的前n 项和S n ．【详解】（1）数列{a n }满足a 1＝3，a n ﹣a n ﹣1﹣3n ＝0，n ≥2，即a n ﹣a n ﹣1＝3n ，可得a n ＝a 1+（a 2﹣a 1）+（a 3﹣a 2）+…+（a n ﹣a n ﹣1）＝3+6+9+…+3n 12=n （3+3n ）32=n 232+n ；（2）b n 123n a ==•2123n n =+（111n n -+），前n 项和S n 23=（1111112231n n -+-++-+ ）23=（111n -+）()231n n =+．12．在数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，满足2(,*)n n S ka n n k R n N =+-∈∈．（I ）若1k =，求数列{}n a 的通项公式；（II ）若数列{}21n a n --为公比不为1的等比数列，求n S ．【答案】解：（1）当1k =时，2,n n S a n n =+-所以21,(2)n S n n n -=-≥,即22(1)(1),(1)n S n n n n n =+-+=+≥……3分所以当1n =时，112a S ==；当2n ≥时，221(1)(1)2n n n a S S n n n n n -=-=+----=所以数列{}n a 的通项公式为．……………6分（II ）当时，1122n n n n n a S S ka ka n --=-=-+-，1(1)22n n k a ka n --=-+，111a S ka ==，若1k =，则211n a n --=-，从而{}21n a n --为公比为1的等比数列，不合题意；……………8分若1k ≠，则10a =，221a k=-，3246(1)k a k -=-212325378333,5,71(1)k k k a a a k k --+--=--=-=--由题意得，2213(5)(3)(7)0a a a -=--≠，所以0k =或32k =．……10分当0k =时,2n S n n =-，得22n a n =-,213n a n --=-,不合题意；…12分当32k =时，1344n n a a n -=-+，从而1213[2(1)1]n n a n a n ---=---因为121130,a -⨯-=-≠210n a n --≠，{}21n a n --为公比为3的等比数列,213nn a n --=-，所以231nn a n =-+，从而1233222n n S n n +=+-+．………………………14分【解析】试题分析：解：（1）当1k =时，2,n n S a n n =+-所以21,(2)n S n n n -=-≥,即22(1)(1),(1)n S n n n n n =+-+=+≥……3分所以当1n =时，112a S ==；当2n ≥时，221(1)(1)2n n n a S S n n n n n -=-=+----=所以数列{}n a 的通项公式为…6分（2）当时，1122n n n n n a S S ka ka n --=-=-+-，1(1)22n n k a ka n --=-+，111a S ka ==，若1k =，则211n a n --=-，从而{}21n a n --为公比为1的等比数列，不合题意；若1k ≠，则10a =，221a k=-，3246(1)k a k -=-212325378333,5,71(1)k k k a a a k k --+--=--=-=--由题意得，2213(5)(3)(7)0a a a -=--≠，所以0k =或32k =．当0k =时,2n S n n =-，得22n a n =-,213n a n --=-,不合题意；当32k =时，1344n n a a n -=-+，从而1213[2(1)1]n n a n a n ---=---因为121130,a -⨯-=-≠210n a n --≠，{}21n a n --为公比为3的等比数列,213nn a n --=-，所以231nn a n =-+，从而1233222n n S n n +=+-+．13．设数列{}n a 的通项公式63n a n =-+，{}n b 为单调递增的等比数列，123512b b b =，1133a b a b +=+．()1求数列{}n b 的通项公式．()2若3nn na cb -=，求数列{}n c 的前n 项和n T ．【详解】()1由题意，数列{}n a 的通项公式n a 6n 3=-+，{}n b 为单调递增的等比数列，设公比为q ，123b b b 512=，1133a b a b +=+．可得331b q 512=，2113b 15b q -+=-+，解得1b 4=，或1q 2(2=-舍去)，则n 1n 1n b 422-+=⋅=。

专题18 数列(解答题压轴题)(学生版)-2024年高考数学压轴专题复习

专题18 数列（解答题压轴题）目录①数列求通项，求和 (1)②数列中的恒成立（能成立）问题 (5)③数列与函数 (8)④数列与概率 (11)①数列求通项，求和②数列中的恒成立（能成立）问题1．（2023·吉林·长春吉大附中实验学校校考模拟预测）图中的数阵满足：每一行从左到右成等差数列，每一列从上到下成等比数列，且公比均为实数21,11,32,24,27,5,0,5,6,q a a a a a >==-=．1,11,21,31,2,12,22,32,3,13,23,33,,1,2,3,n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅(1)设,n n n b a =，求数列{}n b 的通项公式；(2)设1,12,1,1n n S a a a =++⋅⋅⋅+，是否存在实数λ，使,1n n a S λ≤恒成立，若存在，求出λ的所有值，若不存在，请说明理由．2．（2023·河北·统考模拟预测）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(),n n S 在曲线220x x y -+=上.(1)证明：数列{}n a 为等差数列；③数列与函数④数列与概率1．（2023·湖南·校联考模拟预测）一部电视连续剧共有1(10)n n +≥集，某同学看了第一集后，被该电视剧的剧情所吸引，制定了如下的观看计划：从看完第一集后的第一天算起，把余下的n 集电视剧随机分配在2n 天内；每天要么不看，要么看完完整的一集；每天至多看一集．已知这部电视剧最精彩的部分在第n 集，设该同学观看第一集后的第X 天观看该集．(1)求X 的分布列；(2)证明：最有可能在第(22)n -天观看最精彩的第n 集．2．（2023春·河北唐山·高二校考期末）第22届世界杯于2022年11月21日到12月18日在卡塔尔举办．在决赛中，阿根廷队通过点球战胜法国队获得冠军．(1)扑点球的难度一般比较大，假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左也会等可能地随机选择球门的左不到球．不考虑其它因素，在一次点球大战中，求门将在前三次扑到点球的个数(2)好成绩的取得离不开平时的努力训练，甲等可能地随机传向另外4．（2023·全国·高三专题练习）学校篮球队30名同学按照1，2，…，30(1)估计这100位学生的数学成绩的平均值(2)根据整个年级的数学成绩可以认为学生的数学成绩样本的标准差s 的近似值为10，用样本平均数抽取一位学生，求他的数学成绩恰在640().6827P X μσμσ≤≤+≈-，(2P μσ-(3)该年级1班的数学老师为了能每天督促学生的网络学习，提高学生每天的作业质量及学习数学的积极性，8．（2023·全国·高三专题练习）某学校组织数学，物理学科答题竞赛活动，该学校准备了100个相同的箱子，其中第()1,2,,100k k = 个箱子中有k 个数学题，100k -个物理题．每一轮竞赛活动规则如下：任选一个箱子，依次抽取三个题目（每次取出不放回），并全部作答完毕，则该轮活动结束；若此轮活动中，三个题目全部答对获得一个奖品．(1)已知学生甲在每一轮活动中，都抽中了2个数学题，1个物理题，且甲答对每一个数学题的概率为p ，答对每一个物理题的概率为q ．①求学生甲第一轮活动获得一个奖品的概率；②已知1p q +=，学生甲理论上至少要进行多少轮活动才能获得四个奖品？并求此时p 、q 的值．(2)若学生乙只参加一轮活动，求乙第三次抽到物理题的概率．。

春季高考数学数列历年真题资料讲解

春季高考数学数列历年真题收集于网络，如有侵权请联系管理员删除第五章：数列历年高考题一、单项选择题1、（2003）已知数列{a n }是等差数列，如果a 1=2，a 4=-6则前4项的和S 4是（）A -8B -12C -2D 42、（2004年）在∆ABC 中，若∠A 、∠B 、∠C 成等差数列，且BC=2，BA=1，则AC 等于（）A 332 B 1 C 3 D 73、（2004）在洗衣机的洗衣桶内用清水洗衣服，如果每次能洗去污垢的32，则要使存留在衣服上的污垢不超过最初衣服上的2℅，该洗衣机至少要清洗的次数是（）A 2B 3C 4D 54、（2005年）在等差数列{a n }中，若a 1+a 12=10，则a 2+a 3+ a 10+a 11 等于（）A 10B 20C 30D 405、（2005年）在等比数列{a n }中，a 2=2,a 5=54,则公比q=（） A 2 B 3 C 9 D 276、（2006年）若数列的前n 项和S n =3n n -2,则这个数列的第二项a 2等于（）A 4B 6C 8D 107、（2007）为了治理沙漠，某农场要在沙漠上栽种植被，计划第一年栽种15公顷，以后每一年比上一年多栽种4公顷，那么10年后该农场栽种植被的公顷数是（）A 510B 330C 186D 518、（2007年）如果a,b,c 成等比数列，那么函数y=ax 2+bx+c 的图像与x 轴的交点个数是（）A 0B 1C 2D 1或29、（2007年）小王同学利用在职业学校学习的知识，设计了一个用计算机进行数字变换的游戏，只要游戏者输入任意三个数a 1 ，a 2，a 3，计算机就会按照规则：a 1+ 2a 2- a 3，a 2+ 3a 3,5a 3进行处理并输出相应的三个数，若游戏者输入三个数后，计算机输出了29,50,55三个数，则输入的三个数依次是（） A 6,10,11 B 6,17,11 C 10,17,11 D 6,24,1110、（2008年）在等差数列{a n }中，若a 2+a 5=19，则a 7 =20，则该数列的前9项和是（）A 26B 100C 126D 15511、（2009年）在等差数列{a n }中，若a 1+a 8=15，则S 8等于（） A 40 B 60 C 80 D 24012、（2009年）甲、乙两国家2008年的国内生产总值分别为a （亿元）和4a(亿元)，甲国家计划2028年的国内生产总值超过乙国，假设乙国的年平均增长率为，那么甲国的年平均增长率最少应为（）A 9.6℅B 9.2℅C 8.8℅D 8.4℅13、（2009年）如果三个实数a,b,c 成等比数列，那么函数y=ax 2+bx+c 与y=ax+b 在同一坐标系中的图像可能是（）y yx xy收集于网络，如有侵权请联系管理员删除14、（2010年）已知2，m ，8构成等差数列，则实数m 的值是（） A 4 B 4或-4 C 10 D 515、（2010年）已知数列的前n 项和S n =n n +2,则第二项a 2的值是（） A 2 B 4 C 6 D 816、（2011年）如果三个正数a,b,c 成等比数列，那么lga,lgb,lgc （） A.成等差数列但不成等比数列 B.成等比数列但不成等差数列 C.成等差数列且成等比数列 D.既不成等差数列也不成等比数列17、（2011年）已知等差数列{a n }，a 3=5,a 7=13，则该数列前10项的和为（）。

(完整版)《数列》练习题及答案

欢迎阅读《数列》练习题姓名_________班级___________一、选择题(本大题共10个小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．等差数列－2，0，2，…的第15项为( ) A ．11 2 B ．12 2 C ．13 2 D ．14 22．若在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a 2n －1(n ∈N *)，则a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝( ) A ．－1 B ．1 C ．0 D ．23．某种细胞开始有2个，1小时后分裂成4个并死去1个，2小时后分裂成6个并死去1个，3小时后分裂成10个并死去1个，…，按此规律进行下去，6小时后细胞存活的个数是( )A ．33个B ．65个C ．66个D ．129个4．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S 8＝30，S 4＝7，则a 4的值等于( ) A.14 B.94 C.134 D.1745．设f (x )是定义在R 上的恒不为零的函数，且对任意的实数x 、y ∈R ，都有f (x )·f (y )＝f (x ＋y )，若a 1＝12，a n ＝f (n )(n ∈N *)，则数列{a n }的前n 项和S n 的取值范围为( )A ．[12，2)B ．[12，2]C ．[12，1)D ．[12，1]6．小正方形按照如图所示的规律排列：每个图中的小正方形的个数构成一个数列{a n }，有以下结论：①a 5＝15；②数列{a n }是一个等差数列；③数列{a n }是一个等比数列；④数列的递推公式为：a n ＋1＝a n ＋n ＋1(n ∈N *)．其中正确的命题序号为( )A ．①②B ．①③C ．①④D ．①7．已知数列{a n }满足a 1＝0，a n ＋1＝a n －33a n ＋1(n ∈N *)，则a 20＝( )A ．0B ．－ 3 C. 3D.328．数列{a n }满足递推公式a n ＝3a n －1＋3n －1(n ≥2)，又a 1＝5，则使得{a n ＋λ3n}为等差数列的实数λ＝( )A ．2B ．5C ．－12D.129．在等差数列{a n }中，a 10<0，a 11>0，且a 11>|a 10|，则{a n }的前n 项和S n 中最大的负数为( )A．S17 B．S18 C．S19D．S2010．将数列{3n－1}按“第n组有n个数”的规则分组如下：(1)，(3,9)，(27,81,243)，…，则第100组中的第一个数是( )A．34 950 B．35 000 C．35 010D．35 050二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)11．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S9＝72，则a2＋a4＋a9＝________.12．设数列{a n}中，a1＝2，a n＋1＝a n＋n＋1，则通项a n＝________.．)100项2,0，n2n1232n－1<3.18．(本小题满分8分)已知数列{a n}的前n项和为S n，且a n＋S n＝1(n∈N*)．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若数列{b n}满足b n＝3＋log4a n，设T n＝|b1|＋|b2|＋…＋|b n|，求T n.19．(本小题满分10分)已知单调递增的等比数列{a n}满足a2＋a3＋a4＝28，且a3＋2是a2，a4的等差中项．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若b n ＝n n a log a 21，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，对任意正整数n ，S n ＋(n ＋m )a n ＋1<0恒成立，试求m 的取值范围．参考答案选择题答案题号 12345678910答案C A B C C C B C C A填空题答案第11题 24第12题第13题 a n ＝2·3n第14题-7【第15题】S 5＝5?a 1＋a 5?2＝5?a 1＋5?2＝15，∴a 1＝1. ∴d ＝a 5－a 15－1＝5－15－1＝1.∴a n ＝1＋(n －1)×1＝n . ∴1a n a n ＋1＝1n ?n ＋1?.设{1a n a n ＋1}的前n 项和为T n ，则T 100＝11×2＋12×3＋…＋1100×101 ＝1－12＋12－13＋…＋1100－1101 ＝1－1101＝100101. 【第16题】(1)设{a n }的公差为d .由题意，a 211＝a 1a 13，即(a 1＋10d )2＝a 1(a 1＋12d )．于是d (2a 1＋25d )＝0.又a 1＝25，所以d ＝0(舍去)，d ＝－2. 故a n ＝－2n ＋27.(2)令S n ＝a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 3n －2.由(1)知a 3n －2＝－6n ＋31，故{a 3n －2}是首项为25，公差为－6的等差数列．从而S n ＝n 2(a 1＋a 3n －2)＝n2(－6n ＋56)＝－3n 2＋28n .【第17题】(1)∵{a n }是递减的等比数列， ∴数列{a n }的公比q 是正数．又∵{a 1，a 2，a 3}{－4，－3，－2,0,1,2,3,4}，∴a 1＝4，a 2＝2，a 3＝1.∴q ＝a 2a 1＝24＝12.∴a n ＝a 1q n －1＝82n .(2)由已知得b n ＝12])1(1[8+--n n ，当n ＝2k (k ∈N *)时，b n ＝0，当n ＝2k －1(k ∈N *)时，b n ＝a n . 即b n ＝⎩⎨⎧0，?n ＝2k ，k ∈N *?，a n ，?n ＝2k －1，k ∈N *?.∴b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 2n －2＋b 2n －1T n T n n ⎪⎩≥+-)7(,460112n n n 【第19题】(1)n n 2a =(2)∵b n ＝2n ·log 12 2n ＝－n ·2n ，∴－S n ＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n ，① －2S n ＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋(n －1)×2n ＋n ×2n ＋1.②①－②，得S n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ·2n ＋1＝21)21(2--n －n ·2n ＋1＝2n ＋1－n ·2n ＋1－2.∵S n ＋(n ＋m )a n ＋1<0，∴2n ＋1－n ·2n ＋1－2＋n ·2n ＋1＋m ·2n ＋1<0对任意正整数n 恒成立． ∴m ·2n ＋1<2－2n ＋1对任意正整数n 恒成立，即m <12n －1恒成立．∵12n －1>－1，∴m ≤－1，即m 的取值范围是(－∞，－1]．。

数列解答题基础50题(适合学困生,超基础)

参考答案：
1．(1)
(2)
【来源】河南省新未来2023届高三5月联考文科数学试题
【分析】（1）利用递推式得出是以1为首项，3为公比的等比数列，求出，进而求解即可.
（2）利用错位相减法求解数列前项和即可.
【详解】（1）由，得，
又，是以1为首项，3为公比的等比数列，
，，
即数列的通项公式为 .
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和 .
12．在数列中，，，．
(1)设，求证：数列是等比数列；
(2)求数列的前项和．
13．已知数列的首项为，且满足，数列满足，且．
(1)求，的通项公式；
(2)设数列的前n项和为，求．
14．已知数列是公比为2的等比数列，，，成等差数列．
38．写出一个分别满足下列条件的数列的通项公式：
(1)从第2项起，每一项都比它的前一项大2；
(2)各项均不为0，且从第二项起，每一项都是它的前一项的3倍．
39．设等差数列的前n项和为．
(1)已知，，求；
(2)已知，公差，求．
40．记为数列的前项和，且．
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
41．已知等差数列的前三项依次为，4，，前项和为，且 .
(1)求的通项公式及的值；
(2)设数列的通项，求证是等比数列，并求的前项和 .
42．已知等比数列的首项，公比，在中每相邻两项之间都插入3个正数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等比数列 .
(1)求的通项公式及前项和；
(2)设，求数列的前项和 .

数列选择题解答题训练题(含答案)中等难度

数列训练题一、单选题（共9题；共18分）1.已知是等差数列，且满足，，则为（）A. 17B. 18C. 19D. 202.已知数列的前n项和为，满足，则的值为（）A. 8B. 16C. 32D. 813.已知等差数列的前n项和为，若，则公差d 等于( )A. B. C. 1 D. 24.已知数列的各项均为正数，其前n项和满足，设，为数列的前n项和，则（）A. 110B. 220C. 440D. 8805.设S n是等差数列{a n}的前n项和，若，则等于（）A. B. C. D.6.已知数列为等差数列，，为数列前n项和，则（）A. 10B. 12C. 14D. 167.已知等差数列中，前n项和满足，则的值是（）A. 3B. 6C. 7D. 98.已知数列中，，且当为奇数时，；当n为偶数时，．则此数列的前20项的和为（）A. B. C. D.9.已知（其中，且），且，，成等差数列，则（）A. 8B. 7C. 6D. 5二、解答题（共8题；共75分）10.已知等差数列的前项和为，且，．（1）求数列的通项公式；（2）求使不等式成立的的最小值．11.已知数列的前项和为，且．公比大于的等比数列的首项为，且．（1）求和的通项公式；（2）若，求证：，．12.在数列中，，点在直线上(Ⅰ)求数列的通项公式；(Ⅱ)记,求数列的前n项和．13.已知数列满足：，.（1）设数列满足：，求证:数列是等比数列；（2）求出数列的通项公式和前n项和.14.设为正项数列的前项和,且满足．（1）求的通项公式；（2）令, ,若恒成立,求的取值范围．15.在等差数列中，，.（1）求数列的通项公式；（2）设数列是首项为1，公比为2的等比数列，求的前项和.16.已知为数列的前项和，且，（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项.17.已知数列满足，，，且.（1）求证：数列为等比数列，并求出数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.答案解析部分一、单选题1.【答案】A【解析】【解答】设等差数列的公差为,因为, ,故,所以,故答案为：A.【分析】先根据题中等式解出的首项与公差,再利用通项公式求即可.2.【答案】B【解析】【解答】当时，，解得，当时，即，所以数列是以1为首项，公比为的等比数列，所以.故答案为：B.【分析】利用与的关系，结合题意可得数列是以1为首项，公比为的等比数列，利用等比数列的通项公式即可得解.3.【答案】D【解析】【解答】解：，，，.又由，得.故答案为：D.【分析】由，可求出，进而可知，结合，可求出公差.4.【答案】D【解析】【解答】由得，作差可得：，又得，则所以，…，所以.故答案为：D.【分析】利用之间的关系，即可容易求得，则得解，再用并项求和法即可求得结果.5.【答案】A【解析】【解答】解：根据等差数列的性质，若数列为等差数列，则，，，也成等差数列；又，则数列，，，是以为首项，以为公差的等差数列则，，故答案为：A．【分析】根据等差数列的性质，，，也成等差数列，结合，根据等差数列的性质得到，，代入即可得到答案．6.【答案】A【解析】【解答】，，.故答案为：A.【分析】由等差数列下标和性质可求得，代入等差数列求和公式可求得结果.7.【答案】B【解析】【解答】因为，所以，又为等差数列，根据等差数列的性质可得，所以;故答案为：B【分析】根据前项和的定义可得，再根据等差数列的性质可得结果.8.【答案】A【解析】【解答】当为奇数时，，则数列奇数项是以为首项，以为公差的等差数列，当为偶数时，，则数列中每个偶数项加是以为首项，以为公比的等比数列.所以.故答案为：A【分析】根据分组求和法，利用等差数列的前项和公式求出前20项的奇数项的和，利用等比数列的前n 项和公式求出前20项的偶数项的和，进而可求解.9.【答案】A【解析】【解答】展开式的通项为：，故，，，，，成等差数列，所以，化简得，解得或（舍），故答案为：A.【分析】计算，，，根据等差数列计算得到答案.二、解答题10.【答案】（1）解：设等差数列的公差为由，所以，所以（2）解：由（1）可知：所以又，所以即或所以使不等式成立的的最小值为8【解析】【分析】（1）根据等差数列的通项公式以及前n项和，可得，然后利用公式法，可得结果.（2）根据（1）的结论，计算，然后可得结果.11.【答案】（1）解：数列的前项和为，且，当时，，当时，，经检验，满足，所以，数列的通项公式为；设的公比为，即，将代入，得，解得，所以，数列的通项公式为.（2）解：，当时，，即，，，当时，，【解析】【分析】（1）对于数列，利用公式即可求得数列的通项公式；设的公比为，利用和，可求出q的值，进而得到数列的通项公式；（2）首先计算出，然后计算出当时，关于的表达式并进行放缩，进一步可将数列放缩成，注意时要另外计算，求，计算结果并加以放缩，即可证明不等式成立.12.【答案】解：（Ⅰ）由已知得，即∴数列是以为首项，以为公差的等差数列∵∴（Ⅱ）由（Ⅰ）得∴∴【解析】【分析】（Ⅰ）根据点在直线上，代入后根据等差数列定义即可求得通项公式．（Ⅱ）表示出的通项公式，根据裂项法即可求得．13.【答案】（1）解：，又是以2为首项，2为公比的等比数列（2）解：由（1）得，，.【解析】【分析】（1）由递推公式计算可得，且，据此可得数列是等比数列.（2）由（1）可得，则，分组求和可得14.【答案】（1）解：由题可知, 正项数列满足当,有,即,解得或（舍）,当时, ,也有,两式相减得, ,∴,即,∴是以4为首项,3为公差的等差数列,∴（2）解：由（1）知,∴,∴,即．【解析】【分析】（1）利用的关系式即可求出通项公式.（2）由（1）知,利用裂项相消求和即可.15.【答案】（1）解：设等差数列的公差是.由已知，∴，∴，得，∴数列的通项公式为.（2）解：由数列是首项为1，公比为2的等比数列，∴，∴，∴，【解析】【分析】（1）依题意，从而.由此能求出数列的通项公式；（2）由数列是首项为1，公比为2的等比数列，求出，再分组求和即可.16.【答案】（1）解：是以3为首项，为公比的等比数列，（2）解：【解析】【分析】（1）根据已知可得，利用与的关系可得，从而可得数列为等比数列，利用等比数列的通项公式即可求解.（2）由（1）可知，再利用错位相减法即可求解.17.【答案】（1）证明：已知，则，且，则为以3为首相，3为公比的等比数列，所以，（2）解：由（1）得：，，①，②①－②可得，则即【解析】【分析】（1）根据题目所给递推关系式得到，由此证得数列为等比数列，并求得其通项公式.然后利用累加法求得数列的通项公式.（2）利用错位相减求和法求得数列的前项和.。

全国卷数学数列专题测试参考答案

数列专题测试参考答案1．C【分析】根据条件求出数列的首项和公比后再求和即可.【详解】由题意，设数列{}n a 的公比为0q >，则11312182a q a a q q ==⎧⎧⇒⎨⎨==⎩⎩，所以771(12)12712S ⨯-==-. 故选：C 2．D【分析】设等比数列{}n a 的公比为q ，由35212a a q ⨯==，求得公比即可. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则35212a a q ⨯==，解得38q =，即2q ，所以3581842a a q =⨯⨯==，故选：D. 3．B【分析】根据等比数列通项公式列方程计算即可. 【详解】等比数列{}n a 中，34a =，2748a a a =，则212731148a q a q a q ⎧=⎨=⎩，解得212,2q a ==，故选：B ． 4．C【解析】由1(2)n n na n a +=+，可得1(1)(1)(2)n n n n a n n a ++=++，数列{}(1)n n n a +为常数列，令1n =，可得1(1)21n n n a a +==，进而可得1(1)n a n n =+，利用裂项求和即可求解.【详解】数列{}n a 满足112a =，对任意的*n ∈N 都有1(2)n n na n a +=+，则有1(1)(1)(2)n n n n a n n a ++=++，可得数列{}(1)n n n a +为常数列，有1(1)2n n n a a +=，得(1)1n n n a +=，得1(1)n a n n =+，又由111(1)1n a n n n n ==-++，所以20211111112021112232021202220222022S =-+-+⋅⋅⋅-=-=．故选：C【点睛】方法点睛：数列求和的方法（1）倒序相加法：如果一个数列{}n a 的前n 项中首末两端等距离的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可以用倒序相加法（2）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可以用错位相减法来求；（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时，中间的一些项可相互抵消，从而求得其和；（4）分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转换法分别求和再相加减；（5）并项求和法：一个数列的前n 项和可以两两结合求解，则称之为并项求和，形如()()1nn a f n =-类型，可采用两项合并求解. 5．D【分析】根据题意可得，21212222n n n n n b S a a S ++++=+=-，而1212b S a a ==+，即可表示出题中2468,,,b b b b ，再结合等差数列的性质即可判断各等式是否成立．【详解】对于A ，因为数列{}n a 为等差数列，所以根据等差数列的下标和性质，由4426+=+可得，4262a a a =+，A 正确；对于B ，由题意可知，21212222n n n n n b S a a S ++++=+=-，1212b S a a ==+， ∴234b a a =+，478b a a =+，61112b a a =+，81516b a a =+． ∴()47822b a a =+，26341112b b a a a a +=+++．根据等差数列的下标和性质，由31177,41288+=++=+可得()26341112784=2=2b b a a a a a a b +=++++，B 正确；对于C ，()()()()2224281111137222a a a a d a d a d d a d d d a -=+-++=-=-，当1a d =时，2428a a a =，C 正确；对于D ，()()22222478111213452169b a a a d a a d d =+=+=++，()()()()2228341516111125229468145b b a a a a a d a d a a d d =++=++=++，()22428112416832b b b d a d d d a -=-=-．当0d >时，1a d ≤，∴()113220d a d d a -=+->即24280b b b ->；当0d <时，1a d ≥，∴()113220d a d d a -=+-<即24280b b b ->，所以24280b b b ->，D 不正确．故选：D.【点睛】本题主要考查等差数列的性质应用，属于基础题． 6．C【分析】由2(1)()nn S a n n N n*=+-∈得{}n a 为等差数列，求得()43n a n n N *=-∈，得1111132(1)21n S n n n n n ⎛⎫==- ⎪+++⎝⎭利用裂项相消求解即可【详解】由()2(1)nn S a n n N n*=+-∈得2(1)n n S na n n =--，当2n ≥时，11(1)4(1)n n n n n a S S na n a n --=-=----，整理得14n n a a --=，所以{}n a 是公差为4的等差数列，又11a =，所以()43n a n n N *=-∈，从而()2133222(1)2n n n a a S n n n n n n ++=+=+=+，所以1111132(1)21n S n n n n n ⎛⎫==- ⎪+++⎝⎭，数列13n S n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前10项的和115121111S ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭.故选C .【点睛】本题考查递推关系求通项公式，等差数列的通项及求和公式，裂项相消求和，熟记公式，准确得{}n a 是等差数列是本题关键，是中档题 7．C【解析】由等差数列性质求出m a ，由等差数列前n 项可求得m ．【详解】∴{}n a 是等差数列，∴11315m m m m a a a a -+++==，5m a =，∴1()(15)2722m m m a a m S ++===，9m =．故选：C ．【点睛】本题考查等差数列的性质与前n 项公式，掌握等差数列的性质是解题基础． 8．B【解析】设其公比为q ，由等比数列通项公式得34a =，进而得2333221a a a q q ++=，解得2q =±或12q =±，再根据数列单调性即可得2q ，进而得12n na【详解】{}n a 为等比数列，设其公比为q ，()3362312611364a a a a q a q a ∴====，则34a =，13521a a a ∴++=，2333221a a a q q∴++=，即2244421q q++=，解得2q =±或12q =±，又{}n a 各项为正且递增，2q ∴=，3313422n n n n a a q ---∴==⨯=．故选：B ．【点睛】本题解题的关键是先根据题意得34a =，进而将13521a a a ++=转化为2333221a a a q q++=求q ，考查运算求解能力，是中档题. 9．C【分析】当n=1时，求出a 1;当n ≥2时，an=Sn -Sn -1=(an -1)-(an -1-1)=an -an -1=an -1(a -1) 然后对a -1是否为0讨论即可【详解】当n=1时，a 1=S 1=a -1;当n ≥2时，an=Sn -Sn -1=(an -1)-(an -1-1)=an -an -1=an -1(a -1).当a -1=0，即a=1时，该数列为等差数列，当a ≠1时，该数列为等比数列. 故选:C【点睛】等比数列各项都不等于0.10．B【分析】先求出1,211,2n m n n k a m n n k +-=-⎧=⎨-++=⎩()*k N ∈，由此容易判断∴∴，对于∴，当n 为偶数时，(1)2n n n S +=，当n 为奇数时，(1)(2)2n n n S m -+=+，若存在*k N ∈，使得155k k S S +==，则55k S =，且10k a +=，由此可分k 为奇数和偶数讨论即可判断．【详解】解：因为121++=+n n a a n ，所以1212321n n n n a a n a a n ++++=+⎧⎨+=+⎩，则22n n a a +-=，所以数列{}2n a 、{}21n a -为等差数列，且公差为2，由123a a +=，1a m =得，23a m =-，所以1,211,2n m n n k a m n n k+-=-⎧=⎨-++=⎩()*k N ∈， ∴当1m =时，n a n =，所以11n n a a +-=，所以{}n a 为等差数列，∴对；∴若存在实数m ，使得{}n a 为等比数列，则21322243a a a a a a ⎧⨯=⎨⨯=⎩，即()()()()()2223235m m m m m m ⎧+=-⎪⎨+=--⎪⎩，因为方程组无解，所以{}n a 不可能为等比数列，∴错； ∴当n 为偶数时，(1)2n n n S +=，当n 为奇数时，11(1)(2)2n n m n n n S S m -++-=-+=+，若存在*k N ∈，使得155k k S S +==，所以55k S =，且10k a +=，当k 为偶数时，(1)552110k k m k +⎧=⎪⎨⎪++-=⎩，解得1010m k =-⎧⎨=⎩；当k 为奇数时，(1)(2)552110k k m m k -+⎧+=⎪⎨⎪-+++=⎩，解得119m k =⎧⎨=⎩，所以m 不唯一，∴错．故选：B ． 11．A【分析】由n S 与n a 的关系1(1)n n n a S S n -=->化简即可求出n S 及n a ，可得n b ，分析单调性即可求解. 【详解】∴1(1)n n n a S S n -=->,∴1n n n S a S --=,则21(1)n S n -=-,即2*(N )n S n n =∈, ∴22(1)21n a n n n =--=-. 易知0n b >,∴212+1+14422+1n n n n b b n n -==，（）,244142()(1)1n n b n b n n +∴==++1>时, 1n >, ∴当13n ≤<时, 1n n b b +>, 当3n ≥时,1n n b b +<, 又23132,281b b ==, ∴当3n =时, n b 有最小值. 故选：A【点睛】本题主要考查了数列n S 与n a 的关系，数列的单调性，属于中档题. 12．C【分析】依次判断每个选项的正误，得到答案. 【详解】111111112n n n n n n n n na a a a a a a a a +++++=+∴-+-=即111()(1)n n n n n a a a a a ++--= 当01n a <<时，1110n na a +-<，故1n n a a +<，A 错误当1n a >时，1110n na a +->，故1n n a a +>，B 错误对于D 选项，当1n =时，12a =，212111922a a a a +=+=<D 错误用数学归纳法证明选项C 易知0n a >恒成立当1n =时，21211123a a a a +=+=> 假设当n k =时成立，111k k a a +++>2121122k k a k a +++>+ 当1n k =+时：222222111122211111112443426k k k k k k k k k a a a a a k a a a a +++++++++⎛⎫⎛⎫+=+=++=+++>+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即221k k a a +++>成立故111n n a a +++> 故答案选C【点睛】本题考查了数列的单调性，数学归纳法，综合性强，技巧高，意在考查学生对于数学知识，方法，性质的灵活运用. 13．1213【分析】根据等比数列的前n 项和公式，计算即可求得答案.【详解】由题意可得，551(13)1213133S -==- ，故答案为：121314．10【分析】由190S >，200S <，结合等差数列的前n 项和公式得到第10项大于0，第10项和第11项的和小于0，得到第10项大于0，这样前10项的和最大．【详解】由190S >，200S <，可知{}n a 为递减的等差数列，设其公差为d ，则0d <，由1191919()02a a S +=>，2012010()0S a a =+<，得1191020a a a +=>，12010110a a a a +=+<，所以100a >，110a <，所以使n S 取得最大值的n 为10，故答案为：10．【点睛】一般地，如果{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，则有性质：（1）若,,,*,m n p q N m n p q ∈+=+，则m n p q a a a a +=+；（2）()1,1,2,,2k n k n n a a S k n +-+== 且()2121n n S n a -=- ；（3）2n S An Bn =+且n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列；（4）232,,,n n n n n S S S S S -- 为等差数列.15．27n ⨯【分析】根据1个月后的老鼠为原来雌雄两只老鼠和新出生的小鼠有(16)227+⨯=⨯只，类似的方法得到2个月后有22(16)727+⨯=⨯只，3个月后有327⨯只，根据以上分析进行归纳推理即可得n 个月后老鼠的只数n a .【详解】由题意可得1个月后的老鼠的只数1(16)227a =+⨯=⨯, 2个月后老鼠的只数222(16)727a =+⨯=⨯, 3个月后老鼠的只数2332(16)727a =+⨯=⨯…， n 个月后老鼠的只数27n n a =⨯. 故答案为：27n ⨯.【点睛】本题考查利用不完全归纳法求数列的通项公式，考查运算求解能力.16．20212##1010.5 【分析】根据1211121n nS S S n ++⋅⋅⋅+=+可求n S ，从而可求n a .易验证()()11f x f x +-=，故可采用倒序相加法求题设式子的值．【详解】∴1211121n n S S S n ++⋅⋅⋅+=+∴， ∴当2n ≥时，()12121111n n S S S n--++⋅⋅⋅+=∴， ∴－∴得()121n S n n =+，∴()()122n n n S n +=≥；当1n =时，111S =，∴11S =，此时()12n n n S +=仍然成立，∴()()*12n n n S n +=∈N ．∴当n =1时，111a S ==；当2n ≥时，()()11122n n n n n n na S S n -+-=-=-=，当n =1时，上式也成立，故n a n =()*n ∈N ．由于()()()111cos πcos ππ122f x f x x x +-=++-+=，设32021122022202220222022a a a a S f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 12320212022202220222022f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭则1202122020202112202220222022202220222022S f f f f f f ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++⋅⋅⋅++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦2021=， ∴20212S =．故答案为：20212．【点睛】本题关键是熟练掌握利用前n 项和与通项公式的关系求得n a ，观察猜测并发现()()1f x f x +-为定值，从而利用倒序相加法即可求和． 17．（1）2n a n =-；（2）1n nT n =+. 【解析】（1）由30S =，55S =-，可得113230254552a d a d ⨯⎧+=⎪⎪⎨⨯⎪+=-⎪⎩求出1,a d ，从而可得{}n a 的通项公式；（2）由（1）可得n b n =，从而可得11111(1)1n n b b n n n n +==-++，然后利用裂项相消求和法可求得n T 【详解】解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为30S =，55S =-.所以113230254552a d a d ⨯⎧+=⎪⎪⎨⨯⎪+=-⎪⎩，化简得11021a d a d +=⎧⎨+=-⎩，解得111a d =⎧⎨=-⎩，所以1(1)1(1)(1)2n a a n d n n =+-=+--=-，（2）由（1）可知2(2)2n n b a n n =-+=--+=，所以11111(1)1n n b b n n n n +==-++，所以111111(1)()()1223111n nT n n n n =-+-+⋅⋅⋅+-=-=+++ 【点睛】此题考查等差数列前n 项和的基本量计算，考查裂项相消求和法的应用，考查计算能力，属于基础题18．（1）243a =，387a =，41615a =；（2）221nn na =-. 【分析】（1）由已知可得：121+=+nn n a a a ，代入12a =，即可求得2a ，3a ，4a 的值；（2）由{}n a 前4项的值即可归纳. 【详解】（1）因为点()1,n n a a +在函数()21xf x x=+的图象上，所以121+=+nn na a a ，又12a =，所以1212413a a a ==+， 2324228341713a a a ⨯===++， 343822167811517a a a ⨯===++. （2）由（1）中数列{}n a 的前4项的规律，可归纳出数列{}n a 的一个通项公式为221nn na =-. 19．（1）21n a n =+；（2）21n nT n =+. 【分析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，依题意得到方程组，解得即可；（2）由（1）可得()11112122121n n b a n n n ⎛⎫==- ⎪--+⎝⎭，再利用裂项相消法求和即可；【详解】解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意得2515312516551035a a a d S a a d +=+=⎧⎨==+=⎩，解得13,2,a d =⎧⎨=⎩∴()32121n a n n =+-=+．（2）由（1）得()()()1111121212122121n n b a n n n n n ⎛⎫===- ⎪--+-+⎝⎭121111111213352121n n T b b b n n ⎛⎫=++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪-+⎝⎭111212121n n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭．【点睛】本题考查等差数列通项公式的计算以及裂项相消法求和，属于中档题.20．(1)3nn a =，1332n n S +-=；(2)证明见解析.【分析】（1）根据等比数列的通项公式结合前n 项和公式，即可求得结果；（2）利用错位相减法求得{}n b 的前n 项和，再证明即可. (1)因为点()1,n n a a +在直线3y x =上，所以13n na a +=，又13a =，故数列{n a }是以3为公比，3为首项的等比数列，所以3nn a =，()31313n n S -==-1332n +-. (2)由题可知3n nnb =，记12n n T b b b =+++，所以212333n nn T =+++∴ ∴13⨯，得2311123333n n n T +=+++∴∴-∴，得2111211111132133333233223n n n n n n n n nT ++++⎛⎫=+++-=--=- ⎪⨯⎝⎭，故332443n n n T +=-⨯，又32043nn+>⨯，故34n T <，即证. 21．（1）2302x y ππ---=；（2）证明见解析.【分析】（1）当2a =时，求得()sin f x x x '=-，得到()232f ππ=-，()f ππ'=，结合直线的点斜式，即可求解；（2）求得()[]sin ,0,22af x x x x '=-∈，令()sin 2a x x g x =-，得到()cos 2a x x g '=-，当2a ≥时，得到()f x 为增函数，得到()()2cos20f x f =<≤；当[)1,2a ∈时，存在()00,2x ∈，使()00cos 02ax g x =-='，结合函数()g x 的单调性得出()f x 单调性，得到()0f x <.【详解】（1）当2a =时，函数()212cos 2f x x x =-+，可得()sin f x x x '=-，则()232f ππ=-，()f ππ'=，所以曲线()y f x =在点()(),f ππ处的切线方程为()232y x πππ-+=-，即2302x y ππ---=.（2）由函数()211cos 4f x a x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，可得()[]sin ,0,22a f x x x x '=-∈，令()sin 2a x x g x =-，则()cos 2ax x g '=-，当2a ≥时，()0g x '≥，所以()g x 为增函数，()()00g x g ≥=，所以()0f x '≥，()f x 为增函数，所以()()2cos20f x f =<≤.当[)1,2a ∈时，1,122a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，又因为[]0,2x ∈，所以[]cos cos2,1x ∈，所以存在()00,2x ∈，使0cos 2ax =，即()00cos 02a x g x =-='，所以函数()g x 在[)00,x 上为减函数，在()02x ,上为增函数，因为()00g =，所以()00g x <，而()2sin 20g a =->，所以存在()10,2x x ∈，使()10g x =，当()10,x x ∈时，()0g x <，即()0f x '<；当()1,2x x ∈时，()0g x >，即()0f x '>，所以()f x 在()10,x 上单调递减，在()1,2x 上单调递增，又因为()010f a =-≤，()2cos20f =<，所以()0f x <. 综上可得，当1a ≥时，对任意[]0,2x ∈，都有()0f x ≤. 【点睛】利用导数证明不等式问题：（1）直接构造法：证明不等式()()()()()f x g x f x g x ><转化为证明()()0f x g x ->()()(0)f x g x -<，进而构造辅助函数()()()h x f x g x =-；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.22．（1）121b =（2）6213n n b -=，*n ∈N【分析】（1）根据题意这6项中包含2个1或5个1，其余均为2，这样的数列共有256621C C +=个，即可得解；（2）这6n 项中包含2个1或5个1……或61n -个1，其余均为2，所以2561666n n n n n b C C C -=+++，结合6nS 除以3余数为2，0的数列1a ，2a ，…，6n a 的个数构成的数列分别为{}n c ，n d ，根据规律猜想6213nn b -=，并用数学归纳法证明.【详解】解：（1）因为前六项的和除以3余数为1 所以这6项中包含2个1或5个1，其余均为2，所以这样的数列共有256621C C +=个，故121b =（2）因为1a ，2a ，…，6n a 和6n S 除以3余数为1，所以这6n 项中包含2个1或5个1……或61n -个1，其余均为2，所以2561666n n n n n b C C C -=+++，设6n S 除以3余数为2，0的数列1a ，2a ，…，6n a 的个数构成的数列分别为{}n c ，n d同理，1462666n n n n nc C C C -=+++，036666nn n n n d C C C =+++∴146261642666666n n n n n n n n n n n c C C C C C C b ---=++⋯+=++⋯+=∴66222n n n n n n n b c d d b ++=⇒=- 结合（1）猜想6213n n b -=，*n ∈N下面用数学归纳法证明当1n =时，6121213b -==，成立假设当n k =时，有6213k k b -=，*k ∈N 成立，且6213k k k c b -==，6223k k d += 则当1n k =+时，数列共()66k +项，分两步看，第一步先看前6k 项，前6k 项的和除以3余数为1，2，0的数列的个数分别为k b ，k c ，k d ，第二步看后6项，最后6项的和除以3众数为0，2，1的数列的个数分别为22，21，21∴6666(1)1212122212221212221213333k k k k k k k k b b c d ++--+-=⨯+⨯+⨯=⨯+⨯+⨯=所以当1n k =+时，猜想也成立综上，6213n n b -=，*n ∈N【点睛】此题考查数列相关新定义问题，关键在于读懂题意，建立恰当模型求解，涉及排列组合问题，利用数学归纳法证明猜想，综合性强，难度较大.。

数列解答题(所有题型)

（1）求数列与的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和。
14．已知数列满足：，
Ⅰ 求数列的通项公式；
Ⅱ 设，数列的前n项和为，试比较与的大小．
15．设数列满足，；数列的前项和为，且 .
（1）求数列和的通项公式；
（2）若，求数列的前项和 .
16．已知数列满足，，设．
视频
3．（1）．（2）．
【解析】
【分析】
（1）根据等差数列通项公式和等比中项定义，求得首项和公差，进而求得的通项公式。
（2）数列可以看成等差数列与等比数列的乘积，因而前n项和可用错位相减法求解。
【详解】
（1）由题意得，，故，
所以的通项公式为．
（2）设数列的前项和为，则
，
，两式相减得
（Ⅱ）求数列的前n项和．
4．在数列中，，
（1）求证：数列为等差数列；
（2）若数列满足，求证： .
5．已知数列的前项和为，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，求数列的前项和．
6．已知正项数列满足：，其中为的前项和.
（1）求数列通项公式.
（2）设，求数列前项和 .
参考答案
1．（1）an=2n–9，（2）Sn=n2–8n，最小值为–16．
【解析】
分析：（1）根据等差数列前n项和公式，求出公差，再代入等差数列通项公式得结果，（2）根据等差数列前n项和公式得的二次函数关系式，根据二次函数对称轴以及自变量为正整数求函数最值.
详解：（1）设{an}的公差为d，由题意得3a1+3d=–15．
所以 .

数列解答题专练(含答案版)

数列高考真题汇编1．已知等差数列{a n }的公差为2，前n 项和为S n ，且S 1，S 2，S 4成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；4n(2)令b n ＝(－1)n -1，求数列{b n }的前n 项和T n .a n a n ＋12×1解析(1)因为S 1＝a 1，S 2＝2a 1＋2×2＝2a 1＋2，4×3S 4＝4a 1＋2×2＝4a 1＋12，(3分)由题意得(2a 1＋2)2＝a 1(4a 1＋12)，解得a 1＝1.所以a n ＝2n －1.(5分)4n4n(2)b n ＝(－1)n －1＝(－1)n －1a n a n ＋1(2n －1)(2n ＋1)＝(－1)n －11⎫⎛1＋⎪.(6分)2n －12n ＋1⎝⎭当n 为偶数时，1⎫⎛11⎫⎛11⎫⎛11⎫1⎛＋＋⎪－ ⎪＝1－T n ＝ 1＋3⎪－ 3＋5⎪＋…＋＝2n －32n －12n －12n ＋1⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭2n ＋12n 2n ＋1.当n 为奇数时，1⎫⎛11⎫⎛11⎫⎛11⎫1⎛＋＋⎪＋ ⎪＝1＋T n ＝ 1＋3⎪－ 3＋5⎪＋…－＝2n －32n －12n －12n ＋1⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭2n ＋12n ＋22n ＋1n 2＋n2．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式；.(10分)(2)设b n ＝2a n ＋(－1)n a n ，求数列{b n }的前2n 项和．解析(1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝1；n 2＋n (n －1)2＋(n －1)当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2－＝n .2故数列{a n }的通项公式为a n ＝n .(2)由(1)知，a n ＝n ，故b n ＝2n ＋(－1)n n .记数列{b n }的前2n 项和为T 2n ，则T 2n ＝(21＋22＋…＋22n )＋(－1＋2－3＋4－…＋2n )．记A ＝21＋22＋…＋22n ，B ＝－1＋2－3＋4－…＋2n ，2(1－22n )2n 1则A ＝＝2＋－2，1－2B ＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n －1)＋2n ]＝n .故数列{b n }的前2n 项和T 2n ＝A ＋B ＝22n ＋1＋n －2.3．数列{a n }满足a 1＝1，na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋n (n ＋1)，n ∈N *.⎧a n ⎫(1)证明：数列⎨n ⎬是等差数列；⎩⎭(2)设b n ＝3n ·a n ，求数列{b n }的前n 项和S n .a n ＋1a n a n解析(1)证明：由已知可得＝n ＋1，即－n ＝1.(4分)n ＋1n ＋1⎧a n ⎫a 1所以数列⎨n ⎬是以＝1为首项，1为公差的等差数列．(5分)1⎩⎭a n ＋1a n(2)解：由(1)得n ＝1＋(n －1)·1＝n ，所以a n ＝n 2.从而b n ＝n ·3n .(7分)S n ＝1×31＋2×32＋3×33＋…＋n ·3n ，①3S n ＝1×32＋2×33＋…＋(n －1)·3n ＋n ·3n ＋1.②①—②，得－2S n ＝31＋32＋…＋3n －n ·3n ＋1＝(1－2n )·3n ＋1－3.(10分)2(2n －1)·3n ＋1＋3所以S n ＝.(12分)43·(1－3n )1－3－n ·3n ＋1＝4．已知S n 是数列{a n }的前n 项和，a 1＝2，S n ＋1＝3S n ＋n 2＋2(n ∈N *)，设b n＝a n ＋n .(1)证明：数列{b n }是等比数列；n 4(2)若c n ＝b ，数列{c n }的前n 项和为T n ，求证：T n <5.n 解析(1)证明：因为a 1＝2，S n ＋1＝3S n ＋n 2＋2，所以当n ＝1时，a 1＋a 2＝3a 1＋12＋2，解得a 2＝7.(2分)由S n ＋1＝3S n ＋n 2＋2及S n ＝3S n －1＋(n －1)2＋2(n ≥2)，两式相减，得a n ＋1＝3a n ＋2n －1.故a n ＋1＋n ＋1＝3(a n ＋n )．即b n ＋1＝3b n (n ≥2)．(4分)又b 1＝3，b 2＝9，所以当n ＝1时上式也成立．故数列{b n }是以3为首项，3为公比的等比数列．(5分)n(2)由(1)知b n ＝3n ，所以c n ＝3n .n －1n 123所以T n ＝3＋32＋33＋…＋n 1＋3n ，①3－n －123n3T n ＝1＋3＋32＋…＋n 2＋n 1.②(7分)3－3－111n 33＋2n②－①，得2T n ＝1＋3＋32＋…＋n 1－3n ＝2－2·3n .3－33＋2n所以T n ＝4－4·3n .(10分)3＋2n因为n ∈N ，显然有4·3n >0.*344又4<5，所以T n <5.(12分)15．已知首项为2的等比数列{a n }是递减数列，其前n 项和为S n ，且S 1＋a 1，S 2＋a 2，S 3＋a 3成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝a n ·log 2a n ，数列{b n }的前n 项和为T n .1解析(1)设等比数列{a n }的公比为q ，由题知a 1＝2，又∵S 1＋a 1，S 2＋a 2，S 3＋a 3成等差数列，∴2(S 2＋a 2)＝S 1＋a 1＋S 3＋a 3.∴S 2－S 1＋2a 2＝a 1＋S 3－S 2＋a 3，即3a 2＝a 1＋2a 3.311∴2q ＝2＋q 2，解得q ＝1或q ＝2.(4分)1又{a n }为递减数列，于是q ＝2.1∴a n ＝a 1q n -1＝(2)n .(6分)1(2)∵b n ＝a n log 2a n ＝－n (2)n ，1111∴T n ＝－[1×2＋2×(2)2＋…＋(n －1)(2)n －1＋n ×(2)n ]．1111于是2T n ＝－[1×(2)2＋…＋(n －1)(2)n ＋n ×(2)n ＋1]．(8分)11n ×[1－(22)]11121n 1n ＋1两式相减，得2T n ＝－[2＋(2)＋…＋(2)－n ×(2)]＝－＋11－21n ＋1n ×(2).1∴T n ＝(n ＋2)(2)n －2，6．已知首项都是1的两个数列{a n }，{b n }(b n ≠0，n ∈N *)满足a n b n ＋1－a n ＋1b n＋2b n ＋1b n ＝0.a n(1)令c n ＝b ，求数列{c n }的通项公式；n (2)若b n ＝3n -1，求数列{a n }的前n 项和S n .解析(1)因为a n b n ＋1－a n ＋1b n ＋2b n ＋1b n ＝0，b n ≠0(n ∈N *)，a n ＋1a n 所以－b ＝2，即c n ＋1－c n ＝2.(4分)b n ＋1n所以数列{c n }是以首项c 1＝1，公差d ＝2的等差数列，故c n ＝2n －1.(2)由b n ＝3n －1，知a n ＝c n b n ＝(2n －1)3n －1.于是数列{a n }的前n 项和S n ＝1·30＋3·31＋5·32＋…＋(2n －1)·3n －1，3S n ＝1·31＋3·32＋…＋(2n －3)·3n －1＋(2n －1)·3n ，相减得－2S n ＝1＋2·(31＋32＋…＋3n －1)－(2n －1)·3n ＝－2－(2n －2)3n .所以S n ＝(n －1)3n ＋1.7．已知{a n }是递增的等差数列，a 2，a 4是方程x 2－5x ＋6＝0的根．(1)求{a n }的通项公式；⎧a n ⎫(2)求数列⎨2n ⎬的前⎩⎭n 项和．解析(1)方程x 2－5x ＋6＝0的两根为2,3，由题意得a 2＝2，a 4＝313设数列{a n }的公差为d ，则a 4－a 2＝2d ，故d ＝2，从而a 1＝2.1所以{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋1.⎧a n ⎫(2)设⎨2n ⎬的前⎩⎭a n n ＋2n 项和为S n ，由(1)知2n ＝n 1，则2＋n ＋1n ＋234S n ＝22＋23＋…＋2n ＋n 1，2＋n ＋1n ＋21342S n ＝23＋24＋…＋2n ＋1＋2n ＋2.两式相减，得n ＋231n ＋2131112S n ＝4＋(23＋…＋2n ＋1)－2n ＋2＝4＋4(1－2n －1)－2n ＋2.n ＋4所以S n ＝2－n 1.2＋8．已知{a n }是各项均为正数的等比数列，且a 1·a 2＝2，a 3·a 4＝32.(1)求数列{a n }的通项公式；b 1b 2b 3b n(2)设数列{b n }满足1＋3＋5＋…＋＝a n ＋1－1(n ∈N *)，求数列{b n }的2n －1前n 项和．解析(1)设等比数列{a n }的公比为q ，2⎧⎪a 1q ＝2，由已知得⎨25⎪⎩a 1q ＝32.⎧⎪a 1＝1，又∵a 1>0，q >0，∴⎨⎪⎩q ＝2.∴a n ＝2n －1.b 1b 2b 3b n(2)由题意，可得1＋3＋5＋…＋＝2n －1.2n －1b nb n∴2n －1－1＋＝2n －1(n ≥2)，＝2n －1.2n －12n －1∴b n ＝(2n －1)2n －1(n ≥2)．当n ＝1时，b 1＝1，符合上式，∴b n ＝(2n －1)·2n －1(n ∈N *)．设T n ＝1＋3×21＋5×22＋…＋(2n －1)·2n －1，2T n ＝1×2＋3×22＋5×23＋…＋(2n －3)·2n －1＋(2n －1)·2n ，两式相减，得－T n ＝1＋2(2＋22＋…＋2n －1)－(2n －1)·2n ＝－(2n －3)·2n －3.∴T n ＝(2n －3)2n ＋3.1119．已知数列{a n }是a 3＝64，公比q ＝4的等比数列．设b n ＋2＝3log 4a n (n ∈N *)，数列{c n }满足c n ＝a n b n .(1)求证：数列{b n }是等差数列；(2)求数列{c n }的前n 项和S n .1解析(1)证明：由已知，可得a n ＝a 3q n －3＝(4)n .11则b n ＋2＝3log 4(4)n ＝3n ，∴b n ＝3n －2.∵b n ＋1－b n ＝3，∴{b n }为等差数列．1(2)由(1)知c n ＝a n b n ＝(3n －2)(4)n ，112131n ∴S n ＝1×4＋4×(4)＋7×(4)＋…＋(3n －2)×(4)，①11213141n 1n ＋1S ＝1×()＋4×()＋7×()＋…＋(3n －5)×()＋(3n －2)×(4n 44444).②311213141n 1n ＋1①－②，得4S n ＝4＋3[(4)＋(4)＋(4)＋…＋(4)]－(3n －2)·(4)11(4)2[1－(4)n －1]11n ＋1＝4＋3·－(3n －2)·(14)1－411＝2－(3n ＋2)·(4)n ＋1.23n ＋21n ∴S n ＝3－3·(4).。

高三数列专题练习30道带答案复习课程

高三数列专题练习30道带答案高三数列专题训练二学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、解答题1．在公差不为零的等差数列{}n a 中，已知23a =，且137a a a 、、成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，记292n nb S =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．2．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差,50,053=+≠S S d 且1341,,a a a 成等比数列.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n a b 是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{}n b 的前n 项和n T .3．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，218a =，且1116S +，2S ，3S 成等差数列，数列{}n b 满足2n b n =．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设n n n c a b =⋅，若对任意*n N ∈，不等式121212n n c c c S λ+++≥+-…恒成立，求λ的取值范围．4．已知等差数列{n a }的公差2d =，其前n 项和为n S ，且等比数列{n b }满足11b a =，24b a =，313b a =．（Ⅰ）求数列{n a }的通项公式和数列{n b }的前n 项和n B ；（Ⅱ）记数列{1nS }的前n 项和为n T ，求n T ． 5．设数列（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足11b =，且1n n n b b a +=+，求数列{}n b 的通项公式；（3）设()3n n c n b =-，求数列{}n c 的前n 项和n T ． 6．已知差数列等{}n a 的前n 项和n S ，且对于任意的正整数n满足1n a =+.（1）求数列{}n a的通项公式；（2）设11n n n b a a +=, 求数列{}n b 的前n 项和n B .7．对于数列}{n a 、}{n b ，n S 为数列}{n a 的前n 项和，且n a S n S n n n ++=+-+)1(1，111==b a ，231+=+n n b b ，*∈N n .（1）求数列}{n a 、}{n b 的通项公式；（2）令)1()(2++=n n n b n n a c ，求数列}{n c 的前n 项和n T .8．已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，且1212112()a a a a +=+， 34534511164()a a a a a a ++=++．（1）求{}n a 的通项公式；（2）设21()n n nb a a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 9．已知数列{}n a 的首项11a =，前n 项和为nS ，且1210n n S S n +---=（*n ∈N ）.（Ⅰ）求证：数列{1}n a +为等比数列；（Ⅱ）令n n b na =，求数列{}n b 的前n 项和n T .10．已知各项都为正数的等比数列{}n a 满足312a 是13a 与22a 的等差中项，且123a a a =．（Ⅱ）设3log n n b a =，且n S 为数列{}n b 的前n 项和，求数列12{}nnS S +的前n 项和n T ．11．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,2121,2n n n a S a a ==+．（1）求数列{}n a的通项公式；（2）若2n a n b =,求13521...n b b b b +++++．12．设公差不为0的等差数列{}n a 的首项为1，且2514,,a a a 构成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足*121211,2n n n b b b n N a a a +++=-∈，求{}n b 的前n 项和n T ．13．已知数列{}n a 是等比数列，满足143,24a a ==，数列{}n b 满足144,22b b ==，且{}n n b a -是等差数列.（I ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（II ）求数列{}n b 的前n 项和。

2025高考数学二轮复习数列解答题

解 (1)设数列{an}的公差为 d,数列{bn}的公比为 q(q>0).
1 + 2 = 21 ,
2 + 2 = 2,
= 2,
由题意得
5×4
3 即 10 + 10 = + 3 ,解得 = 3.
51 + 2 = 1 + 1 ,
∴an=2+2(n-1)=2n,bn=1×3n-1=3n-1.
,为偶数,
和.
2.错位相减法
一般地,数列{an}是等差数列,{bn}是等比数列,求数列{an·bn}的前n项和时,
可采用错位相减法,一般是和式两边同乘等比数列{bn}的公比,然后作差求
解.
3.裂项相消法
实质是将数列的通项分解为两项之差,求和时能消去中间的一些项,最终达
到求和的目的,其解题的关键是准确地裂项和消项.
3 + 2, = 2,∈N* ,
所以bn+1=a2n+1=3a2n+2=3(2a2n-1+1)+2=6a2n-1+5=6bn+5.
因为b1+1=a1+1=2≠0,且bn+1+1=6(bn+1),所以数列{bn+1}是首项为2,公比
为6的等比数列.
所以bn+1=2·
6n-1,则bn=2·
6n-1-1.
3
1
①Sn= +m(m∈R),②Sn= an+1+m(m∈R),且 a1=1.请在这两个条件中选一个
2
2
补充在下面的横线上并解答.
若
,
(1)求m的值及数列{an}的通项公式;

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

数列解答题专练
1、有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，
并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数．
2、设等差数列的前项和为，已知，
（1）求的通项公式；（2）若，求。

3、已知数列，其前项和为.
（Ⅰ）求，；（Ⅱ）求数列的通项公式，并证明数列是等差数列；
（Ⅲ）如果数列满足，请证明数列是等比数列，并求其前项和.
4、已知数列的通项公式.（1）求，；
（2）若，分别是等比数列的第1项和第2项，求数列的通项公式.
5、设等差数列的前项和为，且，
（1）求的通项公式及前项和；（2）求数列的前14项和。

6、等差数列的前项和为，已知.
（1）求通项公式；（2）若求.
7、已知数列的前项和，，且的最大值为8.
（1）确定的值；（2）求数列的通项公式；
8、等差数列｛a n｝不是常数列，a5=10,且a5,a7,a10是某一等比数列{b n}的第1，3，5项. (1)求数列｛a n｝的第20项。

(2)求数列{b n}的通项公式.
9、已知直线（），若点(，)在
此直线上，并有， ()．
（1）求直线的斜率的值；（2）若是数列的前项和，求的通项公式．
10、已知非零实数，分别为与，与的等差中项，`且满足，求证：非零实数成等比数列.
11、已知正项数列{a n}，其前n项和S n满足10S n=a n2+5a n+6且a1,a3,a15成等比数列，
求数列{a n}的通项a n
12、已知等比数列的前项和为，，且、、成等差数列.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设数列是一个首项为，公差为的等差数列，求数列的前项和.
13、一片森林原来面积为，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年。

为保护生态环境，森林面积至少要保留原来面积的。

已知
到今年为止，森林剩余面积为原来的。

（1）求每年砍伐面积的百分比（用式子表示）；（2）到今年为止，该森林已砍伐了多少年？
（3）今后最多还能砍伐多少年？
14、（1）等比数列{}的前n项和为，如=，求的值；
（2）数列{}中，=90，=（n≥2）, 求的通项公式.
15、又一年冬天即将来临，学校小卖部准备制订新一年的热饮销售计划. 根据去年的统计，当热饮单价为1.5元/杯时，每日可卖出热饮800杯，且热饮单价每提高1毛时，日销售量就降低20杯. 若该热饮成本为0.9元/杯，为使今年的热饮日销售利润不低于720元，应如何控制热饮的单价？
16、数列{a n}中，a1=2,a2=3,且{a n a n+1}是以3为公比的等比数列，记b n=a2n-1+a2n (n∈N*).
(1)求a3,a4,a5,a6的值；（2）求证：{b n}是等比数列.
17、已知数列中，．
（1）求证：数列是等比数列；（2）求数列的通项公式．
18、已知，求及．
19、根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式：（1），，，，，…
（2），2，，8，，…
（3）5，55，555，5 555，55 555，…
（4）5，0，-5，0，5，0，-5，0，…
（5）1，3，7，15，31，…
20、数列中，.
⑴是数列中的第几项？⑵ n为何值时，有最小值？并求最小值.
21、已知数列满足
（1）求数列的通项公式（2）求数列前n项和
数列解答题专练答案
1、解：设四个数分别为，根据题意得，解得或
，所以这四个数为0、4、8、16或为15、9、3、1．
2、解：（1）由，
得方程组解得，，故
（2）由
得方程，解得或（舍去）故
3、（Ⅰ），，得… 2分
（Ⅱ）当时，
．又满足，．
∵，
∴数列是以5为首项，为公差的等差数列．
（Ⅲ）由已知得，∵，又，∴数列是以为首项，为公比的等比数列. .
4、（1），
（2）由题意知：等比数列中，，
公比的通项公式
5、解：（1）设等差数列首项为，公差为，由题意得解得，
故，；（2），的项随着的增大而增大
设且，得且，
故，即第7项之前均为负数
6、解：（1），∴，；
（2）
由，得
7、解：（1）∵，又，，
所以当时，，由题设，，故；
（2）由（1）得；当时，；
当时，
因为，所以也满足，即
9、解：（1）因为点(，)在此直线上
所以，所以
，即：直线解析式（2）因为
则，即
8、
10、证明：由分别为与，与的等差中项，得，代入已知等式：
中，有，化简整理，得，所以非零实数成等比数列．11、∵10S n=a n2+5a n+6，①∴10a1=a12+5a1+6，解之得a1=2或a1=3又10S n－1=a n－12+5a n－1+6(n≥2)，② 由①－②得 10a n=(a n2－a n－12)+6(a n－a n－1)，即(a n+a n－1)(a n－a n－1－5)="0 " ∵a n+a n－1>0 ，∴a n－a n－1="5" (n≥2)当a1=3时，a3=13，a15=73a1，a3，a15不成等比数列∴a1≠3;当a1=2时，a3=12，a15=72，有
a32=a1a15，∴a1=2，∴a n=5n－3
12、（1）成等差数列∴
∴∴
（II）∴
的前n项和为数列的前n项和为
∴数列的前n项和
13、（1）因为每年降低的百分比为，则，即解得
（2）设经过年剩余面积为原来的，则即
，解得故到今年为止，已砍伐了5年。

（3）设从今年开始，以后砍了年，则年后剩余面积为
令，即，
解得故今后最多还能砍伐15年。

14、由已知公比不为1，则，对比已知得 ,
，没考虑的情况扣3分.
15、解：设该热饮的销售单价提高元，由题意知得，化简有
，解得.故热饮的单价控制在之间时，今年的热饮日销售利润不低于720元.
16、（1）解∵{a n a n+1}是公比为3的等比数列，∴ a n a n+1=a1a2·3n-1=2·3n，∴ a3==6，a4==9，
a5==18，a6==27.
（2）证明∵ {a n a n+1}是公比为3的等比数列，∴ a n a n+1=3a n-1a n，即a n+1=3a n-1，
∴ a1，a3，a5,…，a2n-1，…与a2,a4,a6，…，a2n，…都是公比为3的等比数列.∴ a2n-1=2·3n-1,a2n=3·3n-1，
∴ b n=a2n-1+a2n=5·3n-1.∴==3，故{b n}是以5为首项，3为公比的等比数列.
17、（1）首项则是首项为3，公比为3的等比数列.
（2）
18、
∵∴∴
设则是公差为1的等差数列∴
又∵∴∴
当时∴
19、（1）这是一个分数数列，其分子构成偶数数列，而分母可分解成1×3，3×5，5×7，7×9，
9×11，…，每一项都是两个相邻奇数的乘积，经过组合，则所求数列的通项公式a n=. （2）数列的项，有的是分数，有的是整数，可将数列的各项都统一成分数再观察：，，，
，，…，可得通项公式a n=.
（3）联想=10n-1,则a n===(10n-1),即a n= (10n-1).
（4）数列的各项都具有周期性，联想基本数列1，0，-1，0，…，则a n=5sin.
（5）∵ 1=2-1，3=22-1，7=23-1，…∴ a n=2n-1故所求数列的通项公式为a n=2n-1.
20、⑴是数列中的第项⑵或时，.
⑴由，解得，是数列中的第项.
⑵，或时，.
21、（1）所以数列是以为首
即。