平行线的性质和判定及其综合运用

. 22
A
F1 F2 Fn
B E1
E2
Em
几何画板：探究平行线中动点问题.gsp
C
D
当左边有n个角，右边有m个角时： ∠A+∠F1 + ∠ F2 +…+ ∠Fn= ∠E1 +∠E2 +…+ ∠Em+ ∠D
. 16
当堂练习
1.填空：如图,
(1)∠1=∠2 时，AB∥CD. (2)∠3= ∠5或∠4时，AD∥BC.
2 F
(平行于同一条直线的两条直线平行).
∴ ∠3= ∠E(两直线平行，同位角相等).
. 20
5.如图,EF∥AD，∠1=∠2，∠BAC=70 °，求∠AGD
的度数.
C
解：∵EF∥AD, (已知）
∴∠2=∠3.（两直线平行，同位角相等） D 1 G
F
又∵∠1=∠2, (已知） ∴∠1=∠3.（等量代换）
解：作∠PCE =∠APC,交AB于E.
∴ AP∥CE ∴ ∠AEC=∠A，∠P=∠PCE.
∴ ∠A+∠P=∠PCE+∠AEC,
A
∵AB∥CD ∴ ∠ECD=∠AEC,
∴∠A+∠P =∠PCE+∠ECD=∠PCD. C
P EB
D
. 9
还可以怎样作辅助线？
例2：如图，AB∥CD，猜想∠BAP、∠APC 、∠PCD 的数量关系，并说明理由.
例1：如图，三角形ABC中，D是AB上一点，E是AC上
一点，∠ADE=60°，∠B = 60°，∠AED=40°.
（1）DE和BC平行吗？为什么？
（2）∠C是多少度？为什么？
D
A E
解:（1） DE∥BC.理由如下：
∵ ∠ADE=60°，∠B = 60°
B
C
∴ ∠ADE=∠B
∴ DE∥BC
(同位角相等，两直线平行 ).
变式3：如图,若AB∥CD, 则：
A
BA
E
F
BA
E
F1
C
DC
DC
当左边有两个角，右边有一个角时： ∠A+∠C= ∠E
B E1
E2 D
当左边有两个角，右边有两个角时： ∠A+∠F= ∠E +∠D
. 15
当左边有三个角，右边有两个角时:∠A+∠ F1 +∠C = ∠ E1 +∠ E2
若左边有n个角，右边有m个角；你能找到规律吗？
第五章 相交线与平行线
5.3 平行线的性质
5.3.1 平行线的性质
第2课时 平行线的性质和判定及其综合运用
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
. 1
学习目标
1.进一步熟悉平行线的判定方法和性质； 2.运用平行线的性质和判定进行简单的推理和计算； （重点、难点）
. 2
导入新课
回顾与思考 1.平行线的判定
同位角 内错角
∵∠1=∠2 ∠3=∠2
同旁内角
∵∠2+∠4=180°
. 3
c
1a 34
2 b
2.平行线的其它判定方法
方法4：如图1，若a∥b，b∥c，则a∥c.
（平行于同一条直线的两条直线平行）
方法5：如图2，若a⊥b，a⊥c,则b∥c.
（ 垂直于同一条直线的两条直线平行 ）
a b
c 图1
b
c
a 图2
A
∴∠B=∠BEF．
∵AB//CD．
∴EF//CD．
C
∴∠D =∠DEF．
∴∠B＋∠D＝∠BEF＋∠DEF
＝∠DEB．
即∠B＋∠D＝∠DEB．
B
E
F
D
. 11
变式1：
如图，AB//CD，探索∠B、∠D与∠DEB的大小关系 .
解：过点E 作EF//AB．
∴∠B+∠BEF＝180°．
A
∵AB//CD．
. 6
如图，三角形ABC中，D是AB上一点，E是AC上一点，
∠ADE=60°，∠B = 60°，∠AED=40°.
（2）∠C是多少度？为什么？
A
解：∠C =40°.理由如下：
由（1）得DE∥BC,
D
E
∴ ∠C=∠AED
B
C
(两直线平行，同位角相等）
又∵∠AED=40°
∴ ∠C=∠AED =40°.
∴∠AEC=∠1+∠2= 80 °+ 70° = 1°5.0
. 19
4.已知AB⊥BF，CD⊥BF，∠1= ∠2，试说明
∠3=∠E.
解：∵∠1=∠2(已知），
A
∴AB∥EF
（内错角相等，两直线平行）. C
3
1
B D
∵AB⊥BF，CD⊥BF，
∴AB∥CD
E
(垂直于同一条直线的两条直线平行).
∴EF∥CD
解法2：作∠APE =∠BAP. ∴ EP∥AB，∵AB∥CD ∴ EP∥CD，∴∠EPC=∠PCD ∴ ∠APE+∠APC= ∠PCD 即∠BAP+∠APC =∠PCD.
E P
A
B
C
D
. 10
例3：如图，若AB//CD，你能确定∠B、∠D与 ∠BED 的大小关系吗？说说你的看法．
解：过点E 作EF//AB．
B
2
3
E
A
∴DG∥AB（. 内错角相等，两直线平行）
∴∠BAC+∠AGD=180°.
（两直线平行，同旁内角互补）
. 21
∴∠AGD=180°-∠BAC=180°-70°=110°.
课堂小结
平行线的“判定”与“性质”有什么不同:
判定：已知角的关系得平行的关系． 推平行，用判定． 性质：已知平行的关系得角的关系． 知平行，用性质．
当有两个拐点时： ∠A+∠ E1 + ∠ E2 +∠C = 540°
当有三个拐点时： ∠A+∠ E1 + ∠ E2 +∠ E3 +∠C = 720°
若有n个拐点，你能找到规律吗
. 14
A
B
E1
E2 …
En
C
பைடு நூலகம்
D
当有n个拐点时： ∠A+∠ E1 + ∠ E2 +…+∠ En +∠C = 180° （n+1）
∠AEC的度数. 请补全下列解答过程 A
B
1
解：过点E作EF//AB.
E2
F
∵AB//CD（已知）,
C
D
∴ CD // EF (平行于同一直线的两直线平行）.
∴∠A+∠ 1=180o，∠C+∠2 =180o(两直线平行，同旁 内角互补）.
又∵∠A=100°，∠C=110°（已知）,
∴∠ 1 = 80 °, ∠ 2 = 70 °.
F
∴EF//CD．
∴∠D +∠DEF＝180°．
C
∴∠B＋∠D+∠DEB
＝∠B＋∠D+∠BEF＋∠DEF
＝360°．
即∠B＋∠D＋∠DEB＝360°．
B
E D
. 12
变式2：如图,AB∥CD,则 :
. 13
A
B
A
B
A
B
E1
E
E1
E2
E2
E3
C
D
C
D
C
D
当有一个拐点时： ∠A+∠E+∠C= 360°
. 7
已知：AB∥CD，∠1 = ∠2.试说明:
. 8
练一练
证明： ∵AB ∥ CD
∴∠ABC=∠BCD （两直线平行，内错角相等）
∵∠1=∠2 ∴∠ABC -∠1=∠BCD- ∠2 即∠3=∠4
∴ BE∥CF
（内错角相等，两直线平行）
例2：如图，AB∥CD，猜想∠A、∠P 、∠PCD的数 量关系，并说明理由.
A 1 B
D4 F
5
2
3
C
E
. 17
2.直线a,b与直线c相交，给出下列条件：
①∠1= ∠2;
②∠3= ∠6;
③∠4+∠7=180o; ④∠3+ ∠5=180°， c
其中能判断a//b的是( B )
A. ①②③④ B .①③④
16 54
a
C. ①③ D. ④
27
b
83
. 18
3. 有这样一道题：如图，AB//CD,∠A=100°, ∠C=110°,求
. 4
3.平行线的性质
同a 位 角b
图形 1
2 c
内 错
a3
2
角b
c
同 旁
a
内 角
b
42 c
. 5
已知 a//b
结果
依据
两直线平行 ∠1=∠2 同位角相等
两直线平行 a//b ∠3=∠2 内错角相等
a//b ∠2+∠4 两直线平行 =180 ° 同旁内角互补
讲授新课
平行线的性质和判定及其综合应用