第4章_滤波器设计方法

H a ( jΩ)
2

1 ε 2C2 N Ω Ω p
1
式中，参数 为小于1的正数， Ω p 为低通滤波器的截止频率 （不一定是3dB频率）。C N ( x ) 是N阶切比雪夫多项式，定义为：
cosN arccos( x ) x 1 C N (x) coshN arccos h ( x ) x 1
1 H a ( jΩ s )
2
及
δs H a ( jΩ s )
s
δs Байду номын сангаас0
as 20
10

30 20
0.0316
则
取阶数N＝5。
1 1 lg 1 lg 1 δ2 0.0316 2 s 3.0002 4.9829 N 2 lg 2 0.6021 Ωs 2 lg Ω p
(1)通带截止频率 Ω p 及通带内的最大衰减 a p
（或通带边缘增益 - a p ）或通带波纹 δ p ； (2)阻带截止频率 s 及阻带内最小衰减 as
（或阻带边缘增益 - a s ）或阻带波纹 δ s 。
对于单调下降的幅度特性，如果 Ω Ω c
且
H a j c 1/2 ， a p 3dB ，则
例4-2 已知一个模拟低通滤波器通带截
止频率 f p 5kHz 通带最大衰减 a p 3dB
阻带起始频率 f s 10kHz ，阻带最小衰
减 as 30dB ，试根据上述要求设计巴特 沃斯低通滤波器。
解
（1）确定滤波器的阶数
因为 Ω p Ω c，由 as 10 lg
可求得
2
Ω c 称为3dB截止频率
或半功率截止频率。 通带波纹 δ p 用来描述通带内最大和最小增益之差， 即 δ p 1 H a ( jΩ p ) 。衰减为 20 log( 1 δ p )。可得 a p 与 δ p
的关系为：
1 a p 10 log (1 δ p ) 2
阻带波纹 δ s 用来描述阻带内的最大增益，
因为 a p 3dB 所以 Ωc Ωp 2π 5 10 rad / s
3
（2）计算s左半平面上的N个极点
s0 Ωce
3 j π 5
s1 Ω c e
6 j π 5
4 j π 5
s 2 Ω c e jπ
7 j π 5
s3 Ωce
s4 Ωce
（3）写出滤波器的系统函数
4.2.2 巴特沃斯滤波器设计
1．巴特沃斯滤波器的特性
巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数定义为：
H a ( jΩ )
2
1 Ω Ω c
1
2N
Ωc 为 式中， N 为正整数，表示滤波器的阶数， 3dB截止频率。
应用巴特沃斯幅度平方函数描述的低通滤波 器具有如下特点。
H a ( j0) 1 。 （1）当 Ω 0 时，
1 1 2 δs
1 1 1000 2 0.001
所需滤波器的阶数为：
arccos h δ ε arccos h 1000 0.1523 9.4828 N 4.5957 arccos h Ω s Ω p arccos h 12 3 2.0634
取N=5，则该模拟低通滤波器的幅度表示为：
1．切比雪夫滤波器的特性
若切比雪夫滤波器的幅度特性在通带内是等波纹的，
而在阻带内是单调的，则称之为切比雪夫I型滤波器，如图
所示 若幅度特性在通带内是单调的，而在阻带内是等波纹
的，则称之为切比雪夫II型滤波器。
这里主要介绍切比雪夫I型滤波器的设计。
N阶切比雪夫I型滤波器形状
N阶模拟切比雪夫I型滤波器，其幅度平方函数定义为：
s 4 2e
2
s 5 2e
1 j π 3
1 j 3
极点的分布如图所示。
取s平面左半平面的极点 s 0 、s 1 和
s2
组
成 H a (s) ：
Ω 8 H a (s) 3 (s s 0 )(s s1 )(s s 2 ) s 4s 2 8s 8
3 c
3．巴特沃斯模拟滤波器的设计方法
2N
从而得到：
则
ap
Ω
p
Ωs
ap
N

10 10 1 10 10 1
as
N lg
10 10 1 10
as 10
1
Ωp lg Ω s

当 Ω p Ω c 时，简化得：
1 lg 2 1 δs N Ωs 2 lg Ω p
（1）极点在s平面是象限对称的，分布在半径为 Ω c 的 圆（巴特沃斯圆）上，共有2N个极点。极点间的角度间 隔为 π N rad 。
（2）极点绝不能落在虚轴上，这样滤波器才有可能稳
定。
（3）N为奇数时，实轴上有极点；N为偶数时，实轴上
无极点。
H a s 的极点，因此 选取在左半平面上的极点作为
2 H a ( jΩ c ) 1 2 0.707 ， （2）当Ω Ω c 时，H a ( jΩ c ) 1 2， 2
或 20 lg H a ( jΩ c ) 3dB 。
（3）当 0 Ω Ω c 时，即通带内， H a ( j) 随着 c 的
2
增加单调减小，且N越大，实际越慢，通带也就越平 坦。
H a ( jΩ ) H a ( jΩ ) H a ( jΩ )
2
由于滤波器冲激响应是ha ( t )实信号，
H 有 a ( jΩ ) H a ( jΩ ) ，所以
H a ( jΩ ) H a ( jΩ ) H a ( jΩ ) H a (s) H a (s) s jΩ
1 1 2 (1 δ p )
则系统函数为：
H a s



2 1 s si
i 1
线性增益－频谱图
例4-3
一个模拟低通滤波器，要求通带截止频率为
3kHz，通带最大衰减为0.1dB，阻带截止频率为12kHz， 阻带最小衰减为60dB。应用切比雪夫I型滤波器的设计 方法求该滤波器的幅度函数。
确定技术指标，包括：通带截止频率 Ω p 及通带
内的最大衰减 a p ，阻带截止频率 s 及阻带内最 小衰减
as 。
2
根据式得到：
H a ( jΩ p ) 1 Ωp 1 Ω c
2N
H a ( jΩ s )
2
1 Ωs 1 Ω c
即 δs H a ( jΩs )。衰减为 20 log δs dB，可得 a s 与 δ s
的关系为：
1 a s 10 log 2 δs
给定技术指标后，模拟滤波器的设计任务就是求 得一个系统函数 H a ( s)，使其满足该技术指标。
3．由幅度平方函数确定系统函数
模拟滤波器的幅度响应常用幅度平方函数来表示，即
4.2.1 低通模拟滤波器特性及幅度
平方逼近
1．理想滤波器的幅频特性
上图给出了各种理想滤波器的幅频特性，这些 特性包括： (1)通带内传输函数的幅度是常数，相移特性
是线性的；
(2)阻带内传输函数的幅度为零，对相移特性
没有要求；
(3)从通带到阻带有一个过渡带，对于理想滤
波器为零。
2. 低通滤波器的技术指标及其幅频特性 对于模拟低通滤波器，技术指标包括：
中的运算结构等内容
4.2 模拟滤波器的设计
按照频率特性，模拟滤波器可分为低通、 高通、带通、带阻和全通等类型。 模拟低通滤波器的传输函数经频率变换可 以转换成模拟高通、带通和带阻滤波器。
设计模拟低通滤波器是根据一组设计规范求 得模拟系统函数，使其逼近理想低通滤波器的 特性。通常可根据滤波器的幅度平方函数进行 逼近，也可根据相位特性或群延迟特性进行逼 近。 模拟低通滤波器的幅度平方逼近函数有巴特沃 斯型、切比雪夫型和椭圆型函数等。
H a (s) Ωc5
(s s )
k k 0
4
3.06 10 22 5 s 1.017 10 5 s 4 5.168 10 9 s 3 1.624 1014 s 2 3.152 1018 s 3.06 10 22
4.2.3 切比雪夫I型滤波器设计
（4）当 c时，即过渡带和阻带内，H a ( jΩ ) 也随
2
着Ω c 的增大单调减小，但比通带内衰减的速度快得 多，且N越大，衰减速度越快，过渡带也就越陡峭， 如图所示。
巴特沃斯滤波器幅度特性及其与N的关系
2．巴特沃斯滤波器的系统函数
将
s jΩ 代入式中，可得：
2
H a ( jΩ ) Ω s j H a (s) H a (s)
1 s 1 jΩ c
2N
可见，巴特沃斯滤波器是一个全极点型滤波器。共 有2N个极点，每个极点表示如下：
s k 1
1 2N
jΩ c Ω c e
1 2 k 1 jπ 2 2N
, k 0,1,2,,2N 1
H a (s)H a (s) 的极点分布特点为： 由上可看出，
4.1 引言
数字滤波器的总体设计步骤包括：
（1）按照设计要求，确定滤波器的性能指标；
（ 2 ）采用一个因果、稳定的离散 LTI 系统的 系统函数逼近该性能指标;
（3）利用有限精度算法来实现该系统函数;
（4）采用通用计算机软件、专用或通用的数字信 号处理器（DSP）来实现。
本章主要讨论其中的第（2）项和第（3）项