2015届高考数学(文、理)新一轮复习考点详细分类题库：考点40 椭圆(含详解,13高考题)]

温馨提示：
此题库为Word 版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，关闭Word 文档返回原板块。

考点40 椭圆
一、选择题
1. （2013·新课标全国Ⅱ高考文科·Ｔ5）设椭圆22
22:1x y C a b
+=(0)a b >>的左、
右焦点分别为12,F F ，P 是C 上的点，212PF F F ⊥，1230PF F ∠=，则C 的离心率为（ ）
A.
13 C.12 D.
【解题指南】利用已知条件解直角三角形，将12,PF PF 用半焦距c 表示出来，然后借助椭圆的定义，可得a,c 的关系，从而得离心率. 【解析】选D. 因为21212,30PF F F PF F ⊥∠=,
所以2122tan 30,PF c PF ===。

又
122PF PF a +=
=，所以c a ==
即椭圆的离心率为
D. 2.(2013·大纲版全国卷高考理科·T8)椭圆C:13
42
2=+y x 的左、右顶点分别
为1A ,2A ,点P 在C 上且直线2PA 斜率的取值范围是[]2,1--,那么直线1PA 斜率的取值范围是 ( )
A.13
24⎡⎤⎢⎥⎣⎦， B.33
84⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，
C.1
12⎡⎤⎢⎥⎣⎦， D.314⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，
【解题指南】将),(00y x P 代入到13
42
2=+y x 中,得到0x 与0y 之间的关系,利用
1PA k 2PA k ⋅为定值求解2PA k 的取值范围.
【解析】选B.设),(00y x P ，则2200143+=x y ，2002-=x y k PA ，2
001+=x y
k PA
1PA k 2
2
2
22
003334444-
?==---PA x y k x x ，故1PA k 2
143PA k -=.因为]1,2[2--∈PA k ,所以]43,83[1∈PA k 3. （2013·大纲版全国卷高考文科·Ｔ8）已知F 1（-1,0）,F 2（1,0）是椭圆C 的两个焦点,过F 2且垂直于x 轴的直线交于A,B 两点,
且=3,则C 的方
程为 ( )
A.22
12x y += B.22132
x y += C.22143x y += D.22154x y += 【解题指南】由过椭圆)0(12222>>=+b a b
y a x 的焦点且垂直x 轴的通径为a b 2
2求
解.
【解析】选 C.设椭圆得方程为)0(12222>>=+b a b y a x ，由题意知23
2=a b ，又12
2
2
=-=b a c ，解得2=a 或21-=a （舍去），而32
=b ，故椭圆得方程为13
422=+y x .
4. （2013·四川高考文科·Ｔ9）从椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>上一点P 向x 轴作
垂线，垂足恰为左焦点1F ，A 是椭圆与x 轴正半轴的交点，B 是椭圆与y 轴正半轴的交点，且//AB OP （O 是坐标原点），则该椭圆的离心率是（ ）
A.
4 B. 12
C. 2
D. 2
【解题指南】本题主要考查的是椭圆的几何性质，解题时要注意两个条件的
应用，一是1PF 与x 轴垂直，二是//AB OP
【解析】选C ，根据题意可知点P 0(,)c y ，代入椭圆的方程可得22
2
2
02b c y b a
=-，
根据//AB OP ，可知11PF BO F O OA
=
，即0y b c a =，解得0bc y a =，即22222
22b c b c b a a -=
，解得2
c e a =
=
，故选C. 5. （2013·广东高考文科·Ｔ9）已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为(1,0)F ，离心率等于2
1
，则C 的方程是（ ）
A ．14322=+y x
B ．13
42
2=+y x C ．12422=+
y x D ．13422=+y x 【解题指南】本题考查圆锥曲线中椭圆的方程与性质，用好,,,a b c e 的关系即可.
【解析】选D.设C 的方程为22
2210x y a b a b
+=>>，（），
则11
,,2,32c c e a b a =====，
C 的方程是13
42
2=+y x .
6. （2013·辽宁高考文科·Ｔ11）已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的左焦点为
F,C 与过原点的直线相交于A,B 两点,连接AF,BF. 若|AB|=10,|BF|=8,cos ∠ABF=4
5,则C 的离心率为 ( )
A.35
B.57
C.45
D.67
【解题指南】 由余弦定理解三角形，结合椭圆的几何性质（对称性）求出点到右焦点的距离，进而求得,a c
【解析】选B.在三角形ABF 中，由余弦定理得
2
2
2
2cos AF AB BF AB BF ABF =+-∠,又4
10,8,cos 5
AB BF ABF ==∠=
解得 6.AF =在三角形ABF 中，222
2221086AB BF AF ==+=+，故三角形ABF 为直角三角形.设椭圆的右焦点为F '，连接,AF BF '',根据椭圆的对称性，四边形AFBF '为矩形，
则其对角线10,FF AB '==且8BF AF '==，即焦距210,c =
又据椭圆的定义，得2AF AF a '+=，所以26814a AF AF '=+=+=.故离心率
25
.27
c c e a a =
== 二、填空题
7.(2013·江苏高考数学科·T12) 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的标准
方程为)0,0(122
22>>=+b a b
y a x ，右焦点为F ，右准线为l ，短轴的一个端点为B ，
设原点到直线BF 的距离为1d ，F 到l 的距离为2d ，若126d d =，则椭圆C 的离心率为
【解题指南】利用126d d =构建参数a,b,c 的关系式. 【解析】由原点到直线BF 的距离为1d 得1bc
d a
=
，因F 到l 的距离为2d 故2
2a d c c =-，又126d d =所以222
221a c a c e c -=⇒-=⇒-=又
b a =3
e =
【答案】
3
. 8.（2013·上海高考文科·T12）与（2013·上海高考理科·T9）相同 设AB 是椭圆Γ的长轴，点C 在Γ上，且4
π
=∠CBA .若AB=4，BC=2，则Γ的
两个焦点之间的距离为 .
【解析】 如图所示，以AB 的中点O 为坐标原点,建立如图所示的坐标系.
)
1,1(3,1,145,2,4,C AD DB CD CBA BC AB AB CD AB D ⇒===⇒︒=∠==⊥上，且在设38,34,111)11(,4222
2222
2==⇒+==+=⇒c b c b a b a C a 代入椭圆标准方程得
，把
63
4
2=
⇒c 【答案】
634.
9.(2013·福建高考文科·T15) 与（2013·福建高考理科·Ｔ14）相同
椭圆Γ: 22
221(0)+=>>x y a b a b
的左、右焦点分别为F 1,F 2,焦距为2c.若直线
y=)+x c 与椭圆Γ的一个交点M 满足∠MF 1F 2=2∠MF 2F 1,则该椭圆的离心率等于 . 【解题指南】22c
c
e a
a
==
,而2c 是焦距,2a 是定义中的|PF 1|+|PF 2|=2a,因此,如果题目出现焦点三角形(由曲线上一点连接两个焦点而成),求解离心率,一般会选用这种定义法: 1212||
||||
F F e PF PF =
+.
【解析】∠MF 1F 2是直线的倾斜角,所以∠MF 1F 2=60°,∠MF 2F 1=30°,所以△MF 2F 1是直角三角形,在Rt △MF 2F 1中,|F 2F 1|=2c,|MF 1|=c,|MF 2
|=,所
以
122212||||c c e a MF MF =
===+. 【答案】
1.
10. （2013·辽宁高考理科·Ｔ15）已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的左焦点
为F ，C 与过原点的直线相交于,A B 两点，连接,.AF BF 若
4
10,6,cos 5
AB AF ABF ==∠=
，则C 的离心率____.e = 【解题指南】由余弦定理解三角形，结合椭圆的几何性质（对称性）求出点
A 到右焦点的距离，进而求得,a c .
【解析】在三角形ABF 中，由余弦定理得2
2
2
2cos AF AB BF AB BF ABF =+-∠,又4
10,6,cos 5
AB AF ABF ==∠=
，解得8.BF =在三角形ABF 中，
2
2
2
2221086A B B F
A F ==+=+，故三角形
ABF 为直角三角形。

设椭圆的右焦点为F '，连接,AF BF '',根据椭圆的对称性，四边形AFBF '为矩形，则其对角线10,FF AB '==且8BF AF '==，即焦距210,c = 又据椭圆的定义，得2AF AF a '+=，所以26814a AF AF '=+=+=. 故离心率25.27
c
c e a a === 【答案】57
. 三、解答题
11. （2013·陕西高考文科·Ｔ20）
已知动点M (x ,y )到直线l :x =4的距离是它到点N (1,0)的距离的2倍. (1) 求动点M 的轨迹C 的方程;
(2) 过点P (0,3)的直线m 与轨迹C 交于A , B 两点. 若A 是PB 的中点, 求直线m 的斜率.
【解题指南】设出动点M 的坐标，根据已知条件列方程即可；设出直线方程与椭圆方程联立，得出k 与12x x ，的关系式，利用中点坐标即可得斜率. 【解析】(1) 点M(x,y )到直线x=4的距离是它到点N (1,0)的距离的2倍，
则13
4)1(2|4|2
22
2
=+⇒+-=-y x y x x .
所以，动点M 的轨迹为椭圆，方程为13
42
2=+y x .
(2) P(0, 3), 设11221212(x ,y ),(x ,y ),2x 0x 2y 3y A B 由题意知：
，=+=+， 椭圆),3-,0()3,0(和的上下顶点坐标分别是经检验直线m 不经过这2点，即直线m 斜率k 存在。

3:+=kx y m 方程为设直线.联立椭圆和直线方程，整理得：
2
2
1221224324,432402424)43k x x k k x x kx x k +=⋅+-=
+⇒=+++（ 23
2
924)43()24(252)(2212
221212211221±=⇒=⋅+-⇒=⋅⋅-+⇒+=+k k k x x x x x x x x x x 所以，直线m 的斜率2
3
±=k .
12. （2013·四川高考理科·Ｔ20）
已知椭圆C ：22
221,(0)x y a b a b
+=>>的两个焦点分别为12(1,0),(1,0)F F -，且椭圆C 经
过点41(,)33
P ．
（1）求椭圆C 的离心率；
（2）设过点(0,2)A 的直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点，点Q 是线段MN 上的点，且
222
211
||||||AQ AM AN =+，求点Q 的轨迹方程． 【解题指南】（1）关注椭圆的定义，利用定义求出,a c ，再求出离心率；（2）首先确定椭圆的方程，设出点Q 的坐标，结合已知222
211
||||||
AQ AM AN =+，找到点Q 的坐标满足的关系.
【解析】(1)由椭圆定义知,2a =|PF 1|+|PF 2|=(43+1)2
+(13
)2+(43−1)2
+(13
)2=22,
所以a =2,又由已知,c =1,
所以椭圆的离心率e =c a =12=2
2
.
(2)由(1)知,椭圆C 的方程为x 2
2
+y 2=1, 设点Q 的坐标为(x ,y ).
(ⅰ) 当直线l与x轴垂直时,直线l与椭圆C交于(0,1),(0,-1)两点,,此时
点Q的坐标为(0,2−35
5
).
(ⅱ) 当直线l与x轴不垂直时,设直线l的方程为y=kx+2,因为M,N在直线l 上，可设点M,N的坐标分别为
1122
（x，kx+2），（x，kx+2）则
|AM|2=(1+k2)x12, |AN|2=(1+k2)x22, 又|A Q|2=(1+k2)x2,
由
2
|AQ|2
=
1
|AM|2
+
1
|AN|2
,得
2
(1+k2)x2
=
1
(1+k2)x12
+
1
(1+k2)x22
,
即
2
x2
=
1
x12
+
1
x22
=
(x1+x2)2−2 x1x2
x12x12
, ①
将y=kx+2代入x2
2
+y2=1中,得(2k2+1)x2+8kx+6=0. ②
由∆=(8k)2−4(2k2+1)⨯6>0,得k2>3
2 .
由②可知,x1+x2=
−8k
2k2+1
,x1x2=
6
2k2+1
, 代入①并化简得x2=
2
18
10k3
-
. ③
因为点Q在直线y=kx+2上, 所以k=y−2
x
, 代入③并化简,得10(y−2)2−
3x2=18.
由③及k2>3
2
,可知0<x2<
3
2
,即x∈(−
6
2
,0)∪(0,
6
2
).
又(0,2−35
5
)满足10(y−2)2−3x2=18, 故x∈(−
6
2
,
6
2
).
由题意,Q(x,y)在椭圆C内,所以−1≤y≤1,
又由10(y−2)2=3x2+18有(y−2)2∈[9
5
,
9
4
)且−1≤y≤1,
则y∈(1
2
,2−
35
5
].所以,点Q的轨迹方程为10(y−2)2−3x2=18,其中x∈(−
6 2,
6
2
), y∈(
1
2
,2−
35
5
].
关闭Word文档返回原板块。