培优专题 抛物线焦点弦的性质与应用课件——2024届高三数学一轮复习
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当1 = −2 =时取等号，
∴∆ =2 （两等号可同时取得）
结论7 A、O、B1三点共线，
B、O、A1三点共线
证明：
由A(x1,y1),B(x2,y2)得：A1(-
,y1)，B1(- ,y2)
−
∴ =
=
=
−
− −
答案:(1)C
[实战演练] (2)(2022·山东潍坊三模)已知F是抛物线y2=2px(p>0)的焦点,过F作两条互
2
y1 y2
∴y= + 代入①式可得：y1y2=2px
2
y y
∵弦AB过焦点F，由焦点弦性质可知y1y2=-p2 ，∴x=- ，即交点P坐标为(- , 1+ 2)．
2
2 2
结论延伸：切线交点P与弦中点Q 连线平行于对称轴
结论发散：当弦AB不过焦点即切线交点P不在准线上时，切线交点与弦中点的连线也平行于对称轴．
4
2
p
焦点在y正半轴( 2 =2py (p>0)）： y1 y2
, x1 x2 p 2
4
性质2.抛物线焦半径的长度与倾斜角的关系：
焦点在x正半轴
E
A1
p
| AF |
（ 长）
1 cosθ
p
| BF |
（短）
1 cos
向量 AF 在 AA1 投影
A
B
F
焦点在y轴正半轴
结论3：M平分PQ．
结论4：PA平分∠A1AB，PB平分∠B1BA．
结论5：|| ∙ ||= 2
结论6：∆ =2
结论7：A、O、B1三点共线，
B、O、A1三点共线
结论1 PA⊥PB．
证明：
= ， =
1
∴ =
∴PA⊥PB．
2
=
1 2
AF
BF
p
p
p
(5)以AB为直径的圆与准线切于CD中点N；
以AF、BF为直径的圆与y轴相切
以CD为直径的圆与直线AB切于焦点F．
N
∠CFD=90°
（6）三角形OAB的面积：S AOB
p2
2 sin
S OAB S OAF S OBF
1
1
S AOB OF BF sin OF AF sin
2
4
4 2
4
2
= (1 +2 )+
2
2
(1 +2 )2
1
2
2
2
2
2
2
= +
= + (1 + 2 + 21 2 )= + (1 +2 )
4
4
2 2
∴|| ∙ ||= 2
|| ∙ ||=-( ∙ )=-(1 − )(2 − )-1 2
2
②当弦AB过焦点F与x轴不垂直时，设A(x1,y1),B(x2,y2)
则过A点的切线方程是：y1y=p(x+x1) ①
过B点的切线方程是：y2y=p(x+x2) ②
，
1
2
= -1
1 2
证明： =
∴ =
∴PA⊥PB．
=
，
2
12 −22
由①－②可得：(y1-y2)y=p(x1-x2)即： (y1-y2)y=p
③∠ = ∠．
④点M平分PQ．
⑤|| ∙ ||= 2 ．
→
→
[典例 1] (2022·山西太原二模)过抛物线 x =8y 焦点 F 的直线交抛物线于 M,N 两点,若 =λ ,
2
|MN|=9,则λ的值为(
A.
C. 或 3
)
B.
D. 或 2
解析:根据题意直线 y=kx+2 过抛物线 C:x2=8y 的焦点,
（9）过抛物线准线上任一点作抛物线的切线，则过两切点的弦必过焦点
以 2 =2px （p＞0）为例说明
特例：过准线与x轴的交点作抛物线的切线，则过两切点AB的弦必过焦点．
证明：设P(- , 0)、A(x1,y1),B(x2,y2)，则切线PA的方程为y1y=p(x+x1) ，切线PB的方程为
2
y2y=p(x+x2)．均过点P，
证明：
−
−
= (− − 1 , 2 1 )，1 = (− − 1 , 1 2 )， = (− − 1 , −1 )，
2
2
2
2
∴ ∙ 1 = ( + 1 )2
∙ =
12
−
2
4
−
∵|1 |=||
∴∠1 =∠FAB
即PA平分∠A1AB，
结论6 ∆ =2
证明：
1
∆ = || ∙|1 − 2 |
2
|AA |+|BB1 | 1
∵||= 1
= (1 +2 )+
2
2
2
当1 = 2 = 时取等号，
2
2
≥ 1 ∙ 2 + =p
|1 − 2 |=|1 | + |2 |≥2 |1 | ∙ |2 | = 2
A’
(左图以l倾斜角是锐角为例)
p
| AF |
（ 长）
1 sinθ
p
| BF |
（短）
1 sin
2
( 2 =2px (p>0)）(θ为直线AB的倾斜角)
2
sin
2
|AB|＝y1＋y2＋p= 2 ( 2=2py (p>0)）
(3) 抛物线焦点弦的长度：|AB|＝x1＋x2＋p=
2
2
则弦AB过焦点．
结论延伸：过准线上任一点作抛物线的切线，过两切点的弦最短时，即为通径．
（10）AB是过抛物线 2 =2px （p＞0）焦点F的弦，Q是AB的中点，l是抛物线的准
线，AA1 ⊥l，BB1 ⊥ l，过点A，B的切线相交于P点，PQ与抛物线交于点M．则有
结论1：PA⊥PB．
结论2：PF⊥AB．
同理PB平分∠B1BA．
1 2 12
+ =12
2
2
+
2
4
2
+p1 =(
2
2
+ 1 )2
结论5 || ∙ ||= 2
证明：
2
2
=（1 − ，1 ）， =（2 − ，2 ），=(p,
−(1 +2 )
)
2
2
2
2
2
2
2
=-1 2 + (1 +2 )- + =- + (1 +2 )- +2
2
2
1
OF sin ( AF BF )
2
1
OF sin | AB |
2
1 p
2p
p2
sin 2
2 2
sin 2 sin
2
S AOB
p
2 sin
(7)过抛物线 2 =2px (p>0)焦点弦的端点A(x1,y1),B(x2,y2)的切线方程
培优专题：抛物线焦点弦的性质与应用
如图：设抛物线( 2 =2px (p>0) 的焦点为F，准线为l ’ ，直线l过F且与C交于A(x1,y1),B(x2,y2)
两点， 直线l 的倾斜角为。
2
p
2
性质1.焦点在x正半轴( 2 =2px (p>0) ： y1 y2 p , x1 x2
则λ的值为(
A.
B.
)
C.2
D.
解析:(1)设直线 l 的倾斜角为α,根据条件可得 tan α=2 ,则可得 cos α= .
由抛物线焦点弦的性质可知|AF|=
-
| | +
,|BF|=+,
根据|AF|=λ|BF|可得λ=
=
=2.故选 C.
|| -
则x1= ，x2= ，故弦AB过焦点．
2
2
证明：设准线上任一点P(- ,y0)，切点分别为A(x1,y1),B(x2,y2)，
2
则切线方程分别为：y1y=p(x+x1) ，y2y=p(x+x2)
两切线均过点P，则满足y1y0=p(- +x1) ，y2y0=p(- +x2)．
2
故过两切点的弦AB方程为：y0y=p(x- )，
|
则在△OAM 中,由余弦定理得 cos∠OAM=
| +|
|
| -|
|·|
| | +| | -|
在△OBM 中,由余弦定理得 cos∠OBM=
| |·| |
所以∠OAM<90°,∠OBM<90°,
所以∠OAM+∠OBM<180°,故 D 正确.故选 ACD.
p,
|
|
|
=
所以|OB|=
2
2
2
(x-),代入 y =2px,得 12x -13px+3p =0,
+ = p≠|OF|,故 B 不正确;
[典例3] (多选题)(2022·新高考Ⅱ卷)已知O为坐标原点,过抛物线C:y2=2px(p>0)焦点
F的直线与C交于A,B两点,其中A在第一象限,点M(p,0).若|AF|=|AM|,则( )
(以焦点在x轴正半轴为例推证)
p
p
2p
2p
AB AF BF
2
1 cos 1 cos 1 cos sin 2
结论延伸：过焦点垂直于对称轴的弦长等于2p(通径)
且通径是过焦点的最短弦。
(4)
1
1
2
AF
BF
p
1
1
1 cos 1 cos 2
因为|MN|=9,即|MF|+|FN|=9,
又由抛物线焦点弦的性质可得|
+
= = ,联立方程组,
F| | |
| | = , | | = ,
可得
或
| | =
| | = ,
→
→
又因为 =λ ,所以λ=或 2.故选 D.
[典例2] (多选题)(2022·新高考Ⅱ卷)已知O为坐标原点,过抛物线C:y2=2px(p>0)焦点
p
1
则过A(x1,y1)切线方程为y-y1= (x-x1) ，又12 =2px1，
整理可得,过A点的切线方程是：y1y=p(x+x1)
同理可得,过B点的切线方程是：y2y=p(x+x2)
(8)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上
以 2 =2px (p>0)为例说明
证明:①当弦AB⊥X轴时，则点P(- , 0)在准线上．
+
= p,
将其代入抛物线方程 y2 =2px,得 yA= p,所以 A( p, p),
所以直线 AB 的斜率 kA B=kA F=
=2
,故 A 正确;
对于 B,由选项 A 知直线 AB 的方程为 y=2
解得 x= p 或 x= p,所以 xB = p,所以 yB=- p,
，
2
-1
结论2 PF⊥AB．
证明：
+
P(- , 1 2 ),F( ,0),
2
2
2
+
=
−
1 −2 1 −2
2
k AB =
=
=
1 −2 21 −22 1 +2
∴k PF × k AB =-1
∴PF⊥AB．
2
结论3 M平分PQ．
证明：
+
过A点的切线方程是：y1y=p(x+x1)
过B点的切线方程是：y2y=p(x+x2)
2
证明:当y>0时，由 =2px (p>0)得y= 2px，则y′=
2p
2p
2 x
p
2 1 1
点A(x1,y1)处切线斜率k=y′|=1 =
，
= ，
p
2
当y<0时，同理可得点B(x2,y2)处切线斜率k=y′|=2 = ，
= = = = =
∴A、O、B1三点共线.
同理可证：B、O、A1三点共线.
结论发散：当弦AB不过焦点，切线交于P点时，有无与上述结论类似结果？
则有
1 2
1 +2
① =
， =
．
2
2
②PA平分∠A1AB，同理PB平分∠B1BA．
+ +
P(- , 1 2 )，Q( 1 2 , 1 2 )
2
2
2
2
+
∴ = 1 2
2
2
(1 +2 )2 12 +22 −22
∴ = =
=
2
8
8
∴M平分PQ．
=
2(1 +2 )−22
8
=
1 +2 −
4
=
+
2
结论4 PA平分∠A1AB，PB平分∠B1BA．
F的直线与C交于A,B两点,其中A在第一象限,点M(p,0).若|AF|=|AM|,则( )
A.直线 AB 的斜率为 2
B.|OB|=|OF| C.|AB|>4|OF| D.∠OAM+∠OBM<180°
解析:对于 A,由题意,得 F( ,0),因为|AF|=|AM|,且 M(p,0),所以 xA =
A.直线 AB 的斜率为 2
B.|OB|=|OF| C.|AB|>4|OF| D.∠OAM+∠OBM<180°
对于 C,由抛物线的定义及选项 A,B 的分析,得|AB|=xA+xB+p= p+p= p>2p,
即|AB|>4|OF|,故 C 正确;
对于 D,易知|OA|=
p,|AM|= p,|OB|= p,|BM|=
+ -
×
×
=
=
+ -
× ×
=
>0,
>0,
[实战演练] (1)(2022·广东佛山模拟)已知抛物线 C:y2=2px(p>0)的焦点为 F,过焦
点且斜率为 2 的直线 l 与抛物线 C 交于 A,B(A 在 B 的上方)两点,若|AF|=λ|BF|,
∴∆ =2 （两等号可同时取得）
结论7 A、O、B1三点共线，
B、O、A1三点共线
证明：
由A(x1,y1),B(x2,y2)得：A1(-
,y1)，B1(- ,y2)
−
∴ =
=
=
−
− −
答案:(1)C
[实战演练] (2)(2022·山东潍坊三模)已知F是抛物线y2=2px(p>0)的焦点,过F作两条互
2
y1 y2
∴y= + 代入①式可得：y1y2=2px
2
y y
∵弦AB过焦点F，由焦点弦性质可知y1y2=-p2 ，∴x=- ，即交点P坐标为(- , 1+ 2)．
2
2 2
结论延伸：切线交点P与弦中点Q 连线平行于对称轴
结论发散：当弦AB不过焦点即切线交点P不在准线上时，切线交点与弦中点的连线也平行于对称轴．
4
2
p
焦点在y正半轴( 2 =2py (p>0)）： y1 y2
, x1 x2 p 2
4
性质2.抛物线焦半径的长度与倾斜角的关系：
焦点在x正半轴
E
A1
p
| AF |
（ 长）
1 cosθ
p
| BF |
（短）
1 cos
向量 AF 在 AA1 投影
A
B
F
焦点在y轴正半轴
结论3：M平分PQ．
结论4：PA平分∠A1AB，PB平分∠B1BA．
结论5：|| ∙ ||= 2
结论6：∆ =2
结论7：A、O、B1三点共线，
B、O、A1三点共线
结论1 PA⊥PB．
证明：
= ， =
1
∴ =
∴PA⊥PB．
2
=
1 2
AF
BF
p
p
p
(5)以AB为直径的圆与准线切于CD中点N；
以AF、BF为直径的圆与y轴相切
以CD为直径的圆与直线AB切于焦点F．
N
∠CFD=90°
（6）三角形OAB的面积：S AOB
p2
2 sin
S OAB S OAF S OBF
1
1
S AOB OF BF sin OF AF sin
2
4
4 2
4
2
= (1 +2 )+
2
2
(1 +2 )2
1
2
2
2
2
2
2
= +
= + (1 + 2 + 21 2 )= + (1 +2 )
4
4
2 2
∴|| ∙ ||= 2
|| ∙ ||=-( ∙ )=-(1 − )(2 − )-1 2
2
②当弦AB过焦点F与x轴不垂直时，设A(x1,y1),B(x2,y2)
则过A点的切线方程是：y1y=p(x+x1) ①
过B点的切线方程是：y2y=p(x+x2) ②
，
1
2
= -1
1 2
证明： =
∴ =
∴PA⊥PB．
=
，
2
12 −22
由①－②可得：(y1-y2)y=p(x1-x2)即： (y1-y2)y=p
③∠ = ∠．
④点M平分PQ．
⑤|| ∙ ||= 2 ．
→
→
[典例 1] (2022·山西太原二模)过抛物线 x =8y 焦点 F 的直线交抛物线于 M,N 两点,若 =λ ,
2
|MN|=9,则λ的值为(
A.
C. 或 3
)
B.
D. 或 2
解析:根据题意直线 y=kx+2 过抛物线 C:x2=8y 的焦点,
（9）过抛物线准线上任一点作抛物线的切线，则过两切点的弦必过焦点
以 2 =2px （p＞0）为例说明
特例：过准线与x轴的交点作抛物线的切线，则过两切点AB的弦必过焦点．
证明：设P(- , 0)、A(x1,y1),B(x2,y2)，则切线PA的方程为y1y=p(x+x1) ，切线PB的方程为
2
y2y=p(x+x2)．均过点P，
证明：
−
−
= (− − 1 , 2 1 )，1 = (− − 1 , 1 2 )， = (− − 1 , −1 )，
2
2
2
2
∴ ∙ 1 = ( + 1 )2
∙ =
12
−
2
4
−
∵|1 |=||
∴∠1 =∠FAB
即PA平分∠A1AB，
结论6 ∆ =2
证明：
1
∆ = || ∙|1 − 2 |
2
|AA |+|BB1 | 1
∵||= 1
= (1 +2 )+
2
2
2
当1 = 2 = 时取等号，
2
2
≥ 1 ∙ 2 + =p
|1 − 2 |=|1 | + |2 |≥2 |1 | ∙ |2 | = 2
A’
(左图以l倾斜角是锐角为例)
p
| AF |
（ 长）
1 sinθ
p
| BF |
（短）
1 sin
2
( 2 =2px (p>0)）(θ为直线AB的倾斜角)
2
sin
2
|AB|＝y1＋y2＋p= 2 ( 2=2py (p>0)）
(3) 抛物线焦点弦的长度：|AB|＝x1＋x2＋p=
2
2
则弦AB过焦点．
结论延伸：过准线上任一点作抛物线的切线，过两切点的弦最短时，即为通径．
（10）AB是过抛物线 2 =2px （p＞0）焦点F的弦，Q是AB的中点，l是抛物线的准
线，AA1 ⊥l，BB1 ⊥ l，过点A，B的切线相交于P点，PQ与抛物线交于点M．则有
结论1：PA⊥PB．
结论2：PF⊥AB．
同理PB平分∠B1BA．
1 2 12
+ =12
2
2
+
2
4
2
+p1 =(
2
2
+ 1 )2
结论5 || ∙ ||= 2
证明：
2
2
=（1 − ，1 ）， =（2 − ，2 ），=(p,
−(1 +2 )
)
2
2
2
2
2
2
2
=-1 2 + (1 +2 )- + =- + (1 +2 )- +2
2
2
1
OF sin ( AF BF )
2
1
OF sin | AB |
2
1 p
2p
p2
sin 2
2 2
sin 2 sin
2
S AOB
p
2 sin
(7)过抛物线 2 =2px (p>0)焦点弦的端点A(x1,y1),B(x2,y2)的切线方程
培优专题：抛物线焦点弦的性质与应用
如图：设抛物线( 2 =2px (p>0) 的焦点为F，准线为l ’ ，直线l过F且与C交于A(x1,y1),B(x2,y2)
两点， 直线l 的倾斜角为。
2
p
2
性质1.焦点在x正半轴( 2 =2px (p>0) ： y1 y2 p , x1 x2
则λ的值为(
A.
B.
)
C.2
D.
解析:(1)设直线 l 的倾斜角为α,根据条件可得 tan α=2 ,则可得 cos α= .
由抛物线焦点弦的性质可知|AF|=
-
| | +
,|BF|=+,
根据|AF|=λ|BF|可得λ=
=
=2.故选 C.
|| -
则x1= ，x2= ，故弦AB过焦点．
2
2
证明：设准线上任一点P(- ,y0)，切点分别为A(x1,y1),B(x2,y2)，
2
则切线方程分别为：y1y=p(x+x1) ，y2y=p(x+x2)
两切线均过点P，则满足y1y0=p(- +x1) ，y2y0=p(- +x2)．
2
故过两切点的弦AB方程为：y0y=p(x- )，
|
则在△OAM 中,由余弦定理得 cos∠OAM=
| +|
|
| -|
|·|
| | +| | -|
在△OBM 中,由余弦定理得 cos∠OBM=
| |·| |
所以∠OAM<90°,∠OBM<90°,
所以∠OAM+∠OBM<180°,故 D 正确.故选 ACD.
p,
|
|
|
=
所以|OB|=
2
2
2
(x-),代入 y =2px,得 12x -13px+3p =0,
+ = p≠|OF|,故 B 不正确;
[典例3] (多选题)(2022·新高考Ⅱ卷)已知O为坐标原点,过抛物线C:y2=2px(p>0)焦点
F的直线与C交于A,B两点,其中A在第一象限,点M(p,0).若|AF|=|AM|,则( )
(以焦点在x轴正半轴为例推证)
p
p
2p
2p
AB AF BF
2
1 cos 1 cos 1 cos sin 2
结论延伸：过焦点垂直于对称轴的弦长等于2p(通径)
且通径是过焦点的最短弦。
(4)
1
1
2
AF
BF
p
1
1
1 cos 1 cos 2
因为|MN|=9,即|MF|+|FN|=9,
又由抛物线焦点弦的性质可得|
+
= = ,联立方程组,
F| | |
| | = , | | = ,
可得
或
| | =
| | = ,
→
→
又因为 =λ ,所以λ=或 2.故选 D.
[典例2] (多选题)(2022·新高考Ⅱ卷)已知O为坐标原点,过抛物线C:y2=2px(p>0)焦点
p
1
则过A(x1,y1)切线方程为y-y1= (x-x1) ，又12 =2px1，
整理可得,过A点的切线方程是：y1y=p(x+x1)
同理可得,过B点的切线方程是：y2y=p(x+x2)
(8)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上
以 2 =2px (p>0)为例说明
证明:①当弦AB⊥X轴时，则点P(- , 0)在准线上．
+
= p,
将其代入抛物线方程 y2 =2px,得 yA= p,所以 A( p, p),
所以直线 AB 的斜率 kA B=kA F=
=2
,故 A 正确;
对于 B,由选项 A 知直线 AB 的方程为 y=2
解得 x= p 或 x= p,所以 xB = p,所以 yB=- p,
，
2
-1
结论2 PF⊥AB．
证明：
+
P(- , 1 2 ),F( ,0),
2
2
2
+
=
−
1 −2 1 −2
2
k AB =
=
=
1 −2 21 −22 1 +2
∴k PF × k AB =-1
∴PF⊥AB．
2
结论3 M平分PQ．
证明：
+
过A点的切线方程是：y1y=p(x+x1)
过B点的切线方程是：y2y=p(x+x2)
2
证明:当y>0时，由 =2px (p>0)得y= 2px，则y′=
2p
2p
2 x
p
2 1 1
点A(x1,y1)处切线斜率k=y′|=1 =
，
= ，
p
2
当y<0时，同理可得点B(x2,y2)处切线斜率k=y′|=2 = ，
= = = = =
∴A、O、B1三点共线.
同理可证：B、O、A1三点共线.
结论发散：当弦AB不过焦点，切线交于P点时，有无与上述结论类似结果？
则有
1 2
1 +2
① =
， =
．
2
2
②PA平分∠A1AB，同理PB平分∠B1BA．
+ +
P(- , 1 2 )，Q( 1 2 , 1 2 )
2
2
2
2
+
∴ = 1 2
2
2
(1 +2 )2 12 +22 −22
∴ = =
=
2
8
8
∴M平分PQ．
=
2(1 +2 )−22
8
=
1 +2 −
4
=
+
2
结论4 PA平分∠A1AB，PB平分∠B1BA．
F的直线与C交于A,B两点,其中A在第一象限,点M(p,0).若|AF|=|AM|,则( )
A.直线 AB 的斜率为 2
B.|OB|=|OF| C.|AB|>4|OF| D.∠OAM+∠OBM<180°
解析:对于 A,由题意,得 F( ,0),因为|AF|=|AM|,且 M(p,0),所以 xA =
A.直线 AB 的斜率为 2
B.|OB|=|OF| C.|AB|>4|OF| D.∠OAM+∠OBM<180°
对于 C,由抛物线的定义及选项 A,B 的分析,得|AB|=xA+xB+p= p+p= p>2p,
即|AB|>4|OF|,故 C 正确;
对于 D,易知|OA|=
p,|AM|= p,|OB|= p,|BM|=
+ -
×
×
=
=
+ -
× ×
=
>0,
>0,
[实战演练] (1)(2022·广东佛山模拟)已知抛物线 C:y2=2px(p>0)的焦点为 F,过焦
点且斜率为 2 的直线 l 与抛物线 C 交于 A,B(A 在 B 的上方)两点,若|AF|=λ|BF|,