(人教新课标)高二数学必修5第二章 数列2-5《等比数列的前n项和》)课件(共21张PPT)

两式相减，得－Sn＝2＋22＋23＋„＋2n－n· 2n＋1 21－2n ＋ ＝ －n· 2n 1 1－2 ＝2n 1－2－n· 2n
＋ ＋1
＝(1－n)· 2n＋1－2， ∴Sn＝(n－1)· 2n＋1＋2.
2n－1 1 3 5 7 变式 5：求数列2，4，8，16，„， 2n 的前 n 项和．
整理，得 1＋q3＝9，解得 q＝2. a11－q3 7 1 将 q＝2 代入 ＝2，得 a1＝2， 1－q 故 an＝a1qn 1＝2n 2.
－ －
例3：某商场第1年销售计算机5000台，如果平均每年的销售量比
上一年增加10%，那么从第1年起，约几年内可使总销售量达到
30000台（保留到个位）？
解：a1=5000,
q=1+10%=1.1
sn=30000
5000(1 1.1n ) 于是得到 30000 1 1.1
整理后,得1.1n 1.6
两边取对数, 得n lg1.1 lg1.6
lg1.6 0.20 n 5(年) lg1.1 0.041
变式 4：在等比数列{an}中，公比 q＝－2，S5＝22，则 a1 的值 等于( D ) A．－2 C． 1 B．－1 D．2
① ②
2n－1 1 1 1 1 ①－②，得－Sn＝－1－2(2＋22＋23＋„＋ n－1)＋ 2n ＝ 2 1 1 21－2n－1 2n－1 －1－2× 1 ＋ 2n 1－2 2n－1 2n＋3 ＝－1－2＋ n－2＋ 2n ＝－3＋ 2n ， 2 1 2n＋3 ∴Sn＝3－ 2n .
即数列{an}是非常数列的等比数列的充要条件是前 n 项和 公式为 Sn＝－Aqn＋A，(A≠0，q≠0，且 q≠1，n∈N*) 当公比 q＝1 时，因为 a1≠0，所以 Sn＝na1 是 n 的正比例 函数．
例 2：等比数列{an}的前 n 项和 Sn＝2×3n＋a，则 a 等于( A．3 C．0 B．1 D．－2
注:（1）公式中涉及 a1 , q, n, an , Sn “知三求二” (方程思想)
五个量
（2）选择合适的公式，简化运算过程
a1 (1 q n ) q≠1时，已知首项和公比，用 S n 1 q 已知首项和末项，用 S a1 an q n 1 q
1 1 1 例1： 求等比数列 , , , 的前8项的和. 2 4 8
D
)
解析:数列{an}是非常数列的等比数列的充要条件是前 n 项 和公式为 Sn＝－Aqn＋A，由此可知 a＝－2.
7 63 变式 3：在等比数列{an}中，S3＝ ，S6＝ ，求 an. 2 2
解析: ∵S6≠2S3，∴q≠1，
3 a 1 － q 7 1 ＝2， 1 － q 7 63 又∵S3＝2，S6＝ 2 ，∴ 6 a11－q 63 ＝2， 1 － q
解析：∵S5＝22，q＝－2， a1[1－－25] ∴ ＝22， 1－－2 ∴a1＝2.
错位相减法
例 4：求和：Sn＝2＋2· 22＋3· 23＋„＋n· 2n.
解析： ∵Sn＝2＋2· 22＋3· 23＋„＋n· 2n ∴2Sn＝1· 22＋2· 23＋„＋(n－1)· 2n＋n· 2n＋1
1 1 解: a1 , q , n 8 2 2
1 1 1 2 2 S8 1 1 2
8

255 256
变式1：已知a1＝27，a9＝，q<0，求这个等比数列前5项ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ和．
1 243 1 1 8 解析：∵a1＝27，a9＝243，∴q ＝ 27 ＝38， 1 又∵q<0，∴q＝－3， 15 a11－q5 27[1－－3 ] 61 ∴S5＝ ＝ ＝3. 1 1－q 1－－3
国际象棋的棋盘上共有8 行8列,构成64个格子.国际 象棋起源于古代印度,关于 国际象棋有这样一个传说.
国际象棋与等比数列的前n项和
等比数列的前n项和 设等比数列 a1 , a2 , a3 ,, an ,
它的前n项和是
Sn a1 a2 a3 an
⑴
即 Sn a1 a1q a1q 2 a1q n2 a1q n1.
⑴×q, 得
qSn
a1q a1q a1q
2
n2
a1q
n1
a1q .
n
⑵
⑴－⑵，得
1 q Sn a1 a1qn ,
说明：这种求和方法称为错位相减法
当q≠1时， 当q=1时，
a1 1 q Sn 1 q

n

Sn na1
于是
na1 , (q 1), S n a1 (1 q n ) 1 q , (q 1).
第二章 数列
2.5 等比数列的前n项和
本节课主要学习等比数列的前 n项和公式。本课件以关于象棋的
传说提出问题，以问题引入新课，吸引学生注意力。以学生探究为
主，研究等比数列求和公式的两种方法，开阔学生的思路。强调公 式的运用方法。 用例1和变式1,2加以巩固。探究等比数列前n项和公式与函数的关 系，通过例 2和变式3,4巩固掌握有关公式，并学会运用。教学过程 有讲有练，例 3 运用等比数列的求和公式计算实际问题，增加变式 用来巩固公式。例4展示错位相减法的应用.
1 1 1 1 分析:本题中的数列是由数列 1,3,5,7，„与2，4，8，16，„ 的各项对应相乘得到的，前面的数列是等差数列，后面的数列 是等比数列，可用错位相减法求和．
2n－1 1 3 5 解析:设 Sn＝2＋22＋23＋„＋ 2n ， 2n－1 3 5 则 2Sn＝1＋2＋22＋„＋ n－1 . 2
变式2. 根据下列条件，求相应的等比数列 an 的 S n
(1)a1 3, q 2, n 6;
1 1 ( 2) a1 8, q , an ; 2 2
等比数列前n项和公式与函数的关系
当公比 q≠1 时，我们已经知道等比数列的前 n 项和公式 a11－qn a1 n a1 a1 Sn＝ ， 它可以变形为 Sn＝－ q＋ ， 设 A＝ ， 1－q 1－q 1－q 1－q 上式可写成 Sn＝－Aqn＋A，