龙格-库塔方法基本原理3
龙格-库塔方法
一、Taylor展开法
设
y′ = f ( x, y)
y( x0 ) =
y0
(1)
在[a,b]上有解 y( x),将y( xn+1 )在xn处泰勒展开
y( xn+1 )
=
y( xn ) +
hy′( xn ) +
h2 2!
y′′( xn ) +
h3 3!
y′′′( xn ) +
k4 = f ( xn + h, yn + hk1 − hk2 + hk3 )
为了分析经典R-K公式的计算量和计算精度， 将四阶经典R-K公式与一阶显式Euler公式及二阶改 进的Euler公式相比较。一般说来，公式的级数越 大，计算右端项 f 的次数越多，计算量越大。在 同样步长的情况下，Euler方法每步只计算一个函 数值，而经典方法要计算4个函数值。四阶R-K法的
0.5 0.397312
改进Euler法 h=0.05
0.095123 0.181193 0.259085 0.329563 0.393337
经典R-K法 h=0.1 0.09516250 0.18126910 0.25918158 0.32967971 0.39346906
准确解
y(xn )
0.09516258 0.18126925 0.25918178 0.32967995 0.39346934
h 2 k1 )
k3
=
f (xn
+
3 4
h,
yn
+
3 4 hk2 )
四阶龙格—库塔公式有：
古典公式：
yn+1 = k1 = f k2 = f
龙格库塔法
一、高阶泰勒法
假设初值问题
龙格—库塔法 龙格 库塔法
dy = f (t , y ) dt y (a) = α 的解y (t)及f (t , y )足够光滑.
将y (ti +1 )在ti处作n阶泰勒展开, 得
a≤t ≤b
(1)
y′′(ti ) 2 y ( n ) (ti ) n y ( n +1) (ξ i ) n +1 y (ti +1 ) = y (ti ) + y′(ti )h + h +L+ h + h n! 2! (n + 1)! 其中, ti < ξ i < ti +1.
2
i
i
1
3
i
i
2
4
i
i
3
i +1
i
6123 Nhomakorabea4
作业 教材P198 习题3
(2)
(3)
首先将y (ti +1 )在ti处展成幂级数 h2 y (ti +1 ) = y (ti ) + hy′(ti ) + y′′(ti ) + O(h 3 ) 2 将 y′(t ) = f (t , y (t )) y′′(t ) = f t′(t , y (t )) + f y (t , y (t )) f (t , y (t )) 代入上式, 得 h2 y (ti +1 ) = y (ti ) + hf + ( f t + ff y ) + O(h 3 ) (3) 2 其中f , f t , f y′分别表示相应函数在点(ti , y (ti ))处的函数值.
matlab龙格库塔法程序,给出实例
一、介绍龙格库塔法龙格库塔法（Runge-Kutta method）是一种数值计算方法，用于求解常微分方程的数值解。
它通过多步迭代的方式逼近微分方程的解，并且具有较高的精度和稳定性。
二、龙格库塔法的原理龙格库塔法采用迭代的方式来逼近微分方程的解。
在每一步迭代中，计算出当前时刻的斜率，然后根据这个斜率来求解下一个时刻的值。
通过多步迭代，可以得到微分方程的数值解。
三、龙格库塔法的公式龙格库塔法可以表示为以下形式：k1 = f(tn, yn)k2 = f(tn + h/2, yn + h/2 * k1)k3 = f(tn + h/2, yn + h/2 * k2)k4 = f(tn + h, yn + h * k3)yn+1 = yn + h/6 * (k1 + 2k2 + 2k3 + k4)其中，k1、k2、k3、k4为斜率，h为步长，tn为当前时刻，yn为当前时刻的解，yn+1为下一个时刻的解。
四、使用matlab实现龙格库塔法在MATLAB中，可以通过编写函数来实现龙格库塔法。
下面是一个用MATLAB实现龙格库塔法的简单例子：```matlabfunction [t, y] = runge_kutta(f, tspan, y0, h)t0 = tspan(1);tf = tspan(2);t = t0:h:tf;n = length(t);y = zeros(1, n);y(1) = y0;for i = 1:n-1k1 = f(t(i), y(i));k2 = f(t(i) + h/2, y(i) + h/2 * k1);k3 = f(t(i) + h/2, y(i) + h/2 * k2);k4 = f(t(i) + h, y(i) + h * k3);y(i+1) = y(i) + h/6 * (k1 + 2*k2 + 2*k3 + k4);endend```以上就是一个简单的MATLAB函数，可以利用该函数求解给定的微分方程。
四阶龙格—库塔法的原理及其应用
《四阶龙格—库塔法的原理及其应用》
龙格—库塔法(又称龙格库塔法)是由一系列有限的、独立的可能解组成的无穷序列,这些解中每个都与原来的数列相差一个常数。
它是20世纪30年代由匈牙利著名数学家龙格和库塔提出的,故得此名。
1.它的基本思想是:在n 阶方阵M 上定义一个函数,使得当n 趋于无穷时,它在m 中所表示的数值为M 的某种特征值,从而构造出一族具有某种特性的可计算函数f (x)= Mx+ C (其中C 为任意正整数)。
例如,若f (x)=(a-1) x+ C,则称之为(a-1) x 的龙格—库塔法。
2.它的应用很广泛,可以求解各类问题,且能将大量的未知数变换成少数几个已知数,因此它是近似计算的一种重要工具。
3.
它的优点主要有:(1)可以将多项式或不等式化成比较简单的形式;(2)对于同一问题可以用不同的方法来解决,并取得同样的结果;(3)适合处理高次多项式或者不等式,尤其适合处理多元函数的二次型。
龙格-库塔法
四阶龙格－库塔法求解常微分方程的初值问题1.算法原理对于一阶常微分方程组的初值问题⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=⋯⋯==⋯⋯=⋯⋯⋯⋯=⋯⋯=0020********'212'2211'1)(,,)(,)())(,),(),(,()())(,),(),(,()())(,),(),(,()(n n n n n n n y x y y x y y x y x y x y x y x f x y x y x y x y x f x y x y x y x y x f x y ， 其中b x a ≤≤。
若记Tn Tn Tn y x f y x f y x f y x f y y y y x y x y x y y x y )),(,),,(),,((),(),,,())(),(),(()(2102010021⋯⋯=⋯⋯=⋯⋯=，，则可将微分方程组写成向量形式⎩⎨⎧=≤≤=0')()),(,()(y a y b x a x y x f x y微分方程组初值问题在形式上和单个微分方程处置问题完全相同，只是数量函数在此变成了向量函数。
因此建立的单个一阶微分方程初值问题的数值解法，可以完全平移到求解一阶微分方程组的初值问题中，只不过是将单个方程中的函数转向向量函数即可。
标准4阶R-K 法的向量形式如下：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧++=++=++==++++=+),()21,2()21,2(),()22(61342312143211K y h x hf K K y h x hf K K y h x hf K y x hf K K K K K y y n n n n n n n n n n 其分量形式为n j K y K y K y h x hf K K y K y K y h x hf K K y K y K y h x hf K y y y x hf K K K K K y y n ni i i i j j n nii i i j j n nii i i j j ni i i i j j j j j j i j i j ,,2,1).,,,;(),2,2,2;2(),2,2,2;2(),,,,;(),22(6132321314222212131212111221143211,1,⋯⋯=⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧+⋯⋯+++=+⋯⋯+++=+⋯⋯+++=⋯⋯=++++=++，，2.程序框图3.源代码%该函数为四阶龙格-库塔法function [x,y]=method(df,xspan,y0,h)%df为常微分方程，xspan为取值区间，y0为初值向量，h为步长x=xspan(1):h:xspan(2);m=length(y0);n=length(x);y=zeros(m,n);y(:,1)=y0(:);for i=1:n-1k1=feval(df,x(i),y(:,i));k2=feval(df,x(i)+h/2,y(:,i)+h*k1/2);k3=feval(df,x(i)+h/2,y(:,i)+h*k2/2);k4=feval(df,x(i)+h,y(:,i)+h*k3);y(:,i+1)=y(:,i)+h*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;end%习题9.2clear;xspan=[0,1];%取值区间h=0.05;%步长y0=[-1,3,2];%初值df=@(x,y)[y(2);y(3);y(3)+y(2)-y(1)+2*x-3];[xt,y]=method(df,xspan,y0,h)syms t;yp=t*exp(t)+2*t-1;%微分方程的解析解yp1=xt.*exp(xt)+2*xt-1%计算区间内取值点上的精确解[xt',y(1,:)',yp1']%y(1,:)为数值解，yp1为精确解ezplot(yp,[0,1]);%画出解析解的图像hold on;plot(xt,y(1,:),'r');%画出数值解的图像4.计算结果。
龙格库塔实验报告
一、实验背景常微分方程（ODE）在自然科学、工程技术等领域中具有广泛的应用。
然而，许多微分方程无法得到精确解析解，因此需要借助数值方法进行求解。
龙格-库塔（Runge-Kutta）方法是一种常用的数值求解常微分方程的方法，具有精度高、稳定性好等优点。
本实验旨在通过编写程序，实现四阶龙格-库塔方法，并验证其在求解常微分方程中的有效性和准确性。
二、实验目的1. 理解四阶龙格-库塔方法的基本原理和计算步骤。
2. 编写程序实现四阶龙格-库塔方法。
3. 选取典型常微分方程，验证四阶龙格-库塔方法的求解精度和稳定性。
三、实验原理四阶龙格-库塔方法是一种基于泰勒级数展开的数值方法，其基本思想是将微分方程的解在某个区间内进行近似，并通过迭代计算得到近似解。
具体步骤如下：1. 初始化：给定初始条件y0，步长h，求解区间[a, b]。
2. 迭代计算：对于k=1, 2, ..., n（n为迭代次数），- 计算k1 = f(xk-1, yk-1)（f为微分方程的右端函数）；- 计算k2 = f(xk-1 + h/2, yk-1 + h/2 k1)；- 计算k3 = f(xk-1 + h/2, yk-1 + h/2 k2)；- 计算k4 = f(xk-1 + h, yk-1 + h k3)；- 更新y值：yk = yk-1 + (h/6) (k1 + 2k2 + 2k3 + k4)；- 更新x值：xk = xk-1 + h；3. 输出结果：输出最终的近似解y(n)。
四、实验步骤1. 编写程序实现四阶龙格-库塔方法。
2. 选取典型常微分方程，如：- y' = -y，初始条件y(0) = 1，求解区间[0, 2π]；- y' = y^2，初始条件y(0) = 1，求解区间[0, 1]。
3. 对每个常微分方程，设置不同的步长h和迭代次数n，分别计算近似解y(n)。
4. 将计算得到的近似解与解析解进行比较，分析四阶龙格-库塔方法的精度和稳定性。
三阶Runge-Kutta方法
2012-2013（1）专业课程实践论文三阶Runge-Kutta方法王曹旭，0818180106，R数学08-1班常微分方程初值问题的数值解法是求方程（1）的解在点列1(0,1,)n n n x x h n -=+= 上的近似值n y ，这里n h 是1n x -到n x 的步长，一般略去下标记为h 。
00(,)()dyf x y dxy x y⎧=⎪⎨⎪=⎩（1）三阶Runge-Kutta 方法，它的计算公式是：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=++==+++=+))((,(),,(),,(),(2131213322111sK rK qh y qh x f K phK y ph x f K y x f K K K K h y y n n n n n n n n λλλ R K-方法的优点是：单步法、精度高，计算过程便于改变步长，缺点是计算量较大，每前进一步需要计算三次函数值f 。
在用龙格库塔方法时,要注意N 的选择要合适，N 太大，会使计算量加大，N 太小，h 较大，可能会使误差增大。
因此选择合适的N 很重要。
我们要在考虑精度的基础上，选择合适的N 。
在此，用c 语言实现了三阶Runge-Kutta 方法。
三阶Runge-Kutta流程图#include<stdlib.h>#include<stdio.h>/*n表示几等分，n+1表示他输出的个数*/int RungeKutta(double y0,double a,double b,int n,double *x,double *y,double (*function)(double,double)){double h=(b-a)/n,k1,k2,k3;int i;// x=(double*)malloc((n+1)*sizeof(double));// y=(double*)malloc((n+1)*sizeof(double));x[0]=a;y[0]=y0;for(i=0;i<n;i++){x[i+1]=x[i]+h;k1=function(x[i],y[i]);k2=function(x[i]+h/2,y[i]+h*k1/2);k3=function(x[i]+h,y[i]-h*k1+2*h*k2);y[i+1]=y[i]+h*(k1+4*k2+k3)/6;}return 1;}double function(double x,double y){return y-2*x/y;}//例子求y'=y-2*x/y(0<x<1);y0=1;int main(){ int i;double x[7],y[7];printf("用三阶龙格-库塔方法\n");RungeKutta(1,0,1,6,x,y,function);for(i=0;i<7;i++)printf("x[%d]=%f,y[%d]=%f\n",i,x[i],i,y[i]);return 1;}例1．求解方程⎩⎨⎧=<<+='1,10,0y x y x y 步长2.0=h解：（1）将程序序中rerurn y-2*x/y 改为rerurn x+y（2）输入,,,,0n b a y 的值：;5;1;0;1（3）显示输出结果：435019.3y 650070.2043616.2583310.1242667.1000000.1000000.1800000.0600000.0400000.0200000.0000000.05432054320============y y y y y x x x x x x 时，时，时，时，时，时，例2．求解方程⎩⎨⎧=<<+='110),1/(30y x x y y 步长2.0=h解：（1）将程序序中rerurn y-2*x/y 改为rerurn 3*y/(1+x)(2) 输入n b a y ,,,0的值：;5;1;0;1(3) 显示输出结果：961755.7805800.5079391.4734787.2724242.1000000.1000000.1800000.0600000.0x 400000.0x 200000.0000000.0543210543210============y y y y y y x x x x 时，时，时，时，时，时，。
龙格库塔法介绍
h 0.005稳定.
2) 改进欧拉法(预测 — 校正，即二阶R K法)：
yn
1
yn
h
k1 2
k2 2
,
k1
f (xn, yn ) yn,
k2 f (xn h, yn hk1) ( yn hyn )，
即yn1 故
yn
当初值准确即e0 0时，整体误差为en O(h p ).
证明
考察单步法的收敛性归结为验证增量函数(x, y,h)是否
满足Lipschitz条件.
欧拉法 : (x, y,h) f (x, y)，L L.
改进的欧拉法：
yn1
yn
h[ 2
f
(xn, yn )
f
( xn 1,
xn
f
( x,
y ( x))dx
r
h ci
i 1
f
( xn
ih,
y ( xn
ih)).
yn1 yn h(xn, yn, h),
(3.4)
其中
r
(xn, yn, h) ciki ,
(3.5)
i 1
k1 f (xn, yn )，
欧拉法r 1, p 1.改进 欧拉法r 2, p 2.
k1)
k3）
k3 f (xn h, yn hk1 2hk2 )
称为库塔三阶方法.
阶数p和段数r（计算函数值次数）的关系
r12 p1 2
3 4 5 6 7 r≥8 3 4 4 5 6 r-2
常用的经典四阶龙格 库塔方法:
Runge-Kutta法
3½×RK· ¨
1.422
¸ ĽøEuler· ¨
1.42
1.418 0.2965 0.297 0.2975 0.298 0.2985 0.299 0.2995 0.3 0.3005 17
§ 7.2 Runge-Kutta法
龙格-库塔(Runge-Kutta)方法简称R-K法，是一种应用较广的 高精度的单步法。
所谓单步法就是在计算yi时只用到前一步信息yi-1的方法。
本节介绍R-K法的构造原理、常用公式。
1
一、Runge-Kutta方法的构造原理 对于常微分方程的初值问题
y f ( x , y ) y( a ) y0 a xb
另一方面
h2 y( xi 1 ) y( xi ) hy( xi ) y( xi ) o(h3 ) 2
9
式（6）的局部截断误差:
en (h) y ( xi 1 ) yi 1 1 h 1 (1 2 ) y( xi ) h2 22 y( xi ) o(h3 ) 2
1 2 1 1 2 2 2
有无穷多组解，从而可以得到许多具体的二阶R -K公式 如：
1 2 1，2 1
1 1 0， 2 1， 2 2
10
用类似的方法也可以构造三阶R-K公式
h yi yi 1 ( K1 4 K2 K3 ) 6 K1 f ( xi 1, yi 1 ) h h K 2 f ( xi 1 , yi 1 K1 ) 2 2 K3 f ( xi 1 h, yi 1 h(2 K2 K1 ))
因而方法(8)有4阶精度
12
例1. 使用高阶R-K方法计算初值问题
matlab迭龙格库塔法解常微分方程
一、介绍迭龙格-库塔法（Runge-Kutta method）是一种数值求解常微分方程（ODE）的常用方法。
它是由卡尔·迭龙格（Carl Runge）和马丁·威尔黑尔姆·库塔（Wilhelm Kutta）在20世纪初提出的，该方法以两位数值分析家的名字来命名。
二、简单描述迭龙格-库塔法是通过数值逼近的方式，来计算常微分方程的近似解。
它是一种显式求解方法，适用于解非线性常微分方程和具有较大阶数的常微分方程。
三、数学原理迭龙格-库塔法主要是通过将微分方程转化为差分方程，利用数值解的方式来逼近微分方程的解。
它是一种显式方法，通过不断迭代得到下一个时间步的近似解。
四、matlab中的应用在matlab中，可以使用ode45函数来调用迭龙格-库塔法求解常微分方程。
ode45函数是matlab中集成的一个函数，通过调用ode45函数，可以直接求解常微分方程的数值解。
五、实例演示下面通过一个简单的例子来演示如何使用matlab中的ode45函数来求解常微分方程。
我们考虑一个简单的一阶常微分方程：dy/dt = -y初始条件为y(0) = 1。
在matlab中，可以通过以下代码来求解该微分方程：```定义微分方程的函数function dydt = myode(t, y)dydt = -y;调用ode45函数求解[t, y] = ode45(myode, [0, 5], 1);plot(t, y);```运行以上代码，即可得到微分方程的数值解，并通过绘图来展示解的变化。
六、总结迭龙格-库塔法是一种常用的数值解常微分方程的方法，它在matlab中有较为方便的调用方式。
通过ode45函数，可以快速求解常微分方程的数值解，并通过绘图来展示结果。
希望本篇文章对读者有所帮助，谢谢阅读。
七、应用场景和优势在实际应用中，迭龙格-库塔法广泛应用于各种科学和工程领域，如物理学、化学、生物学、经济学等。
龙格库塔方法理解及应用
龙格库塔方法理解及应用龙格库塔方法是一种常用的数值解微分方程的方法，也是许多科学、工程和经济领域中常用的算法之一。
本文将介绍龙格库塔方法的原理及其应用。
一、龙格库塔方法原理在计算微分方程时，往往需要对方程进行离散化，采用数值方法处理。
龙格库塔方法（Runge-Kutta method）就是一种离散化的数值方法，其原理可以概括为：通过相应的递推公式，将微分方程在离散时间点上进行逼近，从而得到近似的解。
具体来说，假设要求解如下形式的一阶常微分方程：$$ y'=f(t,y) $$其中，$f(t,y)$是已知的函数，$y(t)$是未知函数，并且已知初值$y(t_0)=y_0$。
为了离散化这个方程，我们可以采用以下的递推公式：$$ \begin{aligned} y_1 &=y_0 + h\varphi_1 \\ y_2 &=y_0 +h\varphi_2 \\ \cdots &=\cdots \\ y_n &=y_0 + h\varphi_n \end{aligned} $$其中，$h$是离散时间点的时间步长，$t_n=t_0+nh$，$\varphi_i$是与$t_i$有关的递推公式。
根据龙格库塔方法的不同级别，$\varphi_i$也有不同的形式。
二、龙格库塔方法的应用由于龙格库塔方法的较高精度和鲁棒性，以及易于实现等特点，它在各个领域都有着广泛的应用。
1. 数学领域在数学领域，龙格库塔方法可以用于求解常微分方程、偏微分方程、常微分方程组等等，特别是对于复杂的高阶微分方程，龙格库塔方法更是可以发挥其优势。
2. 物理学领域在物理学领域，各种微分方程是研究物理过程的基础。
龙格库塔方法在求解各种物理问题时也得到了广泛的应用，如天体力学、流体力学、电磁场问题等等。
3. 经济学领域在经济学领域，许多经济问题可以通过微分方程的形式进行建模，并采用龙格库塔方法进行数值求解。
runge-kutta方法
runge-kutta方法Runge-Kutta方法是求解常微分方程组的一种常用数值方法，它是由德国数学家卡尔·龙格和马丁·库塔（Martin Kutta）发明的。
该方法是一种高阶精度的方法，可以求解一阶或高阶的常微分方程组。
$$ y_{n+1} = y_n + \sum_{i=1}^s b_i k_i $$$y_n$表示第$n$个步骤中的输出，$y_{n+1}$是下一个步骤的输出。
$k_i$表示第$i$个中间变量，$b_i$是权值，它们是根据所采用的方法计算得出的。
我们将在下文中详细介绍这些变量和权值的计算方法。
在数值计算中，我们通常采用自适应步长的方法，这需要我们给出一个误差容限值$\epsilon$，根据误差限定步长大小。
如果当前步长不满足误差要求，我们会将步长缩小再进行计算，或者选择更高阶的方法进行计算，以提高精度。
接下来我们将详细介绍如何使用Runge-Kutta方法求解常微分方程组。
1. Runge-Kutta方法的中间变量$k_i$的计算我们需要计算中间变量$k_i$的值。
它们的计算公式如下：$$ k_1 = hf(t_n, y_n) $$$$ k_2 = hf(t_n + c_2 h, y_n + a_{21}k_1) $$$$ ... $$$$ k_s = hf(t_n + c_s h, y_n + \sum_{j=1}^{s-1}a_{sj}k_j) $$$h$表示步长大小，$t_n$和$y_n$分别表示当前时间和状态，$c_i$和$a_{ij}$是与所采用的方法相关的常数。
$$ c_2 = \frac{1}{2} , a_{21} = \frac{1}{2}$$- 改进的Runge-Kutta方法（RK4）：根据具体选择的方法，我们可以计算出$k_i$的值。
$b_{ij}$也是与所采用的方法相关的常数，对于不同的方法而言，它们的计算公式不同。
根据计算出的中间变量$k_i$和权值$b_i$，我们可以进行Runge-Kutta方法的迭代，求解常微分方程组。
龙格库塔法
c1
c2
1
0,
1 2
c2
0
即常数c1, c2 , 满足条件
c1 c2 1
c2
1 2
方程组有三个未知数，但只有两个方程，因此可得到
局部截断误差为O(h3 )的计算公式.
如果取c1
c2
1 ,
2
1,递推公式为
y0
k1 f (ti , yi )
k2 f (ti h, yi hk1)
yi
代入上式, 得
yi1 yi h(c1 f c2 f ) c2h( ft ffy ) O(h2 )
在局部截断误差的前提假设yi y(ti )下,得
y(ti1)
yi1
h(c1
c2
1)
f
h2(1 2
c2 )( ft
ffy ) O(h3)
要使局部截断误差y(ti1) yi1 O(h3 ),当且仅当
§9-3 龙格—库塔法
一、高阶泰勒法
假设初值问题
dy f (t, y) a t b dt
(1)
y(a)
的解y(t)及f (t, y)足够光滑.
将y(ti1)在ti处作n阶泰勒展开 , 得
y(ti1)
y(ti )
y(ti )h
y(ti ) h2 2!
y(n) (ti ) hn n!
y(n1) (i ) hn1
f
(ti
1 2
h,
yi
1 2 hk1)
(10)
yi1 yi hk2 )
公式(8)、(9)、(10)三式是三种常见的二阶龙格—库塔公式
局部截断误差为 O(h3).
三、三、四阶龙格—库塔法
三阶龙格—库塔法
数值分析9-3(龙格-库塔方法)
总结词
除了Python和MATLAB，还有许多其他编 程语言可以用于实现龙格-库塔方法。
详细描述
例如C、Java和R等编程语言也提供了相应 的数值计算库或框架，可以实现龙格-库塔 方法。使用这些语言实现龙格-库塔方法需 要一定的编程基础和对相应语言的数值计算 库的了解。
龙格-库塔方法可以用于求解偏微分方程的数值解，通过将偏微分方程转化为常微分方程组，利用龙格 -库塔方法进行迭代求解，能够得到较为精确的结果。
积分方程的数值解
积分方程是描述函数与积分之间的关 系的数学模型，常见于物理、工程等 领域。
VS
龙格-库塔方法也可以用于求解积分 方程的数值解，通过将积分方程转化 为常微分方程组，利用龙格-库塔方 法进行迭代求解，能够得到较为精确 的结果。
重要性及应用领域
龙格-库塔方法是数值分析中非常重要的内容， 它为解决常微分方程提供了一种有效的数值方 法。
在科学、工程和经济学等领域中，许多问题都 可以转化为求解常微分方程的问题，因此龙格库塔方法具有广泛的应用价值。
例如，在物理学、化学、生物学、金融学等领 域中，龙格-库塔方法被广泛应用于模拟和预测 各种动态系统的行为。
数值分析9-3：龙格-库塔方法
目录
• 引言 • 龙格-库塔方法概述 • 龙格-库塔方法在数值分析中的应用 • 龙格-库塔方法的实现与编程 • 龙格-库塔方法的改进与优化 • 结论与展望
01 引言
主题简介
龙格-库塔方法是一种用于求解常微 分方程的数值方法。
它通过构造一个离散化的时间序列来 逼近微分方程的解，并利用已知的离 散点来计算新的离散点，逐步逼近微 分方程的真实解。
02 龙格-库塔方法概述
定义与原理
动力学有限元问题的龙格库塔法 知乎
动力学有限元问题的龙格库塔法知乎动力学有限元问题的龙格库塔法1. 介绍动力学有限元问题是一类涉及结构物或系统在时间变化下的运动和响应的问题。
为了解决这类问题，我们可以使用数值方法，其中最常用的之一是龙格库塔法（Runge-Kutta method）。
本文将探讨龙格库塔法在解决动力学有限元问题中的应用，并对其进行深入思考和全面分析。
2. 龙格库塔法的基本原理和应用龙格库塔法是一种数值求解常微分方程的方法，通过迭代逼近来计算方程的数值解。
它的优点在于能够准确地模拟系统的动态行为，并且对于非线性问题也有较好的适用性。
在动力学有限元问题中，我们通常需要求解结构物或系统在时间上的响应，而龙格库塔法可以提供相对精确的数值计算结果。
3. 动力学有限元问题在动力学有限元问题中，我们需要考虑结构物或系统在外部作用下的运动和响应。
这通常涉及到求解质点、刚体或弹性体的运动方程。
通过建立合适的模型和边界条件，我们可以得到动力学方程。
通过数值方法求解这些方程，我们可以得到系统在一段时间内的响应。
4. 龙格库塔法的步骤和计算过程龙格库塔法的基本步骤包括选择适当的时间步长和计算时间步数，以及计算中间步骤的函数值。
具体来说，龙格库塔法将时间区间划分为若干个小时间步，并通过迭代逼近的方式计算每个时间步的系统响应。
这个过程可以通过多种不同的方法进行，其中最常用的是四阶龙格库塔法。
5. 龙格库塔法的优点和缺点龙格库塔法作为数值求解常微分方程的方法，具有一定的优点和缺点。
其优点在于能够准确地模拟系统的动态行为，对于非线性问题也有较好的适用性。
而缺点在于需要选择合适的时间步长和计算步数，以及计算量较大。
在处理某些特殊问题时，龙格库塔法可能会出现数值不稳定或数值误差较大的情况。
6. 对龙格库塔法的个人观点和理解在我个人看来，龙格库塔法是一种非常有效的数值求解方法。
它可以帮助我们更好地理解和分析动力学有限元问题，提供精确的数值计算结果。
通过选择适当的参数和方法，我们可以获得准确的结果，并在实际工程和科学研究中得到有效的应用。
龙格库塔法的基本原理
龙格库塔法的基本原理嘿，朋友们！今天咱来唠唠龙格库塔法的基本原理。
咱就说啊，这龙格库塔法就像是一个超级厉害的解题高手！它能帮我们在面对那些复杂得让人头疼的数学问题时找到答案。
你想想，有时候那些数学式子就像一团乱麻，让你无从下手。
但龙格库塔法呢，它就有办法一点点地把这团乱麻给解开。
它通过巧妙地计算和推测，一步一步地接近问题的真相。
就好比你要去一个陌生的地方，你不知道该怎么走。
龙格库塔法就像是一个聪明的向导，它能给你指出一条清晰的路。
它不是那种随随便便指个方向就完事儿的，而是经过深思熟虑，考虑了各种因素之后才做出的决定。
龙格库塔法在很多领域都大显身手呢！比如在物理、工程这些地方，那可真是立下了汗马功劳。
没有它，好多难题都没法解决，好多伟大的工程可能都没法实现。
它的原理其实也不复杂，就是通过一系列的计算步骤来逼近真实的答案。
但可别小看这些步骤哦，它们就像一个个小小的拼图，组合起来就能呈现出一幅完整的画面。
比如说，它会在不同的点上进行计算，就像在不同的地方观察一样，然后把这些观察到的信息综合起来，得出一个比较准确的结果。
这是不是很神奇？而且啊，龙格库塔法还特别灵活。
它可以根据不同的问题进行调整和优化，就像一个武林高手能根据对手的情况随时改变招式一样。
你说，这么厉害的龙格库塔法，咱能不好好了解了解吗？咱得知道它是怎么工作的，怎么帮我们解决问题的呀！不然岂不是浪费了这么好的一个工具？总之，龙格库塔法就是数学世界里的一颗璀璨明星，照亮了我们解决难题的道路。
它让那些看似不可能的问题变得有可能，让我们在知识的海洋里能更加自由地航行。
所以啊，大家可别小瞧了它哟！。
龙格库塔 高阶常微分方程组
龙格库塔高阶常微分方程组龙格库塔法（Runge-Kutta method）是一种数值解常微分方程的方法，它由卡尔·龙格（Carl Runge）和马丁·康托尔·库塔（Martin Kutta）分别独立发现。
这种方法常常被用来解决高阶常微分方程组，其优点在于精度高且适用范围广。
1. 龙格库塔法的基本原理我们来简要介绍一下龙格库塔法的基本原理。
对于一个一阶常微分方程y′=f(x,y)，我们可以通过欧拉法进行数值解，其迭代公式为y_(n+1) = y_n + hf(x_n, y_n)。
而龙格库塔法则通过多个步骤的迭代来提高精度。
常见的四阶龙格库塔法的迭代公式如下：k1 = hf(x_n, y_n)k2 = hf(x_n+1/2h, y_n+1/2k1)k3 = hf(x_n+1/2h, y_n+1/2k2)k4 = hf(x_n+h, y_n+k3)y_(n+1) = y_n + 1/6(k1 + 2k2 + 2k3 + k4)2. 高阶常微分方程组的数值解对于高阶常微分方程组，我们可以通过变量替换的方式将其转化为一组一阶微分方程，然后利用龙格库塔法进行数值解。
以二阶常微分方程为例，我们可以令y1 = y，y2 = y'，然后构造一组一阶微分方程：y1' = y2y2' = f(x,y1,y2)这样，我们就可以利用龙格库塔法对其进行数值解了。
3. 个人观点和理解在我看来，龙格库塔法是一种非常有效的数值解法，尤其适用于高阶常微分方程组。
通过多步迭代的方式，可以大大提高数值解的精度，从而在实际问题中得到更为可靠的结果。
当然，龙格库塔法也存在一定的局限性，比如对于一些特殊形式的方程可能不够有效，需要结合其他方法进行求解。
总结回顾通过本文的介绍，我们对龙格库塔法有了更深入的了解。
从基本原理到在高阶常微分方程组中的应用，我们了解了其在数值计算中的重要性。
我也分享了自己对这一方法的个人观点和理解。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2020/4/7
15
令 y(xi1) yi1 对应项的系数相等，得到
c1 c2 1 ,
a2c2
1 2
,
b21c2
1 2
这里有 4 个未知 数，3 个方程。
存在无穷多个解。所有满足上式的格式统称为2阶 龙格 - 库塔格式。
2020/4/7
称为P阶龙格－库塔方法。
其中ai,bij,ci为待定参数，要求上式yi+1在点(xi,yi)处作 Tailor展开，通过相同项的系数确定参数。
2020/4/7
9
Runge-Kutta方法的推导思想
对于常微分方程的初值问题
y f (x, y) a x b
y(a)
y0
的解y=y(x)，在区间[xi, xi+1]上使用微分中值定理，有
hf (xi 2
,
yi
1 2
K1 )
K3 hf (xi h, yi K1 2K 2 )
2020/4/7
22
四阶(经典)龙格—库塔法
如果需要再提高精度，用类似上述的处理 方法，只需在区间[xi,xi+1]上用四个点处的斜 率加权平均作为平均斜率K*的近似值，构成一 系列四阶龙格—库塔公式。具有四阶精度，即 局部截断误差是O(h5)。
f x(xi , yi ) f (xi , yi ) f y (xi , yi ) O(h3 )
类似地，若取前P+1项作为y(xi+1)的近似值，便得到
yi1
yi
hyi
h2 2!
yi
hP P!
yi(P)
P阶泰勒方法
其中 yi f , yi f (xi , yi )x f x ff y
y
只要使用适当的方法求 出y(x)在区 间[xi , xi1]上平均斜率的近似值 K
就可得到相应的Runge-Kutta方法
y y(x)
K
2020/4/7
xi
xi1
x
11
如果以y(x)在xi处的斜率作为y(x)在[xi , xi1]上的平均斜率K
即 K hy(xi ) hf [xi, y(xi )]
2020/4/7
8
一般龙格－库塔方法的形式为
yi1 yi c1K1 c2K2 cpK p K1 hf (xi, yi ) K2 hf (xi a2h, yi b21K1) • •• •• •• •• •• K p hf (xi aph, yi bp1K1 bp, p1K p1)
2020/4/7
7
于是可考虑用函数f(x,y)在若干点上的函数值的 线性组合来构造近似公式，构造时要求近似公式在 (xi,yi)处的Taylor展开式与解y(x)在xi处的Taylor展开式 的前面几项重合，从而使近似公式达到所需要的阶数。 既避免求高阶导数,又提高了计算方法精度的阶数。或 者说,在[xi,xi+1]这一步内多计算几个点的斜率值，然 后将其进行加权平均作为平均斜率，则可构造出更高 精度的计算格式，这就是龙格—库塔（Runge-Kutta） 法的基本思想。
确定系数 c1、c2、a2、b21 ，可得到有2阶精度的算法格式
2020/4/7
13
因此
y(xi1) y(xi ) K
y(xi ) (c1K1 c2K2)
将y(xi+1)在x=xi处进行Taylor展开：
y(xi1)
y(xi ) hy(xi )
h2 2!
y(xi ) O(h3)
xi
1为h区间
2
x的i , x中i1点。也称中点公式。
Q:为获得更高的精度，应该如何进一步推广？
2020/4/7
18
二级R-K方法是显式单步式,每前进一步需要计算两个
函数值。由上面的讨论可知,适当选择四个参数c1,c2,a2,
b21，可使每步计算两次函数值的二阶R-K方法达到二阶 精度。能否在计算函数值次数不变的情况下,通过选择不 同的参数值,使得二阶R-K方法的精度再提高呢?
x
20
同理推导二阶公式，将y(xi+1)和yi+1在x=xi处进 行Taylor展开，使局部截断误差达到O(h4)，使对
应项的系数相等，得到系数方程组：
c1 c2 c3 1
a2c2
a3c3
1 2
,
a22c2
a32c3
1 3
,
b221c2
(b31
b32 )2 c3
1 3
a2b32c2
1, 6
y(xi )
hf
(xi ,
yi )
h2 2!
fx ff y O(h3)
将 K2 hy(xi a2h) hf (xi a2h, yi b21K1) 在x=xi处进行Taylor展开：
2020/4/7
14
K2 h f (xi , yi) a2hfx b21K1 f y O(h2)
假设式
y' =f(x,y) (a≤x≤b)
中的 f(x,y) 充分光滑,将y(xi+1)在x i点作Taylor展开，若 取右端不同的有限项作为y(xi+1)的近似值，就可得到 计算y(xi+1)的各种不同截断误差的数值公式。
例如：取前两项可得到
y(xi1) y(xi ) hy(xi ) O(h2 )
h f (xi , yi ) a2hfx b21hff y O(h3)
K1 =hf(xi, yi)
yi1 yi (c1K1 c2K2)
y(xi ) c1hf (xi, yi )
c2h f (xi , yi ) a2hfx b21hff y O(h3)
y(xi ) (c1 c2)hf (xi, yi )
hf (xi, yi )
则上式化为
如下图
y
y y(x)
yi1 yi hf (xi , yi )
K
K
即Euler方法
xi
Euler方法也称为一阶Runge-Kutta方法
xi1
x
2020/4/7
12
二阶龙格—库塔法 在[xi, xi+1]上取两点xi和xi+a2= xi +a2h,以该两点处
根据实际情况建立的数学模型往往难以求解。通 常需要通过近似替代，将所求解的数学模型简化为易 求解的数值计算问题后再进行求解。数学模型的理论 解与数值计算问题的精确解之间的误差称为截断误差 。这是计算方法本身带来的误差，所以也成为方法误 差。
§ 3.2 龙格－库塔方法
得到高精度方法的一个直接想法是利用Taylor展开
K*的近似值K，这时计算格式具有形式:
y
yi1 yi c1K1 c2K2 c3K3
KK12
hf hf
(xi , ( xi
yi ) a2h,
yi
b21K1)
K2
y y(x)
K3
K1
K
K3 hf (xi a3h, yi b31K1 b32K2 )
2020/4/7
xi
xia2
xia3
2020/4/7
6
同理，改进Euler公式可改写成
yi
1
yi
1 2
K1
1 2
K2
K1 hf ( xi , yi )
K2 hf ( xi h, yi K1)
局部截断误差为O(h3)
上述两组公式在形式上共同点:都是用f(x,y)在某 些点上值的线性组合得出y(xi+1)的近似值yi+1, 且增 加计算的次数f(x,y)的次数,可提高截断误差的阶。如 欧拉法:每步计算一次f(x,y)的值,为一阶方法。改进欧 拉法需计算两次f(x,y)的值，为二阶方法。
推导过程与前面类似，由于过程复杂，这 里从略，只介绍最常用的一种四阶经典龙格— 库塔公式。
2020/4/7
23
设 yi+1=yi+c1K1+c2K2+c3K3+c4K4
这里K1、K2、K3、K4为四个不同点上的函数值， 分别设其为
K1=hf (xi, yi) K2=hf (xi+a2h, yi+b21K1) K3=hf (xi+a3h, yi+b31K1+b32K2) K4=hf (xi+a4h, yi+b41K1+b42K2+b43K3) 其中c1、c2、c3、c4、a2、a3、a4、b21、b31、 b32、b41、b42、b43均为待定系数。
y(xi1) y(xi ) y(i )(xi1 xi )
其中i (xi , xi1)
即
y(xi1) y(xi ) hy(i )
2020/4/7
10
引入记号 y(xi1) y(xi ) K
K hy(i) hf i, y(i)
yi1 yi K
K可以认为是y y(x)在区间[xi , xi1]上的平均斜率
y(xi ) hf (xi , y(xi )) O(h2 )
yi hf (xi , yi ) O(h2 )
2020/4/7
3
若取前三项，可得到截断误差为O(h3)的公式
y(xi1)
y(xi ) hy(xi )
h2 2
y(xi ) O(h3)
yi hf (xi , yi )
h2 2
答案是否定的！无论四个参数怎样选择,都不能使公式 的局部截断误差提高到三阶。
这说明每一步计算两个函数值的二阶R-K方法最高阶为 二阶。若要获得更高阶得数值方法,就必须增加计算函数 值的次数。
2020/4/7
19
三阶龙格—库塔法