北师大版选修1-2：1.1.2相关系数--教学设计一、二

1.1.2相关系数
1、通过实例了解相关系数的概念和性质，感受相关性检验的作用，会计算线性相关系数r；
2、能对相关系数进行显著性检验，并解决简单的回归分析问题；
3、进一步了解回归的基本思想、方法及初步应用．
相关系数的性质及其显著性检验的基本思想、操作步骤．
1、通过实例学习体会引入相关系数的必要性，并注意准确计算线性相关系数；
2、学习中要明确两个随机变量间的线性相关系数r可用来判断两个随机变量间的线性相关程度，对于不是随机变量间的线性相关程度的判定，线性相关系数则无任何意义
一、课前准备
【阅读教材P6~ P9，思考下列问题】）
问题1：怎样判断变量之间是否具有线性相关关系？
方法：1、画散点图，2、相关系数
问题2：变量之间线性相关程度怎样刻画？
二、新课导学
※学习探究
一．问题情境
1、情境：下面是一组数据的散点图，若求出相应的线性回归方程，求出的线性回归方程可
以用作预测和估计吗？
2、思考与讨论：求得的线性回归方程是否有实际意义．
二．学生活动
对任意给定的样本数据，由计算公式都可以求出相应的线性回归方程，但求得的线性回归方程未必有实际意义．左图中的散点明显不在一条直线附近，不能进行线性拟合，求得的线性回归方程是没有实际意义的；右图中的散点基本上在一条直线附近，我们可以粗略地估计两个变量间有线性相关关系，但它们线性相关的程度如何，如何较为精确地刻画线性相关关系呢？
这就是前面学习的模型的合理性问题．为了回答这个问题，我们需要对变量与的线性相关性进行检验（简称相关性检验）． 三、建构理论
1、相关系数的计算公式：
对于，随机取到的对数据，样本相关系数的计算公式为
2．相关系数的性质：
（1）相关系数的取值范围：；
越接近1，两变量间线性相关程度越高； 越接近0，两变量间线性相关程度越低．
（2）当>0时，两个变量正相关
当<0时，两个变量负相关 当=0时，两个变量不相关
可见，一条回归直线有多大的预测功能，和变量间的相关系数密切相关． ※ 典型例题
例1、下表是随机抽取的对母女的身高数据,试根据这些数据探讨女儿身高与母亲身高之间的关系
【解析】所给数据的散点图如图所示：由图可以看出，这些点在一条直线附近，
x y x y n (,)i i x y (1,2,3,,)i n = r ()()
n
n
i
i
i i
x x y y x y nx y
r ---∑∑r r ||1r ≤||r ||r r r r 8/y cm /x cm
因为
，
，
，
，
，
所以，
所以可以认为与之间具有较强的线性相关关系．
线性回归模型中
的估计值分别为 ， 故对的线性回归方程为．
例2．要分析学生高中入学的数学成绩对高一年级数学学习的影响，在高一年级学生中随机抽取名学生，分析他们入学的数学成绩和高一年级期末数学考试成绩如下表：
（1）计算入学成绩与高一期末成绩的相关系数； （2）如果与之间具有线性相关关系，求线性回归方程；
()1541571638159.25
x =+++÷= ()1551561668161
y =+++÷= ()8
222221
8()1541638159.2559.5
i
i x
x =-=++-⨯=∑ ()8
2222218()1551668161116i
i y
y =-=++-⨯=∑
()8
1
81541551631668159.2516180i
i
i x y xy =-⨯++⨯-⨯⨯=∑ 963.0116
5.5980≈⨯=
r x y y a bx ε=++,a b ,a b ()
8
1
8
2
2
1
8 1.345,
8i i
i i i x y x y
b x x
==-=
≈-∑∑ 53.191a y bx =-≈- y x x y 345.1191.53+-=
10x y x y x y
（3）若某学生入学数学成绩为分，试估计他高一期末数学考试成绩．
【解析】(1)因为，， ，，
．
因此求得相关系数为
．
结果说明这两组数据的相关程度是比较高的； ★解决线性相关问题的解题步骤：
（1）作出散点图，直观判断散点是否在一条直线附近； （2）求相关系数；
（3）判断与是否具有较强的线性相关关系；
（4）计算，，写出线性回归方程． ※ 课堂练习 选择题：
1、某种产品的广告费支出与销售额（单位：百万元）之间有如下对应数据：
则广告费与销售额间的相关系数为（ B ） Ａ．0.819
Ｂ．0.919
Ｃ．0.923
Ｄ．0.95
2、对于回归分析，下列说法错误的是（ D ）
Ａ．在回归分析中，变量间的关系若是非确定关系，那么因变量不能由自变量唯一确定 Ｂ．线性相关系数可以是正的，也可以是负的
Ｃ．回归分析中，如果21r =，说明x 与y 之间完全相关 Ｄ．样本相关系数(11)
r ∈-， 80()163677670
10
x =
⨯+++= ()16578757610y =⨯+++= 10
1
()()1894xy i i i L
x x y y ==--=∑2
10
1
()2474xx i i L x x ==-=∑10
21
()2056yy i i L y y ==-=∑10
()()
0.840
i
i
x x y y r --∑r y x a
b
3、设两个变量x 和y 之间具有线性相关关系，它们的相关系数是r ，y 关于x 的回归直线的斜率是b ，纵截距是a ，那么必有（ A ） (A) b 与r 的符号相同 (B) a 与r 的符号相同 (C) b 与r 的相反 (D) a 与r 的符号相反
4、对变量x , y 有观测数据（，）（i=1,2,…，10），得散点图1；对变量u ，v 有观测数据（，）（i=1,2,…，10）,得散点图2. 由这两个散点图可以判断（ C ）
图1 图2 A.变量x 与y 正相关，u 与v 正相关 B.变量x 与y 正相关，u 与v 负相关 C.变量x 与y 负相关，u 与v 正相关 D.变量x 与y 负相关，u 与v 负相关 解答题： 1、教材P9练习
2、一台机器使用的时间较长，但还可以使用，它按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺点，每小时生产有缺点零件的多少，随机器的运转的速度而变化，下表为抽样试验的结果：
变量y 对x 进行相关性检验
析： r=0.995,所以y 与x 有线性性相关关系
3、以下数据是浙江省某种产品的广告费支出x 与销售额y （单位：百万元）之间的对应关系，
1x 1y 1u 1v
（1）画出数据对应的散点图，你从散点图中发现该种产品的广告费支出x 与销售额y （单位：百万元）之间有什么统计规律吗？ （2）求y 关于x 的回归直线方程；
（3）请你预测，当广告费支出为7（百万元）时，这种产品的销售额约为多少（百万元）？ （参考数据：2304405606508701380⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=）
【解析】（1）散点图如下：该产品的广告费支出x 与销售额y （单位：百万元）之间的统计规律： 销售额与广告支出呈线性正相关等
（2）根据给出的参考公式，可得到
6.5,1
7.5b a ≈≈，于是得到y 关于x 的回归直线方程y =6.5x +17.5.
(3)当x =7时，由回归直线方程可求出销售额约为63百万元 ※课堂小结：
1．相关系数的计算公式与回归系数计算公式的比较； 2．相关系数的性质； 3．探讨相关关系的基本步骤． ※教学反思：
教学设计二
一、教学目标：
b
1、通过实例了解相关系数的概念和性质，感受相关性检验的作用；
2、能对相关系数进行显著性检验，并解决简单的回归分析问题；
3、进一步了解回归的基本思想、方法及初步应用。

二、教学重点，难点：相关系数的性质及其显著性检验的基本思想、操作步骤． 三、教学方法：讨论交流，探析归纳 四、教学过程 （一）、问题情境
1、情境：下面是一组数据的散点图，若求出相应的线性回归方程，求出的线性回归方程可以用作预测和估计吗？
2．问题：思考、讨论：求得的线性回归方程是否有实际意义． （二）、学生活动
对任意给定的样本数据，由计算公式都可以求出相应的线性回归方程，但求得的线性回归方程未必有实际意义．左图中的散点明显不在一条直线附近，不能进行线性拟合，求得的线性回归方程是没有实际意义的；右图中的散点基本上在一条直线附近，我们可以粗略地估计两个变量间有线性相关关系，但它们线性相关的程度如何，如何较为精确地刻画线性相关关系呢？这就是上节课提到的问题①，即模型的合理性问题．为了回答这个问题，我们需要对变量x 与y 的线性相关性进行检验（简称相关性检验）． （三）、探析新课
1、相关系数的计算公式：对于x ，y 随机取到的n 对数据(,)i i x y (1,2,3,,)i n = ，样本相关系数r 的计算公式为
()()
n
n
i
i
i i
x x y y x y nx y
r ---=
=
∑∑．()2
2、相关系数r 的性质：（1）||1r ≤；（2）||r 越接近与1，x ，y 的线性相关程度越强；（3
）
||r 越接近与0，x ，y 的线性相关程度越弱．可见，一条回归直线有多大的预测功能，和
变量间的相关系数密切相关．
3、对相关系数r 进行显著性检验的步骤： 相关系数r 的绝对值与1接近到什么程度才表明利用线性回归模型比较合理呢？这需要对相关系数r 进行显著性检验．对此，在统计上有明确的检验方法，基本步骤是：（1）提出统计假设0H ：变量x ，y 不具有线性相关关系；（2）如果以95%的把握作出推断，那么可以根据10.950.05-=与2n -（n 是样本容量）在附录2（教材P111）中查出一个r 的临界值0.05r （其中10.950.05-=称为检验水平）；（3）计算样本相关系数r ；（4）作出统计推断：若0.05||r r >，则否定0H ，表明有95%的把握认为变量y 与x 之间具有线性相关关系；若0.05||r r ≤，则没有理由拒绝0H ，即就目前数据而言，没有充分理由认为变量y 与x 之间具有线性相关关系。

说明：1、对相关系数r 进行显著性检验，一般取检验水平0.05α=，即可靠程度为95%． 2、这里的r 指的是线性相关系数，r 的绝对值很小，只是说明线性相关程度低，不一定不相关，可能是非线性相关的某种关系．3．这里的r 是对抽样数据而言的．有时即使||1r =，两者也不一定是线性相关的．故在统计分析时，不能就数据论数据，要结合实际情况进行合理解释．4．对于上节课的例1,可按下面的过程进行检验：（1）作统计假设0H ：x 与y 不具有线性相关关系；（2）由检验水平0.05与29n -=在附录2中查得0.050.602r =；（3）根据公式()2得相关系数0.998r =；（4）因为0.9980.602r =>，即0.05r r >，所以有95﹪的把握认为x 与y 之间具有线性相关关系,线性回归方程为 527.59114.453y x =+是有意义的。

（四）、数学运用 1、例题：
例1、下表是随机抽取的8对母女的身高数据,试根据这些数据探讨y 与x 之间的关系．
【解析】所给数据的散点图如图所示：由图可以看出，这些点在一条直线附近，
因为()1541571638159.25x =+++÷= ，()1551561668161y =+++÷= ，
()8
2222218()1541638159.2559.5i
i x
x =-=++-⨯=∑ ， ()8
2222218()1551668161116i
i y
y =-=++-⨯=∑ ，
()8
1
81541551631668159.2516180i
i
i x y x y =-⨯++⨯-⨯⨯=∑ ，
所以963.0116
5.5980≈⨯=
r ，
由检验水平0.05及26n -=，在附录2中查得707.005.0=r ，因为0.9630.707>,所以可以认为x 与y 之间具有较强的线性相关关系．线性回归模型y a bx ε=++中,a b 的
估计值 ,a
b 分别为 ()
8
1
8
2
2
1
8 1.345,8i i
i i
i x y x y
b x
x
==-=
≈-∑∑ 53.191a y b x =-≈- ，
故y 对x 的线性回归方程为x y 345.1191.53+-=
．
例2、要分析学生高中入学的数学成绩对高一年级数学学习的影响，在高一年级学生中随机抽取10名学生，分析他们入学的数学成绩和高一年级期末数学考试成绩如下表：
（1）计算入学成绩x 与高一期末成绩y 的相关系数；（2）如果x 与y 之间具有线性相关关系，求线性回归方程；（3）若某学生入学数学成绩为80分，试估计他高一期末数学考试成绩．
【解析】(1)因为()16367767010x =
⨯+++= ，()1
6578757610
y =⨯+
++= ， 10
1
(
)()1894xy i i i L x x y y ==--=∑，2
10
1()2474xx i i L x x ==-=∑，10
21
()2056yy i i L y y ==-=∑．
因此求得相关系数为10
()()
0.840i
i
x x y y L r --=
=
=∑．
结果说明这两组数据的相关程度是比较高的。

小结解决这类问题的解题步骤：
（1）作出散点图，直观判断散点是否在一条直线附近； （2）求相关系数r ；
（3）由检验水平和2n -的值在附录中查出临界值，判断y 与x 是否具有较强的线性相关关系；
（4）计算 a
，b ，写出线性回归方程。

（五）、回顾小结：
1、相关系数的计算公式与回归系数b
计算公式的比较； 2、相关系数的性质； 3、探讨相关关系的基本步骤。