云南省昆明市2019届高三摸底调研测试数学(理)试题(2)
云南省昆明市2019届高三上学期10月摸底考试理科数学试卷Word版含解析
云南省昆明市2019届高三上学期10月摸底考试理科数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合A={x∈Z|x2＜4}，B={x|x＞﹣1}，则A∩B=（）A．{0，1} B．{﹣1，0} C．{﹣1，0，1} D．{0，1，2}2．（5分）在复平面内，复数对应的点的坐标为（）A．（1，1）B．（﹣1，1）C．（1，﹣1）D．（﹣1，﹣1）3．（5分）下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的函数是（）A．y=|x+1| B．y=C．y=2﹣|x|D．y=log2|x|4．（5分）双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与直线x﹣2y+1=0垂直，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．2 D．5．（5分）在△ABC中，点D为BC的中点，若AB=，AC=3，则•=（）A．1 B．2 C．3 D．46．（5分）已知关于x的方程2sin（x+）﹣a=0在区间[0，2π]上有两个不同的实根，则实数a的数值范围是（）A．（﹣2，2）B．[﹣2，2] C．[﹣2，）∪（，2] D．（﹣2，）∪（，2）7．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入的x，y，N的值分别为1，2，3，则输出的S=（）A．27 B．81 C．99 D．5778．（5分）设α为第四象限的角，若=，则tanα=（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣39．（5分）4名学生从3个体育项目中每人选择1个项目参加，而每个项目都有学生参加的概率为（）A．B．C．D．10．（5分）设抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点F，准线为l，A为C上一点，以F为圆心且经过点A的圆交l于B、D两点，若∠ABD=90°，△ABF的面积为3，则p=（）A．1 B．C．2 D．11．（5分）如图，网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体体积的最小值等于（）A．36 B．C．18 D．12．（5分）已知函数f（x）=ax2﹣lnx，若f（x）存在两个零点，则实数a的取值范围是（）A．（0，）B．（0，1）C．（﹣∞，）D．（﹣∞，﹣1]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）（+）6的展开式中常数项为．（用数字作答）14．（5分）甲、乙、丙三名同学中只有一人考了满分，当他们被问到谁考了满分时，甲说：丙没有考满分；乙说：是我考的；丙说：甲说真话．事实证明：在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么得满分的同学是．15．（5分）已知在△ABC中，C=，AB=6，则△ABC面积的最大值是．16．（5分）已知三棱锥A﹣BCD的所有顶点都在球O的球面上，AB为球O的直径，若该三棱锥的体积为，BC=2，BD=，∠CBD=90°，则球O的表面积为．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知各项均为正数的等比数列{a n}中，a2=2，a3•a5=64（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=log2a n，求数列{a n+1•b n+1}的前n项和T n．18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，PA=PC，（1）证明：PB⊥AC；（2）若平面PAC⊥平面平面ABCD，∠ABC=60°，PB=AB，求二面角D﹣PB﹣C的余弦值．19．（12分）某校2014-2015学年高一年级共有800名学生，其中男生480名，女生320名，在某次满分为100分的数学考试中，所有学生成绩在30分及30分以上，成绩在“80分及80分以上”的学生视为优秀．现按性别采用分层抽样的方法共抽取100名学生，将他们的成绩按[30，40]、[40，50]、[50，60]、[60，70]、[70，80]、[80，90]、[90，100]分成七组．得到的频率分布直方图如图所示：（1）请将下列2×2列联表补充完整，计算并说明是否有95%的把握认为“该校学生数学成绩优秀与性别有关”？数学成绩优秀数学成绩不优秀合计男生12女生合计100（2）在第1组、第7组中共抽处学生3人调查影响数学成绩的原因，记抽到“成绩优秀”的学生人数为X，求X的分布列及期望．附：K2=，其中n=a+b+c+d．P（K2≥k0）0.15 0.10 0.05K0 2.072 2.706 3.84120．（12分）设椭圆C：=1（a＞b＞0）的左焦点为F（﹣，0），过F的直线交C于A，B两点，设点A关于y轴的对称点为A′，且|FA|+|FA′|=4．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若点A在第一象限，当△AFA′面积最大时，求|AB|的值．21．（12分）已知函数f（x）=e x﹣ax2，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线在x轴上的截距为．（1）求实数a的值；（2）设g（x）=f（2x）﹣f（x），求证：g（x）在R上单调递增．选修4-4-：坐标系与参数方程22．已知曲线C的极坐标方程是ρ﹣2cosθ﹣4sinθ=0，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，设直线l的参数方程是（t是参数）．（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，将直线l的参数方程化为普通方程；（2）若直线l与曲线C相交于A、B两点，与y轴交于点E，求|EA|+|EB|．选修4-5：不等式选讲23．已知函数f（x）=|2x+b|．（Ⅰ）若不等式f（x）≤3的解集是{x|﹣1≤x≤2}，求实数b的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若f（x+3）+f（x+1）≥m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．云南省昆明市2019届高三上学期10月摸底考试理科数学试卷参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合A={x∈Z|x2＜4}，B={x|x＞﹣1}，则A∩B=（）A．{0，1} B．{﹣1，0} C．{﹣1，0，1} D．{0，1，2}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：先求出x2＜4的解集，再求出集合A，由交集的运算求出A∩B．解答：解：由x2＜4得，﹣2＜x＜2，则集合A={x∈Z|x2＜4}={﹣1，0，1}，又B={x|x＞﹣1}，则A∩B={0，1}，故选：A．点评：本题考查了交集及其运算，注意元素的取值范围，属于基础题．2．（5分）在复平面内，复数对应的点的坐标为（）A．（1，1）B．（﹣1，1）C．（1，﹣1）D．（﹣1，﹣1）考点：复数代数形式的混合运算；复数的代数表示法及其几何意义．专题：计算题．分析：利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，化简复数z为﹣1+i，由此可得它对应的点的坐标．解答：解：∵复数===﹣1+i，故它对应的点的坐标为（1，﹣1），故选B．点评：本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，复数与复平面内对应点之间的关系，属于基础题．3．（5分）下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的函数是（）A．y=|x+1| B．y=C．y=2﹣|x|D．y=log2|x|考点：函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数奇偶性和单调性之间的关系解答：解：A．函数y=|x+1|为非奇非偶函数，不满足条件．B．函数的定义域为[0，+∞），为非奇非偶函数，不满足条件．C．函数为偶函数，当x＞0时，y=2﹣|x|=y=2﹣x，为减函数，不满足条件．D．y=log2|x|是偶函数又在（0，+∞）上单调递增，满足条件．故选：D点评：本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，要求熟练掌握常见函数的性质．4．（5分）双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与直线x﹣2y+1=0垂直，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．2 D．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：分析：由题意可判断出直线x﹣2y+1=0与渐近线y=x垂直，利用相互垂直的直线的斜率之间的关系和离心率的计算公式即可得出．解答：解：∵双曲线=1的渐近线方程为y=±x．又直线x+2y﹣1=0可化为y=x+，可得斜率为．∵双曲线=1的一条渐近线与直线x+2y﹣1=0垂直，∴×=﹣1，得到=﹣2．∴双曲的离心率e====．故选：D．点评：熟练掌握双曲线的渐近线、相互垂直的直线的斜率之间的关系和离心率的计算公式是解题的关键．5．（5分）在△ABC中，点D为BC的中点，若AB=，AC=3，则•=（）A．1 B．2 C．3 D．4考点：平面向量数量积的运算；余弦定理．专题：平面向量及应用．分析：利用三角形中线的性质将和分别用表示，然后进行向量的模的运算即可．解答：解：因为在△ABC中，点D为BC的中点，所以，，因为AB=，AC=3，所以•====2；故选B．点评：本题考查了向量的三角形法则的运用以及向量的乘法的计算，运用了向量的平方与其模的平方相等使问题得到解决．6．（5分）已知关于x的方程2sin（x+）﹣a=0在区间[0，2π]上有两个不同的实根，则实数a的数值范围是（）A．（﹣2，2）B．[﹣2，2] C．[﹣2，）∪（，2] D．（﹣2，）∪（，2）考点：函数的零点．专题：作图题；函数的性质及应用．分析：方程2sin（x+）﹣a=0在区间[0，2π]上有两个不同的实根可化为函数a=2sin（x+）的图象特征，作图可得．解答：解：方程2sin（x+）﹣a=0在区间[0，2π]上有两个不同的实根可化为函数a=2sin（x+）的图象特征，作出其图如下：由图可知，实数a的数值范围是：（﹣2，）∪（，2）．故选D．点评：本题考查了方程的根与函数的图象之间的关系，同时考查了学生的作图能力，属于中档题．7．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入的x，y，N的值分别为1，2，3，则输出的S=（）A．27 B．81 C．99 D．577考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：执行程序框图，写出每次循环得到的x，y，S，k的值，当k=3时满足条件k≥N，输出S的值为27．解答：解：执行程序框图，有x=1，y=2，N=3k=1，a=1，b=2第1次执行循环体，有x=5，y=4，S=9，k=2不满足条件k≥N，第2次执行循环体，有x=13，y=14，S=27，k=3满足条件k≥N，输出S的值为27．故选：A．点评：本题主要考察了程序框图和算法，属于基础题．8．（5分）设α为第四象限的角，若=，则tanα=（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣3考点：三角函数中的恒等变换应用；三角函数的化简求值．专题：三角函数的求值．分析：先根据3α=α+2α对sin3α进行变换，再由正切函数的二倍角公式可得答案．解答：解：∵a为第四象限的角∴sinα＜0，cosα＞0∵===2cos2α+cos2α=4cos2α﹣1=∴cosα=，sinα=﹣∴tanα=﹣故选：A．点评：本题主要考查两角和与差的正弦公式和正切函数的二倍角公式．9．（5分）4名学生从3个体育项目中每人选择1个项目参加，而每个项目都有学生参加的概率为（）A．B．C．D．考点：相互独立事件的概率乘法公式．专题：概率与统计．分析：根据题意，4名学生选择3个项目可能出现的结果数为34，记“3个项目都有人选择”为事件A1，计算事件A1包含出现的结果数，由古典概型公式，计算可得答案；解答：解：4名学生选择3个项目可能出现的结果数为34，由于是任意选择，这些结果出现的可能性都相等．3个项目都有人选择，可能出现的结果数为3C43C21C11；记“3个项目都有人选择”为事件A1，那么事件A1的概率为P（A1）=，故选C．点评：本题考查排列、组合的综合运用与概率的计算，关键在于利用组合数公式计算事件包括的情况的数目．10．（5分）设抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点F，准线为l，A为C上一点，以F为圆心且经过点A的圆交l于B、D两点，若∠ABD=90°，△ABF的面积为3，则p=（）A．1 B．C．2 D．考点：抛物线的简单性质．专题：计算题；直线与圆．分析：由题意，|AB|=|AF|=|BF|，△ABF是等边三角形，利用△ABF的面积为3，求出|BF|，即可得出结论．解答：解：由题意，以F为圆心且经过点A的圆交l于B、D两点，∠ABD=90°，∴|AB|=|AF|=|BF|，∴△ABF是等边三角形，∴∠FBD=30°．∵△ABF的面积为3，∴|BF|=2，∴|DF|=，即p=．故选：B．点评：本题考查抛物线的性质，考查抛物线的定义，考查学生的计算能力，比较基础．11．（5分）如图，网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体体积的最小值等于（）A．36 B．C．18 D．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由三视图知：几何体体积的最小时，几何体是四棱锥与正方体的组合体，且正方体的棱长为3，四棱锥的底面为正方形，边长为3，高为3，即可求出几何体体积的最小值．解答：解：由三视图知：几何体体积的最小时，几何体是四棱锥与正方体的组合体，且正方体的棱长为3，四棱锥的底面为正方形，边长为3，高为3∴几何体的体积的最小值V=3×3+=18．故选：C．点评：本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是关键．12．（5分）已知函数f（x）=ax2﹣lnx，若f（x）存在两个零点，则实数a的取值范围是（）A．（0，）B．（0，1）C．（﹣∞，）D．（﹣∞，﹣1]考点：函数的零点与方程根的关系；函数的零点．专题：计算题；函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：f′（x）=2ax﹣==0在（0，+∞）上有解并求出解，从而得函数f（x）=ax2﹣lnx，若f（x）存在两个零点可化为f（）＜0．解答：解：由题意，f′（x）=2ax﹣==0在（0，+∞）上有解，则a＞0，解为x=，则f（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增；则函数f（x）=ax2﹣lnx，若f（x）存在两个零点可化为f（）＜0，即﹣ln＜0，解得实数a的取值范围是（0，）．故选A．点评：本题考查了函数的零点的个数的判断，同时用到了导数及函数的单调性，属于基础题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）（+）6的展开式中常数项为60．（用数字作答）考点：二项式定理的应用．专题：二项式定理．分析：根据二项展开式的通项公式，求出常数项来．解答：解：∵的展开式中，T r+1=••=2γ••，令3﹣=0，解得r=2；∴常数项为T2+1=22×=4×15=60．故答案为：60．点评：本题考查了二项式定理的应用问题，解题时应用通项展开式进行解答，是基础题．14．（5分）甲、乙、丙三名同学中只有一人考了满分，当他们被问到谁考了满分时，甲说：丙没有考满分；乙说：是我考的；丙说：甲说真话．事实证明：在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么得满分的同学是甲．考点：进行简单的合情推理．专题：探究型；推理和证明．分析：利用反证法，即可得出结论．解答：解：假设甲说的是假话，即丙考满分，则乙也是假话，不成立；假设乙说的是假话，即乙没有考满分，又丙没有考满分，故甲考满分；故答案为：甲．点评：本题考查进行简单的合情推理，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．15．（5分）已知在△ABC中，C=，AB=6，则△ABC面积的最大值是9．考点：三角形的面积公式．专题：计算题；解三角形．分析：利用余弦定理，整理后可得a2+b2﹣ab=36再利用基本不等式求出ab的最大值，然后利用三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积，即可求出三角形ABC面积的最大值．解答：解：由题意，由余弦定理可得36=a2+b2﹣2abcos，∴a2+b2﹣ab=36∵a2+b2≥2ab，∴ab≤36∴S=absin，∴△ABC面积的最大值是9．故答案为：9．点评：本题考查余弦定理，考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．16．（5分）已知三棱锥A﹣BCD的所有顶点都在球O的球面上，AB为球O的直径，若该三棱锥的体积为，BC=2，BD=，∠CBD=90°，则球O的表面积为11π．考点：球的体积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：先利用体积，求出A到平面BCD的距离，可得O到平面BCD的距离，再利用勾股定理，求出球的半径，即可求出球O的表面积．解答：解：由题意，设A到平面BCD的距离为h，则∵三棱锥的体积为，BC=2，BD=，∠CBD=90°，∴×=，∴h=2，∴O到平面BCD的距离为1，∵△BCD外接圆的直径BD=，∴OB==，∴球O的表面积为4π×=11π．故答案为：11π．点评：本题考查球O的表面积，考查学生的计算能力，确定球的半径是关键．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知各项均为正数的等比数列{a n}中，a2=2，a3•a5=64（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=log2a n，求数列{a n+1•b n+1}的前n项和T n．考点：数列的求和；等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）利用等比数列的通项公式即可得出．（2）b n=log2a n=n﹣1，可得a n+1•b n+1=n•2n．利用“错位相减法”和等比数列的前n项和公式即可得出．解答：解：（1）设各项均为正数的等比数列{a n}的公比q＞0，∵a2=2，a3a5=64，∴a1q=2，，解得q=2，a1=1．∴．（2）b n=log2a n=n﹣1，∴a n+1•b n+1=n•2n．∴T n=1×2+2×22+3×23+…+n•2n，2T n=22+2×23+…+（n﹣1）•2n+n•2n+1，∴﹣T n=2+22+23+…+2n﹣n•2n+1=2×﹣n•2n+1，∴T n=（n﹣1）•2n+1+2．点评：本题考查了“错位相减法”和等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，PA=PC，（1）证明：PB⊥AC；（2）若平面PAC⊥平面平面ABCD，∠ABC=60°，PB=AB，求二面角D﹣PB﹣C的余弦值．考点：二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）连接PO，AC⊥BD，且O为AC和BD的中点，由PA=PC，得AC⊥PO，从而AC⊥平面PBD，由此能证明PB⊥AC．（Ⅱ）由已知得PO⊥平面ABCD，过点O作OH⊥PB于点H，连结CH，得CH⊥PB，从而∠OHC是二面角D﹣PB ﹣C的平面角，由此能求出二面角D﹣PB﹣C的余弦值．解答：（Ⅰ）证明：连接PO，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，且O为AC和BD的中点，又PA=PC，∴AC⊥PO，∵BD∩PO=O，BD、PO⊂平面PBD，∴AC⊥平面PBD，∵PB⊂平面PBD，∴PB⊥AC．（Ⅱ）解：∵平面PAC⊥平面ABCD，平面PAC∩平面ABCD=AC，AC⊥PO，PO⊂平面PAC，∴PO⊥平面ABCD，∵BD⊂平面ABCD，∴PO⊥BD，过点O作OH⊥PB于点H，连结CH，得CH⊥PB，∴∠OHC是二面角D﹣PB﹣C的平面角，设PA=AB=a，∵在菱形ABCD中，∠ABC=60°，∴AB=BC=AC，CO=，BO=，在Rt△POB中，PO===，OH==，∴在Rt△COH中，CH===，=，∴二面角D﹣PB﹣C的余弦值．点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．19．（12分）某校2014-2015学年高一年级共有800名学生，其中男生480名，女生320名，在某次满分为100分的数学考试中，所有学生成绩在30分及30分以上，成绩在“80分及80分以上”的学生视为优秀．现按性别采用分层抽样的方法共抽取100名学生，将他们的成绩按[30，40]、[40，50]、[50，60]、[60，70]、[70，80]、[80，90]、[90，100]分成七组．得到的频率分布直方图如图所示：（1）请将下列2×2列联表补充完整，计算并说明是否有95%的把握认为“该校学生数学成绩优秀与性别有关”？数学成绩优秀数学成绩不优秀合计男生12女生合计100（2）在第1组、第7组中共抽处学生3人调查影响数学成绩的原因，记抽到“成绩优秀”的学生人数为X，求X的分布列及期望．附：K2=，其中n=a+b+c+d．P（K2≥k0）0.15 0.10 0.05K0 2.072 2.706 3.841考点：离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；独立性检验．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）由已知得应抽取男生60人，女生40人，从而能作出2×2列联表，求出k2=0.407＜3.841，计算结果表明，没有95%把握认为“该校学生数学成绩优秀与性别有关”．（Ⅱ）X的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列及期望．解答：解：（Ⅰ）应抽取男生60人，女生40人，2×2列联表如下：数学成绩优秀数学成绩不优秀合计男生 12 48 60女生 6 34 40合计 18 82 100k2==0.407＜3.841，计算结果表明，没有95%把握认为“该校学生数学成绩优秀与性别有关”．（Ⅱ）X的可能取值为0，1，2，3，P（X=0）=C=，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==，∴X的分布列为X 0 1 2 3PE（X）==．点评：本题考查2×2列联表的作法，计算并说明是否有95%的把握认为“该校学生数学成绩优秀与性别有关”，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，解题时要注意排列组合的合理运用．20．（12分）设椭圆C：=1（a＞b＞0）的左焦点为F（﹣，0），过F的直线交C于A，B两点，设点A关于y轴的对称点为A′，且|FA|+|FA′|=4．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若点A在第一象限，当△AFA′面积最大时，求|AB|的值．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（I）设F′是椭圆的右焦点，由椭圆的性质及其定义可得：|FA|+|FA′|=|FA|+|F′A|=2a=4．再利用b2=a2﹣c2即可得出．（II）设A（x1，y1）（x1＞0，y1＞0），△AFA′面积S==x1y1．由于利用基本不等式的性质可得．当△AFA′面积取得最大时，=，解得A，可得直线AB的方程为：，设B（x2，y2），与椭圆的方程联立可得B，利用|AB|=即可得出．解答：解：（I）设F′是椭圆的右焦点，由椭圆的性质和定义可得：|FA|+|FA′|=|FA|+|F′A|=2a=4．解得a=2，∵左焦点为F（﹣，0），c=，∴b2=a2﹣c2=2．∴椭圆C的方程为=1．（II）设A（x1，y1）（x1＞0，y1＞0），△AFA′面积S==x1y1．∵≥2×=，∴．当△AFA′面积取得最大时，=，解得，y 1=1．由F（﹣，0），A，可得直线AB的方程为：，化为=0，设B（x2，y2），联立，解得，，可得B．∴|AB|==．点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、基本不等式的性质、弦长公式、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21．（12分）已知函数f（x）=e x﹣ax2，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线在x轴上的截距为．（1）求实数a的值；（2）设g（x）=f（2x）﹣f（x），求证：g（x）在R上单调递增．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：（1）求函数的导数，利用导数的几何意义，即可得到结论．（2）求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系即可得到结论．解答：解：（1）函数的导数f′（x）=e x﹣2ax，f′（1）=e﹣2a，f（1）=e﹣a，∴y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣（e﹣a）=（e﹣2a）（x﹣1），由y=0，得x=，∵切线在x轴上的截距为．∴=．解得a=1．（2）由（1）知f（x）=f（x）=e x﹣x2，则g（x）=e2x﹣e x﹣3x2，函数的导数g′（x）=2e2x﹣e x﹣6x，令h（x）=2e2x﹣e x﹣6x，h′（x）=2e2x﹣e x﹣6，令h′（x）＞0，得或（舍去），∴当x＞ln时，h（x）递增，当x＜ln时，h（x）递减，∴h（x）≥h（）=2（）2﹣﹣6ln=﹣6ln＞=，下面证明：ln（x+1）≤x，（x＞﹣1），设d（x）=ln（x+1）﹣x，则d′（x）=，则d（x）在（﹣1，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减，∴d（x）≤d（0）=0，∴ln（x+1）≤x，∴ln（+3）≤，∴h（x），即g（x）在R上单调递增．点评：本题主要考查导数的几何意义的应用，以及利用导数证明函数的单调性，综合考查导数的应用，运算量较大，难度较大．选修4-4-：坐标系与参数方程22．已知曲线C的极坐标方程是ρ﹣2cosθ﹣4sinθ=0，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，设直线l的参数方程是（t是参数）．（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，将直线l的参数方程化为普通方程；（2）若直线l与曲线C相交于A、B两点，与y轴交于点E，求|EA|+|EB|．考点：参数方程化成普通方程；点的极坐标和直角坐标的互化．专题：坐标系和参数方程．分析：（1）由曲线C的极坐标方程ρ﹣2cosθ﹣4sinθ=0，化为ρ2﹣2ρcosθ﹣4ρsinθ=0，利用即可得出；由直线l的参数方程（t是参数），把t=2x代入即可得出．（2）把直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程可得：t2﹣t﹣4=0．点E对应的参数为t=0．设点A，B分别对应的参数为t1，t2．利用|EA|+|EB|=|t1|+|t2|=|t1﹣t2|=及其根与系数的关系即可得出．解答：解：（1）由曲线C的极坐标方程ρ﹣2cosθ﹣4sinθ=0，化为ρ2﹣2ρcosθ﹣4ρsinθ=0，∴x2+y2﹣2x﹣4y=0；由直线l的参数方程（t是参数）化为．（2）把直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程可得：t2﹣t﹣4=0．点E对应的参数为t=0．设点A，B分别对应的参数为t1，t2．则t1+t2=1，t1t2=﹣4．∴|EA|+|EB|=|t1|+|t2|=|t1﹣t2|===．点评：本题考查了参数方程极坐标方程化为普通方程、直线参数方程的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．选修4-5：不等式选讲23．已知函数f（x）=|2x+b|．（Ⅰ）若不等式f（x）≤3的解集是{x|﹣1≤x≤2}，求实数b的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若f（x+3）+f（x+1）≥m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．考点：绝对值不等式的解法；函数恒成立问题．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）求出不等式f（x）≤3的解集，和已知的解集作对比，从而求得实数b的值．（Ⅱ）设g（x）=f（x+3）+f（x+1）=|2x+5|+|2x+1|≥|（2x+5）﹣（2x+1）|=4，它的最小值为4，从而求得实数m的取值范围．解答：解：（Ⅰ）由不等式f（x）≤3可得|2x+b|≤3，解得≤x≤．再由不等式f（x）≤3的解集是{x|﹣1≤x≤2}，可得=﹣1，=2，解得b=﹣1．（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，f（x）=|2x﹣1|，设g（x）=f（x+3）+f（x+1），则g（x）=|2x+5|+|2x+1|≥|（2x+5）﹣（2x+1）|=4，若f（x+3）+f（x+1）≥m对一切实数x恒成立，应有4≥m．故实数m的取值范围为（﹣∞，4]．点评：本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，体现了化归与转化的数学思想，属于中档题．。
云南省2019届高三上学期第二次调研考试数学(理)试题+Word版含答案
理科数学试卷
考试时间：120分钟试卷总分：150分命题人：康晧岚
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）
1.已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 下列函数中，既是偶函数，又在区间 上单调递减的函数是（ ）
18.不要等到秋天，才说春风曾经吹过;不要等到分别，才说彼此曾经爱过
19.从没想过，自己可以爱的这么卑微，卑微的只因为你的一句话就欣喜不已
20.当我为你掉眼泪时，你有没有心疼过
3、解答题（本大题共6小题，70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）.
17.（10分）已知角 的终边经过点 ，求 的值.
18.（12分）在平面直角坐标系中，以坐标原点 为极点， 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知直线 的参数方程为 ，曲线 的极坐标方程为 .
（1）求曲线 的直角坐标方程和直线 的普通方程；
高三第二次调研考试理科数学参考答案
一、选择题。
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
B
C
B
A
C
A
B
A
D
D
C
二、填空题。
13. 14. 8 15. 16.②③
三、解答题。
17、解： ，若 ，角 在第二象限，
.................................................5分
A. B. C. D.
3 D.
昆明市2019届高三复习诊断测试理数答案
理科数学参考答案及评分标准·第1页（共6页）昆明市2019届高三复习诊断测试理科数学参考答案及评分标准一、选择题二、填空题 13．214．12（填01m <<的值均可） 15．221412x y -= 16．35注：数学中有很多公式都是数学家欧拉（Leonhard Euler ）发现的，它们都叫做欧拉公式，分散在各个数学分支之中。
在立体几何中，由若干平面多边形所围成成的封闭的几何体叫做多面体，这些平面多边形称为多面体的面，这些多边形的边和顶点分别称为多面体的棱和顶点。
如果多面体在它们每一面所决定的平面的同一侧，则称此多面体为凸多面体；一个凸多面体的表面可连续地变形为一个球面，则称之为简单多面体。
设一个简单多面体的顶点数为V （vertix ），棱数为E （edge ），面数为F （face ），则有著名的欧拉公式：2V E F -+=.在欧拉发现这一结果一百年后，德国几何学家冯∙施陶特（von Staudt ）给出了欧拉公式完整的证明。
我们可以验证：三棱锥（4V =，6E =，4F =），长方体（8V =，12E =，6F =）等多面体都符合这一关系式.三、解答题 17．解：（1）由22=a ，73=S 得121112,7,a q a a q a q =⎧⎪⎨++=⎪⎩ 解得14a =，12q =或11a =，2q =（舍）．…………………………………4分理科数学参考答案及评分标准·第2页（共6页）所以13114()()22n n n a --=⋅=．……………………………………………………6分（2）由（1）可知：114(1)(1)128(1)811212nn n n a q S q--===-<--．………………10分 因为0n a >，所以n S 单调递增．又因为37S =，所以当4n ≥时，)8,7(∈n S ．所以，m S n <恒成立时，又因为m ∈Z ，故m 的最小值为8．……………12分 18．解：（1）当16x = 时，ˆ 1.591699.2873.84y=-⨯+=甲（秒） ˆ 1.7316100.2572.57y =-⨯+=乙（秒）……………6分（2）甲、乙两位选手完成关键技能挑战成功的次数都为10次，失败次数都为5次， 所以，只需要比较他们完成关键技能挑战成功的情况即可，根据所给信息，结合（1）中预测结果，综合分析，选手乙代表公司参加技能挑战赛更合适，理由如下：因为在相同次数的挑战练习中，两位选手在关键技能挑战的完成次数和失败次数都分别由于22S S <甲乙，虽然甲选手的发挥更稳定，但稳定在较大的平均数上，随着训练次数增加，甲、乙用时都在逐步减少，乙的方差大，说明乙进步更大； …………………10分从（1）的计算结果ˆˆyy <乙甲进一步说明，选手乙代表公司参加技能挑战赛更合适。
昆明市2019届高三复习诊断测试理科数学试卷
理科数学试卷·第1页（共8页）秘密★启用前【考试时间：1月7日15∶00—17∶00】昆明市2019届高三复习诊断测试理科数学注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{1,0,1,2}A =-，{|(1)(2)0}B x x x =+-<，则A B =A ．{1,0,1,2}-B ．{1,0,1}-C ．{1,0}-D ．{0,1}2．在复平面内，复数21i-+对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．某商家今年上半年各月的人均销售额（单位：千元）与利润率统计表如下：月份123456人均销售额658347利润率（%）12.610.418.53.08.116.3根据表中数据，下列说法正确的是A ．利润率与人均销售额成正相关关系B ．利润率与人均销售额成负相关关系C ．利润率与人均销售额成正比例函数关系D ．利润率与人均销售额成反比例函数关系4．在平面直角坐标系xOy中，角α的终边与单位圆交点的横坐标为2，则cos 2α=A ．2B ．2C ．12-D ．12理科数学试卷·第2页（共8页）5．下面是()n a b +（*n ∈N ）当1n =，2，3，4，5，6时展开式的二项式系数表示形式1()a b +......................................................112()a b +................................................1213()a b + (13)314()a b + (14)λ415()a b +…………………………15μ10516()a b + (1)615201561借助上面的表示形式，判断λ与μ的值分别是A ．5，9B ．5，10C ．6，10D ．6，96．将函数πsin(2)3y x =+的图象向右平移π6个单位长度，则所得图象的对称轴可以为A ．π6x =-B ．π4x =C ．π3x =D ．π2x =7．已知1F ，2F 为椭圆C ：2222 1 (0)x y a b a b+=>>的左，右焦点，B 为C 的短轴的一个端点直线1BF 与C 的另一个交点为A ，若2BAF △为等腰三角形，则12AF AF =A ．13B ．12C ．23D ．38．在平面四边形ABCD 中，90D ∠=︒，120BAD ∠=︒，1AD =，2AC =，3AB =，则BC =A．B．CD．9．数学中有很多公式都是数学家欧拉（Leonhard Euler ）发现的，它们都叫做欧拉公式，分散在各个数学分支之中.任意一个凸多面体的顶点数V 、棱数E 、面数F 之间，都满足关系式2V E F -+=，这个等式就是立体几何中的“欧拉公式”．若一个凸二十面体的每个面均为三角形，则由欧拉公式可得该多面体的顶点数为A ．10B ．12C ．15D ．20理科数学试卷·第3页（共8页）10．现分配3名师范大学生参加教学实习，有4所学校可供选择，每名学生随机选择一所学校，则恰有2名学生选择同一所学校的概率为A ．916B ．38C ．932D ．31611．设函数23211()(22)e x f x x x x x =-+--的极值点的最大值为0x ，若()0,1x n n ∈+，则整数n 的值为A ．2-B ．1-C ．0D ．112．已知三棱锥A BCD -中，底面BCD 为等边三角形，3AB AC AD ===，BC =，点E 为CD 的中点，点F 为BE 的中点．若点M 、N 是空间中的两动点，且2MB NBMF NF==，2MN =，则AM AN ⋅=A ．3B ．4C ．6D ．8二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
(完整)2019届全国高考高三模拟考试卷数学(理)试题(二)(解析版)
2019届全国高考高三模拟考试卷数学（理）试题（二）（解析版）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2019·南昌一模]已知复数()i2ia z a +=∈R 的实部等于虚部，则a =（ ） A ．12-B ．12C ．1-D ．12．[2019·梅州质检]已知集合{}31,A x x n n ==-∈N ，{}6,8,10,12,14B =，则集合A B I 中元素的个数为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．53．[2019·菏泽一模]已知向量()1,1=-a ，()2,3=-b ，且()m ⊥+a a b ，则m =（ ） A ．25B ．25-C ．0D ．154．[2019·台州期末]已知圆C ：()()22128x y -+-=，则过点()3,0P 的圆C 的切线方程为（ ） A ．30x y +-=B ．30x y --=C ．230x y --=D ．230x y +-=5．[2019·东北三校]中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）中的一种，现有十二生肖的吉祥物各一个，三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，如果让三位同学选取礼物都满意，则选法有（ ） A ．30种B ．50种C ．60种D ．90种6．[2019·汕尾质检]边长为1的等腰直角三角形，俯视图是扇形，则该几何体的体积为（ ）A ．π9B ．π3C ．π6D ．π187．[2019合肥质检]将函数()π2sin 16f x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的图象上各点横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变）得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的是（ ） A ．函数()g x 的图象关于点π,012⎛⎫- ⎪⎝⎭对称B ．函数()g x 的周期是π2C ．函数()g x 在π0,6⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增D ．函数()g x 在π0,6⎛⎫⎪⎝⎭上最大值是18．[2019·临沂质检]执行如图所示的程序框图，输出的值为（ ）A ．0B ．12C ．1D ．1-9．[2019·重庆一中]2sin80cos70cos20︒︒-=︒（ ）A ．3B ．1C 3D ．210．[2019·揭阳一模]函数()f x 在[)0,+∞单调递减，且为偶函数．若()21f =-，则满足()31f x -≥-的x 的取值范围是（ ） A ．[]1,5B ．[]1,3C ．[]3,5D ．[]2,2-11．[2019·陕西联考]已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点为2F ，若C 的左支上存在点M ，使得直线0bx ay -=是线段2MF 的垂直平分线，则C 的离心率为（ ）AB ．2CD ．512．[2019·临川一中]若函数()f x 在其图象上存在不同的两点()11,A x y ，()22,B x y ，其坐标满足条件：1212x x y y +0，则称()f x 为“柯西函数”，则下列函数：①()()10f x x x x=+>；②()()ln 0e f x x x =<<；③()cos f x x =；④()21f x x =-．其中为“柯西函数”的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．[2019·江门一模]已知a 、b 、c 是锐角ABC △内角A 、B 、C 的对边，S 是ABC △的面积，若8a =，5b =，S =，则c =_________．14．[2019·景山中学]已知a ，b 表示直线，α，β，γ表示不重合平面． ①若a αβ=I ，b α⊂，a b ⊥，则αβ⊥；②若a α⊂，a 垂直于β内任意一条直线，则αβ⊥； ③若αβ⊥，a αβ=I ，b αγ=I ，则a b ⊥；④若a α⊥，b β⊥，a b ∥，则αβ∥．上述命题中，正确命题的序号是__________．15．[2019·林芝二中]某传媒大学的甲、乙、丙、丁四位同学分别从影视配音、广播电视、公共演讲、播音主持四门课程中选修一门，且这四位同学选修的课程互不相同．下面是关于他们选课的一些信息：①甲同学和丙同学均不选播音主持，也不选广播电视；②乙同学不选广播电视，也不选公共演讲；③如果甲同学不选公共演讲，那么丁同学就不选广播电视．若这些信息都是正确的，依据以上信息可推断丙同学选修的课程是_______（填影视配音、广播电视、公共演讲、播音主持）16．[2019·河南联考]若一直线与曲线eln y x =和曲线2y mx =相切于同一点P ，则实数m =________．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）[2019·长郡中学]设正项数列{}n a 的前n 项和为n S n a 与1n a +的等比中项，其中*n ∈N ．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设()11211n n n n n a b a a +++=-⋅，记数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：21n T <．18．（12分）[2019·维吾尔一模]港珠澳大桥是中国建设史上里程最长，投资最多，难度最大的跨海桥梁项目，大桥建设需要许多桥梁构件．从某企业生产的桥梁构件中抽取100件，测量这些桥梁构件的质量指标值，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图，质量指标值落在区间[)55,65，[)65,75，[]75,85内的频率之比为4:2:1．（1）求这些桥梁构件质量指标值落在区间[]75,85内的频率；（2）若将频率视为概率，从该企业生产的这种桥梁构件中随机抽取3件，记这3件桥梁构件中质量指标值位于区间[)45,75内的桥梁构件件数为X ，求X 的分布列与数学期望．19．（12分）[2019·淄博模拟]如图，在四棱锥P ABCD -中，AB CD ∥，1AB =，3CD =，2AP =，23DP =，60PAD ∠=︒，AB ⊥平面PAD ，点M 在棱PC 上．（1）求证：平面PAB ⊥平面PCD ；（2）若直线PA ∥平面MBD ，求此时直线BP 与平面MBD 所成角的正弦值．20．（12分）[2019·泰安期末]已知椭圆()22122:10x y C a b a b+=>>的离心率为2，抛物线22:4C y x =-的准线被椭圆1C 截得的线段长为2．（1）求椭圆1C 的方程；（2）如图，点A 、F 分别是椭圆1C 的左顶点、左焦点直线l 与椭圆1C 交于不同的两点M 、N （M 、N 都在x 轴上方）．且AFM OFN ∠=∠．证明：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．21．（12分）[2019·衡水中学]已知函数()23ln f x x ax x =+-，a ∈R ． （1）当13a =-时，求函数()f x 的单调区间；（2）令函数()()2x x f x ϕ'=，若函数()x ϕ的最小值为32-，求实数a 的值．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】[2019·揭阳一模]以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为22cos 2a ρθ=（a ∈R ，a 为常数）），过点()2,1P 、倾斜角为30︒的直线l 的参数方程满足32x t =+，（t 为参数）．（1）求曲线C 的普通方程和直线l 的参数方程；（2）若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点（点P 在A 、B 之间），且2PA PB ⋅=，求a 和PA PB -的值．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】[2019·汕尾质检]已知()221f x x x =++-的最小值为t ．求t 的值；若实数a ，b 满足2222a b t +=，求221112a b +++的最小值．2019届高三第三次模拟考试卷理 科 数 学（二）答 案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】C 【解析】∵()2i i i 1i 2i 2i 22a a a z -++===--的实部等于虚部，∴122a=-，即1a =-．故选C ． 2．【答案】A【解析】由题意，集合{}31,A x x n n ==-∈N ，{}6,8,10,12,14B =， ∴{}8,14A B =I ，∴集合A B I 中元素的个数为2．故选A ． 3．【答案】A【解析】()()()1,12,312,31m m m m m +=-+-=--a b ，结合向量垂直判定，建立方程，可得12310m m --+=，解得25m =，故选A ． 4．【答案】B【解析】根据题意，圆C ：()()22128x y -+-=，P 的坐标为()3,0， 则有()()2231028-+-=，则P 在圆C 上，此时20113CP K -==--，则切线的斜率1k =， 则切线的方程为3y x =-，即30x y --=，故选B ． 5．【答案】B【解析】若同学甲选牛，那么同学乙只能选狗和羊中的一种，丙同学可以从剩下的10中任意选，∴共有11210C C 20⋅=，若同学甲选马，那么同学乙能选牛、狗和羊中的一种，丙同学可以从剩下的10中任意选，∴共有11310C C 30⋅=，∴共有203050+=种．故选B ． 6．【答案】A【解析】 侧视图是直角边长为1的等腰直角三角形，圆锥的高为1，底面半径为1， 俯视图是扇形，圆心角为2π3，几何体的体积为112ππ113239⨯⨯⨯⨯=．故选A ．7．【答案】C【解析】将函数()f x 横坐标缩短到原来的12后，得到()π2sin 216g x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，当π12x =-时，π112f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即函数()g x 的图象关于点π,112⎛⎫-- ⎪⎝⎭对称，故选项A 错误；周期2ππ2T ==，故选项B 错误； 当π0,6x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，πππ2662x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭,，∴函数()g x 在π0,6⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，故选项C 正确；∵函数()g x 在π0,6⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，∴()π16g x g ⎛⎫<= ⎪⎝⎭，即函数()g x 在π0,6⎛⎫⎪⎝⎭上没有最大值，故选项D 错误．故选C ．8．【答案】A【解析】第一次循环，1k =，cos01S ==，112k =+=，4k >不成立； 第二次循环，2k =，π131cos 1322S =+=+=，213k =+=，4k >不成立； 第三次循环，3k =，32π31cos 12322S =+=-=，314k =+=，4k >不成立； 第四次循环，4k =，1cos π110S =+=-=，415k =+=，4k >成立， 退出循环，输出0S =，故选A ． 9．【答案】C 【解析】∵()2sin 6020cos702sin80cos70cos20cos20︒+︒︒-︒-︒=︒︒2sin 60cos202cos60sin 20cos70cos20︒︒+︒︒-︒=︒2sin 60cos20sin 20cos70cos20︒︒+︒-︒=︒2sin 60cos202sin 603cos20︒︒==︒=︒．故选C ．10．【答案】A【解析】∵函数()f x 为偶函数，∴()()312f x f -≥-=等价于()()32f x f -≥， ∵函数()f x 在[)0,+∞单调递减，∴32x -≤，232x -≤-≤，15x ≤≤，故选A ． 11．【答案】C【解析】()2,0F c ，直线0bx ay -=是线段2MF 的垂直平分线， 可得2F 到渐近线的距离为222F P b b a ==+，即有22OP c b a =-=，由OP 为12MF F △的中位线，可得122MF OP a ==，22MF b =，可得212MF MF a -=，即为222b a a -=，即2b a =，可得221145c b e a a==+=+=．故选C ．12．【答案】B【解析】由柯西不等式得：对任意实数1x ，1y ，2x ，2y ，2222121211220x x y y x y x y +-+⋅+≤恒成立， （当且仅当1221x y x y =取等号）若函数()f x 在其图象上存在不同的两点()11,A x y ，()22,B x y ，其坐标满足条件：222212121122x x y y x y x y +-+⋅+的最大值为0，则函数()f x 在其图象上存在不同的两点()11,A x y ，()22,B x y ，使得OA u u u r，OB u u u r 共线，即存在过原点的直线y kx =与()y f x =的图象有两个不同的交点： 对于①，方程()10kx x x x=+>，即()211k x -=，不可能有两个正根，故不存在； 对于②，，由图可知不存在；对于③，，由图可知存在；对于④，，由图可知存在，∴“柯西函数”的个数为2，故选B ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．【答案】7【解析】根据三角形面积公式得到1sin sin 2S ab C C =⨯⇒=∵三角形为锐角三角形，故得到角C 为π3，再由余弦定理得到222π1cos 7322a b c c ab+-==⇒=．故答案为7．14．【答案】②④【解析】对于①，根据线面垂直的判定定理，需要一条直线垂直于两条相交的直线，故不正确， 对于②，a α⊂，a 垂直于β内任意一条直线，满足线面垂直的定理，即可得到αβ⊥， 又a α⊂，则αβ⊥，故正确，对于③，αβ⊥，a αβ=I ，b αγ=I ，则a b ⊥或a b ∥，或相交，故不正确， 对于④，可以证明αβ∥，故正确． 故答案为②④． 15．【答案】影视配音【解析】由①知甲和丙均不选播音主持，也不选广播电视； 由②知乙不选广播电视，也不选公共演讲；由③知如果甲不选公共演讲，那么丁就不选广播电视，综上得甲、乙、丙均不选广播电视，故丁选广播电视，从而甲选公共演讲，丙选影视配音， 故答案为影视配音． 16．【答案】12【解析】曲线eln y x =的导数为e'y x=，曲线2y mx =的导数为2y mx '=，由e2mx x =，0x >且0m >，得x =e 2⎫⎪⎪⎭，代入eln y x =得e 2=，解得12m =，故答案为12．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．【答案】（1）n a n =；（2）见解析．【解析】（1）∵2n S 是n a 与1n a +的等比中项，∴()221n n n n n S a a a a =+=+， 当1n =时，21112a a a =+，∴11a =．当2n ≥时，22111222n n n n n n n a S S a a a a ---=-=+--，整理得()()1110n n n n a a a a --+--=． 又0n a >，∴()112n n a a n --=≥，即数列{}n a 是首项为1，公差为1的等差数列． ∴()()1111n a a n d n n =+-=+-=． （2）()()()1121111111n n n n b n n n n +++⎛⎫=-⋅=-+ ⎪++⎝⎭，∴21232111111111122334212221n n T b b b b n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++=+-+++-++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L11121n =-<+． 18．【答案】（1）0.05；（2）见解析．【解析】（1）设区间[]75,85内的频率为x ，则区间[)55,65，[)65,75内的频率分别为4x 和2x ． 依题意得()0.0040.0120.0190.0310421x x x +++⨯+++=，解得0.05x =． ∴这些桥梁构件质量指标值落在区间[]75,85内的频率为0.05．（2）从该企业生产的该种桥梁构件中随机抽取3件，相当于进行了3次独立重复实验， ∴X 服从二项分布(),B n p ，其中3n =．由（1）得，区间[]45,75内的频率为0.30.20.10.6++=， 将频率视为概率得0.6p =．∵X 的所有可能取值为0，1，2，3，且()00330C 0.60.40.064P X ==⨯⨯=，()11231C 0.60.40.288P X ==⨯⨯=，()22132C 0.60.40.432P X ==⨯⨯=，()33033C 0.60.40.216P X ==⨯⨯=．∴X 的分布列为：X P0.0640.2880.4320.216X 服从二项分布(),B n p ，∴X 的数学期望为30.6 1.8EX =⨯=．19．【答案】（1）见解析；（2219565【解析】（1）∵AB ⊥平面PAD ，∴AB DP ⊥，又∵23DP=，2AP=，60PAD∠=︒，由sin sinPD PAPAD PDA=∠∠，可得1sin2PDA∠=，∴30PDA∠=︒，90APD∠=︒，即DP AP⊥，∵AB AP A=I，∴DP⊥平面PAB，∵DP⊂平面PCD，∴平面PAB⊥平面PCD；（2）以点A为坐标原点，AD所在的直线为y轴，AB所在的直线为z轴，如图所示，建立空间直角坐标系，其中()0,0,0A，()0,0,1B，()0,4,3C，()0,4,0D，)3,1,0P．从而()0,4,1BD=-u u u r，)3,1,0AP=u u u r，()3,3,3PC=-u u u r，设PM PCλ=u u u u r u u u r，从而得()33,31,3Mλλλ+，()33,31,31BMλλλ=+-u u u u r，设平面MBD的法向量为(),,x y z=n，若直线PA∥平面MBD，满足BMBDAP⎧⋅=⎪⎪⋅=⎨⎪⋅=⎪⎩u u u u ru u u ru u u rnnn，即)()()31313104030x y zy zx yλλλ-+++-=-=⎨+=，得14λ=，取()3,3,12=--n，且()3,1,1BP=-u u u r，直线BP与平面MBD所成角的正弦值等于33122sin195651565BPBPθ⋅-+===⨯⋅u u u ru u u rnn20．【答案】（1）2212xy+=；（2）直线l过定点()2,0．【解析】（1）由题意可知，抛物线2C的准线方程为1x=，又椭圆1C2，∴点2⎛⎝⎭在椭圆上，∴221112a b+=，①又2cea==，∴222212a bea-==，∴222a b=，②，由①②联立，解得22a=，21b=，∴椭圆1C的标准方程为2212xy+=．（2）设直线:l y kx m =+，设()11,M x y ，()22,N x y ，把直线l 代入椭圆方程，整理可得()222214220k x km m +++-=，()()222222164212216880k m k m k m ∆=-+-=-+>，即22210k m -+>，∴122421kmx x k +=-+，21222221m x x k -=+，∵111FM y k x =+，221FN yk x =+，M 、N 都在x 轴上方，且AFM OFN ∠=∠，∴FM FN k k =-，∴121211y yx x =-++，即()()()()122111kx m x kx m x ++=-++， 整理可得()()1212220kx x k m x x m ++++=，∴()2222242202121m km k k m m k k -⎛⎫⋅++-+= ⎪++⎝⎭，即22224444420km k k m km k m m ---++=，整理可得2m k =， ∴直线l 为()22y kx k k x =+=+，∴直线l 过定点()2,0． 21．【答案】（1）见解析；（2）56-．【解析】（1）13a =-时，()2ln f x x x x =--，则()()()221121x x x x f x x x +---'==， 令()'0f x =，解得12x =-或1x =，而0x >，故1x =，则当()0,1x ∈时，()0f x '<，即()f x 在区间内递减， 当()1,x ∈+∞时，()0f x '>，即()f x 在区间内递增． （2）由()23ln f x x ax x =+-，()123f x x a x'=+-， 则()()23223x x f x x ax x ϕ'==+-，故()2661x x ax ϕ'=+-， 又()()264610a ∆=-⨯⨯->，故方程()0x ϕ'=有2个不同的实根，不妨记为1x ，2x ，且12x x <， 又∵12106x x =-<，故120x x <<，当()20,x x ∈时，()0x ϕ'<，()x ϕ递减， 当()2,x x ∈+∞时，()0x ϕ'>，()x ϕ递增， 故()()322222min 23x x x ax x ϕϕ==+-，①又()20x ϕ'=，∴2226610x ax +-=，即222166x a x -=，②将222166x a x -=代入式，得2222222222222233316112323622x x x x x x x x x x x -+⋅⋅-=+--=--， 由题意得3221322x x --=-，即322230x x +-=，即()()222212230x x x -++=，解得21x =， 将21x =代入式中，得56a =-．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．【答案】（1）222x y a -=，3212x t y =+=+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩（t 为参数）；（2）2a =±，432． 【解析】（1）由22cos 2a ρθ=得()2222cos sin a ρθθ-=，又cos x ρθ=，sin y ρθ=，得222x y a -=，∴C 的普通方程为222x y a -=， ∵过点()2,1P 、倾斜角为30︒的直线l 的普通方程为)321y x =-+， 由32x =得112y t =+，∴直线l 的参数方程为3212x t y =+=+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩（t 为参数）． （2）将3212x t y ==+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩代入222x y a -=，得()()222231230t t a ++-=， 依题意知()()222231830a ∆⎡⎤=-->⎣⎦，则上方程的根1t 、2t 就是交点A 、对应的参数，∵()21223t t a ⋅=-，由参数t 的几何意义知1212PA PB t t t t ⋅=⋅=⋅，得122t t ⋅=， ∵点P 在A 、B 之间，∴120t t ⋅<，∴122t t ⋅=-，即()2232a -=-，解得24a =（满足0∆>），∴2a =±， ∵1212PA PB t t t t -=-=+，又()122231t t +=-， ∴432PA PB -=． 23．【答案】（1）2；（2）1．【解析】（1）()31,12213,1131,1x x f x x x x x x x +≥⎧⎪=++-=+-<<⎨⎪--≤-⎩，故当1x =-时，函数()f x 有最小值2，∴2t =． （2）由（1）可知22222a b +=，故22124a b +++=，∴2222222222212111112121121244b a a b a b a b a b +++++++⎛⎫+++=+⋅=≥ ⎪++++⎝⎭， 当且仅当22122a b +=+=，即21a =，20b =时等号成立，故221112a b +++的最小值为1．。
云南省昆明市第一中学2019届9月高三第一次摸底测试理科数学(解析版)
云南省昆明市第一中学2019届9月高三第一次摸底测试理科数学（解析版）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，集合，则A. B. C. D.【答案】B【解析】解：集合，集合，则．故选：B．化简集合A，根据交集的定义写出．本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．2.A. B. C. D.【答案】C【解析】解：．故选：C．直接由复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．3.已知，，则的值是A. B. C. D.【答案】C【解析】解：，，，故选：C．由题意利用两角差的余弦公式求得的值，再利用同角三角函数的基本关系，求得的值．本题主要考查两角差的余弦公式，同角三角函数的基本关系，属于基础题．4.二项式的展开式中常数项为A. B. 15 C. D. 20【答案】B【解析】解：二项式的展开式的通项公式为，令，求得，故展开式中常数项为，故选：B．先求得二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得常数项的值．本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．5.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长的棱为A. 1B.C.D.【答案】D【解析】解：由三视图还原原几何体如图：在长、宽、高分别为2，1，1的长方体中截得该三棱锥，则最长棱为，故选：D．由三视图还原原几何体，可知原几何体为在长、宽、高分别为2，1，1的长方体中截得该三棱锥，求出最长的棱得答案．本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．6.圆C：与直线相交于A，B两点，M是弦AB的中点，则直线CM的方程是A. B. C. D.【答案】D【解析】解：根据题意，圆C与直线相交于A，B两点，M是弦AB的中点，则直线CM与AB垂直，又由AB的方程为，即，则，又由，则直线CM的方程是，即；故选：D．根据题意，由垂径定理分析可得直线CM与AB垂直，由直线AB的方程分析可得直线CM的斜率，由直线的点斜式方程分析可得答案．本题考查直线与圆的位置关系，注意垂径定理的使用，属于基础题．7.函数的图象大致为A. B.C. D.【答案】A【解析】解：由，，排除B，是偶函数排除C，和排除D，故选：A．特殊值排除法．本题考查了函数的图象与图象的变换属基础题．8.现有6人坐成一排，任选其中3人相互调整座位这3人中任何一人不能坐回原来的位置，其余3人座位不变，则不同的调整方案的种数有A. 30B. 40C. 60D. 90【答案】B【解析】解：根据题意，分2步进分析：，在6人选出3人，相互调整座位，有种选法，，设选出相互调整座位的3人为A、B、C，A有2种坐法，B、C只有1种坐法，则A、B、C相互调整座位有2种情况，则不同的调整方案有种；故选：B．根据题意，分2步进分析：，在6人选出3人，相互调整座位，，分析选出相互调整座位的3人的调整方法，由分步计数原理计算可得答案．本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．9.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则A. B. C. D.【答案】B【解析】解：，，解得，，由正弦定理得，即，，即，．故选：B．先根据余弦定理求出A，然后根据正弦定理化边为角，结合三角恒等变换，即可得到结论．本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，要求熟练掌握两个定理的内容及应用．10.三棱锥的四个面都是直角三角形，各棱长的最大值为4，则该三棱锥外接球的体积为A. B. C. D.【答案】D【解析】解：如图所示，三棱锥，，三棱锥的外接球的直径为4，故此三棱锥的外接球的半径为2，故此三棱锥的外接球的体积．故选：D．根据已知可得三棱锥的外接球的直径为4，进而求出球半径，代入球的体积公式，可得答案．本题考查的知识点是球的体积与表面积，根据已知得到球的半径，是解答的关键．11.正方形ABCD的四个顶点都在双曲线上，若双曲线的焦点都在正方形的外部，则双曲线的离心率的取值范围是A. B. C. D.【答案】C【解析】解：令得，，因为双曲线的焦点在正方形的外部，所以，即，又，化简可得，可得，，解得，故选：C．利用已知条件列出不等式，转化求解双曲线的离心率的范围即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．12.若实数x，y，满足，下列四个不等式成立的个数是A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C【解析】解：因为，所以设，则，对于，所以成立；对于，所以成立；对于，所以成立．对于取，，，，，所以不成立，因此成立的不等式有3个，故选：C．由已知可设，代入，利用基本不等式可判断；对于，进行分解因式后，结合已知及不等式的性质可判断；对于结合已知所设及基本不等式可判断；对于可取特殊值，，进行检验本题主要考查了利用基本不等式及不等式的性质，考查了逻辑推理与运算的能力．二、填空题（本大题共4小题）13.已知单位向量，满足，则向量与夹角的大小为______．【答案】【解析】解：根据题意得，，，，，向量与夹角的大小为，故答案为：．运用模长的运算和向量的夹角计算公式可得结果．本题考查向量的模长和向量的夹角计算公式的简单应用．14.已知，函数过点，则的最小值为______．【答案】【解析】解：由题意，函数过点，则，解得：，．，可得最小值为，故答案为：．根据函数过点，可得，，可得最小值；本题主要考查三角函数图象过点的坐标的求解，属于基础题．15.设函数为非零实数，若函数有三个零点，则a的取值范围为______．【答案】【解析】解：由，得，令，则，由，得，由，得，在上单调递增，在，上单调递减，当时，极小值，当时，极大值．有三个零点，即函数和的图象有三个交点，．故答案为：．把函数有三个零点，转化为有三个根，令，利用导数求极值，则答案可求．本题考查函数零点的判定，考查利用导数研究函数的单调性，是中档题．16.已知，为抛物线上不同的两点，且，点O为坐标原点，则的取值范围是______．【答案】【解析】解：设直线AB的方程为，代入抛物线方程得，所以，所以，所以，，当且仅当时取等号，，所以的取值范围是．故答案为：．设直线AB的方程为，代入抛物线方程得，所以，，，即可得的取值范围．本题考查抛物线的方程和性质，以及向量夹角知识解决问题的能力，属于中档题．三、解答题（本大题共7小题）17.已知数列的前n项和为，且，，为等差数列．证明：为等比数列；求．【答案】证明：设，则，，，是首项为4，公比为2的等比数列分解：数列是等差数列，，，，，，由，得：，分【解析】设，则，由此能证明是首项为4，公比为2的等比数列．由是等差数列，求出，从而，进而，由此利用错位相减法能求出．本题考查等比数列的证明，考查数列的数前n项和的求法，考查等差数列、等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．18.甲、乙两名射击运动员参加某项有奖射击活动射击次数相同，已知两名运动员射击的环数都稳定在7，8，9，10环，他们的这次成绩的条形图如下：求甲、乙两名运动员射击的环数都不低干9环的概率；甲、乙两名运动员现在要同时射击4次，如果甲、乙射击的环数都不低于9环3次时，可获得奖金万元；如果甲、乙射击的环数都不低于9环4次时，可获得奖金两万元，其他结果不予奖励，求甲、乙两名运动员可获得奖金数的期望值注：频率可近似看作概率【答案】解：记“甲运动员击中i环”为事件，“乙运动员击中i环”为事件，所以，，所以甲、乙击中目标都不低于9环的概率：；分记甲、乙两名运动员射击的环数都不低于9环的次数为随机变量X，X的可能取值：0，1，2，3，4；则～，其中，，所以，；分记甲、乙两名运动员获得奖金数万元为随机变量Y，Y的可能取值：0，1，2；则，；所以甲、乙两名运动员可获得奖金数的期望值为：元分【解析】利用频率分布表求出甲、乙击中目标都不低于9环的概率值；甲、乙两名运动员射击的环数都不低于9环的次数为随机变量X，～；甲、乙两名运动员获得奖金数万元为随机变量Y，计算Y的频率分布与数学期望值．本题考查了频率分布与离散型随机变量的分布列和数学期望计算问题，是中档题．19.如图1，在直角三角形PBC中，，，且，AC与BD的交点为O，将直角三角形PBC沿着AD边折起，得到如图2的四棱锥，．求证：平面；若，二面角的大小为，求的长．【答案】证明：在直角梯形ABCD中，，即，因为，所以，，所以，又因为，所以，即，图2的四棱锥中，，由题知，则平面ABCD，所以，又，所以平面分解：在图1中，因为，，设，因为 ∽ ，所以，，，则，由知平面ABCD，则以点A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴，为z轴建立空间直角坐标系．则0，，0，，0，，，1，，1，，，，设平面的一个法向量为y，，则，取，得，设平面BDC的一个法向量为0，，因为二面角的大小为，则，由，得，所以的长为分【解析】推导出，，从而，，，，从而平面ABCD，进而，由此能证明平面．设，则，，则，以点A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴，为z轴建立空间直角坐标系，由此能求出的长．本题考查线面垂直的证明，考查线段的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．20.设，分别是椭圆：的左、右焦点，过斜率为1的直线与E相交于A，B两点，且，，成等差数列．求E的离心率；设点满足，求E的方程．【答案】解：由椭圆定义知，又，得，l的方程为，其中．设，，则A、B两点坐标满足方程组化简的则因为直线AB斜率为1，，得，故所以E的离心率设AB的中点为，由知，．由，得，即得，从而故椭圆E的方程为．【解析】根据椭圆的定义可知，进而根据，，成等差数表示出，进而可知直线l的方程，设，，代入直线和椭圆方程，联立消去y，根据韦达定理表示出和进而根据，求得a和b的关系，进而求得a和c的关系，离心率可得．设AB的中点为，根据则可分别表示出和，根据，推知直线PN的斜率，根据求得c，进而求得a和b，椭圆的方程可得．本题主要考查圆锥曲线中的椭圆性质以及直线与椭圆的位置关系，涉及等差数列知识，考查利用方程思想解决几何问题的能力及运算能力21.已知函数．若，求实数a的取值范围；证明，．【答案】解：的定义域为，由，得：，令，则，由，得，由，得，在上单调递增，在上单调递减，，；证明：当时，，此时，，在上单调递增，，即：，令，则，，，，，，，，．【解析】由，得：，令，利用导数求其最大值，可得实数a的取值范围；当时，，利用导数证明在上单调递增，可得，即：，令，得到，即，分别取，3，，n，作和得答案．本题考查利用导数研究函数的单调性，训练了利用分离参数法求解此时的取值范围，训练了利用放缩法证明函数不等式，是中档题．22.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为：为参数，，以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，圆C的极坐标方程为求圆C的圆心的直角坐标；设点，若直线l与圆C交于A，B两点，求．【答案】解：圆C的极坐标方程为圆C：，圆心坐标分将，代入C：，得：，设点A，B所对应的参数为，，则，分【解析】求出圆C的极坐标方程，由此能求出圆C的直角坐标方程，从而能求出圆心的直角坐标．将，代入C：，得：，由此能求出．本题考查圆的圆心坐标的求法，考查两线段乘积的求法，考查直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．23.设函数．当时，求不等式的解集；对任意实数x，都有恒成立，求实数a的取值范围．【答案】解：当时，，当时，，当时，，当时，，所以不等式解集为0，，，因为，所以，所以或，所以a的取值范围为．【解析】分类讨论去绝对值；等价于．本题考查了绝对值不等式的解法属基础题．。
【市级联考】云南省昆明市2019届高三1月复习诊断测试理科数学试题(解析版)
昆明市2019届高三复习诊断测试理科数学一、选择题：本题共1小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】解一元二次不等式，求出集合B，然后进行交集的运算即可．【详解】由B中不等式解得：﹣1＜x＜2，即B＝{x|﹣1＜x＜2}，∵A＝{﹣1，0，1，2}，∴A∩B＝{0，1}，故选：D．【点睛】此题考查了集合的交集运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键，属于基础题.2.在复平面内，复数对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】C【解析】【分析】由复数的运算法则和在复平面内的对应点的坐标即可得出．【详解】在复平面内，复数＝，对应的点（-1，﹣1）位于第三象限．故选：C．【点睛】本题考查了复数的运算法则和复数与复平面内对应点之间的关系，属于基础题．3.某商家今年上半年各月的人均销售额(单位：千元)与利润率统计表如下：根据表中数据，下列说法正确的是A. 利润率与人均销售额成正比例函数关系B. 利润率与人均销售额成反比例函数关系C. 利润率与人均销售额成正相关关系D利润率与人均销售额成负相关关系【答案】C【解析】【分析】由表格中的数据和线性相关关系的定义即可得到.【详解】由表格中的数据显示，随着人均销售额的增加，利润率也随之增加，由变量之间的关系可得人均销售额和利润率成正相关关系.故选：C.【点睛】本题主要考查变量间的相关关系的定义，考查学生对基础知识的掌握，属于基础题.4.在平面直角坐标系中，角的终边与单位圆交点的横坐标为，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由任意角的三角函数的定义求得，由二倍角公式可得.【详解】由角的终边与单位圆交点的横坐标为，则，所以 .故答案为：.【点睛】本题考查了任意角的三角函数的定义和二倍角公式，属于基础题.5.下面是当，2，3，4，5，6时展开式的二项式系数表示形式…………1 1…………1 2 1…………1 3 3 1…………1 4 4 1…………1 5 10 5 1…………1 6 15 20 15 6 1借助上面的表示形式，判断与的值分别是（）A. 5，9B. 5，10C. 6，10D. 6，9 【答案】C【解析】【分析】根据展开式的二项式系数的规律确定出所求的系数即可.【详解】由的展开式的二项式系数的规律=，=.所以与=10.故选：C.【点睛】本题考查了二项式定理展开式的二项式系数的规律，属于基础题.6.将函数的图象向右平移个单位长度，则所得图象的对称轴可以为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得对应的解析式，再利用正弦函数的对称轴求解即可.【详解】将函数y＝sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，得到y＝sin（2x﹣+）＝sin2x的图象，令2x=，，所以x=. 当k=0，x=. 所以y=sin2x对称轴可以为 .故选：B．【点睛】本题主要考查函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的对称轴，属于基础题．7.已知，为椭圆的左，右焦点，为的短轴的一个端点，直线与的另一个交点为，若为等腰三角形，则（）A. B. C. D. 3【答案】A【解析】【分析】设|AF1|＝t（t＞0），由已知条件得出|AB|＝|AF2|，结合椭圆的定义得出，可求出|AF1|和|AF2|，即可求出答案．【详解】设|AF1|＝t（t＞0），由椭圆的定义可得|AF2|＝2a﹣t，由题意可知，|AF2|＞|BF2|＝a，由于△BAF2是等腰三角形，则|AB|＝|AF2|，即a+t＝2a﹣t，所以，所以，因此故选：A．【点睛】本题考查直线与椭圆的综合问题，利用椭圆的定义是解决本题的关键，属于中档题．8.在平面四边形中，，，，，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】在Rt中,由，，得,，所以,由余弦定理得BC的长度.【详解】在平面四边形中，如图.在Rt中,，，，所以，，所以,在中,,由余弦定理得,所以BC= .故选：C.【点睛】本题考查了直角三角形的性质和余弦定理的应用，属于基础题.9.在数学历史中有很多公式都是数学家欧拉（Leonhard Euler）发现的，它们都叫做欧拉公式，分散在各个数学分支之中.任意一个凸多面体的顶点数、棱数、面数之间，都满足关系式，这个等式就是立体几何中的“欧拉公式”若一个凸二十面体的每个面均为三角形，则由欧拉公式可得该多面体的顶点数为（）A. 10B. 12C. 15D. 20【答案】B【解析】【分析】由题意得面数=20，F=E，再由关系式，可得V.【详解】因为一个凸二十面体的每个面均为三角形，所以面数=20，顶点数、棱数的关系为F=E，由任意一个凸多面体的顶点数、棱数、面数之间，都满足关系式，所以V-F+20=2,得V=12.故选：B.【点睛】本题考查了利用欧拉公式求顶点数的应用，属于基础题.10.现分配3名师范大学生参加教学实习，有4所学校可供选择，每名学生随机选择一所学校，则恰有2名学生选择同一所学校的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出3名师范大学生有4所学校可供选择的个数，再求出恰有2名学生选择同一所学校的个数,由古典概型的计算可得.【详解】分配3名师范大学生参加教学实习，有4所学校可供选择，每名学生随机选择一所学校，满足情况的个数为，恰有2名学生选择同一所学校的个数，由古典概型的定义公式，计算得P= .故选：A.【点睛】本题考查了组合的运用，由分步计数原理来计算其不同的选择方法，由古典概型的公式计算概率，属于基础题.11.设函数的极值点的最大值为，若，则整数的值为（）A. -2B. -1C. 0D. 1【答案】C【解析】【分析】先对f（x）求导，得，令再求导得单调性，进而求出f（x）极值点的最大值的范围.【详解】函数，求导得=0的根，设，得，=0的根，所以当x<-2时，<0, 当x>-2时，>0, 所以在递减，在递增.所以在x=-2处取得最小值，所以,时，，且，所以在上递减，在上递增.，.所以（-2,-1）使得；（0,1）使得，所以在上递减，在上递增，在上递减.所以x=为极大值点，x=为极小值点.的极值点的最大值为，若，所以，整数n=0.故选：C.【点睛】本题考查了函数的极值点的取值范围，利用导数判断函数的单调性和极值点的范围，属于中档题.12.已知三棱锥中，底面为等边三角形，，，点为的中点，点为的中点.若点、是空间中的两动点，且，，则（）A. 3B. 4C. 6D. 8【答案】B【解析】【分析】建立直角坐标系，写出B,E,F的坐标，设M(x,y,z)的坐标，由，得出M的轨迹，同理得出N的轨迹，由向量的数量积得出即可.【详解】建立直角坐标系如图所示，，底面为等边三角形，且.所以OD=2,AO=.B(-，-1，0)，D(0,2,0),C(，-1，0),点为的中点，所以E（，，0）点为的中点，F（-，-，0），设M（x,y,z）,，所以，所以点M在以（0,0,0）为球心，以1为半径的球上，同理N也在这个球上，且，所以MN为球的直径，=.故选：B.【点睛】本题考查了空间向量解决点的轨迹问题，球的几何性质和数量积的运算，属于中档题.二、填空题：本題共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量，，若，则______.【答案】2【解析】【分析】由得=0，计算可得t的值.【详解】已知向量，，所以= .，得==3+9-6t=0，所以t=2.故答案为：2.【点睛】本题考查了向量的减法和数量积的运算，属于基础题.14.设，，，若是的充分不必要条件，则的值可以是______.（只需填写一个满足条件的即可）【答案】（的任意数均可）【解析】【分析】由得q：0<x<1，由是的充分不必要条件，得0<m<1即可.【详解】由得0<x<1,所以q：0<x<1，又，，若是的充分不必要条件，则，所以0<m<1,满足题意的m=（的任意数均可）.故答案为：（的任意数均可）【点睛】本题考查了不等式的计算和充分不必要条件的应用，属于基础题.15.已知点在双曲线的渐近线上，为的右焦点，为原点，若，则的方程为______.【答案】【解析】【分析】由在双曲线的渐近线上，得=，Rt中，得出OF=c=4，进而得出的方程.【详解】因为双曲线的渐近线方程为y=，在渐近线上，所以=，为的右焦点，O为原点，若，在Rt中.OP=,,所以OF=c=4，b=2，a=2，所以的方程为 .故答案为：.【点睛】本题考查了双曲线标准方程的求法，也考查了渐近线方程的应用，属于基础题.16.如图，在矩形与扇形拼接而成的平面图形中，，，.点在上，在上，，设，则当平面区域（阴影部份）的面积取到最大值时，______.【答案】【解析】【分析】在Rt中，，则AF=3tanx，列出面积=15-，对其求导得最值时的值.【详解】在Rt ， ，则AF=3tanx.，y===15-..=的根，因为.，所以cosx，使得.所以y=在时取得最大值.故答案为: .【点睛】本题考查了由三角函数解决实际问题的最值问题，列出面积的方程是关键，属于中档题.三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知数列是等比数列，公比，前项和为，若，.（1）求的通项公式； （2）设，若恒成立，求的最小值. 【答案】（1）；（2）8.【解析】 【分析】 （1），，得，，即可得；（2）由（1）可知：，所以单调递增，所以当时，，即可得m 的最小值.【详解】（1）由，得解得，或，（舍）.所以.（2）由（1）可知：.因为，所以单调递增. 所以，恒成立时，又因为，故的最小值为8.【点睛】本题考查了求等比数列的通项公式和前n 项和的最值问题，因为，所以单调递增是关键，属于中档题.18.“中国大能手”是央视推出的一档大型职业技能挑战赛类节目，旨在通过该节目，在全社会传播和弘扬“劳动光荣、技能宝贵、创造伟大”的时代风尚.某公司准备派出选手代表公司参加“中国大能手”职业技能挑战赛.经过层层选拔，最后集中在甲、乙两位选手在一项关键技能的区分上，选手完成该项挑战的时间越少越好.已知这两位选手在15次挑战训练中，完成该项关键技能挑战所用的时间（单位：秒）及挑战失败（用“×”表示）的情况如下表1：据上表中的数据，应用统计软件得下表2：（1）根据上述回归方程，预测甲、乙分别在下一次完成该项关键技能挑战所用的时间；（2）若该公司只有一个参赛名额，根据以上信息，判断哪位选手代表公司参加职业技能挑战赛更合适？请说明你的理由.【答案】（1）甲用时73.84秒，乙用时72.57秒；（2）选手乙，见解析.【解析】【分析】（1）把时分别代入和中，即可求出；（2）由，由于，说明甲、乙用时都在逐步减少，乙的方差大，说明乙进步更大，【详解】（1）当时，（秒）（秒）（2）甲、乙两位选手完成关键技能挑战成功的次数都为10次，失败次数都为5次，所以，只需要比较他们完成关键技能挑战成功的情况即可，根据所给信息，结合（1）中预测结果，综合分析，选手乙代表公司参加技能挑战赛更合适，理由如下：因为在相同次数的挑战练习中，两位选手在关键技能挑战的完成次数和失败次数都分别相同，,乙选手用时更短；由于，虽然甲选手的发挥更稳定，但稳定在较大的平均数上，随着训练次数增加，甲、乙用时都在逐步减少，乙的方差大，说明乙进步更大；从（1）的计算结果进一步说明，选手乙代表公司参加技能挑战赛更合适.【点睛】本题考查了线性回归方程的运用，也考查了平均数与方差的意义，属于基础题.19.过点的直线与抛物线交于，两点，是的焦点，（1）若线段中点的横坐标为3，求的值；（2）求的取值范围.【答案】（1）8 ；（2）.【解析】【分析】（1）设，，则，根据抛物线的定义可得|AF|+|BF|.（2）由抛物线的定义可知||AF|•|BF|＝＝m2y1y2，再根据韦达定理和判别式即可求出．【详解】（1）设，，则，由抛物线的定义知.（2）设，，直线的方程为.由得即，.由，得.由抛物线的定义知，.则.因为，所以.故的取值范围是.【点睛】本题考查了直线和抛物线的位置关系和抛物线定义的应用，考查了运算能力和转化能力，属于中档题.20.如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面，，，是棱上的一点.（1）若平面，证明：；（2）在（1）的条件下，棱上是否存在点，使直线与平面所成角的大小为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）见解析；（2）在棱上存在点使直线与平面所成角的大小为，此时. 【解析】【分析】（1）连接交于，连接由平面的性质定理得是的中点，即可得出；（2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，由直线与平面所成角的向量法，得出的值.【详解】（1）连接交于，连接，则是平面与平面的交线.因为平面，平面，所以.又因为是中点，所以是的中点.所以.（2）由已知条件可知，所以，以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系.则，，，，，，，.假设在棱上存在点，设，得，.记平面的法向量为，则即取，则，所以.要使直线与平面所成角的大小为，则，即，解得.所以在棱上存在点使直线与平面所成角的大小为.此时.【点睛】本题考查了线与面平行的性质定理的应用，也考查了向量法解决线与面所成角的问题，属于中档题.21.已知函数，.（1）讨论的单调性；（2）若函数存在两个零点，，使，求的最大值.【答案】（1）当时，在单调递增；当时，在单调递增，在单调递减；（2）2.【解析】【分析】（1）对函数求导，由x>0,进而对和分别讨论，得出的单调性.（2）函数有两个零点，，得，代入，令，则，设，求导得在上的最值即可.【详解】（1）函数的定义域为，.当时，，在单调递增；当时，令，得，当时，；当时，.所以在单调递增，在单调递减.综上所述，当时，在单调递增；当时，在单调递增，在单调递减.（2）因为，，即，.两式相减得，即.由已知，得.因为，，所以，即.不妨设，则有.令，则，所以，即恒成立.设..令，，的图象开口向上，对称轴方程为，方程的判别式.当时，在单调递增，，所以,在单调递增，所以在恒成立.当时，，在上恒成立，所以，在单调递增，所以在恒成立.当时，在单调递减，因为，，所以存在，使得当时，，；当时，，，所以在上递增，在上递减.当时，都有，所以在不恒成立.综上所述，的取值范围是，所以的最大值为2.【点睛】本题考查了函数的单调性的判断和换元构造新函数求其最值的问题，求导后讨论函数的单调性是本题的关键，属于中档题.22.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.（1）求的极坐标方程；（2）若曲线的极坐标方程为，直线与在第一象限的交点为，与的交点为（异于原点），求.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换．（2）由极径的应用求出结果．【详解】（1）曲线C1的参数方程为（t为参数）．转换为直角坐标方程为：，转换为极坐标方程为：ρ2+8ρ2sin2θ﹣9＝0．（2）因为，两点在直线上，可设，.把点的极坐标代入的方程得：，解得.由己知点在第一象限，所以.因为异于原点，所以把点的极坐标代入的方程得：，解得.所以，.【点睛】本题考查了参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，极径的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题．。
2019届云南省昆明市高三高考5月模拟数学(理)试题(解析版)
（Ⅲ）乙恰好比甲多投进2次可分为：乙恰投中2次且甲恰投中0次，乙恰投中3次且甲恰投中1次，利用独立事件同时发生的概率公式计算即可得解。
【详解】
解：（Ⅰ） 的可能取值为：0,1,2,3
的分布列如下表：
0
1
2
3
p
所以
（Ⅱ）乙至多投中2次的概率为 ．
8．已知 ，则 的值为（）
A．39B．310C．311D．312
【答案】D
【解析】试题分析：由 两边求导得 ，令 得 ，令 得 ，所以
故选D.
【考点】1.导数的应用；2.二项式定理；3.特殊值法.
【名师点睛】本题考查导数的应用，二项式定理，特殊值法，中档题；导数是高考的必考内容，二项式定理在高考中可能考查也可能不考查，但本题将导数与二项式定理融合在一起，应用特殊值法求解，可谓是立意新颖，称得是好题.
∴第一个曲线的均值比第二和第三和图象的均值小，且二，三两个的均值相等，
只能从A，D两个答案中选一个，
∵σ越小图象越瘦长，
得到第二个图象的σ比第三个的σ要小，第一个和第二个的σ相等
故选：D．
【点睛】
本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查密度函数中两个特征数均值和标准差对曲线的位置和形状的影响，是一个基础题．
9．在二项式 的展开式中，二项式系数的和为256，把展开式中所有的项重新排成一列，有理项都互不相邻的概率为( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】先由二项式系数的和为 解出n，然后利用二项式展开通项式确定有理项的项数，然后利用插空法求出有理项互不相邻的排法数，除以排列总数即为所求概率.
【详解】
【点睛】
昆明市2019届高三复习诊断测试理数试卷
理科数学试卷·第1页（共14页）秘密★启用前 【考试时间：1月7日 15∶00—17∶00】昆明市2019届高三复习诊断测试理科数学注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{1,0,1,2}A =-，{|(1)(2)0}B x x x =+-<，则A B =A ．{1,0,1,2}-B ．{1,0,1}-C ．{1,0}-D ．{0,1}2．在复平面内，复数21i-+对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．某商家今年上半年各月的人均销售额（单位：千元）与利润率统计表如下：根据表中数据，下列说法正确的是 A ．利润率与人均销售额成正相关关系 B ．利润率与人均销售额成负相关关系 C ．利润率与人均销售额成正比例函数关系D ．利润率与人均销售额成反比例函数关系4．在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边与单位圆交点的横坐标为，则cos 2α=A ．BC ．12-D ．12理科数学试卷·第2页（共14页）5．下面是()n a b +（*n ∈N ）当1n =，2，3，4，5，6时展开式的二项式系数表示形式 1()a b +………………………………………………1 1 2()a b +…………………………………………1 2 1 3()a b +……………………………………1 3 3 1 4()a b +………………………………1 4 λ 4 1 5()a b +…………………………1 5 μ 10 5 1 6()a b +……………………1 6 15 20 15 6 1借助上面的表示形式，判断λ与μ的值分别是A ．5，9B ．5，10C ．6，10D ．6，96．将函数πsin(2)3y x =+的图象向右平移π6个单位长度，则所得图象的对称轴可以为A ．π6x =-B ．π4x =C ．π3x =D ．π2x =7．已知1F ，2F 为椭圆C ：2222 1 (0)x y a b a b+=>>的左，右焦点，B 为C 的短轴的一个端点直线1BF 与C 的另一个交点为A ，若2BAF △为等腰三角形，则12AF AF =A ．13B ．12C ．23 D ．38．在平面四边形ABCD 中，90D ∠=︒，120BAD ∠=︒，1AD =，2AC =，3AB =， 则BC =ABCD．9．数学中有很多公式都是数学家欧拉（Leonhard Euler ）发现的，它们都叫做欧拉公式，分散在各个数学分支之中.任意一个凸多面体的顶点数V 、棱数E 、面数F 之间，都满足关系式2V E F -+=，这个等式就是立体几何中的“欧拉公式”．若一个凸二十面体的每个面均为三角形，则由欧拉公式可得该多面体的顶点数为 A ．10 B ．12 C ．15 D ．20理科数学试卷·第3页（共14页）x OABCD FE 10．现分配3名师范大学生参加教学实习，有4所学校可供选择，每名学生随机选择一所学校，则恰有2名学生选择同一所学校的概率为A ．916 B ．38C ．932D ．31611．设函数23211()(22)e 32x f x x x x x =-+--的极值点的最大值为0x ，若()0,1x n n ∈+，则整数n 的值为A ．2-B ．1-C ．0D ．112．已知三棱锥A BCD -中，底面BCD 为等边三角形，3AB AC AD ===，BC =，点E 为CD 的中点，点F 为BE 的中点．若点M 、N 是空间中的两动点，且2MB NBMF NF==，2MN =，则AM AN ⋅=A ．3B ．4C ．6D ．8二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
云南省昆明市2019届高三1月复习诊断测试数学(理)试题
昆明市2019届高三复习诊断测试理科数学一、选择题：本题共1小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}1,0,1,2A =-，{}(1)(2)0B x x x =+-<，则A B =（ ）A.{}1,0,1,2-B. {}1,0,1-C. {}1,0-D. {}0,1 2. 在复平面内，复数2-1i+对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限3. 某商家今年上半年各月的人均销售额(单位：千元)与利润率统计表如下：根据表中数据，下列说法正确的是 A. 利润率与人均销售额成正相关关系 B. 利润率与人均销售额成负相关关系 C. 利润率与人均销售额成正比例函数关系 D. 利润率与人均销售额成反比例函数关系4. 在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边与单位圆交点的横坐标为-2，则cos2α=（ ）A. -2 B. 2 C. 1-2 D. 125. 下面是()()na b n *+∈N 当1n =，2，3，4，5，6时展开式的二项式系数表示形式1()a b +…………1 1 2()a b +…………1 2 13()a b +…………1 3 3 1 4()a b +…………1 4 λ 4 15()a b +…………1 5 μ 10 5 16()a b +…………1 6 15 20 15 6 1借助上面的表示形式，判断λ与μ的值分别是（ ） A. 5，9 B. 5，10 C. 6，10 D. 6，9 6. 将函数sin(2)3y x π=+的图象向右平移6π个单位长度，则所得图象的对称轴可以为（ ） A. 6x π=-B. 4x π=C. 3x π=D. 2x π=7. 已知1F ，2F 为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左，右焦点，B 为C 的短轴的一个端点直线1BF 与C的另一个交点为A ，若2BAF ∆为等腰三角形，则12AF AF =（ ）A.13 B. 12 C. 23D. 3 8. 在平面四边形ABCD 中，90D ∠=︒，120BAD ∠=︒，1AD =，2AC =，3AB =，则BC =（ ）D. 9. 数学中有很多公式都是数学家欧拉（Leonhard Euler ）发现的，它们都叫做欧拉公式，分散在各个数学分支之中.任意一个凸多面体的顶点数V 、棱数E 、面数F 之间，都满足关系式2V E F -+=，这个等式就是立体几何中的“欧拉公式”若一个凸二十面体的每个面均为三角形，则由欧拉公式可得该多面体的顶点数为（ ）A. 10B. 12C. 15D. 2010. 现分配3名师范大学生参加教学实习，有4所学校可供选择，每名学生随机选择一所学校，则恰有2名学生选择同一所学校的概率为（ ） A.916 B. 38 C. 932 D. 31611. 设函数()23211(22)32xf x x x e x x =-+--的极值点的最大值为0x ，若0(,1)x n n ∈+，则整数n 的值为（ ）A. -2B. -1C. 0D. 112. 已知三棱锥A BCD -中，底面BCD 为等边三角形，3AB AC AD ===，23BC =，点E 为CD 的中点，点F 为BE 的中点.若点M 、N 是空间中的两动点，且2MB NBMF NF==，2MN =，则AM AN ⋅=（ ）A. 3B. 4C. 6D. 8 二、填空题：本題共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知向量()1,3a =-，(1,)b t =，若(2)a b a -⊥，则t =______. 14. 设0m >，:0p x m <<，:01xq x <-，若p 是q 的充分不必要条件，则m 的值可以是______.（只需填写一个满足条件的m 即可）15. 已知点(1,3)P 在双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的渐近线上，F 为C 的右焦点，O 为原点，若90FPO ∠=︒，则C 的方程为______.16. 如图，在矩形OABC 与扇形OCD 拼接而成的平面图形中，3OA =，5AB =，6COD π∠=.点E 在CD 上，F 在AB 上，3EOF π∠=，设AOF x ∠=，则当平面区域 O ECBF （阴影部份）的面积取到最大值时，cos x =______.三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17. 已知数列{}n a 是等比数列，公比1q <，前n 项和为n S ，若22a =，37S =. （1）求{}n a 的通项公式；（2）设m ∈Z ，若n S m <恒成立，求m 的最小值.18.“中国大能手”是央视推出的一档大型职业技能挑战赛类节目，旨在通过该节目，在全社会传播和弘扬“劳动光荣、技能宝贵、创造伟大”的时代风尚.某公司准备派出选手代表公司参加“中国大能手”职业技能挑战赛.经过层层选拔，最后集中在甲、乙两位选手在一项关键技能的区分上，选手完成该项挑战的时间越少越好.已知这两位选手在15次挑战训练中，完成该项关键技能挑战所用的时间t （单位：秒）及挑战失败（用“×”表示）的情况如下表1：据上表中的数据，应用统计软件得下表2：（1）根据上述回归方程，预测甲、乙分别在下一次完成该项关键技能挑战所用的时间；（2）若该公司只有一个参赛名额，根据以上信息，判断哪位选手代表公司参加职业技能挑战赛更合适？请说明你的理由.19. 过点(1,0)E -的直线l 与抛物线2:4C y x =交于A ，B 两点，F 是C 的焦点， （1）若线段AB 中点的横坐标为3，求AF BF +的值； （2）求AF BF ⋅的取值范围.20. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，PD ⊥平面ABCD ，2PD AD BD ===，22AB =，E 是棱PC 上的一点.（1）若//PA 平面BDE ，证明：PE EC =；（2）在（1）的条件下，棱PB 上是否存在点M ，使直线DM 与平面BDE 所成角的大小为30︒？若存在，求:PM MB 的值；若不存在，请说明理由.21. 已知函数()ln f x x ax =-，a ∈R . （1）讨论()f x 的单调性；（2）若函数()f x 存在两个零点1x ，2x ，使12ln ln 0x x m +->，求m 的最大值.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.并用铅笔在答题卡选考题区域内把所选的题号涂黑.如果多做，则按所做的第一题计分. 22.[选修4-4；坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为3cos ,sin ,x t y t =⎧⎨=⎩（t 为参数）.以原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为()6πθρ=∈R .（1）求1C 的极坐标方程；（2）若曲线2C 的极坐标方程为8cos 0ρθ+=，直线I 与1C 在第一象限的交点为A ，与2C 的交点为B （异于原点），求AB .昆明市2019届高三复习诊断测试理科数学参考答案及评分标准一、选择题二、填空题13. 2 14. 12 （填01m <<的值均可） 15.221412x y -= 16. 35注：数学中有很多公式都是数学家欧拉（Leonhard Euler ）发现的，它们都叫做欧拉公式，分散在各个数学分支之中.在立体几何中，由若干平面多边形所围成成的封闭的几何体叫做多面体，这些平面多边形称为多面体的面，这些多边形的边和顶点分别称为多面体的棱和顶点.如果多面体在它们每一面所决定的平面的同一侧，则称此多面体为凸多面体；一个凸多面体的表面可连续地变形为一个球面，则称之为简单多面体.设一个简单多面体的顶点数为V （vertix ），棱数为E （edge ），面数为F （face ），则有著名的欧拉公式：2V E F -+=.在欧拉发现这一结果一百年后，德国几何学家冯·施陶特（von Staudt ）给出了欧拉公式完整的证明.我们可以验证：三棱锥（4V =，6E =，4F =），长方体（8V =，12E =，6F =）等多面体都符合这一关系式.三、解答题 17. 解：（1）由22a =，37S =得121112,7,a q a a q a q =⎧⎨++=⎩ 解得14a =，12q =或11a =，2q =（舍）. 所以13114()()22n n n a --=⋅=. （2）由（1）可知：114(1)(1)128(1)811212nn n n a q S q--===-<--. 因为0n a >，所以n S 单调递增.又因为37S =，所以当4n ≥时，()7,8n S ∈.所以，n S m <恒成立时，又因为m ∈Z ，故m 的最小值为8. 18. 解：（1）当16x =时，ˆ=-1.591699.2873.84y⨯+=甲（秒） ˆ=-1.7316100.2572.57y⨯+=乙（秒） （2）甲、乙两位选手完成关键技能挑战成功的次数都为10次，失败次数都为5次，所以，只需要比较他们完成关键技能挑战成功的情况即可，根据所给信息，结合（1）中预测结果，综合分析，选手乙代表公司参加技能挑战赛更合适，理由如下：因为在相同次数的挑战练习中，两位选手在关键技能挑战的完成次数和失败次数都分别相同，x x >甲乙,乙选手用时更短；由于22S S <甲乙，虽然甲选手的发挥更稳定，但稳定在较大的平均数上，随着训练次数增加，甲、乙用时都在逐步减少，乙的方差大，说明乙进步更大；从（1）的计算结果ˆˆyy <乙甲进一步说明，选手乙代表公司参加技能挑战赛更合适. 9. 解：（1）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则126x x +=， 由抛物线的定义知11AF x =+，21BF x =+， 则1228AF BF x x +=++=.（2）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，直线l 的方程为1x my =-，由21,4,x my y x =-⎧⎨=⎩得2440y my -+=. 即124y y m +=，124y y =. 由216160m ∆=->，得21m >.由抛物线的定义知11AF x =+，21BF x =+， 则221212(1)(1)4AF BF x x m y y m ⋅=++==. 因为21m >，所以4AF BF ⋅>.故AF BF ⋅的取值范围是(4,)+∞. 20. 解：（1）连接AC 交BD 于F ，连接EF ，则EF 是平面PAC 与平面BDE 的交线. 因为//PA 平面BDE ，PA ⊂平面PAC ， 所以//PA EF .又因为F 是AC 中点，所以E 是PC 的中点. 所以PE EC =.（2）由已知条件可知222AD BD AB +=，所以AD BD ⊥，以D 为原点，DA 为x 轴，DB 为y 轴，DP 为z 轴建立空间直角坐标系. 则()0,0,0D ，()2,0,0A ，()0,2,0B ，()0,0,2P ，()2,2,0C -，()1,1,1E -，()1,1,1DE =-，()0,2,0DB =.假设在棱PB 上存在点M ，设(01)PM PB λλ=≤≤， 得()0,2,22M λλ-，()0,2,22DM λλ=-. 记平面BDE 的法向量为1111(,,)n x y z =，则110,0,n DE n DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即11110,0,x y z y -++=⎧⎨=⎩取11z =，则11x =，所以1(1,0,1)n =.要使直线DM 与平面BDE 所成角的大小为30︒，则11sin 30DM n DM n ⋅=︒⋅12，解得[]10,12λ=∈.所以在棱PB 上存在点M 使直线DM 与平面BDE 所成角的大小为30︒.此时:1:1PM MB =. 21. 解：（1）函数()f x 的定义域为(0+)∞，，()1=f x a x'-. 当0a ≤时，()0f x '>，()f x 在(0,)+∞单调递增； 当0a >时，令()0f x '=，得10x a=>， 当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>；当1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '<.所以()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减. 综上所述，当0a ≤时，()f x 在(0,)+∞单调递增； 当0a >时，()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减. （2）因为11ln 0x ax -=，22ln 0x ax -=，即11ln x ax =，22ln x ax =.两式相减得1212ln ln ()x x a x x -=-，即1212lnx x a x x =-.由已知12ln ln x x m +>，得12()a x x m +>.因为10x >，20x >，所以12m a x x >+，即121212lnx x mx x x x >-+. 不妨设120x x <<，则有112212()ln x m x x x x x -<+. 令12x t x =，则(0,1)t ∈，所以(1)ln 1m t t t -<+，即(1)ln 01m t t t --<+恒成立. 设(1)()ln (01)1m t g t t t t -=-<<+. 222(1)1()(1)t m t g t t t +-+'=+. 令2()2(1)!h t t m t =+-+，(0)1h =，()h t 的图象开口向上，对称轴方程为1t m =-， 方程22(1)10t m t +-+=的判别式()42m m ∆=-.① 当1m ≤时，()h t 在(0,1)单调递增，()(0)1h t h >=，所以()0g t '>,()g t 在()0,1单调递增，所以()(1)0g t g <=在()0,1恒成立.② 当12m <≤时，()420m m ∆=-≤，()0h t ≥在()0,1上恒成立，所以()0g t '>，()g t 在(0,1)单调递增，所以()(1)0g t g <=在()0,1恒成立.③ 当2m >时，()h t 在(0,1)单调递减，因为(0)1h =，(1)420h m =-<， 所以存在0(0,1)t ∈，使得0()0h t =当0(0,)t t ∈时，()0h t >，()0g t '>；当0(,1)t t ∈时，()0h t <，()0g t '<， 所以()g t 在0(0,)t 上递增，在0(,1)t 上递减. 当0(,1)t t ∈时，都有()(1)0g t g >=， 所以()0g t <在(0,1)不恒成立.综上所述，m 的取值范围是(,2]-∞，所以m 的最大值为2. 22. 解：（1）1C 的极坐标方程为222+8sin 90ρρθ-=. （2）因为A ，B 两点在直线l 上，可设1(,)6A πρ，2(,)6B πρ.把点A 的极坐标代入1C 的方程得：222118sin 906πρρ+-=，解得1=ρ由己知A 点在第一象限，所以1ρ因为B 异于原点，所以把点B 的极坐标代入2C 的方程得：2+8cos06πρ=，解得2ρ.所以，12AB ρρ=-=+=23. 解：（1）原不等式等价2111x x +-->，11 等价于1,230,x x ⎧≤⎪⎨⎪-->⎩或1-1,2310,x x ⎧<<⎪⎨⎪->⎩或1,10,x x ≥⎧⎨+>⎩解得3x <-或113x <<或1x ≥. 所以原不等式的解集为133x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或.（2）由()2f x x x m <++得2211m x x x x >--++--. 令()2211g x x x x x =--++--，则由题意知max ()m g x >.又222122,,21()2,1,22,1,x x x g x x x x x x ⎧---<-⎪⎪⎪=-+-≤≤⎨⎪-+>⎪⎪⎩由图知max ()1g x =.所以1m >。
云南省昆明市2019届高三1月复习诊断测试理科数学试题(精编含解析)
昆明市2019届高三复习诊断测试理科数学一、选择题：本题共1小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】解一元二次不等式，求出集合B，然后进行交集的运算即可．【详解】由B中不等式解得：﹣1＜x＜2，即B＝{x|﹣1＜x＜2}，∵A＝{﹣1，0，1，2}，∴A∩B＝{0，1}，故选：D．【点睛】此题考查了集合的交集运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键，属于基础题.2.在复平面内，复数对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】C【解析】【分析】由复数的运算法则和在复平面内的对应点的坐标即可得出．【详解】在复平面内，复数＝，对应的点（-1，﹣1）位于第三象限．故选：C．【点睛】本题考查了复数的运算法则和复数与复平面内对应点之间的关系，属于基础题．3.某商家今年上半年各月的人均销售额(单位：千元)与利润率统计表如下：根据表中数据，下列说法正确的是A. 利润率与人均销售额成正比例函数关系B. 利润率与人均销售额成反比例函数关系C. 利润率与人均销售额成正相关关系D. 利润率与人均销售额成负相关关系【答案】C【解析】【分析】由表格中的数据和线性相关关系的定义即可得到.【详解】由表格中的数据显示，随着人均销售额的增加，利润率也随之增加，由变量之间的关系可得人均销售额和利润率成正相关关系.故选：C.【点睛】本题主要考查变量间的相关关系的定义，考查学生对基础知识的掌握，属于基础题.4.在平面直角坐标系中，角的终边与单位圆交点的横坐标为，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由任意角的三角函数的定义求得，由二倍角公式可得.【详解】由角的终边与单位圆交点的横坐标为，则，所以 .故答案为：.【点睛】本题考查了任意角的三角函数的定义和二倍角公式，属于基础题.5.下面是当，2，3，4，5，6时展开式的二项式系数表示形式…………1 1…………1 2 1…………1 3 3 1…………1 4 4 1…………1 5 10 5 1…………1 6 15 20 15 6 1借助上面的表示形式，判断与的值分别是（）A. 5，9B. 5，10C. 6，10D. 6，9【答案】C【解析】【分析】根据展开式的二项式系数的规律确定出所求的系数即可.【详解】由的展开式的二项式系数的规律=，=.所以与=10.故选：C.【点睛】本题考查了二项式定理展开式的二项式系数的规律，属于基础题.6.将函数的图象向右平移个单位长度，则所得图象的对称轴可以为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得对应的解析式，再利用正弦函数的对称轴求解即可.【详解】将函数y＝sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，得到y＝sin（2x﹣+）＝sin2x的图象，令2x=，，所以x=. 当k=0，x=. 所以y=sin2x对称轴可以为 .故选：B．【点睛】本题主要考查函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的对称轴，属于基础题．7.已知，为椭圆的左，右焦点，为的短轴的一个端点，直线与的另一个交点为，若为等腰三角形，则（）A. B. C. D. 3【答案】A【解析】【分析】设|AF1|＝t（t＞0），由已知条件得出|AB|＝|AF2|，结合椭圆的定义得出，可求出|AF1|和|AF2|，即可求出答案．【详解】设|AF1|＝t（t＞0），由椭圆的定义可得|AF2|＝2a﹣t，由题意可知，|AF2|＞|BF2|＝a，由于△BAF2是等腰三角形，则|AB|＝|AF2|，即a+t＝2a﹣t，所以，所以，因此故选：A．【点睛】本题考查直线与椭圆的综合问题，利用椭圆的定义是解决本题的关键，属于中档题．8.在平面四边形中，，，，，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】在Rt中,由，，得,，所以,由余弦定理得BC的长度.【详解】在平面四边形中，如图.在Rt中,，，，所以，，所以,在中,,由余弦定理得,所以BC= .故选：C.【点睛】本题考查了直角三角形的性质和余弦定理的应用，属于基础题.9.在数学历史中有很多公式都是数学家欧拉（Leonhard Euler）发现的，它们都叫做欧拉公式，分散在各个数学分支之中.任意一个凸多面体的顶点数、棱数、面数之间，都满足关系式，这个等式就是立体几何中的“欧拉公式”若一个凸二十面体的每个面均为三角形，则由欧拉公式可得该多面体的顶点数为（）A. 10B. 12C. 15D. 20【答案】B【解析】【分析】由题意得面数=20，F=E，再由关系式，可得V.【详解】因为一个凸二十面体的每个面均为三角形，所以面数=20，顶点数、棱数的关系为F=E，由任意一个凸多面体的顶点数、棱数、面数之间，都满足关系式，所以V-f+20=2,得V=12.故选：B.【点睛】本题考查了利用欧拉公式求顶点数的应用，属于基础题.10.现分配3名师范大学生参加教学实习，有4所学校可供选择，每名学生随机选择一所学校，则恰有2名学生选择同一所学校的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出3名师范大学生有4所学校可供选择的个数，再求出恰有2名学生选择同一所学校的个数,由古典概型的计算可得.【详解】分配3名师范大学生参加教学实习，有4所学校可供选择，每名学生随机选择一所学校，满足情况的个数为，恰有2名学生选择同一所学校的个数，由古典概型的定义公式，计算得P= .故选：A.【点睛】本题考查了组合的运用，由分步计数原理来计算其不同的选择方法，由古典概型的公式计算概率，属于基础题.11.设函数的极值点的最大值为，若，则整数的值为（）A. -2B. -1C. 0D. 1【答案】C【解析】【分析】先对f（x）求导，得，令再求导得单调性，进而求出f（x）极值点的最大值的范围.【详解】函数，求导得=0的根，设，得，=0的根，所以当x<-2时，<0, 当x>-2时，>0, 所以在递减，在递增.所以在x=-2处取得最小值，所以,时，，且，所以在上递减，在上递增.，.所以（-2,-1）使得；（0,1）使得，所以在上递减，在上递增，在上递减.所以x=为极大值点，x=为极小值点.的极值点的最大值为，若，所以，整数n=0.故选：C.【点睛】本题考查了函数的极值点的取值范围，利用导数判断函数的单调性和极值点的范围，属于中档题.12.已知三棱锥中，底面为等边三角形，，，点为的中点，点为的中点.若点、是空间中的两动点，且，，则（）A. 3B. 4C. 6D. 8【答案】B【解析】【分析】建立直角坐标系，写出B,E,F的坐标，设M(x,y,z)的坐标，由，得出M的轨迹，同理得出N的轨迹，由向量的数量积得出即可.【详解】建立直角坐标系如图所示，，底面为等边三角形，且.所以OD=2,AO=.B(-，-1，0)，D(0,2,0),C(，-1，0),点为的中点，所以E（，，0）点为的中点，F（-，-，0），设M（x,y,z）,，所以，所以点M在以（0,0,0）为球心，以1为半径的球上，同理N也在这个球上，且，所以MN为球的直径，=.故选：B.【点睛】本题考查了空间向量解决点的轨迹问题，球的几何性质和数量积的运算，属于中档题.二、填空题：本題共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量，，若，则______.【答案】2【解析】【分析】由得=0，计算可得t的值.【详解】已知向量，，所以= .，得==3+9-6t=0，所以t=2.故答案为：2.【点睛】本题考查了向量的减法和数量积的运算，属于基础题.14.设，，，若是的充分不必要条件，则的值可以是______.（只需填写一个满足条件的即可）【答案】（的任意数均可）【解析】【分析】由得q：0<x<1，由是的充分不必要条件，得0<m<1即可.【详解】由得0<x<1,所以q：0<x<1，又，，若是的充分不必要条件，则，所以0<m<1,满足题意的m=（的任意数均可）.故答案为：（的任意数均可）【点睛】本题考查了不等式的计算和充分不必要条件的应用，属于基础题.15.已知点在双曲线的渐近线上，为的右焦点，为原点，若，则的方程为______.【答案】【解析】【分析】由在双曲线的渐近线上，得=，Rt中，得出OF=c=4，进而得出的方程.【详解】因为双曲线的渐近线方程为y=，在渐近线上，所以=，为的右焦点，为原点，若，在Rt中.OP=,,所以OF=c=4，a=2，b=2，所以的方程为 .故答案为：.【点睛】本题考查了双曲线标准方程的求法，也考查了渐近线方程的应用，属于基础题.16.如图，在矩形与扇形拼接而成的平面图形中，，，.点在上，在上，，设，则当平面区域（阴影部份）的面积取到最大值时，______.【答案】【解析】【分析】在Rt中，，则AF=3tanx，列出面积=15-，对其求导得最值时的值.【详解】在Rt，，则AF=3tanx .，y===15- . .=的根，因为.，所以cosx，使得 .所以y=在时取得最大值.故答案为: .【点睛】本题考查了由三角函数解决实际问题的最值问题，列出面积的方程是关键，属于中档题.三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知数列是等比数列，公比，前项和为，若，.（1）求的通项公式；（2）设，若恒成立，求的最小值.【答案】（1）；（2）8.【解析】【分析】（1），，得，，即可得；（2）由（1）可知：，所以单调递增，所以当时，，即可得m的最小值.【详解】（1）由，得解得，或，（舍）.所以.（2）由（1）可知：.因为，所以单调递增.所以，恒成立时，又因为，故的最小值为8.【点睛】本题考查了求等比数列的通项公式和前n项和的最值问题，因为，所以单调递增是关键，属于中档题.18.“中国大能手”是央视推出的一档大型职业技能挑战赛类节目，旨在通过该节目，在全社会传播和弘扬“劳动光荣、技能宝贵、创造伟大”的时代风尚.某公司准备派出选手代表公司参加“中国大能手”职业技能挑战赛.经过层层选拔，最后集中在甲、乙两位选手在一项关键技能的区分上，选手完成该项挑战的时间越少越好.已知这两位选手在15次挑战训练中，完成该项关键技能挑战所用的时间（单位：秒）及挑战失败（用“×”表示）的情况如下表1：据上表中的数据，应用统计软件得下表2：（1）根据上述回归方程，预测甲、乙分别在下一次完成该项关键技能挑战所用的时间；（2）若该公司只有一个参赛名额，根据以上信息，判断哪位选手代表公司参加职业技能挑战赛更合适？请说明你的理由.【答案】（1）甲用时73.84秒，乙用时72.57秒；（2）选手乙，见解析.【解析】【分析】（1）把时分别代入和中，即可求出；（2）由，由于，说明甲、乙用时都在逐步减少，乙的方差大，说明乙进步更大，【详解】（1）当时，（秒）（秒）（2）甲、乙两位选手完成关键技能挑战成功的次数都为10次，失败次数都为5次，所以，只需要比较他们完成关键技能挑战成功的情况即可，根据所给信息，结合（1）中预测结果，综合分析，选手乙代表公司参加技能挑战赛更合适，理由如下：因为在相同次数的挑战练习中，两位选手在关键技能挑战的完成次数和失败次数都分别相同，,乙选手用时更短；由于，虽然甲选手的发挥更稳定，但稳定在较大的平均数上，随着训练次数增加，甲、乙用时都在逐步减少，乙的方差大，说明乙进步更大；从（1）的计算结果进一步说明，选手乙代表公司参加技能挑战赛更合适.【点睛】本题考查了线性回归方程的运用，也考查了平均数与方差的意义，属于基础题.19.过点的直线与抛物线交于，两点，是的焦点，（1）若线段中点的横坐标为3，求的值；（2）求的取值范围.【答案】（1）8 ；（2）.【解析】【分析】（1）设，，则，根据抛物线的定义可得|AF|+|BF|.（2）由抛物线的定义可知||AF|•|BF|＝＝m2y1y2，再根据韦达定理和判别式即可求出．【详解】（1）设，，则，由抛物线的定义知.（2）设，，直线的方程为.由得即，.由，得.由抛物线的定义知，.则.因为，所以.故的取值范围是.【点睛】本题考查了直线和抛物线的位置关系和抛物线定义的应用，考查了运算能力和转化能力，属于中档题.20.如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面，，，是棱上的一点.（1）若平面，证明：；（2）在（1）的条件下，棱上是否存在点，使直线与平面所成角的大小为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）见解析；（2）在棱上存在点使直线与平面所成角的大小为，此时. 【解析】【分析】（1）连接交于，连接由平面的性质定理得是的中点，即可得出；（2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，由直线与平面所成角的向量法，得出的值.【详解】（1）连接交于，连接，则是平面与平面的交线.因为平面，平面，所以.又因为是中点，所以是的中点.所以.（2）由已知条件可知，所以，以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系.则，，，，，，，.假设在棱上存在点，设，得，.记平面的法向量为，则即取，则，所以.要使直线与平面所成角的大小为，则，即，解得.所以在棱上存在点使直线与平面所成角的大小为.此时.【点睛】本题考查了线与面平行的性质定理的应用，也考查了向量法解决线与面所成角的问题，属于中档题.21.已知函数，.（1）讨论的单调性；（2）若函数存在两个零点，，使，求的最大值.【答案】（1）当时，在单调递增；当时，在单调递增，在单调递减；（2）2.【解析】【分析】（1）对函数求导，由x>0,进而对和分别讨论，得出的单调性.（2）函数有两个零点，，得，代入，令，则，设，求导得在上的最值即可.【详解】（1）函数的定义域为，.当时，，在单调递增；当时，令，得，当时，；当时，.所以在单调递增，在单调递减.综上所述，当时，在单调递增；当时，在单调递增，在单调递减.（2）因为，，即，.两式相减得，即.由已知，得.因为，，所以，即.不妨设，则有.令，则，所以，即恒成立.设..令，，的图象开口向上，对称轴方程为，方程的判别式.当时，在单调递增，，所以,在单调递增，所以在恒成立.当时，，在上恒成立，所以，在单调递增，所以在恒成立.当时，在单调递减，因为，，所以存在，使得当时，，；当时，，，所以在上递增，在上递减.当时，都有，所以在不恒成立.综上所述，的取值范围是，所以的最大值为2.【点睛】本题考查了函数的单调性的判断和换元构造新函数求其最值的问题，求导后讨论函数的单调性是本题的关键，属于中档题.22.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.（1）求的极坐标方程；（2）若曲线的极坐标方程为，直线与在第一象限的交点为，与的交点为（异于原点），求.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换．（2）由极径的应用求出结果．【详解】（1）曲线C1的参数方程为（t为参数）．转换为直角坐标方程为：，转换为极坐标方程为：ρ2+8ρ2sin2θ﹣9＝0．（2）因为，两点在直线上，可设，.把点的极坐标代入的方程得：，解得.由己知点在第一象限，所以.因为异于原点，所以把点的极坐标代入的方程得：，解得.所以，.【点睛】本题考查了参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，极径的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题．。