2020秋季学期九年级下期末考试数学试卷

2020-2021学年度上学期期末考试
数学试卷
第I卷（选择题）
一、选择题
1.对于二次函数y=﹣x2+2x．有下列四个结论：
①它的对称轴是直线x=1；
②设y1=﹣x12+2x1，y2=﹣x22+2x2，则当x2＞x1时，有y2＞y1；
③它的图象与x轴的两个交点是（0，0）和（2，0）；
④当0＜x＜2时，y＞0．
其中正确的结论的个数为（）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
2.如图，已知AB是⊙O的直径，∠D=36°，则∠CAB的度数为（）
A. 18°
B. 36°
C. 54°
D. 72°
3.有五张质地、大小、反面完全相同的不透明卡片，正面分别写着数字1，2，3，4，5，现把它们的正面向下，随机摆放在桌面上，从中任意抽出一张，则抽出的数字是奇数的概率是( )
A. 1
5 B. 2
5
C. 3
5
D. 4
5
4.将Rt△AOB 如图放置在直角坐标系中，并绕O点顺时针旋转90°至△COD的位置，已知A(-2，0)，∠ABO=30°．则ΔABO旋转过程中所扫过的图形的面积为（）
A.11π
3+2√3 B.3π+2√3 C. 3π+√3 D.11π
3
+√3
5.在下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
6.函数()0k y k x
=≠与()0y kx k k =-≠在同一坐标系中的大致图像是（ ）
A. B. C. D. 7.若△ABC ∽△A′B′C′，AB =2，A′B′=4，则△ABC 与△A′B′C′ 的面积的比为（ ）
A. 1：2
B. 2：1
C. 1：4
D. 4：1
8.如图，正方形ABCD 的边长为3，将等腰直角三角板的45°角的顶点放在B 处，两边与CD 及其延长线交于E 、F ，若CE=1，则BF 的长为（ ）
A. 25
B. 35
C. 210
D. 8
103
第II 卷（非选择题）
二、填空题
9.在Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点E 是BC 边上的动点，连接AE ，过点E 作AE 的垂线交AB 边于点F ，则AF 的最小值为_______
10.如图，点A 是双曲线y=4x
在第一象限上的一动点，连接AO 并延长交另一分支于点B ，以AB 为斜边作等腰Rt △ABC ，点C 在第二象限，随着点A 的运动，点C 的位置也不断的变化，但始终在一函数图象上运动，则这个函数的解析式为 ．
11.若关于x 的一元二次方程kx 2+2（k+1）x+k ﹣1=0有两个实数根，则k 的取值范围是 ．
12.某二次函数的图像的坐标（4，-1），且它的形状、开口方向与抛物线y=-x 2相同，则这个二次函数的解析式为________
13.已知扇形AOB 的半径为4cm ，圆心角∠AOB 的度数为90°,若将此扇形围成一个圆锥的侧面，则围成的圆锥的底面半径为________cm
14.如图，在△ABC 中，AB=6，将△ABC 绕点B 按逆时针方向旋转45°后得到△A ′BC ′，则阴影部分的面积为 ．
三、解答题
15.解下列方程：
（1）(x +6)2−9=0； （2）2x 2−4x +1=0
16.关于x 的一元二次方程2310x x m ++-=的两个实数根分别为12,x x ．
（1）求m 的取值范围；
（2）若12122()100x x x x +++=，求m 的值.
17.如图所示，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣2，3），B （﹣6，0），C（﹣1，0）．
（1）请直接写出点B关于点A对称的点的坐标；
（2）将△ABC绕坐标原点O逆时针旋转90°，画出图形，直接写出点B的对应点的坐标；
（3）请直接写出：以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D 的坐标．
18.某商场举行开业酬宾活动，设立了两个可以自由转动的转盘（如图所示，两个转盘均被等分），并规定：顾客购买满188元的商品，即可任选一个转盘转动一次，转盘停止后，指针所指区域内容即为优惠方式；若指针所指区域空白，则无优惠．已知小张在该商场消费300元
（1）若他选择转动转盘1，则他能得到优惠的概率为多少？
（2）选择转动转盘1和转盘2，哪种方式对于小张更合算，请通过计算加以说明．
19.由于雾霾天气趋于严重，我市某电器商城根据民众健康需求，代理销售某种家用空气净化器，其进价是200元/台.经过市场销售后发现：在一个月内，当售价是400元/台时，可售出200台，且售价每降低10元，就可多售出50台．若供货商规定这种空气净化器售价不能低于300元/台，代理销售商每月要完成不低于450台的销售任务．
（1）完成下列表格，并直接写出月销售量y（台）与售价x（元/
（2）当售价x（元/台）定为多少时，商场每月销售这种空气净化器所获得的利润w（元）最大？最大利润是多少？
20.如图，已知线段AC为⊙O的直径，PA为⊙O的切线，切点为A，B为⊙O上一点，且BC∥PO。

（1）求证：PB为⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为1，PA=3，求BC的长。

21.如图，一次函数y=k1x+b与反比例函数y=2k
的图象交于A（2，
x
3），B（n，﹣2）两点．过点B作BC⊥x轴，垂足为C．
⑴求一次函数与反比例函数的解析式；
⑵求△ABC的面积；
图象上的两点，且⑶若P（p，y1），Q（﹣2，y2）是函数y=2k
x
y1≥y2，求实数p的取值范围．
22.如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B．
（1）求证：△ADF∽△DEC；
（2）若AB=8，AD=6，AF=4，求AE的长．
23.在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点A（0，2），点C（-1，0），如图所示：抛物线y=2ax2+ax-32经过点B．
（1）写出点B的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）若三角板ABC从点C开始以每秒1个单位长度的速度向x轴正方向平移，求点A落在抛物线上时所用的时间，并求三角板在平移过程扫过的面积；
（4）在抛物线上是否还存在点P（点B除外），使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
参数答案
1.C
【解析】1.试题分析：利用配方法求出二次函数对称轴，再求出图象与x轴交点坐标，进而结合二次函数性质得出答案．y=﹣x2+2x=﹣（x﹣1）2+1，故①它的对称轴是直线x=1，正确；②∵直线x=1两旁部分增减性不一样，∴设y1=﹣x12+2x1，y2=﹣x22+2x2，则当x2＞x1时，有y2＞y1或y2＜y1，错误；
③当y=0，则x（﹣x+2）=0，解得：x1=0，x2=2，故它的图象与x 轴的两个交点是（0，0）和（2，0），正确；④∵a=﹣1＜0，∴抛物线开口向下，∵它的图象与x轴的两个交点是（0，0）和（2，0），
∴当0＜x＜2时，y＞0，正确．
考点：二次函数的性质．
2.C
【解析】2.由AB为⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，即可求得∠ACB=90°，又由∠D=36°，再由直角三角形的性质即可求得∠CAB的度数．解：∵∠D=36°，
∠B=∠D=36°，
∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，
∴∠CAB=90°-36° =54°，故选C．
“点睛”此题考查了圆周角定理．此题难度不大，注意掌握直径所对的圆周角等于直角与在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等定理的应用是解此题的关键．
3.C
【解析】3.∵奇数有1,3,5共三个；
.
∴抽出的数字是奇数的概率是3
5
故选C．
4.D
【解析】4.
连接OE ,作EF ⊥OC 于点F . ∵∠AAA =30°, ∴∠A ＝60°,AB =2OA =4， AA =√42−22=2√3 . ∵OA =OE ,
∴△OAE 是等边三角形， ∴∠AOE =60°,OE =OA =2， ∴∠COE =30°,
∴AA =1
2
AA =1 .
∵A 扇形AAA =
60A ×22360
=2
3
A ,
A AAAA =1
2×2√3×1=√3 ,
A 扇形AAA =
90A ×(2√3)2
360
=3A ,
∴扫过的面积为： 23
A +√3+3A =113
A +√3 .
故选D ． 5.A
【解析】5.A 既是轴对称图形又是中心对称图形，故正确； B 不是轴对称图形，只是中心对称图形；故不正确； C 不是轴对称图形，只是中心对称图形；故不正确； D 是轴对称图形，不是中心对称图形；故不正确； 故选A. 6.A
【解析】6.对于函数k
y x
=
，A,C 中k >0时,此时-k <0， y kx k =- y y x 的图像应与轴的负半轴相交，且随的增大而增大，Ａ符合，C 不符合；
对于函数k
y x
=
，B,D 中k <0时，此时-k >0， y kx k =- y 的图像应与轴的正半轴相交，且y 随x 的增大而减小，B,D 都不符合；
故选A. 7.C
【解析】7.根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得到结果. ∵△ABC ∽△A′B′C′，相似比是1∶2 ∴△ABC 与△A′B′C′ABC 面积的比是1∶4 故选C.
“点睛”本题是相似三角形的性质的基础应用题，难度一般，学生只需熟练掌握三角形的面积比与相似比的关系即可轻松完成. 8.B
【解析】8.
作FH ⊥BE 于点H. ∴△BCE ∽△FHE ,
BC CE
FH EH ∴
=
45FBH ∠= , BH FH ∴= , 2BF BH ∴= . ∵BC=3，CE=1， 10BE ∴=
设BH FH x ==，则10EH x =
BC CE
FH EH =
， 310
x x ∴=-，
3
102
x =
3
210352
BF ∴=⨯
= . 故选B. 9.152
【解析】9.试题分析：如图，设AF 的中点为D ，那么DA=DE=DF.所以AF 的最小值取决于DE 的最小值.
如图，当DE⊥BC 时，DE 最小，设DA=DE=m ，此时DB=5
3
m ，由AB=DA+DB ，得m+5
3
m=10，解得m=15
4
，此时AF=2m=15
2
. 故答案为：15
2.
10.y=﹣4x
．
【解析】10.
试题分析：连结OC ，作CD ⊥x 轴于D ，AE ⊥x 轴于E ，设A 点坐标为（a ，4a
），利用反比例函数的性质得到点A 与点B 关于原点对称，则OA=OB ，再根据等腰直角三角形的性质得OC=OA ，OC ⊥OA ，然后利用等角的余角相等可得到∠DCO=∠AOE ，则根据“AAS”可判断△COD ≌△OAE ，所以OD=AE=4a ，CD=OE=a ，于是C 点坐标为（﹣4a
，a ），最后根据反比例函数图象上点的坐标特征确定C 点所在的函数图象
试题解析：连结OC ，作CD ⊥x 轴于D ，AE ⊥x 轴于E ，如图， 设A 点坐标为（a ，4a
），
∵A 点、B 点是正比例函数图象与双曲线y=4x
的交点， ∴点A 与点B 关于原点对称， ∴OA=OB
∵△ABC 为等腰直角三角形， ∴OC=OA ，OC ⊥OA ， ∴∠DOC+∠AOE=90°， ∵∠DOC+∠DCO=90°， ∴∠DCO=∠AOE ， ∵在△COD 和△OAE 中
CDO OEA DCO EOA CO OA ∠=∠⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
∴△COD ≌△OAE （AAS ）， ∴OD=AE=4a
，CD=OE=a ， ∴C 点坐标为（﹣4a
，a ）， ∵﹣4a
•a=﹣4，
∴点C 在反比例函数y=﹣4x
图象上． 考点：反比例函数综合题．
11.k≥13
-，且k≠0
【解析】11.若一元二次方程有两不等实数根，则根的判别式△=b 2﹣4ac≥0，建立关于k 的不等式，求出k 的取值范围．还要注意二次项系数不为0：
∵a=k ，b=2（k+1），c=k ﹣1，
∴△=[2（k+1）]2﹣4×k×（k ﹣1）=8k+6≥0，解得：k≥13
-。

∵原方程是一元二次方程，∴k≠0。

∴k 的取值范围是：k≥13
-，且k≠0
12.y=-(x-4)2-1
【解析】12.试题分析：根据题意，可由二次函数的形状、开口方向与抛物线y=-x 2相同，设函数的解析式为y =-（x-a ）2+h ，可直接代入得到y=-(x-4)2-1. 故答案为：y=-(x-4)2-1. 13.1
【解析】13.试题分析：根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长和弧长公式，可设圆锥的底面圆的半径为rcm ，根据题意得2πr=
90A ×4180
，解得r=1．
故答案为：1.
点睛：本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
14.42cm 2．
【解析】14.
试题解析：AC 与BA ′相交于D ，如图，
∵△ABC 绕点B 按逆时针方向旋转45°后得到△A ′BC ′， ∴∠ABA ′=45°，BA ′BA=4，△ABC ≌△A ′BC ′， ∴S △ABC =S △A′BC′，
∵S 四边形AA′C′B =S △ABC +S 阴影部分=S △A′BC′+S △ABA′， ∴S 阴影部分=S △ABA′， ∵∠BAC=45°，
∴△ADB 为等腰直角三角形，
∴∠ADB=90°，AD=
2
2
2， ∴S △ABA′=12AD •BA ′=1
2
×2×2（cm 2），
∴S 阴影部分22．
考点：旋转的性质．
三、解答题
15.（1）x 1=−3，x 2=−9；（2）x 1=1+√2
2
，x =21−
√22
【解析】（1）(x +6)2−9=0 (x +6)2=9 ∴x +6=±3
∴x 1=−3 ,x 2=−9 （2）2x 2−4x +1=0 x 2−2x +1
2=0 (x −1)2=12
∴x −1=±√22 ∴x 1=1+√22 ,x 2=1−
√22
16.（1）4
13
≤
m ；（2）-3
【解析】
试题分析：（1）一元二次方程根的情况与判别式△ac b 42-=的关系：（1）⇔>0△方程有两个不相等的实数根；（2）⇔=0△方程有两个相等的实数根；（3）⇔<0△方程没有实数根；
（2）由一元二次方程02=++c bx ax 根与系数的关系：+1x a
b x -=2，
1x a
c
x =
2，再结合方程12122()100x x x x +++=，可以得到关于m 的方程，再结合（1）中m 的取值范围求解即可．
试题解析：（1）由题意得△0)1(43422≥--=-=m ac b ，解得4
13≤m ； （2）由题意得+1x 32-=x ，1x 12-=m x ∵12122()100x x x x +++=
∴01016=+-+-m ，解得3-=m ．
考点：1.一元二次方程根的判别式；2.一元二次方程根与系数的关系
17.（1）画图见解析；（2）作图见解析；（3）D （-7，3）或（-5，-3）或（3，3）．
【解析】17（１）分别作出点A 、B 、C 绕坐标原点O 逆时针旋转
90°后的点，然后顺次连接，并写出点B的对应点的坐标；（2）分别以AB、BC、AC为对角线，写出第四个顶点D的坐标．
解：（1）所作图形如图所示：
，（２）点B'的坐标为：（0，-6）；
当以AB为对角线时，点D坐标为（-7，3）；当以AC为对角线时，点D坐标为（3，3）；当以BC为对角线时，点D坐标为（-5，-3）．
“点睛”本题考查了根据旋转变换作图，轴对称的性质，以及平行四边形的性质，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键．
18.（1）1
2
；（2）转动转盘1更优惠．
【解析】18.试题分析：（1）根据转盘1，利用概率公式求得获得优惠的概率即可；
（2）分别求得转动两个转盘所获得的优惠，然后比较即可得到结论．
试题解析：（1）∵整个圆被分成了12个扇形，其中有6个扇形能
享受折扣，∴P（得到优惠）=6
12=1
2
；
（2）转盘1能获得的优惠为：0.33000.230020.13003
12
⨯+⨯⨯+⨯⨯=25
元，转盘2能获得的优惠为：40×2
4
=20元，所以选择转动转盘1更优惠．
考点：列表法与树状图法．
19.(1)390,2200-5x,y=-5x+2200(300≤x≤350);(2)售价定位320元时，利润最大，为72000元.
【解析】19.（1）根据题中条件可得390，2200-5x ，若销售价每降低10元，月销售量就可多售出50千克，即可列出函数关系式；根据供货商规定这种空气净化器售价不能低于300元/台，代理销售商每月要完成不低于450台的销售即可求出x 的取值．
（2）用x 表示y ，然后再用x 来表示出w ，根据函数关系式，即可求出最大w ；
解：(1)依题意得： y ＝200＋50×
40010
x
-． 化简得：y ＝－5x ＋2200． (2)依题意有： ∵300
{
52200450
x x ≥-+≥，
解得300≤x≤350．
(3)由(1)得：w ＝(－5x ＋2200)(x －200)
＝－5x 2＋3200x －440000＝－5(x －320)2＋72000．
∵x＝320在300≤x≤350内，∴当x ＝320时，w 最大＝72000． 即售价定为320元/台时，可获得最大利润为72000元．
“点睛”本题考查了利润率问题的数量关系的运用，一次函数的解析式的运用，二次函数的解析式的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时求出二次函数的解析式时关键．
20.（1）证明见解析;（2）.
【解析】（1）连接OB ，根据根据平行线的想知道的∠POA=∠BCA，根据全等三角形的性质得到∠PBO=∠PAO，根据切线的性质得到∠PAO=90°，于是得到结论；
（2）过O 作OH⊥BC 于H ，则CH=1
2
BC ，根据勾股定理得到
，解直角三角形即可得到结论.
证明：（1）连接OB ，∵∠BCA= 12
AOB ∠，又∵BC∥OP， ∴∠POA= BCA ∠，∴∠POA= BOP ∠
又∵OA=OB，OP=OP ，∴△AOP≌△BOP ∴∠PBO= PAO ∠
又∵PA为⊙O的切线，∴∠PAO=90°，∴∠OBP=90°
又OB为⊙O的半径，∴PB为⊙O的切线。

（2）本问方法众多，下面提供一种方法，其它情况酌情给分。

过O作OH⊥BC于H，则CH=1
2
BC
在Rt△AOP中，OP2=PA2+OA2=32+12=10，又∵OP>0，∴OP=10
∵∠POA=BCA
∠，∴cos∠BCA=cos∠POA=
10
在Rt△OHC中，OC=1，cos∠BCA=CH
OC 即
1
10
CH
=，∴CH=10
∴BC=2CH=10
“点睛”本题考查了切线的判定和性质，解直角三角形，全等三角
形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键.
21.（1）反比例函数的解析式是y=6
x
；一次函数的解析式是y=x+1；
（2）△ABC的面积为5；
（3）P的取值范围是p≤﹣2或p＞0．
【解析】（1）反比例函数的解析式是y=；一次函数的解析式是
y=x+1；
（2）5.
（3）分为两种情况：当点P在第三象限时，要使y1≥y2，实数p的
取值范围是P≤﹣2，
当点P在第一象限时，要使y1≥y2，实数p的取值范围是P＞0，
即P的取值范围是p≤﹣2或p＞0．
22.（1）证明见解析（2）6
【解析】试题分析：（1）利用对应两角相等，证明两个三角形相似△ADF∽△DEC；
（2）利用△ADF∽△DEC，可以求出线段DE的长度；然后在Rt△ADE中，利用勾股定理求出线段AE的长度．
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴∠C+∠B=180°，∠ADF=∠DEC．
∵∠AFD+∠AFE=180°，∠AFE=∠B，
∴∠AFD=∠C．
在△ADF与△DEC中，
∴△ADF∽△DEC．
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD=AB=8．
由（1）知△ADF∽△DEC，
∴，∴DE=AD CD
AF
==12．
在Rt△ADE中，由勾股定理得：AE===6．考点：相似三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质．
23.（1）B（-3，1）（2）y=1
3x2+1
6
x-3
2
（3）8.5（4）（1，-1）
【解析】试题分析：（1）由于△ABC是等腰Rt△，若过B作BD⊥x 轴于D，易证得△BCD≌△CAO，则BD=OA=2，BD=OC=1，即可求出B 点坐标为：B（-3，1）．
（2）将B点坐标代入抛物线的解析式中，即可求出待定系数a的值，也就求得了抛物线的解析式．
（3）设平移后的三角形为△A′B′C′，由于是沿x轴正方向平移，所以A、A′的纵坐标不变，且A′在抛物线的图象上，由此可求出A′的坐标，即可求出AA′，CC′的距离，进而可求出平移过程所用的时间；
那么扫过部分的面积=△ABC的面积+?AA′C′C的面积．
（4）此题要分两种情况进行讨论：
①以C为直角顶点，AC为直角边；可求出直线BC的解析式，联立抛物线的解析式即可求出P点坐标，然后判断CP是否与AC相等即可．
②以A为直角顶点，AC为直角边，方法同①．
试题解析：（1）过B作BD⊥x轴于D；
∵∠BCA=90°，
∴∠BCD=∠CAO=90°-∠ACO；
又∵BC=AC，∠BDC=∠AOC=90°，
∴△BDC≌△COA；
∴AO=DC=2，BD=OC=1，
∴B（-3，1）．
（2）由于抛物线过B点，则有：2a×9+（-3）•a-32=1，解得a=1
6
∴y=1
3x2+1
6
x-3
2
．
（3）设平移后的三角形为△A′B′C′；
当y=2时，1
3x2+1
6
x-3
2
=2
解得x=3（负值舍去）；
∴A′（3，2），C′（2，0）；
∴平移过程所用去的时间为3÷1=3秒；
S扫=S△ABC+S四边形AA′C′C=1
2×（√5）2+3×2=8.5（平方单位）．
（4）①若以AC为直角边，C为直角顶点；
设直线BC交抛物线y=1
3x2+1
6
x-3
2
于P1，
易求得直线BC的解析式为y=-1
2x-1
2
；不难求得P1（1，-1），此时
CP1=AC；
∴△ACP1为等腰直角三角形；
②若以AC为直角边，点A为直角顶点；
过A作AF∥BC，交抛物线y=1
3x2+1
6
x-3
2
于P2，易求得直线AF的解析式
为y=-1
2x+2；
因为以AC为直角边，点A为直角顶点的等腰Rt△ACP的顶点P有两种情况，即AC=AP2，AC⊥AP2，
∵CO=1，AO=2，
只有P到y轴距离为2，到x轴距离为1，且在第一象限符合题意，此时P2（2，1），
或者P点在第三象限P3（-2，3）符合题意，
经检验点P2（2，1）与P3（-2，3）不在抛物线上，所以，符合条件的点P有1个：（1，-1）．
21。