【赢在课堂】高考数学一轮复习 11.2合情推理与演绎推理配套训练理新人教A版

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高考数学(理科)一轮复习合情推理与演绎推理学案附答案

高考数学（理科）一轮复习合情推理与演绎推理学案附答案本资料为woRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址学案37 合情推理与演绎推理导学目标：1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用.2.了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理.3.了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异．自主梳理自我检测．观察′＝2x，′＝4x3，′＝－sinx，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f满足f＝f，记g为f的导函数，则g等于A．fB．－fc．gD．－g2．给出下面类比推理命题：①“若a，b∈R，则a－b＝0⇒a＝b”类比推出“若a，b∈c，则a－b＝0⇒a＝b”；②“若a，b，c，d∈R，则复数a＋bi＝c＋di⇒a ＝c，b＝d”类比推出“若a，b，c，d∈Q，则a＋b2＝c＋d2⇒a＝c，b＝d”；③“若a，b∈R，则a－b>0⇒a>b”类比推出“若a，b∈c，则a－b>0⇒a>b”．其中类比结论正确的个数是A．0B．1c．2D．33．在平面上，若两个正三角形的边长比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1∶2，则它们的体积比为________．4．观察下列等式：13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，…，根据上述规律，第五个等式为________________________________．5．一切奇数都不能被2整除，2100＋1是奇数，所以2100＋1不能被2整除，其演绎推理的“三段论”的形式为___________________________________________．探究点一归纳推理例1 在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an2＋an，n∈N*，猜想这个数列的通项公式，这个猜想正确吗？请说明理由．变式迁移 1 观察：①sin210°＋cos240°＋sin10°cos40°＝34；②sin26°＋cos236°＋sin6°cos36°＝34.由上面两题的结构规律，你能否提出一个猜想？并证明你的猜想．探究点二类比推理例2 在平面内，可以用面积法证明下面的结论：从三角形内部任意一点，向各边引垂线，其长度分别为pa，pb，pc，且相应各边上的高分别为ha，hb，hc，则有paha＋pbhb＋pchc＝1.请你运用类比的方法将此结论推广到四面体中并证明你的结论．变式迁移2 在Rt△ABc中，若∠c＝90°，Ac＝b，Bc ＝a，则△ABc的外接圆半径r＝a2＋b22，将此结论类比到空间有_______________________________________________．探究点三演绎推理例3 在锐角三角形ABc中，AD⊥Bc，BE⊥Ac，D、E是垂足．求证：AB的中点m到D、E的距离相等．变式迁移3 指出对结论“已知2和3是无理数，证明2＋3是无理数”的下述证明是否为“三段论”，证明有错误吗？证明：∵无理数与无理数的和是无理数，而2与3都是无理数，∴2＋3也是无理数．．合情推理是指“合乎情理”的推理，数学研究中，得到一个新结论之前，合情推理常常能帮助我们猜测和发现结论；证明一个数学结论之前，合情推理常常能为我们提供证明的思路和方向．合情推理的过程概括为：从具体问题出发―→观察、分析、比较、联想―→归纳、类比―→提出猜想.一般来说，由合情推理所获得的结论，仅仅是一种猜想，其可靠性还需进一步证明．2．归纳推理与类比推理都属合情推理：归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理．它是一种由部分到整体，由个别到一般的推理．类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理，它是一种由特殊到特殊的推理．3．从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，把这种推理称为演绎推理，也就是由一般到特殊的推理，三段论是演绎推理的一般模式，包括大前提，小前提，结论．一、选择题．定义A*B，B*c，c*D，D*A的运算分别对应下图中的、、、，那么下图中的、所对应的运算结果可能是A．B*D，A*DB．B*D，A*cc．B*c，A*DD．c*D，A*D2．设f＝1＋x1－x，又记f1＝f，fk＋1＝f)，k＝1,2，…，则fXX等于A．－1xB．xc.x－1x＋1D.1＋x1－x3．由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：①“mn＝nm”类比得到“a•b＝b•a”；②“t＝mt＋nt”类比得到“•c＝a•c＋b•c”；③“t＝m”类比得到“•c＝a•”；④“t≠0，mt＝xt⇒m＝x”类比得到“p≠0，a•p＝x•p⇒a＝x”；⑤“|m•n|＝|m|•|n|”类比得到“|a•b|＝|a|•|b|”；⑥“acbc＝ab”类比得到“a•cb•c＝ab”．以上的式子中，类比得到的结论正确的个数是A．1B．2c．3D．44．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，比如：他们研究过图中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图中的1,4,9,16，…这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是A．289B．1024c．1225D．13785．已知整数的数对如下：，，，，，，，，，，，，…则第60个数对是A．B．c．D．二、填空题6．已知正三角形内切圆的半径是高的13，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是___________________________________________________ _____________________．7．定义一种运算“*”：对于自然数n满足以下运算性质：8．观察下列等式＝12＋3＋4＝93＋4＋5＋6＋7＝254＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49…照此规律，第n个等式为___________________________________________________ __．三、解答题9．（12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝－23，且Sn＋1Sn＋1＋2＝0．计算S1，S2，S3，S4，并猜想Sn的表达式．10．已知函数f＝－aax＋a，证明：函数y＝f的图象关于点12，－12对称；求f＋f＋f＋f＋f＋f的值．1．如图1，若射线om，oN上分别存在点m1，m2与点N1，N2，则＝om1om2•oN1oN2；如图2，若不在同一平面内的射线oP，oQ和oR上分别存在点P1，P2，点Q1，Q2和点R1，R2，则类似的结论是什么？这个结论正确吗？说明理由．学案37 合情推理与演绎推理自主梳理归纳推理全部对象部分个别类比推理这些特征特殊到特殊①一般原理②特殊情况③特殊情况一般特殊自我检测．D [由所给函数及其导数知，偶函数的导函数为奇函数．因此当f是偶函数时，其导函数应为奇函数，故g＝－g．] 2．c [①②正确，③错误．因为两个复数如果不全是实数，不能比较大小．]3．1∶8解析∵两个正三角形是相似的三角形，∴它们的面积之比是相似比的平方．同理，两个正四面体是两个相似几何体，体积之比为相似比的立方，所以它们的体积比为1∶8.4．13＋23＋33＋43＋53＋63＝212解析由前三个式子可以得出如下规律：每个式子等号的左边是从1开始的连续正整数的立方和，且个数依次多1，等号的右边是一个正整数的平方，后一个正整数依次比前一个大3,4，…，因此，第五个等式为13＋23＋33＋43＋53＋63＝212.5．一切奇数都不能被2整除大前提2100＋1是奇数小前提所以2100＋1不能被2整除结论课堂活动区例1 解题导引归纳分为完全归纳和不完全归纳，由归纳推理所得的结论虽然未必是可靠的，但它由特殊到一般、由具体到抽象的认识功能，对科学的发现是十分有用的，观察、实验，对有限的资料作归纳整理，提出带规律性的说法是科学研究的最基本的方法之一．解在{an}中，a1＝1，a2＝2a12＋a1＝23，a3＝2a22＋a2＝12＝24，a4＝2a32＋a3＝25，…，所以猜想{an}的通项公式为an＝2n＋1.这个猜想是正确的，证明如下：因为a1＝1，an＋1＝2an2＋an，所以1an＋1＝2＋an2an＝1an＋12，即1an＋1－1an＝12，所以数列1an是以1a1＝1为首项，2为公差的等差数列，所以1an＝1＋×12＝12n＋12，所以通项公式an＝2n＋1.变式迁移1 解猜想sin2α＋cos2＋sinαcos＝34.证明如下：左边＝sin2α＋cos[cos＋sinα]＝sin2α＋32cosα－12sinα32cosα＋12sinα＝sin2α＋34cos2α－14sin2α＝34＝右边．例2 解题导引类比推理是根据两个对象有一部分属性类似，推出这两个对象的其他属性亦类似的一种推理方法，例如我们拿分式同分数来类比，平面几何与立体几何中的某些对象类比等等．我们必须清楚类比并不是论证，它可以帮助我们发现真理．类比推理应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行对比、归纳、提出猜想．解类比：从四面体内部任意一点向各面引垂线，其长度分别为pa，pb，pc，pd，且相应各面上的高分别为ha，hb，hc，hd.则有paha＋pbhb＋pchc＋pdhd＝1.证明如下：paha＝13S△BcD•pa13S△BcD•ha＝VP—BcDVA—BcD，同理有pbhb＝VP—cDAVB—cDA，pchc＝VP—BDAVc—BDA，pdhd＝VP—ABcVD—ABc，VP—BcD＋VP—cDA＋VP—BDA＋VP—ABc＝VA—BcD，∴paha＋pbhb＋pchc＋pdhd＝VP—BcD＋VP—cDA＋VP—BDA＋VP—ABcVA—BcD＝1.变式迁移2 在三棱锥A—BcD中，若AB、Ac、AD两两互相垂直，且AB＝a，Ac＝b，AD＝c，则此三棱锥的外接球半径R＝a2＋b2＋c22例3 解题导引在演绎推理中，只有前提和推理形式都是正确的，结论才是正确的，否则所得的结论可能就是错误的．推理时，要清楚大前提、小前提及二者之间的逻辑关系．证明因为有一个内角是直角的三角形是直角三角形，——大前提在△ABD中，AD⊥Bc，即∠ADB＝90°，——小前提所以△ADB是直角三角形．——结论因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，——大前提而m是Rt△ADB斜边AB的中点，Dm是斜边上的中线，——小前提所以Dm＝12AB.——结论同理Em＝12AB，所以Dm＝Em.变式迁移3 解证明是“三段论”模式，证明有错误．证明中大前提使用的论据是“无理数与无理数的和是无理数”，这个论据是假的，因为两个无理数的和不一定是无理数，因此原理的真实性仍无法断定．课后练习区．B [由图得A表示|，B表示□，c表示—，D表示○，故图表示B*D和A*c.]2．A [计算f2＝f1＋x1－x＝1＋1＋x1－x1－1＋x1－x ＝－1x，f3＝f－1x＝1－1x1＋1x＝x－1x＋1，f4＝1＋x－1x＋11－x－1x＋1＝x，f5＝f1＝1＋x1－x，归纳得f4k＋i＝fi，k∈N*，i＝1,2,3,4.∴fXX＝f2＝－1x.]3．B [只有①、②对，其余错误，故选B.]4．c [设图中数列1,3,6,10，…的通项公式为an，则a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4，…，an－an－1＝n.故an－a1＝2＋3＋4＋…＋n，∴an＝nn＋12.而图中数列的通项公式为bn＝n2，因此所给的选项中只有1225满足a49＝49×502＝b35＝352＝1225.]5．D [观察可知横坐标和纵坐标之和为2的数对有1个，和为3的数对有2个，和为4的数对有3个，和为5的数对有4个，依次类推和为n＋1的数对有n个，多个数对的排序是按照横坐标依次增大的顺序来排的，由nn ＋12＝60⇒n＝120，n∈Z，n＝10时，nn＋12＝55个数对，还差5个数对，且这5个数对的横、纵坐标之和为12，它们依次是，，，，，∴第60个数对是．]6．空间正四面体的内切球的半径是高的14解析利用体积分割可证明．7．n8．n＋＋…＋＝2解析∵1＝12,2＋3＋4＝9＝32,3＋4＋5＋6＋7＝25＝52，∴第n个等式为n＋＋…＋＝2.9．解当n＝1时，S1＝a1＝－23.当n＝2时，1S2＝－2－S1＝－43，∴S2＝－34.当n＝3时，1S3＝－2－S2＝－54，∴S3＝－45.当n＝4时，1S4＝－2－S3＝－65，∴S4＝－56.猜想：Sn＝－n＋1n＋2．0．证明函数f的定义域为R，任取一点，它关于点12，－12对称的点的坐标为．由已知得y＝－aax＋a，则－1－y＝－1＋aax＋a＝－axax＋a，f＝－aa1－x＋a＝－aaax＋a＝－a•axa＋a•ax＝－axax＋a，∴－1－y ＝f．即函数y＝f的图象关于点12，－12对称．解由有－1－f＝f，即f＋f＝－1.∴f＋f＝－1，f＋f＝－1，f＋f＝－1，则f＋f＋f＋f＋f＋f＝－3.1．解类似的结论为：Vo—P1Q1R1Vo—P2Q2R2＝oP1oP2•oQ1oQ2•oR1oR2.这个结论是正确的，证明如下：如图，过R2作R2m2⊥平面P2oQ2于m2，连接om2.过R1在平面oR2m2作R1m1∥R2m2交om2于m1，则R1m1⊥平面P2oQ2.由Vo—P1Q1R1＝13S△P1oQ1•R1m1＝13•12oP1•oQ1•sin∠P1oQ1•R1m1＝16oP1•oQ1•R1m1•sin∠P1oQ1，同理，Vo—P2Q2R2＝16oP2•oQ2•R2m2•sin∠P2oQ2.所以＝oP1•oQ1•R1m1oP2•oQ2•R2m2.由平面几何知识可得R1m1R2m2＝oR1oR2.所以＝oP1•oQ1•oR1oP2•oQ2•oR2.所以结论正确．。

高考数学一轮复习第11章算法复数推理与证明第3讲合情推理与演绎推理讲义理(含解析)-人教版

第3讲合情推理与演绎推理[考纲解读] 1.了解合情推理和演绎推理的含义，能进行简单的归纳推理和类比推理．(重点) 2.掌握演绎推理的三段论，并能运用三段论进行一些简单的推理．3.弄清推理的一般步骤：①实验、观察、比较；②概括、联想、类推、推广；③猜想新结论．[考向预测] 从近三年高考情况来看，演绎推理贯穿于整个高考试卷的始末，而合情推理时有考查. 预测2020年将会考查归纳猜想及类比推理的应用. 题型为客观题，试题具有一定的综合性，属中等难度试题.1．推理(1)定义：根据一个或几个□01已知的判断来确定一个新的判断的□02思维过程就是推理． (2)分类：推理一般分为□03合情推理和□04演绎推理． 2．合情推理(1)定义：根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行□01归纳类比，然后提出□02猜想的推理叫做合情推理． (2)分类：数学中常用的合情推理有□03归纳推理和□04类比推理． (3)归纳和类比推理的定义、特征3．演绎推理(1)定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理，简言之，演绎推理是由一般到□01特殊的推理． (2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括： ①大前提——已知的一般原理； ②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．1．概念辨析(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确．( ) (2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理．( ) (3)ax ＋y＝a x ·a y与sin(α＋β)类比，则有sin(α＋β)＝sin α·sin β.( )(4)演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确时，得到的结论一定正确．( ) 答案 (1)× (2)√ (3)× (4)√ 2．小题热身(1)①已知a 是三角形一边的长，h 是该边上的高，则三角形的面积是12ah ，如果把扇形的弧长l ，半径r 分别看成三角形的底边长和高，可得到扇形的面积为12lr ；②由1＝12,1＋3＝22,1＋3＋5＝32，可得到1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n 2，则①②两个推理过程分别属于( )A ．类比推理、归纳推理B ．类比推理、演绎推理C ．归纳推理、类比推理D ．归纳推理、演绎推理答案 A解析 ①由三角形的面积公式得到扇形的面积公式有相似之处，此种推理为类比推理；②由特殊到一般，此种推理为归纳推理．(2)正弦函数是奇函数，f (x )＝sin(x 2＋1)是正弦函数，因此f (x )＝sin(x 2＋1)是奇函数，以上推理( )A ．结论正确B ．大前提不正确C ．小前提不正确D ．全不正确答案 C解析 f (x )＝sin(x 2＋1)不是正弦函数．(3)已知数列{a n }中，a 1＝1，n ≥2时，a n ＝a n －1＋2n －1，依次计算a 2，a 3，a 4后，猜想a n 的表达式是( )A ．a n ＝3n －1B ．a n ＝4n －3C ．a n ＝n 2D ．a n ＝3n －1答案 C解析 a 1＝1，a 2＝4，a 3＝9，a 4＝16，猜想a n ＝n 2.(4)对于平面几何中的命题：“夹在两条平行线之间的平行线段相等”，在立体几何中，类比上述命题，可以得到命题：“__________________________”，这个类比命题的真假性是________．答案夹在两个平行平面间的平行线段相等真命题解析由类比推理可知．题型一类比推理1．等差数列{a n }的公差为d ，前n 项的和为S n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 为等差数列，公差为d2.类似地，若各项均为正数的等比数列{b n }的公比为q ，前n 项的积为T n ，则等比数列{nT n }的公比为( )A.q2 B ．q 2C.qD.nq 答案 C解析 ∵在等差数列{a n }中前n 项的和为S n 的通项，且可写成S n n ＝a 1＋(n －1)×d2.所以在等比数列{b n }中应研究前n 项的积为T n 的开n 次方的形式．类比可得nT n ＝b 1(q )n －1，其公比为q .2．在平面几何中，△ABC 的∠C 的平分线CE 分AB 所成线段的比为AC BC ＝AEBE.把这个结论类比到空间：在三棱锥A －BCD 中(如图)，平面DEC 平分二面角A －CD －B 且与AB 相交于E ，则得到类比的结论是________．答案AE EB ＝S △ACDS △BCD解析由平面中线段的比转化为空间中面积的比可得AE EB ＝S △ACDS △BCD.1．类比推理的四个角度和四个原则 (1)四个角度类比推理是由特殊到特殊的推理，可以从以下几个方面考虑类比： ①类比的定义：如等差、等比数列的定义； ②类比的性质：如椭圆、双曲线的性质； ③类比的方法：如基本不等式与柯西不等式； ④类比的结构：如三角形的内切圆与三棱锥的内切球． (2)四个原则①长度类比面积； ②面积类比体积； ③平面类比空间；④和类比积，差类比商．见举例说明． 2．类比推理的一般步骤(1)找出两类事物之间的相似性或一致性．(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)． 3．常见的类比推理题型的求解策略在进行类比推理时，不仅要注意形式的类比，还要注意方法的类比，且要注意以下两点：(1)找两类对象的对应元素，如三角形对应三棱锥，圆对应球，面积对应体积等等；(2)找对应元素的对应关系，如两条边(直线)垂直对应线面垂直或面面垂直，边相等对应面积相等．(2018·某某模拟)已知圆：x 2＋y 2＝r 2上任意一点(x 0，y 0)处的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.类比以上结论，有双曲线x 2a 2－y 2b2＝1上任意一点(x 0，y 0)处的切线方程为________．答案x 0x a 2－y 0y b 2＝1 解析设圆上任一点为(x 0，y 0)，把圆的方程中的x 2，y 2替换为x 0x ，y 0y ，则得到圆的切线方程；类比这种方式，设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1上任一点为(x 0，y 0)，则切线方程为x 0x a 2－y 0yb2＝1(这个结论是正确的，证明略)．题型二归纳推理角度1 与数字有关的归纳推理1．从1开始的自然数按如图所示的规则排列，现有一个三角形框架在图中上下或左右移动，使每次恰有九个数在此三角形内，则这九个数的和可以为( )A ．2018B ．2019C ．2020D ．2021 答案 D解析根据题干图所示的规则排列，设最上层的一个数为a ，则第二层的三个数为a ＋7，a ＋8，a ＋9，第三层的五个数为a ＋14，a ＋15，a ＋16，a ＋17，a ＋18，这九个数之和为a＋3a ＋24＋5a ＋80＝9aa ＋104＝2021，得a ＝213，是自然数，故选D.角度2 与式子有关的归纳推理 2．(2016·某某高考)观察下列等式：⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π3－2＝43×1×2； ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π5－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π5－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π5－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 4π5－2＝43×2×3； ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π7－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π7－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π7－2＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫sin 6π7－2 ＝43×3×4； ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π9－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π9－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π9－2＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫sin 8π9－2 ＝43×4×5； …… 照此规律，⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π2n ＋1－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π2n ＋1－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π2n ＋1－2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2n π2n ＋1－2＝________. 答案4n n ＋13解析观察前4个等式，由归纳推理可知⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π2n ＋1－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π2n ＋1－2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2n π2n ＋1－2 ＝43×n ×(n ＋1)＝4n n ＋13.角度3 与图形有关的归纳推理3．分形几何学是数学家伯努瓦·曼德尔布罗在20世纪70年代创立的一门新的数学学科，它的创立为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路．按照如图(1)所示的分形规律可得如图(2)所示的一个树形图．若记图(2)中第n 行黑圈的个数为a n ，则a 2019＝________.答案32018－12解析根据题图(1)所示的分形规律，可知1个白圈分形为2个白圈1个黑圈，1个黑圈分形为1个白圈2个黑圈，把题图(2)中的树形图的第1行记为(1,0)，第2行记为(2,1)，第3行记为(5,4)，第4行的白圈数为2×5＋4＝14，黑圈数为5＋2×4＝13，所以第4行的“坐标”为(14,13)，同理可得第5行的“坐标”为(41,40)，第6行的“坐标”为(122,121)，….各行黑圈数乘2，分别是0,2,8,26,80，…，即1－1，3－1，9－1,27－1,81－1，…，所以可以归纳出第n 行的黑圈数a n ＝3n －1－12(n ∈N *)，所以a 2019＝32018－12.归纳推理问题的常见类型及解题策略(1)与数字有关的等式的推理．观察数字特点，找出等式左右两侧的规律及符号可解．见举例说明1.(2)与式子有关的归纳推理①与不等式有关的推理．观察每个不等式的特点，注意是纵向看，找到规律后可解． ②与数列有关的推理．通常是先求出几个特殊项，采用不完全归纳法，找出数列的项与项数的关系，列出即可．(3)与图形变化有关的推理．合理利用特殊图形归纳推理得出结论，并用赋值检验法验证其真伪性．见举例说明3.1．观察下列各式：55＝3125,56＝15625,57＝78125,58＝390625,59＝1953125，…，则52019的末四位数字为( )A．3125 B．5625 C．0625 D．8125答案 D解析∵55＝3125,56＝15625,57＝78125,58＝390625,59＝1953125，可以看出这些幂的最后4位是以4为周期变化的，∵2019÷4＝504余3，∴52019的末四位数字与57的后四位数相同，是8125.2．观察下列不等式：1＋3＋3<π2，1＋3×2＋3×22<π4，1＋3×3＋3×32<π6，……照此规律，第n－1(n≥2，n∈N*)个不等式是________．答案1＋3(n－1)＋3(n－1)2<π2n－2解析根据所给不等式易归纳推理出第n(n∈N*)个不等式是1＋3n＋3n2<π2n，所以可以归纳推测出第n－1(n≥2，n∈N*)个不等式是1＋3(n－1)＋3(n－1)2<π2n－2.3．地震后需搭建简易帐篷，搭建如图①的单顶帐篷需要17根钢管，这样的帐篷按图②、图③的方式串起来搭建，则串7顶这样的帐篷需要________根钢管．答案83解析由题意可知，图①的单顶帐篷需要(17＋0×11)根钢管，图②的帐篷需要(17＋1×11)根钢管，图③的帐篷需要(17＋2×11)根钢管，…所以串7顶这样的帐篷需要17＋6×11＝83(根)钢管．题型三演绎推理数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n ＋2nS n (n ∈N *)．证明： (1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等比数列； (2)S n ＋1＝4a n .证明 (1)∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝n ＋2nS n ， ∴(n ＋2)S n ＝n (S n ＋1－S n )，即nS n ＋1＝2(n ＋1)S n . ∴S n ＋1n ＋1＝2·S n n ，又S 11＝1≠0，(小前提) 故⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是以1为首项，2为公比的等比数列．(结论) (大前提是等比数列的定义，这里省略了) (2)由(1)可知S n ＋1n ＋1＝4·S n －1n －1(n ≥2)， ∴S n ＋1＝4(n ＋1)·S n －1n －1＝4·n －1＋2n －1·S n －1 ＝4a n (n ≥2)，(小前提)又a 2＝3S 1＝3，S 2＝a 1＋a 2＝1＋3＝4＝4a 1，(小前提) ∴对于任意正整数n ，都有S n ＋1＝4a n .(结论)(第(2)问的大前提是第(1)问的结论以及题中的已知条件)三段论的应用(1)三段论推理的依据是：如果集合M 的所有元素都具有性质P ，S 是M 的子集，那么S 中所有元素都具有性质P .(2)应用三段论的注意点：解决问题时，首先应该明确什么是大前提，小前提，然后再找结论．提醒：合情推理的结论是猜想，不一定正确；演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确时，得到的结论一定正确.设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，对任意实数x 有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋x ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32－x 成立．证明y ＝f (x )是周期函数，并指出其周期．证明由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋x ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32－x ，且f (－x )＝－f (x )，知f (3＋x )＝f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋x ＝－f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤32－⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋x ＝－f (－x )＝f (x )，所以y ＝f (x )是周期函数，且T ＝3是其一个周期．。

高考数学一轮复习：11.2 合情推理与演绎推理人教版1

∵x2＞x1＞1，∴x1－x2＜0，＜1，∴1－
＞0，
∴f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)．
于是，根据“三段论”可知，f(x)＝x＋在(1，＋∞)上是增函数．
证法二：∵f′(x)＝1－，又x∈(1，＋∞) ∴ ＜1，∴f′(x)＝1－＞0， ∴f(x)＝x＋在(1，＋∞)上是增函数．
所以通项公式an＝
变式1. 设f(n)＝n2＋n＋41，n∈N*，计算：f(1)，f(2)，f(3)，f(4)，…， f(10)的值，同时作出归纳推理，并用n＝40验证猜想是否正确．解答：f(1)＝12＋1＋41＝43，f(2)＝22＋2＋41＝47，f(3)＝32＋3＋41＝53， f(4)＝42＋4＋41＝61，f(5)＝52＋5＋41＝71，f(6)＝62＋6＋41＝83， f(7)＝72＋7＋41＝97，f(8)＝82＋8＋41＝113，f(9)＝92＋9＋41＝131， f(10)＝102＋10＋41＝151. ∵43,47,53,61,71,83,97,113,131,151都为质数， ∴归纳猜想：当x∈N*时，f(n)＝n2＋n＋41的值都为质数． ∵n＝40时，f(40)＝402＋40＋41＝40×(40＋1)＋41＝41×41＝1 681， ∴f(40)是合数，因此，由上面归纳推理得到的猜想不正确.
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同学们，再见！
小前提是f(x)＝
(a＞0且a≠1)的图象关于点
对称．
(1)证明：函数f(x)的定义域为R，任取一点(x，y)，
它关于点
对称的点的坐标为(1－x，－1－y)．
由已知得y＝－
，则－1－y＝－1＋
f(1－x)＝
∴－1－y＝f(1－x)．

近年高考数学一轮复习第11章算法、复数、推理与证明11.3合情推理与演绎推理课后作业理(2021年

2019版高考数学一轮复习第11章算法、复数、推理与证明11.3 合情推理与演绎推理课后作业理编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2019版高考数学一轮复习第11章算法、复数、推理与证明11.3 合情推理与演绎推理课后作业理）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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11。

3 合情推理与演绎推理[基础送分提速狂刷练］一、选择题1．(2018·湖北华师一附中等八校联考)有6名选手参加演讲比赛，观众甲猜测：4号或5号选手得第一名;观众乙猜测：3号选手不可能得第一名;观众丙猜测：1,2，6号选手中的一位获得第一名；观众丁猜测：4，5，6号选手都不可能获得第一名．比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果，此人是( ）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁答案D解析若甲猜测正确，则4号或5号得第一名，那么乙猜测也正确，与题意不符，故甲猜测错误，即4号和5号均不是第一名．若丙猜测正确，那么乙猜测也正确,与题意不符,故丙猜测错误，即1,2,6号均不是第1名,故3号是第1名，则乙猜测错误,丁猜测正确．故选D。

2．已知a1＝3，a2＝6,且a n＋2＝a n＋1－a n，则a2016＝( ）A．3 B．－3 C．6 D．－6答案B解析∵a1＝3，a2＝6，∴a3＝3,a4＝－3,a5＝－6，a6＝－3，a7＝3,…，∴｛a n｝是以6为周期的周期数列．又2016＝6×335＋6，∴a2016＝a6＝－3.故选B。

【赢在课堂】高考数学一轮复习 11.4数学归纳法配套训练理新人教A版

第4讲数学归纳法基础巩固1.用数学归纳法证明1+++…+<n(n∈N*,n>1)时,第一步应验证不等式( )A.1+<2B.1++<2C.1++<3D.1+++<3【答案】B【解析】∵n∈N*,n>1,∴n取的第一个自然数为2,左端分母最大的项为=.故选B.2.如果命题p(n)对n=k成立,则它对n=k+2也成立.若p(n)对n=2成立,则下列结论正确的是( )A.p(n)对所有正整数n都成立B.p(n)对所有正偶数n都成立C.p(n)对所有正奇数n都成立D.p(n)对所有自然数n都成立【答案】B【解析】若n=2时,p(n)成立,则n=4,6,8,…,时p(n)成立.3.用数学归纳法证明(n+1)(n+2)…(n+n)=2n×1×3×…×(2n-1)时,从“k到k+1”,左边需增乘的代数式是( ) A.2k+1 B. C.2(2k+1) D.【答案】C【解析】当n=k时,左边=(k+1)(k+2)…(k+k),当n=k+1时,左边=[(k+1)+1][(k+1)+2]…[(k+1)+(k+1)]=(k+2)(k+3)…(k+k)(2k+1)(2k+2)=(k+1)(k+2)…(k+k)·2(2k+1).故增乘的代数式应为2(2k+1).4.某个命题与自然数n有关,若n=k(k∈N*)时,该命题成立,那么可推得n=k+1时该命题也成立.现在已知当n=5时,该命题不成立,那么可推得( )A.当n=6时该命题不成立B.当n=6时该命题成立C.当n=4时该命题不成立D.当n=4时该命题成立【答案】C【解析】“若n=5时命题不成立,则n=4时命题也不成立”的逆否命题为“若n=4时命题成立,则n=5时命题也成立”.而它的逆否命题为真命题.故结合题意可知应选C.5.已知f(n)=+++…+,则( )A.f(n)中共有n项,当n=2时,f(2)=+B.f(n)中共有n+1项,当n=2时,f(2)=++C.f(n)中共有n2-n项,当n=2时,f(2)=+D.f(n)中共有n2-n+1项,当n=2时,f(2)=++【答案】D【解析】总项数为n2-n+1.6.若k棱柱过侧棱有f(k)个对角面,则k+1棱柱过侧棱的对角面的个数f(k+1)为( )A.f(k)+k-1B.f(k)+kC.f(k)+k+1D.f(k)+k-2【答案】A【解析】∵由k棱柱到k+1棱柱,底面对角线增加了k-2+1=k-1条,∴增加了k-1个对角面.7.下列代数式(其中k∈N*)能被9整除的是( )A.6+6·7kB.2+7k-1C.2(2+7k+1)D.3(2+7k)【答案】D【解析】(1)当k=1时,显然只有3(2+7k)能被9整除.(2)假设当k=n(n∈N*)时,命题成立,即3(2+7n)能被9整除,那么3(2+7n+1)=21(2+7n)-36,这就是说,k=n+1时命题也成立.由(1)(2)可知,3(2+7n)能被9整除对任何k∈N*都成立.8.设数列{a n}的前n项和为S n,且对任意的自然数n都有:(S n-1)2=a n S n.通过计算S1,S2,S3,猜想S n= .【答案】【解析】由(S1-1)2=,得S1=;由(S2-1)2=(S2-S1)S2,得S2=;由(S3-1)2=(S3-S2)S3,得S3=.猜想:S n=.9.设平面内有n条直线(n≥3),其中有且仅有两条直线互相平行,任意三条直线不过同一点.若用f(n)表示这n条直线交点的个数,则f(4)= ;当n>4时,f(n)= (用n表示). 【答案】5 (n+1)(n-2)【解析】结合题意分析可知f(3)=2,f(4)=5,f(5)=9,每增加一条直线,交点增加的个数等于原来直线的条数.由于f(3)=2,f(4)-f(3)=3,f(5)-f(4)=4,…f(n)-f(n-1)=n-1.累加,得f(n)=2+3+4+…+(n-1)=(n-2).故f(n)=(n+1)(n-2).10.是否存在常数a,b使等式++…+=对于一切n∈N*都成立.【解】若存在常数a,b使等式成立,将n=1,n=2代入上式,有即有++…+=.对于n为所有正整数是否成立,再用数学归纳法证明.证明:(1)当n=1时,左边==,右边==,此时等式成立.(2)假设当n=k(k∈N*)时成立,即++…+=,则当n=k+1时,++…++=+=·=·=·==,这就是说,当n=k+1时等式也成立.根据(1)和(2)可知等式对任何n∈N*都成立.11.已知函数f(x)=x3-x,数列{a n}满足条件:a1≥1,a n+1≥f'(a n+1).试比较+++…+与1的大小,并说明理由.【解】∵f'(x)=x2-1,a n+1≥f'(a n+1),∴a n+1≥(a n+1)2-1.∵函数g(x)=(x+1)2-1=x2+2x在区间[-1,+∞)上单调递增,∴由a1≥1,得a2≥(a1+1)2-1≥22-1,进而得a3≥(a2+1)2-1≥24-1>23-1.由此猜想:a n≥2n-1.下面用数学归纳法证明这个猜想:①当n=1时,a1≥21-1=1,结论成立;②假设当n=k(k≥1且k∈N*)时结论成立,即a k≥2k-1,则当n=k+1时,由g(x)=(x+1)2-1在区间[-1,+∞)上单调递增知a k+1≥(a k+1)2-1≥22k-1≥2k+1-1,即n=k+1时,结论也成立.由①②知对任意n∈N*,都有a n≥2n-1.即1+a n≥2n.因此.故+++…++++…+=1-<1.12.已知数列{a n},其中a2=6且=n.(1)求a1,a3,a4;(2)求数列{a n}的通项公式.【解】(1)∵a2=6,∴=1,=2,=3,解得a1=1,a3=15,a4=28.(2)由上面的a1,a2,a3,a4的值可以猜想a n=n(2n-1).下面用数学归纳法加以证明:①当n=1时,a1=1×(2-1)=1,结论成立.②假设当n=k(k∈N*)时,结论正确,即a k=k(2k-1),则当n=k+1时,有=k,于是(k-1)a k+1=(k+1)a k-(k+1)=(k+1)·k(2k-1)-(k+1)=(k+1)(2k2-k-1)=(k+1)(2k+1)(k-1)(k-1≠0).因此a k+1=(k+1)[2(k+1)-1],即当n=k+1时,结论也成立.由①②可知,数列{a n}的通项公式a n=n(2n-1).拓展延伸13.(2012·天津卷,18)已知{a n}是等差数列,其前n项和为S n,{b n}是等比数列,且a1=b1=2,a4+b4=27,S4-b4=10.(1)求数列{a n}与{b n}的通项公式;(2)记T n=a n b1+a n-1b2+…+a1b n,n∈N*,证明T n+12=-2a n+10b n(n∈N*).【解】(1)设等差数列{a n}的公差为d,等比数列{b n}的公比为q.由a1=b1=2,得a4=2+3d,b4=2q3,S4=8+6d.由条件,得方程组解得故a n=3n-1,b n=2n,n∈N*.(2)证法一:由(1)得T n=2a n+22a n-1+23a n-2+…+2n a1,①2T n=22a n+23a n-1+…+2n a2+2n+1a1.②由②-①,得T n=-2(3n-1)+3×22+3×23+…+3×2n+2n+2=+2n+2-6n+2=10×2n-6n-10.而-2a n+10b n-12=-2(3n-1)+10×2n-12=10×2n-6n-10,故T n+12=-2a n+10b n,n∈N*.证法二(数学归纳法):①当n=1时,T1+12=a1b1+12=16,-2a1+10b1=16,此时等式成立;②假设当n=k(k∈N*)时等式成立,即T k+12=-2a k+10b k,则当n=k+1时有:T k+1=a k+1b1+a k b2+a k-1b3+…+a1b k+1=a k+1b1+q(a k b1+a k-1b2+…+a1b k)=a k+1b1+qT k=a k+1b1+q(-2a k+10b k-12)=2a k+1-4(a k+1-3)+10b k+1-24=-2a k+1+10b k+1-12,即T k+1+12=-2a k+1+10b k+1,因此n=k+1时等式也成立.由①和②可知对任意n∈N*,T n+12=-2a n+10b n成立.。

全国通用近年高考数学大一轮复习第十一章推理与证明、算法、复数第1节合情推理与演绎推理学案文新人教A

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第1节合情推理与演绎推理最新考纲1。

了解合情推理的含义,能利用归纳和类比等进行简单的推理,了解合情推理在数学发现中的作用；2.了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理;3.了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异.知识梳理1.合情推理类型定义特点归纳推理根据一类事物的部分对象具有某种性质,推出这类事物的全部对象都具有这种性质的推理由部分到整体、由个别到一般类比推理根据两类事物之间具有某些类似(一致）性，推测一类事物具有另一类事物类似(或相同)的性质的推理由特殊到特殊2.演绎推理(1)定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理.简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理。

（2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括:①大前提-—已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情况;③结论—-根据一般原理，对特殊情况作出的判断。

诊断自测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×"）(1）归纳推理得到的结论不一定正确,类比推理得到的结论一定正确。

人教A版高中数学选修1-2课件【赢在课堂】(新)【本章整合】第二章推理与证明

证明:设点 M,P 的坐标为(m,n),(x,y),则 N(-m,-n).
因为点 M(m,n)在已知双曲线上,所以 n2=ba22m2-b2.
同理 y2=ba22x2-b2.
则
kPM·kPN=xy--mn ·xy++mn
=
y2-n2 x2-m2
=
ba22·xx22--mm22
=
ba22(定值).
类比推理是根据两个对象有一部分属性类似,推出这两个对象的其他属性也类似的一类推理方法.在解决这种问题时, 要尽可能多地找到这两组对象的类似的属性,找到的越多,类比出的结论正确性就会越大.由于类比推理所得到的结论并不一定是正确的,因此需要对所猜想的结论加以证明.
高中数学课件
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专题一合情推理与演绎推理合情推理与演绎推理的联系与区别:归纳推理和类比推理是常用的合情推理.从推理形式上看,归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理,类比推理是由特殊到特殊的推理;而演绎推理是由一般到特殊的推理.从推理所得的结论来看,合情推理的结论不一定正确,有待进一步证明;演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下,得到的结论一定正确.
由已知2
b
=
1 a
+
1c,即
2ac=b(a+c),
∴只需证明 b(a+c)>b2,即证 a+c>b 成立,
在△ABC 中,最后一个不等式显然成立. ∴B 为锐角.
【例 5】若三个互不相等的正数 a,b,c 成等差数列.求证:a,b,c 不可能成等比数列.
思路分析:该命题为否定性命题,故可采用反证法证明. 证明:假设 a,b,c 成等比数列,则 b2=ac.

【赢在高考】2013届高考数学一轮复习 11.2合情推理与演绎推理配套练习

第2讲合情推理与演绎推理随堂演练巩固1.下列四个图形中,着色三角形的个数依次构成一个数列的前4项,则这个数列的一个通项公式为( )A.13n n a -=B.3n n a =C.32n n a n =-D.1323n n a n -=+- 【答案】 A【解析】 123413927a a a a =,=,=,=.归纳推理:13n n a -=.2.“所有9的倍数都是3的倍数,某奇数是9的倍数,故此奇数是3的倍数”,上述推理是( )A.小前提错B.结论错C.正确的D.大前提错【答案】 C【解析】这是演绎推理的一般模式“三段论”.前提和推理形式都正确,因此结论也正确.3.有一段演绎推理是这样的:“若直线平行于平面,则该直线平行于平面内所有直线;已知直线b ∥平面α,直线a ⊂平面α,则直线b ∥直线a”,结论显然是错误的,这是因为 ( )A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.非以上错误【答案】 A【解析】由演绎推理的三段论可知答案应为A.4.观察下列各式:237497343=,=,47=2 401,…,则20117的末两位数字为( )A.01B.43C.07D.49 【答案】 B 【解析】 (方法一)由题意得2011502434502377(7)7⨯+,==⋅,由于472= 401末位为1,倒数第二位为0,因此2502401的末两位定为01.又37=343,∴45023(7)7⋅的末两位定为43.(方法二)用归纳法:∵234749734372=,=,=54017,=16 68077,=117 76497, 823=543,…,由上知末两位有周期性且T=4.又20115024377⨯+=,∴20117的末两位与37的末两位一样,为43. 5.在等差数列{n a }中,若100a =,则有等式12a a ++…12n a a a +=++…19(19n a n -+<,且n ∈N )*成立.类比上述性质,相应地,在等比数列{n b }中,若91b =,则有等式成立.【答案】 12b b ⋅⋅…12n b b b ⋅=⋅⋅…17n b -⋅【解析】对于等差数列{n a },若有0k a =,根据等差中项的知识,有121222323n k n n k n n k n k a a a a a a a +--+--+--+=+=+=+k a =0,所以必有12a a ++…12n a a a +=++…n a ++12(n n a a ++++…2221)k n k n a a ----++(21n k n <-,∈N )*.∵此时有100a =,即k=10.∴12a a ++…12n a a a +=++…12(n n n a a a ++++++…181912)n n a a a a --++=++…19n a -+.类似地:对于等比数列{n b },若1k b =,由等比中项的知识,有121222323n k n n k n n k n b b b b b b +--+--+--⋅=⋅=⋅=…=1k k b b ⋅=.∴12b b ⋅⋅…12n b b b ⋅=⋅⋅…12(n n n b b b ++⋅⋅⋅…2221)k n k n b b ----⋅⋅.∵91b =,∴k=9.∴12b b ⋅⋅…12n b b b ⋅=⋅⋅…12(n n n b b b ++⋅⋅⋅…18218112)n n b b b b ----⋅⋅=⋅⋅…17n b -⋅.课后作业夯基基础巩固1.下列表述正确的是( )①归纳推理是由部分到整体的推理;②归纳推理是由一般到一般的推理;③演绎推理是由一般到特殊的推理;④类比推理是由特殊到一般的推理;⑤类比推理是由特殊到特殊的推理.A.①②③B.②③④C.②④⑤D.①③⑤【答案】 D【解析】归纳推理是由部分到整体的推理,演绎推理是由一般到特殊的推理,类比推理是由特殊到特殊的推2.由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则:①“mn=nm”类比得到“a ⋅b=b ⋅a ”;②“(m+n)t=mt+nt”类比得到“(a +b ) ⋅c=a ⋅c+b ⋅c ”;③“()()m n t m n t ⋅=⋅”类比得到“（a ⋅b ）⋅c =a ⋅（b ⋅c ）”;④“0t mt xt m x ≠,=⇒=”类比得到“p ≠0, a ⋅p =x ⋅p ⇒a =x ”;⑤“|m n ⋅|=|m|⋅|n|”类比得到“| a ⋅b |=|a |⋅|b |”; ⑥“ac a bc b =”类比得到“a c a b c b ⋅=⋅”.以上式子中,类比得到的结论正确的个数是( )A.1B.2C.3D.4【答案】 B【解析】 ①②正确;③④⑤⑥错误.3.已知△ABC 中30A ,∠=60B ,∠=,求证:a<b .证明:∴a<b.框内部分是演绎推理的( )A.大前提B.小前提C.结论D.三段论【答案】 B4.根据图中5个图形及相应点的个数的变化规律,试猜测第n 个图中有个点.( )A.21n +B.2n n -C.n+1D.21n n -+【答案】 D【解析】第(2)个图形,中间有1个点,另外的点指向两个方向,每个方向一个点,共有2(21)1⨯-+第(3)个图形,中间有1个点,另外的点指向三个方向,每个方向两个点,共有3(31)1⨯-+个点;第(4)个图形,中间有1个点,另外的点指向四个方向,每个方向三个点,共有4(41)1⨯-+个点;第(5)个图形,中间有1个点,另外的点指向五个方向,每个方向四个点,共有5(51)1⨯-+个点;……由上面的变化规律,可猜测,第n 个图形中心有1个点,另外的点指向n 个方向,每个方向n-1个点,共有n(n-1)211n n +=-+个点.5.下列推理是归纳推理的是( )A.A,B 为定点,动点P 满足|PA|+|PB|=2a>|AB|,则P 点的轨迹为椭圆B.由1131n a a n =,=-,求出123S S S ,,,猜想出数列的前n 项和n S 的表达式C.由圆222x y r +=的面积π2r ,猜想出椭圆22221y x a b +=的面积S=πabD.以上均不正确【答案】 B【解析】从123S S S ,,猜想出数列的前n 项和n S ,是从特殊到一般的推理,所以B 是归纳推理.6.如图,椭圆中心在坐标原点,F 为左焦点,当FB AB ⊥时,其离心率为512-,此类椭圆被称为“黄金椭圆”,类比“黄金椭圆”,可推算出“黄金双曲线”的离心率e 等于( )A.512+B.512-C.51-D.51+【答案】 A【解析】 B(0,b),F(-c,0),A(a,0).在“黄金双曲线”中,∵FB AB ⊥,∴0FB AB ⋅=.∴2b ac =.而222b c a =-,∴22c a ac -=.在等号两边同除以2a 得512e +=. 7.观察下列等式: 33212(12)+=+,31+3323333223(123)1234(1234)+=++,+++=+++,…,根据上述规律,第四个等式为 .【答案】 33333212345(12345)(++++=++++或215)【解析】 332333212(12)123(123)+=+,++=++,…,所以333332225(15)12345(12345)[]152+++++=++++==.8.在德国不来梅举行的第48届世乒赛期间,某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品,其中第1堆只有一层,就一个球;第2、3、4、…堆最底层(第一层)分别按如下图所示方式固定摆放,从第二层开始,每层的小球自然垒放在下一层之上,第n 堆第n 层就放一个乒乓球, 以f(n)表示第n 堆的乒乓球总数,则f(3)= ;f(n)= (答案用n 表示).【答案】 10 (1)(2)6n n n ++【解析】 f(1)=1,由题图可得f(2)=3+1=42(21)(1)2f +=+,f(3)=6+3+1=103(31)(2)2f +=+.f(4)=10+6+3+1=204(41)(3)2f +=+.可知,下一堆的球的个数是上一堆球的个数加上其第一层的球的个数,而第一层的球的个数满足1,3,6,10,…,其通项公式是(1)2n n +.∴f(5)=f(4)+155(51)(4)2f +=+,…,f(n)=f (1)(1)2n n n +-+.∴2(21)3(31)()(1)22f n f ++-=++ (1)2n n ++22332222++=++ (2)2n n ++222232322n n ++++++=+(1)(21)(1)1124n n n n n+++=+-(1)(2)16n n n ++=-.∴(1)(2)()6n n n f n ++=.9.观察下列等式:1=12+3+4=93+4+5+6+7=254+5+6+7+8+9+10=49照此规律,第五个等式应为 .【答案】 5+6+7+8+9+10+11+12+13=81【解析】观察等式左侧:第一行有1个数是1,第二行是3个连续自然数的和,第一个数是2,第三行是5个连续自然数的和,第一个数是3,第四行是7个连续自然数的和,第一个数是4,第5行应该是连续9个自然数的和,第一个数为5,∴第5行左侧:5+6+7+8+9+10+11+12+13;等式右侧:第一行1=12,第二行9=32,第三行25=52,第四行49=72,则第5行应为81=92,∴第五个等式为5+6+7+8+9+10+11+12+13=81.10.设等差数列{n a }的前n 项和为n S ,则4841281612S S S S S S S ,-,-,-成等差数列.类比以上结论有:设等比数列{n b }的前n 项积为n T ,则4T , , 1612T T ,成等比数列.【答案】 84T T 128T T【解析】对于等比数列,通过类比,可得8161244812T T T T T T T ,,,成等比数列.11.已知等式:sin 25+23355354cos sin cos +=;223154515454sin cos sin cos ++=;223306030604sin cos sin cos ++=;….由此可归纳出对任意角度θ都成立的一个等式,并予以证明.【证明】归纳已知可得:2sin θ+2cos (30θ+)+sin θcos (30θ+3)4=.证明如下:∵sin 2θ+cos 2(30θ+)+sin θcos (30θ+)=sin 23(2θ+cos 12θ-sin 2)θ+sin 3(2θcos 12θ-sin )θ =sin 23(2θ+cos 12θ-sin 3)(2θcos 12θ+sin )θ =sin 234θ+2cos 14θ-2sin 34θ=. ∴等式成立.12.已知椭圆具有性质:若M 、N 是椭圆C 上关于原点对称的两个点,点P 是椭圆上任意一点,当直线PM 、PN 的斜率都存在,并记为PM k 、PN k 时,那么PM k 与PN k 之积是与点P 的位置无关的定值.试对双曲线22221y x a b-=写出具有类似特性的性质,并加以证明.【解】类似的性质为:若M 、N 是双曲线22221y x a b-=上关于原点对称的两个点,点P 是双曲线上任意一点,当直线PM 、PN 的斜率都存在,并记为PM k 、PN k 时,那么PM k 与PN k 之积是与点P 的位置无关的定值.证明:设点M 、P 的坐标分别为(m,n)、(x,y),则N(-m,-n).因为点M(m,n)在已知双曲线上,所以22222b n m b a =-.同理22222b y x b a=-. 则2222PM PN y n y n y n k k x m x m x m -+-⋅=⋅==-+-22b a ⋅2222x m x m -=-22b a 定值). 13.已知等差数列{n a }的公差d=2,首项15a =.(1)求数列{n a }的前n 项和n S ;(2)设(25)n n T n a =-,求12345S S S S S ,,,,;12345T T T T T ,,,,,并归纳出n S 与n T 的大小规律.【解】 (1)(1)52(4)2n n n S n n n -=+⨯=+. (2)(25)[2(n n T n a n =-=2n+3)-5],∴24n T n n =+.∴2212354221843339T T T =,=⨯+=,=⨯+=, 224544468455105T T =⨯+=,=⨯+=.12352(24)123(34)21S S S =,=⨯+=,=⨯+=,454(44)325(54)45S S =⨯+=,=⨯+=.由此可知11S T =,当2n ≥时n n S T ,<.归纳猜想:当2n n ≥,∈N 时n n S T ,<.拓展延伸14.设2()41f n n n n =++,∈N *,计算f(1),f(2),f(3),f(4),…,f (10)的值,同时作出归纳推理,并用 n=40验证猜想是否正确.解:2(1)114143f =++=,2(2)224147f =++=,2(3)334153f =++=,2(4)444161f =++=,2(5)554171f =++=,2(6)664183f =++=,2(7)774197f =++=,2(8)8841113f =++=,2(9)9941131f =++=,2(10)101041151f =++=.∵43,47,53,61,71,83,97,113,131,151都为质数,∴归纳猜想:当n ∈N *时2()41f n n n ,=++的值都为质数.∵n=40时2(40)40404140(f ,=++=40+1)+414141=⨯,∴f(40)是合数.因此,由上面归纳推理得到的猜想不正确.。

高考数学一轮复习全程复习构想数学(理)【统考版】第二节合情推理与演绎推理(课件)

A．66
B．55
C．45
D．38
答案理是从一般到特殊的推理，其一般形式是三段论，应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，如果前提是显然的，则可以省略，本例题中，等比数列的定义在解题中是大前提，由于它是显然的，因此省略不写．
(2)在推理论证过程中，一些稍复杂一点的证明题常常要由几个三段论才能完成．
·考向预测· 考情分析：以类比推理、归纳推理和演绎推理的推理方法为主，常以演绎推理的方法根据几个人的不同说法作出推理判断进行命题．在高考中以填空题的形式进行考查，属于中、高档题．学科素养：通过合情推理与演绎推理的应用考查逻辑推理的核心素养．
必备知识—基础落实
合情推理演绎推理
2．合情推理
角度3 与图形有关的推理 [例3] 分形几何学是数学家伯努瓦·曼德尔布罗在20世纪70年代创立的一门新的数学学科，它的创立为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路．按照如图甲所示的分形规律可得如图乙所示的一个树形图；记图乙中第 n 行黑圈的个数为 an ，则 (1)a4 ＝ _1_3___ ； (2)2an ＝ __3_n－_1_－__1_．
2．[2023·陕西咸阳模拟]古希腊毕达哥拉斯学派的“三角形数”是一列点(或圆球)在等距的排列下可以形成正三角形的数，如1，3，6，10， 15，…，我国宋元时期数学家朱世杰在《四元玉鉴》中所记载的“垛
积术”，其中的“落一形”堆垛就是每层为“三角形数”的三角锥的锥垛(如图所示，顶上一层1个球，下一层3个球，再下一层6个球，……)若一“落一形”三角锥垛有10层，则该堆垛第10层球的个数为( )
定义特点
归纳推理
由某类事物的部分对象具有某

高考数学大一轮复习配套课时训练：第十一篇复数、算法、推理与证明第3节合情推理与演绎推理(含答案)

第3节合情推理与演绎推理课时训练练题感提知能【选题明细表】A组一、选择题1.推理“①矩形是平行四边形;②三角形不是平行四边形;③三角形不是矩形”中的小前提是( B )(A)① (B)② (C)③ (D)①和②解析:由演绎推理三段论可知,①是大前提;②是小前提;③是结论.故选B.2.(2013河南焦作二模)给出下面类比推理命题(其中Q为有理数集,R 为实数集,C为复数集):①“若a,b∈R,则a-b=0⇒a=b”类比推出“若a,b∈C,则a-b=0⇒a=b”;②“若a,b,c,d∈R,则复数a+bi=c+di⇒a=c,b=d”类比推出“若a, b,c,d∈Q,则a+b=c+d⇒a=c,b=d”;③若“a,b∈R,则a-b>0⇒a>b”类比推出“若a,b∈C,则a-b>0⇒a>b”.其中类比结论正确的个数是( C )(A)0 (B)1 (C)2 (D)3解析:①②正确,③错误,因为两个复数如果不是实数,不能比较大小.故选C.3.(2013上海闸北二模)平面内有n条直线,最多可将平面分成f(n)个区域,则f(n)的表达式为( C )(A)n+1 (B)2n(C)(D)n2+n+1解析:1条直线将平面分成1+1个区域;2条直线最多可将平面分成1+(1+2)=4个区域;3条直线最多可将平面分成1+(1+2+3)=7个区域; ……;n条直线最多可将平面分成1+(1+2+3+…+n)=1+=个区域,选C.4.定义A*B,B*C,C*D,D*A的运算分别对应图中的(1)(2)(3)(4),那么如图中(a)(b)所对应的运算结果可能是( B )(A)B*D,A*D (B)B*D,A*C(C)B*C,A*D (D)C*D,A*D解析:观察图形及对应运算分析可知,基本元素为A→|,B→□,C→—,D→○,从而可知图(a)对应B*D,图(b)对应A*C.故选B.5.已知“整数对”按如下规律排成一列:(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),…,则第60个数对是( B )(A)(7,5) (B)(5,7) (C)(2,10) (D)(10,1)解析:依题意,由和相同的整数对分为一组不难得知,第n组整数对的和为n+1,且有n个整数对.这样前n组一共有个整数对.注意到<60<.因此第60个整数对处于第11组的第5个位置,可得为(5,7).故选B.6.对于a、b∈(0,+∞),a+b≥2(大前提),x+≥2(小前提),所以x+≥2(结论).以上推理过程中的错误为( A )(A)小前提(B)大前提(C)结论 (D)无错误解析:大前提是a,b∈(0,+∞),a+b≥2,要求a、b都是正数;x+≥2是小前提,没写出x的取值范围,因此本题中的小前提有错误.故选A.二、填空题7.(2013山东实验中学一模)以下是对命题“若两个正实数a1,a2满足+=1,则a≤”的证明过程:证明:构造函数f(x)=(x-a1)2+(x-a2)2=2x2-2(a1+a2)x+1,因为对一切实数x,恒有f(x)≥0,所以Δ≤0,从而得4(a1+a2)2-8≤0,所以a 1+a2≤.根据上述证明方法,若n个正实数满足++…+=1时,你能得到的结论为.(不必证明)解析:由题意可构造函数f(x)=(x-a1)2+(x-a2)2+…+(x-a n)2=nx2-2(a1+a2+…+a n)x+1,因为对一切实数x,恒有f(x)≥0,所以Δ=4(a1+a2+…+a n)2-4n≤0,即a 1+a2+…+a n≤.答案:a 1+a2+…+a n≤8.(2013茂名一模)已知21×1=2,22×1×3=3×4,23×1×3×5=4×5×6,24×1×3×5×7=5×6×7×8,…依此类推,第n个等式为.解析:由前4个等式可归纳得出第n个等式为2n×1×3×5×…×(2n-1)=(n+1)(n+2)…(n+n).答案:2n×1×3×5×…×(2n-1)=(n+1)(n+2)…(n+n)9.(2013江西师大附中模拟)若数轴上不同的两点A,B分别与实数x1,x2对应,则线段AB的中点M与实数对应,由此结论类比到平面得,若平面上不共线的三点A,B,C分别与二元实数对(x1,y1),(x2,y2), (x3,y3)对应,则△ABC的重心G与对应.解析:由类比推理得,若平面上不共线的三点A,B,C分别与二元实数对(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)对应,则△ABC的重心G与(,)对应.答案:(,)10.设等差数列{a n}的前n项和为S n,则S4,S8-S4,S12-S8,S16-S12成等差数列.类比以上结论有:设等比数列{b n}的前n项积为T n,则T4,, ,成等比数列.解析:对于等比数列,通过类比等差数列的差与等比数列的商,可得T4,,,成等比数列.答案:11.用黑白两种颜色的正方形地砖依照如图所示的规律拼成若干个图形,则按此规律,第100个图形中有白色地砖块;现将一粒豆子随机撒在第100个图中,则豆子落在白色地砖上的概率是.解析:按拼图的规律,第1个图有白色地砖3×3-1(块),第2个图有白色地砖3×5-2(块),第3个图有白色地砖3×7-3(块),…,则第100个图中有白色地砖3×201-100=503(块).第100个图中黑白地砖共有603块,则将一粒豆子随机撒在第100个图中,豆子落在白色地砖上的概率是.答案:503三、解答题12.在锐角三角形ABC中,求证:sin A+sin B+sin C>cos A+cos B+ cos C.证明:∵△ABC为锐角三角形,∴A+B>,∴A>-B,∵y=sin x在上是增函数,∴sin A>sin=cos B,同理可得sin B>cos C,sin C>cos A,∴sin A+sin B+sin C>cos A+cos B+cos C.B组13.在实数集R中定义一种运算“*”,对任意给定的a,b∈R,a*b为唯一确定的实数,且具有性质(1)对任意a,b∈R,a*b=b*a;(2)对任意a∈R,a*0=a;(3)对任意a,b∈R,(a*b)*c=c*(ab)+(a*c)+(c*b)-2c.关于函数f(x)=(3x)*的性质,有如下说法①函数f(x)的最小值为3;②函数f(x)为奇函数;③函数f(x)的单调递增区间为,.其中所有正确说法的个数为( B )(A)0 (B)1 (C)2 (D)3解析:f(x)=f(x)*0=*0=0*+[(3x)*0]+-2×0=3x×+3x+=3x++1.当x=-1时,f(x)<0,故①错误;因为f(-x)=-3x-+1≠-f(x),所以②错误;令f'(x)=3->0,得x>或x<-,因此函数f(x)的单调递增区间为,,③正确.故选B. 14.(2013中山市高三期末)如图,对大于或等于2的自然数m的n次幂进行如下方式的“分裂”:仿此,62的“分裂”中最大的数是;20133的“分裂”中最大的数是.解析:22的“分裂”中最大的数是3=2×2-1,32的“分裂”中最大的数是5=2×3-1,42的“分裂”中最大的数是7=2×4-1,…,由归纳推理可得62的“分裂”中最大的数是2×6-1=11;23的“分裂”中最大的数是5=22+1,33的“分裂”中最大的数是11=32+2,43的“分裂”中最大的数是19=42+3,…,由归纳推理可得20133的“分裂”中最大的数是20132+2012.答案:11 20132+201215.已知函数f(x)=,(1)分别求f(2)+f(),f(3)+f(),f(4)+f()的值;(2)归纳猜想一般性结论,并给出证明;(3)求值:f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2013)+f()+f()+…+f().解:(1)∵f(x)=,∴f(2)+f()=+=+=1,同理可得f(3)+f()=1,f(4)+f()=1.(2)由(1)猜想f(x)+f()=1,证明:f(x)+f()=+=+=1.(3)f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2013)+f()+f()+…+f() =f(1)+[f(2)+f()]+[f(3)+f()]+…+[f(2013)+f()]=+=+2012=.。

2022届高考数学统考一轮复习第11章算法初步推理与证明第2节合情推理与演绎推理教师用书教案理新人

学习资料2022届高考数学统考一轮复习第11章算法初步推理与证明第2节合情推理与演绎推理教师用书教案理新人教版班级：科目：合情推理与演绎推理［考试要求] 1.了解合情推理的含义，能进行简单的归纳推理和类比推理，体会合情推理在数学发现中的作用.2.了解演绎推理的含义，了解合情推理和演绎推理的联系和差异；掌握演绎推理的“三段论"，能运用“三段论”进行一些简单的演绎推理．1．合情推理：前提为真，结论可真可假类型定义特点归纳推理根据一类事物的部分对象具有某种特征,推出这类事物的全部对象都具有这种特征的推理由部分到整体、由个别到一般类比推理由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理由特殊到特殊(1)定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：①大前提--已知的一般原理；②小前提-—所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理,对特殊情况做出的判断．一、易错易误辨析（正确的打“√”，错误的打“×”)（1)归纳推理得到的结论不一定正确,类比推理得到的结论一定正确．（）（2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理．（)(3）在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适．（) (4）在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确．()[答案](1)×(2)√(3)×(4）×二、教材习题衍生1．已知数列{a n}中，a1＝1，n≥2时，a n＝a n－1＋2n－1，依次计算a2，a3,a4后,猜想a n的表达式是()A．a n＝3n－1B．a n＝4n－3C．a n＝n2D．a n＝3n－1C[a1＝1,a2＝4，a3＝9，a4＝16，猜想a n＝n2。

］2．“因为指数函数y＝a x是增函数（大前提)，而y＝错误!错误!是指数函数(小前提)，所以函数y＝错误!错误!是增函数（结论)”，上面推理的错误在于（)A．大前提错误导致结论错误B．小前提错误导致结论错误C．推理形式错误导致结论错误D．大前提和小前提错误导致结论错误A[“指数函数y＝a x是增函数”是本推理的大前提,它是错误的．因为实数a的取值范围没有确定，所以导致结论是错误的．］3．如图①有面积关系:错误!＝错误!，则由图②有体积关系：错误!＝。

高考数学大一轮温习第11章第2节合情推理与演绎推理课时作业理

课时作业(七十二) 合情推理与演绎推理一、选择题1．(2015·烟台模拟)命题“有理数是无穷循环小数，整数是有理数，所以整数是无穷循环小数”是假命题，推理错误的原因是( )A．利用了归纳推理B．利用了类比推理C．利用了“三段论”，但大前提错误D．利用了“三段论”，但小前提错误答案：C解析：由题目可知知足“三段论”形式，可是大前提表述不正确而使结论错误．故应选C.2．(2015·临沂模拟)观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos x)′＝－sin x，由归纳推理可得：若概念在R上的函数f(x)知足f(－x)＝f(x)．记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝( )A．f(x) B．－f(x)C．g(x) D．－g(x)答案：D解析：由所给函数及其导数知，偶函数的导函数为奇函数，因此当f(x)是偶函数时，其导函数应为奇函数．故g(－x)＝－g(x)．故应选D.3．(2015·郑州模拟)若大前提是：任何实数的平方都大于0.小前提是：a∈R.结论是：a2>0.那么这个演绎推理犯错在( )A．大前提B．小前提C．推理进程D．没有出错答案：A解析：要分析一个演绎推理是不是正确，主要观察所给的大前提、小前提和结论及推理形式是不是都正确，按照这几个方面都正确，才能取得这个演绎推理正确．因为大前提是：任何实数的平方都大于0，是不正确的，故应选A.4．由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：①“mn＝nm”类比取得“a·b＝b·a”；②“(m＋n)t＝mt＋nt”类比取得“(a＋b)·c＝a·c＋b·c”；③“(m·n)t＝m(n·t)”类比取得“(a·b)·c＝a·(b·c)”；④“t≠0，mt＝xt⇒m＝x”类比取得“p≠0，a·p＝x·p⇒a＝x”；⑤“|m·n|＝|m|·|n|”类比取得“|a·b|＝|a|·|b|”；⑥“ac bc ＝a b ”类比取得“a ·cb ·c ＝ab”．以上的式子中，类比取得的结论正确的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4答案：B解析：①②正确，③④⑤⑥错误．故应选B.5．已知△ABC 中，∠A ＝30°，∠B ＝60°，求证：a ＜b . 证明：∵∠A ＝30°，∠B ＝60°，∴∠A ＜∠B ，∴a <b . 其中，画线部份是演绎推理的( ) A ．大前提 B ．小前提 C ．结论 D ．三段论答案：B解析：由三段论的组成可得画线部份为三段论的小前提．6．(2015·烟台一模)对大于或等于2的正整数的幂运算有如下分解方式： 22＝1＋3,32＝1＋3＋5,42＝1＋3＋5＋7，…； 23＝3＋5,33＝7＋9＋11,43＝13＋15＋17＋19，….按照上述分解规律，若m 2＝1＋3＋5＋…＋11，p 3的分解中最小的正整数是21，则m ＋p ＝( )A ．9B ．10C ．11D ．12答案：C解析：由归纳推理可知，m ＝6，p ＝5，∴m ＋p ＝11.7．(2015·陕西师大附中模拟)若数列{a n }是等差数列，则数列{b n }⎝⎛⎭⎪⎫b n ＝a 1＋a 2＋…＋a n n 也为等差数列．类比这一性质可知，若正项数列{c n }是等比数列，且{d n }也是等比数列，则d n 的表达式应为( )A ．d n ＝c 1＋c 2＋…＋c nnB ．d n ＝c 1·c 2·…·c nnC ．d n ＝n c n 1＋c n 2＋…＋c n nnD ．d n ＝nc 1·c 2·…·c n答案：D解析：若{a n }是等差数列，则a 1＋a 2＋…＋a n ＝na 1＋n n －12d ，∴b n ＝a 1＋n －12d ＝d 2n ＋a 1－d 2，即{b n }为等差数列；若{c n }是等比数列，则c 1·c 2·…·c n ＝c n1·q1＋2＋…＋(n －1)＝c n1·qn n －12，∴d n ＝n c 1·c 2·…·c n ＝c 1·q n －12，即{d n }为等比数列．8．概念一种运算“*”：对于自然数n 知足以下运算性质：(1)1*1=1.（2）（n +1）*1=n *1+1.则n *1等于( )A ．nB ．n ＋1C ．n －1D ．n 2答案：A9．下列推理中属于归纳推理且结论正确的是( )A ．设数列{a n }的前n 项和为S n ，由a n ＝2n －1，求出S 1＝12，S 2＝22，S 3＝32，…，推断：S n ＝n 2B ．由f (x )＝x cos x 知足f (－x )＝－f (x )对∀x ∈R 都成立，推断：f (x )＝x cos x 为奇函数C ．由圆x 2＋y 2＝r 2的面积S ＝πr 2，推断：椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的面积S ＝πabD ．由(1＋1)2>21，(2＋1)2>22，(3＋1)2>23，…，推断：对一切n ∈N *，(n ＋1)2>2n答案：A解析：选项A 由一些特殊事例得出一般性结论，且注意到数列{a n }是等差数列，其前n 项和等于S n ＝n 1＋2n －12＝n 2，选项D 中的推理属于归纳推理，但结论不正确，故选A.10．(2014·北京)学生的语文、数学成绩均被评定为三个品级，依次为“优秀”“合格”“不合格”．若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”．若是一组学生中没有哪位学生比另一名学生成绩好，而且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，那么这组学生最多有( )A ．2人B ．3人C ．4人D ．5人答案：B解析：假设知足条件的学生有4位及4位以上，设其中4位同窗别离为甲、乙、丙、丁，则4位同窗中必有两个人语文成绩一样，且这两个人数学成绩不一样，那么这两个人中一个人的成绩比另一个人好，故知足条件的学生不能超过3人．当有3位学生时，用A ，B ，C 表示“优秀”“合格”“不合格”，则知足题意的有AC ，CA ，BB ，所以最多有3人．11．为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按必然规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为a 0a 1a 2，a i ∈{0,1}(i ＝0,1,2)，传输信息为h 0a 0a 1a 2h 1，其中h 0＝a 0⊕a 1，h 1＝h 0⊕a 2，运算规则为0⊕0＝0,0⊕1＝1,1⊕0＝1,1⊕1＝0.例如原信息为111.则传输信息为01111，信息在传输进程中受到干扰可能致使接收信息犯错，则下列接收信息必然有误的是( )A ．11 010B ．01 100C ．10 111D ．00 011 答案：C解析：对于选项C ，传输信息是10 111，对应的原信息是011，由题目中运算规则知h 0＝0⊕1＝1，而h 1＝h 0⊕a 2＝1⊕1＝0，故传输信息应是10 110.12．(2015·绵阳模拟)将石子摆成如图的梯形形状，称数列5,9,14,20，…为“梯形数列”，按照图形的组成，此数列的第2 012项与5的差，即a 2 012－5＝( )A ．1 009×2 011B ．1 009×2 010C ．1 009×2 009D ．1 010×2 011答案：A解析：由给出的三个图形可知，第n 个图形中共有2＋3＋4＋…＋(n ＋2)＝n ＋4n ＋12个点，因此数列的第2 012项为a 2 012＝2 016×2 0132，于是a 2 012－5＝2 016×2 0132－5＝1 008×2 013－5＝1 009×2 013－2 013－5＝1 009×2 011＋2 018－2013－5＝1 009×2 011.二、填空题13．(2015·山西四校联考)已知x ∈(0，＋∞)，观察下列各式：x ＋1x ≥2，x ＋4x 2＝x 2＋x2＋4x 2≥3，x ＋27x 3＝x 3＋x 3＋27x 3≥4，…，类比得x ＋a xn ≥n ＋1(n ∈N *)，则a ＝________. 答案：n n解析：第一个式子是n ＝1的情况，此时a ＝11＝1；第二个式子是n ＝2的情况，此时a ＝22＝4；第三个式子是n ＝3的情况，此时a ＝33＝27，归纳可知a ＝n n.14．在平面内有n (n ∈N *，n ≥3)条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，若这n 条直线把平面分成f (n )个平面区域，则f (5)的值是________，f (n )的表达式是________．答案：16n 2＋n ＋22解析：由题意知，n 条直线将平面分成n n ＋12＋1个平面区域，故f (5)＝16，f (n )＝n 2＋n ＋22.15．在圆中有结论：如图所示，“AB 是圆O 的直径，直线AC ，BD 是圆O 过A ，B 的切线，P 是圆O 上任意一点，CD 是过P 的切线，则有PO 2＝PC ·PD ”．类比到椭圆：“AB 是椭圆的长轴，直线AC ，BD 是椭圆过A ，B 的切线，P 是椭圆上任意一点，CD 是过P 的切线，则有________．答案：PF 1·PF 2＝PC ·PD解析：椭圆中的焦半径类比圆中的半径．16．(2015·东北三校联考)在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，a n ＝(－1)n·2a n －2(n ≥3，n ∈N *)，其前n 项和为S n .(1)a 2n ＋1关于n 的表达式为________；(2)观察S 1，S 2，S 3，S 4，…S n ，在数列{S n }的前100项中相等的项有________对．答案：(1)a 2n ＋1＝(－2)n(2)25解析：(1)a 3a 1＝a 5a 3＝…＝a 2n ＋1a 2n －1＝－2，又a 1＝1，从而a 2n ＋1＝(－2)n.(2)由(1)及条件知，数列{a n }为1,2，－2,22，(－2)2,23，(－2)3,24，…，从而可知S 1＝S 3，S 5＝S 7，S 9＝S 11，…，故在{S n }的前100项中相等的项有25对．。

【赢在课堂】高考数学一轮复习 11.2合情推理与演绎推理配套训练理新人教A

第2讲合情推理与演绎推理基础巩固1.下列表述正确的是( )①归纳推理是由部分到整体的推理;②归纳推理是由一般到一般的推理;③演绎推理是由一般到特殊的推理;④类比推理是由特殊到一般的推理;⑤类比推理是由特殊到特殊的推理.A.①②③B.②③④C.②④⑤D.①③⑤【答案】D【解析】归纳推理是由部分到整体的推理,演绎推理是由一般到特殊的推理,类比推理是由特殊到特殊的推理.2.已知△ABC中,∠A=30°,∠B=60°,求证:a<b.证明:∵∠A=30°,∠B=60°,∴∠A<∠B.故a<b.框内部分是演绎推理的( )A.大前提B.小前提C.结论D.三段论【答案】B3.由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则:①“mn=nm”类比得到“a·b=b·a”;②“(m+n)t=mt+nt”类比得到“(a+b)·c=a·c+b·c”;③“(m·n)t=m(n·t)”类比得到“(a·b)·c=a·(b·c)”;④“t≠0,mt=xt⇒m=x”类比得到“p≠0,a·p=x·p⇒a=x”;⑤“|m·n|=|m|·|n|”类比得到“|a·b|=|a|·|b|”;⑥“=”类比得到“=”.以上式子中,类比得到的结论正确的个数是( )A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】①②正确;③④⑤⑥错误.4.根据图中5个图形及相应圈的个数的变化规律,试猜测第n个图中有个圈.( )A.n2+1B.n2-nC.n+1D.n2-n+1【答案】D【解析】第(2)个图形,中间有1个圈,另外的圈指向两个方向,每个方向一个圈,共有2×(2-1)+1个圈;第(3)个图形,中间有1个圈,另外的圈指向三个方向,每个方向两个圈,共有3×(3-1)+1个圈;第(4)个图形,中间有1个圈,另外的圈指向四个方向,每个方向三个圈,共有4×(4-1)+1个圈;第(5)个图形,中间有1个圈,另外的圈指向五个方向,每个方向四个圈,共有5×(5-1)+1个圈;……由上面的变化规律,可猜测,第n个图形中心有1个圈,另外的圈指向n个方向,每个方向n-1个圈,共有n(n-1)+1=n2-n+1个圈.5.(2012·江西卷,6)观察下列各式:a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4,a4+b4=7,a5+b5=11,…,则a10+b10等于( )A.28B.76C.123D.199【答案】C【解析】利用归纳法:a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4=3+1,a4+b4=4+3=7,a5+b5=7+4=11,a6+b6=11+7=18,a7+b7=18+11=29,a8+b8=29+ 18=47,a9+b9=47+29=76,a10+b10=76+47=123.规律为从第三组开始,其结果为前两组结果的和.6.(2012·广东广州综合测试)如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”,它们是由整数的倒数组成的,第n行有n个数且两端的数均为(n≥2),其余每个数是它下一行左右相邻两数的和,如=+,=+,=+,…,则第7行第4个数(从左往右数)为( )A. B. C. D.【答案】A【解析】由“第n行有n个数且两端的数均为”可知,第7行第1个数为,由“其余每个数是它下一行左右相邻两数的和”可知,第7行第2个数为-=,同理易知,第7行第3个数为-=,第7行第4个数为-=.7.(2012·陕西西安模拟)我们知道,在十进制中,若一个正整数的各位数字之和能被9整除,则该正整数能被9整除.类比上面的结论,请你写出一个在八进制中的正确结论: .【答案】在八进制中,若一个正整数的各位数字之和能被7整除,则该正整数能被7整除8.观察下列等式:13+23=(1+2)2,13+23+33=(1+2+3)2,13+23+33+43=(1+2+3+4)2,…,根据上述规律,第四个等式为.【答案】13+23+33+43+53=(1+2+3+4+5)2(或152)【解析】因为13+23=(1+2)2,13+23+33=(1+2+3)2,…,所以13+23+33+43+53=(1+2+3+4+5)2==152.9.(2012·福建福州质检)下图是网络工作者经常用来解释网络运作的蛇形模型:数字1出现在第1行;数字2,3出现在第2行;数字6,5,4(从左至右)出现在第3行;数字7,8,9,10出现在第4行;依次类推,则第63行从左至右的第8个数字为.【答案】2009【解析】由每行的行号数和这一行的数字的个数相同可求出第63行最左边的一个数是=2016,从左至右的第8个数应是2016-7=2009.10.已知等式:sin25°+cos235°+sin 5°cos 35°=;sin215°+cos245°+sin 15°cos 45°=;sin230°+cos260°+sin 30°c os 60°=;….由此可归纳出对任意角度θ都成立的一个等式,并予以证明.【证明】归纳已知可得:sin2θ+cos2(θ+30°)+sin θcos(θ+30°)=.证明如下:∵sin2θ+cos2(θ+30°)+sin θcos(θ+30°)=sin2θ++sin θ-=sin2θ+=sin2θ+cos2θ-sin2θ=,∴等式成立.11.已知椭圆具有性质:若M,N是椭圆C上关于原点对称的两个点,点P是椭圆上任意一点,当直线PM,PN的斜率都存在,并记为k PM,k PN时,那么k PM与k PN之积是与点P的位置无关的定值.试对双曲线-=1写出具有类似特性的性质,并加以证明.【解】类似的性质为:若M,N是双曲线-=1上关于原点对称的两个点,点P是双曲线上任意一点,当直线PM,PN的斜率都存在,并记为k PM,k PN时,那么k PM与k PN之积是与点P的位置无关的定值.证明:设点M,P的坐标分别为(m,n),(x,y),则点N的坐标为(-m,-n).因为点M(m,n)在已知双曲线上,所以n2=m2-b2.同理y2=x2-b2.故k PM·k PN=·==·=(定值).12.已知等差数列{a n}的公差d=2,首项a1=5.(1)求数列{a n}的前n项和S n;(2)设T n=n(2a n-5),求S1,S2,S3,S4,S5;T1,T2,T3,T4,T5,并归纳出S n与T n的大小规律.【解】(1)S n=5n+×2=n(n+4).(2)∵T n=n(2a n-5)=n[2(2n+3)-5],∴T n=4n2+n.于是T1=5,T2=4×22+2=18,T3=4×32+3=39,T4=4×42+4=68,T5=4×52+5=105.S1=5,S2=2×(2+4)=12,S3=3×(3+4)=21,S4=4×(4+4)=32,S5=5×(5+4)=45.由此可知S1=T1,当n≥2时,S n<T n.归纳猜想:当n≥2,n∈N时,S n<T n.拓展延伸13.设f(n)=n2+n+41,n∈N*,计算f(1),f(2),f(3),f(4),…,f(10)的值,同时作出归纳推理,并用n=40验证猜想是否正确.【解】f(1)=12+1+41=43,f(2)=22+2+41=47,f(3)=32+3+41=53,f(4)=42+4+41=61,f(5)=52+5+41=71,f(6)=62+6+41=83,f(7)=72+7+41=97,f(8)=82+8+41=113,f(9)=92+9+41=131,f(10)=102+10+41=151.∵43,47,53,61,71,83,97,113,131,151都为质数,∴归纳猜想:当n∈N*时,f(n)=n2+n+41的值都为质数.∵n=40时,f(40)=402+40+41=40(40+1)+41=41×41,∴f(40)是合数.因此,由上面归纳推理得到的猜想不正确.。

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第2讲合情推理与演绎推理
基础巩固
1.下列表述正确的是( )
①归纳推理是由部分到整体的推理;
②归纳推理是由一般到一般的推理;
③演绎推理是由一般到特殊的推理;
④类比推理是由特殊到一般的推理;
⑤类比推理是由特殊到特殊的推理.
A.①②③
B.②③④
C.②④⑤
D.①③⑤
【答案】D
【解析】归纳推理是由部分到整体的推理,演绎推理是由一般到特殊的推理,类比推理是由特殊到特殊的推理.
2.已知△ABC中,∠A=30°,∠B=60°,求证:a<b.
证明:
框内部分是演绎推理的( )
A.大前提
B.小前提
C.结论
D.三段论
【答案】B
3.由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则:
①“mn=nm”类比得到“a·b=b·a”;
②“(m+n)t=mt+nt”类比得到“(a+b)·c=a·c+b·c”;
③“(m·n)t=m(n·t)”类比得到“(a·b)·c=a·(b·c)”;
④“t≠0,mt=xt⇒m=x”类比得到“p≠0,a·p=x·p⇒a=x”;
⑤“|m·n|=|m|·|n|”类比得到“|a·b|=|a|·|b|”;
⑥“=”类比得到“=”.
以上式子中,类比得到的结论正确的个数是( )
A.1
B.2
C.3
D.4
【答案】B
【解析】①②正确;③④⑤⑥错误.
4.根据图中5个图形及相应圈的个数的变化规律,试猜测第n个图中有个圈.( )
A.n2+1
B.n2-n
C.n+1
D.n2-n+1
【答案】D
【解析】第(2)个图形,中间有1个圈,另外的圈指向两个方向,每个方向一个圈,共有2×(2-1) +1个圈;
第(3)个图形,中间有1个圈,另外的圈指向三个方向,每个方向两个圈,共有3×(3-1)+1个圈;
第(4)个图形,中间有1个圈,另外的圈指向四个方向,每个方向三个圈,共有4×(4-1)+1个圈;
第(5)个图形,中间有1个圈,另外的圈指向五个方向,每个方向四个圈,共有5×(5-1)+1个圈;
……
由上面的变化规律,可猜测,第n个图形中心有1个圈,另外的圈指向n个方向,每个方向n-1
个圈,共有n(n-1)+1=n2-n+1个圈.
5.(2012·江西卷,6)观察下列各式:a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4,a4+b4=7,a5+b5=11,…,则a10+b10等于( )
A.28
B.76
C.123
D.199
【答案】C
【解析】利用归纳
法:a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4=3+1,a4+b4=4+3=7,a5+b5=7+4=11,a6+b6=11+7=18,a7+b7=18+11=29,a8+b8=29+ 18=47,a9+b9=47+29=76,a10+b10=76+47=123.
规律为从第三组开始,其结果为前两组结果的和.
6.(2012·广东广州综合测试)如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”,它们是由整数的倒数组成的,第n行有n个数且两端的数均为(n≥2),其余每个数是它下一行左右相邻两数的和,如=+,=+,=+,…,则第7行第4个数(从左往右数)为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由“第n行有n个数且两端的数均为”可知,第7行第1个数为,由“其余每个数是它下一行左右相邻两数的和”可知,第7行第2个数为-=,同理易知,第7行第3个数为-=,第7行第4
个数为-=.
7.(2012·陕西西安模拟)我们知道,在十进制中,若一个正整数的各位数字之和能被9整除,则该正整数能被9整除.类比上面的结论,请你写出一个在八进制中的正确结
论: .
【答案】在八进制中,若一个正整数的各位数字之和能被7整除,则该正整数能被7整除
8.观察下列等式:13+23=(1+2)2,13+23+33=(1+2+3)2,13+23+33+43=(1+2+3+4)2,…,根据上述规律,第四个等式为.
【答案】13+23+33+43+53=(1+2+3+4+5)2(或152)
【解析】因为13+23=(1+2)2,13+23+33=(1+2+3)2,…,
所以13+23+33+43+53=(1+2+3+4+5)2==152.
9.(2012·福建福州质检)下图是网络工作者经常用来解释网络运作的蛇形模型:数字1出现在第1行;数字2,3出现在第2行;数字6,5,4(从左至右)出现在第3行;数字7,8,9,10出现在第4行;依次类推,则第63行从左至右的第8个数字为.
【答案】2009
【解析】由每行的行号数和这一行的数字的个数相同可求出第63行最左边的一个数是=2016,从左至右的第8个数应是2016-7=2009.
10.已知等式:sin25°+cos235°+sin 5°cos 35°=;
sin215°+cos245°+sin 15°cos 45°=;
sin230°+cos260°+sin 30°cos 60°=;….
由此可归纳出对任意角度θ都成立的一个等式,并予以证明.
【证明】归纳已知可得:
sin2θ+cos2(θ+30°)+sin θcos(θ+30°)=.
证明如下:
∵sin2θ+cos2(θ+30°)+sin θcos(θ+30°)
=sin2θ++sin θ-
=sin2θ+
=sin2θ+cos2θ-sin2θ=,
∴等式成立.
11.已知椭圆具有性质:若M,N是椭圆C上关于原点对称的两个点,点P是椭圆上任意一点,当直线PM,PN的斜率都存在,并记为k PM,k PN时,那么k PM与k PN之积是与点P的位置无关的定值.试对双曲线-=1写出具有类似特性的性质,并加以证明.
【解】类似的性质为:若M,N是双曲线-=1上关于原点对称的两个点,点P是双曲线上任意一点,当直线PM,PN的斜率都存在,并记为k PM,k PN时,那么k PM与k PN之积是与点P的位置无关的定值.
证明:设点M,P的坐标分别为(m,n), (x,y),
则点N的坐标为(-m,-n).
因为点M(m,n)在已知双曲线上,
所以n2=m2-b2.同理y2=x2-b2.
故k PM·k PN=·==·=(定值).
12.已知等差数列{a n}的公差d=2,首项a1=5.
(1)求数列{a n}的前n项和S n;
(2)设T n=n(2a n-5),求S1,S2,S3,S4,S5;T1,T2,T3,T4,T5,并归纳出S n与T n的大小规律.
【解】(1)S n=5n+×2=n(n+4).
(2)∵T n=n(2a n-5)=n[2(2n+3)-5],
∴T n=4n2+n.
于是T1=5,T2=4×22+2=18,T3=4×32+3=39,
T4=4×42+4=68,T5=4×52+5=105.
S1=5,S2=2×(2+4)=12,S3=3×(3+4)=21,
S4=4×(4+4)=32,S5=5×(5+4)=45.
由此可知S1=T1,当n≥2时,S n<T n.
归纳猜想:当n≥2,n∈N时,S n<T n.
拓展延伸
13.设f(n)=n2+n+41,n∈N*,计算f(1),f(2),f(3),f(4),…,f(10)的值,同时作出归纳推理,并用
n=40验证猜想是否正确.
【解】f(1)=12+1+41=43,
f(2)=22+2+41=47,
f(3)=32+3+41=53,
f(4)=42+4+41=61,
f(5)=52+5+41=71,
f(6)=62+6+41=83,
f(7)=72+7+41=97,
f(8)=82+8+41=113,
f(9)=92+9+41=131,
f(10)=102+10+41=151.
∵43,47,53,61,71,83,97,113,131,151都为质数,
∴归纳猜想:当n∈N*时,f(n)=n2+n+41的值都为质数.
∵n=40时,f(40)=402+40+41=40(40+1)+41=41×41,
∴f(40)是合数.
因此,由上面归纳推理得到的猜想不正确.。

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