江江苏省常州市武进高中2010-2011学年高三期中考试理科数学

当x
[k
1 ,k
1 ](k
Z ) 时，
22
由定义知： k为与 x 最近的一个整数，故
11 f (x) | x k |, x [ k ,k ]( k Z ) 。………………………… 3 分
22
（ 2） f 4
1 ,f
4
1 ………………………… 4 分
33
33
判断 f (x) 是偶函数………………………… 5 分
由 g( x) ax2 b 0 有解， ax2 b 0 有解，即 a
b
x2
，
max
b 0， a
b x2
max
b
，
3a b
0 ------------- ②
3
………………… 15 分
2 ① +②可得 a
2
所以的最大值为
2 ，此时 b
32
．
2
2
……………………… 16 分
19 解：（ 1） f / (x)
B 30 ，△ ABC 的面积为 3 ，那么 b ___▲ ___． 2
10、如果函数 f ( x) 在区间上是“凸函数” ，则对于区间内任意的
x1 , x2 ,
, xn ，
有 f (x1) f ( x2 ) n
f (xn )
f ( x1 x 2 n
xn ) 成立 . 已知函数 y sin x在
区间 [0, ] 上是“凸函数” ，则在△ ABC 中， sin A sin B sin C 的最大值是 ___▲ ___． 11、已知 | a | 2| b | 0 ，且关于的函数 f ( x) 1 x3 1 | a | x2 a bx 在上有极值，
4分
2π ∴ f(x)的最小正周期为 T＝ ＝ π…．……………………………………………………………
2
(2) ∵ a、 b、c 成等比数列，∴ b2＝ac，………………………………………………………
又 c2＋ ac－a2＝ bc.
∴
cos
A＝
b2＋ c2－ 2bc
a2 ＝
ac＋ c2－ 2bc
a2
＝2bbcc＝
指定位置。 3．作答各题时，必须用书写黑色字迹的
0.5 毫米签字笔写在试卷的指定位置，在其它位置
作答一律无效。 4．如有作图需要，可用 2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚。
一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分 . 请把答案填写在答题卡相应位置上 .
1、若集合 A { x | 2 2x 8} ，集合 B { x | log 2 x 1} ，则集合 A B ___▲ ___．
同时成立时，求的最大值．
19、（本题满分 16 分）
函数 f (x)
ln x
a( x 1) (x
0, a
R) ．
x
（ 1）试求 f ( x) 的单调区间；
（ 2）当 a 0 时，求证：函数 f ( x) 的图像存在唯一零点的充要条件是 a 1；
（ 3）求证：不等式 1
1 1 对于 x (1,2) 恒成立．
1 x
a x2
xa x2 ( x 0) ．……………………………………………
2分
当 a 0 时， f / (x) 0 ，在 (0, ) 上单调递增；……………………………………
3分
当 a 0 时， x (0, a) 时， f / ( x) 0 ，在上单调递减；
x (a, ) 时， f / ( x) 0 ，在 (a, ) 上单调递增．…………………………………
3 sin2
3 sin(2
3
)
，…………… 12 分
62
(0, ) 3
5
2
( , …) ……………………………………
6 66
13 分
所以 ymax
3
.………………………………………………………………
2
14 分
18、解：（ 1）令 x2 1 t 1，则 x2 t2 1 ………………………… 1 分
f ( x) 0 即 1 (t 2 1) 3t 9 0 即 t 2 6t 8 0 ， (t 2)(t 4) 0
1 2.…………………………………………………
又∵ 0<A<π，∴ A＝π3.…………………………………………………………………………
6分 7分
10 分 12 分
f(A)＝ sห้องสมุดไป่ตู้n(2
π3×＋
π 3)＋
3＝ sin 2
π＋
3＝ 2
3 2 .……………………………………………………
14 分
16、解 : （ 1）由余弦定理知：
一、填空题：
二、解答题 15、解： (1)f(x)＝ p·q＝ (sin x， 3cos x) ·(cos x，cos x)＝sin xcos x＋ 3cos2x……………… 2 分
＝
1 2sin
2x＋
3·1＋
cos 2
2x＝
1 2sin
2x＋
3 2 cos
2x＋
3 2
＝
sin(2
x＋
π 3)＋
3 2 .………………………………………………………………………………
（ 2）求
4 f ( ),
f(
4 ) 的值，判断函数
f (x)( x
R) 的奇偶性，并证明你的结论；
3
3
1
（ 3）当 e 2
1
a 1时，求方程 f (x) loga x 0 的实根．（要求说明理由 e 2
1
）
2
2010—2011 学年度第一学期
中学高三年级数学试题参考答案 (2010.11. 理科 )
cos A 2 ( 3 1)2 4 2 2( 3 1)
2 , …………………………… 3 分 2
则 A ， AB AC AB AC cos A 4
2 2( 3 1)
2
3 1. …………… 7 分
（ 2） BP (1 ) BA BC,
BP BA (BC BA),
AP AC( 0) ,即 A、 P、 C 共线 . ……………………… 9 分
（ 3）证明：∵ 1 x 2 , ∴ 1
11
ln x x 1 2
(x 1)ln x 2( x 1) 0 .
令 F (x)
(x 1)ln x 2( x 1) ，∴ F / (x)
ln x
x1 2
ln x
1 1，…… 14 分
x
x
由（ 1）知，当 a 1 时， fmin (x) f (1) 0 ，∴ f ( x) f (1) 0 ，∴ ln x 1 1 0 ． x
不等式 x2 6x 8 0 的解集为 { x | a x c} ，则 b ___▲ ___．
6、已知函数 f (x) 3sin( x ) ( 6
0) 和 g( x) 3cos(2 x ) 的图象的对称中心
完全相同，若 x [0, ] ，则 f ( x) 的取值范围是 ___▲ ___ ． 2
7、若函数 f ( x) 4ln x ，点 P( x, y) 在曲线 y f '(x) 上运动，作 PM x 轴，垂足为 M ，
∴ F / ( x) 0 ，∴ F（x） F ( x) 在 (1,2) 上单调递增，∴ F ( x) F (1) 0，
∴ ( x 1)ln x 2( x 1) 0 . ∴ 1
1
1 (1
x
2) ．……………………
16 分
ln x x 1 2
11 20 解：（ 1）当 x [ , ] 时，
22
由定义知：与 0 距离最近， f ( x) | x | ， x [ 1 , 1 ]. 22
对任何 x R，函数 f ( x) 都存在，且存在 k Z ，满足
k 1 x k 1 , f ( x) | x k | .由 k 1 x k 1 可以得出 k 1 x k 1 ( k Z ）
函数 f (x)
1 x2
(a
b)
x2
1
9 ， g(x)
ax2
b( a、 b、 x
R)，
2
2
集合 A { x | 1 x2 3 x2 1 9 0} ，
2
2
（ 1）求集合；
（ 2）如果 b 0 ，对任意 x A 时， f (x) 0恒成立，求实数的范围； （ 3）如果 b 0 ，当“ f (x) 0 对任意 x A 恒成立”与“ g( x) 0 在 x A 内必有解”
PNMQ ，
使点 Q 在 OA 上，点 N , M 在 OB 上，设矩形 PNMQ 的面积为 ,
（ 1） 按下列要求写出函数的关系式：
① 设 PN x ，将表示成的函数关系式；
② 设 POB ，将表示成 的函数关系式；
P
（ 2） 请你选用（ 1）中的一个函数关系式，求出的最大值．
A Q
B N
O M
18、（本题满分 16 分）
江苏省常州市武进高中 2010-2011 学年高三期中考试 数学（理）试题
考生注意：
1．本试卷共 2 页，包括填空题（第 1 题—第 14 题）、解答题（第 15 题—第 20 题）两部分。
本试卷满分 160 分，考试时间 120 分钟。 2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用
0.5 毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷的
ln x x 1 2
20、（本题满分 16 分）
对任意 x
R ,给定区间 [ k
1 ,k
1]( k
z) ,设函数 f ( x) 表示实数与的给定区间内
22
整数之差的绝对值．