探索规律

探索规律

一、知识概述

1、数与式变化规律

通常根据给定一列数字、代数式、等式或者不等式，然后写出其中蕴含的一般规律，一般解法是先写出数式的基本结构，然后通过比较各式子中相同的部分和不同的部分，找出各部分的特征，改写成要求的规律的形式．

2、图表中的规律

图形变化也是经常出现的．作这种数学规律的题目，都会涉及到一个或者几个变化的量．所谓找规律，多数情况下，是指变化量的变化规律．所以，抓住了变化量，就等于抓住了解决问题的关键．

3、循环排列规律

循环排列规律是运动着的规律，我们只要根据题目的已知部分分析出图案或数据每隔几个图案就会循环出现，看看最后所求的与循环的第几个一致即可．

4、图形生长变化规律

从一些基本图形开始,按照生长的规律,变化出一系列有趣而美丽的图形.因此也引起了应试人的兴趣,努力揭示内在的奥秘,从而使问题规律清晰,易于找出它的一般性结论.

5、与坐标有关规律

这类问题把点的坐标与数字规律有机的联系在一起，加大了找规律的难度，点的坐标不仅要考虑数值的大小，还要考虑不同象限的坐标的符号．最后用n

把第n个点的坐标表示出来．

6、数列求和问题

7、探索规律的方法

（1）依据数列找寻规律

（2）利用计算器找寻规律

（3）依据算式找寻规律

(4)利用“数形结合”思想方法找寻规律

(5)依据图表找寻规律

(6)通过实验、操作找寻规律

二、典型例题讲解

例1、观察下列有规律的数：，，，，（），，……

根据此规律写出（1）第5个数是_________，（2）第n个数是_________．解析：

观察数列，组成数列的每一个数都是分数，分子依次是1，2，3，4，……而每个分数的分母比分子的平方大1，因此第5个数的分子是5、分母是26，所以第5

个数是；第n个数的分子是n，分母是，所以第n个数是．

例2、用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖按下图方式铺地板，则第（3）个图形中有黑色瓷砖__________块，第n个图形中需要黑色瓷砖__________块（用含n的代数式表示）.

解析：

在这三个图形中，前边4块黑瓷砖不变，变化的是后面的黑瓷砖．它们的数量分别是，第一个图形中多出0×3块黑瓷砖，第二个图形中多出1×3块黑瓷砖，第三个图形中多出2×3块黑瓷砖，依次类推，第n个图形中多出（n－1）×3块黑瓷砖．所以，第n个图形中一共有4＋（n－1）×3块黑瓷砖．也即（3n＋1）块.

例3、观察下列球的排列规律(其中●是实心球，○是空心球)：

●○○●●○○○○○●○○●●○○○○○●○○●●○○○○○●……

从第1个球起到第2004个球止，共有实心球多少个？

分析：

这些球，从左到右，按照固定的顺序排列，每隔10个球循环一次，循环节是●○○●●○○○○○．每个循环节里有3个实心球．我们只要知道 2004包含有多少个循环节，就容易计算出实心球的个数．因为2004÷10＝200（余4）．所以，2004个球里有200个循环节，还余4个球．200个循环节里有200×3＝600个实心球，剩下的4个球里有2个实心球．所以，一共有602个实心球．

例4、已知一列数：1，－2，3，－4，5，－6，7，…将这列数排成下列形式：中间用虚线围的一列数，从上至下依次为1，5，13，25…，按照上述规律排下去，那么虚线框中的第7个数是_________．

分析：

第n行有n个数，到第n行共有1＋2＋3＋…＋n＝，且奇数为正，

偶数为负；中间用虚线围的一列数只出现在奇数行中，均为奇数，且每个数比它的前一个大4，这一列的第m个数是排列中的第（2m－1）行，且处于这一行的第m个数．

解：

虚线框中的第7个数位于第2×7－1＝13行中第7个数，

∵前12行共有个数，

虚线框中的第7个数是第13行中的第7个数，

∴ 78＋7＝85．

∴第7个数是85．

或：这列数依次相差4，8，12，16……故第7个数为

1＋4×1＋4×2＋4×3＋4×4＋4×5＋4×6

＝1＋4×（1＋2＋3＋4＋5＋6）

＝1＋4×

＝85．

例5、如图，有一个六边形点阵，它的中心是一个点，算作第一层；第二层每边有两个点(相邻两边公用一个点)，第三层每边有三个点，…，这个六边形点阵共有n层，试问第n层有多少个点？这个点阵共有多少个点？

解析：

我们来观察点阵中各层点数的规律，然后归纳出点阵共有的点数．

第一层有点数：1；

第二层有点数：1×6；

第三层有点数：2×6；

第四层有点数：3×6；

……

第n层有点数：(n－1)×6.

因此，这个点阵的第n层有点(n－1)×6个．n层共有点数为

例6、阅读下列材料：

1×2＝(1×2×3－0×1×2)，

2×3＝(2×3×4－1×2×3)，

3×4＝(3×4×5－2×3×4)，

由以上三个等式相加，可得

1×2＋2×3＋3×4＝×3×4×5 ＝20．

读完以上材料，请你计算下列各题：

（1）1×2＋2×3＋3×4＋…＋10×11（写出过程）；

（2）1×2＋2×3＋3×4＋…＋n×(n＋1) ＝ ______________；

（3）1×2×3＋2×3×4＋3×4×5＋…＋7×8×9 ＝ ______________．分析：

仔细阅读提供的材料，可以发现求连续两个正整数积的和可以转化为裂项相消法进行简化计算，从而得到公式

；照此方法，同样有公式：