(常考题)北师大版初中数学九年级数学上册第四单元《图形相似》测试(有答案解析)

一、选择题
1．如图，在菱形ABCD 中，10BC =，点E 在BD 上，F 为AD 的中点，FE BD ⊥，垂足为E ，4EF =，则BD 长为（ ）
A ．8
B ．10
C ．12
D ．16
2．已知ABC 的三边长是2，6，2，则与ABC 相似的三角形的三边长可能是（ ）
A ．1，2，3
B ．1，3， 22
C ．1，3，6
D ．1，3，3 3．如图，放映幻灯时，通过光源，把幻灯片上的图形放大到屏幕上，若光源到幻灯片的距离为20cm ，到屏幕的距离为60cm ，且幻灯片中的图形的高度为6cm ，则屏幕上图形的高度为（ ）cm ．
A ．20
B ．18
C ．15
D ．16
4．如图，在正方形ABCD 中，BPC △是等边三角形，BP ，CP 的延长线分别交AD 于点E ，F ，连接BD ，DP ，BD 与CF 相交于点H ．有下列结论：①2BE AE =；②DFP BPH ∽△△；③PFD PDB ∽△△；④2DP PH PC =⋅．其中正确的个数是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
5．如图，在▱ABCD 中，点O 是对角线BD 上的一点，且12
OD OB =，连接CO 并延长交AD
于点E ，若△COD 的面积是2，则四边形ABOE 的面积是（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
6．如图，四边形ABCD 中，90,//,5,6,60ABC AB CD AB AD A ∠=︒==∠=︒，在AD 边上确定一点,E 使得60,BEC ∠=︒则AE =（ ）
A ．46-
B ．623-
C ．513-
D ．332
7．如图，乐器上的一根弦AB ＝80cm ，两个端点A ，B 固定在乐器板面上，支撑点C 是靠近点B 的黄金分割点，支撑点D 是靠近点A 的黄金分割点，则C ，D 之间的距离为（ ）
A ．（405﹣40）cm
B ．（805﹣40）cm
C ．（120﹣405）cm
D ．（805﹣160）cm
8．如图，CD ，BE 分别是ABC 两条中线，连结DE ，则:EDC ABC S
S 的比值是
（ ）
A ．12
B ．14
C ．13
D ．23
9．若
275x y z ==，则2x y z x z +-+的值是（ ） A ．67 B ．13 C ．49 D ．4
10．如图，点D 、E 、F 分别是ABC 的边AB 、AC 、BC 上的点，若//DE BC ，//EF AB ，则下列比例式一定成立的是（ ）
A ．EF FC AD BF =
B ．AD DE DB B
C = C ．BF EF BC A
D = D ．EF D
E AB BC = 11．如图，点A 在线段BD 上，在BD 的同侧作等腰直角三角形ABC 和等腰直角三角形ADE （ABC ∠和AED ∠是直角），连接,BE CD 交于点,P CD 与AE 边交于点M ，对于下列结论：①BAE CAD △△，②45BPC ∠=︒，③MP MD MA ME ⋅=⋅，④22CB CP CM =⋅，其中正确的个数为（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
12．若ad=bc ，则下列不成立的是( )
A ．a c b d =
B ．a c a b d b -=-
C ．a b c d b d ++=
D ． 1 111
a c
b d ++=++ 二、填空题
13．如图，正方形ABCD 中，BE ＝EF ＝FC ，CG ＝2GD ，BG 分别交AE ，AF 于M ，N ．下列结论：①AF ⊥BG ；②BN ＝
32
NF ；③38BM MG =；④S 四边形CGNF ＝12S 四边形ANGD ，其中正确的结论的序号是_____．
14．已知AEF ABC ∽，且:1:3AE AB =，四边形EBCF 的面积是8，则
ABC S =____________．
15．已知点D ，E 分别在△ABC 的边AB ，AC 上，△ADE ，△DEC ，△BCD 的面积之比为4：2：3，∠ACD=∠ADE ，CD=6，则BC 的长为_______．
16．已知2a c e b d f
===，且0b d f ++≠，若12a c e ++=，则b d f ++=__________．
17．如图，小明在A 时测得某树的影长为1.5m ，B 时又测得该树的影长为6m ，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为__________m ．
18．如图，在ABC 中，8AB =，6AC =，D 是AC 上一点，4=AD ，在AB 上取一点E ，使A 、D 、E 为定点的三角形与ABC 相似，则AE 的长为_______________．
19．如图，三角形ABC 和三角形A B C '''是以点O 为位似中心的位似图形，若:3:4OA OA ='，三角形ABC 的面积为9，则三角形A B C '''的面积为________．
20．如图，菱形ABCD 中，EF AC ⊥，垂足为点H ，分别与AD 、AB 及CB 的延长线交于点E 、M 、F ，且:1:2AE FB =，则:AH AC 的值为______．
三、解答题
21．如图，在ABC 中，AB AC =，AD BC ⊥，垂足为点D ，以AD 为对角线作正方形AEDF ，DE 交AB 于点M ，DF 交AC 于点N ，连结EF ，EF 分别交AB ，AD 、AC 于点G 、点O 、点H ．
（1）求FDC ∠的度数；
（2）若60BAC ︒∠=，4AB =，求NC ；
（3）设HF
k HE
=，AEH △和四边形EDNH 的面积分别为1S 和2S ，求21S S 的最大值． 22．如图，在△ABC 中，点D ，E ，F 分别在AB ，BC ，AC 边上，DE ∥AC ，EF ∥AB ．
（1）求证：△BDE ∽△EFC ；
（2）设12
AF FC =． ①若BC ＝20，求线段BE 的长；
②若△EFC 的面积是36，求△ABC 的面积．
23．如图，在PAB ∆中，点C 、D 在AB 上，90CPD ∠=︒且PC PD =，
135APB ∠=︒．
（1）APC ∆与PBD ∆相似吗？请说明理由；
（2）若2AC =，42CD =，求AB 的长度．
24．如图所示，在平行四边形ABCD 中，∠A =90°，AB =6cm ，BC =12cm ，点E 由点A 出发沿AB 方向向点B 匀速移动，速度为1cm /s ，点F 由点B 出发沿BC 方向向点C 匀速移动，速度为2cm /s ，如果动点E ，F 同时从A ，B 两点出发，连接EF ，若设运动时间为t s ，解答下列问题：
（1）当t 为多少时，△BEF 为等腰直角三角形；
（2）是否存在某一时刻t ，使△EFB ∽△FDC ？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．
25．如图是44⨯的正方形网格，ABC 的三个顶点均在格点上．
（1）将ABC 绕点A 顺时针方向旋转90︒得到11AB C △，在图①中作出11AB C △；
（2）在图②中作格点222A B C △，使222A B C ABC △△2；
（3）在图③中作一个与ABC 相似且面积最大的格点333A B C △．
26．如图，在平面直角坐标系中，已知ΔABC 三个顶点的坐标分别是A(-4，2)，B(-3，1)，C(-1，2)．
（1）请画出ΔABC 关于x 轴对称的ΔA 1B 1C 1；
（2）以点O 为位似中心，相似比为1：2，在y 轴右侧，画出ΔA 1B 1C 1放大后的ΔA 2B 2C 2；
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一、选择题
1．C
解析：C
【分析】
连接AC ，交BD 于点O ，由菱形性质，可得AC BD ⊥，且BD=2OB ，由勾股定理求得3DE =，由90DEF DOA ∠=∠=︒，FDE ADO ∠=∠，可证得DEF DAO ∆∆，由此DF DE DA DO
=，即可求得DO=6，从而BD=2OD=12. 【详解】
如图：连接AC ，交BD 于点O ，
在菱形ABCD 中，则AC BD ⊥，且BD=2OB ，
10BC =，点E 在BD 上，F 为AD 的中点，
∴AD=10， DF=5， ∴2222543DE DF EF =-=-=， FE BD ⊥，AC BD ⊥，
∴90DEF DOA ∠=∠=︒，
FDE ADO ∠=∠，
DEF DAO ∴∆∆，
DF DE DA DO ∴=，即5310DO
=， ∴DO=6，
∴BD=2OD=12，
故选：C
【点睛】
此题考查了勾股定理、菱形的性质，相似三角形的判定和性质等知识点，正确作出辅助线是解答此题的关键.
2．A
解析：A
【分析】
根据相似三角形的判定定理即可得到结论．
【详解】
解：∵△ABC三边长是2，6，2，
∴△ABC三边长的比为2：2：6=1：2：3，
∴△ABC相似的三角形三边长可能是1：2：3，
故选：A．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．3．B
解析：B
【分析】
根据题意可画出图形，再根据相似三角形的性质对应边成比例解答．
【详解】
解：如图，
∵DE∥BC，
∴△AED∽△ABC
∴AE DE
AC BC
=
设屏幕上图形的高度是x，则206 60x
=
解得x=18cm．
所以，屏幕上图形的高度为18cm．
故选：B．
【点睛】
本题考查相似三角形性质的应用．解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．
4．C
解析：C
【分析】
利用直角三角形30度角的性质即可解决①；证明∠FDP=∠PBD，根据∠DFP=∠BPC，
∠FDP=∠PBD即可判断②；通过计算证明∠PFD≠∠PDB，即可判断③；证明
△DPH∽△CPD即可判断④．
【详解】
解：∵△BPC是等边三角形，
∴BP=PC=BC ，∠PBC=∠PCB=∠BPC=60°，
在正方形ABCD 中，
∵AB=BC=CD ，∠A=∠ADC=∠BCD=90°
∴∠ABE=∠DCF=30°，
∴BE=2AE ；故①正确；
∵PC=CD ，∠PCD=30°，
∴∠PDC=75°，
∴∠FDP=15°，
∵∠DBA=45°，
∴∠PBD=15°，
∴∠FDP=∠PBD ，
∵∠DFP=∠BPC=60°，
∴△DFP ∽△BPH ；故②正确；
∵∠FDP=∠PBD=15°，∠ADB=45°，
∴∠PDB=30°，而∠DFP=60°，
∴∠PFD≠∠PDB ，
∴△PFD 与△PDB 不会相似；故③错误；
∵∠PDH=∠PCD=30°，∠DPH=∠DPC ，
∴△DPH ∽△CPD ， ∴DP PH PC DP
=， ∴DP 2=PH•PC ，故④正确；
故选：C ．
【点睛】
本题考查的正方形的性质，等边三角形的性质以及相似三角形的判定和性质，解答此题的关键是熟练掌握性质和定理．
5．C
解析：C
【分析】
由题意可得△BOC 的面积为4，通过证明△DOE ∽△BOC ，可求S △DOE ＝1，即可求解．
【详解】
解：∵
12
OD OB =，△COD 的面积是2， ∴△BOC 的面积为4，
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD ∥BC ，S △ABD ＝S △BCD ＝2＋4＝6，
∴△DOE ∽△BOC ， ∴DOE BOC S S .（OD OB ）2＝14，
∴S △DOE ＝1，
∴四边形ABOE 的面积＝6﹣1＝5，
故选：C ．
【点睛】
本题主要考查了相似三角形的判定与性质，准确计算是解题的关键．
6．A
解析：A
【分析】
如图，过点D 作DG ⊥AB 于点G ，在AG 上取一点F ，使得AF =AE ，证明得出△AEF 为等边三角形，进一步证明∠EBF CED =∠，∠EFB CDE =∠从而可证~CDE EFB ∆∆列出比例式，把相关数据代入得方程，求解即可．
【详解】
解：如图，过点D 作DG ⊥AB 于点G ，在AG 上取一点F ，使得AF =AE ，
在Rt △ADG 中，∠60,90A DGA ︒︒
=∠=
∴30ADG ∠=︒ ∴132
AG AD =
= ∴2BG AB AG =-= ∵∠90,90DGA ABC ︒︒=∠=
∴//DG BC
又∵//AB CD
∴四边形BCDG 为平行四边形，
∴,CD BG BC DG == ∴22226333BC DG AD AG =--=，2CD BG ==
∵,60,AF AE A ︒=∠=
∴△AEF 为等边三角形，
∴∠60,60EFA AEF ︒︒=∠=
∴∠180120DEC CEB FEB AEF ︒︒+∠+∠=-∠=
又∵∠60BEC ︒=
∴∠60DEC FEB ︒+∠=
∵∠60AFE FEB EBF ︒=∠+∠=
∴∠EBF CED =∠
∵//AB CD
∴∠180CDA A ︒+∠=
∴∠120CDE ︒=
∵∠60EFA ︒=
∴∠120EFB CDE ︒==∠
又∵CED FBE ∠=∠
~CDE EFB ∴∆∆
FE BF CD DE
∴=① 设AE x =，则,6FE x DE x ==-，5BF AB AE x =-=-
代入①得526x x x
-=- 整理得，28100x x -+-=
解得，4x =
=±
当4x =+AE AD >不合理， ∴
4x =4AE =故选：A ．
【点睛】
此题主要考查了等边三角形的判定与性质，三角形外角的性质，相似三角形的判定与性质，解一元二次方程等知识，作辅助线构造相似三角形是解答此题的关键．
7．D
解析：D
【分析】
根据黄金分割的概念和黄金比值求出AC ＝BD ＝40，进而得出答案．
【详解】
解：∵点C 是靠近点B 的黄金分割点，点D 是靠近点A 的黄金分割点，
∴AC
＝BD ＝80=40， ∴CD
＝BD ﹣（AB ﹣BD ）＝2BD ﹣AB ＝160，
故选：D ．
【点睛】
此题考查了黄金分割点的概念：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较
短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，它们的比值12
叫做黄金比．
8．B
解析：B
【分析】
利用三角形中位线定理证明三角形的相似，根据相似三角形的性质确定面积之比，利用中线的性质等量代换三角形即可得证．
【详解】
∵CD ，BE 分别是ABC 两条中线，
∴DE ∥BC ，DE=12
BC ， ∴△ADE ∽△ABC ，
∴ADE S =14ABC S , ∴ADE S
：ABC S =1：4， ∵点E 是AC 的中点， ∴ADE S
=EDC S ， ∴EDC S ：ABC S =1：4， 故选B ．
【点睛】
本题考查了三角形的中位线定理，三角形相似的判定与性质，中位线的性质，熟练掌握定理，灵活运用性质，规范进行代换是解题的关键．
9．C
解析：C
【分析】 根据
275x y z k ===，则x ＝2k ，y ＝7k ，z ＝5k ，代入2x y z x z
+-+进行计算即可． 【详解】 解：
275
x y z k ===（k≠0）， 则x ＝2k ，y ＝7k ，z ＝5k ， ∴
2x y z x z
+-+＝2754495k k k k k +-+=， 故选：C ．
【点睛】 本题考查了比例的性质，解题的关键是掌握比例的性质进行解题．
10．A
解析：A
【分析】
根据平行可得
EC FC AE BF =，EC BD AE DA
=，再根据平行四边形的性质得EF=BD 即可． 【详解】 解：∵//EF AB ， ∴EC FC AE BF
= ∵//DE BC ， ∴EC BD AE DA
=， ∴
FC BD BF DA = ∵//DE BC ，//EF AB ，
∴四边形BFED 是平行四边形，
∴EF=BD, ∴
EF FC AD BF
=, 故选：A ．
【点睛】 本题考查了平行线分线段成比例定理，解题关键是根据平行线列出恰当的比例式，再结合平行四边形性质进行推理．
11．D
解析：D
【分析】
①由等腰Rt ABC 和等腰Rt ADE △三边份数关系可证；②根据相似三角形的性质即可得到结论；③通过等积式倒推可知，证明PME AMD △△∽即可；④22CB 转化为2AC ，证明ACP ∽△MCA,问题可证；
【详解】
由已知得：,AC AD ==
AC AD AB AE
∴= BAC EAD ∠=∠
BAE CAD ∴∠=∠
BAE CAD ∴∽
所以①正确；
如图：设BE 与AC 相交于点O
则AOB POC ∠=∠
BAE CAD ∽
45ABE ACD BPC BAC ∴∠=∠∴∠=∠=︒
所以②正确；
BAE CAD ∽
BEA CDA ∴∠=∠
PME AMD ∠=∠
PME AMD ∴∽
MP ME MA MD
∴= MP MD MA ME ⋅=⋅∴
所以③正确；
由③MP MD MA ME ⋅=⋅，PMA DME ∠=∠
PMA EMD ∴△∽
90APD AED ∴∠=∠=︒
18090CAE BAC EAD ∠=︒-∠-∠=︒
CAP CMA ∴∽
2AC CP CM ∴=⋅ 2AC =
22CB CP CM ∴=⋅
所以④正确
故选：D.
【点睛】
本题考查了相似三角形的性质和判断，在等积式和比例式的证明中应注意应用倒推的方法寻找相似三角形进行证明,进而得到答案．
12．D
解析：D
【分析】
根据比例和分式的基本性质，进行各种演变即可得到结论．
【详解】
A 由a c b d
=可以得到ad=bc ，故本选项正确，不符合题意； B 、由
a c a
b d b -=-可得：（a-
c ）b=（b-
d ）a ，即ad=bc ，故本选项正确，不符合题意； C 、由
a b c d b d ++=可得（a+b ）d=（c+d ）b ，即ad=bc ，故本选项正确，不符合题意； D 、由1?111
a c
b d ++=++，可得（a+1）（d+1）=（b+1）（c+1），即ad+a+d=bc+
c ，不能得到ad=bc ，故本选项错误，符合题意；
故选：D ．
【点睛】
本题考查了比例线段，根据比例的性质能够灵活对一个比例式进行变形．
二、填空题
13．①②③【分析】由BE ＝EF ＝FCCG ＝2GD 可得BF=CG 易证△ABF ≌△BCG 即可解题；②易证△BNF ∽△BCG 即可求得的值即可解题；③作EH ⊥AF 令AB=3即可求得MNBM 的值即可解题；④连接A
解析：①②③
【分析】
由BE ＝EF ＝FC ，CG ＝2GD 可得BF =CG ，易证△ABF ≌△BCG ，即可解题；
②易证△BNF ∽△BCG ，即可求得BN NF
的值，即可解题； ③作EH ⊥AF ，令AB =3，即可求得MN ，BM 的值，即可解题；
④连接AG ，FG ，根据③中结论即可求得S 四边形CGNF 和S 四边形ANGD ，即可解题．
【详解】
解：①∵四边形ABCD 为正方形，
∴AB =BC =CD ，
∵BE=EF=FC ，CG=2GD ，
∴BF=CG ，
∵在△ABF 和△BCG 中，
90AB BC ABF BCG BF CG ⎧⎪∠∠︒⎨⎪⎩
＝＝＝＝，
∴△ABF ≌△BCG ，
∴∠BAF =∠CBG ，
∵∠BAF +∠BFA =90°，
∴∠CBG +∠BFA =90°，即AF ⊥BG ；①正确；
②∵在△BNF 和△BCG 中，
90CBG NBF BCG BNF ∠∠⎧⎨∠∠︒⎩
＝＝＝， ∴△BNF ∽△BCG ，
∴32BN BC NF CG ==， ∴BN =32NF ；②正确；
作EH ⊥AF ，令AB =3，则BF=2，BE=EF=CF =1，
22AF AB BF =
+=13， ∵S △ABF =
12AF•BN =12AB•BF ， ∴BN =613，NF =23BN =413， ∴AN =AF -NF =
913， ∵E 是BF 中点，
∴EH 是△BFN 的中位线，
∴EH =
31313，NH =21313，BN ∥EH ， ∴AH =1113，AN MN AH EH =，解得：MN =2713， ∴BM=BN-MN =
313，MG=BG-BM =813， ∴38
BM MG =；③正确； ④连接AG ，FG ，根据③中结论，
则NG=BG-BN 713
∵S 四边形CGNF =S △CFG +S △GNF =
12CG•CF +12NF•NG =1+1413=2713， S 四边形ANGD =S △ANG +S △ADG =
12AN•GN +12AD•DG =6335126213+=， ∴S 四边形CGNF ≠12
S 四边形ANGD ，④错误； 故答案为 ①②③．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，考查了相似三角形的判定和对应边成比例的性质，本题中令AB =3求得AN ，BN ，NG ，NF 的值是解题的关键．
14．9【分析】根据相似三角形性质得到△AEF 和△ABC 面积比为1∶9设列方程即可求解【详解】解：∵∴∴设则解得x=9故答案为：9【点睛】本题考查了相似三角形的性质根据相似三角形性质求出面积比设出未知数列
解析：9
【分析】
根据相似三角形性质得到△AEF 和△ABC 面积比为1∶9，设ABC S x =△，列方程即可求解．
【详解】
解：∵AEF ABC ∽，:1:3AE AB =， ∴219
AEF ABC S AE S AF ⎛⎫== ⎪⎝⎭△△, ∴设ABC S x =△， 则189
x x -
=， 解得x=9．
故答案为：9
【点睛】 本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形性质求出面积比，设出未知数列出方程是解题关键．
15．3【分析】根据△ADE △DEC △BCD 的面积之比为4：2：3可得出AE ：EC=2：1AD ：BD=2：1则可证明DE ∥BC 利用平行线的性质与相似三角形的判定可得△ACD ∽△ABC 与△ACD ∽△ADE 根
解析：3
【分析】
根据△ADE ，△DEC ，△BCD 的面积之比为4：2：3，可得出AE ：EC=2：1，AD ：BD=2：1，则可证明DE ∥BC ，利用平行线的性质与相似三角形的判定可得△ACD ∽△ABC 与△ACD ∽△ADE ，根据相似三角形的判定可推出BC CD CD DE
=，计算后即可得出结论．
【详解】
解：如图，
∵S△ADE：S△DEC=4：2，
∴AE：EC=2：1，
∵S△ADE：S△DEC：S△BCD =4：2：3，∴S△ACD：S△BCD=6：3，
∴AD：BD=2：1，
∵AE AD
=，
EC BD
∴DE∥BC，
∴∠B=∠ADE，
∵∠ACD=∠ADE，
∴∠ACD=∠B，
∵∠A=∠A，
∴△ACD∽△ABC，
∴BC AB AC
==，
CD AC AD
同理可证：△ACD∽△ADE，
∴CD AC AD
==，
DE AD AE
∴BC CD
=，
CD DE
∵DE∥BC，
∴△ABC∽△ADE，，
∴DE AD
=，
BC AB
∵AD：BD=2：1，
∴
23AD AB =， ∴23
DE BC =， ∴23DE BC =
， ∴223
BC BC CD ⋅=， ∵
，
∴3BC =．
故答案为：3．
【点睛】
此题主要考查了相似三角形的判定与性质，掌握平行线的判定与相似三角形的判定与性质是解题的关键．
16．6【分析】根据题意可以得到a=2bc=2de=2f 又因为a+c+e=12即可求得b+d+f 的值；【详解】∵∴a=2bc=2de=2f ∵a+c+e=12∴b+d+f==6故答案为：6
【点睛】本题考查了
解析：6
【分析】
根据题意可以得到a=2b ，c=2d ，e=2f ，又因为a+c+e=12，即可求得b+d+f 的值；
【详解】
∵ 2a c e b d f
=== ， ∴ a=2b ，c=2d ，e=2f ，
∵a+c+e=12，
∴ b+d+f=
()12
a c e ++ =6， 故答案为：6．
【点睛】 本题考查了比例的性质的问题，正确掌握知识点是解题的关键．
17．3【分析】根据题意画出示意图根据相似三角形的性质求解即可；【详解】根据题意做出示意图则∵∴∴∵∴∴∴∴∴即树的高度为3m 故答案是3【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用和平行投影的知识点准确分析计算 解析：3
【分析】
根据题意画出示意图，根据相似三角形的性质求解即可；
【详解】
根据题意做出示意图，则CD EF ⊥，EC CF ⊥，DE 1.5m =，6DF m =，
∵CD EF ⊥，
∴90EDC CDF ∠=∠=︒，
∴90E ECD ∠+∠=︒，
∵90ECD DCF ∠+∠=︒，
∴E DCF ∠=∠，
∴△△EDC CDF ， ∴ED DC DC FD =， ∴29DC ED FD ==，
∴3DC m =，
即树的高度为3m ．
故答案是3．
【点睛】
本题主要考查了相似三角形的应用和平行投影的知识点，准确分析计算是解题的关键． 18．或【分析】本题应分两种情况进行讨论①△ABC ∽△AED ；
②△ABC ∽△ADE ；可根据各相似三角形得出的关于AEAEABAC 四条线段的比例关系式求出AE 的长【详解】解：本题分两种情况：①△ADE ∽△A
解析：
163
或3 【分析】 本题应分两种情况进行讨论，①△ABC ∽△AED ；②△ABC ∽△ADE ；可根据各相似三角形得出的关于AE 、AE 、AB 、AC 四条线段的比例关系式求出AE 的长．
【详解】
解：本题分两种情况：
①△ADE ∽△ACB
∴AB ：AC=AE ：AD ，
∵AB=8，AC=6，AD=4，
∴AE=163
； ②△ADE ∽△ABC
∴AB ：AC=AD ：AE ，
∵AB=8，AC=6，AD=4，
∴AE=3， 故答案为：
163
或3． 【点睛】
本题主要考查了相似三角形的性质．由于题中没有明确相似三角形的对应角和对应边，因此本题要分情况进行讨论，以免漏解． 19．16【分析】利用位似的性质得到AC ：A′C′=OA ：OA′=3：4再利用相似三角形的性质得到三角形ABC 的面积【详解】解：∵三角形ABC 和三角形ABC 是以点O 为位似中心的位似图形OA ：OA=3：4∴
解析：16
【分析】
利用位似的性质得到AC ：A ′C ′=OA ：OA ′=3：4，再利用相似三角形的性质得到三角形A 'B 'C '的面积．
【详解】
解：∵三角形ABC 和三角形A 'B 'C '是以点O 为位似中心的位似图形，OA ：OA '=3：4， ∴AC ：A ′C ′=OA ：OA ′=3：4，
∵三角形ABC 的面积为9，
∴三角形A 'B 'C '的面积为：16．
故答案为：16．
【点睛】
本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．注意：两个图形必须是相似形；对应点的连线都经过同一点；对应边平行（或共线）．
20．【分析】连接BD 利用菱形的性质得AD=BC 再证明接着判断四边形BDEF 为平行四边形得到DE=BF 设AE=xFB=DE=2xBC=3x 所以AE ：CF=1:5然后证明得到AH ：HC=AE ：CF=1:5最 解析：16
【分析】
连接BD ，利用菱形的性质得AC BD ，AD=BC ，//AD BC ，再证明//EF BD ，接着判断四边形BDEF 为平行四边形得到DE=BF ，设AE=x ，FB=DE=2x ，BC=3x ，所以AE ：CF=1:5，然后证明AEH CFH △∽△得到AH ：HC=AE ：CF=1:5，最后利用比例的性质得到AH ：AC
的值．
【详解】
连接BD ，如图，
四边形ABCD 为菱形，
∴AC BD ⊥， AD=BC ，//AD BC ，
EF AC ⊥，
∴//EF BD ，
而//DE BF ，
∴四边形BDEF 为平行四边形，
∴DE BF =，
由AE ：FB=1：2，设AE=x ，FB=DE=2x ，BC=3x ，
∴AE ：CF=x ：5x=1：5，
//AE CF ，
∴AEH CFH △∽△，
∴AH ：HC=AE ：CF=1：5，
∴AH ：AC=1:6 故答案为
16
． 【点睛】 本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公有角，公有边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过做平行线构造相似三角形，灵活运用相似三角形的性质表示线段之间的关系；也考查了平行四边形的性质和菱形的判定．
三、解答题
21．（1）45°；（2）232-；（3）
54 【分析】
（1）根据三线合一得到∠ADC ，再根据正方形的性质得到∠ADF ，相减可得结果； （2）当60BAC ∠=︒时，ABC ∆为正三角形．设OH a =，则3OA OE OF a ==，求得(31)EH a =，(31)HF a =-，根据相似三角形的性质得到3131
AH EH NH FH +==-，
12OH OA DC AD ==，得到2CD a =，再证明HNF CND △∽△，得到NH ，根据4AC AH NH NC =++=，可求出NC ；
（3）设2EH m =，则2FH km =求得1(1)2
OA EF k m =
=+，得到21(1)S k m =+，于是得到结论．
【详解】
解：（1）∵AB =AC ，AD ⊥BC ，
∴∠ADC =90°，
∵四边形AEDF 为正方形，
∴∠ADF =45°，
∴∠FDC =90°-45°=45°；
（2）当60BAC ∠=︒时，ABC ∆为正三角形． AD EF ⊥
30OAH ∴∠=︒
∴AO OH
=
设OH a =，则OA OE OF ===，
1)EH a ∴=+，1)HF a =，
//AE FN ，
AEH NFH ∴△∽△，
∴AH EH NH FH ==，则AH ， //EF BC ，
AOH ADC ∴△∽△， ∴12
OH OA DC AD ==， 2CD a ∴=，
//EF BC ，
∴HNF CND △∽△，
∴NH FH NC CD ==，
∴NH =，
∵AC AH NH NC =++NC NC NC +=4，
解得：2NC =； （3）设2EH m =，则2FH km =，
1(1)2
OA EF k m ==+， 21(1)S k m ∴=+，
由（2）得，AEH NFH ∆∆∽，
2221(1)HNF S k S k k m ∆∴==+，
而222(1)EDF S OA k m ∆==+，
2222222(1)(1)(1)(1)EDF HNF S S S k m k k m k k k m ∆∆∴=-=+-+=-+++， ∴221
1S k k S =-++， ∴当12
k =时，21S S 的最大值为54． 【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，正方形的性质，正确的识别图形是解题的关键．
22．（1）见解析；（2）①BE=
203；②81． 【分析】
（1）由平行线的性质得出∠DEB=∠FCE ，∠DBE=∠FEC ，即可得出结论；
（2）①由平行线的性质得出
12BE AF EC FC ==，即可得出结果； ②先求出
2,3
FC AC =易证△EFC ∽△BAC ，由相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得出结果．
【详解】
解：（1）证明：∵DE ∥AC ，
∴∠DEB=∠FCE ，
∵EF ∥AB ，
∴∠DBE=∠FEC ，
∴△BDE ∽△EFC ；
（2）解：①∵EF ∥AB ， ∴
12
BE AF EC FC ==， ∵EC=BC-BE=20-BE ， ∴1202
BE BE =-， 解得：BE=
203； ②∵12
AF FC =，
∴
2,3
FC AC = ∵EF ∥AB ， ∴△EFC ∽△BAC ， ∴2224()()39
EFC ABC S FC S AC ∆∆===， ∴99368144ABC EFC S S ∆∆=
=⨯=． 【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质、平行线的性质等知识；熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
23．（1）相似，见解析；（2
）10AB =+【分析】
（1）由条件可得出45BPD B ∠+∠=︒，45APC A ∠+∠=︒，45A B ∠+∠=︒，从而得到APC B ∠=∠，BPD A ∠=∠，即可得到结论；
（2）由先求出PC 、PD 的长，然后利用相似三角形对应边成比例即可解答．
【详解】
解：（1）
90CPD ∠=︒且PC PD =
45PCD PDC ∴∠=∠=︒
45APC A ∴∠+∠=︒，45BPD B ∠+∠=︒ 135APB ∠=︒
45A B ∴∠+∠=︒
APC B ∴∠=∠，BPD A ∠=∠
APC
PBD ∴∆∆ （2）APC
PBD ∆∆ AC PC PD BD
∴= PC PD AC BD ∴⋅=⋅
90CPD ∠=︒且PC PD =
，CD =
∴(2
22PC PD += 4PC PD ∴==
2AC =
8BD ∴=
10AB AC CD BD ∴=++=+．
【点睛】
本题考查了相似三角形的性质和判定，找到相似三角形是解题的关键．
24．（1）当t=2时，△BEF为等腰直角三角形；（2）存在，当t=3
2
时，△EFB∽△FDC
【分析】
（1）由已知条件易证四边形ABCD是矩形，所以∠A=∠B=∠C=90°，若△BEF为等腰直角三角形，则BE=BF，进而可求出t的值；
（2）若△EFB∽△FDC，则BE BF
CF CD
=，结合题目的已知条件可得到关于t的方程，解方程
即可得知是否存在t的值．
【详解】
解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∠A=90°，∴四边形ABCD为矩形，
∴∠A=∠B=∠C=90°，
当△BEF为等腰直角三角形时，只能是BE=BF，AE=t，则BE=AB-AE=6-t，BF=2t，
∴2t=6-t，解得：t=2，
∴当t=2时，△BEF为等腰直角三角形．
（2）存在
∵△EFB∽△FDC，
∴BE BF
CF CD
=
∵BE=6-t，BF=2t，CF=12-2t，
即
62 1226
t t
t
-
=
-
，
解得：t=3
2
或t=6，
又∵t=6时，B与E重合，所以不符合，舍去，
综上所述，当t=3
2
时，△EFB∽△FDC．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定及性质、矩形的判定及性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
25．（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析
【分析】
（1）作出B，C的对应点B1，C1即可，
（2）根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似即可得到结论；
（3）根据相似三角形的判定定理即可得到结论．
【详解】
（1）如图
（2）如图
（3）如图
【点睛】
本题考查了作图-应用与设计作图，涉及到了勾股定理、相似三角形的判定，熟练掌握相关知识是解题的关键．
26．（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）利用关于x轴对称点的性质：横坐标相等，纵坐标互为相反数，可以求出1A、1B、C，进而可画出图形；
1
（2）利用位似图形的性质得出对应点的位置，即可画出图形．
【详解】
解：(1)如图所示：ΔA1B1C1即为所求；
(2)如图所示，ΔA2B2C2即为所求．
【点睛】
本题考查关于对称轴对称的点的性质以及位似的性质，掌握相关性质是解题的关键．。