东北师大附中—(上)初三第四次月考数学试题
2024年吉林省长春市南关区东北师大附中净月实验学校九年级(上)期末数学试卷+答案解析(附后)
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.实数的绝对值是( )A. 2023B.C.D.2.作为我国核电走向世界的“国家名片”，“华龙一号”是当前核电市场接受度最高的三代核电机型之一，是我国核电企业研发设计的具有完全自主知识产权的三代压水堆核电创新成果，中核集团“华龙一号”示范工程全面建成后，每台机组年发电能力近200亿千瓦时．200亿用科学记数法表示为( )A.B.C.D.3.如图所示的几何体是由7个相同的小正方体组合成的，从左面看到的图形是( )2023-2024学年吉林省长春市南关区东北师大附中净月实验学校九年级（上）期末数学试卷A.B.C.D.4.如图，点A 、B 、C 在上，点D 是AB 延长线上一点，若，则的度数为( )A. 67B. 113C. 134D. 1375.在山坡上植树，要求两棵树间的坡面距离是3，测得斜坡的倾斜角为，则斜坡上相邻两棵树的水平距离是( )A. B. C. D.6.如图，四个三角形拼成一个风车图形，若，当风车转动，点B运动的路径长度为( )A.B.C.D.7.已知，且点，，都在函数的图象上，则( )A. B. C. D.8.如图，点B在反比例函数的图象上，点C在反比例函数的图象上，且轴，，垂足为点C，交y轴于点则的面积为( )A. 4B. 5C. 8D. 10二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
9.分解因式______.10.若关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围为______.11.将抛物线向上平移1个单位长度，再向左平移2个单位长度，则平移后的抛物线的解析式为______.12.计算：______.13.如图，在等腰直角中，，，分别以点B、点C为圆心，线段BC长的一半为半径作圆弧，交AB、BC、AC于点D、E、F，则图中阴影部分的面积为______.14.如图，点P是抛物线在第一象限上的点，过点P分别向x轴和y轴引垂线，垂足分别为A，B，则四边形OAPB周长的最大值为______.三、解答题：本题共10小题，共78分。
2024-2025学年吉林省长春市南关区东北师大附中明珠学校九年级(上)期初数学试卷+答案解析
2024-2025学年吉林省长春市南关区东北师大附中明珠学校九年级（上）期初数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在平面直角坐标系中，若点A坐标为，且，则点A所在的象限是()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.人体内一种细胞的直径约为，数据用科学记数法表示为()A. B. C. D.3.如图，，，，，则EF的长为()A.5B.C.D.4.已知一次函数的图象如图所示，则m、n的取值范围是()A.，B.，C.，D.，5.已知点，是反比例函数图象上的两点，若，则有()A. B. C. D.6.根据图象，可得关于x的不等式的解集是()A. B. C. D.7.如图，在▱ABCD中，F是AD上一点，CF交BD于点E，CF的延长线交BA的延长线于点G，，则下列结论错误的是()A.B.C.D.8.如图，在平面直角坐标系中，点A在反比例函数的图象上，过点A作轴，与反比例函数的图象交于点B，点C为y轴上一点，连结AC、BC，若的面积为4，则k的值为()A. B. C. D.二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
9.若分式有意义，则实数x的取值范围是______.10.关于x的一元二次方程没有实数根是常数，则c的取值范围是______.11.若点与点关于y轴对称，则______.12.如图，线段CD两个端点的坐标分别为、，以原点为位似中心，将线段CD放大得到线段AB，若点B的坐标为，则点A的坐标为______.13.如图，已知，CD和BE相交于点O，：：25，则______.14.如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AB在x轴正半轴上，点A在点B的左侧，直线经过点和点P，且，将直线沿y轴向下平移得到，若点P落在矩形ABCD的内部不含边界，则b的取值范围是______.三、解答题：本题共10小题，共78分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
2024年东北三省三校(哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)高考数学四模试卷+答案解析
2024年东北三省三校（哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）高考数学四模试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，x，，则()A.2B.3C.4D.52.若，是夹角为的两个单位向量，与垂直，则()A.0B.2C.D.3.某种酸奶每罐净重单位：服从正态分布随机抽取1罐，其净重在179g与之间的概率为()注：若，，，A. B. C. D.4.等差数列的前n项和记为，若，，则()A.51B.102C.119D.2385.过点作圆的切线PA，A为切点，，则的最大值是()A. B. C. D.6.已知双曲线的左，右焦点分别为，，点P在双曲线的右支上，I为的内心，记，，的面积分别为，，，且满足，则双曲线的离心率是()A. B. C.2 D.37.某高中2023年的高考考生人数是2022年高考考生人数的倍.为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2022年和2023年高考分数达线情况，得到如图所示扇形统计图：下列结论正确的是()A.该校2023年与2022年的本科达线人数比为6：5B.该校2023年与2022年的专科达线人数比为6：7C.2023年该校本科达线人数比2022年该校本科达线人数增加了D.2023年该校不上线的人数有所减少8.如图，在棱长为2的正方体中，已知M，N，P分别是棱，，BC的中点，Q为平面PMN上的动点，且直线与直线的夹角为，则点Q的轨迹长度为()A.B.C.D.二、多选题：本题共3小题，共18分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知，内角A，B，C分别对应边a，b，c则下列命题中正确的是()A.若，则为钝角三角形B.若，，，则的面积为C.在锐角中，不等式恒成立D.若，，且有两解，则b的取值范围是10.已知函数，则下列说法正确的是()A.的极值点为B.的极值点为1C.直线是曲线的一条切线D.有两个零点11.已知和分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且，则下列说法中正确的是()A.4为的一个周期B.8为的一个周期C. D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
吉林省长春市南关区东北师大附中2024-2025学年数学九年级第一学期开学质量检测模拟试题【含答案】
吉林省长春市南关区东北师大附中2024-2025学年数学九年级第一学期开学质量检测模拟试题题号一二三四五总分得分批阅人A 卷（100分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、（4分）巫溪某中学组织初一初二学生举行“四城同创”宣传活动，从学校坐车出发，先上坡到达A 地后，宣传8分钟；然后下坡到B 地宣传8分钟返回，行程情况如图．若返回时，上、下坡速度仍保持不变，在A 地仍要宣传8分钟，那么他们从B 地返回学校用的时间是()A ．45.2分钟B ．48分钟C ．46分钟D ．33分钟2、（4分）下列各式从左到右的变形为分解因式的是()A ．m 2﹣m ﹣6＝(m+2)(m ﹣3)B ．(m+2)(m ﹣3)＝m 2﹣m ﹣6C ．x 2+8x ﹣9＝(x+3)(x ﹣3)+8x D ．x 2+1＝x(x+1x )3、（4分）如图，在10×6的网格中，每个小方格的边长都是1个单位，将△ABC 平移到△DEF 的位置，下面正确的平移步骤是（）A ．先把△ABC 向左平移5个单位，再向下平移2个单位B ．先把△ABC 向右平移5个单位，再向下平移2个单位C ．先把△ABC 向左平移5个单位，再向上平移2个单位D ．先把△ABC 向右平移5个单位，再向上平移2个单位4、（4分）在t R ABC ∆中，3,5a b ==，则c 的长为（）A ．2B C ．4D ．45、（4分）下列命题中的真命题是（）A ．有一组对边平行的四边形是平行四边形B ．有一个角是直角的四边形是矩形C ．对角线互相垂直平分的四边形是正方形D ．有一组邻边相等的平行四边形是菱形6、（4分）如果()()5x m x +-中不含x 的一次项,则（）A ．5m =B ．0m=C ．5m =-D ．1m =7、（4分）已知空气单位体积质量是30.001239g /cm ，将0.001239用科学记数法表示为（）A ．212.3910-⨯B ．40.123910-⨯C ．31.23910-⨯D ．31.23910⨯8、（4分）下列所给图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A ．B．C ．D ．二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、（4分）将直线y ＝2x +3向下平移2个单位，得直线_____．10、（4分）三角形的各边分别为8cm 、10cm 和12cm ，连结各边中点所成三角形的周长=_____11、（4分）不等式－-3x ＞－1的正整数解是_____．12、（4分）已知直角三角形的两直角边a 、b ()260b +-=，则斜边c 上中线的长为______.13、（4分）张老师公布班上6名同学的数学竞赛成绩时，有意公布了5个人的得分：78，92，61，85，75，又公布了6个人的平均分：80，还有一个未公布，这个未公布的得分是_____．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（12分）某公司销售员的奖励工资由两部分组成：基本工资，每人每月2400元；奖励工资，每销售一件产品，奖励10元.（1）设某销售员月销售产品x 件，他应得的工资为y 元，求y 与x 之间的函数关系式；（2）若该销售员某月工资为3600元，他这个月销价了多少件产品？（3）要使月工资超过4200元，该月的销售量应当超过多少件？15、（8分）如图，在平面直角坐标系中，直线AB ：y kx b =+经过5,12A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，分别交x 轴、直线y x =、y 轴于点B 、P 、C ，已知()2,0B ．（1）求直线AB 的解析式；（2）直线y m =分别交直线AB 于点E 、交直线y x =于点F ，若点F 在点E 的右边，说明m 满足的条件．16、（8分）如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =16，BC =12，AB 的垂直平分线分别交AB 、AC 于点D 、E ．求AB 、EC 的长．17、（10分）某车行经销的A 型自行车去年6月份销售总额为1.6万元，今年由于改造升级每辆车售价比去年增加200元，今年6月份与去年同期相比，销售数量相同，销售总额增加25%．今年A ，B 两种型号车的进价和售价如下表：（1）求今年A 型车每辆售价多少元？（2）该车行计划7月份用不超过4.3万元的资金新进一批A 型车和B 型车共50辆，应如何进货才能使这批车售完后获利最多？18、（10分）如图，在△ABC 中，AB=AC ，D 为BC 中点，四边形ABDE 是平行四边形，AC 、DE 相交于点O ．（1）求证：四边形ADCE 是矩形．（2）若∠AOE=60°，AE=4，求矩形ADCE 对角线的长．B 卷（50分）一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、（4分）飞机着陆后滑行的距离s （单位：米）关于滑行的时间t （单位：秒）的函数解析式是23602s t t =-，则飞机着陆后滑行的最长时间为秒．20、（4分）如图，E 是直线CD 上的一点，已知ABCD 的面积为252cm ，则ABE ∆的面积为________2cm .21、（4分）已知一次函数3y mx =+的图象经过第一、二、四象，请你写出一个满足条件的m 值__________.22、（4分）若分式1x x +值为0，则x 的值为__________．23、（4分）一组数据：5,5,5,5,5，计算其方差的结果为__________．二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24、（8分）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，ABC 的顶点均在格点上，点B 坐标为(1,0)．（1）画出ABC 关于x 轴对称的111A B C △；（2）画出将ABC 绕原点O 逆时针旋转90°所得的222A B C △；（3）111A B C △与222A B C △能组成轴对称图形吗？若能，请你画出所有的对称轴．25、（10分）用一条长48cm 的绳子围矩形，(1)怎样围成一个面积为128cm 2的矩形？(2)能围成一个面积为145cm 2的矩形吗？为什么？（1）（m1+4）1﹣16m1．一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、A【解析】试题分析：由图象可知校车在上坡时的速度为200米每分钟，长度为3600米；下坡时的速度为500米每分钟，长度为6000米；又因为返回时上下坡速度不变，总路程相等，根据题意列出各段所用时间相加即可得出答案．由上图可知，上坡的路程为3600米，速度为200米每分钟；下坡时的路程为6000米，速度为6000÷（46﹣18﹣8×2）=500米每分钟；由于返回时上下坡互换，变为上坡路程为6000米，所以所用时间为30分钟；停8分钟；下坡路程为3600米，所用时间是7.2分钟；故总时间为30+8+7.2=45.2分钟．考点：一次函数的应用．2、A【解析】根据因式分解的概念逐项判断即可．【详解】A、等式从左边到右边，把多项式化成了两个整式积的形式，符合因式分解的定义，故A正确；B、等式从左边到右边属于整式的乘法，故B不正确；C、等式的右边最后计算的是和，不符合因式分解的定义，故C不正确；D、在等式的右边不是整式，故D不正确；故选A．3、A【解析】解：根据网格结构，观察点对应点A、D，点A向左平移5个单位，再向下平移2个单位即可到达点D的位置，所以，平移步骤是：先把△ABC向左平移5个单位，再向下平移2个单位．故选A．4、D分b 是斜边、b 是直角边两种情况，根据勾股定理计算即可．【详解】解：当b 是斜边时，c 4=，当b 是直角边时，c =，则c ＝4故选：D ．本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a ，b ，斜边长为c ，那么a 1＋b 1＝c 1．5、D 【解析】根据平行四边形的判定方法对A 进行判断；根据矩形的判定方法对B 进行判断；根据正方形的判定方法对C 进行判断；根据菱形的判定方法对D 进行判断．【详解】A 、有两组对边平行的四边形是平行四边形，所以A 选项错误；B 、有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以B 选项错误；C 、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，所以C 选项错误；D 、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，所以D 选项正确；故选：D ．本题是对特殊四边形判断的考查，熟练掌握平行四边形，矩形，正方形，菱形的判断知识是解决本题的关键.6、A【解析】利用多项式乘多项式法则计算，根据结果不含x 的一次项求出m 的值即可．【详解】解：原式=x 2+（m-5）x-5m ，由结果中不含x 的一次项，得到m-5=0，解得：m=5，此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．7、C 【解析】由科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．【详解】解：0.001239=31.23910-⨯．故选：C ．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．8、D 【解析】结合中心对称图形和轴对称图形的概念求解即可．【详解】解：A 、是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项错误；B 、不是轴对称图形，是中心对称图形．故本选项错误；C 、是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项错误；D 、既是中心对称图形，又是轴对称图形．故本选项正确；故选：D ．本题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、y=2x+1．【解析】根据“左加右减，上加下减”的平移规律可得：将直线y=-2x+3先向下平移3个单位，得到直线y=－2x+3-2，即y=-2x+1.故答案是：y=﹣2x+1.【解析】由中点和中位线定义可得新三角形的各边长为原三角形各边长的一半，即可求其周长．【详解】如图，D ，E ，F 分别是△ABC 的三边的中点，则DE=12AC,DF=12BC,EF=12AB ，∴△DEF 的周长=DE+DF+EF=12(AC+BC+AB)=12×(8+10+12)cm=15cm ，故答案为15cm.本题考查三角形中位线定理，解题的关键是掌握三角形中位线定理.11、1，1【解析】首先确定不等式的解集，然后再找出不等式的特殊解．【详解】解：解不等式得：x ＜3，故不等式的正整数解为：1，1．故答案为1，1．本题考查了一元一次不等式的整数解，正确解不等式，求出解集是解答本题的关键，解不等式应根据不等式的基本性质．12、5【解析】根据非负数的性质得到两直角边的长，已知直角三角形的两直角边根据勾股定理计算斜边，根据斜边上的中线等于斜边的一半计算斜边中长线。
2024年吉林省长春市朝阳区东北师大附中数学九上开学经典试题【含答案】
2024年吉林省长春市朝阳区东北师大附中数学九上开学经典试题题号一二三四五总分得分A 卷（100分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、（4分）如图，将Rt ABC ∆绕点A 按顺时针旋转一定角度得到Rt ADE ∆，点B 的对应点D 恰好落在BC 边上.若AC =60B ∠=︒，则CD 的长为（）A ．1B C ．2D ．4-2、（4分）如图，过正五边形ABCDE 的顶点B 作直线l AC ，则1∠的度数为（）A ．36o B ．45C ．55D ．603、（4分）以矩形ABCD 两对角线的交点O 为原点建立平面直角坐标系，且x 轴过BC 中点，y 轴过CD 中点，y ＝12x ﹣2与边AB 、BC 分别交于点E 、F ，若AB ＝10，BC ＝3，则△EBF 的面积是()A ．4B ．5C ．6D ．74、（4分）已知图2是由图1七巧板拼成的数字“0”，己知正方形ABCD 的边长为4，则六学校________________班级____________姓名____________考场____________准考证号…………………………密…………封…………线…………内…………不…………要…………答…………题…………………………边形EFGHMN 的周长为（）A ．542+B ．1024+C ．122D ．125、（4分）等腰三角形的两条边长分别为3和4，则其周长等于（）A ．10B ．11C ．10或11D ．不确定6、（4分）如图，在梯形ABCD 中，//AD BC ，70B ∠=，40C ∠=，//DE AB 交BC 于点.E 若3AD =，10BC =，则CD 的长是()A ．7B ．10C ．13D ．147、（4分）小华所在的九年级一班共有50名学生，一次体检测量了全班学生的身高，由此求得该班学生的平均身高是1.65米，而小华的身高是1.66米，下列说法错误的是（）A ．1.65米是该班学生身高的平均水平B ．班上比小华高的学生人数不会超过25人C ．这组身高数据的中位数不一定是1.65米D ．这组身高数据的众数不一定是1.65米8、（4分）正比例函数y=-2x 的图象经过（）A ．第三、一象限B ．第二、四象限C ．第二、一象限D ．第三、四象限二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、（4分）下面是甲、乙两人10次射击成绩（环数）的条形统计图，则这两人10次射击命中环数的方差2s 甲____2s 乙．（填“＞”、“＜”或“＝”）10、（4分）若关于x 的分式方程32x x -＝32x π+-有增根，则m 的值为_____．11、（4分）如图，在AB CD 中，∠A =45°，BC =2，则AB 与CD 之间的距离为________．12、（4分）直线y ＝2x ﹣4与x 轴的交点坐标是_____．13、（4分）如图，四边形ABCD 是一块正方形场地，小华和小芳在AB 边上取定一点E ，测量知30m EC =，10m EB =，这块场地的对角线长是________．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（12分）经销店为厂家代销一种新型环保水泥，当每吨售价为260元时，月销售量为45吨，每售出1吨这种水泥共需支付厂家费用和其他费用共100元．该经销店为扩大销售量、提高经营利润，计划采取降价的方式进行促销，经市场调查发现，当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7.5吨．（1）当每吨售价是240元时，此时的月销售量是多少吨.（2）该经销店计划月利润为9000元而且尽可能地扩大销售量，则售价应定为每吨多少元？15、（8分）(1)分解因式：﹣m+2m 2﹣m 3(2)化简：(1a +1b )÷(a b ﹣b a )．16、（8分）如图，在直角梯形ABCD 中，AD∥BC，∠B=90°，且AD=12cm，AB=8cm，DC=10cm，若动点P 从A 点出发，以每秒2cm 的速度沿线段AD 向点D 运动；动点Q 从C 点出发以每秒3cm 的速度沿CB 向B 点运动，当P 点到达D 点时，动点P、Q 同时停止运动，设点P、Q 同时出发，并运动了t 秒，回答下列问题：（1）BC=cm ；（2）当t 为多少时，四边形PQCD 成为平行四边形？（3）当t 为多少时，四边形PQCD 为等腰梯形？（4）是否存在t，使得△DQC 是等腰三角形？若存在，请求出t 的值；若不存在，说明理由．17、（10分）如图，在四边形ABCD ，DA=5，∠B=90°，求∠BCD 的度数18、（10分）某校开展“涌读诗词经典，弘扬传统文化”诗词诵读活动，为了解八年级学生在这次活动中的诗词诵背情况，随机抽取了30名八年级学生，调查“一周诗词诵背数量”，调查结果如下表所示：一周诗词诵背数量(首)234567人数(人)1359102(1)计算这30人平均每人一周诵背诗词多少首；(2)该校八年级共有6600名学生参加了这次活动，在这次活动中，估计八年级学生中一周诵背诗词6首以上(含6首)的学生有多少人.B 卷（50分）一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、（4分）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴上，边在轴上，点的坐标为.将矩形沿对角线翻折，点落在点的位置，且交轴于点，那么点的坐标为______.20、（4分）如图，三个边长均为1的正方形按如图所示的方式摆放，A 1，A 2分别是正方形对角线的交点，则重叠部分的面积和为______.21、（4分）在平面直角坐标系中，将函数3y x =的图象向上平移6个单位长度，则平移后的图象与x 轴的交点坐标为__________．22、（4分）在△ABC 中，边AB 、BC 、AC 的垂直平分线相交于P ，则PA 、PB 、PC 的大小关系是________．23、（4分）若a b <，则3a______3b ；a 1-+______b 1.(-+用“>”，“<”，或“=”填空)二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24、（8分）因式分解（1）328m m -；（2）2()6()9a b a b +-++．25、（10分）如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，ABC ∆的三个顶点的坐标分别为()1,3A -，()4,0B -，()0,0C ，解答下列问题：(1)将ABC ∆向上平移1个单位长度，再向右平移5个单位长度后得到的111A B C ∆，画出111A B C ∆；(2)ABC ∆绕原点O 逆时针方向旋转90︒得到22A B O ∆，画出22A B O ∆；(3)如果利用22A B O ∆旋转可以得到111A B C ∆，请直接写出旋转中心P 的坐标.26、（12分）如图，在Rt ABC 中,90,16,12ABC AB BC ∠=︒==，点D 为AC 边上的动点，点D 从点C 出发，沿边CA 向点A 运动，当运动到点A 时停止，若设点D 运动的时间为t 秒，点D 运动的速度为每秒2个单位长度．（1）当2t =时，CD =，AD =；（2）求当t 为何值时，CBD 是直角三角形，说明理由;（3）求当t 为何值时，BC BD =，并说明理由．参考答案与详细解析一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、C【解析】先根据旋转的性质判断出ADB∆是等边三角形，然后设AB x=，得到2BC x=，CD x=，利用勾股定理进行计算即可．【详解】根据题意可知AB=AD,且∠ABD=60°，∴ADB∆是等边三角形，且30C∠=︒，设AB x=，则DB x=，2BC x=，所以，CD x=，在Rt ABC∆中，(()2222x x+=，得，2x=（负值已舍）.故选C.此题考查旋转的性质，解题关键在于掌握旋转的性质，再利用勾股定理进行计算.2、A【解析】由两直线平行，内错角相等及正五边形内角的度数即可求解.【详解】解：由正五边形ABCDE可得(52)180108,5ABC BA BC︒︒-⨯∠===,180108362BCA BAC︒︒︒-∴∠=∠==又l AC136BCA︒∴∠=∠=故答案为：A本题主要考查了正多边形的内角及平行线的性质，掌握正多边形内角的求法是解题的关键.正n边形每个内角的度数为(2)180 nn︒-⨯.3、A 【解析】根据题意得：B(2，﹣32)，可得E的纵坐标为﹣32，F的横坐标为2．代入解析式y＝12x﹣2可求E，F坐标．则可求△EBF的面积．【详解】解：∵x轴过BC中点，y轴过CD中点，AB＝20，BC＝3∴B(2，﹣3 2)∴E的纵坐标为﹣32，F的横坐标为2．∵y＝12x﹣2与边AB、BC分别交于点E、F．∴当x＝2时，y＝1 2．当y＝﹣32时，x＝2．∴E(2，﹣32)，F(2，12)∴BE＝4，BF＝2∴S△BEF＝12BE×BF＝4故选A．本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，关键是找到E，F两点坐标．4、B【解析】根据正方形的边长以及七巧板的特点先求出七巧板各个图形的边长，继而即可求得六边形的周长．【详解】解：如图，七巧板各图形的边长如图所示，则六边形EFGHMN 的周长为：+4，故选B ．本题考查了正方形的面积、七巧板、周长的定义等，七巧板由下面七块板组成（完整图案为一正方形）：五块等腰直角三角形（两块小型小三角形，一块中型三角形和两块大型三角形）、一块正方形和一块平行四边形，熟知七巧板中各块中的边长之间的关系是解题的关键．5、C 【解析】根据等腰三角形的性质即可判断.【详解】∵等腰三角形的两条边长分别为3和4∴第三边为3或4，故周长为10或11，故选C此题主要考查等腰三角形的周长，解题的关键是熟知等腰三角形的性质.6、A【解析】根据平行线的性质，得DEC B 70∠∠==，根据三角形的内角和定理，得CDE 70∠=，再根据等角对等边，得CD CE.=根据两组对边分别平行，知四边形ABED 是平行四边形，则BE AD 3==，从而求解．【详解】DE //AB ，B 70∠=，DEC B 70∠∠∴==．又C 40∠=，CDE 70∠∴=．CD CE ∴=．AD //BC ，DE //AB ，∴四边形ABED 是平行四边形．BE AD 3∴==．CD CE BC BE BC AD 1037∴==-=-=-=．故选：A ．此题综合运用了平行四边形的判定及性质、平行线的性质、等角对等边的性质．7、B 【解析】根据平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数，它是反映数据集中趋势的一项指标．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数，中位数代表了这组数据值大小的“中点”，不易受极端值影响，但不能充分利用所有数据的信息，对每一项进行分析即可：A 、1.65米是该班学生身高的平均水平，正确；B 、因为小华的身高是1.66米，不是中位数，所以班上比小华高的学生人数不会超过25人错误；C 、这组身高数据的中位数不一定是1.65米，正确；D 、这组身高数据的众数不一定是1.65米，正确．故选B ．8、B【解析】根据正比例函数的图象和性质，k>0，图象过第一，三象限，k<0，图象过第二，四象限，即可判断．【详解】∵正比例函数y=-2x ，k<0，所以图象过第二，四象限，故选:B ．考查了正比例函数的图象和性质，理解和掌握正比例函数的图象和性质是解题关键，注意系数的正负号决定了图象过的象限．二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、＞【解析】先分别求出各自的平均数，再根据方差公式求出方差，即可作出比较．【详解】甲的平均数(8492104)109=⨯+⨯+⨯÷=则()2222140214100.8甲=⨯+⨯+⨯÷=S 乙的平均数(8394103)109=⨯+⨯+⨯÷=则()2222130413100.6乙=⨯+⨯+⨯÷=S 所以22S S >甲乙本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握方差的求法，即可完成．10、3【解析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母x-2=0，得到x=2，然后代入化为整式方程的方程算出m 的值．【详解】解：去分母得：3x ＝m +3，由分式方程有增根，得到x ﹣2＝0，即x ＝2，把x ＝2代入方程得：6＝m +3，解得：m ＝3，故答案为：3此题考查分式方程的增根，解题关键在于得到x 的值.11、【解析】先由平行四边形对边相等得AD =BC ,作DE ⊥AE ，由题意可知△ADE 为等腰直角三角形，根据勾股定理可以求出DE 的长度，即AB 和CD 之间的距离.【详解】如图，过D 作DE ⊥AB 交AB 于E ，∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AD =BC =2，△ADE 为等腰直角三角形，，根据勾股定理得，，，，即AB 和CD 之间的距离为，故答案为：本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，熟练利用勾股定理求直角三角形中线段长是解题的关键.12、（2，0）【解析】与x 轴交点的纵坐标是0，所以把y 0 代入函数解析式，即可求得相应的x 的值．【详解】解：令y 0=，则2x 40-=，解得x 2=．所以，直线y 2x 4=-与x 轴的交点坐标是()2,0．故填：()2,0．本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，经过函数的某点一定在函数的图象上．13、40m 【解析】先根据勾股定理求出BC ，故可得到正方形对角线的长度．【详解】∵30m EC =，10m EB =∴BC ==，∴对角线AC=40(m)=．故答案为：40m ．此题主要考查利用勾股定理解直角三角形，解题的关键是熟知勾股定理的运用．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（1）60；（2）将售价定为200元时销量最大.【解析】（1）因为每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7.5吨，可求出当每吨售价是240元时，此时的月销售量是多少吨．（2）设当售价定为每吨x 元时，根据当每吨售价为260元时，月销售量为45吨，每售出1吨这种水泥共需支付厂家费用和其他费用共100元，当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7.5吨，且该经销店计划月利润为9000元而且尽可能地扩大销售量，以9000元做为等量关系可列出方程求解．【详解】（1）45+26024010-×7.5=60；（2）设售价每吨为x 元，根据题意列方程为：（x -100）（45+26010x -×7.5）=9000，化简得x 2-420x +44000=0，解得x 1=200，x 2=220（舍去），因此，将售价定为200元时销量最大.本题考查理解题意能力，关键是找出降价10元，却多销售7.5吨的关系，从而列方程求解．15、解：（1）﹣m（1﹣m ）2；（2）1a b -．【解析】（1）先提取公因式−m ，再利用完全平方公式分解可得；（2）先计算括号内分式的加减运算，再将除法转化为乘法，继而约分可得．【详解】解：（1）原式＝﹣m （1﹣2m +m 2）＝﹣m（1﹣m ）2；（2）原式＝221=()()a b a b a b ab ab ab ab a b a b a b +-+÷=⋅+--．本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则及因式分解的基本步骤．16、（1）18cm（2）当t=秒时四边形PQCD 为平行四边形（3）当t=时，四边形PQCD 为等腰梯形（4）存在t，t 的值为秒或4秒或秒【解析】试题分析：（1）作DE ⊥BC 于E ，则四边形ABED 为矩形．在直角△CDE 中，已知DC 、DE 的长，根据勾股定理可以计算EC 的长度，根据BC=BE+EC 即可求出BC 的长度；（2）由于PD ∥QC ，所以当PD=QC 时，四边形PQCD 为平行四边形，根据PD=QC 列出关于t 的方程，解方程即可；（3）首先过D 作DE ⊥BC 于E ，可求得EC 的长，又由当PQ=CD 时，四边形PQCD 为等腰梯形，可求得当QC-PD=QC-EF=QF+EC=2CE ，即3t-（12-2t ）=12时，四边形PQCD 为等腰梯形，解此方程即可求得答案；（4）因为三边中，每两条边都有相等的可能，所以应考虑三种情况．结合路程=速度×时间求得其中的有关的边，运用等腰三角形的性质和解直角三角形的知识求解．试题解析：根据题意得：PA=2t ，CQ=3t ，则PD=AD-PA=12-2t ．（1）如图，过D 点作DE ⊥BC 于E ，则四边形ABED 为矩形，DE=AB=8cm ，AD=BE=12cm ，在直角△CDE 中，∵∠CED=90°，DC=10cm ，DE=8cm ，∴EC==6cm ，∴BC=BE+EC=18cm ．（2）∵AD ∥BC ，即PD ∥CQ ，∴当PD=CQ 时，四边形PQCD 为平行四边形，即12-2t=3t ，解得t=秒，故当t=秒时四边形PQCD 为平行四边形；（3）如图，过D 点作DE ⊥BC 于E ，则四边形ABED 为矩形，DE=AB=8cm ，AD=BE=12cm ，当PQ=CD 时，四边形PQCD 为等腰梯形．过点P 作PF ⊥BC 于点F ，过点D 作DE ⊥BC 于点E ，则四边形PDEF 是矩形，EF=PD=12-2t ，PF=DE ．在Rt △PQF 和Rt △CDE 中，，∴Rt △PQF ≌Rt △CDE （HL ），∴QF=CE ，∴QC-PD=QC-EF=QF+EC=2CE ，即3t-（12-2t ）=12，解得：t=，即当t=时，四边形PQCD 为等腰梯形；（4）△DQC 是等腰三角形时，分三种情况讨论：①当QC=DC 时，即3t=10，∴t=；②当DQ=DC 时，∴t=4；③当QD=QC 时，3t×∴t=．故存在t ，使得△DQC 是等腰三角形，此时t 的值为秒或4秒或秒．考点：四边形综合题．17、135°.【解析】由于∠B=90°，AB=BC=3，利用勾股定理可求AC ，并可求∠BCA=45°，而CD=，AD=5，易得AC 2+AD 2=CD 2，可证△ACD 是直角三角形，于是有∠ACD=90°，从而易求∠BCD ．【详解】解：∵∠B=90°，AB=BC=3，∴=3，，∠BAC=∠BCA=45°，又∵CD=，DA=5，∴AC 2+CD 2=18+7=25，AD 2=25，∴AC 2+CD 2=AD 2，∴△ACD 是直角三角形，∴∠ACD=90°，∴∠BCD=∠BCA+∠DCA=45°+90°=135°．本题考查等腰三角形的性质、勾股定理、勾股定理的逆定理．解题的关键是证明△ACD 是直角三角形．18、（1）5；（2）2640【解析】（1）根据平均数定义求解；（2）用样本估计总体情况.【详解】（1）平均数：2133455961072530⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（首）（2）估计八年级学生中一周诵背诗词6首以上(含6首)的学生有：660010230+⨯=2640（人）答：这30人平均每人一周诵背诗词5首；估计八年级学生中一周诵背诗词6首以上(含6首)的学生有2640人.考核知识点：平均数，用样本估计总体.理解题意是关键.一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、（0，）．【解析】先证明EA=EC （设为x ）；根据勾股定理列出x 2=12+（3-x ）2，求得x=，即可解决问题．【详解】由题意知：∠BAC=∠DAC ，AB ∥OC ，∴∠ECA=∠BAC ，∴∠ECA=∠DAC ，∴EA=EC （设为x ）；由题意得：OA=1，OC=AB=3；由勾股定理得：x 2=12+（3-x ）2，解得：x=，∴OE=3-=，∴E 点的坐标为（0，）．故答案为：（0，）．该题主要考查了翻折变换的性质及其应用问题；解题的关键是灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答；对综合的分析问题解决问题的能力提出了较高的要求．20、12【解析】过点A 1分别作正方形两边的垂线A 1D 与A 1E ，根据正方形的性质可得A 1D=A 1E ，再根据同角的余角相等求出∠BA 1D=∠CA 1E ，然后利用“角边角”证明△A 1BD 和△A 1CE 全等，根据全等三角形的面积相等求出阴影部分的面积等于正方形面积的14，即可求解．【详解】如图，过点A 1分别作正方形两边的垂线A 1D 与A 1E ，∵点A 1是正方形的中心，∴A 1D=A 1E ，∵∠BA 1D+∠BA 1E=90°，∠CA 1E+∠BA 1E=90°，∴∠BA 1D=∠CA 1E ，A 1D=A 1E ，∠A 1DB=∠A 1EC=90°，∴△A 1BD ≌△A 1CE （ASA ），∴△A 1BD 的面积=△A 1CE 的面积，∴两个正方形的重合面积=14正方形面积=14，∴重叠部分的面积和为14×2=12.故答案是:12.考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，作辅助线构造出全等三角形求出阴影部分的面积是14正方形的面积的是解题的关键．21、()2,0-．【解析】先根据平移特点求出新函数解析式，然后再求解新函数与x 轴的交点坐标．【详解】解：由“上加下减”的平移规律可知：将函数3y x =的图象向上平移6个单位长度所得到的的新函数的解析式为：36y x =+，令0y =，得：360x +=，解得：2x =-，∴与x 轴的交点坐标为()2,0-，故答案为：()2,0-．本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知平移的规律——上加下减，左加右减是解答此题的关键．22、PA=PB=PC【解析】解：∵边AB 的垂直平分线相交于P ，∴PA=PB ，∵边BC 的垂直平分线相交于P ，∴PB=PC ，∴PA=PB=PC ．故答案为：PA=PB=PC ．23、<>【解析】根据不等式的性质逐一进行解答即可得.【详解】若a b <，根据不等式性质2，两边同时乘以3，不等号方向不变，则3a 3b <；根据不等式性质3，不等式两边同时乘以-1，不等号方向改变，则有a b ->-，再根据不等式性质1，两边同时加上1，不等号方向不变，则a 1b 1-+>-+，故答案为：<；>．本题考查了不等式性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键.不等式的性质：不等式的两边加上或减去同一个数或式子，不等号的方向不变；不等式两边同时乘以或除以同一个不为0的正数，不等号的方向不变；不等式两边同时乘以或除以同一个不为0的负数，不等号的方向改变．二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24、（1）()()222m m m +-；（2）()23a b +-【解析】(1)首先找出公因式，进而利用平方差公式分解因式即可；(2)利用完全平方公式分解因式即可.【详解】解：（1）328m m -=2m(m 2-4)=()()222m m m +-;（2）2()6()9a b a b +-++=()23a b +-此题主要考查了提公因式法以及公式法进行分解因式，正确找出公因式是解题关键．25、(1)见解析；(2)见解析；(3)(3，-2).【解析】（1）分别将点A 、B 、C 向上平移1个单位，再向右平移5个单位，然后顺次连接得到△A 1B 1C 1，然后写出A 1的坐标即可；（2）根据网格结构找出点A 、B 、C 以点O 为旋转中心逆时针方向旋转90°后的对应点，然后顺次连接得到△A 2B 2O ；（3）利用旋转的性质得出答案．【详解】(1)如图所示，111A B C ∆为所求作的三角形;(2)如图所示，22A B O ∆为所求作的三角形．(3)将△A 2B 2C 2绕某点P 旋转可以得到△A 1B 1C 1，点P 的坐标为：()3,2-.考查了利用旋转变换作图，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．26、（1）CD=4，AD=16；（2）当t=3.6或10秒时，CBD 是直角三角形，理由见解析；（3）当t=7.2秒时，BC BD =，理由见解析【解析】（1）根据CD=速度×时间列式计算即可得解，利用勾股定理列式求出AC ，再根据AD=AC-CD 代入数据进行计算即可得解；（2）分①∠CDB=90°时，利用△ABC 的面积列式计算即可求出BD ，然后利用勾股定理列式求解得到CD ，再根据时间=路程÷速度计算；②∠CBD=90°时，点D 和点A 重合，然后根据时间=路程÷速度计算即可得解；（3）过点B 作BF ⊥AC 于F ，根据等腰三角形三线合一的性质可得CD=2CF ，再由（2）的结论解答．【详解】解：（1）t=2时，CD=2×2=4，∵∠ABC=90°，AB=16，BC=12，20AC ∴===∴AD=AC-CD=20-4=16；（2）①∠CDB=90°时，1122ABC S AC BD AB BC =⋅=⋅∴1120161222BD ⨯⋅=⨯⨯解得BD=9.6，∴7.2CD ===t=7.2÷2=3.6秒；②∠CBD=90°时，点D 和点A 重合，t=20÷2=10秒，综上所述，当t=3.6或10秒时，CBD 是直角三角形；（3）如图，过点B 作BF ⊥AC 于F ，由（2）①得：CF=7.2，∵BD=BC ，∴CD=2CF=7.2×2=14.4，∴t=14.4÷2=7.2，∴当t=7.2秒时，BC BD =，本题考查了勾股定理，等腰三角形的判定与性质，三角形的面积，熟练掌握相关的知识是解题的关键。
东北师范大学附属中学2024-2025学年高一上学期月考(三)数学试题(解析版)
2024-2025学年吉林省长春市东北师大附中高一（上）月考数学试卷（三）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 集合(){},|0,R,R Mx y xy x y =<∈∈表示平面直角坐标系中（ ）A. 第一象限内的点集B. 第三象限内的点集C. 第一、三象限内的点集D. 第二、四象限内的点集【答案】D 【解析】【分析】根据集合M 的条件，确定x ，y 的正负，从而确定正确答案. 【详解】由0xy <，可得0x <，0y >或者0x >，0y <， 所以M 是第二、四象限内的点集． 故选：D2. 代数式22568x xy y +−=（ ） A. ()()254+−x y x y B. ()()254x y x y −+ C. ()()524x y x y +− D. ()()524x y x y −+【答案】A 【解析】【分析】利用“十字相乘法”因式分解可得答案． 【详解】()()22568254x xy y x y x y +−=+−故选：A.3. 下列表示同一个集合的是（ ） A. (){}1,2M =，(){}2,1N =B. {}1,2M =，{}2,1N =C. {|Mx y ==，{|Ny y ==【答案】B 【解析】【分析】根据集合相等的定义逐项判断即可．【详解】对A ：()1,2与()2,1不同，M ，N 不是同一个集合，故A 错误； 对B ：根据集合元素的无序性知{}{}1,22,1=，故B 正确；对C ：{}|1M x x =≥，{}|0N y y =≥，M ，N 不是同一个集合，故C 错误； 对D ：(){,|M x y y x ==且}0x ≠，(){},|N x y y x ==， 故M ，N 不是同一个集合，故D 错误． 故选：B.4. 设全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U =，集合{}1,2,3,5A =，{}2,4,6B =，则图中阴影部分表示的集合为（ ）A. {}2B. {}4,6C. {}1,3,5D. {}4,6,7,8【答案】B 【解析】【分析】由韦恩图可知阴影部分表示的集合为()U A B ，根据集合的运算求解即可． 【详解】由韦恩图可知阴影部分表示的集合为()U A B ， ∵{}4,6,7,8U A = ，∴(){}{}{}4,6,7,82,4,64,6U A B==． 故选：B ．5. 学校举办运动会，高一某班共有30名同学参加比赛，有16人参加游泳比赛，有9人参加田径比赛，有15人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有4人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛．则只参加球类一项比赛的人数为（ ） A. 8 B. 9 C. 12 D. 2的【分析】根据题意，设同时参加球类与田径类的人数为x 人，然后画出韦恩图，根据图建立方程求出x 的值，进而可以求解．【详解】根据题意，设同时参加球类与田径类的人数为x 人，如图所示， 所以94351230x x x +++−++−=，解得3x =， 则只参加球类比赛的人数有1239−=人．故选：B.6. 设集合{}0,1,2A =,则集合{}|,B x y x A y A =−∈∈中元素的个数是 A. 1 B. 3C. 5D. 9【答案】C 【解析】【详解】∵A={0，1，2}，B={x ﹣y|x ∈A ，y ∈A}，∴当x=0，y 分别取0，1，2时，y 的值分别为0，﹣1，﹣2； 当x=1，y 分别取0，1，2时，x ﹣y 的值分别为1，0，﹣1； 当x=2，y 分别取0，1，2时，x ﹣y 的值分别为2，1，0； ∴B={﹣2，﹣1，0，1，2}，∴集合B={x ﹣y|x ∈A ，y ∈A}中元素的个数是5个． 故选C ．7. 若x ∈A ，则1A x ∈，就称A 是伙伴关系集合，集合11,0,,2,32M=−的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是（ ） A. 1 B. 3 C. 7 D. 31【分析】根据题中所给的定义，结合子集的定义进行求解即可. 【详解】根据题意可知：当1B −∈，要想具有伙伴关系，则必满足11B ∈−，所以集合{}1B =−符合题意；当12C ∈，要想具有伙伴关系，则必满足112C ∈，即2C ，所以集合1,22C =符合题意； 显然集合11,,22D =−也符合题意，故一共三个集合具有伙伴关系.故选：B【点睛】本题考查了新定义理解的问题，考查了数学阅读能力，考查了子集的应用，属于基础题.8. 已知集合{}220|A x mxx m =−+=仅有两个子集，则实数m 的取值构成的集合为（ ）A. {}1,1−B. {}1,0,1−C. {}0,1D. ∅【答案】B 【解析】【分析】因为集合A 仅有两个子集,可知集合A 仅有一个元素.对m 分类讨论,即可求得m 的值. 【详解】由集合A 仅有两个子集 可知集合A 仅有一个元素.当0m =时,可得方程的解为0x =此时集合{}0A =,满足集合A 仅有两个子集 当0m ≠时,方程220mx x m −+=有两个相等实数根,则()22240m ∆=−−=,解得1m =或1m =−,代入可解得集合{}1A =或{}1A =−.满足集合A 仅有两个子集综上可知, m 的取值构成的集合为{}1,0,1− 故选:B【点睛】本题考查了集合的元素的特征,子集个数的计算,属于基础题.二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.设集合{},,A x x m m n N ∗=+∈，若1x A ∈，2x A ∈，12x x A ⊕∈，则运算⊕可能是（ ）A. 加法B. 减法C. 乘法D. 除法的【分析】先由题意设出111x m =+，222x m =+，然后分别计算12x x +，12x x −，21x x ，12x x ，即可得解.【详解】由题意可设111x m =，222x m =，其中1m ，2m ，1n ，2n N ∗∈， 则()1212x x m m +=+)12n n +，12x x A +∈，所以加法满足条件，A 正确；())121212x x m m n n −−+−，当12n n =时，12x x A −∉，所以减法不满足条件，B 错误；)12121212213x x m m n n m n m n =++，12x x A ∈，所以乘法满足条件，C正确；12x x =()11220m n m n λλ==>时，12xA x ∉，所以除法不满足条件，D 错误. 故选：AC .10. 下列表示图形中的阴影部分的是（ ）A. ()()A C B CB. ()()A B A CC. ()()A B B CD. ()A B C 【答案】AD 【解析】【分析】根据Venn 图观察阴影部分的元素属于C ，属于A B ∩，再分析选项得到答案. 【详解】由已知的Venn 图可得：阴影部分的元素属于C ，属于A B ∩， 故阴影部分表示的集合为()()()A B C A C B C ∩∪=∪∩∪，11. 给定数集A ，对于任意,a b A ∈，有a b A +∈且a b A −∈，则称集合A 为闭集合．则以下结论中，不正确的是（ ）A. 集合{}4,2,0,2,4A =−−为闭集合B. 集合{}|3,A n n k k ==∈Z 为闭集合C. 若集合12,A A 为闭集合，则12A A ∪为闭集合D. 若集合12,A A 为闭集合，且1A ⊆R ，2A ⊆R ，则存在c ∈R ，使得()12c A A ∉∪ 【答案】ACD 【解析】【分析】根据定义，A 选项，可以验证当2a =，4b =时，6a b A +=∉，故A 错误；B 选项，整数加减结果还是整数，由闭集合定义可得B 正确；CD 选项，举两个集合特例验证即可得． 【详解】A 选项，{}4,2,0,2,4A =−−， 当2a =，4b =时，a A b A ∈∈,，但6a b A +=∉，不满足闭集合的定义，故A 错误；B 选项，{}|3,A n n k k ==∈Z ，任意a A b A ∈∈,，可设3a m =，3b n =，,m n ∈Z ，则()3a bm n +=+，()3a b m n −=−， 由m n +∈Z ，m n −∈Z ， 所以a b A +∈，且a b A −∈，故集合A 为闭集合．故B 正确；C 选项，设{}1|2,A n n k k ==∈Z ，任意11,a A b A ∈∈，可设2a m =，2b n =，,m n ∈Z ，则()2a bm n +=+，()2a b m n −=−， 由m n +∈Z ，m n −∈Z ， 所以1a b A +∈，且1a b A −∈，则集合1A 为闭集合．由B 选项分析可知{}2|3,A n n k k ==∈Z 也为闭集合．{}12,6,4,3,2,0,2,3,4,6A A ∪=−−−− ，当2a =，3b =时，()(),a A A b A A ∈∪∈∪，D 选项，设12A A ==R ，若,a b ∈R ，则a b +∈R ，a b −∈R ， 则12,A A 都为闭集合，又12A A ==⊆R R ，且12A A ∪=R ， 不存在c ∈R ，使得c ∉R ，即不存在c ∈R ，使得()12c A A ∉∪，故D 错误； 故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 定义集合运算：{*|AB x x A =∈且}x B ∉，若集合{}1,3,4,6A =，{}2,4,5,6B =，则集合*A B 的子集个数为______． 【答案】4 【解析】【分析】根据定义先求出集合*A B ，再用子集定义求子集个数． 【详解】集合{}1,3,4,6A =，{}2,4,5,6B =， 由*A B 的定义可得，{}*1,3A B =， 所以子集有∅，{}1，{}3，{}1,3，共4个． 故答案：4．13 设全集{},9U x x x ∗=∈≤N ，(){}1,3U A B ∪=，(){}2,4U A B = ，则B =________. 【答案】{}5,6,7,8,9 【解析】【分析】根据集合间的运算逐步分析即可得所求结果． 【详解】{}{},91,2,3,4,5,6,7,8,9U x x x ∗=∈≤=N ，(){}1,3UA B ∪=， {}2,4,5,6,7,8,9A B ∴= ，又(){}2,4U A B = ，2A ∴∈，4A ∈，2∉B ，4B ∉，{}5,6,7,8,9B ∴=. 故答案为：{}5,6,7,8,9.14. 设集合{}1,2A=−，{}|10,B x ax a =−=∈R ，若B A ⊆，则a 的值为______．【答案】0或1或12− 为.【详解】由{}|10,Bx ax a =−=∈R ，方程10ax −=至多1个解，故{}1,2B ≠−.B A ⊆ ，B ∴=∅或{}2−或{}1，①若B =∅，则0a =； ②若{}1B =，则1a =； ③若{}2B =−，则210a −−=，解得12a =−； 综上可得，0a =或1或12−. 故答案为：0或1或12−. 四、解答题：本题共4小题，共47分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15. 已知{|23}A x a x a =≤≤+，{|1B x x =<−或5}x >，若A B φ= ，求a 的取值范围． 【答案】1232[,](,)−∪+∞ 【解析】【分析】根据题意，可分A φ=和A φ≠两种情况，结合集合交集的概念及运算，列出不等式（组），即可求解.【详解】由题意，集合{|23}A x a x a =≤≤+，{|1B x x =<−或5}x >，且A B φ= ， 当A φ=时，可得23a a >+，解得3a >，此时满足A B φ= ；当A φ≠时，则满足232135a a a a ≤+≥− +≤，解得122a −≤≤，综上可得，实数a 的取值范围是1232[,](,)−∪+∞. 16. 设全集U ＝R ，集合A ＝{x ∈N |x 2＋px ＋12＝0}，B ＝{x ∈N |x 2－5x ＋q ＝0}．若(∁U A )∩B ＝{2}，A ∩(∁U B )＝{4}，试求： （1）p ＋q 的值；（2）满足S ⊆(A ∪B )的集合S 的个数．【分析】（1）利用已知(){2}U A B = ，得到2B ∈，进而求出q ，再由(){4}U A B = ，得到4A ∈，进而求出p ，从而求出p q +的值；（2）利用（1）可得集合,A B ，进而写出A B ，从而求得集合S 的个数. 【详解】（1）依题意，知2∈B ，所以22－5×2＋q ＝0，所以q ＝6. 又由4∈A ，所以42＋4p ＋12＝0，所以p ＝－7， 所以p ＋q ＝－7＋6＝－1.（2）由（1）知A ＝{x |x 2－7x ＋12＝0}＝{3，4}，B ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}＝{2，3}，所以A ∪B ＝{2，3，4}．因为S ⊆(A ∪B )，所以S 的个数为23＝8.17. 设实数集R 为全集，{}|0215A x x =≤−≤，{}2|0B x x a =+< （1）当4a =−时，求A B ∩及A B ；（2）若()B A B ∩=R ，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）1|22∩=≤<A B x x ，{}|23A B x x =−<≤（2）1,4−+∞【解析】【分析】（1）当4a =−时，根据集合的基本运算即可求A B ∩及A B ；（2）根据条件()B A B ∩=R ，得到B A ⊆R ，然后建立条件方程即可求实数a 的取值范围． 【小问1详解】由条件知1|32A x x=≤≤， 当4a =−时，{}{}2|40|22Bx xx x =−<=−<<，1|22A B x x∴∩=≤<，{}|23A B x x ∪=−<≤；【小问2详解】由()B A B ∩=R ，即B A ⊆R ， 当B =∅时，即0a ≥时成立， 当B ≠∅，即0a <时，则{|Bx x =<<12≤， 解得104a >≥−， 综上a 的取值范围是：1,4∞−+. 18. 已知集合(){}2,2,A x y y xx m x ==++∈R ，(){},1,B x y y x x ==+∈R ，(){},31,02C x y y x x ==+≤≤.（1）若A B =∅ ，求实数m 的取值范围； （2）若A C ∩≠∅，求实数m 的取值范围． 【答案】（1）5|4m m>（2）51,4−【解析】【分析】（1）若A B =∅ ，则221x x m x ++=+，没有实数解，结合二次方程根的存在条件即可求解；（2）若A C ∩≠∅，则2231x x m x ++=+在02x ≤≤上有解，分离参数后结合二次函数性质即可求解．【小问1详解】 因为集合(){}2,2,A x y y xx m x ==++∈R ，(){},1,B x y y x x ==+∈R ，若A B =∅ ，则221x x m x ++=+，没有实数解， 即210x x m ++−=没有实数解，5第11页/共11页 故m 范围为�mm |mm >54�； 【小问2详解】 (){}2,2,A x y y x x m x ==++∈R ，(){},31,02C x y y x x ==+≤≤， 若A C ∩≠∅，则2231x x m x ++=+在02x ≤≤上有解， 即21m x x =−++在[0,2]上有解， 结合二次函数的性质可知，当02x ≤≤时，2511,4x x−++∈−， 故m 的范围为51,4 −. 的。
吉林省长春市南关区东北师大附中九年级(上)期中数学试卷 含解析
九年级（上）期中数学试卷一．选择题（共8小题）1．﹣3的相反数是（）A．﹣3 B．3 C．D．2．建国70周年献礼电影《我和我的祖国》深受观众喜爱，截止到2019年10月30口，该电影票房已达到25.6亿元，25.6亿用科学记数法表示为（）A．0.256×1010B．25.6×108C．2.56×108D．2.56×1093．如图是由5个相同的小正方体组成的立体图形，这个立体图形的俯视图是（）A．B．C．D．4．不等式组的解集用数轴表示为（）A．B．C．D．5．《九章算术》中记载一问题如下：“今有共买鸡，人出八，盈三：人出七，不足四，问人数、物价各几何？”意思是：今有人合伙购物，每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又差4钱，问人数、物价各多少？设有x人，买鸡的钱数为y，依题意可列方程组为（）A．B．C．D．6．如图，某超市自动扶梯的倾斜角∠ABC为31°，扶梯长AB为9米，则扶梯高AC的长为（）A．9sin31°米B．9cos31°米C．9tan31°米D．9米7．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，若∠BAC＝20°，则∠ADC的大小是（）A．130°B．120°C．110°D．100°8．如图，平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AB：BC＝3：2，点A（3，0），B（0，6）分别在x轴，y轴上，反比例函数y＝的图象经过点D，则k值为（）A．﹣14 B．14 C．7 D．﹣7二．填空题（共6小题）9．计算：＝．10．分解因式：a2﹣4b2＝．11．若关于x的一元二次方程x2+2x﹣m＝0有两个相等的实数根，则m的值为．12．如图，AB∥CD，BE交CD于点D，CE⊥BE于点E，若∠B＝34°，则∠C的大小为度．13．如图，在四边形ABCD中，AB＝10，BD⊥AD．若将△BCD沿BD折叠，点C与边AB的中点E恰好重合，则四边形BCDE的周长为．14．在平面直角坐标系中，将二次函数y＝﹣x2+x+6在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，将这个新函数的图象记为G（如图所示）．当直线y＝m与图象G有4个交点时，则m的取值范围是．三．解答题（共10小题）15．计算：（﹣）2﹣﹣（﹣4）0+2sin60°16．先化简，再求值：（a+2）（a﹣2）+a（4﹣a），其中a＝．17．在大城市，很多上班族选择“低碳出行”，电动车和共享单车成为他们的代步工具．某人去距离家8千米的单位上班，骑共享单车虽然比骑电动车多用20分钟，但却能强身健体，已知他骑电动车的速度是骑共享单车的1.5倍，求骑共享单车从家到单位上班花费的时间．18．如图，在8×5的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点均在小正方形的顶点上．（1）在图1中画△ABD（点D在小正方形的顶点上），使点C与点D关于直线AB对称；（2）在图2中画△ABE（点E在小正方形的顶点上），使△ABE的周长等于△ABC的周长，且以A、B、C、E为顶点的四边形是中心对称图形；直接写出图2中四边形的面积．19．如图，PC是⊙O的直径，PA切⊙O于点P，OA交⊙O于点B，连结BC．已知⊙O的半径为2，∠C＝35°（1）求∠A的度数．（2）求的长．20．如图，二次函数的图象与x轴交于A（﹣3，0）和B（1，0）两点，交y轴于点C（0，3），点C、D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B、D．（1）请直接写出D点的坐标．（2）求二次函数的解析式．（3）根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围．21．学校与图书馆在同一条笔直道路上，甲从学校去图书馆，乙从图书馆回学校，甲、乙两人都匀速步行且同时出发，乙先到达目的地，两人之间的距离y（米）与时间x（分钟）之间的函数关系如图所示．（1）当x＝分钟时甲、乙两人相遇，乙的速度为米/分钟，点C的坐标为；（2）求出甲、乙两人相遇后y与x之间的函数关系式；（3）当乙到达距学校800米处时，求甲、乙两人之间的距离．22．教材呈现：下图是华师版九年级上册数学教材第77页的部分内容猜想如图，在△ABC中，点D、E分别是AB与AC的中点，根据画出的图形，可以猜想：DE∥BC，且DE＝BC．对此，我们可以用演绎推理给出证明证明在△ABC中，∵点D、E分别是AB与AC的中点，∴请根据教材提示，结合图①，写出完整证明过程，结论应用：如图②在四边形ABCD中，AD＝BC，点P是对角线BD的中点，M是DC中点，N是AB中点，MN与BD相交于点Q．（1）求证：∠PMN＝∠PNM；（2）若AD＝BC＝4，∠ADB＝90°，∠DBC＝30°，则PQ＝．23．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝3动点P从点A出发，沿AC以每秒4个单位长度的速度向终点C运动．过点P（不与点A、C重合）作EF⊥AC，交AB或BC于点E，交AD或DC于点F，以EF为边向右作正方形EFGH设点P的运动时间为t秒．（1）①AC＝．②当点F在AD上时，用含t的代数式直接表示线段PF的长．（2）当点F与点D重合时，求t的值．（3）设方形EFGH的周长为l，求1与t之间的函数关系式．（4）直接写出对角线AC所在的直线将正方形EFGH分成两部分图形的面积比为1：2时t的值．24．已知抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣2与y轴交于点C．（1）抛物线的顶点坐称为，点C坐标为；（用含m的代数式表示）（2）当m＝1时，抛物线上有一动点P，设P点横坐标为n，且n＞0．①若点P到x轴的距离为2时，求点P的坐标；②设抛物线在点C与点P之间部分（含点C和点P）最高点与最低点纵坐标之差为h，求h与n之间的函数关系式，并写出自变量n的取值范围；（3）若点A（﹣3，2）、B（2，2），连结AB，当抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣2与线段AB只有一个交点时，直接写出m的取值范围．参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．﹣3的相反数是（）A．﹣3 B．3 C．D．【分析】依据相反数的定义求解即可．【解答】解：﹣3的相反数是3．故选：B．2．建国70周年献礼电影《我和我的祖国》深受观众喜爱，截止到2019年10月30口，该电影票房已达到25.6亿元，25.6亿用科学记数法表示为（）A．0.256×1010B．25.6×108C．2.56×108D．2.56×109【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：25.6亿＝256000000＝2.56×109，故选：D．3．如图是由5个相同的小正方体组成的立体图形，这个立体图形的俯视图是（）A．B．C．D．【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．【解答】解：从上面看共有3列，第一列上层有1个正方形，第二列上层有一个正方形，第三列有两个正方形．故选：C．4．不等式组的解集用数轴表示为（）A．B．C．D．【分析】先对不等式组进行化简，然后在数轴上分别表示出x的取值范围，它们相交的地方就是不等式组的解集．【解答】解：不等式组可化为：，在数轴上可表示为：故选：A．5．《九章算术》中记载一问题如下：“今有共买鸡，人出八，盈三：人出七，不足四，问人数、物价各几何？”意思是：今有人合伙购物，每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又差4钱，问人数、物价各多少？设有x人，买鸡的钱数为y，依题意可列方程组为（）A．B．C．D．【分析】设有x人，买鸡的钱数为y，根据“每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又差4钱”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．【解答】解：设有x人，买鸡的钱数为y，依题意，得：．故选：D．6．如图，某超市自动扶梯的倾斜角∠ABC为31°，扶梯长AB为9米，则扶梯高AC的长为（）A．9sin31°米B．9cos31°米C．9tan31°米D．9米【分析】在Rt△ABC中，根据三角函数关系，AC＝AB•sin∠ABC．代入数据即可得出AC 的长度．【解答】解：由题意，在Rt△ABC中，∠ABC＝31°，由三角函数关系可知，sin31°＝＝，AC＝AB•sin31°＝9sin31°米，即扶梯高AC的长为9sin31°米，故选：A．7．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，若∠BAC＝20°，则∠ADC的大小是（）A．130°B．120°C．110°D．100°【分析】连接BC，利用AB是直径得出∠ABC＝70°，进而利用圆周角解答即可．【解答】解：连接BC，∵AB是⊙O的直径，∠BAC＝20°，∴∠ABC＝90°﹣20°＝70°，∴∠ADC＝180°﹣70°＝110°，故选：C．。
吉林省东北师范大学附属中学2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试卷
吉林省东北师范大学附属中学2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试卷一、单选题1．若随机试验的样本空间为{}Ω0,1,2=，则下列说法不正确的是（ ） A ．事件{}1,2P =是随机事件 B ．事件{}0,1,2Q =是必然事件 C ．事件{}1,2M =--是不可能事件D ．事件{}1,0-是随机事件2．已知点()1,0A ，(B -，则直线AB 的倾斜角为（ ） A ．5π6B ．2π3 C ．π3D ．π63．投壶是从先秦延续至清末的汉民族传统礼仪和宴饮游戏，在春秋战国时期较为盛行.如图为一幅唐朝的投壶图，甲、乙、丙是唐朝的三位投壶游戏参与者，假设甲、乙、丙每次投壶时，投中的概率均为0.6且投壶结果互不影响.若甲、乙、丙各投壶1次，则这3人中至少有2人投中的概率为（ ）A ．0.648B ．0.432C ．0.36D ．0.3124．设,A B 是一个随机试验中的两个事件，且()()()131,,+252P A P B P A B ===，则()P A B =（ ） A ．13B ．15C ．25D ．1105．若()2,2,1A ，()0,0,1B ，()2,0,0C ，则点A 到直线BC 的距离为（ ）A B C D 6．某乒乓球队在长春训练基地进行封闭式集训，甲、乙两位队员进行对抗赛，每局依次轮．．．流．发球，连续赢2个球者获胜，通过分析甲、乙过去对抗赛的数据知，甲发球甲赢的概率为23，乙发球甲赢的概率为14，不同球的结果互不影响，已知某局甲先发球．则该局打4个球甲赢的概率为（ ） A ．13B ．16C ．112D ．5247．据史书记载，古代的算筹是由一根根同样长短和粗细的小棍制成，如图所示，据《孙子算经》记载，算筹记数法则是：凡算之法，先识其位，一纵十横，百立千僵，千十相望，万百相当． 即在算筹计数法中，表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推．例如⊥‖表示62，＝T 表示26，现有6根算筹，据此表示方式任意表示两位数（算筹不剩余且个位不为0），则这个两位数不小于50的概率为（ ）A ．13B ．12C ．23D ．358．正三棱柱111ABC A B C -中，12,AB AA O =为BC 的中点，M 为棱11B C 上的动点，N 为棱AM 上的动点，且MN MOMO MA=，则线段MN 长度的取值范围为（ ）A ．⎣B ．⎣⎦C ．⎣⎦D ．二、多选题9．下列命题中正确的是（ ）A ．若表示两个空间向量的有向线段的终点不同，则这两个向量可能相等；B ．在所有棱长都相等的直平行六面体1111ABCD A BCD -中，BD ⊥平面11ACC A ；C ．对于空间三个非零向量,,a b c r r r，一定有()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅r r r r r r 成立；D ．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点,M N 分别是棱11A D ，AB 的中点，则异面直线MD 与NC 所成角的余弦值为25． 10．连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，用数字x 表示第一次抛掷骰子的点数，数字y 表示第二次抛掷骰子的点数，用(),x y 表示一次试验的结果．记事件A =“7x y +=”，事件B=“3x ≤”，事件C =“()21N xy k k *=-∈”，则（ ）A ．()14P C =B ．A 与B 相互独立C ．A 与C 为对立事件D ．B 与C 相互独立11．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为棱1BB 上一点，且12B P PB =，Q 为正方形11BB C C 内一动点（含边界），则下列说法中正确的是（ ）A ．若1D Q ∥平面1A PD ，则动点QB ．存在点Q ，使得1D Q ⊥平面1A PDC ．三棱锥1Q A PD -的最大体积为518D ．若1D Q =，且1D Q 与平面1A PD 所成的角为θ，则sin θ三、填空题12．已知()3,2,1a =-r ，()2,1,2b =r，当()()2ka b a b +⊥-r r r r 时，实数k 的值为．13．柜子里有3双不同的鞋子，分别用121212,,,,,a a b b c c 表示6只鞋，从中有放回地．．．．取出2只，记事件M =“取出的鞋是一只左脚一只右脚的，但不是一双鞋”，则事件M 的概率是． 14．已知正四面体ABCD 的棱切球1T （正四面体的中心与球心重合，六条棱与球面相切）的半径为1，则该正四面体的内切球2T 的半径为；若动点,M N 分别在1T 与2T 的球面上运动，且满足MN xAB yAC z AD =++u u u u r u u u r u u u r u u u r，则2x y z ++的最大值为．四、解答题15．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，,M N 分别是111,A B B C 上的点，且1112,2A M MB B N NC ==u u u u r u u u r u u u u r u u u u r ．设1,,AB a AC b AA c ===u u u r r u u u r r u u u r r ．(1)试用,,a b c r r r 表示向量MN u u u u r；(2)若11190,60,1BAC BAA CAA AB AC AA ∠=∠=∠====o o ，求异面直线MN 与AC 的夹角的余弦值．16．如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，122AA AB ==，,E F 分别为1BB ，1CC 的中点．(1)证明：1A F ∥平面CDE ； (2)求三棱锥1A CDE -的体积； (3)求直线1A E 与平面CDE 所成的角．17．2023年10月31日，东北师大附中以“邂逅数学之美，闪耀科技之光”为主题的第17届科技节在自由、青华两校区开幕.在科技节中数学教研室组织开展了“送书券”活动．该活动由三个游戏组成，每个游戏各玩一次且结果互不影响．连胜两个游戏可以获得一张书券，连胜三个游戏可以获得两张书券．游戏规则如下表：(1)分别求出游戏一，游戏二的获胜概率；(2)甲同学先玩了游戏一，当m 为何值时，接下来先玩游戏三比先玩游戏二获得书券的概率更大．18．球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科．如图，球O 的半径为R ，A 、B 、C 为球面上的三点，设a O 表示以O 为圆心，且过B 、C 的圆，劣弧BC 的长度记为a ，同理，圆b O ，c O 的劣弧AC 、AB 的长度分别记为b ，c ，曲面ABC （阴影部分）叫做球面三角形．如果二面角,,C OA B A OB C B OC A ------的大小分别为,,αβγ，那么球面三角形的面积为()2++πABC S R αβγ=-V 球面．(1)若平面OAB 、平面OAC 、平面OBC 两两垂直，求球面三角形ABC 的面积；(2)若平面三角形ABC 为直角三角形，AC BC ⊥，设1AO C θ∠=，2BOC θ∠=，3AOB θ∠=． ①求证：123cos cos cos 1θθθ+-=；②延长AO 与球O 交于点D ，若直线DA ，DC 与平面ABC 所成的角分别为ππ,43，,(0,1]BE BD λλ=∈u u u r u u u r，S 为AC 的中点，T 为BC 的中点． 设平面OBC 与平面EST 的夹角为θ，求cos θ的最大值及此时平面AEC 截球O 的面积．。
吉林省长春市东北师大附中(明珠校区)2024-2025学年数学九上开学调研模拟试题【含答案】
吉林省长春市东北师大附中(明珠校区)2024-2025学年数学九上开学调研模拟试题题号一二三四五总分得分A 卷（100分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、（4分）若一个直角三角形的两边长为4和5，则第三边长为（）A ．3B C ．8D ．32、（4分）已知一次函数y ＝ax ＋b (a 、b 为常数且a ≠0)的图象经过点(1，3)和(0，－2)，则a －b 的值为()A ．－1B ．－3C ．3D ．73、（4分）下面说法中正确的个数有（）①等腰三角形的高与中线重合②一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形③顺次连接任意四边形的中点组成的新四边形为平行四边形④七边形的内角和为900°，外角和为360°⑤如果方程23111x k x x x +=---会产生增根，那么k 的值是4A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4、（4分）下列二次根式中是最简二次根式的是（）A ．B C D ．5、（4分）甲、乙两位射击运动员的10次射击练习成绩的折线统计图如图所示，则下列关于甲、乙这10次射击成绩的说法中正确的是（）A ．甲的成绩相对稳定，其方差小B ．乙的成绩相对稳定，其方差小C ．甲的成绩相对稳定，其方差大D ．乙的成绩相对稳定，其方差大6、（4分）如图，直线y 1=kx+b 过点A(0,2)，且与直线y 2=mx 交于点P(1,m)，则不等式组mx kx b mx 2>+>-的解集是（）A ．1x 2<<B ．0x 2<<C ．0x 1<<D ．1x <7、（4分）如图，矩形ABCD 中，对角线AC ＝8cm ，△AOB 是等边三角形，则AD 的长为（）cm ．A ．4B ．6C ．D ．38、（4分）小红把一枚硬币抛掷10次，结果有4次正面朝上，那么（）A ．正面朝上的频数是0.4B ．反面朝上的频数是6C ．正面朝上的频率是4D ．反面朝上的频率是6二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、（4分）写出在抛物线244y x x =--上的一个点________．10、（4分）如图,小明从点A 出发,前进5m 后向右转20°,再前进5m 后又向右转20°,这样一直走下去,直到他第一次回到出发点A 为止,他所走的路径构成了一个多边形(1)小明一共走了________米；(2)这个多边形的内角和是_________度.11、（4分）如图，在菱形ABCD 中，∠A ＝70º，E ，F 分别是边AB 和BC 的中点，EP ⊥CD 于P ，则∠FPC 的度数为___________．12、（4分）甲，乙两车都从A 地出发，沿相同的道路，以各自的速度匀速驶向B 地.甲车先出发，乙车出发一段时间后追上甲并反超，乙车到达B 地后，立即按原路返回，在途中再次与甲车相遇。
(上)东北师大附中九年级第四次月考数学试卷.doc
（上）东北师大附中九年级第四次月考数 学 试 题本试题卷包括七道大题，共26小题，共2页．全卷满分120分．考试时间为120分钟． 注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试题卷上答题无效．一、选择题(每小题3分，共24分)1．－6的倒数是（ ） A ．－6B ．6C ．16-D ．16 2．方程260x x --=的解是 （ ）A ．12x =-，23x =B ．12x =，23x =-C ．12x =-，23x =-D ．12x =，23x =3．某组数列排列如下：1，2，3，5，8，x ，21，则x 的值为 （ ）A ．10B ．12C ．13D ．174．点A （5,2）向右平移2个单位后的坐标为 （ ）A ．（3,2）B ．（7,2）C ．（5,4）D ．（5,0）5．已知线段AB=8cm ，⊙A 与⊙B 的半径均为4cm ．则两圆的位置关系为 （ ）A ．外离B ．外切C ．相交D ．内切6．将一个立方体展开，错误的是 （ ）A ．B ．C ．D ．7．在某次实验中，测得两个变量x 与y 之间的4组对应数据如下表：则x 与y 之间的函数关系最接近．．下列关系式中的 （ ）A ．22y x =-B ．33y x =-C ．1y x =+D ．21y x =- 8．如图，△ABC 内接于⊙O 中，∠BOC=100°，AB=AC ，则∠ABC 的度数为（ ）A ．75°B ．65°C ．55°D ．50°二、填空题（每小题3分，共18分）9．计算：4520+＝_________．10．二次函数5232+-=x x y 与y 轴的交点的坐标为 ． 11．如图，⊙O 1与⊙O 2交于点A 、B ，过点A 、B 的直线分别交两圆于C 、D ，E 、F ，70ACE ∠=，则∠ADF =__________°．12．如图，PC 为⊙O 的切线，C 为切点，连结PO 并延长，交⊙O 分别为A 、B 两点，且30P ∠=，PC=5cm ，则BC 长为___________cm ．13．某超市进了一种方便面，销售价为一盒方便面3元，春节期间降价10%，每盒仍可以盈利0.3元，则一盒方便面的进价为 元．14．如图，在扇形OAB 中，C 为OB 中点，∠AOB=120°，OA=6cm ，则图中阴影部分的面积为________ _____cm 2．三、解答题（每小题5分，共20分）15．如图，在△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径的⊙O 交BC 于E ，过点E 作ED ⊥AC 于D ．图中共有多少个直角三角形？请直接把它们分别写出来（不要求证明）．16．计算：()130112tan 452-⎛⎫-+-+ ⎪⎝⎭． 17．某商店在一次促销活动中规定：消费者消费满200元或者超过200元就可享受打折优惠，一名同学为班级买奖品，准备买6本影集和若干支钢笔，已知影集每本15元，钢笔每支8元，问他至少买多少支钢笔才能打折？18．一条抛物线32++=x mx y 与x 轴只有一个交点，求这个抛物线解析式．四、解答题（每小题6分，共24分）19．如图，要把一块三角形的蛋糕均匀地分给四位小朋友，如果∠B=90°，∠C=30°，要使这四位小朋友所得蛋糕的大小、形状都相同，请在图①中画出分割方案（要求：标出．．相应特征点的位置或角度）；如果按上述条件，把蛋糕均匀地分给三位小朋友，请在图②中画出分割方案（要求：标出．．相应特征点的位置或角度）．20．如图，周长为16的扇形，半径R 等于多少时，扇形的面积最大？最大的面积是多少？21．阅读下面的文字，并应用其结论解题：（1）阅读1：如图①，已知：点P 是⊙O 外一点，PT 切⊙O 于点T ，P A 是⊙O 的割线，交⊙O 于点A 、B ，则有2PT PA PB =⋅．上面的结论，我们称为“切割线定理”，即：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．（2）阅读2：如图②，已知：点P 是⊙O ′外一点，P AB 、PCD 是⊙O ′的两条割线，分别交⊙O ′于点A 、B 和C 、D ，则有PA PB PC PD ⋅=⋅．上面的结论，我们称为“切割线定理的推论”，即：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段的长的积相等．（3）应用上述结论解下面的题目：如图3，⊙O 和⊙O '都经过点A 、B ，点P 在BA 的延长线上，过P 作⊙O 的割线PCD 交⊙O 于C 、D 两点，作⊙O '的切线PE 切⊙O '于点E ．若PC=4，CD=8，⊙O 的半径为5．（1）求PE 的长； （2）求△COD 的面积．图1 图2 图322．某种爆竹点燃后，其上升的高度h （米）和时间t （秒）符合关系式2012h v t gt =- （0＜t ≤2＝，其中重力加速度g 以10米/秒2计算．这种爆竹点燃后以v 0=20米/秒的初速度上升．（1）这种爆竹在地面上点燃后，经过多长时间离地面15米？（2）在爆竹点燃后1.5秒至1.8秒这段时间内，判断爆竹是上升，或是下降，并说明理由．五、解答题(每小题7分，共14分)23．已知⊙O 1、⊙O 2相交于A 、B 两点，⊙O 1的半径r 1=4，⊙O 2的半径r 2=3，O 1O 2=6，将⊙O 2沿O 1O 2所在的直线向左或向右平移使其与⊙O 1相切，求平移方向（左右）和平移距离．24．为了缓解“停车难”问题，某单位拟建造地下停车库，建筑设计师提供了该地下停车库的设计示意图．按规定，地下停车库坡道口上方要张贴限高标志，以便告知停车人车辆能否安全驶入．为标明限高，请你根据该图计算CE ．（sin18°=0.309，cos18°=0.951，tan18°=0.323，结果精确到0.1m ）六、解答题（每小题10分，共20分）25．如图，已知AB 是⊙O 的直径，AC 为弦，且平分∠BAD ，AD ⊥CD ，垂足为D ．（1）求证：CD 是⊙O 的切线；（2）求证：2AC AB AD =⋅；（3）若⊙O 的直径为4，AD=3，求∠BAC 的度数．26．已知抛物线()221y a x t t =--+（a 、t 是常数，且a ≠0，t ≠0）的顶点是A ，抛物线 y=x 2－2x+1的顶点为B ．（1）写出点A 的坐标（用含t 的代数式表示），并判断点A 是否在抛物线y=x 2－2x+1上？（2）如果抛物线()221y a x t t =--+经过点B ．①求a的值；②这条抛物线与x轴的两个交点和它的顶点A能否构成直角三角形，若能，求出t的值；若不能，请说明理由．。
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（上）东北师大附中九年级第三次月考数 学 试 题一、选择题（每小题3分，共24分）1．抛物线()223y x =+-的对称轴是（ ） A ．直线x ＝－3 B ．直线x ＝3 C ．直线x ＝2 D ．直线x ＝－22．抛物线y =2x 2+3与y 轴的交点是（ ） A ．（0,5） B ．（0,3） C ．（0,2） D ．（2,1）3．一个钢球沿坡角31°的斜坡向上滚动了5米，此时钢球距地面的高度是（单位：米）（ ）A ．5cos31B ．5sin 31C ．5cot 31D ．5tan 314．若⊙O 所在的平面内上有一点P ，它到⊙O 上的点的最大距离是6，最小距离是2，则这个圆的半径为（ ） A ．2 B ．4 C ．2或4 D ．不能确定5．过原点的抛物线是（ ） A ．y ＝2x 2－1 B ．y ＝2x 2+1C ．y ＝2(x +1)2D ．y ＝x 2+x 6．如图，是二次函数2y ax bx c =++图象的一部分，那么（ ）A ．c b a +-＝0B ．c b a +-＞0C ．c b a +-＜0D ．c b a +-的正、负不能确定7．圆内接四边形ABCD 中，∠A ∶∠B ∶∠C ∶∠D 可以是（ ） A ．1∶2∶3∶4 B ．1∶3∶2∶4 C ．4∶2∶3∶1 D ．4∶2∶1∶38．如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，若AC =AB = 则tan BCD ∠ 的值为（ ）A B C D 二、填空题（每小题3分，共18分）9．抛物线1)3(212--=x y 的顶点坐标是 __．10．如图，一束光线照在坡度为1:线，则这束光线与坡面的夹角α是 °．（10题图） （12题图） （13题图）11．将二次函数y =3(x +2)2－4的图象向右平移3个单位，再向上平移1个单位，所得的图象的函数关系式为_____________________．12．小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是__________．13．如图，已知AB 是⊙O 的直径，点C 、D 、E 都在⊙O 上，若∠C=∠D=∠E ，则∠A ＋∠B= º．14．已知二次函数y 1＝ax 2+bx +c （a ≠0）与一次函数y 2＝kx +m （k ≠0）的图象相交于点A （－2,4），B （8,2），如图，则能使12y y <成立的x 的取值范围是______ __．（14题图）三、解答题（每小题5分，共20分）15． tan 45°－3sin 60°－2sin 2 45°．16．解方程：021211=-++-xx x x ． 17．如图，有一个抛物线型拱桥，其最大高度为16m ，•跨度为•40m ，现把它的示意图放在平面直角坐标系中，求此抛物线的函数关系式．18．某高速公路是目前我国高速公路隧道和桥梁最多的路段．如图，是一个单心圆曲隧道的截面，若路面AB 宽为10米，净高CD 为7米，求此隧道单心圆的半径OA 的长度是多少米?四、解答题（每小题6分，共24分）19．已知二次函数2y x bx c =++的图象经过A （0,1），B （2,－1）两点．（1）求b 和c 的值；（2）试判断点P （－1,2）是否在此抛物线上?20．已知：在⊙O 中， BC 是直径，点C 和点D 是⊙O 上的点，且∠ABC ＝30º，∠DBC ＝45º，请补全图形，并求出∠AOD 的度数．21．某种商品每件的进价为30元，在某段时间内若以每件x 元出售，可卖出（100－x ）件，应如何定价才能使利润最大?22．如图，已知△ABC 内接于⊙O ，点D 在OC 的延长线上，21sin =B ，∠D ＝30º． （1）求证：AD 是⊙O 的切线；（2）若AC ＝6，求AD 的长．五、解答题（每小题7分，共14分）23．抛物线y =2(x －2)2－6的顶点为C ，已知y=－kx ＋3的图象经过点C ，求这个一次函数图象与两坐标轴所围成的三角形面积是多少？24．一海上巡逻艇在A 处巡逻，突然接到上级命令，在北偏西30°方向且距离A 处20海里的B 港口，有一艘走私艇沿着正东方向以每小时50海里的速度驶向公海，务必进行拦截．巡逻艇马上沿北偏东45°的方向快速追击，恰好在临近公海的P 处将走私快艇拦截住．如图所示，试求巡逻艇的速度（结果取整数，参考数据： 2=1.414，3=1.732，6=2.499）．六、解答题（每小题10分，共20分）25．已知抛物线y ＝－41x 2－x +1与x 轴相交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于C 点，它的顶点是点D ．（1）求A 、B 、C 、D 各点的坐标；（2）求△ABC 的面积；（3）求四边形ABCD 的面积．26．已知，在Rt △OAB 中，∠OAB ＝90º，∠BOA ＝30º，AB ＝2．若以O 为坐标原点，O A所在直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点B 在第一象限内．将Rt △OAB 沿OB 折叠后，点A 落在第一象限内的点C 处．（1）求点C 的坐标；（2）若抛物线bx ax y +=2（a ≠0）经过C 、A 两点，求此抛物线的解析式；（3）若抛物线的对称轴与OB 交于点D ，点P 为线段DB 上一点，过P 作y 轴的平行线，交抛物线于点M ．问：是否存在这样的点P ，使得四边形CDPM 为等腰梯形？若存在，请求出此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由．。
2024年吉林省长春市南关区东北师大附中中考数学四模试卷(含详解)
2024年吉林省长春市南关区东北师大附中中考四模数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.实数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示，这四个数中，相反数最大是( )A. aB. bC. cD. d2.长春市解放大路和新民大街分别是东西走向与南北走向，如交通图所示，小明同学想从新民广场尽快走到解放大路，他选择沿新民大街走，小明这样走的数学依据是( )A. 两点之间，线段最短B. 垂线段最短C. 三角形任意两边之和大于第三边D. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直3.如图①是由大小相同的小正方体搭成的几何体，将上层的小正方体平移后得到图②.关于平移前后几何体的三视图，下列说法正确的是( )A. 主视图相同B. 左视图相同C. 俯视图相同D. 三种视图都不相同4.若a<b，则下列不等式一定成立的是( )A. ax<bxB. 3a<2bC. −a+3>−b+3D. 2−a<2−b5.如图，直线a与直线b、c分别交于点A、B，将含45°角的直角三角板BCD如图所示放置，∠1=120°.若使直线b与直线c平行，则可将直线b绕点A逆时针旋转的最小角度为( )A. 5°B. 15°C. 30°D. 45°6.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，∠B=60°.用无刻度的直尺和圆规在BC边上找一点D，使△ABD为等边三角形，下列作法不正确的是( )A. B. C. D.7.如图，在坡角为α的斜坡上要栽两棵树，要求它们之间的水平距离AC为6m，坡比i=1，则这两棵树之2间的坡面AB的长为( )A. 1mB. 9mC. 210mD. 35m8.小丽要把一篇文章录入电脑，如图是录入时间y(分钟)与录字速度x(字/分钟)成反比例函数的图象，该图象经过点(150,10).根据图象可知，下列说法不正确的是( )A. 这篇文章一共1500字B. 当小丽的录字速度为75字/分钟时，录入时间为20分钟C. 小丽在19：20开始录入，要求完成录入时不超过19：35，则小丽每分钟至少应录入90字D. 小丽原计划每分钟录入125字，实际录入速度比原计划提高了20%，则小丽会比原计划提前2分钟完成任务二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
东北师大附中—(上)初三第四次月考物理试题
东北师大附中2008—2009学年（上）初三第四次月考物理试题满分70分 考试时间：理化100分钟亲爱的同学们，盘点收获的时候到来了，希望通过你的严谨、认真的思考，流畅工整的书写，满载收获而归，享受愉快假期！注意：本试卷中g 均取10 N/kg ,计算题要求写出必要的步骤！一、单项选择题（每小题2分，共16分）1．小华同学对于身边物理量的大小进行了估测,下列估测中接近实际的是 （ ）A ．一个玻璃杯的质量约为5kgB ．初中物理课本的宽度约为1.8cmC ．一块橡皮从课桌表面掉到地上的时间约为10sD ．成年人正常步行的速度约为1.2m/s2．连通器在日常生活和生产中有着广泛的应用，图1所示事例中哪个不是利用连通器原理工作的 （ ）3．图2所示的四个实例中，目的是为了减小摩擦的是 （ ）4．北京奥运，举世瞩目，下列有关奥运项目比赛的现象中，不能用惯性知识解释的是（ ）A ．百米赛跑运动员到达终点时不能马上停下B ．跳远运动员起跳前要助跑一段距离C ．射击比赛中子弹离开枪膛后继续向前运动D ．射到球门框架上的足球被反弹5．如图3是北京奥运会部分运动项目图标，在这些项目中运动员对地面压强最大的是（ ）图 1图26．目前医院在体检抽血时普遍采用如图4所示的真空采血管。
使用时将导管一端的针头插入被检者的静脉，另一端的针头插入真空试管内，血液便会自动流入试管，此时血液是（ ）A ．靠自身重力流入试管B ．被真空试管吸入试管C ．由血压压入试管D ．通过吸气把血液压入试管7． 两个完全相同的容器中，分别盛有甲、乙两种液体，将完全相同的两个小球分别放入两容器中，当两球静止时，液面相平，球所处的位置如图5所示。
甲、乙两种液体对容器底的压强大小分别为P 甲、P 乙，则它们的关系 （ ）A ．P 甲<P 乙B ．P 甲=P 乙C ．P 甲>P 乙D ．无法确定8． 如图6所示，要粗测小明同学做“引体向上”时的功率。
吉林省长春市东北师大附中经开校区2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试题
吉林省长春市东北师大附中经开校区2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试题一、单选题1．若关于x 的函数142m y x x -=-+是二次函数，则m 的值为（ ）A ．3B ．0C ．不等于0D ．2 2．抛物线()232y x =-的顶点坐标是（ ）A ．()0,2-B ．()2,0C ．()2,0-D ．()0,23．已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝2，BC ＝3，那么下列各式中正确的是（ ）A ．sin A ＝23B ．tan A ＝23C ．tan B ＝23D ．cos B ＝23 4．下列关于二次函数()2213y x =-++的说法，正确的是（ ）A ．图象的对称轴是直线1x =B ．图象向右平移3个单位则变为()2243y x =-++C ．当1x >-时，y 随x 的增大而减小D ．当1x =时，y 有最大值35．抛物线2y ax bx c =++的部分图象如图所示，则当0y ≥时，x 的取值范围是（ ）A ．13x -<<B ．1x <-或3x >C ．13x -≤≤D ．1x ≤-或3x ≥6．二次函数2y =的图象如图所示，点O 为坐标原点，点A 在y 轴的正半轴上，点B ，C 在函数图象上，四边形OBAC 为菱形，且120ABO ∠=︒，则点C 的坐标为（ ）A ．14⎛- ⎝⎭B ．14⎛- ⎝⎭C ．⎛- ⎝⎭D ．(- 7．如图，在Rt ABC V 中，90306C B BC ∠=︒∠=︒=，，，AD 平分CAB ∠交BC 于点D ，点E 为边AB 上一点，则线段DE 长度的最小值为（ ）AB C ．2 D ．38．如图，点A 为反比例函数()10y x x =-<图象上的一点，连接AO ，过点O 作OA 的垂线与反比例()40y x x=>的图象交于点B ，则AO BO 的值为（ ）A ．12B ．14 C D ．13二、填空题9．若抛物线y ＝x 2－4x ＋c 的顶点在x 轴上，则c 的值是．10．已知抛物线2(0)y ax a =>经过1(2,)A y -、2(1,)B y 、3(3,)C y 三点，则1y 、2y 、3y 的大小关系是 （用“＜”连接）11．如图是二次函数21y ax bx c =++和一次函数2y kx t =+的图象，当12y y <时，x 的取值范围是．12．如图，公路AC ，BC 互相垂直，公路AB 的中点M 与点C 被湖隔开，若测得AB 的长为10km ，则M ，C 之间的距离是km ．13．如图，Rt △OAB 的顶点A （﹣2，4）在抛物线y =ax 2上，将Rt △OAB 绕点O 顺时针旋转90°，得到△OCD ，边CD 与该抛物线交于点P ，则点P 的坐标为．14．已知二次函数2y ax bx c =++的y 与x 的部分对应值如下表：下列结论：①0abc >；②关于x 的一元二次方程29ax bx c ++=有两个相等的实数根；③当41x -<<时，y 的取值范围为<<0y 5；④若点()1,m y ，()22,m y --均在二次函数图象上，则12y y =；⑤满足()212ax b x c +++<的x 的取值范围是<2x -或3x >．其中正确结论的序号为．三、解答题15．先化简，再求值：()()2121x x +-+，其中x =16．已知二次函数图象的顶点坐标为()2,3-，且经过点()4,1，求这个二次函数的表达式． 17．2024年6月2日，嫦娥六号着陆器和上升器组合体（简称为“着上组合体”）成功着陆在月球背面．某校综合实践小组制作了一个“着上组合体”模拟装置，在一次试验中，如图，该模拟装置在缓速下降阶段从A 点垂直下降到B 点，再垂直下降到着陆点C ，从B 点测得地面D 点的俯角为36.87︒，10BD =米．求CD 的长．（参考数据：sin36.870.60︒≈，cos36.870.80︒≈，tan36.870.75︒≈）18．某花卉商店用1000元购进一批多肉植物，很快售完；该商店又用1500元购进第二批同种多肉植物，所购数量是第一批的1.2倍，但每株多肉植物的进价比第一批的多2元．求第一批多肉植物每株的进价．19．如图是由边长均为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点称为格点，ABC V 的顶点均在格点上，点D 为BC 的中点．仅用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留适当的作图痕迹．(1)在图①中，在AB 上找点E ，连结DE ，使得12DE AC =； (2)在图②中，在BD 上找点M ，使得12BM DM =；(3)在图③中，在AC 上找点F ，连结DF ，使得12DF BC =． 20．如图，在平面直角坐标系中，直线3y x =+与抛物线2y x bx c =++交于点A ，B ，点A 在y 轴上，抛物线的对称轴是x =2．(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P ，使得152ABP S =V ？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．21．我国新能源汽车快速健康发展，续航里程不断提升，李师傅驾驶一辆纯电动汽车从A 市前往B 市，他驾车从A 市一高速公路入口驶入时，该车的剩余电量是80kw h ⋅，行驶了240km 后，从B 市一高速公路出口驶出，已知该车在高速公路上行驶的过程中，剩余电量()kw h y ⋅与行驶路程()km x 之间的关系如图所示．(1)剩余电量为50kw h ⋅，该电动车在高速公路上行驶了______km ；(2)求y 与x 之间的关系式；(3)李师傅从B 市高速公路出口驶出时，该电动车的剩余电量为______kw h ⋅．22．定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．【推理证明】已知：如图1，在ABC V 中，90ABC ∠=︒，点O 是AC 边的中点．求证：12OB AC =．证明：如图2，延长BO 至D ，使OD OB =，连结AD ，CD ．请你补全余下的证明过程【探究问题】如图3，在ABC V 中，90ABC ∠=︒，BD 为AC 的中线，过点C 作CE BD ⊥于点E ，过点A 作BD 的平行线，交CE 的延长线于点F ，在AF 的延长线上截取FG BD =，连接BG ，DF ．猜想四边形BDFG 的形状，并说明理由；【拓展思考】如图，在四边形ABCD 中，90BAD BCD ∠=∠=︒，点E 是BD 的中点．若25EAC ∠=︒则ADC ∠=______．23．如图，在ABC V 中，90C ∠=︒．4AC =，2BC =．点D 从点A位长度的速度沿边AB 向终点B 运动，同时点E 从点C 出发，以每秒2个单位长度的速度沿边CA 向终点A 运动．连结DE ，将线段DE 绕点E 顺时针旋转90°得到线段EF ，以DE 、EF 为边作正方形DEFG ．设点E 运动的时间为t 秒()0t >．(1)AB 的长为______；(2)点D 到边AC 的距离为______；（用含t 的代数式表示）(3)当点F 落在边AC 上时，求DE 的长；(4)连结EG，当直线EG与ABCV的边平行或垂直时，直接写出t的值．24．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线223y x x=-++与x轴、y轴分别交于点A和点B，点P为抛物线上（除抛物线与坐标轴的交点外）的任意一点，过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为点M、N，构造矩形PMON，设点P的横坐标为m．(1)点A的坐标为____________，点B的坐标为____________；(2)当点N与点B重合时，点P的坐标为____________；(3)当点P在x轴上方时，求矩形的周长l与m之间的函数关系式；(4)当抛物线在矩形PMON内的部分所对应的函数值y随x增大而增大时，直接写出m的取值范围．。
湖南师范大学附属中学2023-2024学年九年级上学期第四次月考数学试题(原卷版)
2023-2024学年度九年级第四次阶段练习数学试题时量：120分钟 总分：120分一．选择题（本大题10个小题，每小题3分，共30分）1. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ）A. B. C. D. 2. 在平面直角坐标系中，点()2,6P −关于原点对称的点的坐标是（）A ()2,6 B. ()6,2− C. ()2,6−− D. ()2,6− 3. 一个圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角为72°，则该正多边形的边数是（ ）A. 4B. 5C. 6D. 74. 下列判断正确的是（ ）A. 任意掷一枚质地均匀的硬币10次，一定有5次正面向上B. 天气预报说“明天的降水概率为40%”，表示明天有40%的时间都在降雨C. “篮球队员在罚球线上投篮一次，投中”为随机事件D. “a 是实数，|a|≥0”是不可能事件 5. 若正比例函数2y x =−与反比例函数k y x =的图象交于()1,2−，则另一个交点坐标为（ ） A. (2, 1) B. (-1, 2) C. (-2, -1) D. (-2, 1) 6. 下列各组图形中，一定相似的是（ ）A. 两个矩形B. 两个菱形C. 两个正方形D. 两个等腰梯形 7. 二次函数23125y x x =−+−的最大值是（ ）A. 7B. 7−C. 17D. 17− 8. 如图，两个反比例函数y 1＝4x和y 2＝2x 在第一象限内的图象分别是C 1和C 2，设点P 在C 1上，P A ⊥x 轴于点A ，交C 2于点B ，则△POB 的面积为（ ）.A. 4B. 2C. 1D. 69. 如图，ABC 与DEF 是位似图形，位似中心为O ，:1:2OA AD =，下列结论正确有（ ） ①ABC 与DEF 的相似比为13；②12AC DF =；③13OBC OEF = 的周长的周长；④14ABC DFF S S =A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个10. 如图，点A 、B 、C 在O 上，若45BAC ∠=°，2OB =，则图中阴影部分面积为（ ）A. 4π−B. 213π−C. 2π−D. 223π− 二．填空题（共6小题，每小题3分，共18分）11. 已知25a b =，那么代数式a b a b +−的值是________． 12. 已知y 与x 成反比例，且当x ＝－3时，y ＝4，则当x ＝6时，y 的值为_______．13. ABC 是直角三角形，90A ∠=°，6AB =，8AC =，则ABC 的外接圆半径为_________． 14. 如图，1,,52ABAD BE CF DE BC ==∥∥，则DF 的长为_________．的的15. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，点(0,2)A ，(1,0)B ，以点B 为中心，把线段BA 顺时针旋转90°得到线段BC ，则点C 的坐标为_________．16. 在平面直角坐标系xOy 中，若点P 的横坐标和纵坐标相等，则称点P 为完美点．已知二次函数25(0)y ax x c a ++≠的图象上有且只有一个完美点(22)，，且当0x m ≤≤时，函数255(0)4=++−≠y ax x c a 的最小值为214−，最大值为1，则m 的取值范围是_______． 三．解答题（共9小题，其中17、18、19每小题6分，20、21每小题8分，22、23每小题9分，24、25每小题10分，共72分）17. 解方程：3x 2﹣4x ﹣1=0．18. 如图所示，一次函数1y x m =−+与反比例函数2k y x=相交于点A 和点()3,1B −．（1）求m 的值和反比例函数解析式；（2）当12y y >时，求x 的取值范围．19. 如图是两个圆形转盘，第一个转盘被平均分成“1”“2”两个区域，第二个转盘被平均分成“1”“2”“3”“4”四个区域．（1）旋转第一个转盘一次，指针落在“2”区域的概率是___________；（2）同时旋转两个转盘，用画树状图或列表的方法求两个转盘的指针都不落在“1”区域的概率．20. 某地有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度AB 为24m ，拱顶高出水面8m （即8=CD m ），OC AB ⊥，（1）求出该圆弧形拱桥所在圆的半径；（2）现有一艘宽10m ，船舱高出水面7.5m 的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座桥吗？ 21. 如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=°，CD 是ABC 的中线，作AE CD ⊥于点E ，EF AB ∥交BD 于点F ．（1）求证：ACE BAC ∽△△；（2）若AC =1CE =，求BD 及EF 的长．22. 某商店为了推销一种新产品，在某地先后举行40场产品发布会，已知该产品每台成本为10万元，设第x 场产品的销售量为y （台），y 与x 之间满足的函数关系式50y x =−；产品的每场销售单价p （万元）由基本价和浮动价两部分相加组成，其中基本价保持不变．经过统计，发现第1场—第20场浮动价与发布场次x 成正比，第21场—第40场浮动价与发布场次x 成反比，得到如下数据： x （场） 3 10 25P （万元） 10.6 12 14.2（1）求P 与x 之间满足函数关系式；（2）当产品销售单价为13万元时，求销售场次是第几场？（3）在这40场产品发布会中，求哪一场获得的利润最大，最大利润是多少？23. 如图，已知AB 为半圆O 的直径，C 为半圆O 上一点，连接AC ，BC ，过点O 作OD AC ⊥于点D ，过点A 作半圆O 的切线交OD 的延长线于点E ，连接EC ．的（1）求证：EC 为圆O 的切线；（2）求证：22AB BC OE = ；（3）连接BD 并延长交AE 于F ，若半圆O 的直径为10，35BC AB =，求AF 的长． 24. 初识模型】（1）如图①，在ABC 中，D 是BC 上一点，B ACE ∠=∠，AB BD AC CE=，连接DE ． 求证：（Ⅰ）AB AD AC AE =； （Ⅱ）B ADE ∠=∠．【再研模型】（2）如图②，在ABC 中，D 是BC 上一点，B ADE ACE ∠=∠=∠．求证：AB BD AC CE =． 【应用模型】（3）如图③，直线AM 与BN 交于点O ，60AOB ∠=°，一辆快车和一辆慢车分别从A ，B 两处沿AM ，BN 方向同时匀速行驶，快车速度是慢车速度的2倍，在行驶过程中两车与某一定点P 所组成的三角形的形状始终不变．当两车距离为700m 时，求慢车到定点P 的距离．25. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，函数y=m x（m 为常数，m ＞1，x ＞0）的图象经过点P （m ，1）和Q （1，m ），直线PQ 与x 轴，y 轴分别交于C ，D 两点，点M （x ，y ）是该函数图象上的一个动点，过点M 分别作x 轴和y 轴的垂线，垂足分别为A ，B ．（1）求∠OCD 的度数；【（2）当m=3，1＜x＜3时，存在点M使得△OPM∽△OCP，求此时点M的坐标；（3）当m=5时，矩形OAMB与△OPQ的重叠部分的面积能否等于4.1？请说明你的理由．。
吉林省长春市南关区东北师大附中2024年数学九上开学质量检测模拟试题【含答案】
吉林省长春市南关区东北师大附中2024年数学九上开学质量检测模拟试题题号一二三四五总分得分A 卷（100分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、（4分）龙华区某校改造过程中，需要整修校门口一段全长2400m 的道路，为了保证开学前师生进出不受影响，实际工作效率比原计划提高了20 %，结果提前8天完成任务，若设原计划每天整个道路x 米，根据题意可得方程（）A ．24002400 8(120%)x x -=+B ．240024008(120%)x x -=+C ．240024008(120%)x x -=-D ．240024008(120%)x x -=-2、（4分）下列分解因式正确的是（）A ．－a ＋a 3=－a (1＋a 2)B ．2a －4b ＋2=2(a －2b )C ．a 2－4=(a －2)2D ．a 2－2a ＋1=(a －1)23、（4分）如图所示，在ABC 中，AB 的垂直平分线DE 交AC 于点D ，交AB 于点E ，如果5,4AC BC ==，则BCD ∠的周长是（）A ．6B ．7C ．8D ．94、（4分）三个连续自然数的和小于15，这样的自然数组共有()A ．6组B ．5组C ．4组D ．3组5、（4分）某水果超市从生产基地以4元/千克购进一种水果，在运输和销售过程中有10%的自然损耗.假设不计其他费用，超市要使销售这种水果的利润不低于35%，那么售价至少为（）A ．5.5元/千克B ．5.4元/千克C ．6.2元/千克D ．6元/千克6、（4分）如图，已知△ABC 是边长为3的等边三角形，点D 是边BC 上的一点，且BD ＝1，以AD 为边作等边△ADE ，过点E 作EF ∥BC ，交AC 于点F ，连接BF ，则下列结论中①△ABD ≌△BCF ；②四边形BDEF 是平行四边形；③S 四边形BDEF ＝2；④S △AEF ．其中正确的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7、（4分）如图，添加下列条件仍然不能使▱ABCD 成为菱形的是（）A ．AB=BC B ．AC⊥BD C ．∠ABC=90°D ．∠1=∠28、（4分）在平行四边形中，，，的垂直平分线交于点，则的周长是（）A ．B ．C ．D ．二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、（4分）己知反比例函数31k y x +=的图像经过第一、三象限，则常数k 的取值范围是___．10、（4分）如图，矩形ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点O ，∠ADB=30°，AB=4，则OC=_____.11、（4分）因式分解：x 2﹣x=______．12、（4分）如图，在正方形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，E 为BC 上一点，5CE =，F 为DE 的中点．若CEF ∆的周长为18，则OF 的长为________．13、（4分）如图，在△ABC 中，AB =AC ，AD ⊥BC ，垂足为D ，E 是AC 的中点．若DE =5，则AB 的长为▲．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（12分）解方程：32x -﹣12xx --＝115、（8分）某跳水队为了解运动员的年龄情况，作了一次年龄调查，根据跳水运动员的年龄（单位：岁），绘制出如下的统计图①和图②．请根据相关信息，解答下列问题：（1）本次接受调查的跳水运动员人数为，图①中m 的值为；（2）求统计的这组跳水运动员年龄数据的平均数、众数和中位数．16、（8分）在读书月活动中，学校准备购买一批课外读物．为使课外读物满足同学们的需求，学校就“我最喜爱的课外读物”从文学、艺术、科普和其他四个类别进行了抽样调查（每位同学只选一类），如图是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图．请你根据统计图提供的信息，解答下列问题：（1）本次调查中，一共调查了名同学；（2）条形统计图中，m=，n=；（3）扇形统计图中，艺术类读物所在扇形的圆心角是度；（4）学校计划购买课外读物6000册，请根据样本数据，估计学校购买其他类读物多少册比较合理？17、（10分）正方形ABCD 的对角线相交于点O ，点O 又是正方形111A B C O 的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等.试证明：无论正方形111A B C O 绕点O 怎样转动，两个正方形重叠部分的面积，总等于一个正方形面积的14.18、（10分）（1）化简；（m +2+1m ）•m 1m +（2）先化简，再求值；（32x ++x +2）÷2212x x x -++，其中|x |＝2B 卷（50分）一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、（4分）在函数5y x m =-+的图象上有两个点1(2,)y -,2(5,)y ,则12,y y 的大小关系是___________．20、（4分）将函数4y x =-的图象沿y 轴向下平移1个单位，则平移后所得图象的解析式是____．21、（4分）平行四边形的对角线长分别是10、16，则它的边长x 的取值范围是__________．22、（4分）把抛物线y =x 2向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为_____.23、（4分）如图，如果要使ABCD 成为一个菱形，需要添加一个条件，那么你添加的条件是________.二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24、（8分）一次函数y =kx +b （0k ≠）的图象经过点(1,3)A -，(0,2)B ，求一次函数的表达式．25、（10分）如图，□ABCD 中，BD 是它的一条对角线，过A 、C 两点作AE ⊥BD ，CF ⊥BD ，垂足分别为E 、F ，延长AE 、CF 分别交CD 、AB 于M 、N ．（1）求证：四边形CMAN 是平行四边形．（2）已知DE ＝4，FN ＝3，求BN 的长．26、（12分）如图，一次函数y kx b =+与反比例函数m y x =的图象交于A （1，4），B （4，n ）两点．（1）求反比例函数的解析式；（2）求一次函数的解析式；（3）点P 是x 轴上的一动点，试确定点P 并求出它的坐标，使PA+PB 最小．一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、A【解析】直接利用施工时间提前8天完成任务进而得出等式求出答案．【详解】解：设原计划每天整修道路x米，根据题意可得方程：240024008．(120%)x x-=+故选：A．本题考查由实际问题抽象出分式方程，正确找出等量关系是解题关键．2、D【解析】根据因式分解的定义进行分析.【详解】A、-a+a3=-a（1-a2）=-a（1+a）（1-a），故本选项错误；B、2a-4b+2=2（a-2b+1），故本选项错误；C、a2-4=（a-2）（a+2），故本选项错误；D、a2-2a+1=（a-1）2，故本选项正确．故选D．考核知识点：因式分解.3、D【解析】根据线段垂直平分线的性质得出AD＝BD，推出CD＋BD＝5，即可求出答案．【详解】解：∵DE是AB的垂直平分线，∴AD＝DB，∵AC＝5，∴CD＋BD＝5，∵BC＝4，∴△BCD的周长为：CD＋BD＋BC＝5＋4＝9，故选D．本题考查了线段垂直平分线的性质，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．4、C【解析】解：设这三个连续自然数为：x-1，x，x+1，则0＜x-1+x+x+1＜15，即0＜3x＜15，∴0＜x＜5，因此x=1，2，3，1．共有1组．故应选C．5、D【解析】设这种水果每千克的售价为x元，购进这批水果m千克，根据这种水果的利润不低于35%列不等式求解即可.【详解】设这种水果每千克的售价为x元，购进这批水果m千克，根据题意，得(1-10%)mx-4m≥4m×35%，解得x≥6，答：售价至少为6元/千克.故选D.此题主要考查了一元一次不等式的应用，根据实际问题中的条件列不等式时，要注意抓住题目中的一些关键性词语，找出不等关系，列出不等式式是解题关键．6、C【解析】连接EC ，作CH ⊥EF 于H ．首先证明△BAD ≌△CAE ，再证明△EFC 是等边三角形即可解决问题；【详解】连接EC ，作CH ⊥EF 于H ．∵△ABC ，△ADE 都是等边三角形，∴AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠BAC ＝∠DAE ＝∠ABC ＝∠ACB ＝60°，∴∠BAD ＝∠CAE ，∴△BAD ≌△CAE ，∴BD ＝EC ＝1，∠ACE ＝∠ABD ＝60°，∵EF ∥BC ，∴∠EFC ＝∠ACB ＝60°，∴△EFC 是等边三角形，CH ＝2，∴EF ＝EC ＝BD ，∵EF ∥BD ，∴四边形BDEF 是平行四边形，故②正确，∵BD ＝CF ＝1，BA ＝BC ，∠ABD ＝∠BCF ，∴△ABD ≌△BCF ，故①正确，∵S 平行四边形BDEF ＝BD•CH ＝32，故③正确，∵△ABC 是边长为3的等边三角形，S △ABC ＝243⨯=∴S △ABD 1344=⨯=∴S △AEF ＝23S △AEC ＝23•S △ABD ＝2故④错误，故选C ．本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．7、C【解析】根据菱形的性质逐个进行证明，再进行判断即可．【详解】A、∵四边形ABCD是平行四边形，AB=BC，∴平行四边形ABCD是菱形，故本选项错误；B、∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，∴平行四边形ABCD是菱形，故本选项错误；C、∵四边形ABCD是平行四边形和∠ABC=90°不能推出，平行四边形ABCD是菱形，故本选项正确；D、∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠ADB=∠2，∵∠1=∠2，∴∠1=∠ADB，∴AB=AD，∴平行四边形ABCD是菱形，故本选项错误；故选C．本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定的应用，注意：菱形的判定定理有：①有一组邻边相等的平行四边形是菱形，②四条边都相等的四边形是菱形，③对角线互相垂直的平行四边形是菱形．8、C【解析】根据垂直平分线的性质可得AE=CE，再根据平行四边形对边相等即可得解.【详解】解：∵的垂直平分线交于点E∴AE=CE，又∵四边形是平行四边形，∴AD=BC=6，CD=AB=4，∴C△CDE=CD+CE+DE=CD+AE+DE=CD+AD=4+6=10.故选C.本题主要考查平行四边形与垂直平分线的性质，解此题的关键在于熟练掌握其知识点.二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、13 k>-【解析】根据反比例函数的性质可得3k+1＞0，再解不等式即可．【详解】∵双曲线31kyx+=的图象经过第一、三象限，∴3k+1＞0，解得13 k>-．故答案为：13 k>-．此题主要考查了反比例函数的性质，关键是掌握反比例函数的性质．对于反比例函数y=k x（k≠0），（1）k＞0，反比例函数图象在一、三象限；（2）k＜0，反比例函数图象在第二、四象限内．10、1【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，OA=OC，∠BAD=90°，∵∠ADB=30°，∴AC=BD=2AB=8，∴OC=12AC=1．故答案为1．点睛：此题考查了矩形的性质、含30°角的直角三角形的性质．熟练掌握矩形的性质，注意掌握数形结合思想的应用．11、x（x﹣1）【解析】分析：提取公因式x即可．详解：x2−x＝x（x−1）．故答案为：x（x−1）．点解：本题主要考查提公因式法分解因式，准确找出公因式是解题的关键．12、7 2先根据直角三角形的性质求出DE 的长，再由勾股定理得出CD 的长，进而可得出BE 的长，由三角形中位线定理即可得出结论．【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形，∴BO DO =，BC CD =，90BCD ︒∠=．在Rt DCE ∆中，F 为DE 的中点，∴12CF DE EF DF ===．∵CEF ∆的周长为18，5CE =，∴18513CF EF +=-=，∴13DE DF EF =+=．在Rt DCE ∆中，根据勾股定理，得12DC ==，∴12BC =，∴1257BE =-=．在BDE ∆中，∵BO DO =，F 为DE 的中点，又∵OF 为BDE ∆的中位线，∴1722OF BE ==．故答案为：72.本题考查的是正方形的性质，涉及到直角三角形的性质、三角形中位线定理等知识，难度适中．13、1【解析】解：∵在△ABC 中，AD ⊥BC ，垂足为D ，∴△ADC 是直角三角形；∵E 是AC 的中点．∴DE=12AC （直角三角形的斜边上的中线是斜边的一半）；又∵DE=5，AB=AC ，故答案为：1．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、x＝1．【解析】分式方程变形后，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】原方程可变为：32x-﹣12xx--＝1，方程两边同乘（x﹣2），得1﹣（x﹣1）＝x﹣2，解得：x＝1，检验：当x＝1时，x﹣2≠0，∴原方程的解为x＝1．此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．15、（1）40人；1；（2）平均数是15；众数16；中位数15.【解析】（1）用13岁年龄的人数除以13岁年龄的人数所占的百分比，即可得本次接受调查的跳水运动员人数；用16岁年龄的人数除以本次接受调查的跳水运动员人数即可求得m的值；（2）根据统计图中给出的信息，结合求平均数、众数、中位数的方法求解即可.【详解】解：（1）4÷10%=40（人），m=100-27.5-25-7.5-10=1；故答案为40，1．（2）观察条形统计图，∵1341410151116121731540x⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==，∴这组数据的平均数为15；∵在这组数据中，16出现了12次，出现的次数最多，∴这组数据的众数为16；∵将这组数据按照从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是15，有15+15=152，∴这组数据的中位数为15.本题考查了条形统计图，扇形统计图，掌握平均数、众数和中位数的定义是解题的关键．16、解：（1）1．（2）40；2．（3）3．（4）学校购买其他类读物900册比较合理．【解析】（1）∵从条形图得出文学类人数为：70，从扇形图得出文学类所占百分比为：35%，∴本次调查中，一共调查了：70÷35%=1人.（2）∵从扇形图得出科普类所占百分比为：30%，∴科普类人数为：n=1×30%=2人，艺术类人数为：m=1﹣70﹣30﹣2=40人.（3）根据艺术类读物所在扇形的圆心角是：40÷1×32°=3°.（4）根据喜欢其他类读物人数所占的百分比为30=15%200，则200册中其他读物的数量：600015%=900⨯（本）.17、见解析.【解析】分两种情况讨论：（1）当正方形111A B C O 边与正方形ABCD 的对角线重合时；（2）当转到一般位置时，由题求证AEO BOF ≅，故两个正方形重叠部分的面积等于三角形ABO 的面积，得出结论.【详解】（1）当正方形111OA B C 绕点O 转动到其边1OA ，1OC 分别于正方形ABCD 的两条对角线重合这一特殊位置时，显然14ABCD S S =正方形两个正方形重叠部分；（2）当正方形111OA B C 绕点O 转动到如图位置时，∵四边形ABCD 为正方形，∴45OAB OBC ∠=∠=︒，OA OB =，BO AC ⊥，即90AOE EOB ∠+∠=︒又∵四边形111A B C O 为正方形，∴1190A OC ∠=︒，即90BOF EOB ∠+∠=︒，∴AOE BOF ∠=∠，在AOE ∆和BOF ∆中，AOE BOF AO BO OAE OBF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴()AOE BOF ASA ∆≅∆，∵BOE BOF S S S =+两个正方形重叠部分，又AOE BOF S S =，∴14ABO ABCD S S S ==正方形两个正方形重叠部分.此题考查正方形的性质，三角形全等的判定与性质，三角形的面积等知识点.18、（1）m +1；（2）1【解析】（1）先对括号里面的式子进行合并，再利用完全平方公式进行计算即可解答.（2）先合并括号里面的，再把除法变成乘法，约分合并，最后把|x |＝2，代入即可.【详解】解：（1）原式＝()2212111m m m m m m m m m +++=++＝m +1；（2）原式＝()()22223+22472211x x x x x x x x ++++=+-+-，由|x |＝2，得到x ＝2或﹣2（舍去），当x ＝2时，原式＝1．此题考查分式的化简求值，解题关键在于掌握运算法则.一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、y 1＞y 2【解析】分析：根据一次函数y=kx+b（k≠0，k、b 为常数）的图像与性质，由k 的值判断函数的增减性，由此比较即可.详解：∵k=-5＜0∴y 随x 增大而减小，∵-2＜5∴1y ＞2y .故答案为：1y ＞2y .点睛：根据一次函数y=kx+b（k≠0，k、b 为常数）的图像与性质可知：当k＞0，b＞0时，图像过一二三象限，y 随x 增大而增大；当k＞0，b＜0时，图像过一三四象限，y 随x 增大而增大；当k＜0，b＞0时，图像过一二四象限，y 随x 增大而减小；当k＜0，b＜0，图像过二三四象限，y 随x 增大而减小.20、y=-4x-1【解析】根据函数图象的平移规律：上加下减，可得答案．【详解】解：将函数y=-4x 的图象沿y 轴向下平移1个单位，则平移后所得图象的解析式是y=-4x-1．故答案为：y=-4x-1．本题考查了一次函数图象与几何变换，利用一次函数图象的平移规律是解题关键．21、313x <<【解析】根据平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分．得两条对角线的一半分别是5，8；再根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．进行求解．【详解】根据平行四边形的性质，得对角线的一半分别是5和8.再根据三角形的三边关系，得3x 13<<.故答案为3x 13<<.本题考查了三角形的三边关系，掌握任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键.22、y=（x+1）1-1先由平移方式确定新抛物线的顶点坐标．然后可得出顶点式的解析式。
2020年吉林省长春市南关区东北师大附中中考数学4月模拟试题(解析版)
2020年吉林省长春市南关区东北师大附中中考数学模拟试卷（4月份）一．选择题（共8小题）1. ﹣3的绝对值是（）A. ﹣3B. 3C. -13D.13【答案】B【解析】【分析】根据负数的绝对值是它的相反数，可得出答案.【详解】根据绝对值的性质得：|-3|=3．故选B．【点睛】本题考查绝对值的性质，需要掌握非负数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数.2. 为应对疫情，许多企业跨界抗疫，生产口罩．截至2月29日，全国口罩日产量达到116000000只．将116000000用科学记数法表示应为（）A. 611610⨯ B. 711.610⨯ C. 71.1610⨯ D. 81.1610⨯【答案】D【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【详解】将116000000用科学记数法表示应为1.16×108．故选：D．【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3. 如图，是由棱长都相等的四个小正方体组成的几何体．该几何体的左视图是（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】左视图有1列，含有2个正方形．【详解】解：该几何体的左视图只有一列，含有两个正方形．故选B．【点睛】此题主要考查了简单组合体的三视图，关键是掌握左视图所看的位置．4. 不等式组251312xx x-<⎧⎨+≥⎩的解集在数轴上表示正确的是()A. B. C.D.【答案】C【解析】【分析】先分别求出各不等式的解集，再求其公共解集即可．【详解】解不等式2x－5＜1得：x＜3，解不等式3x＋1≥2x得：x≥－1，∴不等式组的解集为：－1≤x＜3，在数轴上的表示如选项C所示．故选：C．【点睛】本题考查的是在数轴上表示不等式组解集的方法，熟知实心点与空心圆点的区别是解答此题的关键．5. 《九章算术》是中国古代数学著作之一，书中有这样一个问题：五只雀、六只燕共重一斤，雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重.问：每只雀、燕的重量各为多少？设一只雀的重量为x斤，一只燕的重量为y 斤，则可列方程组为( )A.56156x yx y y x+=⎧⎨-=-⎩B.65156x yx y y x+=⎧⎨+=+⎩C.56145x yx y y x+=⎧⎨+=+⎩D.65145x yx y y x+=⎧⎨-=-⎩【答案】C【解析】【分析】根据题意，可以列出相应的方程组，从而可以解答本题．【详解】根据题目条件找出等量关系并列出方程：（1）五只雀和六只燕共重一斤，列出方程:5x+6y＝1 (2) 互换其中一只，恰好一样重,即四只雀和一只燕的重量等于五只燕一只雀的重量，列出方程：4x+y＝5y+x, 故选C.【点睛】此题考查二元一次方程组应用，解题关键在于列出方程组6. 如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，交AB的延长线于D，且∠D＝40°，则∠PCA等于（）A. 50°B. 60°C. 65°D. 75°【答案】C【解析】【分析】根据切线的性质，由PD切⊙O于点C得到∠OCD＝90°，再利互余计算出∠DOC＝50°，由∠A＝∠ACO，∠COD＝∠A+∠ACO，所以1252A COD∠=∠=︒，然后根据三角形外角性质计算∠PCA的度数．【详解】解：∵PD切⊙O于点C，∴OC⊥CD，∴∠OCD＝90°，∵∠D＝40°，∴∠DOC ＝90°﹣40°＝50°， ∵OA ＝OC ，∴∠A ＝∠ACO ，∵∠COD ＝∠A +∠ACO ， ∴1252A COD ∠=∠=︒， ∴∠PCA ＝∠A +∠D ＝25°+40°＝65°． 故选C ．【点睛】本题考查了切线的性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、三角形外角性质等知识；熟练掌握切线的性质与三角形外角性质是解题的关键．7. 如图，在矩形ABCD 中，按以下步骤作图：①分别以点A 和点C 为圆心，大于12AC 的长为半径作弧，两弧相交于点M 和N ；②作直线MN 交CD 于点E ，若3DE =，5CE =，则该矩形的周长（ ）．A. 12B. 24C. 32D. 22【答案】B【解析】【分析】 连接EA ，如图，利用基本作图得到MN 垂直平分AC ，根据线段垂直平分线的性质得到EA ＝EC ＝5，然后利用勾股定理计算出AD ，从而得到矩形的周长．【详解】解：连接EA ，如图，由作法得MN垂直平分AC，∴EA＝EC＝5，在Rt△ADE中，AD＝222253AE DE-=-＝4，所以该矩形的周长＝4×2＋(5＋3)×2＝24．故选：B．【点睛】本题考查了作图﹣基本作图：作已知线段的垂直平分线，也考查了矩形的性质、垂直平分线的性质及勾股定理的应用，熟练运用垂直平分线的性质及勾股定理是解决本题的关键．8. 如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴的正半轴上，点B的坐标为（0，4），将△ABO绕点B逆时针旋转60°后得到△A'BO'，若函数y=kx（x＞0）的图象经过点O'，则k的值为（）A. 3B. 4C. 3D. 8 【答案】C【解析】【分析】根据题意可以求得点O'的坐标，从而可以求得k的值．【详解】∵点B的坐标为（0，4），∴OB=4，作O′C⊥OB于点C，∵△ABO绕点B逆时针旋转60°后得到△A'BO'，∴O′B=OB=4，∴BC=4×cos60°=2，∴OC=2，∴点O ′的坐标为：（，2），∵函数y=k x（x ＞0）的图象经过点O'，∴，得 故选C ．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、坐标与图形的变化，解题的关键是利用数形结合的思想和反比例函数的性质解答．二．填空题（共6小题）9. =__________． 【答案】2【解析】【分析】直接利用二次根式的乘法法则计算即可．【详解】解：原式==2=．故答案为：2．【点睛】本题考查了二次根式的乘法法则，熟练掌握二次根式的乘法法则是解决本题的关键．10. 把多项式因式分解22a b ab b-+结果是__________．【答案】2(1)b a -【解析】【分析】先提取公因式,再利用公式法因式分解即可．【详解】()()2222211a b ab b b a a b a -+=-+=-． 故答案为: ()21b a -．【点睛】本题考查因式分解的计算,关键在于熟练掌握基本的因式分解方法．11. 如果关于x 的一元二次方程230x x k -+=有两个相等的实数根，那么实数k 的值是________． 【答案】94 【解析】【分析】根据方程有两个相等的实数根得到△=b 2-4ac=0，求出k 的值即可．【详解】解：∵一元二次方程x 2-3x+k=0有两个相等的实数根，∴△=b 2-4ac=32-4×1×k=0， ∴9-4k=0，∴k=94， 故答案为：94． 【点睛】此题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数；（3）△＜0⇔方程没有实数根．12. 把一块含有45︒角的直角三角板与两条长边平行的直尺如图放置(直角顶点在直尺的一条长边上)．若123∠=︒，则2∠=_______︒．【答案】68【解析】【分析】由等腰直角三角形的性质得出∠A=∠C=45°，由三角形的外角性质得出∠AGB=68°，再由平行线的性质即可得出∠2的度数．【详解】如图，∵ABC ∆是含有45︒角的直角三角板，∴45A C ∠=∠=︒，∵123∠=︒，∴168AGB C ∠=∠+∠=︒，∵EF BD ，∴268AGB ∠=∠=︒；故答案为68．【点睛】此题主要考查了等腰直角三角形的性质、平行线的性质以及三角形的外角性质，关键是掌握两直线平行，同位角相等．13. 如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，∠ACB 的平分线交⊙O 于D ，且AB ＝10，则AD 的长为_____．【答案】2．【解析】【分析】根据圆周角定理得到∠ADB=90°，再利用∠ACD=∠BCD 得到AD=BD ，于是可判断△ABD 为等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质求AD 的长度．【详解】∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°，∵∠ACB 的平分线交⊙O 于D ，∴∠ACD ＝∠BCD ，∴AD ＝BD ，∴AD ＝BD ，∴△ABD 为等腰直角三角形，∴AD＝2AB ＝10×2＝． 故答案为【点睛】本题考查了勾股定理和圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 14. 抛物线y=x 2+bx+3的对称轴为直线x=1，若关于x 的一元二方程x 2+bx+3-t=0（t 为实数）在-1＜x ＜4的范围内有实数根，则t 的取值范围是___________【答案】2≤t<11【解析】【分析】由题意根据抛物线y=x 2+bx+3的对称轴为直线x=1，可以求得b 的值，然后即可得到该函数的解析式，再根据二次函数的性质，即可得到当-1＜x ＜4时，y 的取值范围，然后令y=t ，即可转化为方程x 2+bx+3-t=0，从而可以得到t 的取值范围．【详解】解：∵抛物线y=x 2+bx+3的对称轴为直线x=1， ∴21b -⨯=1，得b=-2， ∴y=x 2-2x+3=（x-1）2+2，∴当-1＜x ＜4时，y 的取值范围是2≤y ＜11，当y=t 时，t=x 2-2x+3，即x 2+bx+3-t=0，∵关于x 的一元二次方程x 2+bx+3-t=0（t 为实数）在-1＜x ＜4的范围内有实数根，∴t 的取值范围是2≤t ＜11，故答案为：2≤t ＜11．【点睛】本题考查抛物线与x 轴的交点以及二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意并利用二次函数的性质进行解答．三．解答题 15. 先化简，再求值：2(32)(3)(3)x y x y x y +-+-，其中1x =，2y =．【答案】2125xy y +，44【解析】【分析】先利用完全平方公式和平方差公式计算，再去括号、合并同类项即可化简原式，再将x 、y 的值代入计算即可．【详解】解：原式22229124(9)x xy y x y =++-- 222291249x xy y x y =++-+2125xy y =+当1x =，2y =时，原式2121252=⨯⨯+⨯2420=+44=．【点睛】本题考查了完全平方公式、平方差公式、去括号法则以及合并同类项法则，熟练掌握乘法公式是解本题的关键．16. 在一个不透明的盒子里，装有三个分别写有数字6，2-，7的小球，它们的形状大小、质地等完全相同，先从盒子里随机取出一个小球，记下数字后放回盒子，摇匀后再随机取出一个小球，记下数字．请你用画树状图（或列表）的方法求出两次取出小球上的数字之和为偶数的概率． 【答案】59【解析】【分析】画树状图展示所有9种等可能的结果数，再找出两次取出小球上的数字之和为偶数的结果数，然后根据概率公式求解．【详解】解：由题意得：共有9种等可能的结果数，其中两次取出小球上的数字之和为偶数的结果数为5，所以两次取出小球上的数字之和为偶数的概率为：59． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n ，再从中选出符合事件A 或B 的结果数目m ，然后根据概率公式计算事件A 或事件B 的概率．17. 列方程解应用题：小明和小刚约定周末到某体育公园打羽毛球．他们两家到体育公园的距离分别是1200米，3000米，小刚骑自行车的速度是小明步行速度的3倍，若二人同时到达，则小明需提前4分钟出发，求小明和小刚两人的速度．【答案】小明的速度是50米/分钟，小刚骑自行车的速度是150米/分钟． 【解析】 【分析】直接利用小刚骑自行车的速度是小明步行速度的3倍，若二人同时到达，则小明需提前4分钟出发，进而得出等式求出答案．【详解】设小明的速度是x 米/分钟，则小刚骑自行车的速度是3x 米/分钟，根据题意可得：1200300043x x-=， 解得：50x =，经检验得：50x =是原方程的根，故3150x =，答：小明的速度是50米/分钟，则小刚骑自行车的速度是150米/分钟． 【点睛】此题主要考查了分式方程的应用，正确得出等量关系是解题关键．18. 如图，△ABC 中，AB ＝BC ，过点A 作BC 的平行线与∠ABC 的平分线交于点D ，连接CD ． （1）求证：四边形ABCD 是菱形；（2）连接AC 与BD 交于点O ，过点D 作DE ⊥BC 的延长线交于E 点，连接EO ，若BC ＝5，AC ＝2，直接写出OE 的长．【答案】（1）见解析；（2）OE ＝2． 【解析】 【分析】（1）根据角平分线定义及平行线的性质可得∠ABD ＝∠ADB ，即可证明AB=AD ，由AD//BC 可证明四边形ABCD 是平行四边形，进而可得四边形ABCD 是菱形；（2）根据菱形的性质可求出OC 的长，利用勾股定理可求出OB 的长，进而可得出BD 的长，由DE ⊥BE ，根据直角三角形斜边中线的性质即可得答案． 【详解】（1）∵BD 平分∠ABC ， ∴∠ABD ＝∠DBC ，∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC，∴∠ABD＝∠ADB∴AB＝AD，∵AB＝BC，∴AD＝BC，∵AD∥BC∴四边形ABCD是平行四边形，∵AB＝BC，∴四边形ABCD是菱形，（2）∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，CO＝12AC＝1，∵BC∴BO2，∴BD＝2OB＝4，∵DE⊥BC，∴OE＝12BD＝2．【点睛】本题考查平行四边形的判定、菱形的判定与性质及直角三角形斜边中线的性质，有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；有一组邻边相等的平行四边形是菱形；菱形的对角线互相垂直且互相平分；直角三角形斜边中线等于斜边的一半；熟练掌握相关性质及定理是解题关键．19. 由于世界人口增长、水污染以及水资源浪费等原因，全世界面临着淡水资源不足的问题，我国是世界上严重缺水的国家之一．节约用水是水资源合理利用的关键所在，是最快捷、最有效、最可行的维护水资源可持续利用的途径之一，为了调查居民的用水情况，有关部门对某小区的20户居民的月用水量进行了调查，数据如下（单位t）：6.7 8.77.3 11.4 7.0 6.9 11.7 9.7 10.0 9.77.3 8.4 10.6 8.7 7.2 8.7 10.5 9.3 8.4 8.7整理数据：按如下分段整理样本数据并补充表格（表1）：分析数据：补全下列表格中的统计量（表2）：得出结论：（1）表中的a = ，b = ，c = ；（2）若用表1中的数据制作一个扇形统计图，9.010.5x ≤<所占的扇形圆心角的度数为 度； （3）如果该小区有住户400户，根据样本估计用水量在6.09.0x ≤<的居民有多少户？ 【答案】（1）6，4，8.7；（2）72；（3）240 【解析】 【分析】（1）利用表格中的数据求出a ，b ，c 的值即可． （2）根据圆心角＝360°×百分比计算即可解决问题． （3）利用样本估计总体的思想解决问题即可．【详解】解：（1）将这20个数据按照由小到大的顺序排列为： 6.7 6.9 7.0 7.2 7.3 7.3 8.4 8.4 8.7 8.7 8.7 8.7 9.3 9.7 9.7 10.0 10.5 10.6 11.4 11.7 由题意：a ＝6，b ＝4，c ＝8.7， 故答案为6，4，8.7．（2）9.0≤x ＜10.5所占的扇形圆心角的度数＝360°×420＝72°， 故答案为72． （3）400×6620+＝240（户）， 答：如果该小区有住户400户，估计用水量在6.0≤x ＜9.0的居民有240户．【点睛】本题考查扇形统计图，样本估计总体的思想，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．20. 图①、图②、图③都是66⨯的网格，每个小正方形的顶点称为格点．ABC 顶点A 、B 、C 均在格点上，在图①、图②、图③给定网格中按要求作图，并保留作图痕迹． （1）在图①中画出ABC 中BC 边上的中线AD ；（2）在图②中确定一点E ，使得点E 在AC 边上，且满足BE AC ⊥； （3）在图③中画出BMN △，使得BMN △与BCA是位似图形，且点B 为位似中心，点M 、N 分别在BC 、AB 边上，位似比为13．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 【解析】 【分析】（1）根据中线的定义，取BC 中点D ，连接AD 即可；（2）将AC 所在的2×4的长方形逆时针旋转90°即可确定点E ；（3）将AC 向左平移4个单位后，分别与BC 、AB 交于点M 、N 即可得出答案． 【详解】解：（1）如图①所示，AD 即为所求； （2）如图②所示，点E 即为所求； （3）如图③所示，△BMN 即为所求．【点睛】本题主要考查作图﹣位似变换，解题的关键是掌握位似变换的定义和性质及平行线分线段成比例定理．21. 如图所示，图1，图2分别是某款高压电塔的实物图和示意图电塔的底座AB 与地面平齐，DF 表示电塔顶端D 到地面的距离，已知AF 的长是2米，支架AC 与地面夹角∠BAC ＝86°，顶端支架DC 长10米，DC 与水平线CE 之间夹角∠DCE ＝45°，求电塔的高度DF ．（sin86°＝0.998，cos86°＝0.070，tan86°＝14.300，2≈1.4，结果保留整数）【答案】电塔的高度DF 约为79米． 【解析】 【分析】过点C 作CG ⊥AB 于G ，解Rt △DCE ，求出CE ＝DE ＝FG≈7，那么AG ＝GF ﹣AF≈5．再解Rt △ACG ，求出EF ＝CG ＝71.5，代入DF ＝DE+EF 即可．【详解】如图，过点C 作CG ⊥AB 于G ，则四边形CEFG 是矩形， ∴CE ＝FG ，CG ＝EF ．在Rt △DCE 中，∵∠DCE ＝45°，CD ＝10， ∴DE ＝CD•sin ∠DCE ＝10×22＝2≈7， ∴CE ＝DE ＝FG≈7，∴AG ＝GF ﹣AF≈7﹣2＝5．在Rt △ACG 中，∵∠CAG ＝86°，AG ＝5， ∴CG ＝AG•tan ∠CAG ＝5×14.3＝71.5， ∴EF ＝CG ＝71.5，∴DF ＝DE+EF ＝7+71.5≈79（米）． 答：电塔的高度DF 约为79米．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题关键.22. 端午节期间，甲、乙两人沿同一路线行驶，各自开车同时去离家560千米的景区游玩，甲先以每小时60千米的速度匀速行驶1小时，再以每小时m 千米的速度匀速行驶，途中体息了一段时间后，仍按照每小时m 千米的速度匀速行驶，两人同时到达目的地，图中折线、线段分别表示甲、乙两人所走的路程()y km 甲，()y km 乙与时间()x h 之间的函数关系的图象.请根据图象提供的信息，解决下列问题：()1图中E 点的坐标是______，题中m =______km/h ，甲在途中休息______h ； ()2求线段CD 的解析式，并写出自变量x 的取值范围； ()3两人第二次相遇后，又经过多长时间两人相距20km ？【答案】()()12,160，100，1；()2直线CD 的解析式为：()y 100x 1405x 7=-≤≤；()3两人第二次相遇后，又经过0.25时或1.5时两人相距20km. 【解析】 【分析】(1)根据速度和时间列方程：60×1+m=160，可得m=100，根据D 的坐标可计算直线OD 的解析式，从图中知E 的横坐标为2，可得E 的坐标，根据点E 到D 的时间差及速度可得休息的时间；(2)利用待定系数法求直线CD 的解析式；(3)先计算第二次相遇的时间：y=360时代入y=80x 可得x 的值，再计算x=5时直线OD 的路程，可得路程差为40km ，所以存在两种情况：两人相距20km ，列方程可得结论． 【详解】()1由图形得()D 7,560， 设OD 的解析式为：y kx =，把()D 7,560代入得：7k 560=，k 80=，OD ∴：y 80x =，当x 2=时，y 280160=⨯=，()E 2,160∴，由题意得：601m 160⨯+=，m 100=，()725601601001---÷=，故答案为()2,160，100，1；()()2A 1,60，()E 2,160，∴直线AE ：y 100x 40=-，当x 4=时，y 40040360=-=，()B 4,360∴， ()C 5,360∴， ()D 7,560，∴设CD 的解析式为：y kx b =+，把()C 5,360，()D 7,560代入得：{5k b 3607k b 560+=+=，解得：{k 100b 140==-，∴直线CD 的解析式为：()y 100x 1405x 7=-≤≤；()3OD 的解析式为：()y 80x 0x 7=≤≤，当x 5=时，y 580400=⨯=，40036040-=，∴出发5h 时两个相距40km ，把y 360=代入y 80x =得：x 4.5=，∴出发4.5h 时两人第二次相遇，①当4.5x 5<<时，80x 36020-=，x 4.75=，()4.75 4.50.25h -=，②当x 5>时，()80x 100x 14020--=，x 6=，()6 4.5 1.5h -=，答：两人第二次相遇后，又经过0.25时或1.5时两人相距20km.【点睛】本题考查了一次函数的应用，读懂函数图象，理解横、纵坐标表示的含义，熟练掌握一次函数的相关知识、利用数形结合思想是解题的关键．23. 如图1，在正方形ABCD 中，AD ＝9，点P 是对角线BD 上任意一点（不与B 、D 重合），点O 是BD 的中点，连接PC ，过点P 作PE ⊥PC 交直线AB 于点E ．初步感知：当点P 与点O 重合时，比较：PC PE （选填“＞”、“＜”或“＝”）． 再次感知：如图1，当点P 在线段OD 上时，如何判断PC 和PE 数量关系呢？ 甲同学通过过点P 分别向AB 和BC 作垂线，构造全等三角形，证明出PC ＝PE ； 乙同学通过连接P A ，证明出P A ＝PC ，∠P AE ＝∠PEA ，从而证明出PC ＝PE ．理想感悟：如图2，当点P 落在线段OB 上时，判断PC 和PE 的数量关系，并说明理由． 拓展应用：连接AP ，并延长AP 交直线CD 于点F ． （1）当12=DF CF ＝时，如图3，直接写出APE 的面积为 ； （2）直接写出APE 面积S 的取值范围．【答案】初步感知：＝；理想感悟：PC ＝PE ，理由见解析；拓展应用：（1）24316；（2）0＜S ＜814．【解析】 【分析】初步感知：当点P 与点O 重合时，则点E 与B 重合，直接利用正方形的性质解题即可；理想感悟：PC=PE ，过点P 作GH ⊥AB 于G ，交CD 于H ，证明EGP PHC ≌（AAS ），可得结论； 拓展应用：（1）过点P 作GH ⊥AB 于G ，交CD 于H ，由理想感悟可知EGP PHC ≌，证明DFP BAP ∽，根据相似三角形的相似比等于对应边上的高之比，列式计算，得出PH 和PG 的长，然后求出AE 的长，根据三角形的面积公式可得答案； （2）设PH=x ，则PG=9-x ，由题意可知：AG=EG=DH=PH=x ，根据（1）中的结论列出S 的表达式，利用二次函数的性质求得答案即可．【详解】解：初步感知：如图，当点P 与点O 重合时，则点E 与B 重合， ∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠BCD ＝90°， ∵点O 是BD 的中点， ∴OC ＝OB ＝12BD ， ∴PC ＝PE ， 故答案为：＝；理想感悟：PC ＝PE ，理由如下：如图2，过点P 作GH ⊥AB 于G ，交CD 于H ，∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ∥CD ，∠ABD ＝45°，∠A ＝∠ABC ＝90°， ∵GH ⊥AB ， ∴GH ⊥CD ，∴∠EGP ＝∠PHC ＝90°， ∴∠GEP +∠GPE ＝90°，∵PE ⊥PC ， ∴∠EPC ＝90°， ∴∠GPE +∠CPH ＝90°， ∴∠GEP ＝∠CPH ，∵∠ABD ＝45°，∠EGP ＝90°， ∴BGP 是等腰直角三角形， ∴BG ＝GP ．∵∠EGP ＝∠PHC ＝∠ABC ＝90°， ∴四边形BGHC 为矩形， ∴BG ＝CH ， ∴CH ＝GP ，在△EGP 和△PHC 中，GEP CPH EGP PHC GP CH ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴EGP PHC ≌（AAS ）． ∴PE PC =；拓展应用：（1）如图3，过点P 作GH ⊥AB 于G ，交CD 于H ，由理想感悟知：EGP PHC ≌， ∴EG ＝PH ，∵∠AGP ＝∠PHD ＝∠ADC ＝90°， ∴四边形AGHD 为矩形， ∴AG ＝DH ，∵∠BDC ＝45°，∠PHD ＝90°， ∴PHD △是等腰直角三角形， ∴DH ＝PH ．∵12=DFCF，∴1,3 DFDC=∵DC＝AB，∴1,3 DFAB=∵AB∥CD，∴DFP BAP∽，∴1,3 PH DFPG AB==又∵GH＝AD＝9，∴PH＝94，PG＝274，∴EG＝DH＝PH＝94，∴AG＝DH＝94，∴AE＝AG+GE＝92，∴APE的面积为：12AE•PG＝12×92×274＝24316．故答案为：243 16．（2）设PH＝x，则PG＝9﹣x，由题意可知：AG＝EG＝DH＝PH＝x，则S＝12 AE•PG＝12×2x×（9﹣x）＝2981,24x⎛⎫--+⎪⎝⎭∵0＜x＜9，∴0＜S＜81 4．【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、二次函数的性质及三角形的面积计算等知识点，作辅助线构建全等三角形或相似三角形是解题的关键．24. 定义：在平面直角坐标系xOy 中，点P 的坐标为（x ，y ），当x ＞m 时，Q 点坐标为（﹣x ，﹣y ）；当x ≤m 时，Q 点坐标为（﹣x ，﹣y +2），则称点Q 为点P 的m 分变换点（其中m 为常数）．例如：（﹣2，3）的0分变换点坐标为（2，﹣1）．（1）点（5，7）的1分变换点坐标为 ；点（1，6）的1分变换点在反比例函数y ＝k x图象上，则k ＝ ；若点（a ﹣1，5）的1分变换点在直线y ＝x +2上，则a ＝ ．（2）若点P 在二次函数y ＝x 2﹣2x ﹣3的图象上，点Q 为点P 的3分变换点．①直接写出点Q 所在函数的解析式；②求点Q 所在函数的图象与直线y ＝﹣5交点坐标；③当﹣4≤x ≤t 时，点Q 所在函数的函数值﹣5≤y ≤6，直接写出t 的取值范围． （3）点A （﹣3，﹣1），B （2，﹣1），若点P 在二次函数y ＝x 2﹣mx +22m ﹣2（x ＞m ）的图象上，点Q 为点P 的m 分变换点．当点Q 所在的函数图象与线段AB 有两个公共点时，直接写出m 的取值范围．【答案】（1）(5,7)--；4；8或6；（2）①2y x 2x 3=-++（x >3）或225x x y +-+=（x ≤3）②(15)--或(15)---；③1-≤t ≤-（3）-<m ≤22或-≤m <【解析】【分析】（1）本题根据分变换点定义即可直接求解(5,7)的1分变换点坐标；根据定义求解出(1,6)的1分变换点后，待定系数法求解k 值；分别讨论1a -与1的关系，继而求解出对应1分变换点坐标，代入直线解析式求解a 值．（2）①本题首先假设点P 坐标，继而根据3分变换点定义比较P 点横坐标与3的大小，分别求解不同范围下点Q 坐标，即可解答；②分别令不同范围下的点Q 所在解析式函数值等于5-，求解一元二次方程即可解答；③本题首先分别求得2y x 2x 3=-++（x >3）以及225x x y +-+=（x ≤3）的最大值，继而分别令其函数值大于等于5-求解对应x 范围，最后根据题干要求确定t 的范围．（3）本题首先假设点P 坐标，继而根据m 分变换点求解点Q 所在函数解析式，最后分别令该函数最大值大于1-，当x 取2或3-时，其函数值小于等于1-，列不等式组求解公共解集即可．【详解】（1）由已知得：∵5>1，∴点(5,7)的1分变换点坐标为(5,7)--；∵1＝1，∴点(1,6)的1分变换点为(1,4)--，∵点(1,4)--在反比例函数k y x=图象上， ∴(4)(1)4k =-⨯-=； 当a ﹣1>1，即a >2时，点(1,5)a -的1分变换点为(1,5)a --，∵点(1,5)a --在直线2y x =+上，∴512a -=-+，∴8a =，当a ﹣1≤1，即a ≤2时，点(1,5)a -的1分变换点为(1,3)a --，∵点(1,3)a --在直线2y x =+上，∴312a -=-+，∴6a =，故答案为：(5,7)--；4；8或6；（2）①设2(,23)P x x x ，∵点Q 为点P 的3分变换点，∴当x >3时，2(,23)Q x x x --++， ∴点Q 所在函数的解析式为2y x 2x 3=-++（x >3）；当x ≤3时，2(,25)Q x x x --++，∴点Q 所在函数的解析式为225x x y +-+=（x ≤3）；故点Q 所在函数的解析式为2y x 2x 3=-++（x >3）或225x x y +-+=（x ≤3）； ②把5y =-代入223y x x =--+（x >3），得2235x x --+=-， 解得，4x =-（舍去），或2x =（舍去）；把5y =-代入225y x x =--+（x ≤3），得2255x x --+=-，解得，1x =-1x =-+综上，点Q 所在函数的图象与直线5y =-交点坐标为(15)-+-或(15)--；③∵2223(1)4y x x x （x >3）， ∴y 的最大值为4<6，且当x >3时，y 随x 的增大而减小，令y=-5，223=5y x x =--+-（x>3），解得：x=2（舍去），x=-4（舍去）∵2225(1)6y x x x =--+=-++（x ≤3），∴y 的最大值为6，当1<x ≤3时，y 随x 的增大而减小，当x <-1时，y 随x 的增大而增大，令22+5=5y x x =---，解得：x=1-x=-∴当-1≤t≤-Q 所在函数的函数值﹣5≤y ≤6；综上，当﹣4≤x ≤t 时，点Q 所在函数的函数值﹣5≤y ≤6，其t 的取值范围是1-≤t≤- （3）设22(,2)2m P x x mx -+-， 当x >m 时，则22(,2)2m Q x x mx --+-+， ∴点Q 所在的函数的解析式为：22222()2224m m m y x mx x =---+=-+-+， ∴顶点坐标为2(,2)24m m --+， ∵点(3,1)A --，(2,1)B -，点Q 所在的函数图象与线段AB 有两个公共点， ∴2222149321242212m m m m m ⎧-+>-⎪⎪⎪-+-+≤-⎨⎪⎪---+≤-⎪⎩，解上述不等式组得，-<m≤22或-≤m<【点睛】本题考查二次函数综合及其知识延伸，解题关键在于理解“新定义”，题干含参数时求解需注意分类讨论，待定系数法常作为参数求解工具．。
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东北师大附中2008—2009学年（上）初三第四次月考数学试题共120分，考试时间120分钟亲爱的同学，这份试卷将再次记录你的自信，沉着，智慧和收获．请认真审题，看清要求，仔细答题，要相信我能行！一、选择题（每小题3分，共24分） 1．一元二次方程230x x +=的解是（ ）A ．3x =-B ．10x =，23x =C ．10x =，23x =-D ．3x =2．如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90︒，AC ＝3，AB ＝5，则sin A 的值为 （ ）A ．35B ．45C ．34D ．43（第2题） （第3题） （第4题）3．如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的点，P 是AB 上的动点，则∠C 的最大值为（ ） A ．30︒ B ．45︒ C ．60︒ D ．90︒ 4．图中的四条抛物线中，可能是二次函数22y x x =+的图象为（（ ）A ．①B ．②C ．③D ．④5．⊙O 1与⊙O 2的半径分别为3cm 和4cm ，O 1O 2＝7cm ，则⊙O 1与⊙O 2的位置关系为（ ） A ．外切 B ．相交 C ．相离 D ．内切6．若2y ax c =+，则由表格中信息可知y 与x 之间的函数关系式是（ ）A ．23y x =+B ．23y x =-+C ．23y x =-D ．23y x =--7．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，连OA 、OC ．若⊙O 的半径为2，sin B ＝34，则弦AC 的长为（ ）A ．34B ．C ．3D ．328．将二次函数2y x =的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位， 所得图象的函数表达式是（ ）A ．()212y x =-+ B ．()212y x =++ C ．()212y x =--D ．()212y x =+-二、填空题（每小题3分，共18分）9．若1x =是关于x 的一元二次方程2210x kx +-=的一个根，则实数k 的值为 ． 10．如图，CD 是Rt △ABC 斜边AB 上的高，若BC ＝5，BD ＝3，则tan A ＝ ．(第10题) (第11题) (第12题)11．如图，冰淇淋蛋筒下部呈圆锥形，则蛋筒圆锥部分包装纸的面积（接缝忽略不计）是 ．12．如图，矩形ABCD 被两条抛物线截得的阴影部分的面积为4个平方单位，且AB ＝2，则经过B 、O 、C 三点的抛物线的解析式是 ．13．在△ABC 中，BC ＝4，AC ＝3，AB 的长是一元二次方程2690x x -+=的一个实数根，则∠B 的余弦值是 ．14．如图，平面直角坐标系中，⊙A 的圆心在x 轴上，半径为1，直线l 的解析式为2y x =-．若⊙A 沿x 轴向右运动，在运动过程中，⊙A 与直线l 会有两个切点，则这两个切点之间的距离是 ． （第14题） 三、解答题（每小题5分，共20分） 15．解方程：()()2213120x x -+-=．16．已知二次函数()()2232y m x m x m =-++++的图象过点（0，5）．（1）求m 的值，并写出二次函数的函数关系式．（2分） （2）求出二次函数图象的顶点坐标、对称轴．（3分）17．如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，tan B ＝cos ∠DAC ． （1）证明：AC ＝BD ．（2分） （2）若sin C ＝1213，BC ＝18，求AD 的长．（3分）18．如图，AB 为⊙O 直径，BC 切⊙O 于点B ，CO 交⊙O 交于点D ，AD 的延长线交BC 于E ，若∠C = 25°，求∠A 的度数．四、解答题（每小题6分，共24分）19．某广告公司设计一幅周长为12米的矩形广告牌，广告设计费为每平方米1000元，设矩形一边长为x 米，面积为S 平方米．（1）求出S 与x 之间的函数关系式，并确定自变量x 的取值范围．（3分） （2）请你设计一个方案，使获得的设计费最多，并求出这个费用．（3分）O EDCBA20．如图，在直角坐标平面内，O 为坐标原点，点A 的坐标为（10，0），点B 在第一象限内，BO ＝5，sin ∠BOA ＝35． （1）求点B 的坐标．（3分） （2）求tan ∠BAO 的值．（3分）21．已知二次函数2y x bx c =++中，函数y 与自变量x 的部分对应值如下表：（1（2）若点(5A m ，）、(6)B n ，都在该函数的图象上，试比较m 与n 的大小．（3分）22．如图，某建筑工地上一钢管的横截面是圆环形．王师傅将直尺边缘紧靠内圆，直尺与外圆交于点A ，B （AB 与内圆相切于点C ，其中点A 在直尺的零刻度处）．请观察图形，直接写出线段AB 的长，并根据得到的数据计算该钢管的横截面积．（结果用含π的式子表示）五、解答题（每小题7分，共14分） 23．一台大背投彩电放置在墙角的俯视图如图所示，其中∠O ＝90︒，∠OAD ＝30︒，OD ＝0.6m ，矩形ABCD 的宽CD ＝0.4m ，计算由于电视机摆放所形成的区域ABCDO 的面积．（结果精确到0.01m 2）（参考数据：sin30︒＝12，cos30︒＝2，tan30︒＝3 1.73=．）24．某市为改善农村饮用水条件，投资建设“改水工程”．2008年投资100万元用于“改水工程”，计划以后每年以相同的增长率投资，2010年该市计划投资“改水工程”144万元．根据题意，甲、乙两名同学分别列出的方程的一部分如下：（1）根据甲、乙两名同学所列的方程，未知数x 表示的意义分别为：（2分）甲：____________________________；乙：______________________________．（2）请你在方框中补全甲、乙两名同学所列的方程．（2分） （3）求按计划2011年将投资“改水工程”多少万元？（3分）六、解答题（每小题10分，共20分）25．如图①，点C 的坐标为（8，16），点A 的坐标为（t ，0）（08t <<），四边形OABC 是平行四边形．在平行四边形OABC 内有一个矩形APQR ，点P 、Q 分别在线段OA 、OC 上．设OP 的长为x ，矩形APQR 的面积为y ． （1）当4t =时，求y 与x 的函数关系式．（4分）（2）在（1）的条件下，当矩形APQR 的面积最大时，求点R 的坐标．（3分） （3）若y 与x 的函数图象如图②所示，求此时t 的值．（3分）图① 图②26．如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90︒，∠CAB ＝45︒，AB ＝12．P 是AB 上的一个动点，PQ ⊥AB 交AC 于点Q ，以PQ 为边向右侧作正方形PQRS ，当点S 与B 重合时运动停止，设PA ＝x ．（1）当点R 在BC 上时，求x 的值．（3分）（2）设正方形PQRS 与△ABC 重合部分的面积为y ，求y 关于x 的函数关系式．（4分） （3）连结AR 、RC ，对于不同的x 值，比较AR 与RC 的大小关系，直接写出结论．（3分）参考答案一、选择题（每小题3分，共24分）1．C 2．B 3．D 4．A 5．A 6．A 7．C 8．C 二、填空题（每小题3分，共18分） 9．-1 10．34 11．20π 12．212y x = 13．2314．2 三、解答题（每小题5分，共20分） 15．112x =，22x = （5分）16．（1）3m =．265y x x =++．（2分）（2）顶点坐标（-3，-4），对称轴为直线3x =-． （5分） 17．（1）∵tan B ＝cos ∠DAC ，∴AD ：BD ＝AD ：AC ，∴BD ＝AC ．（2分） （2）AD ＝12k ，CD ＝5k ，BD ＝13k ．1k =，AD ＝12． （5分） 18．∠A ＝32.5︒． （5分） 四、解答题（每小题6分，共24分） 19．（1）26s x x =-+．（2分）自变量x 的取值范围为06x <<．（3分）（2）当3x =时，s 最大，为9，而1000⨯9=9000（元） （6分）20．（1）B （4，3）． （3分） （2）tan ∠BAO ＝12． （6分）21．（1）245y x x =-+（或()221y x =-+）． （3分）（2）∵2＜5＜6，∴m n <． （6分） 22．（1）AB ＝24．（2分） （2）钢管的横截面积为144π． （6分）五、解答题（每小题7分，共14分）23．AD ＝1.2，AO ＝（2分）S ＝S △AOD ＋S 矩形ABCD 12250.79≈． （7分） 24．（1）平均增长率，2009年“改水工程”投资额．（2分）（2）144，122． （4分） （3）172.8． （7分） 六、解答题（每小题10分，共20分） 25．（1）过点C 作CD ⊥x 轴于点，则OD ＝8，CD ＝16．由PQ ⊥x 轴可得，△OPQ∽△ODC ，∴OP ：PQ ＝OD ：CD ． ∵OP ＝x ，∴PQ ＝2x ．（2分）而AP ＝4－x ，∴()22428y x x x x =-=-+． （4分）（2）()82222b a -=-=⨯-，即当2x =时，矩形APQR 的面积最大． （5分） 此时PQ ＝4，∴点R 的坐标为（4，4）．（7分）（3）由（1）可知，PQ ＝2x ，AP ＝t x -． ∴()2222y x t x x tx =-=-+．（9分）将（2，16）代入解析式，得2222216t -⨯+⨯=，∴6t =． （10分） 26．（1）如图，∵△ABC 为等腰直角三角形，四边形PQRS 为正方形，∴AP ＝PS ＝SB ＝x ，∴3x ＝12，即x ＝4．（3分）图① 图②（2）当04x ≤≤时，2y x =．（5分）当46x <≤时，如图，BS ＝DS ＝122x -， ∴RD ＝()122312x x x --=-，∴()22217312367222y x x x x =--=-+-．（7分） （3）当02x ≤<时，AR ＜RC ． （8分）当2x =时，AR ＝RC ． （9分）当26x <≤时，AR ＞RC ． （10分）。