八年级数学等腰三角形习题及分析
八年级数学经典压轴题：等腰三角形综合
八年级数学经典压轴题：等腰三角形综合一、等腰三角形的概念等腰三角形是一种特殊的三角形，其中两边的边长相等。
它具有一些独特的性质和特点，我们将在接下来的题目中综合运用这些知识。
二、题目一：等腰三角形的边长计算已知一个等腰三角形的底边为10cm，腰边为12cm，请计算其顶角所对的边长。
解答步骤：1.根据等腰三角形的性质可知，顶角所对的边长也与底边相等。
2.因此，顶角所对的边长也为10cm。
三、题目二：等腰三角形的面积计算已知一个等腰三角形的底边为6cm，腰边为8cm，请计算其面积。
解答步骤：1.根据等腰三角形的性质可知，顶角所对的边长也与底边相等，设顶角所对的边长为x。
2.使用海伦公式计算三角形的面积：\[面积 = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\]，其中s为半周长，\[s = \frac{a+b+c}{2}\]。
3.因此，半周长s为 \[s = \frac{6+8+x}{2}\]。
4.将已知条件代入海伦公式，得到 \[面积 =\sqrt{\frac{6+8+x}{2}\cdot\frac{6+8+x}{2}\cdot\frac{6+8+x}{2}\cdot\ frac{6+8+x}{2}}\]。
5.根据题目已知条件，求解方程得到x的值，然后代入公式计算面积。
请根据具体题目所给条件，进行类似的求解步骤。
四、题目三：等腰三角形的性质综合已知一个等腰三角形ABC，底边AB为8cm，腰边AC为10cm。
设D为AB边的中点，请计算以下问题：1.证明三角形ACD为等腰三角形；2.计算三角形ACD的顶角所对的边长；3.计算三角形ACD的面积。
解答步骤：1.由条件可知，AC=10cm，AD=4cm（由D为AB边中点可得）。
2.对比可知，AD=DC，所以三角形ACD为等腰三角形。
3.顶角所对的边为AC，所以顶角所对的边长为10cm。
4.根据等腰三角形的面积公式计算面积：\[面积 = \frac{1}{2}\times AC \times AD\]。
人教版八年级上册数学等腰三角形知识点及对应练习(附参考解析)
等腰三角形一、知识梳理：专题一：等腰三角形概念及性质；等腰三角形的判定.二、考点分类考点一：等腰三角形的概念有两边相等的三角形是等腰三角形。
【类型一】利用等腰三角形的概念求边长或周长【例1】如果等腰三角形两边长是6cm和3cm，那么它的周长是()A．9cm B．12cm C．15cm或12cm D．15cm解析：当腰为3cm时，3＋3＝6，不能构成三角形，因此这种情况不成立．当腰为6cm 时，6－3＜6＜6＋3，能构成三角形；此时等腰三角形的周长为6＋6＋3＝15(cm)．故选D.方法总结：在解决等腰三角形边长的问题时，如果不明确底和腰时，要进行分类讨论，同时要养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．考点二：等腰三角形的性质1、等腰三角形的性质：（1）等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）．（2）等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线、•底边上的高互相重合（通常称作“三线合一”）．2、解题方法：设辅助未知数法与拼凑法．3、重要的数学思想方法：方程思想、整体思想和转化思想．【类型一】利用“等边对等角”求角度【例2】等腰三角形的一个内角是50°，则这个三角形的底角的大小是()A ．65°或50° B．80°或40° C ．65°或80° D．50°或80°解析：当50°的角是底角时，三角形的底角就是50°；当50°的角是顶角时，两底角相等，根据三角形的内角和定理易得底角是65°.故选A.方法总结：等腰三角形的两个底角相等，已知一个内角，则这个角可能是底角也可能是顶角，要分两种情况讨论．【类型二】 利用方程思想求等腰三角形角的度数【例3】 如图①，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 在AC 上，且BD ＝BC ＝AD ，求△ABC 各角的度数．解析：设∠A ＝x ，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求得各角的度数．解：设∠A ＝x .∵AD ＝BD ，∴∠ABD ＝∠A ＝x .∵BD ＝BC ，∴∠BCD ＝∠BDC ＝∠ABD ＋∠A＝2x .∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠BCD ＝2x .在△ABC 中，∠A ＋∠ABC ＋∠ACB ＝180°，∴x ＋2x＋2x ＝180°，∴x ＝36°，∴∠A ＝36°，∠ABC ＝∠ACB ＝72°.方法总结：利用等腰三角形的性质和三角形外角的性质可以得到角与角之间的关系，当这种等量关系或和差关系较多时，可考虑列方程解答，设未知数时，一般设较小的角的度数为x .① ②【类型三】 利用“等边对等角”的性质进行证明【例4】 如图②，已知△ABC 为等腰三角形，BD 、CE 为底角的平分线，且∠DBC ＝∠F ，求证：EC ∥DF .解析：先由等腰三角形的性质得出∠ABC ＝∠ACB ，根据角平分线定义得到∠DBC ＝12∠ABC ，∠ECB ＝12∠ACB ，那么∠DBC ＝∠ECB ，再由∠DBC ＝∠F ，等量代换得到∠ECB ＝∠F ，于是根据平行线的判定得出EC ∥DF .证明：∵△ABC 为等腰三角形，AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB .又∵BD 、CE 为底角的平分线，∴∠DBC ＝12∠ABC ，∠ECB ＝12∠ACB ，∴∠DBC ＝∠ECB .∵∠DBC ＝∠F ，∴∠ECB ＝∠F ，∴EC ∥DF .方法总结：证明线段的平行关系，主要是通过证明角相等或互补．【类型四】 利用等腰三角形“三线合一”的性质进行证明【例5】 如图①，点D 、E 在△ABC 的边BC 上，AB ＝AC .(1)若AD ＝AE ，求证：BD ＝CE ；(2)若BD ＝CE ，F 为DE 的中点，如图②，求证：AF ⊥BC .解析：(1)过A 作AG ⊥BC 于G ，根据等腰三角形的性质得出BG ＝CG ，DG ＝EG 即可证明；(2)先证BF ＝CF ，再根据等腰三角形的性质证明．证明：(1)如图①，过A 作AG ⊥BC 于G .∵AB ＝AC ，AD ＝AE ，∴BG ＝CG ，DG ＝EG ，∴BG－DG ＝CG －EG ，∴BD ＝CE ；(2)∵BD ＝CE ，F 为DE 的中点，∴BD ＋DF ＝CE ＋EF ，∴BF ＝CF .∵AB ＝AC ，∴AF ⊥BC .方法总结：在等腰三角形有关计算或证明中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线．【类型五】 与等腰三角形的性质有关的探究性问题【例6】 如图①，已知△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC ＝90°，BE 是∠ABC 的平分线，DE⊥BC ，垂足为D .(1)请你写出图中所有的等腰三角形；(2)请你判断AD 与BE 垂直吗？并说明理由．(3)如果BC ＝10，求AB ＋AE 的长．解析：(1)由△ABC 是等腰直角三角形，BE 为角平分线，可证得△ABE ≌△DBE ，即AB ＝BD ，AE ＝DE ，所以△ABD 和△ADE 均为等腰三角形；由∠C ＝45°，ED ⊥DC ，可知△EDC 也符合题意；(2)BE 是∠ABC 的平分线，DE ⊥BC ，根据角平分线定理可知△ABE 关于BE 与△DBE对称，可得出BE ⊥AD ；(3)根据(2)，可知△ABE 关于BE 与△DBE 对称，且△DEC 为等腰直角三角形，可推出AB ＋AE ＝BD ＋DC ＝BC ＝10.解：(1)△ABC ，△ABD ，△ADE ，△EDC .(2)AD 与BE 垂直．证明：由BE 为∠ABC 的平分线，知∠ABE ＝∠DBE ，∠BAE ＝∠BDE ＝90°，BE ＝BE ，∴△ABE ≌△DBE ，∴△ABE 沿BE 折叠，一定与△DBE 重合，∴A 、D 是对称点，∴AD ⊥BE .(3)∵BE 是∠ABC 的平分线，DE ⊥BC ，EA ⊥AB ，∴AE ＝DE .在Rt △ABE 和Rt △DBE 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AE ＝DE ，BE ＝BE ，∴Rt △ABE ≌Rt △DBE (HL)，∴AB ＝BD .又∵△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC ＝90°，∴∠C ＝45°.又∵ED ⊥BC ，∴△DCE 为等腰直角三角形，∴DE ＝DC ，∴AB ＋AE ＝BD ＋DC ＝BC＝10.① ②考点三：等腰三角形的判定方法(1)根据定义判定；(2)两个角相等的三角形是等腰三角形．【类型一】 确定等腰三角形的个数 【例7】 如图②，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝36°，BD 、CE 分别是∠ABC 、∠BCD 的角平分线，则图中的等腰三角形有( )A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个解析：共有5个．(1)∵AB ＝AC ，∴△ABC 是等腰三角形；(2)∵BD 、CE 分别是∠ABC 、∠BCD的角平分线，∴∠EBC ＝12∠ABC ，∠ECB ＝12∠BCD .∵△ABC 是等腰三角形，∴∠EBC ＝∠ECB ，∴△BCE 是等腰三角形；(3)∵∠A ＝36°，AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB ＝12(180°－36°)＝72°.又∵BD 是∠ABC 的角平分线，∴∠ABD ＝12∠ABC ＝36°＝∠A ，∴△ABD 是等腰三角形；同理可证△CDE 和△BCD 也是等腰三角形．故选A.方法总结：确定等腰三角形的个数要先找出相等的边和相等的角，然后确定等腰三角形，再按顺序不重不漏地数出等腰三角形的个数．【类型二】 在坐标系中确定三角形的个数【例8】 已知平面直角坐标系中，点A 的坐标为(－2，3)，在y 轴上确定点P ，使△AOP 为等腰三角形，则符合条件的点P 共有( )A ．3个B ．4个C ．5个D ．6解析：因为△AOP 为等腰三角形，所以可分三类讨论：(1)AO ＝AP (有一个)．此时只要以A 为圆心AO 长为半径画圆，可知圆与y 轴交于O 点和另一个点，另一个点就是点P ；(2)AO＝OP (有两个)．此时只要以O 为圆心AO 长为半径画圆，可知圆与y 轴交于两个点，这两个点就是P 的两种选择；(3)AP ＝OP (一个)．作AO 的中垂线与y 轴有一个交点，该交点就是点P 的最后一种选择．综上所述，共有4个．故选B. 方法总结：解决此类问题的方法主要是线段垂直平分线与辅助圆的灵活运用以及分类讨论时做到不重不漏．【类型三】 判定一个三角形是等腰三角形【例9】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，AE是∠BAC的角平分线，AE与CD交于点F，求证：△CEF是等腰三角形．解析：根据直角三角形两锐角互余求得∠ABE＝∠ACD，然后根据三角形外角的性质求得∠CEF＝∠CFE，根据等角对等边求得CE＝CF，从而求得△CEF是等腰三角形．证明：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∴∠B＋∠BAC＝90°.∵CD是AB边上的高，∴∠ACD＋∠BAC＝90°，∴∠B＝∠ACD.∵AE是∠BAC的角平分线，∴∠BAE＝∠EAC，∴∠B＋∠BAE＝∠ACD＋∠EAC，即∠CEF＝∠CFE，∴CE＝CF，∴△CEF是等腰三角形．方法总结：“等角对等边”是判定等腰三角形的重要依据，是先有角相等再有边相等，只限于在同一个三角形中，若在两个不同的三角形中，此结论不一定成立．【类型四】等腰三角形性质和判定的综合运用【例10】如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE.(1)求证：△DEF是等腰三角形；(2)当∠A＝50°时，求∠DEF的度数．解析：(1)根据等边对等角可得∠B＝∠C，利用“边角边”证明△BDE和△CEF全等，根据全等三角形对应边相等可得DE＝EF，再根据等腰三角形的定义证明即可；(2)根据全等三角形对应角相等可得∠BDE＝∠CEF，然后求出∠BED＋∠CEF＝∠BED＋∠BDE，再利用三角形的内角和定理和平角的定义求出∠B＝∠DEF.(1)证明：∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C .在△BDE 和△CEF 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧BD ＝CE ，∠B ＝∠C ，BE ＝CF ，∴△BDE ≌△CEF (SAS)，∴DE ＝EF ，∴△DEF 是等腰三角形；(2)解：∵△BDE ≌△CEF ，∴∠BDE ＝∠CEF ，∴∠BED ＋∠CEF ＝∠BED ＋∠BDE .∵∠B ＋∠BDE ＝∠DEF ＋∠CEF ，∴∠B ＝∠DEF .∵∠A ＝50°，AB ＝AC ，∴∠B ＝12×(180°－50°)＝65°，∴∠DEF ＝65°.方法总结：等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．经典例题考点一：等腰三角形的概念【例1】等腰三角形的两边长分别为4和9，则这个三角形的周长为考点二：等腰三角形的性质【例3】已知等腰△ABC 中，AB=AC ，D 是BC 边上一点，连接AD ，若△ACD 和△ABD 都是等腰三角形，求∠C 的度数。
等腰三角形的性质与判定(6类热点题型讲练)(解析版) 八年级数学下册
第01讲等腰三角形的性质与判定(6类热点题型讲练)1.经历“探索一发现一猜想一证明”的过程，逐步掌握综合法证明的方法，发展推理能力.2.进一步了解作为证明基础的几条基本事实的内容，能证明等腰三角形的性质.3.有意识地培养学生对文字语言、符号语言和图形语言的转换能力，关注证明过程及其表达的合理性.知识点01等腰三角形的性质（1）等腰三角形性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）（2）等腰三角形性质2：文字：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称：等腰三角的三线合一）图形：如下所示；符号：在ABC ∆中，AB ＝AC ，1212,,;,,;,12.BD CD AD BC AD B BD CD AD BC C BD CD ∠=∠⎧⎪=⊥∠=∠⊥∠=∠⎨⎪⊥⎩==若则若则若，则知识点02等腰三角形的判定（1）等腰三角形的判定方法1：（定义法）有两条边相等的三角形是等腰三角形；（2）等腰三角形的判定方法2：有两个角相等的三角形是等腰三角形；(简称：等角对等边)题型01根据等腰三角形腰相等求第三边或周长【例题】（2023上·河南商丘·八年级商丘市实验中学校考阶段练习）一个等腰三角形的两条边长分别为8cm 和4cm ，则第三边的长为cm ．【答案】8【分析】本题考查等腰三角形的性质及三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，是解题的关键．【详解】解：①若一腰长为8cm ，则底边为4cm ，则第三边的长为8cm ，488+>，故能组成三角形；②若一腰长为4cm ，则底边为8cm ，则第三边的长为4cm ，448+=，故不能组成三角形．故答案为：8．【变式训练】1．（2023上·甘肃陇南·八年级校考阶段练习）一个等腰三角形有两边分别为3cm 和8cm ，则周长是cm ．【答案】19【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系．等腰三角形两边的长为3cm 和8cm ，具体哪条是底边，哪条是腰没有明确说明，因此要分两种情况讨论．【详解】解：①当腰是3cm ，底边是8cm 时：338+<，不满足三角形的三边关系，因此舍去．②当底边是3cm ，腰长是8cm 时，388+>，能构成三角形，则其周长()38819cm =++=．故答案为：19．2．（2023上·山东潍坊·八年级校考阶段练习）若()2450a b -+-=，则以a ，b 为边长的等腰三角形的周长为．【答案】13或14【分析】本题考查了等腰三角形的概念，非负数的性质，以及三角形的三边关系，注意利用分类讨论思想解题．根据非负数的和为零，可得每个非负数同时为零，可得a ，b 的值，根据等腰三角形的概念进行分类讨论，可得答案．【详解】解：∵()2450a b -+-=，且()240a -≥，50b -≥，∴40a -=，50b -=，解得：4a =，5b =，当4为等腰三角形的腰长，5为等腰三角形的底边时，则等腰三角形的周长为44513++=，当5为等腰三角形的腰长，4为等腰三角形的底边时，则等腰三角形的周长为55414++=，故答案为：13或14．题型02根据等腰三角形等边对等角求角的度数题型03根据等腰三角形三线合一进行求解【答案】25【详解】解：如图，作BE ∵AB BC =，∴AE CE =，∵AC CD ⊥，90BAD ∠=︒∴EBA BAE BAE ∠+∠=∠+EBA CAD BAE ∠=∠∠=，【答案】10【详解】解：AB 5BD CD ∴==，210BC BD ∴==，故答案为：10．2．两个同样大小的含(1)求AF 的长．(2)求CD 的长．【详解】（1）解：连接AF ，如下图，根据题意，90BAC ∠=︒，AB ∴222(2)BC AB AC =+=∴190452B ACB ∠=∠=⨯︒=︒，∵F 为BC 中点，题型04根据等腰三角形三线合一进行证明(1)若106BAC DAE ∠∠=︒，(2)求证：BD EC =．【详解】（1）解：∵AB AC =(1180ADE AED ∠=∠=︒∵,AB AC AD AE ==，∴,BF CF DF EF ==，∴BD CE =.【变式训练】1．（2023上·山东威海·七年级校联考期中）如图，已知AB AE ABC AED BC ED =∠=∠=，，，点F 是CD 的中点，连接AF ，请判断AF 与CD 的位置关系．【答案】垂直【分析】此题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形三线合一的性质：连接AC AD ，，证明ABC AED ≌△△，得到AC AD =，根据等腰三角形三线合一的性质得到AF CD ⊥，熟练掌握全等三角形的判定定理及等腰三角形的性质是解题的关键．【详解】答：AF CD⊥连接AC AD，∵AB AE ABC AED BC ED=∠=∠=，，∴ABC AED≌△△∴AC AD=又∵点F 是CD 的中点∴AF CD ⊥．2．如图，在ABC 中，AB AC =，40BAC ∠︒=，AD 是BC 边上的高．线段AC 的垂直平分线交AD 于点E ，交AC 于点F ，连接BE ．(1)试问：线段AE 与BE 的长相等吗？请说明理由；(2)求EBD ∠的度数．【详解】（1）解：线段AE 与BE 的长相等，理由如下：连接CE ，如图所示：=，AD∵AB AC=，∴BD CD∴AD为BC的垂直平分线，∵点E在AD上，=，∴BE CE又∵线段AC的垂直平分线交题型05根据等角对等边证明等腰三角形∠，【例题】（2023上·广西玉林·八年级统考期中）如图，点E在BA的延长线上，已知AD平分CAE ∥．求证：ABCAD BC是等腰三角形．【答案】证明见解析【分析】本题主要考查了等角对等边，平行线的性质与角平分线的定义，先根据平行线的性质得到EAD B CAD C ∠=∠∠=∠，，再由角平分线的定义和等量代换得到B C ∠=∠，即可证明ABC 是等腰三角形．【详解】证明：∵AD BC ∥，∴EAD B CAD C ∠=∠∠=∠，，∵AD 平分CAE ∠，∴EAD CAD ∠=∠，∴B C ∠=∠，∴ABC 是等腰三角形．【变式训练】【答案】ABC 是等腰三角形，理由见解析【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定，三角形外角的性质，角平分线的定义，设4ACD x ∠=，3ECD x =∠，由角平分线的定义得到13BEC x ABC =-∠∠，A =∠【答案】证明见解析【分析】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的性质和判定，证明根据角平分线的定义可得，以及直线平行的性质证明题型06等腰三角形的性质和判定综合应用【例题】如图，在ABC 中，AB AC =，D 是BC 边的中点，连接AD ，BE 平分ABC ∠交AC 于点E ．(1)若40C ∠=︒，求BAD ∠的度数；(2)过点E 作EF BC ∥交AB 于点F ，求证：BEF △是等腰三角形．(3)若BE 平分ABC 的周长，AEF △的周长为15，求ABC 的周长．【详解】（1）解：AB AC = ，C ABC ∴∠=∠，∵40C ∠=︒，∴40ABC ∠=︒，AB AC = ，D 为BC 的中点，AD BC ∴⊥，90BDA ∴∠=︒，∴90904050BAD ABC ︒︒︒︒∠=-∠=-=；（2）证明：BE 平分ABC ∠，ABE EBC ∴∠=∠，又∵EF BC ∥，∴EBC BEF ∠=∠，∴EBF FEB ∠=∠，BF EF ∴=，BEF ∴ 是等腰三角形；（3）解：AEF 的周长为15，15AE AF EF ∴++=，BF EF = ，15AE AF BF ∴++=，即15AE AB +=，BE 平分ABC 的周长，=15AE AB BC CE ∴++=，ABC ∴ 的周长+1515=30AE AB BC CE ++=+．【变式训练】1．如图，在ABC 中，AB AC =，D 为CA 延长线上一点，DE BC ⊥于点E ，交AB 于点F ．(1)求证：ADF △是等腰三角形(2)若6,3,4AD BE EF ===，求线段AB 的长．(1)试判断折叠后重叠部分△的面积．(2)求重叠部分AFC△【详解】（1）解：AFC∵四边形ABCD是长方形，∥，∴AD BC一、单选题1．（2023上·河南许昌·八年级统考期中）等腰三角形的一个底角为80︒，则这个等腰三角形的顶角为（）．A ．20︒B ．80︒C ．100︒D ．20︒或100︒【答案】A【分析】本题主要查了等腰三角形的性质．根据“等腰三角形两底角相等”，即可求解．【详解】解：∵等腰三角形的一个底角为80︒，∴等腰三角形的顶角为180808020︒-︒-︒=︒．故选：A2．（2024下·全国·七年级假期作业）如图，在ABC 中，,AB AC AD =为BC 边上的中线，30B ∠=︒，则CAD ∠的度数为（）A ．50︒B ．60︒C ．70︒D ．80︒【答案】B【解析】略3．（2023上·广东珠海·八年级校考阶段练习）下列条件中，可以判定ABC 是等腰三角形的是（）A ．40B ∠=︒，80C ∠=︒B ．123A BC ∠∠∠=::::C ．2A B C∠=∠+∠D ．三个角的度数之比是2:2:1【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的判定是解题的关键．利用三角形内角和定理，等腰三角形的判定，进行计算并逐一判断即可解答．【详解】解：A ．∵40B ∠=︒，80C ∠=︒，A ．16【答案】A 【分析】此题考查的是全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，解题关键是掌握并会运用全等三角形的判定与性质、等腰三角形性质定理．先得出ABD ACF ∠=∠，进而得到AF 长，求出AB 出即可．【详解】CE BD ⊥ ，90BEF ∴∠=︒，90BAC ∠=︒ ，90CAF ∴∠=︒，90FAC BAD ∴∠=∠=︒ABD ACF ∴∠=∠．在ABD △和ACF △中【答案】10︒，80︒，140︒或20︒【详解】本题考查了等腰三角形的性质，先利用三角形内角和定理可得：AP AB =时；当AP AB =时；当BA BP =解：∵130ABC ∠=︒，30ACB ∠=︒，+∵BAC ∠是ABP 的一个外角，∴20BAC APB ABP ∠=∠+∠=︒，∵AB AP =，∵AB AP=，20BAP∠=︒，∴180802BAPABP APB︒-∠∠=∠==︒；当BA BP=时，如图：∵BA BP=，∴20BAP BPA∠=∠=︒，∴180140ABP BAP BPA∠=︒-∠-∠=︒；当PA PB=时，如图：∵PA PB=，∴20BAP ABP∠=∠=︒；综上所述：当ABP是等腰三角形时，故答案为：10︒，80︒，140︒或20︒．11．（2023上·广东汕尾·八年级校联考阶段练习）用一条长为21cm的细绳围成一个等腰三角形．(1)如果腰长是底边长的3倍，那么各边的长是多少?(2)能围成有一边的长为5cm的等腰三角形吗?如果能，请求出另两边长．【答案】(1)三角形的三边分别为3cm9cm9cm、、(2)能围成一个底边是5cm，腰长是8cm的等腰三角形【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的周长，难点在于要分情况讨论并利用三角形的三边关系进行判断．（1）设底边长为x cm，表示出腰长，然后根据周长列出方程求解即可；(1)求BD的长．(2)求BE的长．【答案】(1)4 (2)5，AE CD ⊥Q ，AD AC =，AE ∴平分CAD ∠，CAE DAE ∴∠=∠，在CAE V 和DAE 中，AC AD CAE DAE AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()SAS CAE DAE ∴ ≌，CE DE ∴=，90ADE ACE ∠=∠=︒，设BE x =，则8CE DE x ==-，由勾股定理可得：222DE BD BE +=，()22284x x ∴-+=，解得：5x =，5BE ∴=．14．（2023上·浙江宁波·八年级统考期末）如图，在ABC 中，AB AC =，ED AB ∥，分别交BC 、AC 于点D 、E ，点F 在BC 的延长线上，且CF DE =，(1)求证：CEF △是等腰三角形；(2)连接AD ，当AD BC ⊥，8BC =，CEF △的周长为16时，求DEF 的周长．【答案】(1)证明见解析(2)20【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，掌握等腰三角形的性质，等腰三角形的三线合一，是解答本题的关键．（1）利用等腰三角形的性质得到B ACB ∠=∠，然后推出EDC ECD ∠=∠，DE EC =，结合已知条件，得到结论．当AD BC ⊥时，AB AC =，∴142BD CD BC ===， DEF 的周长DE DF EF =++，∴DEF 的周长CE EF CD =+++15．（2023上·湖北武汉·八年级校联考阶段练习）的平分线，DF AB 交AE 的延长线于(1)若120BAC ∠=︒，求BAD ∠(2)求证：ADF △是等腰三角形．【答案】(1)60度(2)见解析(1)求证：BD CE =；(2)若BD AD =，B DAE ∠=∠，求【答案】(1)见解析(2)108BAC ∠=︒【答案】（1）等腰；（2）3；（3）12；（4）30；（5）5cm【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，对角对等边．（1）平行线的性质结合角平分线平分角，得到B C ∠=∠，即可得出结果；（2）平行线的性质结合角平分线平分角，得到A ABC CB =∠∠，进而得到AB AC =即可；（3）同法（2）可得：BD DE =，利用AB AD BD =+，求解即可；（5）同法（2）得到,PD BD PE CE ==，推出PDE △的周长等于BC 的长即可．掌握平行线加角平分线往往存在等腰三角形，是解题的关键．【详解】解：（1）∵AE BC ∥，∴,DAE B CAE C ∠=∠∠=∠，∵AE 平分DAC ∠，∴DAE CAE ∠=∠，∴B C ∠=∠，∴ABC 是等腰三角形；故答案为：等腰；（2）∵BC 平分ABD ∠，AC BD ∥，∴,ABC DBC ACB DBC ∠=∠∠=∠，∴A ABC CB =∠∠，∴3AB AC ==；故答案为：3；（3）同法（2）可得：7BD DE ==，∴5712AB AD BD =+=+=；故答案为：12；（4）同法（2）可得：,FD BD CE EF ==，∴ADE V 的周长30AD AE DE AD AE DF EF AD AE BD CE AB AC =++=+++=+++=+=；故答案为：30；（5）同法（2）可得：,PD BD PE CE ==，∴PDE △的周长5cm PD PE DE BD CE DE BC =++=++==；故答案为：5cm ．18．（2023上·福建龙岩·八年级校考期中）概念学习规定：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”．从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”．（3）当ACD 是等腰三角形，DA DC =时，如图，则50ACD A ∠=∠=︒，50BCD A ∠=∠=︒∴100ACB ACD BCD ∠=∠+=︒∠；当ACD 是等腰三角形，DA AC =时，如图，则65ACD ADC ∠=∠=︒，50BCD A ∠=∠=︒，∴5065115ACB ∠=︒+︒=︒；当ACD 是等腰三角形，CD AC =的情况不存在；当BCD △是等腰三角形，DC BD =时，如图，则1803ACD BCD B ︒-∠=∠=∠=∴2603ACB ACD BCD ∠=+=∠∠当BCD △是等腰三角形，DB =则BDC BCD ∠=∠，设BDC BCD x ∠=∠=，则B ∠=则1802ACD B x ∠=∠=︒-，由题意得，180250x x ︒-+︒=，解得，2303x ︒=，∴8018023ACD x ︒∠=︒-=，∴3103ACB ︒∠=，综上所述：ACB ∠的度数为100。
八年级数学几何重难点知识及数学方法：专题09 等腰三角形重难点知识(解析版)
专题09等腰三角形重难点知识典例解析【知识点1：与边相关基础概念】例题1．（2022·吉林桦甸期末）一个等腰三角形的两边长分别为4cm和9cm，则此三角形的周长为（）A．17cm B．22cm C．22cm或17cm D．不确定【答案】B.【解析】解：当腰长为4cm时，则三边分别为4cm，4cm，9cm，因为4+4＜9，所以不能构成三角形；当腰长为9cm时，三边长分别为4cm，9cm，9cm，符合三角形三边关系，周长=4+9+9=22cm．故答案为：B．例题2．（2021·四川省德阳）在等腰△ABC中，AB＝AC，其周长为24cm，则AB边的取值范围是（）A．1cm＜AB＜12cm B．6cm＜AB＜8cmC．6cm＜AB＜12cm D．8cm＜AB＜12cm【答案】C.【解析】解：设AB=AC=x，则BC=24-2x，由三角形的三边关系得：x+x＞24-2x，解得：x＞6，∵24-2x＞0，解得：x＜12，∴6＜x＜12，故答案为：C．例题3．（2021·内蒙古呼和浩特期中）（1）等腰三角形一条腰上的中线将它的周长分成12和9两部分，则腰长为___．（2）若BD是等腰三角形ABC中一条腰上的高，且∠ABD＝50°，则等腰三角形ABC的顶角的度数为___．【答案】8或6；40°或100°或140°.【解析】解：（1）如图所示，设等腰三角形的腰长AB=AC=2x，∵BD是腰上的中线∴AD=DC=x①若AB+AD的长为12，则2x+x=12解得x=4∴AB=2x=8；②若AB+AD的长为9，则2x+x=9解得x=3∴AB=2x=6，故答案为：8或6．（2）∵∠ABD=50°，BD是腰上的高，∴∠BAD=90°-∠ABD=90°-50°=40°，①点A是顶角顶点时，顶角为∠A，是40°；②点A是底角顶点时，顶角∠BCA=180°-40°×2=100°，③点A是顶角顶点时，顶角∠BAC=180°-40°=140°，故答案为：40°或100°或140°．【知识点2：与角相关基础概念】例题4．（2021·天津期中）等腰三角形的一个外角为110°，则它的底角是（）A．70°或55°B．50°或70°C．40°或70°D．40°或50°【答案】A.【解析】解：①当110°外角是底角的外角时，底角为：180°-110°=70°，②当110°外角是顶角的外角时，顶角为：180°-110°=70°，则底角为：（180°-70°）×12=55°，∴底角为70°或55°．故答案为：A．例题5．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD是△ABC的一条角平分线，若∠BDC＝72°，则∠A的度数为_____．【答案】36°.【解析】解：∵BD是△ABC的一条角平分线，∴∠ABD=∠CBD，设∠ABD=∠CBD=x∵AB=AC∴∠ABC=∠ACB=2x∵∠BDC=72°∴x+2x+72=180°∴x=36∴∠A=36°故答案为：36°.例题6．（吉林省长春市新区期末）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，边AB 的垂直平分线DE 交BC 于点E ，连结AE ，若∠BAC ＝120°，则∠AEC 的大小为_____度．【答案】60.【解析】解：如图：在△ACB 中，∵AB =AC ，∠BAC =100°，∴∠B =∠C =180120302°-°=°，∵DE 是线段AB 的垂直平分线，∴AE =EB ，∴∠1=∠B =30°，又∠AEC 是△ABE 的一个外角，∴∠AEC =∠B +∠1=60°．故答案为：60．例题7．（2021·江苏无锡市）如图，P 为△ABC 内一点，过点P 的直线MN 分别交AB 、BC 于点M 、N ．若M 在PA 的中垂线上，N 在PC 的中垂线上，若则∠APC 的度数记为 ，则∠ABC 的度数为（）A ．12B ．12 +45°C ．2135 °D ．2180 °【答案】D.【解析】解：∵M 在PA 的中垂线上，N 在PC 的中垂线上，∴AM=PM，PN=CN，∴∠MAP=∠APM，∠CPN=∠PCN，∵∠APC=α，∴∠MPA+∠NPC=180°-α，∵∠BMN=2∠MPA，∠BNM=2∠NPC，∴∠B=180°-(∠BMN+∠BNM)=180°-2(∠MPA+∠NPC)=180°-2(180°-α)=2α-180°，故答案为：D．例题8．（2021·江苏邳州期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝36°，D、E足BC上的点，∠BAD=∠DAE ＝∠EAC，图中等腰三角形的个数为（）A．4B．5C．6D．7【答案】C.【解析】解：∵在△ABC中，AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形，∵∠BAD＝∠DAE＝∠EAC＝（180°−36°−36°）÷3＝36°，∴△ABD、△ADE、△AEC是等腰三角形，∵∠BAE＝∠CAD＝36°＋36°＝72°，∠BEA＝∠CDA＝180°−72°−36°＝72°，∴∠BAE＝∠CAD＝∠BEA＝∠CDA＝72°，∴△BAE、△CAD是等腰三角形，一共有6个．故答案为：C．【知识点3：忽略分类讨论的易错点】例题9．（2021·甘肃凉州期末）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60°，则这个等腰三角形的顶角为（）A．30°B．150°C．30°或150°D．120°或60°【答案】C.【解析】解：如图，AB =AC ，BD ⊥AC ，∵∠ABD =60°，∴顶角∠A =90°-60°=30°；如图，AB =AC ，CD ⊥AB 交BA 的延长线于点D ；∵∠DCA =60°，∴∠DAC =30°，∠BAC =150°，故答案为：C ．例题10．（2021·河南伊川期中）等腰三角形一边长为5cm ，另一边长为8cm ，则此等腰三角形的周长为（）A ．18cmB ．18cm 或21cmC ．21cmD ．13cm 【答案】B.【解析】解：（1）当腰是5时，三角形的三边是：5，5，8，能构成三角形，则等腰三角形的周长为18；（2）当腰是8时，三角形的三边是：5，8，8，能构成三角形，则等腰三角形的周长为21．故答案为：B ．例题11．（2021·广东广州）在ABC 中，若过顶点B 的一条直线把这个三角形分割成两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为ABC 的关于点B 的二分割线．例如：如图1，在Rt ABC 中，90A ，20C ，若过顶点B 的一条直线BD 交AC 于点D ，且20DBC ，则直线BD 是ABC 的关于点B 的二分割线．如图2，已知18C ，ABC 同时满足：①C 为最小角；②存在关于点B 的二分割线，则BAC 的度数为______．【答案】36°或45°或54°.【解析】解：如图所示：∠BAC=36°，或45°，或54°故答案为：36°或45°或54°．例题12．（2021·天津市西青区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD是∠ABC的平分线．问在直线BC上是否存在点P，使△CDP是以CD为一腰的等腰三角形．___（用“存在”或“不存在”填空）．如果存在，请直接写出相应的∠CPD的度数；如果不存在，请说明理由．___【答案】存在；72°或36°或54°.【解析】解：存在3个点P，使得△CDP是等腰三角形．①当以∠CDP 为顶角，CD 为一腰时，∠CPD =72°；②当以∠DCP 为顶角，CD 为一腰时，存在两点P ，P 在线段BC 延长线上，∠CPD =36°；或P 在线段BC 上，此时∠CPD =218072 =54°．故答案为：存在；72°或36°或54°．【知识点4：等腰三角形存在性判断】例题13．（2021·江苏无锡市期中）已知直角三角形△ABC 的三条边长分别为3，4，5，在△ABC 所在平面内画一条直线，将△ABC 分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画___条．【答案】6.【解析】解：如图所示：当BC 2=CC 2，AC 1=AC ，BC =BC 3，BC =CC 4，BC =CC 5，C 6A =C 6B ，能得到等腰三角形．故答案为：6．例题14．（2021·广东深圳市）如图，在由边长为1的小正方形组成的5×5的网格中，点A ，B 在小方格的顶点上，要在小方格的顶点确定一点C ，连接AC 和BC ，使△ABC 是等腰三角形．则方格图中满足条件的点C 的个数有_______个．【答案】6.【解析】解：如图所示：故答案为：6.【知识点5：等腰三角形性质应用】例题15.（2021·江苏兴化市）在等腰三角形ABC中，∠A的度数不同，得到∠B的度数的个数也可能不同．如果在等腰三角形ABC中，设∠A＝x°，当∠B有且只有一个度数时，x的取值范围是____．【答案】90≤x<180或x=60.【解析】解：当∠A为直角或钝角时，此时∠A必为顶角，则∠B的度数唯一即90≤x＜180当∠A为锐角时，无论∠A为顶角或底角时，∠B度数唯一，即90－0.5x=180-2x解得：x=60故答案为：90≤x<180或x=60．例题16．（2021·河南镇平）下面是某数学兴趣小组探究用不同方法作一个角的平分线的讨论片段，请仔细阅读，并完成相应的任务．小明：如图1，（1）分别在射线OA，OB上截取OC＝OD，OE＝OF（点C，E不重合）；（2）分别作线段CE，DF的垂直平分线l1，l2，交点为P，垂足分别为点G，H；（3）作射线OP，射线OP即为∠AOB的平分线．简述理由如下：由作图知，∠PGO＝∠PHO＝90°，OG＝OH，OP＝OP，所以Rt△PGO≌Rt△PHO，则∠POG＝∠POH，即射线OP是∠AOB的平分线．小军：我认为小明的作图方法很有创意，但是太麻烦了，可以改进如下，如图2，（1）分别在射线OA，OB 上截取OC＝OD，OE＝OF（点C，E不重合）；（2）连接DE，CF，交点为P；（3）作射线OP．射线OP 即为∠AOB的平分线．……任务：（1）小明得出Rt△PGO≌Rt△PHO的依据是_______（填序号）．①SSS；②SAS；③AAS；④ASA；⑤HL（2）如图2，连接EF．①求证：△CEF≌△DFE；②求证：△PEF是等腰三角形；③小军作图得到的射线OP是∠AOB的平分线吗？请判断并说明理由．【答案】（1）⑤；（2）见解析.【解析】解：（1）∵小明的证明条件为∠PGO＝∠PHO＝90°，OG＝OH，OP＝OP为HL证明方法，故答案为⑤；（2）证明：①∵OC=OD，OE=OF∴∠OEF=∠OFE，CE=DF又EF=EF∴△CEF≌△DFE（HL）②△PEF是等腰三角形；③射线OP是∠AOB的平分线，理由如下：∵PE=PF ，OE=OF∴OP 垂直平分EF∴OP ⊥EF∵△OEF 是等腰三角形∴OP 平分∠AOB例题17．（2022·黑龙江期末）已知：在△ABC 中，∠ABC ＝45°，CD ⊥AB 于点D ，点E 为CD 上一点，且DE ＝AD ，连接BE 并延长交AC 于点F ，连接DF ．（1）求证：BE ＝AC ；（2）若AB ＝BC ，且BE ＝2cm ，则CF ＝cm．【答案】（1）见解析；（2）1.【解析】（1）证明：∵CD ⊥AB ，∴∠BDC ＝∠CDA ＝90°，∵∠ABC ＝45°，∴△BDC 是等腰直角三角形，∴BD ＝CD ，在△BDE 和△CDA 中，BD CD BDE CDA DE DA，∴△BDE ≌△CDA （SAS ），∴BE ＝AC ；（2）解：由（1）得：△BDE ≌△CDA ，∴BE ＝AC ，∠DBE ＝∠DCA ，∵∠CEF ＝∠BED ，∴∠DCA+∠CEF=90°，∴∠CFE＝∠BDE＝90°，∴BF⊥AC，∵AB＝BC，∴AC＝2CF，∴BE＝2CF，∴CF＝1cm．例题18．（2021·宁夏石嘴山期中）阅读理解：从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出的一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形有两角对应相等，我们把这条线段叫做这个三角形的“优美分割线”．（1）如图，在△ABC中，CD为角平分线，∠A＝40°，∠B＝60°，求证：CD为△ABC的“优美分割线”．（2）在△ABC中，∠A＝46°，CD为△ABC的“优美分割线”且△ACD为等腰三角形，求∠ACB的度数．【答案】（1）见解析；（2）92°或113°．【解析】解：（1）∵∠A=40°，∠B=60°∴∠ACB=80°∴△ABC不是等腰三角形，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD=40°∴∠A=∠ACD即△ACD是等腰三角形，又∠CBD=∠ABC∴CD是△ABC的完美分割线；（2）∵CD是△ABC的优美线，且△ACD是等腰三角形，分三种情况：如图，当AD=CD时，∴∠ACD=∠A=46°，，∵∠BCD=∠A ，∴∠ACB=92°；如图，当AD=AC 时，∵∠A ＝46°，∴∠ACD=∠ADC=67°∴∠ACB=113°；如图，当AC=CD 时，∴∠ADC=∠A=46°，∵∠BCD=∠A=46°，∵∠ADC>∠BCD ，∴矛盾，应舍去．综上所述，∠ACB 的度数为92°或113°．例题19．如图，在ABC 中，点D 是边AB 延长线上一点，点F 是边AC 上一点，DF 交BC 于点E ，并已知,,58BD CF DE EF A ，求C 值．【答案】61°.【解析】解：过点F作FG∥AB，∴∠D=∠EFG，又∠BED=∠FEG，DE=EF，∴△BDE≌△GFE，∴FG=BD，又BD=FC，∴FC=FG，即∠C=∠FGC=∠ABC，又∠A=58°，∴∠C=∠ABC=61°．【知识点6：等腰三角形综合应用】例题20．（2021·天津津南期末）（1）如图①，在△ABC中，∠B=60°，∠C=80°，AD平分∠BAC．求证：AD=AC；（2）如图②，在△ABC中，点E在BC边上，中线BD与AE相交于点P，AP=BC．求证：PE=BE．【答案】见解析.【解析】解：（1）∵∠B=60°，∠C=80°，∴∠BAC=40°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=20°，∴∠ADC=∠B+∠BAD=80°，∵∠C=80°，∴∠ADC=∠C，∴AD=AC．（2）过点C作CF∥AP，交BP的延长线于点F，∴∠DPA=∠DFC，∠DAP=∠DCF，∵AD=DC，∴△DPA≌△DFC，∴PA=FC，∵PA=BC，∴CB=CF，∴∠FBC=∠F，∵CF∥AP，∴∠BPE=∠F，∴∠FBC=∠BPE，∴PE=BE．例题21．（2021·湖北蕲春）如图，直线AB分别与x轴、y轴交于A、B两点，OC平分∠AOB交AB于点C，点D为线段AB上一点，过点D作DE∥OC交y轴于点E，已知AO＝m，BO＝n，且m、n满足n2－12n＋36＋|n－2m|＝0（1）求A、B两点的坐标；（2）若点D为AB中点，延长DE交x轴于点F，在ED的延长线上取点G，使DG＝DF，连接BG．①BG 与y 轴的位置关系怎样？说明理由；②求OF 的长.【答案】（1）A （3，0），B （0，6）；（2）①BG ⊥y 轴，见解析；②1.5.【解析】解：（1）由2123620n n n m 得：2(6)20n n m ，6020n n m，解得：m=3，n=6，即A （3,0），B （0,6）；（2）①在△BDG 与△ADF 中，BD DA BDG FDA DG DF，∴△BDG ≌△ADF∴BG=AF ，∠G=∠DAF∵OC 平分∠ABC∴∠COA=45°∵DE ∥OC∴∠DFA=45°，∠G=45°∵∠FOE=90°∴∠FEO=45°∵∠BEG=45°∴∠EBG=90°，BG ⊥y 轴.②由①可知，AF=BG ，△BDE 为等腰直角三角形，∴BG=BE ，设OF=x ，则OE=x ，∴3+x=6-x ，∴x=1.5，即：OF=1.5．例题22．（2021·山东阳谷县）如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，连接CD、CE．（1）求证：△ABD≌△ACE；（2）度量得∠BDC＝130°，设∠ADB＝x°，当x°等于多少度时，△CDE是直角三角形？【答案】（1）见解析；（2）90°或135°.【解析】解：（1）证明，∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC∴∠BAD=∠CAE∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∴BA=AC，AE=AD∴△ABD≌△ACE.（2）∵△CDE是直角三角形，当∠EDC=90°时，∵∠ADE=45°，∠BDC=130°∴∠ADB=95°.当∠DEC=90°时，易知∠AEC=∠ADB=135°．故满足条件的∠ADB的值为95°或135°．例题23．（2021·安徽长丰）如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，连接BD，CE，BD与CE交于点O，BD与AC交于点F．（1）求证：BD＝CE．（2）若∠BAC＝48°，求∠COD的度数．（3）若G为CE上一点，GE＝OD，AG＝OC，且AG∥BD，求证：BD⊥AC．【答案】（1）见解析；（2）132°；（3）见解析.【解析】（1）证：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，即：∠BAD=∠CAE，在△BAD和△CAE中，AB AC BAD CAE AD AE∴△BAD≌△CAE(SAS)，∴BD=CE；（2）解：∵∠COD=∠OBC+∠BCO，∠BCO=∠BCA+∠ACE，∴∠COD=∠OBC+∠BCA+∠ACE，∵△BAD≌△CAE，∴∠ABD=∠ACE，∴∠COD=∠OBC+∠BCA+∠ABD=∠ABC+∠BCA，∵∠BAC＝48°，∴∠ABC+∠BCA=180°-48°=132°，∴∠COD=132°；（3）证：如图所示，连接AO，∵△BAD≌△CAE，∴∠ADO =∠AEG ，在△ADO 和△AEG 中，E A ADO A G E E D G D A O∴△ADO ≌△AEG (SAS )，∴∠OAD =∠GAE ，AO =AG ，∴∠AOG =∠AGO ，∴∠OAD +∠DAG =∠GAE +∠DAG ，即：∠OAG =∠DAE ，∵∠DAE =∠BAC ，∴∠BAC =∠OAG ，在△ABF 和△COF 中，∠BAC =180°-∠ABD -∠AFB ，∠BOC =180°-∠ACE -∠CFO ，由（2）知∠ABD =∠ACE ，∵∠AFB =∠CFO ，∴∠BAC =∠BOC ，∴∠BOC =∠OAG ，∵AG ∥BD ，∴∠BOA =∠OAG ，∴∠BOA =∠BOC ，∵AO =AG ，AG =CO ，∴AO =CO ，即：△AOC 为等腰三角形，∵∠BOA =∠BOC ，∴OF ⊥AC ，∴BD ⊥AC ．例题24．（2021·云南西山期中）阅读下面材料：（原题呈现）如图1，在 ABC 中，∠A ＝2∠B ，CD 平分∠ACB ，AD ＝2.2，AC ＝3.6，求BC 的长．（思考引导）因为CD 平分∠ACB ，所以可在BC 边上取点E ，使EC ＝AC ，连接DE ．这样很容易得到 DEC ≌ DAC ，经过推理能使问题得到解决（如图2）．（问题解答）（1）参考提示的方法，解答原题呈现中的问题；（2）拓展提升：如图3，已知 ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝20°，BD 平分∠ABC ，BD ＝2.3，BC ＝2．求AD的长．【答案】（1）5.8；（2）4.3.【解析】解：（1）如图2，在BC 边上取点E ，使EC ＝AC ，连接DE ．在△ACD 与△ECD 中，AC CE ACD ECD CD CD，∴△ACD ≌△ECD （SAS ），∴AD ＝DE ，∠A ＝∠DEC ，∵∠A ＝2∠B ，∴∠DEC ＝2∠B ，∴∠B ＝∠EDB ，∴△BDE 是等腰三角形；∴BE ＝DE ＝AD ＝2.2，AC ＝EC ＝3.6，∴BC 的长为5.8；（2）∵△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝20°，∴∠ABC ＝∠C ＝80°，∵BD 平分∠B ，∴∠1＝∠2＝40°，∠BDC ＝60°，在BA 边上取点E ，使BE ＝BC ＝2，连接DE ，在△DEB 和△DBC 中，12BE BC BD BD，∴△DEB ≌△DBC （SAS ），∴∠BED ＝∠C ＝80°，∴∠4＝60°，∴∠3＝60°，在DA 边上取点F ，使DF ＝DB ，连接FE ，同理可得△BDE ≌△FDE ，∴∠5＝∠1＝40°，BE ＝EF ＝2，∵∠A ＝20°，∴∠6＝20°，∴AF ＝EF ＝2，∵BD ＝DF ＝2.3，∴AD ＝BD +BC ＝4.3．。
初中数学人教版(五四制)八年级上册第二十章 轴对称20.3 等腰三角形-章节测试习题(4)
章节测试题1.【答题】若等腰三角形的底角为54°，则顶角为（）A. 108°B. 72°C. 54°D. 36°【答案】B【分析】根据等腰三角形的性质解答即可.【解答】∵等腰三角形的底角为54°，∴顶角=180°-2×54°=72°，选B.2.【答题】如图，在△ABC中，AB=AC，过点A作AD∥BC，若∠1=50°，则∠CAD的大小为（）A. 50°B. 65°C. 80°D. 60°【答案】B【分析】根据等腰三角形的性质解答即可.【解答】∵在△ABC中，AB=AC，∠1=50°，∴∠C=∠B=，又∵AD∥BC，∴∠CAD=∠C=65°.选B.3.【答题】下列三角形不一定全等的是（）A. 面积相等的两个三角形B. 周长相等的两个等边三角形C. 斜边和一条直角边分别对应相等的两个直角三角形D. 有一个角是100°，腰长相等的两个等腰三角形【答案】A【分析】根据等腰三角形的性质和全等三角形的判定解答即可.【解答】A、如果△ABC和△DEF中，BC=1，BC上的高AD=2，△DEF的边EF=2，EF 上的高是1，两三角形的面积相等，但△ABC和△DEF不一定全等，故本选项正确；B、△ABC和△DEF，AB=BC=AC，DE=EF=DF，根据周长相等，则AB=BC=AC=DE=DF=EF，根据SSS即可推出两三角形全等，故本选项错误；C、根据直角三角形全等的判定定理HL，推出两三角形全等，故本选项错误；D、△ABC和△DEF中，AC=AB=DE=DF，只能是顶角是100°，在△ABC和△DEF中,，可得△ABC≌△DEF（SAS），故本选项错误；选A.方法总结：此题主要考查了三角形的有关知识，根据三角形的面积公式即可判断A；根据周长求出两三角形的三边相等，根据SSS即可判定两三角形全等；根据HL 即可判断两直角三角形全等；根据SAS即可判断两三角形全等．4.【答题】如图，等腰三角形ABC中，∠BAC=90°，在底边BC上截取BD=AB，过D 作DE⊥BC交AC于E，连接AD，则图中等腰三角形的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D【分析】根据等腰三角形的性质和判定解答即可.【解答】三角形ABC是等腰三角形，且∠BAC=90°，所以∠B=∠C=45°，又DE⊥BC，所以∠DEC=∠C=45°，所以△EDC是等腰三角形，BD=AB，所以△ABD是等腰三角形，∠BAD=∠BDA，而∠EAD=90°﹣∠BAD，∠EDA=90°﹣∠BDA，所以∠EAD=∠EDA，所以△EAD是等腰三角形，因此图中等腰三角形共4个．选D.5.【答题】若等腰三角形中有一个角等于40°，则这个等腰三角形顶角的度数为（）A. 40°B. 100°C. 40°或100°D. 40°或70°【答案】C【分析】根据等腰三角形的性质解答即可.【解答】解：∵等腰三角形中有一个角等于40°，∴①若40°为顶角，则这个等腰三角形的顶角的度数为40°；②若40°为底角，则这个等腰三角形的顶角的度数为：180°﹣40°×2=100°．∴这个等腰三角形的顶角的度数为：40°或100°．选C.6.【答题】如图，AB＝AC，∠BAC＝120°，AB的垂直平分线交BC于点D，那么∠ADC的度数为（）A. 120°B. 30°C. 60°D. 80°【答案】C【分析】根据等腰三角形的性质解答即可.【解答】因为AB＝AC，∠BAC＝120°，所以∠B=30°.因为AB的垂直平分线交BC于点D，所以DB=DA，所以∠B=∠DAB=30°.所以∠ADC=∠B+∠DAB=30°+30°=60°.选C.7.【答题】已知A和B两点在线段EF的中垂线上，且∠EBF＝100°，∠EAF＝70°，则∠AEB等于（）A. 95°B. 15°C. 95°或15°D. 170°或30°【答案】C【分析】根据等腰三角形的性质和判定解答即可.【解答】因为A和B两点在线段EF的中垂线上，所以AE=AF，BE=BF，所以∠AEF=∠AFE，∠BEF=∠BFE.因为∠EBF＝100°，∠EAF＝70°，所以∠AEF=(180°-70°)÷2=55°，∠BEF=(180°-100°)÷2=40°.①当点A，B在EF的同侧时，∠AEB=∠AEF-∠BEF=55°-40°=15°；②当点A，B在EF的异侧时，∠AEB=∠AEF+∠BEF=55°+40°=95°.选C.8.【答题】如图，等腰三角形ABC中，已知AB＝AC，∠A＝30°，AB的垂直平分线交AC于D，则∠CBD的度数为（）A. 50°B. 30°C. 75°D. 45°【答案】D【分析】根据等腰三角形的性质解答即可.【解答】因为AB＝AC，∠A＝30°，所以∠ABC=(180°-30°)÷2=75°，因为AB的垂直平分线交AC于D，所以DA=DB，所以∠A=∠DBA=30°.所以∠CBD=∠ABC-∠ABD=75°-30°=45°.选D.9.【答题】如图，△ABC中，DE垂直平分AC交AB于E，∠A＝30°，∠ACB＝80°，则∠BCE的度数为（）A. 80°B. 70°C. 60°D. 50°【答案】D【分析】根据等腰三角形的性质和判定解答即可.【解答】因为DE垂直平分AC，所以EA=EC，∠A=∠ACE.因为∠A＝30°，所以∠ACE=30°.所以∠BCE=∠ACB-∠ACE=80°-30°=50°.选D.10.【答题】如图，在△ABC中，∠B＝30°，ED垂直平分BC，ED＝3.则CE长为（）A. 6B. 9C. 3D. 8【答案】A【分析】根据等腰三角形的性质和判定解答即可.【解答】因为ED垂直平分BC，所以∠EDB=90°，EB=EC.因为∠B=30°，∠EDB=90°，所以BE=2DE=6.所以CE=BE=6.选A.11.【答题】如图，等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＝20°．线段AB的垂直平分线交AB 于D，交AC于E，连接BE，则∠CBE等于（）A. 80°B. 60°C. 40°D. 20°【答案】B【分析】根据等腰三角形的性质解答即可.【解答】因为AB＝AC，∠A＝20°，所以∠ABC=80°.因为DE是线段AB的垂直平分线，所以EB=EA，所以∠EAB=∠EBA=20°，所以∠CBE=∠ABC-∠ABE=80°-20°=60°.选B.12.【答题】如图，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，BE恰好平分△ABC，有以下结论：（1）ED=EC；（2）△BEC的周长等与2AE+EC；(3)图中共有3个等腰三角形；（4）∠A=36°，其中正确的共有（）A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个【答案】B【分析】根据等腰三角形的性质和判定解答即可.【解答】（1）由题意可知DE⊥AB，BE平分∠ABC，∴当EC⊥BC时，有ED=EC，∵AB=AC，∴∠ACB不可能等于90°，∴ED=EC不正确；（2）∵E在线段AB的垂直平分线上，∴EA=EB，∴∠A=∠ABE，∵∠ABE=∠ABC，∠BEC=∠A+∠ABE，∴∠BEC=∠ABC，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，∴∠C=∠BEC，∴BE=BC，∴EC+EB+BC=EC+EA+EA=2EA+EC，∴（2）正确；（3）∵AB=AC，∴△ABC为等腰三角形，∠C=∠ABC，∵EA=EB，∴△EAB为等腰三角形，∠A=∠ABE，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，∴∠C=2∠CBE，又∠BEC=∠A+∠ABE=2∠CBE，∴∠BEC=∠C，∴BE=BC，∴△BEC为等腰三角形，∴图中共有3个等腰三角形，∴（3）正确；（4）由（3）可得∠BEC=∠C=2∠EBC，∴2∠EBC+2∠EBC+∠EBC=180°，∴∠EBC=36°，∴∠A=∠ABE=∠EBC=36°，∴（4）正确；∴正确的有（2）（3）（4）共三个，选B.13.【答题】等腰三角形的一个外角比与它相邻的内角大30°，则这个等腰三角形的底角为（）A. 75°B. 37.5°C. 52.5°或75°D. 30°【答案】C【分析】根据等腰三角形的性质解答即可.【解答】设这个外角的度数为，根据题意可得：，解得：，即这个外角为105°，则与其相邻的内角为75°.（1）当这个内角为顶角时，则底角为：；（2）当这个内角为底角时，底角就为75°；综合（1）、（2）可得这个等腰三角形的底角为52.5°或75°.选C.14.【答题】如图，D是ABC中BC边上一点，AB=AC=BD，则∠1和∠2的关系是（）A. ∠1=2∠2B. ∠1+∠2=90°C. 180°-∠1=3∠2D. 180°+∠2=3∠1【答案】D【分析】根据等腰三角形的性质解答即可.【解答】AB=AC=BD由三角形角的性质知∠2+∠C=∠1，2∠C+∠2+∠1=180°，消去∠C,可得180°+∠2=3∠1.所以选D.15.【答题】如图，△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC交AC于G，DM∥BC交∠ABC 的外角平分线于M，交AB，AC于F，E，以下结论：①MB⊥BD，②FD=EC，③EC=EF+DG，④CE=MD/2，其中一定正确的有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C【分析】根据等腰三角形的性质和判定解答即可.【解答】解：∵BD分别是∠ABC及其外角的平分线，故MB⊥BD，①成立；而AB=AC，∴∠FDB=∠DBC；∵∠FBD=∠DBC，∴∠FBD=∠FDB，∴FD=BF，FD=EC，②成立；∠C与∠BGC的大小不确定，∴DE不一定等于DG，∵EC=DF=EF+DE，∴EC不一定等于EF+DG；故错误；而CE=BF，④成立.选C.16.【答题】如图所示，把腰长为1的等腰直角三角形折叠两次后，得到的一个小三角形的周长是（）A. 1+B. 1+C. 2-D. -1【答案】B【分析】根据等腰三角形的性质解答即可.【解答】第一次折叠后，等腰三角形的底边长为1，腰长为；第一次折叠后，等腰三角形的底边长为，腰长为，所以周长为.故答案为B.17.【答题】如图所示，在锐角△ABC中，点D、E分别是边AC、BC的中点，且DA=DE，那么下列结论错误的是（）A. ∠1=∠2B. ∠1=∠3C. ∠B=∠CD. ∠3=∠B【答案】D【分析】根据等腰三角形的性质解答即可.【解答】∵点D、E分别是边AC、BC的中点，且DA=DE，∴DA=DC=DE.∴∠2=∠3，AE⊥BC，DE∥AB，∴∠1=∠2，∠B=∠C.故答案为D.18.【答题】如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，过点O作MN∥BC，分别交AB，AC于点M，N，若AB=12，AC=18，BC=24，则△AMN的周长为（）A. 30B. 36C. 39D. 42【答案】A【分析】根据等腰三角形的性质和判定解答即可.【解答】解：如图，∵OB、OC分别是∠ABC与∠ACB的平分线，∴∠1=∠5，∠3=∠6，又∵MN∥BC，∴∠2=∠5，∠6=∠4，∴BM=MO，NO=CN，∴△AMN的周长=AM+AN+MN=MA+AN+MO+ON=AB+AC，又∵AB=12，AC=18，∴△AMN 的周长=12+18=30选A.19.【答题】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，若AB＝6，CD＝4，则△ABC的周长是（）．A. 21B. 20C. 19D. 18【答案】B【分析】根据等腰三角形的性质解答即可.【解答】解：∵在△ABC中，AB=AC，∴△ABC是等腰三角形，又∵AD⊥BC于点D，∴BD=CD. ∵AB=6，CD=4，∴△ABC的周长=6+4+4+6=20选B.20.【答题】一个等腰三角形的顶角是底角的4倍，则其顶角的度数为（）A. 20°B. 30°C. 80°D. 120°【答案】D【分析】根据等腰三角形的性质解答即可.【解答】解：设底角为x，顶角为4x．则2x+4x=180°，解得x=30°，∴4x=120°，选D.。
八年级数学下册等腰三角形综合练习题含答案
∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED==75°，
∴∠EDC=∠ADC-∠ADE=90°-75°=15°
10．如图，已知∠AOB=40°，在∠AOB的两边OA、OB上分别存在点Q、点P，过点Q作直线QR∥OB，当OP=QP时，∠PQR的度数是（ ）.
A．60° B．80° C．100° D．120°
11．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°．如果P为三角形内一点，且∠PBC=∠PCA，那么∠BPC等于（ ）
22．如图，点O是等边△ABC内一点，D是△ABC外的一点，∠AOB=110°，∠BOC=α，△BOC≌△ADC，∠OCD=60°，连接OD．
（1）求证：△OCD是等边三角形；
（2）当α=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
（3）△AOD能否为等边三角形？为什么？
（4）探究：当α为多少度时Fra bibliotek△AOD是等腰三角形．
20．若（a﹣1）2+|b﹣2|=0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为．
三、解答题
21．如图，P是等边三角形ABC内的一点，连结PA，PB，PC，以BP为边作∠PBQ=60°，且BP=BQ，连结CQ． (1)观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并说明理由．
(2)若PA=3，PB=4，PC=5，连结PQ，判断△PQC的形状并说明理由．
A．2cm B．2.5cm C．3cm D．3.5cm
6．如图，△ABC中，AB=AC，D是BC中点，下列结论中不正确的是( )
A. ∠B=∠C B. AD⊥BC C. AD平分∠BAC D. AB=2BD
7．已知等腰△ABC中，AD⊥BC于点D，且AD= BC，则△ABC底角的度数为（ ）
2021-2022学年人教版八年级数学上册等腰三角形的性质练习含答案
等腰三角形的性质一、选择题1．如图，已知线段AB，分别以A，B为圆心，大于AB同样长为半径画弧，两弧交于点C，D，连接AC，AD，BC，BD，CD，则下列说法错误的是（）A．AB平分∠CAD B．CD平分∠ACB C．AB⊥CD D．AB＝CD2．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，CD∥AB，则∠BCD＝（）A．40°B．50°C．60°D．70°3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，连接CD，则∠ACD的度数是（）A．50°B．40°C．30°D．20°4．等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是（）A．80°B．80°或20°C．80°或50°D．20°5．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，BD＝BE，∠A＝100°，则∠DEC＝（）A．90°B．100°C．105°D．110°6．如图，AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，BD＝5，则CD等于（）A．10B．5C．4D．37．如图，将一张长方形纸按图中虚线AD对折，再沿直线l剪开，再把它展开后得到△ABC，则下列结论错误的是（）A．AD⊥BC B．BD＝CD C．∠B＝∠C D．AB＝CB8．如图，AB＝AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，若∠C＝65°，则∠DBC的度数是（）A．25°B．20°C．30°D．15°9．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在CA的延长线上，DE⊥BC于点E，∠BAC＝100°，则∠D＝（）A．40°B．50°C．60°D．80°10．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，它的顶角为（）A．30°B．60°C．120°D．60°或120°二、非选择题11．已知：如图，在△ABC中，点D在边BC上，AB＝AD＝DC，∠C＝35°，则∠BAD＝度．12．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，连接AD，BE平分∠ABC交AC 于点E，过点E作EF∥BC交AB于点F．（1）若∠C＝36°，求∠BAD的度数；（2）求证：FB＝FE．13．问题：如图，在△ABD中，BA＝BD．在BD的延长线上取点E，C，作△AEC，使EA ＝EC．若∠BAE＝90°，∠B＝45°，求∠DAC的度数．答案：∠DAC＝45°．思考：（1）如果把以上“问题”中的条件“∠B＝45°”去掉，其余条件不变，那么∠DAC的度数会改变吗？说明理由．（2）如果把以上“问题”中的条件“∠B＝45°”去掉，再将“∠BAE＝90°”改为“∠BAE＝n°”，其余条件不变，求∠DAC的度数．14．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上任意一点，过点D分别向AB，AC引垂线，垂足分别为E，F，CG是AB边上的高．（1）当点D在BC的什么位置时，DE＝DF？请加以证明．（2）DE，DF，CG的长之间存在着怎样的等量关系？请加以证明．（3）若点D在底边BC的延长线上，（2）中的结论还成立吗？若不成立，又存在怎样的关系？请说明理由．15．如图，∠ACB＝90°，D、E在AB上，AD＝AC，BE＝BC，求∠DCE的度数．参考答案与试题解析一、选择题1．如图，已知线段AB，分别以A，B为圆心，大于AB同样长为半径画弧，两弧交于点C，D，连接AC，AD，BC，BD，CD，则下列说法错误的是（）A．AB平分∠CAD B．CD平分∠ACB C．AB⊥CD D．AB＝CD【分析】根据作图判断出四边形ACBD是菱形，再根据菱形的性质：菱形的对角线平分一组对角、菱形的对角线互相垂直平分可得出答案．【解答】解：由作图知AC＝AD＝BC＝BD，∴四边形ACBD是菱形，∴AB平分∠CAD、CD平分∠ACB、AB⊥CD，不能判断AB＝CD，故选：D．2．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，CD∥AB，则∠BCD＝（）A．40°B．50°C．60°D．70°【分析】根据等腰三角形的性质可求∠ACB，再根据平行线的性质可求∠BCD．【解答】解：∵在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，∴∠ACB＝70°，∵CD∥AB，∴∠ACD＝180°﹣∠A＝140°，∴∠BCD＝∠ACD﹣∠ACB＝70°．故选：D．3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，连接CD，则∠ACD的度数是（）A．50°B．40°C．30°D．20°【分析】根据三角形的内角和和等腰三角形的性质即可得到结论．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，∴∠B＝40°，∵BC＝BD，∴∠BCD＝∠BDC＝（180°﹣40°）＝70°，∴∠ACD＝90°﹣70°＝20°，故选：D．4．等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是（）A．80°B．80°或20°C．80°或50°D．20°【分析】分80°角是顶角与底角两种情况讨论求解．【解答】解：①80°角是顶角时，三角形的顶角为80°，②80°角是底角时，顶角为180°﹣80°×2＝20°，综上所述，该等腰三角形顶角的度数为80°或20°．故选：B．5．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，BD＝BE，∠A＝100°，则∠DEC＝（）A．90°B．100°C．105°D．110°【分析】由在△ABC中，AB＝AC，∠A＝100°，根据等边对等角的性质，可求得∠ABC 的度数，又由BD平分∠ABC，即可求得∠DBE的度数，又由等边对等角的性质，可求得∠BED的度数，根据平角的定义就可求出∠DEC的度数．【解答】解：∵在△ABC中，AB＝AC，∠A＝100°，∴∠ABC＝∠C＝40°，∵BD平分∠ABC，∴∠DBE＝∠ABC＝20°，∴∠BDE＝∠BED＝80°，∴∠DEC＝100°．故选：B．6．如图，AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，BD＝5，则CD等于（）A．10B．5C．4D．3【分析】根据等腰三角形三线合一的性质即可求解．【解答】解：∵AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，BD＝5，∴CD＝5．故选：B．7．如图，将一张长方形纸按图中虚线AD对折，再沿直线l剪开，再把它展开后得到△ABC，则下列结论错误的是（）A．AD⊥BC B．BD＝CD C．∠B＝∠C D．AB＝CB【分析】由图中操作可知：AD所在直线是△ABC的对称轴，即可得出结论．【解答】解：由图中操作可知：AD所在直线是△ABC的对称轴，∴AD⊥BC，BD＝CD，∠B＝∠C，AB＝AC，∴A，B，C正确，D错误，故选：D．8．如图，AB＝AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，若∠C＝65°，则∠DBC的度数是（）A．25°B．20°C．30°D．15°【分析】根据等腰三角形的性质得到∠ABC，再根据垂直平分线的性质求出∠ABD，从而可得结果．【解答】解：∵AB＝AC，∠C＝∠ABC＝65°，∴∠A＝180°﹣65°×2＝50°，∵MN垂直平分AB，∴AD＝BD，∴∠A＝∠ABD＝50°，∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝15°，故选：D．9．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在CA的延长线上，DE⊥BC于点E，∠BAC＝100°，则∠D＝（）A．40°B．50°C．60°D．80°【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理，求得∠C＝40°，然后根据直角三角形两锐角互余，即可求得∠D＝50°．【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝100°，∴∠C＝∠B＝40°，∵DE⊥BC于点E，∴∠D＝90°﹣∠C＝50°，故选：B．10．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，它的顶角为（）A．30°B．60°C．120°D．60°或120°【分析】等腰三角形的高相对于三角形有三种位置关系，三角形内部，三角形的外部，三角形的边上．根据条件可知第三种高在三角形的边上这种情况不成立，因而可分两种情况进行讨论．【解答】解：分两种情况：①当高在三角形内部时（如图1），∵∠ABD＝30°，∴顶角∠A＝90°﹣30°＝60°；②当高在三角形外部时（如图2），∵∠ABD＝30°，∴顶角∠CAB＝90°+30°＝120°．故选：D．二、非选择题11．已知：如图，在△ABC中，点D在边BC上，AB＝AD＝DC，∠C＝35°，则∠BAD＝40度．【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理即可得到结论．【解答】解：∵AD＝DC，∴∠DAC＝∠C＝35°，∴∠ADB＝∠DAC+∠C＝70°．∵AB＝AD，∴∠B＝∠ADB＝70°，∴∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB＝180°﹣70°﹣70°＝40°．故答案为：40．12．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，连接AD，BE平分∠ABC交AC 于点E，过点E作EF∥BC交AB于点F．（1）若∠C＝36°，求∠BAD的度数；（2）求证：FB＝FE．【分析】（1）利用等腰三角形的三线合一的性质证明∠ADB＝90°，再利用等腰三角形的性质求出∠ABC即可解决问题．（2）只要证明∠FBE＝∠FEB即可解决问题．【解答】（1）解：∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC，∵∠C＝36°，∴∠ABC＝36°，∵BD＝CD，AB＝AC，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴∠BAD＝90°﹣36°＝54°．（2）证明：∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE＝∠ABC，∵EF∥BC，∴∠FEB＝∠CBE，∴∠FBE＝∠FEB，∴FB＝FE．13．问题：如图，在△ABD中，BA＝BD．在BD的延长线上取点E，C，作△AEC，使EA ＝EC．若∠BAE＝90°，∠B＝45°，求∠DAC的度数．答案：∠DAC＝45°．思考：（1）如果把以上“问题”中的条件“∠B＝45°”去掉，其余条件不变，那么∠DAC的度数会改变吗？说明理由．（2）如果把以上“问题”中的条件“∠B＝45°”去掉，再将“∠BAE＝90°”改为“∠BAE＝n°”，其余条件不变，求∠DAC的度数．【分析】（1）根据三角形外角的性质得到∠AED＝2∠C，①求得∠DAE＝90°﹣∠BAD ＝90°﹣（45°+∠C）＝45°﹣∠C，②由①，②即可得到结论；（2）设∠ABC＝m°，根据三角形的内角和定理和等腰三角形的性质即可得到结论．【解答】解：（1）∠DAC的度数不会改变；∵EA＝EC，∴∠EAC＝∠C，①，∵BA＝BD，∴∠BAD＝∠BDA，∵∠BAE＝90°，∴∠B＝90°﹣∠AED＝90°﹣2∠C，∴∠BAD＝（180°﹣∠B）＝[180°﹣（90°﹣2∠C）]＝45°+∠C，∴∠DAE＝90°﹣∠BAD＝90°﹣（45°+∠C）＝45°﹣∠C，②由①，②得，∠DAC＝∠DAE+∠CAE＝45°﹣∠C+∠C＝45°；（2）设∠ABC＝m°，则∠BAD＝（180°﹣m°）＝90°﹣m°，∠AEB＝180°﹣n°﹣m°，∴∠DAE＝n°﹣∠BAD＝n°﹣90°+m°，∵EA＝EC，∴∠CAE＝AEB＝90°﹣n°﹣m°，∴∠DAC＝∠DAE+∠CAE＝n°﹣90°+m°+90°﹣n°﹣m°＝n°．14．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上任意一点，过点D分别向AB，AC引垂线，垂足分别为E，F，CG是AB边上的高．（1）当点D在BC的什么位置时，DE＝DF？请加以证明．（2）DE，DF，CG的长之间存在着怎样的等量关系？请加以证明．（3）若点D在底边BC的延长线上，（2）中的结论还成立吗？若不成立，又存在怎样的关系？请说明理由．【分析】（1）当点D在BC的中点时，DE＝DF，根据AAS证△BED≌△CFD，根据全等三角形的性质推出即可；（2）连接AD，根据三角形ABC的面积＝三角形ABD的面积+三角形ACD的面积，进行分析证明；（3）类似（2）的思路，仍然用计算面积的方法来确定线段之间的关系．即三角形ABC 的面积＝三角形ABD的面积﹣三角形ACD的面积．【解答】（1）解：当点D在BC的中点时，DE＝DF．理由：如图1中，连接AD．∵D为BC的中点，∴BD＝CD．∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠DEB＝∠DFC＝90°．在△BED和△CFD中，，∴△BED≌△CFD（AAS），∴DE＝DF．（2）解：DE+DF＝CG．证明如下：如图2，连接AD，则S△ABC＝S△ABD+S△ACD，即AB•CG＝AB•DE+AC•DF．∵AB＝AC，∴DE+DF＝CG．（3）解：当点D在BC的延长线上时，（2）中的结论不成立，但有DE﹣DF＝CG．理由如下：如图3，延长BC至点D，连接AD，过点D作DF⊥AC，交AC的延长线于点F，则S△ABD＝S△ABC+S△ACD，即AB•DE＝AB•CG+AC•DF．∵AB＝AC，∴DE＝CG+DF，即DE﹣DF＝CG．15．如图，∠ACB＝90°，D、E在AB上，AD＝AC，BE＝BC，求∠DCE的度数．【分析】由AD＝AC，BC＝BE，根据等边对等角得出∠ACD＝∠ADC，∠BEC＝∠ECB，再利用三角形内角和定理得出∠A＝180°﹣2∠ADC，∠B＝180°﹣2∠DEC，而∠A+∠B＝90°，那么求出∠ADC+∠DEC＝135°，则∠DCE＝180°﹣（∠ADC+∠DEC）＝180°﹣135°＝45°．【解答】解：∵AD＝AC，∴∠ADC＝∠ACD．∵BE＝BC，∴∠BEC＝∠ECB．∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°．在△ACD中，∠A＝180°﹣2∠ADC，在△BCE中，∠B＝180°﹣2∠DEC，∴∠A+∠B＝180°﹣2∠ADC+180°﹣2∠DEC＝90°．∴360°﹣2（∠ADC+∠DEC）＝90°．∴∠ADC+∠DEC＝135°．∴∠DCE＝180°﹣（∠ADC+∠DEC）＝180°﹣135°＝45°．。
人教版八年级数学上册《等腰三角形》课时练习题(含答案)
人教版八年级数学上册《等腰三角形》课时练习题（含答案）一、单选题1．如图，在等边△ABC 中，AB ＝4cm ，BD 平分∠ABC ，点E 在BC 的延长线上，且30E ∠=，则CE 的长是（ ）A ．1cmB ．2cmC ．3cmD ．4cm 2．如图，等边ABC 中，AD BC ⊥，垂足为D ，点E 在线段AD 上，45EBC ∠=︒，则ACE ∠等于（ ）A ．15︒B ．20︒C ．45︒D ．60︒ 3．如图，在ABC 中，,AB AC AD =是ABC 的角平分线，过点D 分别作,DE AB DF AC ，垂足分别是点E ，F ，则下列结论错误．．的是（ ）A ．90ADC ∠=B ．DE DF =C ．AD BC = D ．BD CD =4．等腰三角形两边长为3,6，则第三边的长是（ ）A ．3B ．6C ．12D ．3或65．如图，AB //CD ，△ACE 为等边三角形，∠DCE ＝45°，则∠EAB 等于（ ）A ．40°B ．30°C ．20°D ．15°6．已知，在△ABC 中，AB AC =，如图，（1）分别以B ，C 为圆心，BC 长为半径作弧，两弧交于点D ； （2）作射线AD ，连接BD ，CD ．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误．．的是（ ）A ．BAD CAD ∠=∠B ．△BCD 是等边三角形C ．AD 垂直平分BCD ．ABDC S AD BC =二、填空题 7．如图，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，20B ∠=︒，分别以点A ，B 为圆心，大于12AB 的长为半径作弧，两弧分别相交于点M ，N ，作直线MN ，交BC 于点D ，连接AD ，则CAD ∠的度数为_____．8．如图，等腰三角形ABC 的面积为24，底边6BC =，腰AC 的垂直平分线EF 分别交边AC 、AB 于E 、F 两点，点M 为线段EF 上一动点，点D 为BC 的中点，连接CM 、DM ．在点M 的运动过程中，△CDM 的周长存在最______值（填入“大”或“小”），最值为______．9．如图，在△ABC 中，∠B 、∠C 的平分线交于点F ，过点F 作DE ∥BC 交AB 于点D ，交AC 于点E ，下列结论：①△BDF ，△ADE 都是等腰三角形；②DE ＝BD ＋CE ；③△ADE 的周长等于AB ＋AC ；④BF ＝CF ；⑤若∠A ＝80°，则∠BFC ＝130°，其中正确的有_________10．已知ABC 中，20B ∠=︒，在AB 边上有一点D ，若CD 将ABC 分为两个等腰三角形，则A ∠=________．三、解答题11．已知ABC 的三边长分别为a ，b ，c ．（1）若2a =，3b =，求c 的取值范围；（2）在（1）的条件下，若c 为奇数，试判断ABC 的形状，并说明理由．12．如图，点D ，E 在ABC 的边BC 上，AB AC =，AD AE =．求证：BD CE =．13．如图，E 为ABC 的外角CAD ∠平分线上的一点，AE //BC ，BF AE =．(1)求证：ABC 是等腰三角形；(2)若4AF =，求CE 的长．14．如图，在△ABC 和△DCB 中，∠A ＝∠D ＝90°，AC ＝BD ，AC 与BD 相交于点O ，限用无刻度直尺完成以下作图：（1）在图1中作线段BC 的中点P ；（2）在图2中，在OB 、OC 上分别取点E 、F ，使EF ∥BC ．参考答案1．B2．A3．C4．B5．D6．D7．50︒##50度8． 小 119．②③⑤10．100°，70°，40°或者10°11．解：（1）根据三角形的三边关系定理可得3-2＜c ＜3+2， 即1＜c ＜5；（2）∵第三边c 为奇数，∴c=3，∵a=2，b=3，∴b=c ，∴△ABC 为等腰三角形．12．证明：∵AB AC =，AD AE =，∴B C ∠=∠，ADE AED ∠=∠，∵∠ADB =180°-∠ADE ，∠AEC =180°-∠AED ，∴ADB AEC ∠=∠，在ABD △和ACE △中，AB AC B C ADB AEC =⎧⎪∠=∠⎨⎪∠=∠⎩∴ABD ACE ≅（AAS ），∴BD =CE ；13．证明：∵AE //BC ，DAE B ∴∠=∠，EAC ACB ∠=∠， E 为ABC 的外角CAD ∠平分线上的一点， DAE EAC ∴∠=∠，B ACB ∴∠=∠，AB AC ∴=，ABC ∴是等腰三角形．（2）解：由（1）已得：,DAE B DAE EAC ∠=∠∠=∠， B EAC ∴∠=∠，在ABF △和CAE 中，AB CA B EAC BF AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，(SAS)ABF CAE ∴≅，AF CE ∴=，4AF =，4CE ∴=．14．解：（1）如图1，点P 为所作，理由如下：∵∠A ＝∠D ＝90°，AC ＝BD ，BC=CB ， ∴△ABC ≌△DCB∴∠ABC=∠DCB,∠ACB=∠DBC∴QB=QC ，OB=OC∴Q,O 在BC 的垂直平分线上，∴延长QO 交BC 于P ，就有P 为线段BC 的中点；（2）如图2，EF为所作．理由如下：∵△ABC≌△DCB ∴AB=DC，又∵∠ABC=∠DCB，BP=PC ∴△ABP≌△DCP∴∠APB=∠DPC又∵∠DBC=∠ACB，BP=PC ∴△BEP≌△CFP∴PE=PF∴∠PEF=∠PFE，∵∠APB+∠DPC+∠APD=180°∠PEF+∠PFE+∠APD=180°∴∠APB=∠PEF∴EF//BC.。
八年级数学等腰三角形(习题及答案)
等腰三角形（习题）例题示范例1：如图，在△ABC 中，AB =AC ，点D 在△ABC 外，CD ⊥AD 于点D ，12CD BC =．求证：∠ACD =∠B ． 【思路分析】① 读题标注：② 梳理思路： 由条件12CD BC =，可尝试取BC 的中点E ，此时结合等腰构造三线合一的线AE ，如图所示．要证∠ACD =∠B ，可以证明△ABE ≌△ACD ．【过程书写】证明：如图，取BC 的中点E ，连接AE ．∵E 是BC 的中点 ∴12BE BC = ∵12CD BC = ∴BE =CD∵AB =AC ，E 是BC 的中点∴AE ⊥BC∴∠AEB =90°∵CD ⊥AD∴∠D =90°∴∠AEB =∠D =90°在Rt △ABE 和Rt △ACD 中AB AC BE CD =⎧⎨=⎩（已知）（已证）∴Rt △ABE ≌Rt △ACD （HL ）∴∠ACD =∠B例2：等腰三角形的周长为12cm ，其中一边长为5cm ，则该等腰三角形的底边长为__________cm ．AC D【思路分析】等腰三角形一边长为5cm，这一边可能是底，也可能是腰，故需分类讨论：①如果5cm为底，则根据周长为12cm，可知腰长为3.5cm．此时两边之和大于第三边，这个三角形存在．②如果5cm为腰，则根据周长为12cm，可知底边长为2cm．此时两边之和大于第三边，这个三角形存在．综上，该等腰三角形的底边长为5cm或2cm．巩固练习1.已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=80°，求∠C的度数．2.如图，在△ABC中，AB=AC，BE∥AC，∠BDE=100°，∠BAD=70°，则∠E=______．第2题图第3题图3.已知：如图，在△ABC中，AB=AC，D为AB边上一点，若CD=AD=BC，则∠A=_________．4.如图，在△ABC中，∠ABC的平分线和∠ACB的平分线相交于点E，过点E作MN∥BC，交AB于点M，交AC于点N．若BM+CN=9，则线段MN的长为（）A．6 B．7 C．8 D．95.已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，点P在AD上．求证：PB=PC．6.已知：如图，B，D，E，C在同一直线上，AB=AC，AD=AE．求证：BD=CE．7.已知等腰三角形的两边长分别为4和8，则该等腰三角形的周长为_________________．8.若等腰三角形的一个角比另一个角大30°，则该等腰三角形的顶角的度数为_____________．9.已知：如图，线段AB的端点A在直线l上，AB与l的夹角是30°，请在直线l上另找一点C，使△ABC是等腰三角形．这样的点能找几个？请找出所有符合条件的点．思考小结1.要证明边相等或角相等，可以考虑两种思路：①如果边或者角在两个三角形里面，则证明两个三角形__________；②如果边或角在一个三角形里面，证明三角形是_______三角形．2.将两个含30°角的三角板如图放置，则△ABD是_________三角形（“等腰”或“等边”），故AB_____BD，BC=____BD，所以BC=____AB，从而得到对于含有30°角的直角三角形，30°角所对的直角边是斜边的_______．【参考答案】巩固练习1.50°2.50°3.36°4. D5.证明略提示：利用等腰三角形三线合一的性质，得AD垂直平分BC，从而得到PB=PC 6.证明略提示：根据等边对等角可得∠B=∠C，∠ADE=∠AED，进而可得∠BAD=∠CAE，从而证明△ABD≌△ACE，根据全等三角形对应边相等，可得BD=CE7.208.80°或40°9.这样的点能找4个，作图略 思考小结1.①全等②等腰2.等边，=，12，12，一半。
八年级上册数学等腰三角形知识点和典型习题分类汇总附答案
第7讲等腰三角形❖基本知识（熟记，会画图，要提问．）（1）（等边对等角）．【证明之】（2）等腰三角形的性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（三线合一）．【证明之】（3）等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）．【证明之】❖等腰三角形的性质【方程思想计算角度】1、【易】如图，求下列等腰三角形的所有角的度数。
（1）顶角30° （2）底角30°2、【易】计算：（1）等腰三角形的一个角是110°，求其余内角。
（2）等腰三角形的一个角是80°，求其余内角。
（3）已知一个等腰三角形的两角分别为（2x-2）°，（3x-5）°，求这个等腰三角形各角的度数。
3、【易】如图所示，在△ABC中，AB=AD=DC，△BAD=26°，求△B和△C的度数．4、【易】如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求△A、△ADB和△C的度数．5、【中】如图所示，五角星的五个角都是顶角为36°的等腰三角形，则△AMB的度数为______．6、【中】如图，AB=AC，△A=40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，求△DBC的度数．7、【中】如图，等腰△ABC中，AB=AC，△DBC=15°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则△A的度数是_______．【基础证明题】8、【易】如图，AD△BC，点E在AB的延长线上，CB＝CE，试猜想△A与△E的大小关系，并说明理由．9、【中】已知：CD平分AB，且CD=AD=BD，求证：△ABC是直角三角形．【如果一个三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
这句话倒过来也是对的，学到矩形时会证明。
】10、【中】如图，点D，E在△ABC的边BC上，AB=AC，AD=AE，求证：BD=CE．【全等法或三线合一法】11、【中】【仿上题】如图，点D 、E 在△ABC 的边BC 上，AB=AC ．若BD=CE ，F 为DE 的中点，求证：AF△BC ．12、【中】如图，在△ABC 中，AB=AC ，D 为BC 边上一点，△B=30°，△DAB=45°．（1）求△DAC 的度数；（2）求证：DC=AB ．13、【难】如图，在△ABC 中，AB=AC ，△ABC 、△ACB 的平分线BD ，CE 相交于O 点，且BD 交AC 于点D ，CE 交AB 于点E ．某同学分析图形后得出以下结论：△△BCD△△CBE ；△△BAD△△BCD ；△△BDA△△CEA ；△△BOE△△COD ；△△ACE△△BCE ；上述结论一定正确的是________．14、【中】已知：如图，在△ABC 中，AB=AC ，D 是BC 的中点，DE△AB ，DF△AC ，E ，F 分别是垂足，求证：AE=AF ．15、【中】如图，已知：AB=AC ，△CAE 是△ABC 的外角，△1=△2．求证：AD △ BC ．参考答案1、（1）底角75°；（2）底角30°，顶角120°．2、（1）35°，35°；（2）50°，50°；或80°，20°。
人教版八年级下册数学专题复习及练习(含解析)：等腰三角形
专题13.3 等腰三角形知识点1：等腰三角形1.等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫底角．2.等腰三角形的性质：（1）等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）．（2）等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线、 底边上的高互相重合（通常称作“三线合一”）．3.等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）．知识点2：等边三角形1.定义：三条边相等的三角形叫做等边三角形．2.等边三角形的性质和判定：（1）等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°。
（2）三个角都相等的三角形是等边三角形。
（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
知识点3：直角三角形的一个定理在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．【例题1】如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求：△ABC各角的度数．【例题2】证明：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°， 那么它所对的直角边等于斜边的一半． 已知：如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠BAC=30°．求证：BC=AB ．【例题7】已知等边三角形的边长为3，点P 为等边三角形内任意一点，则点P 到三边的距离之和为（ ）A ．B ．C ．D ．不能确定【例题3】如图，已知AC ⊥BC ，BD ⊥AD ，AC 与BD 交于点O ，AC=BD.求证：(1)BC=AD ；(2)△OAB 是等腰三角形.一、选择题1.已知等边三角形的边长为3，点P 为等边三角形内任意一点，则点P 到三边的距离之和为（ ）12C AA．B．C．D．不能确定2.如图所示，点D是△ABC的边AC上一点（不含端点），AD=BD，则下列结论正确的是（）A．AC＞BC B．AC=BC C．∠A＞∠ABC D．∠A=∠ABC3．如图，∠AOB=120°，OP平分∠AOB，且OP=2．若点M，N分别在OA，OB上，且△PMN 为等边三角形，则满足上述条件的△PMN有（）A．1个B．2个C．3个D．3个以上4.如图所示，底边BC为2，顶角A为120°的等腰△ABC中，DE垂直平分AB于D，则△ACE的周长为（）A．2+2B．2+C．4 D．3二、解答题5.已知：在△ABC中，AB=AC，D为AC的中点，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E，F，且DE=DF．求证：△ABC是等边三角形．6.如图，在△ABC中，过C作∠BAC的平分线AD的垂线，垂足为D，DE∥AB交AC于E．求证：AE=CE．7.求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形．已知：∠CAE 是△ABC 的外角，∠1=∠2，AD ∥BC （如图）．求证：AB=AC ．8.已知：如图，AD ∥BC ，BD 平分∠ABC ．求证：AB=AD ．9.证明：等腰三角形两底角的平分线相等．已知：如图，在△ABC 中，AB=AC ，BD 、CE 是△ABC 的平分线．求证：BD=CE ．10.证明：等腰三角形两腰上的高相等．已知：如图，在△ABC 中，AB=AC ，BE 、CF 分别是△ABC 的高．E DCAB11.证明：等腰三角形两腰上的中线相等．已知：如图，在△ABC 中，AB=AC ，BD 、CE 分别是两腰上的中线．求证：BD=CE ．12.已知：如图，在△ABC 中，AB=AC=2a ，∠ABC=∠ACB=15°，CD 是腰AB 上的高．求：CD 的长．13．已知：如图，△ABC 中，∠ACB=90°，CD 是高，∠A=30°．求证：BD=AB ．14.已知直角三角形的一个锐角等于另一个锐角的2倍，这个角的平分线把对边分成两条线段．求证：其中一条是另一条的2倍．已知：在Rt △ABC 中，∠A=90°，∠ABC=2∠C ，BD 是∠ABC 的平分线．1415.已知：如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=AB ．求证：∠BAC=30°．16.已知，如图，点C 为线段AB 上一点，△ACM 、△CBN 是等边三角形．求证：AN=BM ．17．一个直角三角形房梁如图所示，其中BC ⊥AC ，∠BAC=30°，AB=10cm ， CB 1⊥AB ，B 1C ⊥AC 1，垂足分别是B 1、C 1，那么BC 的长是多少？18.如图，△ABC 中，AB=AC ，∠A=36°，AC 的垂直平分线交AB 于E ，D 为垂足，连接EC ．（1）求∠ECD 的度数；（2）若CE=5，求BC 长．12专题13.3 等腰三角形知识点1：等腰三角形1.等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫底角．2.等腰三角形的性质：（1）等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）．（2）等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线、 底边上的高互相重合（通常称作“三线合一”）．3.等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）．知识点2：等边三角形1.定义：三条边相等的三角形叫做等边三角形．2.等边三角形的性质和判定：（1）等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°。
八年级数学上册《第十三章 等腰三角形》同步练习题及答案(人教版)
八年级数学上册《第十三章 等腰三角形》同步练习题及答案(人教版）学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、选择题：1．若等腰三角形的两边长分别为4和8，则它的周长为（ ）A ．12B ．16C ．20D ．16或202．如图，是屋架设计图的一部分，立柱BC 垂直于横梁AC ，AB ＝12m ，∠A ＝30°，则立柱BC 的长度为（ ）A ．4mB ．6mC ．8mD ．12m3．如图ABC 、ADE 中C 、D 两点分别在边AE 、AB 上，BC 与DE 相交于F 点．若BD CD CE == 104ADC ACD ∠+∠=︒则DFC ∠的度数为（ ）．A ．104︒B ．118︒C ．128︒D ．136︒4．如图 ABC 中 90ACB ∠=︒ ， 60CAB ∠=︒ 动点P 在斜边AB 所在的直线m 上运动，连结PC ，那点P 在直线m 上运动时，能使图中出现等腰三角形的点P 的位置有（ ）A ．6个B ．5个C ．4个D ．3个5．如图，△ABC 是等边三角形，点D 是BC 边上任意一点，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ，若等边三角形的高为4，则DE+DF ＝（ ）A ．1B ．2C ．3D ．46．如，AOB ADC ≌，90O D ∠∠︒＝＝记αOAD ∠＝，βABO ∠＝当BC OA 时，α与β之间的数量关系为（ ）A ．αβ＝B ．α2β＝C ．αβ90+︒＝D ．α2β180+︒＝7．如图，CD 是等腰三角形ABC 底边AB 上的中线，BE 平分ABC ∠，交CD 于点E ，AC=6，DE=2则BCE 的面积是（ ）A ．4B ．6C ．8D ．128．如图，已知△ABC 中，∠B ＝50°，P 为△ABC 内一点，过点P 的直线MN 分别交AB ，BC 于点M 、N ．若M 在PA 的中垂线上，N 在PC 的中垂线上，则∠APC 的度数为（ ）A ．100°B ．105°C ．115°D ．120°二、填空题：9．在△ABC 中，AB=AC ，其周长为20cm ，若AB=8cm ，则BC= cm.10．如图，在ABC 中70A ∠=︒，30C ∠=︒点D 为AC 边上一点，过点D 作DE //AB ，交BC 于点E ，且DE BE =，连接BD ，则BDC ∠的度数是 ．11．如图，在Rt △ABC 中90ACB ∠=︒，AC=BC=2，△ACD 为等边三角形，连接BD ，则△BCD 的面积为 ．12．如图，在△ABC 中，∠ABC 的角平分线和∠ACB 相邻的外角平分线CD 交于点D ，过点D 作DE ∥BC 交AB 于E ，交AC 于G ，若EG=2，且GC=6，则BE 长为 ．13．如图，在△ABC 中，AB=20cm ，AC=12cm ，点P 从点B 出发以每秒3cm 速度向点A 运动，点Q 从点A 同时出发以每秒2cm 速度向点C 运动，其中一个动点到达端点，另一个动点也随之停止，当△APQ 是以PQ 为底的等腰三角形时，运动的时间是 秒．三、解答题：14．如图，点0是∠ABC ，∠ACB 的平分线的交点，OE ∥AB 交BC 于点E ，OF ∥AC 交BC 于点F ，BC=5．求△OEF 的周长．15．如图，已知D 是∠ABC 的平分线与△ABC 的外角平分线的交点，DE ∥BC ，交AB 于点E ，交AC 于点F.求证：EF=BE-CF16．如图，在ABC 中11AB AC ==，120BAC ∠=︒且AD 是ABC 的中线，AE 是ADB 的角平分线，DF AB交AE的延长线于点F，求DF的长．17．如图，在四边形 ABCD 中，AB=AD，∠BAD=120°，∠ABC=∠ADC=90°，E，F 分别是 BC， CD 上的点，且∠EAF=60°.（1）若 BE=DF，求证：△AEF 为等边三角形；（2）求证：EF=BE+DF.18．在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，点D在BC边上，△ABD和△AFD关于直线AD对称，∠FAC 的平分线交BC于点G，连接FG.（1）求∠DFG的度数.（2）设∠BAD=θ，当θ为何值时，△DFG为等腰三角形参考答案：1．C 2．B 3．C 4．C 5．D 6．B 7．B 8．C 9．410．110°11．112．813．414．解：∵OB，OC分别是∠ABC，∠ACB的平分线∴∠1=∠2，∠4=∠5∵OE∥AB，OF∥AC∴∠1=∠3，∠4=∠6∴∠2=∠3，∠5=∠6∴BE=OE，OF=FC∴BC=BE+EF+FC=OF+OE+EF∵BC=5∴OF+OE+EF=5∴△OEF的周长=OF+OE+EF=5．15．证明：∵BD平分∠ABC∴∠ABD=∠CBD∵DE∥BC∴∠EDB=∠CBD∴∠ABD=∠EDB∴DE=BE同理DF=CF∵EF=DE-DF∴EF=BE-CF.16．解：∵△ABC是等腰三角形，D为底边的中点∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD∵∠BAC=120°∴∠BAD=60°，∠ADB=90°∵AE是∠BAD的角平分线∴∠DAE=∠EAB=30°．∵DF//AB∴∠F=∠BAE=30°．∴∠DAF=∠F=30°∴AD=DF．∵AB=11，∠B=30°∴1111 5.522AD AB==⨯=∴DF=5.517．（1）证明：∵∠ABC=∠ADC= 90︒，BE=DF，AB=AD∴△ABE≌△ADF∴AE=AF又∵∠EAF= 60︒∴△AEF为等边三角形；（2）证明：如图，延长CD至G，使得DG=BE，连接AG，可得到∵AD⊥DF∴∠ABE=∠ADG= 90︒∵AB=AD，DG=BE∴△ABE≌△ADG∴AE=AG，∠BAE=∠GAD又∵∠BAE+∠EAD= 120︒∴∠GAD+∠EAD= 120︒又∵∠EAF= 60︒∴∠GAF= 60︒ =∠EAF又∵AE=AG，AF=AF∴△EAF≌△GAF∴EF=GF=GD+DF=BE+DF∴EF=BE+DF.18．（1）解：∵AB=AC，∠BAC=100°∴∠B=∠C=40°.∵△ABD和△AFD关于直线AD对称∴△ADB≌△ADF∴∠B=∠AFD=40°，AB=AF∠BAD=∠FAD=θ∴AF=AC.∵AG平分∠FAC∴∠FAG=∠CAG.在△AGF和△AGC中{AF=AC∠FAG=∠CAG AG=AG∴△AGF≌△AGC(SAS) ∴∠AFG=∠C.∵∠DFG=∠AFD+∠AFG∴∠DFG=∠B+∠C=40°+40°=80°.答：∠DFG的度数为80°；（2）解：当GD=GF时∴∠GDF=∠GFD=80°.∵∠ADG=40°+θ∴40°+80°+40°+θ+θ=180°∴θ=10°.当DF=GF时∴∠FDG=∠FGD.∵∠DFG=80°∴∠FDG=∠FGD=50°.∴40°+50°+40°+2θ=180°∴θ=25°.当DF=DG时∴∠DFG=∠DGF=80°∴∠GDF=20°∴40°+20°+40°+2θ=180°∴θ=40°.∴当θ=10°，25°或40°时，△DFG为等腰三角形。
八年级数学上册《第二章 等腰三角形》练习题-含答案(湘教版)
八年级数学上册《第二章 等腰三角形》练习题-含答案(湘教版)一、选择题1.等腰三角形的一边长为3 cm ，周长为19 cm ，则该三角形的腰长为（ ）A.3 cmB.8 cmC.3 cm 或8 cmD.以上答案均不对2.在等腰三角形ABC 中,AB=AC,其周长为20cm,则边AB 的取值范围是( ).A.1cm<AB<4cmB.5cm<AB<10cmC.4cm<AB<8cmD.4cm<AB<10cm3.已知等腰△ABC 的底边BC=8,且|AC-BC|=2,那么腰AC 的长为( )A.10或6B.10C.6D.8或64.若a,b 为等腰△ABC 的两边，且满足520a b --=，则△ABC 的周长为 ( ）A.9B.12C.15或12D.9或125.若三角形三个内角的比为1：2：3，则这个三角形是( )A.锐角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.钝角三角形6.在△ABC 中，∠A=70°，∠B=55°，则△ABC 是( )A.钝角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形7.等腰三角形的两边长分别为5和11，则它的周长为（ ）A ．21B ．21或27C ．27D ．258.在等腰△ABC 中，AB=AC ，其周长为20cm ，则AB 边的取值范围是（ ）A ．1cm ＜AB ＜4cm B ．5cm ＜AB ＜10cmC ．4cm ＜AB ＜8cmD ．4cm ＜AB ＜10cm二、填空题9.如果等腰三角形的周长为29，其中一边长为7，则这个等腰三角形的底边长是 .10.已知等腰△ABC 的周长为10，若设腰长为x ，则x 的取值范围是 ．11.一个等腰三角形的底边长为5 cm ，一腰上的中线把这个三角形的周长分成的两部分之差是3 cm ，则它的腰长是12.如图，l ∥m ，等腰直角三角形ABC 的直角顶点C 在直线m 上，若∠β=20°，则∠α的度数为________13.一副三角形叠在一起如图放置，最小锐角的顶点D恰好放在等腰直角三角形的斜边AB上，BC与DE交于点M.如果∠ADF=100°,那么∠BMD为度；14.若等腰三角形的腰长为6,则它的底边长a的取值范围是________;若等腰三角形的底边长为4,则它的腰长b的取值范围是_______.三、解答题15.已知等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成 9cm和 15cm两部分求这个三角形的腰长。
八年级上册数学同步练习题库：等腰三角形(选择题：较难)
等腰三角形（选择题：较难）1、Rt△ABC中，AB=AC=2，点D为BC中点．∠MDN=90°，∠MDN绕点D旋转，DM、DN分别与边AB、AC交于E、F两点．下列结论：①（BE+CF）=BC；②S△AEF≤S△ABC；③S四边形=AD•EF；④AD≥EF；⑤点A到线段EF的距离最大为1，其中正确结论的个数是（）AEDFA、1B、2C、3D、42、如图，已知点B、C、D在同一条直线上，△ABC和△CDE都是等边三角形．BE交AC于F，AD交CE于G．则下列结论中错误的是（）A. AD=BEB. BE⊥ACC. △CFG为等边三角形D. FG∥BC3、已知等腰△ABC中，AD⊥BC于点D，且AD=BC，则△ABC底角的度数为（）A．45° B．75° C．60° D．45°或75°4、如图，四边形ABCD是平行四边形，点E是边CD上一点，且BC＝EC，CF⊥BE交AB于点F，P是EB延长线上一点，下列结论：①BE平分∠CBF；②CF平分∠DCB；③BC＝FB；④PF＝PC，其中正确结论的个数为( )A．1 B．2 C．3 D．45、如图，已知△ABC中，AB=AC，AD=AE，∠BAE=30°，则∠DEC等于（）A．7.5° B．10° C．15° D．18°6、等边三角形的边长为2，则该三角形的面积为（）A． B． C． D．37、如图所示，在△ABC中，AB=AC，D、E是△ABC内两点，AD平分∠BAC．∠EBC=∠E=60°，若BE=6，DE=2，则BC的长度是（）A．6 B．8 C．9 D．108、如图所示，把腰长为1的等腰直角三角形折叠两次后，得到的一个小三角形的周长是（）A．1+ B．1+ C．2- D．-19、如图所示，在等边△ABC中，E是AC边的中点，AD是BC边上的中线，P是AD上的动点，若AD=3，则EP＋CP的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．510、.如图所示，已知△ABC和△BDE都是等边三角形，下列结论：①AE=CD；②BF=BG；③BH平分∠AHD；④∠AHC=60°；⑤△BFG是等边三角形；⑥FG∥AD，其中正确的有（）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个11、已知等边三角形边长为，点为等边三角形内任意一点，则点到三边的距离之和为（）A． B． C． D．不能确定12、如图，正方形ABCD中，点E，F分别在AD，DC上，且△BEF为等边三角形，下列结论：①DE=DF；②∠AEB=75°；③BE=DE；④AE+FC=EF．其中正确的结论个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个13、如图，已知等边△ABC和等边△PAF，过P作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，连接PQ交AC 边于D，当PA=CQ，AB=1时，DE的长（）A． B． C． D．不能确定14、如图，在第1个△中，∠B＝30°，；在边上任取一点D，延长CA1到A2，使，得到第2个△；在边上任取一点E，延长到，使，得到第3个△，…按此做法继续下去，则第n个三角形中以为顶点的内角度数是( )A． B． C． D．15、已知△ABC的三条边长分别为3，5，7，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画（）A．5条 B．4条 C．3条 D．2条16、如图所示，已知∠AOB=α，在射线OA、OB上分别取点OA1=OB1，连结A1B1，在B1A1、B1B上分别取点A2、B2，使B1B2=B1A2，连结A2B2…按此规律下去，记∠A2B1 B2=θ1，∠A3B2B3=θ2，…，∠A n+1B n B n+1=θn，则θ2016﹣θ2015的值为（）A． B． C． D．17、如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP=OC，下面的结论:①∠APO+∠DCO=30°；②△OPC是等边三角形；③AC=AO+AP；④．其中所有正确结论的序号为( )A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④18、如图，已知∠MON＝30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上；△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形．若OA1＝1，则△A2015B2015A2016的边长为…（）A．4028 B．4030 C． D．19、为庆祝抗日战争胜利70周年，某公司要在如图所示的五角星（∠A=∠D=∠H=∠G=∠E=36°，AB=AC=CE=EF=FG=GI=HI=HK=DK=DB）中，沿边每隔25厘米装一盏闪光灯，若BC=（-1）米，则需要安装闪光灯：A．79盏 B．80盏 C．81盏 D．82盏20、如图，△ABC与△DEF都是等腰三角形，且AB=AC=3，DE=DF=2，若∠B+∠E=90°，则△ABC与△DEF的面积比为（）A．9：4 B．3：2 C．: D．3:221、已知D、E、F分别为等腰△ABC边BC、CA、AB上的点，如果AB=AC，BD=2，CD=3，CE=4，AE=，∠FDE=∠B，那么AF的长为（）A．5．5 B．4．5 C．4 D．3．522、如图，正方形ABCD的边长为4，点E在对角线BD上，且∠BAE=22．5°，EF⊥AB，垂足为F，则EF的长为（）A．1 B． C．4﹣2 D．3﹣423、如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，D是AB的中点，点E、F分别在AC、BC边上运动（点E不与点A、C重合），且保持AE=CF，连接DE、DF、EF．在此运动变化的过程中，有下列结论：①△DFE是等腰直角三角形；②四边形CEDF不可能为正方形；③四边形CEDF的面积随点E位置的改变而发生变化；④点C到线段EF的最大距离为．其中正确结论的个数是（）A.1B.2C.3D.424、如图，已知点B、C、D在同一条直线上，ABC和CDE都是等边三角形．BE交AC于F，AD交CE于G，AD交BE于O点．则下列结论中不一定正确的是（）A. AD=BEB. CO平分∠BODC. BE⊥ACD. FG∥BC参考答案1、C2、B3、D4、D5、C6、C7、B8、B9、B10、D11、B12、C13、B14、A15、B16、D17、D．18、C．19、B．20、A．21、C．22、C23、B.24、C【解析】1、试题分析：根据旋转图形可得：AE=CF，从而得出BE+CF=BE+AE=AB，根据旋转图形可得△AED≌△CFD，△BDE≌△ADF，从而得出答案；当EF⊥AD时，点A到线段EF的距离最大. 考点：旋转图形的性质2、试题解析：和均为等边三角形，在与中，，正确..据已知不能推出是中点，即和不垂直，所以错误，故本选项符合题意.是等边三角形，理由如下：在和中，又∵∠ACG=60°是等边三角形，正确.是等边三角形，正确.故选B.3、如图1，AB=AC，AD⊥BC于点D，且AD=BC，则AD=DB=DC，此时∠B=∠C=45°；如图2，AB=BC，AD⊥BC于点D，且AD=BC，所以AD=BC=AB，则∠B=30°，此时底角75°；如图3，AC=BC， AD⊥BC于点D，且AD=BC，所以AD=BC=AC，则∠ACD=30°，所以∠B=15°，即底角为15° .综合以上答案,本题有三种情况：等腰△ABC，AD⊥BC于点D，且AD=BC，则△ABC底角的度数为45°或75°或15°.故选D.点睛：本题考查了30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，等腰三角形的两底角相等的性质，以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，难点在于要根据等腰三角形的三种情况分类讨论．4、利用平行线的性质结合线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质分别判断得出：∵BC=EC，∴∠CEB=∠CBE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，∴∠CEB=∠EBF，∴∠CBE=∠EBF，∴①BE平分∠CBF，正确；∵BC=EC，CF⊥BE，∴∠ECF=∠BCF，∴②CF平分∠DCB，正确；∵DC∥AB，∴∠DCF=∠CFB，∵∠ECF=∠BCF，∴∠CFB=∠BCF，∴BF=BC，∴③正确；∵FB=BC，CF⊥BE，∴B点一定在FC的垂直平分线上，即PB垂直平分FC，∴PF=PC，故④正确．故选：D．5、根据等腰三角形性质求出∠C=∠B，根据三角形的外角性质求出∠B=∠C=∠AED+α﹣30°，根据AE=AD，可得∠AED=∠ADE=∠C+α，得出等式∠AED=∠AED+α﹣30°+α，求出α=15°，即得到∠DEC=α=15°，故选：C.点睛：本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形的外角性质等知识点的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力，本题有一点难度，但题型不错．6、如图，作CD⊥AB，则CD是等边△ABC底边AB上的高，根据等腰三角形的三线合一，可得AD=1，所以，在直角△ADC中，利用勾股定理，可求出CD==，代入面积计算公式，解答出S△ABC=×2×=；故选：C．点睛：本题考查的是等边三角形的性质，熟知等腰三角形“三线合一”的性质是解题的关键．7、延长ED交BC于M，延长AD交BC于N，作DF∥BC，∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴AN⊥BC，BN=CN，∵∠EBC=∠E=60°，∴△BEM为等边三角形，∴△EFD为等边三角形，∵BE=6，DE=2，∴DM=4，∵△BEM为等边三角形，∴∠EMB=60°，∵AN⊥BC，∴∠DNM=90°，∴∠NDM=30°，∴NM=2，∴BN=4，∴BC=2BN=8．故选B.点睛：本题主要考查了等腰三角形的性质、等边三角形的性质和30°直角三角形的性质，正确作出辅助线，求得MN的长是解决问题的关键．8、第一次折叠后，等腰三角形的底边长为1，腰长为；第一次折叠后，等腰三角形的底边长为，腰长为，所以周长为.故答案为B.9、由等边三角形的性质得，点B，C关于AD对称，连接BE交AD于点P，则EP+CP=BE最小，又BE=AD，所以EP+CP的最小值是3.故选B.点睛：本题主要考查了等边三角形的性质和轴对称的性质，求一条定直线上的一个动点到定直线的同旁的两个定点的距离的最小值，常用的方法是，①确定两个定点中的一个关于定直线的对称点；②连接另一个定点与对称点，与定直线的交点就是两线段和的值最小时，动点的位置.10、∵△ABC与△BDE为等边三角形，∴AB=BC，BD=BE，∠ABC=∠DBE=60°，∴∠ABE=∠CBD，即AB=BC，BD=BE，∠ABE=∠CBD∴△ABE≌△CBD，∴AE=CD，∠BDC=∠AEB，又∵∠DBG=∠FBE=60°，∴△BGD≌△BFE，∴BG=BF，∠BFG=∠BGF=60°，∴△BFG是等边三角形，∴FG∥AD，∵BF=BG，AB=BC，∠ABF=∠CBG=60°，∴△ABF≌△CGB，∴∠BAF=∠BCG，∴∠CAF+∠ACB+∠BCD=∠CAF+∠ACB+∠BAF=60°+60°=120°，∴∠AHC=60°，∵∠FHG+∠FBG=120°+60°=180°，∴B、G、H、F四点共圆，∵FB=GB，∴∠FHB=∠GHB，∴BH平分∠GHF，∴题中①②③④⑤⑥都正确．故选D．点睛：本题主要考查对等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．11、已知，如图，P为等边三角形内任意一点，PD、PE、PF分别是点P到边AB、BC、AC的距离，连接AP、BP、CP，过点A作AH⊥BC于点H，已知等边三角形的边长为3，可求得高线AH=，因S△ABC=BC•AH=AB•PD+BC•PE+AC•PF，所以×3×AH=×3×PD+×3×PE+×3×PF，即可得PD+PE+PF=AH=，即点P到三角形三边距离之和为．故选B.点睛：本题考查了等边三角形的性质，根据三角形的面积求点P到三边的距离之和等于等边三角形的高是解题的关键，作出图形更形象直观．12、根据三角形的全等的知识可以判断①的正误；根据角角之间的数量关系，以及三角形内角和为180°判断②的正误；根据等腰直角三角形的性质可判断③的正误；根据线段垂直平分线的知识可以判断④的正误. 解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∵△BEF是等边三角形，∴BBF，∵在Rt△ABE和Rt△BCF 中，AB=BC，BE=BF，∴Rt△ABE≌△BCF（HL）∴AE=CF，AD=DC，AD-AE=CD-CF，∴DE=DF，∴①正确；∵DE=DF，∴△EDF是等腰直角三角形，∴∠DEF=45°，∵∠BEF=60°，∴∠AEB=75°，∴②正确；∵BE=EF=DE，∴③正确；如图，连接BD，交EF于G点，∴BD⊥EF，且BD平分EF，∵∠CBD≠∠DBF，∴CF≠FG，∴AE+FC≠EF，∴④错误；故选C.“点睛”本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，等边三角形的性质，考本题中求值△ABE≌△BCF是解题的关键.13、解：∵△ABC是等边三角形，且PF∥BC，又∵PE⊥AF，∴AE=EF=AF；（等边三角形三线合一）∵PF∥CQ，∴∠PFD=∠QCD，∠FPD=∠Q；又∵PA=PF=CQ，在△PFD和△QCD中，∴△PFD≌△QCD（AAS）；∴CD=DF=CF；∴DE=DF+FE=（AF+FC）=AC=，故选B．14、试题分析：根据题意可得以为顶角的内角度数为75°，以为顶角的内角度数为×75°，以为顶角的内角度数为×75°，则以为顶角的内角度数为×75°.考点：等腰三角形的性质.15、试题分析：根据等腰三角形的性质分别利用AB为底以及AB为腰得出符合题意的图形即可．解：如图所示，当AB=AF=3，BA=BD=3，AB=AE=3，BG=AG，都能得到符合题意的等腰三角形．故选B．考点：等腰三角形的判定．16、试题分析：根据等腰三角形两底角相等用α表示出∠A1B1O，再根据平角等于180°列式用α表示出θ1，再用θ1表示出θ2，并求出θ2﹣θ1，依此类推求出θ3﹣θ2，…，θ2013﹣θ2012，即可得解．解：∵OA1=OB1，∠AOB=α，∴∠A1B1O=（180°﹣α），∴（180°﹣α）+θ1=180，整理得，θ1=，∵B1B2=B1A2，∠A2B1B2=θ1，∴∠A2B2B1=（180°﹣θ1），∴（180°﹣θ1）+θ2=180°，整理得θ2==，∴θ2﹣θ1=﹣==，同理可求θ3==，∴θ3﹣θ2=﹣==，…，依此类推，θ2016﹣θ2015=．故选D．考点：等腰三角形的性质．17、试题解析：如图1，连接OB，∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=CD，∠BAD=∠BAC=×120°=60°，∴OB=OC，∠ABC=90°-∠BAD=30°∵OP=OC，∴OB=OC=OP，∴∠APO=∠ABO，∠DCO=∠DBO，∴∠APO+∠DCO=∠ABO+∠DBO=∠ABD=30°；故①正确；∵∠APC+∠DCP+∠PBC=180°，∴∠APC+∠DCP=150°，∵∠APO+∠DCO=30°，∴∠OPC+∠OCP=120°，∴∠POC=180°-（∠OPC+∠OCP）=60°，∵OP=OC，∴△OPC是等边三角形；故②正确；如图2，在AC上截取AE=PA，∵∠PAE=180°-∠BAC=60°，∴△APE是等边三角形，∴∠PEA=∠APE=60°，PE=PA，∴∠APO+∠OPE=60°，∵∠OPE+∠CPE=∠CPO=60°，∴∠APO=∠CPE，∵OP=CP，在△OPA和△CPE中，，∴△OPA≌△CPE（SAS），∴AO=CE，∴AC=AE+CE=AO+AP；故③正确；如图3，过点C作CH⊥AB于H，∵∠PAC=∠DAC=60°，AD⊥BC，∴CH=CD，∴S△ABC=AB•CH，S四边形AOCP=S△ACP+S△AOC=AP•CH+OA•CD=AP•CH+OA•CH=CH•（AP+OA）=CH•AC，∴S△ABC=S四边形AOCP；故④正确．故选D．考点：1．等腰三角形的性质；2．线段垂直平分线的性质；3．等边三角形的判定与性质．18、试题分析：∵△A1B1A2是等边三角形，∴A1B1=A2B1，∠3=∠4=∠12=60°，∴∠2=120°，∵∠MON=30°，∴∠1=180°﹣120°﹣30°=30°，又∵∠3=60°，∴∠5=180°﹣60°﹣30°=90°，∵∠MON=∠1=30°，∴OA1=A1B1=1，∴A2B1=1，∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，∴∠11=∠10=60°，∠13=60°，∵∠4=∠12=60°，∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，∴∠1=∠6=∠7=30°，∠5=∠8=90°，∴A2B2=2B1A2，B3A3=2B2A3，∴A3B3=4B1A2=4，A4B4=8B1A2=8，A5B5=16B1A2=16，以此类推：△A2015B2015A2016的边长为 22014．故选C．考点：1．等边三角形的性质；2．规律型．19、试题解析：如图：∵∠ABC是△BHE的外角，∴∠E+∠H=∠ABC，∵∠ABC=2∠E，∠ACB=2∠D，∠A=∠D，则：5∠A=180°，∠A=36°，∠ABC=72°．∴AB=÷cos72°=2，∴AB+BE+EF+FH+HK+KJ+JG+GD+DC+CA=20m=2000cm，则需安装闪光灯：2000÷25=80盏．故选B．考点：1．解直角三角形；2．三角形内角和定理．20、试题分析：先根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C，∠E=∠F，再利用三角形内角和得到∠A+∠D=180°，则sinA=sinD，然后根据三角形面积公式得到S△BAC=sinA，S△EDF=2sinD，再计算它们的比值．试题解析：∵△ABC与△DEF都是等腰三角形，∴∠B=∠C，∠E=∠F，∵∠B+∠E=90°，∴∠A+∠D=180°，∴sinA=sinD，△ABC中AB边上的高= ACsin∠A△DEF中DE边上的高= DFsin∠D∵S△BAC=AB•ACsin∠A=sinA，S△EDF=DE•DFsin∠D=2sinD，∴S△BAC：S△EDF=：2=9：4．故选A．考点：1．解直角三角形；2．等腰三角形的性质．21、试题分析：由AE和CE的长可求出AC的长，因为△ABC是等腰三角形，所以AB=AC，若要求AF 的长，可求出BF的长即可．而通过证明△DBF∽△DCE即可求出BF的长，问题得解．试题解析：∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵∠BFD=180°-∠B-∠FDB，∠EDC=180°-∠FDE-∠FDB，又∵∠FDE=∠B，∴∠BFD=∠EDC，∴△DBF∽△DCE，∴BD：CE=BF：CD，∵BD=2，CD=3，CE=4，∴2：4=BF：3，∴BF=1．5，∵AC=AE+CE=+4=5．5，∴AB=5．5，∴AF=AB-BF=5．5-1．5=4，故选C．考点：1．相似三角形的判定与性质；2．等腰三角形的性质．22、试题分析：连接AC交BD与点O，根据正方形的性质可得：AC⊥BD，AC=BD=4，BO=2，然后根据角平分线的性质得出EF=EO，然后根据Rt△BEF的勾股定理求出答案.考点：(1)、正方形的性质；(2)、勾股定理23、试题分析：①连接CD；∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠DCB=∠A=45°，CD=AD=DB；∵AE=CF，∴△ADE≌△CDF；∴ED=DF，∠CDF=∠EDA；∵∠ADE+∠EDC=90°，∴∠EDC+∠CDF=∠EDF=90°，∴△DFE是等腰直角三角形．故此选项正确；②当E、F分别为AC、BC中点时，四边形CDFE是正方形，故此选项错误；③如图2所示，分别过点D，作DM⊥AC，DN⊥BC，于点M，N，可以利用割补法可知四边形CEDF的面积等于正方形CMDN面积，故面积保持不变；故此选项错误；④△DEF是等腰直角三角形，DE=EF，当EF∥AB时，∵AE=CF，∴E，F分别是AC，BC的中点，故EF是△ABC的中位线，∴EF取最小值，∵CE=CF=2，∴此时点C到线段EF的最大距离为EF=．故此选项正确；故正确的有2个，故选：B．考点: 1.全等三角形的判定与性质；2.等腰直角三角形．24、∠BCA+∠ACE=∠DCE+∠ACE,，AC=BC,CE=CD,,所以AD=BE,A正确.过C，作CH,CI分别垂直BE,AD,所以CH=CI,所以CO平分∠BOD.B正确．证明由∠CAD=∠FBC,BC=AC,∠ACF=60°，∠ABG=∠ACB,是等边三角形，易得，FG∥BC，D正确.所以选C。
八年级数学等腰三角形应用(习题及答案)
等腰三角形应用（习题）例题示范例1：已知：如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，BD =CD ，E ，F 分别为AB ，AC 边上的点，BE =CF ． 求证：DE =DF ． 【思路分析】 ①读题标注：②梳理思路：要证DE =DF ，考虑把这两条线段放在两个三角形中证全等．观察图形，可以放在△BDE 和△CDF 中，发现有两边对应相等，考虑找夹角． 结合题中条件，AD 既是角平分线又是中线，三线中有两线重合，考虑证明△ABC是等腰三角形，需利用倍长中线进行证明（见中线，要倍长），进而得到∠B =∠C ，再证明△BDE ≌△CDF 即可． 【过程书写】证明：如图，延长AD 到点G ，使DG =AD ，连接CG ． ∵BD =CD ，∠ADB =∠GDC∴△ADB ≌△GDC （SAS ） ∴AB =GC ，∠1=∠G ∵AD 平分∠BAC ∴∠1=∠2∴∠2=∠G∴AC =GC ∴AB =AC∴∠B =∠ACD ∵BE =CF∴△BDE ≌△CDF （SAS ） ∴DE =DFE ACD F巩固练习1. 已知：如图，P 是∠AOB 平分线上的一点，PC ⊥OA ，PD ⊥OB ，垂足分别为C ，D ，连接CD ．求证：OP 是CD 的垂直平分线．2. 已知：如图，△ABC 的外角∠CBD 和∠BCE 的平分线相交于点F ． 求证：点F 在∠DAE 的平分线上．3. 已知，如图，在△ABC 中，AB >AC ，AD 平分∠BAC ，CD ⊥AD 于点D ． 求证：∠2=∠1+∠B ．P O DCBAFED CBA21DCA4. 已知：如图，在等边三角形ABC 中，D 是AC 的中点，E 是BC 延长线上一点，CE =CD ，DM ⊥BC ，垂足为M ．求证：BM =EM ．5. 已知：如图，在△ABC 和△DBC 中，∠1=∠2，∠3=∠4，E 是BC 上一点，连接AD ，AE ，DE ．求证：∠EAD =∠EDA ．6. 在已知直线l 上找一点C ，和直线外的A ，B 两点组成一个等腰三角形．一共可以画出几个符合条件的等腰三角形？请你在直线l 上找出所有符合条件M DC B A 4321E DCB A的点C．思考小结1.要证两条线段相等，如果放在一个三角形中考虑证________；如果放在两个三角形中考虑证全等．2.常见的条件组合搭配：线段垂直平分线上的点到__________________角平分线上的点到______________________________________________________构造是直角三角形斜边上的中线__________________【参考答案】1.证明略（提示：利用等腰△CDP三线合一）2.证明略（提示：作射线AF，过F作FH⊥AD于H，作FM⊥BC于M，作FG⊥AE于G，利用角平分线定理②证明AF平分∠DAE）3.证明略（提示：利用两线重合构造等腰三角形，然后利用外角定理倒角）4.证明略（提示：连接BD，证明△BDE是等腰三角形）5.证明略（提示：证明△ABC≌△DBC，说明直线BC是线段AD的垂直平分线，进而得到EA=ED，∠EAD=∠EDA）6.5个，作图略（两圆一线）思考小结1. 等腰2. 这条线段两个端点的距离相等这个角的两边的距离相等三线合一等腰三角形斜边的一半等于斜边的一半。
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第2题A C B 练习
A 组
1、已知：在△ABC 中，AB=AC ，∠B=70°，求∠A 、∠C 的度数。
解：∵AB=AC ，∠B=70°
∴∠ =∠ =
（等边对 ）
∵∠A+∠ +∠ =180°
∴∠A=180°- - =
答：∠A 的度数为 ，∠C 的度数为
思考：若将∠B=70°改为∠B=90°或∠B=100°时∠A 、∠C 的度数为多少？ 答：
2、已知：在△ABC 中，AB=AC ，∠A=80°，求∠B 、∠C 的度数。
解：∵AB=AC ，∠A=80°
∴∠ =∠ =
答：∠B 的度数为 ，∠C 的度数为 ；
说明：完成第1、2小题后，让学生对比，两题的的特点，第1小题是已知底角求顶角，第2小题已知顶角求底角。
知识应用 A 组
1、在△ABC 中，
∵∠A ＝70°，∠B ＝55°，∠C ＝55°，
∴∠ ＝∠ ，
则AB ＝
（ ）
∴△ABC 是 三角形
2、在△ABC 中，
∵∠A＝70°，∠B＝40°，
∴∠C＝70°
∴∠＝∠，
∴AB＝
（）
3、在△ABC中，
∵AB＝BC，∠B＝90°，
∴∠＝∠= 度
（）
4. 在△ABC中，已知∠A＝40°，∠B＝70°，判断△ABC是什么三角形。
你的理由是什么？
解：∵在△ABC中，
∠A+∠B+∠C＝
∴∠C＝－－＝
∴∠＝∠
∴＝
（）
∴△ABC是三角形
、在△ABC中，
∵∠B＝∠C，且∠B＝60°
∴∠C＝，∠A＝
∴
∴△ABC是三角形
B组
6、△ABC中，∠C＝∠B，∠A＝2∠B，请你判断△ABC是什么三角形
解：∵△ABC中，∠B＝∠C
∴＝
（）
∴△ABC是三角形
又∵∠A+∠B+∠C＝
∠C＝∠B，∠A＝2∠B
设∠B为x度，则∠C= 度；∠A= 度
∴+ + =180
∴＝180
∴x＝
即：∠B= ；∠C= ；∠A=
∴△ABC是三角形
7、等腰三角形ABC中，AB=AC，BE、CD分别是∠ABC、
∠ACB的角平分线，且BE与CD交于O点，那么你能判断△OBC是什么三角形吗？
解：∵△ABC是等腰三角形，AB=AC
∴∠＝∠（）
∵BE、CD分别是∠ABC、∠ACB的角平分线
∴∠EBC＝1 2
∠DCB＝1 2
∴∠＝∠
∴＝
（）
∴△OBC是三角形
8、△ABC中，∠A＝20°，∠B＝40°，∠C＝120°，你能把它分成两个等腰三角形吗？画出来试试看。
A B
C 组（选做题）
9、在△ABC 中，BE 、CD 分别是∠ABC 、∠ACB 的角平分线，且BO 与CO 交于O 点，，过点OE 作
DE ∥BC 交AB 于点D ，AC 于点E ；
（1）当AB=AC ，图中有多少个等腰三角形？
（2）当AB ≠AC ，图中有多少个等腰三角形？
1 10、在△ABC 中，AB=AC=BC ，在△ABC 所在的平面上找点P ，使得⊿P AB 、⊿PBC 、⊿PCA 都是等腰三角形。
这样的点有多少个，请在图上把它们的大致位置画出来。
【错题的估计和采集】：
错例1：等腰三角形ABC 中，AB=AC ，BE 、CD 分别是∠ABC 、∠ACB 的角平分线，且BE 与CD 交于O 点，那么你能判断△OBC 是什么三角形吗？ 解： ∵△ABC 是等腰三角形，AB=AC
∴∠ ＝∠ （ ）
∵BE 、CD 分别是∠ABC 、∠ACB 的角平分线
∴∠EBC ＝
12
∠DCB ＝12 ∴ ∠ ＝ ∠
∴＝
（误填写：等边对等角）
∴△OBC是三角形
原因分析：
本题即要用到“等边对等角”，又要用到“等角对等边”学生在解题分不清什么时候用到“等边对等角”，什么时候用到“等角对等边”；
策略分析：
要求学生明确“等边对等角”，是指当有两边相等时所对两个角相等，“等角对等边”是指当有两个角相等时所对的两边也相等；
错例2：△ABC中，∠A＝20°，∠B＝40°，∠C＝120°，你能把它分成两个等腰三角形吗？画出来试试看。
错误解法：
原因分析：
学生只考虑一种情况，忽略其他解；
策略分析：
画图分析；
3、已知：在△ABC中，AB=AC=BC（等边三角形），∠A=60°，
则∠B= °，∠C= °
4、在△ABC中，AB=AC，∠A=60°则△ABC有条对称轴
5、等腰三角形的周长是16cm，其中一边长是6cm，则另两边的长是：
cm；
B组（要求有一定能力的学生必做）
6、如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC边上的中点，∠B=30°求∠1和∠ADC的度数。
解：在△ABC中
∵AB=AC
∴∠C=∠=
又∵AD是△ABC的中线
∴AD是△ABC的线、AD是△ABC 的线
（三线合一）
∴∠1 ∠2，∠ADC=
∵∠BAC+∠+∠=180°
∴∠BAC=180°－∠－∠
=180°――=
∴∠1= ；
答：∠1= ，∠ADC=
7、如图：已知在在△ABC中，AB=AC，
∠ACD=112°，求△ABC各内角的度数。
8、在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC，垂足是D，∠A=40度，求
D A ∠DBC ；
9、瓦工师傅盖房时，看房梁是否水平，有时就用一块等 腰三角板放在梁上（如图），从顶点系一重物，如果系重物的绳子正好经过三角板底边的中点，房梁就是水平的，为什么？
C 组（选做题）
10、在等腰三角形ABC 中，∠A 满足下列条件，求∠B 、∠C 度数。
（1）∠A=40度， （2）∠A=100度；
分析：等腰三角形的内角分为底角和顶角两种，在没有明确说明时，需分类讨论，但由于两底角和不能大于180度，所以当∠A=100度不能作为底角。
11、在等腰三角形ABC 中，与∠A 相邻的外角∠DAC 等于满足下列条件，求求∠B 、∠C 度数
（1）∠DAC=50度， （2）∠DAC=110度；
分析：此题与第8小题类似，需讨论所给的角是与顶角相邻的外角呢？还是与底角相邻的外角？
12、等腰三角形一腰上的高与腰的夹角为50度，求顶角的度数。
错例2：在△ABC 中，AB=AC ，BD ⊥AC ，垂足是D ，∠A=40度，求∠DBC ； 错误解法：
∵在△ABC 中，AB=AC ，∠A=40度∠A=40度
∴∠ABC=（180°－40°）÷2=70°
又∵BD ⊥AC ，垂足是D
∴∠DBC=12ABC ∠=35°（三线合一） 第8小题 第9小题
原因分析：
“三线合一”的误用
策略分析：
在“三线合一”性质学习中，增加这样练习“在△ABC AB=AC ，画△ABC 的AC 边上的高线BM 、中线BN 、∠ABC 的角 平分线BH ”，思考，此时三线能否合一吗？教学中引导学生讨论、
分析，明确什么情况下的三线能合一，加深学生对“三线合一”性质的理解。
错例3：等腰三角形一腰上的高与腰的夹角为50度，求顶角的度数。
错误解法：
∵等腰三角形一腰上的高与腰的夹角为50度
∴底角为40度，
∴顶角=180度-40度-40度=100度；
原因分析：
学生解题时只考虑锐角三角形，，只记住三角形的高在三角形内部，忽略三角形的高可能在三角形的边上或外部的情况。
策略分析：
教学中引导学生画出图形分析，明确三角形可能是锐角三角形，也可能是直角三角形，或钝角三角形。