二次函数综合题集3

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二次函数的综合练习题3

北师大版九年级数学(下)
【001】已知：抛物线y=ax2+bx+c 的对称轴为x=-1,与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C其中A(-3,0)、 C(0,-2) （1）求这条抛物线的函数表达式．（2）已知在对称轴上存在一点P，使得△PBC的周长最小．请求出点P 的坐标．（BC交x轴于点E,连接PD、 PE．设CD的长为m，△PDE的面积为 S．求S与m之间的函数关系式．试说明S是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．
【010】.如图，直线y=-½ x+2与x轴交于点B，与y轴交于点C，已知二次函数的图象经过点B、C和点A（-1，0）．（1）求B、C两点坐标；（2）求该二次函数的关系式；（3）若抛物线的对称轴与x轴的交点为点D，则在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；（4）点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．
【011】已知：m、n是方程x2﹣6x+5=0的两个实数根，且m＜n，抛物线 y=﹣x2+bx+c的图象经过点A（m，0）、B（0，n）．（1）求这个抛物线的解析式；（2）抛物线与x轴的另一交点为C，抛物线的顶点为D，求△BCD的面积；（3）P是线段OC上的一点，过点P作PH⊥x轴，与抛物线交于H点，若直线BC把△PCH分成面积之比为2：3的两部分，请求出P点的坐标．
（4）点Q是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使以A，D， F，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点F的坐

二次函数综合试题及答案

二次函数综合试题及答案一、选择题1. 若二次函数y=ax^2+bx+c的图象开口向下，则a的取值范围是（）。

A. a > 0B. a < 0C. a = 0D. a ≠ 0答案：B2. 已知二次函数y=2x^2-4x+3，其顶点坐标为（）。

A. (1, 1)B. (2, -1)C. (1, 3)D. (2, 3)答案：A二、填空题3. 写出二次函数y=-2x^2+4x-1的顶点坐标为______。

答案：(1, 1)4. 若二次函数y=x^2-6x+k的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围是______。

答案：k < 9三、解答题5. 已知二次函数y=ax^2+bx+c(a≠0)，且该函数图象与x轴有两个交点，求证：b^2-4ac>0。

证明：已知二次函数y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象与x轴有两个交点，即方程ax^2+bx+c=0有两个实数根。

根据判别式的性质，当Δ=b^2-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根。

因此，b^2-4ac>0。

6. 已知二次函数y=-x^2+6x-5，求该函数的对称轴方程。

解：二次函数y=-x^2+6x-5的对称轴方程为x=-b/2a=-6/(2*(-1))=3。

四、计算题7. 已知抛物线y=-2x^2+4x+1与x轴交于点A、B，求A、B两点的坐标。

解：令y=0，得-2x^2+4x+1=0。

解得x1=-1/2，x2=3/2。

因此，A点坐标为(-1/2, 0)，B点坐标为(3/2, 0)。

8. 已知二次函数y=2x^2-4x+3的顶点坐标为(1, 1)，求该函数的对称轴方程。

解：已知二次函数y=2x^2-4x+3的顶点坐标为(1, 1)，根据顶点式y=a(x-h)^2+k，对称轴方程为x=h。

因此，对称轴方程为x=1。

二次函数综合题经典习题(包含答案)

二次函数综合题训练题型集合1、如图1，已知二次函数图象的顶点坐标为C(1,0)，直线m x y +=与该二次函数的图象交于A 、B 两点，其中A 点的坐标为(3,4)，B 点在轴y 上. （1）求m 的值及这个二次函数的关系式；（2）P 为线段AB 上的一个动点（点P 与A 、B 不重合），过P 作x 轴的垂线与这个二次函数的图象交于点E 点，设线段PE 的长为h ，点P 的横坐标为x ，求h 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（3）D 为直线AB 与这个二次函数图象对称轴的交点，在线段AB 上是否存在一点P ，使得四边形DCEP 是平行四边形？若存在，请求出此时P 点的坐标；若不存在，请说明理由.2、如图2，已知二次函数24y ax x c =-+的图像经过点A 和点B ．（1）求该二次函数的表达式；（2）写出该抛物线的对称轴及顶点坐标；（3）点P （m ，m ）与点Q 均在该函数图像上（其中m ＞0），且这两点关于抛物线的对称轴对称，求m 的值及点Q 到x 轴的距离E B A C P 图1 O xy D xyO3－9－1 －1AB图2P B A C O xy Q 图3 3、如图3，已知抛物线c x b x a y ++=2经过O(0,0)，A(4,0),B(3,3)三点，连结AB ，过点B 作BC ∥x 轴交该抛物线于点C.（1）求这条抛物线的函数关系式.（2）两个动点P 、Q 分别从O 、A 两点同时出发,以每秒1个单位长度的速度运动. 其中，点P 沿着线段0A 向A 点运动，点Q 沿着折线A →B →C 的路线向C 点运动. 设这两个动点运动的时间为t （秒) (0＜t ＜4)，△PQA 的面积记为S.① 求S 与t 的函数关系式；② 当t 为何值时，S 有最大值，最大值是多少？并指出此时△PQA 的形状；③ 是否存在这样的t 值，使得△PQA 是直角三角形?若存在，请直接写出此时P 、Q 两点的坐标；若不存在，请说明理由.7、（07海南中考）如图7，直线434+-=x y 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，已知二次函数的图象经过点A 、C 和点()0,1-B .（1）求该二次函数的关系式；（2）设该二次函数的图象的顶点为M ，求四边形AOCM 的面积；（3）有两动点D 、E 同时从点O 出发，其中点D 以每秒23个单位长度的速度沿折线OAC 按O →A →C 的路线运动，点E 以每秒4个单位长度的速度沿折线OCA 按O →C →A 的路线运动，当D 、E 两点相遇时，它们都停止运动.设D 、E 同时从点O 出发t 秒时，ODE ∆的面积为S .①请问D 、E 两点在运动过程中，是否存在DE ∥OC ，若存在，请求出此时t 的值；若不存在，请说明理由；②请求出S 关于t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围；③设0S 是②中函数S 的最大值，那么0S = .CAM yBOxCAMyBOxCAM yBOx4、某公司推出了一种高效环保型除草剂，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程. 图4的二次函数图象（部分）反映了该公司年初以来累积利润S （万元）与时间t （月）之间的关系（即前t 个月的利润总和S 与t 之间的关系）.根据图象提供信息，解答下列问题：（1）公司从第几个月末开始扭亏为盈；（2）累积利润S 与时间t 之间的函数关系式；（3）求截止到几月末公司累积利润可达30万元；（4）求第8个月公司所获利是多少元？5、(07年海口模拟二)如图5，已知抛物线c x b x a y ++=2的顶点坐标为E （1,0），与y 轴的交点坐标为（0,1）. （1）求该抛物线的函数关系式.（2）A 、B 是x 轴上两个动点，且A 、B 间的距离为AB=4，A 在B 的左边，过A 作AD ⊥x 轴交抛物线于D ，过B 作BC ⊥x 轴交抛物线于C. 设A 点的坐标为（t ,0），四边形ABCD 的面积为S.① 求S 与t 之间的函数关系式.② 求四边形ABCD 的最小面积，此时四边形ABCD 是什么四边形？③ 当四边形ABCD 面积最小时，在对角线BD 上是否存在这样的点P ，使得△PAE 的周长最小，若存在，请求出点P 的坐标及这时△PAE 的周长；若不存在，说明理由.x y D图5 E B A C O 1 xyE O 1 备用图-3 0 -1-21 234 S(万元) 图41 2 3 4 5 6 t(月)6、(07浙江中考)如图6，抛物线223y x x =--与x 轴交A 、B 两点（A 点在B 点左侧），直线l 与抛物线交于A 、C 两点，其中C 点的横坐标为2。

二次函数最新综合题练习50道(含详细解析)

二次函数最新综合题练习50道一．解答题（共50小题）1．如图，已知二次函数y=﹣x2+bx+c的图象经过点C（0，3），与x轴分别交于点A、点B（3，0）．点D（n，y1）、E（n+t，y2）、F（n+4，y3）都在这个二次函数的图象上，其中0＜t＜4，连接DE、DF、EF，记△DEF的面积为S．（1）求二次函数y=﹣x2+bx+c的表达式；（2）若n=0，求S的最大值，并求此时t的值；（3）若t=2，当n不同数值时，S的值是否变化？如不变，求该定值；如变化，试用含n的代数式表示S．2．抛物线y=x2+（2t﹣2）x+t2﹣2t﹣3与x轴交于A、B两点（A在B左侧），与y轴交于点C．（1）如图1，当t=0时，连接AC、BC，求△ABC的面积；（2）如图2，在（1）的条件下，若点P为在第四象限的抛物线上的一点，且∠PCB+∠CAB=135°，求P点坐标；（3）如图3，当﹣1＜t＜3时，若Q是抛物线上A、C之间的一点（不与A、C 重合），直线QA、QB分别交y轴于D、E两点．在Q点运动过程中，是否存在固定的t值，使得CE=2CD．若存在，求出t值；若不存在，请说明理由．3．如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣x+3与x轴，y轴分别交于点A，点B，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过A，B与点C（﹣1，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点（不与点A、B重合），过点P作x 轴的垂线，垂足为D，交线段AB于点E．设点P的横坐标为m．①求△PAB的面积y关于m的函数关系式，当m为何值时，y有最大值，最大值是多少？②若点E是垂线段PD的三等分点，求点P的坐标．4．如图，点A，B，C都在抛物线y=ax2﹣2amx+am2+2m﹣5（﹣＜a＜0）上，AB∥x轴，∠ABC=135°，且AB=4．（1）填空：抛物线的顶点坐标为；（用含m的代数式表示）；（2）求△ABC的面积（用含a的代数式表示）；（3）若△ABC的面积为2，当2m﹣5≤x≤2m﹣2时，y的最大值为2，求m的值．5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为（2，9），与y 轴交于点A（0，5），与x轴交于点E，B．（1）求二次函数y=ax2+bx+c的解析式；（2）过点A作AC平行于x轴，交抛物线于点C，点P为抛物线上的一点（点P 在AC上方），作PD平行于y轴交AB于点D，问当点P在何位置时，四边形APCD的面积最大？并求出最大面积；（3）若点M在抛物线上，点N在其对称轴上，使得以A，E，N，M为顶点的四边形是平行四边形，且AE为其一边，求点M，N的坐标．6．如图①，直线y=kx+2与坐标轴交于A、B两点，OA=4，点C是x轴正半轴上的点，且OC=OB，过点C作AB的垂线，交y轴于点D，抛物线y=ax2+bx+c 过A、B、C三点．（1）求抛物线函数关系式；（2）如图②，点P是射线BA上一动点（不与点B重合），连接OP，过点O作OP的垂线交直线CD于点Q．求证：OP=OQ；（3）如图③，在（2）的条件下，分别过P、Q两点作x轴的垂线，分别交x轴于点E、F，交抛物线于点M、N，是否存在点P的位置，使以P、Q、M、N 为顶点的四边形为平行四边形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．7．如图，已知抛物线L1：y=x2﹣x﹣，L1交x轴于A，B（点A在点B左边），交y轴于C，其顶点为D，P是L1上一个动点，过P沿y轴正方向作线段PQ ∥y轴，使PQ=t，当P点在L1上运动时，Q随之运动形成的图形记为L2．（1）若t=3，求点P运动到D点时点Q的坐标，并直接写出图形L2的函数解析式；（2）过B作直线l∥y轴，若直线l和y轴及L1，L2所围成的图形面积为12，求t的值．8．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象对称轴为x=，图象交x轴于A，B，交y轴于C（0，﹣3），且AB=5，直线y=kx+b（k＞0）与二次函数图象交于M，N（M 在N的右边），交y轴于P．（1）求二次函数图象的解析式；（2）若b=﹣5，且△CMN的面积为3，求k的值；（3）若b=﹣3k，直线AN交y轴于Q，求的值或取值范围．9．如图，函数y=2x的图象与函数y=ax2﹣3（a≠0）的图象相交于点P（3，k），Q两点．（1）a=，k=；（2）当x在什么范围内取值时，2x＞ax2﹣3；（3）解关于x的不等式：|ax2﹣3|＞1．10．如图，平面直角坐标系中，二次函数y=x2﹣2x﹣3的部分图象与x轴交于点A、B（A在B的左边），与y轴交于点C，连接BC，D为顶点（1）求∠OBC的度数；（2）在x轴下方的抛物线上是否存在一点Q，使△ABQ的面积等于5？如存在，求Q点的坐标，如不存在，说明理由；（3）点P是第四象限的抛物线上的一个动点（不与点D重合），过点P作PF⊥x 轴交BC于点F，求线段PF长度的最大值．11．如图，已知抛物线过点A（3，0），B（﹣1，0），C（0，3），连接AC，点M 是抛物线AC段上的一点，且CM∥x轴．（1）求抛物线的解析式；（2）求∠CAM的正切值；（3）点Q在抛物线上，且∠BAQ=∠CAM，求点Q的坐标．12．如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B、C；抛物线y=﹣x2+bx+c经过B、C两点，与x轴交于另一点A．设P（x，y）是在第一象限内抛物线上的一个动点，过点P作直线k⊥x轴于点M，交直线BC 于点N．（1）求该抛物线所对应的函数关系式；（2）连接PC、ON，若以P、C、O、N四点能围成平行四边形时，求此时点P坐标；（3）是否存在以P、C、N为顶点的三角形与△BNM相似？若存在，求出点N 坐标；若不存在，请说明理由．13．如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点A（2，﹣3），且与x轴交点坐标为（﹣1，0），（3，0）（1）求抛物线的解析式；（2）在直线AB下方抛物线上找一点D，求出使得△ABD面积最大时点D的坐标；（3）点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点A，B，M，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．14．如图，矩形的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为（10，8），沿直线OD折叠矩形，使点A正好落在BC上的E处，E点坐标为（6，8），抛物线y=ax2+bx+c经过O、A、E三点．（1）求此抛物线的解析式；（2）点P是抛物线对称轴上的一动点，当△PAD的周长最小时，求点P的坐标；（3）当t≤x≤t+1时，求y=ax2+bx+c的最大值．15．在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于A，B两点，交y轴于点C，已知抛物线的对称轴为x=1，B（3，0），C（0，﹣3）．（1）求这个抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使点P到A、C两点间的距离之和最小．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）点Q是直线BC下方抛物线上的一点，当△BCQ的面积最大时求Q点的坐标；（4）如果在x轴上方平行于x轴的一条直线交抛物线于M，N两点，以MN为直径作圆恰好与x轴相切，求此圆的直径．16．如图，抛物线y=﹣x2+bx+3与x轴交于点A，B，点B的坐标为（1，0）．（1）求抛物线的解析式及顶点坐标；（2）若P（0，t）（t＜﹣1）是y轴上一点，Q（5，0），将点Q绕着点P逆时针方向旋转90°得到点E．①用含t的式子表示点E的坐标；②当点E恰好在该抛物线上时，求t的值．17．如图，抛物线y=ax2﹣3ax﹣10a交x轴于A、B两点（A左B右），交y轴正半轴于C点，连AC，tan∠CAB=，（1）求抛物线解析式；（2）点P是第三象限内抛物线上一点，过C作x轴平行线交抛物线于D，连DP、BP，分别交y轴于E、F，设P点横坐标为p，线段EF长为m，求出m与自变量p之间的函数关系式；（3）在（2）条件下，当tan∠DPB=时，求P点坐标．18．如图所示，平面直角坐标系中，O为坐标原点，二次函数y=x2﹣bx+c（b＞0）的图象与x轴交于A（﹣1，0）、B两点，与y轴交于点C；（1）求c与b的函数关系式；（2）点D为抛物线顶点，作抛物线对称轴DE交x轴于点E，连接BC交DE于F，若AE=DF，求此二次函数解析式；（3）在（2）的条件下，点P为第四象限抛物线上一点，过P作DE的垂线交抛物线于点M，交DE于H，点Q为第三象限抛物线上一点，作QN⊥ED于N，连接MN，且∠QMN+∠QMP=180°，当QN：DH=15：16时，连接PC，求tan ∠PCF的值．19．如图，抛物线y=ax2+x+c与x轴交于A，B两点，A点坐标为（﹣3，0），与y轴交于点C，点C坐标为（0．﹣6），连接BC，点C关于x轴的对称点D，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线l 交抛物线于点Q，交直线BD于点M．（1）求二次函数解析式；（2）点P在x轴上运动，若﹣6≤m≤2时，求线段MQ长度的最大值．（3）点P在x轴上运动时，N为平面内一点，使得点B、C、M、N为顶点的四边形为菱形？如果存在，请直接写出点N坐标；不存在，说明理由．20．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2﹣2x（a≠0）与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧）．（1）当a=﹣1时，求A，B两点的坐标；（2）过点P（3，0）作垂直于x轴的直线l，交抛物线于点C．①当a=2时，求PB+PC的值；②若点B在直线l左侧，且PB+PC≥14，结合函数的图象，直接写出a的取值范围．21．在平面直角坐标系中，抛物线y1=ax2﹣2amx+am2﹣m+1（a＜0）的顶点为点P．（1）写出顶点坐标（含有m的式子表示）；（2）抛物线与x轴分别交于点（x1，0）、（x20），若x1•x2＜0，且知m=﹣1，则求a的取值范围；（3）已知点P在直线y2=kx+b上运动，y1与y2交于另一点A，过点A作x轴平行线交抛物线于另一点B：①求直线y2解析式；=1，且m≤x≤时，y1≥x﹣3恒成立，求m的最小值．②当S△PAB22．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，C在x 轴的正半轴上，已知A（0，8）、C（10，0），作∠AOC的平分线交AB于点D，连接CD，过点D作DE⊥CD交OA于点E．（1）求点D的坐标；（2）求证：△ADE≌△BCD；（3）抛物线y=x2﹣x+8经过点A、C，连接AC．探索：若点P是x轴下方抛物线上一动点，过点P作平行于y轴的直线交AC于点M．是否存在点P，使线段MP的长度有最大值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．23．在平面直角坐标系中，抛物线C1：y=ax2+4x+4a（0＜a＜2）．（1）当C1与x轴只有一个公共点时，求此时C1的解析式：（2）如图①，若A（1，y A），B（0，y B），C（﹣1，y C）三点均在C1上，连接BC，作AE∥BC交抛物线C1于E，求点E到y轴的距离；（3）若a=1，将抛物线C1先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度得到抛物线C2，如图②，抛物线C2与x轴相交于点M，N（点M在点N的左侧），抛物线C2的对称轴交x轴于点F，过点F的直线l与抛物线C2相交于点P，Q（点P在第四象限），且S△FMQ﹣S△FNP=，求直线l的解析式．24．如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标是（4，0），并且OA=OC=4OB，动点P在过A，B，C三点的抛物线上．（1）求抛物线的解析式；（2）在AC上方的抛物线上有一动点G，如图，当点G运动到某位置时，以AG，AO为邻边的平行四边形第四个顶点恰好也在抛物线上，求出此时点G的坐标；（3）是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．25．如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与一直线相交于A（1，0）、C（﹣2，3）两点，与y轴交于点N，其顶点为D．（1）求抛物线及直线AC的函数关系式；（2）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值及此时点P的坐标；（3）在对称轴上是否存在一点M，使△ANM的周长最小．若存在，请求出M 点的坐标和△ANM周长的最小值；若不存在，请说明理由．26．如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点．（1）求该抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴上是否存在一点M，使△ACM的周长最小？若存在，请求出M点的坐标，若不存在，请说明理由．（3）设抛物线上有一个动点P，当点P在该抛物线上滑动到什么位置时．满足S =8，并求出此时P点的坐标．△PAB27．已知抛物线y=﹣x2+2kx﹣k2+k+3（k为常数）的顶点纵坐标为4．（1）求k的值；（2）设抛物线与直线y=﹣（x﹣3）（m≠0）两交点的横坐标为x1，x2，n=x1+x2﹣2，若A（1，a），B（b，）两点在动点M（m，n）所形成的曲线上，求直线AB的解析式；（3）将（2）中的直线AB绕点（3，0）顺时针旋转45°，与抛物线x轴上方的部分相交于点C，请直接写出点C的坐标．28．如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A，B（1，0）两点，与y轴交于点C，直线y=x﹣2经过A，C两点，抛物线的顶点为D．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）在直线AC上方的抛物线上存在一点P，使△PAC的面积最大，请直接写出P点坐标及△PAC面积的最大值；（3）在y轴上是否存在一点G，使得GD+GB的值最小？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．29．如图，抛物线y=ax2+2x﹣3a经过A（1，0）、B（b，0）、C（0，c）三点．（1）求b，c的值；（2）在抛物对称轴上找一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标；（3）点M为x轴上一动点，抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．30．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2﹣4mx+4m+5的顶点为A．（1）求点A的坐标；（2）将线段OA沿x轴向右平移2个单位得到线段OˊAˊ．①直接写出点Oˊ和Aˊ的坐标；②若抛物线y=mx2﹣4mx+4m+5与四边形AOOˊAˊ有且只有两个公共点，结合函数的图象，求m的取值范围．31．如图（1），抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）、B（t，0）（t＞0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），若抛物线的对称轴为直线x=1，（1）求抛物线的函数解析式；（2）若点D是抛物线BC段上的动点，且点D到直线BC的距离为，求点D 的坐标；（3）如图（2），若直线y=mx+n经过点A，交y轴于点E（0，﹣1），点P是直线AE下方抛物线上一点，过点P作x轴的垂线交直线AE于点M，点N在线段AM延长线上，且PM=PN，是否存在点P，使△PMN的周长有最大值？若存在，求出点P的坐标及△PMN的周长的最大值；若不存在，请说明理由．32．如图所示，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（﹣2，0）、B（4，0）、C（0，﹣8），与直线y=x﹣4交于B，D两点（1）求抛物线的解析式并直接写出D点的坐标；（2）点P为直线BD下方抛物线上的一个动点，试求出△BDP面积的最大值及此时点P的坐标；（3）点Q是线段BD上异于B、D的动点，过点Q作QF⊥x轴于点F，交抛物线于点G，当△QDG为直角三角形时，直接写出点Q的坐标．33．已知抛物线y=ax2+bx+2过点A（5，0）和点B（﹣3，﹣4），与y轴交于点C．（1）求抛物线y=ax2+bx+2的函数表达式；（2）求直线BC的函数表达式及直线BC与x轴的交点D的坐标；（3）点E是点B关于y轴的对称点，连接AE、BE，点P是折线EB﹣BC上的一个动点，①当点P在线段BC上时，连接EP，若EP⊥BC，请直接写出线段BP与线段AE的关系；②过点P作x轴的垂线与过点C作的y轴的垂线交于点M，当点M不与点C重合时，点M关于直线PC的对称点为点M′，如果点M′恰好在坐标轴上，请直接写出此时点P的坐标．34．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．（1）求直线AC的解析式；（2）如图2，点E（a，b）是对称轴右侧抛物线上一点，过点E垂直于y轴的直线与AC交于点D（m，n）．点P是x轴上的一点，点Q是该抛物线对称轴上的一点，当a+m最大时，求点E的坐标，并直接写出EQ+PQ+PB的最小值；（3）如图3，在（2）的条件下，连结OD，将△AOD沿x轴翻折得到△AOM，再将△AOM沿射线CB的方向以每秒3个单位的速度沿平移，记平移后的△AOM为△A′O'M'，同时抛物线以每秒1个单位的速度沿x轴正方向平移，点B 的对应点为B'．△A'B'M'能否为等腰三角形？若能，请求出所有符合条件的点M'的坐标；若不能，请说明理由．35．如图1所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P、Q同时从点B出发，点P沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/秒，设P、Q同时出发t秒时，△BPQ的面积为ycm2，已知y与t的函数关系图象如图2所示，请回答：（1）线段BC的长为cm．（2）当运动时间t=2.5秒时，P、Q之间的距离是cm．36．如图，已知抛物线y=ax2+x+4的对称轴是直线x=3，且与轴相交于A、B两点（B点在A点的右侧），与轴交于C点．（1）A点的坐标是；B点坐标是；（2）直线BC的解析式是：；（3）点P是直线BC上方的抛物线上的一动点（不与B、C重合），是否存在点P，使△PBC的面积最大．若存在，请求出△PBC的最大面积，若不存在，试说明理由；（4）若点M在x轴上，点N在抛物线上，以A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点M点坐标．37．如图，抛物线y=x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（0，﹣2），并与x轴交于点C，点M是抛物线对称轴l上任意一点（点M，B，C三点不在同一直线上）（1）求该抛物线所表示的二次函数的表达式；（2）若△MCB为直角三角形，请求出点M的坐标；（3）在抛物线上找出点P，使得以M、C、B、P为顶点的四边形为平行四边形，并直接写出点P的坐标．38．如图1，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（1，0）、B（4，0），与y轴交于点C（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线上一点D，满足S=S△OAC，求点D的坐标；△DAC（3）如图2，已知N（0，1），将抛物线在点A、B之间部分（含点A、B）沿x轴向上翻折，得到图T（虚线部分），点M为图象T的顶点．现将图象保持其顶点在直线MN上平移，得到的图象T1与线段BC至少有一个交点，求图象T1的顶点横坐标的取值范围．39．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y 轴交于点C，点C关于抛物线对称轴的对称点为点D，抛物线顶点为H（1，2）．（1）求抛物线的解析式；=3，（2）点P为直线AD上方抛物线的对称轴上一动点，连接PA，PD．当S△PAD 若在x轴上存在一动点Q，使PQ+QB最小，求此时点Q的坐标及PQ+QB的最小值；（3）若点E为抛物线上的动点，点G，F为平面内的点，以BE为边构造以B，E，F，G为顶点的正方形，当顶点F或者G恰好落在y轴上时，求点E的横坐标．40．在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx﹣3与x轴交于A，B两点（A在B 的左侧），与y轴交于点C，点B的坐标为（3，0），且CO=3OA．（1）求抛物线的解析式；（2）P点为对称轴右侧第四象限抛物线上的点连接BC、PC、PB，设P的横坐标为t，△PBC的面积为S求S与t之间的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；（3）在（2）的条件下，线段BP绕B顺时针旋转90°，得到对应线段BN，点P 的对应点为点N，在对称轴左侧的抛物线上取一点Q，射线BQ与射线PC交于点H，若点N在y轴上，且HQ=PQ，求点Q的坐标．41．抛物线y=x2+mx+n过点（﹣1，8）和点（4，3）且与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，AD交抛物线于D，交直线BC于点G，且AG=GD，求点D的坐标；（3）如图2，过点M（3，2）的直线交抛物线于P，Q，AP交y轴于点E，AQ 交y轴于点F，求OE•OF的值．42．如图，二次函数y=x2﹣m2（m＞0且为常数）的图象与x轴交于点A、B（A 在B左侧），与y轴交于C．（1）求A，B，C三点的坐标（用含m的式子表示）；（2）若∠ACB=90°，求m的值．43．阅读下列材料：某同学遇到这样一个问题：在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：y=﹣x，点A （1，t）在抛物线y=x2﹣4x+5上，求点A到直线l的距离d．如图1，他过点A作AB⊥l于点B，AD∥y轴分别交x轴于点C，交直线l于点D．他发现OC=CD，∠ADB=45°，可求出AD的长，再利用Rt△ABD求出AB的长，即为点A到直线l的距离d．请回答：（1）图1中，AD=，点A到直线l的距离d=．参考该同学思考问题的方法，解决下列问题：在平面直角坐标系xOy中，点M是抛物线y=x2﹣4x+5上的一动点，设点M到直线l的距离为d．（2）如图2，①l：y=﹣x，d=，则点M的坐标为；②l：y=﹣x，在点M运动的过程中，求d的最小值；（3）如图3，l：y=2x﹣7，在点M运动的过程中，d的最小值是．44．如图1，已知抛物线y=﹣x2+mx+m﹣2的顶点为A，且经过点B（3，﹣3）．（1）求顶点A的坐标（2）若P是抛物线上且位于直线OB上方的一个动点，求△OPB的面积的最大值及比时点P的坐标；（3）如图2，将原抛物线沿射线OA方向进行平移得到新的抛物线，新抛物线与射线OA交于C，D两点，请问：在抛物线平移的过程中，线段CD的长度是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．45．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B 两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，﹣3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．（1）求这个二次函数的表达式；（2）求出四边形ABPC的面积最大时的P点坐标和四边形ABPC的最大面积；（3）在直线BC找一点Q，使得△QOC为等腰三角形，写出Q点坐标．46．如图①，作法平面直角坐标系中，二次函数y=ax2﹣6ax的图象经过点D（2，1）．（1）求该函数表达式及顶点坐标；（2）将该二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个如图②所示的新图象，请补全新图象对应的函数表达式：y=，（x＜0或），y=，（0≤x≤6）（3）已知点E的坐标为（4，1），P是图②图象上一点，其横坐标为m，连接PD、PE，当△PDE的面积为1时，直接写出m的值．47．已知函数y=a n x2+b n x（a n＜0，b n＞0，n为正整数）的图象的顶点为B n，与x 轴的一个交点为A n，点O为坐标原点．（1）当n=1时，函数y=a1x2+b1x的图象的对称轴与函数y=﹣x2的图象交于点C1，且四边形OB1A1C1为正方形，求a1、b1的值．（2）当n=2时，函数y=a2x2+b2x的图象的对称轴与函数y=a1x2+b1x的图象交于点C2，且四边形OB2A2C2为正方形，求a2、b2的值．（3）以此类推，可得a3=﹣，b3=2，一般地，若函数y=a n x2+b n x的对称轴与函x2+b n﹣1x的图象交于点C n，且四边形OB n A n C n为正方形，求a n、b n的值．数a n﹣148．已知抛物线C1：y=ax2过点（2，2）（1）直接写出抛物线的解析式；（2）如图，△ABC的三个顶点都在抛物线C1上，且边AC所在的直线解析式为y=x+b，若AC边上的中线BD平行于y轴，求的值；（3）如图，点P的坐标为（0，2），点Q为抛物线上C1上一动点，以PQ为直径作⊙M，直线y=t与⊙M相交于H、K两点是否存在实数t，使得HK的长度为定值？若存在，求出HK的长度；若不存在，请说明理由．49．如图所示，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点是（1，4），且图象过点A（3，0），与y轴交于点B．（1）求二次函数y=ax2+bx+c的解析式；（2）求直线AB的解析式；（3）在直线AB上方的抛物线上是否存在一点C，使得S=．如果存在，请△ABC求出C点的坐标；如果不存在，请说明理由．50．已知直线l：y=﹣2，抛物线C：y=ax2﹣1经过点（2，0）（1）求a的值；（2）如图①，点P是抛物线C上任意一点，过点P作直线l的垂线，垂足为Q．求证：PO=PQ；（3）请你参考（2）中的结论解决下列问题1．如图②，过原点作直线交抛物线C于A，B两点，过此两点作直线l的垂线，垂足分别为M，N，连接ON，OM，求证：OM⊥ON；2．如图③，点D（1，1），使探究在抛物线C上是否存在点F，使得FD+FO取得最小值？若存在，求出点F的坐标，若不存在，请说明理由．二次函数最新综合题练习50道参考答案与试题解析一．解答题（共50小题）1．如图，已知二次函数y=﹣x2+bx+c的图象经过点C（0，3），与x轴分别交于点A、点B（3，0）．点D（n，y1）、E（n+t，y2）、F（n+4，y3）都在这个二次函数的图象上，其中0＜t＜4，连接DE、DF、EF，记△DEF的面积为S．（1）求二次函数y=﹣x2+bx+c的表达式；（2）若n=0，求S的最大值，并求此时t的值；（3）若t=2，当n不同数值时，S的值是否变化？如不变，求该定值；如变化，试用含n的代数式表示S．【解答】解：（1）将点B（3，0），C（0，3）代入y=﹣x2+bx+c，得：，解得：，∴二次函数的表达式为y=﹣x2+2x+3．（2）当n=0时，点D的坐标为（0，3），点E的坐标为（t，﹣t2+2t+3），点F 的坐标为（4，﹣5）．设直线DF的函数表达式为y=kx+a（k≠0），将D（0，3），F（4，﹣5）代入y=kx+a，得：，解得：，∴直线DF的函数表达式为y=﹣2x+3．过点E作EQ∥y轴，交直线DF于点Q，如图1所示．∵点E的坐标为（t，﹣t2+2t+3），∴点Q的坐标为（t，﹣2t+3），∴EQ=﹣t2+2t+3﹣（﹣2t+3）=﹣t2+4t，∴S=EQ•（x F﹣x D）=﹣2t2+8t=﹣2（t﹣2）2+8．∵﹣2＜0，∴当t=2时，S取最大值，最大值为8．（3）当n取不同数值时，S的值不变．过点DM∥y轴，过点F作FM∥x轴，交直线DM于点M，过点E作EN⊥FM于点N，交直线DF于点G，如图2所示．当t=2时，点D的坐标为（n，﹣n2+2n+3），点E的坐标为（n+2，﹣n2﹣2n+3），点F的坐标为（n+4，﹣n2﹣6n﹣5），∴点M的坐标为（n，﹣n2﹣6n﹣5），点N的坐标为（n+2，﹣n2﹣6n﹣5），∴DM=8n+8，EN=4n+8，MN=2，NF=2，∴S=S梯形DMNE +S△ENF﹣S△DMF，=MN•（DM+EN）+NF•EN﹣DM•MF，=12n+16+4n+8﹣16n﹣16，=8．∴当n取不同数值时，S的值永远为8．2．抛物线y=x2+（2t﹣2）x+t2﹣2t﹣3与x轴交于A、B两点（A在B左侧），与y轴交于点C．（1）如图1，当t=0时，连接AC、BC，求△ABC的面积；（2）如图2，在（1）的条件下，若点P为在第四象限的抛物线上的一点，且∠PCB+∠CAB=135°，求P点坐标；（3）如图3，当﹣1＜t＜3时，若Q是抛物线上A、C之间的一点（不与A、C 重合），直线QA、QB分别交y轴于D、E两点．在Q点运动过程中，是否存在固定的t值，使得CE=2CD．若存在，求出t值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）将t=0代入抛物线解析式得：y=x2﹣2x﹣3．当x=0时，y=x2﹣2x﹣3=﹣3，∴点C的坐标为（0，﹣3）；当y=0时，有x2﹣2x﹣3=0，解得：x1=3，x2=﹣1，∴点B的坐标为（3，0），点A的坐标为（﹣1，0）．=AB•OC=×[3﹣（﹣1）]×3=6．∴S△ABC（2）由（1）知：B（3，0），C（0，﹣3），∴OB=OC，∴∠ABC=45°，∴∠ACB+∠CAB=135°．又∵∠PCB+∠CAB=135°，∴∠ACB=∠PCB．在图2中，过B作BM∥y轴，交CP延长线于M．∴∠ABC=∠MBC．在△ABC和△MBC中，，∴△ABC≌△MBC（ASA），∴AB=MB=4，∴点M的坐标为（3，﹣4），∴直线CM解析式为：y=﹣x﹣3（利用待定系数法可求出该解析式）．联立直线CM及抛物线的解析式成方程组，得：，解得：（舍去），，∴点P的坐标为（，﹣）．（3）当y=0时，有x2+（2t﹣2）x+t2﹣2t﹣3=0，即[x+（t﹣3）]•[x+（t+1）]=0，解得：x1=﹣t+3，x2=﹣t﹣1，∴点A的坐标为（﹣t﹣1，0），点B的坐标为（﹣t+3，0）．当x=0时，y=x2+（2t﹣2）x+t2﹣2t﹣3=t2﹣2t﹣3，∴点C的坐标为（0，t2﹣2t﹣3）．设直线AQ的解析式为：y=k1x+b1，直线BQ的解析式为：y=k1x+b2．∴点D的坐标为（0，b1），点E的坐标为（0，b2），∴CD=（t2﹣2t﹣3）﹣b1，CE=b2﹣（t2﹣2t﹣3）．∵y=k1x+b1，y=x2+（2t﹣2）x+t2﹣2t﹣3，∴x2+（2t﹣2﹣k1）x+t2﹣2t﹣3﹣b1=0，∴x A•x Q=t2﹣2t﹣3﹣b1①．同理：x B•x Q=t2﹣2t﹣3﹣b2②．由②÷①，得：==﹣，∴=﹣=2，∴=﹣2，∴t=．3．如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣x+3与x轴，y轴分别交于点A，点B，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过A，B与点C（﹣1，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点（不与点A、B重合），过点P作x 轴的垂线，垂足为D，交线段AB于点E．设点P的横坐标为m．①求△PAB的面积y关于m的函数关系式，当m为何值时，y有最大值，最大值是多少？②若点E是垂线段PD的三等分点，求点P的坐标．【解答】解：（1）∵直线y=﹣x+3与x轴，y轴分别交于点A，点B，∴A（3，0），B（0，3），把A（3，0），B（0，3），C（﹣1，0）代入y=ax2+bx+c得，，解得：，∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+2x+3；（2）①∵点P的横坐标为m，∴P（m，﹣m2+2m+3），∵PD⊥x轴，∴E（m，﹣m+3），∴PE=﹣m2+2m+3+m﹣3=﹣m2+3m，∴y=（﹣m2+3m）•m+（﹣m2+3m）（3﹣m），∴y关于m的函数关系式为：y=﹣3m2+6m，∵y=﹣3m2+6m=﹣3（m﹣1）2+3，∴当m=1时，y有最大值，最大值是3；②当PE=2ED时，即﹣m2+3m=2（﹣m+3），解得：m=2或m=3（不会题意舍去），当2PE=ED时，即﹣2m2+6m=﹣m+3，整理得，2m2﹣7m+3=0，此方程无实数根，∴P（2，3）．4．如图，点A，B，C都在抛物线y=ax2﹣2amx+am2+2m﹣5（﹣＜a＜0）上，AB∥x轴，∠ABC=135°，且AB=4．（1）填空：抛物线的顶点坐标为（m，2m﹣5）；（用含m的代数式表示）；（2）求△ABC的面积（用含a的代数式表示）；（3）若△ABC的面积为2，当2m﹣5≤x≤2m﹣2时，y的最大值为2，求m的值．【解答】解：（1）∵y=ax2﹣2amx+am2+2m﹣5=a（x﹣m）2+2m﹣5，∴抛物线的顶点坐标为（m，2m﹣5）．故答案为：（m，2m﹣5）．（2）过点C作直线AB的垂线，交线段AB的延长线于点D，如图所示．∵AB∥x轴，且AB=4，∴点B的坐标为（m+2，4a+2m﹣5）．∵∠ABC=135°，∴设BD=t，则CD=t，∴点C的坐标为（m+2+t，4a+2m﹣5﹣t）．∵点C在抛物线y=a（x﹣m）2+2m﹣5上，∴4a+2m﹣5﹣t=a（2+t）2+2m﹣5，整理，得：at2+（4a+1）t=0，解得：t1=0（舍去），t2=﹣，=AB•CD=﹣．∴S△ABC（3）∵△ABC的面积为2，∴﹣=2，解得：a=﹣，∴抛物线的解析式为y=﹣（x﹣m）2+2m﹣5．分三种情况考虑：①当m＞2m﹣2，即m＜2时，有﹣（2m﹣2﹣m）2+2m﹣5=2，整理，得：m2﹣14m+39=0，解得：m1=7﹣（舍去），m2=7+（舍去）；②当2m﹣5≤m≤2m﹣2，即2≤m≤5时，有2m﹣5=2，解得：m=；③当m＜2m﹣5，即m＞5时，有﹣（2m﹣5﹣m）2+2m﹣5=2，整理，得：m2﹣20m+60=0，解得：m3=10﹣2（舍去），m4=10+2．综上所述：m的值为或10+2．5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为（2，9），与y 轴交于点A（0，5），与x轴交于点E，B．（1）求二次函数y=ax2+bx+c的解析式；（2）过点A作AC平行于x轴，交抛物线于点C，点P为抛物线上的一点（点P 在AC上方），作PD平行于y轴交AB于点D，问当点P在何位置时，四边形APCD的面积最大？并求出最大面积；（3）若点M在抛物线上，点N在其对称轴上，使得以A，E，N，M为顶点的四边形是平行四边形，且AE为其一边，求点M，N的坐标．【解答】解：（1）设抛物线解析式为y=a（x﹣2）2+9，∵抛物线与y轴交于点A（0，5），∴4a+9=5，∴a=﹣1，y=﹣（x﹣2）2+9=﹣x2+4x+5，（2）当y=0时，﹣x2+4x+5=0，∴x1=﹣1，x2=5，∴E（﹣1，0），B（5，0），设直线AB的解析式为y=mx+n，∵A（0，5），B（5，0），∴m=﹣1，n=5，∴直线AB的解析式为y=﹣x+5；设P（x，﹣x2+4x+5），∴D（x，﹣x+5），∴PD=﹣x2+4x+5+x﹣5=﹣x2+5x，∵AC=4，=×AC×PD=2（﹣x2+5x）=﹣2x2+10x，∴S四边形APCD∴当x=﹣=时，∴即：点P（，）时，S=，四边形APCD最大（3）如图，过M作MH垂直于对称轴，垂足为H，∵MN∥AE，MN=AE，∴△HMN≌△AOE，∴HM=OE=1，∴M点的横坐标为x=3或x=1，当x=1时，M点纵坐标为8，当x=3时，M点纵坐标为8，∴M点的坐标为M1（1，8）或M2（3，8），∵A（0，5），E（﹣1，0），∴直线AE解析式为y=5x+5，∵MN∥AE，∴MN的解析式为y=5x+b，∵点N在抛物线对称轴x=2上，∴N（2，10+b），∵AE2=OA2+OE2=26∵MN=AE∴MN2=AE2，∴MN2=（2﹣1）2+[8﹣（10+b）]2=1+（b+2）2∵M点的坐标为M1（1，8）或M2（3，8），∴点M1，M2关于抛物线对称轴x=2对称，∵点N在抛物线对称轴上，∴M1N=M2N，∴1+（b+2）2=26，∴b=3，或b=﹣7，∴10+b=13或10+b=3∴当M点的坐标为（1，8）时，N点坐标为（2，13），当M点的坐标为（3，8）时，N点坐标为（2，3）．6．如图①，直线y=kx+2与坐标轴交于A、B两点，OA=4，点C是x轴正半轴上的点，且OC=OB，过点C作AB的垂线，交y轴于点D，抛物线y=ax2+bx+c 过A、B、C三点．（1）求抛物线函数关系式；（2）如图②，点P是射线BA上一动点（不与点B重合），连接OP，过点O作OP的垂线交直线CD于点Q．求证：OP=OQ；（3）如图③，在（2）的条件下，分别过P、Q两点作x轴的垂线，分别交x轴于点E、F，交抛物线于点M、N，是否存在点P的位置，使以P、Q、M、N 为顶点的四边形为平行四边形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵OA=4∴点A（﹣4，0）∵直线y=kx+2与坐标轴交于A、B两点，。

中考数学总复习《二次函数综合》专项训练题(附有答案)

中考数学总复习《二次函数综合》专项训练题(附有答案）学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________ 1．如图，一次函数y ax b =+的图象与反比例函数ky x=的图象相交于(),1A m ，()2,3B -两点，与y 轴交于点C ．(1)求反比例函数和一次函数的解析式；(2)设D 为线段AC 上的一个动点（不包括A ，C 两点），过点D 作DE y ∥轴交反比例函数图象于点E ，当CDE 的面积最大时，求点E 的坐标．2．如图，抛物线23y ax bx =+-经过A 、B 、C 三点，点()3,0A -和()1,0C ，点B 在y 轴上．点P 是直线AB 下方的抛物线上一动点（不与A 、B 重合）．(1)求此抛物线的解析式；(2)过点P 作x 轴的垂线，垂足为D ，交直线AB 于点E ，动点P 在什么位置时，PE 最大，求出此时P 点的坐标；(3)点Q 是抛物线对称轴上一动点Q ，使得以点A 、B 、Q 为顶点的三角形为直角三角形，请直接写出点Q 坐标．3．如图，直线3y x =-+与 x 轴、y 轴分别交于B C 、两点，抛物线2y x bx c =-++经过点B C 、，与 x 轴另一交点为A ，顶点为 D ．(1)求抛物线的解析式；(2)在x 轴上找一点E ，使 EC ED +的值最小，求EC ED +的最小值；(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点P ，使得 APB OCB ∠=∠？若存在，求出 P 点坐标；若不存在，请说明理由．4．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线23y ax bx =++交x 轴于()1,0A -和()5,0B 两点，交y 轴于点C ，点D 是线段OB 上一动点，连接CD ，将线段CD 绕点D 顺时针旋转90︒得到线段DE ，过点E 作直线l x ⊥轴于H ，过点C 作CF l ⊥于F ．(1)求抛物线解析式；(2)如图2，当点F 恰好在抛物线上时，求线段OD 的长；(3)在（2）的条件下：试探究在直线l 上，是否存在点G ，使45EDG ∠=︒？若存在，请求出所有符合条件的点G 的坐标；若不存在，请说明理由．5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线214y x bx c =-++与x 轴交于点()2,0A -和点B ，与y 轴交于点()0,4C ．(1)求抛物线的函数表达式；(2)点P 是直线BC 上方的抛物线上一点（点P 不与点B ，C 重合），过点P 作PD y ∥轴交直线BC 于点D ，求线段PD 长的最大值．6．如图，已知直线443y x =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，抛物线24y ax bx =++经过A ，C 两点，且与x 轴的另一个交点为B ，对称轴为直线=1x -．(1)求抛物线的表达式；(2)D 是第二象限内抛物线上的动点，设点D 的横坐标为m ，求四边形ABCD 面积S 的最大值及此时D 点的坐标；(3)若点P 在抛物线对称轴上，点Q 为任意一点，是否存在点P 、Q ，使以点A ，C ，P ，Q 为顶点的四边形是以AC 为对角线的菱形？若存在，请直接写出P ，Q 两点的坐标，若不存在，请说明理由．7．如图，在直角坐标系中有一Rt AOB △，O 为坐标原点，OA=1，tan 3BAO ∠=将此三角形绕原点O 逆时针旋转90︒，得到DOC △，抛物线2y ax bx c =++经过点A ，B ，C ．(1)求抛物线的解析式；(2)若点P 是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为t ，是否存在一点P ，使PCD 的面积最大？若存在，求出PCD 面积的最大值；若不存在，请说明理由．8．如图，抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ，点D 为燃车一顶点，B ，C 两点的坐标分别为()3,0和()0,3．(1)求抛物线所对应的函数解析式．(2)若点M 是第一象限的抛物线上的点，过点M 作x 轴的垂线交BC 于点N ，求线段MN 的最大值．9．如图，已知抛物线2y x bx c =++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，顶点为点E ，已知点B 的坐标为()1,0，经过点B 的直线与抛物线另一个交点D 的坐标为()2,3--，连接AD ．(1)求抛物线及直线BD 的解析式；(2)若点F 在x 轴上，则当EF CF +的值最小时，点F 的坐标为______ ； (3)若点P 是抛物线上不与点D 重合的一个动点，求当53ABPABDS S =时点P 的坐标．10．如图，抛物线2y x bx c =-++的图象与x 轴交于()3,0A -、B 两点，与y 轴交于点()0,3C ．(1)求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；(2)若点E 在抛物线上，且EOC ABC S S =△△，求点E 的坐标；(3)点P 是抛物线上A 、D 之间的一点，过点P 作PM x ⊥轴于点M ，过点P 作PQ AB ∥交抛物线于点Q ，过点Q 作QN x ⊥轴于点N ．设点P 的横坐标为点m ，请用含m 的代数式表示矩形PQNM 的周长，并求矩形PQNM 周长的最大值．11．如图，抛物线()20y ax bx c a =++≠与x 轴交于()4,0A ，()2,0B -两点，与y 轴交于点()0,4C ．(1)求抛物线的函数解析式；(2)P 是抛物线上位于直线AC 上方一动点，且在抛物线的对称轴右侧，过点P 作y 轴的平行线交直线AC 于点E ，过点P 作x 轴的平行线与抛物线的对称轴交于点F ，求PE PF +的最大值及此时点P 的坐标；(3)在（2）中PE PF +取得最大值的条件下，将该抛物线沿x 轴向右平移6个单位长度，平移后的抛物线与平移前的抛物线交于点H ，M 为平移前抛物线对称轴上一点．在平面直角坐标系中确定一点N ，使得以点H ，P ，M ，N 为顶点的四边形是菱形，求出所有符合条件的点N 的坐标．12．如图，已知抛物线²2y ax x c =-+与x 轴交于()10A ，，()30B -，两点，与y 轴交于点C ．顶点为D 点，点E 为抛物线对称轴上的一个动点．(1)求抛物线的解析式；(2)连接AC ，若AEC △是以AC 为斜边的直角三角形，请求出点E 的坐标： (3)抛物线对称轴上是否存在点E ，使得55AE DE +取得最小值，若不存在，请说明理由，若存在，求出点E 的坐标，并求出55AE DE +的最小值．13．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线23y ax ax c =-+与x 轴分别交于(1,0)A -，B 两点，与y 轴交于点(0,2)C -．(1)求抛物线的函数表达式；(2)如图1，点D 为第四象限抛物线上一点，连接AD BC ，交于点E ，求DEAE的最大值；(3)如图2，连接AC BC ，，过点O 作直线l BC ∥，点P ，Q 分别为直线l 和抛物线上的点，试探究：在第一象限是否存在这样的点P ，Q ，使PQB CAB ∽．若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．14．抛物线213222y x x =--+与x 轴交于点A B ，（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，连接AC ，BC ．(1)求点A B C ，，的坐标；(2)如图1，P 是抛物线上的一动点，是否存在点P ，使得PAB ACO ∠=∠？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由；(3)如图2，Q 为线段AC 上方抛物线上的一动点（点Q 不与点A C ，重合），过点Q 作QF BC ∥交y 轴于点F ，交线段AC 于点E ，若35QE BC =，请直接写出点Q 的坐标．15．已知在直角坐标平面xOy 中，抛物线()20y ax bx c a =++≠经过点()()()103003A B C -，、，、，三点．备用图(1)求该抛物线的表达式；(2)点D 是点C 关于抛物线对称轴对称的点，连接AD BD 、，将抛物线向下平移()0m m >个单位后，点D 落在点E 处，过B 、E 两点的直线与线段AD 交于点F ． ①如果2m =，求tan DBF ∠的值； ①如果BDF 与ABD △相似，求m 的值．参考答案： 1．(1)反比例函数解析式为6y x =-；一次函数解析式为122y x =--； (2)点E 坐标为()2,3-．2．(1)223y x x =+-(2)315,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭ (3)3171,2⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭或3171,2⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭或()1,4--或1,23．(1)223y x x =-++(2)52EC ED +=(3)存在；P 的坐标为(1,222)+或(1,222)--4．(1)2312355y x x =-++ (2)1(3)在直线l 上，存在点G ，使45EDG ∠=︒，点G 的坐标为34,2⎛⎫- ⎪⎝⎭或()4,6．5．(1)213442y x x =-++ (2)当4m =时，PD 有最大值为46．(1)248433y x x =--+ (2)S 的最大值为252 3,52D ⎛⎫- ⎪⎝⎭(3)存在；131,8P ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 192,8Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭7．(1)223y x x =--+(2)存在，当76t =-时，PCD S 的最大值为121248．(1)223y x x =-++ (2)949．(1)223y x x =+- 1y x =-； (2)3,07⎛⎫- ⎪⎝⎭； (3)()4,5P -或()2,5．10．(1)()214y x =-++，顶点D 的坐标为()1,4- (2)()()4,21,4,5E E ---(3)矩形PMNQ 的周长为2282m m --+，矩形的周长最大值为1011．(1)抛物线的函数解析式为2142y x x =-++ (2)点P 的坐标为53,2⎛⎫ ⎪⎝⎭(3)点N 的坐标为132,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭或132,2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭或96,4⎛⎫ ⎪⎝⎭12．(1)223y x x =--+(2)1(1,1)E - 2(1,2)E -(3)58555AE DE += (1,1)E -13．(1)213222y x x =-- (2)45(3)6834,99⎛⎫ ⎪⎝⎭或 6241341,55⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭14．(1)()40A -，，()10B ，和()02C ， (2)()32P -，或()518P -， (3)()13Q -，或()32-，或71272⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭，15．(1)223y x x =-++(2)①12；①3m =或52m =。

二次函数综合练习题(含答案)

二次函数综合练习题一、选择题1．〔2013，6，3分〕二次函数y ＝x 2－3x ＋m 〔m 为常数〕的图象与x 轴的一个交点为(1，0)，那么关于x 的一元二次方程x 2－3x ＋m ＝0的两实数根是〔〕． A ．x 1＝1，x 2＝－1 B ．x 1＝1，x 2＝2 C ．x 1＝1，x 2＝0D ．x 1＝1，x 2＝3 【答案】B ．【解析】∵二次函数y ＝x 2－3x ＋m 的图象与x 轴的一个交点为〔1，0〕，∴0＝12－3＋m ，解得m ＝2，∴二次函数为y ＝x 2－3x ＋2．设y ＝0，那么x 2－3x ＋2＝0．解得x 2＝1，x 2＝2，这就是一元二次方程x 2－3x ＋m ＝0的两实数根．所以应选B ．【方法指导】考察一元二次方程的根、二次函数图象与x 轴交点的关系．当b 2－4ac ≥0时，二次函数y ＝ax 2+bx+c 的图象与x 轴的两个交点的横坐标是一元二次方程ax 2+bx+c ＝0的两个根．【易错警示】因审题不严，容易错选；或因解方程出错而错选．2．〔2013，8，3分〕方程0132=-+x x 的根可视为函数3+=x y 的图象与函数xy 1=的图象交点的横坐标，那么方程3210x x +-=的实根0x 所在的围是〔〕． A ．4100<<x B ．31410<<x C ．21310<<x D ．1210<<x 【答案】C ．【解析】首先根据题意推断方程x 3＋2x －1=0的实根是函数y =x 2＋3与xy 1=的图象交点的横坐标，再根据四个选项中x 的取值代入两函数解析式，找出抛物线的图象在反比例函数上方和反比例函数的图象在抛物线的上方两个点即可判定推断方程x 3＋2x －1=0的实根x 0所在围．解：依题意得方程x 3＋2x －1=0的实根是函数y =x 2＋2与xy 1=的图象交点的横坐标，这两个函数的图象如下图，它们的交点在第一象限．当x =14时，y =x 2＋2=2116，1y x ==4，此时抛物线的图象在反比例函数下方；当x =13时，y =x 2＋2=219，1y x ==3，此时抛物线的图象在反比例函数下方；当x =12时，y =x 2＋2=214，1y x==2，此时抛物线的图象在反比例函数上方；当x =1时，y =x 2＋2=3，1y x==1，此时抛物线的图象在反比例函数上方．所以方程3210x x +-=的实根0x 所在的围是21310<<x ．所以应选C ．【方法指导】此题考察了学生从图象中读取信息的数形结合能力．解决此类识图题，同学们要注意分析其中的“关键点〞，还要善于分析各图象的变化趋势．【易错警示】不会得出函数解析式，不会观察图象而出错．3. 〔2013市(A )，12，4分〕一次函数y ＝ax ＋b 〔a ≠0〕、二次函数y ＝ax 2＋bx 和反比例函数y ＝kx(k ≠0)在同一直角坐标系中的图象如下图，A 点的坐标为(－2，0)．那么以下结论中，正确的选项是〔〕A ．b ＝2a ＋kB ．a ＝b ＋kC ．a ＞b ＞0D ．a ＞k ＞0 【答案】D ．【解析】∵一次函数与二次函数的图象交点A 的坐标为〔－2，0〕，∴－2a ＋b ＝0，∴b ＝2a ．又∵抛物线开口向上，∴a ＞0，那么b ＞0．而反比例函数图象经过第一、三象限，∴k ＞0． ∴2a ＋k ＞2a ，即b ＜2a ＋k ．故A 选项错误．假设B 选项正确，那么将b ＝2a 代入a ＝b ＋k ，得a ＝2a ＋k ，a ＝－k ．又∵a ＞0，∴－k ＞0，即k ＜0，这与k ＞0相矛盾，∴a ＝b ＋k 不成立．故B 选项错误．再由a ＞0，b ＝2a ，知a ，b 两数均是正数，且a ＜b ，∴b ＞a ＞0．故C 选项错误．这样，就只有D 选项正确．【方法指导】此题考察一次函数、反比例函数、二次函数的图象，属于图象共存型问题．解决这类问题的关键是熟练掌握这三类函数的图象与性质，能根据图象所在象限的位置准确判断出各系数的符号．上面解法运用的是排除法，至于D 为何正确，可由二次函数y ＝ax 2＋bx 与反比例函数y ＝k x (k ≠0)的图象，知当x ＝－2b a ＝－22aa＝－1时，y ＝－k ＞－24b a ＝－244a a ＝－a ，即k ＜a ．又因为a ＞0，k ＞0，所以a ＞k ＞0．【易错警示】二次函数a 、b 、c 的符号确实定与函数图象的关系混淆不清． 4. 〔2013，7，4分〕抛物线1)3(22+-=x y 的顶点坐标是〔〕 A ．(3，1) B ．(3，－1)C ．(－3，1)D ．(－3，－1)【答案】：A【解析】抛物线2()y a x h k =-+的顶点是〔h ，k 〕【方法指导】求一个抛物线的顶点可以先把二次函数配方，再得到顶点坐标；也可以利用顶点公式24(,)24b ac b a a--求顶点坐标。

2023年九年级中考数学复习：二次函数(特殊四边形问题)综合题(Word版,含答案)

2023年九年级中考数学复习：二次函数（特殊四边形问题）综合题1．已知抛物线()21=++4(0)2y a x m m am -≠过点()0,4A(1)若=2m ，求a 的值；(2)如图，顶点M 在第一象限内，B 、C 是抛物线对称轴l 上的两点，且MB MC =，在直线l 右侧以BC 为边作正方形BCDE ，点E 恰好在抛物线上．①求am 的值；①试判断点E 和点A 是否关于直线l 对称，如果对称，请说明理由，如果不对称，请举出反例．2．如图，抛物线y ＝ax 2-2x +c (a ≠0)与直线y ＝x +3交于A ，C 两点，与x 轴交于点B ．（1）求抛物线的解析式．（2）点P 是抛物线上一动点，且在直线AC 下方，当①ACP 的面积为6时，求点P 的坐标．（3）D 为抛物线上一点，E 为抛物线的对称轴上一点，请直接写出以A ，C ，D ，E 为顶点的四边形为平行四边形时点D 的坐标．3．如图1，二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象与x 轴交于A （﹣1，0）、B （3，0），与y 轴交于点C ，连接AC 和BC ，①OAC ＝60°．（1）求二次函数的表达式．（2）如图2，线段BC 上有M 、N 两动点（N 在M 上方），且MN 3P 是直线BC 下方抛物线上一动点，连接PC 、PB ，当①PBC 面积最大时，连接PM 、AN ，当MN 运动到某一位置时，PM +MN +NA 的值最小，求出该最小值．（3）如图3，在（2）的条件下，连接AP ，将AP 绕着点A 逆时针旋转60°至AQ ．点E 为二次函数对称轴上一动点，点F 为平面内任意一点，是否存在这样的点E 、F ，使得四边形AEFQ 为菱形，若存在，请直接写出点E 的坐标，若不存在，请说明理由．4．直线3y x =-+与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B ，抛物线2y ax 2x c =++经过点A ，B ，与x 轴的另一个交点为C ．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，若点P为直线AB上方的抛物线上的一动点，求四边形APBO的面积的最大值；D为抛物线上的一点，直线CD与AB相交于点M，点H在抛物线上，（3）如图2，(2,3)∥轴，交直线CD于点K．P是平面内一点，当以点M，H，K，P为顶点的四过H作HK y边形是正方形时，请直接写出点P的坐标．5．综合与探究如图1所示，直线y=x+c与x轴交于点A（-4，0），与y轴交于点C，抛物线y=-x2+bx+c经过点A，C．（1）求抛物线的解析式；（2）点E在抛物线的对称轴上，求CE+OE的最小值为______．（3）如图2所示，M是线段OA的上一个动点，过点M垂直于x轴的直线与直线AC和抛物线分别交于点P、N①当ANC面积最大时的P点坐标为______；最大面积为______．①点F是直线AC上一个动点，在坐标平面内是否存在点D，使以点D、F、B、C为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．。

中考数学专题复习二次函数综合(三)

中考数学专题复习二次函数综合（三）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________评卷人得分一、解答题1．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx﹣3a（a≠0）经过点A(﹣1，0)．（1）求抛物线的顶点坐标；（用含a的式子表示）（2）已知点B(3，4)，将点B向左平移3个单位长度，得到点C．若抛物线与线段BC恰有一个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围．2．已知抛物线y=ax2+bx+a+2(a≠0)与x轴交于点A(x1，0)，点B(x2，0)，(点A在点B 的左侧)，抛物线的对称轴为直线x=-1．(1)若点A的坐标为(-3，0)，求抛物线的表达式及点B的坐标；(2)C是第三象限的点，且点C的横坐标为-2，若抛物线恰好经过点C，直接写出x2的取值范围；(3)抛物线的对称轴与x轴交于点D，点P在抛物线上，且∠DOP=45°，若抛物线上满足条件的点P恰有4个，结合图象，求a的取值范围．3．在平面直角坐标系xOy 中，横、纵坐标都是整数的点叫做整点．直线y ＝ax 与抛物线y ＝ax 2﹣2ax ﹣1（a ≠0）围成的封闭区域（不包含边界）为W ．（1）求抛物线顶点坐标（用含a 的式子表示）；（2）当a ＝12时，写出区域W 内的所有整点坐标；（3）若区域W 内有3个整点，求a 的取值范围．4．在平面直角坐标系xOy 中，一次函数3y ax =-+的图象与y 轴交于点A ，与抛物线()2230y ax ax a a =--≠的对称轴交于点B ，将点A 向右平移5个单位得到点C ，连接AB ，AC 得到的折线段记为图形G ．（1）求出抛物线的对称轴和点C 坐标；（2）∠当1a =-时，直接写出抛物线223y ax ax a =--与图形G 的公共点个数．∠如果抛物线223y ax ax a =--与图形G 有且只有一个公共点，求出a 的取值范围．5．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线241(0)y ax ax a =-+>．（1）抛物线的对称轴为_______；（2）若当15x ≤≤时，y 的最小值是1-，求当15x ≤≤时，y 的最大值；（3）已知直线3y x =-+与抛物线241(0)y ax ax a =-+>存在两个交点，设左侧的交点为点()11,P x y ，当121x -≤<-时，求a 的取值范围．6．在平面直角坐标系xOy 中，存在抛物线2y x 2x m 1=+++以及两点()()A m m 1B m m 3++，和，．(1)求该抛物线的顶点坐标；(用含m 的代数式表示)(2)若该抛物线经过点()A m m 1+，，求此抛物线的表达式；(3)若该抛物线与线段AB 有公共点，结合图象，求m 的取值范围．7．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+4ax+b（a＞0）的顶点A在x轴上，与y 轴交于点B．（1）用含a的代数式表示b；（2）若∠BAO＝45°，求a的值；（3）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．若抛物线在点A，B之间的部分与线段AB 所围成的区域（不含边界）内恰好没有整点，结合函数的图象，直接写出a的取值范围．8．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2mx+m﹣4与x轴交于点A，B（点A 在点B的左侧），与y轴交于点C（0，﹣3）．（1）求m的值；（2）若一次函数y＝kx+5（k≠0）的图象经过点A，求k的值；（3）将二次函数的图象在点B，C间的部分（含点B和点C）向左平移n（n＞0）个单位后得到的图象记为G，同时将（2）中得到的直线y＝kx+5（k≠0）向上平移n个G有公共点时，请结合图象直接写出n的取值范围．单位，当平移后的直线与图象9．在平面直角坐标系xOy 中，二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象经过点A （0，﹣4）和B （﹣2，2）．（1）求c 的值，并用含a 的式子表示b ；（2）当﹣2＜x ＜0时，若二次函数满足y 随x 的增大而减小，求a 的取值范围；（3）直线AB 上有一点C （m ，5），将点C 向右平移4个单位长度，得到点D ，若抛物线与线段CD 只有一个公共点，求a 的取值范围． 10．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线222y x mx m m =-+-+的顶点为A（1）求抛物线的顶点坐标（用m 表示）；（2）若点A 在第一象限，且2OA =，求抛物线的解析式；（3）已知点(1,2)B m m --，(2,2)C ，若抛物线与线段BC 有公共点，结合函数图象，直接写出m 的取值范围11．在平面直角坐标系xOy 中，二次函数y ＝x 2﹣2mx +1图象与y 轴的交点为A ，将点A 向右平移4个单位长度得到点B ．（1）直接写出点A 与点B 的坐标；（2）求出抛物线的对称轴（用含m 的式子表示）；（3）若函数y ＝x 2﹣2mx +1的图象与线段AB 恰有一个公共点，求m 的取值范围．12．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y ＝ax 2+bx ﹣1交y 轴于点P ．（1）过点P 作与x 轴平行的直线，交抛物线于点Q ，PQ ＝4，求b a的值；（2）横纵坐标都是整数的点叫做整点．在（1）的条件下，记抛物线与x 轴所围成的封闭区域（不含边界）为W ．若区域W 内恰有4个整点，结合函数图象，求a 的取值范围．13．已知二次函数y ＝ax 2﹣2ax ．（1）二次函数图象的对称轴是直线x ＝；（2）当0≤x ≤3时，y 的最大值与最小值的差为4，求该二次函数的表达式；（3）若a ＜0，对于二次函数图象上的两点P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），当t ≤x 1≤t +1，x 2≥3时，均满足y 1≥y 2，请结合函数图象，直接写出t 的取值范围．14．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线231y ax ax a =-++与y 轴交于点A ．（1）求点A 的坐标（用含a 的式子表示）；（2）求抛物线的对称轴；（3）已知点(2,2),(0,)M a N a ---．若抛物线与线段MN 恰有一个公共点，结合函数图象，求a 的取值范围．参考答案：1．（1）(1,4)a -；（2）43a <-或1a =-．【解析】【分析】（1）根据抛物线23(0)y ax bx a a =+-≠经过点(1,0)A -可得a 和b 的关系，然后将抛物线解析式化为顶点式，即可得到该抛物线的顶点坐标；（2）先根据点坐标平移的变化规律可得点C 的坐标，画出当0a >和0a <时抛物线的图象，然后结合图象即可得到a 的取值范围．【详解】（1）∠点(1,0)A -在抛物线23(0)y ax bx a a =+-≠上∠30a b a --=，解得2b a =-∠2223(1)4y ax ax a a x a =--=--∠抛物线的顶点坐标为(1,4)a -；（2）∠223(3)(1)(32)2y ax x a a x x x a a x --=-=-=+-∠抛物线与x 轴的另一个交点坐标为点(3,0)，与y 轴交于点(0,3)a -∠将点(3,4)B 向左平移3个单位长度∴点C 的坐标为(33,4)C -，即(0,4)C由题意，分以下两种情况：∠如图，当0a >时由抛物线与x 、y 轴的交点可知，抛物线与线段BC 无公共点∠当0a <时若抛物线的顶点在线段BC 上，则顶点坐标为(1,4)∠44a -=解得1a =-若抛物线的顶点不在线段BC 上，要使抛物线与线段BC 恰有一个公共点，则抛物线与y 轴的交点位于点C 的上方即34a ->解得43a <-综上，a的取值范围是4 3a<-或1a=-．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质等知识点，较难的是题（2），正确分两种情况，并学会利用函数图象是解题关键．2．（1）21322y x x=--+，（1，0）；（2）-1＜x2＜0；（3）a＜-2．【解析】【分析】（1）由题意可知抛物线的对称轴为12bxa=-=-，求出b=2a，将点A的坐标代入抛物线的表达式，即可求解；（2）根据题意可得点C在第三象限，即点A在点C和函数对称轴之间，故-2＜x1＜-1，继而进行分析即可求解；（3）根据题意可得满足条件的P在x轴的上方有2个，在x轴的下方也有2个，则抛物线与y轴的交点在x轴的下方，即可求解．【详解】解：（1）抛物线的对称轴为12bxa=-=-，解得：b=2a，故y=ax2+bx+a+2=a（x+1）2+2，将点A的坐标代入上式并解得：12a=-，故抛物线的表达式为：2221)2113(22y x x x=-++=--+；令y=0，即21322x x--+=，解得：x=-3或1，故点B的坐标为：（1，0）.（2）由（1）知：2(1)2y a x=++，点C在第三象限，即点C在点A的下方，即点A在点C和函数对称轴之间，故-2＜x1＜-1，而121(1)2x x+=-，即x2=-2-x1，故-1＜x2＜0.（3）∠抛物线的顶点为（-1，2），∠点D（-1，0），∠∠DOP=45°，若抛物线上满足条件的点P恰有4个，∠抛物线与x轴的交点在原点的左侧，如下图，∠满足条件的P在x轴的上方有2个，在x轴的下方也有2个，则抛物线与y轴的交点在x轴的下方，当x=0时，2220y ax bx a a=+++=+＜，解得：a＜-2，故a的取值范围为：a＜-2．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到解不等式、函数作图，解题的关键是通过画出抛物线的位置，确定点的位置关系，进而分析求解即可．3．（1）（1，﹣a﹣1）；（2）（1，0）、（2，0）、（3，1）、（1，﹣1）；（3）区域W内有3个整点，a的取值范围为：a＝13或﹣32≤a＜﹣1【解析】【分析】（1）将抛物线化成顶点式表达式即可求解；（2）概略画出直线y＝12x和抛物线y＝12x2﹣x﹣1的图象，通过观察图象即可求解；（3）分a＞0、a＜0两种情况，结合（2）的结论，逐次探究即可求解．【详解】解：（1）y＝ax2﹣2ax﹣1＝a（x﹣1）2﹣a﹣1，故顶点的坐标为：（1，﹣a﹣1）；（2）a＝12时，概略画出直线y＝12x和抛物线y＝12x2﹣x﹣1的图象如下：从图中看，W区域整点为如图所示4个黑点的位置，其坐标为：（1，0）、（2，0）、（3，1）、（1，﹣1）；（3）∠当a＞0时，由（2）知，当a＝12时，区域W内的所有整点数有4个；参考（2）可得：当a＞12时，区域W内的所有整点数多于3个；当13<a12<时，区域W内的所有整点数有4个；同理当a＝13时，区域W内的所有整点数有3个；当0＜a＜13时，区域W内的所有整点数多于3个；∠当a＜0时，当﹣1≤a＜0时，区域W内的所有整点数为0个；当a＜﹣32时，区域W内的所有整点数多于3个；∠区域W内有3个整点时，a的取值范围为：﹣32≤a＜﹣1，综上，区域W内有3个整点，a的取值范围为：a＝13或﹣32≤a＜﹣1．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的基本性质等，这种探究性题目，通常按照题设的顺序逐次求解，一般较为容易得出正确的结论．4．（1）对称轴1x =，C （5，3）；（2）∠3个；∠1a <-或14a ≥或34a =- 【解析】【分析】（1）根据抛物线的对称轴x ＝2b a-求解即可解决问题，再利用平移的性质求出点C 的坐标即可．（2）∠画出图形即可解决问题．∠分两种情形：a ＜0或a ＞0分别求解即可解决问题．【详解】解：（1）∠抛物线()2230y ax ax a a =--≠， ∠对称轴212a x a-=-=． ∠直线3y ax =-+与y 轴交于点A ， ∠ A （0，3）．∠将点A 向右平移5个单位得到点C ，∠ C （5，3）．（2）∠如图1中，观察图象可知，抛物线与图象G 的交点有3个．∠由（1）得，抛物线的顶点为()14a -，．当0a <时，由∠得，1a =-时，抛物线过点A ，B ，∠ 当1a <-时，抛物线与图形G 有且只有一个公共点．当抛物线顶点在AC 上时，如图，也满足条件，∠43a -=，34a =-．当0a >时，如图，抛物线经过点C 时，满足条件，∠251033a a a --=，14a =．综上所述，当13144a a a <-=-或≥或时，抛物线与图形G 有且只有一个公共点．【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会由分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．5．（1）2x =；（2）当5x =时，72y =，即y 的最大值是72；（3）1335a ≤< 【解析】【分析】（1）根据抛物线的对称轴公式即可得结论；（2）根据抛物线的对称轴为x=2，可得顶点在1≤x≤5范围内，和y 的最小值是-1，得顶点坐标为（2，-1），把顶点（2，-1）代入y=ax 2-4ax+1，可得a 的值，进而可得y 的最大值；（3）当x=-2时，P （-2，5），把P （-2，5）代入y=ax 2-4ax+1，当x 1=-1时，P （-1，4），把P （-1，4）代入y=ax 2-4ax+1，分别求出a 的值，再根据函数的性质即可得a 的取值范围．【详解】（1）抛物线的对称轴为：4222b a x a a-=-=-=，故答案为：x=2；（2）解：∠抛物线的对称轴为x=2，∠顶点在1≤x≤5范围内，∠y 的最小值是-1，∠顶点坐标为（2，-1）．∠a ＞0，开口向上，∠当x ＞2时，y 随x 的增大而增大，即x=5时，y 有最大值，∠把顶点（2，-1）代入y=ax 2-4ax+1，∠4a-8a+1=-1，解得12a =∠21212y x x =-+ ∠当x=5时，72y = 即y 的最大值是72；（3）当x=-2时，P （-2，5），把P （-2，5）代入y=ax 2-4ax+1，∠4a+8a+1=5，解得a=13，当x 1=-1时，P （-1，4），把P （-1，4）代入y=ax 2-4ax+1，∠a+4a+1=4，解得a=35， ∠13≤a ＜35．【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质、一次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值，解决本题的关键是掌握二次函数的图象和性质．6．（1）(1,)m -；（2）：2y (1)x =+或2y (1)2x =+-；（3）013m ≤≤-+或132m --≤≤-.【解析】【分析】（1）根据题意将抛物线的一般解析式化为顶点式即可得出抛物线的顶点坐标；（2）根据题意将()A m m 1+，代入求出m 的值即可求得该抛物线的表达式；（3）根据题意分m≥0，m ＜0两种情形，分别构建不等式解决问题即可．【详解】解：（1）∠抛物线解析式为：22y x 2x m 1(1)x m =+++=++，∠顶点坐标为：(1,)m -.（2）∠抛物线经过点()A m m 1+，，∠21(1)m m m +=++，解得0,2m =-，所以该抛物线的表达式为：2y (1)x =+或2y (1)2x =+-.（3）当m≥0时，如图1中，观察图象可知：21213m m m m m +≤+++≤+，∠220m m +≥且2220m m +-≤，解得013m ≤≤-+．当m ＜0时，如图2中，观察图象可知：21213m m m m m +≤+++≤+，∠m 2+2m≥0且m 2+2m-2≤0，解得132m --≤≤-，综上所述，满足条件的m 的值为：013m ≤≤-+或132m --≤≤-．【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求二次函数解析式，解决本题的关键是结合图象进行分析解答．7．（1）b ＝4a ；（2）12a =；（3）102a <或a ＝1．【解析】【分析】（1）先将抛物线解析式化为顶点式，然后根据抛物线y ＝ax 2+4ax +b （a ＞0）的顶点A 在x 轴上，可以得到该抛物线的顶点纵坐标为0，从而可以得到a 和b 的关系；（2）根据抛物线解析式，可以得到点B 的坐标为（0，4a ），然后∠BAO ＝45°，可知4a ＝2，从而可以求得a 的值；（3）根据函数图象，可以写出a 的取值范围．【详解】解：（1）∠y ＝ax 2+4ax +b ＝a （x +2）2+（b ﹣4a ），∠该抛物线顶点A 的坐标为（﹣2，b ﹣4a ），∠顶点A 在x 轴上，∠b ﹣4a ＝0，即b ＝4a ；（2）∠b ＝4a ，∠抛物线为y ＝ax 2+4ax +4a （a ＞0），∠抛物线顶点为A （﹣2，0），与y 轴的交点B （0，4a ）在y 轴的正半轴，∠BAO ＝45°， ∠OB ＝OA ＝2，∠4a ＝2，∠12a =；（3）102a <或a ＝1．理由：∠点A （﹣2，0），点B （0，4a ），设直线AB 的函数解析式为y ＝mx +n ，204m n n a -+=⎧⎨=⎩，得24m a n a =⎧⎨=⎩，即直线AB 的解析式为y ＝2ax +4a ，∠抛物线解析式为y ＝ax 2+4ax +4a （a ＞0），抛物线在点A ，B 之间的部分与线段AB 所围成的区域（不含边界）内恰好没有整点，∠441242a a a a a -+≥⎧⎨-+⎩或241440a a a a a -+⎧⎨-+>⎩，解得，a ＝1或0＜a ≤12，即a 的取值范围是0＜a ≤12或a ＝1．【点睛】二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质、解一元一次不等式组，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，画出相应的图形，利用数形结合的思想解答．8．（1）m＝1；（2）k＝5；（3）2≤n≤5．【解析】【分析】（1）把点C的坐标代入抛物线的解析式即可求出m；（2）求出点A的坐标，利用待定系数法解决问题即可；（3）如图，设平移后的直线的解析式为y＝5x+5+n，点C平移后的坐标为（﹣n，﹣3），点B平移后的坐标为（3﹣n，0），求出点C或B直线y＝5x+5+n上时n的值，即可解决问题．【详解】（1）∠抛物线y＝x2﹣2mx+m﹣4与y轴交于点C（0，﹣3），∠m﹣4＝﹣3，∠m＝1．（2）∠抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，令y＝0，得到x2﹣2x﹣3＝0，解得x＝﹣1或3，∠抛物线y＝x2﹣2mx+m﹣4与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），∠A（﹣1，0），B（3，0），∠一次函数y＝kx+5（k≠0）的图象经过点A，∠﹣k+5＝0，∠k＝5．（3）如图，设平移后的直线的解析式为y＝5x+5+n，点C平移后的坐标为（﹣n，﹣3），点B平移后的坐标为（3﹣n，0），当点C落在直线y＝5x+5+n上时，﹣3＝﹣5n+5+n，解得n＝2，当点B落在直线y＝5x+5+n上时，0＝5（3﹣n）+5+n解得n＝5，观察图像可知，满足条件的n的取值范围为2≤n≤5．【点睛】本题属于二次函数与一次函数综合题，主要考查了待定系数法，平移等知识，掌握待定系数法和数形结合思想是解题的关键．9．（1）b＝2a﹣3；（2）32-≤a＜0或0＜a≤32；（3）0＜a＜4或3332=--a．【解析】【分析】（1）把点A（0，﹣4）和B（﹣2，2）分别代入y＝ax2+bx+c，即可求解；（2）当a＜0时，依题意抛物线的对称轴需满足232aa--≤﹣2；当a＞0时，依题意抛物线的对称轴需满足232aa--≥0，即可求解；（3）∠当a＞0时，若抛物线与线段CD只有一个公共点，则抛物线上的点（1，3a﹣7）在D点的下方，即可求解；∠当a＜0时，若抛物线的顶点在线段CD上，则抛物线与线段只有一个公共点，即可求解．【详解】解：（1）把点A（0，﹣4）和B（﹣2，2）分别代入y＝ax2+bx+c中，得c＝﹣4，4a﹣2b+c＝2．∠b＝2a﹣3；（2）当a＜0时，依题意抛物线的对称轴需满足232aa--≤﹣2，解得32-≤a＜0．当a＞0时，依题意抛物线的对称轴需满足232aa--≥0，解得0＜a≤32．∠a的取值范围是32-≤a＜0或0＜a≤32；（3）设直线AB的表达式为：y＝mx+n，则422nm n=-⎧⎨=-+⎩，解得：34mn=-⎧⎨=-⎩，故直线AB表达式为y＝﹣3x﹣4，把C（m，5）代入得m＝﹣3．∠C（﹣3，5），由平移得D（1，5）．∠当a＞0时，若抛物线与线段CD只有一个公共点（如图1），y＝ax2+bx+c＝ax2+（2a﹣3）﹣4，当x＝1时，y＝3a﹣7，则抛物线上的点（1，3a﹣7）在D点的下方，∠a+2a﹣3﹣4＜5．解得a＜4．∠0＜a＜4；∠当a＜0时，若抛物线的顶点在线段CD上，则抛物线与线段只有一个公共点（如图2），∠2454ac b a-=．即24(4)(23)54a a a⨯---=．解得3332a =-+（舍去）或3332=--a ．综上，a 的取值范围是0＜a ＜4或3332=--a ．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、解不等式等，解题的关键是通过画图确定抛物线图象与直线之间的位置关系，进而求解． 10．（1）(,)m m ；（2）22y x x =-+或写为：2(1)1y x =--+；（3）2m ≤，或3m ≥.【解析】【分析】（1）化抛物线为顶点式，即可写出顶点坐标；（2）求出点AO ，列方程求解即可；（3）考虑点C 在抛物线上时m 的值，再结合图形，分情况进行讨论．【详解】（1）∠2222()y x mx m m x m m =-+-+=--+，∠抛物线的顶点A 坐标为(,)m m .（2）点A 在第一象限，∠2OA m =，∠2OA =∠1m =抛物线的表达式为22y x x=-+，或写为：2(1)1y x=--+（3）把22C（，）代入222y x mx m m=-+-+，得22224m m m=-+-+，解得2m=或3，结合图象可得：当2m≤时，抛物线与线段BC有公共点，当23m＜＜时，抛物线与线段BC无公共点，当3m≥时，抛物线与线段BC有公共点；综上，当2m≤或3m≥时，抛物线与线段BC有公共点．【点睛】本题考查了二次函数的综合，解决本题的关键是掌握二次函数的图象和性质．11．（1）A（0，1），B（4，1）；（2）x＝m；（3）m≤0或m＞2．【解析】【分析】（1）计算自变量为0的函数值得到A点坐标，然后利用点平移的规律确定B点坐标；（2）利用抛物线的对称轴方程求解；（3）当对称轴为y轴时，满足条件，此时m＝0；当m＜0时满足条件；若m＞0时，利用当x＝4，y＜1时抛物线与线段AB恰有一个公共点，然后求出此时m的范围．【详解】解：（1）当x＝0时，y＝x2﹣2mx+1＝1，则A点坐标为（0，1），把A（0，1）右平移4个单位长度得到点B，则B点坐标为（4，1），（2）抛物线的对称轴为直线x＝-22m-＝m；（3）当m＝0时，抛物线解析式为y＝x2+1，此抛物线与线段AB恰有一个公共点；当m ＜0时，抛物线与线段AB 恰有一个公共点；当m ＞0时，当x＝4，y ＜1，即16﹣8m +1＜1，解得m ＞2，所以m 的范围为m ≤0或m ＞2．【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，解题的关键是结合图像求解.12．（1）-4或4；（2）14＜a≤13或﹣1≤a ＜﹣34．【解析】【分析】（1）根据题意先求出点Q 坐标，代入解析式进行计算即可求解；（2）根据题意分两种情况讨论，利用特殊点进行分析计算即可求解．【详解】解：（1）∠抛物线y ＝ax 2+bx ﹣1交y 轴于点P ，∠点P （0，﹣1），∠PQ ＝4，PQ∠x 轴，∠点Q （4，﹣1），（﹣4，﹣1）当点Q 为（4，﹣1），∠﹣1＝16a+4b ﹣1，∠4=-b a，当点Q （﹣4，﹣1）∠﹣1＝16a ﹣4b ﹣1，∠ba＝4；（2）当a＞0时，当抛物线过点（2，﹣2）时，a＝14，当抛物线过点（1，﹣2）时，a＝13，∠14＜a≤13；当a＜0时，当抛物线过点（2，2）时，a＝﹣34，当抛物线过点（2，3）时，a＝﹣1，∠﹣1≤a＜﹣34，综上所述：14＜a≤13或﹣1≤a＜﹣34．【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，理解整点定义，并熟练掌握与运用是解答本题的关键．13．（1）1；（2）y ＝x 2﹣2x 或y ＝﹣x 2+2x ；（3）﹣1≤t ≤2【解析】【分析】（1）由对称轴是直线x ＝2b a-，可求解；（2）分a ＞0或a ＜0两种情况讨论，求出y 的最大值和最小值，即可求解；（3）利用函数图象的性质可求解．【详解】解：（1）由题意可得：对称轴是直线x ＝22a a--＝1，故答案为：1；（2）当a ＞0时，∠对称轴为x ＝1，当x ＝1时，y 有最小值为﹣a ，当x ＝3时，y 有最大值为3a ，∠3a ﹣（﹣a ）＝4．∠a ＝1，∠二次函数的表达式为：y ＝x 2﹣2x ；当a ＜0时，同理可得y 有最大值为﹣a ； y 有最小值为3a ，∠﹣a ﹣3a ＝4，∠a ＝﹣1，∠二次函数的表达式为：y ＝﹣x 2+2x ；综上所述，二次函数的表达式为y ＝x 2﹣2x 或y ＝﹣x 2+2x ；（3）∠a ＜0，对称轴为x ＝1，∠x ≤1时，y 随x 的增大而增大，x ＞1时，y 随x 的增大而减小，x ＝﹣1和x ＝3时的函数值相等，∠t ≤x 1≤t +1，x 2≥3时，均满足y 1≥y 2，∠t ≥﹣1，t +1≤3，∠﹣1≤t ≤2．【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征等知识点的综合应用，能利用分类思想解决问题是本题的关键．14．（1）(01)A a +，；（2）32x =；（3）a 的取值范围是14a - 【解析】【分析】（1）与y 轴的交点横坐标为0，然后计算0x =时的函数值即可求出坐标；（2）根据抛物线的对称轴为2b x a=-求解即可；（3）由N 点和A 点的坐标，可知点A 在点N 的上方，令抛物线上的点()2,c C y -，可得111c y a =+，分a ＞0，a ＜0两种情形分别求解即可解决问题．【详解】解：（1）∠抛物线231y ax ax a =-++与y 轴交于点A ，令0x =，得1y a =+．(0,1)A a ∴+．（2）由抛物线231y ax ax a =-++可知3322a x a -=-=． ∠抛物线的对称轴为直线32x =．（3）对于任意的实数a ，都有1a a +>．可知点A 总在点N 的上方．令抛物线上的点()2,c C y -．111c y a ∴=+．∠如图1，当0a >时， 2c y a >--．∠点C 在点M 的上方．结合函数图象，可知抛物线与线段MN 没有公共点．∠当0a <时（i）如图2，当抛物线经过点M时，2cy a=--．14a∴=-．结合函数图象，可知抛物线与线段MN恰有一个公共点M．（ii）当14a-<<时，可知抛物线与线段MN没有公共点．（∠）如图3，当14a<-，时，2cy a<--．∠点C在点M的下方．结合函数图象，可知抛物线与线段MN恰有一个公共点．综上所述，a的取值范围是14a-．【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是理解题意利用不等式解决问题，属于二次函数综合题，题目较难．。

常考二次函数综合题整理(全)

常考二次函数综合题整理题型一最短路径问题1、如图，抛物线y=﹣12x2+bx+2与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且点A的坐标为（1，0）．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）判断△ABC的形状，并证明你的结论；（3）点M是抛物线对称轴上的一个动点，当△ACM的周长最小时，求点M的坐标．【变式】如图，以D为顶点的抛物线y=﹣x2+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C，直线BC的表达式为y=﹣x+3．（1）求抛物线的表达式；（2）在直线BC上有一点P，使PO+PA的值最小，求点P的坐标；题型二最大面积（线段最长）问题2、已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，6），B（6，0），C（﹣2，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P运动到什么位置时，△PAB的面积有最大值？并求出这个最大值．3、如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C（0，﹣3）．（1）求这个二次函数的表达式；（2）若P是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH△x轴于点H，与BC交于点M，连接PC，求线段PM的最大值.【变式】如图，已知点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，1）在抛物线y=ax2+bx+c上．（1）求抛物线解析式；（2）在直线BC上方的抛物线上求一点P，使△PBC面积为1；【变式】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3经过A(﹣3，0)、B(1，0)两点，其顶点为D，连接AD，点P是线段AD上一个动点（不与A、D重合）．(1)求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标；(2)如图，过点P作PE△y轴于点E，连接AE．求△PAE面积S的最大值；题型三存在点构成等腰三角形问题4、如图，在平面直角坐标系中，二次函数2y ax bx c =++交x 轴于点()4,0A -、()2,0B ，交y 轴于点()0,6C ，在y 轴上有一点()0,2E -，连接AE .（1）求二次函数的表达式；（2）抛物线对称轴上是否存在点P ，使AEP ∆为等腰三角形，若存在，请直接写出所有P 点的坐标，若不存在请说明理由.5、如图，已知二次函数y=ax 2+bx+3的图象交x 轴于点A （1，0），B （3，0），交y 轴于点C ．（1）求这个二次函数的表达式；（2）直线x=m 分别交直线BC 和抛物线于点M ，N ，当△BMN 是等腰三角形时，直接写出m 的值．【变式】已知二次函数y=ax 2+bx ﹣3a 经过点A （﹣1，0）、C （0，3），与x 轴交于另一点B ，抛物线的顶点为D ．（1）求此二次函数解析式；（2）连接DC 、BC 、DB ，求证：△BCD 是直角三角形；（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P ，使得△PDC 为等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【变式】如图，抛物线与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点()0,2C -，点A 的坐标是()2,0，P 为抛物线上的一个动点，过点P 作PD x ⊥轴于点D ，交直线BC 于点E ，抛物线的对称轴是直线1x =-.（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点P 在第二象限内，且14PE OD =，求PBE ∆的面积．（3）在（2）的条件下，若M 为直线BC 上一点，在x 轴的下方，是否存在点M ，使BDM ∆是以BD 为腰的等腰三角形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．题型四存在点构成直角三角形问题6、如图，抛物线2y ax bx 4=+-经过()A 3,0-，()B 5,4-两点，与y 轴交于点C ，连接AB ，AC ，BC ．()1求抛物线的表达式；()2求证：AB 平分CAO ∠；()3抛物线的对称轴上是否存在点M ，使得ABM V 是以AB 为直角边的直角三角形，若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【变式】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax 2+2x+c 与x 轴交于A （﹣1，0）B （3，0）两点，与y 轴交于点C ，点D 是该抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式和直线AC 的解析式；（2）请在y 轴上找一点M ，使△BDM 的周长最小，求出点M 的坐标；（3）试探究：在拋物线上是否存在点P ，使以点A ，P ，C 为顶点，AC 为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．●题型四存在点构成等腰直角三角形问题7、已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，6），B（6，0），C（﹣2，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的解析式；（2）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P做PE△x轴交抛物线于点E，连结DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．●题型四存在点构成平行四边形问题8、如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（3，0），B（﹣1，0），C（0，﹣3）．（1）求该抛物线的解析式；（2）若以点A为圆心的圆与直线BC相切于点M，求切点M的坐标；（3）若点Q在x轴上，点P在抛物线上，是否存在以点B，C，Q，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．()B-，对称轴为直线l，点M是线段AB的中点.0,5（1）求抛物线的表达式；（2）写出点M的坐标并求直线AB的表达式；（3）设动点P，Q分别在抛物线和对称轴l上，当以A，P，Q，M为顶点的四边形是平行四边形时，求P，Q两点的坐标.【变式】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3经过A(﹣3，0)、B(1，0)两点，其顶点为D，连接AD，点P是线段AD上一个动点（不与A、D重合）．(1)求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标；(2)如图，抛物线上是否存在一点Q，使得四边形OAPQ为平行四边形？若存在求出Q点坐标，若不存在请说明理由．9、如图，已知抛物线y=12x2+bx+c与直线AB：y=12x+12相交于点A（1，0）和B（t，52），直线AB交y轴于点C．（1）求抛物线的解析式及其对称轴；（2）设点M是抛物线对称轴上一点，点N在抛物线上，以点A、B、M、N为顶点的四边形是否可能为矩形？若能，请求出点M的坐标，若不能，请说明理由．10、如图，抛物线顶点P（1，4），与y轴交于点C（0，3），与x轴交于点A，B．（1）求抛物线的解析式．（2）Q是抛物线上除点P外一点，△BCQ与△BCP的面积相等，求点Q的坐标．（3）若M，N为抛物线上两个动点，分别过点M，N作直线BC的垂线段，垂足分别为D，E．是否存在点M，N使四边形MNED为正方形？如果存在，求正方形MNED的边长；如果不存在，请说明理由．11、如图，已知点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，1）在抛物线y=ax2+bx+c上．（1）求抛物线解析式；（2）在x轴下方且在抛物线对称轴上，是否存在一点Q，使△BQC=△BAC？若存在，求出Q点坐标；若不存在，说明理由．12、如图，抛物线y=ax2+6x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C．直线y=x﹣5经过点B，C．（1）求抛物线的解析式；（2）过点A的直线交直线BC于点M．连接AC，当直线AM与直线BC的夹角等于△ACB 的2倍时，请直接写出点M的坐标【变式】如图，抛物线212y x bx c =-++过点(3,2)A ，且与直线72y x =-+交于B 、C 两点，点B 的坐标为(4,)m ．（1）求抛物线的解析式；（2）设点M 为抛物线的顶点，在y 轴上是否存在点Q ，使45AQM ︒∠=？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【变式】如图，抛物线y=ax 2+bx+c 经过A （﹣1，0），B （4，0），C （0，3）三点，D 为直线BC 上方抛物线上一动点，DE△BC 于E ．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，求线段DE 长度的最大值；（3）如图2，设AB 的中点为F ，连接CD ，CF ，是否存在点D ，使得△CDE 中有一个角与△CFO 相等？若存在，求点D 的横坐标；若不存在，请说明理由．【变式】如图，已知顶点为(0,3)C -的抛物线2(0)y ax b a =+≠与x 轴交于A ，B 两点，直线y x m =+过顶点C 和点B ．（1）求m 的值；（2）求函数2(0)y ax b a =+≠的解析式；（3）抛物线上是否存在点M ，使得15MCB ∠=︒？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．题型七存在点使三角形相似问题13、如图，以D 为顶点的抛物线y=﹣x 2+bx+c 交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ，直线BC 的表达式为y=﹣x+3．（1）求抛物线的表达式；（2）在x 轴上是否存在一点Q ，使得以A 、C 、Q 为顶点的三角形与△BCD 相似？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．14、如图，已知A（﹣2，0），B（4，0），抛物线y=ax2+bx﹣1过A、B两点，并与过A点的直线y=﹣12x﹣1交于点C．（1）求抛物线解析式及对称轴；（2）点M为y轴右侧抛物线上一点，过点M作直线AC的垂线，垂足为N．问：是否存在这样的点N，使以点M、N、C为顶点的三角形与△AOC相似，若存在，求出点N的坐标，若不存在，请说明理由．【变式】抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）经过点A（﹣1，0），B（32，0），且与y轴相交于点C．（1）求这条抛物线的表达式；（2）求△ACB的度数；（3）设点D是所求抛物线第一象限上一点，且在对称轴的右侧，点E在线段AC上，且DE△AC，当△DCE 与△AOC相似时，求点D的坐标．【变式】如图，抛物线y=12x2+bx+c与直线y=12x+3交于A，B两点，交x轴于C、D两点，连接AC、BC，已知A（0，3），C（﹣3，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线对称轴l上找一点M，使|MB﹣MD|的值最大，并求出这个最大值；（3）点P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点P作PQ△PA交y轴于点Q，问：是否存在点P 使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．题型七二次函数与圆结合问题15、如图，△E的圆心E（3，0），半径为5，△E与y轴相交于A、B两点（点A在点B的上方），与x轴的正半轴交于点C，直线l的解析式为y=x+4，与x轴相交于点D，以点C为顶点的抛物线过点B．（1）求抛物线的解析式；（2）判断直线l与△E的位置关系，并说明理由；（3）动点P在抛物线上，当点P到直线l的距离最小时．求出点P的坐标及最小距离．16、如图，已知抛物线m：y=ax2﹣6ax+c（a＞0）的顶点A在x轴上，并过点B（0，1），直线n：y=﹣x+与x轴交于点D，与抛物线m的对称轴l交于点F，过B点的直线BE与直线n相交于点E（﹣7，7）．（1）求抛物线m的解析式；（2）P是l上的一个动点，若以B，E，P为顶点的三角形的周长最小，求点P的坐标；（3）抛物线m上是否存在一动点Q，使以线段FQ为直径的圆恰好经过点D？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【变式】在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+53x+c的图象经过点C（0，2）和点D（4，﹣2）．点E是直线y=﹣13x+2与二次函数图象在第一象限内的交点．（1）求二次函数的解析式及点E的坐标．（2）如图①，若点M是二次函数图象上的点，且在直线CE的上方，连接MC，OE，ME．求四边形COEM面积的最大值及此时点M的坐标．（3）如图②，经过A、B、C三点的圆交y轴于点F，求点F的坐标．【变式】如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=（x-a）（x-3）（0<a<3）的图象与x轴交于点A、B （点A在点B的左侧），与y轴交于点D，过其顶点C作直线CP△x轴，垂足为点P，连接AD、BC．（1）求点A、B、D的坐标；（2）若△AOD与△BPC相似，求a的值；（3）点D、O、C、B能否在同一个圆上，若能，求出a的值，若不能，请说明理由.。

2021年中考复习《二次函数》综合测试题及答案 (3)

中考复习《二次函数》综合测试题及答案一、与线段、周长有关的问题1. 如图，抛物线y =x 2+bx +c 过点A （3，0），B （1，0），交y 轴于点C ，点P 是该抛物线上一动点，点P 从C 点沿抛物线向A 点运动（点P 不与点A 重合），过点P 作PD ∥y 轴交直线AC 于点D . （1）求抛物线的解析式；（2）求点P 在运动的过程中线段PD 长度的最大值；（3）在抛物线对称轴上是否存在点M ，使|MA-MC |的值最大？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由.第1题图备用图2. （202X 珠海）如图，折叠矩形OABC 的一边BC ，使点C 落在OA边的点D 处，已知折痕BE =55,且OE OD =34.以O 为原点，OA 所在的直线为x 轴建立如图所示的平面直角坐标系，抛物线l ：y = -161x 2+21x +c经过点E ，且与AB 边相交于点F . （1）求证：△ABD ∽△ODE ;（2）若M 是BE 的中点，连接MF ，求证：MF ⊥BD ;（3）P 是线段BC 上一动点，点Q 在抛物线l 上，且始终满足PD ⊥DQ ，在点P 运动过程中，能否使得PD =DQ ？若能，求出所有符合条件的Q 点坐标；若不能，请说明理由.第2题图1x2+bx+c3. （202X孝感改编）在平面直角坐标系中，抛物线y= -2与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，直线y=x+4经过A，C两点.（1）求抛物线的解析式；（2）在AC上方的抛物线上有一动点P.①如图①，过点P作y轴的平行线交AC于点D，当线段PD 取得最大值时，求出点P的坐标；②如图②，过点O，P的直线y=kx交AC于点E，若PE∶OE=3∶8，求k的值.图①图②第3题图1x2+bx+c(b、4. （202X天水）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝-2c为常数)的顶点为P，等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为（0，-1），点C的坐标为（4，3），直角顶点B在第四象限.(1)如图，若抛物线经过A、B两点，求抛物线的解析式;(2)平移（1）中的抛物线，使顶点P在AC上并沿AC方向滑动距离为2时，试证明：平移后的抛物线与直线AC交于x轴上的同一点;(3)在（2）的情况下，若沿AC方向任意滑动时，设抛物线与直线AC的另一交点为Q，取BC的中点N，试探究NP+BQ是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，请说明理由.第4题图1x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于5. 如图，抛物线y= -2点C,且OA=2,OC=3.（1）求抛物线的解析式；（2）作Rt△OBC的高OD，延长OD与抛物线在第一象限内交于点E，求点E的坐标；（3）在抛物线的对称轴上，是否存在一点Q，使得△BEQ的周长最小？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.第5题图6. 如图，已知在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC的边OA在y 轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，AB∥OC,OA=AB=2,OC=3，过点B 作BD ⊥BC ，交OA 于点D ，将∠DBC 绕点B 顺时针方向旋转，角的两边分别交y 轴的正半轴、x 轴的正半轴于点E 、F . （1）求经过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式；（2）当BE 经过（1）中抛物线的顶点时，求CF 的长；（3）在抛物线的对称轴上取两点P 、Q （点Q 在点P 的上方），且PQ =1，要使四边形BCPQ 的周长最小，求出P 、Q 两点的坐标.第6题图【答案】1.解：（1）∵抛物线y ＝x 2+bx +c 过点A （3，0），B （1，0），∴⎩⎨⎧=++=++01039c b c b ，解得⎩⎨⎧==3-4c b , ∴抛物线的解析式为y =x 2-4x +3. （2）令x =0,则y =3, ∴点C （0，3），又∵点A (3,0),∴直线AC 的解析式为y = -x +3, 设点P （x ,x 2-4x +3）,∵PD ∥y 轴，且点D 在AC 上， ∴点D (x ,-x +3),∴PD =(-x +3)-(x 2-4x +3)=-x 2+3x =-(x-23)2+49, ∵a =-1<0,∴当x =23时，线段PD 的长度有最大值，最大值为49. (3)存在.由抛物线的对称性可知，对称轴垂直平分AB ，可得：MA ＝MB ，由三角形的三边关系，｜MA -MC ｜<BC ,可得：当M 、B 、C 三点共线时,｜MA -MC ｜最大，即为BC 的长度，设直线BC 的解析式为y =kx +b (k ≠0),由B 、C 两点的坐标分别为（1，0）、(0,3), 则⎩⎨⎧==+3b b k ,解得⎩⎨⎧==3-3b k ,∴直线BC 的解析式为y = -3x +3, ∵抛物线y =x 2-4x +3的对称轴为直线x =2, ∴当x =2时，y=-3×2+3＝－3， ∴点M （2，－3），即抛物线对称轴上存在点M （2，－3），使｜MA -MC ｜最大. 2.（1）证明：由折叠知∠ADB =90°-∠ODE ＝∠OED ， ∵∠EOD ＝∠DAB =90°， ∴Rt △ABD ∽Rt △ODE .（2）证明：设OE ＝3k ，则OD ＝4k ，CE ＝DE ＝5k ，AB ＝OC ＝8k ，由Rt △ABD ∽Rt △ODE 可得AD ＝6k ，则OA ＝BC ＝BD ＝10k ，于是BE ＝22)(10)(5k k +=55,解得k ＝1， ∵抛物线y ＝-161x 2+21x +c 经过点E （0，3）， ∴c ＝3，将点A 的横坐标x ＝10代入y ＝-161x 2+21x +3，得到点F 的坐标为（10，47），∴DF ＝22AF AD +＝22476）（+＝425， ∵BF ＝AB -F A ＝8-47＝425， ∴DF ＝BF ，又∵∠BDE =90°，M 是BE 的中点，第2题解图 ∴MB ＝MD ，∴MF 是线段BD 的中垂线，∴MF ⊥BD . (3)解：能.如解图，令y ＝0，求得抛物线与x 轴交点坐标为H （-4，0），G （12，0），①当PD ⊥x 轴时，由于PD ＝8,DG ＝DH ＝8，故点Q 的坐标为（-4，0）或（12，0）时，△PDQ 是以D 为直角顶点的等腰直角三角形；②当PD 不垂直x 轴时，分别过P ，Q 作x 轴的垂线，垂足分别为N ，I ，则Q 不与G 重合，从而I 不与G 重合，即DI ≠8,∵PD ⊥DQ ,∴∠QDI =90°-∠PDN ＝∠DPN ， ∴Rt △PDN ∽Rt △DQI , ∵PN =8, ∴PN ≠DI ,∴Rt △PDN 与Rt △DQI 不全等, ∴PD ≠DQ ,另一侧同理可得PD ≠DQ .综上①，②所有满足题设的点Q 的坐标为（-4，0）和（12，0）. 3.解：（1）对于直线y =x +4,令x =0，得y ＝4,令y =0，得x =-4,则A (-4,0),C (0,4),代入抛物线解析式得⎩⎨⎧==+404-8-c c b ,解得⎩⎨⎧==4-1c b ， ∴抛物线的解析式为y = -21x 2-x +4.（2）①∵抛物线的解析式为y = -21x 2-x +4， ∴点P (x , -21x 2-x +4),∵PD ∥y 轴，直线AC 的解析式为y =x +4， ∴D （x ,x +4）, ∵P 点在AC 的上方，∴PD = -21x 2-x +4-(x +4)= -21（x +2）2+2, ∵-2>-4,∴当x =-2时，线段PD 取得最大值，将x =-2代入y = -21x 2-x +4中得y =4,∴线段PD 取得最大值时,点P 的坐标为（-2,4）. ②过点P 作PF ∥OC 交AC 于点F ，如解图. ∵PF ∥OC ,∴△PEF ∽△OEC ,∴OCPFOE PE. 又∵OE PE =83,OC =4,∴PF =23.∴由 ①得PF ＝（-21x 2-x +4）-(x +4)= 23.化简得：x 2+4x +3=0,解得x 1= -1,x 2= -3. 当x = -1时，y =29；当x = -3时，y =25. 即满足条件的P 点坐标是（-1，29）或（-3，25）. 又∵点P 在直线y =kx 上，∴k = -29或k = -65. 第3题解图4.(1)解：设AC 与x 轴的交点为M ，∵等腰直角三角形ABC 的顶点A 的坐标为(0,-1),C 的坐标为(4,3), ∴直线AC 的解析式为y=x-1， ∴直线AC 与x 轴的交点M (1，0). ∴OM =OA ，∠CAO =45°. ∵△CAB 是等腰直角三角形， ∴∠ACB =45°， ∴BC ∥y 轴, 又∵∠OMA =45°，∴∠OAB ＝90°， ∴AB ∥x 轴,∴点B 的坐标为(4，-1).∵抛物线过A (0，-1)，B (4，-1)两点，将两点代入抛物线的解析式中，得⎪⎩⎪⎨⎧=++⨯=-141621--1c b c ,解得⎩⎨⎧==-12c b ，∴抛物线的解析式为y ＝-21x 2+2x -1.(2)证明：抛物线y = -21x 2+2x -1= -21(x 2-4x )-1=－21 (x －2)2+1, ∴顶点P 的坐标为(2，1)，∵抛物线y = -21(x －2)2+1顶点P 平移到直线AC 上并沿AC 方向移动的距离为2，∴其实是先向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度, ∴平移后的二次函数的解析式为y = -21(x -3)2+2， ∵当y =0时，有0= -21(x -3)2+2，解得x 1=1，x 2=5，∴y ＝-21(x -3)2+2过点(1，0)和(5,0)， ∵直线AC 的解析式为y=x-1， ∴直线AC 与x 轴的交点坐标为(1，0)，∴平移后的抛物线与直线AC 交于x 轴上的同一点.(3)解：如解图，NP +BQ 存在最小值，最小值为25.理由：取AB 的中点F ，连接FN ，FQ ，作B 点关于直线AC 的对称点B ′，设平移后的抛物线的顶点为P ′.连接BB′，B′Q,BQ,则BQ＝B′Q,1(x-2)2+1的顶点P(2，1)，A(0,-1)，∵抛物线y= -2∴P A=221)(2++=22,-0)(1∴抛物线沿AC方向任意滑动时，P′Q=22，∵A(0，-1)，B(4，-1)，∴AB中点F(2，-1)，∵B(4，-1)，C(4，3)，∴N(4，1)，∴FN=22BNBF+=22,∴FN＝P′Q,∵在△ABC中，F、N分别为AB、BC的中点，第4题解图∴FN∥P′Q，∴四边形P′NFQ是平行四边形，∴NP′=FQ,∴NP′+BQ=FQ+B′Q≥FB′=2242+=25.∴当B′、Q、F三点共线时，NP+BQ最小，最小值为25.5.解：（1）∵OA=2,∴点A的坐标为（-2，0）.∵OC=3,∴点C的坐标为（0，3）.1x2+bx+c,把A（-2，0），C（0，3）分别代入抛物线y= -2得⎩⎨⎧=+=c cb 32--20，解得⎩⎨⎧==312c b ， ∴抛物线的解析式为y ＝-21x 2+21x +3. (2)把y =0代入y = -21x 2+21x +3, 解得x 1=3,x 2=-2,∴点B 的坐标为（3，0）， ∴OB =OC =3, ∵OD ⊥BC ,∴OE 所在的直线为y =x .解方程组⎪⎩⎪⎨⎧++==32121-2x x y xy , 解得⎩⎨⎧==2,211y x ⎩⎨⎧=-3=-322y x , ∵点E 在第一象限内，第5题解图∴点E 的坐标为（2，2）. （3）存在，如解图，设Q 是抛物线对称轴上的一点，连接QA 、QB 、QE 、BE ， ∵QA =QB ,∴△BEQ 的周长＝BE +QA +QE , ∵BE 为定值，且QA +QE ≥AE ,∴当A 、Q 、E 三点在同一直线上时，△BEQ 的周长最小，由A (-2,0)、E (2，2)可得直线AE 的解析式为y =21x +1, 由（2）易得抛物线的对称轴为x =21, ∴点Q 的坐标为（21，45）,∴在抛物线的对称轴上，存在点Q （21，45），使得△BEQ 的周长最小.6.解：(1)由题意得A (0，2)、B (2，2)、C (3，0).设经过A ,B,C 三点的抛物线的解析式为y =ax 2+bx +2(a ≠0), 将点B 、C 分别代入得⎩⎨⎧=++=++02392224b a b a ,解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==3432-b a ,∴抛物线的解析式为y = -32x 2+ 34x +2. (2)∵y= -32x 2+ 34x +2= -()2132-x +38，设抛物线的顶点为G ，则顶点G 的坐标为（1，38），过G 作GH ⊥AB ，垂足为H ，如解图①, 则AH =BH =1,GH =38-2=32, ∵EA ⊥AB ,GH ⊥AB , ∴EA ∥GH ,∴GH 是△BEA 的中位线, ∴EA =2GH =34.过B 作BM ⊥O C,垂足为M,如解图①,则MB =OA =AB .第6题解图① 第6题解图② ∵∠EBF =∠ABM =90°, ∴∠EBA =∠FBM =90°-∠ABF . ∴Rt △EBA ≌Rt △FBM . ∴FM =EA =34. ∵CM =OC -OM =3-2=1, ∴CF =FM +CM =37.(3)如解图②,要使四边形BCPQ 的周长最小，将B 点向下平移一个单位至点K ，取C 点关于对称轴对称的点M ，连接KM 交对称轴于P ，将P 向上平移1个单位至Q ，此时M 、P 、K 三点共线可使KP +PM 最短，则QPKB 为平行四边形，QB =PK ,连接CP ，根据轴对称求出CP =MP ，则CP +BQ 最小，∵CB ，QP 为定值，∴四边形BCPQ 周长最短.∵将点C 向上平移一个单位，坐标为（3，1），再作其关于对称轴对称的对称点C 1，∴得点C 1的坐标为（-1，1）. 可求出直线BC 1的解析式为y =31x +34.直线y ＝31x +34与对称轴x ＝1的交点即为点Q ，坐标为（1，35）.∴点P 的坐标为（1，32）.综上所述，满足条件的P 、Q 两点的坐标分别为（1，32）、（1，35）. 二、与面积有关的问题1. （202X 桂林）如图，已知抛物线y = -21x 2+bx +c 与坐标轴分别交于点A (0，8)、B (8，0)和点E ,动点C 从原点O 开始沿OA 方向以每秒1个单位长度移动，动点D 从点B 开始沿BO 方向以每秒1个单位长度移动，动点C 、D 同时出发，当动点D 到达原点O 时，点C 、D 停止运动.(1)求抛物线的解析式；(2)求△CED 的面积S 与D 点运动时间t 的函数解析式：当t 为何值时，△CED 的面积最大?最大面积是多少?(3)当△CED 的面积最大时，在抛物线上是否存在点P (点E 除外)，使△PCD 的面积等于△CED 的最大面积，若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由.第1题图2. （202X 海南）如图①，二次函数y =ax 2+bx +3的图象与x 轴相交于点A （-3，0）、B (1,0)，与y 轴相交于点C ，点G 是二次函数图象的顶点，直线GC交x轴于点H(3,0)，AD平行GC交y轴于点D. （1）求该二次函数的表达式；（2）求证：四边形ACHD是正方形；（3）如图②，点M(t,p)是该二次函数图象上的动点，并且点M在第二象限内，过点M的直线y=kx交二次函数的图象于另一点N.①若四边形ADCM的面积为S，请求出S关于t的函数表达式，并写出t的取值范围；21，请求出此时①中S的值.②若△CMN的面积等于4图①图②第2题图3. (202X深圳)如图①，关于x的二次函数y= -x2+bx+c经过点A(-3,0),点C(0，3)，点D为二次函数的顶点,DE为二次函数的对称轴，E在x轴上.（1）求抛物线的解析式；（2）DE上是否存在点P到AD的距离与到x轴的距离相等？若存在,求出点P;若不存在,请说明理由；（3）如图②，DE的左侧抛物线上是否存在点F，使2S△FBC=3S△EBC？若存在,求出点F的坐标;若不存在,请说明理由.图①图②第3题图4. （202X武威）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），其对称轴与x轴相交于点M.（1）求此抛物线的解析式和对称轴；（2）在此抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△P AB的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）连接AC，在直线AC下方的抛物线上，是否存在一点N，使△NAC 的面积最大？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.第4题图【答案】1x2+bx+c，1.解：(1)将点A(0，8)、B(8，0)代入抛物线y= -2得⎪⎩⎪⎨⎧=++⨯=086421-8c b c ,解得⎩⎨⎧==83c b ，∴抛物线的解析式为y = -21x 2+3x +8. (2)∵点A (0,8)、B (8，0)，∴OA =8,OB =8，令y =0，得 -21x 2+3x +8=0, 解得:x 1=8,x 2=-2,∵点E 在x 轴的负半轴上， ∴点E (-2，0)，∴OE =2，根据题意得：当D 点运动t 秒时，BD =t,OC =t , ∴OD =8-t ,∴DE =OE +OD =10-t ,∴S △CED =21DE ·OC =21 (10-t )·t = -21t 2+5t ,即S = -21t 2+5t =-21 (t -5)2+225, ∴当t =5时，S △CED 最大＝225(3)存在.由(2)知：当t =5时，S △CED 最大＝225 ∴当t =5时，OC =5,OD =3, ∴C (0,5),D (3,0), 由勾股定理得CD =34,设直线CD 的解析式为：y =kx +b （k ≠0）, 将C (0,5),D (3,0)，代入上式得：⎩⎨⎧=+=0,35b k b 解得⎪⎩⎪⎨⎧==535-b k ,∴直线CD 的解析式为y = -35x +5, 过E 点作EF ∥CD ，交抛物线于点P 1，则S △CED ＝S DCP 1∆，第1题解图如解图，设直线EF 的解析式为y = -35x +m ,将E (-2，0)代入得：m = -310, ∴直线EF 的解析式为y = -35x -310,将y = -35x -310与y = -21x 2+3x +8联立成方程组得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧8+3+21 -=310 - 35-=2x x y x y , 解得⎩⎨⎧==0-211y x （与E 点重合，舍去）,⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==9200-33422y x ,∴P 1(334,- 9200); 过点E 作EG ⊥CD ，垂足为G ， ∵当t =5时，S △ECD =21CD ·EG =225,CD =34, ∴EG =343425, 过点D 作DN ⊥CD ,垂足为N ，且使DN =343425,过点N 作NM ⊥x 轴，垂足为M ，可得△EGD ∽△DMN ,∴DM EG =DNED ,即DM 343425＝3434255，解得：DM =34125,∴OM =34227, 由勾股定理得： MN =22-DM DN =)234125(-)3434(252＝3475,∴N (34227,3475), 过点N 作NP 2∥CD ，与抛物线交于点P 2，P 3(与B 点重合)，则S △CED ＝SDCP 2∆，S △CED ＝SDCP 3∆,设直线NP 2的解析式为y = -35x +n ,将N (34227,3475)，代入上式得n =340, ∴直线NP 2的解析式为y = -35x +340,将y = -35x +340与y = -21x 2+3x +8联立成方程组得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=+=8321-34035-2x x y x y ,解得⎩⎨⎧==0811y x ,⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==91003422y x , ∴P 2(34,9100)或P 3(8,0), 综上所述，当△CED 的面积最大时，在抛物线上存在点P (点E 除外)，使△PCD 的面积等于△CED 的最大面积，点P 的坐标为：(334,-9200)或(34,9100)或(8,0).2.(1)解：∵二次函数y =ax 2+bx +3过点A (-3，0)、 B (1，0)，∴⎩⎨⎧=++=+03033-9b a b a ,，解得⎩⎨⎧==-2-1b a ，∴二次函数的表达式为y =－x 2－2x +3.(2)证明：由(1)知二次函数的表达式为y =－x 2－2x +3，令x =0，则y =3,∴点C 的坐标为(0，3)， ∴OC =3，又点A 、H 的坐标分别为(-3,0)、(3,0)， ∴ OA =OH =OC =3， ∴ ∠OCH ＝∠OHC ， ∵AD ∥GC ，∴∠OCH ＝∠ODA ,∠OHC =∠OAD , ∴∠OAD ＝∠ODA , ∴ OA =OD =OC =OH =3，又AH ⊥CD ,∴四边形ACHD 为正方形.(3)解：①S 四边形ADCM =S 四边形A OCM +S △AOD ，第2题解图由(2)知OA =OD =3， ∴S △AOD =21×3×3=29，∵点M (t ,p )是直线y =kx 与抛物线y = -x 2-2x +3在第二象限内的交点， ∴点M 的坐标为(t ,-t 2-2t +3)，如解图，作MK ⊥x 轴于点K ,ME ⊥y 轴于点E ，则MK =-t 2-2t +3,ME =︱t ︱=-t ，∴S 四边形AOCM =S △AOM +S △MOC =21×3(-t 2-2t +3)+21×3(-t )，即S 四边形AOC M = -23t 2-29t +29，S 四边形ADCM ＝S 四边形AOCM +S △AOD =-23t 2-29t+29+29= -23t 2-29t+9, ∴S = -23t 2-29t +9,-3＜t ＜0.②设点N 的坐标为(t 1,p 1),过点N 作NF ⊥y 轴于点F ， ∴NF =︱t 1︱,又由①知ME =︱t ︱，则S △CMN =S △COM +S △CON =21OC ·(︱t ︱+︱t 1︱)，又∵点M (t ,p )、N(t 1,p 1)分别在第二、四象限内，∴t ＜0, t 1＞0, ∴S △CMN =23(t 1-t ),即23 (t 1-t )= 421，∴t 1-t =27.由直线y =kx 交二次函数的图象于点M 、N 得：⎩⎨⎧+==32--y y 2x x kx,则x 2+(2+k )x -3=0, ∴x =2(-3)14-)(2)(2-2⨯⨯+±+k k ,即t =2(-3)14-)(2-)(2-2⨯⨯++k k ,t 1=2(-3)14-)(2)(2-2⨯⨯+++k k ,∴t 1-t =12k)(22++=27, ∴27是(2+k )2+12的算术平方根, ∴(2+k )2+12=449,解得k 1=-23,k 2=-25, 又(k +2)2+12恒大于0，且k ＜0, ∴k 1=-23,k 2=-25都符合条件. (i)若k = -23,有x 2+(2-23)x -3=0,解得x 1=-2,x 2=23 (不符合题意，舍去);(ii)若k = -25,有x 2+(2-25)x -3=0,解得x 3=-23,x 4=2(不符合题意，舍去)，∴t = -2或-23，当t = -2时,S =12;当t =-23时,S =899，∴S 的值是12或899.3.解：（1）将A (-3，0)，C (0，3)代入y =-x 2+bx +c , 得⎩⎨⎧=+=03-9-3c b c ,解得⎩⎨⎧==3-2c b .∴抛物线的解析式为y = -x 2-2x +3.(2存在，由(1)知抛物线的解析式可化为顶点式y =-(x +1)2+4，则D (-1，4)，当P 在∠DAB 的平分线上时，如解图①，作PM ⊥AD ，设P (-1，y 0)， ∵sin ∠ADE =AD AE=522=55，PE =y 0,则PM =PD ·sin ∠ADE =55(4-y 0), ∵PM =PE , 第3题解图① ∴55(4-y 0)=y 0, 解得y 0=5-1.当P 在∠DAB 的外角平分线上时，如解图②，作PN ⊥AD ,设P (-1，y 0)， PE =-y 0,则PN =PD ·sin ∠ADE =55(4-y 0), ∵PN =PE , ∴55(4-y 0)=-y 0，解得y 0=-5-1. 第3题解图②∴存在满足条件的点P ，且点P 的坐标为（-1，5-1）或（-1，-5-1）. (3)存在.∵S △EBC =3,2S △FBC =3S △EBC , ∴S △FBC =23S △EBC ＝23×3＝29,过点F 作FH ⊥x 轴，交BC 的延长线于点Q ，如解图③, 连接BF ,设BF 交y 轴于点M ，易得△BMC ∽△BFQ ， ∴OHOB OB+＝QF CM ，即CM ＝OH OB QFOB +⋅，∴S △FBC ＝21CM ·OB +21C M ·OH ＝21OB ·QF .∵S △FBC =21FQ ·OB =21FQ =29,∴FQ =9.∵BC 的解析式为y =-3x +3，设F (x 0,-x 20-2x 0+3),则Q 点的坐标为（x 0,-3x 0+3）,∴QF =-3x 0+3+x 02+2x 0-3=9, 解得x 0=237-1或2371+ (舍去)， ∴满足条件的点F 的坐标是(237-1，215-373). 第3题解图③4.解：（1）∵抛物线过点A （0，4）、B （1，0）、C （5，0）， ∴设过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式为y =a (x -1)·(x -5)(a ≠0)， ∴将点A （0，4）代入y=a (x -1)(x -5)，得a =54， ∴此抛物线的解析式为y =54x 2-524x +4, ∵抛物线过点B （1，0）、C （5，0）， ∴抛物线的对称轴为直线x ＝251+=3. （2）存在，如解图①，连接AC 交对称轴于点P ，连接B P 、BA ,∵点B 与点C 关于对称轴对称， ∴PB =PC ,∴AB +AP +PB =AB +AP +PC =AB +AC , ∵AB 为定值，且AP +P C≥AC ,∴当A 、P 、C 三点共线时△P AB 的周长最小， ∵ A （0，4）、C （5，0），设直线A C的解析式为y =ax +b (a ≠0)，第4题解图①将A 、C 两点坐标代入解析式得⎩⎨⎧=+=054b a b ,解得⎪⎩⎪⎨⎧==454-b a ,∴直线AC 的解析式为y = -54x +4. ∵在y = -54x +4中，当x ＝3时，y =58， ∴P 点的坐标为（3，58），即当对称轴上的点P 的坐标为（3，58）时，△ABP 的周长最小. （3）在直线AC 下方的抛物线上存在点N ，使△NAC 面积最大. 如解图②，设N 点的横坐标为t ，此时点N （t ,54t 2-524t +4）（0＜t ＜5），过点N 作y 轴的平行线，分别交x 轴、AC 于点F 、G ，过点A 作 AD ⊥NG ，垂足为点D ，由（2）可知直线AC 的解析式为y = -54x+4，把x =t 代入y = -54x +4得y ＝-54t +4，则G 点的坐标为（t ，-54t +4 ），此时，NG ＝-54t +4-（54t 2-524t +4）＝-54t 2+4t . ∵AD ＋CF ＝OC ＝5， ∴S △NAC ＝S △ANG ＋S △CGN ＝21NG ·AD ＋21NG ·CF ＝ 21NG ·OC =21×（-54t 2+4t ）×5＝-2t 2+10t ＝ -2（t -25）2+225.∵-2<0，即在对称轴处取得最大值.∴当t =25时，△NAC 面积有最大值为225，第4题解图② 由t =25，得y =54t 2524t +4＝-3， ∴N （25，-3）.∴存在满足条件的点N ，使△NAC 的面积最大，N 点的坐标为（25,-3）. 三、与特殊三角形有关的问题1.（202X 岳阳）如图，抛物线y=ax 2+bx +c 经过A (1,0)、B (4,0)、C (0,3)三点.（1）求抛物线的解析式；（2）如图①，在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使得四边形P AOC 的周长最小？若存在，求出四边形P AOC 周长的最小值；若不存在，请说明理由；（3）如图②，点Q 是线段OB 上一动点，连接BC ,在线段BC 上是否存在这样的点M ，使△CQM 为等腰三角形且△BQM 为直角三角形？若存在，求点M 的坐标；若不存在，请说明理由.图① 图② 第1题图2. 如图，直线y =-21x +2与x 轴交于点B ，与y 轴交于点C ，已知二次函数的图象经过点B 、C 和点A （-1，0）.（1）求B 、C 两点坐标；（2）求该二次函数的关系式；（3）若抛物线的对称轴与x 轴的交点为点D ，则在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使△PCD 是以CD 为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P 点的坐标；如果不存在，请说明理由；（4）点E 是线段BC 上的一个动点，过点E 作x 轴的垂线与抛物线相交于点F ，当点E 运动到什么位置时，四边形CDBF 的面积最大？求出四边形CDBF 的最大面积及此时E 点的坐标.第2题图【答案】针对演练1.解：（1）∵点A （1，0），B （4,0）在抛物线上， ∴设抛物线解析式为y =a (x -1)(x -4)，将点C （0,3）代入得a (0-1)(0-4)=3，解得a =43，∴抛物线解析式为y =43(x -1)(x -4)，即y =43x 2-415x+3. （2）存在.连接BC 交对称轴于点P ，连接P A ,如解图①, ∵点A 与点B 关于对称轴x =25对称，∴BC ≤PB +PC =P A +PC ，即当点P 在直线BC 上时，四边形P AOC 的周长最小，在Rt △BOC 中，OB =4，OC =3，∠BOC =90°， ∴BC =22OC OB + =5，∴四边形P AOC 的周长的最小值为OA +O C+BC =1+3+5=9. （3）存在.设直线BC 的解析式为y =kx +t ，第1题解图①将点B (4,0)，点C （0,3）代入得⎩⎨⎧==+304t t k ，解得⎪⎩⎪⎨⎧==343-t k ， ∴直线BC 的解析式为y = -43x +3. 点M 在BC 上，设点M 的坐标为（m ,-43m +3）（0＜m ＜4），要使△CQM 是等腰三角形，且△BQM 是直角三角形，则只有以下两种情况，(Ⅰ)当MQ ⊥OB ，CM =MQ 时，如解图②所示，则CM =MQ =-43m +3, MB =BC -CM =5-(- 43m +3)=2+43m ，由sin ∠CBO =BC OC =BM MQ=53，即m m 432343-++=53，解得m =23,则点M 的坐标为（23,815）；(Ⅱ)当CM =MQ ,MQ ⊥BC 时，如解图③，第1题解图②过M 作MN ⊥OB 于N ，则ON =m ,MN =-43m +3, 在Rt △BMN中，易得BM =MBNMN∠sin=35×(-43m +3) =-45m +5， ∴CM =BC -BM =45m ，在Rt △BMQ 中，QM =BM ·tan ∠MBQ =43 (-45m +5)，由CM =MQ 得43(-45m +5)= 45m ，第1题解图③ 解得m =712，此时点M 的坐标为（712,712）. 综上所述，存在满足条件的点M ,点M 的坐标为（23,815）或（712，712）. 2. 解：（1）令x =0，可得y =2，令y =0，可得x =4，即点B （4，0），C （0，2）.（2）设二次函数的解析式为y =ax 2+bx +c ，将点A 、B 、C 的坐标代入解析式得，⎪⎩⎪⎨⎧==++=+204160-c c b a c b a ,解得b c b a ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===22321- , 即该二次函数的关系式为y=-21x 2+23x +2.（3）存在.满足条件的点P 的坐标分别为P 1（23,4），P 2（23,25）,P 3(23,-25). 【解法提示】∵y = -21x 2+23x +2， ∴y =-21（x -23）2+825， ∴抛物线的对称轴是x =23， ∴OD =23． ∵C （0，2）， ∴OC =2．在Rt △OCD 中，由勾股定理得CD =25． ∵△CDP 是以CD 为腰的等腰三角形， ∴CP 1=DP 2=DP 3=CD ．如解图①所示，作CE ⊥对称轴于点E ， ∴EP 1=ED =2，∴DP 1=4．∴P 1（23，4），P 2（23，25），P 3（23，-25）. 第2题解图①（4）如解图②，过点C 作CM ⊥EF 于点M ，设E （a ，-21a +2），F （a ，-21a 2+23a +2）， ∴EF =-21a 2+23a +2-（-21a +2） =-21a 2+2a （0≤a ≤4）． ∵S四边形CDBF =S △BCD +S △CEF +S △BEF第2题解图②=21BD ·OC +21E F ·CM +21EF ·BN=25+21a （-21a 2+2a ）+21（4-a ）·（-21a 2+2a ）5=-a2+4a+213（0≤a≤4）,=-（a-2）2+213，∴a=2时，S四边形CDBF最大=2∴E（2，1）．四、与特殊四边形有关的问题1. （202X重庆模拟）已知正方形OABC中，O为坐标原点，点A 在y轴的正半轴上，点C在x轴的正半轴上，点B（4，4）.二次函1x2+bx+c的图象经过点A、B.点P（t，0）是x轴上一动点，数y= -6连接AP.（1）求此二次函数的解析式；（2）如图①，过点P作AP的垂线与线段BC交于点G，当点P在线段OC（点P不与点C、O重合）上运动至何处时，线段GC的长有最大值，求出这个最大值；（3）如图②，过点O作AP的垂线与直线BC交于点D，二次函数1x2+bx+c的图象上是否存在点Q，使得以P、C、Q、D为顶点y= -6的四边形是以PC为边的平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.图①图②备用图第1题图2. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点左侧，B点的坐标为（4，0），与y轴交于C（0，-4）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点.（1）求这个二次函数的表达式;（2）连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使四边形POP′C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由;（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积.第2题图【答案】1.解：（1）∵B（4，4），∴AB=BC=4，∵四边形ABCO是正方形，∴OA=4，∴A（0，4），1x2+bx+c，将点A（0，4），B（4，4）代入y= -6得⎪⎩⎪⎨⎧=++⨯=441661-4c b c ，解得⎪⎩⎪⎨⎧==432c b ，∴二次函数解析式为y =-61x 2+32x +4.（2）∵P （t ，0），∴OP =t ，PC =4-t ，∵AP ⊥PG ，∴∠APO +∠CPG =180°-90°=90°，∵∠OAP +∠APO =90°，∴∠OAP =∠CPG ，又∵∠AOP =∠PCG =90°，∴△AOP ∽△PCG ，∴PC AO =GCOP ，即t -44=GC t ，整理得，GC =-41（t -2）2+1，∴当t =2时，GC 有最大值是1，即P （2，0）时，GC 的最大值是1.（3）存在点Q ，使得以P 、C 、Q 、D 为顶点的四边形是以PC 为边的平行四边形．理由如下：如解图①、②，易得∠OAP =∠COD ，在△AOP 和△OCD 中，⎪⎩⎪⎨⎧︒=∠=∠=∠=∠90OCD AOP OCOA COD OAP , ∴△AOP ≌△OCD （ASA ），∴OP =CD，第1题解图①由P 、C 、Q 、D 为顶点的四边形是以PC 为边的平行四边形得，PC ∥DQ且PC =DQ ， ∵P （t ，0），D （4，t ），∴PC =DQ =|t-4|，∴点Q 的坐标为（t ，t ）或（8-t ，t ），①当Q （t ，t ）时，-61t 2+32t +4=t ，整理得，t 2+2t-24=0，解得t 1=4（舍去），t 2=-6，②当Q （8-t ，t ）时，-61（8-t ）2+32（8-t ）+4=t ，第1题解图②整理得，t 2-6t +8=0，解得t 1=2，t 2=4（舍去），综上所述，存在点Q （-6，-6）或（6，2），使得以P 、C 、Q 、D 为顶点的四边形是以PC 为边的平行四边形．2.解：（1）将B 、C 两点的坐标代入得：⎩⎨⎧==++-40416c c b ，解得⎩⎨⎧==-4-3c b ， ∴二次函数的表达式为y =x 2-3x -4.（2）存在点P ，使四边形POP ′C 为菱形；设P 点坐标为（x ，x 2-3x -4），PP ′交CO 于点E ，若四边形POP′C 是菱形，则有PC =PO ；如解图①，连接PP ′，则PE ⊥CO 于点E ，∵C （0，-4），∴CO =4，又∵OE =EC ，∴OE =EC =2，∴y =-2，∴x 2-3x -4=-2，第2题解图①解得x 1=2173+，x 2=217-3（不合题意，舍去）， ∴P 点的坐标为（2173+，-2）. （3）如解图②，过点P 作y 轴的平行线与BC 交于点Q ，与OB 交于点F ，设P （x ，x 2-3x -4），设直线BC 的解析式为y =kx +d ，则⎩⎨⎧=+=04-4d k d ,解得⎩⎨⎧==-41d k ， ∴直线BC 的解析式为y =x -4，则Q 点的坐标为（x ，x -4）；当0=x 2-3x -4，解得：x 1= -1，x 2=4，∴AO =1，AB =5，第2题解图②S 四边形ABPC =S △ABC +S △BPQ +S △CPQ =21AB ·OC +21QP ·BF +21QP ·OF=21×5×4+21（4-x ）［x -4-（x 2-3x -4）］+21x ［x -4-（x 2-3x -4）］ =-2x 2+8x +10=-2（x -2）2+18,当x =2时，四边形ABPC 的面积最大，此时P 点的坐标为（2，-6），四边形ABPC 的面积的最大值为18．五、与三角形相似有关的问题1. （202X 广元）如图，已知抛物线y ＝-m1（x +2）（x -m ）（m ＞0）与x 轴相交于点A 、B ，与y 轴相交于点C ，且点A 在点B 的左侧.（1）若抛物线过点G （2，2），求实数m 的值.（2）在（1）的条件下，解答下列问题：①求△ABC 的面积.②在抛物线的对称轴上找一点H ，使AH +CH 最小，并求出点H 的坐标.（3）在第四象限内，抛物线上是否存在点M ，使得以点A 、B 、M 为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由.第1题图2. 如图，抛物线经过A （4，0），B （1，0），C （0，-2）三点.（1）求出抛物线的解析式；（2）P 是抛物线上一动点，过P 作P M ⊥x 轴，垂足为M ，是否存在P 点，使得以A ，P ，M 为顶点的三角形与△OAC 相似？若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在直线AC 上方的抛物线上有一点D ，使得△DCA 的面积最大，求出点D 的坐标.第2题图【答案】1.解：(1)∵抛物线过点G (2，2)，∴2=-m 1 (2+2)(2-m )， ∴m =4.(2)①y =0,- m1 (x +2)(x -m )=0，解得x 1=-2,x 2=m ,∵m ＞0,∴A (-2,0)、B (m ,0),又∵m =4,∴AB =6.令x =0,得y =2,∴C (0,2),∴OC =2，∴S △ABC =21×AB ×OC =21×6×2＝6. 第1题解图①②∵m =4，∴抛物线y = -41 (x +2)(x -4)的对称轴为x =1，如解图①，连接BC 交对称轴于点H ，由轴对称的性质和两点之间线段最短的性质可知，此时AH +CH =BH +CH =BC 最小.设直线BC 的解析式为y =kx +b (k ≠0).则⎩⎨⎧==+204b b k ,解得⎪⎩⎪⎨⎧==221-b k , ∴直线BC 的解析式为y=-21x +2.当x =1时，y =23,∴H (1, 23). (3)存在.如解图②，分两种情况讨论：(Ⅰ)当△ACB ∽△ABM 时，AB AC =AMAB ，第1题解图②即AB 2=AC ·AM .∵A (-2,0),C (0,2)，即OA =OC =2,∴∠CAB =45°,∴∠BAM =45°.过点M 作MN ⊥x 轴于点N ，则AN =MN ，∴OA +ON =2+ON =M N ，∴令M (x ,-x-2)(x ＞0)，又∵点M 在抛物线上， ∴-x -2=-m1 (x +2)(x-m )， ∵x ＞0,∴x +2＞0，又∵m ＞0,∴x =2m ,即M (2m ,-2m -2).∴AM =222)-(-22)(2m m ++=22 (m +1)，又∵AB 2=AC ·AM ,AC =22，AB =m +2,∴(m +2)2=22×22 (m +1)，解得m =2±22.∵m ＞0,∴m =22+2.(Ⅱ)当△ACB ∽△MBA 时，则MA AB =BACB ， ∴AB 2=CB ·MA ，又∵∠CBA =∠BAM ,∠ANM =∠BOC =90°,∴△ANM ∽△BOC , ∴AN NM =BOOC ， ∵OB =m ,令ON =x, ∴x NM +2=m2, ∴NM =m2 (x +2)， ∴令M (x ,- m 2 (x +2))(x ＞0), 又∵点M 在抛物线上，∴-m 2 (x +2)=- m 1 (x +2)(x -m )， ∵x ＞0,∴x +2＞0,∵m ＞0,∴x =m +2,∴M (m +2,- m2 (m +4))，又∵AB 2=CB ·MA ,CB =42+m ,AN =m +4,MN =m 2 (m +4), ∴(m +2)2=42+m ·,4)4(4)(222m m m +++ 整理得16=0,显然不成立.综上(Ⅰ)(Ⅱ)得，在第四象限内，当m =22+2时，抛物线上存在点M ，使得以点A 、B 、M 为顶点的三角形与△ACB 相似.2. 解：（1）∵该抛物线过点C （0，-2），∴可设该抛物线的解析式为y =ax 2+bx-2．将A （4，0），B （1，0）代入，得⎩⎨⎧=+=+02-02-416b a b a ,解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==2521-b a ， ∴此抛物线的解析式为y = - 21x 2+ 25x -2. （2）存在．如解图①，设P 点的横坐标为m ，则P 点的纵坐标为-21m 2+25m -2，当1＜m ＜4时，AM =4-m ，PM =-21m 2+25m -2．又∵∠COA =∠PMA =90°，∴①当PM AM =OC AO 时， ∴PM AM =OC AO =24=12，第2题解图①∴△APM ∽△ACO ，即4-m =2(-21m 2+25m -2)．解得m 1=2，m 2=4（舍去），∴P （2，1）． ②当PM AM =OA OC =21时，△APM ∽△CAO ，即2(4-m )= -21m 2+25m -2．解得m 1=4，m 2=5（均不合题意，舍去）,∴当1＜m ＜4时，P （2，1）.当m ＞4时，AM =m -4，PM =21m 2-25m +2， ①PM AM =OA OC =21或②PM AM =OC AO =2，2（21m 2-25m +2）=m -4， 2（m -4）=21m 2-25m +2，解得：第一个方程的解是m =2＜4（舍去）,m =4（舍去），第二个方程的解是m =5，m =4（舍去）,求出m =5，-21m 2+25m -2=-2，则P （5，-2），当m ＜1时，AM =4-m ，PM =21m 2-25m +2． ①PM AM =OA OC =21或PM AM =OCAO =2，则：2（21m 2-25m +2）=4-m ， 2（4-m ）=21m 2-25m +2，解得：第一个方程的解是m =0（舍去），m =4（舍去），第二个方程的解是m =4（舍去），m =-3，m =-3时，-21m 2+25m -2=-14，则P （-3，-14），综上所述，符合条件的点P 的坐标为（2，1）或（5，-2）或（-3，-14）(解图中未画出来).（3）如解图②，设D 点的横坐标为t （0＜t ＜4），则D 点的纵坐标为-21t 2+25t-2．过点D 作y 轴的平行线交AC 于点E ．第2题解图② 由题意可求得直线AC 的解析式为y =21x -2．∴E 点的坐标为(t , 21t -2)．∴DE =-21t 2+25t-2-(21t -2)=-21t 2+2t ，∴S △DAC =S △DCE +S △DEA =21DE ·t +21DE ·（4-t ）=21DE ·4，∴S △DAC =21×（-21t 2+2t ）×4=-t 2+4t =-(t-2)2+4，∴当t =2时，△DAC 面积最大，∴D （2，1）．。

中考数学考点系统复习第三章函数第九节二次函数性质综合题

∴a＋b＋c＝9a＋3b＋c，整理得 b＝－4a， b －4a
∴抛物线的对称轴为直线 x＝－2a＝－ 2a ＝2， ∴t＝2， ∵c＝2， ∴抛物线与 y 轴交点的坐标为(0，2)．
(2)点(x0，m)(x0≠1)在抛物线上．若m＜n＜c，求t 的取值范围及x0的取值范围． ∵m＜n＜c，∴a＋b＋c＜9a＋3b＋c＜c，
②当 m≤－3 时，此时 y 有最大值为 6， ∵y 的最大值与最小值之和为 2，∴y 最小值为－4， ∵当 x＝0 时，y＝－3≠－4， ∴－(m＋3)2＋6＝－4， ∴m＝－3－ 10或 m＝－3＋ 10(舍去)．综上所述，m 的值为－2 或－3－ 10.
类型二：解析式中含参数的二次函数求最值
3．已知二次函数 y＝－x2＋4x－3.
(1)若－3≤x≤3，则 y 的取值范围为－
(直接写出结果)；
(2)若－8≤y≤－3，则 x 的取值范围为24－≤1y≤≤x1≤0或 (直接
写出结果)；
4≤x≤5
3 (3)若 A(m，y1)，B(m＋1，y2)两点都在该函数的图象上，且满足 m＜2，
试比较 y1与 y2 的大小，并说明理由．解：(3)由题意，得 y1＝－m2＋4m－3， y2＝－(m＋1)2＋4(m＋1)－3，则 y1－y2＝2m－3，
第九节二次函数性质综合题
类型一：解析式确定的二次函数求最值
1．★(2022·长春)已知二次函数
y＝－x2－2x＋3，当
1 a≤x≤2时，函数
值 y 的最小值为 1，则 a 的值为－1－ 3 .
2．把抛物线 y＝ax2＋c 的图象向下平移 3 个单位长度后得到抛物线
y＝－2x2－1.
(1)求平移前的抛物线的解析式；解：(1)∵把抛物线y＝ax2＋c的图象向下平移3个单位长度后得到抛物∴线a＝y＝－－2，2xc2－－31＝，－1，∴c＝2， ∴平移前的抛物线的解析式为y＝－2x2＋2.

中考压轴题中的二次函数(三)带答案和详细解析30道解答题.docx

中考压轴题中的二次函数⑶一.解答题(共3()小题)1.(2015*雅安校级一模)己知：如图，抛物线y= - x'+bx+c与x轴，y轴分别相交于点A (-1, 0),B (0, 3)两点,其顶点为D.(1)求该抛物线的解析式；(2)若该抛物线与x轴的另一个交点为E.求四边形ABDE的面积；(3)AAOB与ABDE是否和似？如果相似，请予以证明；如果不相似，请说明理由.2.(2()15・余姚市模拟)如果抛物线©的顶点在抛物线C2上，同时，抛物线C2的顶点在抛物线C］上，那么，我们称抛物线C|与C2关联.(1)已知抛物线①y=x2+2x - 1,判断下列抛物线②y=- X2+2X+1； ®y=x2+2x+l与已知抛物线①是否关联，并说明理由.(2)抛物线C】：y=| (x+1) —2,动点P的坐标为(t, 2),将抛物线绕点P (t, 2)旋转180。

得到抛物线C2，若抛物线Ci与C2关联，求抛物线C2的解析式.(3)A为抛物线Ci： y=g(x+l)2-2的顶点，B为与抛物线0关联的抛物线顶点，是否8存在以AB为斜边的等腰直角AABC,使其直角顶点C在y轴上？若存在，求出C点的坐标；若不存在，请说明理由.3.(2015*临淄区校级模拟)设抛物线y=ax2+bx・2与x轴交于两个不同的点A (・1, 0)、B (m, 0),与y轴交于点C.且ZACB=90度.（1）求m的值；（2）求抛物线的解析式，并验证点D （1, -3）是否在抛物线上：（3）已知过点A的直线y=x+l交抛物线于另一点E.问：在x轴上是否存在点P,使以点P、B、D为顶点的三角形与AAEB相似？若存在，请求出所有符合耍求的点P的坐标；若4.（2015*营口模拟）如图，二次函数尸-丄,+bx+c的图象经过点A （4, 0）, B （・4,-4）,且与y轴交于点C.（1）试求此二次函数的解析式；（2）试证明：ZBAO=ZCAO（H屮O是原点）；（3）若P是线段AB±的一个动点（不与A、B重合），过P作y轴的平行线，分别交此二次函数图彖及x轴于Q、H两点，试问：是否存在这样的点P,便PH=2QH?若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.5.（2（）15・杭州模拟）己知经过原点的抛物线y=・2X2+4X（如图所示）与x的另一交点为A 现将它向右平移m （m>0）位，所得抛物线与x轴交于C、D点，与原抛物线交于点P （1）求点P的坐标（可用含m式子表示）；(2)设APCD的面积为s,求s关于m关系式；(3)过点P作x轴的平行线交原抛物线于点E,交平移后的抛物线于点F.请问是否存在m,使以点E、0、A、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出m的值；若不存在,6.(2()15・温州模拟)如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过A (0, 4), B (4, 0), C (・1, 0)三点.过点A作垂直于y轴的直线1.在抛物线上有一动点P,过点P作直线PQ平行于y轴交直线1于点Q ・连接AP.(1)求抛物线y=ax2+bx+c的解析式；(2)是否存在点P,使得以A、P、Q三点构成的三角形与AAOC相似？如果存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；(3)当点P位于抛物线y=ax2+bx+c的对称轴的右狈9.若将AAPQ沿AP对折，点Q的对7.(2015*來凤县二模)如图1,在平面直角坐标系xOy屮，直线1： y=-|x+K与x轴、y轴分别交于点A和点B (0,・1),抛物线尸吉,+bx+c经过点B,且与直线1的另一个交点乙（2）点D 在抛物线上，且点D 的横坐标为t （0<t<4）.。

2021年中考数学《二次函数综合压轴题》模拟训练题集(三)

2021年中考数学《二次函数综合压轴题》模拟训练题集（三）1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+x+4与x轴交于A，C两点（点A在点C左侧），与y轴交于点B，P是抛物线上一动点，设点P的横坐标为m，连结PO，PB，PC．（1）当m＝2时，求证：△OPB≌△OPC．（2）直线BC交直线OP于点Q，当P为OQ中点时，求点Q坐标．（3）当S△OPB＝S△OPC，求所有满足条件的点P坐标．2．如图，抛物线过A（1，0）、B（﹣3，0），C（0，﹣3）三点，直线AD交抛物线于点D，点D的横坐标为﹣2，点P（m，n）是线段AD上的动点，过点P的直线垂直于x轴，交抛物线于点Q．（1）求直线AD及抛物线的解析式；（2）求线段PQ的长度l与m的关系式，m为何值时，PQ最长？（3）在平面内是否存在整点（横、纵坐标都为整数）R，使得P、Q、D、R为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点R的坐标；若不存在，说明理由．3．如图，平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y＝ax2﹣2ax+c与x轴交于B、C两点，与y轴交于点A，直线AB的解析式为：y＝x+4；（1）求抛物线的解析式；（2）点P为第一象限抛物线上一点，过P作PD∥y轴交直线AB于D，若点P的横坐标为t，PD的长度为d，求d与t的函数关系式（直接写出自变量t的取值范围）；（3）在（2）的条件下，延长DP交x轴于E，点F在BE上，EF＝PD，连接PF，过F作FQ⊥PF交AB于Q，直线PQ交x轴于点M，求t为何值时PM＝2PQ．4．如图所示，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（2，﹣3）与C（0，﹣3），与x轴负半轴的交点为B．（1）求抛物线的解析式与点B坐标；（2）若点D在x轴上，使△ABD是等腰三角形，求所有满足条件的点D的坐标；（3）点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，若以A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，其中AB ∥MN，请直接写出所有满足条件的点M的坐标．5．如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A、B两点，A（﹣1，0）与y轴交于点C，点E（1，﹣4）为抛物线的顶点，且OD＝OA．（1）求抛物线的解析式；（2）设∠DBC＝α，∠CBE＝β，求sin（α﹣β）的值；（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C三点为顶点的三角形与△BCE相似，若存在，请指出点P 的位置，并直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与两坐标轴分别交于点A、B、C，直线y＝﹣x+4经过点B，与y轴交点为D，M（3，﹣4）是抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式．（2）已知点N在对称轴上，且AN+DN的值最小．求点N的坐标．（3）在（2）的条件下，若点E与点C关于对称轴对称，请你画出△EMN并求它的面积．（4）在（2）的条件下，在坐标平面内是否存在点P，使以A、B、N、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．7．如图，抛物线y＝a（x+2）（x﹣4）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且∠ACO＝∠CBO．（1）求线段OC的长度；（2）若点D在第四象限的抛物线上，连接BD、CD，求△BCD的面积的最大值；（3）若点P在平面内，当以点A、C、B、P为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出点P的坐标．8．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴交于点B（0，2），直线y＝x﹣1与y轴交于点C，与x轴交于点D，点P是线段CD上方的抛物线上一动点，过点P作PF垂直x轴于点F，交直线CD于点E，（1）求抛物线的解析式；（2）设点P的横坐标为m，当线段PE的长取最大值时，解答以下问题．①求此时m的值．②设Q是平面直角坐标系内一点，是否存在以P、Q、C、D为顶点的平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．9．如图，已知抛物线经过两点A（﹣3，0），B（0，3），且其对称轴为直线x＝﹣1．（1）求此抛物线的解析式；（2）直线x＝m（在A、B之间）交抛物线于M点，交直线AB于N，用m表示线段MN的长．（3）若点P是抛物线上点A与点B之间的动点（不包括点A，点B），求△P AB的面积的最大值，并求出此时点P的坐标．10．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx﹣4（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣2，0）与点C（8，0）两点，与y轴交于点B，其对称轴与x轴交于点D．（1）直接写出B点的坐标；（2）求该二次函数的解析式；（3）若点P（m，n）是该二次函数图象上的一个动点（其中m＞0，n＜0），连结PB，PD，BD，AB．请问是否存在点P，使得△BDP的面积恰好等于△ADB的面积？若存在请求出此时点P的坐标，若不存在说明理由．11．如图，抛物线y＝ax2+bx（a≠0）与x轴交于原点及点A，且经过点B（4，8），对称轴为直线x＝﹣2，顶点为D．（1）填空：抛物线的解析式为，顶点D的坐标为，直线AB的解析式为；（2）在直线AB左侧抛物线上存在点E，使得∠EBA＝∠ABD，求E的坐标；（3）连接OB，点P为x轴下方抛物线上一动点，过点P作OB的平行线交直线AB于点Q，当S△POQ：S△BOQ ＝1：2时，求出点P的坐标．12．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点且点B（3，0），与y 轴的负半轴交于点C，OB＝OC．（1）求此抛物线的解析式；（2）在（1）的条件下，连接AC，点P为直线BC下方的抛物线上的一点，过点P作PQ∥AC交AB于点Q，交直线BC于点D，若PD＝DQ，求点P的坐标．（3）在（1）的条件下，点D为该抛物线的顶点，过点C作x轴的平行线交抛物线与另一点R，过点R作RH⊥AB于点H，该抛物线对称轴右侧的抛物线上有一点M，连接DM交RH于点Q，当MQ＝2RQ时，求∠MQH的度数．13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+4x+5与y轴交于点A，与x轴的正半轴交于点C．（1）求直线AC解析式；（2）过点A作AD平行于x轴，交抛物线于点D，点F为抛物线上的一点（点F在AD上方），作EF平行于y 轴交AC于点E，当四边形AFDE的面积最大时？求点F的坐标，并求出最大面积；（3）若动点P先从（2）中的点F出发沿适当的路径运动到抛物线对称轴上点M处，再沿垂直于y轴的方向运动到y轴上的点N处，然后沿适当的路径运动到点C停止，当动点P的运动路径最短时，求点N的坐标，并求最短路径长．14．如图1，抛物线y＝﹣x2+2x+3的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，连接BC．（1）求直线BC的解析式；（2）如图2，点P是抛物线在第一象限内的一点，作PQ∥y轴交BC于Q，当线段PQ的长度最大时，在x轴上找一点M，使PM+CM的值最小，求PM+CM的最小值；（3）抛物线的顶点为点E，连接AE，在抛物线上是否存在一点N，使得直线AN与直线AE的夹角为45度，若存在请直接写出满足条件的点N的坐标，若不存在，请说明理由．15．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B两点，与y轴交于点C（0，3），抛物线的顶点在直线x＝1上．（1）求抛物线的解析式；（2）点P为第一象限内抛物线上的一个动点，过点P做PQ∥y轴交BC与点Q，当点P在何位置时，线段PQ 的长度有最大值？（3）点M在x轴上，点N在抛物线对称轴上，是否存在点M，点N，使以点M，N，C，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．16．如图，二次函数y＝﹣+bx+c的图象经过A（﹣2，0），B（0，4）两点．（1）求这个二次函数的解析式，并直接写出顶点D的坐标；（2）若该抛物线与x轴的另一个交点为C，点P为第一象限内抛物线上一点，求P点坐标为多少时，△BCP的面积最大，并求出这个最大面积．（3）在直线CD上有点E，作EF⊥x轴于点F，当以O、B、E、F为顶点的四边形是矩形时，直接写出E点坐标．17．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0），B（8，0）两点，与y轴交于点C，且OC＝2OA，抛物线的对称轴x轴交于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是第一象限内抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，设点P点的横坐标为m，且S△CDP＝S△ABC，求m的值；（3）K是抛物线上一个动点，在平面直角坐标系中是否存在点H，使B、C、K、H为顶点的四边形成为矩形？若存在，直接写出点H的坐标；若不存在，说明理由．18．如图，直线y＝﹣x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝﹣+bx+c经过A，B两点．（1）求抛物线的解析式；（2）点P在抛物线上，点Q在直线AB上，当P，Q关于原点O成中心对称时，求点Q的坐标；（3）点M为直线AB上的动点，点N为抛物线上的动点，当以点O、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点M的坐标．19．如图，已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于A（﹣1，0），B（m，0）两点，与y轴相交于点C（0，﹣3），抛物线的顶点为D．（1）求B、D两点的坐标；（2）若P是直线BC下方抛物线上任意一点，过点P作PH⊥x轴于点H，与BC交于点M，设F为y轴一动点，当线段PM长度最大时，求PH+HF+CF的最小值；（3）在第（2）问中，当PH+HF+CF取得最小值时，将△OHF绕点O顺时针旋转60°后得到△OH′F′，过点F′作OF′的垂线与x轴交于点Q，点R为抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点S，使得点D、Q、R、S为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点S的坐标，若不存在，请说明理由．20．如图，已知直线y＝﹣x+2与两坐标轴分别交于A、B两点，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A、B，点P为直线AB上的一个动点，过P作y轴的平行线与抛物线交于C点，抛物线与x轴另一个交点为D．（1）求图中抛物线的解析式；（2）当点P在线段AB上运动时，求线段PC的长度的最大值；（3）在直线AB上是否存在点P，使得以O、A、P、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出此时点P 的坐标，若不存在，请说明理由．21．如图，直线y＝x+2与抛物线y＝ax2+bx+6相交于A（，）和B（4，m），直线AB交x轴于点E，点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）连结AC、BC，是否存在一点P，使△ABC的面积等于14？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）若△P AC与△PDE相似，求点P的坐标．22．如图1，抛物线的顶点A的坐标为（1，4），抛物线与x轴相交于B，C两点，与y轴交于点D（0，3）．（1）求抛物线的表达式以及点B的坐标；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得DP+CP最小，如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．（3）点Q是线段BD上方抛物线上的一个动点．过点Q作x轴的垂线，交线段BD于点E，再过点Q作QF∥x 轴交抛物线于点F，连结EF，请问是否存在点Q使△QEF为等腰直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．23．如图，抛物线y＝（x+2）2+m与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．点D在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称，抛物线的顶点为M，点B的坐标为（﹣1，0）．（1）求抛物线的解析式及A，C，D的坐标；（2）判断△ABM的形状，并证明你的结论；（3）若点P是直线BD上一个动点，是否存在以P，C，D为顶点的三角形与△ABD相似？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由24．已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（4，0）、B（﹣2，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点D为第四象限抛物线上一点，设点D的横坐标为m，四边形ABCD的面积为S，求S与m的函数关系式，并求S的最值；（3）点P在抛物线的对称轴上，且∠BPC＝45°，请直接写出点P的坐标．25．如图，在平面直角坐标系中抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于点A（﹣2，0）、B（4，0），交y轴于点C（0，﹣3）．（1）求抛物线的解析式；（2）动点D在第四象限且在抛物线上，当△BCD面积最大时，求点D坐标，并求△BCD面积的最大值；（3）抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使得∠QBC＝45°，如果存在，直接写出点Q坐标，不存在，请说明理由．26．已知：如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，﹣3），该抛物线的顶点为M．（1）求点A、B的坐标以及c的值．（2）求直线BM的函数解析式．（3）试说明：点C在以BM为直径的圆上．（4）在抛物线上是否存在点P，使直线CP把△BCM分成面积相等的两部分？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．27．如图，直线l：y＝﹣3x+8与x轴、y轴分别相交于A、B两点，抛物线y＝ax2﹣2ax+a+9（a＜0）经过点B．（1）求a的值，并写出抛物线的表达式；（2）已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，连接AM、BM，①当点M（2，n）时，求n，并求△ABM的面积．②当点M的横坐标为m，△ABM的面积为S，求S与m的函数表达式，并求出S的最大值和此时点M的坐标．28．如图1，已知抛物线y＝﹣x2+2x+c与x轴交于A、B两点，其中点A（﹣1，0），抛物线与y轴交于点C，顶点为D．（1）如图2，直线l是抛物线的对称轴，点P是直线l上一动点，是否存在点P，使△PBC是直角三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．（2）如图3，连接BC，点M是直线BC上方的抛物线上的一个动点，当△MBC的面积最大时，求△MBC的面积的最大值；点N是线段BC上的一点，求MN+BN的最小值．29．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣3，0）、B（8，0）、C（0，4）三点，点D是抛物线上的动点，连结AD与y轴相交于点E，连结AC，CD．（1）求抛物线所对应的函数表达式；（2）当AD平分∠CAB时，①求直线AD所对应的函数表达式；②设P是x轴上的一个动点，若△P AD与△CAD相似，求点P的坐标．30．如图，抛物线y＝ax2+bx过A（4，0），B（1，3）两点．（1）求该抛物线的解析式；（2）点P是抛物线上一点，且位于第一象限，当△ABP的面积为3时，求出点P的坐标；（3）过B作BC⊥OA于C，连接OB，点G是抛物线上一点，当∠BAG+∠OBC＝∠BAO时，请直接写出此时点G的坐标．31．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，且抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴交于点B．（1）若直线y＝mx+n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴x＝﹣1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标：（3）在抛物线上存在点P，使得△APB的面积与△ACB的面积相等，求点P的坐标．32．如图1，已知抛物线；C1：y＝﹣（x+2）（x﹣m）（m＞0）与x轴交于点B、C（点B在点C的左侧），与y 轴交于点E．（1）求点B、点C的坐标；（2）当△BCE的面积为6时，若点G的坐标为（0，b），在抛物线C1的对称轴上是否存在点H，使得△BGH 的周长最小，若存在，则求点H的坐标（用含b的式子表示）；若不存在，则请说明理由；（3）在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．33．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C直线y＝﹣x+2经过点B，C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是直线BC上方抛物线上一动点，设点P的横坐标为m．①求△PBC面积最大值和此时m的值；②Q是直线BC上一动点，是否存在点P，使以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在，直接写出点P的坐标．34．如图，平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+4与x轴交于A、B两点，A左B右（AO＜BO），交y轴于C，AB＝10，∠ACB＝90°．（1）求抛物线解析式；（2）点P在第一象限中的抛物线上，PQ⊥AB于Q，交CB于T，设P点横坐标为t，PT的长为d，求出d与t 的函数解析式；（3）在（2）条件下，过C作x轴的平行线交抛物线于D，交PQ于F，连DQ，延长CP、QD交于R点，若CR＝QR，求R点坐标．35．如图，抛物线C1的图象与x轴交A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，3）点D为抛物线的顶点．（1）求抛物线C1的解析式；（2）将抛物线C1关于直线x＝1对称后的抛物线记为C2，将抛物线C1关于点B对称后的抛物线记为C3，点E 为抛物线C3的顶点，在抛物线C2的对称轴上是否存在点F，使得△BEF为等腰三角形？若存在请求出点F的坐标，若不存在请说明理由．36．如图，对称轴x＝﹣1的抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（2，0），B两点，与y轴交于点C（0，﹣2），（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点P是直线BC下方的抛物线上的动点，求△BPC的面积的最大值；（3）若点P在抛物线对称轴的左侧运动，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E，且PE＝OD，求点P的坐标；（4）在对称轴上是否存在一点M，使△AMC的周长最小．若存在，请求出M点的坐标和△AMC周长的最小值；若不存在，请说明理由．37．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点D，点B的坐标为（3，0），顶点C的坐标为（1，4）．（1）求二次函数的解析式和直线BD的解析式；（2）点P是直线BD上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，当点P在第一象限时，求线段PM长度的最大值；（3）在抛物线上是否存在点Q，且点Q在第一象限，使△BDQ中BD边上的高为？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．38．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B和点C的坐标分别为（3，0）、（0，﹣3），抛物线的对称轴为x＝1，D为抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式．（2）点E为线段BC上一动点，过点E作x轴的垂线，与抛物线交于点F，求四边形ACFB面积的最大值，以及此时点E的坐标．（3）抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△PCD为等腰三角形？若存在，写出点P点的坐标；若不存在，说明理由．39．已知抛物线C1：y＝ax2﹣2ax﹣3a﹣2（a＞0），直线l：y＝﹣x+b．（1）如图1，若抛物线C1的顶点为D（1，﹣6），直线l与C1交于两点H、Q，∠HDQ＝45°．①求抛物线C1的解析式；②求b的值；（2）如图2，将抛物线C1向上平移2个单位得抛物线C2，直线l与C2交于两点M、N（M在N左侧），E为MN中点，点P为y轴左侧抛物线上一动点，过E点作x轴的垂线分别交直线MP、NP、抛物线C2于G、F、H，求线段FH与GH的数量关系．40．如图，抛物线的顶点P（m，1）（m＞0），与y轴的交点C（0，m2+1）．（1）求抛物线的解析式（用含m的式子表示）（2）点N（x，y）在该抛物线上，NH⊥直线y＝于点H，点M（m，）且∠NMH＝60°．①求证：△MNH是等边三角形；②当点O、P、N在同一直线上时，求m的值．41．如图，已知直线y＝x+4交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A、B．（1）求抛物线解析式；（2）点C（m，0）是x轴上异于A、O点的一点，过点C作x轴的垂线交AB于点D，交抛物线于点E．①当点E在直线AB上方的抛物线上时，连接AE、BE，求S△ABE的最大值；②当DE＝AD时，求m的值．42．如图，已知在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+与x轴交于点A，与y轴交于点B，点F是点B关于x轴的对称点，抛物线y＝x2+bx+c经过点A和点F，与直线AB交于点C．（1）求b和c的值；（2）点P是直线AC下方的抛物线上的一动点，连结P A，PB．求△P AB的最大面积及点P到直线AC的最大距离；（3）点Q是抛物线上一点，点D在坐标轴上，在（2）的条件下，是否存在以A，P，D，Q为顶点且AP为边的平行四边形，若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．43．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B两点，与y轴交于点C（0，3），抛物线的顶点在直线x＝1上．（1）求抛物线的解析式；（2）点P为第一象限内抛物线上的一个动点，过点P做PQ∥y轴交BC于点Q，求线段PQ长度的最大值，及此时点P的坐标；（3）点M在x轴上，点N在抛物线的对称轴上，若以点M，N，C，B为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点M的坐标．44．如图，二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，顶点为D．（1）写出A、B、D三点的坐标；（2）若P（0，t）（t＜﹣1）是y轴上一点，Q（﹣5，0），将点Q绕着点P顺时针方向旋转90°得到点E．当点E恰好在该二次函数的图象上时，求t的值；（3）在（2）的条件下，连接AD、AE．若M是该二次函数图象上一点，且∠DAE＝∠MCB，求点M的坐标．45．如图，在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，抛物线y＝a（x+3）（x﹣1）（a＞0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）．（1）求点A与点B的坐标；（2）若a＝，点M是抛物线上一动点，若满足∠MAO不大于45°，求点M的横坐标m的取值范围．（3）经过点B的直线l：y＝kx+b与y轴正半轴交于点C．与抛物线的另一个交点为点D，且CD＝4BC．若点P 在抛物线对称轴上，点Q在抛物线上，以点B，D，P，Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．46．如图，已知抛物线y＝﹣+bx+c的图象经过点A（﹣1，0）和点C（0，2），点D与点C关于x轴对称，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q，交直线BD于点M．（1）求该抛物线所表示的二次函数的表达式；（2）已知点F（0，），当点P在x轴正半轴上运动时，试求m为何值时，四边形DMQF是平行四边形？（3）点P在线段AB运动过程中，是否存在点Q，使得以点B、Q、M为顶点的三角形与△BOD相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．47．如图，直线y＝x﹣2与x轴交于点B，与y轴交于点A，抛物线y＝ax2﹣x+c经过A，B两点，与x轴的另一交点为C．（1）求抛物线的解析式；（2）M为抛物线上一点，直线AM与x轴交于点N，当＝时，求点M的坐标；（3）P为抛物线上的动点，连接AP，当∠P AB与△AOB的一个内角相等时，直接写出点P的坐标．48．如图，抛物线y＝﹣+bx+c交x轴于点A、B（A在B左侧），交y轴于点C，直线y＝﹣x+6经过点B、C．（1）求抛物线解析式；（2）点P为第一象限抛物线上一点，连接P A交BC于点D，设点P的横坐标为t，的值为d，求d与t的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；（3）在（2）的条件下，点E为线段OB上一点，连接CE，过点O作CE的垂线交BC于点G，连接PG并延长交OB于点F，若∠OGC＝∠BGF，F为BE中点，求t的值．49．如图，已知直线y＝x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A、B两点，与x轴交于另一个点C，对称轴与直线AB交于点E，抛物线顶点为D．（1）点A的坐标为，点B的坐标为．（2）①求抛物线的解析式；②直线AB与抛物线的对称轴交于点E，在x轴上是否存在点M，使得ME+MB最小，求出点M的坐标．（3）点P从点D出发，沿对称轴向下以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设运动的时间为t秒，当t为何值时，以P、B、C为顶点的三角形是等腰三角形？直接写出所有符合条件的t值．50．定义：在平面直角坐标系中，如果点M（m，n）和N（n，m）都在某函数的图象l上，则称点M、N是图象l 的一对“相关点”．例如，点M（1，2）和点N（2，1）是直线y＝﹣x+3的一对相关点．（1）请写出反比例函数y＝的图象上的一对相关点的坐标；（2）如图，抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为直线x＝1，与y轴交于点C（0，﹣1）．①求抛物线的解析式；②若点M、N是抛物线y＝x2+bx+c上的一对相关点，直线MN与x轴交于点A（1，0），点P为抛物线上M、N 之间的一点，求△PMN面积的最大值．。

二次函数综合测评卷(含答案)

二次函数综合测评卷一、选择题(每题3分，共30分) 1.下列各式中，y 是x 的二次函数的是( ).A.x 2+2y 2=2B.x =y 2C.3x 2－2y =1D.21x +2y －3=0 2.对于二次函数y =(x －1)2+3的图象，下列说法正确的是( ). A.开口向下 B.对称轴是直线x =－1 C.顶点坐标是(1，3) D.与x 轴有两个交点（第3题）3.如图所示，一边靠墙(墙有足够长)，其他三边用12m 长的篱笆围成一个矩形(ABCD )花园，这个矩形花园的最大面积是( ).A.16m 2B.12m 2C.18m 2D.以上都不对 4.如果抛物线y =mx 2+(m －3)x －m +2经过原点，那么m 的值等于( ). A.0 B.1 C.2 D.3 5.如图所示，直线x =1是抛物线y =ax 2+bx +c 的对称轴，那么有( ). A.abc ＞0 B.b ＜a +c C.a +b +c ＜0 D.c ＜2b(第5题) (第6题) (第7题) (第8题)6.已知二次函数的图象(0≤x ≤3)如图所示.关于该函数在所给自变量的取值范围内，下列说法中正确的是( ).A.有最小值0，有最大值3B.有最小值－1，有最大值0C.有最小值－1，有最大值3D.有最小值－1，无最大值7.如图所示，抛物线y =ax 2+bx +c 的顶点为点P (－2，2)，与y 轴交于点A (0，3).若平移该抛物线使其顶点P 由(－2，2)移动到(1，－1)，此时抛物线与y 轴交于点A ′，则AA ′的长度为( ). A.343 B.241C.32D.3 8.如图所示，某建筑物有一抛物线形的大门，小强想知道这道门的高度，他先测出门的宽度AB =8m ，然后用一根长4m 的小竹竿CD 竖直地接触地面和门的内壁，测得AC =1m ，则门高OE 为( ).A.9mB.764m C.8.7m D.9.3m 9.已知二次函数y =x 2+bx +c 与x 轴只有一个交点，且图象过A (x 1，m )，B (x 1+n ，m )两点，则m ，n 满足的关系为( ). A.m =21n B.m =41n C.m =21n 2 D.m =41n 2 10.已知二次函数y =－(x －1)2+5，当m ≤x ≤n 且mn ＜0时，y 的最小值为2m ，最大值为2n ，则m +n 的值为( ). A.25 B.2 C. 23 D. 21二、填空题(每题4分，共24分)11.如果某个二次函数的图象经过平移后能与y =3x 2的图象重合，那么这个二次函数的表达式可以是 (只要写出一个)．12.如图所示，抛物线y =ax 2+bx +c (a ＞0)的对称轴是过点(1，0)且平行于y 轴的直线.若点P (5，0)在抛物线上，则9a －3b +c 的值为 .（第12题）（第13题） (第14题) (第15题)13.如图所示，抛物线y =ax 2+bx +c 与x 轴相交于点A ，B (m +2，0),与y 轴相交于点C ，点D 在该抛物线上，坐标为(m ，c )，则点A 的坐标是 .14.如图所示，将两个正方形并排组成矩形OABC ，OA 和OC 分别落在x 轴和y 轴的正半轴上.正方形EFMN 的边EF 落在线段CB 上，过点M ，N 的二次函数的图象也过矩形的顶点B ，C ，若三个正方形边长均为1，则此二次函数的表达式为．15.某种工艺品利润为60元/件，现降价销售，该种工艺品销售总利润w (元)与降价x (元)的函数关系如图所示.这种工艺品的销售量y （件）关于降价x （元）的函数表达式为． 16.已知抛物线y =a (x －1)（x +a2）的图象与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ，若△ABC 为等腰三角形，则a 的值是．三、解答题(共66分)17.(6分)已知抛物线的顶点坐标是(2，－3)，且经过点（1，－25）． (1)求这个抛物线的函数表达式，并作出这个函数的大致图象．(2)当x 在什么范围内时，y 随x 的增大而增大？当x 在什么范围内时，y 随x 的增大而减小？18.(8分)今有网球从斜坡点O 处抛出，网球的运动轨迹是抛物线y =4x －21x 2的图象的一段，斜坡的截线OA 是一次函数y =21x 的图象的一段，建立如图所示的平面直角坐标系．(第18题)(1)求网球抛出的最高点的坐标．(2)求网球在斜坡上的落点A 的竖直高度．19.(8分)若直线y =x +3与二次函数y =－x 2+2x +3的图象交于A ，B 两点，(1)求A ，B 两点的坐标． (2)求△OAB 的面积．(3)x 为何值时，一次函数的值大于二次函数的值？20.（10分）随着地铁和共享单车的发展，“地铁+单车”已成为很多市民出行的选择，李华从文化宫站出发，先乘坐地铁，准备在离家较近的A ，B ，C ，D ，E 中的某一站出地铁，再骑共享单车回家，设他出地铁的站点与文化宫的距离为x (km )，乘坐地铁的时间y 1(min )是关于x 的一次函数，其关系如下表所示：1(2)李华骑单车的时间也受x 的影响，其关系可以用y 2=21x 2－11x +78来描述，请问：李华应选择在那一站出地铁，才能使他从文化宫回到家所需的时间最短？并求出最短时间.21.（10分）已知二次函数y =ax 2+bx +21(a ＞0，b ＜0)的图象与x 轴只有一个公共点A. (1)当a =21时，求点A 的坐标. (2)过点A 的直线y =x +k 与二次函数的图象相交于另一点B ，当b ≥－1时，求点B 的横坐标m 的取值范围.22.(12分)设函数y =kx 2+(2k +1)x +1(k 为实数)．(1)写出符合条件的两个函数，使它们的图象不全是抛物线，并在同一平面直角坐标系内，用描点法画出这两个函数的图象．(2)根据所画的函数图象，提出一个对任意实数k ，函数的图象都具有的特征的猜想，并给予证明．(3)对任意负实数k ，当x <m 时，y 随着x 的增大而增大，试求出m 的一个值．23.(12分)如图1所示，点P (m ，n )是抛物线y =41x 2－1上任意一点，l 是过点(0，－2)且与x 轴平行的直线，过点P 作直线PH ⊥l ，垂足为点H ．【特例探究】(1)当m =0时，OP = ，PH = ；当m =4时，OP =，PH = ．【猜想验证】(2)对任意m ，n ，猜想OP 与PH 的大小关系，并证明你的猜想．【拓展应用】(3)如图2所示，图1中的抛物线y =41x 2－1变成y =x 2－4x +3，直线l 变成y =m (m ＜－1).已知抛物线y =x 2－4x +3的顶点为点M ，交x 轴于A ，B 两点，且点B 坐标为(3，0)，N 是对称轴上的一点，直线y =m (m ＜－1)与对称轴交于点C ，若对于抛物线上每一点都满足：该点到直线y =m 的距离等于该点到点N 的距离．①用含m 的代数式表示MC ，MN 及GN 的长，并写出相应的解答过程. ②求m 的值及点N 的坐标．(第23题)二次函数综合测评卷一、选择题(每题3分，共30分) 1.下列各式中，y 是x 的二次函数的是(C ).A.x 2+2y 2=2B.x =y 2C.3x 2－2y =1D.21x+2y －3=0 2.对于二次函数y =(x －1)2+3的图象，下列说法正确的是(C ). A.开口向下 B.对称轴是直线x =－1 C.顶点坐标是(1，3) D.与x 轴有两个交点（第3题）3.如图所示，一边靠墙(墙有足够长)，其他三边用12m 长的篱笆围成一个矩形(ABCD )花园，这个矩形花园的最大面积是(C ).A.16m 2B.12m 2C.18m 2D.以上都不对 4.如果抛物线y =mx 2+(m －3)x －m +2经过原点，那么m 的值等于(C ). A.0 B.1 C.2 D.3 5.如图所示，直线x =1是抛物线y =ax 2+bx +c 的对称轴，那么有(D ). A.abc ＞0 B.b ＜a +c C.a +b +c ＜0 D.c ＜2b(第5题) (第6题) (第7题) (第8题)6.已知二次函数的图象(0≤x ≤3)如图所示.关于该函数在所给自变量的取值范围内，下列说法中正确的是(C ).A.有最小值0，有最大值3B.有最小值－1，有最大值0C.有最小值－1，有最大值3D.有最小值－1，无最大值7.如图所示，抛物线y =ax 2+bx +c 的顶点为点P (－2，2)，与y 轴交于点A (0，3).若平移该抛物线使其顶点P 由(－2，2)移动到(1，－1)，此时抛物线与y 轴交于点A ′，则AA ′的长度为(A ). A.343 B.241C.32D.3 8.如图所示，某建筑物有一抛物线形的大门，小强想知道这道门的高度，他先测出门的宽度AB =8m ，然后用一根长4m 的小竹竿CD 竖直地接触地面和门的内壁，测得AC =1m ，则门高OE 为(B ).A.9mB.764m C.8.7m D.9.3m 9.已知二次函数y =x 2+bx +c 与x 轴只有一个交点，且图象过A (x 1，m )，B (x 1+n ，m )两点，则m ，n 满足的关系为(D ). A.m =21n B.m =41n C.m =21n 2 D.m =41n 2 10.已知二次函数y =－(x －1)2+5，当m ≤x ≤n 且mn ＜0时，y 的最小值为2m ，最大值为2n ，则m +n 的值为(D ). A.25 B.2 C. 23 D. 21（第10题答图）【解析】二次函数y =－(x －1)2+5的大致图象如答图所示：①当m ≤0≤x ≤n ＜1时，当x =m 时y 取最小值，即2m =－(m －1)2+5，解得m =－2或m =2(舍去).当x =n 时y 取最大值，即2n =－(n －1)2+5，解得n =2或n =－2(均不合题意，舍去).②当m ≤0≤x ≤1≤n 时，当x =m 时y 取最小值，由①知m =－2.当x =1时y 取最大值，即2n =－(1－1)2+5，解得n =25，或x =n 时y 取最小值，x =1时y 取最大值，2m =－(n －1)2+5，n =25，∴m =811.∵m ＜0，∴此种情形不合题意.∴m +n =－2+25=21.故选D. 二、填空题(每题4分，共24分)11.如果某个二次函数的图象经过平移后能与y =3x 2的图象重合，那么这个二次函数的表达式可以是 y =3（x +2）2+3 (只要写出一个)．12.如图所示，抛物线y =ax 2+bx +c (a ＞0)的对称轴是过点(1，0)且平行于y 轴的直线.若点P (5，0)在抛物线上，则9a －3b +c 的值为 0 .（第12题）（第13题） (第14题) (第15题)13.如图所示，抛物线y =ax 2+bx +c 与x 轴相交于点A ，B (m +2，0),与y 轴相交于点C ，点D 在该抛物线上，坐标为(m ，c )，则点A 的坐标是 (－2,0) .14.如图所示，将两个正方形并排组成矩形OABC ，OA 和OC 分别落在x 轴和y 轴的正半轴上.正方形EFMN 的边EF 落在线段CB 上，过点M ，N 的二次函数的图象也过矩形的顶点B ，C ，若三个正方形边长均为1，则此二次函数的表达式为 y =－34x 2+38x +1 ． 15.某种工艺品利润为60元/件，现降价销售，该种工艺品销售总利润w (元)与降价x (元)的函数关系如图所示.这种工艺品的销售量y （件）关于降价x （元）的函数表达式为 y =60+x ． 16.已知抛物线y =a (x －1)（x +a2）的图象与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ，若△ABC 为等腰三角形，则a 的值是 2或34或251 ．三、解答题(共66分)17.(6分)已知抛物线的顶点坐标是(2，－3)，且经过点（1，－25）． (1)求这个抛物线的函数表达式，并作出这个函数的大致图象．(2)当x 在什么范围内时，y 随x 的增大而增大？当x 在什么范围内时，y 随x 的增大而减小？【答案】(1)设抛物线的函数表达式为y =a （x －2）2－3，把(1,－ 25)代入,得－25=a －3，即a =21. ∴抛物线的函数表达式为y =21x 2－2x －1.图略. (2)∵抛物线对称轴为直线x =2,且a >0,∴当x ≥2时，y 随x 的增大而增大；当x ≤2时，y 随x 的增大而减小.18.(8分)今有网球从斜坡点O 处抛出，网球的运动轨迹是抛物线y =4x －21x 2的图象的一段，斜坡的截线OA 是一次函数y =21x 的图象的一段，建立如图所示的平面直角坐标系．(第18题)(1)求网球抛出的最高点的坐标．(2)求网球在斜坡上的落点A 的竖直高度．【答案】(1)∵y =4x －21x 2=－21（x －4）2+8，∴网球抛出的最高点的坐标为（4，8）. (2)由题意得4x －21x 2=21x ,解得x =0或x =7.当x =7时，y =21×7=27.∴网球在斜坡的落点A的垂直高度为27.19.(8分)若直线y =x +3与二次函数y =－x 2+2x +3的图象交于A ，B 两点， (1)求A ，B 两点的坐标． (2)求△OAB 的面积．(3)x 为何值时，一次函数的值大于二次函数的值？【答案】(1)由题意得⎩⎨⎧++-=+=3232x x y x y ，解得⎩⎨⎧==30y x 或⎩⎨⎧==41y x .∴A ，B 两点的坐标分别为（0，3），（1，4）.(2)∵A ，B 两点的坐标是（0，3），（1，4），∴OA =3，OA 边上的高线长是1.∴S △OAB =21×3×1=23. (3)当x ＜0或x ＞1时，一次函数的值大于二次函数的值.20.（10分）随着地铁和共享单车的发展，“地铁+单车”已成为很多市民出行的选择，李华从文化宫站出发，先乘坐地铁，准备在离家较近的A ，B ，C ，D ，E 中的某一站出地铁，再骑共享单车回家，设他出地铁的站点与文化宫的距离为x (km )，乘坐地铁的时间y 1(min )是关于x 的一次函数，其关系如下表所示：(1)求y 1关于x 的函数表达式.(2)李华骑单车的时间也受x 的影响，其关系可以用y 2=21x 2－11x +78来描述，请问：李华应选择在那一站出地铁，才能使他从文化宫回到家所需的时间最短？并求出最短时间.【答案】(1)设y 1=kx +b ，将(8，18)，(9，20)代入，得⎩⎨⎧=+=+209188b k b k ,解得⎩⎨⎧==22b k .∴y 1关于x的函数表达式为y 1=2x +2.(2)设李华从文化宫回到家所需的时间为y .则y =y 1+y 2=2x +2+21x 2－11x +78=21x 2－9x +80.∴当x =9时，y 有最小值，y min =2149802142⨯-⨯⨯=39.5.∴李华应选择在B 站出地铁，才能使他从文化宫回到家所需的时间最短，最短时间为39.5min . 21.（10分）已知二次函数y =ax 2+bx +21(a ＞0，b ＜0)的图象与x 轴只有一个公共点A. (1)当a =21时，求点A 的坐标. (2)过点A 的直线y =x +k 与二次函数的图象相交于另一点B ，当b ≥－1时，求点B 的横坐标m 的取值范围.【答案】(1)∵二次函数y =ax 2+bx +21 (a ＞0，b ＜0)的图象与x 轴只有一个公共点A ，∴Δ=b 2－4a ×21=b 2－2a =0.∵a =21，∴b 2=1.∵b ＜0，∴b =－1.∴二次函数的表达式为y =21x 2－x +21.当y =0时，21x 2－x +21=0，解得x 1=x 2=1，∴A (1，0). (2)∵b 2=2a ，∴a =21b 2，∴y =21b 2x 2+bx +21=21 (bx +1)2.当y =0时，x =－b 1，∴A （－b 1，0）.将点A （－b 1,0）代入y =x +k ，得k =b 1.由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=++=b x y bx x b y 1212122消去y 得21b 2x 2+(b －1)x +21－b 1=0，解得x 1=－b 1，x 2=22b b -.∵点A 的横坐标为－b 1，∴点B 的横坐标m =22bb -.∴m =22b b -=2（21b －b 21）=2（b 1－41）2－81.∵2＞0，∴当b 1＜41时，m 随b 1的增大而减小.∵－1≤b ＜0，∴b 1≤－1.∴m ≥2×（－1－41）2－81=3，即m ≥3. 22.(12分)设函数y =kx 2+(2k +1)x +1(k 为实数)．(1)写出符合条件的两个函数，使它们的图象不全是抛物线，并在同一平面直角坐标系内，用描点法画出这两个函数的图象．(2)根据所画的函数图象，提出一个对任意实数k ，函数的图象都具有的特征的猜想，并给予证明．(3)对任意负实数k ，当x <m 时，y 随着x 的增大而增大，试求出m 的一个值．【答案】(1)如：y =x +1,y =x 2+3x +1，图略.(2)不论k 取何值，函数y =kx 2+(2k +1)x +1的图象必过定点(0,1),(－2,－1)，且与x 轴至少有1个交点.证明如下：由y =kx 2+(2k +1)x +1，得k (x 2+2x )+(x －y +1)=0.当x 2+2x =0,x －y +1=0，即x =0,y =1，或x =－2,y =－1时，上式对任意实数k 都成立，∴函数的图象必过定点(0,1),(－2,－1).∵当k =0时，函数y =x +1的图象与x 轴有一个交点；当k ≠0时，Δ=(2k +1)2－4k =4k 2+1>0，函数图象与x 轴有两个交点,∴函数y =kx 2+(2k +1)x +1的图象与x 轴至少有1个交点.(3)只要写出的m ≤－1就可以.∵k <0，∴函数y =kx 2+(2k +1)x +1的图象在对称轴直线x =－k k 212+的左侧，y 随x 的增大而增大.由题意得m ≤－k k 212+.∵当k <0时，k k 212+=－1－k 21>－1.∴m ≤－1.23.(12分)如图1所示，点P (m ，n )是抛物线y =41x 2－1上任意一点，l 是过点(0，－2)且与x 轴平行的直线，过点P 作直线PH ⊥l ，垂足为点H ．【特例探究】(1)当m =0时，OP = 1 ，PH = 1 ；当m =4时，OP = 5 ，PH = 5 ．【猜想验证】(2)对任意m ，n ，猜想OP 与PH 的大小关系，并证明你的猜想．【拓展应用】(3)如图2所示，图1中的抛物线y =41x 2－1变成y =x 2－4x +3，直线l 变成y =m (m ＜－1).已知抛物线y =x 2－4x +3的顶点为点M ，交x 轴于A ，B 两点，且点B 坐标为(3，0)，N 是对称轴上的一点，直线y =m (m ＜－1)与对称轴交于点C ，若对于抛物线上每一点都满足：该点到直线y =m 的距离等于该点到点N 的距离．①用含m 的代数式表示MC ，MN 及GN 的长，并写出相应的解答过程.②求m 的值及点N 的坐标．(第23题)【答案】 (1)1，1，5，5.(2)猜想：OP =PH .证明：设PH 交x 轴于点Q ∵P 在y =41x 2－1上，∴P （m ，41m 2－1），PQ =∣41m 2－1∣，OQ =|m |.∵△OPQ 是直角三角形，∴OP =22OQ PQ +=222141m m +⎪⎭⎫ ⎝⎛+=22141⎪⎭⎫ ⎝⎛+m =14m 2+1.∵PH =yp －（－2）=（41m 2－1）－（－2）=41m 2+1，∴OP =PH . (3)①∵M （2，－1），∴CM =MN =－m －1.GN =CG －CM －MN =－m －2（－m －1）=2+m .②点B 的坐标是（3，0），BG =1，GN =2+m .由勾股定理得BN =22GN BG +=()2221m ++.∵对于抛物线上每一点都有：该点到直线y =m 的距离等于该点到点N 的距离，∴1+（2+m ）2=（－m ）2,解得m =－45. ∵GN =2+m =2－45=43，∴N （2，－43）.。

二次函数综合题

二次函数综合题类型一㊀对称性㊁增减性问题1.已知二次函数y =ax 2-2ax.(1)二次函数图象的对称轴是直线x =㊀;(2)当0ɤx ɤ3时,y 的最大值与最小值的差为4,求该二次函数的表达式;(3)若a <0,对于二次函数图象上的两点P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),当t ɤx 1ɤt +1,x 2ȡ3时,均满足y 1ȡy 2,请结合函数图象,直接写出t 的取值范围.(2)当=解:(1)a 1>;0时,ȵ该函数图象的对称轴为直线x 1,ʑ当x =1时,y 有最小值为-a ,当x =3时,y 有最大值为3a ,ʑ3a -(-a )=4,ʑa =1,ʑ二次函数的表达式为y =x 2-2x.当a <0时,同理可得,y 有最大值为-a ;y 有最小值为3a ,ʑ-a -3a =4,ʑa =-1,ʑ二次函数的表达式为y=-x2+2x,综上所述,该二次函数的表达式为y=x2-2x或y=-x2+2x;(3)-1ɤtɤ2.ʌ解法提示ɔȵa<0,该函数图象的对称轴为直线x=1,ʑx<1时,y随x的增大而增大,x>1时,y随x的增大而减小,x=-1和x=3时的函数值相等.ȵtɤx1ɤt+1,x2ȡ3时,均满足y1ȡy2,ʑtȡ-1,t+1ɤ3,ʑ-1ɤtɤ2.2.在平面直角坐标系xOy中,点(m-2,y1),(m, y2),(2-m,y3)在抛物线y=x2-2ax+1上,其中mʂ1且mʂ2.(1)求出该抛物线的对称轴(用含a的式子表示);(2)当m=0时,若y1=y3,比较y1与y2的大小关系,并说明理由;(3)若存在大于1的实数m,使y1>y2>y3,求a的取值范围.解:(1)ȵy=x2-2ax+1,ʑ抛物线对称轴为直线x=--2a2=a; (2)y1>y2.理由如下:ȵm=0,y1=y3,ʑ点(-2,y1)与点(2,y3)关于抛物线对称轴对称,ʑ抛物线对称轴为直线x=-2+22=0,即a=0,ʑy=x2+1,ʑ抛物线开口向上,顶点坐标为(0,1),ʑy2=1为函数最小值,ʑy1>y2;(3)将(m-2,y1),(m,y2),(2-m,y3)分别代入y=x2-2ax+1,得y1=m2-4m-2am+4a+5,y2=m2-2am+1,y3= m2-4m+2am-4a+5,ȵy1>y2>y3,ʑm2-4m-2am+4a+5>m2-2am+1>m2-4m+ 2am-4a+5,解得m-1<a<1.ȵm>1,ʑ0<a<1.3.已知抛物线y=2x2-4mx+2m2-1.(1)求该抛物线的顶点坐标;(2)若直线y =n 与该抛物线交于点A ,B ,且AB=2,求n 的值;(3)若抛物线y =2x 2-4mx +2m 2-1经过点P (t ,y 1),Q (t +1,y 2),y 1y 2<0,求y 1的取值范围.解:(1)ȵy =2x 2-4mx +2m 2-1=2(x -m )2-1,ʑ该抛物线顶点坐标为(m ,-1);(2)ȵAB =2,抛物线对称轴为直线x =m ,1,n ),(m +1,n )ʑ抛物线与直线y =n 的两个交点坐标为(m -,将(m +1,n )代入y =2(x -m )2-1得n =2-1=1;(3)ȵ抛物线y =2(x -m )2-1,a =2>0,ʑ抛物线开口向上,对称轴为直线x =m ,令2(x -m )2-1=0,解得x 1=m -22,x 2=m +22,ʑx 2-x 1=2>1.ȵy 1y 2<0,ʑy 1<0,y 2>0或y 1>0,y 2<0,如解图①,当y 1<0,y 2>0时,t <m +22<t +1,ʑm+22-1<t<m+22,第3题解图①当t=m时,y1取最小值为-1,ʑ-1ɤy1<0,如解图②,当y第3题解图②t<m-22<t+1,ʑm-22-1<t<m-22,将t=m-22-1代入y=2(x-m)2-1得y=2(m-22-1-m)2-1=2+22,ʑ0<y1<2+22,综上所述,-1ɤy1<0或0<y1<2+22.类型二㊀公共点问题考向一㊀定抛物线与动线段1.如图,已知直线y =2x +1与抛物线y =2x 2+bx +c 交于点A (0,1),B (3,7),点C (4,m )在该直线上.(1)求该抛物线的顶点坐标;(2)将线段AC 沿着y 轴向上或向下平移,使平移后的线段AᶄCᶄ(点Aᶄ,Cᶄ分别为点A ,C 的对应点)与该抛物线只有一个公共点,设点Aᶄ的纵坐标为n ,求n 的取值范围.解:(1)将点A (0,1),B (3,7)代入y =2x 2+bx +c ,得c =1,2ˑ32+3b +c =7,{解得b =-4,c =1,{ʑy =2x 2-4x +1=2(x -1)2-1,ʑ该抛物线的顶点坐标为(1,-1);(2)将C(4,m)代入y=2x+1得,m=2ˑ4+1=9,ʑC(4,9),当x=4时,y=2x2-4x+1=2ˑ42-4ˑ4+1=17.①若线段AC向上平移,当线段AC向上平移17 -9=8个单位时,线段AᶄCᶄ与抛物线有一个交点Cᶄ(4,17),此时点Aᶄ的坐标为(0,9).若向上平移超过8个单位,则抛物线与线段AᶄCᶄ没有交点,ʑ1<nɤ9;②若线段AC向下平移,设线段AC向下平移a个单位,令2x+1-a=2x2-4x+1,整理得2x2-6x+a=0,令(-6)2-4ˑ2a=0,解得a=92,ʑn=1-92=-72,综上所述,n的取值范围为1<nɤ9或n=-72.2.在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+4x+c(a ʂ0)经过点A (3,-4)和B (0,2).(1)求抛物线的表达式和顶点坐标;(2)将抛物线在A ,B 之间的部分记为图象M (含A ,B 两点).将图象M 沿直线x =3翻折,得到图象N.若过点C (9,4)的直线y =kx +b 与图象M ㊁图象N 都相交,且只有两个交点,求b 的取值范围.解:(1)将点A (3,-4)和B (0,2)代入抛物线y =ax 2+4x +c (a ʂ0),可得9a +12+c =-4,c =2,{解得a =-2,c =2,{ʑ抛物线的表达式为y =-2x 2+4x +2.ȵy =-2x 2+4x +2=-2(x -1)2+4,ʑ抛物线的顶点坐标为(1,4);(2)设点B (0,2)关于x =3的对称点为Bᶄ,则点Bᶄ(6,2).如解图,若直线y =kx +b 经过点C (9,4)和Bᶄ(6,2),可得b =-2.若直线y =kx +b 经过点C (9,4)和A (3,-4),可得b =-8.当直线y =kx +b 平行x 轴时,b =4,综上所述,第2题解图考向二㊀动抛物线与定线段(直线) 1.已知:抛物线y=x2-2x+3a+1(a为常数).(1)当a=1时,求该抛物线的顶点坐标;(2)抛物线上有两点M(-1,yM ),N(2,yN),请比较y M与y N的大小;(3)在平面直角坐标系中,若该抛物线在xɤ3的部分与直线y=2x-3有两个交点,求a的取值范围.解:(1)当a=1时,抛物线为y=x2-2x+4=(x-1)2+3,则该抛物线的顶点坐标为(1,3);(2)由题意易知抛物线的对称轴为直线x= --22ˑ1=1,ȵ抛物线开口向上,且1-(-1)=2,2-1=1,2>1,ʑy M>y N;(3)ȵ二次函数的图象在xɤ3的部分与一次函数y=2x-3的图象有两个交点,令x2-2x+3a+1=2x-3,整理得x2-4x+3a+4=0,由根的判别式得16-4(3a+4)>0,解得a<0,把x=3代入y=2x-3,得y=3ˑ2-3=3,把(3,3)代入y=x2-2x+3a+1得3=9-6+3a+1,解得a=-13,ʑa的取值范围为-13ɤa<0.2.(2021燕山区二模)在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2-2ax-3a(aʂ0).(1)求抛物线的对称轴及抛物线与y轴交点坐标;(2)已知点B(3,4),将点B向左平移3个单位长度,得到点C.若抛物线与线段BC恰有一个公共点,结合函数的图象,求a的取值范围.解:(1)ȵ抛物线y=ax2-2ax-3a,ʑ抛物线的对称轴是直线x=--2a2a=1,令x=0,则y=-3a,ʑ抛物线与y轴交点坐标为(0,-3a); (2)y=ax2-2ax-3a=a(x2-2x-3)=a(x+1)(x-3),ʑ抛物线与x轴交于点A(-1,0),D(3,0),与y 轴交于点E(0,-3a),顶点坐标是(1,-4a).由题意得点C(0,4),B(3,4),①当a>0时,如解图①,显然抛物线与线段BC 无公共点;②当a<0时,若抛物线顶点在线段BC上,如解图②,则顶点坐标为(1,4),ʑ-4a=4,ʑa=-1;③当a<0时,若抛物线的顶点不在线段BC上,如解图③,ȵ抛物线与线段BC恰有一个公共点,ʑ-3a>4,ʑa<-43,综上所述,a的取值范围是a<-43第2题解图考向三㊀动抛物线与动直线1.(2021西城区一模)在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2-2a2x+1(aʂ0)与y轴交于点A,过点A作x轴的平行线与抛物线交于点B.(1)直接写出抛物线的对称轴;(2)若AB=4,求抛物线所对应的函数解析式;(3)已知点P(a+4,1),Q(0,a+1),如果抛物线与线段PQ恰有一个公共点,结合函数图象,求a的取值范围.解:(1)抛物线的对称轴为直线x=a;ʌ解法提示ɔȵ抛物线y=ax2-2a2x+1(aʂ0),ʑ抛物线的对称轴为直线x=--2a22a=a. (2)由题意可知抛物线的对称轴为直线x=ʃ2,ʑa=ʃ2,ʑ抛物线所对应的函数解析式为y=2x2-8x+1或y=-2x2-8x+1;(3)当a>0时,如解图①,抛物线过点P(a+4, 1)时,则a+42=a,解得a=4,ʑQ(0,5),此时,抛物线与线段PQ有一个公共点.当a<0时,如解图②,抛物线过点P(a+4,1)时,a+4=0,解得a=-4,㊀图②第1题解图此时,Q(0,-3),抛物线与线段PQ有一个公共点;综上所述,当0<aɤ4或-4ɤa<0时,抛物线与线段PQ恰有一个公共点.类型三㊀整点问题1.(2021顺义区一模)在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2-4ax+3a(a>0)与y轴交于点A.(1)求点A和抛物线顶点的坐标(用含a的式子表示);(2)直线y=-ax+3a与抛物线y=ax2-4ax+3a围成的区域(不包括边界)记作G.横㊁纵坐标都为整数的点叫做整点.①当a=1时,结合函数图象,求区域G中整点的个数;②当区域G中恰有6个整点时,直接写出a的取值范围.解:(1)ȵy=ax2-4ax+3a=a(x-2)2-a,ʑ抛物线的顶点的坐标为(2,-a).ȵ抛物线y=ax2-4ax+3a(a>0)与y轴交于点A,ʑA(0,3a);(2)①当a=1时,直线y=-x+3,抛物线y=x2-4x+3,可得直线y=-x+3与抛物线y=x2-4x+3的交点为(3,0),(0,3);则(1,1),(2,0)是区域G中的两个整点,即区域G中整点的个数为2个;②32<aɤ2.ʌ解法提示ɔ联立直线y=-ax+3a与抛物线y= ax2-4ax+3a,可得交点为(0,3a),(3,0),ʑ区域G由0ɤxɤ3,-aɤyɤ3a组成;当x=1时,与直线的交点为(1,2a),与抛物线的交点为(1,0),同理可得,当x=2时,与直线的交点为(2,a),与抛物线的交点为(2,-a),区域G中的整点不包括边界,整点有6个,如解图,当0<a< 1时,G中最多有1个整点;当a=1时,G中有2个整点;当1<aɤ1.5时,G中最多有5个整点;当1.5<aɤ2时,G中最多有6个整点;当2<aɤ3.5时,G中最多有13个整点;ʑ当32<aɤ2时,区域G中恰有6个整点.第1题解图2.在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2-2ax+ a-1(其中a是常数,a>0)与y轴交于点A.我们将横㊁纵坐标都是整数的点叫做整点 .(1)求该抛物线的顶点坐标;(2)如果线段OA(包含端点)上的整点个数大于3个且小于8个,求a的取值范围;(3)若抛物线与x轴围成的区域(含边界)内有6个整点,求a的取值范围.解:(1)ȵy=ax2-2ax+a-1=a(x-1)2-1,ʑ该抛物线的顶点坐标为(1,-1);(2)ȵ点A为抛物线与y轴的交点,ʑ点A的坐标为(0,a-1).ȵa>0,线段OA(包含端点)上的整点个数大于3个且小于8个,则a-1>2,且a-1<7,ʑa的取值范围为3<a<8;(3)当a=1时,抛物线的解析式为y=x2-2x,如解图,此时抛物线与x轴围成的区域(含边界)内有4个整点,第2题解图当a=14时,抛物线与x轴围成的区域(含边界)内有6个整点,当a=19时,抛物线与x轴围成的区域(含边界)内有8个整点,ȵ抛物线的顶点坐标为(1,-1),ʑ要使抛物线与x轴围成的区域(含边界)内有6个整点,则x=-2所对应的y值要大于0,且x =-1所对应的y值小于等于0,ʑ4a+4a+a-1>0,a+2a+a-1ɤ0,解得a>19,且aɤ14,ʑ当抛物线与x轴围成的区域(含边界)内有6个整点时,a的取值范围为19<aɤ14.。

【二次函数专题三】抛物线上的线段长问题的转化与探究

【二次函数专题三】抛物线上的线段长问题的转化与探究专题导入导图：平面直角标中相应线段长的计算AM= , BM= ,AB= ,导例：如图，点A的坐标为（﹣1，0），点C在y轴的正半轴上，点B在第一象限，CB∥x轴，且CA＝CB．若抛物线y＝a（x﹣1）2+k 经过A，B，C三点，则此抛物线的解析式为．方法点睛二次函数图象上的线段长问题，往往涉及到以下三类：平行x轴或y轴的线段长，或一般的斜线类线段．在知识运过程中，相应坐标差来表示相应线段长，或由勾股定理依据两点间的距离公式来计算相应斜线段长的问题是基本的操作依据．典例精讲类型一：平行于y轴的线段长的问题例1．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A和B（3，0），与y轴交于点C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）若点M是抛物线上在x轴下方的动点，过M作MN∥y轴交直线BC于点N，求线段MN的最大值．分析（1）由点B，C的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）设出点M的坐标以及直线BC的解析式，由点B，C的坐标利用待定系数法即可求出直线BC的解析式，结合点M的坐标即可得出点N的坐标，由此即可得出线段MN的长度关于m的函数关系式，再结合点M在x轴下方可找出m的取值范围，利用二次函数的性质即可解决最值问题．类型二：可转化为线段长类的面积型问题例2．如图，抛物线y＝x2﹣mx﹣（m+1）与x轴负半轴交于点A（x1，0），与x轴正半轴交于点B（x2，0）（OA＜OB），与y轴交于点C，且满足x12+x22﹣x1x2＝13．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上是否存在点Q，使得S△ACQ＝2S△AOC？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．分析（1）由根与系数的关系可得x1+x2＝m，x1·x2＝﹣（m+1），代入x12+x22﹣x1x2＝13，求出m1＝2，m2＝﹣5．根据OA＜OB，得出抛物线的对称轴在y轴右侧，那么m＝2，即可确定抛物线的解析式；（2）过点Q作AC的平行线交x轴于点F，连接CF，根据三角形的面积公式可得S△ACQ＝S△ACF．由S△ACQ＝2S△AOC，得出S△ACF＝2S△AOC，那么AF＝2OA＝2，F（1，0）．利用待定系数法求出直线AC的解析式为y＝﹣3x﹣3．根据AC∥FQ，可设直线FQ的解析式为y＝﹣3x+b，将F（1，0）代入，利用待定系数法求出直线FQ的解析式为y＝﹣3x+3，把它与抛物线的解析式联立，得出方程组求解即可得出点Q的坐标．专题过关1．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C（0，﹣3）．（1）求这个二次函数的解析式；（2）若P是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH⊥x 轴于点H，与线段BC交于点M，连接PC．①求线段PM的最大值；②当△PCM是以PM为一腰的等腰三角形时，求点P的坐标．2．如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A(-1，0)，B(3，0)，与y轴交于点C．(1)求b，c的值；(2)如图①，直线y=kx+1(k>0)与抛物线在第一象限的部分交于点D，交y轴于点F，交线段BC于点E．求的最大值；(3)如图②，抛物线的对称轴与抛物线交于点P，与直线BC交于点M，连接PB．问:在直线BC下方的抛物线上是否存在点Q，使得△QMB与△PMB的面积相等?若存在，求出点Q的坐标;若不存在，请说明理由．3．如图1，抛物线y=ax2+bx+2 与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，AB=4．矩形OADC的边CD=1，延长DC交抛物线于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是直线EO 上方抛物线上的一个动点，作PH⊥EO，垂足为H，求PH的最大值；（3）点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，若四边形ACMN是平行四边形，求点M、N的坐标．4．如图所示，在平面直角坐标系中，⊙M经过原点O，且与x轴、y轴分别相交于A（﹣6，0），B（0，﹣8）两点．（1）请求出直线AB的函数解析式；（2）若有一抛物线的对称轴平行于y轴且经过点M，顶点C在⊙M上，开口向下，且经过点B，求此抛物线的函数解析式；（3）设（2）中的抛物线交x轴于D，E两点，在抛物线上是否存在点P，使得S△PDE＝S△ABC？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．5．已知抛物线y＝﹣x2+bx与x轴交于点A，抛物线的对称轴经过点C（2，﹣2），顶点为M．（1）求b的值及直线AC的解析式；（2）P是抛物线在x轴上方的一个动点，过P的直线y＝﹣x+m 与直线AC交于点D，与直线MC交于点E，连接MD，MP．①当m为何值时，MP⊥PD？②DE+DP的最大值是多少（直接写出结果）：6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）经过点A（﹣1，0）和点B（3，0）．（1）求抛物线的解析式，并写出点D的坐标；（2）如图1，直线x=2与x轴交于点N，与直线AD交于点G，点P是直线x=2上的一动点，当点P到直线AD的距离等于点P到x 轴的距离时，求点P的坐标；（3）如图2，直线y=﹣x+m经过点A，交y轴于点C，在x轴上方的抛物线上是否存在点M，使得S△CDA=2S△ACM？若存在，求点M 的坐标；若不存在，请说明理由．。

二次函数综合题及答案

二次函数综合题一．解答题（共14小题）1．（2013•重庆）如图，对称轴为直线x=﹣1的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A、B两点，其中点A的坐标为（﹣3，0）．（1）求点B的坐标；（2）已知a=1，C为抛物线与y轴的交点．①若点P在抛物线上，且S△POC=4S△BOC．求点P的坐标；②设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值．2．（2013•重庆）如图，已知抛物线y=x2+bx+c的图象与x轴的一个交点为B（5，0），另一个交点为A，且与y轴交于点C（0，5）．（1）求直线BC与抛物线的解析式；（2）若点M是抛物线在x轴下方图象上的一动点，过点M作MN∥y轴交直线BC于点N，求MN的最大值；（3）在（2）的条件下，MN取得最大值时，若点P是抛物线在x轴下方图象上任意一点，以BC为边作平行四边形CBPQ，设平行四边形CBPQ的面积为S1，△ABN的面积为S2，且S1=6S2，求点P的坐标．3．（2013•昭通）如图1，已知A（3，0）、B（4，4）、原点O（0，0）在抛物线y=ax2+bx+c （a≠0）上．（1）求抛物线的解析式．（2）将直线OB向下平移m个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个交点D，求m的值及点D的坐标．（3）如图2，若点N在抛物线上，且∠NBO=∠ABO，则在（2）的条件下，求出所有满足△POD∽△NOB 的点P的坐标（点P、O、D分别与点N、O、B对应）4．（2013•张家界）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象过点C（0，1），顶点为Q（2，3），点D在x轴正半轴上，且OD=OC．（1）求直线CD的解析式；（2）求抛物线的解析式；（3）将直线CD绕点C逆时针方向旋转45°所得直线与抛物线相交于另一点E，求证：△CEQ∽△CDO；（4）在（3）的条件下，若点P是线段QE上的动点，点F是线段OD上的动点，问：在P点和F点移动过程中，△PCF的周长是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．5．（2013•枣庄）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，﹣3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．（1）求这个二次函数的表达式．（2）连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使四边形POP′C 为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积．6．（2013•营口）如图，抛物线与x轴交于A（1，0）、B（﹣3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），设抛物线的顶点为D．（1）求该抛物线的解析式与顶点D的坐标．（2）试判断△BCD的形状，并说明理由．（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．7．（2013•雅安）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）三点，其顶点为D，对称轴是直线l，l与x轴交于点H．（1）求该抛物线的解析式；（2）若点P是该抛物线对称轴l上的一个动点，求△PBC周长的最小值；（3）如图（2），若E是线段AD上的一个动点（E与A、D不重合），过E点作平行于y轴的直线交抛物线于点F，交x轴于点G，设点E的横坐标为m，△ADF的面积为S．①求S与m的函数关系式；②S是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时点E的坐标；若不存在，请说明理由．8．（2013•新疆）如图，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是（1，0），C点坐标是（4，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点D，使△BCD的周长最小？若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由；（3）若点E是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线AC的下方，试求△ACE的最大面积及E点的坐标．9．（2013•湘西州）如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+4与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，若已知A点的坐标为A（﹣2，0）．（1）求抛物线的解析式及它的对称轴方程；（2）求点C的坐标，连接AC、BC并求线段BC所在直线的解析式；（3）试判断△AOC与△COB是否相似？并说明理由；（4）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ACQ为等腰三角形？若不存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．10．（2013•湘潭）如图，在坐标系xOy中，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，A（1，0），B（0，2），抛物线y=x2+bx﹣2的图象过C点．（1）求抛物线的解析式；（2）平移该抛物线的对称轴所在直线l．当l移动到何处时，恰好将△ABC的面积分为相等的两部分？（3）点P是抛物线上一动点，是否存在点P，使四边形PACB为平行四边形？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由．11．（2013•遂宁）如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A（2，0），交y轴于点B（0，）．直线y=kx过点A与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点是D．（1）求抛物线y=x2+bx+c与直线y=kx的解析式；（2）设点P是直线AD上方的抛物线上一动点（不与点A、D重合），过点P作y轴的平行线，交直线AD于点M，作DE⊥y轴于点E．探究：是否存在这样的点P，使四边形PMEC是平行四边形？若存在请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，作PN⊥AD于点N，设△PMN的周长为l，点P的横坐标为x，求l与x的函数关系式，并求出l的最大值．12．（2013•曲靖）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+4与坐标轴分别交于A、B两点，过A、B两点的抛物线为y=﹣x2+bx+c．点D为线段AB上一动点，过点D作CD⊥x轴于点C，交抛物线于点E．（1）求抛物线的解析式．（2）当DE=4时，求四边形CAEB的面积．（3）连接BE，是否存在点D，使得△DBE和△DAC相似？若存在，求此点D坐标；若不存在，说明理由．13．（2013•黔西南州）如图，已知抛物线经过A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原点O，顶点为C（1）求抛物线的函数解析式．（2）设点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且以AO为边的四边形AODE是平行四边形，求点D的坐标．（3）P是抛物线上第一象限内的动点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以P，M，A为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．14．（2013•攀枝花）如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），B（1.0），C（0，﹣3）．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P为第三象限内抛物线上的一点，设△PAC的面积为S，求S的最大值并求出此时点P的坐标；（3）设抛物线的顶点为D，DE⊥x轴于点E，在y轴上是否存在点M，使得△ADM是直角三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．2013年10月陈永的初中数学组卷参考答案与试题解析一．解答题（共14小题）1．（2013•重庆）如图，对称轴为直线x=﹣1的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A、B两点，其中点A的坐标为（﹣3，0）．（1）求点B的坐标；（2）已知a=1，C为抛物线与y轴的交点．①若点P在抛物线上，且S△POC=4S△BOC．求点P的坐标；②设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值．考点：二次函数综合题．专题：压轴题．分析：（1）由抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=﹣1，交x轴于A、B两点，其中A点的坐标为（﹣3，0），根据二次函数的对称性，即可求得B点的坐标；（2）①a=1时，先由对称轴为直线x=﹣1，求出b的值，再将B（1，0）代入，求出二次函数的解析式为y=x2+2x﹣3，得到C点坐标，然后设P点坐标为（x，x2+2x﹣3），根据S△POC=4S△BOC 列出关于x的方程，解方程求出x的值，进而得到点P的坐标；②先运用待定系数法求出直线AC的解析式为y=﹣x﹣3，再设Q点坐标为（x，﹣x﹣3），则D点坐标为（x，x2+2x﹣3），然后用含x的代数式表示QD，根据二次函数的性质即可求出线段QD 长度的最大值．解答：解：（1）∵对称轴为直线x=﹣1的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A、B两点，∴A、B两点关于直线x=﹣1对称，∵点A的坐标为（﹣3，0），∴点B的坐标为（1，0）；（2）①a=1时，∵抛物线y=x2+bx+c的对称轴为直线x=﹣1，∴=﹣1，解得b=2．将B（1，0）代入y=x2+2x+c，得1+2+c=0，解得c=﹣3．则二次函数的解析式为y=x2+2x﹣3，∴抛物线与y轴的交点C的坐标为（0，﹣3），OC=3．设P点坐标为（x，x2+2x﹣3），∵S△POC=4S△BOC，∴×3×|x|=4××3×1，∴|x|=4，x=±4．当x=4时，x2+2x﹣3=16+8﹣3=21；当x=﹣4时，x2+2x﹣3=16﹣8﹣3=5．所以点P的坐标为（4，21）或（﹣4，5）；②设直线AC的解析式为y=kx+t，将A（﹣3，0），C（0，﹣3）代入，得，解得，即直线AC的解析式为y=﹣x﹣3．设Q点坐标为（x，﹣x﹣3）（﹣3≤x≤0），则D点坐标为（x，x2+2x﹣3），QD=（﹣x﹣3）﹣（x2+2x﹣3）=﹣x2﹣3x=﹣（x+）2+，∴当x=﹣时，QD有最大值．点评：此题考查了待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，二次函数的性质以及三角形面积、线段长度问题．此题难度适中，解题的关键是运用方程思想与数形结合思想．2．（2013•重庆）如图，已知抛物线y=x2+bx+c的图象与x轴的一个交点为B（5，0），另一个交点为A，且与y轴交于点C（0，5）．（1）求直线BC与抛物线的解析式；（2）若点M是抛物线在x轴下方图象上的一动点，过点M作MN∥y轴交直线BC于点N，求MN的最大值；（3）在（2）的条件下，MN取得最大值时，若点P是抛物线在x轴下方图象上任意一点，以BC为边作平行四边形CBPQ，设平行四边形CBPQ的面积为S1，△ABN的面积为S2，且S1=6S2，求点P的坐标．考点：二次函数综合题．专题：压轴题．分析：（1）设直线BC的解析式为y=mx+n，将B（5，0），C（0，5）两点的坐标代入，运用待定系数法即可求出直线BC的解析式；同理，将B（5，0），C（0，5）两点∑的坐标代入y=x2+bx+c，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）MN的长是直线BC的函数值与抛物线的函数值的差，据此可得出一个关于MN的长和M 点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出MN的最大值；（3）先求出△ABN的面积S2=5，则S1=6S2=30．再设平行四边形CBPQ的边BC上的高为BD，根据平行四边形的面积公式得出BD=3，过点D作直线BC的平行线，交抛物线与点P，交x 轴于点E，在直线DE上截取PQ=BC，则四边形CBPQ为平行四边形．证明△EBD为等腰直角三角形，则BE=BD=6，求出E的坐标为（﹣1，0），运用待定系数法求出直线PQ的解析式为y=﹣x﹣1，然后解方程组，即可求出点P的坐标．解答：解：（1）设直线BC的解析式为y=mx+n，将B（5，0），C（0，5）两点的坐标代入，得，解得，所以直线BC的解析式为y=﹣x+5；将B（5，0），C（0，5）两点的坐标代入y=x2+bx+c，得，解得，所以抛物线的解析式为y=x2﹣6x+5；（2）设M（x，x2﹣6x+5）（1＜x＜5），则N（x，﹣x+5），∵MN=（﹣x+5）﹣（x2﹣6x+5）=﹣x2+5x=﹣（x﹣）2+，∴当x=时，MN有最大值；（3）∵MN取得最大值时，x=2.5，∴﹣x+5=﹣2.5+5=2.5，即N（2.5，2.5）．解方程x2﹣6x+5=0，得x=1或5，∴A（1，0），B（5，0），∴AB=5﹣1=4，∴△ABN的面积S2=×4×2.5=5，∴平行四边形CBPQ的面积S1=6S2=30．设平行四边形CBPQ的边BC上的高为BD，则BC⊥BD．∵BC=5，∴BC•BD=30，∴BD=3．过点D作直线BC的平行线，交抛物线与点P，交x轴于点E，在直线DE上截取PQ=BC，则四边形CBPQ为平行四边形．∵BC⊥BD，∠OBC=45°，∴∠EBD=45°，∴△EBD为等腰直角三角形，BE=BD=6，∵B（5，0），∴E（﹣1，0），设直线PQ的解析式为y=﹣x+t，将E（﹣1，0）代入，得1+t=0，解得t=﹣1∴直线PQ的解析式为y=﹣x﹣1．解方程组，得，，∴点P的坐标为P1（2，﹣3）（与点D重合）或P2（3，﹣4）．点评：本题是二次函数的综合题，其中涉及到运用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，二次函数的性质，三角形的面积，平行四边形的判定和性质等知识点，综合性较强，考查学生运用方程组、数形结合的思想方法．（2）中弄清线段MN长度的函数意义是关键，（3）中确定P与Q的位置是关键．3．（2013•昭通）如图1，已知A（3，0）、B（4，4）、原点O（0，0）在抛物线y=ax2+bx+c （a≠0）上．（1）求抛物线的解析式．（2）将直线OB向下平移m个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个交点D，求m的值及点D的坐标．（3）如图2，若点N在抛物线上，且∠NBO=∠ABO，则在（2）的条件下，求出所有满足△POD∽△NOB 的点P的坐标（点P、O、D分别与点N、O、B对应）考点：二次函数综合题．专题：压轴题．分析：（1）利用待定系数法求二次函数解析式进而得出答案即可；（2）首先求出直线OB的解析式为y=x，进而将二次函数以一次函数联立求出交点即可；（3）首先求出直线A′B的解析式，进而由△P1OD∽△NOB，得出△P1OD∽△N1OB1，进而求出点P1的坐标，再利用翻折变换的性质得出另一点的坐标．解答：解：（1）∵A（3，0）、B（4，4）、O（0，0）在抛物线y=ax2+bx+c （a≠0）上．∴，解得：，故抛物线的解析式为：y=x2﹣3x；（2）设直线OB的解析式为y=k1x（k1≠0），由点B（4，4）得4=4 k1，解得k1=1．∴直线OB的解析式为y=x，∠AOB=45°．∵B（4，4），∴点B向下平移m个单位长度的点B′的坐标为（4，0），故m=4．∴平移m个单位长度的直线为y=x﹣4．解方程组解得：，∴点D的坐标为（2，﹣2）．（3）∵直线OB的解析式y=x，且A（3，0）．∵点A关于直线OB的对称点A′的坐标为（0，3）．设直线A′B的解析式为y=k2x+3，此直线过点B（4，4）．∴4k2+3=4，解得k2=．∴直线A′B的解析式为y=x+3．∵∠NBO=∠ABO，∴点N在直线A′B上，设点N（n，n+3），又点N在抛物线y=x2﹣3x上，∴n+3=n2﹣3n．解得n1=，n2=4（不合题意，舍去），∴点N的坐标为（﹣，）．如图，将△NOB沿x轴翻折，得到△N1OB1，则N1（﹣，﹣），B1（4，﹣4）．∴O、D、B1都在直线y=﹣x上．∵△P1OD∽△NOB，∴△P1OD∽△N1OB1，∴P1为O N1的中点．∴==，∴点P1的坐标为（﹣，﹣）．将△P1OD沿直线y=﹣x翻折，可得另一个满足条件的点到x轴距离等于P1到y轴距离，点到y 轴距离等于P1到x轴距离，∴此点坐标为：（，）．综上所述，点P的坐标为（﹣，﹣）和（，）．点评：此题主要考查了翻折变换的性质以及待定系数法求一次函数和二次函数解析式以及相似三角形的判定与性质等知识，利用翻折变换的性质得出对应点关系是解题关键．4．（2013•张家界）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象过点C（0，1），顶点为Q（2，3），点D在x轴正半轴上，且OD=OC．（1）求直线CD的解析式；（2）求抛物线的解析式；（3）将直线CD绕点C逆时针方向旋转45°所得直线与抛物线相交于另一点E，求证：△CEQ∽△CDO；（4）在（3）的条件下，若点P是线段QE上的动点，点F是线段OD上的动点，问：在P点和F点移动过程中，△PCF的周长是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题．专题：压轴题．分析：（1）利用待定系数法求出直线解析式；（2）利用待定系数法求出抛物线的解析式；（3）关键是证明△CEQ与△CDO均为等腰直角三角形；（4）如答图②所示，作点C关于直线QE的对称点C′，作点C关于x轴的对称点C″，连接C′C″，交OD于点F，交QE于点P，则△PCF即为符合题意的周长最小的三角形，由轴对称的性质可知，△PCF的周长等于线段C′C″的长度．利用轴对称的性质、两点之间线段最短可以证明此时△PCF的周长最小．如答图③所示，利用勾股定理求出线段C′C″的长度，即△PCF周长的最小值．解答：解：（1）∵C（0，1），OD=OC，∴D点坐标为（1，0）．设直线CD的解析式为y=kx+b（k≠0），将C（0，1），D（1，0）代入得：，解得：b=1，k=﹣1，∴直线CD的解析式为：y=﹣x+1．（2）设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）2+3，将C（0，1）代入得：1=a×（﹣2）2+3，解得a=．∴y=（x﹣2）2+3=x2+2x+1．（3）证明：由题意可知，∠ECD=45°，∵OC=OD，且OC⊥OD，∴△OCD为等腰直角三角形，∠ODC=45°，∴∠ECD=∠ODC，∴CE∥x轴，则点C、E关于对称轴（直线x=2）对称，∴点E的坐标为（4，1）．如答图①所示，设对称轴（直线x=2）与CE交于点F，则F（2，1），∴ME=CM=QM=2，∴△QME与△QMC均为等腰直角三角形，∴∠QEC=∠QCE=45°．又∵△OCD为等腰直角三角形，∴∠ODC=∠OCD=45°，∴∠QEC=∠QCE=∠ODC=∠OCD=45°，∴△CEQ∽△CDO．（4）存在．如答图②所示，作点C关于直线QE的对称点C′，作点C关于x轴的对称点C″，连接C′C″，交OD于点F，交QE于点P，则△PCF即为符合题意的周长最小的三角形，由轴对称的性质可知，△PCF的周长等于线段C′C″的长度．（证明如下：不妨在线段OD上取异于点F的任一点F′，在线段QE上取异于点P的任一点P′，连接F′C″，F′P′，P′C′．由轴对称的性质可知，△P′CF′的周长=F′C″+F′P′+P′C′；而F′C″+F′P′+P′C′是点C′，C″之间的折线段，由两点之间线段最短可知：F′C″+F′P′+P′C′＞C′C″，即△P′CF′的周长大于△PCE的周长．）如答图③所示，连接C′E，∵C，C′关于直线QE对称，△QCE为等腰直角三角形，∴△QC′E为等腰直角三角形，∴△CEC′为等腰直角三角形，∴点C′的坐标为（4，5）；∵C，C″关于x轴对称，∴点C″的坐标为（﹣1，0）．过点C′作C′N⊥y轴于点N，则NC′=4，NC″=4+1+1=6，在Rt△C′NC″中，由勾股定理得：C′C″===．综上所述，在P点和F点移动过程中，△PCF的周长存在最小值，最小值为．点评：本题是中考压轴题，综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、相似三角形、等腰直角三角形、勾股定理、轴对称的性质等重要知识点，涉及考点较多，有一点的难度．本题难点在于第（4）问，如何充分利用轴对称的性质确定△PCF周长最小时的几何图形，是解答本题的关键．5．（2013•枣庄）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，﹣3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．（1）求这个二次函数的表达式．（2）连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使四边形POP′C 为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积．考点：二次函数综合题．专题：压轴题．分析：（1）将B、C的坐标代入抛物线的解析式中即可求得待定系数的值；（2）由于菱形的对角线互相垂直平分，若四边形POP′C为菱形，那么P点必在OC的垂直平分线上，据此可求出P点的纵坐标，代入抛物线的解析式中即可求出P点的坐标；（3）由于△ABC的面积为定值，当四边形ABPC的面积最大时，△BPC的面积最大；过P作y 轴的平行线，交直线BC于Q，交x轴于F，易求得直线BC的解析式，可设出P点的横坐标，然后根据抛物线和直线BC的解析式求出Q、P的纵坐标，即可得到PQ的长，以PQ为底，B点横坐标的绝对值为高即可求得△BPC的面积，由此可得到关于四边形ACPB的面积与P点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出四边形ABPC的最大面积及对应的P点坐标．解答：解：（1）将B、C两点的坐标代入得，解得：；所以二次函数的表达式为：y=x2﹣2x﹣3（3分）（2）存在点P，使四边形POP′C为菱形；设P点坐标为（x，x2﹣2x﹣3），PP′交CO于E若四边形POP′C是菱形，则有PC=PO；连接PP′，则PE⊥CO于E，∴OE=EC=∴y=；（6分）∴x2﹣2x﹣3=解得x1=，x2=（不合题意，舍去）∴P点的坐标为（，）（8分）（3）过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F，设P（x，x2﹣2x﹣3），易得，直线BC的解析式为y=x﹣3则Q点的坐标为（x，x﹣3）；S四边形ABPC=S△ABC+S△BPQ+S△CPQ=AB•OC+QP•BF+QP•OF==（10分）当时，四边形ABPC的面积最大此时P点的坐标为，四边形ABPC的面积的最大值为．（12分）点评：此题考查了二次函数解析式的确定、菱形的判定和性质以及图形面积的求法等知识，当所求图形不规则时通常要将其转换为其他规则图形面积的和差关系来求解．6．（2013•营口）如图，抛物线与x轴交于A（1，0）、B（﹣3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），设抛物线的顶点为D．（1）求该抛物线的解析式与顶点D的坐标．（2）试判断△BCD的形状，并说明理由．（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题．专题：压轴题．分析：（1）利用待定系数法即可求得函数的解析式；（2）利用勾股定理求得△BCD的三边的长，然后根据勾股定理的逆定理即可作出判断；（3）分p在x轴和y轴两种情况讨论，舍出P的坐标，根据相似三角形的对应边的比相等即可求解．解答：解：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c由抛物线与y轴交于点C（0，3），可知c=3．即抛物线的解析式为y=ax2+bx+3．把点A（1，0）、点B（﹣3，0）代入，得解得a=﹣1，b=﹣2∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3．∵y=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4∴顶点D的坐标为（﹣1，4）；（2）△BCD是直角三角形．理由如下：解法一：过点D分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为E、F．∵在Rt△BOC中，OB=3，OC=3，∴BC2=OB2+OC2=18在Rt△CDF中，DF=1，CF=OF﹣OC=4﹣3=1，∴CD2=DF2+CF2=2在Rt△BDE中，DE=4，BE=OB﹣OE=3﹣1=2，∴BD2=DE2+BE2=20∴BC2+CD2=BD2∴△BCD为直角三角形．解法二：过点D作DF⊥y轴于点F．在Rt△BOC中，∵OB=3，OC=3∴OB=OC∴∠OCB=45°∵在Rt△CDF中，DF=1，CF=OF﹣OC=4﹣3=1∴DF=CF∴∠DCF=45°∴∠BCD=180°﹣∠DCF﹣∠OCB=90°∴△BCD为直角三角形．（3）①△BCD的三边，==，又=，故当P是原点O时，△ACP∽△DBC；②当AC是直角边时，若AC与CD是对应边，设P的坐标是（0，a），则PC=3﹣a，=，即=，解得：a=﹣9，则P的坐标是（0，﹣9），三角形ACP不是直角三角形，则△ACP∽△CBD不成立；③当AC是直角边，若AC与BC是对应边时，设P的坐标是（0，b），则PC=3﹣b，则=，即=，解得：b=﹣，故P是（0，﹣）时，则△ACP∽△CBD一定成立；④当P在y轴上时，AC是直角边，P一定在B的左侧，设P的坐标是（d，0）．则AB=1﹣d，当AC与CD是对应边时，=，即=，解得：d=1﹣3，此时，两个三角形不相似；⑤当P在y轴上时，AC是直角边，P一定在B的左侧，设P的坐标是（e，0）．则AP=1﹣e，当AC与DC是对应边时，=，即=，解得：e=﹣9，符合条件．总之，符合条件的点P的坐标为：．点评：本题是相似三角形的判定与性质，待定系数法，勾股定理以及其逆定理的综合应用．7．（2013•雅安）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）三点，其顶点为D，对称轴是直线l，l与x轴交于点H．（1）求该抛物线的解析式；（2）若点P是该抛物线对称轴l上的一个动点，求△PBC周长的最小值；（3）如图（2），若E是线段AD上的一个动点（E与A、D不重合），过E点作平行于y轴的直线交抛物线于点F，交x轴于点G，设点E的横坐标为m，△ADF的面积为S．①求S与m的函数关系式；②S是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时点E的坐标；若不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题．专题：综合题；压轴题．分析：（1）根据函数图象经过的三点，用待定系数法确定二次函数的解析式即可；（2）根据BC是定值，得到当PB+PC最小时，△PBC的周长最小，根据点的坐标求得相应线段的长即可；（3）设点E的横坐标为m，表示出E（m，2m+6），F（m，﹣m2﹣2m+3），最后表示出EF的长，从而表示出S于m的函数关系，然后求二次函数的最值即可．解答：解：（1）由题意可知：解得：∴抛物线的解析式为：y=﹣x2﹣2x+3；（2）∵△PBC的周长为：PB+PC+BC∵BC是定值，∴当PB+PC最小时，△PBC的周长最小，∵点A、点B关于对称轴I对称，∴连接AC交l于点P，即点P为所求的点∵AP=BP∴△PBC的周长最小是：PB+PC+BC=AC+BC∵A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3），∴AC=3，BC=；故△PBC周长的最小值为3+．（3）①∵抛物线y=﹣x2﹣2x+3顶点D的坐标为（﹣1，4）∵A（﹣3，0）∴直线AD的解析式为y=2x+6∵点E的横坐标为m，∴E（m，2m+6），F（m，﹣m2﹣2m+3）∴EF=﹣m2﹣2m+3﹣（2m+6）=﹣m2﹣4m﹣3∴S=S△DEF+S△AEF=EF•GH+EF•AG=EF•AH=（﹣m2﹣4m﹣3）×2=﹣m2﹣4m﹣3；②S=﹣m2﹣4m﹣3=﹣（m+2）2+1；∴当m=﹣2时，S最大，最大值为1此时点E的坐标为（﹣2，2）．点评：此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数的最值，根据点的坐标表示出线段的长是表示出三角形的面积的基础．8．（2013•新疆）如图，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是（1，0），C点坐标是（4，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点D，使△BCD的周长最小？若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由；（3）若点E是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线AC的下方，试求△ACE的最大面积及E点的坐标．考点：二次函数综合题．专题：代数几何综合题；压轴题．分析：（1）利用待定系数法求二次函数解析式解答即可；（2）利用待定系数法求出直线AC的解析式，然后根据轴对称确定最短路线问题，直线AC与对称轴的交点即为所求点D；（3）根据直线AC的解析式，设出过点E与AC平行的直线，然后与抛物线解析式联立消掉y得到关于x的一元二次方程，利用根的判别式△=0时，△ACE的面积最大，然后求出此时与AC 平行的直线，然后求出点E的坐标，并求出该直线与x轴的交点F的坐标，再求出AF，再根据直线l与x轴的夹角为45°求出两直线间的距离，再求出AC间的距离，然后利用三角形的面积公式列式计算即可得解．解答：解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+3经过点A（1，0），点C（4，3），∴，解得，所以，抛物线的解析式为y=x2﹣4x+3；（2）∵点A、B关于对称轴对称，∴点D为AC与对称轴的交点时△BCD的周长最小，设直线AC的解析式为y=kx+b（k≠0），则，解得，所以，直线AC的解析式为y=x﹣1，∵y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，∴抛物线的对称轴为直线x=2，当x=2时，y=2﹣1=1，∴抛物线对称轴上存在点D（2，1），使△BCD的周长最小；（3）如图，设过点E与直线AC平行线的直线为y=x+m，联立，消掉y得，x2﹣5x+3﹣m=0，△=（﹣5）2﹣4×1×（3﹣m）=0，即m=﹣时，点E到AC的距离最大，△ACE的面积最大，此时x=，y=﹣=﹣，∴点E的坐标为（，﹣），设过点E的直线与x轴交点为F，则F（，0），∴AF=﹣1=，∵直线AC的解析式为y=x﹣1，∴∠CAB=45°，∴点F到AC的距离为×=，又∵AC==3，∴△ACE的最大面积=×3×=，此时E点坐标为（，﹣）．点评：本题考查了二次函数综合题型，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，利用轴对称确定最短路线问题，联立两函数解析式求交点坐标，利用平行线确定点到直线的最大距离问题．9．（2013•湘西州）如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+4与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，若已知A点的坐标为A（﹣2，0）．（1）求抛物线的解析式及它的对称轴方程；（2）求点C的坐标，连接AC、BC并求线段BC所在直线的解析式；（3）试判断△AOC与△COB是否相似？并说明理由；（4）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ACQ为等腰三角形？若不存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题．专题：压轴题．分析：（1）利用待定系数法求出抛物线解析式，利用配方法或利用公式x=求出对称轴方程；（2）在抛物线解析式中，令x=0，可求出点C坐标；令y=0，可求出点B坐标．再利用待定系数法求出直线BD的解析式；（3）根据，∠AOC=∠BOC=90°，可以判定△AOC∽△COB；（4）本问为存在型问题．若△ACQ为等腰三角形，则有三种可能的情形，需要分类讨论，逐一计算，避免漏解．解答：解：（1）∵抛物线y=﹣x2+bx+4的图象经过点A（﹣2，0），∴﹣×（﹣2）2+b×（﹣2）+4=0，解得：b=，∴抛物线解析式为y=﹣x2+x+4，又∵y=﹣x2+x+4=﹣（x﹣3）2+，∴对称轴方程为：x=3．（2）在y=﹣x2+x+4中，令x=0，得y=4，∴C（0，4）；令y=0，即﹣x2+x+4=0，整理得x2﹣6x﹣16=0，解得：x=8或x=﹣2，∴A（﹣2，0），B（8，0）．设直线BC的解析式为y=kx+b，把B（8，0），C（0，4）的坐标分别代入解析式，得：，解得k=，b=4，∴直线BC的解析式为：y=x+4．（3）可判定△AOC∽△COB成立．理由如下：在△AOC与△COB中，∵OA=2，OC=4，OB=8，∴，又∵∠AOC=∠BOC=90°，∴△AOC∽△COB．（4）∵抛物线的对称轴方程为：x=3，可设点Q（3，t），则可求得：AC===，AQ==，CQ==．i）当AQ=CQ时，有=，25+t2=t2﹣8t+16+9，解得t=0，∴Q1（3，0）；ii）当AC=AQ时，有=，t2=﹣5，此方程无实数根，∴此时△ACQ不能构成等腰三角形；iii）当AC=CQ时，有=，整理得：t2﹣8t+5=0，解得：t=4±，∴点Q坐标为：Q2（3，4+），Q3（3，4﹣）．综上所述，存在点Q，使△ACQ为等腰三角形，点Q的坐标为：Q1（3，0），Q2（3，4+），Q3（3，4﹣）．点评：本题考查了二次函数与一次函数的图象与性质、待定系数法、相似三角形的判定、勾股定理、等腰三角形的判定等知识点．难点在于第（4）问，符合条件的等腰三角形△ACQ可能有多种情形，需要分类讨论．10．（2013•湘潭）如图，在坐标系xOy中，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，A（1，0），B（0，2），抛物线y=x2+bx﹣2的图象过C点．（1）求抛物线的解析式；（2）平移该抛物线的对称轴所在直线l．当l移动到何处时，恰好将△ABC的面积分为相等的两部分？（3）点P是抛物线上一动点，是否存在点P，使四边形PACB为平行四边形？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由．。

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二次函数综合题集
3
1、已知抛物线c bx ax y ++=2
经过A （-1，0）点切经过直线3-=x y 与坐标轴的两个交点B ，
C 。

（1）求抛物线的解析式；
（2）求抛物线的顶点坐标；
（3）若点M 在第四象限内的抛物线上，且OM ⊥BC ，垂足为D ，求点M 的坐标.
2、已知开口向下的抛物线c bx ax y ++=2
, 与x 轴交于A(1x ,0),B(2x ,0)( 1x ﹤2x )两点,与y 轴交于C(0,5)点,若a+b+c=0且S △ABC=15, 求抛物线的解析式.
3、如图所示，已知抛物c bx ax y ++=2与x 轴负半轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，且
︒=∠==30,32,3CAO CB OB ，求抛物线的解析式和它的顶点坐标.
4、已知直线y ＝－2x ＋b(b ≠0)与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ；一抛物线的解析式为y ＝x 2－(b ＋10)x ＋c. ⑴若该抛物线过点B ，且它的顶点P 在直线y ＝－2x ＋b 上，试确定这条抛物线的解析式；
⑵过点B 作直线BC ⊥AB 交x 轴于点C ，若抛物线的对称轴恰好过C 点，试确定直线y ＝－2x ＋b 的解析式.
5、已知抛物线y=(1-m)x2+4x-3开口向下，与x轴交于A(x
1,0)和B(x
2
,0)两点，其中x
l
<x
2
．
(1)求m的取值范围；
(2)若x
12+ x
2
2=10，求抛物线的解析式，并在给出的直角坐标系中画出这条抛物线；
6、如图，等腰梯形ABCD的边BC在x轴上，点A在y轴的正方向上，A( 0,6 )，D ( 4，
6)，且AB=2
（1）求点B的坐标；（2）求经过A、B、D三点的抛物线的解析式；
（3）在（2）中所求的抛物线上是否存在一点P，使得S△PBD=S梯形ABCD。

若存在，请求出该点坐标，若不存在，请说明理由.
7、数学活动小组接受学校的一项任务：在紧靠围墙的空地上，利用围墙及一段长为6０米的木栅栏围成一块生物园地，请设计一个方案使生物园的面积可能大。

(1)活动小组提交如图的方案。

设靠墙的一边长为 x 米，则不靠墙的一边长为(60－2x)米，面积y= (60－2x) x米2．当x=15时，y
最大值
=450米2。

(2)机灵的小明想：如果改变生物园的形状，围成的面积会更大吗？请你帮小明设计两个方案，要求画出图形，算出面积大小；并找出面积最大的方案．
8、已知二次函数m x x y +-=
2
2
1的图象经过点A(-3,6)，并与x 轴交于B 、C 两点（点B 在C 的左边），P 为它的顶点. （1）试确定m 的值；
（2）设点D 为线段OC 上的一点，且满足BAC DPC ∠=∠，求直线AD 的解析式；
（3）在y 轴的正半轴上是否存在点M ，使PCM ∆为等腰三角形，若存在，求出所有满足条件的点M 的坐标，若不存在，请说明理由.
9、已知：以直线1=x 为对称轴的抛物线与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边），且经过点
⎪⎭⎫ ⎝⎛45,4和⎪⎭
⎫ ⎝⎛
-43,0. 点()y x P ,在抛物线的顶点M 的右侧的半支上（包括顶点M ）
，在x 轴上有一点C 使OPC ∆是等腰三角形，PC OP =. （1）若OPC ∠是直角，求点P 的坐标；
（2）当点P 移动时，过点C 作x 轴的垂线，交直线AM 于点Q ，设AQC ∆的面积为S ，求S 关于
x 的函数解析式和自变量x 的取值范围，并画出它的图象.
10、（2007四川成都）在平面直角坐标系xOy 中，已知二次函数2
(0)y ax bx c a =++≠的图象与x
轴交于A B ，两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ，其顶点的横坐标为1，且过点(23)，和
(312)--，．
（1）求此二次函数的表达式；
（2）若直线:(0)l y kx k =≠与线段BC 交于点D （不与点B C ，重合），则是否存在这样的直线l ，使得以B O D ，，为顶点的三角形与BAC △相似？若存在，求出该直线的函数表达式及点D 的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点P 是位于该二次函数对称轴右边图象上不与顶点重合的任意一点，试比较锐角PCO ∠与
ACO ∠的大小（不必证明）
，并写出此时点P 的横坐标p x ．
11、如图，已知二次函数图象顶点为C （1，0），直线m x y +=与该二次函数交于A ，B 两点，其中A 点（3，4），B 点在y 轴上，（1）求m 值及这个二次函数关系式；（2）P 为线段AB 上一动点（P 不与A ，B 重合），过P 做x 轴垂线与二次函数交于点E ，设线段PE 长为h ，点P 横坐标为x ，求h 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 取值范围；（3）D 为AB 线段与二次函数对称轴的的交点，在AB 上是否存在一点P ，使四边形DCEP 为平行四边形？若存在，请求出P 点坐标；若不存在，请说明理由。

12、已知：抛物线)0(2
≠+=a bx ax y 顶点在直线12
1
--
=x y 上，且仅当0﹤x ﹤4时,y ﹤0，设点A 是抛物线与x 轴的一个交点，点A 在y 轴的右侧，P 为抛物线上的一个动点，（1）求这个抛物线的解析式；（2）当△POA 面积为5时，求点P 坐标。

（3）当cos ∠OPA=5
5
2时，⊙M 经过点O ，A ，P ，求过A 点且与⊙M 相切的直线解析式
13、在平面直角坐标系xoy 中，抛物线n mx mx y ++=322
经过P （3，5），A （0，2）两点。

（1）
求次抛物线解析式；（2）设抛物线顶点为B ，将直线AB 沿y 轴向下平移两个单位的直线L ，直线L 与抛物线的对称轴交于C 点，求直线的解析式；（3）在（2）的条件下，求到直线OB ，OC ，BC 距离相等的点的坐标。

14．如图，抛物线y ＝－
12x 2＋5
2
x －2与x 轴相交于点A 、B ，与y 轴相交于点C ．（1）求证：△AOC ∽△COB ；
（2）过点C 作CD ∥x 轴交抛物线于点D ．若点P 在线段AB 上以每秒1个单位的速度由A 向B 运动，同时点Q 在线段CD 上也以每秒1个单位的速度由D 向C 运动，则经过几秒后，PQ ＝AC ．
15.将一矩形纸片OABC 放在直角坐标系中，O 为原点，C
⑴如图⑴，在OA 上取一点E ，将△EOC 沿EC 折叠，使O AB 边上的D 点，求E 点的坐标；
⑵如图⑵，在OA 、
OC 边上选取适当的点E ′、F ，将△E ′OF 沿E ′F 折叠，使O 点落在AB 边上的D ′点，过D ′作D ′G ∥A ′O 交E ′F 于T 点，交OC ′于G 点，求证：TG=A ′E ′
⑶在⑵的条件下，设T （x ，y ）①探求：y 与x 之间的函数关系式.②指出变量x 的取值范围.
16、（2007四川眉山）如图，矩形A’BC’O’是矩形OABC(边OA在x轴正半轴上，边OC在y轴正半轴上)绕B点逆时针旋转得到的．O’点在x轴的正半轴上，B点的坐标为(1，3)．
(1)如果二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象经过O、O’两点且图象顶点M的纵坐标为
—1．求这个二次函数的解析式；
(2)在(1)中求出的二次函数图象对称轴的右支上是否存在点P，使得ΔPOM为直角三角形?若存在，请求出P点的坐标和ΔPOM的面积；若不存在，请说明理由；
(3)求边C’O’所在直线的解析式．
17、（2007山东威海）如图①，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(12)，，点B 的坐标为(31)，，二次函数2
y x =的图象记为抛物线1l ．
（1）平移抛物线1l ，使平移后的抛物线过点A ，但不过点B ，写出平移后的一个抛物线的函数表达式：（任写一个即可）．
（2）平移抛物线1l ，使平移后的抛物线过A B ，两点，记为抛物线2l ，如图②，求抛物线2l 的函数表达式．
（3）设抛物线2l 的顶点为C ，K 为y 轴上一点．若ABK ABC S S =△△，求点K 的坐标．
（4）请在图③上用尺规作图的方式探究抛物线2l 上是否存在点P ，使ABP △为等腰三角形．若存在，请判断点P 共有几个可能的位置（保留作图痕迹）；若不存在，请说明师．
x 图①
x 图②
x 图③。