第3讲变量间的相关关系、回归分析及独立性检验

1．两个变量的线性相关
(1)在散点图中，点散布在从左下角 到 右上角 的区域．对于两个
变量的这种相关关系，我们将它称为正相关．如果在散点图
中，点散布在从左上角 到右下角 的区域，两个变量的这种相关 关系称为负相关．
(2)线性相关关系、回归直线
如果散点图中点的分布从整体上看大致在 一条直线附近 个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线． ，就称这两
思维点拨：利用相关系数r进行线性相关检验(也可利用散点图)．如果线性相 关，再求回归直线方程并加以判断．
因为r＞0.5，所以y与x有很强的线性相关关系． (2) ＝0.728 6x－0.857 1. ≤10⇒0.728 6x－0.857 1≤10，
(3)要使
所以x≤14.901 3.
所以机器的转速应控制在14.901 3转/秒以下．
它在a，b，c，d 取不同值时，K2可能不同，而k是取定一组数a， b，c，d后的一个确定的值．
1．下列关系中，是相关关系的为(
)
①学生的学习态度与学习成绩之间的关系；
②教师的执教水平与学生的学习成绩之间的关系；
③学生的身高与学生的学习成绩之间的关系； ④家庭的经济条件与学生的学习成绩之间的关系． A．①② B．①③ C．②③ D．②④
判断两个变量正相关还是负相关，有三种方法： 1．利用散点图；
2．利用相关系数r的符号；当r＞0时，正相关；r＜0时，负相关；
3．在已知两变量线性相关时，也可以利用回归方程 ＝a＋bx是增函数，两变量是正相关， 当b＜0时， ＝a＋bx是减函数， 两变量是负相关． ＝a＋bx.当b＞0时，
【例 1】 山东鲁洁棉业公司的科研人员在 7块并排、形状大小相同的试
=1.23×10+0.08=12.3+0.08=12.38(万元)，即估计使用10
年时，维修费用是12.38万元.
所谓独立性检验，就是根据采集样本的数据，先利用三维柱形图和二 维条形图粗略判断两个分类变量是否有关系，再利用公式计算K2的值， 比较它与临界值的大小关系，来判断事件X与Y是否有关的问题． 【例3】 (2009· 辽宁)某企业有两个分厂生产某种零件，按规定内径尺寸 (单位：mm)的值落在[29.94,30.06)的零件为优质品．从两个分 厂生产的零件中各抽出了500件，量其内径尺寸，得结果如下表：
【思考】 相关关系与函数关系有什么异同点？ 答案：相同点：两者均是指两个变量的关系． 不同点：①函数关系是一种确定的关系，相关关系是一种非确定的关 系，事实上，函数关系是两个非随机变量的关系．而相关关系是非随 机变量与随机变量的关系．②函数关系是一种因果关系，而相关关系 不一定是因果关系，也可能是伴随关系．
细谨慎，分层进行，避免因计算而产生错误． (注意回归直线方程中一次项系
数为b，常数项为a，这与一次函数的习惯表示不同)． 2．回归分析是处理变量相关关系的一种数学方法．主要解决：①确定特定量之间 是否有相关关系，如果有就找出它们之间贴近的数学表达式；②根据一组观察 值，预测变量的取值及判断变量取值的变化趋势；③求出回归直线方程．
【易入误区】
成绩的稳定性用样本数据的方差判断，由物理成绩估计数学成绩由回归直 线方程解决．本题容易出错的就是把回归系数和回归常数弄颠倒，导致解
题错误．
【状元笔记】
回归系数与回归常数．回归直线方程 ＝bx＋a和通常的一次函数表达式
在系数上的习惯不一样，这里的系数
叫做回归系数，求回归直线方程时首先求这个系数，然后由
所以有99%的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”．
变式3：在对人们休闲方式的一次调查中，共调查了124人，其中女性70 人，男性54人．女性中有43人主要的休闲方式是看电视，另外27人 的休闲方式是运动；男性中有21人主要的休闲方式是看电视，另外 33人主要的休闲方式是运动． (1)根据以上数据建立一个2×2列联表； (2)画出二维条形图； (3)检验休闲方式是否与性别有关，可靠性有多大．
对具有相关关系的两个变量进行统计分析时，首先要作出散点图，然后 进行相关性检验，在确认具有线性相关关系后，再求其回归直线． 【例2】 一台机器使用时间较长，但还可以使用．它按不同的转速生产 出来的某机械零件有一些会有缺点，每小时生产有缺点零件的 多少，随机器运转的速度而变化，下表为抽样试验结果：
(1)对变量y与x进行相关性检验； (2)如果y与x有线性相关关系，求回归直线方程； (3)若实际生产中，允许每小时的产品中有缺点的零件最多为10个，那么， 机器的运转速度应控制在什么范围内？
第3讲
变量间的相关关系、回归分析及独立性检验
【考纲下载】
1. 会作两个相关变量的数据的散点图，会利用散点图认识变量的相关关系． 2．了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程．
3．了解独立性检验(只要求2×2列联表)的基本思想、方法及其简单应用．
4．了解假设检验的基本思想、方法及其简单应用.
解：(1)2×2列联表如图：
(2)二维条形图如图：
(3)假设休闲方式与性别无关，则 K2＝ ≈6.201＞5.024，所以有理
由认为休闲方式与性别无关是不合理的，即我们有97.5%的把握认为 休闲方式与性别有关.
【方法规律】
1．求回归方程，关键在于正确求出系数a，b，由于a，b的计算量大，计算时应仔
解析：①学生的学习态度与学习成绩之间不是因果关系， 是相关关系．②教师的执教水平与学生的学习成绩之间的 关系是关关系．③④都不具备相关关系． 答案：A
2 ． (2009· 宁夏、海南 ) 对变量 x ， y 有观测数据 (xi ， yi)(i ＝ 1,2 ，…， 10) ，得
散 点图(1)；对变量u、v有观测数据(ui，vi)(i＝1,2，…，10)，得散点图 (2)．由这两个散点图可以判断( )
计算
出的a叫做回归常数．在求回归直线方程时注意不要把这两个系数弄颠倒了.
2．回归方程 (1)最小二乘法
求回归直线使得样本数据的点到回归直线的
方法叫做最小二乘法． (2)回归方程 方程
距离的平方和最小 的
＝bx＋a是两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x1，y1)，
(x2，y2)，…，(xn，yn)的回归方程，其中a，b是待定参数．
(3)相关系数
①r＝
②当r＞0时，表明两个变量 正相关 ； 当r＜0时，表明两个变量 负相关 ． r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性 越强 ．r的绝对值越接近于0 时，表明两个变量之间 几乎不存在线性相关关系 ．通常|r|大于 0.75 时，认为
验田上对某棉花新品种进行施化肥量 x对产量y影响的试验，得到如 下表所示的一组数据(单位：kg).
(1)画出散点图；
(2)判断是否具有相关关系
思维点拨：用施化肥量x作为横轴，产量y为纵轴可作出散点图，由散 点图即可分析是否具有线性相关关系． 解：(1)散点图如右图所示，
(2)由散点图知，各组数据对应点大致都在一条直线 附近，所以施化肥量x与产量y具有线性相关关系.
(1)试分别估计两个分厂生产的零件的优质品率； (2)由以上统计数据填下面2×2列联表，并问是否有99%的把握认为 “两个分厂生产的零件的质量有差异”.
解：(1)甲厂抽查的产品中有360件优质品，从而甲厂生产的零件的优质品
率估计为 ＝72%；
乙厂抽查的产品中有320件优质品，从而乙厂生产的零件的优质品率估计 为 (2) ＝64%.
3．独立性检验是一种假设检验，在对总体的估计中，通过抽取样本，构造合适的
随机变量，对假设的正确性进行判断.
【规范解答】
从而
，所以物理成绩更稳定．
(2)由于x与y之间具有线性相关关系，根据回归系数公式得到 b＝ ＝0.5，a＝100－0.5×100＝50， ＝0.5x＋50.当y＝115时，x＝130.
构造一个随机变量K2＝ 其中n＝ a＋b＋c＋d 为样本容量．
，
(3)独立性检验
利用随机变量 K2 来确定是否能以一定把握认为“两个分类变量 有关系 ”
的方法称为两个分类变量的独立性检验． 【思考】 在独立性检验中经常由K2得到观测值k，则k＝ 答案：K2与k的关系并不是k＝ 吗？
，k是K2的观测值，或者说K2是一个随机变量，
中，
回归系数
(
)
B．小于0 D．只能等于0 能大于0，
A．可能小于0 C．能等于0
解析： ＝0时，得r＝0，这时不具有线性相关关系，但 也能小于0.
答案：A
4．在一项打鼾与患心脏病的调查中，共调查了1 671人，经过计算 K2＝27.63，根据这一数据分析，我们有理由认为打鼾与患心脏病是 ________的(有关，无关)． 解析：∵K2＝27.63＞6.635， ∴有99%的把握认为“打鼾与患心脏病有关”． 答案：有关
两个变量有很强的线性相关性．
3．独立性检验 (1)分类变量：变量的不同“值”表示个体所属的 不同类别 ，像这类变量
称为分类变量．
(2)列联表：列出两个分类变量的 频数表 ，称为列联表．假设有两个分类 变量X和Y，它们的可能取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联 表(称为2×2列联表)为 2×2列联表
∴线性回归方程为
建议：进一步加强对数学的学习，提高数学成绩的稳定性，将有助于 物理成绩的进一步提高．
为了分析某个高三学生的学习状态，对其下一阶段的学习提供指导性建议．现对 他前7次考试的数学成绩x、物理成绩y进行分析．下面是该生7次考试的成绩．
(1)他的数学成绩与物理成绩哪个更稳定？请给出你的证明； (2)已知该生的物理成绩y与数学成绩x是线性相关的，若该生的物理成绩达到 115 分，请你估计他的数学成绩大约是多少？并请你根据物理成绩与数学成绩的相 关性，给出该生在学习数学、物理上的合理建议．
变式2：假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用y(万元)， 有如下的统计资料：
(1)y与x间是否有线性相关关系？若有，求出线性回归方程； (2)估计使用年限为10年时的维修费用．
解：(1)作散点图，如右图
由散点图可知，y与x呈线性相关关系，
1.23
所以回归直线方程为 (2)当x=10时，
Hale Waihona Puke =1.23x+0.08.
A．变量x与y正相关，u与v正相关
B．变量x与y正相关，u与v负相关 C．变量x与y负相关，u与v正相关 D．变量x与y负相关，u与v负相关 解析：由图1可知，各点整体呈递减趋势，x与y负相关，由图2可知， 各点整体呈递增趋势，u与v正相关． 答案：C
3．对有线性相关关系的两个变量建立的回归直线方程