3.2.1 几类不同增长的函数模型 word版含答案
课件7：3.2.1 几类不同增长的函数模型
)
A．一次函数
B．二次函数
C．指数型函数
D．对数型函数
课堂检测
【解析】
结合“直线上升，对数增长，指数爆炸”
可知，对数型函数符合题设条件，故选D.
【答案】
D
课堂检测
4．生活经验告诉我们，当水注入容器(设单位时间内进水
量相同)时，水的高度随着时间的变化而变化，在图中请
选择与容器相匹配的图象，A对应________；B对应
(2)若人均GDP为1千美元时，年人均A饮料的销售量为2 L，
人均GDP为4千美元时，年人均A饮料的销售量为5 L，把
(1)中你所选的模拟函数求出来，并求出各个地区中，年人
均A饮料的销售量最多是多少？
解： (1)用①来模拟比较合适．因为该饮料在人均GDP
处于中等的地区销售量最多，然后向两边递减．而②，
产量y(t)与月序数x之间的关系．对此模拟函数可选用二
次函数y＝f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c均为待定系数，x∈N*)
或函数y＝g(x)＝pqx＋r(p，q，r均为待定系数，x∈N*)，
跟踪训练
现在已知该厂这种新产品在第四个月的月产量为137t，
则选用这两个函数中的哪一个作为模拟函数较好？
7
9
30
40
50
60
5.907
6.322
6.644
6.907
合作学习
【解析】
(1)比较幂函数、指数函数与对数函数可知，
指数函数增长速度最快，故选A.
(2)以爆炸式增长的变量呈指数函数变化．从表格中可
以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，且
都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长
3.2.1几类不同增长的函数模型
4 ．某种产品每件 80 元，每天售出 30 件，如果每个定 人 教 Ａ 版 必 修 一 · 新 课 标 数 学 ·
价120元，则每天售出20件．如果售出件数是定价的一次函
数，则这个函数的解析式是________．
5．下面给出几种函数随x取值而得到的函数值列表： 人 教 Ａ 版 必 修 一 · 新 课 标 数 学 ·
和y＝xn(n>0)都是 增函数 ，但增长速度不同，且不在同一 个“档次”上． (2)在区间(0，＋∞)上随着x的增长，y＝ax(a>1)增长速 度 越来越快 ，会超过并远远大于y＝xn(n>0)的增长速度， 而y＝logax(a>1)的增长速度则会 越来越慢 ． (3)存在一个x0，使得当x>x0时，有 logax<xn<ax .
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类型一 线性函数模型应用题 【例 1】 为了发展电信事业方便用户，电信公司对
移动电话采用不同的收费方式，其中所使用的“如意卡”
和“便民卡”在某市范围内每月 (30 天 ) 的通话时间 x( 分 ) 与 通话费y1(元)、y2(元)的关系分别如图(1)、图(2)所示．
域；
(2)求鱼群年增长量的最大值； (3) 当鱼群的年增长量达到最大值时 ，求 k 的取值范
·
围．
思路分析：由题意写出函数关系式，利用配方法求得 人 教 Ａ 版 必 修 一 · 新 课 标 数 学 ·
最大值，列不等式求k的范围．
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m－x x 解： ) 1 ( 由 题 意 得 y＝kx( )＝kx(1－ )(0≤x<m)． m m k 2 k m 2 km ) 2 ( y＝－ x ＋kx＝－ (x－ ) ＋ . m m 2 4 m km ∴当 x＝ 时，y 大 ， 最 ＝ 2 4 km 即 鱼 群 年 增 长 量 的 最 大 值 为 t. 4 m km ) 3 ( 由题意可得 0≤x＋y<m，即 0≤ ＋ <m， 2 4 ∴－2≤k<2， 又∵k>0，∴0<k< . 2
课件5：3.2.1 几类不同增长的函数模型
解得：a＝2100，b＝－32，c＝4225. 所以 Q 与 t 的关系为：Q＝2100t2－32t＋4225.
(2)当 t＝－2－201320＝150 天时，西红柿种植成本最低为
Q＝2100·1502－32×150＋4225＝100(元/100 kg)．
是增函数， 二次函数g(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)在区间：_－__2b_a，__＋__∞__上
是增函数，
结合它们的图象可知，存在实数x0，当x>x0时就有： __g_(x_0_)>__f(_x_0)__.
一次函数模型的应用 为了发展电信事业方便用户，电信公司对移 动电话采用不同的收费方式，其中所使用的“便民卡” 与“如意卡”在某市范围内每月(30天)的通话时间x(分) 与通话费y(元)的关系如下图所示．
跟踪训练
1．某企业制定奖励条例，对企业产品的销售取得优异成
绩的员工实行奖励，奖励金额(元)是f(n)＝k(n)(n－5000)(其中n
为年销售额)，而k(n)＝
0.03 0.04
5000≤n≤10000
10000＜n＜20000 ，一员工获得400
0.05 20000≥n
元的奖励，那么该员工一年的销售额为( )
80 10
＝5log223＝ 15 m/s.
一、选择填空题
1．在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下面 一组实验数据：现准备用下列四个函数中的一个近似地表 示这些数据的规律，其中最接近的一个是( B )
x 1.99 3
4 5.1 6.12
y 1.5 4.04 7.5 12 18.01
高中数学必修一3.2.1几类不同增长的函数模型习题
《几类不同增长的函数模型》习题1．某商店某种商品(以下提到的商品均指该商品)进货价为每件40元，当售价为50元时，一个月能卖出500件．通过市场调查发现，若每件商品的单价每提高1元，则商品一个月的销售量会减少10件．商店为使销售该商品的月利润最高，应将每件商品定价为() A．45元B．55元C．65元D．70元2．某债券市场发行三种债券，A种面值为100元，一年到期本息和为103元；B种面值为50元，半年到期本息和为51.4元；C种面值为100元，但买入价为97元，一年到期本息和为100元．作为购买者，分析这三种债券的收益，从小到大排列为() A．B，A，C B．A，C，BC．A，B，C D．C，A，B3．某厂原来月产量为a，一月份增产10%，二月份比一月份减产10%，设二月份产量为b，则()A．a＝b B．a>bC．a<b D．a、b的大小无法确定4．甲、乙两人在一次赛跑中，路程S与时间t的函数关系如图所示，则下列说法正确的是()A．甲比乙先出发B．乙比甲跑的路程多C．甲、乙两人的速度相同D．甲先到达终点5．如图所示，花坛水池中央有一喷泉，水管OA＝1m，水从喷头A喷出后呈抛物线状，先向上至最高点落下，若最高点距水面2m，A离抛物线对称轴1m，则在水池半径的下列可选值中，最合算的是()A．3.5m B．3mC．2.5m D．2m6．某市原来民用电价为0.52元/kw·h.换装分时电表后，峰时段(早上八点到晚上九点)的电价为0.55元/kw·h，谷时段(晚上九点到次日早上八点)的电价为0.35元/kw·h.对于一个平均每月用电量为200kw·h 的家庭，要使节省的电费不少于原来电费的10%，则这个家庭每月在峰时段的平均用电量( )A ．至少为82kw·hB ．至少为118kw·hC ．至多为198kw·hD ．至多为118kw·h7．英语老师准备存款5000元．银行的定期存款中存期为1年的年利率1.98%.试计算五年后本金和利息共有________元．8．设物体在8∶00到16∶00之间的温度T 是时间t 的函数：T(t)＝at 2＋bt ＋c(a≠0)，其中温度的单位是°C ，时间的单位是小时，t ＝0表示12∶00，t 取正值表示12∶00以后，若测得该物体在8∶00的温度为8°C ，12∶00的温度为60°C,13∶00的温度为58°C ，则T(t)＝________.9．某物品的价格从1964年的100元增加到2004年的500元，假设该物品的价格年增长率是平均的，那么2010年该物品的价格是多少？(精确到元)10．有甲、乙两个水桶，开始时水桶甲中有a 升水，水通过水桶甲的底部小孔流入水桶乙中，t 分钟后剩余的水符合指数衰减曲线y ＝ae－nt ，假设过5分钟时水桶甲和水桶乙的水相等，求再过多长时间水桶甲的水只有a 8. 11．某报纸上报道了两则广告，甲商厦实行有奖销售：特等奖10000元1名，一等奖1000元2名，二等奖100元10名，三等奖5元200名，乙商厦则实行九五折优惠销售．请你想一想；哪一种销售方式更吸引人？哪一家商厦提供给消费者的实惠大．面对问题我们并不能一目了然．于是我们首先作了一个随机调查．把全组的16名学员作为调查对象，其中8人愿意去甲家，6人喜欢去乙家，还有两人则认为去两家都可以．调查结果表明：甲商厦的销售方式更吸引人，但事实是否如此呢？请给予说明．12．某种新栽树木5年成材，在此期间年生长率为20%，以后每年生长率为x%(x<20)．树木成材后，既可以砍伐重新再栽，也可以继续让其生长，哪种方案更好？*13.(湖南长沙同升湖实验学校高一期末)商场销售某一品牌的羊毛衫，购买人数n 是羊毛衫标价x 的一次函数，标价越高，购买人数越少．已知标价为每件300元时，购买人数为零．标价为每件225元时，购买人数为75人，若这种羊毛衫的成本价是100元/件，商场以高于成本价的相同价格(标价)出售，问：(1)商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件多少元？(2)通常情况下，获取最大利润只是一种“理想结果”，如果商场要获得最大利润的75%，那么羊毛衫的标价为每件多少元？14．学校请了30名木工，要制作200把椅子和100张课桌．已知制作一张课桌与制作一把椅子的工时数之比为10∶7，问30名工人应当如何分组(一组制课桌，另一组制椅子)，能使完成全部任务最快？1.[答案] D[解析] 设每件商品定价为x 元，则一个月的销量为500－(x －50)×10＝1000－10x 件， 故月利润为y ＝(x －40)·(1000－10x)＝－10(x －40)(x －100)，∵⎩⎪⎨⎪⎧x>401000－10x>0，∴40<x<100， ∴当x ＝70时，y 取最大值，故选D.2.[答案] B[解析] A 种债券的收益是每100元收益3元；B 种债券的利率为51.4－5050，所以100元一年到期的本息和为100(1＋51.4－5050)≈105.68(元)，收益为5.68元；C 种债券的利率为100－97100，100元一年到期的本息和为100(1＋100－9797)≈103.09(元)，收益为3.09元． 3.[答案] B[解析] 一月份产量为a(1＋10%)，二月份产量b ＝a(1＋10%)(1－10%)＝a(1－1%)， ∴b<a ，故选B.4.[答案] D[解析] 从图可以看出，甲、乙两人同时出发(t ＝0)，跑相同多的路程(S 0)，甲用时(t 1)比乙用时(t 2)较短，即甲比乙的速度快，甲先到达终点．5.[答案] C[解析] 建立如图坐标系，据题设y 轴右侧的抛物线方程为y ＝a(x －1)2＋2.∵抛物线过点A(0,1)∴将(0,1)点代入方程得a ＝－1，∴y ＝－(x －1)2＋2.令y ＝0，得x ＝1＋2，x ＝1－2(舍)，故落在水面上的最远点B 到O 点距离为(1＋2)m ，考虑合算，须达到要求条件下用料最少，∴选C.6.[答案] D[解析] ①原来电费y 1＝0.52×200＝104(元)．②设峰时段用电为xkw·h ，电费为y ，则y ＝x×0.55＋(200－x)×0.35＝0.2x ＋70，由题意知0.2x ＋70≤(1－10%)y 1，∴x≤118.答：这个家庭每月在峰时段的平均用电量至多为118kw·h.7.[答案] 5514.99[解析] 根据题意，五年后的本息共5000(1＋1.98%)5＝5514.99(元)．8.[答案] －3t 2＋t ＋60[解析] 将t ＝－4，T ＝8；t ＝0，T ＝60；t ＝1，T ＝58分别代入函数表达式中即可解出a ＝－3，b ＝1，c ＝60.9. [解析] 从1964年开始，设经过x 年后物价为y ，物价增长率为a%，则y ＝100(1＋a%)x ，将x ＝40，y ＝500代入得500＝100(1＋a%)40，解得a ＝4.1，故物价增长模型为y ＝100(1＋4.1%)x .到2010年，x ＝46，代入上式得y ＝100(1＋4.1%)46≈635(元)．10.[解析] 由题意得ae－5n ＝a －ae －5n ，即e －5n ＝12，设再过t 分钟桶甲中的水只有a 8，得ae －n(t ＋5)＝a 8，所以(12)t ＋55＝(e －5n )t ＋55＝e －n(t ＋5)＝18＝(12)3，∴t ＋55＝3，∴t ＝10.∴再过10分钟桶甲的水只有a 8. 11. [解析] 在实际问题中，甲商厦每组设奖销售的营业额和参加抽奖的人数都没有限制．所以这个问题应该有几种情形：(1)若甲商厦确定每组设奖．当参加人数较少时，少于1＋2＋10＋200＝213人，人们会认为获奖机率较大，则甲商厦的销售方式更吸引顾客．(2)若甲商厦的每组营业额较多时，他给顾客的优惠幅度就相应的小．因为甲商厦提供的优惠金额是固定的，共10000＋2000＋1000＋1000＝14000元．假设两商厦提供的优惠都是14000元，则可求乙商厦的营业额为14000÷5%＝280000.所以由此可得：(1)当两商厦的营业额都为280000元时，两家商厦所提供的优惠同样多．(2)当两商厦的营业额都不足280000元时，乙商厦的优惠则小于1 4000元，所以这时甲商厦提供的优惠仍是1 4000元，优惠较大．(3)当两家的营业额都超过280000元时，乙商厦的优惠则大于14000元，而甲商厦的优惠仍保持14000元时，乙商厦所提供的优惠大．12. [解析] 只需考虑10年的情形．设新树苗的木材量为Q ，则连续生长10年后木材量为：Q(1＋20%)5(1＋x%)5,5年后再重栽的木材量为2Q(1＋20%)5，画出函数y ＝(1＋x%)5与y ＝2的图象，用二分法可求得方程(1＋x%)5＝2的近似根x ＝14.87，故当x<14.87%时就考虑重栽，否则让它继续生长．13. [解析] (1)设购买人数为n 人，羊毛衫的标价为每件x 元，利润为y 元，则n ＝kx ＋b(k<0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 0＝300k ＋b 75＝225k ＋b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1b ＝300， ∴n ＝－x ＋300.y ＝－(x －300)·(x －100)＝－(x －200)2＋10000，x ∈(100,300]∴x ＝200时，y max ＝10000即商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件200元．(2)由题意得，－(x －300)·(x －100)＝10000×75%∴x 2－400x ＋30000＝－7500，∴x 2－400x ＋37500＝0，∴(x －250)(x －150)＝0∴x 1＝250，x 2＝150所以当商场以每件150元或250元出售时，可获得最大利润的75%.14. [分析] 制作课桌和椅子中所花较多的时间即为完成任务的时间，只要它最小，即完成任务最快．[解析] 设x 名工人制课桌，(30－x)名工人制椅子，一个工人在一个单位时间里可制7张课桌或10把椅子，∴制作100张课桌所需时间为函数P(x)＝1007x ， 制作200把椅子所需时间为函数Q(x)＝20010(30－x)， 完成全部任务所需的时间f(x)为P(x)与Q(x)中的较大值．欲使完成任务最快，须使P(x)与Q(x)尽可能接近(或相等)．令P(x)＝Q(x)，即1007x ＝20010(30－x)， 解得x ＝12.5，∵人数x ∈N ，考察x ＝12和13的情形有P(12)≈1.19，Q(12)≈1.111，P(13)≈1.099，Q(13)≈1.176，∴f(12)＝1.19，f(13)＝1.176，∵f(12)>f(13)，∴x ＝13时，f(x)取最小值，∴用13名工人制作课桌，17名工人制作椅子完成任务最快．[点评] 本题有几点需特别注意，人数x 必须是自然数，故P(x)与Q(x)不相等，f(x)是P(x)与Q(x)中的较大者，完成任务最快的时间是f(x)的最小值．。
【优质文档】2021届高中数学新人教版高中数学第一册几类不同增长的函数模型含解析
(1)设模拟函数为 y＝ax＋b 时，将 B，C 两点的坐标代入函数式，
3a＋ b＝1.3，
a＝ 0.1，
得
解得
2a＋ b＝1.2，
b＝ 1.
所以有关系式 y＝0.1x＋1.
不更新设备，产量必然趋于稳定，而该指数函数模型恰好反映了这种 趋势．因此选用指数函数 y＝－ 0.8×0.5x＋1.4 模拟比较接近客观实际 .
通过数据验证，确定系数，然后分析确定函数变化情况，最终找 出与实际最接近的函数模型．
方法归纳 数学知识来源于客观实际，服务于实际问题．数学是人们认识世 界、改造世界的工具，其中函数是描述客观世界变化规律的基本数学 模型，不同的变化规律需要不同的函数模型来描述．面临一个实际问 题，选择合适的数学模型是一件非常重要的事情，根据三种不同的增 长模型的特点，选择符合自己的模型，才能产生更大的经济效益．
1 3
1
0.2<1， c＝2 3 >1， ∴ 有
a<b<c.故选
A.
a＝log 1 3<log 1 1＝
2
2
答案： A
4．某同学最近 5 年内的学习费用 y(千元 )与时间 x(年)的关系如图
所示，则可选择的模拟函数模型是 ( )
A．y＝ax＋ b B．y＝ax2＋bx＋c C．y＝a·ex＋b D．y＝aln x＋b
－0.8× 0.5x＋1.4.结论为： 当把 x＝4 代入得 y＝－ 0.8×0.54＋1.4＝1.35.
比较上述三个模拟函数的优劣，既要考虑到误差最小，又要考虑
2019-2020学年高一数学人教A版必修1练习：3.2.1 几类不同增长的函数模型 Word版含解析.pdf
A.60 安
B.240 安
C.75 安
D.135 安
320
解析设比例系数为 k,则电流强度 I=kr3,由已知可得当 r=4 时,I=320,故有 320=43k,解得 k= 64 =5,所以 I=5r3,则当 r=3 时,I=5×33=135(安). 答案 D 5.若 a>1,n>0,则当 x 足够大时,ax,xn,logax 的大小关系是 . 解析由三种函数的增长特点可知,当 x 足够大时,总有 logax<xn<ax. 答案 logax<xn<ax 6.某种细菌在培养过程中,每 15 分钟分裂 1 次(由 1 个分裂成 2 个),这种细菌由 1 个分裂成 4 096 个需 经过 小时. 解析设 1 个细菌分裂 x 次后有 y 个细菌,则 y=2x.
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3.2 函数模型及其应用
3.2.1 几类不同增长的函数模型
课后篇巩固提升
基础巩固
1.如果某工厂 12 月份的产量是 1 月份产量的 7 倍,那么该工厂这一年中的月平均增长率是( )
7
A.11
7
B.12
C.12 7-1
D.11 7-1
解析设月平均增长率为 x,1 月份的产量为 a,则有 a(1-1. 答案 D
答案 2ln 2 1 024 4.如图,是某受污染的湖泊在自然净化过程中,某种有害物质的剩留量 y 与净化时间 t(单位:月)的近似 函数关系:y=at(t≥0,a>0,且 a≠1).有以下叙述:
1
时,2x>������2>lg x. 答案 A 3.已知某个病毒经 30 分钟可繁殖为原来的 2 倍,且病毒的繁殖规律为 y=ekt(其中 k 为常数,t 表示时间, 单位:小时,y 表示病毒个数),则 k= ,经过 5 小时,1 个病毒能繁殖 个.
课件2：3.2.1 几类不同增长的函数模型
号，把问题转化为数学模型的过程；解模时我们可以借 助计算机等数学工具对所建模型求解；由于应用问题本 身的繁杂性、开放性，根据自己理解所建立的模型也有 局限性，最后要对模型的解检验，或取或舍，或重新修 正模型，直到满意为止．有些问题还需要我们利用信息 技术收集数据、绘图、计算、拟合函数．
2．三种函数模型的选取 (1)当增长速度变化很快时，常常选用指数函数模型． (2)当要求不断增长பைடு நூலகம்但又不会增长过快，也不会增长 到很大时，常常选用对数函数模型． (3)幂函数模型y＝xn(n>0)则可以描述增长幅度不同的 变化：n值较小(n≤1)时，增长较慢；n值较大(n＞1)时，增 长较快．
f(9)＝512，g(10)＝1 000，f(10)＝1 024，
(6分)
∴f(1)>g(1)，f(2)<g(2)，f(9)<g(9)，f(10)>g(10)． (8分)
∴1<x1<2,9<x2<10.∴x1<8<x2<2 012. 由图象知，当x1<x<x2时，f(x)<g(x)； 当x>x2时，f(x)>g(x)，且g(x)在(0，＋∞)上是增函数. ∴f(2 012)>g(2 012)>g(8)>f(8)．
解：(1)当 t∈[0,1]时，函数的解析式为 y＝kt.
将 M(1,4)代入得 k＝4，∴y＝4t.
当 t∈(1，＋∞)时，函数的解析式为 y＝(12)t－a.
将(3,1)代入得 a＝3.∴y＝(12)t－3.
4t，
0≤t≤1，
综上有 y＝f(t)＝12t－3， t>1.
(2)由 f(t)≥0.25，解得116≤t≤5. 所以服药一次治疗疾病的有效时间为 5－116＝41156(小时).
人教版A版高中数学必修一_第3章_321_几类不同增长的函数模型(有答案)
人教版A版高中数学必修一第3章 3.2.1 几类不同增长的函数模型一、单选题1. y1＝2x，y2＝x2，y3＝log2x，当2<x<4时，有（）A.y2>y1>y3B.y1>y2>y3C.y2>y3>y1D.y1>y3>y22. 某地区植被被破坏，土地沙漠化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加数y公顷关于年数x的函数关系较为近似的是（）A.y＝(x2+2x)B.y＝0.2xC.y＝0.2+log16xD.y＝3. 高为、满缸水量为的鱼缸的轴截面如图所示，现底部有一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为时水的体积为，则函数的大致图像是()A. B.C. D.4. 函数的图象大致是（）A. B.C. D.5. 如果某林区的森林蓄积量每年平均比上一年增长10.4%，那么经过年可增长到原来的倍，则函数的图象大致为()A. B.C. D.二、填空题函数y＝x2与函数y＝x ln x在区间(0, +∞)上增长较快的一个是________ .在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v(米/秒)和燃料的质量M(千克)、火箭(除燃料外)的质量m(千克)的函数关系式是v＝2000·ln.当燃料质量是火箭质量的________倍时，火箭的最大速度可达12千米/秒．参考答案与试题解析人教版A版高中数学必修一第3章 3.2.1 几类不同增长的函数模型一、单选题1.【答案】此题暂无答案【考点】对数函数表础象与性质函表的透象对数值于小的侧较【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答2.【答案】此题暂无答案【考点】求解线都接归方程函数模型较选溴与应用变化的使慢与变以率【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答3.【答案】此题暂无答案【考点】函表的透象【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答4.【答案】此题暂无答案【考点】函表的透象【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答5.【答案】此题暂无答案【考点】函表的透象【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答二、填空题【答案】此题暂无答案【考点】变化的使慢与变以率函表的透象反函数【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】函数模型较选溴与应用利用验我研究务能的单调性利验热数技究女数的最值【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答。
人教版高中数学3.2.1几类不同增长的函数模型
第二步:引进数学符号,建立数学模型. 一般地，设自变量为x,函数为y,并用x表示各相关量,然后根 据已知条件,运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知 识建立函数关系式,将实际问题转化为一个数学问题,实现问 题的数学化,即所谓建立数学模型. 第三步:利用数学方法解答得到的常规数学问题(即数学模型), 求得结果. 第四步:再转译成具体问题作出解答.
【变式训练】某债券市场发行三种债券，A种面值为100元， 一年到期本息和为103元；B种面值为50元，半年到期本息和 为51.4元；C种面值为100元，但买入价为97元，一年到期本 息和为100元．作为购买者，分析这三种债券的收益，从小到 大排列为( A.B,A,C C.A,B,C ) B.A,C,B D.C,A,B
-1
1 2
0
1 0
1
2 1
2
4 8
3
8 27
...
... ...
-1
描点、连线，得如图所示图象： 则函数f(x)=2x对应的图象为C2,函数g(x)=x3对应的图象为C1①,
≧g(1)=1,f(1)=2,g(2)=8,f(2)=4,g(9)=729, f(9)=512,g(10)=1 000,f(10)=1 024, ≨f(1)＞g(1),f(2)＜g(2),f(9)＜g(9),f(10)＞g(10)， ≨1＜x1＜2,9＜x2＜10,≨x1＜8＜x2＜2013. 从图象上知，当x1＜x＜x2时，f(x)＜g(x), 当x＞x2时，f(x)＞g(x),且g(x)在(0,+≦)上是增函数, ≨f(2 013)＞g(2 013)＞g(8)＞f(8). 答案： f(2 013)＞g(2 013)＞g(8)＞f(8)
【解析】选B.A种债券的收益是每100元收益3元；B种债券的利 率为 51.4－50 ， 所以100元一年到期的本息和为
必修一3.2.1几类不同增长的函数模型
必修一3.2.1几类不同增长的函数模型一、选择题1、某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为l1＝5.06x－0.15x2和l2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则可能获得的最大利润是________元．( )A．45.606 B．45.6C．45.56 D．45.512、已知f(x)＝x2－bx＋c且f(0)＝3，f(1＋x)＝f(1－x)，则有( )A．f(b x)≥f(c x) B．f(b x)≤f(c x)C．f(b x)<f(c x) D．f(b x)，f(c x)大小不定3、某自行车存车处在某天的存车量为4 000辆次，存车费为：变速车0.3元/辆次，普通车0.2元/辆次．若当天普通车存车数为x辆次，存车费总收入为y元，则y关于x的函数关系式为( ) A．y＝0.2x(0≤x≤4 000)B．y＝0.5x(0≤x≤4 000)C．y＝－0.1x＋1 200(0≤x≤4 000)实用文档D．y＝0.1x＋1 200(0≤x≤4 000)4、某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系，可选用( ) A．一次函数B．二次函数C．指数型函数D．对数型函数5、从山顶到山下的招待所的距离为20千米．某人从山顶以4千米/时的速度到山下的招待所，他与招待所的距离s(千米)与时间t(小时)的函数关系用图象表示为( )6、今有一组数据如下：t 1.99 3.0 4.0 5.1 6.12v 1.5 4.407.51218.01实用文档实用文档 现准备了如下四个答案，哪个函数最接近这组数据( )A ．v ＝log 2tB ．v ＝12log tC ．v ＝t 2－12D ．v ＝2t －2二、填空题7、近几年由于北京房价的上涨，引起了二手房市场交易的火爆．房子几乎没有变化，但价格却上涨了，小张在2010年以80万元的价格购得一套新房子，假设这10年来价格年膨胀率不变，那么到2020年，这所房子的价格y (万元)与价格年膨胀率x 之间的函数关系式是____________．8、一种专门侵占内存的计算机病毒，开机时占据内存2KB ，然后每3分钟自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机后经过________分钟，该病毒占据64MB 内存(1MB ＝210KB)．三、解答题9、已知桶1与桶2通过水管相连如图所示，开始时桶1中有a L 水，t min 后剩余的水符合指数衰减函数y 1＝a e －nt ，那么桶2中的水就是y 2＝a －a e －nt ，假定5 min 后，桶1中的水与桶2中的水相等，那么再过多长时间桶1中的水只有a 4L?10、某种商品进价每个80元，零售价每个100元，为了促销拟采取买一个这种商品，赠送一个小礼品的办法，实践表明：礼品价值为1元时，销售量增加10%，且在一定范围内，礼品价值为(n＋1)元时，比礼品价值为n元(n∈N*)时的销售量增加10%.(1)写出礼品价值为n元时，利润y n(元)与n的函数关系式；(2)请你设计礼品价值，以使商店获得最大利润．11、根据市场调查，某种商品在最近的40天内的价格f(t)与时间t满足关系f(t)＝实用文档实用文档(t ∈N )，销售量g (t )与时间t 满足关系g (t )＝－13t ＋433(0≤t ≤40，t ∈N )．求这种商品的日销售额(销售量与价格之积)的最大值．12、用模型f (x )＝ax ＋b 来描述某企业每季度的利润f (x )(亿元)和生产成本投入x (亿元)的关系．统计表明，当每季度投入1(亿元)时利润y 1＝1(亿元)，当每季度投入2(亿元)时利润y 2＝2(亿元)，当每季度投入3(亿元)时利润y 3＝2(亿元)．又定义：当f (x )使[f (1)－y 1]2＋[f (2)－y 2]2＋[f (3)－y 3]2的数值最小时为最佳模型．(1)当b ＝23，求相应的a 使f (x )＝ax ＋b 成为最佳模型； (2)根据题(1)得到的最佳模型，请预测每季度投入4(亿元)时利润y 4(亿元)的值．实用文档以下是答案一、选择题1、B [设该公司在甲地销售x 辆，则在乙地销售(15－x )辆．由题意可知所获利润l ＝5.06x －0.15x 2＋2(15－x )＝－0.15(x －10.2)2＋45.606.当x ＝10时，l max ≈45.6(万元)．]2、B [由f (1＋x )＝f (1－x )，知对称轴b 2＝1，b ＝2. 由f (0)＝3，知c ＝3.此时f (x )＝x 2－2x ＋3.当x <0时，3x <2x <1，函数y ＝f (x )在x ∈(－∞，1)上是减函数，f (b x )<f (c x )；实用文档当x ＝0时，f (b x )＝f (c x )；当x >0时，3x >2x >1，函数y ＝f (x )在x ∈(1，＋∞)上是增函数，f (b x )<f (c x )．综上，f (b x )≤f (c x )．]3、C [由题意得：y ＝0.2x ＋0.3(4 000－x )＝－0.1x ＋1 200(0≤x ≤4 000)．]4、D [由于一次函数、二次函数、指数函数的增长不会后来增长越来越慢，只有对数函数的增长符合．]5、C [由题意知s 与t 的函数关系为s ＝20－4t ，t ∈[0,5]，所以函数的图象是下降的一段线段，故选C.]6、C [将t 的5个数值代入这四个函数，大体估算一下，很容易发现v ＝t 2－12的函数比较接近表中v 的5个数值．]二、填空题7、80(1＋x)10解析一年后的价格为80＋80·x＝80(1＋x)．二年后的价格为80(1＋x)＋80(1＋x)·x＝80(1＋x)(1＋x)＝80(1＋x)2，由此可推得10年后的价格为80(1＋x)10.8、45解析设过n个3分钟后，该病毒占据64MB内存，则2×2n＝64×210＝216⇒n＝15，故时间为15×3＝45(分钟)．三、解答题9、解由题意得a e－5n＝a－a·e－5n，即e－5n＝1 2 .①设再过t min后桶1中的水有a4 L，则a e－n(t＋5)＝a4，e－n(t＋5)＝14.②实用文档实用文档将①式平方得e －10n ＝14.③ 比较②、③得－n (t ＋5)＝－10n ，∴t ＝5.即再过5 min 后桶1中的水只有a 4L.10、解 (1)设未赠礼品时的销售量为m ，则当礼品价值为n 元时，销售量为m (1＋10%)n .利润y n ＝(100－80－n )·m ·(1＋10%)n＝(20－n )m ×1.1n (0<n <20，n ∈N *)．(2)令y n ＋1－y n ≥0，即(19－n )m ×1.1n ＋1－(20－n )m ×1.1n ≥0.解得n ≤9，所以y 1<y 2<y 3<…<y 9＝y 10，令y n ＋1－y n ＋2≥0，即(19－n )m ×1.1n ＋1－(18－n )m ×1.1n ＋2≥0，解得n ≥8.所以y 9＝y 10>y 11>…>y 19.实用文档 所以礼品价值为9元或10元时，商店获得最大利润．11、解 据题意，商品的价格随时间t 变化，且在不同的区间0≤t <20与20≤t ≤40上，价格随时间t 的变化的关系式也不同，故应分类讨论．设日销售额为F (t )．①当0≤t <20，t ∈N 时，F (t )＝(12t ＋11)(－13t ＋433) ＝－16(t －212)2＋16(4414＋946)， 故当t ＝10或11时，F (t )max ＝176.②当20≤t ≤40时，t ∈N 时，F (t )＝(－t ＋41)(－13t ＋433)＝13(t －42)2－13， 故当t ＝20时，F (t )max ＝161.综合①、②知当t ＝10或11时，日销售额最大，最大值为176.12、解 (1)b ＝23时，[f (1)－y 1]2＋[f (2)－y 2]2＋[f (3)－y 3]2 ＝14(a －12)2＋16，实用文档 ∴a ＝12时，f (x )＝12x ＋23为最佳模型． (2)f (x )＝x 2＋23，则y 4＝f (4)＝83.。
高中数学 《3.2.1几类不同增长的函数模型》达标训练含解析
更上一层楼基础·巩固·达标1.世界人口已超过56亿，若按千分之一的年增长率计算，则两年增长的人口就可相当于（ ）A.新加坡（270万）B.香港（560万）C.瑞士（700万）D.上海（1 200万）思路解析：两年增长的人口应为560 000×（1+0.1%）2-560 000≈1 120（万）.答案：D2.根据统计资料，我国能源生产自1986年以来发展很快，下面是我国能源生产总量（折合亿吨标准煤）的几个统计数据：1986年8.6亿吨，5年后的1991年10.4亿吨，10年后的1996年12.9亿吨，有关专家预测，到2001年我国能源生产总量将达到16.1亿吨，则专家是选择作为模型进行预测的（ ）A.一次函数B.二次函数C.指数函数D.对数函数 思路解析：将1986年作为开始的时间，此时t=0，并以5年为一时间单位，则1991年时，t=1；1996年时，t=2；2001年时，t=3.由题设条件知f(0)=8.6,f(1)=10.4,f(2)=12.9，预测的f(3)=16.1.通过描点可得y=f(t)的草图，根据草图对照四种函数，可以发现应选B.答案：B3.已知镭经过100年剩留原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过x 年后的剩留为y ，则x 、y 之间的函数关系是（ ） A.y=1009576.0xB. y=0.957 6100xC.y=(1009576.0)x D.y=100042.01x - 思路解析：设经过一年剩留原来的a%，则x 与y 之间的函数关系式为y=（100a ）x ，现在只需确定a 的值即可，依题意，有（100a ）100=0.957 6，∴100a =10019576.0. ∴y=（10019576.0）x =1009576.0x，应选A.答案：A4.据报道，青海湖水在最近50年内减少了10%，如果按此规律，设2000年的湖水量为m ，从2000年起，过x 年后湖水量y 与x 的函数关系是（ ） A.y=509.0x·m B.y=（501.01x -）·mC.y=0.950x ·mD.y=（1-0.150x ）·m 思路解析：设湖水量每年为上年的q%，则（q%）50=0.9，∴q%=5019.0， ∴x 年后湖水量y=m ·（q%）x =m ·509.0x .答案：A5.某个体企业的一个车间有8名工人，以往每人年薪为1万元，从今年起，计划每人的年薪比前一年增加20%.另外，每年新招3名工人，每名新工人的第一年年薪为0.8万元，第二年起与老工人的年薪相同.若以今年为第一年，那么，第n 年企业付给工人的工资总额y （万元）表示成的函数，其表达式为（ ）A.y=（3n+5）·1.2n +2.4B.y=8×1.2n +2.4nC.y=（3n+8）·1.2n+1+2.4D.y=（3n+5）×1.2n-1+2.4思路解析：第一年企业付给工人的工资总额为1×1.2×8+0.8×3=9.6+2.4=12（万元），而对4个选择肢而言当x=1时，C 、D 相对应的函数值均不为12.再考虑第二年企业付给工人的工资总额及选择肢A 、B 相应的函数值，又可排除B ，故应选A.答案：A综合·应用·创新6.某商人购货，进价已按原价a 扣去25%.他希望对货物订一新价，以便按新价让利20%销售后仍可获得售价25%的纯利，则此商人经营这种货物的件数x 与按新价让利总额y 之间的函数关系是_____________________.思路解析：设新价为b ，依题意有b(1-20%)-a(1-25%)=b(1-20%)g 25%b 化简，得b=45a ， ∴y=b ·20%·x=45a ·20%·x ， 即y=4a x （x ∈N *）. 答案：y=4a x （x ∈N *） 7.如下图所示，开始时桶1中有a 升水，t 分钟后剩余水符合指数衰减曲线y 1=ae -nt ，那么桶2中水就是y 2=a-ae -nt .假设过5分钟时桶1和桶2的水相等，再过______________分钟，桶1中的水只有8a .思路解析：根据题设条件得ae -5n =a-ae -5n ，∴e -5n =21, 令ae -nt =8a ，则e -nt =81，∴e -nt =（21）3=e -15n ，∴n=15. 又15-5=10（分钟），即再过10分钟，桶1中的水就只有8a . 答案：108.已知一个RC 电路，电容器充电后经过电阻R 放电，如下图，C=50 μF ，R=100 k Ω，则电容器C 充电后的初始电压U c =6 V .试求：（1）开始放电时的初始电流；（2）电流的时间常数；（3）电容器上电压衰减到3 V 时所需要的时间.思路解析：先将开关合向a 端，使电容器C 充电，然后再将开关合向b 端，则电容器通过电阻R 放电.经理论分析，电容器在放电过程中，经充电已存在的两端电压U c 随时间按指数规律衰减，变化曲线如右图所示，函数关系是U c =x c e U 1-（*），其中τ=RC 是电流的时间常数，当电阻R 的单位是欧姆（Ω），电压的单位是伏特（V ），电容C 的单位是法拉（F ）时，时间t 的单位是秒（s ），又知1F=106μf ，1 k Ω=1 000 Ω.解：（1）初始电流=R U c =3101006⨯=6×10-5=0.06(mA)； （2）时间常数τ=RC=100×103×50×10-6=5（s ）； （3）根据公式（*），得3=516-e ，即51-e =0.5.因此t=-5ln0.5≈-5×（-0.69）=3.5（s ），即电压减到3 V 时，所需时间为3.5 s.9.汽车在行驶中，由于惯性作用，刹车制动后，还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”.刹车距离是分析交通事故的一个重要因素.在一个限速为100 km/h 的高速公路上，甲车的刹车距离y （m ）与刹车的速度x （km/h ）的关系可用模型y=ax 2来描述，在限速为100 km/h 的高速公路上，甲车在速度为50 km/h 时，刹车距离为10 m ，则甲型号的车刹车距离为多少米，交通部门可以判定此车超速?思路解析：此题函数模型已经给出，但是d 的值需要先求出，利用给定的当速度为50 km/h 时，刹车距离为10 m 这一条件代入y=ax 2，即10=502a ，就可以求出参数a=25010；交通部门判定此车超速的依据是此车车速超过100 km/h 的限速，而且函数y=ax 2在x ＞0时是单调递增的，所以可以把x=100代入确定的解析式，求出刹车距离y=25010×1002=40(米)． 答案：刹车距离超过40米，可以判定此车超速．10.家用冰箱使用的氟化物的释放破坏了大气上层的臭氧层.臭氧含量Q 呈指数函数型变化，满足关系式Q=Q 0-0.002 5 t ，其中Q 0是臭氧的初始量.（1）随时间的增加，臭氧的含量是增加还是减少?（2）多少年以后将会有一半的臭氧消失?思路解析：（1）因为此函数是减函数，所以臭氧的含量减少；（2）令Q 0e -0.002 5t =20Q ，即e -0.002 5t =21，-0.002 5t=ln 21，利用计算器解得t ≈277.26，所以278年以后将会有一半的臭氧消失. 答案：（1）减少；（2）278年．。
3-2-1 几类不同增长的函数模型a word版含解析
A级：基础巩固练一、选择题1．当2<x<4时，2x，x2，log2x的大小关系是()A．2x>x2>log2x B．x2>2x>log2xC．2x>log2x>x2D．x2>log2x>2x-=-=-=-=答案=-=-=-=- B解析解法一：在同一平面直角坐标系中分别画出函数y＝log2x，y＝x2，y＝2x的图象，在区间(2,4)上从上往下依次是y＝x2，y＝2x，y ＝log2x的图象，所以x2>2x>log2x.解法二：比较三个函数值的大小，作为选择题，可以采用特殊值代入法．可取x＝3，经检验易知选B.2．有一组实验数据如下表所示：x 1234 5y 1.5 5.913.424.137A．y＝log a x(a>1) B．y＝ax＋b(a>1)C．y＝ax2＋b(a>0) D．y＝log a x＋b(a>1)-=-=-=-=答案=-=-=-=- C解析通过所给数据可知y随x的增大而增大，其增长速度越来越快，而A，D中的函数增长速度越来越慢，B中的函数增长速度保持不变，故选C.3．某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系，可选用() A．一次函数B．二次函数C．指数型函数D．对数型函数-=-=-=-=答案=-=-=-=- D解析一次函数保持均匀的增长，不能体现题意；二次函数在对称轴的两侧有增也有降；而指数函数是爆炸式增长，不符合“增长越来越慢”的要求；因此，只有对数函数最符合题意，先快速增长，后来越来越慢．4．某地区植被被破坏，土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加数y(万公顷)关于年数x(年)的函数关系较为近似的是()A．y＝0.2x B．y＝110(x2＋2x)C．y＝2x10D．y＝0.2＋log16x -=-=-=-=答案=-=-=-=- C解析将x＝1,2,3，y＝0.2,0.4,0.76分别代入验算即可．5．某地为加强环境保护，决定使每年的绿地面积比上一年增长10%，那么从今年起，x年后绿地面积是今年的y倍，则函数y＝f(x)的大致图象是()-=-=-=-=答案=-=-=-=- D解析设今年绿地面积为m，则有my＝(1＋10%)x m，∴y＝1.1x，故选D.二、填空题6．若已知16<x<20，利用图象可判断出x 12和log2x的大小关系为________．-=-=-=-=答案=-=-=-=-x 12>log2x解析作出f(x)＝x 12和g(x)＝log2x的图象，如图所示：由图象可知，在(0,4)内，x 12>log2x；x＝4或x＝16时，x 12＝log2x；在(4,16)内x 12<log2x；在(16,20)内x12>log2x.7.某工厂8年来某种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系如图所示．以下四种说法：①前三年产量增长的速度越来越快；②前三年产量增长的速度越来越慢；③第三年后这种产品停止生产；④第三年后产量保持不变．其中说法正确的序号是________．-=-=-=-=答案=-=-=-=-②③解析由t∈[0,3]的图象联想到幂函数y＝xα(0<α<1)．反映了C 随时间的变化而逐渐增长但速度越来越慢．由t∈[3,8]的图象可知，总产量C没有变化，即第三年后停产，所以②③正确．8．有一个附有进、出水管的容器，每单位时间进、出的水量都是一定的，设从某时刻开始5 min内只进水不出水，在随后的15 min 内既进水又出水，得到水量y(L)与时间x(min)之间的关系如图所示．若20 min后只放水不进水，直到放完为止，则这时y与x之间的函数关系式是________．-=-=-=-=答案=-=-=-=- y ＝95－3x ⎝⎛⎭⎪⎫20≤x ≤953 解析 先由图求出每分钟的进水量与出水量．由图可知每分钟的进水量为205＝4(L)．设每分钟的出水量为u (L)，则35－2020－5＝4－u ，∴u ＝3.因此，20 min 后，水量y ＝35－3(x －20)，即y ＝95－3x ⎝ ⎛⎭⎪⎫20≤x ≤953. 三、解答题9．为了发展电信事业，方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中所使用的“如意卡”与“便民卡”在某市范围内每月(30天)的通话时间x (分)与通话费用y (元)的关系如图所示．(1)分别求出通话费用y 1，y 2与通话时间x 之间的函数解析式；(2)请帮助用户计算在一个月内使用哪种卡便宜．解 (1)由图象可设y 1＝k 1x ＋29，y 2＝k 2x ，把点B (30,35)，C (30,15)分别代入y 1，y 2的解析式，得k 1＝15，k 2＝12.∴y 1＝15x ＋29(x ≥0)，y 2＝12x (x ≥0)．(2)令y 1＝y 2，即15x ＋29＝12x ，则x ＝9623.当x ＝9623时，y 1＝y 2，两种卡收费一致；当x <9623时，y 1>y 2，使用便民卡便宜；当x >9623时，y 1<y 2，使用如意卡便宜．B 级：能力提升练10．森林具有净化空气的功能，经研究发现，森林净化空气量Q与森林面积S 的关系是Q ＝50log 2S 10.(1)若要保证森林具有净化效果(Q ≥0)，则森林面积至少为多少个单位？(2)当某森林面积为80个单位时，它能净化的空气量为多少个单位？解 (1)由题，知当Q ＝0时，代入关系式可得0＝50log 2S 10，解得S ＝10.因为Q 随S 的增大而增大，所以当Q ≥0时，S ≥10，即森林面积至少为10个单位．(2)将S ＝80代入关系式，得Q ＝50log 28010＝50log 28＝150.即森林面积为80个单位时，它能净化的空气量为150个单位．。
人教A版数学必修一3.2.1几类不同增长的函数模型.docx
函数模型及其应用3.2.1 几类不同增长的函数模型【选题明细表】题号知识点、方法易中难图象信息迁移问题3、6 7应用函数模型解决问题4、5 9 指数、对数、幂函数模型的比较1、2 8基础达标1.某公司为了适应市场需求对产品结构作了重大调整,调整后初期利润增长迅速,后来增长越来越慢,若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x 的关系,可选用( D )(A)一次函数 (B)幂函数(C)指数型函数(D)对数型函数解析:初期增长迅速,后来增长越来越慢,可用对数型函数模型来反映y与x的关系,故选D.2.(2012陕西师大附中高一期中)四个物体同时从某一点出发向前运动,其路程f i(x)(i=1,2,3,4)关于时间x(x>1)的函数关系是f1(x)=x2,f2(x)=2x,f3(x)=log2x,f4(x)=2x,如果它们一直运动下去,最终在最前面的物体具有的函数关系是( D )(A)f1(x)=x2 (B)f2(x)=2x(C)f3(x)=log2x (D)f4(x)=2x解析:由增长速度可知,当自变量充分大时,指数函数的值最大,故选D.3.在某种金属材料的耐高温实验中,温度y(℃)随着时间t(min)变化的情况由计算机记录后显示的图象如图所示:现给出下列说法:①前5 min温度增加越来越快;②前5 min温度增加越来越慢;③5 min后温度保持匀速增加;④5 min后温度保持不变.其中说法正确的是( C )(A)①④(B)②④(C)②③(D)①③解析:前5 min,温度y随x增加而增加,增长速度越来越慢;5 min后,温度y随x的变化曲线是直线,即温度匀速增加.故②③正确.故选C. 4.如图,点P在边长为1的正方形边上运动,设M是CD的中点,则当P沿A B C M运动时,点P经过的路程x与△APM的面积y之间的函数y=f(x)的图象大致是( A)解析:依题意,当0<x≤1时,S△APM=×1×x=x; 当1<x≤2时,S△APM=S梯形ABCM-S△ABP-S△PCM=×(1+)×1-×1×(x-1)-××(2-x)=-x+;当2<x≤2.5时,S△APM=S梯形ABCM-S梯形ABCP=×(1+)×1-×(1+x-2)×1=-x+=-x+.∴y=f(x)=--再结合图象知应选A.5.(2012济南高一检测)某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%,要增长到原来的x倍,需经过y年,则函数y=f(x)的图象大致是( D )解析:设该林区的森林原有蓄积量为a,由题意可得ax=a(1+0.104)y,故y=log1.104x(x≥1).函数为对数函数,所以函数y=f(x)的图象大致为D中图象.故选D.6.如图表示一位骑自行车和一位骑摩托车的旅行者在相距80 km的甲、乙两城间从甲城到乙城所行驶的路程与时间之间的函数关系,有人根据函数图象,提出了关于这两个旅行者的如下信息:(1)骑自行车者比骑摩托车者早出发3 h,晚到1 h;(2)骑自行车者是变速运动,骑摩托车者是匀速运动;(3)骑摩托车者在出发1.5 h后追上了骑自行车者;(4)骑摩托车者在出发1.5 h后与骑自行车者速度一样.其中正确信息的序号是.解析:看时间轴易知(1)正确;骑摩托车者行驶的路程与时间的函数图象是直线,所以是匀速运动,而骑自行车者行驶的路程与时间的函数图象是折线,所以是变速运动,因此(2)正确;两条曲线的交点的横坐标对应着4.5,故(3)正确,(4)错误.答案:(1)(2)(3)能力提升7.(2013山东实验中学高一月考)为了预防流感,某学校对教室用药熏消毒法进行消毒.已知药物释放过程中,室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比;药物释放完毕后,y与t的函数关系式为y=()t-a(a为常数),如图所示,根据图中提供的信息,回答下列问题:(1)从药物释放开始,每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间的函数关系式为 .(2)据测定,当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时,学生方可进教室,那么从药物释放开始,至少需要经过小时后,学生才能回到教室.解析:(1)∵药物释放过程中,室内每立方米空气中的含药量y与时间t成正比,∴设y=kt,代入点(0.1,1),得k=10,∴y=10t(0≤t≤0.1).同理,将点(0.1,1)代入解析式y=()t-a,得a=0.1,综上可知y=≤-(2)令y=0.25,解得t1=0.025,t2=0.6,∴从药物释放开始,至少需要0.6小时后,学生才能回到教室.答案:(1)y=≤-(2)0.68.画出函数f(x)=与函数g(x)=x2-2的图象,并比较两者在[0,+∞)上的大小关系. 解:函数f(x)与g(x)的图象如下.根据图象易得:当0≤x<4时,f(x)>g(x);当x=4时,f(x)=g(x);当x>4时,f(x)<g(x).9.奇瑞曾在2009年初公告:2009年生产目标定为39.3万辆;而奇瑞董事长极力表示有信心达成这个生产目标,并在2009年实现更为平衡的增长.我们不妨来看看近三年奇瑞的政绩吧:2006年,奇瑞汽车年销量8万辆;2007年,奇瑞汽车年销量18万辆;2008年,奇瑞汽车年销量30万辆;如果我们分别将2006年,2007年,2008年,2009年定义为第一,第二,第三,第四年.现在你有两个函数模型:二次函数模型f(x)=ax2+bx+c(a≠0),指数函数模型g(x)=a·b x+c(a≠0,b>0,b≠1),哪个模型能更好地反映奇瑞公司年销量y与年份x 的关系?解:建立年销量y与年份x的函数,可知函数必过点(1,8),(2,18),(3,30).(1)构造二次函数模型f(x)=ax2+bx+c(a≠0),将点坐标代入,可得解得a=1,b=7,c=0,则f(x)=x2+7x,故f(4)=44,与计划误差为4.7.(2)构造指数函数模型g(x)=a·b x+c(a≠0,b>0,b≠1),将点坐标代入,可得解得a=,b=,c=-42,则g(x)=·()x-42,故g(4)=·()4-42=44.4,与计划误差为5.1.由(1)(2)可得,f(x)=x2+7x模型能更好地反映奇瑞公司年销量y与年份x的关系.。
人教A版数学必修一3.2.1几类不同增长的函数模型(1).docx
高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作3.2.1几类不同增长的函数模型(1)使用说明：“自主学习”10分钟完成，出现问题，小组内部讨论完成，展示个人学习成果，教师对重点概念点评。
“合作探究”15分钟完成，并进行小组学习成果展示，小组都督互评，教师重点点评。
“巩固练习”5分钟完成，组长负责，小组内部点评。
“个人收获”5分钟完成，根据个人学习和小组讨论情况，对掌握知识点、方法进行总结，并找出理解不到位的问题。
最后5分钟，教师针对本节课中出现的重点问题做总结性点评。
通过本节学习应达到如下目标:①结合实例体会直线上升，指数爆炸，对数增长等不同增长的函数模型的意义. ②学会借助信息技术，利用函数图象及数据表格，比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异. ③能恰当运用函数的三种表示法（解析式、图象、表格）并借助信息技术解决一些实际问题. ④通过收集一些社会生活中普遍使用的函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等），了解函数模型的广泛应用.教学重点：将实际问题转化为函数模型，比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义．教学难点：怎样选择数学模型分析解决实际问题．学习过程（一）自主探究1、假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0 .4元，以后每天的回报比前一天翻一番．请问：①在本例中涉及哪些数量关系？如何用函数描述这些数量关系？②根据例1的数据，你对三种方案分别表现出的回报资金的增长差异有什么认识？③借助计算器或计算机作出函数图象，并通过图象描述一下三种方案的特点吗？④根据以上分析，你认为就作出如何选择？（二）合作探讨2、 某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y （单位：万元）随销售利润x （单位：万元）的增加而增加但奖金不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%．现有三个奖励模型：0.25y x =；7log 1y x =+； 1.002x y =. 问：① 本例涉及了哪几类函数模型？本例的实质是什么？② 根据问题中的数据，如何判定所给的奖励模型是否符合公司要求？③ 通过对三个函数模型增长差异的比较，说明哪个模型能符合公司的要求？请写出例2的解答．（三）巩固练习1、四个变量y1,y2, y3，y4随变量x变化的数据如下表：x1 0 5 10 15 20 25 30y1 5 130 505 1130 2005 3130 4505y2 5 94.478 1785.2 33733 6.37*105 1.2*107 2.28*108y3 5 30 55 80 105 130 155y4 5 2.3107 1.4295 1.1407 1.0461 1.0151 1.005 关于x呈指数型函数变化的变量是。
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3.2 函数模型及其应用3．2.1几类不同增长的函数模型[目标] 1.了解和体会函数模型在社会生活及科研中的广泛应用；2.理解直线上升、指数爆炸、对数增长的含义以及三种函数模型性质的比较；3.会分析具体的实际问题，能够建模解决实际问题．[重点] 几类不同函数模型增长的含义及差异．[难点] 如何选择数学模型分析解决实际问题.知识点三类不同增长的函数模型的比较[填一填]1．三类函数模型的性质2.函数y＝a x(a>1)，y＝log a x(a>1)或y＝x n(n>0)增长速度的对比(1)对于指数函数y＝a x(a>1)和幂函数y＝x n(n>0)，在区间(0，＋∞)上，无论n比a大多少，尽管在x的一定范围内，a x会小于x n，但由于a x的增长快于x n的增长，因此总存在一个x0，当x>x0时，就会有a x>x n.(2)对于对数函数y＝log a x(a>1)和幂函数y＝x n(n>0)，在区间(0，＋∞)上，尽管在x的一定范围内，log a x可能会大于x n，但由于log a x的增长慢于x n的增长，因此总存在一个x0，当x>x0时，就会有log a x<x n.(3)在区间(0，＋∞)上，尽管函数y＝a x(a>1)，y＝log a x(a>1)和y＝x n(n>0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上．随着x的增大，总会存在一个x0，当x>x0时，就会有log a x<x n<a x.[答一答]1．函数y＝x2与y＝2x在(0，＋∞)上增大情况有何区别？提示：在同一坐标系内画出函数y＝2x和y＝x2的图象，如图：观察归纳结论：从图上可观察到y＝2x与y＝x2有两个交点，有时2x>x2，有时x2>2x，但是当自变量越来越大时，可以看到2x的值快速增长，x2比起2x来，几乎是微不足道的．y＝2x与y＝x2图象在(0，＋∞)上有两个交点(2,4)，(4,16)．当x>4时，y＝2x的增长速度远远快于y＝x2的增长速度．2．在函数y＝3x，y＝log3x，y＝3x，y＝x3中增长速度最快的是哪一个函数？提示：y＝3x.3．当0<a<1，n<0时，如何比较a x，log a x，x n的大小？提示：总会存在一个x0，使x>x0时，log a x<a x<x n，而当x<x0时，a x，log a x，x n的大小不确定．类型一函数模型增长差异的比较[例1]函数f(x)＝2x和g(x)＝x3的大致图象如图所示，设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1<x2.(1)指出曲线C 1，C 2分别对应哪一个函数；(2)结合函数图象，比较f (8)，g (8)，f (2 011)，g (2 011)的大小．[分析] 观察图象特点找区别→比较同一函数的不同函数值大小→比较相同自变量不同函数的函数值大小→结论[解] (1)曲线C 1对应的函数为g (x )＝x 3，曲线C 2对应的函数为f (x )＝2x .(2)∵g (1)＝1，f (1)＝2，g (2)＝8，f (2)＝4，g (9)＝729，f (9)＝512，g (10)＝1 000，f (10)＝1 024，∴f (1)>g (1)，f (2)<g (2)，f (9)<g (9)，f (10)>g (10)，∴1<x 1<2,9<x 2<10，∴x 1<8<x 2<2 011.由图象可知，当x 1<x <x 2时，f (x )<g (x )；当x >x 2时，f (x )>g (x )，且g (x )在(0，＋∞)上是增函数，∴f (2 011)>g (2 011)>g (8)>f (8)．除了根据函数的变化量的情况对函数增长模型进行判断，还可以根据图象进行判断.,根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时，通常是观察函数图象上升的快慢，即随着自变量的增大，图象最“陡”的函数是指数函数；图象趋于平缓的函数是对数函数.[变式训练1] 四个物体同时从某一点出发向前运动，其路程f i (x )(i ＝1,2,3,4)关于时间x (x >1)的函数关系是f 1(x )＝x 2，f 2(x )＝2x ，f 3(x )＝log 2x ，f 4(x )＝2x ，如果它们一直运动下去，最终在最前面的物体具有的函数关系是( D )A ．f 1(x )＝x 2B ．f 2(x )＝2xC ．f 3(x )＝log 2xD ．f 4(x )＝2x解析：对比四种函数的增长速度，当x 充分大时，指数函数增长速度越来越快，因而最终物体4会在最前面，故选D.类型二函数增长模型差异的应用[例2]某学校为了实现60万元的生源利润目标，准备制定一个激励招生人员的奖励方案：在生源利润达到5万元时，按生源利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随生源利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不超过利润的20%.现有三个奖励模型：y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x，其中哪个模型符合该校的要求？[分析]作出函数图象→观察图象得到结论[解]借助工具作出函数y＝3，y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x的图象(如图所示)．观察图象可知，在区间[5,60]上，y＝0.2x，y＝1.02x的图象都有一部分在直线y＝3的上方，只有y ＝log5x的图象始终在y＝3和y＝0.2x的下方，这说明只有按模型y＝log5x进行奖励才符合学校的要求．不同的函数增长模型能刻画现实世界中不同的变化规律：(1)线性函数增长模型适合于描述增长速度不变的变化规律；(2)指数函数增长模型适合于描述增长速度急剧的变化规律；(3)对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律；(4)幂函数增长模型适合于描述增长速度一般的变化规律.因此，需抓住题中蕴含的数学信息，恰当、准确地建立相应变化规律的函数模型来解决实际问题.[变式训练2]一天，李先生打算将1万元存入银行，当时银行提供两种计息方式：一是单利，即只有本金生息，利息不再产生利息，年利率为4%；二是复利，即第一年所生的利息第二年也开始计息，年利率为3.6%.已知利息税率为20%(即所产生的利息中应扣除作为利息税上交国家的部分)，问李先生应选用哪种计息方式？解：若年利率为r，则扣除利息税后，实际利率为0.8r.按单利计息，则第n年的本息为10 000(1＋n×0.8×0.04)＝10 000(1＋0.032n)(元)；按复利计息，则第n年的本息为10 000(1＋3.6%×0.8)n＝10 000×1.028 8n(元)，列表如下(单位：元)从上表可以看出，若存款年数不超过8年，应选用单利计息；若存款年数超过8年，则应选用复利计息．1．当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的是(A)A．y＝2x B．y＝1 000x＋50C．y＝x100D．y＝log100x解析：根据指数型函数增长速度最快知，当x越来越大时，y＝2x的增长速度最快．2．能反映如图所示的曲线的增长趋势的是(C)A．一次函数B．幂函数C．对数函数D．指数函数解析：从函数图象可以看出，随自变量的增大，函数增长越来越慢，因此是对数函数图象．3．某航空公司规定，乘客所携带行李的质量(kg)与其运费(元)由如图所示的一次函数确定，那么乘客可免费携带行李的最大质量为( A )A ．19 kgB ．16 kgC ．25 kgD ．30 kg解析：将点(30,330)与(40,630)代入y ＝kx ＋b 得⎩⎪⎨⎪⎧30k ＋b ＝330，40k ＋b ＝630，得k ＝30，b ＝－570， ∴y ＝30x －570.令y ＝0得x ＝19.4．当2<x <4时，log 2x,2x ，x 2的大小关系是x 2>2x >log 2x .解析：令x ＝3得x 2>2x >log 2x .5．根据函数f (x )＝2x ，g (x )＝2x ，h (x )＝log 2x 给出以下命题：①f (x )，g (x )，h (x )在其定义域上都是增函数；②f (x )的增长速度始终不变；③f (x )的增长速度越来越快；④g (x )的增长速度越来越快；⑤h (x )的增长速度越来越慢．其中正确的命题序号为①②④⑤.解析：f (x )＝2x 的增长速度始终不变，g (x )的增长速度越来越快，而h (x )的增长速度越来越慢，故只有①②④⑤正确．——本课须掌握的两大问题1．三类函数增长的比较在区间(0，＋∞)上，尽管函数y ＝a x (a >1)，y ＝log a x (a >1)和y ＝x n (n >0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上．随着x 的增大，y ＝a x (a >1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y ＝x n (n >0)的增长速度，而y ＝log a x (a >1)的增长速度则会越来越慢，总会存在一个x 0，当x >x 0，就有log a x <x n <a x .2．函数模型的选取：(1)当描述增长速度变化很快时，常常选用指数函数模型．(2)当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长到很大时，常常选用对数函数模型．(3)幂函数模型y＝x n(n>0)则可以描述增长幅度不同的变化，n值较小(n≤1)时，增长较慢；n值较大(n>1)时，增长较快．学习至此，请完成课时作业25图象信息迁移问题开讲啦函数图象在实际生活中能反映某些事件的变化情况和趋势，它具有简单、明了的特点，是高考中常考的一种类型题，下面通过例题体现函数图象的实际应用．[典例]一天，亮亮发烧了，早晨他烧得很厉害，吃过药后感觉好多了，中午时亮亮的体温基本正常，但是下午他的体温又开始上升，直到半夜亮亮才感觉身上不那么发烫．下列各图中能基本上反映出亮亮这一天(0时～24时)体温的变化情况的是()[解析]观察图象A，体温逐渐降低，不合题意；图象B不能反映“下午体温又开始上升”；图象D不能体现“下午体温又开始上升”与“直到半夜才感觉身上不那么发烫”，故选C.[-=-=-=答案=-=-=-] C[名师点评]利用图文中所给的信息灵活地进行分析．[对应训练]某中学的研究性学习小组为考察一个小岛的湿地开发情况，从某码头乘汽艇出发，沿直线方向匀速开往该岛，靠近岛时，绕小岛环行两周后，把汽艇停靠岸边，上岸考察，然后又乘汽艇沿原航线提速返回．设t为出发后的某一时刻，s为汽艇与码头在时刻t的距离，下列图象中能大致表示s＝f(t)的函数关系的为(C)解析：当汽艇沿直线方向匀速开往该岛时，s＝v t，图象为一条线段；当环岛两周时，s 两次增至最大，并减少到与环岛前的距离s0；上岸考察时，s＝s0；返回时，s＝s0－v t，图象为一条线段．所以选C.。