二次函数综合练习题(含答案)

二次函数综合练习题

一、选择题

1．〔2013，6，3分〕二次函数y ＝x 2

－3x ＋m 〔m 为常数〕的图象与x 轴的一个交点为(1，0)，

那么关于x 的一元二次方程x 2

－3x ＋m ＝0的两实数根是〔 〕． A ．x 1＝1，x 2＝－1 B ．x 1＝1，x 2＝2 C ．x 1＝1，x 2＝0D ．x 1＝1，x 2＝3 【答案】B ．

【解析】∵二次函数y ＝x 2－3x ＋m 的图象与x 轴的一个交点为〔1，0〕，∴0＝12

－3＋m ，解

得m ＝2，∴二次函数为y ＝x 2－3x ＋2．设y ＝0，那么x 2

－3x ＋2＝0．解得x 2＝1，x 2＝2，

这就是一元二次方程x 2

－3x ＋m ＝0的两实数根．所以应选B ．

【方法指导】考察一元二次方程的根、二次函数图象与x 轴交点的关系．当b 2

－4ac ≥0时，

二次函数y ＝ax 2+bx+c 的图象与x 轴的两个交点的横坐标是一元二次方程ax 2

+bx+c ＝0的两个根．

【易错警示】因审题不严，容易错选；或因解方程出错而错选．

2．〔2013，8，3分〕方程0132

=-+x x 的根可视为函数3+=x y 的图象与函数x

y 1

=的图象交点的横坐标，那么方程3

210x x +-=的实根0x 所在的围是〔 〕． A ．4100<

1

410<

【解析】首先根据题意推断方程x 3

＋2x －1=0的实根是函数y =x 2

＋3与x

y 1

=

的图象交点的横坐标，再根据四个选项中x 的取值代入两函数解析式，找出抛物线的图象在反比例函数上

方和反比例函数的图象在抛物线的上方两个点即可判定推断方程x 3

＋2x －1=0的实根x 0所在围．

解：依题意得方程x 3

＋2x －1=0的实根是函数y =x 2

＋2与x

y 1

=

的图象交点的横坐标，这两个函数的图象如下图，它们的交点在第一象限．

当x =

14时，y =x 2

＋2=2116，1y x ==4，此时抛物线的图象在反比例函数下方； 当x =13时，y =x 2

＋2=219，1y x ==3，此时抛物线的图象在反比例函数下方；

当x =12时，y =x 2

＋2=214，1y x

==2，此时抛物线的图象在反比例函数上方；

当x =1时，y =x 2

＋2=3，1y x

==1，此时抛物线的图象在反比例函数上方．

所以方程3

210x x +-=的实根0x 所在的围是2

1310<

所以应选C ．

【方法指导】此题考察了学生从图象中读取信息的数形结合能力．解决此类识图题，同学们要注意分析其中的“关键点〞，还要善于分析各图象的变化趋势．

【易错警示】不会得出函数解析式，不会观察图象而出错．

3. 〔2013市(A )，12，4分〕一次函数y ＝ax ＋b 〔a ≠0〕、二次函数y ＝ax 2

＋bx 和反比例函

数y ＝

k

x

(k ≠0)在同一直角坐标系中的图象如下图，A 点的坐标为(－2，0)．那么以下结论中，正确的选项是〔〕

A ．b ＝2a ＋k

B ．a ＝b ＋k

C ．a ＞b ＞0

D ．a ＞k ＞0 【答案】D ．

【解析】∵一次函数与二次函数的图象交点A 的坐标为〔－2，0〕，∴－2a ＋b ＝0，∴b ＝2a ． 又∵抛物线开口向上，∴a ＞0，那么b ＞0．而反比例函数图象经过第一、三象限，∴k ＞0． ∴2a ＋k ＞2a ，即b ＜2a ＋k ．故A 选项错误． 假设B 选项正确，那么将b ＝2a 代入a ＝b ＋k ，得a ＝2a ＋k ，a ＝－k ．又∵a ＞0，∴－k ＞0，即k ＜0，这与k ＞0相矛盾，∴a ＝b ＋k 不成立．故B 选项错误．

再由a ＞0，b ＝2a ，知a ，b 两数均是正数，且a ＜b ，∴b ＞a ＞0．故C 选项错误． 这样，就只有D 选项正确．

【方法指导】此题考察一次函数、反比例函数、二次函数的图象，属于图象共存型问题．解决这类问题的关键是熟练掌握这三类函数的图象与性质，能根据图象所在象限的位置准确判

断出各系数的符号．上面解法运用的是排除法，至于D 为何正确，可由二次函数y ＝ax 2

＋bx 与反比例函数y ＝k x (k ≠0)的图象，知当x ＝－2b a ＝－22a

a

＝－1时，y ＝－k ＞－24b a ＝－

244a a ＝－a ，即k ＜a ．又因为a ＞0，k ＞0，所以a ＞k ＞0．

【易错警示】二次函数a 、b 、c 的符号确实定与函数图象的关系混淆不清． 4. 〔2013，7，4分〕抛物线1)3(22+-=x y 的顶点坐标是〔 〕 A ．(3，1) B ．(3，－1)

C ．(－3，1)

D ．(－3，－1)

【答案】：A

【解析】抛物线2

()y a x h k =-+的顶点是〔h ，k 〕

【方法指导】求一个抛物线的顶点可以先把二次函数配方，再得到顶点坐标；也可以利用顶

点公式2

4(,)24b ac b a a

--求顶点坐标。 4．〔2013•，28，10分〕如图，二次函数y ＝x 2

＋bx －的图象与x 轴交于点A 〔－3，0〕和点B ，以AB 为边在x 轴上方作正方形ABCD ，点P 是x 轴上一动点，连接DP ，过点P 作DP

的垂线与y 轴交于点E ．

〔1〕请直接写出点D 的坐标： 〔－3，4〕 ；

〔2〕当点P 在线段AO 〔点P 不与A 、O 重合〕上运动至何处时，线段OE 的长有最大值，求出这个最大值； 〔3〕是否存在这样的点P ，使△PED 是等腰三角形？假设存在，请求出点P 的坐标与此时△PED 与正方形ABCD 重叠局部的面积；假设不存在，请说明理由．