2019-2020年高中数学第四章4.2.3导数的运算法则当堂检测湘教版选修2-2
2019_2020学年高中数学第4章导数及其应用章末复习提升课学案湘教版选修2_2
利用导数研究函数的单调区间[学生用书 P24] 应用导数求函数的单调区间的步骤：
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(1)确定函数的定义域；
(2)求导数 f′(x)；
(3)解不等式 f′(x)>0 或 f′(x)<0；
(4)确定并指出函数的单调增区间、减区间．
(2)f′(x)＝6－
，令 f′(x)＝0，即
＝6，
（3x＋5）2
（3x＋5）2
解得 x＝5，x＝－25(舍去)． 3
当 0≤x<5 时，f′(x)<0；当 5<x≤10 时，f′(x)>0.
故 x＝5 是 f(x)的最小值点，
800 对应的最小值为 f(5)＝6×5＋ ＝70.
15＋5
当隔热层修建 5 cm 厚时，总费用达到最小值 70 万元．
为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热 层．某幢建筑物要建造可使用 20 年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元．该建 筑物每年的能源消耗费用 C(单位：万元)与隔热层厚度 x(单位：cm)满足关系：C(x)＝
k (0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为 8 万元．设 f(x)为隔热层建造费用
1 (3)如果曲线 y＝f(x)的某一切线与直线 y＝－ x＋3 垂直，求切点坐标与切线的方程．
4 【解】 (1)可判定点(2，－6)在曲线 y＝f(x)上． 因为 f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1， 所以 f(x)在点(2，－6)处的切线的斜率为 k＝f′(2)＝13. 所以切线的方程为 y＝13(x－2)＋(－6)，
2019年高中数学第四章4.2.3导数的运算法则当堂检测湘教版选修2-2
4．2.3 导数的运算法则1．下列结论不正确的是( )A ．若y ＝3，则y ′＝0B ．若f (x )＝3x ＋1，则f ′(1)＝3C ．若y ＝－x ＋x ，则y ′＝－12x ＋1D ．若y ＝sin x ＋cos x ，则y ′＝cos x ＋sin x答案 D解析 利用求导公式和导数的加、减运算法则求解．D 项，∵y ＝sin x ＋cos x ， ∴y ′＝(sin x )′＋(cos x )′＝cos x －sin x .2．函数y ＝cos x1－x 的导数是() A.－sin x ＋x sin x－x 2 B.x sin x －sin x －cos x－x 2C.cos x －sin x ＋x sin x －x 2D.cos x －sin x ＋x sin x1－x答案 C解析 y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x 1－x ′＝－sin x －x －cos x －－x 2＝cos x －sin x ＋x sin x－x 2.3．曲线y ＝xx ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为() A ．y ＝2x ＋1 B ．y ＝2x －1C ．y ＝－2x －3D ．y ＝－2x ＋2答案 A 解析 ∵y ′＝x x ＋－x x ＋x ＋2＝2x ＋2，∴k ＝y ′|x ＝－1＝2－1＋2＝2，∴切线方程为y ＋1＝2(x ＋1)，即y ＝2x ＋1.4．直线y ＝12x ＋b 是曲线y ＝ln x (x >0)的一条切线，则实数b ＝________. 答案 ln 2－1解析 设切点为(x 0，y 0)，∵ y ′＝1x ，∴12＝1x 0， ∴x 0＝2，∴y 0＝ln 2，ln 2＝12×2＋b ，∴b ＝ln 2－1. 求函数的导数要准确把函数分割为基本函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导数．在求导过程中，要仔细分析出函数解析式的结构特征，根据导数运算法则，联系基本函数的导数公式．对于不具备导数运算法则结构形式的要进行适当恒等变形，转化为较易求导的结构形式，再求导数，进而解决一些切线斜率、瞬时速度等问题.。
高中数学 第4章 导数及其应用 4.2 导数的运算 4.2.3 导数的运算法则课堂讲义配套课件 湘教版选修2-2
答 利用导数的运算法则．
[预习导引]
1．导数的运算法则
(1)(cf(x))′＝cf′(x)
；
(2)(f(x)
f′(x)＋＋g′(x)
＝
f′(x)－g′(x)
跟踪演练3
已知某运动着的物体的运动方程为s(t)＝
t－1 t2
＋
2t2(位移单位：m，时间单位：s)，求t＝3 s时物体的瞬时速
度．
解 ∵s(t)＝t－t21＋2t2＝tt2－t12＋2t2＝1t －t12＋2t2，
∴s′(t)＝－t12＋2·t13＋4t，
∴s′(3)＝－19＋227＋12＝32273，
即物体在t＝3 s时的瞬时速度为32273 m/s.
再见
编后语
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4．2.3 导数的运算法则
[学习目标]
1．理解函数的和、差、积、商的求导法则．
2．理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公 式和四则运算求简单函数的导数．
3．了解复合函数的概念，理解复合函数的求导法 则．
4．能求简单的复合函数的导数．(仅限于形如f(ax ＋b)的导数)．
高中数学 第4章 导数及其应用 4.3.1 利用导数研究函数的单调性课件 湘教版选修2-2
1．函数的导数与单调性的关系 设函数 y＝f(x)在区间(a，b)内可导． 如果恒有 f′(x)>0，则函数 f(x)在(a，b)内为增加的； 如果恒有 f′(x)<0，则函数 f(x)在(a，b)内为减少的； 如果恒有 f′(x)＝0，则函数 f(x)在(a，b)内为常数函数． 若 f(x)在(a，b)内 f′(x)≥0(或 f′(x)≤0)，则函数 f(x)在(a，b)内仍 是增加的(或减少的)． 2．利用导数的符号判断函数单调性的解题过程中，只能在函数 的定义域内，通过讨论导数的符号，判断函数的单调区间． 3．在对函数划分单调区间时，除了必须确定使导数等于零的点 外，还要注意在定义区间内的不连续点及不可导点．
令 f′(x)<0， 解得13<x<1. 因此 f(x)的单调递减区间是13，1. (2)函数的定义域为(0，＋∞)， 其导数为 f′(x)＝2－1x， 令 f′(x)＝2－1x>0，解得 x>12； 令 f′(x)＝2－1x<0，
解得 0<x<12， 因此12，＋∞为该函数的单调递增区间，0，12为该函数的单调 递减区间．
(2)f′(x)＝3x2－a.
①当 a≤0 时，f′(x)≥0，无减区间，不满足条件．
②当 a>0 时，令 3x2－a＝0，得 x＝± 33a；
当－
3a 3 <x<
33a时，f′(x)<0.
因此 f(x)在－
33a，
2019年高中数学湘教版选修2-2讲义+精练：第4章4.2导数的运算含解析
4．2导数的运算[读教材·填要点] 1．求导公式(1)几个幂函数的导数：(2)基本初等函数的导数公式：2．求导法则(1)(cf(x))′＝cf′(x)；(2)(f (x )＋g (x ))′＝f ′(x )＋g ′(x )， (f (x )－g (x ))′＝f ′(x )－g ′(x )； (3)(f (x )g (x ))′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (4)⎝⎛⎭⎫1f (x )′＝－f ′(x )(f (x ))2(f (x )≠0)； (5)⎝⎛⎭⎫g (x )f (x )′＝f (x )g ′(x )－g (x )f ′(x )(f (x ))2(f (x )≠0)； (6)若y ＝f (u )，u ＝g (x )，则y x ′＝y u ′·u x ′.[小问题·大思维]1．下面的计算过程正确吗？⎝⎛⎭⎫sin π4′＝cos π4＝22. 提示：不正确．因为sin π4＝22是一个常数，而常数的导数为零，所以⎝⎛⎭⎫sin π4′＝0. 若函数f (x )＝sin x ，则f ′⎝⎛⎭⎫π4＝22.2．若f (x )，g (x )都是可导函数，且f (x )≠0，那么下列关系式成立吗？ (1)[af (x )＋bg (x )]′＝af ′(x )＋bg ′(x )(a ，b 为常数)； (2)⎣⎡⎦⎤a f (x )′＝－af ′(x )[f (x )]2(a 为常数)． 提示：由导数的运算法则可知，这两个关系式都正确． 3．函数y ＝ln(2x ＋1)的导函数是什么？提示：y ＝ln(2x ＋1)是由函数y ＝ln u 和u ＝2x ＋1复合而成的， ∴y x ′＝y u ′·u x ′＝1u ·(2x ＋1)′＝2u ＝22x ＋1.求下列函数的导数：(1)y ＝10x ；(2)y ＝lg x －1x 2；(3)y ＝log 12x ；(4)y ＝4x 3；(5)y ＝⎝⎛⎭⎫sin x 2＋cos x 22－1. [自主解答] (1)y ′＝(10x )′＝10x ln 10.(2)y ′＝⎝⎛⎭⎫lg x －1x 2′＝(lg x )′－⎝⎛⎭⎫1x 2′＝1x ln 10＋2x 3. (3)y ′＝(log 12x )′＝1x ln12＝－1x ln 2.(4)y ′＝(4x 3)′＝(x 34)′＝34x －14＝3 44x.(5)∵y ＝⎝⎛⎭⎫sin x 2＋cos x22－1 ＝sin 2x 2＋2sin x 2cos x 2＋cos 2x2－1＝sin x ，∴y ′＝(sin x )′＝cos x .求简单函数的导函数有两种基本方法 (1)用导数的定义求导，但运算比较繁杂；(2)用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度．解题时根据所给问题的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式．1．求下列函数的导数： (1)y ＝⎝⎛⎭⎫1e x； (2)y ＝⎝⎛⎭⎫110x ；(3)y ＝lg 5；(4)y ＝3lg 3x ； (5)y ＝2cos 2x2－1.解：(1)y ′＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1e x ′＝⎝⎛⎭⎫1e x ln 1e ＝－1e x ＝－e －x . (2)y ′＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫110x ′＝⎝⎛⎭⎫110x ln 110＝－ln 1010x＝－10－x ln 10.(3)∵y ＝lg 5是常数函数， ∴y ′＝(lg 5)′＝0. (4)∵y ＝3lg 3x ＝lg x ， ∴y ′＝(lg x )′＝1x ln 10. (5)∵y ＝2cos 2x2－1＝cos x ，∴y ′＝(cos x )′＝－sin x .求下列函数的导数．(1)y ＝x ·tan x ；(2)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)； (3)y ＝x ＋3x 2＋3；(4)y ＝x sin x －2cos x ； (5)y ＝e 3x ；(6)y ＝5log 2(2x ＋1)．[自主解答] (1)y ′＝(x ·tan x )′＝⎝⎛⎭⎫x sin x cos x ′ ＝(x sin x )′cos x －x sin x (cos x )′cos 2x＝(sin x ＋x cos x )cos x ＋x sin 2x cos 2x ＝sin x cos x ＋x cos 2x .(2)∵(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)＝(x 2＋3x ＋2)(x ＋3) ＝x 3＋6x 2＋11x ＋6，∴y ′＝[(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)]′＝(x 3＋6x 2＋11x ＋6)′ ＝3x 2＋12x ＋11.(3)y ′＝(x ＋3)′(x 2＋3)－(x ＋3)(x 2＋3)′(x 2＋3)2＝－x 2－6x ＋3(x 2＋3)2.(4)y ′＝(x sin x )′－⎝⎛⎭⎫2cos x ′＝sin x ＋x cos x －2sin xcos 2x . (5)函数y ＝e 3x 可以看成函数y ＝e u 和函数u ＝3x 的复合函数． ∴y x ′＝y u ′·u x ′＝(e u )′·(3x )′＝3e u ＝3e 3x .(6)函数y ＝5log 2(2x ＋1)可以看成函数y ＝5log 2u 和函数u ＝2x ＋1的复合函数． ∴y x ′＝y u ′·u x ′＝5(log 2u )′·(2x ＋1)′＝10u ln 2＝10(2x ＋1)ln 2.(1)利用函数的和、差、积、商的求导法则求函数的导数时，要分清函数的结构，再利用相应的法则进行求导． (2)遇到函数的表达式是乘积形式或是商的形式，有时先将函数表达式展开或化简，然后再求导．(3)对于简单复合函数的求导，其一般步骤为“分解—求导—回代”，即：①弄清复合关系，将复合函数分解成基本初等函数形式；②利用求导法则分层求导；③最终结果要将中间变量换成自变量．注意不要漏掉第③步回代的过程．2．求下列函数的导数：(1)y ＝2x cos x －3x log 2x ；(2)y ＝(2x 2＋3)(3x －2)； (3)y ＝e x ＋1e x －1；(4)y ＝(x －1)2x ；(5)y ＝1(1＋3x )4；(6)y ＝x ·e －x . 解：(1)y ′＝(2x cos x －3x log 2x )′＝(2x )′cos x ＋2x (cos x )′－3[x ′log 2x ＋x (log 2x )′] ＝2x ln 2cos x －2x sin x －3(log 2x ＋x ·1x ln 2)＝2x ln 2cos x －2x sin x －3log 2x －3ln 2. (2)法一：y ′＝(2x 2＋3)′(3x －2)＋(2x 2＋3)(3x －2)′＝4x (3x －2)＋(2x 2＋3)·3 ＝18x 2－8x ＋9.法二：∵y ＝(2x 2＋3)(3x －2)＝6x 3－4x 2＋9x －6， ∴y ′＝18x 2－8x ＋9.(3)y ′＝(e x ＋1)′(e x －1)－(e x ＋1)(e x －1)′(e x －1)2＝－2e x (e x －1)2.(4)法一：y ′＝[(x －1)2]′x －(x －1)2·x ′x 2＝(x 2－2x ＋1)′x －(x －1)2x 2＝(2x －2)x －(x －1)2x 2＝1－1x2.法二：∵y ＝x 2－2x ＋1x ＝x －2＋1x ，∴y ′＝1－1x2.(5)函数y ＝1(1＋3x )4＝(1＋3x )－4可以看作函数y ＝t －4和t ＝1＋3x 的复合函数，根据复合函数求导法则可得y x ′＝y t ′·t x ′＝(t －4)′·(1＋3x )′＝(－4t －5)·3＝－12(1＋3x )－5.(6)函数y ＝e－x可以看作函数y ＝e u 和u ＝－x 的复合函数，所以y x ′＝y u ′·u x ′＝(e u )′·(－x )′＝－e u ＝－e －x ， 所以y ′＝(x e －x )′＝x ′e －x ＋x (e －x )′＝e －x ＋x (－e －x )＝(1－x )e －x .“菊花”烟花是最壮观的烟花之一，制造时通常期望它在达到最高点时爆裂．如果烟花距地面的高度h (m)与时间t (s)之间的关系式为h (t )＝－4.9t 2＋14.7t ＋18，求烟花在t ＝2 s 时的瞬时速度，并解释烟花升空后的运动状况．[自主解答] 烟花在t ＝2 s 时的瞬时速度就是h ′(2)． ∵h ′(t )＝－9.8t ＋14.7，∴h ′(2)＝－4.9.即在t ＝2 s 时，烟花正以4.9 m/s 的瞬时速度下降． 如图，结合导数的几何意义，我们可以看出：在t ＝1.5 s 附近曲线比较平坦，也就是说此时烟花的瞬时速度几乎为0，达到最高点并爆裂；在0～1.5 s 之间，曲线在任何点的切线斜率都大于0且切线的倾斜程度越来越小，也就是说烟花在达到最高点前，以越来越小的速度升空；在1.5 s 后，曲线在任何点的切线斜率都小于0且切线的倾斜程度越来越大，即烟花达到最高点后，以越来越大的速度下落，直到落地．解决此类问题，应在熟悉导数的数学意义的同时熟悉导数的物理意义，建立变量之间的表达式是关键．3．某圆柱形容器的底面半径为1 m ，深度为1 m ，盛满液体后以0.01 m 3/s 的速度放出，求液面高度的瞬时变化率．解：设液体放出t s 后的液面高度为h m ， 则由题意得π·12·h ＝π－0.01t ， 化简得h ＝1－0.01πt ， ∴液面高度的瞬时变化率为 h ′＝⎝⎛⎭⎫1－0.01πt ′ ＝－0.01π(m/s)．求抛物线y ＝x 2上的点到直线x －y －2＝0的最短距离．[解] 法一：设直线l ：x －y ＋m ＝0(m ≠－2)与抛物线y ＝x 2相切， 显然直线l 与直线x －y －2＝0平行．依题意知，l 与直线x －y －2＝0间的距离就是要求的最短距离，由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋m ＝0，y ＝x 2，得x 2－x －m ＝0. 由Δ＝1＋4m ＝0，得m ＝－14，∴l 的方程为x －y －14＝0.两平行线间的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪－2＋142＝728.∴抛物线y ＝x 2上的点到直线x －y －2＝0的最短距离为728.法二：依题意知，与直线x －y －2＝0平行的抛物线y ＝x 2的切线的切点到直线x －y －2＝0的距离最短．设切点坐标为(x 0，x 20)．∵y ′＝(x 2)′＝2x ， ∴2x 0＝1，∴x 0＝12.∴切点坐标为⎝⎛⎭⎫12，14.切点到直线x －y －2＝0的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪12－14－22＝728.1．已知函数f (x )＝ax 2＋c ，且f ′(1)＝2，则a 的值为( ) A ．1 B. 2 C ．－1D ．0解析：∵f (x )＝ax 2＋c ，∴f ′(x )＝2ax ， 又∵f ′(1)＝2a ，∴2a ＝2，∴a ＝1. 答案：A2．已知函数f (x )＝x ＋ln x ，则f ′(1)的值为( ) A ．1 B ．2 C ．－1D ．－2解析：∵f ′(x )＝1＋1x ，∴f ′(1)＝2. 答案：B3．下列求导运算正确的是( ) A.⎝⎛⎭⎫x ＋1x ′＝1＋1x 2 B ．(log 2x )′＝1x ln 2C ．(3x )′＝3x log 3eD ．(x 2cos x )′＝－2sin x解析：⎝⎛⎭⎫x ＋1x ′＝x ′＋⎝⎛⎭⎫1x ′＝1－1x 2；(3x )′＝3x ln 3； (x 2cos x )′＝(x 2)′cos x ＋x 2(cos x )′＝2x cos x －x 2sin x . 答案：B4．若函数f (x )＝ln xx ，则f ′(2)＝________. 解析：由f ′(x )＝1－ln x x 2，得f ′(2)＝1－ln 24. 答案：1－ln 245．(全国卷Ⅰ)曲线y ＝x 2＋1x 在点(1,2)处的切线方程为________． 解析：因为y ′＝2x －1x2，所以在点(1,2)处的切线方程的斜率为 y ′|x ＝1＝2×1－1＝1，所以切线方程为 y －2＝x －1，即x －y ＋1＝0. 答案：x －y ＋1＝06．已知函数f (x )＝x ，g (x )＝a ln x ，a ∈R.若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )相交且在交点处有相同的切线，求a 的值及该切线的方程．解：f ′(x )＝12x ，g ′(x )＝a x (x >0)，设两曲线的交点为P (x 0，y 0)， 则⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝a ln x 0，12x 0＝ax 0， 解得a ＝e2，x 0＝e 2，所以两条曲线交点的坐标为(e 2，e)． 切线的斜率为 k ＝f ′(e 2)＝12e，所以切线的方程为y －e ＝12e (x －e 2)，即x －2e y ＋e 2＝0.一、选择题1．若指数函数f (x )＝a x (a >0，a ≠1)满足f ′(1)＝ln 27，则f ′(－1)＝( ) A ．2 B ．ln 3 C.ln 33D ．－ln 3解析：f ′(x )＝a x ln a ，由f ′(1)＝a ln a ＝ln 27， 解得a ＝3，则f ′(x )＝3x ln 3，故f ′(－1)＝ln 33. 答案：C2．某汽车的路程函数是s (t )＝2t 3－12gt 2(g ＝10 m/s 2)，则当t ＝2 s 时，汽车的加速度是( )A ．14 m/s 2B ．4 m/s 2C ．10 m/s 2D ．－4 m/s 2解析：由题意知，汽车的速度函数为v (t )＝s ′(t )＝6t 2－gt ，则v ′(t )＝12t －g ， 故当t ＝2 s 时，汽车的加速度是v ′(2)＝12×2－10＝14 m/s 2. 答案：A3．函数f (x )＝e x sin x 的图象在点(0，f (0))处的切线的倾斜角为( ) A.3π4 B.π3 C.π4 D.π6 解析：因为f ′(x )＝e x sin x ＋e x cos x ，所以f ′(0)＝1， 即曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线的斜率为1， 所以在点(0，f (0))处的切线的倾斜角为π4.答案：C 4．曲线y ＝sin x sin x ＋cos x －12在点M ⎝⎛⎭⎫π4，0处的切线的斜率为( ) A ．－12 B.12C ．－22 D.22解析：y ′＝cos x (sin x ＋cos x )－sin x (cos x －sin x )(sin x ＋cos x )2＝11＋sin 2x， 把x ＝π4代入得导数值为12.答案：B 二、填空题5．已知f (x )＝1x ，g (x )＝mx ，且g ′(2)＝1f ′(2)，则m ＝________.解析：∵f ′(x )＝－1x 2，∴f ′(2)＝－14.又∵g ′(x )＝m ，∴g ′(2)＝m .由g ′(2)＝1f ′(2)，得m ＝－4.答案：－46．设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，且f (e x )＝x ＋e x ，则f ′(1)＝________. 解析：因为f (e x )＝x ＋e x ，所以f (x )＝x ＋ln x (x >0)， 所以f ′(x )＝1＋1x ，所以f ′(1)＝2. 答案：27．已知函数f (x )＝f ′⎝⎛⎭⎫π4cos x ＋sin x ，则f ⎝⎛⎭⎫π4的值为________． 解析：∵f ′(x )＝－f ′⎝⎛⎭⎫π4sin x ＋cos x ，∴f ′⎝⎛⎭⎫π4＝－f ′⎝⎛⎭⎫π4×22＋22，得f ′⎝⎛⎭⎫π4＝2－1. ∴f (x )＝(2－1)cos x ＋sin x ．∴f ⎝⎛⎭⎫π4＝1. 答案：18．设曲线y ＝e ax 在点(0,1)处的切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直，则a ＝________. 解析：∵y ＝e ax 在点(0,1)处的切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直， 又y ′＝a e ax ，∴a ＝2. 答案：2 三、解答题9．求下列函数的导数． (1)y ＝(2 018－8x )8；(2)y ＝2x sin x；(3)y ＝x 1＋x 2；(4)y ＝cos x ·sin 3x . 解：(1)y ′＝8(2 018－8x )7·(2 018－8x )′ ＝－64(2 018－8x )7＝64(8x －2 018)7. (2)y ′＝⎝⎛⎭⎫2x sin x ′＝(2x )′·sin x －2x·(sin x )′(sin x )2＝2x ln 2·sin x －2x ·cos xsin 2x . (3)y ′＝1＋x 2＋x [(1＋x 2) 12]′＝1＋x 2＋x ·12·(1＋x 2) -12 (1＋x 2)′＝1＋x 2＋x ·12·(1＋x 2) -12·2x＝1＋x 2＋x 21＋x 2＝1＋2x 21＋x 2.(4)y ′＝(cos x )′·sin 3x ＋cos x ·(sin 3x )′ ＝－sin x ·sin 3x ＋cos x ·cos 3x ·(3x )′ ＝－sin x ·sin 3x ＋3cos x ·cos 3x .10．已知函数f (x )＝x 3＋(1－a )x 2－a (a ＋2)x ＋b (a ，b ∈R)．(1)若函数f (x )的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a ，b 的值； (2)若曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，求a 的取值范围．解：f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)．(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝b ＝0，f ′(0)＝－a (a ＋2)＝－3， 解得b ＝0，a ＝－3或1.(2)∵曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，∴关于x 的方程f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝4(1－a )2＋12a (a ＋2)＞0，即4a 2＋4a ＋1＞0，∴a ≠－12. ∴a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪⎝⎛⎭⎫－12，＋∞.。
高中数学第四章导数及其应用4.4生活中的优化问题举例当堂检测湘教版选修2-2(2021年整理)
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4。
4 生活中的优化问题举例1．炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时,原油温度(单位：℃）为f(x)＝错误!x3－x2＋8（0≤x≤5)，那么，原油温度的瞬时变化率的最小值是( ）A．8 B.错误! C．－1 D．－8答案C解析原油温度的瞬时变化率为f′(x）＝x2－2x＝（x－1）2－1（0≤x≤5)，所以当x＝1时，原油温度的瞬时变化率取得最小值－1。
2．设底为等边三角形的直三棱柱的体积为V，那么其表面积最小时底面边长为（)A.错误! B。
错误! C。
错误! D．2错误!答案C解析设底面边长为x，则表面积S＝错误!x2＋错误!V(x〉0）．∴S′＝错误!(x3－4V）．令S′＝0,得x＝错误!。
3。
在边长为60 cm的正方形铁皮的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起,做成一个无盖的方底箱子，箱底边长为多少时,箱子容积最大？最大容积是多少？解设箱底边长为x cm，则箱高h＝错误! cm，箱子容积V(x)＝x2h＝60x2－x32(0＜x＜60)．V′(x）＝60x－错误!x2令V′(x）＝60x－错误!x2＝0，解得x＝0(舍去）或x＝40，并求得V（40）＝16 000.由题意知，当x过小（接近0)或过大（接近60)时，箱子容积很小,因此,16 000是最大值．答当x＝40 cm时，箱子容积最大，最大容积是16 000 cm3。
(湘教版)高中数学选修2-2(全册)课时同步练习单元检测题汇总
(湘教版)高中数学选修2 -2 (全册)课时同步练习+单元检测题汇总第4章导数及其应用4．1导数概念4．1.1问题探索- -求自由落体的瞬时速度1．一质点的运动方程是s＝4－2t2 ,那么在时间段[1,1＋d]内相应的平均速度为() A．2d＋4 B．－2d＋4C．2d－4 D．－2d－4答案 D解析v(1 ,d)＝4－2(1＋d)2－4＋2×12d＝－4d＋2d2d＝－2d－4.2．物体位移s与时间t的函数关系为s＝f(t)．以下表达正确的选项是() A．在时间段[t0 ,t0＋d]内的平均速度即是在t0时刻的瞬时速度B．在t1＝1.1 ,t2＝1.01 ,t3＝1.001 ,t4＝1.000 1 ,这四个时刻的速度都与t＝1时刻的速度相等C．在时间段[t0－d ,t0]与[t0 ,t0＋d](d>0)内当d趋于0时,两时间段的平均速度相等D．以上三种说法都不正确答案 C解析两时间段的平均速度都是在t0时刻的瞬时速度．3．s＝12gt2 ,从3秒到3.1秒的平均速度v＝________.答案 3.05g解析v＝12g·3.12－12g·323.1－3＝3.05g.4．如果质点M的运动方程是s＝2t2－2 ,那么在时间段[2,2＋d]内的平均速度是________．答案8＋2d解析v(2 ,d)＝s(2＋d)－s(2)d＝8＋2d.1．平均速度与瞬时速度的区别与联系平均速度是运动物体在某一段时间内位移的平均值,即用时间除位移得到,而瞬时速度是物体在某一时间点的速度,当时间段越来越小的过程中,平均速度就越来越接近一个数值,这个数值就是瞬时速度,可以说,瞬时速度是平均速度在时间间隔无限趋于0时的 "飞跃〞．2．求瞬时速度的一般步骤设物体运动方程为s＝f(t) ,那么求物体在t时刻瞬时速度的步骤为：(1)从t到t＋d这段时间内的平均速度为f(t＋d)－f(t)d,其中f(t＋d)－f(t)称为位移的增量；(2)对上式化简,并令d趋于0 ,得到极限数值即为物体在t时刻的瞬时速度. 4．1.2 问题探索- -求作抛物线的切线1．一物体作匀速圆周运动,其运动到圆周A处时() A．运动方向指向圆心OB．运动方向所在直线与OA垂直C．速度与在圆周其他点处相同D．不确定答案 B2．假设函数f(x)＝2x2－1的图象上的一点(1,1)及邻近一点(1＋d,1＋Δy) ,那么Δy d等于()A．1 B．2＋d C．4＋2d D．4＋d 答案 C解析Δyd＝2(1＋d)2－1－(2×12－1)d＝4＋2d.3．过曲线y＝2x上两点(0,1) ,(1,2)的割线的斜率为________．答案 1解析由平均变化率的几何意义知,k＝2－11－0＝1.4．函数f(x)＝－x2＋x的图象上一点(－1 ,－2)及邻近一点(－1＋d ,－2＋Δy) ,那么Δyd＝________.解析Δy＝f(－1＋d)－f(－1)＝－(－1＋d)2＋(－1＋d)－(－2)＝－d2＋3d.∴Δyd＝－d2＋3dd＝－d＋3.答案－d＋31．求曲线y＝f(x)上一点(x0 ,y0)处切线斜率的步骤(1)作差求函数值增量Δy ,即f(x0＋d)－f(x0)．(2)化简Δyd,用x0与d表示化简结果．(3)令d→0 ,求Δyd的极限即所求切线的斜率．2．过某点的曲线的切线方程要正确区分曲线 "在点(u ,v)处的切线方程〞和 "过点(u ,v)的切线方程〞．前者以点(u,v)为切点,后者点可能在曲线上,也可能不在曲线上,即使在曲线上,也不一定是切点．3．曲线的割线与切线的区别与联系曲线的割线的斜率反映了曲线在这一区间上上升或下降的变化趋势,刻画了曲线在这一区间升降的程度,而曲线的切线是割线与曲线的一交点向另一交点逼近时的一种极限状态,它实现了由割线向切线质的飞跃．4．1.3 导数的概念和几何意义1．f (x )在x ＝x 0处可导 ,那么lim h →0f (x 0＋h )－f (x 0)h( )A ．与x 0、h 都有关B ．仅与x 0有关 ,而与h 无关C ．仅与h 有关 ,而与x 0无关D ．与x 0、h 均无关 答案 B2．假设f (x 0)－f (x 0－d )＝2x 0d ＋d 2 ,以下选项正确的选项是( )A ．f ′(x )＝2B ．f ′(x )＝2x 0C ．f ′(x 0)＝2x 0D ．f ′(x 0)＝d ＋2x 0 答案 C3．函数y ＝f (x )图象如图 ,那么f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是( )A ．f ′(x A )>f ′(xB ) B ．f ′(x A )<f ′(x B )C ．f ′(x A )＝f ′(x B )D ．不能确定 答案 A4．在曲线f (x )＝x 2＋x 上取一点P (1,2) ,那么在区间[1,1＋d ]上的平均变化率为________ ,在点P (1,2)处的导数f ′(1)＝________. 答案 3＋d 31．求导数的步骤主要有三步：(1)求函数值的增量：Δy ＝f (x 0＋d )－f (x 0)； (2)求平均变化率：Δy d ＝f (x 0＋d )－f (x 0)d ；(3)取极限：f ′(x 0)＝Δy d .2．导数的几何意义(1)对于函数y ＝f (x )在x 0处的导数是表示在x 0处函数值变化快慢的一个量 ,其几何意义为在x ＝x 0处的切线的斜率．(2)f ′(x )是指随x 变化 ,过曲线上的点(x ,f (x ))的切线斜率与自变量x 之间的函数.4．2.3 导数的运算法那么1．以下结论不正确的选项是( )A ．假设y ＝3 ,那么y ′＝0B ．假设f (x )＝3x ＋1 ,那么f ′(1)＝3C ．假设y ＝－x ＋x ,那么y ′＝－12x＋1D ．假设y ＝sin x ＋cos x ,那么y ′＝cos x ＋sin x 答案 D解析 利用求导公式和导数的加、减运算法那么求解．D 项 ,∵y ＝sin x ＋cos x ,∴y ′＝(sin x )′＋(cos x )′＝cos x －sin x . 2．函数y ＝cos x1－x的导数是 ( )A.－sin x ＋x sin x (1－x )2B.x sin x －sin x －cos x (1－x )2C.cos x －sin x ＋x sin x (1－x )2D.cos x －sin x ＋x sin x 1－x答案 C解析 y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x 1－x ′＝(－sin x )(1－x )－cos x ·(－1)(1－x )2＝cos x －sin x ＋x sin x(1－x )2.3．曲线y ＝xx ＋2在点(－1 ,－1)处的切线方程为() A．y＝2x＋1 B．y＝2x－1C．y＝－2x－3 D．y＝－2x＋2答案 A解析∵y′＝x′(x＋2)－x(x＋2)′(x＋2)2＝2(x＋2)2,∴k＝y′|x＝－1＝2(－1＋2)2＝2 ,∴切线方程为y＋1＝2(x＋1) ,即y＝2x＋1.4．直线y＝12x＋b是曲线y＝ln x(x>0)的一条切线,那么实数b＝________.答案ln 2－1解析设切点为(x0 ,y0) ,∵y′＝1x,∴12＝1x0,∴x0＝2 ,∴y0＝ln 2 ,ln 2＝12×2＋b ,∴b＝ln 2－1.求函数的导数要准确把函数分割为根本函数的和、差、积、商,再利用运算法那么求导数．在求导过程中,要仔细分析出函数解析式的结构特征,根据导数运算法那么,联系根本函数的导数公式．对于不具备导数运算法那么结构形式的要进行适当恒等变形,转化为较易求导的结构形式,再求导数,进而解决一些切线斜率、瞬时速度等问题.4．2导数的运算4．2.1几个幂函数的导数4．2.2一些初等函数的导数表1．f(x)＝x2 ,那么f′(3)＝() A．0 B．2x C．6 D．9答案 C解析∵f(x)＝x2 ,∴f′(x)＝2x ,∴f′(3)＝6.2．函数f (x )＝x ,那么f ′(3)等于( )A.36B ．0 C.12x D.32答案 A解析 ∵f ′(x )＝(x )′＝12x ,∴f ′(3)＝123＝36.3．设正弦曲线y ＝sin x 上一点P ,以点P 为切点的切线为直线l ,那么直线l 的倾斜角的范围是( )A.⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 π4∪⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫3π4 πB ．[0 ,π)C.⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π4 3π4D.⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 π4∪⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π2 3π4 答案 A解析 ∵(sin x )′＝cos x ,∵k l ＝cos x ,∴－1≤k l ≤1 , ∴αl ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 π4∪⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫3π4 π.4．曲线y ＝e x 在点(2 ,e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为________． 答案12e 2解析 ∵y ′＝(e x )′＝e x ,∴k ＝e 2 ,∴曲线在点(2 ,e 2)处的切线方程为y －e 2＝e 2(x －2) , 即y ＝e 2x －e 2.当x ＝0时 ,y ＝－e 2 ,当y ＝0时 ,x ＝1. ∴S △＝12×1×||－e 2＝12e 2.1．利用常见函数的导数公式可以比拟简捷的求出函数的导数 ,其关键是牢记和运用好导数公式．解题时 ,能认真观察函数的结构特征 ,积极地进行联想化归．2．有些函数可先化简再应用公式求导．如求y ＝1－2sin 2x 2的导数．因为y ＝1－2sin 2x2＝cos x , 所以y ′＝(cos x )′＝－sin x .3．对于正、余弦函数的导数 ,一是注意函数的变化 ,二是注意符号的变化．4.3 导数在研究函数中的应用4．3.1 利用导数研究函数的单调性1．函数f (x )＝x ＋ln x 在(0,6)上是( )A ．单调增函数B ．单调减函数C ．在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0 1e 上是减函数 ,在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1e 6上是增函数D ．在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0 1e 上是增函数 ,在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1e 6上是减函数 答案 A解析 ∵x ∈(0,6)时 ,f ′(x )＝1＋1x ＞0 ,∴函数在(0,6)上单调递增． 2．f ′(x )是函数y ＝f (x )的导函数 ,假设y ＝f ′(x )的图象如以下图 ,那么函数y ＝f (x )的图象可能是( )答案 D解析 由导函数的图象可知 ,当x ＜0时 ,f ′(x )＞0 ,即函数f (x )为增函数；当0＜x ＜2时 ,f ′(x )＜0 ,即f (x )为减函数；当x ＞2时 ,f ′(x )＞0 ,即函数f (x )为增函数．观察选项易知D 正确．3．假设函数f (x )＝x 3－ax 2－x ＋6在(0,1)内单调递减 ,那么实数a 的取值范围是( )A ．[1 ,＋∞)B ．a ＝1C ．(－∞ ,1]D ．(0,1) 答案 A解析∵f′(x)＝3x2－2ax－1 ,又f(x)在(0,1)内单调递减,∴不等式3x2－2ax－1≤0在(0,1)内恒成立,∴f′(0)≤0 ,且f′(1)≤0 ,∴a≥1. 4．函数y＝x2－4x＋a的增区间为________ ,减区间为________．答案(2 ,＋∞)(－∞ ,2)解析y′＝2x－4 ,令y′＞0 ,得x＞2；令y′＜0 ,得x＜2 ,所以y＝x2－4x＋a的增区间为(2 ,＋∞) ,减区间为(－∞ ,2)．1．导数的符号反映了函数在某个区间上的单调性,导数绝|||对值的大小反映了函数在某个区间或某点附近变化的快慢程度．2．利用导数求函数f(x)的单调区间的一般步骤为(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)＞0和f′(x)＜0；(4)根据(3)的结果确定函数f(x)的单调区间．4.3.2函数的极大值和极小值1．以下关于函数的极值的说法正确的选项是() A．导数值为0的点一定是函数的极值点B．函数的极小值一定小于它的极大值C．函数在定义域内有一个极大值和一个极小值D．假设f(x)在(a ,b)内有极值,那么f(x)在(a ,b)内不是单调函数答案 D解析由极值的概念可知只有D正确．2．函数f(x)的定义域为R ,导函数f′(x)的图象如以下图,那么函数f(x)() A．无极大值点,有四个极小值点B．有三个极大值点,两个极小值点C．有两个极大值点,两个极小值点D．有四个极大值点,无极小值点答案 C解析 在x ＝x 0的两侧 ,f ′(x )的符号由正变负 ,那么f (x 0)是极大值；f ′(x )的符号由负变正 ,那么f (x 0)是极小值 ,由图象易知有两个极大值点 ,两个极小值点．3．f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值 ,那么a 的取值范围为( )A ．－1＜a ＜2B ．－3＜a ＜6C ．a ＜－1或a ＞2D ．a ＜－3或a ＞6 答案 D解析 f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋(a ＋6) , 因为f (x )既有极大值又有极小值 , 那么Δ＝(2a )2－4×3×(a ＋6)＞0 , 解得a ＞6或a ＜－3.4．设函数f (x )＝6x 3＋3(a ＋2)x 2＋2ax .假设f (x )的两个极值点为x 1 ,x 2 ,且x 1x 2＝1 ,那么实数a 的值为________． 答案 9解析 f ′(x )＝18x 2＋6(a ＋2)x ＋2a .由f ′(x 1)＝f ′(x 2)＝0 ,从而x 1x 2＝2a18＝1 ,所以a ＝9.1．在极值的定义中 ,取得极值的点称为极值点 ,极值点指的是自变量的值 ,极值指的是函数值．2．函数的极值是函数的局部性质．可导函数f (x )在点x ＝x 0处取得极值的充要条件是f ′(x 0)＝0且在x ＝x 0两侧f ′(x )符号相反．3．利用函数的极值可以确定参数的值 ,解决一些方程的解和图象的交点问题.4.3.3 三次函数的性质：单调区间和极值1．函数f (x )＝－x 2＋4x ＋7 ,在x ∈[3,5]上的最|||大值和最|||小值分别是( )A ．f (2) ,f (3)B ．f (3) ,f (5)C ．f (2) ,f (5)D ．f (5) ,f (3) 答案 B解析 ∵f ′(x )＝－2x ＋4 , ∴当x ∈[3,5]时 ,f ′(x )<0 , 故f (x )在[3,5]上单调递减 ,故f (x )的最|||大值和最|||小值分别是f (3) ,f (5)． 2．函数f (x )＝x 3－3x (|x |＜1)( )A ．有最|||大值 ,但无最|||小值B ．有最|||大值 ,也有最|||小值C ．无最|||大值 ,但有最|||小值D ．既无最|||大值 ,也无最|||小值 答案 D解析 f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1) ,当x ∈(－1,1)时 ,f ′(x )＜0 ,所以f (x ) 在(－1,1)上是单调递减函数 ,无最|||大值和最|||小值 ,应选D. 3．函数y ＝x －sin x ,x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π2 π的最|||大值是 ( )A ．π－1 B.π2－1 C ．π D ．π＋1 答案 C解析 因为y ′＝1－cos x ,当x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π2 π ,时 ,y ′＞0 ,那么函数在区间⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π2 π上为增函数 ,所以y 的最|||大值为y max ＝π－sin π＝π ,应选C. 4．(2021·安徽改编)函数f (x )＝e x sin x 在区间⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 π2上的值域为 ( )A. B.C.D.答案 A解析 f ′(x )＝e x (sin x ＋cos x )． ∵x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 π2 ,f ′(x )＞0.∴f (x )在⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 π2上是单调增函数 , ∴f (x )min ＝f (0)＝0 ,f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝.5．函数f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋k 在区间[－4,4]上的最|||大值为10 ,那么其最|||小值为________． 答案 －71解析 f ′(x )＝3x 2－6x －9＝3(x －3)(x ＋1)． 由f ′(x )＝0得x ＝3或x ＝－1. 又f (－4)＝k －76 ,f (3)＝k －27 , f (－1)＝k ＋5 ,f (4)＝k －20. 由f (x )max ＝k ＋5＝10 ,得k ＝5 , ∴f (x )min ＝k －76＝－71. 1．求函数y ＝f (x )在[a ,b ]上的最|||值(1)极值是局部区间内的函数的最|||值 ,而最|||值是相对整个区间内的最|||大或最|||小值．(2)求最|||值的步骤：①求出函数y ＝f (x )在(a ,b )内的极值；②将函数y ＝f (x )的各极值与端点处的函数值f (a ) ,f (b )比拟 ,其中最|||大的一个是最|||大值 ,最|||小的一个是最|||小值． 2．极值与最|||值的区别和联系(1)函数的极值表示函数在某一点附近的局部性质 ,是在局部对函数值的比拟；函数的最|||值是表示函数在一个区间上的情况 ,是对函数在整个区间上的函数值的比拟．(2)函数的极值不一定是最|||值 ,需要将极值和区间端点的函数值进行比拟 ,或者考查函数在区间内的单调性．(3)如果连续函数在区间(a ,b )内只有一个极值 ,那么极大值就是最|||大值 ,极小值就是最|||小值．(4)可导函数在极值点的导数为零 ,但是导数为零的点不一定是极值点．例如 ,函数y ＝x 3在x ＝0处导数为零 ,但x ＝0不是极值点．4.4生活中的优化问题举例1．炼油厂某分厂将原油精炼为汽油,需对原油进行冷却和加热,如果第x小时,原油温度(单位：℃)为f(x)＝13x3－x2＋8(0≤x≤5) ,那么,原油温度的瞬时变化率的最|||小值是()A．8 B.203C．－1 D．－8答案 C解析原油温度的瞬时变化率为f′(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1(0≤x≤5) ,所以当x＝1时,原油温度的瞬时变化率取得最|||小值－1.2．设底为等边三角形的直三棱柱的体积为V ,那么其外表积最|||小时底面边长为()A.3VB.32VC.34V D．23V答案 C解析设底面边长为x ,那么外表积S＝32x2＋43x V(x>0)．∴S′＝3x2(x3－4V)．令S′＝0 ,得x＝34V.3.在边长为60 cm的正方形铁皮的四角切去相等的正方形,再把它的边沿虚线折起,做成一个无盖的方底箱子,箱底边长为多少时,箱子容积最|||大?最|||大容积是多少?解设箱底边长为x cm ,那么箱高h＝60－x2cm ,箱子容积V(x)＝x2h＝60x2－x32(0＜x＜60)．V′(x)＝60x－32x2令V′(x)＝60x－32x2＝0 ,解得x＝0(舍去)或x＝40 ,并求得V(40)＝16 000.由题意知,当x过小(接近0)或过大(接近60)时,箱子容积很小,因此,16 000是最|||大值．答 当x ＝40 cm 时 ,箱子容积最|||大 ,最|||大容积是16 000 cm 3.4．统计说明：某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y (升)关于行驶速度x (千米/时)的函数解析式可以表示为y ＝1128 000x 3－380x ＋8(0<x ≤120)．甲、乙两地相距100千米 ,当汽车以多大的速度匀速行驶时 ,从甲地到乙地耗油最|||少 ?最|||少为多少升 ?解 当速度为x 千米/时时 ,汽车从甲地到乙地行驶了100x 小时 ,设耗油量为h (x )升 ,依题意得h (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1128 000x 3－380x ＋8×100x ＝11 280x 2＋800x －154(0<x ≤120) ,h ′(x )＝x 640－800x 2＝x 3－803640x 2(0<x ≤120)． 令h ′(x )＝0 ,得x ＝80.因为x ∈(0,80)时 ,h ′(x )<0 ,h (x )是减函数； x ∈(80,120)时 ,h ′(x )>0 ,h (x )是增函数 ,所以当x ＝80时 ,h (x )取得极小值h (80)＝11.25(升)． 因为h (x )在(0,120]上只有一个极小值 ,所以它是最|||小值．答 汽车以80千米/时匀速行驶时 ,从甲地到乙地耗油最|||少 ,最|||少为11.25升．1．解有关函数最|||大值、最|||小值的实际问题 ,在分析问题中的各个变量之间的关系的根底上 ,列出符合题意的函数关系式 ,并确定函数的定义域．注意所求得的结果一定符合问题的实际意义．2．利用导数解决生活中的优化问题时 ,有时会遇到在定义域内只有一个点使f ′(x )＝0 ,如果函数在该点取得极大(小)值 ,极值就是函数的最|||大(小)值 ,因此在求有关实际问题的最|||值时 ,一般不考虑端点．4．5.3 定积分的概念1．定积分⎠⎛011d x 的值等于( )A ．0B ．1 C.12D ．2答案 B2．⎠⎛13f (x )d x ＝56 ,那么 ( )A.⎠⎛12f (x )d x ＝28B.⎠⎛23f (x )d x ＝28C.⎠⎛122f (x )d x ＝56 D.⎠⎛12f (x )d x ＋⎠⎛23f (x )d x ＝56 答案 D3．如以下图 ,⎠⎛a b f 1(x )d x ＝M ,⎠⎛ab f 2(x )d x ＝N ,那么阴影局部的面积为( )A ．M ＋NB ．MC ．ND ．M －N 答案 D4．不用计算 ,根据图形 ,用不等号连接以下各式( )(1)⎠⎛01x d x ________⎠⎛01x 2d x (图1)；(2)⎠⎛01x d x ________⎠⎛12x d x (图2)； (3)⎠⎛024－x 2d x ________⎠⎛022d x (图3)． 答案 (1)> (2)< (3)< 1．定积分可以表示图形的面积从几何上看 ,如果在区间[a ,b ]上 ,函数f (x )连续且恒有f (x )≥0 ,那么定积分⎠⎛a bf (x )d x 就表示由直线x ＝a ,x ＝b (a ≠b ) ,y ＝0和曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积 ,这就是定积分⎠⎛a b f (x )d x 的几何意义．2．定积分表示图形面积的代数和被积函数是正的 ,定积分的值也为正 ,如果被积函数是负的 ,函数曲线在x 轴之下 ,定积分的值就是带负号的曲边梯形的面积．当被积函数在积分区间上有正有负时 ,定积分就是x 轴之上的正的面积与x 轴之下的负的面积的代数和．3．此外 ,定积分还有更多的实际意义 ,比方在物理学中 ,可以用定积分表示功、路程、压力、体积等．4．定积分是一个数值(极限值) ,它的值仅仅取决于被积函数与积分的上、下限 ,而与积分变量用什么字母表示无关 ,即⎠⎛a b f (x )d x ＝⎠⎛a b f (u )d u ＝⎠⎛a b f (t )d t ＝…(称为积分形式的不变性) ,另外定积分⎠⎛a b f (x )d x 与积分区间[a ,b ]息息相关 ,不同的积分区间 ,所得的值也不同 ,例如⎠⎛01(x 2＋1)d x 与⎠⎛03(x 2＋1)d x 的值就不同.4．5.4 微积分根本定理1．(1＋cos x )d x 等于( )A ．πB ．2C ．π－2D ．π＋2 答案 D解析 ∵(x ＋sin x )′＝1＋cos x , ＝π2＋sin π2－⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝π＋2. 2．假设⎠⎛1a ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋1x d x ＝3＋ln 2 ,那么a 的值是( )A ．5B ．4C ．3D ．2 答案 D 解析 ⎠⎛1a ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋1x d x ＝⎠⎛1a 2x d x ＋⎠⎛1a 1xd x ＝x 2|a 1＋ ln x 错误!＝a 2－1＋ln a ＝3＋ln 2 ,解得a ＝2. 3.⎠⎛02⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－23x d x ＝________.答案43解析 ⎠⎛02⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－23x d x ＝⎠⎛02x 2d x －⎠⎛0223x d x＝x 33⎪⎪⎪⎪⎪⎪20－x 2320＝83－43＝43.4．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x －2π0≤x ≤π2cos xπ2<x ≤π ,计算⎠⎛0πf (x )d x .取F 1(x )＝2x 2－2πx ,那么F 1′(x )＝4x －2π； 取F 2(x )＝sin x ,那么F 2′(x )＝cos x . 1．求定积分的一些常用技巧(1)对被积函数 ,要先化简 ,再求积分．(2)假设被积函数是分段函数 ,依据定积分 "对区间的可加性〞 ,分段积分再求和．(3)对于含有绝|||对值符号的被积函数 ,要去掉绝|||对值符号才能积分． 2．由于定积分的值可取正值 ,也可取负值 ,还可以取0 ,而面积是正值 ,因此不要把面积理解为被积函数对应图形在某几个区间上的定积分之和 ,而是在x 轴下方的图形面积要取定积分的相反数．4.5 定积分与微积分根本定理4．5.1 曲边梯形的面积4．5.2 计算变力所做的功1．由直线x ＝1 ,x ＝2 ,y ＝0和y ＝x ＋1围成的图形的面积为( )A.32B ．2 C.52D ．3 答案 C解析 S ＝12(2＋3)×1＝52.2．抛物线y ＝x 2与直线x ＝0 ,x ＝1 ,y ＝0所围成的平面图形的面积为( )A.14B.13C.12D ．1 答案 B3.∑6k ＝1(1k －1k ＋1)＝________.答案 674．和式1p ＋2p ＋3p ＋…＋n pn p ＋1(p ＞0)当n →∞时 ,能无限趋近于一个常数A ,此时 ,A的几何意义是表示由y ＝f (x )和x ＝0 ,x ＝1以及x 轴围成的图形面积 ,根据和式 ,可以确定f (x )＝________. 答案 x p解析 因为1p ＋2p ＋3p ＋…＋n pn p ＋1＝1n ·[(1n )p ＋(2n )p ＋…＋(n n )p ] ,所以当n →∞时 ,和式表示函数f (x )＝x p 和x ＝0 ,x ＝1 ,以及x 轴围成的曲边梯形面积 ,填x p . 1．曲边梯形的面积要求一个曲边梯形的面积 ,不能用已有的面积公式计算 ,为了计算曲边梯形的面积 ,可以将它分割成许多个小曲边梯形 ,每个小曲边梯形用相应的小矩形近似代替 ,对这些近似值求和 ,就得到曲边梯形面积的近似值．当分割无限变细时 ,这个近似值就无限趋近于所求曲边梯形的面积． 2．变力所做的功变力做功的计算和曲边梯形面积的计算所用的方法是一样的 ,仍然是 "化整为零 ,以直代曲〞的策略．虽然它们的意义不同 ,但都可以归纳为求一个特定形式和的极限．通过这两个背景问题 ,能使我们更好地了解定积分的概念．5．3 复数的四那么运算1．假设z －3－2i ＝4＋i ,那么z 等于() A．1＋i B．1－iC．－1－i D．－1－3i答案 B解析z＝(4＋i)－(3＋2i)＝1－3i.2．假设复数z1＝1＋i ,z2＝3－i ,那么z1·z2＝() A．4＋2i B．2＋i C．2＋2i D．3＋i答案 A解析z1·z2＝(1＋i)(3－i)＝4＋2i ,应选A.3．5－(3＋2i)＝________.答案2－2i4．复数11－i的虚部是________．答案1 2解析∵11－i＝1＋i(1－i)(1＋i)＝1＋i2＝12＋12i.∴虚部为12.1．复数代数形式的加、减法运算法那么设z1＝a＋b i ,z2＝c＋d i(a ,b ,c ,d∈R) ,那么有z1±z2＝(a＋b i)±(c＋d i)＝(a±c)＋(b±d)i.即两个复数相加(减) ,就是把实部与实部、虚部与虚局部别相加(减)．2．复数代数形式的乘法运算法那么(1)复数乘法的法那么复数的乘法与多项式的乘法是类似的,但必须在所得的结果中把i2换成－1 ,并且把实部、虚局部别合并．(2)复数乘法的运算律对于任意的z1 ,z2 ,z3∈C ,有z1·z2＝z2·z1(交换律) ,(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)(结合律) ,z1·(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3(乘法对加法的分配律)．3．复数代数形式的除法运算法那么在无理式的除法中 ,利用有理化因式可以进行无理式的除法运算．类似地 ,在复数的除法运算中 ,也存在所谓 "分母实数化〞问题．将商a ＋b ic ＋d i的分子、分母同乘以c －d i ,最|||后结果写成实部、虚局部开的形式：a ＋b ic ＋d i＝(a ＋b i )(c －d i )(c ＋d i )(c －d i )＝(ac ＋bd )＋(－ad ＋bc )i c 2＋d 2＝ac ＋bd c 2＋d 2＋－ad ＋bcc 2＋d 2i 即可.5．4 复数的几何表示1．在复平面内 ,复数z ＝i ＋2i 2对应的点位于( )A ．第|一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 答案 B解析∵z ＝i ＋2i 2＝－2＋i ,∴实部小于0 ,虚部大于0 ,故复数z 对应的点位于第二象限．2．当0<m <1时 ,z ＝(m ＋1)＋(m －1)i 对应的点位于( )A ．第|一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 答案 D解析∵0<m <1 ,∴m ＋1>0 ,－1<m －1<0 ,故对应的点在第四象限内． 3．在复平面内 ,O 为原点 ,向量OA→对应的复数为－1＋2i ,假设点A 关于直线 y ＝－x 的对称点为B ,那么向量OB→对应的复数为( )A ．－2－iB ．－2＋iC ．1＋2iD ．－1＋2i 答案 B解析∵A (－1,2)关于直线y ＝－x 的对称点B (－2,1) ,∴向量OB →对应的复数为－2＋i.4．在复平面内表示复数z ＝(m －3)＋2m i 的点在直线y ＝x 上 ,那么实数m 的值为________． 答案 9解析∵z ＝(m －3)＋2m i 表示的点在直线y ＝x 上 , ∴m －3＝2m ,解之得m ＝9.1．复数的几何意义的理解中需注意的问题 (1)复数的实质是有序实数对．(2)复平面内的纵坐标轴上的单位长度是1 ,而不是i.(3)当a ＝0时 ,对任何b ≠0 ,a ＋b i ＝0＋b i ＝b i(a ,b ∈R )是纯虚数 ,所以纵轴上的点(0 ,b )(b ≠0)都表示纯虚数．(4)复数z ＝a ＋b i(a ,b ∈R )中的z ,书写时应小写 ,复平面内点Z (a ,b )中的Z ,书写时应大写． 2．共轭复数当两个复数的实部相等 ,虚部互为相反数时 ,这两个复数叫做共轭复数． 设复数z ＝a ＋b i(a ,b ∈R ) ,那么其共轭复数z ＝a －b i.虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数．5．1 解方程与数系的扩充5．2 复数的概念1．复数z ＝a 2－(2－b )i 的实部和虚局部别是2和3 ,那么实数a ,b 的值分别是( )A. 2 ,1B. 2 ,5 C ．±2 ,5 D ．±2 ,1 答案 C解析 令⎩⎨⎧a 2＝2－2＋b ＝3 ,得a ＝±2 ,b ＝5.2．以下复数中 ,满足方程x 2＋2＝0的是( )A ．±1B ．±iC ．±2iD ．±2i 答案 C3．以下命题正确的选项是() A．假设a∈R ,那么(a＋1)i是纯虚数B．假设a ,b∈R且a>b ,那么a＋i>b＋iC．假设(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数,那么实数x＝±1D．两个虚数不能比拟大小答案 D解析对于复数a＋b i(a ,b∈R) ,当a＝0且b≠0时为纯虚数．在A中,假设a＝－1 ,那么(a＋1)i不是纯虚数,故A错误；在B中,两个虚数不能比拟大小,故B错误；在C中,假设x＝－1 ,不成立,故C错误；D正确．4．在以下几个命题中,正确命题的个数为()①两个复数相等的一个必要条件是它们的实部相等；②两个复数不相等的一个充分条件是它们的虚部不相等；③1－a i(a∈R)是一个复数；④虚数的平方不小于0；⑤－1的平方根只有一个,即为－i；⑥i是方程x4－1＝0的一个根；⑦2i是一个无理数．A．3个B．4个C．5个D．6个答案 B解析命题①②③⑥正确,④⑤⑦错误．1．对于复数z＝a＋b i(a ,b∈R) ,可以限制a ,b的值得到复数z的不同情况．2．两个复数相等,要先确定两个复数的实、虚部,再利用两个复数相等的条件进行判断.第6章推理与证明6．1合情推理和演绎推理6．1.1 归纳1．关于归纳推理以下说法正确的选项是() A．归纳推理是一般到一般的推理B．归纳推理是一般到特殊的推理C．归纳推理的结论一定是正确的D．归纳推理的结论不一定正确答案 D2．由2＋13＋1＞23,1＋35＋3＞15,3＋0.57＋0.5＞37,运用归纳推理,可猜测出的合理结论是()A.c＋ba＋b>caB.1＋1 n＋1>1nC．假设a ,b ,c∈(0 ,＋∞) ,那么b＋ca＋c ＞b aD．假设a＞b＞0 ,c＞0 ,那么b＋ca＋c ＞b a答案 D3．数列2,5,11,20 ,x,47 ,…中的x等于________．答案324．观察以下不等式：|2＋3|≤|2|＋|3| ,|(－3)＋5|≤|－3|＋|5| ,|－2－3|≤|－2|＋|－3| ,|4＋4|≤|4|＋|4| ,归纳出一般结论为______________________(x ,y∈R)．答案|x＋y|≤|x|＋|y|解析观察易发现：两个实数和的绝|||对值不大于这两个数的绝|||对值的和,即|x＋y|≤|x|＋|y|.1．归纳推理的前提和结论不具有必然性联系,前提正确,其结论不一定正确．结论的正确性还需要理论证明或实践检验．2．归纳推理的特点：(1)归纳推理是由局部到整体、由特殊到一般的推理,因此,由归纳推理得出的结论超越了前提所包容的范围．(2)由归纳推理得到的结论具有猜测的性质,结论不一定真实,因此它不能作为数学证明的工具．(3)归纳推理是一种具有创造性的推理,通过归纳推理得到的猜测可以作为进一步研究的起点,帮助人们发现问题和提出问题.6．1.2类比1．下面几种推理是类比推理的是()①由圆的性质类比出球的有关性质；②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°,归纳出所有三角形的内角和都是180°；③张军某次考试成绩是100分,由此推出全班同学的成绩都是100分；④三角形的内角和为180° ,四边形的内角和为360° ,五边形的内角和为540° ,由此推断出凸n边形内角和是(n－2)×180°.A．①② B．①③ C．① D．②④答案 C2．下面使用类比推理恰当的是() A． "假设a·3＝b·3 ,那么a＝b〞类推出 "假设a·0＝b·0 ,那么a＝b〞B． "(a＋b)c＝ac＋bc〞类推出 "a＋bc＝ac＋bc〞C． "(a＋b)c＝ac＋bc〞类推出 "a＋bc＝ac＋bc(c≠0)〞D． "(ab)n＝a n b n〞类推出 "(a＋b)n＝a n＋b n〞答案 C解析由类比推理的特点可知．3．扇形的弧长为l,半径为r,类比三角形的面积公式S＝底×高2,可推知扇形的面积公式S扇形等于________．答案lr 24．由三角形的性质通过类比推理 ,得到四面体的如下性质：四面体的六个二面角的平分面交于一点 ,且这个点是四面体内切球的球心 ,那么原来三角形的性质为________．答案 三角形三条角平分线交于一点 ,且这个点是三角形内切圆的圆心 解析 二面角类比角 ,平分面类比平分线 ,故原来三角形的性质为三角形三条角平分线交于一点 ,且这个点是三角形内切圆的圆心．1．类比推理是在两个(或两类)不同的对象之间进行比照 ,找出假设干相同或相似点之后 ,推测在其他方面也可以存在相同或相似之处的一种推理模式 ,类比推理所引出的结论并不一定真实．2．类比推理的特点：①类比是从人们已经掌握了的事物的属性推测正在研究中的事物的属性 ,它以旧的认识作根底 ,类比出新的结果．②类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性．③类比的结果是猜测性的 ,尽管不一定可靠 ,但它却具有发现的功能.6.1.3 演绎推理6．1.4 合情推理与演绎推理的关系1．下面几种推理过程是演绎推理的是( )A ．两条直线平行 ,同旁内角互补 ,如果∠A 与∠B 是两条平行直线的同旁内角 ,那么∠A ＋∠B ＝180°B ．某校高三1班有55人 ,2班有54人 ,3班有52人 ,由此得高三所有班人数超过50人C ．由平面三角形的性质 ,推测空间四面体的性质D ．在数列{a n }中 ,a 1＝1 ,a n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a n －1＋1a n －1(n ≥2) ,由此归纳出{a n }的通项公式 答案 A解析 A 是演绎推理 ,B 、D 是归纳推理 ,C 是类比推理． 2． "因为对数函数y ＝log a x 是增函数(大前提) ,又y ＝x 是对数函数(小前提) ,所以y ＝x 是增函数(结论)．〞以下说法正确的选项是( )A．大前提错误导致结论错误B．小前提错误导致结论错误C．推理形式错误导致结论错误D．大前提和小前提都错误导致结论错误答案 A解析y＝log a x是增函数错误．故大前提错．3．把 "函数y＝x2＋x＋1的图象是一条抛物线〞恢复成三段论,那么大前提：________；小前提：________；结论：________.答案二次函数的图象是一条抛物线函数y＝x2＋x＋1是二次函数函数y＝x2＋x＋1的图象是一条抛物线4. "如图,在△ABC中,AC>BC,CD是AB边上的高,求证：∠ACD>BCD〞．证明在△ABC中,因为CD⊥AB ,AC>BC ,①所以AD>BD ,②于是∠ACD>∠BCD.③那么在上面证明的过程中错误的选项是________．(只填序号)答案③解析由AD>BD,得到∠ACD>∠BCD的推理的大前提应是 "在同一三角形中,大边对大角〞,小前提是"AD>BD〞,而AD与BD不在同一三角形中,故③错误．1．演绎推理是从一般性原理出发,推出某个特殊情况的推理方法；只要前提和推理形式正确,通过演绎推理得到的结论一定正确．2．在数学中,证明命题的正确性都要使用演绎推理,推理的一般模式是三段论,证题过程中常省略三段论的大前提．6．2直接证明与间接证明6．2.1直接证明：分析法与综合法1．y>x>0 ,且x＋y＝1 ,那么()A．x<x＋y2<y<2xy B．2xy<x<x＋y2<yC．x<x＋y2<2xy<y D．x<2xy<x＋y2<y答案 D解析∵y>x>0 ,且x＋y＝1 ,∴设y＝34,x＝14,那么x＋y2＝12,2xy＝38,∴x<2xy<x＋y2<y ,应选D.2．欲证2－3<6－7成立,只需证() A．(2－3)2<(6－7)2B．(2－6)2<(3－7)2C．(2＋7)2<(3＋6)2D．(2－3－6)2<(－7)2答案 C解析根据不等式性质,a>b>0时,才有a2>b2 ,∴只需证：2＋7<6＋ 3 ,只需证：(2＋7)2<(3＋6)2.3．求证：1log519＋2log319＋3log219<2.证明因为1log b a＝log a b ,所以左边＝log195＋2log193＋3log192＝log195＋log1932＋log1923＝log19(5×32×23)＝log19360.因为log19360<log19361＝2 ,所以1log519＋2log319＋3log219<2.4．1－tan α2＋tan α＝1 ,求证：cos α－sin α＝3(cos α＋sin α)．证明 要证cos α－sin α＝3(cos α＋sin α) , 只需证cos α－sin αcos α＋sin α＝3 ,只需证1－tan α1＋tan α＝3 ,只需证1－tan α＝3(1＋tan α) ,只需证tan α＝－12 , ∵1－tan α2＋tan α＝1 ,∴1－tan α＝2＋tan α , 即2tan α＝－1.∴tan α＝－12显然成立 , ∴结论得证．1．综合法证题是从条件出发 ,由因导果；分析法是从结论出发 ,执果索因． 2．分析法证题时 ,一定要恰当地运用 "要证〞、 "只需证〞、 "即证〞等词语． 3．在实际证题过程中 ,分析法与综合法是统一运用的 ,把分析法和综合法孤立起来运用是脱离实际的．没有分析就没有综合；没有综合也没有分析．问题仅在于 ,在构建命题的证明路径时 ,有时分析法居主导地位 ,综合法伴随着它；有时却刚刚相反 ,是综合法居主导地位 ,而分析法伴随着它.6.2.2 间接证明：反证法1．证明 "在△ABC 中至|||多有一个直角或钝角〞 ,第|一步应假设( )A ．三角形中至|||少有一个直角或钝角B ．三角形中至|||少有两个直角或钝角C ．三角形中没有直角或钝角D ．三角形中三个角都是直角或钝角 答案 B2．用反证法证明 "三角形中至|||少有一个内角不小于60°〞 ,应先假设这个三角形中( )A ．有一个内角小于60°B ．每一个内角都小于60°C ．有一个内角大于60°D ．每一个内角都大于60°。
2020学年高中数学第4章导数及其应用4.2.3导数的运算法则课件湘教版选修2_2
【解】 (1)y′＝(x5－3x3－5x2＋6)′ ＝(x5)′－(3x3)′－(5x2)′＋6′ ＝5x4－9x2－10x. (2)法一：y′＝(2x2＋3)′(3x－2)＋(2x2＋3)(3x－2)′ ＝4x(3x－2)＋(2x2＋3)·3 ＝18x2－8x＋9. 法二：因为 y＝(2x2＋3)(3x－2) ＝6x3－4x2＋9x－6，所以 y′＝18x2－8x＋9.
1．曲线 y＝－x3＋3x2 在点(1，2)处的切线方程为( )
A．y＝3x－1
B．y＝－3x＋5
C．y＝3x＋5
D．y＝2x
解析：选 A.y′＝－3x2＋6x，当 x＝1 时，切线的斜率 k＝－3×12
＋6×1＝3，故切线方程为 y－2＝3(x－1)，即 y＝3x－1，故选 A.
2．已知函数 f(x)＝(2x＋1)ex，f′(x)为 f(x)的导函数，则 f′(0)的值为 ________． 解析：由题意得 f′(x)＝(2x＋3)ex，则得 f′(0)＝3.
答案：3
3．求下列函数的导数：
(1)y＝ x－ln x；
(2)y＝(x2＋1)(x－1)；
(3)y＝1＋xc2os
x .
解：(1)y′＝( x－ln x)′＝(
x)′－(ln x)′＝21x－1x.
(2)y′＝[(x2＋1)(x－1)]′
＝(x3－x2＋x－1)′＝(x3)′－(x2)′＋(x)′－(1)′
B．2x3－sin x
C．6x2＋sin x
D．6x2－cos x
答案：A
3．设函数 f(x)＝sinx x，f′(x)为函数 f(x)的导函数，则 f′(π)＝
________．
答案：－π1
求导法则的直接运用 求下列函数的导数： (1)y＝x5－3x3－5x2＋6；(2)y＝(2x2＋3)(3x－2)； (3)y＝xx－＋11；(4)y＝x·tan x；(5)y＝lgxx.
高中数学第四章导数及其应用章末质量评估湘教版选修2_2201710183142
第四章导数及其应用章末质量评估(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(每小题5分，共50分)f x0－f x0＋3Δx1．若当Δl x i→m0 ＝1，则f′(x0)等于()．2Δx3 2A. B.2 33 2C．－D．－2 3解析limΔx→0 f x0－f x0＋3Δx2Δxf x0＋3Δx－f x0 3＝－lim 2)Δx→0 ( ·3Δx3 f x0＋3Δx－f x0 3＝－lim ＝－f′(x0)．2 3Δx 2Δx→03 2∴－f′(x0)＝1，∴f′(x0)＝－.2 3答案：D2．(2011·重庆)曲线y＝－x3＋3x2在点(1,2)处的切线方程为()．A．y＝3x－1 B．y＝－3x＋5C．y＝3x＋5 D．y＝2x解析y′＝－3x2＋6x，y′|x＝1＝3，切线方程为y－2＝3(x－1)，即y＝3x－1.答案 A3．函数y＝x cos x－sin x在下面哪个区间内是增函数()．π3πA.( 2 )B.(π，2π)，23π5πC.(D.，2)(2π，3π) 2解析y′＝－x sin x，当x∈(π，2π)时，y′＞0，则函数y＝x cos x－sin x在区间(π，2π)内是增函数．答案 B4．某汽车启动阶段的路程函数为s(t)＝2t3－5t2＋2，则t＝2秒时，汽车的加速度是()．A．14 B．41C．10 D．6解析v(t)＝s′(t)＝6t2－10t.a(t)＝v′(t)＝12t－10.∴当t＝2时，a(2)＝24－10＝14.答案 A5．(1＋cos x)d x等于()．A．πB．2C．π－2 D．π＋2解析(1＋cos x)d x＝(x＋sin x)Error!答案 Dln x6．函数f(x)＝(0<x<10) ()．xA．在(0,10)上是增函数B．在(0,10)上是减函数C．在(0，e)上是增函数，在(e,10)上是减函数D．在(0，e)上是减函数，在(e,10)上是增函数1－ln x解析由f′(x)＝，令f′(x)>0，得0<x<e；x2令f′(x)<0，得e<x<10.答案 C7．函数f(x)的图象如图所示，下列数值排序正确的是()．A．0<f′(2)<f′(3)<f(3)－f(2)B．0<f′(3)<f(3)－f(2)<f′(2)2C．0<f(3)<f′(2)<f(3)－f(2)D．0<f(3)－f(2)<f′(2)<f′(3)解析f′(2)、f′(3)是x分别为2、3时对应图象上点的切线斜率，f(3)－f(2)＝f3－f2，3－2∴f(3)－f(2)为图象上x为2和3对应两点连线的斜率，所以选B.答案：B8．已知直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x＋a)相切，则a的值为()．A．1 B．2C．－1 D．－2解析设切点坐标是(x0，x0＋1)，依题意有Error!由此得x0＋1＝0，x0＝－1，a＝2，选B.答案 B9．已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围为()．A．－1＜a＜2 B．－3＜a＜6C．a＜－1或a＞2 D．a＜－3或a＞6解析f′(x)＝3x2＋2ax＋a＋6，因为f(x)既有极大值又有极小值，所以Δ＞0，即4a2－4×3×(a＋6)＞0，即a2－3a－18＞0，解得a＞6或a＜－3.答案 D10．(2011·全国)曲线y＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形的面积为()．1 1A. B.3 22C. D．13解析y′＝－2e－2x，y′|x＝0＝－2.∴切线方程为y－2＝－2(x－0)，即2x＋y－2＝0.2 2(，，它与y＝x的交点为P3 )31 2 1所以面积S＝×1×＝.2 3 3答案 A3二、填空题(每小题5分，共25分)b211．若∫d x＝6，则b＝________.xeb2解析∫d x＝2ln x Error!＝2ln b－2＝6.xe∴ln b＝4，∴b＝e4.答案e412．过点P(－1,2)且与曲线y＝3x2－4x＋2在点M(1,1)处的切线平行的直线方程是________．解析易求y′＝6x－4，y′|x＝1＝2.∴所求直线的斜率k＝2.∴所求直线的方程为y－2＝2(x＋1)，即2x－y＋4＝0.答案2x－y＋4＝013．要做一个底面为长方形的带盖的箱子，其体积为72 cm3，其底面两邻边长之比为1∶2，则它的长为______，宽为______，高为______时，可使表面积最小．解析设两边分别为x cm、2x cm，高为y cm.72V＝2x2y＝72，y＝，s＝2(2x2＋2xy＋xy)2x2216＝4x2＋6xy＝4x2＋.x216s′＝8x－，令s′＝0，解得x＝3.x23答案 3 m6m m2114．设函数f(x)＝x3－x2－2x＋5，若对任意x∈[－1,2]有f(x)<m成立，则实2数m的取值范围是________．解析由题意知m大于f(x)在x∈[－1,2]上的最大值，求得f(x)max＝f(2)＝7，所以m>7.答案m>715．若曲线f(x)＝ax3＋ln x存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是________．1解析f′(x)＝3ax2＋，∵f(x)存在垂直于y轴的切线，∴f′(x)＝0有解，即3ax2＋x1 1＝0有解，∴3a＝－，而x>0，∴a∈(－∞，0)．x x3答案(－∞，0)三、解答题(本大题共6小题，满分75分)16．(本小题满分13分)已知函数f(x)＝x3－3ax2＋2bx在点x＝1处有极小值－1.4(1)求 a 、b ；(2)求 f (x )的单调区间． 解 (1)由已知，可得f (1)＝1－3a ＋2b ＝－1，①又 f ′(x )＝3x 2－6ax ＋2b ， ∴f ′(1)＝3－6a ＋2b ＝0.② 由①②解得Error!(2)由(1)得函数的解析式为 f (x )＝x 3－x 2－x . 由此得 f ′(x )＝3x 2－2x －1. 根据二次函数的性质， 1当 x <－ 或 x >1时，f ′(x )>0；3 1当－ <x <1时，f ′(x )<0.31因此，在区间(－∞，－3)和(1，＋∞)上，函数 f (x )为增函数；1在区间(－ ，1)上，函数 f (x )为减函数．317．(本小题满分 13分)设 y ＝f (x )是二次函数，方程 f (x )＝0有两个相等的实根，且 f ′(x )＝2x ＋2. (1)求 y ＝f (x )的表达式；(2)求 y ＝f (x )的图象与两坐标轴所围成图形的面积． 解 (1)设 f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则 f ′(x )＝2ax ＋b . 又 f ′(x )＝2x ＋2，所以 a ＝1，b ＝2. 所以 f (x )＝x 2＋2x ＋c .又方程 f (x )＝0有两个相等实根， 即 x 2＋2x ＋c ＝0有两个相等实根，所以 Δ＝4－4c ＝0，即 c ＝1. 故 f (x )＝x 2＋2x ＋1.(2)依题意，所求面积为 S ＝∫(x 2＋2x ＋1)d x ＝－11 Error!－01＝. 318．(本小题满分 13分)1 一物体做变速直线运动，其 v －t 曲线如图所示，求该物体在 s ～6 s 间的运动路程．2 解 v (t )＝Error!5由变速直线运动的路程公式，可得6111136s ＝∫2v (t )d t ＝∫22t d t ＋∫12d t ＋∫d t 3(t ＋1)3149＝t 2Error!＋2t Error!＋(t 2＋t )Error!＝ (m)．6 4 1 49所以物体在 s ～6 s 间的运动路程是 m. 2 419．(本小题满分 12分)(2011·浙江文)设函数 f (x )＝a 2ln x －x 2＋ax ，a >0.①求f (x )的单调区间；②求所有实数 a ，使 e －1≤f (x )≤e 2对 x ∈[1，e]恒成立．解 ①f (x )＝a 2ln x －x 2＋ax ，其中 x >0，a 2 －x －a 2x ＋a 所以 f ′(x )＝ －2x ＋a ＝ . x x由于 a >0，∴由 f ′(x )>0知 0<x <a ， 由 f ′(x )<0知 x >a .所以，f (x )的增区间为(0，a )，减区间为(a ，＋∞)． ②由题意知 f (1)＝a －1≥e －1， 即 a ≥e.由①知 f (x )在[1，e]内递增，要使 e －1≤f (x )≤e 2对 x ∈[1，e]恒成立． 只要Error! ∴a ＝e.20．(本小题满分 12分)已知函数 f (x )＝(x 2＋ax －2a 2＋3a )e x (x ∈R )，其中 a ∈R .(1)当 a ＝0时，求曲线 y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率； 2(2)当 a ≠ 时，求函数 f (x )的单调区间与极值．3解：(1)当 a ＝0时，f (x )＝x 2e x ，f ′(x )＝(x 2＋2x )e x ，故 f ′(1)＝3e.所以曲线 y ＝f (x ) 在点(1，f (1))处的切线的斜率为 3e. (2)f ′(x )＝[x 2＋(a ＋2)x －2a 2＋4a ]e x . 令 f ′(x )＝0，解得 x ＝－2a 或 x ＝a －2. 2由 a ≠ 知，－2a ≠a －2.3 以下分两种情况讨论．2①若 a > ，则－2a <a －2.当 x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：3x (－∞，－2a ) －2a (－2a ，a －2) a －2 (a －2，＋∞)6f′(x) ＋0 －0 ＋f(x) 极大值极小值所以f(x)在(－∞，－2a)，(a－2，＋∞)内是增函数，在(－2a，a－2)内是减函数．函数f(x)在x＝－2a处取得极大值f(－2a)，且f(－2a)＝3a e－2a.函数f(x)在x＝a－2处取得极小值f(a－2)，且f(a－2)＝(4－3a)e a－2.2②若a< ，则－2a>a－2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：3x (－∞，a－2) a－2 (a－2，－2a) －2a (－2a，＋∞) f′(x) ＋0 －0 ＋f(x) 极大值极小值所以f(x)在(－∞，a－2)，(－2a，＋∞)内是增函数，在(a－2，－2a)内是减函数．函数f(x)在x＝a－2处取得极大值f(a－2)，且f(a－2)＝(4－3a)e a－2.函数f(x)在x＝－2a处取得极小值f(－2a)，且f(－2a)＝3a e－2a.21．(本小题满分12分)(2011·辽宁)设f(x)＝x＋ax2＋b ln x，曲线y＝f(x)过点P(1,0)，且在P点处的切线的斜率为2.①求a，b的值；②证明：f(x)≤2x－2.b①解f′(x)＝1＋2ax＋.x由题意知Error!即Error!解得a＝－1，b＝3.②证明由①知f(x)＝x－x2＋3ln x.f(x)的定义域为(0，＋∞)．设g(x)＝f(x)－(2x－2)＝2－x－x2＋3ln x，3 x－12x＋3则g′(x)＝－1－2x＋＝－.x x由g′(x)>0知0<x<1，由g′(x)<0知x>1.所以g(x)在(0,1)内单调递增，在(1，＋∞)内单调递减．所以g(x)在(0，＋∞)上的最大值为g(1)＝0，所以g(x)≤0，即f(x)≤2x－2.7。
高中数学第4章导数及其应用课堂讲义配套课件湘教版选
3．定积分的概念 定积分的思想就是无限分割、以直代曲、求和、取极限；
n
lim∑
n→∞i＝1
(ξi)Δx，而bf(x)dx 只是这种极限的一种记号．
a
4．微积分基本定理
用微积分基本定理求定积分，关键是求一个未知函数，使它
的导数恰好是已知的被积函数．
题型一 应用导数解决与切线相关的问题
根据导数的几何意义，导数就是相应切线 的斜率，从而就可以应用导数解决一些与 切线相关的问题．
③当a＝0时，f′(x)＝3x2≥0，∴函数f(x)的单调区间为 (－∞，＋∞)，即f(x)在R上是递增的． 综上，a>0时，函数f(x)的单调递增区间为－∞，a3， (a，＋∞)，单调递减区间为a3，a. a<0时，函数f(x)的单调递增区间为(－∞，a)， a3，＋∞ ，单 调递减区间为a，a3. a＝0时，函数f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)．
(2)由f′(x)＝1－ax＝x－x a，x＞0. ①当a≤0时，f′(x)＞0，函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，函 数f(x)无极值； ②当a＞0时，由f′(x)＝0，解得x＝a； ∵x∈(0，a)时，f′(x)＜0，x∈(a，＋∞)时，f′(x)＞0 ∴f(x)在x＝a处取得极小值，且极小值为f(a)＝a－aln a，无极 大值． 综上当a≤0时，函数f(x)无极值；当a＞0时，函数f(x)在x＝a处 取得极小值a－aln a，无极大值．
(1)f(x)＝(x－3)ex，x∈(0，＋∞)；
(2)f(x)＝x(x－a)2.
解 (1)f′(x)＝(x－3)′ex＋(x－3)(ex)′＝(x－ 2)ex ， 令 f′(x) ＞ 0 ， 解 得 x ＞ 2 ， 又 x∈(0 ， ＋
(优选)2019年高中数学第四章4.2.3导数的运算法则分层训练湘教版选修2-2
4．2.3 导数的运算法则一、基础达标1．设y ＝－2e xsin x ，则y ′等于( )A ．－2e xcos x B ．－2e xsin xC ．2e xsin x D ．－2e x(sin x ＋cos x )答案 D解析 y ′＝－2(e xsin x ＋e xcos x )＝－2e x(sin x ＋cos x )．2．当函数y ＝x 2＋a 2x(a >0)在x ＝x 0处的导数为0时，那么x 0＝( )A ．aB ．±aC ．－aD ．a 2答案 B解析 y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋a 2x ′＝2x ·x －x 2＋a2x 2＝x 2－a 2x2，由x 20－a 2＝0得x 0＝±a . 3．设曲线y ＝x ＋1x －1在点(3,2)处的切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直，则a 等于 ( )A ．2 B.12 C ．－12 D ．－2答案 D 解析 ∵y ＝x ＋1x －1＝1＋2x －1， ∴y ′＝－2x －2.∴y ′|x ＝3＝－12.∴－a ＝2，即a ＝－2.4．已知曲线y ＝x 3在点P 处的切线斜率为k ，则当k ＝3时的P 点坐标为( )A ．(－2，－8)B ．(－1，－1)或(1,1)C ．(2,8)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－18答案 B解析 y ′＝3x 2，∵k ＝3，∴3x 2＝3，∴x ＝±1， 则P 点坐标为(－1，－1)或(1,1)．5．设函数f (x )＝g (x )＋x 2，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处切线的斜率为________． 答案 4解析 依题意得f ′(x )＝g ′(x )＋2x ，f ′(1)＝g ′(1)＋2＝4.6．已知f (x )＝13x 3＋3xf ′(0)，则f ′(1)＝________.答案 1解析 由于f ′(0)是一常数，所以f ′(x )＝x 2＋3f ′(0)， 令x ＝0，则f ′(0)＝0， ∴f ′(1)＝12＋3f ′(0)＝1. 7．求下列函数的导数：(1)y ＝(2x 2＋3)(3x －1)； (2)y ＝x －sin x 2cos x2.解 (1)法一 y ′＝(2x 2＋3)′(3x －1)＋(2x 2＋3)(3x －1)′＝4x (3x －1)＋ 3(2x 2＋3)＝18x 2－4x ＋9.法二 ∵y ＝(2x 2＋3)(3x －1)＝6x 3－2x 2＋9x －3， ∴y ′＝(6x 3－2x 2＋9x －3)′＝18x 2－4x ＋9.(2)∵y ＝x －sin x 2cos x 2＝x －12sin x ，∴y ′＝x ′－⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ′＝1－12cos x .二、能力提升8．曲线y ＝sin x sin x ＋cos x －12在点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0处的切线的斜率为( )A ．－12 B.12 C ．－22 D.22答案 B解析 y ′＝cos xx ＋cos x －sin xx －sin xx ＋cos x2＝1x ＋cos x2，故y ′|x ＝π4＝12， ∴曲线在点M ⎝⎛⎭⎪⎫π4，0处的切线的斜率为12.9．已知点P 在曲线y ＝4e x＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是 ( )A ．[0，π4)B ．[π4，π2)C ．(π2，3π4]D ．[3π4，π)答案 D 解析 y ′＝－4exx ＋2＝－4e xe 2x ＋2e x＋1，设t ＝e x∈(0，＋∞)，则y ′ ＝－4tt 2＋2t ＋1＝－4t ＋1t＋2，∵t ＋1t ≥2，∴y ′∈[－1,0)，α∈[3π4，π)． 10．(2013·江西)设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，且f (e x )＝x ＋e x，则f ′(1)＝________.答案 2解析 令t ＝e x，则x ＝ln t ，所以函数为f (t )＝ln t ＋t ，即f (x )＝ln x ＋x ，所以f ′(x )＝1x ＋1，即f ′(1)＝11＋1＝2. 11．求过点(2,0)且与曲线y ＝x 3相切的直线方程．解 点(2,0)不在曲线y ＝x 3上，可令切点坐标为(x 0，x 30)．由题意，所求直线方程的斜率k＝x 30－0x 0－2＝y ′|x ＝x 0＝3x 20，即x 30x 0－2＝3x 20，解得x 0＝0或x 0＝3. 当x 0＝0时，得切点坐标是(0,0)，斜率k ＝0，则所求直线方程是y ＝0； 当x 0＝3时，得切点坐标是(3,27)，斜率k ＝27， 则所求直线方程是y －27＝27(x －3)， 即27x －y －54＝0.综上，所求的直线方程为y ＝0或27x －y －54＝0.12．已知曲线f (x )＝x 3－3x ，过点A (0,16)作曲线f (x )的切线，求曲线的切线方程．解 设切点为(x 0，y 0)，则由导数定义得切线的斜率k ＝f ′(x 0)＝3x 20－3， ∴切线方程为y ＝(3x 20－3)x ＋16， 又切点(x 0，y 0)在切线上， ∴y 0＝3(x 20－1)x 0＋16， 即x 30－3x 0＝3(x 20－1)x 0＋16， 解得x 0＝－2，∴切线方程为9x －y ＋16＝0. 三、探究与创新13．设函数f (x )＝ax －b x，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．(1)解 由7x －4y －12＝0得y ＝74x －3.当x ＝2时，y ＝12，∴f (2)＝12，①又f ′(x )＝a ＋b x2， ∴f ′(2)＝74，②由①，②得⎩⎪⎨⎪⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74.解之得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3.故f (x )＝x －3x.(2)证明 设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x2知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0)，即y －⎝⎛⎭⎪⎫x 0－3x 0＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋3x20(x －x 0)． 令x ＝0得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－6x 0.令y ＝x 得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为12⎪⎪⎪⎪⎪⎪－6x 0||2x 0＝6.故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.。
2019年高中数学第4章导数及其应用章末小结讲义(含解析)湘教版选修2_2
第4章导数及其应用1．导数的几何意义导数的几何意义通常是指曲线的切线斜率；导数的物理意义通常是指物体运动的瞬时速度．2．函数的单调性与导数(1)在某个区间内，若f′(x)>0(或f′(x)<0)，则函数f(x)在此区间内为增(或减)函数．(2)利用导数证明函数在某区间上的单调性的关键是设法证明f′(x)>0或f′(x)<0恒成立；利用导数讨论函数的单调区间，则要解不等式f′(x)>0或f′(x)<0.(3)若f(x)为增(或减)函数，则应有f′(x)≥0(或f′(x)≤0)．在已知函数的单调性，利用导数求解相关参数时，要特别关注f′(x)＝0，即f(x)为常数的情况．3．导数与函数的极值、最值(1)函数的极值是一个局部概念，极大值与极小值之间无确定的大小关系，并且函数的极值个数不是确定的，也可能没有极值．而函数的最值表示函数在一个区间上的整体情况，是对函数在整个区间上函数值的比较．(2)可导函数的极值点必是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，即f′(x)＝0是可导函数f(x)在x＝x0处取得极值的必要不充分条件．从而知x0是极值点的充分条件是在x＝x0的两侧导数值异号．(3)一般地，在闭区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值．求最值的关键是比较极值与端点处的函数值的大小．若定义域内只有一个极值点，则这个极值点一定是最值点．4．定积分与微积分基本定理利用微积分基本定理计算定积分，关键是求被积函数的原函数．而求被积函数的原函数和求函数的导函数恰好互为逆运算，要注意它们在计算和求解中的不同，避免混淆．[例1] 已知函数f(x)＝x3＋x－16.(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线方程；(2)直线l 为曲线y ＝f (x )的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标；(3)如果曲线y ＝f (x )的某一切线与直线y ＝－14x ＋3垂直，求切点坐标与切线的方程． [解] (1)可判定点(2，－6)在曲线y ＝f (x )上．∵f ′(x )＝(x 3＋x －16)′＝3x 2＋1，∴f (x )在点(2，－6)处的切线的斜率为 k ＝f ′(2)＝13.∴切线的方程为y ＝13(x －2)＋(－6)，即y ＝13x －32.(2)法一：设切点为(x 0，y 0)，则直线l 的斜率为f ′(x 0)＝3x 20＋1，∴直线l 的方程为y ＝(3x 20＋1)(x －x 0)＋x 30＋x 0－16. 又∵直线l 过点(0,0)，∴0＝(3x 20＋1)(－x 0)＋x 30＋x 0－16.整理得，x 30＝－8，∴x 0＝－2.∴y 0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26. k ＝3×(－2)2＋1＝13.∴直线l 的方程为y ＝13x ，切点坐标为(－2，－26)．法二：设直线l 的方程为y ＝kx ，切点为(x 0，y 0)，则k ＝y 0－0x 0－0＝x 30＋x 0－16x 0， 又∵k ＝f ′(x 0)＝3x 20＋1， ∴x 30＋x 0－16x 0＝3x 20＋1. 解得x 0＝－2，∴y 0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26. k ＝3×(－2)2＋1＝13.∴直线l 的方程为y ＝13x ，切点坐标为(－2，－26)．(3)∵切线与直线y ＝－14x ＋3垂直， ∴切线的斜率k ＝4.设切点坐标为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝3x 20＋1＝4，∴x 0＝±1.∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝1，y 0＝－14或⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝－1，y 0＝－18.。
高中数学第四章导数及其应用4.2导数的运算4.2.3导数的运算法则课件湘教版选修2_2
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4．函数y＝sincxo＋s 2cxos x的导数为________． 解析 ∵y＝csions2xx＋－csoins2xx＝cos x－sin x， ∴y′＝－sin x－cos x.
答案 －sin x－cos x
要点阐释
1．掌握复合函数的求导方法
求复合函数的导数，一般是运用复合函数的求导法 则，将问题转化为基本函数的导数来解决．①分析 清楚复合函数是由哪些基本函数复合而成的，适当 选定中间变量；②分步计算中的每一步都要明确是 对哪个变量求导，而其中特别要注意的是中间变量 的关系；③根据基本函数的求导公式及导数的运算 法则，求出各函数的导数，并把中间变量转换成自 变量的函数；
预习测评
1．已知f(x)＝x3＋3x＋ln 3，则f′(x)为
( )．
A．3x2＋3x C．3x2＋3x·ln 3
B．3x2＋3x·ln 3＋13 D．x3＋3x·ln 3
解析 (ln 3)′＝0，注意避免出现(ln 3)′＝13的错误．
答案 C
2．过 条点 切(线0,为1)作抛物线y＝x2＋x＋1的切线，则其中一
④复合函数的求导过程掌握以后，中间步骤可以省 略，不必再写出函数的复合过程，对于经过多次复 合及四则运算而成的复合函数，可以直接应用公式 和法则，从最外层开始由外及里逐层求导．
2．要注意在两个函数积与商的导数运算中，不能出现
2019-2020学年高中数学 第4章 导数及其应用 4.4 生活中的优化问题举例学案 湘教版2-2
4．4 生活中的优化问题举例1.掌握解决有关函数最大值、最小值的实际问题的方法．2.提高用有关求函数的最大值、最小值的知识解决一些实际问题的能力．1．生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大(小）值的有力工具，运用导数可以解决一些生活中的优化问题．2．解决实际应用问题时,要把问题中所涉及的几个变量转化成函数关系，这需通过分析、联想、抽象和转化完成,函数的最值要由极值和端点的函数值确定，当定义域是开区间,而且其上有唯一的极值，则它就是函数的最值．3．解决优化问题的基本思路上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程．面积、容（体)积有关的最值问题如图，要设计一张矩形广告,该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分）,这两栏的面积之和为18 000 cm2，四周空白的宽度为10 cm,两栏之间的中缝空白的宽度为5 cm。
怎样确定广告的高与宽的尺寸，能使矩形广告的面积最小？【解】设广告的高和宽分别为x cm，y cm,则每栏的高和宽分别为(x－20) cm，错误!cm，其中x＞20，y＞25.两栏面积之和为2（x－20)·错误!＝18 000,由此得y＝错误!＋25.广告的面积S（x）＝xy＝x错误!＝错误!＋25x，S′(x)＝错误!＋25＝错误!＋25.令S′（x）＞0得x＞140，令S′(x）＜0得20＜x＜140.所以函数在（140，＋∞）上单调递增，在（20,140）上单调递减，所以S(x）的最小值为S（140)．当x＝140时,y＝175.即当x＝140，y＝175时，S（x）取得最小值24 500，故当广告的高为140 cm,宽为175 cm时,可使广告的面积最小．解决面积、容积的最值问题的方法解决面积、容积的最值问题，要正确引入变量,将面积或容积表示为变量的函数,结合实际问题的定义域，利用导数求解函数的最值．[注意] (1）在求最值时，往往建立函数关系式，若问题中给出的量较多时,一定要通过建立各个量之间的关系，通过消元法达到建立函数关系式的目的．(2）在列函数关系式时，要注意实际问题中变量的取值范围，即函数的定义域．如图，四边形ABCD是一块边长为4 km的正方形地域，地域内有一条河流MD，其经过的路线是以AB的中点M为顶点且开口向右的抛物线（河流宽度忽略不计)．新长城公司准备投资建一个大型矩形游乐园PQCN，问如何施工才能使游乐园的面积最大？并求出最大面积．解:以M为原点，AB所在直线为y轴建立直角坐标系,则D（4,2）．设抛物线方程为y2＝2px。
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4．2.3 导数的运算法则
1．下列结论不正确的是
( ) A ．若y ＝3，则y ′＝0
B ．若f (x )＝3x ＋1，则f ′(1)＝3
C ．若y ＝－x ＋x ，则y ′＝－1
2x ＋1
D ．若y ＝sin x ＋cos x ，则y ′＝cos x ＋sin x
答案 D
解析 利用求导公式和导数的加、减运算法则求解．D 项，∵y ＝sin x ＋cos x ，
∴y ′＝(sin x )′＋(cos x )′＝cos x －sin x .
2．函数y ＝cos x
1－x 的导数是
( ) A.－sin x ＋x sin x
－x 2 B.x sin x －sin x －cos x
－x 2
C.cos x －sin x ＋x sin x －x 2
D.cos x －sin x ＋x sin x
1－x
答案 C
解析 y ′＝
⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x 1－x ′＝－sin x －x －cos x －
－x 2
＝cos x －sin x ＋x sin x
－x 2.
3．曲线y ＝x
x ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为
( )
A ．y ＝2x ＋1
B ．y ＝2x －1
C ．y ＝－2x －3
D ．y ＝－2x ＋2
答案 A 解析 ∵y ′＝x x ＋－x x ＋x ＋2＝2
x ＋2，
∴k ＝y ′|x ＝－1＝2
－1＋2＝2，
∴切线方程为y ＋1＝2(x ＋1)，即y ＝2x ＋1. 4．直线y ＝1
2x ＋b 是曲线y ＝ln x (x >0)的一条切线，则实数b ＝________.
答案 ln 2－1
解析 设切点为(x 0，y 0)，
∵ y ′＝1x ，∴12＝1x 0
， ∴x 0＝2，∴y 0＝ln 2，ln 2＝12
×2＋b ，∴b ＝ln 2－1.
求函数的导数要准确把函数分割为基本函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导数．在求导过程中，要仔细分析出函数解析式的结构特征，根据导数运算法则，联系基本函数的导数公式．对于不具备导数运算法则结构形式的要进行适当恒等变形，转化为较易求导的结构形式，再求导数，进而解决一些切线斜率、瞬时速度等问题.。