ACM培训——图论(一)

设x[i]等于1或0, 表示边e[i]是否属于生成树. 则比率 r = ∑(benifit[i] * x[i]) / ∑(cost[i] * x[i]), 0≤i<m . 令： z = ∑(benifit[i] * x[i]) - l * ∑(cost[i] * x[i]) 两个性质: 1. z单调递减 证明: 因为cost为正数, 所以z随l的减小而增大. 2. z( max(r) ) = 0 证明: 若z( max(r) ) < 0, ∑(benifit[i] * x[i]) - max(r) * ∑(cost[i] * x[i]) < 0, 可化为 max(r) < max(r). 矛盾; 若z( max(r) ) >= 0, 根据性质1, 当z = 0 时r最大.
Prim算法
• 贪心准则
– 加入后仍形成树，且耗费最小 – 始终保持树的结构——Kruskal算法是森林
• 算法过程
– 从单一顶点的树T开始 – 不断加入耗费最小的边(u, v)，使T∪{(u, v)}仍 为树 ——u、v中有一个已经在T中，另一个 不在T中
Prim 算法过程
8 4 a 8 h 1 g 2 f b 2 i 7 6 10 c 7
一、图的BFS遍历
算法步骤： 1、用dis[]数组表示各点距离起点S的距离。dis[i]=-1表示i点还 未被访问。用map[i][j]表示i点和j点之间是否有边。 2、将dis[s]初始化为0，将其它点的dis初始化为-1。将S点入队 3、while（队列非空） { 从队首出队一个元素u { 对于所有跟u有边相连的点v: if(dis[v]==-1) { dis[v]=dis[u]+1; v入队 } } }
int findp (int x) { return p[x]==-1?x:p[x]=findp(p[x]); } bool reunion (int x, int y) { int px=findp(x); int py=findp(y); if(px==py) { return false; } p[px]=py; return true; }
根的度数不超过K的最小生成树。 解法：迭代
有带权图G, 对于图中每条边e[i], 都有benifit[i](收入)和 cost[i](花费), 我们要求的是一棵生成树T, 它使 得 ∑(benifit[i]) / ∑(cost[i]), i∈T 最大(或最小). 解法：二分 or 迭代
最优比率生成树解法： 0-1分数规划
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min {d23,d25,d75,d78}=min {2+6,2+5,3+3,3+8}=min {8,7,6,11}=6
X={1,2,4,5,6,7}, p5=6
X={1,2,4,6,7}
p1=0 p2=2 2 1 p4=1 4 5 6 p6=3 4 2 7 10 6 5 p5=6 5 3 8 4 8 9 p3=8
演示：
求从1到8的最短路径
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1 2 10 4 5 6 4 2 7 6 5 9 5 3 8 4 8
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X={1}
p1=0 2 1 p4=1 4 5 6 4 2 7 10 6 5 9 5 3 8 4 8
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min {d12,d14,d16}=min {0+2,0+1,0+3}=min {2,1,3}=1 X={1,4}, p4=1
1
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3
3
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6
p7=3
p8=10
min {d38,d58,d78}=min {8+6,6+4,3+7}=min {14,10,11}=10
X={1,2,3,4,5,6,7,8}, p8=10
X={1,2,3,4,6,7,8}
p1=0 p2=2 2 1 p4=1 4 5 6 p6=3 4 2 7 10 6 5 p5=6 5 3 8 4 8 9 p3=8
1
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3
3
7
6
p7=3
min {d23,d53,d58,d78}=min {2+6,6+9,6+4,3+8}=min {8,15,10,11}=8
X={1,2,3,4,5,6,7}, p3=8
X={1,2,3,4,6,7}
p1=0 p2=2 2 1 p4=1 4 5 6 p6=3 4 2 7 10 6 5 p5=6 5 3 8 4 8 9 p3=8
X={1,4}
p1=0 p2=2 2 1 p4=1 4 5 6 4 2 7 10 6 5 9 5 3 8 4 8
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3
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6
min {d12,d16,d42,d47}=min {0+2,0+3,1+10,1+2}=min {2,3,11,3}=2
X={1,2,4}, p2=2
X={1,2,4}
p1=0 p2=2 2 1 p4=1 4 5 6 p6=3 4 2 7 10 6 5 9 5 3 8 4 8
图论（一）
四川大学ACM/IC究对象。图论中的图是由若 干给定的点及连接两点的线所构成的图形，这种图形通常用来描述 某些事物之间的某种特定关系，用点代表事物，用连接两点的线表 示相应两个事物间具有这种关系。
个人理解：
图论是ACM/ICPC中经常出现的一类题目。 多见于中档题，当然也有神题神模型。 图论相对好入门，图的BFS/DFS遍历几乎一个没有算法基础的人也可以 掌握。 但是，当研究深入之后，实际上图论包含着许多艰深而复杂的理论。 当然，对于大多数普通的ACMer来说，我们首先要做的就是熟悉基本算 法、掌握常见模型、提高建模思维。
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p7=3
p8=10
1到8的最短路径为{1，4，7，5，8}，长度为10。
void dijkstra(int s, int t) { d[s]=0; q.push(make_pair(s,0)); while(!q.empty()) { int u=q.top().first; int temp=q.top().second; q.pop(); if(temp!=d[u]) { continue; } for(int i=head[u]; i!=-1; i=nxt[i]) { int v=to[i]; if(d[v]==-1||d[v]>d[u]+w[i]) { d[v]=d[u]+w[i]; q.push(make_pair(v,d[v])); } } }
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3
3
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6
min {d16,d23,d25,d47}=min {0+3,2+6,2+5,1+2}=min {3,8,7,3}=3 X={1,2,4,6}, p6=3
X={1,2,4,6}
p1=0 p2=2 2 1 p4=1 4 5 6 p6=3 4 2 7 10 6 5 9 5 3 8 4 8
1
这样才能在BFS时进行状态的转移
二、图的DFS遍历
算法步骤（以0-1边权图为例）：
1、从某个节点开始，每次任选一 个与它相邻的未访问节点访问下 去 2、直到当前节点的所有相邻节点 都已经被访问过。 3、回溯到第一个未被访问过的节 点
三、拓扑排序
• 概念引入： 一个工程常被分为多个小的子工程，这 些子工程被称为活动（Activity)，在有 向图中若以顶点表示活动，有向边表示 活动之间的先后关系，这样的图简称为 AOV网。在AOV网中为了更好地完成工 程，必须满足活动之间先后关系，需要 将各活动排一个先后次序即为拓扑排序。
Prim 和 Kruskal的区别
Prim和Kruskal的贪心策略是一样的， 都是选取耗费最小的边： 对于Prim，其选取的边(u,v)必有一个 顶点已经被覆盖，另一个顶点未被覆 盖。 而对于Kruskal,其选取的边(u,v)任意， 只要这个边的加入不能使被覆盖的顶 点构成回路。
生成树计数
对于有n个点的图，构造一个矩阵，使得： 若i==j，a[i][j]=dex[i]。（dex[i]为节点i的度数）。 否则，若点i和点j间有边相连，a[i][j]=-1。 若无边相连，a[i][j]=0。 然后求这个矩阵的行列式， 得到的即是这个图的生成树个数。
算法步骤
1.从有向图中选取一个没有前驱的顶 点，并输出； 2.从有向图中删去此顶点以及所有以 它为尾的边； 3.重复上述两步，直至图空。 *如果图不空，但找不到无前驱的顶 点，说明图中有环。
拓扑序列：
v6 , v1 , v4 , v3 , v2 , v5
注意：拓扑序列可能不唯一
拓扑排序的应用
• 判断一个有向图中是否有环。无环的图 所有点都能进行拓扑排序。
例题 2.1
POJ 3463: Sightseeing
题意：求最短路的种数，及比最短路长 度长1的路的总数
解法一：
dijkstra时不止要记录最短路长度，还要记录最短路 的种数，及比最短路长度少1的路的总数。每把一个 点加入集合，更新dis[v]的时候就要进行转移。当然， 如果dis[v]发生了变化。那么之前的计数要清零。 解法二：
• 求DAG图最长路
• 类似于课程安排问题的题目
最小生成树 定义
生成树：对于一个无向图，生成树是它的一个无回路的联通子图 最小生成树：各边权值和最小的生成树
有向图的最小有向生成树？ ——最小树形图Βιβλιοθήκη 8 4 a 8 h 1 g 2
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