广义一致Lipschitz渐近伪压缩型映象的迭代逼近

广义一致Lipschitz渐近伪压缩型映象的迭代逼近
张树义;李丹
【摘要】在一致光滑Banach空间中研究用带混合型误差的修改的Ishikawa迭代序列,逼近广义一致Lipschitz渐近伪压缩型映象的不动点问题.在去掉D有界之下,使用新的分析方法,建立了强收敛定理,从而推广和改进了已知的结果.
【期刊名称】《渤海大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2015(036)004
【总页数】5页(P294-297,304)
【关键词】一致光滑Banach空间;广义一致Lipschitz;渐近伪压缩型映象;混合误差
【作者】张树义;李丹
【作者单位】渤海大学数理学院,辽宁锦州121013;渤海大学数理学院,辽宁锦州121013
【正文语种】中文
【中图分类】O177.91
设E是实Banach空间，E*为E的对偶空间，〈·，·〉表示E与E*之间的广义对偶对.正规对偶映象J:E→2E*定义为J(x)={f∈E*:〈x，f〉=‖x‖2=‖f‖2}.
定义1 设D是E的非空凸子集，T:D→D是一个映象. (i)T称为渐近伪压缩的，若存在实数列{kn}⊂，且对∀x,y∈D，存在j(x-y)∈J(x-y)，使〈Tn-Tny,j(x-y)〉≤kn‖x-y‖2. (ii)T称为渐近伪压缩型的，若存在实数列{kn}⊂，且∀x∈D ，存在非
负序列{rn(x)}，使∀y∈D，及某个j(x-y)∈J(x-y)，有〈Tnx-Tny,j(x-y)〉≤kn‖称
为一致L-Lipschitz的，其中L≥1，若∀x,y∈D,∀n≥1，有‖Tn-Tny‖≤L‖x-
y‖.(iv)T称为广义一致L-Lipschitz的，其中L≥1，若∀x,y∈D,∀n≥1,有‖Tnx-Tny‖≤L(1+‖x-y‖).
显然若T:D→D是一致L-Lipschitz的或∀x∈D,{Tnx}n≥1，有界，则T是广义一致L-Lipschitz的，但反之一般不成立,反例见文献〔5〕.关于几类非线性映象不动点的迭代逼近问题，已被许多学者做过广泛研究,如文献〔1-6〕. 本文的目的是进
一步研究渐近伪压缩型映象不动点的迭代逼近问题,在去掉E有界之下，把文献〔1〕中的定理2.1推广到广义一致L-Lipschitz渐近伪压缩型映象带混合型误差的修改
的Ishikawa迭代程序的情形.由于没有使用D有界条件，以及将一致L-Lipschitz
条件减弱为广义一致L-Lipschitz条件，因此本文结果改进与推广了文献〔1〕中
的定理，并且本文充分性证明的方法也不同于文献〔1〕中的方法.
定义2 设T：D→D是一个映象，∀x0∈D，由下式定义的序列{xn}n≥0⊂D，
其中{αn}n≥0，{βn}n≥0，{γn}n≥0，{μn}n≥0和{δn}n≥0为[0，1]中五个满足某些条件的实数列，{un}n≥0 ，{vn}n≥0和{wn}n≥0为D中的有界序列，则称{xn}n≥0为T的带混合型误差的修改的 Ishikawa迭代序列.
引理1〔7〕设E是实一致光滑Banach空间, 则存在一个非减连续函数
b:[0,+∞)→[0,+∞),b(0)=0,满足b(ct)≤cb(t),∀c≥1且‖x+y‖2≤‖x‖2+2〈y,jx〉
+max{‖x‖,1}‖y‖b(‖y‖),其中∀x,y∈E,∀jx∈Jx.
引理2〔8〕设{an}n≥0和{bn}n≥0是两个非负实数列，满足条件，存在正整数
n0，当n≥n0时，有an+1≤(1-tn)an+bn，其中,则an→0(n→∞).
定理1 设E是一致光滑Banach空间，D是E的一非空闭凸子集，D+D⊂D，T：D→D是广义一致L-Lipschitz的渐近伪压缩型映象,具有实数列{kn}⊂，且∀x∈D，
存在非负序列{rn(x)}n≥0使得,(x)=0，又设F(T)≠φ，{αn}n≥0，{βn}n≥0，
{γn}n≥0,及{μn}n≥0是[0，1]中的五个实数列，满足条件(i)αn+γn+μn≤1，
δn+βn≤1;(ii)αn→0,βn→0,δn→0(n→∞)；(iii),设x0∈D是给定一点，{xn}n≥0，{yn}n≥0是由(1)所定义的带混合型误差的修改的Ishikawa 迭代序列，则有下列结论
1)若{xn}n≥0强收敛到T在D中的不动点q，则存在不减函数，
φ:[0,+∞)→[0,+∞),φ(0)=0使得
‖yn-q‖2+φ(‖yn-q‖)}≤0
2)反之，若存在严格增加函数，φ:[0,+∞)→[0,+∞),φ(0)=0,满足条件(2)，则{xn}n≥0强收敛于q∈F(T).
证明先证充分性. 因D是E的一非空闭凸子集，且D+D⊂D，所以{xn}n≥0⊂D，{yn}n≥0⊂D，又因为μn=o(αn),{un}n≥0,{vn}n≥0和{wn}n≥0为D中的有界序列，所以存在εn≥0，εn→0(n→∞),使μn=εnαn(n≥0),并且
{‖wn‖+‖un‖+‖vn‖}+‖q‖<∞.由于T:D→D是广义一致L-Lipschitz的，因此存
在L≥1，使∀x,y ∈D，‖Tnx-Tny‖≤L(1+‖x-y‖).于是
因E是一致光滑Banach空间，正规对偶映象J:E→2E*是单值的，利用J(·)在E的有界子集上一致连续性有en=‖‖→0(n→∞).
记An+1=(1-αn-γn-μn)xn+αnTnyn+μnwn,应用引理1并化简得
‖‖
注意到式(2)，存在n0，当∀n>n0时，式(5)可写成
其中σ(yn,q)=((φ(‖yn-q‖)/(1+‖yn-q‖2+φ(‖yn-q)‖))∈[0,1).因T是渐近伪压缩
型映象，故对q∈F(T)及∀xn∈D有〈Tnxn-q,j(xn-q)〉≤kn‖xn-
q‖2+rn(q),∀n≥0,从而由(1)，引理1和广义Lipschitz条件并整理可得
将式(7)代入式(6)整理化简可得
‖An+1-q‖2≤(1-αn)2‖‖xn-q‖2+
‖xn-q‖)2
注意到(1+‖xn-q‖)2≤2+2‖xn-q‖2, 由式(8), 当∀n>n0时，有
‖xn+1-q‖
其中:.令下面考虑两种可能的情形:(I)若r>0,则可取，且∃n1∈N，n1>n0,∀n≥ n1，有σ(yn,q)>τ,下面证,假设,因λn→0, fn→0,gn→0(n→∞)故
∃n2≥n1,∀n≥n2,有‖xn-q‖≥(1+‖xn-q‖)‖xn-q‖,‖.由式(9)∀n≥ n2有
‖xn-1-q‖‖xn-q‖+Mγn
令‖xn-q‖和bn=Mγn,则，于是∀n≥n2，由式(10)有an+1≤(1-tn)an+bn.由引理2有xn→q(n→∞)这与δ>0矛盾，故δ=0.于是存在子列{xnj}⊂{xn}，使
xnj→q(j→∞),即∀ε>0,∃n3∈N,∀nj>n3,有‖xnj-q‖.下面证明m≥1,有‖xnj-
q‖<2ε.当m=1时，(i)若‖xnj+1-q‖<ε,则结论成立；(ii)若‖xnj+1-q‖≥ε,由
αn→0,γn→0,μn→(n→∞) 及式(3)易知‖xnj-q‖.因λn→0, fn→0,gn→0(n→∞),故∃n4≥n3,∀n≥n4,有,从而∀nj≥n4,由式(9)有
‖xnj+1-q‖
因此由归纳法可证m≥1，有‖xnj+m-q‖，即xn→q(n→∞).(II)若r=0, 则存在子列{ynj}⊂{yn}强收敛于q(j→∞). 注意到
我们断定{xnj-q}有界，若无界，则必存在子列{xnjk-q}⊂{xnjk-q},
使‖‖→+∞(k→∞). 因此((‖xnjk-q‖)/(1+‖xnjk-q‖))→1，这与式(11)矛盾,故{xnj-
q}有界，从而‖xnj-q‖‖xnj-q‖)→0(j→∞),于是∀ε>0,∃n5∈N,∀nj>n5,有‖xnj-q‖<ε及‖ynj-q‖<ε.下面证明m≥1,有‖xnj+m-q‖<2ε.当m=1时, 若‖xnj+1-
q‖<ε，则结论成立;若‖xnj+1-q‖≥ε，则由式(4)有
‖ynj-q‖,‖xnj-q‖,由φ的严格增加性有,其中，则(0，1).因
λn→0,fn→0,gn→0(n→∞),故∃n6≥n5,∀n≥n6,有.从而∀nj≥n6,由式(9)有‖xnj-q‖ε.
因此由归纳法可证m≥1，有‖xnj+m-q‖ε.再证必要性. 设{xn}n≥0强收敛于
q∈F(T).由T是广义Lipschitz条件及αn→0,βn→0,δn→0(n→∞)有‖yn-q‖≤(1-
βn-δn)‖xn-q‖+βnL(1+‖xn-q‖)+δn‖vn-q‖→0(n→∞).令{‖yn-q‖}<∞，余下证明与文〔1〕相同，故省略.定理1证毕.
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