6.1菱形的性质与判定(2)

交AB于E，DF∥BA交AC于点F，连接AD，要使四
边形AEDF是菱形，只需添加条件（ ）
A.AD⊥BC B.∠BAD＝∠CAD
A
C.BD=DC D.AD=BC
E
F
B
D
C
课本第7页 第2题
已知：如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O， 点E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD的中点.
证明：
∵EF是AC的垂直平分线 ∴AE=CE,AO=CO
∵AD∥BC
1
∴∠1=∠2
在△AOE和△COF中
4
∠1=∠2
AO=CO ∠3=∠4 ∴△AOE≌△COF（ASA） ∴AE=CF
又∵AE∥CF ∴四边形AFCE是平行四边形 又∵AE=CE
∴四边形AFCE是菱形
五、对应训练 1.下列四边形不是菱形的是（ ）
A
D
B
C
归纳
菱形常用的判定方法：
1.有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 3.有四条边相等的四边形是菱形.
菱形常用的判定方法：
① 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱 形
+一组邻边相等 =
② 对角线互相垂直的平行四边形是菱形
+对角线线互相垂直=
③ 有四条边相等的四边形是菱形。
有一组邻边相等的平行四边形 叫菱形．
平行四边形
一组邻边相等
菱形
想一想
• 一个四边形是平行四边形，那么添加什 么条件能使它成为一个菱形？
定义法：
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
A
D
AB AD ABCD是菱形.
B
C
还可以添加什么条件使它成为一个菱形？
定猜理想：：对对角角线线互互相相垂垂直直的的平平行行四四边边形形是是菱菱形形..
∴DE∥AF 又∵EF∥AD
∴四边形AFED是平行四边形 又∵DE=AD
∴四边形AFED是菱形
六、当堂检测 1.如图，四边形ABCD满足下列条件( B)时，它是 一个菱形
A.AB=BC=CD=AC B.∠1=∠2=∠3=∠4 C.AB=CD,AC⊥BD D.AO=CO,BO=DO,AB=CD
2.在△ABC中，AB≠AC，D是BC上一点，DE∥CA，
例1： 如图，□ABCD的两条对角线AC， BD相交于点O，AB= 5 ， BO=2，AO=1. 求证：□ABCD是菱形
证明：在△AOB中，
∵AB= 5 , BO=2, AO=1,
∴AB2=5, BO2+AO2=5
∴ AB2=BO2+AO2.
∴△AOB是直角三角形，∠AOB是直角. ∴AC⊥BD ∴□ABCD是菱形 (对角线垂直的平行四边形是菱形）.
2
又∵四边形ABCD为菱形
∴AB=BC=CD=DA
∴EF=FG=GH=HE ∴四边形EFGH为菱形
小结：
四条边相等
四边
菱形
形
平行四边形
课本第7页
六、拓展提升
如图，△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC 的平分线，E为AD延长线上一点，CF∥BE 交AD于F,连接BF、CE. 求证：四边形BECF是菱形。
课本第7页 例2：已知：如图，四边形ABCD的对角线AC的垂直平 第1题 分线与AD,AC,BC分别交于点E、O、F，且AD∥BC 求证：四边形AFCE是菱形.
例2：已知：如图，四边形ABCD的对角线AC的垂直平 分线与AD,AC,BC分别交于点E、O、F，且AD∥BC 求证：四边形AFCE是菱形.
求证：四边形EFGH是菱形.
4. 已知：如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O， 点E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD的中点.
求证：四边形EFGH是菱形.
证明：
∵E、F为OA、OB的中点
∴EF为△OAB的中位线
∴FE=
1
2AB
同理可得：
1
FG= GH=
21
BC CD
HE= 12 AD
已知：在 ABCD 中，AC ⊥ BD，
求证：四边形ABCD是菱形。 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC.
∵ AC ⊥ BD，
B
∴BD垂直平分AC
A
O
D
∴BA=BC.
C
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ ABCD是菱形。 (有一组邻边相等的平行四边形叫
符号语言
做菱形).
∵AC ⊥ BD
∴ ABCD是菱形
四条边相等 +
=
老师说下列三个图形都是菱形,你相信吗?
5
34
43
5
3
┍
4
4
3
5
5 5
5
有一组邻边 相等的平行四 边形叫做菱形
对角线互 相垂直的平行 四边形是菱形
有四条边相等的 四边形是菱形。
例1： 如图，□ABCD的两条对角线AC， BD相交于点O，AB= 5 ， BO=2，AO=1.
求证：□ABCD是菱形
A.一组邻边相等的平行四边形 B.对角线互相垂直的四边形 C.对角线互相垂直平分的四边形 D.一条对角线平分一组对角的平行四边形 2.四边形ABCD是平行四边形，下列条件：① AC⊥BD②∠BAD=90°③CD=BC ④AB⊥AC其 中能单独判定平行四边形ABCD是菱形的是（ ） A.①③ B.②③ C.③④ D.②
3.已知E是□ABCD的边CD上的一点，且DE=AD,过点E作 EF∥AD,交AB于点F，四边形AFED是菱形吗？为什么？
3.已知E是□ABCD的边CD上的一点，且DE=AD,过点E作 EF∥AD,交AB于点F，四边形AFED是菱形吗？为什么？ 答：四边形AFED是菱形 理由：∵四边形ABCD是平行四边形
6.1 菱形的性质与判定(2)
知识回顾:
1.菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
对称性 菱形是中心对称图形
2.
菱形是轴对称图形
A
菱形的两组对边平行且相等 菱边
形
菱形的四条边相等
D
O
C
B
的角
性 质：
菱形的两组对角分别相 每
一条对角线平分一组对角。
猜定想理：：有有四四条条边边相相等等的的四四边边形形是是菱菱形形。。
已知：在四边形ABCD中， AB=BC=CD=DA
求证：四边形ABCD是菱形
证明: ∵AD=BC AB=CD
∴四边形ABCD是平行四边形
又∵AB=AD
∴四边形ABCD是菱形 (
符号语言 ∵ AB=BC=CD=DA ∴四边形ABCD是菱形