最新人教版八年级数学上册13.3.1等腰三角形(二)重点习题
人教版 八年级数学 13.1 ---13.3练习题(含答案)
人教版八年级数学13.1 轴对称一、选择题（本大题共12道小题）1. 下列倡导节约的图案中，属于轴对称图形的是()2. 如图，线段AB与A′B′(AB＝A′B′)不关于直线l成轴对称的是()3. 关于轴对称和轴对称图形，下列说法错误的是()A．轴对称图形是对一个图形来说的B．轴对称是对两个图形来说的C．对称轴可以是直线、线段或射线D．一个轴对称图形的对称轴可能不止一条4. 将一张长与宽的比为2∶1的长方形纸片按图①②所示的方式对折，然后沿图③中的虚线裁剪，得到图④，最后将图④中的纸片展开铺平，所得到的图案是()5. 在汉字“生活中的日常用品”中，是轴对称图形的有()A.2个B.3个C.4个D.5个6. 若点A(2m，2－m)和点B(3＋n，n)关于y轴对称，则m，n的值分别为()A．1，－1 B.5 3，13C ．－5，7D ．－13，－737. 如图，已知钝角三角形ABC ，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹.步骤1:以点C 为圆心，CA 长为半径画弧①;步骤2:以点B 为圆心，BA 长为半径画弧②，交弧①于点D ; 步骤3:连接AD ，交BC 的延长线于点H.则下列叙述正确的是( )A .BH 垂直平分线段ADB .AC 平分∠BAD C .S △ABC =BC ·AH D .AB=AD8. 如图，在RtABC 中，90ACB ∠=︒，分别以点B 和点C 为圆心，大于12BC 的长为半径作弧，两弧相交于D E ，两点，作直线DE 交AB 于点F ，交BC 于点G ，连接CF ．若3AC =，2CG =，则CF 的长为A ．52B ．3C ．2D ．729. 如图，线段AB 外有C ，D 两点(在AB 同侧)，且CA=CB ，DA=DB ，∠ADB=80°，∠CAD=10°，则∠ACB的度数为()A.80°B.90°C.100°D.110°10. [2018·河北] 图是由“○”和“□”组成的轴对称图形，则该图形的对称轴是直线()A.l1B.l2C.l3D.l411. 如图，在△ABC中，点D在BC上，将点D分别以AB，AC为对称轴，画出对称点E，F，并连接AE，AF.根据图中标示的角度，∠EAF的度数为()A．113°B．124°C．129°D．134°12. 把一张长方形纸片按图2①②所示的方式从右向左连续对折两次后得到图③，再在图③中挖去一个如图所示的三角形小孔，则重新展开后得到的图形是图3中的()二、填空题（本大题共6道小题）13. 如图K－16－10，四边形ABCD是轴对称图形，BD所在的直线是它的对称轴，AB＝5 cm，CD＝3.5 cm，则四边形ABCD的周长为________ cm.14. 如图，△ABO是关于y轴对称的轴对称图形，点A的坐标为(－2，3)，则点B的坐标为________．15. 如图所示，分别将标号为A，B，C，D的正方形沿图中的虚线剪开后，得到标号为E，F，G，H的四个图形，则剪前与剪后拼接的图形的对应关系是：A与________对应，B与________对应，C与________对应，D与________对应．16. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE是AB的垂直平分线，AD恰好平分∠BAC.若DE＝1，则BC的长是________．17. 如图，在△ABC中，AB，AC的垂直平分线分别交BC于点E，F.若△AEF的周长为10 cm，则BC的长为cm.18. 数学活动课上，两名同学围绕作图问题:“如图①，已知直线l和直线l外一点P，用直尺和圆规作直线PQ，使PQ⊥直线l于点Q.”分别作出了如图②③所示的两个图形，其中作法正确的为图(填“②”或“③”).三、解答题（本大题共3道小题）19. 如图，在△ABE中，AD⊥BE于点D，C是BE上一点，DC＝BD，且点C 在AE的垂直平分线上．若△ABC的周长为22 cm，求DE的长．20. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC交AC于点E，DE垂直平分AB交AB于点D.求证:BE+DE=AC.21. 如图，将长方形纸片ABCD沿EF折叠，使点A与点C重合，点D落在点G 处，EF为折痕．(1)求证：△FGC≌△EBC；(2)若AB＝8，AD＝4，求四边形ECGF(阴影部分)的面积．人教版 八年级数学 13.1 轴对称 课时训练-答案一、选择题（本大题共12道小题）1. 【答案】B2. 【答案】A3. 【答案】C4. 【答案】A5. 【答案】B[解析] 根据轴对称图形的定义，在汉字“生活中的日常用品”中，是轴对称图形的有“中”“日”“品”3个.故选B .6. 【答案】C[解析] ∵点A(2m ，2－m)和点B(3＋n ，n)关于y 轴对称，∴2m ＋3＋n ＝0，2－m ＝n ，解得m ＝－5，n ＝7.7. 【答案】A[解析] 如图，连接CD ，BD.∵CA=CD ，BA=BD ，∴点C ，B 都在线段AD 的垂直平分线上. ∴BH 垂直平分线段AD. 故选A .8. 【答案】A【解析】由作法得GF 垂直平分BC ， ∴FB FC =，2CG BG ==，FG BC ⊥， ∵90ACB ∠=︒，∴FG AC ∥，∴BF CF =， ∴CF 为斜边AB 上的中线， ∵22345AB =+=，∴1522CF AB==．故选A．9. 【答案】C10. 【答案】C[解析] 沿着直线l3折叠，直线两旁的部分能够互相重合，因此该图形的对称轴是直线l3.11. 【答案】D[解析] 连接AD.∵点D分别以AB，AC为对称轴，画出对称点E，F，∴∠EAB＝∠BAD，∠FAC ＝∠CAD.∵∠B＝62°，∠C＝51°，∴∠BAC＝∠BAD＋∠CAD＝67°.∴∠EAF＝2∠BAC＝134°.12. 【答案】C二、填空题（本大题共6道小题）13. 【答案】1714. 【答案】(2，3)[解析] ∵△ABO是关于y轴对称的轴对称图形，∴点A(－2，3)与点B关于y轴对称．∴点B的坐标为(2，3)．15. 【答案】G E F H[解析] A剪开后是三个三角形，B剪开后是两个直角梯形和一个三角形，C剪开后是一个直角三角形和两个四边形，D剪开后是两个三角形和一个四边形，因而，A与G对应，B与E对应，C与F对应，D与H 对应．16. 【答案】3[解析] ∵AD平分∠BAC，且DE⊥AB，∠C＝90°，∴CD＝DE ＝1.∵DE是AB的垂直平分线，∴AD＝BD.∴∠B＝∠DAB.∵∠DAB＝∠CAD，∴∠CAD＝∠DAB＝∠B.∵∠C＝90°，∴∠CAD＋∠DAB＋∠B＝90°.∴∠B＝30°.∴BD＝2DE＝2.∴BC＝BD＋CD＝2＋1＝3.17. 【答案】10[解析] ∵AB，AC的垂直平分线分别交BC于点E，F，∴AE=BE，AF=CF.∴BC=BE+EF+CF=AE+EF+AF=10 cm.18. 【答案】③三、解答题（本大题共3道小题）19. 【答案】解：∵BD＝DC，AD⊥BE，∴AB＝AC.∵点C在AE的垂直平分线上，∴AC＝CE.∵△ABC的周长是22 cm，∴AC＋AB＋BD＋CD＝22 cm.∴AC＋CD＝11 cm.∴DE＝CD＋CE＝CD＋AC＝11 cm.20. 【答案】证明:∵∠ACB=90°，∴AC⊥BC.又∵DE⊥AB，BE平分∠ABC，∴CE=DE.∵DE垂直平分AB，∴AE=BE.∵AC=AE+CE，∴BE+DE=AC.21. 【答案】解：(1)证明：在长方形ABCD中，DA＝BC，∠A＝∠D＝∠B＝∠BCD＝90°.由折叠的性质，得GC ＝DA ，∠G ＝∠D ＝90°，∠GCE ＝∠A ＝90°. ∴GC ＝BC ，∠GCF ＋∠FCE ＝90°，∠FCE ＋∠BCE ＝90°. ∴∠GCF ＝∠BCE.又∵∠G ＝∠B ＝90°，GC ＝BC ， ∴△FGC ≌△EBC(ASA)． (2)由(1)知，DF ＝GF ＝BE ， ∴S四边形ECGF ＝S △FGC ＋S △EFC ＝S △EBC ＋S △EFC ＝S四边形BCFE ＝（BE ＋CF ）·AD2＝（DF ＋CF ）·AD 2＝8×42＝16.13.2 画轴对称图形一、选择题（5道小题，每题7分，共35分）更 正ABC 中，AB 的中垂线交BC 于点E ，若BE=2则A 、E 两点 的距离是（ ）.A.4B.2C.3D.122、如图，AB 垂直平分CD ，若AC=1.6cm ，BC=2.3cm ，则四边形ABCD 的周长是（ ）cm.A.3.9B.7.8C.4D.4.6 3、如图所示，l 是四边形ABCD 的对称轴，AD ∥BC ， 现给出下列结论：①AB ∥CD ；②AB=BC ；③AB ⊥BC ； ④AO=OC 其中正确的结论有（ ）A ．1个B 2个C 3个D 4个4、下列说法：①若直线PE 是线段AB 的垂直平分线，则EA=EB ，PA=PB ； ②若PA=PB ，EA=EB ，则直线PE 垂直平分线段AB ； ③若PA=PB ，则点P 必是线段AB 的垂直平分线上的点；④若EA=EB ，则过点E 的直线垂直平分线段AB ．其中正确的个数有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个5、在三角形内部，有一点P 到三角形三个顶点的距离相等，则点P 一定是（ ） A 、三角形三条角平分线的交点；B 、三角形三条垂直平分线的交点； C 、三角形三条中线的交点；D 、三角形三条高的交点。
13.3.1 等腰三角形 人教版数学八年级上册素养提升练(含解析)
( )
A.3 B.4 C.5 D.无法确定
11.【跨学科·地理】如图,一艘海轮位于灯塔 P 的南偏东 70°方向的
M 处,它以每小时 40 海里的速度向正北方向航行,2 小时后到达位于
灯塔 P 的北偏东 40°的 N 处,则 N 处与灯塔 P 的距离为 海
里.
12.【教材变式·P83T10】如图,在△ABC 中,∠ABC,∠ACB 的平分线交
故选 D.
5.答案 25°
解析 ∵AB=AC,∴∠C=∠B=25°.
∴∠DAC=∠B+∠C=50°.
∵AE=DE,∴∠EDA=∠EAD=50°.
∵BF=DF,∴∠FDB=∠FBD=25°.
∴∠EDF=∠ADE-∠FDB=50°-25°=25°.
6.答案 60°
解析 ∵AC=CD=BD=BE,∠A=40°,
(2)若△ABC 是特异三角形,∠A=30°,∠B 为钝角,求出所有可能的∠B
的度数.
28.【推理能力】已知:△ABC 和△DBE 均为等腰直角三角形,如图①,
易证 AD=CE 且 AD⊥CE.
(1)将△DBE 绕点 B 顺时针旋转至图②的位置时,线段 AD 和 CE 有怎
样的关系?
(2)将△DBE 绕点 B 顺时针旋转至图③的位置时,线段 AD 和 CE 又有
角形的底角度数为 .
25.(2022 浙江温州中考,20,★★☆)如图,BD 是△ABC 的角平分线,DE
∥BC,交 AB 于点 E.
(1)求证:∠EBD=∠EDB;
(2)当 AB=AC 时,请判断 CD 与 ED 的大小关系,并说明理由.
26.(2022 山 西 运 城 实 验 中 学 期 末 ,22, ★ ★ ☆ ) 如 图 , 在 △ABC
人教版八年级上册数学13.3.1 等腰三角形同步练习
13.3.1等腰三角形同步习题一、单选题1．如图，在△ABC中，∠ABC=45°，AC=5，F是高AD和BE的交点，则BF的长( )A．7 B．6 C．5 D．42.一个等腰三角形的两边长分别是 3 和 7，则它的周长为（）A．17 B．15 C．13 D．13 或 173.如图，在等腰三角形ABC 中，AB＝AC，AB 的垂直平分线MN 交AC 于点D，连接BD，∠A＝45°，则∠DBC 的度数为（）A．22.5° B．25° C．27.5° D．30°4．如图，在△ABC中， AB=AC，∠A=36° ，BD、CE分别是∠ABC、∠BCD 的角平分线，则图中的等腰三角形有（）A．5个B．1个C．3个D．2个5．如果三角形二条边的中垂线的交点在第三条边上，那么，这个三角形是（）A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等边三角形6．等边△ABC，在平面内找一点P，使△PBC、△PAB、△PAC均为等腰三角形，具备这样条件的P点有多少个？（）A．1个B．4个C．7个D．10个7.等腰三角形的一个顶角为 150°，则它的底角为（ ）A ．30°B ．15°C ．30° 或 15°D ．50°8.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是△ABC 的中线．若∠CAD ＝25°，则∠B的度数是（ ）A ．25°B ．55°C ．65°D ．75°二、填空题1．在ABC ∆中，AB AC =，AC 的垂直平分线交AC 于D ，交BC 于E ，若ABE ∆的周长为10，6BC =，则=AC ______.2．如图，△ABC 中，AD 平分∠BAC，CD⊥AD，若∠ABC 与∠ACD 互补，CD=8，则BC 的长为_____________．3．如图，上午8时，一条船从A 处出发，以15海里／时的速度向正北航行，10时到达B 处，从A 、B 望灯塔C ，测得∠NAC＝42°，∠NBC=84°，则从B 处到灯塔C 的距离_______．4．一个等腰三角形的周长是44厘米，三边长度之比是3:5:3，这个等腰三角形的底边长是_______厘米．5.小明有两根长度分别为4cm 和9cm 的木棒，他想再取一根木棒，组成等腰三角形，那么等腰三角形的周长为 cm6．如图，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点O ，过点O 作EF ∥BC 交AB 于E ，交AC 于F ，过点O 作OD ⊥AC 于D ，下列四个结论：①EF ＝BE +CF ；②∠BOC ＝90°+∠A ；③点O 到△ABC 各边的距离相等；④设OD ＝m ，AE +AF ＝n ，则S △AEF ＝mn ．其中正确的结论是 ．（填序号）三、解答题1．如图，在ABC 中，AB AC =，D 为BC 的中点，DE AB ⊥，DF AC ⊥，垂足为E 、F ，求证：DE DF =．2．如图，△ABC 中，∠BAC=90度，AB=AC ，BD 是∠ABC 的平分线，BD 的延长线垂直于过C 点的直线于E ，直线CE 交BA 的延长线于F ．求证：BD=2CE ．3．在△ABC中，AB=AC，AC上的中线BD把三角形的周长分为24㎝和30㎝的两个部分，求三角形的三边长．4.如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠A＝36°，DE 是AC 的垂直平分线，求证：△BCD 是等腰三角形.5.如图，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线交于点E，过点E 作MN∥BC 交AB 于M，光AC 于N，若△ABC、△AMN 周长分别为 13cm 和 8cm．（1）求证：MN＝BM+CN；（2）线段BC 的长6．如图，直线l1，l2交于点B，A是直线l1上的点，在直线l2上寻找一点C，使△ABC是等腰三角形，请画出所有的等腰三角形．7．等腰△ABC中，AB＝AC，∠ACB＝72°，（1）如图1，若BD⊥AC于D，求∠ABD的度数；（2）如图2，若CE平分∠ACB，求证：AE＝BC．。
2024年人教版八年级上册数学第13章第3节第1课时等腰三角形
感悟新知
知3－讲
特别提醒 1.等腰三角形的定义也是一种判定方法. 2.“等角对等边”是我们以后证明两条线段相
等的常用方法，在证明过程中，经常通过 计算三角形各角的度数，或利用角的关系 得到角相等，从而得到所对的边相等.
感悟新知
知3－讲
3. 已知底边及底边上的高作等腰三角形已知：一个等腰三 角形底边长为a，底边上的高为h(如图13 .3 -9). 求作：这个等腰三角形.
感悟新知
几何语言：如图13 .3 -3，在△ ABC 中， (1)∵ AB=AC，AD ⊥ BC， ∴ AD 平分∠ BAC(或BD=CD)； (2)∵ AB=AC，BD=DC， ∴ AD ⊥ BC(或AD 平分∠ BAC)； (3)∵ AB=AC，AD 平分∠ BAC， ∴ BD=DC(或AD ⊥ BC)．
感悟新知
知2－练
3-1.[中考·宿迁] 如图，已知AB=AC=AD，且AD ∥ BC，求 证：∠ C=2 ∠ D．
感悟新知
证明：∵AB＝AC＝AD， ∴∠C＝∠ABC，∠D＝∠ABD. ∵∠ABC＝∠ABD＋∠CBD， ∴∠ABC＝∠CBD＋∠D. ∵AD∥BC，∴∠CBD＝∠D. ∴∠ABC＝∠D＋∠D＝2∠D. 又∵∠C＝∠ABC，∴∠C＝2∠D.
知3－讲
感悟新知
知3－练
例6 如图13.3-11， 在△ ABC 中，D 为AC 的中点，DE ⊥ AB，DF ⊥ BC，垂足分别为点E，F，且DE=DF．求 证：△ ABC 是等腰三角形．
解题秘方：利用“等角对等边” 判定等腰三角形，只需证明三 角形两个内角相等即可.
感悟新知
知3－练
证明：∵ DE ⊥ AB，DF ⊥ BC，垂足分别为点E，F， ∴∠ AED= ∠ CFD=9 0 °. ∵ D 为AC 的中点，∴ AD=DC.
13.3.1等腰三角形的性质(2)
A
D
F
∟
B
E
C
二、应用举例
15．已知：如图、在△ABC 中，AB＝AC，AD是高、P 是AD上任意一点，并且 PE⊥AB、PF⊥AC，垂足分 别为E、F. 求证：PE=PF.
A
E
F
P
B
D
等腰三角形底边的高上的任意一点到两腰的距离相等
∟
C
二、应用举例
16．如图，已知△ABC中，AB=AC,F在AC上，在BA 的延长线上截取AE=AF, 连接EF并延长交BC于D, 求 证：ED⊥BC。
二、应用举例
3．已知等腰三角形有两边的长分别为3，6，则这个等 15 腰三角形的周长是 。 4．已知等腰三角形的周长为24，一边长为6，则另外两 9和9 边的长是 。 5、已知等腰三角形的周长为24，一边长为10，则另外 10， 7, 7 。 4或 两边的长是
注意： 涉及三角形边的运算一定要检验是否能构成三角形
二、应用举例
9、如图， ∠A =18°，AB=BC=CD=DE=EF，则 ∠DEF= 。
E
C A
B
D
F
二、应用举例
10、如图， ∠DEF =36°，AB=BC=CD=DE=EF，则 ∠A= 。 E
C A
B
D
F
二、应用举例
11、如图所示，AB=AC，BC=BD=ED=EA，求∠A 的度数.
A
E D B
3、等腰三角形性质3： 等腰三角形是轴对称图形.对称轴是底边上的中线 (顶角平分线,底边上的高)所在直线。
二、应用举例
1．已知等腰三角形的一个内角是80°，则它的另外两 个内角是 50,50或80, 20 。 2．已知等腰三角形的一个内角是100°，则它的另外两 个内角是 40, 40 。
人教版数学八年级上册13.3 等腰三角形同步练习(解析版)
人教版数学八年级上册13.3：等腰三角形同步练习一．选择题（共15小题）1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，斜边AB的长为2cm，则AC长为（）A．4 cm B．2 cm C．1 cm D．cm2．一个等腰三角形但不是等边三角形，它的角平分线、高线、中线总数共（）条．A．9B．7C．6D．33．如图，△ABC是等边三角形，AE⊥BC于E，AD⊥CD于D，AB∥CD，则图中60°的角有（）A．3个B．4个C．5个D．6个4．下列判断不正确的是（）A．等腰三角形的两底角相等B．等腰三角形的两腰相等C．等边三角形的三个内角都是60°D．两个内角分别为120°、40°的三角形是等腰三角形5．在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD⊥AB于D，若AC＝6，则BD等于（）A．6B．3C．9D．126．等腰三角形的对称轴，最多可以有（）A．1条B．3条C．6条D．无数条7．等腰三角形两边的长分别为2cm和5cm，则这个三角形的周长是（）A．9cm B．12cmC．9cm或12cm D．在9cm或12cm之间8．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，E为AC边上一点，且AE＝AD，∠BAC ＝40°，则∠EDC的度数是（）A．10°B．20°C．30°D．40°9．一个三角形有两条边相等，这个三角形一边等于5cm，一边等于10cm，则另一边等于（）A．5cm B．10cm C．15cm D．12cm10．如图，△ABC是等腰三角形，AD是底边BC上的高线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，图中除AB＝AC外，相等的线段共有（）A．1对B．2对C．3对D．4对11．等腰三角形一腰上的高与底边所夹的角为a，则这个等腰三角形的顶角为（）A．a B．90°﹣a C．12a D．2a12．等腰三角形的底角为a，则a的取值范围是（）A．a≤45°B．0°＜a＜90°C．45°＜a＜90°D．0°≤a＜90°13．如图，在等边三角形ABC中，三条中线AE，BD，CF相交于点O，则等边三角形ABC 中，从△BOF到△COD需要经过的变换是（）A．轴对称变换B．旋转变换C．平移变换D．相似变换14．如果以4cm长的线段为底组成一个等腰三角形，腰长x的取值范围是（）A．x＞4cm B．x＞2cm C．x≥4cm D．x≥2cm15．等腰三角形周长是32cm，一边长为10cm，则其他两边的长分别为（）A．10cm，12cm B．11cm，11cmC．11cm，11cm或10cm，12cm D．不能确定二．填空题（共6小题）16．若等腰三角形的一腰上的高与另一腰的夹角等于50°，则其顶角的度数为．若等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于50°，则其顶角的度数为．17．一个等腰三角形的腰长为3cm，则底边长的取值范围是．18．如图，AB＝AC，∠A＝100°，AB∥CD，则∠BCD＝度．19．等腰三角形的顶角与底角的度数之比为4：1，则它的各内角度数为．20．△ABC中，∠A：∠B：∠C＝1：2：3，AB＝10，则BC＝．21．（1）等腰三角形的一个角为100°，那么另外两个角分别为．（2）等腰三角形的一个角为50°，则底角是．三．解答题（共9小题）22．已知等腰三角形的周长为28cm，其中的一边长是另一边长的倍，求这个等腰三角形各边的长．23．如图，已知AB＝AC，D为BC边中点，你能说出AD与BC的位置关系吗？请说明理由．24．如图，△ABC是等腰三角形，且AB＝AC，试作出BC边上的中线和高以及∠A的平分线，从中你发现了什么？与其他同学进行交流．25．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝2∠A，BD平分∠ABC．请找出图中其他的等腰三角形，并选择其中的一个说明理由．26．已知D是等腰△ABC底边BC上的一个点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，当D点在什么位置时，DE＝DF，并加以证明．27．如图，AD是等腰△ABC顶角的外角的平分线，那么AD与BC平行吗？为什么？28．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，G是CA延长线上一点，GE∥AD交AB于F．交BC于E，试判断△AGF的形状并加以证明．29．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的高，点E、F分别是边AB、AC上的点，且EF∥BC．（1）试说明△AEF是等腰三角形；（2）试比较DE与DF的大小关系，并说明理由．30．已知：如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC延长线上一点，E是AC延长线上一点，且DE∥AB，求证：ED＝EC．人教版数学八年级上册13.3：等腰三角形同步练习参考答案一．选择题（共15小题）1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，斜边AB的长为2cm，则AC长为（）A．4 cm B．2 cm C．1 cm D．cm【解答】解：∵∠C＝90°，∠B＝30°，∴AB＝2AC，∵AB＝2cm，∴AC＝AB＝1cm，故选：C．2．一个等腰三角形但不是等边三角形，它的角平分线、高线、中线总数共（）条．A．9B．7C．6D．3【解答】解：由于任意一个三角形都有三条角平分线、三条高线、三条中线，而等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合，所以一个等腰三角形但不是等边三角形，它的角平分线、高线、中线总数共7条．故选：B．3．如图，△ABC是等边三角形，AE⊥BC于E，AD⊥CD于D，AB∥CD，则图中60°的角有（）A．3个B．4个C．5个D．6个【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝∠CAB＝60°∵AB∥CD，∴∠ACD＝∠CAB＝60°，∵AD⊥CD，∴∠DAB＝90°，∵AE⊥BC，∴∠BAE＝∠CAE＝30°，∴∠DAE＝60°∴图中60°的角有5个，故选：C．4．下列判断不正确的是（）A．等腰三角形的两底角相等B．等腰三角形的两腰相等C．等边三角形的三个内角都是60°D．两个内角分别为120°、40°的三角形是等腰三角形【解答】解：A、等腰三角形的两底角相等，正确，故本选项错误；B、等腰三角形的两腰相等，正确，故本选项错误；C、等边三角形的三个内角都是60°，正确，故本选项错误；D、两个内角分别为120°、40°的三角形的第三个内角为20°，不是等腰三角形，故本选项正确．故选：D．5．在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD⊥AB于D，若AC＝6，则BD等于（）A．6B．3C．9D．12【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠ACD＝∠B＝30°，∵AC＝6，∴AD＝AC＝×6＝3，AB＝2AC＝2×6＝12，∴BD＝AB﹣AD＝12﹣3＝9．故选：C．6．等腰三角形的对称轴，最多可以有（）A．1条B．3条C．6条D．无数条【解答】解：等腰三角形为等边三角形时对称轴最多，可以有3条．故选：B．7．等腰三角形两边的长分别为2cm和5cm，则这个三角形的周长是（）A．9cm B．12cmC．9cm或12cm D．在9cm或12cm之间【解答】解：当腰长是2cm时，因为2+2＜5，不符合三角形的三边关系，应排除；当腰长是5cm时，因为5+5＞2，符合三角形三边关系，此时周长是12cm．故选：B．8．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，E为AC边上一点，且AE＝AD，∠BAC ＝40°，则∠EDC的度数是（）A．10°B．20°C．30°D．40°【解答】解：∵在△ABC中，D为BC中点，AB＝AC，∴AD⊥BC，AD是∠BAC的角平分线，又∵AD＝AE，∠BAC＝40°，∴∠ADE＝80°∴∠EDC＝∠ADC﹣∠ADE＝90°﹣80°＝10°．故选：A．9．一个三角形有两条边相等，这个三角形一边等于5cm，一边等于10cm，则另一边等于（）A．5cm B．10cm C．15cm D．12cm【解答】解：当第三边是5cm时，则5+5＝10，不能构成三角形，当另一边长是10cm时，能构成三角形．故选：B．10．如图，△ABC是等腰三角形，AD是底边BC上的高线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，图中除AB＝AC外，相等的线段共有（）A．1对B．2对C．3对D．4对【解答】解：∵△ABC是等腰三角形，AD是底边BC上的高线，∴BD＝CD，∠BAD＝∠CAD，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF，∠BED＝∠DFC＝90°，在Rt△BED和Rt△CFD中，，∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），∴BE＝CF，∵AB＝AC，∴AE＝AF．故图中除AB＝AC外，相等的线段共有4对．故选：D．11．等腰三角形一腰上的高与底边所夹的角为a，则这个等腰三角形的顶角为（）A．a B．90°﹣a C．12a D．2a【解答】解：如图，AB＝AC，BD是腰AC的高，则∠DBC＝α∴∠C＝90°﹣α∴∠A＝180°﹣2（90°﹣α）＝2α故选：D．12．等腰三角形的底角为a，则a的取值范围是（）A．a≤45°B．0°＜a＜90°C．45°＜a＜90°D．0°≤a＜90°【解答】解：∵等腰三角形的底角为a，且三角形的内角和等于180°，∴0°＜2a＜180°，∴0°＜a＜90°．故选：B．13．如图，在等边三角形ABC中，三条中线AE，BD，CF相交于点O，则等边三角形ABC 中，从△BOF到△COD需要经过的变换是（）A．轴对称变换B．旋转变换C．平移变换D．相似变换【解答】解：∵△BOF与△COD是关于OE的轴对称图形，∴从△BOF到△COD需要经过轴对称变换．故选A14．如果以4cm长的线段为底组成一个等腰三角形，腰长x的取值范围是（）A．x＞4cm B．x＞2cm C．x≥4cm D．x≥2cm【解答】解：此等腰三角形的底为4cm，则有2x＞4，解得x＞2，故选：B．15．等腰三角形周长是32cm，一边长为10cm，则其他两边的长分别为（）A．10cm，12cm B．11cm，11cmC．11cm，11cm或10cm，12cm D．不能确定【解答】解：当该边是腰时，底边是32﹣20＝12cm，则另外两边是10cm，12cm；当该边是底时，则腰的长为：（32﹣10）÷2＝11cm，则另外两边是11cm，11cm；经检验，两种情况都符合三角形的三边关系．故选：C．二．填空题（共6小题）16．若等腰三角形的一腰上的高与另一腰的夹角等于50°，则其顶角的度数为40°或140°．若等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于50°，则其顶角的度数为100°．【解答】解：（1）①当为锐角三角形时可以画图，高与右边腰成50°夹角，由三角形内角和为180°可得，顶角为40°；②当为钝角三角形时可画图，此时垂足落到三角形外面，因为三角形内角和为180°，由图可以看出等腰三角形的顶角的补角为40°，三角形的顶角为140°．（2）如图，①顶角是钝角时，∠B＝90°﹣50°＝40°，则顶角＝180°﹣2×40°＝100°，是钝角，符合；②顶角是锐角时，∠B＝90°﹣50°＝40°，∠A＝180°﹣2×40°＝100°，是钝角，不符合．故答案为：40°或140°；100°．17．一个等腰三角形的腰长为3cm，则底边长的取值范围是0＜底边＜6cm．【解答】解：∵3﹣3＝0，3+3＝6cm，∴底边的取值范围是0＜底边＜6cm．故答案为：0＜底边＜6cm．18．如图，AB＝AC，∠A＝100°，AB∥CD，则∠BCD＝40度．【解答】解：∵AB＝AC∴∠B＝∠ACB＝（180﹣∠A）＝40°∵AB∥CD∴∠BCD＝∠B＝40°．故填40．19．等腰三角形的顶角与底角的度数之比为4：1，则它的各内角度数为120°，30°，30°．【解答】解：设等腰三角形的各角为4x，x，x∵4x+x+x＝180°∴x＝30°∴三个内角分别是120°，30°，30°．故填120°，30°，30°．20．△ABC中，∠A：∠B：∠C＝1：2：3，AB＝10，则BC＝5．【解答】解：由∠A：∠B：∠C＝1：2：3，可设∠A＝x°，则∠B＝2x°，∠C＝3x°．∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴x+2x+3x＝180，∴x＝30，∴∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°，∴BC＝AB＝×10＝5．故答案为5．21．（1）等腰三角形的一个角为100°，那么另外两个角分别为40°，40°．（2）等腰三角形的一个角为50°，则底角是50°，65°．【解答】解：（1）∵等腰三角形的一个角为100°∴两底角的和＝180°﹣100°＝80°又∵等腰三角形的两底角相等∴两底角都为40°．（2）当50°的角是底角，则底角就为50°；当50°的角是顶角，则两底角的和等于130°，所以底角等于65°．故填40°，40°；50°，65°．三．解答题（共9小题）22．已知等腰三角形的周长为28cm，其中的一边长是另一边长的倍，求这个等腰三角形各边的长．【解答】解：设等腰三角形的一边长为xcm，则另一边长为xcm，则等腰三角形的三边有两种情况：xcm，xcm，xcm或xcm，xcm，xcm，则有：①x+x+x＝28，得x＝8cm，所以三边为：8cm、8cm、12cm；②x+x+x＝28，得x＝7cm，所以三边为7cm、10.5cm、10.5cm．因此等腰三角形的三边的长为：8cm，8cm，12cm或7cm，10.5cm，10.5cm．23．如图，已知AB＝AC，D为BC边中点，你能说出AD与BC的位置关系吗？请说明理由．【解答】解：AD⊥BC．理由如下：∵AB＝AC，D为BC边中点，∴AD⊥BC．24．如图，△ABC是等腰三角形，且AB＝AC，试作出BC边上的中线和高以及∠A的平分线，从中你发现了什么？与其他同学进行交流．【解答】解：如图，过点A作AD⊥BC于点D，在Rt△ABD和Rt△ACD中，∵AB＝AC，AD＝AD，∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL）∴BD＝CD，即AD也是中线，∴∠BAD＝∠CAD，即AD又是高线，所以等腰三角形底边上的中线、高以及顶角的角平分线重合．25．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝2∠A，BD平分∠ABC．请找出图中其他的等腰三角形，并选择其中的一个说明理由．【解答】解：△ABD、△BCD．理由：∵在△ABC中，AB＝AC，∠C＝2∠A，∴∠ABC＝∠C＝2∠A，∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，∴∠A+2∠A+2∠A＝180°，解得：∠A＝36°，∴∠ABC＝∠C＝72°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC＝36°，∴∠A＝∠ABD＝36°，∠BDC＝∠C＝72°，∴△ABD与△BCD是等腰三角形．26．已知D是等腰△ABC底边BC上的一个点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，当D点在什么位置时，DE＝DF，并加以证明．【解答】解：当D是BC中点时DE＝DF，理由：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C；∵∠BED＝∠CFD＝90°，BD＝CD；∴△BDE≌△CDF；∴DE＝DF．27．如图，AD是等腰△ABC顶角的外角的平分线，那么AD与BC平行吗？为什么？【解答】解：AD∥BC．∵△ABC是等腰三角形，∴∠B＝∠C，又∵∠EAC是△ABC的一个外角，∴∠EAC＝∠B+∠C＝2∠B，∵AD是等腰△ABC顶角的外角的平分线，∴2∠DAC＝∠EAC，∴∠C＝∠DAC，∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行）．28．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，G是CA延长线上一点，GE∥AD交AB于F．交BC于E，试判断△AGF的形状并加以证明．【解答】解：△AGF是等腰三角形；理由：∵GE∥AD，∴∠G＝∠CAD，∠BAD＝∠GF A，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠BAD，∴∠G＝∠GF A，∴AG＝AF，∴△AGF是等腰三角形．29．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的高，点E、F分别是边AB、AC上的点，且EF∥BC．（1）试说明△AEF是等腰三角形；（2）试比较DE与DF的大小关系，并说明理由．【解答】解：（1）∵EF∥BC，∴∠AEF＝∠B，∠AFE＝∠C．又∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠AEF＝∠AFE，∴AE＝AF，即△AEF是等腰三角形；（2）DE＝DF．理由如下：∵AD是等腰三角形ABC的底边上的高，∴AD也是∠BAC的平分线．又∵△AEF是等腰三角形，∴AG是底边EF上的高和中线，∴AD⊥EF，GE＝GF，∴AD是线段EF的垂直平分线，∴DE＝DF．30．已知：如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC延长线上一点，E是AC延长线上一点，且DE∥AB，求证：ED＝EC．【解答】证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∵AB∥ED，∴∠B＝∠D，∴∠ACB＝∠D，又∵∠ACB＝∠ECD，∴∠ECD＝∠D，∴ED＝EC．。
八年级数学上册第13章《等腰三角形》综合检测2(人教版)
13.3.1 等腰三角形一．选择题（共10小题）1．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD，CE是角平分线，则图中的等腰三角形共有（）A．8个B．7个C．6个D．5个2．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，ED∥BC，若AB=4，AD=2，则△AED的周长是（）A．6 B．7 C．8 D．103．如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A=∠ABD，若AC=5，BC=3，则BD的长为（）A．1 B．1.5 C．2D．44．如图，∠MON=30°，且OP平分∠MON，过点P作PQ∥OM交ON于点Q．若点P 到OM的距离为2，则OQ的长为（）A．1 B．2 C．3 D．45．如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F为垂足，则下列四个结论：（1）∠DEF=∠DFE；（2）AE=AF；（3）AD平分∠EDF；（4）EF垂直平分AD．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个6．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，ED∥BC，已知AB=5，AD=2，则△AED的周长为（）A．4 B．5 C．6 D．77．如图，△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD平分∠ABC，下列结论错误的是（）A．∠C=2∠A B．BD=BC C．△ABD是等腰三角形 D．点D为线段AC的中点8．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，D、E两点分别在边AC、BC上，BD平分∠ABC，DE∥AB．图中的等腰三角形共有（）A．3个B．4个C．5个D．6个9．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以△ABC的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在△ABC的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为（）A．4 B．5 C．6 D．710．如图，△ABC中，BD，CD分别平分∠ABC，∠ACB，过点D作EF∥BC交AB，AC于点E，F，当∠A的位置及大小变化时，线段EF和BE+CF的大小关系为（）A．EF＞BE+CF B．EF=BE+CF C．EF＜BE+CF D．不能确定二．填空题（共5小题）11．如图，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD平分∠ABC，则图中等腰三角形的个数是．12．已知：如图，△ABC中，BO，CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线，过O点的直线分别交AB、AC于点D、E，且DE∥BC．若AB=6cm，AC=8cm，则△ADE的周长为．13．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM+CN=11，则线段MN的长为．14．如图，∠ABC，∠ACB的平分线相交于点F，过点F作DE∥BC，交AB于D，交AC于E，那么下列结论：①△BDF，△CEF都是等腰三角形；②DE=BD+CE；③△ADE的周长为AB+AC；④BD=CE．其中正确的是．15．在一次夏令营活动中，小明同学从营地A出发，要到A地的北偏东60°方向的C处，他先沿正东方向走了200m到达B地，再沿北偏东30°方向走，恰能到达目的地C（如图），那么，由此可知，B、C两地相距 m．三．解答题（共5小题）16．如图，在△ABC中，AB=AC，CD是∠ACB的平分线，DE∥BC，交AC于点E．（1）求证：DE=CE．（2）若∠CDE=35°，求∠A的度数．17．如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC边上一点，EF垂直平分CD，交AC于点E，交BC于点F，连结DE，求证：DE∥AB．18．我们知道一个图形的性质和判定之间有着密切的联系．比如，由等腰三角形的性质“等边对等角”很易得到它的判定“等角对等边”．小明在学完“等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合”性质后，得到如下三个猜想：（1）如果一个三角形一边的中线和这边上的高相互重合，则这个三角形是等腰三角形；（2）如果一个三角形一边的高和这边所对的角的平分线相互重合，则这个三角形是等腰三角形；（3）如果一个三角形一边的中线和这边所对的角的平分线相互重合，则这个三角形是等腰三角形．我们运用线段垂直平分线的性质，很易证明猜想（1）的正确性．现请你帮助小明判断他的猜想（2）、（3）是否成立？若成立，请结合图形，写出已知、求证和证明过程；若不成立，请举反例说明．19．如图，已知点A、C分别在∠GBE的边BG、BE上，且AB=AC，AD∥BE，∠GBE 的平分线与AD交于点D，连接CD．（1）求证：①AB=AD；②CD平分∠ACE．（2）猜想∠BDC与∠BAC之间有何数量关系？并对你的猜想加以证明．20．如图1，在△ABC中，∠BAC=75°，∠ACB=35°，∠ABC的平分线BD交边AC 于点D．（1）求证：△BCD为等腰三角形；（2）若∠BAC的平分线AE交边BC于点E，如图2，求证：BD+AD=AB+BE；（3）若∠BAC外角的平分线AE交CB延长线于点E，请你探究（2）中的结论是否仍然成立？直接写出正确的结论．人教版八年级上册13.3.1等腰三角形参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD，CE是角平分线，则图中的等腰三角形共有（）A．8个B．7个C．6个D．5个【分析】根据三角形内角和定理求出∠ABC=∠ACB=72°，根据角平分线求出∠ABD=∠DBC=∠ACE=∠ECB=36°，根据三角形内角和定理求出∠BDC、∠BEC、∠EOB、∠DOC，根据等腰三角形的判定推出即可．【解答】解：∵AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠ACB=（180°﹣∠A）=72°，∵BD，CE是角平分线，∴∠ABD=∠DBC=∠ABC=36°，∠ACE=∠ECB=36°，∴∠A=∠ABD=∠ACE，∠DBC=∠ECB，∴∠BDC=180°﹣∠ACB﹣∠DBC=180°﹣72°﹣36°=72°，同理∠BEC=72°，∴∠BDC=∠ACB，∠BEC=∠EBC，∴∠EOB=180°﹣∠BEC﹣∠EBD=180°﹣72°﹣36°=72°，同理∠DOC=72°，∴∠BEO=∠BOE，∠CDO=∠COD，即等腰三角形有△OBC，△ADB，△AEC，△BEC，△BDC，△ABC，△EBO，△DCO，共8个，故选：A．【点评】本题考查了等腰三角形的性质和判定，角平分线定义，三角形内角和定理的应用，关键是能求出各个角的度数．2．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，ED∥BC，若AB=4，AD=2，则△AED的周长是（）A．6 B．7 C．8 D．10【分析】由平行线的性质和角平分线的定义可求得BE=DE，则可求得答案．【解答】解：∵ED∥BC，∴∠EDB=∠CBD，∵BD平分∠ABC，∴∠CBD=∠ABD，∴∠EDB=∠ABD，∴DE=BE，∴AE+ED+AD=AE+BE+AD=AB+AD=4+2=6，即△AED的周长为6，故选：A．【点评】本题主要考查等腰三角形的判定和性质，证得DE=BE是解题的关键，注意角平分线、平行线的性质有应用．3．如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A=∠ABD，若AC=5，BC=3，则BD的长为（）A．1 B．1.5 C．2D．4【分析】延长BD与AC交于点E，由题意可推出BE=AE，依据等角的余角相等，即可得等腰三角形BCE，可推出BC=CE，AE=BE=2BD，根据AC=5，BC=3，即可推出BD的长度．【解答】解：延长BD与AC交于点E，∵∠A=∠ABD，∴BE=AE，∵BD⊥CD，∴BE⊥CD，∵CD平分∠ACB，∴∠BCD=∠ECD，∴∠EBC=∠BEC，∴△BEC为等腰三角形，∴BC=CE，∵BE⊥CD，∴2BD=BE，∵AC=5，BC=3，∴CE=3，∴AE=AC﹣EC=5﹣3=2，∴BE=2，∴BD=1．故选：A．【点评】本题主要考查等腰三角形的判定与性质，比较简单，关键在于正确地作出辅助线，构建等腰三角形，通过等量代换，即可推出结论．4．如图，∠MON=30°，且OP平分∠MON，过点P作PQ∥OM交ON于点Q．若点P到OM的距离为2，则OQ的长为（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】过P作PF⊥OM，PE⊥ON，根据角平分线的性质得到OE=OF，∠1=∠2，根据平行线的性质得到∠1=∠3，根据直角三角形的性质即可得到结论．【解答】解：过P作PF⊥OM，PE⊥ON，∵OP平分∠MON，∴OE=OF，∠1=∠2，∵PQ∥OM，∴∠1=∠3，∴∠2=∠3=∠MON=15°，∴OQ=PQ，∠4=30°，∴PQ=2PE=4∴OQ=PQ=4．故选：D．【点评】本题考查了角平分线的性质，平行线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．5．如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F为垂足，则下列四个结论：（1）∠DEF=∠DFE；（2）AE=AF；（3）AD平分∠EDF；（4）EF垂直平分AD．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】利用等腰三角形的概念、性质以及角平分线的性质做题．【解答】解：∵AB=AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC∴△ABC是等腰三角形，AD⊥BC，BD=CD，∠BED=∠DFC=90°∴DE=DF∴AD垂直平分EF∴（4）错误；又∵AD所在直线是△ABC的对称轴，∴（1）∠DEF=∠DFE；（2）AE=AF；（3）AD平分∠EDF．故选：C．【点评】有两边相等的三角形是等腰三角形；等腰三角形的两个底角相等；（简写成“等边对等角”）等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高的重合（简写成“三线合一”）．6．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，ED∥BC，已知AB=5，AD=2，则△AED的周长为（）A．4 B．5 C．6 D．7【分析】根据角平分线的定义、平行线的性质得到∠ABD=∠EDB，得到EB=ED，根据三角形的周长公式计算即可．【解答】解：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，∵ED∥BC，∴∠EDB=∠CBD，∴∠ABD=∠EDB，∴EB=ED，∴△AED的周长=AE+DE+AD=AE+BE+AD=AB+AD=7，故选：D．【点评】本题考查的是等腰三角形的判定、平行线的性质，掌握等角对等边是解题的关键．7．如图，△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD平分∠ABC，下列结论错误的是（）A．∠C=2∠A B．BD=BCC．△ABD是等腰三角形D．点D为线段AC的中点【分析】根据∠A=36°，AB=AC，BD平分∠ABC，可得△ABD与△BCD都是等腰三角形，据此判断各选项是否正确即可．【解答】解：∵∠A=36°，AB=AC，∴∠ABC=∠C=72°，∴∠C=2∠A，故（A）正确；∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=36°，∴∠BDC=36°+36°=72°，∴∠BDC=∠C，∴BD=BC，故（B）正确；∵∠A=∠ABD=36°，∴△ABD是等腰三角形，故（C）正确；∵BD＞CD，∴AD＞CD，∴D不是AC的中点，故（D）错误．故选：D．【点评】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理，解题时注意：等腰三角形的两个底角相等；反之，有两个角相等的三角形是等腰三角形．8．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，D、E两点分别在边AC、BC上，BD平分∠ABC，DE∥AB．图中的等腰三角形共有（）A．3个B．4个C．5个D．6个【分析】已知条件，根据三角形内角和等于180，角的平分线的性质求得各个角的度数，然后利用等腰三角形的判定进行判断即可．【解答】解：∵AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠C=72°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC=36°，∴∠BDC=180°﹣36°﹣72°=72°，∵DE∥AB，∴∠EDB=∠ABD=36°，∴∠EDC=72°﹣36°=36°，∴∠DEC=180°﹣72°﹣36°=72°，∴∠A=∠ABD，∠DBE=∠BDE，∠DEC=∠C，∠BDC=∠C，∠ABC=∠C，∴△ABC、△ABD、△DEB、△BDC、△DEC都是等腰三角形，共5个，故选：C．【点评】此题考查了等腰三角形判定和性质、角平分线的性质、平行线的性质，由已知条件利用相关的性质求得各个角相等是本题的关键．9．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以△ABC的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在△ABC的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为（）A．4 B．5 C．6 D．7【分析】①以B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，△BCD就是等腰三角形；②以A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点E，△ACE就是等腰三角形；③以C为圆心，BC长为半径画弧，交AC于点F，△BCF就是等腰三角形；④以C为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点K，△BCK就是等腰三角形；⑤作AB的垂直平分线交AC于G，则△AGB是等腰三角形；⑥作BC的垂直平分线交AB于I，则△BCI和△ACI是等腰三角形．【解答】解：如图：故选：D．【点评】本题考查了等腰三角形的判定的应用，主要考查学生的理解能力和动手操作能力．10．如图，△ABC中，BD，CD分别平分∠ABC，∠ACB，过点D作EF∥BC交AB，AC于点E，F，当∠A的位置及大小变化时，线段EF和BE+CF的大小关系为（）A．EF＞BE+CF B．EF=BE+CF C．EF＜BE+CF D．不能确定【分析】由平行线的性质和角平分线的定义可得∠EBD=∠EDB，则ED=BE，同理可得DF=FC，则EF=BE+CF，可得答案．【解答】解：∵EF∥BC，∴∠EDB=∠DBC，∵BD平分∠ABC，∴∠EBD=∠DBC，∴∠EDB=∠EBD，∴ED=BE，同理DF=FC，∴ED+DF=BE+FC，即EF=BE+FC，故选：B．【点评】本题主要考查等腰三角形的判定，利用平行线的性质及角平分线的定义得到ED=BE和DF=FC是解题的关键二．填空题（共5小题）11．如图，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD平分∠ABC，则图中等腰三角形的个数是 3 ．【分析】首先根据已知条件分别计算图中每一个三角形每个角的度数，然后根据等腰三角形的判定：等角对等边解答，做题时要注意，从最明显的找起，由易到难，不重不漏．【解答】解：∵AB=AC，∠A=36°∴△ABC是等腰三角形，∠ABC=∠ACB==72°，BD平分∠ABC，∴∠EBD=∠DBC=36°，∴在△ABD中，∠A=∠ABD=36°，AD=BD，△ABD是等腰三角形，在△ABC中，∠C=∠ABC=72°，AB=AC，△ABC是等腰三角形，在△BDC中，∠C=∠BDC=72°，BD=BC，△BDC是等腰三角形，所以共有3个等腰三角形．故答案为：3【点评】本题考查了等腰三角形的性质及等腰三角形的判定，角的平分线的性质；求得各个角的度数是正确解答本题的关键．12．已知：如图，△ABC中，BO，CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线，过O点的直线分别交AB、AC于点D、E，且DE∥BC．若AB=6cm，AC=8cm，则△ADE的周长为14cm ．【分析】两直线平行，内错角相等，以及根据角平分线性质，可得△OBD、△EOC 均为等腰三角形，由此把△AEF的周长转化为AC+AB．【解答】解：∵DE∥BC，∴∠DOB=∠OBC，又∵BO是∠ABC的角平分线，∴∠DBO=∠OBC，∴∠DBO=∠DOB，∴BD=OD，同理：OE=EC，∴△ADE的周长=AD+OD+OE+AE=AD+BD+AE+EC=AB+AC=14cm．故答案是：14cm．【点评】本题考查了平行线的性质和等腰三角形的判定及性质，正确证明△OBD、△EOC均为等腰三角形是关键．13．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM+CN=11，则线段MN的长为11 ．【分析】根据平行线的性质得出∠MEB=∠EBC，∠NEC=∠ECB，根据角平分线定义得出∠MBE=∠EBC，∠NCE=∠ECB，求出∠MEB=∠MBE，∠NEC=∠NCE，推出ME=BM，EN=CN即可．【解答】解：∵MN∥BC，∴∠MEB=∠EBC，∠NEC=∠ECB，∵∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，∴∠MBE=∠EBC，∠NCE=∠ECB，∴∠MEB=∠MBE，∠NEC=∠NCE，∴ME=BM，EN=CN，∵BM+CN=11，∴EM+EN=11，即MN=11，故答案为：11．【点评】本题考查了等腰三角形的判定、平行线的性质、角平分线定义等知识点，能求出ME=BM和EN=CN是解此题的关键．14．如图，∠ABC，∠ACB的平分线相交于点F，过点F作DE∥BC，交AB于D，交AC于E，那么下列结论：①△BDF，△CEF都是等腰三角形；②DE=BD+CE；③△ADE的周长为AB+AC；④BD=CE．其中正确的是①②③．【分析】①根据平分线的性质、平行线的性质，借助于等量代换可求出∠DBF=∠DFB，即△BDF是等腰三角形，同理△CEF都是等腰三角形；②利用等腰三角形的性质即可证明③由①可得△ADE的周长为AB+AC；④无法判断故错误；【解答】解：①∵BF是∠ABC的角平分线，∴∠ABF=∠CBF，又∵DE∥BC，∴∠CBF=∠DFB，∴DB=DF即△BDF是等腰三角形，同理∠ECF=∠EFC，∴EF=EC，∴△BDF，△CEF都是等腰三角形；故正确．②∵BDF，△CEF都是等腰三角形，∴DF=DB，EF=EC，∴DE=BD+EC，故正确．③∵①△BDF，△CEF都是等腰三角形∴BD=DF，EF=EC，△ADE的周长=AD+DF+EF+AE=AD+BD+AE+EC=AB+AC；故正确，④无法判断BD=CE，故错误，故答案为①②③．【点评】本题考查了等腰三角形的性质及角平分线的性质，以及三角形内角和定理解答，涉及面较广，需同学们仔细解答．15．在一次夏令营活动中，小明同学从营地A出发，要到A地的北偏东60°方向的C处，他先沿正东方向走了200m到达B地，再沿北偏东30°方向走，恰能到达目的地C（如图），那么，由此可知，B、C两地相距200 m．【分析】先求出∠BAC，再根据三角形的内角和定理求出∠C，从而得到∠BAC=∠C，然后根据等角对等边可得BC=AB．【解答】解：∵B在A的正东方，C在A地的北偏东60°方向，∴∠BAC=90°﹣60°=30°，∵C在B地的北偏东30°方向，∴∠ABC=90°+30°=120°，∴∠C=180°﹣∠BAC﹣∠ABC=180°﹣30°﹣120°=30°，∴∠BAC=∠C，∴BC=AB=200m．故答案为：200．【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，方向角的定义，根据角的度数求出∠BAC=∠C是解题的关键，也是本题的难点．三．解答题（共5小题）16．如图，在△ABC中，AB=AC，CD是∠ACB的平分线，DE∥BC，交AC于点E．（1）求证：DE=CE．（2）若∠CDE=35°，求∠A的度数．【分析】（1）根据角平分线的性质可得出∠BCD=∠ECD，由DE∥BC可得出∠EDC=∠BCD，进而可得出∠EDC=∠ECD，再利用等角对等边即可证出DE=CE；（2）由（1）可得出∠ECD=∠EDC=35°，进而可得出∠ACB=2∠ECD=70°，再根据等腰三角形的性质结合三角形内角和定理即可求出∠A的度数．【解答】（1）证明：∵CD是∠ACB的平分线，∴∠BCD=∠ECD．∵DE∥BC，∴∠EDC=∠BCD，∴∠EDC=∠ECD，∴DE=CE．（2）解：∵∠ECD=∠EDC=35°，∴∠ACB=2∠ECD=70°．∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=70°，∴∠A=180°﹣70°﹣70°=40°．【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质、平行线的性质以及角平分线，解题的关键是：（1）根据平行线的性质结合角平分线的性质找出∠EDC=∠ECD；（2）利用角平分线的性质结合等腰三角形的性质求出∠ACB=∠ABC=70°．17．如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC边上一点，EF垂直平分CD，交AC于点E，交BC于点F，连结DE，求证：DE∥AB．【分析】根据垂直平分线的性质可知∠EDC=∠C，再由等腰三角形的性质即可得出∠EDC=∠B．从而可知DF∥AB．【解答】证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C．∵EF垂直平分CD，∴ED=EC．∴∠EDC=∠C．∴∠EDC=∠B．∴DE∥AB．【点评】本题考查等腰三角形以及垂直平分线的性质，解题的关键是灵活运用等腰三角形的性质以及垂直平分线的性质，本题属于基础题型．18．我们知道一个图形的性质和判定之间有着密切的联系．比如，由等腰三角形的性质“等边对等角”很易得到它的判定“等角对等边”．小明在学完“等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合”性质后，得到如下三个猜想：（1）如果一个三角形一边的中线和这边上的高相互重合，则这个三角形是等腰三角形；（2）如果一个三角形一边的高和这边所对的角的平分线相互重合，则这个三角形是等腰三角形；（3）如果一个三角形一边的中线和这边所对的角的平分线相互重合，则这个三角形是等腰三角形．我们运用线段垂直平分线的性质，很易证明猜想（1）的正确性．现请你帮助小明判断他的猜想（2）、（3）是否成立？若成立，请结合图形，写出已知、求证和证明过程；若不成立，请举反例说明．【分析】（2）首先根据命题写出已知，求证，然后根据题意，推出△CAD≌△BAC，即可推出AB=AC，（3）首先根据命题写出已知，求证，画出图形，然后，作出辅助线作DE⊥AC，DF⊥AB，根据条件推出Rt△CED≌Rt△BFC，即可推出∠B=∠C，根据△ABC内，等角对等边，即可推出AB=AC．【解答】解：（2）、（3）都正确．（2）已知：在△ABC中，AD⊥BC，AD平分∠BAC，求证：AB=AC（1分）证明：∵AD⊥BC，AD平分∠BAC，∴∠ADB=∠ADC=90°，∠CAD=∠BAD，∵AD=AD，∴△CAD≌△BAC（ASA）（4分）∴AB=AC，（3）已知：在△ABC中，CD=BD，AD平分∠BAC，求证：AB=AC（5分）证明：作DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E、F，（6分）∵AD平分∠BAC，∴DE=DF，∵CD=BD，∴Rt△CED≌Rt△BFC，∴∠B=∠C，∴AB=AC．【点评】本题主要考查等腰三角形的性质、根据命题写已知、求证，全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质的等性质定理，关键在于根据命题写出已知、求证、画出图形．19．如图，已知点A、C分别在∠GBE的边BG、BE上，且AB=AC，AD∥BE，∠GBE的平分线与AD交于点D，连接CD．（1）求证：①AB=AD；②CD平分∠ACE．（2）猜想∠BDC与∠BAC之间有何数量关系？并对你的猜想加以证明．【分析】（1）①根据平行线的性质得到∠ADB=∠DBC，由角平分线的定义得到∠ABD=∠DBC，等量代换得到∠ABD=∠ADB，根据等腰三角形的判定即可得到AB=AD；②根据平行线的性质得到∠ADC=∠DCE，由①知AB=AD，等量代换得到AC=AD，根据等腰三角形的性质得到∠ACD=∠ADC，求得∠ACD=∠DCE，即可得到结论；（2）根据角平分线的定义得到∠DBC=∠ABC，∠DCE=∠ACE，由于∠BDC+∠DBC=∠DCE于是得到∠BDC+∠ABC=∠ACE，由∠BAC+∠ABC=∠ACE，于是得到∠DC+∠ABC=∠ABC+∠BAC，即可得到结论．【解答】解：（1）①∵AD∥BE，∴∠ADB=∠DBC，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC，∴∠ABD=∠ADB，∴AB=AD；②∵AD∥BE，∴∠ADC=∠DCE，由①知AB=AD，又∵AB=AC，∴AC=AD，∴∠ACD=∠ADC，∴∠ACD=∠DCE，∴CD平分∠ACE；（2）∠BDC=∠BAC，∵BD、CD分别平分∠ABE，∠ACE，∴∠DBC=∠ABC，∠DCE=∠ACE，∵∠BDC+∠DBC=∠DCE，∴∠BDC+∠ABC=∠ACE，∵∠BAC+∠ABC=∠ACE，∴∠BDC+∠ABC=∠ABC+∠BAC，∴∠BDC=∠BAC．【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，角平分线的定义，平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键．20．如图1，在△ABC中，∠BAC=75°，∠ACB=35°，∠ABC的平分线BD交边AC 于点D．（1）求证：△BCD为等腰三角形；（2）若∠BAC的平分线AE交边BC于点E，如图2，求证：BD+AD=AB+BE；（3）若∠BAC外角的平分线AE交CB延长线于点E，请你探究（2）中的结论是否仍然成立？直接写出正确的结论．【分析】（1）如图1，先根据三角形内角和得：∠ABC=70°，由角平分线及已知角可得：∠DBC=∠ACB=35°，可得结论；（2）证法一：如图2，在AC上截取AH=AB，连接EH，证明△ABE≌△AHE，则BE=EH，∠AHE=∠ABE=70°，所以EH=HC，得AB+BE=AH+HC=AC=BD=CD；证法二：如图3，在AB的延长线上取AF=AC，连接EF，证明△AEF≌△AEC，则∠F=∠C=35°，得BF=BE，可得结论；（3）正确画图4，作辅助线，构建等腰三角形，根据角的大小证明：AF=AC=EF，由线段的和与差可得结论．【解答】证明：（1）如图1，在△ABC中，∠BAC=75°，∠ACB=35°，∴∠ABC=180°﹣∠BAC﹣∠ACB=70°，（2分）∵BD平分∠ABD，∴∠DBC=∠ABD=35°，（3分）∴∠DBC=∠ACB=35°，∴△BCD为等腰三角形；（4分）（2）证法一：如图2，在AC上截取AH=AB，连接EH，由（1）得：△BCD为等腰三角形，∴BD=CD，∴BD+AD=CD+AD=AC，（6分）∵AE平分∠BAC，∴∠EAB=∠EAH，∴△ABE≌△AHE，∴BE=EH，∠AHE=∠ABE=70°，（8分）∴∠HEC=∠AHE﹣∠ACB=35°，∴EH=HC，∴AB+BE=AH+HC=AC，∴BD+AD=AB+BE；（10分）证法二：如图3，在AB的延长线上取AF=AC，连接EF，由（1）得：△BCD为等腰三角形，且BD=CD，∴BD+AD=CD+AD=AC，∵AE平分∠BAC，∴∠EAF=∠EAC，∴△AEF≌△AEC，∴∠F=∠C=35°，（8分）∴BF=BE，∴AB+BE=AB+BF=AF，∴BD+AD=AB+BE；（10分）（3）正确结论：BD+AD=BE﹣AB，理由是：如图4，在BE上截取BF=AB，连接AF，∵∠ABC=70°，∴∠AFB=∠BAF=35°，∵∠BAC=75°，∴∠HAB=105°，∵AE平分∠HAB，∴∠EAB=∠HAB=52.5°，∴∠EAF=52.5°﹣35°=17.5°=∠AEF=17.5°，∴AF=EF，∵∠AFC=∠C=35°，∴AF=AC=EF，∴BE﹣AB=BE﹣BF=EF=AC=AD+CD=AD+BD．（12分）【点评】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理及外角的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．。
初二数学上册(人教版)第十三章轴对称13.3知识点总结含同步练习及答案
描述：初二数学上册(人教版)知识点总结含同步练习题及答案第十三章 轴对称 13.3 等腰三角形一、学习任务1. 了解等腰三角形和等边三角形的概念．2. 掌握等腰三角形和等边三角形的性质定理和判定定理，掌握 角的直角三角形的性质．二、知识清单等腰三角形 等边三角形三、知识讲解1.等腰三角形等腰三角形有两条边相等的三角形叫做等腰三角形（isosceles triangle ）．等腰三角形的性质① 等腰三角形的两个底角相等；② 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）．等腰三角形的判定如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）．三角形的边角对应关系在同一个三角形内，大边对大角，大角对大边．构造等腰三角形的方法30∘都填上）∠ADE=∠AED=2∠BAD34DE△BDE接 ，试判断 的形状，并说明理由．∠DBC描述：例题：2.等边三角形等边三角形三边都相等的三角形叫做等边三角形（equilateral triangle ），也属于等腰三角形．等边三角形的性质三个内角都相等，并且每一个角都等于 ．等边三角形性质的推论在直角三角形中，如果一个锐角等于 ，那么它所对的直角边等于斜边的一半．等边三角形的判定① 三个角都相等的三角形是等边三角形；② 有一个角是 的等腰三角形是等边三角形．构造等边三角形的方法，．即 是等腰三角形．2∴∠DBC =∠E ∴BD =DE △BDE 60∘30∘60∘如图所示，在等边三角形 中， 和 的平分线相交于点 ，， 的垂直平分线分别交 于点 ，，求证： 是等边三角形．分析：根据垂直平分线的性质可知，，，由于 ， 是角平分线，所以 ，再由于外角和定理，，所以 是等边三角形．证明： ， 分别是 ， 垂直平分线上的点，ABC ∠ABC ∠ACB O BO OC BC E F △OEF OE =BE OF =F C OB OC ∠OBC =∠OCB =30∘∠OEF =∠OF E =60∘△OEF ∵EF BO OC值为（ ）32A△ABC。
专训13.3.1.3等腰三角形的性质与判定的综合-八年级上册考点专训(解析版)(人教版)
专训13.3.1.3等腰三角形的性质与判定的综合一、单选题1．如图，∠ABE ＝∠ACD ，∠EBC ＝∠DCB ，则下列结论正确的有（）①AB ＝AC ；②AD ＝AE ；③BD ＝CE ；④CD ＝BE．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D【分析】由∠ABE ＝∠ACD ，∠EBC ＝∠DCB ，可得出∠ABC ＝∠ACB ，再利用等角对等边可得出AB ＝AC ，可判断①；由∠A ＝∠A ，AB ＝AC 及∠ABE ＝∠ACD ，可证出△ABE ≌△ACD （ASA ），再利用全等三角形的性质可得出AD ＝AE ，CD ＝BE ，可判断②④；由AB ＝AC ，AD ＝AE ，可得出BD ＝CE 可判断③即可．【详解】解：∵∠ABE ＝∠ACD ，∠EBC ＝∠DCB ，∴∠ABE +∠EBC ＝∠ACD +∠DCB ，∴∠ABC ＝∠ACB ，∴AB ＝AC ，结论①正确；在△ABE 和△ACD 中，A A AB AC ABE ACD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ABE ≌△ACD （ASA ），∴AD ＝AE ，CD ＝BE ，结论②④正确；∵AB ＝AC ，AD ＝AE ，∴AB ﹣AD ＝AC ﹣AE ，∴BD ＝CE ，结论③正确．∴正确的结论有4个．故选择：D ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质，掌握全等三角形的性质及等腰三角形的性质是解题的关键．2．如图，锐角三角形ABC 中，D 点在BC 上，==B BAD CAD ∠∠∠，今欲在AD 上找一点P ，使得=APC ADB ∠∠，以下是甲、乙两人的作法：甲：作AC 的中垂线交AD 于P 点，则P 即为所求．乙：以C 为圆心，CD 长为半径画弧，交AD 于异于D 点的一点P ，则P 即为所求．对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确？（）A ．两人皆正确B ．两人皆错误C ．甲正确，乙错误D ．甲错误，乙正确【答案】A【分析】两人都是正确的．利用等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质一一判断即可．【详解】解：两人都是正确的．理由：甲， 点P 在AC 的垂直平分线上，PA PC ∴＝，PAC PCA ∴∠∠＝，B BAD CAD ∠∠∠ ＝＝，B BAD CAP ACP ∴∠∠∠∠＝＝＝，180ADB B BAD ∠∠∠︒ ＋＋＝，180APC PAC PCA ∠∠∠︒＋＋＝，APC ADP ∴∠∠＝，乙，CD CP ＝，CDP CPD ∴∠∠＝，ADB APC ∴∠∠＝，∴甲、乙两人的作法都是正确的，故选：A ．【点睛】本题考查作图-复杂作图，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是利用等腰三角形的判定和性质解决问题．3．如图，在Rt ABC 中，90B = ∠，30C ∠= ，以点A 为圆心，任意长为半径作弧，分别交边AB ，AC 于点P ，Q ；再分别以点P ，Q 为圆心，以大于12PQ 的长为半径作弧，两弧交于点E ，作射线AE 交BC 于点F .设ABF ，ABC 的面积分别为1S ，2S ，则12S S 的值为（）A ．12B ．13CD ．14【答案】B【分析】根据作图过程可得AF 是BAC ∠的平分线，根据角平分线的性质和90B ∠=︒，30C ∠=︒，可得FA FC =，设BF x =，则2FC FA x ==，3BC x =，根据三角形的面积公式分别求出1S ，2S ，再计算12S S 即可．【详解】解：根据作图过程可知：AF 是BAC ∠的平分线，∴12BAF CAF BAC ∠=∠=∠，∵90B ∠=︒，30C ∠=︒，∴60BAC ∠=︒∴1302BAF CAF BAC ∠=∠=∠=︒，∴30CAF C ∠=∠=︒∴FA FC=设BF x =，则在Rt ABF 中，2FA x=∴2FC FA x ==，23BC BF FC x x x =+=+=，∴1122x BF A S B AB == ，21322x BC AB B S A ==，∴1213232x AB x AB S S == ，故选：B ．【点睛】本题考查了角平分线的作法，角平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形面积公式等知识点，掌握角平分线的画法与性质是解决本题的关键．4．求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形．已知：如图，CAE ∠是ABC 的外角，12∠=∠，AD ∥BC ．求证AB AC =．以下是排乱的证明过程：①又12∠=∠，②∴B C ∠=∠，③∵AD ∥BC ，④∴1B ∠=∠，2C ∠=∠，⑤∴AB AC =．证明步骤正确的顺序是（）A ．③→②→①→④→⑤B ．③→④→①→②→⑤C ．①→②→④→③→⑤D ．①→④→③→②→⑤【答案】B【分析】根据平行线的性质得出1,2B C ∠=∠∠=∠，再利用12∠=∠等量代换，得出B C ∠=∠，即可判定ABC 是等腰三角形，即可证明．【详解】具体步骤为：③∵AD ∥BC ，④∴1B ∠=∠，2C ∠=∠，①又12∠=∠，②∴B C ∠=∠，⑤∴AB AC =．故选：B ．【点睛】本题考查平行线的性质，等量代换，等腰三角形的判定与性质，解题关键是熟练掌握平行线的性质与等腰三角形的判定与性质．5．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD 是BC 边上的高，BE 是AC 边的中线，CF 是∠ACB 的角平分线，CF 交AD 于点G ，交BE 于点H ，下面说法正确的是（）①△ABE 的面积＝△BCE 的面积；②∠FAG ＝∠FCB ；③AF ＝AG ；④BH ＝CH ．A ．①②③④B ．①②③C ．②④D ．①③【答案】D【分析】根据三角形的面积公式进行判断①，根据三角形的内角和定理求出∠FAG ＝∠ACB ，再判断②即可，根据三角形的内角和定理求出∠AFG ＝∠AGF ，再根据等腰三角形的判定判断③即可，根据等腰三角形的判定判断④即可．【详解】解：∵BE 是AC 边的中线，∴AE ＝CE ，∵△ABE 的面积＝12AE AB ⨯⨯，△BCE 的面积＝12CE ⨯⨯AB ，∴△ABE 的面积＝△BCE 的面积，故①正确；∵AD 是BC 边上的高，∴∠ADC ＝90°，∵∠BAC ＝90°，∴∠DAC +∠ACB ＝90°，∠FAG +∠DAC ＝90°，∴∠FAG ＝∠ACB ，∵CF 是∠ACB 的角平分线，∴∠ACF ＝∠FCB ，∠ACB ＝2∠FCB ，∴∠FAG ＝2∠FCB ，故②错误；∵在△ACF 和△DGC 中，∠BAC ＝∠ADC ＝90°，∠ACF ＝∠FCB ，∴∠AFG ＝180°﹣∠BAC ﹣∠ACF ，∠AGF ＝∠DGC ＝180°﹣∠ADC ﹣∠FCB ，∴∠AFG ＝∠AGF ，∴AF ＝AG ，故③正确；根据已知不能推出∠HBC ＝∠HCB ，即不能推出HB ＝HC ，故④错误；即正确的为①③，故选：D ．【点睛】本题考查了角平分线的定义，三角形的面积，三角形的中线，三角形的高，三角形内角和定理等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．6．如图在ABC 中，ABC ∠和ACB ∠的平分线交于点G ，过点G 作//EF BC 交AB 于E ，交AC 于F ，过点G 作GD AC ⊥于D ，下列四个结论：其中正确的结论有（）个．①EF BE CF =+；②90BGC A ∠=︒+∠；③点G 到ABC 各边的距离相等；④设GD m =,AE AF n +=，则AEF S mn =△；⑤AEF 的周长等于+AB AC 的和．A．1B．2C．3D．4【答案】C【分析】①根据∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G可得出∠EBG=∠CBG，∠BCG=∠FCG，再由EF∥BC可知∠CBG=∠EGB，∠BCG=∠CGF，故可得出BE=EG，GF=CF，由此可得出结论；②先根据角平分线的性质得出∠GBC+∠GCB=12（∠ABC+∠ACB），再由三角形内角和定理即可得出结论；③根据三角形角平分线的性质即可得出结论；④连接AG，由三角形的面积公式即可得出结论；⑤根据BE=EG，GF=CF，进行等量代换可得结论．【详解】解：①∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G，∴∠EBG=∠CBG，∠BCG=∠FCG．∵EF∥BC，∴∠CBG=∠EGB，∠BCG=∠CGF，∴∠EBG=∠EGB，∠FCG=∠CGF，∴BE=EG，GF=CF，∴EF=EG+GF=BE+CF，故①正确；②∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G，∴∠GBC+∠GCB=12（∠ABC+∠ACB）=12（180°-∠A），∴∠BGC=180°-（∠GBC+∠GCB）=180°-12（180°-∠A）=90°+12∠A，故②错误；③∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G，∴点G也在∠BAC的平分线上，∴点G到△ABC各边的距离相等，故③正确；④连接AG，作GM⊥AB于M，如图所示：∵点G是△ABC的角平分线的交点，GD=m，AE+AF=n，∴GD =GM =m ，∴S △AEF =12AE •GM +12AF •GD =12（AE +AF ）•GD =12nm ，故④错误．⑤∵BE =EG ，GF =CF ，∴AE +AF +EF =AE +AF +EG +FG =AE +AF +BE +CF =AB +AC ，即△AEF 的周长等于AB +AC 的和，故⑤正确，故选：C ．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质、平行线的性质、三角形内角和定理等知识；熟练掌握角平分线的性质、三角形内角和定理及三角形内心的性质是解题的关键．二、填空题7．如图，以ABC 的顶点B 为圆心，BA 长为半径画弧，交BC 边于点D ，连接AD ．若100BAC ∠=︒，50C ∠=︒，则BAD ∠的大小为______度．【答案】75【分析】根据三角形的内角和得出∠B =180°-∠BAC -∠C =30°，由作图可得：BA =BD ,BA =BD ,再根据等腰三角形两底角相等得出∠BAD =∠ADB =（180°-∠B ）÷2=75°．【详解】解：∵∠BAC =100°，∠C =50°，∴∠B =180°-∠BAC -∠C =30°，由作图可得：AB =BD ，∴∠BAD =∠ADB =（180°-∠B ）÷2=75°，故答案为：75°．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，掌握等边对等角是解题的关键．8．如图，ABC 中，2,AB AC P ==是BC 上任意一点，PE AB ⊥于点,E PF AC ⊥于点F ，若1ABC S =△，则PE PF +=________．【答案】1【分析】将ABC 的面积拆成两个三角形面积之和，即可间接求出PE PF +的值．【详解】解：连接AP ，如下图：PE AB ⊥于点,E PF AC ⊥于点F ，1ABC APC APB S S S =+= 1122APC APB S S AC PF AB PE +=⋅+⋅ 2AB AC == ，1APC APB S S PF PE +=+= ，1PE PF ∴+=，故答案是：1．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，利用面积法解决两边之和问题，解题的关键是：将ABC 的面积拆成两个三角形面积之和来解答．9．如图，在△ABC 中，∠B ＝∠C ，D ，E 分别是线段BC 、AC 上的一点，且AD ＝AE ．用等式表示∠1和∠2之间的数量关系是__．【答案】∠1＝2∠2．【分析】根据三角形的外角的性质，得出∠AED ＝∠CDE +∠C ，∠ADC ＝∠B +∠BAD ，再利用等腰三角形的性质，等量代换和等式的性质即可求得．【详解】∵ADC ∠是△ABD 的外角，AED ∠是△DEC 的外角，∴∠AED ＝∠2+∠C ，∠ADC ＝∠B +∠1，又∵AD ＝AE ，∴∠AED ＝∠ADE ，∴2ADC AED Ð-Ð=Ð,∴122B C Ð+Ð-Ð=Ð+Ð,即122B C Ð+Ð=Ð+Ð,∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C ，12222B C B Ð+Ð=Ð+Ð=Ð+Ð,即∠1＝2∠2,故填：∠1＝2∠2．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，三角形外角的性质和等式的性质，解题关键是熟练应用等腰三角形的性质，三角形外角的性质和等式的性质．三、解答题10．如图，在ABC 中，AD 平分,BAC AD BD ∠⊥于点D ，//DE AC 交AB 于点E ，若4DE =，求BE 的长．【答案】4【分析】根据角平分线的定义可得∠CAD =∠BAD ，再根据两直线平行，内错角相等可得∠CAD =∠ADE ，然后求出∠ADE =∠BAD ，根据等角对等边可得AE =DE ，然后根据等角的余角相等求出∠ABD =∠BDE ，根据等角对等边可得DE =BE ．【详解】解：∵AD 是∠BAC 的平分线，∴∠CAD =∠BAD ，∵DE ∥AC ，∴∠CAD =∠ADE ，∴∠ADE =∠BAD ，∴AE =DE ，∵BD ⊥AD ，∴∠ADE +∠BDE =∠BAD +∠ABD =90°，∴∠ABD =∠BDE ，∴DE =BE =4．【点睛】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，以及等角的余角相等的性质，熟记性质并准确识图，准确找出图中相等的角是解题的关键．11．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒．线段EF 是由线段AB 平移得到的，点F 在边BC 上，EFD △是以EF 为斜边的等腰直角三角形，且点D 恰好在AC 的延长线上．（1）求证：ADE DFC ∠=∠；（2）求证：CD BF =．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）通过两角和等于90︒，然后通过等量代换即可证明；（2）通过平移的性质，证明三角形全等，得到对应边相等，通过等量代换即可证明．【详解】证明：（1）在等腰直角三角形EDF 中，90EDF ∠=︒，∴90ADE ADF ∠+∠=︒．∵90ACB ∠=︒，∴90DFC ADF ACB ∠+∠=∠=︒，∴ADE DFC ∠=∠．（2）连接AE ．由平移的性质得//,AE BF AE BF =．∴90EAD ACB ∠=∠=︒，∴18090DCF ACB ∠=︒-∠=︒，∴EAD DCF ∠=∠．∵EDF 是等腰直角三角形，∴DE DF =．由（1）得ADE DFC ∠=∠，∴AED CDF ≌，∴AE CD =，∴CD BF =．【点睛】本小题考查平移的性质、直角三角形和等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是：正确添加辅助线、熟练掌握平移的性质和全等三角形的判定与性质．12．如图，点C 在线段AB 上，//,,AD EB AC BE AD BC ==．（1）求证：ADC BCE ∠=∠．（2）若40,20A ADC ∠=︒∠=︒，求CDE ∠的度数．【答案】（1）见详解；（2）50°【分析】（1）由“SAS ”可证△ADC ≌△BCE ，进而可得结论；（2）由全等三角形的性质，三角形外角的性质以及等腰三角形的性质，即可求解．【详解】证明：（1）∵AD ∥BE ，∴∠A ＝∠B ，∵AC ＝BE ，AD ＝BC ，∴△ADC ≌△BCE （SAS ）∴CD ＝CE ，∴ADC BCE ∠=∠；（2）∵△ADC ≌△BCE ，40,20A ADC ∠=︒∠=︒，∴∠DCB ＝60°，∠ADC ＝∠ECB ＝20°，CD ＝CE ，∴∠DCE ＝∠DCB ＋∠ECB ＝80°，∴∠CDE ＝（180°-80°）÷2=50°．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，证明△ADC ≌△BCE 是本题的关键．13．如图，在ABC 中，AB BC =，AB 的垂直平分线DE 交AB 、BC 于点D 、E ．（1）若72C ∠=︒，求B Ð、1∠的度数；（2）若6BD =，7AC =，求AEC 的周长．【答案】（1）36B ∠=︒；154∠=︒；（2）19【分析】（1）可得AE =BE ，则∠B =∠BAE =40°，可求出∠3的度数，再求∠1即可；（2）由AE =BE ，可求出结论．【详解】解：∵AB 的垂直平分线分别交AB ，BC 于点D ，E ，∴BE =AE ，∠ADE =∠BDE ，∵AB =BC ，∴∠C =∠BAC =∠3+∠4=72°，∴∠B =180°-∠C -∠BAC =180°-72°-72°=36°，∴∠3=∠B =36°，∴∠1=90°-∠3=54°；（2）∵BD =6，∴AB =2BD =2×6=12，∴BC =12，∵AE =BE ，∴AE +CE +AC =BC +AC =12+7=19．即△AEC 的周长为19．【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握定理的内容是解题的关键．14．如图，在ABC 中，AB AC =，且120BAC ∠=︒．（1）作AB 的垂直平分线，交AB 于点D ，交BC 于点E ；连接AE ；延长CA ，交直线DE 于点F ；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）所作的图中，求证：AC AF =．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）作图：分别以,A B 为圆心，大于12AB 为半径作圆弧相交于两点，过两点作直线，交AB 于点D ，交BC 于点E（2）根据120BAC ∠=︒和（1）的结论，证明EFC 是等腰三角形，且EA FC ⊥，即可证明AC AF=【详解】（1）如图：分别以,A B 为圆心，大于12AB 为半径作圆弧相交于两点，过两点作直线，交AB 于点D ，交BC 于点E （2）如（1）中所作的图 AB AC =，且120BAC ∠=︒30B C ∴∠=∠=︒DE 是AB 的垂直平分线EA EB∴=∴∠=∠=︒EAB B30120∠=︒,BAC∴90903060∠=︒-∠=︒-︒=︒,AED DAE∠=︒-︒=︒1203090EAC∴∠=︒FAE90∴⊥EA CF∴∠=︒-∠-∠=︒EFA FAE FEA18030∴∠=∠EFA C∴=EF EC是等腰三角形∴EFC⊥又 EA CF∴=AF FC【点睛】是等腰三角形是本题考查了垂直平分线的作图，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质与判定，证明EFC解题的关键．15．如图，在△ABC中，AB＝AC，点E，F在边BC上，连接AE，AF，∠BAF＝∠CAE，延长AF至点D，使AD＝AC，连接CD．（1）求证：△ABE≌△ACF；（2）若∠ACF＝30°，∠AEB＝130°，求∠ADC的度数．【答案】（1）见解析；（2）80°【分析】（1）要证明△ABE≌△ACF，由题意可得AB＝AC，∠B＝∠ACF，∠AEF＝∠AFE，从而可以证明结论成立；（2）根据（1）中的结论和等腰三角形的性质可以求得∠ADC的度数．【详解】解：（1）证明：∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠ACF ，∵∠BAF ＝∠CAE ，∴∠BAF ﹣∠EAF ＝∠CAE ﹣∠EAF ，∴∠BAE ＝∠CAF ，在△ABE 和△ACF 中，B ACF AB AC BAE CAF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ABE ≌△ACF （ASA ）；（2）解：∵B ＝∠ACF ＝30°，∵∠AEB ＝130°，∴∠BAE ＝180°﹣130°﹣30°＝20°，∵△ABE ≌△ACF ，∴∠CAF ＝∠BAE ＝20°，∵AD ＝AC ，∴∠ADC ＝∠ACD ，∴∠ADC ＝180202︒︒-＝80°．答：∠ADC 的度数为80°．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质及三角形内角和定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．16．如图，,CD BE 是ABC 的两条高线，且它们相交于F ，DH BC ⊥于点H ，DH 与BE 相交于点G ，已知CD BD =．（1）求证：BF AC =．（2）若BE 平分ABC ∠．求证：DFG DGF ∠=∠．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）根据垂直的定义得到∠CEF =∠ADC =∠BDF =90°，求得∠ACD =∠DBF ，根据全等三角形的性质即可得到结论；（2）根据DH ⊥BC ，求得∠HGB +∠HBG =90°，根据角平分线的定义得到∠HBG =∠FBD ，求得∠DFG =∠DGF ．【详解】解：（1）证明：∵CD ，BE 是△ABC 的两条高线，∴∠CEF =∠ADC =∠BDF =90°，∵∠CFE =∠BFD ，∴∠ACD =∠DBF ，∵CD =BD ，∴△ACD ≌△FBD （ASA ），∴BF =AC ；（2）∵∠BDC =90°，CD =BD ，∴△BDC 是等腰直角三角形，∵DH ⊥BC ，∴∠HGB +∠HBG =90°，∵BE 平分∠ABC ，∴∠HBG =∠FBD ，∵∠DFB +∠DBF =90°，∴∠DFG =∠BGH ，∵∠BGH =∠DGF ，∴∠DFG =∠DGF ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．17．如图，ACB △和DCE 均为等腰三角形，AC BC =，DC EC =，点A ，D ，E 在同一直线上，连接BE．（1）如图1，若50CAB CDE ∠=∠=︒．①求证：AD BE =；②则AEB ∠的度数为_______．（2）如图2，若90ACB DCE ∠=∠=︒，CF 为DCE 中DE 边上的高，试猜想AE ，CF ，BE 之间的数量关系，并简要证明你的结论．【答案】（1）①见解析；②80AEB ∠=︒；（2）2AE BE CF =+．理由见解析．【分析】（1）①证明≌ACD BCE V V 即可；②根据①得到ADC BEC ∠∠=结合已知条件，即可求解；（2）由（1）结论，可得ACB △，DCE 都是等腰直角三角形，从而得出结论．【详解】（1）①证明：50CAB CDE ==︒ ∠∠，AC BC =，DC EC =，18025080ACB DCE ∴==︒-⨯︒=︒∠∠，ACB ACD DCB ∠=+ ∠∠，DCE DCB BCE ∠=∠+∠，ACD BCE ∠∠∴=，在ACD △和BCE 中，AC BC ACD BCE DC EC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ACD BCE SAS ∴△≌△，AD BE ∴=．②80AEB ∠=︒由①≌ACD BCEV V ∴ADC BEC ∠∠=，CD CE= 50CDE CED ∴∠=∠=︒180********ADC CDE ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒130BEC ADC ∴∠=∠=︒1305080AEB BEC CED ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒（2）结论：2AE BE CF =+．理由：ACB ，DCE 都是等腰直角三角形，45CDE CED ∴∠=∠=︒，由（1）可得AD BE =，CF DE ⊥ ，90CFD ∴∠=︒，DF EF CF ==，2AE AD DE BE CF ∴=+=+．【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练以上性质定理是解题的关键．18．如图，在ABC 中，D 为AB 的中点，10AB AC ==，=8BC ，动点P 从点B 出发，沿BC 方向以3个单位长度每秒的速度向点C 运动；同时动点Q 从点C 出发，沿CA 方向以3个单位长度每秒的速度向点A 运动，运动时间是t 秒．（1）在运动过程中，当t =______秒时，CP CQ =；（2）在运动过程中，当BPD CQP △△≌时，求出t 的值；（3）是否存在某一时刻t ，使BPD CPQ △△≌？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）43；（2）1t =；（3）不存在；答案见解析．【分析】（1）根据题意求出BP ，CQ ，结合图形用含t 的代数式表示CP 的长度，根据CP ＝CQ ，列式计算即可；（2）根据全等三角形的对应边相等列式计算；（3）根据全等三角形的对应边相等列式计算，判断即可．【详解】解：（1）由题意得BP ＝CQ ＝3t ，则CP ＝8﹣3t ，∵CP ＝CQ ，∴8﹣3t ＝3t ，解得，t 43=，则当t 43=时，CP CQ =；（2）∵D 为AB 的中点，AB ＝AC ＝10，∴BD ＝5，∵△BPD ≌△CQP ，∴BD ＝CP ，∴8﹣3t ＝5，解得，t ＝1，则当△BPD ≌△CQP 时，t ＝1；（3）不存在，∵△BPD ≌△CPQ ，∴BD ＝CQ ，BP ＝CP ，则3t ＝5，3t ＝8﹣3t解得，t 53=，t 43=，∴不存在某一时刻t ，使△BPD ≌△CPQ ．【点睛】本题考查的是几何动点运动问题、全等三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键．19．如图，在ABC 中，,90AB AC BAC =∠>︒．D 是ABC 内一点，ADC BAC ∠=∠．过点B 作//BE CD 交AD 的延长线于点E ．（1）依题意补全图形；（2）求证：CAD ABE ∠=∠；（3）在（1）补全的图形中，不添加其他新的线段，在图中找出与CD 相等的线段并加以证明．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）AE ；见解析【分析】（1）根据题意作出平行线和交点即可；（2）如图，根据平行，得到∠1=∠ADC=∠BAC ，再根据三角形外角定理得到1ABE BAE ∠=∠-∠，CAD BAC BAE ∠=∠-∠，从而CAD ABE ∠=∠；（3）通过在BE 上截取BG AD =，构造ABG CAD △≌△，再结合平行进一步得到1BGA ∠=∠，从而证明2AGE ∠=∠，=AE AG CD =．【详解】解：补全图形如图6所示．（2）证明：如图7，延长BE 至点F ．∵//BE CD ，点F 在BE 的延长线上，∴1ADC ∠=∠．∵ADC BAC ∠=∠，∴1BAC ∠=∠．∵1∠是ABE △的外角，∴1ABE BAE ∠=∠+∠，∴1ABE BAE ∠=∠-∠．又∵CAD BAC BAE ∠=∠-∠，∴CAD ABE ∠=∠．（3）AE证明：如图8，延长BE 至点F ，在BE 上截取BG AD =，连接AG由（2）得ABG CAD ∠=∠，又∵AB AC=∴ABG CAD △≌△，∴AG CD BGA ADC =∠=∠，．∵1ADC ∠=∠，∴1BGA ∠=∠．∵18021180AGE BGA ∠+∠=︒∠+∠=︒，，∴2AGE ∠=∠．∴AE AG =．∴AE CD =．【点睛】本题主要考查了构造三角形全等，以及外角的相关知识，能够画辅助线构造全等是解决本题的关键．20．在ABC 中，90BAC ∠>︒，AB 的垂直平分线交BC 于点E ，交AB 于点D ，AC 的垂直平分线交BC 于点G ，交AC 于点F ．（1）如图1，若25B ∠=︒，40C ∠=︒，求EAG ∠的度数；（2）如图2，若AB AC =，求证：DE FG =；（3）当AEG △是等腰三角形时，请直接写出所有可能的B Ð与C ∠的数量关系．【答案】（1）50°；（2）见解析；（3）B C ∠=∠、290B C ∠+∠=︒、290B C ∠+∠=︒【分析】（1）知道25B ∠=︒，40C ∠=︒，DE ，FG 分别为AB ，AC 的垂直平分线，用垂直平分线的性质可求；（2）DE ，FG 分别为AB ，AC 的垂直平分线，可得BD CF =，求出BDE CFG △≌△可证DE FG =；（3）分别考虑AE =AG 、AE GE =、AG =GE 时这三种情况即可．【详解】（1）25B ∠=︒ ，40C ∠=︒，180115BAC B C ∴∠=-∠-∠=︒︒；DE ，FG 分别为AB ，AC 的垂直平分线，EA EB ∴=，GA GC =，25EAB B ∴∠=∠=︒，40GAC C ∠=∠=︒，50EAG BAC EAB GAC ∴∠=∠-∠-∠=︒；（2）AB AC = ，B C ∴∠=∠，DE ，FG 分别为AB ，AC 的垂直平分线，12BD AB ∴=，12CF AC =，90BDE CFG ∠=∠=︒BD CF∴=在BDE 与CFG △中，B C BD CF BDE CFG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩(ASA)BDE CFG ∴△≌△DE FG∴=（3）当AEG △是等腰三角形时①当AE =AG 时，∴∠AEG =∠AGE ，∵EAB B ∠=∠，GAC C ∠=∠，∴2AEG B BAE B =+=∠∠∠∠，2AGE C CAG C=+=∠∠∠∠∴B C∠=∠②当AE EG =时，∴∠EAG=∠EGA ，∵EAB B ∠=∠，GAC C ∠=∠，∴2AEG B BAE B =+=∠∠∠∠，2AGE C CAG C=+=∠∠∠∠∵°180AEG EAG AGE ++=∠∠∠∴24180B C ∠+∠=︒∴290 B C ∠+∠=︒．③当AG =GE 时，同理可得290B C ∠+∠=︒综上所述：B C ∠=∠、290B C ∠+∠=︒、290 B C ∠+∠=︒．【点睛】此题考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形外角的性质等，准确识图，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．21．如图，在ABC 中，40A ∠=︒，点D ，E 分別在边AB ，AC 上，BD BC CE ==，连结CD ，BE．（1）若80ABC ∠=︒，求BDC ∠，ABE ∠的度数．（2）写出BEC ∠与BDC ∠之间的关系，并说明理由．【答案】（1）50BDC ∠=︒；20ABE ∠=︒；（2）110BEC BDC ∠+∠=︒，见解析【分析】（1）利用三角形的内角和定理求出ACB ∠的大小，再利用等腰三角形的性质分别求出BDC ∠，ABE ∠．（2）利用三角形的内角和定理、三角形外角的性质和等腰三角形的性质，求出用含ABE ∠分别表示BEC ∠，BDC ∠，即可得到两角的关系．【详解】（1）80ABC ∠=︒ ，BD BC =，50BDC BCD ∴∠=∠=︒．在ABC 中，180A ABC ACB ∠+∠+∠=︒，40A ∠=︒ ，60ACB ∠=︒∴，CE BC = ，60EBC ∴∠=︒．20ABE ABC EBC ∴∠=∠-∠=︒．（2）BEC ∠，BDC ∠的关系：110BEC BDC ∠+∠=︒．理由如下：设BEC α∠=，BDC β∠=．在ABE △中，40A ABE ABE α=∠+∠=︒+∠，CE BC = ，CBE BEC α∴∠=∠=．2402ABC ABE CBE A ABE ABE ∴∠=∠+∠=∠+∠=︒+∠，在BDC 中，BD BC =，2402180BDC BCD DBC ABE β∴∠+∠+∠=+︒+∠=︒．70ABE β︒∴=-∠．4070110ABE ABE αβ∴+=︒+∠+︒-∠=︒．110BEC BDC ∴∠+∠=︒．【点睛】本题主要通过求解角和两角之间的关系，考查三角形的内角和定理、三角形外角的性质和等腰三角形的性质．三角形的内角和等于180︒．三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和．等腰三角形等边对等角．22．如图，在四边形ABCD 中，AB DC =，B C ∠=∠，E ，F 是边BC 上的两点，且BE CF =．（1）求证：ABF ≌DCE ．（2）若70APE ∠=°，求ADP Ð的度数．【答案】（1）见解析；（2）35°【分析】（1）利用SAS 证明ABF ≌DCE 即可；（2）先利用等角对等边证得AP DP =，再利用三角形的外角性质即可求解．【详解】（1）证明：∵BE CF =，∴BE EF CF EF +=+，即BF CE =，∵AB DC =，B C ∠=∠，∴ABF ≌DCE (SAS )；（2）∵ABF ≌DCE ，∴AFB DEC ∠=∠，AF DE =，∴EP FP =，∴AP DP =，∴PAD PDA ∠=∠，∵70APE ∠=°，∴35PDA PAD ∠=∠=︒．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的外角性质，正确的识别图形是解题的关键．23．如图，已知90,,BAD CAE AB AD AE AC ∠=∠=︒==．（1）ABC 与ADE 全等吗？请说明理由；（2）若AF CB ⊥，垂足为F ，请说明线段2CF CE =；（3）在（2）的基础上，猜想线段,,BF DE CD 存在的数量关系，并直接写出结论．【答案】（1）ABC ADE △≌△，理由见解析；（2）理由见解析；（3）2CD BF DE =+．【分析】（1）利用等量代换求出BAC DAE ∠=∠，根据SAS 证明ABC ADE △≌△；（2）延长BF 到G ，使得FG FB =，连接AG BD ，，通过证明CGA CDA ≌，得出CG CD =，然后通过等量代换即可说明；（3）在利用（2）的结论的前提下，再通过等量代换即可得出结论．【详解】解：（1）ABC ADE△≌△证明：90BAD CAE ∠=∠=︒ ，90,90BAC CAD CAD DAE ∴∠+∠=︒∠+∠=︒，BAC DAE ∴∠=∠，在ABC 和ADE 中，AB AD AE AC BAC DAE =⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，()ADE A SA BC S ∴ ≌；（2）2CF CE =，理由如下；延长BF 到G ，使得FG FB =，连接AG BD ，，如下图：AF BG ⊥ ，AB AG ∴=，ABF G ∴∠=∠，ABC ADE △≌△，,,AB AD CBA EDA CB ED =∠=∠=，,AG AD ABF CDA ∴=∠=∠，G CDA ∴∠=∠,90,CAE AC AE ∠=︒= ，45GCA CDA ∴∠=∠=︒，在CGA △和CDA 中，GCA DCA CGA CDA AG AD ∠=∠⎧⎪∠=⎨⎪=⎩，()CGA CDA AAS ∴△≌△，CG CD ∴=，,BC DE BF FG == ，2CE CD DE CF FG DE CF BF BC CF ∴=+=++=++=，2CF CE ∴=．（3）猜想线段,,BF DE CD 存在的数量关系为：2CD BF BE =+，理由如下：由（2）可知：CD CG BC BF FG ==++，,BF FG BC DE == ，通过等量代换得：2CD BF DE =+．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是：掌握全等三角形的判定与性质，同时要熟练运用等量代换的思想来转化．24．如图①，△ABC 中．AB ＝AC ，P 为底边BC 上一点，PE ⊥AB ，PF ⊥AC ，CH ⊥AB ，垂足分别为E 、F 、H ．易证PE ＋PF ＝CH ．证明过程如下：如图①，连接AP ．∵PE ⊥AB ，PF ⊥AC ，CH ⊥AB ，∴ABP S △＝12AB•PE ，ACP S ＝12AC•PF ，ABC S ＝12AB•CH ．又∵ABP ACP ABC S S S += ，∴12AB•PE ＋12AC•PF ＝12AB•CH ．∵AB ＝AC ，∴PE ＋PF ＝CH ．（1）如图②，P 为BC 延长线上的点时，其它条件不变，PE 、PF 、CH 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明：（2）填空：若∠A ＝30°，△ABC 的面积为49，点P 在直线BC 上，且P 到直线AC 的距离为PF ，当PF ＝3时，则AB 边上的高CH ______．点P 到AB 边的距离PE ＝________．【答案】（1）PE ＝PF ＋CH ，证明见解析；（2）7；4或10；【分析】（1）连接AP ．先根据三角形的面积公式分别表示出ABP S △，ACP S ，ABC S ，再由ABP S △＝ACP S ＋ABC S 即可得出PE ＝PF ＋PH ；（2）先根据直角三角形的性质得出AC ＝2CH ，再由△ABC 的面积为49，求出CH ＝7，由于CH ＞PF ，则可分两种情况进行讨论：①P 为底边BC 上一点，运用结论PE ＋PF ＝CH ；②P 为BC 延长线上的点时，运用结论PE ＝PF ＋CH ．【详解】解：（1）如图②，PE ＝PF ＋CH ．证明如下：∵PE ⊥AB ，PF ⊥AC ，CH ⊥AB ，∴ABP S △＝12AB •PE ，ACP S ＝12AC •PF ，ABC S ＝12AB •CH ，∵ABP S △＝ACP S ＋ABC S ，∴12AB •PE ＝12AC •PF ＋12AB •CH ，又∵AB ＝AC ，∴PE ＝PF ＋CH ；（2）∵在△ACH 中，∠A ＝30°，∴AC ＝2CH ．∵ABC S ＝12AB •CH ，AB ＝AC ，∴12×2CH •CH ＝49，∴CH ＝7．分两种情况：①P 为底边BC 上一点，如图①．∵PE ＋PF ＝CH ，∴PE ＝CH －PF ＝7－3＝4；②P 为BC 延长线上的点时，如图②．∵PE ＝PF ＋CH ，∴PE ＝3＋7＝10．故答案为7；4或10．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与三角形的面积，难度适中，运用面积证明可使问题简便，（2）中分情况讨论是解题的关键．25．阅读与思考：在数学活动课上，老师提出了这样一个问题：如图1，已知锐角AOB ∠，C 是OA 边上一点，利用尺规作图在OB 边上求作点P ，使2CPB AOB ∠=∠．小明同学想到了如下的方法，并完成了部分证明．方法：①如图2，分别以点O ，C 为圆心，大于12OC 的长为半径画弧，两弧分别相交于点M ，N ；②作直线MN ，交OB 于点P ，交OC 于点Q ；③连接CP ．则点P 即为所求．证明：如图3，连接ON ，CN ，OM ，CM ．由作图可知，ON CN =，OM CM =．∴点M ，N 均在线段OC 的垂直平分线上．（依据1）∴直线MN 是线段OC 的垂直平分线．（依据2）……（1）上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别指什么？（2）请将上述证明过程补充完整．（3）尺规作图：请在图1中，用不同于小明的方法求作点P ．（保留作图痕迹，不写作法）【答案】（1）依据1：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上；依据2：两点确定一条直线；（2）见解析；（3）见解析【分析】（1）根据作图痕迹可分别写出依据；（2）结合等腰三角形的性质和三角形外角的性质即可补充；（3）作OCP AOB ∠=∠即可．【详解】解：（1）依据1：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．依据2：两点确定一条直线；（2）∴PC PO =∴POC PCO∠=∠∴2CPB POC PCO AOB ∠=∠+∠=∠；（3）如解图所示，点P 即为所求．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、线段的垂直平分线以及作图能力，较强的阅读能力和对所学知识的灵活应用能力成为解答本题的关键．26．在等腰△ABC 中，AB ＝BC ，点D ，E 在射线BA 上，BD ＝DE ，过点E 作EF ∥BC ，交射线CA 于点F ．请解答下列问题：（1）当点E 在线段AB 上，CD 是△ACB 的角平分线时，如图①，求证：AE ＋BC ＝CF ；（提示：延长CD ，FE 交于点M ．）（2）当点E 在线段BA 的延长线上，CD 是△ACB 的角平分线时，如图②；当点E 在线段BA 的延长线上，CD 是△ACB 的外角平分线时，如图③，请直接写出线段AE ，BC ，CF 之间的数量关系，不需要证明；【答案】（1）见解析；（2）BC ＝AE ＋CF 或AE ＝CF ＋BC【分析】（1）延长CD ，FE 交于点M ．利用AAS 证明△MED ≌△CBD ，得到ME ＝BC ，并利用角平分线加平行的模型证明CF ＝MF ，AE ＝EF ，从而得证；（2）延长CD ，EF 交于点M ．类似于（1）的方法可证明当点E 在线段BA 的延长线上，CD 是△ACB 的角平分线时，BC ＝AE ＋CF ，当点E 在线段BA 的延长线上，CD 是△ACB 的外角平分线时，AE ＝CF ＋BC ．【详解】解：（1）如图①，延长CD ，FE 交于点M ．∵AB ＝BC ，EF ∥BC ，∴∠A ＝∠BCA ＝∠EFA ，∴AE＝EF，∴MF∥BC，∴∠MED＝∠B，∠M＝∠BCD，又∵∠FCM＝∠BCM，∴∠M＝∠FCM，∴CF＝MF，又∵BD＝DE，∴△MED≌△CBD（AAS），∴ME＝BC，∴CF＝MF＝ME＋EF＝BC＋AE，即AE＋BC＝CF；（2）当点E在线段BA的延长线上，CD是△ACB的角平分线时，BC＝AE＋CF，如图②，延长CD，EF交于点M．由①同理可证△MED≌△CBD（AAS），∴ME＝BC，由①证明过程同理可得出MF＝CF，AE＝EF，∴BC＝ME＝EF＋MF＝AE＋CF；当点E在线段BA的延长线上，CD是△ACB的外角平分线时，AE＝CF＋BC．如图③，延长CD交EF于点M，由上述证明过程易得△MED ≌△CBD （AAS ），BC ＝EM ，CF ＝FM ，又∵AB ＝BC ，∴∠ACB ＝∠CAB ＝∠FAE ，∵EF ∥BC ，∴∠F ＝∠FCB ，∴∠F ＝∠FAE ，∴EF ＝AE ，∴AE ＝FE ＝FM ＋ME ＝CF ＋BC ，即：AE ＝CF ＋BC ．【点睛】本题是考查了角平分线、平行线和等腰三角形及全等三角形的综合题，关键是添加恰当的辅助线，构建角平分线加平行的模型，是一道较好的中考真题．27．如图，已知等腰ABC 中，,90,AB AC A CD =∠<︒是ABC 的高，BE 是ABC 的角平分线，CD 与BE 交于点P ，当A ∠的大小变化时，EPC 的形状也随之改变．（1）当44A ∠=︒时，求BPD ∠的度数；（2）求A ∠和EPC ∠的关系；（3）当A ∠的度数为___________时，EPC 是等腰三角形．【答案】（1）56°；（2）454C A EP ∠+∠=︒；（3）36︒或1807⎛⎫︒ ⎪⎝⎭【分析】（1）根据等边对等角求出等腰△ABC 的底角度数，再根据角平分线的定义得到∠ABE 的度数，再根据高的定义得到∠BDC =90°，从而可得∠BPD ；（2）按照（1）中计算过程，即可得到∠A 与∠EPC 的关系，即可得到结果；（3）分①若EP =EC ，②若PC =PE ，③若CP =CE ，三种情况，利用∠ABC +∠BCD =90°，以及454C A EP ∠+∠=︒解出∠A 即可．【详解】解：（1）AB AC = ，44A ∠=︒，(18044)268ABC ACB ∴∠=∠=-︒÷=︒，CD AB ⊥ ，90BDC ∴∠=︒，BE 平分ABC ∠，34ABE CBE ∴∠=∠=︒，903456BPD ∴∠=︒-︒=︒；（2）∵(180)2902A ABC A ∠∠=︒-∠÷=︒-，由（1）可得：14524A ABP ABC ∠∠=∠=︒-，90BDC ∠=︒，90454544A EPC BPD A ∠⎛⎫∴∠=∠=︒-︒-︒+ ⎪⎭∠=⎝；（3）设A x ∠=︒，EPC y ∠=︒，①若EP EC =，则ECP EPC y ∠=∠=︒，而(90)2x ABC ACB ∠=∠=-︒，90ABC BCD ∠+∠=︒，则有：(90)(90)9022x x y -︒+--︒=︒，又454x y =︒+，代入，(90)(90)(45)90224x x x ∴-︒+-︒-+︒=︒，解得：36x =；②若PC PE =，则(180)2(90)2y PCE PEC y ∠=∠=-︒÷=-︒，由①得：90ABC BCD ∠+∠=︒，(90)[(90)(90)]90222x x y ∴-︒+-︒--︒=︒，又454x y =︒+，代入，解得：1807x =；③若CP CE =，则EPC PEC y ∠=∠=︒，1802PCE y ∠=︒-︒，由①得：90ABC BCD ∠+∠=︒，(90)(90)(1802)9022x x y ∴-︒+-︒--︒=︒，又454x y =︒+，代入，解得：0x =，不符合，综上：当EPC ∆是等腰三角形时，A ∠的度数为36︒或180(7︒．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，二元一次方程组的应用，高与角平分线的定义，有一定难度，关键是找到角之间的等量关系．28．如图1，在△ABC 中，BO ⊥AC 于点O ，AO ＝BO ＝3，OC ＝1，过点A 作AH ∠BC 于点H ，交BO 于点P ．（1）求线段OP 的长度；（2）连接OH ，求证：∠OHP ＝45°；（3）如图2，若点D 为AB 的中点，点M 为线段BO 延长线上一动点，连接MD ，过点D 作DN ⊥DM 交线段A 延长线于N 点，则S △BDM －S △ADN 的值是否发生改变，如改变，求出该值的变化范围；若不改变，求该式子的值．【答案】（1）1；（2）见解析；（3）不改变，94【分析】（1）证△OAP ≌△OBC （ASA ），即可得出OP =OC =1；（2）过O 分别作OM ⊥CB 于M 点，作ON ⊥HA 于N 点，证△COM ≌△PON （AAS ），得出OM =ON ．得出HO 平分∠CHA ，即可得出结论；（3）连接OD ，由等腰直角三角形的性质得出OD ⊥AB ，∠BOD =∠AOD =45°，OD =DA =BD ，则∠OAD =45°，证出∠DAN =∠MO D ．证△ODM ≌△ADN （ASA ），得S △ODM =S △ADN ，进而得出答案．【详解】解：（1）∵BO ⊥AC ，AH ⊥BC ，∴∠AOP ＝∠BOC ＝∠AHC ＝90°，∴∠OAP +∠C ＝∠OBC +∠C ＝90°，∴∠OAP ＝∠OBC ，在△OAP 和△OBC 中，AOP BOC AO BO OAP OBC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△OAP ≌△OBC （ASA ），∴OP ＝OC ＝1；（2）过O 分别作OM ⊥CB 于M 点，作ON ⊥HA 于N 点，如图1所示：在四边形OMHN 中，∠MON ＝360°﹣3×90°＝90°，∴∠COM ＝∠PON ＝90°﹣∠MOP ．在△COM 与△PON 中，COM PON OMC ONP OC OP ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△COM ≌△PON （AAS ），∴OM ＝ON．。
八年级上册数学人教版课时练《13.3.1 等腰三角形》02(含答案解析)
答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。
２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。
亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。
相信你是最棒的！《13．3．1等腰三角形》课时练一、选择题1．下列命题中，属于假命题的是()A．等腰三角形底边上的高是它的对称轴B．有两个角相等的三角形是等腰三角形C．等腰三角形底边上的中线平分顶角D．等边三角形的每一个内角都等于60∘2．如图，在△ABC中，∠B=∠C， AB=5，则AC的长为（）A．2B．3C．4D．53．如图：等腰直角△ABC中，若∠ACB=90∘，CD=DE=CE，则∠DAB 的度数为（）A．60∘B．30∘C．45∘D．15∘4．等腰三角形的一腰上的高与另一腰的夹角是48∘，它的一个底角的度数是()A．48∘B．21∘或69∘C．21∘D．48∘或69∘5．已知等腰三角形的两边长分别为5㎝、2㎝，则该等腰三角形的周长是（）A．7㎝B．9㎝C．12㎝或者9㎝D．12㎝6．等腰直角三角形的底边长为5，则它的面积是()A．25B．12．5C．10D．6．257．如图，△ABC中，∠ABC=90∘，∠C=30∘，AD是角平分线，DE⊥AC 于E，AD、BE相交于点F，则图中的等腰三角形有（）A．2个B．3个C．4个D．5个8．一个角是60∘的等腰三角形是（）A．等腰直角三角形B．等边三角形C．直角三角形D．上述都正确9．以下关于等边三角形的判定：①三条边相等的三角形是等边三角形；②有一个角是60∘的等腰三角形是等边三角形；③有两个角为60∘的三角形是等边三角形④三个角相等的三角形是等边三角形其中正确的是（）A．只有①②③B．只有①②④C．只有①③④D．①②③④10．如图，在△ABC中，∠B=60∘，AB=9，BP=3，AP=AC，则BC 的长为（）A．8B．7C．6D．511．等腰三角形一腰上的高等于该三角形另一边长的一半．则其顶角等于（）A．30∘B．30∘或150∘C．120∘或150∘D．120∘、30∘或150∘12．等腰三角形的一个角比另一个角的2倍少20度，等腰三角形顶角的度数是()A．140∘B．20∘或80∘C．44∘或80∘D．140∘或44∘或80∘二、填空题13．等腰三角形一腰的高等于腰长的一半，则其顶角的度数为________．14．如图，△ABC是边长为8的等边三角形，点D在BC的延长线上，做DF⊥AB，垂足为F，若CD=6，则AF的长等于________．15．如图所示的图形由4个等腰直角形组成，其中直角三角形（1）的腰长为1cm，则直角三角形（4）的斜边长为________．16．如图等边三角形ABC中，AB=3，D、E是BC上的两点，AD、AE把△ABC分割成周长相等的三个三角形，则CD=________．17．如图，在△ABC中，∠ABC＝∠C，∠A＝100∘，BD平分∠ABC交AC于点D，点E是BC上一个动点．若△DEC是直角三角形，则∠BDE的度数是________．三、解答题18．从①∠B=∠C；②∠BAD=∠CDA；③AB=DC；④BE=CE四个等式中选出两个作为条件，证明△AED是等腰三角形（写出一种即可）．已知：________(只填序号)，求证：△AED是等腰三角形．19．如图，BD//AC，BD=BC，点E在BC上，且BE=AC．求证：D=∠ABC．20．如图所示，在矩形ABCD中，DE⊥CE，∠ADE=30∘，DE=4，求这个矩形的周长．21．如图，在△ABC中，∠ACB−∠B=90∘，∠BAC的平分线交BC于点E，∠BAC的外角∠CAD的平分线交BC的延长线于点F，试判断△AEF的形状．22．（1）如图①，△ABC是等边三角形，△ABC所在平面上有一点P，使△PAB，△PBC，△PAC都是等腰三角形，问：具有这样性质的点P有几个？在图中画出来．（2）如图②，正方形ABCD所在的平面上有一点P，使△PAB，△PBC，△PCD，△PDA都是等腰三角形，问：具有这样性质的点P有几个？在图中画出来．参考答案题号12345678910答案A D D B D D C B D C 题号1112答案D D13．30∘或150∘14．115．416．−3+3331617．30∘或70∘18．证明：选择的条件是：①∠B=∠C②∠BAD=∠CDA（或①③，①④，②③）；证明：在△BAD和△CDA中，∵∠B=∠C，∠BAD=∠CDA，AD=DA，∴△BAD≅△CDA(AAS)，∴∠ADB=∠DAC，即在△AED中∠ADE=∠DAE，∴AE=DE，△AED为等腰三角形．19．证明：∵BD//AC，∴∠EBD=∠C，BD=BC，BE=AC，∴△EDB≅ABC SAS，∴∠D=∠ABC20．解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠B=90∘，AD=BC．在Rt△ADE中，∵∠A=90∘，∠ADE=30∘，DE=4，∴AE=12DE=2，AD=3AE=23．∵DE⊥CE，∠A=90∘，∴∠BEC=∠ADE=90∘−∠AED=30∘．在Rt△BEC中，∵∠B=90∘，∠BEC=30∘，BC=AD=23，∴BE=3BC=6，∴AB=AE+BE=2+6=8，∴矩形ABCD的周长=2(AB+AD)=2(8+23)=16+43．21．解：△AEF是等腰直角三角形；理由如下：如图所示：∵AE平分∠BAC，AF平分∠CAD，∴∠EAC=12∠BAC，∠FAC=12∠CAD，∵∠BAC+∠CAD=180∘，∴∠EAC+∠FAC=12(∠BAC+∠CAD)=90∘，即∠EAF=90∘，∵∠ACB−∠B=90∘，∴∠ACB=90∘+∠B，∴∠1=90∘−∠B=∠B+∠BAC，∴∠B=12(90∘−∠BAC)，∴∠4=∠B+∠AEF，∵AE平分∠DAC，∴∠3=∠4=∠B+∠AEF，∵∠BAC+∠3+∠4=180∘，∴2(∠B+∠AEF)+∠BAC=2[12(90∘−∠BAC)+∠AEF]+∠BAC=180∘，∴∠AEF=45∘，∴∠AFE=45∘，∴△AEF是等腰直角三角形．22．【解答】（1）10个，如解图①，当点P在△ABC内部时，P是边AB．BC．CA的垂直平分线的交点：当点P在△ABC外部时，P是以三角形各顶点为圆心，边长为半径的圆与三条垂直平分线的交点每条垂直平分线上得3个交点，故具有这样性质的点P共有10个．（2）9个，如解图③．两条对角线的交点是1个，以正方形各顶点为圆心，边长为半径画圆，在正方形里面和外面的交点一共有8个，故具有这样性质的点P共有9个．。
人教版 八年级数学 13.3 等腰三角形 针对训练 (含答案)
人教版八年级数学13.3 等腰三角形针对训练一、选择题1. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝3，P是BC边上的动点，则AP的长可能是()A．2 B．5.2 C．7.8 D．82. 已知等腰三角形的一个角等于42°，则它的底角为()A．42°B．69°C．69°或84°D．42°或69°3. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，下列结论不正确的是()A．∠B＝∠C B．BD＝CDC．AB＝2BD D．AD平分∠BAC4. 下列条件不能得到等边三角形的是()A．有两个内角是60°的三角形B．有一个角是60°的等腰三角形C．腰和底相等的等腰三角形D．有两个角相等的等腰三角形5. 如图，AD是△ABC的中线，下列条件中不能推出△ABC是等腰三角形的是()A．∠BAD＋∠B＝∠CAD＋∠C B．AB－BD＝AC－CDC．AB＋BD＝AC＋CD D．AD＝BC6. 如图，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，已知AB＝5，AD＝3，则BC的长为()A. 5B. 6C. 8D. 107. 如图，在△ABC中，∠ABC的平分线交AC于点D，AD＝6，过点D作DE ∥BC交AB于点E.若△AED的周长为16，则边AB的长为()A．6 B．8 C．10 D．128. 如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC.若AB＝10，BD＝6，则△ADE的周长为()A．4 B．12 C．18 D．309. 如图，在△ABC中，过顶点A的直线DE∥BC，∠ABC，∠ACB的平分线分别交DE于点E，D.若AC＝3，AB＝4，则DE的长为()A．6 B．7 C．8 D．910. 如图所示，在三角形纸片ABC中，∠B=2∠C，把三角形纸片沿直线AD折叠，点B落在AC边上的点E处，那么下列等式成立的是()A. AC=AD+BDB. AC=AB+CDC. AC=AD+CDD. AC=AB+BD二、填空题11. 如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC＝12，∠A＝30°，则△ABC的面积等于________．12. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，AD是中线，BE是高，AD与BE交于点F，则∠BFD＝________°.13. 如图，BO平分∠CBA，CO平分∠ACB，MN过点O且MN∥BC，设AB＝12，AC＝18，则△AMN的周长为________．14. 定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰三角形ABC中，∠A＝80°，则它的特征值k＝________．15. 如图，在△ABC中，∠B＝20°，∠A＝105°，点P在△ABC的三边上运动，当△P AC为等腰三角形时，顶角的度数是__________．三、解答题16. 如图所示，△ABC为等边三角形，AE＝CD，AD，BE相交于点P，BQ⊥AD 于点Q，PQ＝3，PE＝1，求AD的长．17. 如图所示，点E在△ABC中AC边的延长线上，点D在AB边上，DE交BC 于点F，DF＝EF，BD＝CE.求证：△ABC是等腰三角形.18. 如图①，在△ABC 中，∠ABC ，∠ACB 的平分线交于点O ，过点O 作EF ∥BC 分别交AB ，AC 于点E ，F.探究一：猜想图①中线段EF 与BE ，CF 间的数量关系，并证明． 探究二：设AB ＝8，AC ＝6，求△AEF 的周长．探究三：如图②，在△ABC 中，∠ABC 的平分线BO 与△ABC 的外角平分线CO 交于点O ，过点O 作EF ∥BC 交AB 于点E ，交AC 于点F.猜想这时EF 与BE ，CF 间又是什么数量关系，并证明．19. 如图①，在△ABC 中，AB ＝AC ，P 为底边BC 上一点，PE ⊥AB ，PF ⊥AC ，CH ⊥AB ，垂足分别为E ，F ，H .易证PE ＋PF ＝CH .证明过程如下： 连接AP .∵PE ⊥AB ，PF ⊥AC ，CH ⊥AB ，∴S △ABP ＝12AB ·PE ，S △ACP ＝12AC ·PF ，S △ABC ＝12AB ·CH . 又∵S △ABP ＋S △ACP ＝S △ABC ， ∴12AB ·PE ＋12AC ·PF ＝12AB ·CH . ∵AB ＝AC ，∴PE ＋PF ＝CH .如图②，若P 为BC 延长线上的点，其他条件不变，PE ，PF ，CH 之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明．20. 已知△ABC中，AB＝AC，D是△ABC外一点(点A，D在直线BC的两侧)，且DB＝DC，过点D作DE∥AC，交射线AB于点E，连接AD交BC于点F.(1)求证：AD⊥BC；(2)如图①，当点E在线段AB上且不与点B重合时，求证：DE＝AE；(3)如图②，当点E在线段AB的延长线上时，请直接写出线段DE，AC，BE的数量关系．人教版八年级数学13.3 等腰三角形针对训练-答案一、选择题1. 【答案】B[解析] 根据垂线段最短，可知AP的长不能小于3.∵在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝3，∴AB＝6.∴AP的长不能大于 6.2. 【答案】D[解析] 在等腰三角形中，当一个锐角在未指明为顶角还是底角时，一定要分类讨论．①42°的角为等腰三角形的底角；②42°的角为等腰三角形的顶角，则底角为(180°－42°)÷2＝69°.所以底角为42°或69°.3. 【答案】C4. 【答案】D[解析] 有两个内角是60°的三角形，有一个角是60°的等腰三角形，腰和底相等的等腰三角形均可以得到等边三角形，而有两个角相等的等腰三角形不能得到等边三角形．5. 【答案】D[解析] 由∠BAD＋∠B＝∠CAD＋∠C可得∠ADB＝∠ADC，又∠ADB＋∠ADC＝180°，所以∠ADB＝∠ADC＝90°，又BD＝DC，由垂直平分线的性质可得AB＝AC.由等式的性质，根据AB－BD＝AC－CD，AB＋BD＝AC＋CD，又BD＝CD，均可得AB＝AC.选项D不能得到AB＝AC.6. 【答案】C【解析】∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴根据等腰三角形三线合一性质可知AD⊥BC，BD＝CD，在Rt△ABD中，AB＝5，AD＝3，由勾股定理得BD＝4，∴BC＝2BD＝8.7. 【答案】C[解析] ∵BD平分∠ABC，∴∠EBD＝∠CBD.∵DE∥BC，∴∠EDB＝∠CBD.∴∠EBD＝∠EDB.∴BE＝DE.∵△AED的周长为16，∴AE＋DE＋AD＝AE＋BE＋AD＝AB＋AD＝16.∵AD＝6，∴AB＝10.8. 【答案】B[解析] ∵△ABC为等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°.∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B＝60°，∠AED＝∠C＝60°.∴△ADE为等边三角形．∵AB ＝10，BD＝6，∴AD＝AB－BD＝10－6＝4.∴△ADE的周长为4×3＝12.9. 【答案】B[解析] 由题意得∠EBC＝∠ABE，∠ACD＝∠DCB.根据平行线的性质得∠DCB＝∠ADC，∠EBC＝∠AEB，所以∠ADC＝∠ACD，∠ABE＝∠AEB.所以AD＝AC，AB＝AE.所以DE＝AD＋AE＝AC＋AB＝3＋4＝7.10. 【答案】D二、填空题11. 【答案】36[解析] 过点B作BD⊥AC于点D.∵∠A＝30°，AB＝12，∴在Rt△ABD中，BD＝12AB＝12×12＝6.∴S △ABC ＝12AC·BD ＝12×12×6＝36.12. 【答案】7013. 【答案】30[解析] ∵MN ∥BC ，∴∠MOB ＝∠OBC.∵∠OBM ＝∠OBC ， ∴∠MOB ＝∠OBM. ∴MO ＝MB.同理NO ＝NC.∴△AMN 的周长＝AM ＋MO ＋AN ＋NO ＝AM ＋MB ＋AN ＋NC ＝AB ＋AC ＝30.14. 【答案】85或14 [解析] ①当∠A 为顶角时，等腰三角形两底角的度数为180°－80°2＝50°， ∴特征值k ＝80°50°＝85.②当∠A 为底角时，顶角的度数为180°－80°－80°＝20°， ∴特征值k ＝20°80°＝14. 综上所述，特征值k 为85或14.15. 【答案】105°或55°或70° [解析] (1)如图①，点P 在AB 上时，AP ＝AC ，顶角∠A ＝105°.(2)∵∠B ＝20°，∠BAC ＝105°， ∴∠ACB ＝180°－20°－105°＝55°.点P 在BC 上时，如图②，若AC ＝PC ，则顶角∠C ＝55°.如图③，若AC ＝AP ，则顶角∠CAP ＝180°－2∠C ＝180°－2×55°＝70°. 综上所述，顶角为105°或55°或70°.三、解答题16. 【答案】[解析] 由已知条件易知△ABE ≌△CAD ，从而BE ＝AD ，只需求PB 的长即可，由BQ ⊥AD 知，若在Rt △BPQ 中有∠PBQ ＝30°就可以求出BP 的长，于是求证∠BPQ ＝60°是解决问题的突破口． 解：∵△ABC 为等边三角形， ∴∠BAC ＝∠C ＝60°，AB ＝CA. 又AE ＝CD ，∴△ABE ≌△CAD. ∴∠ABE ＝∠CAD ，BE ＝AD.∴∠BPQ ＝∠BAP ＋∠ABE ＝∠BAP ＋∠CAD ＝∠BAC ＝60°. 又BQ ⊥AD ，∴∠PBQ ＝30°. ∴PB ＝2PQ ＝6.∴BE ＝PB ＋PE ＝7.∴AD ＝BE ＝7.17. 【答案】证明：如图所示，过点D 作DG ∥AC 交BC 于点G ，则∠GDF ＝∠E ，∠DGB ＝∠ACB. 在△DFG 和△EFC 中，⎩⎨⎧∠DFG ＝∠EFC ，DF ＝EF ，∠GDF ＝∠E ，∴△DFG ≌△EFC(ASA)．∴GD ＝CE.∵BD ＝CE ，∴BD ＝GD.∴∠B ＝∠DGB.∴∠B ＝∠ACB.∴AB ＝AC ，即△ABC 是等腰三角形．18. 【答案】解：探究一：猜想：EF ＝BE ＋CF.证明如下： ∵BO 平分∠ABC ，∴∠ABO ＝∠CBO. ∵EF ∥BC ，∴∠EOB ＝∠CBO. ∴∠ABO ＝∠EOB.∴BE ＝OE.同理：OF ＝CF ，∴EF ＝OE ＋OF ＝BE ＋CF.探究二：C △AEF ＝AE ＋EF ＋AF ＝AE ＋(OE ＋OF)＋AF ＝(AE ＋BE)＋(AF ＋CF)＝AB ＋AC ＝8＋6＝14. 探究三：猜想：EF ＝BE －CF.证明如下：∵BO 平分∠ABC ， ∴∠EBO ＝∠CBO.∵EF ∥BC ，∴∠EOB ＝∠CBO. ∴∠EBO ＝∠EOB.∴BE ＝OE. 同理：OF ＝CF ，∴EF ＝OE －OF ＝BE －CF.19. 【答案】解：PE ＝PF ＋CH.证明如下： 连接AP.∵PE ⊥AB ，PF ⊥AC ，CH ⊥AB ，∴S △ABP ＝12AB·PE ，S △ACP ＝12AC·PF ，S △ABC ＝12AB·CH.∵S △ABP ＝S △ACP ＋S △ABC ， ∴12AB·PE ＝12AC·PF ＋12AB·CH. ∵AB ＝AC ，∴PE ＝PF ＋CH.20. 【答案】解：(1)证明：∵AB ＝AC ， ∴点A 在BC 的垂直平分线上．∵DB ＝DC ，∴点D 在BC 的垂直平分线上． ∴直线AD 是BC 的垂直平分线．∴AD ⊥BC. (2)证明：∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ， ∴∠BAD ＝∠CAD.∵DE ∥AC ，∴∠EDA ＝∠CAD. ∴∠BAD ＝∠EDA.∴DE ＝AE. (3)DE ＝AC ＋BE.理由：同(2)得∠BAD ＝∠CAD.∵DE∥AC，∴∠EDA＝∠CAD.∴∠BAD＝∠EDA.∴DE＝AE.∵AB＝AC，∴DE＝AB＋BE＝AC＋BE.。
人教版八年级数学上册13.3等腰三角形(包含答案 )
13.3等腰三角形知识要点：1.等腰三角形的性质（1）等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）．（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）．2.等腰三角形的判定（1）有两边相等的三角形是等腰三角形；（2）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）．3.等边三角形的概念：三边都相等的三角形是等边三角形．4.一在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半一、单选题1．将一张正方形纸片按如图1，图2所示的方向对折，然后沿图3中的虚线剪裁得到图4，将图4的纸片展开铺平，再得到的图案是（）A．B．C．D．【答案】B2．如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，AF△BC，垂足为点F，△ADE ＝30°，DF＝2，则△ABF的周长为（）A．B．C．D．【答案】D3．如图，△ABC中△ACB＝90°,CD是AB边上的高，△BAC的角平分线AF交CD于E，则△CEF必为（）A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形【答案】A4．如图，梯形ABCD中，AD△BC，△B＝30°，△BCD＝60°，AD＝2，AC平分△BCD，则BC长为( )．A．4B．6C．D．【答案】B5．如果过三角形重心的一条直线将该三角形分成两个直角三角形，则该三角形一定是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．等腰三角形D．等边三角形【答案】C6．如图，有一底角为35°的等腰三角形纸片，现过底边上一点，沿与腰垂直的方向将其剪开，分成三角形和四边形两部分，则四边形中，最大角的度数是（）A．110°B．125°C．140°D．160°【答案】B7．如图,矩形ABCD中,AB=7,BC=4,按以下步骤作图：以点B为圆心,适当长为半径画弧,交AB,BC于点E,F;再分别以点E,F为圆心,大于12EF的长为半径画弧,两弧在△ABC内部相交于点H,作射线BH,交DC于点G,则DG的长为( )A．1B．112C．3D．212【答案】C8．如图，已知AB△CD，BC平分△ABE，△C=32°，则△BED的度数是（）A．32°B．16°C．49°D．64°【答案】D9．若等腰三角形的周长为18cm，其中一边长为4cm，则该等腰三角形的底边长为（）A．10B．7或10C．4D．7或4【答案】C10．如图，在Rt△ABC中，△C＝90°，D是AB的中点，E在边AC上，若D与C关于BE成轴对称，则下列结论：△△A＝30°；△△ABE是等腰三角形；△点B到△CED 的两边距离相等．其中正确的有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】D11．等腰三角形的顶角为150°,则它的底角为( )A．30°B．15°C．30°或15°D．50°【答案】B12．下列说法错误的是( )A．等腰三角形底边上的高所在直线是它的对称轴；B．等腰三角形底边上的中线所在直线是它的对称轴；C．等腰三角形顶角的平分线所在直线是它的对称轴；D．等腰三角形的一内角平分线所在直线是它的对称轴.【答案】D二、填空题13．如图，等边△ABC中，AD是中线，AD=AE，则△EDC = ______________【答案】15°14．如图，△ABC中，AB =AC，DE是AB的中垂线，△BCD的周长是14，BC = 5，那么AB =_________.【答案】915．等腰三角形周长为40，以一腰为边作等边三角形，其周长为45，则等腰三角形的底边长为_________【答案】1016．等边三角形的周长是30厘米，则边长为_______.【答案】10厘米17．等腰三角形的腰长为10,则底边长m的取值范围是_____.【答案】0＜m＜2018．等腰三角形的一个角是50°,则它的底角为__________°.【答案】50或65．19．等腰三角形的周长为13cm,其中一边长为3cm,则该等腰三角形的腰长为_____cm.【答案】5三、解答题20．如图所示，在△ABC中，△B＝90°，AB＝BC，BD＝CE，M是AC边的中点，求证△DEM 是等腰三角形．证明：连接BM ，∵AB ＝BC ，AM ＝MC ，∵BM∵AC ，且∵ABM ＝∵CBM ＝12∵ABC ＝45°， ∵AB ＝BC ，所以∵A ＝∵C ＝1802ABC ︒-∠＝45°， ∵∵A ＝∵ABM ，所以AM ＝BM ，∵BD ＝CE ，AB ＝BC ，∵AB －BD ＝BC －CE ，即AD ＝BE ，在∵ADM 和∵BEM 中，,45,,AD BE A EBM AM BM =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∵∵ADM∵∵BEM （SAS ），∵DM ＝EM ，∵∵DEM 是等腰三角形．21．如图所示，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的点，DE△AB，DF△AC，垂足分别为点E、F，△BAC＝120°．求证：12DE DF BC+=．证明：∵AB=AC，∵BAC=120°，∵∵B=∵C=30°，∵DE∵AB，DF∵AC，垂足为E，F，∵DE=12BD，DF=12DC，∵DE+DF=12BD+12DC=12（BD+DC）=12BC．∵DE+DF=12 BC．22．如图:已知在△ABC中,AB=AC,AE△BC,试说明AE平分△DAC.证明：∵AB=AC，∵∵B=∵C，∵AE∵BC，∵∵DAE=∵B，∵CAE=∵C，∵∵DAE=∵EAC，∵AE平分∵DAC．23．如图，已知AB=AC，D是AB上一点，DE△BC于E，ED的延长线交CA的延长线于F，那么△ADF是等腰三角形吗?为什么?【答案】∵ADF是等腰三角形，理由见解析.∵ADF是等腰三角形，理由如下：∵AB=AC，∵∵B=∵C（等边对等角），∵DE∵BC于E，∵∵FEB=∵FEC=90°，∵∵B+∵EDB=∵C+∵EFC=90°，∵∵EFC=∵EDB（等角的余角相等），∵∵EDB=∵ADF（对顶角相等），∵∵EFC=∵ADF，∵∵ADF是等腰三角形．24．如图，在△ABC中，AB=AC，△ABC和△ACB的平分线交于点O.(1) 结合图形，请你写出你认为正确的结论；(2) 过O作EF△BC交AB于E，交AC于F. 请你写出图中所有等腰三角形，并探究EF、BE、FC之间的关系；(3) 若AB≠AC，其他条件不变，图中还有等腰三角形吗？若有，请写出所有的等腰三角形，若没有，请说明理由；线段EF、BE、FC之间，上面探究的结论是否还成立？【答案】（1）结论：∵ABO=∵CBO=∵ACO=∵BCO，理由如下：∵AB=AC，∵∵ABC=∵ACB．∵OB平分∵ABC，OC平分∵ACB，∵∵ABO=∵CBO=∵ACO=∵BCO．（2）等腰三角形有：∵ABC、∵AEF，∵BEO，∵COF，∵BOC；EF、BE、FC之间的关系EF=BE+CF，理由如下：由（1）可得，∵ABC、∵BOC是等腰三角形；∵EF∵BC，∵∵ABC=∵AEF，∵AFE=∵ACB,∵∵ABC=∵ACB，∵∵AEF=∵AFE，∵AE=AF,即∵AEF是等腰三角形；∵BO平分∵ABC，∵∵EBO=∵OBC；∵EF∵BC，∵∵OBC=∵EOB，∵∵EBO=∵EOB；∵EO=BE，∵∵BEO是等腰三角形；同理可得OF=FC，∵∵COF是等腰三角形；∵EO+OF=BE+FC，即EF=BE+CF．（3）图中的等腰三角形有：∵BEO，∵COF ；结论仍然成立，理由如下：∵BO平分∵ABC，∵∵EBO=∵OBC；∵EF∵BC，∵∵OBC=∵EOB，∵∵EBO=∵EOB；∵EO=BE，人教版八年级数学上册13.3等腰三角形（包含答案）∵∵BEO是等腰三角形；同理可得OF=FC，∵∵COF是等腰三角形；∵EO+OF=BE+FC，即EF=BE+CF．11/ 11。
人教版八年级数学上册 13.3等腰三角形 同步练习(包含答案)
13.3等腰三角形知识要点：1.应用“三线合一”性质的前提条件是在等腰三角形中，且必须是底边上的中线、底边上的高和顶角平分线，若是一腰上的高与中线就不一定重合．2.等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线（或底边上的高、底边上的中线）所在的直线是它的对称轴．3.等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°4.一在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．一、单选题1．已知等腰三角形的周长为10，一边长为4，则此等腰三角形的腰长为( )A．2B．3C．4D．3或4【答案】D2．如图，在△ABC中，AB=AC，△A=36°，BE平分△ABC，CD平分△ACB，CD交BE 于点F，那么图中的等腰三角形共有( )个.A．6B．7C．8D．9【答案】C3．如果一个三角形的一内角平分线垂直于对边，那么这个三角形是( )A．等腰三角形B．等边三角形C．锐角三角形D．不能确定【答案】A4．在Rt△ABC中，△C=90°，△B=30°，则( )A．AB=2AC B．AC=2AB C．AB=AC D．AB=3AC【答案】A5．已知一个等腰三角形的一边长为5,另一边长为7,则这个等腰三角形的周长为( ) A．12 B．17 C．17或19 D．19【答案】C6．如图,在△ABC中,AB=AC,AD是△ABC的角平分线,DE△AB,DF△AC,垂足分别为E,F.则下列结论:△AD上任意一点到点C,B的距离相等;△AD上任意一点到边AB,AC的距离相等;△BD=CD,AD△BC;△△BDE=△CDF.其中正确的个数为（）A．4B．3C．2D．1【答案】A7．下列能判定△ABC为等腰三角形的是( )A．△A＝30°，△B＝60° B．△A＝50°，△B＝80°C．△A＝2△B＝80° D．AB＝3，BC＝6，周长为13【答案】B8．如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是16，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点.若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为()A．6 B．8 C．10 D．12【答案】C9．如图，AD△BC，D是BC的中点，那么下列结论错误的是()A．△ABD△△ACD B．△B＝△C C．△ABC是等腰三角形D．△ABC是等边三角形【答案】D10．如图，在△ABC中，△ACB=90°，BE平分△ABC，ED△AB与点D，△A=30°，AE=6cm，那么CE等于（）A．4cm B．2cm C．3cm D．1cm【答案】C11．如图，在△ABC中，△A＝45°，△B＝30°，CD△AB，垂足为D，AD＝1，则BD的长为()A．√2B．2 C．√3D．3【答案】C12．等边三角形的边长为2，则该三角形的面积为（）A．4√3B．2√3C．√3D．3【答案】C13．如图，AB＝AC，△BAC＝120°，AB的垂直平分线交BC于点D，那么△ADC的度数为（）A．120° B．30° C．60° D．80°【答案】C14．已知A和B两点在线段EF的中垂线上，且△EBF＝100°，△EAF＝70°，则△AEB等于( )A．95° B．15° C．95°或15° D．170°或30°【答案】C二、填空题15．等腰△ABC中，若△A=30°，则△B=________．【答案】30°或75°或120°16．已知等腰△ABC的腰AB=AC=10cm，底边BC=12cm，则△A的平分线的长是______cm．【答案】817．已知等腰三角形的周长为13，其中一边长为3，其它两边的长为____________【答案】5，518．在直角三角形中，最长边为10 cm，最短边为5 cm，则这个三角形中最小的内角为__________度.【答案】3019．如图，在Rt△ABC中，△C=90°，△A=30°，AB的垂直平分线交AC于点E，垂足为D，BE平分△ABC，若AE=2，则CE的长为______．【答案】120．已知等腰△ABC的两边长a、b满足（a-2）2+|b-4|=0，则等腰△ABC的周长为______ ．【答案】10三、解答题21．如图，等边三角形ABC的边长是10cm，求：（1）高AD的长（2）S△ABC（结果保留根号）【答案】2∵等边三角形三线合一的性质，∵D 为BC 中点，BD=DC=5cm ，∵AD∵BC ，=，∵∵ABC 的面积为211•10cm 22S BC AD ==⨯⨯=22．如图,在△ABC 中,△A=30°,AC=2√3,△B=60°，求点C 到AB 的距离和△ABC 的面积.【答案】√3，2√3.过点C 作CD∵AB,则∵ADC=90°,因为∵A=30°,AC=2√3,所以CD=√3,在∵ABC 中,因为∵A=30°,∵B=60°,所以∵ACB=90°,在Rt∵ABC 中,设BC=x,则AB=2x,因为AB 2=BC 2+AC 2,所以(2x)2=x 2+(2√3)2,x=2,所以S ∵ABC =12AC·BC=12×2√3×2=2√3.23．已知：如图，在△ABC 中，△A=30°，△ACB=90°，M 、D 分别为AB 、MB 的中点. 求证：CD△AB.∵∵ACB =90°，M 为AB 中点，∵CM 12=AB =BM ． ∵∵ACB =90°，∵A =30°，∵CB 12=AB =BM ，∵CM =CB ．∵D为MB的中点，∵CD∵BM，即CD∵AB．24．如图，在△ABC中，△ACB＝90°，CD△AB于点D，AF平分△CAB，交CD于点E，交BC于点F，若AF＝BF，求证：△CEF是等边三角形．证明：如图，∵AF是∵BAC的平分线，∵∵CAB=2∵1=2∵2，∵AF=BF，∵∵2=∵B，∵∵ACB=90°，∵∵B+∵CAB=90°，即∵B+2∵1=∵B+2∵2=90°，∵∵B=∵1=∵2=30°，∵∵4是∵ABF的外角，∵∵4=∵2+∵B=60°，∵CD是AB边上的高，∵∵2+∵3=90°，∵∵3=60°，∵∵5=∵3，∵∵4=∵5=60°，∵∵CEF是等边三角形．。
13.3.1 等腰三角形 同步练习 2024—2025学年人教版数学八年级上册
13.3.1 等腰三角形第1 课时等腰三角形的性质A层知识点一等边对等角1.若等腰三角形底角为50°，则该三角形的顶角的度数是( )A.40°B.50°C.60°D.80°2.如图,AB∥CD,点E 在线段BC上,CD=CE.若∠ABC=30°,则∠D 的度数为( )A.85°B.75°C.65°D.30°3.如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=50°,P 是边AB 上的一个动点(不与顶点A、B重合)，则∠BCP 的度数可能是.(写出一个即可)4.如图,在Rt△ABC 中,∠C=90°,AF=EF.若∠CFE=72°,则∠B=5.如图,在△ABC 中,AB = AC,BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为点E、F.求证:△BED≌△CFD.知识点二等腰三角形“三线合一”6.如图，AD 是等腰三角形ABC 的顶角平分线，BD=5,则CD 等于( )A.10B.5C.4D.37.如图,AD,CE 分别是△ABC 的中线和角平分线.若AB=AC,∠CAD=20°,则∠ACE 的度数是( )A.20°B.35°C.40°D.70°8.如图,在△ABC中,AB=AC,AD 是BC 边上的中线,BE⊥AC 于点E.求证:∠CBE =∠BAD.B层9.等腰三角形的一个角是80°，则它的顶角是( )A.50°B.80°C.50°或80°D.20°或80°【变式题】本质同：顶角、底角不明确，需分类讨论在等腰△ABC 中,∠A=2∠B,则∠C 的度数为( )A.36°B.45°C.36°或45°D.45°或72°10.如图,在△ABC中,D、E、F 分别为边AB、AC、BC 上的点,且BD=BF,CF=CE,∠A=62°,则∠DFE的度数为( )A.58°B.59°C.62°D.76°11.如图,P 为正五边形ABCDE 的边AE 上一点,过点P 作PQ∥BC,交DE 于点Q,则∠EPQ的度数为.12.过等腰三角形顶角顶点的一条直线，将该等腰三角形分成的两个三角形均为等腰三角形，则原等腰三角形的底角度数为.13.如图,在△ABC 中,D 是BC 边上一点,AD= BD, AD = AC,∠BAC = 63°, 求∠DAC 的度数.14.如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC 于点D.(1)若∠C=42°,求∠BAD 的度数;(2)若点E 在边AB 上,F 在AD 的延长线上,且AE=FE.求证:EF∥AC.C层15.问题:如图,在△ABD 中,BA=BD,在BD的延长线上取点E,C,作△AEC,使EA =EC.若∠BAE=90°,∠B=45°,求∠DAC 的度数.答案:∠DAC=45°.思考：(1)如果把以上“问题”中的条件“∠B=45°”去掉，其余条件不变，那么∠DAC 的度数会改变吗?说明理由；(2)如果把以上“问题”中的条件“∠B=45°”去掉, 再将“∠BAE = 90°”改为“∠BAE=n°”,其余条件不变,求∠D AC的度数.第2 课时等腰三角形的判定A层知识点一等腰三角形的判定1.在△ABC中,已知∠B=∠C,则( )A. AB=BCB. AB=ACC. BC=ACD.∠A=60°2.在△ABC 中,∠A 和∠B 的度数如下,其中能判定△ABC 是等腰三角形的是( )A.∠A=50°,∠B=70°B.∠A=70°,∠B=40°C.∠A=30°,∠B=90°D.∠A=80°,∠B=60°3.如图,关于△ABC,给出下列四组条件:①△ABC中,AB=AC;②△ABC 中,∠B=56°,∠BAC=68°;③△ABC 中,AD⊥BC,AD 平分∠BAC;④△ABC中,AD⊥BC,BD=CD.其中,能判定△ABC 是等腰三角形的条件共有( )A.1 组B.2组C.3 组D.4 组4.如图,AD 平分∠BAC,AD⊥BD,垂足为点D,DE∥AC.求证:△BDE是等腰三角形.知识点二用尺规作等腰三角形5.作图题(要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明).已知:线段a 和∠α(如图),求作△ABC,使AB=AC=a,∠A=∠α.知识点三等腰三角形的性质与判定的综合运用6.如图,AC 和BD 相交于点O,且AB∥DC,OA=OB,OC=3cm,则OD= cm.7.如图,在△ABC中,∠B=∠C,AD⊥BC 于点D.若AB=6,CD=4,则△ABC的周长是.8.如图,在四边形ABCD 中,AB∥CD,∠B =90°,连接AC,∠DAC=∠BAC.(1)求证:AD=DC;(2)若∠D=120°,求∠ACB 的度数.B层9.如图,在等腰△ABC 中,BD 为∠ABC 的平分线,∠A=36°,AB=AC=a,BC=b,则CD=( )A.a+b2B.a−b2C. a-bD. b-a10.如图,D为△ABC 内一点, AD ⊥CD, AD 平分∠CAB,且∠DCB=∠B.如果AB=10,AC=6,那么CD=.11.(易错题)如图,在直角坐标系中,点A(-2,2)、B(0,1),点P 在x 轴上,且△PAB 是等腰三角形，则满足条件的点P 共有个.12.如图,AD∥BC,∠BAC=70°,DE⊥AC 于点E,∠D=20°.(1)求∠B 的度数,并判断△ABC 的形状;(2)若延长线段DE 恰好过点B,求证:BD 是∠ABC 的平分线.13.如图,在△ABC 中,D,E 分别是AC,AB 上的点，BD 与CE 交于点O.给出下列三个条件:①∠1=∠2;②∠3=∠4;③BE=CD.(1)上述三个条件中，哪两个条件可判定△ABC是等腰三角形(用序号写出所有情形)?(2)选择第(1)小题中的一种情况，证明△ABC 是等腰三角形.14.如图,在△ABC中,AB=AC,M,N 分别是AB,AC 边上的点,并且MN∥BC.(1)△AMN 是否是等腰三角形?说明理由；(2)点P 是MN 上的一点,并且BP 平分∠ABC,CP 平分∠ACB.①求证:△BPM 是等腰三角形;②若△ABC 的周长为a,BC=b(a>2b),求△AMN 的周长(用含u,b的式子表示).13.3 等腰三角形13.3.1 等腰三角形第1课时等腰三角形的性质1. D2. B3.45°(答案不唯一)4.54°5.证明:∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴∠BED =∠CFD = 90°.∵AB=AC,∴∠B=∠C.在△BED 和△CFD 中,{∠B=∠C,∠BED=∠CFD,BD=CD,∴△BED≌△CFD(AAS).6. B7. B8.证明:∵AB=AC,AD 是BC 边上的中线,∴∠CAD=∠BAD,AD⊥BC.又∵BE⊥AC,∴∠CBE+∠C=∠CAD+∠C=90°.∴∠CBE=∠CAD.∴∠CBE=∠BAD.9. D 【变式题】D 10. B 11.36°12.36°或45°解析:如图①,AD=BD,AC=DC,可求得∠B=∠C=36°;如图②,AD=B D=DC,可求得∠B=∠C=45°.13.解:∵AD = BD,AD = AC,∴∠B =∠BAD,∠ADC = ∠C.又∵∠ADC =∠B+∠BAD=2∠B,∴∠C=2∠B.在△ABC中,∠B+∠C+∠BAC=180°,即12∠C+∠C+63∘=180∘,∴∠C=78∘.在△ACD 中,. ∠DAC=180°−∠C −∠ADC=180°-2∠C=24°.14.(1)解:∵AB = AC,AD⊥BC 于点D,∴∠BAD= ∠CAD, ∠ADC = 90°.又∵∠C=42°,∴∠BAD=∠CAD=90°- 42°=48°.(2) 证明: 由(1) 知∠BAD = ∠CAD.∵AE = FE,∴∠BAD=∠F.∴∠F =∠CAD.∴EF∥AC.15.解:(1)∠DAC 的度数不会改变.理由如下:∵EA=EC,∴∠CAE=∠C.∴∠AED =2∠C.∵∠BAE = 90°, ∴∠B = 90°-∠AED = 90°- 2 ∠C. ∵BA = BD, ∴∠BDA=12(180∘−∠B)=12[180∘−(90°−2∠C)]=45°+∠C.∴∠DAC=∠BDA-∠C=45°.(2)设∠B =m°,则∠BDA=12(180∘−m∘)=90∘−12m∘,∠AEB=180∘−n∘−m∘.∵EA=EC,∴∠C=12∠AEB=90∘−12n∘−12m∘∴∠DAC=∠BDA−∠C=12n∘.第2 课时等腰三角形的判定1. B2. B3. D4.证明: 如图, ∵DE ∥AC,∴∠1= ∠3. ∵AD 平分∠BAC,∴∠1=∠2.∴∠2=∠3.∵AD ⊥BD,∴∠2+∠B= 90°, ∠3+ ∠BDE = 90°. ∴∠B=∠BDE.∴BE=DE.∴△BDE是等腰三角形.5.解:△ABC 如图所示.6.37.208.(1)证明:∵AB∥CD,∴∠DCA=∠BAC.∵∠DAC =∠BAC,∴∠DAC =∠DCA.∴AD=DC.(2)解:∵AB∥CD,∴∠B+∠DCB=180°.∵∠B=90°,∴∠DCB=90°.∵AD=DC,∠D = 120°,∴∠ACD = 30°.∴∠A CB=∠DCB-∠DCA=60°.9. C 10.2 11.412.(1)解:∵DE⊥AC 于点E,∠D =20°,∴∠CAD= 70°.∵AD ∥BC, ∴∠C =∠CAD=70°.∵∠BAC=70°,∴∠B =40°,∠BAC=∠C.∴AB=BC.∴△ABC是等腰三角形.(2)证明:∵延长线段DE 恰好过点B,DE⊥AC,∴BD⊥AC.∵△ABC是等腰三角形且AB=BC,∴BD是∠ABC的平分线.13.解:(1)由①③和②③都可以判定△ABC 是等腰三角形.(2)如选择①③,证明如下:在△BOE 和△COD 中{∠1=∠2,∠BOE=∠COD,∴BOE≅2BE=CD,△COD(AAS).∴BO= CO.∴∠OBC =∠OCB.∴∠1+∠OBC=∠2+∠OCB,即∠ABC=∠ACB.∴AB=AC.∴△ABC 是等腰三角形.14.(1)解:△AMN 是等腰三角形,理由如下:∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB.∵MN∥BC, ∴∠AMN = ∠ABC, ∠ANM =∠ACB.∴∠AMN = ∠ANM.∴AM =AN.∴△AMN是等腰三角形.(2)①证明:∵BP 平分∠ABC,∴∠PBM=∠PBC.∵MN∥BC,∴∠MPB=∠PBC.∴∠PBM=∠MPB.∴MB=MP.∴△BPM是等腰三角形.②解:由①知MB=MP,同理可得NC=NP.∴△AMN 的周长= AM + MP+NP+AN=AM+MB+NC+AN=AB+AC.∵△ABC的周长为a,BC=b,∴AB+AC=a-b.∴△AMN 的周长=a-b.。
13.3.1等腰三角形(讲练)-2022-2023学年八年级数学上册重要考点(人教版)(原卷版)
13.3.1 等腰三角形等腰三角形（1）定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形.（2）等腰三角形性质①等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”；②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合（简称“三线合一”）.特别地，等腰直角三角形的每个底角都等于45°.（3）等腰三角形的判定如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即“等角对等边”）.题型1：等腰三角形与角度问题1.1．若等腰三角形的一个外角是70°，则它的底角的度数是（）A．110°B．70°C．35°D．55°【变式11】如图，B在AC上，D在CE上，AD=BD=BC，∠ACE=25°，∠ADE的度数为（）A．50°B．65°C．75°D．80°【变式12】等腰三角形的一个内角是70°，则它底角的度数是（）A．70°B．70°或40°C．70°或55°D．55°题型2：等腰三角形与周长问题2.两边长为4和8的等腰三角形的周长为（）A．16B．20C．16或20D．16或18【变式21】如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE//AC，AB=7cm，BD=3cm，则△BDE的周长为（）A．13cm B．10cm C．4cm D．7cm【变式22】等腰三角形两条边长分别是6和8，则其周长为（）A．20B．22C．20或22D．24题型3：等腰三角形与多选项问题3.等腰三角形ABC中，AB=AC，AD是角平分线，则“①AD∠BC，②BD=DC，③∠B=∠C，④∠BAD=∠CAD”中，结论正确的个数是（）A．4B．3C．2D．1【变式31】如图，∠ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC到E，使CE=CD，连接DE.下面给出的四个结论，其中正确的个数是（）① BD∠AC；②BD平分∠ABC；③BD=DE；④∠BDE=120°【变式32】如图，∠ABC，∠ACB的平分线相交于点F，过点F作DE∠BC，交AB于D，交AC于E，那么下列结论正确的是：①∠BDF，∠CEF都是等腰三角形；②DE=BD＋CE；③∠ADE的周长为AB＋AC；④BD=CE.()A．③④B．①②③C．①②D．②③④题型4：等腰三角形与三线合一问题4.如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，BE⊥AC于E．求证：∠BAC=2∠EBC．【变式41】如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，AE⊥BE于点E，且BE=12BC．求证：AB平分∠EAD．题型5：等腰三角形与个数问题5.如图所示，点E、F为网格中的格点，△DEF为等腰三角形，且点D是网格中的格点，则符合条件的三角形点D有（）A．4个B．6个C．9个D．10个【变式51】如图，已知直角三角形ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=60°，在直线BC或AC上取一点P，使得△ABP为等腰三角形，则符合条件的点有（）A．4个B．5个C．6个D．7个【变式52】如图，在Rt∠ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB=36°，以C为原点，C所在直线为y轴，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，在坐标轴上取一点M使∠MAB 为等腰三角形，符合条件的M 点有（）A．6个B．7个C．8个D．9个题型6：等腰三角形与判定问题6.如图，在∠ABC中，AB=AC，D、E分别在边AB、AC上，DE∠BC.（1）试问∠ADE是否是等腰三角形，并说明理由.（2）若M为DE上的点，且BM平分∠ABC，CM平分∠ACB，若ΔADE的周长为20，BC=8.求ΔABC的周长.【变式61】如图，在∠ABC中，AB=AC，∠A=36°，DE是AC的垂直平分线．（1）求证：∠BCD是等腰三角形；（2）∠BCD的周长是a，BC=b，求∠ACD的周长（用含a，b的代数式表示）【变式62】如图，在∠ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE＝CF，BD ＝CE．（1）求证：∠DEF是等腰三角形；（2）当∠A＝40°时，求∠DEF的度数．一、单选题1．等腰三角形的对称轴是（）A．顶角的平分线B．底边上的高C．底边上的中线D．底边上的高所在的直线2．如图，∠ABC中，AB=AC，∠A=36°，∠ABC和∠ACB的平分线BE、CD交于点F，则图中共有等腰三角形()A．8个B．7个C．6个D．5个3．等腰三角形的一个外角为140°，那么底角等于（）A．40°B．100°C．70°D．40°或70°4．如图，∠ABC中，AB＝AC，BD＝CE，BF＝CD，若∠A＝50°，则∠EDF的度数是（）A．75°B．70°C．65°D．60°5．如果等腰三角形两边长是8cm和4cm，那么它的周长是（）A．16cm B．12cm C．20cm D．16cm或20cm6．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝65°，点D是BC边上任意一点，过点D作DF∠AB交AC 于点E，则∠FEC的度数是（）A．120°B．130°C．145°D．150°二、填空题7．等腰三角形有一个角为70°，则底角的度数为.8．若等腰三角形的两条边长分别为7cm和14cm，则它的周长为cm．9．等腰三角形一边的长是5，另一边的长是10，则它的周长是.三、作图题10．如图，已知：AB∠CD．（1）在图中，用尺规作∠ACD 的平分线交AB 于 E 点；（2）判断∠ACE 的形状，并证明.四、解答题11．如图，在∠ABC中，AB=AC，∠A=40°，BD是∠ABC的平分线，求∠BDC的度数．12．如图，AB=AC，BD=DC，DF∠AB，DE∠AC，垂足分别是F，E．求证：DE=DF．五、综合题13．如图，在∠ABC中，AB＝AC，M，N分别是AB，AC边上的点，并且MN∠BC．（1）∠AMN是否是等腰三角形？说明理由；（2）点P是MN上的一点，并且BP平分∠ABC，CP平分∠ACB．①求证：∠BPM是等腰三角形；②若∠ABC的周长为a，BC＝b（a＞2b），求∠AMN的周长（用含a，b的式子表示）．14．如图，∠ABC中，AB=AC，∠A=36°，AC的垂直平分线交AB于E，D为垂足，连结EC．（1）求∠ECD的度数.（2）若CE=12，求BC的长.。
新人教版八年级数学上册13.3.1等腰三角形(2)
13.3.1等腰三角形（2）一．选择题（共8小题）1．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD，CE分别为∠ABC，∠ACB的角平分线，则图中等腰三角形共有（）A． 5个B． 6个C． 7个D． 8个第1题第2题第4题7．如图，坐标平面内一点A（2，﹣1），O为原点，P是x轴上的一个动点，如果以点P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P的个数为（）A． 2 B． 3 C． 4 D． 53．下列条件中不能确定是等腰三角形的是（）A．三条边都相等的三角形D．一条中线把面积分成相等的两部分的三角形B．有一个锐角是45°的直角三角形C．一个外角的平分线平行于三角形一边的三角形4．如图，在△ABC中，D、E分别是AC、AB上的点，BD与CE相交于点O，给出四个条件：①OB=OC；②∠EBO=∠DCO；③∠BEO=∠CDO；④BE=CD．上述四个条件中，选择两个可以判定△ABC是等腰三角形的方法有（）A． 2种B． 3种C． 4种D． 6种5．下列能断定△ABC为等腰三角形的是（）A．∠A=30°，∠B=60°B．∠A=50°，∠B=80°C． AB=AC=2，BC=4 D． AB=3，BC=7，周长为136．下列说法中：（1）顶角相等，并且有一腰相等的两个等腰三角形全等；（2）底边相等，且周长相等的两个等腰三角形全等；（3）腰长相等，且有一角是50°的两个等腰三角形全等；（4）两条直角边对应相等的两个直角三角形全等；错误的有（）A． 1个B．2个C． 3个D．4个7．已知下列各组数据，可以构成等腰三角形的是（）A． 1，2，1 B． 2，2，1 C． 1，3，1 D．2，2，58．已知：如图，下列三角形中，AB=AC，则经过三角形的一个顶点的一条直线能够将这个三角形分成两个小等腰三角形的是（）A．①③④B．①②③④C．①②④D．①③二．填空题（共10小题）9．用若干根火柴（不折断）紧接着摆成一个等腰三角形，底边用了10根，则一腰至少要用_________根火柴．10．如图，∠BAC=100°，∠B=40°，∠D=20°，AB=3，则CD=_________第10题第11题第14题第18题11．如图，△ABC是等腰三角形，且AB=AC，BM，CM分别平分∠ABC，∠ACB，DE经过点M，且DE∥BC，则图中有_________个等腰三角形．12．在△ABC中，与∠A相邻的外角是100°，要使△ABC是等腰三角形，则∠B的度数是_________．13．在△ABC中，∠A=100°，当∠B=_________°时，△ABC是等腰三角形．14．如图，在△ABC中AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC，则∠1=_________度，图中有_________个等腰三角形．15．若三角形三边长满足（a﹣b）（a﹣c）=0，则△ABC的形状是_________．16．如果一个三角形有两个角分别为80°，50°，则这个三角形是_________三角形．17．在平面上用18根火柴首尾相接围成等腰三角形，这样的等腰三角形一共可以围攻成_________种．18．如图，已知AD平分∠EAC，且AD∥BC，则△ABC一定是_________三角形．三．解答题（共5小题）19．如图，在△ABC和△DCB中，AC与BD相交于点O．AB=DC，AC=BD．（1）求证：△ABC≌△DCB；（2）△OBC的形状是_________．（直接写出结论，不需证明）20．已知：如图，OA平分∠BAC，∠1=∠2．求证：△ABC是等腰三角形．21．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的一点，BE与CD交于点O，给出下列四个条件：①∠DBO=∠ECO；②∠BDO=∠CEO；③BD=CE；④OB=OC．（1）上述四个条件中，哪两个可以判定△ABC是等腰三角形？（2）选择第（1）题中的一种情形为条件，试说明△ABC是等腰三角形．22．如图，△ABC中，∠A=36°，AB=AC，CD平分∠ACB，试说明△BCD是等腰三角形．23．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，连接AC，△AB′C和△ABC关于AC 所在的直线对称，AD和B′C相交于点O，连接BB′．（1）求证：△ABC≌△CDA．（2）请直接写出图中所有的等腰三角形（不添加字母）；（3）图中阴影部分的△AB′O和△CDO是否全等？若全等请给出证明；若不全等，请说明理由．13.3.1等腰三角形（2）答案：一、DCDCBABA二、9、6；10、3；11、5；12、80°或50°或20°；13、40度；14、72,3；15、等腰三角形；16、等腰；17、4；18、等腰三 、19、（1）证明：在△ABC 和△DCB 中，∴△ABC ≌△DCB （SSS ）．（2）解：∵△ABC ≌△DCB ，∴∠OBC=∠OCB ．∴OB=OC ．∴△OBC 为等腰三角形．故填等腰三角形．20、解答： 证明：作OE ⊥AB 于E ，OF ⊥AC 于F ，∵AO 平分∠BAC ，∴OE=OF （角平分线上的点到角两边的距离相等）．∵∠1=∠2，∴OB=OC ．∴Rt △OBE ≌Rt △OCF （HL ）．∴∠5=∠6．∴∠1+∠5=∠2+∠6．即∠ABC=∠ACB ．∴AB=AC ．∴△ABC 是等腰三角形．21解：（1）①③，①④，②③和②④；（2）以①④为条件，理由：∵OB=OC ， ∴∠OBC=∠OCB ．又∵∠DBO=∠ECO ，∴∠DBO+∠OBC=∠ECO+∠OCB ，即∠ABC=∠ACB ，∴AB=AC ，∴△ABC 是等腰三角形．22解：△ABC 中∵AB=AC ，∠A=36°∴∠B=∠ACB=21（180°﹣∠A ）=72° ∵CD 平分∠ACB∴∠DCB=21∠ACB=36° 在△DBC 中∠BDC=180°﹣∠B ﹣∠DCB=72°=∠B∴CD=CB即△BCD是等腰三角形．23、解：（1）证明：∵AB∥CD ，AD∥BC，∴∠DAC=∠BCA，∠ACD=∠BAC，在△ABC和△CDA中，，∴△ABC≌△CDA（ASA）；（2）图中所有的等腰三角形有：△OAC，△ABB′，△CBB′；∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB，又∵△AB′C和△ABC关于AC所在的直线对称，∴△AB′C≌△ABC，∴∠ACB=∠ACB′，AB=AB′，即△ABB′为等腰三角形，∴∠DAC=∠ACB′，∴OA=OC，即△OAC为等腰三角形，∵CB=CB′，∴△CBB′为等腰三角形；（3）△AB′O≌△CDO，理由为：证明：∵△AB′C≌△ABC，且△ABC≌△CDA，∴△AB′C≌△CDA，∴B′C=DA，AB′=CD，又OA=OC，∴DA﹣OA=B′C﹣OC，即OB′=OD，在△AB′O和△CDO中，，∴△AB′O≌△CDO．可以编辑的试卷（可以删除）学习提示：1、通过练习发现不足。
新人教版八年级数学上册13.3.1《等腰三角形》习题精选
等腰三角形我预学2．如图，已知线段AB．(1)作图：请作出线段 AB的垂直均分线 MN；(2)发现：线段 AB 沿直线 MN对折，直线双侧的图形能够完整重合．我们称是的对称轴，是轴对称图形．AB3．绘图并研究：作△ABC，使∠BAC= ， AB=AC=3c m． D 是 BC上的点，且BD=3cm， D对于等腰三角形的对称轴的对称点是E, 那么CE=.连接AD、AE，你发现的等腰三角形有个．我梳理三边关系：之和底边.A等腰三角形的对称轴是，图中 B 的对称点是， AB 对于对称轴对称的线段是．B C我达标A 1．在△ABC中，AB=AC，则腰是，顶角是，底角是．已知，则和也AD=DC=BC D为等腰三角形， BC 是的腰，是的底边．2．等腰三角形中，假如底边长为6，一腰长为8，那么周长BC1是；假如等腰三角形有一边长是6，另一边长是8，那么它的周长是；如果等腰三角形的两边长分别是4、 8，那么它的周长是．3 ．以下条件能够判断△ABC是等腰三角形的是（）A．三条边长分别是5， 5， 11 B ．周长为14，此中两边长分别是4， 5C．三条边长的比是1:1:3D．周长为24，此中两边长分别是6，12 4．如图，已知在△ABC中， AB=AC=22，AB的垂直均分线交AC于点D,△DBC的周长为38，则△ABC底边的长度是（）6．已知：如图，AD均分∠BAC，AB=AC，( 1)请你说明△DBC是等腰三角形．（2 ）求作点E，F 对于 AD的对称点E’， F’；（3）连接E E ’，F F ’，图中有哪几个等腰三角形？我挑战7．若等腰三角形的周长为24，则腰长 a 的取值范围是．{ x 2 y13 的解，8．已知等腰三角形的底边和一腰长是方程组3x y14这个三角形的周长是．9 ．七年级一班的张小明是体育委员，李聪是学习委员. 这日，搞班级活动，全班同学在操场参加“小组争先”比赛，张小明与李聪分别代表自己所在小组参加“浇花”项目比赛. 平时跑步比赛在班中名列前茅的张小斌硬是在这个项目中输给了李聪，同学们百思不得其解，纷纷仔细地研究起了这个问题 .这个项目的比赛是这样规定的：参赛队员同时从起点出发，先到河中打上半桶水，再跑到花坛将水浇在花丛中，最后跑回起点，先回到起点者胜. 同学们都说张小斌选择的路线不对 .张小明感觉很冤枉 . 他说：我往河畔跑时跑的是近来的垂直路线，我比李聪先打的水，怎么可能不对？聪慧的同学，你知道李聪的取胜的路线吗？请你试着画一画.我登峰210．平面上可否找到 4 个点，使此中随意 3 个点连成的三角形都是等腰三角形？可否找到5 个点，使此中随意 3 个点连成的三角形都是等腰三角形？等腰三角形1．AB AC，∠A，∠B和∠ACB，△BCD，△ACD，△BCD，△ABC.2． 22, 20 或 22,203．B4．B5． 5,15 ,15 6．略 7 ． 6＜a＜ 12 8．13 或 119 ．利用等腰三角形的轴对称性解决10 ．能找到正方形的 4 个极点 ; 能找到正五边形的 5 个极点3。
人教版数学八年级上册《13.3等腰三角形》专项练习(含答案).doc
八年级上册13.3等腰三角形专项练习（含答案）（满分： 100 分）班级： ______ 姓名： ______ 学号： ____ 成绩： ____一、选择题（每题 3 分，共 36 分）1、如右图所示，在△ ABC 中， AB=AC ，D 是 BC 的中点，以下结论中不正确的选项是（）A、AB ＝2BDB、AD ⊥ BCC、AD 均分∠BAC D 、∠B＝∠C2、如图，等腰△ ABC 的周长为 21 ，底边 BC B 于点 D ，交 AC 于点 E，则△BEC 的周长为（＝ 5，AB）的垂直均分线DE交AA．13 B．14 C．15 D．163、如图，在正三角形，A．1∶3B．2∶3中，，，分别是，则的面积与C．∶2D．，，上的点，的面积之比等于（∶3），4、如图：∠EAF=15 °，AB=BC=CD=DE=EF ，则∠DEF 等于（）A：90°B：75 °C：70 ° D ：60 °5、若等腰三角形腰上的高是腰长的一半,则这个等腰三角形的底角是（）A：75°或15 °B：75 ° C：15 ° D：75°和30 °6、如图，在中，，是的垂直均分线，交于点，交于点．已知，则的度数为（）A．B．C．D．7、某小区现有一块等腰直角三角形形状的绿地，腰长为 100 米，直角极点为A ．小区物业管委会准备把它切割成面积相等的两块，有以下的切割方法：方法一：在底边 BC 上找一点 D ，连结 AD 作为切割线；方法二：在腰 AC 上找一点 D，连结 BD 作为切割线；方法三：在腰 AB 上找一点 D ，作 DE∥BC，交 AC 于点 E，DE 作为切割线；方法四：以极点 A 为圆心， AD 为半径作弧，交 AB 于点 D，交 AC 于点 E，弧 DE 作为切割线．这些切割方法中切割线最短的是 ( )A.方法一B.方法二C.方法三D. 方法四8、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则顶角的度数为（）Ａ． 30 °Ｂ． 30 °或150 °Ｃ．Ｄ．9、以下图， BE⊥ AC 于点 D ，且 AD ＝CD ，BD ＝ED，若∠ABC ＝54 °，则∠E＝（）A.25 °B.27 °C.30 °D.45 °10 、等腰直角三角形的一个底角的度数是（）A．B．C． D ．11、已知ABC 是等边三角形，点D、E 分别在AC、 BC 边上，且AD=CE,AE 与BD 交于点F,则∠AFD 的度数为( )A.60 °B.45 °C.75 °D. 70°12 、如图，中，，，垂直均分，则的度数为（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．二、填空题13 、如图，以等腰直角三角形AOB 的斜边为直角边向外作第 2 个等腰直角三角形 ABA 1，再以等腰直角三角形 ABA 1的斜边为直角边向外作第 3 个等腰直角三角形 A 1 BB1，这样作下去。
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13.3.1等腰三角形（二）练习题
1、填空
（1）在△ABC 中，∠A 的相邻外角是110°，要使△ABC 是等腰三角形，则∠B= 。
（2）在一个三角形中，等角对 ；等边对 。
（3）如果等腰三角形底边上的高线和腰上的高线相等，则它的各内角的度数是 。
（4）如图，AB=AC ，BD 平分∠ABC ，且∠C=2∠A ，
则图中等腰三角形共有 个。
2、选择题：
如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=108°，∠ADB=72°， DE 平分∠ADB ，则图中等腰三角形的个数是（ ） A 、3 B 、
4 C 、
5 D 、6
3、如图，在△ABC 中，∠B 和∠C OB=OC ，请说明AB=AC 的理由。
A
C
D
A
B C
D
E
C
4、如图，已知∠EAC 是△ABC
∥BC ，请说明AB=AC 的理由。
5、如图，AB=AC ，∠ABD=∠ACD ，请你说明AD 是BC 的中垂线。
6、等腰三角形底边长为10cm ，从底边的一个端点引腰上的中线，分此三角形周长为两部分，其中一部分比另一部分长4cm ，求等腰三角形的腰长。
小慧解得腰长为6cm ，亲爱的同学，你认为小慧做的结果对吗？如果你认为不对，那么你是怎么解的呢？
A
B
C
D
D。