2010年全国各地高考理科数学试题汇编汇总天津

2010年全国各地高考数学试题之(天津卷)
数学(理工类)
本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分,考试用时120分钟,第Ⅰ卷1至3页,第Ⅱ卷4至11页。

考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生考试顺利！
第Ⅰ卷
注意事项:
1． 答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上,并在规定位置粘贴考
试用条形码。

2． 每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干
净后,再选涂其他答案标号,答在试卷上的无效。

3． 本卷共10小题,每小题5分,共50分。

参考公式:
·如果事件A 、B 互斥,那么 ·如果事件A 、B 相互独立,那么
P(A ∪B)=P(A)+P(B) P(AB)=P(A)P(B) ·棱柱的体积公式V=Sh, 棱锥的体积公式V=13
sh , 其中S 标示棱柱的底面积。

其中S 标示棱锥的底面积。

h 表示棱柱的高。

h 示棱锥的高。

一．选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

(1)i 是虚数单位,复数
1312i
i
-+=+
(A)1＋i (B)5＋5i (C)-5-5i (D)-1－i (2)函数f(x)=23x
x +的零点所在的一个区间是 (A)(-2,-1)(B)(-1,0)(C)(0,1)(D)(1,2)
(3)命题“若f(x)是奇函数,则f(-x)是奇函数”的否命题是 (A)若f(x) 是偶函数,则f(-x)是偶函数 (B)若f(x)不是奇函数,则f(-x)不是奇函数 (C)若f(-x)是奇函数,则f(x)是奇函数
(D)若f(-x)不是奇函数,则f(x)不是奇函数 (4)阅读右边的程序框图,若输出s 的值为-7,则判断框内可填写
(A)i ＜3? (B)i ＜4? (C)i ＜5? (D)i ＜6?
(5)已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的一条渐近
线方程是
y=,它的一个焦点在抛物线224y x =的准线上,则双曲线的方程为
(A)
22136108x y -= (B) 22
1927x y -= (C)
22110836x y -= (D)22
1279
x y -=
(6)已知{}n a 是首项为1的等比数列,n s 是{}n a 的前n 项和,且369s s =,则数列1n a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的前5项和为 (A)
158或5 (B)3116或5 (C)3116 (D)15
8
(7)在△ABC 中,内角A,B,C 的对边分别是a,b,c,
若2
2
a b -
,sin C B =,则A=
(A)0
30 (B)0
60 (C)0120 (D)0
150
(8)若函数f(x)=21
2
log ,0,
log (),0x x x x >⎧⎪
⎨-<⎪⎩,若f(a)>f(-a),则实数a 的取值范围是
(A)(-1,0)∪(0,1) (B)(-∞,-1)∪(1,+∞) (C)(-1,0)∪(1,+∞) (D)(-∞,-1)∪(0,1)
(9)设集合A={}{}|||1,,|||2,.x x a x R B x x b x R -<∈=->∈若A ⊆B,则实数a,b 必满足
(A)||3a b +≤ (B)||3a b +≥
(C)||3a b -≤ (D)||3a b -≥
(10) 如图,用四种不同颜色给图中的A,B,C,D,E,F 六个点涂色,要求每个点涂一种颜色,且图中每条线段的两个端点涂不同颜色,则不同的涂色方法用
(A)288种 (B)264种 (C)240种 (D)168种
2010年全国各地高考数学试题之(天津卷)
数学(理工类)
第Ⅱ卷
注意事项:
1． 答卷前将密封线内的项目填写清楚。

2． 用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上。

3． 本卷共12小题,共100分。

二．填空题:本大题共6小题,每小题4分,共24分,把答案天灾题中横线上。

(11)甲、乙两人在10天中每天加工零件的个数用茎叶图表示如下图,中间一列的数字表示零件个数的十位数,两边的数字表示零件个数的个位数,则这10天甲、乙两人日加工零件的平均数分别为 和 。

(12)一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为
(13)已知圆C 的圆心是直线1,
(1x t y t
=⎧⎨=+⎩为参数）
与x 轴的交点,且圆C 与直线x+y+3=0相切,则圆C 的方程为
(14)如图,四边形ABCD 是圆O 的内接四边形,延长AB 和DC 相交于点P,若PB 1PC 1=,=PA 2PD 3,则BC AD
的值为
(15)如图,在ABC 中,AD AB ⊥,3BC BD =,
1AD =,则AC AD = .
(16)设函数2
()1f x x =-,对任意2
,3x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭,2
4()(1)4()x f m f x f x f m m ⎛⎫-≤-+ ⎪⎝⎭
恒成立,则实数m 的取值范围是 .
三、解答题:本大题共6小题,共76分。

解答题写出文字说明,证明过程或演算步骤。

(17)(本小题满分12分)
已知函数2()cos 2cos 1()f x x x x x R =+-∈ (Ⅰ)求函数()f x 的最小正周期及在区间0,
2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的最大值和最小值； (Ⅱ)若006(),,542f x x ππ⎡⎤
=∈⎢⎥⎣⎦
,求0cos 2x 的值。

(18).(本小题满分12分) 某射手每次射击击中目标的概率是
2
3
,且各次射击的结果互不影响。

(Ⅰ)假设这名射手射击5次,求恰有2次击中目标的概率
(Ⅱ)假设这名射手射击5次,求有3次连续击中目标。

另外2次未击中目标的概率； (Ⅲ)假设这名射手射击3次,每次射击,击中目标得1分,未击中目标得0分,在3次射击中,若有2次连续击中,而另外1次未击中,则额外加1分；若3次全击中,则额外加3分,记ξ为射手射击3次后的总的分数,求ξ的分布列。

(19)(本小题满分12分)
如图,在长方体1111ABCD A BC D -中,
E 、
F 分别是棱BC ,1CC 上的点,2CF AB CE ==,1::1:2:4AB AD AA = （1） 求异面直线EF 与1A D 所成角的余弦值； （2） 证明AF ⊥平面
1A ED
（3） 求二面角1A ED F --的正弦值。

(20)(本小题满分12分)
已知椭圆22221(0x y a b a b +=>>）的离心率e =连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积
为4。

（1） 求椭圆的方程；
（2） 设直线l 与椭圆相交于不同的两点,A B ,已知点A 的坐标为(,0a -),点
0(0,)Q y 在线段AB 的垂直平分线上,且4QA QB =,求0y 的值
(21)(本小题满分14分) 已知函数()()x
f x xe x R -=∈
(Ⅰ)求函数()f x 的单调区间和极值；
(Ⅱ)已知函数()y g x =的图象与函数()y f x =的图象关于直线1x =对称,证明当
1x >时,()()f x g x >
(Ⅲ)如果12x x ≠,且12()()f x f x =,证明122x x +>
(22)(本小题满分14分)
在数列{}n a 中,10a =,且对任意*
k N ∈.21k a -,2k a ,21k a +成等差数列,其公差为k d 。

(Ⅰ)若k d =2k ,证明2k a ,21k a +,22k a +成等比数列(*
k N ∈) (Ⅱ)若对任意*
k N ∈,2k a ,21k a +,22k a +成等比数列,其公比为k q 。

2010年全国各地高考数学试题之(天津卷)
数学(理工类)参考解答
一、 选择题:本题考查基本知识和基本运算。

每小题5分,满分50分。

(1)A (2)B (3)B (4)D (5)B (6)C (7)A (8)C (9)D (10)B
二填空题:本题考查基本知识和基本运算,每小题4分,满分24分。

(11)24:23 (12)10
3
(13)22(1)2x y ++=
,⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎦⎣⎭
三、解答题
(17)本小题主要考查二倍角的正弦与余弦、两角和的正弦、函数sin()y A x ωϕ=+的性质、同角三角函数的基本关系、两角差的余弦等基础知识,考查基本运算能力,满分12分。

(1)解:由2()cos 2cos 1f x x x x =+-,得
2()cos )(2cos 1)2cos 22sin(2)6
f x x x x x x x π
=+-=+=+
所以函数()f x 的最小正周期为π
因为()2sin 26f x x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
在区间0,
6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数,在区间,62ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上为减函数,又 (0)1,2,
162f f f ππ⎛⎫
⎛⎫===- ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭,所以函数()f x 在区间0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的最大值为2,最小值为-1
(Ⅱ)解:由(1)可知00()2sin 26f x x π⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
又因为06()5f x =
,所以03sin 265x π⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭ 由0,42x ππ⎡⎤
∈⎢
⎥⎣⎦
,得0272,636x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦
从而04cos 265x π⎛⎫
+==- ⎪⎝
⎭ 所以
0000cos2cos 2cos 2cos sin 2sin 666666x x x x ππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛
⎫=+-=+++=
⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 18.本小题主要考查二项分布及其概率计算公式、离散型随机变量的分布列、互斥事件和相互独立事件等基础知识,考查运用概率知识解决实际问题的能力,满分12分。

(1)解:设X 为射手在5次射击中击中目标的次数,则X ~25,3B ⎛
⎫ ⎪⎝⎭
.在5次射击中,恰有2次击中目标的概率
22
252240(2)133243P X C ⎛⎫⎛⎫
==⨯⨯-=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
(Ⅱ)解:设“第i 次射击击中目标”为事件(1,2,3,4,5)i A i =；“射手在5次射击中,有3次连续击中目标,另外2次未击中目标”为事件A ,则
123451234512345()()()()P A P A A A A A P A A A A A P A A A A A =++
=32323
21121123333333⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⨯+⨯⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
=
881
(Ⅲ)解:由题意可知,ξ的所有可能取值为0,1,2,3,6
3
12311(0)()327
P P A A A ζ⎛⎫
==== ⎪⎝⎭
123123123(1)()()()P P A A A P A A A P A A A ζ==++
=2
2
21121122
33333339
⎛⎫⎛⎫⨯+⨯⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
1232124
(2)()33327
P P A A A ζ===⨯⨯=
123123(3)()()P P A A A P A A A ζ==+=22
21118333327
⎛⎫⎛⎫
⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
123(6)()P P A A A ζ===3
28327
⎛⎫
=
⎪⎝⎭ 所以ξ的分布列是
(19)本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面垂直、二面角等基础知识,考查用空间向量解决立体几何问题的方法,考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力,满分12分。

方法一:如图所示,建立空间直角坐标系, 点A 为坐标原点,设1AB =,依题意得(0,2,0)D ,
(1,2,1)F ,1(0,0,4)A ,31,,02E ⎛⎫ ⎪⎝⎭
（1） 解:易得10,,12EF ⎛
⎫= ⎪⎝⎭
,1(0,2,4)A D =-
于是1113cos ,5EF A D
EF A D EF A D
=
=-
所以异面直线EF 与1A D 所成角的余弦值为
3
5
（2） 证明:已知(1,2,1)AF =,131,,42
EA ⎛⎫=-- ⎪⎝
⎭,11,,02
ED ⎛⎫=- ⎪⎝
⎭
于是AF ·1EA =0,AF ·ED =0.因此,1AF EA ⊥,
AF ED ⊥,又1EA ED E ⋂= 所以AF ⊥平面1A ED
(3)解:设平面EFD 的法向量(,,)u x y z =,则00u
EF u
ED ⎧=⎪⎨
=⎪⎩,即1
02102
y z x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩
不妨令X=1,可得
(1,21u →
=-）。

由(2)可知,AF →
为平面1
A ED 的一个法向量。

于是2cos
,==3||AF AF |AF|
u u u →→
→
→
→
→
∙,
从而sin ,AF u →→
所以二面角1A -ED-F
方法二:(1)解:设AB=1,可得AD=2,AA 1=4,CF=1.CE=
12
链接B 1C,BC 1,设B 1C 与BC 1交于点M,易知A 1D ∥B 1C,由
1CE CF 1
==CB CC 4
,可知EF ∥BC 1.故BMC ∠是异面直线EF 与A 1D 所成的角,易知
BM=CM=
11
B 2
,所以
222
3
c
o s 25
BM CM BC BMC BM CM +-∠== ,所以异面直线FE
与A 1D 所成角的余弦值为
3
5
(2)证明:连接AC,设AC 与DE 交点N 因为1
2
CD EC BC AB ==,所以Rt DCE
Rt CBA ∆∆,从而CDE BCA ∠=∠,又由于90CDE CED ∠+∠=︒,所以
90BCA CED ∠+∠=︒,故AC ⊥DE,又因为CC 1⊥DE 且1CC AC C ⋂=,所以DE ⊥平面ACF,
从而AF ⊥DE.
连接BF,同理可证B 1C ⊥平面ABF,从而AF ⊥B 1C,所以AF ⊥A 1D 因为1DE A D D ⋂=,所以AF ⊥平面A 1ED
(3)解:连接A 1N.FN,由(2)可知DE ⊥平面ACF,又NF ⊂平面ACF, A 1N ⊂平面ACF,所以DE ⊥NF,DE ⊥A 1N,故1A NF ∠为二面角A 1-ED-F 的平面角
易知R t C N E R t C ∆
∆,所以C N
E C B C A C =,
又AC 所
以CN =,
在1305Rt NCF NF Rt A AN ∆==
中，在
中1NA == 连接A 1C 1,A 1F
在111Rt AC F A F ∆=
=中，
222111112
cos 23
A N FN A F Rt A NF A NF A N FN +-∆∠==∙在中，。

所以1sin A NF ∠=所以二面角A 1-DE-F
正弦值为
3
(20)本小题主要考察椭圆的标准方程和几何性质,直线的方程,平面向量等基础知识,考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的思想,考查运算和推理能力,满分12分 (1)解:
由e c a =
=
得2234a c =,再由222
c a b =-,得2a b = 由题意可知,
1
224,22
a b ab ⨯⨯==即 解方程组22
a b
ab =⎧⎨
=⎩ 得 a=2,b=1
所以椭圆的方程为2
214
x y += (2)解:由(1)可知A(-2,0)。

设B 点的坐标为(x 1,,y 1),直线l 的斜率为k,则直线l 的方程为y=k(x+2),
于是A,B 两点的坐标满足方程组22
(2)14
y k x x y =+⎧⎪
⎨+=⎪⎩ 由方程组消去Y 并整理,得2
2
2
2
(14)16(164)0k x k x k +++-=
由212
164
2,14k x k --=
+得 21122
284,,1414k k x y k k
-==++从而 设线段AB 是中点为M,则M 的坐标为222
82(,)1414k k
k k -
++ 以下分两种情况:
(1)当k=0时,点B 的坐标为(2,0)。

线段AB 的垂直平分线为y 轴,于是
000(2,y ),(2,=QA QB y QA QB y →→→→
=--=-±）由4，得=
(2)当K 0≠时,线段AB 的垂直平分线方程为2
22
218()1414k k Y x k k k -
=+++ 令x=0,解得02
614k
y k
=
+ 由0110(2,y ),(,QA QB x y y →
→
=--=-）
210102222
2(28)6462(()14141414k k k k QA QB x y y y k k k k →
→
--=---++++++）=
4222
4(16151)
4(14)
k k k +-=+=
整理得2
072,=k k y ==故
综上00==y y ± (21)本小题主要考查导数的应用,利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识,考查运算能力及用函数思想分析解决问题的能力,满分14分 (Ⅰ)解:f ’()(1)x x x e -=- 令f ’(x)=0,解得x=1
当x 变化时,f ’(x),f(x)的变化情况如下表
所以f(x)在(,1-∞)内是增函数,在(1,+∞)内是减函数。

函数f(x)在x=1处取得极大值f(1)且f(1)=
1e
(Ⅱ)证明:由题意可知g(x)=f(2-x),得g(x)=(2-x)2
x e
-
令F(x)=f(x)-g(x),即2()(2)x
x F x xe x e --=+-
于是22
'()(1)(1)x x F x x e
e --=--
当x>1时,2x-2>0,从而2x-2e 10,0,F x e -->>又所以’(x)>0,从而函数F(x)在[1,+∞)是增函数。

又F(1)=-1
-1
e e 0-=，所以x>1时，有F(x)>F(1)=0,即f(x)>g(x). Ⅲ)证明:(1)
若121212(1)(1)0,)), 1.x x x x x x --=I ===≠12由（）及f(x f(x 则与矛盾。

(2)若121212(1)(1)0,)),.x x x x x x -->I ==≠12由（）及f(x f(x 得与矛盾。

根据(1)(2)得1212(1)(1)0,1, 1.x x x x --<<>不妨设
由(Ⅱ)可知,)2f(x >)2g(x ,则)2g(x =)2f(2-x ,所以)2f(x >)2f(2-x ,从而
)1f(x >)2f(2-x .因为21x >,所以221x -<,又由(Ⅰ)可知函数f(x)在区间(-∞,1)内事
增函数,所以1x >22x -,即12x x +>2.
(22)本小题主要考查等差数列的定义及通项公式,前n 项和公式、等比数列的定义、数列求和等基础知识,考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法。

满分14分。

(Ⅰ)证明:由题设,可得*4,2121
a a k k N k k -=∈+-。

所以131()()...()21
21212123
a
a a a a a a a k k k k k -=-+-++-++---
=44(1)...41k k +-++⨯ =2k(k+1) 由1a =0,得222(1),22,2(1).2122122
a
k k a a k k a k k k k k =+=-==++++从而
于是1121222221,,221212a a a a k k k k k k a k a k a a k k k k
++++++===++所以。

所以*
2,,,22122
k d k k N a a a k
k k =∈++时，对任意成等比数列。

(Ⅱ)证法一:(i)证明:由2,,21
21k a
a a k k -+成等差数列,及,,22122
a a a k k k ++成等比
数列,得212112,222121221
k a a k k a
a a q k k k a a q
k k k -+=+=+=+-+- 当1q ≠1时,可知k q ≠1,k ∈*
N
从而
111
111,1(2)1111
111
21
1
k q q q q k k k k q k ==
+-=≥-------
--即
所以11q k ⎧⎫⎪⎪
⎨⎬-⎪⎪⎩⎭
是等差数列,公差为1。

(Ⅱ)证明:10a =,22a =,可得34a =,从而14
2,2q =
=11
1
q -=1.由(Ⅰ)有 *1111,,1
k k k k q k N q k
k +=+-==∈-得
所以2
*
222211221,,2122a a a k k k k k k N a a k a k k k k
+++++===∈+（）
从而
因此,
2222*2222
(1)222214...........22..
2(1),2212(1)(2)122242
k a a a k k k k k a a k a a k k k N k k a a a k k k k k --+=====+∈+----以下分两种情况进行讨论:
（1） 当n 为偶数时,设n=2m(*
m N ∈)
若m=1,则2
222n
k k
k n a =-=∑.
若m ≥2,则
2222
122111221(2)(21)42n
m m m k k k k k k k k k k k a a a k
-====++=+=∑∑∑∑+ 221
11
1114414411112222(1)2(1)2(1)211131
22(1)(1)222.
m m m k k k k k k k m m k k k k k k k k m m n m n ---===⎡⎤+++⎡⎤
⎛⎫=++=++- ⎪⎢⎥⎢⎥++++⎝⎭⎣⎦⎣⎦=+-+-=--
∑∑∑
所以22
223132,22,4,6,8...22n
n
k k k k
k k n n n a n a ==-=+<-<=∑∑从而
(2)当n 为奇数时,设n=2m+1(*
m N ∈)
2
222
22221(21)31(21)4222(1)n
m k k k k
m k k m m m a a a m m m ==+++=+=--++∑∑
1131
4222(1)21
m n m n =+-=--
++ 所以22312,21n
k k k n a n =-=++∑从而2
2322,3,5,72n
k k
k n n a =<-<=∑·
·· 综合(1)(2)可知,对任意2n ≥,n N *
∈,有2
23222n
k k
k n a =<-≤∑
证法二:(i)证明:由题设,可得212222(1),k k k k k k k k d a a q a a a q +=-=-=-
212221222(1),k k k k k k k k k k d a a q a q a a q q +++=-=-=-所以1k k k d q d +=
232211122222221
111k k k k k k
k k k k k k k k
a a d d d q q a a q a q a q ++++++++-=
==+=+=+ 由11q ≠可知1,*k q k N ≠∈。

可得
11
11
11111k k k k k q q q q q +-
=-=----,
所以11k q ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭
是等差数列,公差为1。

(ii)证明:因为120,2,a a ==所以1212d a a =-=。

所以3214a a d =+=,从而3122a q a =
=,11
11q =-。

于是,由(i)可知所以11k q ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭
是公差为
1的等差数列。

由等差数列的通项公式可得
1
1
k q -= ()11k k +-=,故1k k q k +=。

从而
11
k k k d k q d k
++==。

所以
12112112 (121)
k k k k k d d d d k k k d d d d k k ----===--,由12d =,可得 2k d k =。

于是,由(i)可知()2
21221,2,*k k a k k a k k N +=+=∈
以下同证法一。