山东省济宁市2016-2017学年高二上学期期末数学试卷(文科)Word版含解析

2016-2017学年山东省济宁市高二（上）期末数学试卷（文科）
一、选择题
1．抛物线x2=﹣2y的焦点到其准线的距离是（）
A．B．1 C．2 D．4
2．己知命题p：“∃x0＞0，3=2”，则￢p是（）
A．∃x0＞0，3≠2 B．∀x＞0，3x≠2
C．∀x≤0，3x=2 D．∀x≤0，3x≠2
3．如果a＜b＜0，那么下列不等式成立的是（）
A．B．ab＜b2C．﹣ab＜﹣a2D．
4．已知变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+y的最小值是（）
A．4 B．3 C．2 D．1
5．在等差数列{a n}中，a1=2，公差为d，则“d=4”是“a1，a2，a5成等比数列”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
6．已知α∈（π，2π），cosα=﹣，则tan2α的值为（）
A．B．C．﹣ D．﹣
7．已知椭圆的中心在原点，离心率且它的一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，则此椭圆的方程为（）
A．B．C．D．
8．设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=1，c=，cosA=，且b＜c，则b=（）
A．1 B．C．D．2
9．设首项为1，公比为的等比数列{a n}的前n项和S n，则S n=（）
A．B．C．D．
10．设点P是双曲线上的一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，已知PF1⊥PF2，且
|PF1|=2|PF2|，则双曲线的离心率为（）
A．B．C．2 D．
11．若不等式（a﹣1）x2﹣x+1＞0对任意的x∈（0，+∞）恒成立，则实数a的取值范围是（）
A．[，+∞）B．（，+∞）C．[1，+∞）D．（1，+∞）
12．点P是椭圆+=1（a＞b＞0）上的一点，其左焦点为F（﹣c，0），若M
为线段FP的中点，且M到坐标原点的距离为，则的取值范围是（）
A．（0，）B．（0，]C．（，1）D．[，1）
二、填空题
13．不等式＜0的解集是．
14．数列{a n}的通项公式为a n=，若其前n项和S n=，则抛物线y2=4nx 的准线方程为．
15．已知P为椭圆+y2=1上任意一点，F1，F2为其左、右焦点，则+
的最小值等于．
16．下列命题：
①等轴双曲线的渐近线是y=±x；
②在△ABC中，“若A=B，则sinA=sinB“的逆命题为真命题；
③若动点P到两定点F1（﹣4，0），F2（4，0）的距离之和为8，则动点P的轨迹为椭圆；
④数列{a n}满足a n2=a n﹣1a n+1（n≥2，n∈N），则{a n}为等比数列；
⑤在△ABC中，若c=2bcosA，则△ABC是等边三角形．
其中正确命题的序号是（把你认为正确命题的序号都填上）
三、解答题
17．已知A、B、C为△ABC的三内角，且其对边分别为a、b、c，若acosC+ccosA=﹣2bcosA．
（1）求角A的值；
（2）若a=2，b+c=4，求△ABC的面积．
18．设p：实数x满足ax﹣（1+a2）x2＞0（a＞0）；q：实数x满足2x2﹣x﹣1＜0．若（￢p）∧q为真，求实数x的取值范围．
19．已知f（x）=（a+2cos2）cos（x+），且f（）=0．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）若f（）=﹣，α∈（，π），求cos（﹣2α）的值．
20．如图，直角三角形ABC（AB＞AC）的斜边BC的垂直平分线m交直角边AB 于点P，两条直角边的长度之和为6，设AB=x，求△ACP面积的最大值和相应x 的值．
21．设数列{a n}的前n项和S n，满足S n=2a n﹣1，n∈N*．
（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）记b n=log2a n，n∈N*，求数列{（﹣1）n b n2}的前2n项和T2n．
22．如图，已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，短轴长为2，
直线l与圆O：x2+y2=相切，且与椭圆C相交于M、N两点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）证明：•为定值．
2016-2017学年山东省济宁市高二（上）期末数学试卷（文
科）
参考答案与试题解析
一、选择题
1．抛物线x2=﹣2y的焦点到其准线的距离是（）
A．B．1 C．2 D．4
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】利用抛物线的标准方程可得p=1，由焦点到准线的距离为p，从而得到结果．
【解答】解：抛物线x2=﹣2y的焦点到准线的距离为p，由标准方程可得p=1，故选B．
2．己知命题p：“∃x0＞0，3=2”，则￢p是（）
A．∃x0＞0，3≠2 B．∀x＞0，3x≠2
C．∀x≤0，3x=2 D．∀x≤0，3x≠2
【考点】命题的否定．
【分析】利用特称命题的否定是全称命题，写出结果即可．
【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题p：“∃x0＞0，3=2”，则￢p是：∀x＞0，3x≠2．
故选：B．
3．如果a＜b＜0，那么下列不等式成立的是（）
A．B．ab＜b2C．﹣ab＜﹣a2D．
【考点】不等关系与不等式．
【分析】由于a＜b＜0，不妨令a=﹣2，b=﹣1，代入各个选项检验，只有D正
确，从而得出结论．
【解答】解：由于a＜b＜0，不妨令a=﹣2，b=﹣1，可得=﹣1，∴，故A不正确．
可得ab=2，b2=1，∴ab＞b2，故B不正确．
可得﹣ab=﹣2，﹣a2=﹣4，∴﹣ab＞﹣a2，故C不正确．
故选D．
4．已知变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+y的最小值是（）
A．4 B．3 C．2 D．1
【考点】简单线性规划．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：
由z=2x+y得y=﹣2x+z，
平移直线y=﹣2x+z，
由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A（0，1）时，直线的截距最小，
此时z最小，
此时z=0×2+1=1，
故选：D．
5．在等差数列{a n}中，a1=2，公差为d，则“d=4”是“a1，a2，a5成等比数列”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】求出“a1，a2，a5成等比数列”的充要条件，根据集合的包含关系判断即可．
【解答】解：设等差数列{a n}，
∵a1=2，且a1、a2、a5成等比数列，
则=a1a5，∴（2+d）2=2（2+4d），
解得d=4或d=0，
故“d=4”是“a1，a2，a5成等比数列”的充分不必要条件，
故选：A．
6．已知α∈（π，2π），cosα=﹣，则tan2α的值为（）
A．B．C．﹣ D．﹣
【考点】两角和与差的正切函数．
【分析】利用同角三角函数的基本关系，求得sinα的值，可得tanα的值，再利用二倍角的正切公式求得tan2α的值．
【解答】解：∵α∈（π，2π），cosα=﹣，∴α为第三象限角，故sinα=﹣
=﹣，
∴tanα==2，∴tan2α==﹣，
故选：D．
7．已知椭圆的中心在原点，离心率且它的一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，则此椭圆的方程为（）
A．B．C．D．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】抛物线y 2=4x 的焦点为（1，0），可设椭圆的标准方程为：
+=1
（a ＞b ＞0），由题意可得： =，a 2=b 2+c 2，c=1．联立解出即可得出． 【解答】解：抛物线y 2=4x 的焦点为（1，0），
∴可设椭圆的标准方程为：
+
=1（a ＞b ＞0），
由题意可得： =，a 2=b 2+c 2，c=1． 解得：c=1，a=2，b 2=3．
∴此椭圆的标准方程为： +
=1．
故选：A ．
8．设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a=1，c=，cosA=
，
且b ＜c ，则b=（ ）
A ．1
B ．
C ．
D ．2
【考点】余弦定理．
【分析】利用同角三角函数基本关系式可求sinA ，进而利用正弦定理可求sinC ，利用大边对大角可得B 的值，即可求b 的值．
【解答】解：在△ABC 中，∵cosA=，
∴sinA=，
在△ABC 中，a=1，c=
，由正弦定理可得：sinC=
=
，
∵b ＜c ，可得：A=30°，C=120°， ∴B=30°， ∴b=a=1． 故选：A ．
9．设首项为1，公比为的等比数列{a n}的前n项和S n，则S n=（）
A．B．C．D．
【考点】等比数列的前n项和．
【分析】利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出．
【解答】解：，
∴S n===．
故选：C．
10．设点P是双曲线上的一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，已知PF1⊥PF2，且
|PF1|=2|PF2|，则双曲线的离心率为（）
A．B．C．2 D．
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】根据双曲线的定义可知|PF1|﹣|PF2|=2a，进而根据|PF1|=2|PF2|，分别求得|PF2|和|PF1|，进而根据勾股定理建立等式求得a和c的关系，则离心率可得．
【解答】解：由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=2a，
又|PF1|=2|PF2|，
得|PF2|=2a，|PF1|=4a；
在RT△PF1F2中，|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2，
∴4c2=16a2+4a2，即c2=5a2，
则e==．
故选D．
11．若不等式（a﹣1）x2﹣x+1＞0对任意的x∈（0，+∞）恒成立，则实数a的
取值范围是（）
A．[，+∞）B．（，+∞）C．[1，+∞）D．（1，+∞）
【考点】函数恒成立问题．
【分析】当a﹣1=0，即a=1时，不符合题意，当a﹣1≠0，即a≠1时，若不等
式（a﹣1）x2﹣x+1＞0对任意的x∈（0，+∞）恒成立，则，
或，求解可得实数a的取值范围．
【解答】解：当a﹣1=0，即a=1时，不等式（a﹣1）x2﹣x+1＞0可化为：﹣x+1＞0，即x＜1，不符合题意；
当a﹣1≠0，即a≠1时，若不等式（a﹣1）x2﹣x+1＞0对任意的x∈（0，+∞）恒成立，
则①，或②．
解①得：；解②得：a∈∅．
∴实数a的取值范围为（，+∞）．
故选：B．
12．点P是椭圆+=1（a＞b＞0）上的一点，其左焦点为F（﹣c，0），若M
为线段FP的中点，且M到坐标原点的距离为，则的取值范围是（）
A．（0，）B．（0，]C．（，1）D．[，1）
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】如图所示，连接F′P，利用三角形中位线定理可得：F′P=2OM=，由椭
圆的定义可得：FP=2a ﹣．利用FF′+F′P ≥FP ，即2c +≥2a ﹣，化简整理即可得出．
【解答】解：如图所示，
连接F′P ，∵M 为线段FP 的中点，O 为线段FF′的中点，
∴F′P=2OM=，
由椭圆的定义可得：FP=2a ﹣．
则FF′+F′P ≥FP ，即2c +≥2a ﹣， 化为：3c ≥2a ，∴9c 2=9（a 2﹣b 2）≥4a 2， ∴5a 2≥9b 2，
解得．
故选：B ．
二、填空题 13．不等式
＜0的解集是 （﹣∞，﹣1）∪（3，+∞） ．
【考点】其他不等式的解法．
【分析】将分式不等式等价转化后，由一元二次不等式的解法求出解集即可．
【解答】解：不等式
等价于（x +1）（3﹣x ）＜0，
即（x +1）（x ﹣3）＞0，解得x ＜﹣1或x ＞3， 所以不等式的解集是（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）， 故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）．
14．数列{a n }的通项公式为a n =
，若其前n 项和S n =
，则抛物线y 2=4nx
的准线方程为x=﹣9．
【考点】抛物线的简单性质；数列的求和．
【分析】利用数列的通项公式求解数列的和，推出n，然后求解抛物线的准线方程．
【解答】解：数列{a n}的通项公式为a n=，
其前n项和S n=1﹣=1﹣=，
可得n=9．
则抛物线y2=36x的准线方程为x=﹣9．
故答案为：x=﹣9．
15．已知P为椭圆+y2=1上任意一点，F1，F2为其左、右焦点，则+
的最小值等于1．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】借助于椭圆的定义得|PF1|+|PF2|=2a，设|PF1|=m，|PF2|=n，利用基本
不等式的性质即可+的最小值．
【解答】解：由题意：椭圆+y2=1，可得a=2，P时椭圆上任意一点，F1，F2是椭圆的两个焦点．
由椭圆的定义得|PF1|+|PF2|=2a，设|PF1|=m，|PF2|=n，即m+n=2a=4，
∴m+n≥2，当且仅当m=n时取等号．
所以：mn≤4，
则+===≥1．
当且仅当m=n时取等号．
所以则+的最小值1．
故答案为：1．
16．下列命题：
①等轴双曲线的渐近线是y=±x；
②在△ABC中，“若A=B，则sinA=sinB“的逆命题为真命题；
③若动点P到两定点F1（﹣4，0），F2（4，0）的距离之和为8，则动点P的轨迹为椭圆；
④数列{a n}满足a n2=a n﹣1a n+1（n≥2，n∈N），则{a n}为等比数列；
⑤在△ABC中，若c=2bcosA，则△ABC是等边三角形．
其中正确命题的序号是②⑤（把你认为正确命题的序号都填上）
【考点】命题的真假判断与应用．
【分析】①，标准方程的等轴双曲线的渐近线是y=±x；
②，在△ABC中，“若sinA=sinB⇒2RsinA=2RsinB⇒a=b⇒A=B；
③，若动点P到两定点F1（﹣4，0），F2（4，0）的距离之和为8，则动点P的轨迹为线段F1F2；
④，当数列为a n=a n﹣1=a n+1=0时，“{a n}不为等比数列；
⑤，由c=2bcosA，利用正弦定理化简得：sinC=2sinBcosA，得：sinAcosB+cosAsinB=2sinBcosA，即sinAcosB﹣cosAsinB=sin（A﹣B）=0，即A=B 【解答】解：对于①，标准方程的等轴双曲线的渐近线是y=±x，故错；
对于②，在△ABC中，“若sinA=sinB⇒2RsinA=2RsinB⇒a=b⇒A=B，故正确；
对于③，若动点P到两定点F1（﹣4，0），F2（4，0）的距离之和为8，则动点P 的轨迹为线段F1F2，故错；
对于④，当数列为a n=a n﹣1=a n+1=0时，尽管满足“a n2=a n﹣1•a n+1”，但“{a n}不为等比数列，故错；
对于⑤，由c=2bcosA，利用正弦定理化简得：sinC=2sinBcosA，把sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB代入得：sinAcosB+cosAsinB=2sinBcosA，
即sinAcosB﹣cosAsinB=sin（A﹣B）=0，即A﹣B=0，∴A=B，即a=b，则△ABC为等腰三角形，故正确；
故答案为：②⑤
三、解答题
17．已知A、B、C为△ABC的三内角，且其对边分别为a、b、c，若acosC+ccosA=﹣2bcosA．
（1）求角A的值；
（2）若a=2，b+c=4，求△ABC的面积．
【考点】正弦定理．
【分析】（1）利用正弦定理、和差公式即可得出；
（2）利用余弦定理，结合条件可得bc=4，再利用三角形面积计算公式即可得出．【解答】解：（1）∵acosC+ccosA=﹣2bcosA，
由正弦定理可得：sinAcosC+sinCcosA=﹣2sinBcosA，
化为：sin（A+C）=sinB=2sinBcosA，sinB≠0，
可得cosA=﹣，A∈（0，π），
∴A=；
（2）由a=2，b+c=4，
由余弦定理，得a2=b2+c2﹣2bccosA，
∴12=（b+c）2﹣2bc﹣2bccos，
即有12=16﹣bc，
化为bc=4．
故△ABC的面积为S=bcsinA=×4×sin=．
18．设p：实数x满足ax﹣（1+a2）x2＞0（a＞0）；q：实数x满足2x2﹣x﹣1＜0．若（￢p）∧q为真，求实数x的取值范围．
【考点】命题的真假判断与应用．
【分析】分别求出命题p、q为真时，x的范围，由（￢p）∧q为真⇒p假、q 真，列式求解．
【解答】解：当命题p真：不等式ax﹣（1+a2）x2＞0（a＞0）⇒（1+a2）x2﹣ax
＜0⇒0＜x＜；
命题q真时：2x2﹣x﹣1＜0⇒﹣＜x＜1；
由（￢p）∧q为真⇒p假、q真⇒，
因为a＞0，∴
∴．
实数x的取值范围为：{x|﹣或}
19．已知f（x）=（a+2cos2）cos（x+），且f（）=0．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）若f（）=﹣，α∈（，π），求cos（﹣2α）的值．
【考点】两角和与差的余弦函数．
【分析】（Ⅰ）根据二倍角余弦公式的变形、诱导公式化简解析式，由题意列出方程，求出实数a的值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）和题意求出sinα，由α的范围和平方关系求出cosα，由二倍角
公式及变形求出sin2α、cos2α，由两角差的余弦函数求出cos（﹣2α）的值．
【解答】解：（Ⅰ）由题意知，f（x）=（a+2cos2）cos（x+）
=（cosx+a+1）（﹣sinx），
∵f（）=0，∴（cos+a+1）（﹣sin）=0，
即﹣（a+1）=0，得a=﹣1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，f（x）=﹣sinxcosx=，
∵f（）=﹣，α∈（，π），∴，
得sinα=，且cosα==，
∴sin2α=2sinαcosα=，cos2α=2cos2α﹣1=，
∴cos（﹣2α）=cos cos2α+sin sin2α
==．
20．如图，直角三角形ABC（AB＞AC）的斜边BC的垂直平分线m交直角边AB
于点P，两条直角边的长度之和为6，设AB=x，求△ACP面积的最大值和相应x 的值．
【考点】轨迹方程．
【分析】求出PA，AC，可得△ACP面积，利用基本不等式，即可得出结论．【解答】解：AB=x，则AC=6﹣x，而PB=PC=AB﹣PA=x﹣PA，
又PA2+AC2=PA2+（6﹣x）2=PC2，
联立解得PA=，
从而三角形PAC面积S=PA•AC=
=27﹣3（x+）≤27﹣18
当且仅当最大值点x=3，从而面积的最大值为27﹣18．
21．设数列{a n}的前n项和S n，满足S n=2a n﹣1，n∈N*．
（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）记b n=log2a n，n∈N*，求数列{（﹣1）n b n2}的前2n项和T2n．
【考点】数列的求和；数列递推式．
【分析】（I）S n=2a n﹣1，n∈N*．n=1时，a1=2a1﹣1，解得a1．n≥2时，a n=S n ﹣S n
﹣1
，化为：a n=2a n﹣1．利用等比数列的通项公式即可得出．
（II）b n=log2a n=n﹣1，可得+=﹣（2n﹣2）2+（2n﹣1）2=4n﹣3．再利用等差数列的求和公式即可得出．
【解答】解：（I）S n=2a n﹣1，n∈N*．n=1时，a1=2a1﹣1，解得a1=1．
n≥2时，a n=S n﹣S n
﹣1=2a n﹣1﹣（2a n
﹣1
﹣1），化为：a n=2a n﹣1．
∴数列{a n}是等比数列，公比为2．
∴a n=2n﹣1．
（II）b n=log2a n=n﹣1，
∴=（﹣1）n（n﹣1）2，
+=﹣（2n﹣2）2+（2n﹣1）2=4n﹣3．
∴数列{（﹣1）n b n2}的前2n项和T2n==2n2﹣n．
22．如图，已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，短轴长为2，
直线l与圆O：x2+y2=相切，且与椭圆C相交于M、N两点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）证明：•为定值．
【考点】直线与椭圆的位置关系；平面向量数量积的运算；椭圆的标准方程．
【分析】（I）由题意可得：，2b=2，a2=b2+c2，联立解出即可得出．
（II）设M（x1，y1），N（x2，y2），直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为：my=x﹣t，根据直线l与圆O：x2+y2=相切，可得=．直线方程与题意
方程联立化为：（m2+4）y2+2mty+t2﹣4=0，•=x1x2+y1y2=（m2+1）y1•y2+mt （y1+y2）+t2，把根与系数的关系代入即可得出．直线l的斜率为0时，容易得出．
【解答】（I）解：由题意可得：，2b=2，a2=b2+c2，联立解得a=2，b=1，
c=．
∴椭圆C的方程为=1．
（II）证明：设M（x1，y1），N（x2，y2），
直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为：my=x﹣t，
∵直线l与圆O：x2+y2=相切，
则=，化为：5t2=4m2+4．
联立，化为：（m2+4）y2+2mty+t2﹣4=0，
△＞0．
∴y1+y2=﹣，y1•y2=，
x1x2=（my1+t）（my2+t）=m2y1y2+mt（y1+y2）+t2．
∴•=x1x2+y1y2=（m2+1）y1•y2+mt（y1+y2）+t2=（m2+1）•+mt（﹣）
+t2==0，
直线l的斜率为0时，上式也成立．
因此•=0为定值．
2017年3月10日。