中考函数知识点专题复习

中考函数知识点复习一、函数的定义定义1：在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一一个确定的值与它对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，因变量y就叫做自变量x的函数。

定义2：在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，依据一个法则f，y都有唯一一个确定的值与它对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，因变量y就叫做自变量x的函数。

记作：()y f x二、函数的表示方法：1.列表法：把自变量所取的每一个值和与之对应的函数值通过一个表格一一列举出来，这种表示函数关系的方法叫做列表法。

2.图像法：在平面直角坐标系中，自变量的每一个允许值和它所对应的函数值就构成了一个点的坐标（x，y），把这所有点的坐标在坐标系中描出来就形成了一个图像。

由于我们没办法把所有的点都描绘出来，所以我们只把一部分点描出，然后用一条平滑的曲线把这些点连接起来，并表达出曲线的发展趋势，这条曲线就叫函数的图像（如：依据旋转时间t（分）与摩天轮上一点的高度h（米）所描出的曲线）．3.解析法：用一个含有自变量x的代数式来表示函数y，这种方法叫解析法。

所列出的式子就函数的解析式。

如：y=kx+b三、函数图像的画法：（三个步骤）第一步：列表，在表格中计算出所取的每个自变量x值对应的y值第二步：描点，把列表求出的每对坐标值所对应的点在直角坐标系中描绘出来第三步：连线，用一条平滑的曲线把第二步描出的点连接起来，并要反映出曲线的发展趋势四、预备知识①点的坐标：平面直角坐标系中，每一个点都用一对有序实数来表示，叫做这一点的坐标。

记作（x，y），其中x、y的顺序不可颠倒改变，x表示由这点向．x．轴作垂线．．．．，垂足．．．．．．y．轴．．．．．，垂足所对应的．．所对应的．．．．．，y表示由这点向．y．轴作垂线．．．x．轴上的数值上的数值．．．．。

牢记：x轴上的点，纵坐标为0（即y=0）；y轴上的点，横坐标为0；若两个点关于x轴对称，则他们的横坐标相同，纵坐标互为相反数；若两个点关于y轴对称，则它们的纵坐标相同，横坐标互为相反数；若两个点关于原点对称，则它们的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数；②关于点的距离的问题牢记：点到x 轴的距离用纵坐标的绝对值表示，点到y 轴的距离用横坐标的绝对值表示； 若AB ∥x 轴，则(,0),(,0)A B A x B x 的距离为A B x x -；若AB ∥y 轴，则(0,),(0,)A B A y B y 的距离为A B y y -；点(,)A A A x y ；任意两点(,),(,)A A B B A x y B x y ③若点(,),(,)A A B B A x y B x y ，则AB 的中点P () P P x y ，的坐标为：2A B P x x x +=，2A B P y y y += 初中学段几个重要的基本初等函数1.一次函数与正比例函数一次函数与正比例函数的概念与识别定义：形如y=kx+b(k,b 是常数，k ≠0)的函数叫做一次函数。

特别的，当b=0时，一次函数y=kx(k 是常数，k ≠0)叫做正比例函数，常数k 叫做正比例系数。

掌握并牢记：①在y=kx+b(k,b 是常数，k ≠0)中，y 叫做x 的一次函数②正比例函数y=kx(k 是常数，k ≠0)一定是一次函数，而且是特殊的一次函数，特殊在常量b=0.③当k=0时，一次函数就成为：y=b ，这时，y 叫做常函数。

它的图像是平行于x 轴且到x 轴的距离为b 的一条直线。

④一般情况下，一次函数y=kx+b 的自变量取值范围是全体实数。

在实际问题中要根据实际意义确定。

⑤在一次函数中，自变量x 的次数是1；在正比例函数中不仅自变量x 的次数是1，还要求常数项b=0⑥A 与B 成正比例 A=kB(k ≠0)一次函数的图像及其性质牢记表中的内容②一次函数y=kx+b（k≠0）中k、b的意义：◆K叫做直线的斜率，表示直线y=kx+b（k≠0）的倾斜程度；k越大，直线与x轴的夹角越大，因此直线越远离x轴而靠近Y轴；反之，k越大，直线与x轴的夹角越小，因此直线靠近x轴而越远离Y轴。

◆b叫做直线的截距，表示直线y=kx+b（k≠0）与y轴的交点到原点的距离是b，也表示直线在y轴上的位置是（0，b）。

③同一平面内，不重合的两直线 y=k1x+b1（k1≠0）与 y=k2x+b2（k2≠0）的位置关系：当k1=k2时，两直线平行；当k1·k2=-1时，两直线垂直。

当k1≠k2时，两直线相交；当b1=b2时，两直线交于y轴上同一点。

④特殊直线方程：X轴:直线x=0 Y轴:直线y=o与X轴平行的直线y=a 与Y轴平行的直线x=b一三象限角平分线y=x 二四象限角平分线y=-x求一次函数的解析式：求一次函数解析式的实质，就是求出表达式y=kx+b （k≠0）中的k 和b 的具体值.方法：具备两个独立条件时用待定系数法即可求出k 、b 的值条件：①已知图像上两个点的坐标；②已知图像上一个点的坐标和k 的值；③已知图像上一个点的坐标和b 的值.步骤：①当已知所求的解析式是直线或一次函数时，先设解析式为y=kx+b （k≠0）②将图像上两个点的坐标值代入所设的解析式中，构建一个关于k 、b 的方程（组）③解这个方程（组）求出k 、b 的值④把求得的k 、b 的值代入所设的表达式中2. 反比例函数知识点总结知识点1 反比例函数的定义 一般地，形如xk y =（k 为常数，0k ≠）的函数称为y 关于x 的反比例函数。

它可以从以下几个方面来理解：⑴x 是自变量，y 是x 的反比例函数；⑵自变量x 的取值范围是0x ≠的一切实数，函数值的取值范围是0y ≠；⑶比例系数0k ≠是反比例函数定义的一个重要组成部分；⑷反比例函数有三种表达式： ①xk y =（0k ≠）， ②1kx y -=（0k ≠）， ③k y x =⋅（定值）（0k ≠）； ⑸函数x k y =（0k ≠）与yk x =（0k ≠）是等价的，所以当y 是x 的反比例函数时，x 也是y 的反比例函数。

⑹（k 为常数，0k ≠）是反比例函数的一部分，是不能忽略的，否则当k=0时，xk y =，就不是反比例函数了。

知识点2 用待定系数法求反比例函数的解析式 由于反比例函数xk y =（0k ≠）中，只有一个待定的系数k ，因此，只要一组对应值，就可以求出k 的值，从而确定反比例函数的表达式。

知识点3 反比例函数的图像及画法反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、第三象限或第二、第四象限，它们与原点对称，由于反比例函数中自变量函数中自变量0x ≠，函数值0y ≠，所以它的图像与x 轴、y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。

反比例函数图像的画法分三个步骤：⑴列表；⑵描点；⑶连线。

在作反比例函数的图像时应注意以下几点：①列表时选取的数值宜对称选取；②列表时选取的数值越多，画的图像越精确；③连线时，必须根据自变量大小从左至右（或从右至左）用光滑的曲线连接，切忌画成折线；④画反比例函数图像时，它的两个分支应全部画出，但切忌将图像与坐标轴相交。

知识点4 反比例函数的性质关于反比例函数的性质，主要研究它的图像的位置及函数值的增减情况，如下表：注意：描述函数值的增减情况时，必须指出“在每个象限内……”否则，笼统地说，当0k >时，y 随x 的增大而减小“，就会与事实不符的矛盾。

反比例函数图像的位置和函数的增减性，是由反比例函数的系数k 的符号决定的，反过来，由反比例函数图像（双曲线）的位置和函数的增减性，也可以推断出k 的符号。

如 xk y =的图像在第一、第三象限，则可知0k >。

的几何意义⑴如图所示，过双曲线上任一点M （x ，y ）分别作x 轴、y 轴的垂线，P 、Q 分别为垂足，则k OPMQ xy x y PM QM S ==⋅=⋅=矩形 ⑵如图所示，OP=x ,MP=y ；则1k 2=111222xy x y ==MP·OP=S △MP O 反比例函数x k y =（0k ≠）中，k 越大，双曲线x k y =越远离坐标原点；k 越小，双曲线xk y =越靠近坐标原点。

双曲线是中心对称图形，对称中心是坐标原点；双曲线又是轴对称图形，对称轴是直线y=x 和直线y=－x 。

二次函数一、二次函数的概念与性质1.二次函数的意义（1）二次函数的定义：一般地，形如y=ax 2+bx+c （a 、b 、c 是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x 、y 是变量，a 、b 、c 是常量，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．Y=ax 2+bx+c （a 、b 、c 是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式．判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．（2）二次函数的取值范围：一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数，对实际问题，自变量的取值范围还需使实际问题有意义．2.二次函数的图像（1）二次函数y=ax 2（a≠0）的图象的画法：①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x 值，求出函数值，列表． ②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点．③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点．④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线y=ax 2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧．（2）二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象看作由二次函数y=ax 2的图象向右或向左平移2ba个单位，再向上或向下平移244ac b a-个单位得到的． 3.二次函数的性质二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的顶点坐标是（-2b a ，244ac b a -），对称轴直线x=-2b a ，二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象具有如下性质：①当a ＞0时，抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）的开口向上，x ＜-2b a时，y 随x 的增大而减小；x ＞-2b a 时，y 随x 的增大而增大；x=-2b a 时，y 取得最小值244ac b a-，即顶点是抛物线的最低点．②当a ＜0时，抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）的开口向下，x ＜-2b a时，y 随x 的增大而增大；x ＞-2b a 时，y 随x 的增大而减小；x=-2b a 时，y 取得最大值244ac b a-，即顶点是抛物线的最高点．③抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象可由抛物线y=ax 2再向上或向下平移244ac b a -个单位得到的． 4.二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）与系数的关系①二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小．当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；a 还可以决定开口大小，a 越大开口就越小．②一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置．当a 与b 同号时（即ab ＞0），对称轴在y 轴左； 当a 与b 异号时（即ab ＜0），对称轴在y 轴右．（简称：左同右异）③常数项c 决定抛物线与y 轴交点． 抛物线与y 轴交于（0，c ）．④抛物线与x 轴交点个数．△=b 2-4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；△=b 2-4ac=0时，抛物线与x 轴有1个交点；△=b 2-4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点．5.二次函数图像上的点的特征二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（-2b a ，244ac b a -）．①抛物线是关于对称轴x=-2b a成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数 函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点．②抛物线与y 轴交点的纵坐标是函数解析中的c 值．③抛物线与x 轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x 1，0），（x 2，0），则其对称轴为x=122x x +． 二次函数的图象与系数符号的关系：6.二次函数与几何变换由于抛物线平移后的形状不变，故a 不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．7.二次函数的最值（1）当a ＞0时，抛物线在对称轴左侧，y 随x 的增大而减少；在对称轴右侧，y 随x 的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x=-2b a 时，y=244ac b a-． （2）当a ＜0时，抛物线在对称轴左侧，y 随x 的增大而增大；在对称轴右侧，y 随x 的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x=-2b a 时，y=244ac b a-． （3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．8.求二次函数的解析式（1）二次函数的解析式有三种常见形式：①一般式：y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）；②顶点式：y=a （x-h ）2+k （a ，h ，k 是常数，a ≠0），其中（h ，k ）为顶点坐标； ③交点式：y=a （x-x 1）（x-x 2）（a ，b ，c 是常数，a ≠0）；（2）用待定系数法求二次函数的解析式．在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x 轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．二、用函数观点看一元二次方程1.抛物线与坐标轴的交点求二次函数y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数，a≠0）与x 轴的交点坐标，令y=0，即ax 2+bx+c=0，解关于x 的一元二次方程即可求得交点横坐标．（1）二次函数y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax 2+bx+c=0根之间的关系．△=b 2-4ac 决定抛物线与x 轴的交点个数．△=b 2-4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；△=b 2-4ac=0时，抛物线与x 轴有1个交点；△=b 2-4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点．（2）二次函数的交点式：y=a （x-x 1）（x-x 2）（a ，b ，c 是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）．2.用函数图象求一元二次方程的近似根利用二次函数图象求一元二次方程的近似根的步骤是：（1）作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数；（2）由图象与y=h的交点位置确定交点横坐标的范围；（3）观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的）．3.二次函数与不等式（组）二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）与不等式的关系①函数值y与某个数值m之间的不等关系，一般要转化成关于x的不等式，解不等式求得自变量x的取值范围．②利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．实际问题与二次函数1.根据实际问题列出二次函数关系式根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定．①描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是二次函数还是其他函数，再利用待定系数法求解相关的问题．②函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的转化；有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式．2.二次函数的应用（1）利用二次函数解决利润问题在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．（2）几何图形中的最值问题几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论．（3）构建二次函数模型解决实际问题利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．（4）二次函数图象与其他函数图象相结合问题解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．（5）二次函数与方程、几何知识的综合应用将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．锐角三角函数知识点总结与复习1、勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。