《高考调研》衡水重点中学精讲练选修2-3课后巩固1-3-1
《高考调研》衡水重点中学同步精讲练数学数学详解
人教A版 ·数学 ·选修1-2
第三章
3.2 3.2.2
高考调研
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探究3
对于复数运算，除了应用四则运算法则之外，对于
一些简单算式要知道其结果，这样起点高，方便计算，达到迅 1＋i 1 速简捷、少出错的效果．比如(1± i)2＝± 2i， i ＝－i， ＝i， 1－i 1－i a＋bi 1 3 1 3 ＝－i， ＝b－ai，(－ ± i)3＝1，( ± i)3＝－1，等 i 2 2 2 2 1＋i 等．
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第三章
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【解析】
i1－i 1＋i 1 1 i 因为z＝ ＝ ＝ ＝ ＋ i，所以 1＋i 1＋i1－i 1＋1 2 2
1 1 对应点(2，2)在第一象限．故选A.
【答案】 A
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第三章
3.2 3.2.2
高考调研
题型二 共轭复数
) 要点2 设z＝a＋bi，那么z的共轭复数 z ＝ a－bi(a，b∈R．
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第三章
3.2 3.2.2
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1．复数乘法满足怎样的运算律？
答：①z1· z2＝z2· z1；②(z1· z2)· z3＝z1· (z2· z3)；③z1(z2＋z3)＝z1· z2 ＋z1· z3
复数的乘方
1＋i7 1－i7 3－4i2＋2i3 (1) ＋ － ； 1－i 1＋i 4＋3i 2＋2i 3 1 (2)(－ 2 －2i)12＋( )8. 1－ 3i
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第三章
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高考调研北师大版数学选修2-3-1-3-1高考调研精讲精练
(2)由题设不等式，得
10！
10！
（n－3）！（13－n）！ < （n－2）！（12－n）！
10！ <（n－1）！（11－n）！.
化简得n－2<13－n且n－1<12－n，解得n<123.
又由题设知3≤n≤11，∴n＝3，4，5，6.
∴原不等式的解集为{3，4，5，6}．
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得3C3yy＋1＝11C3yy－1，即3·
（3y）！ （y＋1）！（2y－1）！
＝
11·（y－1）（！3y（）2！y＋1）！，化简得y2－5y＝0.
∴y＝0(舍)或y＝5，∴x＝15.
∴方程组的解为xy＝＝51.5，
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(2)∵2Cx＋1x－2<3Cx＋12，∴2Cx＋13<3Cx＋12，即 2×（x＋11×）x2×（x3－1）<3×（x1＋×12）x. ① ∵x＋1≥3，x≥2，∴(x＋1)x>0. ①式两边同除以(x＋1)x，得x－1<92，∴x<121. ∴x＝2，3，4，5.即不等式的解集为{2，3，4，5}．
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3．组合数公式 ①Cnm＝AAmnmm＝n（n－1）（n－m2）！…（n－m＋1）． ②Cnm＝m！（nn！ －m）！. 4．组合数的性质 ①Cnm＝Cnn－m． ②Cn＋1m＝Cnm＋Cnm－1． 规定：Cn0＝1．
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方法三 原式＝C33＋C32＋C42＋C52＋…＋C1002 ＝C43＋C42＋C52＋…＋C1002 ＝C53＋C52＋…＋C1002＝…＝C1013 ＝166 650.
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【解析】 (1)∵y′＝x2， ∴在点 P(2,4)处的切线的斜率 k＝y′|x＝2＝4. ∴曲线在点 P(2,4)处的切线方程为 y－4＝4(x－2)，即 4x－y －4＝0. (2)设曲线 y＝13x3＋43与过点 P(2,4)的切线相切于点 A(x0，13x30＋ 43)，则切线的斜率 k＝y′|x＝x0＝x20. ∴切线方程为 y－(13x30＋43)＝x20(x－x0)，
y′|x＝x0＝cosx0＝12，∴x0＝2kπ±π3(k∈Z)．
∴y0＝sinx0＝sin(2kπ±π3)＝±
3 2.
∴适合题意的点的坐标为(2kπ＋3π， 23)，(2kπ－3π，
－ 23)(k∈Z)．
探究 4 本题灵活运用了导数与直线斜率之间关系这一基本 概念，同时，注意将三角函数与导数综合起来解决问题．
【答案】 A
题型四 综合问题 例 4 求正弦曲线 y＝sinx 上切线斜率等于12的点． 【思路分析】 设出曲线上一点，由导数公式求出在该点处 的斜率，它应等于12，从而可求出曲线上该点的坐标．
【解析】 ∵y＝sinx，∴y′＝(sinx)′＝cosx.
设曲线上点 P(x0，y0)处的切线的斜率为12，则
⑥f(x)＝ex，f′(x)＝ ex ；
⑦f(x)＝logax，f′(x)＝
1 x·logae(a>0
且
a≠1)
；
1 ⑧f(x)＝lnx，f′(x)＝ x .
1．若 f(x)＝1x，则 f′(x)＝________？ 答：－x12
2．若 f(x)＝ x，则 f′(x)＝________？ 答： 1
时的瞬时速度为( )
A．6
B．18
C．54
D．81
【解析】 S′＝6t2，令 t＝3，得 v＝S′＝54. 【答案】 C
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第三章 3.2 3.2.2
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探究2 涉及共轭复数的题目，要充分利用共轭复数的性 质：如z＋ z 等于z的实部的两倍，z·z ＝|z|2等，另外注意复数问 题实数化及方程思想的应用．
思考题2 证明|z|＝1⇔z＝ 1 . z
答：(1)|z|＝| z |；(2)z·z ＝|z|2＝| z |2；
(3)z＝ z ⇔z∈R， z ＝－z(z≠0)⇔z为纯虚数；
(4) z1＋z2 ＝ z 1＋ z 2；(5) z1·z2 ＝ z 1·z 2；
(6)(zz12)＝
z z
1(z2≠0)．
2
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第三章 3.2 3.2.2
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第三章 3.2 3.2.2
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(3)原式＝2－2i＋33i＋－i3i22－i ＝5＋3i＋2i－i＝10－53i＋＋i2i－i2 ＝113－＋3i i＝113－＋3ii33－－ii ＝33－11i1－0 9i＋3i2 ＝30－1020i＝3－2i.
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第三章 3.2 3.2.2
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1．复数乘法满足怎样的运算律？ 答：①z1·z2＝z2·z1；②(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)；③z1(z2＋z3)＝z1·z2 ＋z1·z3
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第三章 3.2 3.2.2
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2．共轭复数有哪些主要性质？
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(3)(2010·陕西卷，文)复数z＝
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因此P(B|A)＝PP（（AAB））＝15.
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法二
本题也可直接利用公式P＝
◎思考题2 把一枚硬币任意抛掷两次，事件A＝“第一次 出现正面”，事件B＝“第二次出现正面”，则P(B|A)＝ ________．
【答案】
1 2
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例3 设10件产品中有4件不合格，从中任意取出2件，在所 取得的产品中发现有一件不合格品，求另一件也是不合格品的 概率．
【解析】 (1)方法一： P(A)＝C32C＋62C32＝25，P(AB)＝CC3622＝15.
1 由条件概率计算公式，得P(B|A)＝PP（（AAB））＝52＝12.
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方法二： 因为n(A)＝C32＋C32＝6，n(AB)＝C32＝3， 所以P(B|A)＝nn（（AAB））＝36＝12.
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课时学案
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题型一 条件概率
例1 (1)(2015·威海高二检测)从1，2，3，4，5，6中任取2
个不同的数，事件A＝“取到的两个数之和为偶数”，事件B＝
“取到的两个数均为偶数”，则P(B|A)＝( )
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请做：课时作业（十七）
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《高考调研》衡水重点中学精讲练选修2-3课后巩固1-1-2
1．用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为()A．324B．328C．360 D．648答案 B解析若组成没有重复数字的三位偶数，可分为两种情况：①当个位上是0时，共有9×8＝72(种)情况；②当个位上是不为0的偶数时，共有4×8×8＝256(种)情况，综上，共有72＋256＝328(种)情况．2．在(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)的展开式中，含x4的项的系数是()A．－15 B．85C．－120 D．274答案 A解析根据乘法原理，含x4的项是4个因式中取x，余下一个因式取常数项形成的，所以含x4的项的系数是(－1－2－3－4－5)，即－15.3．某赛季足球比赛的计分规则是：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．一球队打完15场，积33分，若不考虑顺序，该队胜、负、平的情况共有()A．5种B．4种C．3种D．6种答案 C4．春回大地，大肥羊学校的春季运动会正在如火如荼地进行，喜羊羊、懒羊羊、沸羊羊、暖羊羊4只小羊要争夺5项比赛的冠军，则有________种不同的夺冠情况．答案455．电子计算机的输入纸带每排有8个穿孔位置，每个穿孔位置可穿孔或不穿孔，则每排最多可产生________种不同的信息．答案256解析8个位置上的每个位置穿孔或不穿孔都可确定一个信息，故应分步完成确定一个信息，由分步乘法计数原理得28＝256.6．由1,2,3,4可以组成多少个自然数(数字可以重复，最多只能是四位数)?思路分析按自然数的位数多少，可以分为以下四类：一位，二位，三位，四位的自然数，而在每一类中，又可以分成几步进行．解析组成的自然数可以分为以下四类：第一类：一位自然数，共有4个；第二类：二位自然数，又可分两步来完成．先取出十位上的数字，再取出个位上的数字，共有4×4＝16(个)；第三类：三位自然数，又可分三步来完成．每一步都可以从4个不同的数字中任取一个，共有4×4×4＝64(个)；第四类：四位自然数，又可分四步来完成．每一步都可以从4个不同的数字中任取一个，共有4×4×4×4＝256(个)．由分类加法计数原理知，可以组成的不同的自然数为4＋16＋64＋256＝340(个)．。
《高考调研》衡水重点中学精讲练选修2-3课时作业24
课时作业(二十四)1．若ξ～N (1，14)，η＝6ξ，则E (η)等于( )A ．1B.32 C ．6D ．36答案 C解析 ∵ξ～N (1，14)，∴E (ξ)＝1，∴E (η)＝6E (ξ)＝6.2．已知随机变量ξ服从正态分布N (2，σ2)，P (ξ≤4)＝0.84，则P (ξ≤0)＝( )A ．0.16B ．0.32C ．0.68D ．0.84 答案 A解析 利用正态分布图像的对称性，P (ξ≤0)＝1－P (ξ≤4)＝1－0.84＝0.16.3．(2010·广东)已知随机变量X 服从正态分布N (3,1)，且P (2≤X ≤4)＝0.682 6，则P (X >4)＝( )A ．0.158 8B ．0.158 7C ．0.158 6D ．0.158 5 答案 B解析 由正态密度函数的对称性知P (X >4)＝1－P (2≤X ≤4)2＝1－0.682 62＝0.158 7，故选B. 4．若随机变量ξ～N (0,1)，则P (|ξ|>3)等于( )A ．0.997 4B ．0.498 7C．0.974 4 D．0.002 6答案 D5．若随机变量ξ～N(－2,4)，则ξ在区间(－4，－2]上取值的概率等于ξ在下列哪个区间上取值的概率()A．(2,4] B．(0,2]C．(－2,0] D．(－4,4]答案 C6．已知ξ～N(0,62)，且P(－2≤ξ≤0)＝0.4，则P(ξ>2)等于() A．0.1 B．0.2C．0.6 D．0.8答案 A7．已知一次考试共有60名同学参加，考生的成绩X～N(110,52)，据此估计，大约应有57人的分数在下列哪个区间内？() A．(90,110] B．(95,125]C．(100,120] D．(105,115]答案 C解析由于X～N(110,52)，所以μ＝110，σ＝5，因此考试成绩在区间(105,115]，(100,120]，(95,125]上的概率分别应是0.682 6,0.954 4,0.997 4，由于一共有60人参加考试，∴成绩位于上述三个区间的人数分别是：60×0.682 6＝41人，60×0.954 4＝57人，60×0.997 4＝60人．8．设离散型随机变量ξ～N(0,1)，则P(ξ≤0)＝________；P(－2<ξ<2)＝________.答案12，0.954 4解析因为标准正态曲线的对称轴为x＝0，所以P(ξ≤0)＝P(ξ>0)＝12.而P (－2<ξ<2)＝P (－2σ<ξ<2σ)＝0.954 4.9．某种零件的尺寸X (cm)服从正态分布N (3,1)，则不属于区间(1,5)这个尺寸范围的零件约占总数的________．答案 4.56%解析 属于区间(μ－2σ，μ＋2σ)即区间(1,5)的取值概率约为95.44%，故不属于区间(1,5)这个尺寸范围的零件数约占总数的1－95.44%＝4.56%.10．某人从某城市的A 地乘公交车到火车站，由于交通拥挤，所需时间(单位：分钟)X ～N (50,102)，则他在时间段(30,70]内赶到火车站的概率为________．答案 0.954 4解析 ∵X ～N (50,102)，∴μ＝50，σ＝10.∴P (30<X ≤70)＝P (50－20<X ≤50＋20)＝0.954 4.11．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N (1，σ2)(σ>0)，若ξ在(0,1)内取值的概率为0.4，则ξ在(0,2)内取值的概率为________．答案 0.812．设随机变量ξ～N (3,4)，若P (ξ>c ＋2)＝P (ξ<c －2)，求c 的值． 解析 由ξ～N (3,4)可知，密度函数关于直线x ＝3对称(如下图所示)，又P (ξ>c ＋2)＝P (ξ<c －2)，故有3－(c －2)＝(c ＋2)－3，∴c ＝3.13．在一次测试中，测量结果X 服从正态分布N (2，σ2)(σ>0)，若X 在(0,2)内取值的概率为0.2，求(1)X 在(0,4)内取值的概率；(2)P (X >4)．解析(1)由于X ～N (2，σ2)，对称轴x ＝2，画出示意图，∵P (0<X <2)＝P (2<X <4)，∴P (0<X <4)＝2P (0<X <2)＝2×0.2＝0.4.(2)P (X >4)＝12[1－P (0<X <4)]＝12(1－0.4)＝0.3.14．若在一次数学考试中，某班学生的分数为X ，且X ～N (110,202)，满分为150分，这个班的学生共有54人，求这个班在这次数学考试中及格(不小于90分)的人数和130分以上(不包括130分)的人数．解析 ∵X ～N (110,202)，∴μ＝110，σ＝20.∴P (110－20<X ≤110＋20)＝0.682 6.∴X >130的概率为12×(1－0.682 6)＝0.158 7.∴X ≥90的概率为0.682 6＋0.158 7＝0.841 3.∴及格的人数为54×0.841 3≈45(人)，130分以上的人数为54×0.158 7≈9(人)．►重点班选做题15．设随机变量X 服从正态分布X ～N (8,1)，求P (5<X ≤6)． 解析 由已知得μ＝8，σ＝1，∵P (6<X ≤10)＝0.954 4，P (5<X ≤11)＝0.997 4，∴P (5<X ≤6)＋P (10<X ≤11)＝0.997 4－0.954 4＝0.043.如图，由正态曲线分布的对称性，得P (5<X ≤6)＝P (10<X ≤11)＝0.0432＝0.021 5.16．(2013·沧州七校联考)2012年中国汽车销售量达到1 700万辆，汽车耗油量对汽车的销售有着非常重要的影响，各个汽车制造企业积极采用新技术降低耗油量，某汽车制造公司为调查某种型号的汽车的耗油情况，共抽查了1 200名车主，据统计该种型号的汽车的平均耗油为百公里8.0升，并且汽车的耗油量ξ服从正态分布N (8，σ2)，已知耗油量ξ∈[7,9]的概率为0.7，那么耗油量大于9升的汽车大约有________辆．思路分析 首先根据题意确定正态分布的对称轴，利用正态曲线的对称性即可求得ξ>9的概率，利用概率来估计样本中满足条件的汽车数量解析 由题意可知ξ～N (8，σ2)，故正态分布曲线以μ＝8为对称轴，又因为P (7≤ξ≤9)＝0.7，故P (ξ>9)＝12[1－p (7≤ξ≤9)]＝12(1－0.7)＝0.15.故耗油量大于9升的汽车大约有1 200×0.15＝180辆．1．(2011·辽宁)从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A ＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B ＝“取到的2个数均为偶数”，则P (B |A )＝( )A.18B.14C.25D.12答案 B解析 ∵P (A )＝C 22＋C 23C 25＝410＝25，P (AB )＝C 22C 25＝110， ∴P (B |A )＝P (AB )P (A )＝14. 2．(2011·湖北)已知随机变量ξ服从正态分布N (2，σ2)，且P (ξ<4)＝0.8，则P (0<ξ<2)等于( )A ．0.6B ．0.4C ．0.3D ．0.2答案 C解析 根据题意，随机变量ξ的正态分布，密度曲线关于x ＝2对称，故P(0<ξ<2)＝P(2<ξ<4)＝P(ξ<4)－P(ξ<2)＝0.8－0.5＝0.3.3．(2012·广东)某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．(1)求图中x的值；(2)从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上(含90分)的人数记为ξ，求ξ的数学期望．解析(1)由题设可知(3×0.006＋0.01＋x＋0.054)×10＝1，解得x ＝0.018.(2)由题设可知，成绩在区间[80,90)内的人数为0.018×10×50＝9，成绩在区间[90,100]内的人数为0.006×10×50＝3，所以不低于80分的学生人数为9＋3＝12，ξ的所有可能取值为0,1,2.P(ξ＝0)＝C29C212＝611，P(ξ＝1)＝C19C13C212＝922，P(ξ＝2)＝C23C212＝122，所以ξ的数学期望E (ξ)＝0×611＋1×922＋2×122＝12.4．(2012·山东)现有甲、乙两个靶．某射手向甲靶射击一次，命中的概率为34，命中得1分，没有命中得0分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为23，每命中一次得2分，没有命中得0分，该射手每次射击的结果相互独立．假设该射手完成以上三次射击．(1)求该射手恰好命中一次的概率；(2)求该射手的总得分X 的分布列及数学期望E (X )．解析 (1)记：“该射手恰好命中一次”为事件A ，“该射手射击甲靶命中”为事件B ，“该射手第一次射击乙靶命中”为事件C ，“该射手第二次射击乙靶命中”为事件D .由题意知P (B )＝34，P (C )＝P (D )＝23，由于A ＝B C D ＋B C D ＋B C D ，根据事件的独立性和互斥性，得P (A )＝P (B C D )＋P (B C D )＋P (B C D )＝34×(1－23)×(1－23)＋(1－34)×23×(1－23)＋(1－34)×(1－23)×23 ＝736.(2)根据题意，X 的所有可能取值为0,1,2,3,4,5.根据事件的独立性和互斥性，得P (X ＝0)＝P (B C D )＝[1－P (B )][1－P (C )][1－P (D )]＝(1－34)×(1－23)×(1－23)＝136，P (X ＝1)＝P (B C D )＝P (B )P (C )P (D )＝34×(1－23)×(1－23)＝112，P (X ＝2)＝P (B C D ＋B C D )＝P (B C D )＋P (B C D )＝(1－34)×23×(1－23)＋(1－34)×(1－23)×23＝19，P (X ＝3)＝P (BC D ＋B C D )＝P (BC D )＋P (B C D )＝34×23×(1－23)＋34×(1－23)×23＝13，P (X ＝4)＝P (B CD )＝(1－34)×23×23＝19，P (X ＝5)＝P (BCD )＝34×23×23＝13.故X 的分布列为所以E (X )＝0×36＋1×12＋2×9＋3×3＋4×9＋5×13＝4112.5．(2012·浙江)已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分．现从该箱中任取(无放回，且每球取到的机会均等)3个球，记随机变量X 为取出此3球所得分数之和．(1)求X 的分布列；(2)求X 的数学期望E (X )．解析 (1)由题意得X 取3,4,5,6，且P (X ＝3)＝C 35C 39＝542，P (X ＝4)＝C 14·C 25C 39＝1021， P (X ＝5)＝C 24·C 15C 39＝514，P (X ＝6)＝C 34C 39＝121. 所以X 的分布列为(2)由(1)知E (X X ＝5)＋6P (X ＝6)＝133.6．(2012·江苏)设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ＝0；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ＝1.(1)求概率P (ξ＝0)；(2)求ξ的分布列，并求其数学期望E (ξ)．解析 (1)若两条棱相交，则交点必为正方体8个顶点中的1个，过任意1个顶点恰有3条棱，所以共有8C 23对相交棱，因此P (ξ＝0)＝8C 23C 212＝8×366＝411. (2)若两条棱平行，则它们的距离为1或2，其中距离为2的共有6对，故P (ξ＝2)＝6C 212＝111. 于是P (ξ＝1)＝1－P (ξ＝0)－P (ξ＝2)＝1－411－111＝611.所以随机变量ξ的分布列为因此E(ξ)＝07．(2011·山东)红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A、B、C进行围棋比赛，甲对A、乙对B、丙对C各一盘．已知甲胜A、乙胜B、丙胜C的概率分别为0.6,0.5,0.5.假设各盘比赛结果相互独立．(1)求红队至少两名队员获胜的概率；(2)用ξ表示红队队员获胜的总盘数，求ξ的分布列和数学期望E(ξ)．解析(1)设甲胜A的事件为D，乙胜B的事件为E，丙胜C的事件为F，则D，E，F分别表示甲不胜A、乙不胜B、丙不胜C的事件．因为P(D)＝0.6，P(E)＝0.5，P(F)＝0.5，由对立事件的概率公式知P(D)＝0.4，P(E)＝0.5，P(F)＝0.5.红队至少两人获胜的事件有：DE F，D E F，D EF，DEF.由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立，因此红队至少两人获胜的概率为P＝P(DE F)＋P(D E F)＋P(D EF)＋P(DEF)＝0.6×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.55.(2)由题意知ξ可能的取值为0,1,2,3.又由(1)知D E F、D E F、D E F是两两互斥事件，且各盘比赛的结果相互独立，因此P(ξ＝0)＝P(D E F)＝0.4×0.5×0.5＝0.1，P(ξ＝1)＝P(D E F)＋P(D E F)＋P(D E F)＝0.4×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.35，P(ξ＝3)＝P(DEF)＝0.6×0.5×0.5＝0.15.由对立事件的概率公式，得P(ξ＝2)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝1)－P(ξ＝3)＝0.4.所以ξ的分布列为因此E(ξ)＝0×＝1.6.8．(2011·江西)某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行一项测试，以便确定工资级别，公司准备了两种不同的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为A饮料，另外4杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯A饮料，若4杯都选对，则月工资定为3 500元，若4杯选对3杯，则月工资定为2 800元，否则月工资定为2 100元，令X表示此人选对A饮料的杯数，假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力．(1)求X的分布列；(2)求此员工月工资的期望．解析(1)X的所有可能取值为：0,1,2,3,4，P(X＝i)＝C i4C4－i4C48(i＝0,1,2,3,4)，即X的分布列为(2)令Y 2 100，2 800，3 500.则P (Y ＝3 500)＝P (X ＝4)＝170，P (Y ＝2 800)＝P (X ＝3)＝835，P (Y ＝2 100)＝P (X ≤2)＝5370.E (Y )＝3 500×170＋2 800×835＋2 100×5370＝2 280，所以此员工月工资的期望为2 280元．9．(2010·广东)某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上40件产品作为样本称出它们的重量(单位：克)，重量的分组区间为(490,495]，(495,500]，…，(510,515]，由此得到样本的频率分布直方图，如图所示．(1)根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量；(2)在上述抽取的40件产品中任取2件，设Y 为重量超过505克的产品数量，求Y 的分布列；(3)从该流水线上任取5件产品，求恰有2件产品的重量超过505克的概率．解析 (1)重量超过505克的产品数量为：40×(0.05×5＋0.01×5)＝40×0.3＝12件．(2)Y 的分布列为(3)505克的概率为0.3.令ξ为任取的5件产品中重量超过505克的产品数量，则ξ～B (5,0.3)，故所求概率为P (ξ＝2)＝C 25(0.3)2(0.7)3＝0.308 7.10．(2012·重庆)甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球．约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束．设甲每次投篮投中的概率为13，乙每次投篮投中的概率为12，且各次投篮互不影响． (1)求乙获胜的概率；(2)求投篮结束时乙只投了2个球的概率． 解析 设A k 、B k 分别表示甲、乙在第k 次投篮投中，则P (A k )＝13，P (B k )＝12(k ＝1,2,3)．(1)记“乙获胜”为事件C ，由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计算公式知 P (C )＝P (A 1B 1)＋P (A 1 B 1 A 2 B 2)＋P (A 1 B 1 A 2 B 2 A 3 B 3)＝P (A 1)P (B 1)＋P (A 1)P (B 1)P (A 2)P (B 2)＋P (A 1)P (B 1)P (A 2)P (B 2)P (A 3)P (B 3)＝23×12＋(23)2(12)2＋(23)3(12)3＝1327.(2)“投篮结束时乙只投了2个球”为事件D，则由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计算公式知P(D)＝P(A1B1A2B2)＋P(A1B1A2B2A3)＝P(A1)P(B1) P(A2)P(B2)＋P(A1)P(B1)P(A2)P(B2)P(A3)＝(23)2(12)2＋(23)2(12)2(13)＝427.11．(2011·大纲全国)根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3.设各车主购买保险相互独立．(1)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；(2)X表示该地的100位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数．求X的期望．解析记A表示事件：该地的1位车主购买甲种保险；B表示事件：该地的1位车主购买乙种保险但不购买甲种保险；C表示事件：该地的1位车主至少购买甲、乙两种保险的1种；D表示事件：该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买．(1)P(A)＝0.5，P(B)＝0.3，C＝A＋B，P(C)＝P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.8.(2)D＝C，P(D)＝1－P(C)＝1－0.8＝0.2，X～B(100,0.2)，即X服从二项分布，所以期望E(X)＝100×0.2＝20.。
《高考调研》衡水重点中学精讲练选修2-3课后巩固3-1
1．下列变量是相关关系的是()A．人的身高与视力B．圆心角的大小与其所对的圆弧长C．直线上某点的横坐标与纵坐标D．人的年龄与身高答案 D解析A不是相关关系；B、C是函数关系；D人的年龄与身高存在相关关系，因为身高不仅受年龄的影响，还受遗传、饮食、环境等因素的影响．2．对于线性相关系数r，叙述正确的是()A．|r|∈(0，＋∞)，|r|越大，相关程度越大，反之，相关程度越小B．r∈(－∞，＋∞)，r越大，相关程度越大，反之，相关程度越小C．|r|≤1，且|r|越接近于1，相关程度越大；|r|越接近于0，相关程度越小D．以上说法都不对答案 C3．由一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x n，y n)得到的线性回归方程为y∧＝b∧x＋a∧，那么下面说法不正确的是()A．直线y∧＝b∧x＋a∧必经过点(x，y)B．直线y∧＝b∧x＋a∧至少经过点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x n，y n)中的一个点C ．直线y ∧＝b ∧x ＋a ∧的斜率为∑i ＝1nx i y i －n x y∑i ＝1nx 2i －n x 2D ．直线y ∧＝b ∧x ＋a ∧和各点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )的残差平方和∑i ＝1n(y i －y ∧i )2是该坐标平面上所有直线与这些点残差平方和中最小的答案 B4．已知x 与y 之间的一组数据如下，则y 与x 的线性回归方程为y ∧＝b ∧x ＋a ∧必过点________．答案 (32，4)解析 回归方程必过样本点的中心(x ，y )，又x ＝1＋2＋34＝32，y ＝1＋3＋5＋74＝4，即过点(32，4)． 5．甲、乙、丙、丁四位同学各自对A 、B 两变量做回归分析，分别得到散点图与残差平方和∑i ＝1n(y i －y ∧i )2如下表：高？A．甲B．乙C．丙D．丁答案 D解析根据线性相关的知识，散点图中各样本点条状分布越均匀，n 同时保持残差平方和越小(对于已经获取的样本数据，R2表达式中i＝1 (y i－y)2为确定的数，则残差平方和越小，R2越大)，由回归分析建立的线性回归模型的拟合效果越好，由试验结果知丁要好些，故选D.。
《高考调研》衡水重点中学同步精讲练数学选修1-2课时作业1
课时作业(一)一、选择题1．下列两个变量之间的关系是相关关系的是( ) A ．正方体的棱长和体积 B ．角的弧度数和它的正弦值 C ．速度一定时的路程和时间 D ．日照时间与水稻的亩产量 答案 D解析 因为相关关系就是两个变量之间的一种非确定性关系，故可由两个变量之间的关系确定答案．A ，B ，C 均确定性关系，即函数关系，而D 中日照时间与亩产量的关系是不确定的．故选D.2．若回归直线方程中的回归系数b ∧＝0，则相关系数( ) A ．r ＝1 B ．r ＝－1 C ．r ＝0 D ．无法确定答案 C解析 注意两个系数之间的联系.b ∧＝∑i ＝1nx i y 1－n x y∑i ＝1nx 2i －n x 2，r ＝∑i ＝1nx i y 1－n x y(∑i ＝1nx 2i －nx 2)(∑i ＝1ny 2i －n y 2)，两个式子的分子是一致的，当b ∧＝0时，r 一定为0.故选C.3．在两个变量y与x的回归模型中，分别选择了4个不同的模型，它们的相关指数R2如下，其中拟合效果最好的模型是() A．模型1的相关指数R2为0.98B．模型2的相关指数R2为0.80C．模型3的相关指数R2为0.50D．模型4的相关指数R2为0.25答案 A解析相关指数R2的取值范围为[0,1]其中R2＝1，即残差平方和为0，此时预测值与观测值相等，y与x是函数关系，也就是说在相关关系中R2越接近于1，说明随机误差的效应越小，y与x相关程度越大，模型的拟合效果越好．R2＝0，说明模型中x与y根本无关．故选A.4．在一次试验中，测得(x，y)的四组值分别是A(1,2)，B(2,3)，C(3,4)，D(4,5)，则y与x之间的线性回归方程为()A.y∧＝x＋1B.y∧＝x＋2C.y∧＝2x＋1D.y∧＝x－1答案 A5．在对两个变量x，y进行线性回归分析时有下列步骤：①对所求出的回归方程作出解释；②收集数据(x i，y i)，i＝1,2，…，n；③求线性回归方程；④求相关系数；⑤根据所搜集的数据绘制散点图．如果根据可靠性要求能够作出变量x，y具有线性相关结论，则在下列操作顺序中正确的是()A．①②⑤③④B．③②④⑤①C．②④③①⑤D．②⑤④③①答案 D解析根据线性回归分析的思想，可知对两个变量x，y进行线性回归分析时，应先收集数据(x i，y i)，然后绘制散点图，再求相关系数和线性回归方程，最后对所求的回归方程作出解释，因此选D.6．若变量y与x之间的相关系数r＝－0.936 2，则变量y与x之间()A．不具有线性相关关系B．具有线性相关关系C．它们的线性关系还要进一步确定D．不确定答案 B7．某医学科研所对人体脂肪含量与年龄这两个变量研究得到一组随机样本数据，运用Excel软件计算得y∧＝0.577x－0.448(x为人的年龄，y为人体脂肪含量)．对年龄为37岁的人来说，下面说法正确的是() A．年龄为37岁的人体内脂肪含量都为20.90%B．年龄为37岁的人体内脂肪含量为21.01%C．年龄为37岁的人群中的大部分人的体内脂肪含量为20.90% D．年龄为37岁的大部分的人体内脂肪含量为31.5%答案 C解析当x＝37时，y∧＝0.577×37－0.448＝20.901≈20.90，由此估计：年龄为37岁的人群中的大部分人的体内脂肪含量为20.90%.8．(09·海南)对变量x，y有观测数据(x i，y i)(i＝1,2，…，10)，得散点图(1)；对变量u，v有观测数据(u i，v i)(i＝1,2，…，10)，得散点图(2)．由这两个散点图可以判断()A．变量x与y正相关，u与v正相关B．变量x与y正相关，u与v负相关C．变量x与y负相关，u与v正相关D．变量x与y负相关，u与v负相关答案 C二、填题空9．已知回归直线的斜率的估计值是1.23.样本点的中心为(4,5)，则回归直线方程是________．答案y∧＝1.23x＋0.08解析由斜率的估计值为1.23，且回归直线一定经过样本点的中心(4,5)，可得y∧－5＝1.23(x－4)，即y∧＝1.23x＋0.08.10．若一组观测值(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x n，y n)之间满足y i＝bx i ＋a＋e i(i＝1,2，…，n)，且e i恒为0，则R2为________．答案 1解析由e i恒为0知y i＝y∧i，即y i－y∧i＝0，故R2＝1－∑i＝1n(y i－y∧i)2∑i＝1n(y i－y)2＝1－0＝1.11．(2010·广东)某市居民2005～2009年家庭平均收入x(单位：万元)与年平均支出Y(单位：万元)的统计资料如下表所示：年平均收入与年平均支出有________线性相关关系．答案13较强的解析由表中所给的数据知所求的中位数为13，画出x与Y的散点图知它们有较强的线性相关关系．12．为了考察两个变量y与x的线性相关性，测得x，y的13对数据，若y与x具有线性相关关系，则相关指数R2的取值范围是________．答案(0,1)解析相关指数R2＝1－∑i＝1n(y i－y∧i)2∑i＝1n(y i－y)2.R2的取值范围是[0,1]．当R2＝0时，即残差平方和等于总偏差平方和，解释变量效应为0，x与y 没有任何关系；当R2＝1时，即残差平方和为0，x与y之间是确定的函数关系．其他情形，即当x与y是不确定的相关关系时，R2∈(0,1)．13．若某函模型相对一组数据的残差平方和为89，其相关指数为0.95，则总偏差平方和为________，回归平方和为________．答案 1 780 1 691解析R2＝1－残差平方和总偏差平方和，0．95＝1－89总偏差平方和，∴总偏差平方和为1 780.回归平方和＝总偏差平方和－残差平方和＝1 780－89＝1 691.14．已知两个变量x与y之间有线性相关性，5次试验的观测数据如下：那么变量y答案y∧＝0.575x－14.9解析由线性回归的参数公式可求得b∧＝0.575，a∧＝－14.9，所以回归方程为y∧＝0.575x－14.9.三、解答题15．某产品的广告费用支出x与销集额y(单位：百万元)之间有如下统计数据：请对上述变量解析由题意可以列表如下：r ＝1 380－5×5×50(145－5×52)(13 500－×5×502)≈0.92， 查表得r 0.05＝0.878.因为r >r 0.05，说明广告费用和销售额之间具有显著的线性相关关系．16．一台机器使用时间较长，但还可以使用．它按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺点，每小时生产有缺点零件的多少随机器运转的速度而变化，下表为抽样试验结果：(2)如果y 与x 有线性相关关系，求线性回归方程；(3)若实际生产中，允许每小时的产品中有缺点的零件最多为10个，那么，机器的运转速度应控制在什么范围内？解析 (1)x ＝12.5，y ＝8.25.∑i ＝14x i y i ＝438,4x y＝412.5，∑i ＝14x 2i ＝660，∑i ＝14y 2i ＝291，所以r＝∑i＝14x i y i－4x y(∑i＝14x2i－4x2)(∑i＝14y2i－4y2)＝438－412.5(660－625)×(291－272.25)＝25.5656.25≈25.5025.62≈0.995.因为r>0.75，所以y与x有线性相关关系．(2)y∧＝0.728 6x－0.857 1.(3)要使y∧≤10，即0.728 6x－0.857 1≤10，所以x≤14.901 3.所以机器的转速应控制在14.901 3转/秒以下．17．(07·广东高考)下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨标准煤)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对照数据.(1)(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程y∧＝b∧x＋a∧；(3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(2)求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？(参考数值：3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5) 解析 (1)图形如图所示．(2)x ＝3＋4＋5＋64＝4.5； y ＝2.5＋3＋4＋4.54＝3.5； ∑i ＝14x i y i ＝3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5.∑i ＝14x 2i ＝32＋42＋52＋62＝86. ∴b ∧＝∑i ＝14x i y i －4x ·y ∑i ＝14x 2i －4x 2＝66.5－4×4.5×3.586－4×4.5＝0.7，a ∧＝y －b ∧x ＝3.5－0.7×4.5＝0.35. ∴y ∧＝0.7x ＋0.35.(3)现在生产100吨甲产品用煤 y ＝0.7×100＋0.35＝70.35，∴降低90－70.35＝19.65(吨标准煤)．对于x 与y 有如下观测数据：(1)(2)对x 与y 作回归分析； (3)求出y 与x 的回归直线方程；(4)根据回归直线方程，预测y ＝20时x 的值．解析 解决有关线性回归问题的一般步骤是：散点图→相关系数→回归方程．答案 (1)作出散点图，如图(2)作相关性检验．x ＝18×(18＋25＋30＋39＋41＋42＋49＋52)＝2968＝37， y ＝18×(3＋5＋6＋7＋8＋9＋10)＝7，∑i ＝18x 2i ＝182＋252＋302＋392＋412＋422＋492＋522＝11920， ∑i ＝18y 2i ＝32＋52＋62＋72＋82＋82＋92＋102＝428，∑i ＝18x i y i ＝18×3＋25×5＋30×6＋39×7＋41×8＋42×8＋49×9＋52×10＝2257，∑i ＝18x i y i －8x y ＝2257－8×37×7＝185，∑i ＝18x 2i －8x 2＝11920－8×372＝968，∑i ＝18y 2i －8y 2＝428－8×72＝36，∴r ＝∑i ＝18x i y i －8x y(∑i ＝18x 2i －8x 2)(∑i ＝18y 2i －8y 2)＝185968×36≈0.991. 由于r ＝0.991>0.75，因此，认为两个变量有很强的相关关系．(3)回归系数b ∧＝∑i ＝18x i y i －8x y∑i ＝18x 2i －8x2＝18511920－8×372≈0.191 a ∧＝y －b ∧x ＝7－0.191×37＝－0.067，所以y 对x 的回归直线方程为y ∧＝0.191x －0.067.(4)当y ＝20时，有20＝0.191x －0.067，得x ≈105.因此在y 的值为20时，x 的值约为105.。
《高考调研》衡水重点中学精讲练选修2-2课件1-3
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第一章
1.3
高考调研
x f′(x) f(x) (－∞，x1) － x1 0 极小 值 (x1，x2) ＋ ↘
新课标A版 ·数学 ·选修2-2
x2 0 极大 值
(x2，＋∞) －
由表可知，f(x)取极大值和极小值的点各有一个． 1＋b fx1＝ax ＝－1， 2 x 1 ＋ 1 (2)解析 由(1)可知 ax2＋b fx2＝ 2 ＝1 x 2＋1 ⇒
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第一章
1.3
高考调研
【解析】
新课标A版 ·数学 ·选修2-2
(1)f′(x)＝3x2＋6ax，令 f′(x)＝0，得 x＝0 或 x
＝－2a，且 a≠0. 当 x＝0 时，f(x)＝b；当 x＝－2a 时，f(x)＝4a3＋b. y－b x－0 故直线 AB 的方程为 3 ＝ . 4a ＋b－b －2a－0 由于点(1,0)在直线 AB 上，代入上式得 b＝2a2. 又 f(1)＝0，即 1＋3a＋b＝0，与上式联立得 1 a ＝－ 2， a＝－1， 或 b＝2 b＝1. 2
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第一章
1.3
高考调研
1 68 φ(－1)＝0，φ(－3)＝－27，φ(1)＝4，
新课标A版 ·数学 ·选修2-2
68 68 故 φmin(x)＝－ ，从而 k 的取值范围为(－∞，－ )． 27 27
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第一章
1.3
高考调研
题型三
例3
新课标A版 ·数学 ·选修2-2
求单调区间
1－a (2010· 山东)已知函数 f(x)＝lnx－ax＋ －1(a∈R)． x第 页第一章1.3
高考调研
5 5 (2)由 a＝2－b>0 知 0<b<2.
高考调研北师大版数学选修2-3-1-1-1高考调研精讲精练
高考调研 ·北师大版 ·数学（选修2-3）
【解析】 (1)分四类： 第一类，从一班选一人，有7种选法； 第二类，从二班选一人，有8种选法； 第三类，从三班选一人，有9种选法； 第四类，从四班选一人，有10种选法． 所以共有不同的选法为N＝7＋8＋9＋10＝34(种)．
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高考调研 ·北师大版 ·数学（选修2-3）
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高考调研 ·北师大版 ·数学（选修2-3）
3．分类加法计数原理与分步乘法计数原理的联系与区别 (1)联系：都是涉及做一件事的不同方法的种数问题． (2)区别：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，其中 各种方法相对独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事； 分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，各个步骤中的方法 互相依存，只有各个步骤都完成才算做完这件事．
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高考调研 ·北师大版 ·数学（选修2-3）
4．分步乘法计数原理的推广 完成一件事需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方 法，做第2步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的 方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×mn种不同的方 法．
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高考调研 ·北师大版 ·数学（选修2-3）
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高考调研 ·北师大版 ·数学（选修2-3）
探究4 解两个计数原理的综合应用题时，最容易出现不知 道应用哪个原理解题的情况，其思维障碍在于没有区分该问题 是“分类”还是“分步”，突破方法在于认真审题，明确“完 成一件事”的含义．具体应用时灵活性很大，要在做题过程中 不断体会和思考，基本原则是“化繁为简”．
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高考调研 ·北师大版 ·数学（选修2-3）
【点评】 首先考虑x，y的取值均为正整数，且其和不能 超过6，同时注意(x，y)是有序数对，如(1，2)与(2，1)是不同的 数对，故可按x或y的取值进行分类解决．
《高考调研》衡水重点中学精讲练选修2-3课时作业18
课时作业(十八)1．独立重复试验应满足的条件： ①每次试验之间是相互独立的；②每次试验只有发生与不发生两种结果之一； ③每次试验发生的机会是均等的； ④各次试验发生的事件是互斥的． 其中正确的是( ) A ．①② B ．②③ C ．①②③ D ．①②④答案 C2．已知随机变量ξ～B (6，13)，则P (ξ≥2)＝( ) A.16143 B.471729 C.473729 D.1243答案 C3．袋中有红、黄、绿色球各一个，每次任取一个，有放回地抽取三次，球的颜色全相同的概率是( )A.227B.19C.29D.127答案 B解析 每种颜色的球被抽取的概率为13，从而抽取三次，球的颜色全相同的概率为C 13(13)3＝3×127＝19.4．某一试验中事件A 发生的概率为p ，则在n 次试验中，A 发生k 次的概率为( )A ．1－p kB ．(1－p )k ·p n －kC ．(1－p )kD ．C k n (1－p )k ·p n －k 答案 D5．若X ～B (5,0.1)，则P (X ≤2)等于( ) A ．0.665 B ．0.008 56 C ．0.918 54 D ．0.991 44答案 D6．位于坐标原点的一个质点P 按下述规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是12.质点P 移动五次后位于点(2,3)的概率是( )A ．(12)5B ．C 25(12)5C ．C 35(12)3D ．C 25C 35(12)5答案 B解析 由题意可知质点P 在5次运动中向右移动2次，向上移动3次，且每次移动是相互独立的，即向右移动的次数ξ～B (5，12)，∴P (ξ＝2)＝C 25(12)2(12)3.7．某电子管正品率为34，次品率为14，现对该批电子管进行测试，设第ξ次首次测到正品，则P (ξ＝3)的值为( )A ．C 23(14)2×34B ．C 23(34)2×14C ．(14)2×34D ．(34)2×14答案 C解析 当ξ＝3表示前2次测出的都是次品，第3次为正品，则P (ξ＝3)＝(14)2×34.8．某种植物的种子发芽率是0.7,4颗种子中恰有3颗发芽的概率是________．答案 0.411 6解析 C 34×0.73×(1－0.7)＝4×0.73×0.3＝1.2×0.73＝0.411 6.9．一个病人服用某种新药后被治愈的概率为0.9，则服用这种新药的4个病人中至少3人被治愈的概率为________(用数字作答)．答案 0.947 7解析 至少3人被治愈的概率为C 34(0.9)3·0.1＋(0.9)4＝0.947 7. 10．某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18、19、20层停靠．若该电梯在底层载有5位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为13，用ξ表示这5位乘客在第20层下电梯的人数，则P (ξ＝4)＝________.答案 10243解析 任何一位乘客是否在第20层下电梯为一次试验，这是5次独立重复试验，故ξ～B (5，13)，即有P (ξ＝k )＝C k 5(13)k×(23)5－k ，k ＝0,1,2,3,4,5.∴P (ξ＝4)＝C 45(13)4×(23)1＝10243.11．某单位6个员工借助互联网开展工作，每天每个员工上网的概率是0.5(相互独立)，则一天内至少3人同时上网的概率为________．答案 2132解析 记A r (r ＝0,1,2，…，6)为“r 个人同时上网”这个事件，则其概率为P (A r )＝C r 60.5r (1－0.5)6－r ＝C r 60.56＝164C r6，“一天内至少有3人同时上网”即为事件A 3∪A 4∪A 5∪A 6，因为A 3，A 4，A 5，A 6为彼此互斥事件，所以可应用概率加法公式，得“一天内至少有3人同时上网”的概率为P ＝P (A 3∪A 4∪A 5∪A 6)＝P (A 3)＋P (A 4)＋P (A 5)＋P (A 6)＝164(C 36＋C 46＋C 56＋C 66)＝164×(20＋15＋6＋1)＝2132.12．2013年初，一考生参加北京大学的自主招生考试，需进行书面测试，测试题中有4道题，每一道题能否正确做出是相互独立的，并且每一道题被考生正确做出的概率都是34.(1)求该考生首次做错一道题时，已正确做出了两道题的概率； (2)若该考生至少做出3道题，才能通过书面测试这一关，求这名考生通过书面测试的概率．解析 (1)记“该考生正确做出第i 道题”为事件A i (i ＝1,2,3,4)，则P (A i )＝34，由于每一道题能否被正确做出是相互独立的，所以这名考生首次做错一道题时，已正确做出两道题的概率为P (A 1A 2A 3)＝P (A 1)·P (A 2)·P (A 3)＝34×34×14＝964.(2)记“这名考生通过书面测试”为事件B ，则这名考生至少正确做出3道题，即正确做出3道或4道题，故P (B )＝C 34×(34)3×14＋C 44×(34)4＝189256.13．9粒种子分种在3个坑中，每坑3粒，每粒种子发芽的概率为0.5.若一个坑内至少有1粒子发芽，则这个坑不需要补种；若一个坑内的种子都没发芽，则这个坑需要补种．假定每个坑至多补种一次，每补种1个坑需10元，用ξ表示补种的费用，写出ξ的分布列．解析 补种费用ξ的分布列为点评 每个坑内3粒种子都不发芽的概率为(1－0.5)3＝18，所以每个坑不需要补种的概率为p ＝1－18＝78.利用3次独立重复试验的公式求解即可．►重点班选做题14．一批玉米种子，其发芽率是0.8.问每穴至少种几粒，才能保证每穴至少有一粒发芽的概率大于98%？(lg2＝0.301 0)解析 记事件A ＝“种一粒种子，发芽”， 则P (A )＝0.8，P (A －)＝1－0.8＝0.2.设每穴至少种n 粒，才能保证每穴至少有一粒发芽的概率大于98%.因为每穴种n 粒相当于n 次独立重复试验，记事件B ＝“每穴至少有一粒发芽”，则P (B －)＝C 0n ·0.80·0.2n ＝0.2n .所以P (B )＝1－P (B －)＝1－0.2n .由题意有1－0.2n >98%，所以0.2n <0.02，两边取对数得n lg0.2<lg0.02.即n (lg2－1)<lg2－2.所以n >lg2－2lg2－1≈2.43，且n ∈N ，所以n ≥3.故每穴至少种3粒，才能保证每穴至少有一粒发芽的概率大于98%.15．设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的．(1)求进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率； (2)求进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种概率； (3)用ξ表示进入商场的3位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数，求ξ的分布列．解析 记A 表示事件：进入商场的1位顾客购买甲种商品，B 表示事件：进入商场的1位顾客购买乙种商品，C 表示事件：进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种，D 表示事件：进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种．(1)C ＝A ·B ＋A ·B .P (C )＝P (A ·B ＋A ·B )＝P (A ·B )＋P (A ·B )＝P (A )·P (B )＋P (A )·P (B )＝0.5×0.4＋0.5×0.6＝0.5.(2)D ＝A ·B ，P (D )＝P (A ·B )＝P (A )·P (B )＝0.5×0.4＝0.2， P (D )＝1－P (D )＝0.8.(3)ξ～B (3,0.8)，故ξ的分布列为 P (ξ＝0)＝0.23＝0.008，P (ξ＝1)＝C 13×0.8×0.22＝0.096， P (ξ＝2)＝C 23×0.82×0.2＝0.384，P (ξ＝3)＝0.83＝0.512. ξ的分布列为1．一位国王的铸币大臣在每箱100枚的硬币中各掺入了一枚劣币，国王怀疑大臣作弊，他用两种方法来检测．方法一：在10箱中各任意抽查一枚；方法二：在5箱中各任意抽查两枚．国王用方法一、二能发现至少一枚劣币的概率分别记为p 1和p 2.则( )A ．p 1＝p 2B ．p 1<p 2C ．p 1>p 2D ．以上三种情况都有可能答案 B解析 ∵p 1＝1－(99100)10，p 2＝1－(C 299C 2100)5＝1－(98100)5，∴p 1<p 2.2．口袋里放有大小相等的两个红球和一个白球，有放回地每次摸取一个球，定义数列{a n }：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，第n 次摸取红球，1，第n 次摸取白球，如果S n 为数列{a n }的前n 项和，那么S 7＝3的概率为( )A ．C 57×(13)2×(23)5B ．C 47×(23)2×(13)5C ．C 27×(23)2×(13)5D ．C 37×(13)2×(23)5答案 C3．某厂大量生产某种小零件，经抽样检验知道其次品率是1%，现把这种零件每6件装成一盒，那么每盒中恰好含一件次品的概率是( )A ．(99100)6B ．0.01 C.C 16100(1－1100)5D ．C 26(1100)2(1－1100)4答案 C4．在4次独立重复试验中，事件A 出现的概率相同，若事件A 至少发生一次的概率为6581，则事件A 在1次试验中出现的概率为( )A.13 B.25 C.56 D ．都不对答案 A5．抛掷三个骰子，当至少有一个5点或一个6点出现时，就说这次试验成功，则在54次试验中成功次数X ～( )A ．B (54，427) B ．B (52，1927) C ．B (54，1927) D ．B (54，1724) 答案 C6．已知随机变量ξ服从二项分布ξ～B (6，13)，则P (ξ＝2)＝( ) A.316 B.4243 C.16243 D.80243 答案 D7．有n 位同学参加某项选拔测试，每位同学能通过测试的概率都是p (0<p <1)，假设每位同学能否通过测试是相互独立的，则至少有一位同学能通过测试的概率为( )A ．(1－p )nB ．1－p nC ．p nD ．1－(1－p )n答案 D8．一个学生通过某种英语听力测试的概率是12，他连续测试n 次，要保证他至少有一次通过的概率大于0.9，那么n 的最小值为( )A ．3B ．4C ．5D ．6 答案 B9．假设每一架飞机的引擎在飞行中出现故障的概率为1－p ，且各引擎是否有故障是独立的，已知4引擎飞机中至少有3个引擎正常运行，飞机就可以成功飞行；2引擎飞机要2个引擎全部正常运行，飞机才可以成功飞行，要使4引擎飞机比2引擎飞机更安全，则p 的取值范围是( )A ．(23，1) B ．(13，1) C ．(0，23) D ．(0，13) 答案 B10．某处有水龙头5个，调查表明每个水龙头被打开的可能性是110，随机变量X 表示同时被打开的水龙头的个数，则P (X ＝3)＝________.答案 8110 00011．一个袋中有5个白球，3个红球，现从袋中每次取出1个球，取出后记下球的颜色然后放回，直到红球出现10次时停止，停止时取球的次数ξ是一个随机变量，则P (ξ＝12)＝________.(写出表达式不必算出最后结果)答案 C 911(38)9(58)2·3812．某篮球运动员在三分线投球的命中率是12，他投球10次，恰好投进了3球的概率为________．(用数字作答)答案 1512813．某射手射击1次，击中目标的概率为0.9，他连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响，有下列结论：①他第三次击中目标的概率为0.9；②他恰好击中目标3次的概率为0.93×0.1；③他至少击中目标1次的概率为1－0.14.其中正确结论的序号为________．(写出所有正确结论的序号) 答案 ①③14．A ，B 两位同学各有五张卡片，现以投掷均匀硬币的形式进行游戏，当出现正面朝上时A 赢得B 一张卡片，否则B 赢得A 一张卡片，若某人已赢得所有卡片，则游戏终止．求掷硬币的次数不大于7次时游戏终止的概率．解析 P ＝(12)5×2＋2×C 45(12)5(12)2＝116＋2×5×(12)7＝964.。
《高考调研》衡水重点中学同步精讲练数学选修1-2第一章 单元测试题
第一章单元测试题一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分)1．在对两个变量x, y进行线性回归分析时有下列步骤：①对所求出的回归方程作出解释；②收集数据(x i，y i)，i＝1,2，…，n；③求线性回归方程；④求相关系数；根据所搜集的数据绘制散点图．如果根据可靠性要求能够作出变量x，y具有线性相关结论，则下列操作顺序正确的是()A．①②⑤③④B．③②④⑤①C．②④③①⑤D．②⑤④③①答案 D解析由对两个变量进行回归分析的步骤，知选D.2．为了考察两个变量x和y之间的线性相关性，甲、乙两位同学各自独立地做了10次和15次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直线分别为l1和l2，已知两个人在试验中发现对变量x的观测数据的平均值都是s，对变量y的观测数据的平均值都是t，那么下列说法正确的是()A．l1和l2有交点(s，t)B．l1与l2相交，但交点不一定是(s，t)C．l1与l2必定平行D．l1与l2必定重合答案 A解析由回归直线定义知选A.3．实验测得四组(x，y)的值为(1,2)，(2,3)，(3,4)，(4,5)，则y与x 之间的回归直线方程为()A.y ∧＝x ＋1 B.y ∧＝x ＋2 C.y ∧＝2x ＋1 D.y ∧＝x －1答案 A解析 求出样本中心(x ，y )代入选项检验知选A. 4．今有一组实验数据如下：中最接近的一个是( )A ．v ＝log 2tB ．v ＝log 12tC ．v ＝t 2－12 D ．v ＝2t －2答案 C解析 先画出散点图，利用散点图直观认识变量间的关系，可选出较合适的模型为C ，或将数据代入所给选项进行验证．5．对于一组具有线性相关关系的数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其回归方程中的截距为( )A ．a ＝y －bxB ．a ＝y －b ∧x C.a ∧＝y －bx D.a ∧＝y －b ∧x答案 D解析 本题考查回归方程中的截距公式a ∧＝y －b ∧x .故选D. 6．下面是一个2×2列联表其中A．5254 B．5452C．94146 D．14694答案 A解析a＋21＝73得a＝52，a＋2＝b得b＝54.故选A.7．设有一个回归方程为y∧＝3－5x，则变量x增加一个单位时() A．y平均增加3个单位B．y平均减少5个单位C．y平均增加5个单位D．y平均减少3个单位答案 B解析∵－5是斜率的估计值，说明x每增加一个单位时，y平均减少5个单位．故选B.8．在一个2×2列联表中，由其数据计算得K2＝13.097，则其两个变量间有关系的可能性为()A．99% B．95%C．90% D．无关系答案 A解析∵如果K2的估计值k>10.828时，就有99.9%的把握认为“x 与y有关系”．故选A.9．两个相关变量满足如下关系：两变量的回归直线方程为( ) A.y ∧＝0.56x ＋997.4 B.y ∧＝0.63x －231.2 B.y ∧＝50.2x ＋501.4 D.y ∧＝60.4x ＋400.7 答案 A解析 利用公式b ∧∑i ＝1nx i y i －n x y∑i ＝1nx 2i －n x 2＝0.56，a ∧＝y －b ∧x ＝997.4.∴回归直线方程为y ∧＝0.56x ＋997.4.故选A. 10．线性加归方程y ∧＝b ∧x ＋a ∧必过( ) A ．(0,0) B ．(x ，0) C ．(0，y ) D ．(x ，y )答案 D解析 回归直线方程一定过样本点的中心(x ，y )．故选D. 11．在回归分析中，代表了数据点和它在回归直线上相应位置的差异的是( )A ．总偏差平方和B ．残差平方和C ．回归平方和D ．相关指数R 2答案 B解析 y i －y ∧＝e ∧i ，∑i ＝1ne ∧2i 为残差平方和．故选B.12．(07·山东)一项研究要确定是否能够根据施肥量预测作物的产量，这里的预报变量是( )A．作物的产量B．施肥量C．试验者D．降雨量或其他解释产量的变量答案 A解析这里的施肥量是解释变量，作物的产量是预报变量．故选A.二、填空题(本大题共4个小题，第小题5分，共20分)13．在一项打鼾与患心脏病的调查中，共调查了1 671人，经过计算得K2＝27.63，根据这一数据分析，我们有理由认为打鼾与患心脏病是________的(有关，无关)．答案有关解析K2>10.828就有99.9%的理由认为两个量是有关的．14．在研究硝酸钠的可溶性程度时，观测它在不同温度的水中的溶解度，得观测结果如下：答案0.880 9解析把表中的数据代入公式b∧＝∑i＝1nx i y i－n x y∑i＝1nx2i－n x2≈0.880915．用身高(cm)预报体重(kg)满足y∧＝0.849x－85.712，若要找到41.638 kg的人，________是在150 cm的人群中．(填“一定”、“不一定”)答案 不一定解析 因为统计的方法是可能犯错误的，利用线性回归方程预报变量的值不是精确值，但一般认为实际测量值应在预报值左右．三、解答题(本大题共6题，共70分)16．(10分)某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所共费的时间，为此作了四次试验，得到的数据如下：(2)求出y 关于x 的线性回归方程y ∧＝b ∧x ＋a ∧，并在坐标中画出回直线；(3)试预测加工10个零件需要多少时间？⎝⎛⎭⎪⎪⎪⎫注：b ∧＝∑i ＝1nx i y i－n x y∑i ＝1nx 2i－n x 2，a ∧＝y －b ∧x解析 (1)散点图如下图：(2)由表中数据得：∑i ＝14x i y i ＝52.5，x ＝3，y ＝3.5，∑i ＝14x 2i ＝54，∴b ∧＝0.7，a ∧＝1.05，∴y ∧＝0.7x ＋1.05. 回归直线如图中所示．(3)将x ＝10代入回归直线方程， 得y ∧＝0.7×10＋1.05＝8.05(小时) ∴预测加工10个零件需要8.05小时．17．(12分)某企业的某种产品产量与单位成本数据如下：(1)(2)指出产量每增加1 000件时，单位成本下降多少？(3)假定产量为6 000件时，单位成本是多少？单位成本为70元时，产量应为多少件？解析 (1)设x 表示每月产量(单位：千件)，y 表示单位成本(单位：元)作散点图．由图知y与x间呈线性相关关系，设线性回归方程为y∧＝b∧x＋a∧，由公式可求得b∧＝－1.818，a∧＝77.363.∴线性回归方程为y∧＝－1.818x＋77.363.(2)由线性回归方程知，每增加1 000件产量，单位成本下降1.818元．(3)当x＝6 000时，y＝－1.818×6＋77.363＝66.455(元)，当y＝70时，70＝－1.818x＋77.363，得x＝4.05(千件)．18．(12分)下表是几个国家近年来的男性与女性的平均寿命情况：(单位：岁)归直线方程；(2)科学家预测，到2075年，加拿大男性平均寿命为87岁．现请你预测，到2075年，加拿大女性的平均寿命(精确到0.1岁)．解析 (1)列表如下：由上可得∑i ＝16x i y i ＝35 742.08，∑i ＝16x 2i ＝33 306.38，x ≈74.43，y ＝79.85，x 2≈5 539.82.设所求回归直线的方程为y ∧＝b ∧x ＋a ∧，则b ∧＝∑i ＝16x i y i －6x y∑i ＝16x 2i －6x 2≈1.23，a ∧＝y ∧－b ∧x ≈－11.70.∴所求回归直线方程为y ∧＝1.23x －11.70.(2)当x ＝87时，y ∧＝1.23×87－11.70＝95.31≈95.3(岁)． ∴可预测到2075年，加拿大女性的平均寿命为95.3岁． 19．(12分)某班主任对全班50名学生的学习积极性和对待班级工作的态度进行了调查，统计数据如下表所示：(1)如果随机抽查这个班的一名学生，那么抽到积极参加班级工作的学生的概率是多少？抽到不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生的概率是多少？(2)试运用独立性检验的思想方法分析：学生的学习积极性与对待班级工作的态度是否有关？并说明理由．解析 (1)积极参加班级工作的学生有24名，总人数为50名，概率为2450＝1225.不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生有19名，概率为1950.(2)K 2＝50×(18×19－6×7)225×25×24×26≈11.5，∵K 2>10.828，∴有99.9%的把握认为学习积极性与对待班级工作的态度有关系．20．(12分)(07·宁夏)某运动队研制了一种有助于运动员在大运动量的训练后快速恢复体力的口服制剂，为了实验新药的效果而抽取若干名运动员来实验，所得资料如下：有效(恢复得好),60,120,45,180无效(恢复得差),45,45,60,255总计,105,165,105,435区分该种药剂用男、女运动员产生的效果的强弱．解析对男运动员K2＝270×(60×45－45×120)2 105×165×180×90≈7.013>6.635，有99%的把握认定药剂对男运动员有效．对女运动员K2＝540×(45×255－60×180)2 105×435×255×315≈0.076≤2.706，没有充足的证据显示药剂与女运动员体力恢复有关系．因此该药对男运动员药效较好．21．(12分)在研究某新措施对“非典”的防治效果问题时，得以下数据：解析由题中数据可得K2＝300×(132×36－114×18)2246×54×150×150≈7.317>6.635.故我们有99%的把握认为“新措施对防治非典有效”．由此判断新措施对防治非典有效．22．(12分)在对人们的休闲方式的一次调查中，共调查了124人，其中女性70人，男性54人．女性中有43人主要的休闲方式是看电视，另外27人主要的休闲方式是运动；男性中有21人主要的休闲方式是看电视，另外33人主要的休闲方式是运动．(1)根据以上数据建立一个2×2的列联表；(2)判断性别与休闲方式是否有关系．分析根据题中数据列出2×2列联表，依据K2假设检验的步骤及K2统计量公式即可得解．解析(1)2×2的列联表如下：(2)假设“休闲方式与性别无关”，计算k ＝124×(43×33－27×21)270×54×64×60≈6.201.因为k ≥5.024，所以有理由认为假设“休闲方式与性别无关”是不合理的，即在犯错误的概率不超过0.025的前提下，认为“休闲方式与性别有关”．。
《高考调研》衡水重点中学精讲练选修2-3课时作业12分解
课时作业(十二)1．设(1＋x )8＝a 0＋a 1x ＋…＋a 8x 8，则a 0，a 1，…，a 8中奇数的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5答案 A解析 由于(1＋x )8的展开式的通项为T r ＋1＝C r 8x r ，因此a r ＝C r8(其中r ＝0,1,2，…，8)，由此可知，其中a 0、a 8是奇数，其余的系数均为偶数，因此选A.2．1＋(1＋x )＋(1＋x )2＋(1＋x )3＋(1＋x )4＋…＋(1＋x )n 展开式的各项系数和为( )A ．2n ＋1B ．2n ＋1＋1C ．2n ＋1－1D ．2n ＋1－2答案 C解析 令x ＝1得各项系数和为1＋2＋22＋23＋…＋2n ＝2n ＋1－12－1＝2n ＋1－1.3．在(1＋x )2n (n ∈N *)的展开式中，系数最大项是( ) A ．第n2＋1项 B ．第n 项 C ．第n ＋1项 D ．第n 项与第n ＋1项答案 C4．若(x ＋1x )n展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为()A．10 B．20C．30 D．120答案 B5．关于(a－b)10的说法，错误的是()A．展开式中的二项式系数之和为1 024B．展开式中第6项的二项式系数最大C．展开式中第5项或第7项的二项式系数最大D．展开式中第6项的系数最小答案 C解析根据二项式系数的性质进行判断，由二项式系数的性质知：二项式系数之和为2n，故A正确；当n为偶数时，二项式系数最大的项是中间一项，故B正确，C错误；D也是正确的，因为展开式中第6项的系数是负数，所以是系数中最小的．6．在(x＋y)n展开式中第4项与第8项的系数相等，则展开式中系数最大的项是()A．第6项B．第5项C．第5、6项D．第6、7项答案 A解析C3n＝C7n，所以n＝10，系数最大的项即为二项式系数最大的项．7．(1＋x)2n＋1的展开式中，二项式系数最大的项所在的项数是()A．n，n＋1 B．n－1，nC．n＋1，n＋2 D．n＋2，n＋3答案 C8．若(1＋2)5＝a＋b2(a，b为有理数)，则a＋b＝()A．45 B．55C．70 D．80答案 C解析(1＋2)5＝C05＋C15·2＋C25(2)2＋C35(2)3＋C45(2)4＋C55 (2)5＝41＋292＝a＋b2，∴a＋b＝41＋29＝70.故选C.9．(a＋a)n的展开式中奇数项系数和为512，则展开式的第八项T8＝________.答案解析C0n＋C2n＋C4n＋…＝2n－1，∴2n－1＝512＝29，n＝10，∴T8＝C710a3(a)7＝.10．(2x－1)6展开式中各项系数的和为________；各项的二项式系数和为________．答案164解析令展开式左、右两边x＝1，得各项系数和为1.各二项式系数之和为：C06＋C16＋C26＋…＋C66＝26＝64.11．要使组合数C m27有最大值，则m的值应是________________．答案13或14解析因C m27表示(a＋b)27展开式中二项式系数，而二项式系数最大项在中间，所以m ＝13或14.12．已知(1－x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5，则(a 0＋a 2＋a 4)(a 1＋a 3＋a 5)的值等于________．答案 －256解析 令x ＝1，得a 0＋a 1＋…＋a 5＝0；令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－…－a 5＝25，∴a 0＋a 2＋a 4＝24，a 1＋a 3＋a 5＝－24，∴(a 0＋a 2＋a 4)(a 1＋a 3＋a 5)＝－28＝－256.13．(x 2＋x －1)9(2x ＋1)4的展开式中所有x 的奇次项的系数之和等于________，所有x 的偶次项的系数之和等于________．答案 41 40解析 设(x 2＋x －1)9(2x ＋1)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋…＋a 22x 22.令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 22＝81；令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－…－a 21＋a 22＝－1，∴所有x 的奇次项的系数之和等于12[81－(－1)]＝41，所有x 的偶次项的系数之和等于12[81＋(－1)]＝40.14．证明：C 1n ＋2C 2n ＋3C 3n ＋…＋n C n n＝n ·2n －1. 证明 方法1：∵k ·C k n ＝k ·n ！k ！(n －k )！＝n ·(n －1)！(k －1)！(n －k )！＝n C k －1n －1，∴原式＝n C 0n －1＋n C 1n －1＋…＋n C n －1n －1 ＝n (C 0n －1＋C 1n －1＋…＋C n －1n －1)＝n ·2n －1.命题得证． 方法2：(倒序相加)令S ＝C 1n ＋2C 2n ＋3C 3n ＋…＋n C nn ，∴S ＝n C n n ＋(n －1)C n －1n ＋(n －2)C n －2n ＋…＋C 1n . ∵C k n ＝C n －k n ，且C 0n ＝C n n ，两等式相加，得 2S ＝n C 0n ＋n C 1n ＋n C 2n ＋…＋n C n －1n ＋n C n n ＝n (C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n )＝n ·2n . ∴S ＝n ·2n －1，命题成立． ►重点班选做题15．若(1－2x )2 013＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2 013x 2 013(x ∈R )，则a 12＋a 222＋…＋a 2 01322 013的值为( )A ．2B ．0C ．－1D ．－2答案 C解析 a r ＝C r2 013(－2)r ，r ＝0,1,2，…，2 013，∴a 12＋a 222＋…＋a 2 01322 013＝－C 12 013＋C 22 013－C 32 013＋…－C 2 0132 013.又C 02 013－C 12 013＋C 22 013－…－C 2 0132 013＝0.故原式＝－1.16．在(1＋x )n (n 为正整数)的二项展开式中奇数项的和为A ，偶数项的和为B ，则(1－x 2)n 的值为( )A．0B．ABC．A2－B2D．A2＋B2答案 C解析(1＋x)n＝A＋B，(1－x)n＝A－B，所以(1－x2)n＝A2－B2.1．1＋(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n的展开式的各项系数之和为()A．2n－1 B．2n－1C．2n＋1－1 D．2n答案 C·7被9除所2．若n为正奇数，则7n＋C1n·7n－1＋C2n·7n－2＋…＋C n－1n得的余数是()A．0 B．2C．7 D．8答案 C3．试判断7777－1能否被19整除？答案能1．(2012·新课标全国)将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有()A．12种B．10种C．9种D．8种答案 A解析将4名学生均分为2个小组共有C24C22A22＝3种方法，将2个小组的同学分给两名教师带有A22＝2种分法，最后将2个小组的人员分配到甲、乙两地有A22＝2种方法，故不同的安排方案共有3×2×2＝12种．2．(2012·山东)现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为()A．232 B．252C．472 D．484答案 C解析完成这件事可分为两类：第一类3张卡片颜色各不相同共有C34C14C14C14＝256种；第二类3张卡片有两张同色且不是红色卡片共有C13C13C24C14＝216种，由分类加法计数原理共有472种，故选C项．3．(2012·辽宁)一排9个座位坐了3个三口之家．若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为()A．3×3! B．3×(3！)3C．(3！)4D．9!答案 C解析完成这件事可以分为两步，第一步排列三个家庭的相对位置，有A33种排法；第二步排列每个家庭的三个成员，共有A33A33A33种排法，由乘法原理可得不同的坐法种数有A33A33A33A33，故选C项．4．(2012·陕西)两人进行乒乓球比赛，先赢3局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形(各人输赢局次的不同视为不同情形)共有()A．10种B．15种C．20种D．30种答案 C解析甲获胜有三种情况，第一种共打三局，甲全胜，此时，有一种情形；第二种共打四局，甲第四局获胜且前三局中只有两局获胜，此时，共有C23＝3种情况；第三种共打五局，甲第五局获胜且前四局只有两局获胜，此时，共有C24＝6种情况，所以甲赢共有10种情况，同理乙赢也有10种情形，故选C项．5．(2012·大纲全国)6位选手依次演讲，其中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲，则不同的演讲次序共有()A．240种B．360种C．480种D．720种答案 C解析由题意可采用分步乘法计数原理，甲的排法种数为A14，剩余5人进行全排列：A55，故总的情况有：A14·A55＝480种．故选C项．6．(2011·大纲全国)4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法共有()A．12种B．24种C．30种D．36种答案 B解析先从4人中选2人选修甲课程，有C24种方法，剩余2人再选修剩下的2门课程，有22种方法，则共有C24×22＝24种方法．7．(2012·安徽)(x2＋2)(1x2－1)5的展开式的常数项是() A．－3 B．－2C．2 D．3答案 D解析(1x2－1)5的通项为T r＋1＝C r5(1x2)5－r(－1)r＝(－1)r C r51x10－2r.要使(x2＋2)(1x2－1)5的展开式为常数，须令10－2r＝2或0，此时r＝4或5.故(x2＋2)(1x2－1)5的展开式的常数项是(－1)4×C45＋2×(－1)5×C55＝3.8．(2012·湖北)设a∈Z，且0≤a<13，若512 012＋a能被13整除，则a＝()A．0 B．1C．11 D．12答案 D解析∵52能被13整除，∴512 012可化为(52－1)2 012，其二项式系数为T r＋1＝C r2 012522 012－r·(－1)r.故(52－1)2 012被13除余数为C2 0122 012·(－1)2 012＝1，则当a＝12时，512 012＋12被13整除．9．(2012·重庆)(x ＋12x )8的展开式中常数项为( )A.3516B.358 C.354 D ．105答案 B解析 二项式(x ＋12x)8的通项为T r ＋1＝C r 8(x )8－r·(2x )－r ＝2－rC r 8x8－2r2，令8－2r ＝0，得r ＝4，所以二项展开式的常数项为T 5＝2－4C 48＝358，故选B 项．10．(2011·福建)(1＋2x )5的展开式中，x 2的系数等于( ) A ．80 B ．40 C ．20 D ．10 答案 B解析 由二项式定理可知(1＋2x )5的展开式的第r ＋1项为T r ＋1＝C r 515－r (2x )r ＝C r 5·2r ·x r ，令r ＝2，得T 3＝C 25·22·x 2＝40x 2.∴x 2的系数等于40.11．(2012·广东)(x 2＋1x )6的展开式中x 3的系数为________．(用数字作答)答案 20解析 T r ＋1＝C r 6·(x 2)6－r ·(1x )r ＝C r 6·x 12－3r ，∴要求展开式中x 3的系数，即12－3r ＝3，∴r ＝3，即T 4＝C 36·x 3＝20x 3.∴x 3的系数为20.12．(2012·大纲全国)若(x ＋1x )n 的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中1x 2的系数为______．答案 56解析 ∵C 2n ＝C 6n ，∴n ＝8.T r ＋1＝C r 8x 8－r (1x )r ＝C r 8x 8－2r .令8－2r ＝－2，解得r ＝5.∴1x 2的系数为C 58＝56.。
高考调研北师大版数学选修2-3-1-5-2高考调研精讲精练
二项式系数的性质
1．Cn＋1r＝Cnr＋Cnr－1. 2．对称性：与首末两端等距离的两个二项式系数相等．
3．增减性：当k<
n＋2 1时，二项式系数逐渐增大，当k>
n＋1 2
时，二项式系数逐渐减小．
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高考调研 ·北师大版 ·数学（选修2-3）
4．最大值：在中间时取最大值． n为奇数，Cn＋2 1n，Cn－2 1n为最大值， n为偶数，Cn2n为最大值. 5．各个二项式系数的和等于2n.
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高考调研 ·北师大版 ·数学（选修2-3）
◎思考题3 写出(x－y)11的展开式中， (1)通项Tr＋1； (2)二项式系数最大的项； (3)项的系数绝对值最大的项； (4)项的系数最大的项； (5)项的系数最小的项； (6)二项式系数的和； (7)各项的系数的和．
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高考调研 ·北师大版 ·数学（选修2-3）
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高考调研 ·北师大版 ·数学（选修2-3）
(1)因为 n＝5，所以展开式共 6 项，其中二项式系数最大项 为第三、四两项．
它们是 T3＝C52(3 x2)3·(3x2)2＝90x6.
T4＝C53(3
22 x2)2(3x2)3＝270x 3 .
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高考调研 ·北师大版 ·数学（选修2-3）
由①－2 ②，得 a1＋a3＋a5＋a7＝12[128－(－4)7]＝8 256.
①＋② (3)由 2 ，得
a0＋a2＋a4＋a6＝12[128＋(－4)7]＝－8
128.
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【点评】 根据问题特点，分别对 x 赋值 0，1，－1，其中 0，1，－1 是我们解决该类题常赋的三个值，这种方法叫做赋值 法．
高考调研北师大版数学选修2-3-2-1-2高考调研精讲精练
高考调研 ·北师大版 ·数学（选修2-3）
解析 以50箱为一批产品，从中随机抽取5箱，用X表示“5 箱中不合格产品的箱数”，则X服从超几何分布．这批产品被接 收的条件是5箱中没有不合格的或只有1箱不合格，所以被接收 的概率为P(X≤1)，
即P(X≤1)＝CC20C505485＋CC21C505484＝224435. 答：该批产品被接收的概率是224435(约为0.991 84)．
X x1 x2 … xi … xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
为离散型随机变量X的概率分布列，简称X的分布列．
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(2)分布列的性质． 由概率的性质可知，任一离散型随机变量的分布列都具有 下面两个性质： ①pi≥0，(i＝1，2，3，…，n)；
n
② pi＝1．
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【解析】 随机变量ξ的可能取值为3，4，5. 当ξ＝3时，即取出的三只球中最大号码为3，则其他两球的 编号只能是1，2，故有P(ξ＝3)＝CC3533＝110； 当ξ＝4时，即取出的三只球中最大号码为4，则其他两球只 能在编号为1，2，3的3只球中取2只，故有P(ξ＝4)＝CC3523＝130；
i＝1
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高考调研 ·北师大版 ·数学（选修2-3）
2．两个特殊分布列
(1)两点分布列．
X
0
1
P
1－p
p
如果随机变量X的分布列为两点分布列，就称X服从两点分
布，而称P(X＝1)＝p为成功概率．
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高考调研 ·北师大版 ·数学（选修2-3）
(2)超几何分布列．
高考调研选修2—3(课件试题)配套2
)个白C球MkCC，NnNn5kM个(k红球0,，1, 2从中, m任)取, m
3
minM , n
个球，则抽
出 1 个白球和 2 个红球的概率是( )
(A) 37
(B) 17
C (C) 10
(D) 17
42
42
21
21
(注:许多问题其实就是超几何分布问题)
继续思考同步导学 作业:同步导学
离散型随机变量的分布列(三)
开门见山 介绍两点分布
超几何分布
多做练习
作业:同步导学
离散型随机变量的分布列(三)
今天，这节课我们来认识两个特殊的分布列. 首先,看一个简单的分布列─两点分布列: 如果随机变量的分布列为：
这样的分布列称为两点分布列,称随机变量 服
从两点分布,而称 p P( 1) 为成功概率.
从中任取 n个球，问恰有 k 个红球的概率是多少？
(注:记忆公式的前提是要会推导)
3.盒中有 4 个白球，5 个红球，从中任取 3 个球，则抽
出 1 个白球和 2 个红球的概率是( )
(A) 37 42
(B) 17 42
(C) 10 21
(D) 17 21
(注:许多问题其实就是超几何分布问题)
4.（课本第 56 页练习 3）从一副不含大小王的 52 张扑
两点分布列的运用非常广泛.试举一个例子.
例 在掷一枚图钉的随机试验中,令
X
1, 针尖向上 0, 针尖向下
如果会尖向上的概率为p,试写出随机变量X的分布列
解:根据分布列的性质,针尖向下的概率是(1—p)，于是， 随机变量X的分布列是：
X
0
1
P
1—p
1高考调研选修2—3(课件试题)配套
C
r n
a
nr
b
r
Cnnbn
定理的证明
(a+b)n是n个(a+b)相乘，每个（a+b）在相乘时有两种 选择，选a或b. 而且每个(a+b)中的a或b选定后才能 得到展开式的一项。 由分步计数原理可知展开式共有2n项（包括同类项），
其中每一项都是akbn-k的形式，k=0，1，…，n；
对于每一项akbn-k，它是由k个(a+b)选了a，n-k个(a+b) 选了b得到的，它出现的次数相当于从n个(a+b)中取 k个a的组合数，将它们合并同类项，就得二项展开 式，这就是二项式定理。
)
4
1
(2x 2
3x
1 2
)
4
Thank you！
项的系数为 二项式系数与数字系数的积
在二项式定理中，令a=1，b=x，则有：
(1 + x)n = 1 + C1nx + Cn2x2 + + Cnr xr + + Cnnxn
在上式中，令 x = 1，则有：
2n = Cn0 + C1n + Cn2 + + Cnr + + Cnn
例1、展开 (1 1 )4
x
练习 1.求（2a+3b）6的展开式的第3项.
2.求（3b+2a）6的展开式的第3项.
3.写出
(3
x
1 )n 23 x
的展开式的第r+1项.
4.用二项式定理展开：
（1） (a 3 b)9 ；
（5.2化）简(：2x
2 )7 x.（1）( x )5 (1x)5 ；
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1．在(x －3)10的展开式中，x 6的系数是( )
A ．－27C 610
B ．27
C 410
C ．－9C 610
D ．9C 410 答案 D
2．(2012·天津)在(2x 2－1x )5的二项展开式中，x 的系数为( )
A ．10
B ．－10
C ．40
D ．－40 答案 D
3．若对于任意实数x ，有x 3＝a 0＋a 1(x －2)＋a 2(x －2)2＋a 3(x －2)3，则a 2的值为( )
A ．3
B ．6
C ．9
D ．12
答案 B
解析 x 3＝[2＋(x －2)]3，
由二项式定理的通项公式知：
T 2＋1＝C 23·2·(x －2)2＝a 2(x －2)2，
得a 2＝C 23·2＝6. 4．(2x ＋5y )n 展开式中第k 项的二项式系数为( )
A ．C k n
B ．
C k n 2n －k 5k C ．C k －1n
D ．C k －1n 2
n ＋1－k 5k －1 答案 C
解析 本题考查二项式系数的概念，第k 项二项式系数为C k －1n .
5．(2010·辽宁)(1＋x ＋x 2
)(x －1x )6的展开式中的常数项为________． 答案 －5
解析 (1＋x ＋x 2
)(x －1x )6＝(1＋x ＋x 2)[C 06x 6·(－1x )0＋C 16x 5(－1x )1＋C 26x 4
(－1x )2＋C 36x 3(－1x )3＋C 46x 2(－1x )4＋C 56x (－1x )5＋C 66x 0(－1x )6]＝(1＋x ＋x 2)(x 6－6x 4＋15x 2
－20＋15x 2－6x 4＋1x 6)． 所以常数项为1×(－20)＋x 2·15x 2＝－5.
6．对于二项式(x 3＋1x )n (n ∈N *)，四位同学作出了四种判断：
①存在n ∈N *，使展开式中有常数项；
②对任意n ∈N *，展开式中没有常数项； ③对任意n ∈N *，展开式中没有x 的一次项； ④存在n ∈N *，展开式中有x 的一次项． 上述判断中正确的是________．
答案 ①④
7．(2011·山东理)若(x －a x 2)6展开式的常数项为60，则常数a 的值为________．
答案 4
解析 二项式(x －a x 2)6展开式的通项公式是T r ＋1＝C r 6
x 6－r (－a )r x －2r ＝C r 6x
6－3r (－a )r ，当r ＝2时，T r ＋1为常数项，即常数项是C 26a ，根据已知C 26a ＝60，解得a ＝4.。