2019年1月北京东城区高三数学文科期末试卷及答案解析

1东城区2018-2019学年度第一学期期末教学统一检测 高三数学文科试卷 2019.01第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）若集合{|20}A x x =-<≤，}{2,1,0,1,2B =--}，则A B =I（A ）{2,1}-- （B ）{2,0}- （C ）{1,0}- （D ）{2,1,0}--（2）下列复数为纯虚数的是（A ）21i + （B ）2i i + （C ）11i-（D ）2(1i)-（3）在平面直角坐标系xOy 中，角a 以Ox 为始边，终边在射线2(0)y x x =?上，则cos a 的值是（A ）55（B ）55-（C ）255 （D ）255- （4）若,x y 满足223,,,x y x x y ≤≤⎧⎪⎨⎪+⎩≥则2x y +的最小值为 （A ）0 （B ）4 （C ）5（D ）10（5）执行如图所示的程序框图，输入5,3n m ==，那么输出的p值为 （A ）360 （B ）60 （C ）36 （D ）122（6）设 ,,,a b c d 为实数，则“ ,a b c d >>”是“a c b d +>+”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（7）某三棱锥的三视图如图所示，在此三棱锥的六条棱中，最长棱的长度为 （A ）2 （B ）5 （C ）22（D ）3（8）地震里氏震级是地震强度大小的一种度量. 地震释放的能量E （单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为lg 4.8 1.5E M =+. 已知两次地震里氏震级分别为8.0级和7.5级，若它们释放的能量分别为1E 和2E ，则12E E 的值所在的区间为 （A ）(1,2) （B ）(5,6) （C ）(7,8) （D ）(15,16)第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

（ 9 ）已知向量(1,2)=-a ，(2,)m =b ，若^a b ，则m = .（10）在ABC ∆中，已知1a =，2sin 10A =，3cos 5C =-，则c = . （11）若等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足111,2a b =-=，321a b +=-，试写出一组满足条件的数列{}n a 和{}n b 的通项公式:n a = ，n b = .3（12）过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点F 作垂直于x 轴的直线，交双曲线于,A B 两点，O为坐标原点，若OAB ∆为等腰直角三角形，则双曲线的离心率e =_________. （13）小菲在学校选修课中了解到艾宾浩斯记忆曲线，为了解自己记忆一组单词的情况，她记录了 随后一个月的有关数据，绘制散点图，拟合 了记忆保持量与时间（天）之间的函数关系：1271,01,20()19,130.520x x f x x x -⎧-+<≤⎪⎪=⎨⎪+<≤⎪⎩ 某同学根据小菲拟合后的信息得到以下结论： ① 随着时间的增加，小菲的单词记忆保持量降低； ② 9天后，小菲的单词记忆保持量低于40% ； ③ 26天后，小菲的单词记忆保持量不足20%.其中正确的结论序号有 . （注：请写出所有正确结论的序号）（14）已知函数3()4f x x x =-，()sin (0)g x x w w =>.若[,]x a a "?，都有()()0f x g x £，则a的最大值为______；此时ω=_______.三、解答题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

（15）（本小题13分）已知等差数列{}n a 满足11a =, 2410a a +=. (Ⅰ) 求{}n a 的通项公式；(Ⅱ) 若2n an n b a =+ ,求数列{}n b 的前n 项和.4（16）（本小题13分）已知函数2()sin cos 3sin f x x x x =-.(Ⅰ) 求()f x 的最小正周期； (Ⅱ) 求证：对于任意的,36x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，都有()3f x ≥-．（17）（本小题13分）某中学有学生500人，学校为了解学生课外阅读时间，从中随机抽取了50名学生，收集了他们2018年10月课外阅读时间（单位：小时）的数据，并将数据进行整理，分为5组：[10,12)，[12,14)，[14,16)，[16,18)，[18,20]，得到如图所示的频率分布直方图.（Ⅰ）试估计该校所有学生中，2018年10月课外阅读时间不小于16小时的学生人数； （Ⅱ）已知这50名学生中恰有2名女生的课外阅读时间在[18,20]，现从课外阅读时间在[18,20]的样0.080.050.120.10阅读时间频率/组距1816141210200.155本对应的学生中随机抽取2人，求至少抽到1名女生的概率；（Ⅲ）假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替，试估计该校学生2018年10月课外阅读时间的平均数.（18）（本小题14分）如图，三棱柱111ABC A B C - 中，侧棱垂直于底面，1111A B B C ⊥ ，12AA AB == ，1BC = ，E 为11A C 中点.（I ） 求证：1A B ⊥平面11AB C ； (II) 求三棱锥1B ECC - 的体积；（III ） 设平面EAB 与直线11B C 交于点H ，求线段1B H 的长.（19）（本小题13分）已知函数21()2x f x axe x x =--，a ∈R ． (Ⅰ) 当1a =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； (Ⅱ) 求()f x 的单调区间．6（20）（本小题14分）已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为22，其左焦点为1(1,0)F -.直线:(2)(0)l y k x k =+?交椭圆C 于不同的两点,A B ，直线1BF 与椭圆C 的另一个交点为E .（I ）求椭圆C 的方程； （II ）当12k =时，求1F AB ∆的面积； （III ）证明：直线AE 与x 轴垂直.东城区2018-2019学年度第一学期期末教学统一检测7高三数学（文科）参考答案及评分标准一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）（1）C （2）D （3）A （4）B （5）B （6）A （7）D （8）B 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分） （9）1 （10）42 （11）n a n =-,2n b =（答案不唯一） （12）152+ （13）①② （14）4，2π三、解答题（共6小题，共80分） （15）（共13分） 解：（I ）设{}n a 的公差为d ,因为243210a a a +==， 所以35a =. 所以31251 4.a a d -==-= 解得2d =.所以1(1)1(1)22 1.n a a n d n n =+-=+-⨯=- ……………………………..7分 （Ⅱ）由（I ）知，21212n n b n -=-+， 所以{}n b 的前n 项和为132112[13(21)](222)n n b b b n -+++=+++-++++L L L=[1(21)]2(14)214n n n +-?+-=22(41)3nn +-. ……………………..13分 （16）（共13分）解:（Ⅰ）()2sin cos 3sin f x x x x =-811cos 2sin 2322x x -=-⨯ 133sin 2cos 2222x x =+- 3sin 232x π⎛⎫=+-⎪⎝⎭. ……………………………..5分 所以 ()f x 的最小正周期22T π==π. ……………………………..7分 （Ⅱ）因为36x ππ-≤≤，所以233x 2ππ-≤≤. 所以22333x πππ-≤+≤. 所以3sin 2sin().332x ππ⎛⎫+≥-=- ⎪⎝⎭ 所以3()sin 2332f x x π⎛⎫=+-≥- ⎪⎝⎭. 所以对于任意的,36x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，都有()3f x ≥-． ……………………………..13分 （17）（共13分）解：（Ⅰ）0.1020.0520.30⨯+⨯=，即课外阅读时间不小于16小时的样本的频率为0.30. 因为5000.30150⨯=，所以估计该校所有学生中，2018年10月课外阅读时间不小于16小时的学生人数为150. …………………………………………………………………………………………….5分（Ⅱ）阅读时间在[18,20]的样本的频率为0.0520.10⨯=.9因为500.105⨯=，即课外阅读时间在[18,20]的样本对应的学生人数为5. 这5名学生中有2名女生，3名男生，设女生为A ，B ，男生为C ，D ，E ， 从中抽取2人的所有可能结果是： (,)A B ，(,)A C ，(,)A D ，(,)A E ，(,)B C ， (,)B D ，(,)B E ，(,)C D ，(,)C E ，(,)D E . 其中至少抽到1名女生的结果有7个，所以从课外阅读时间在[18,20]的样本对应的学生中随机抽取2人，至少抽到1名女生的所求概率为710. ……………………………..11分 （Ⅲ）根据题意， 0.082110.122130.152150.10217创+创+创+创0.0521914.68+创=（小时）.由此估计该校学生2018年10月课外阅读时间的平均数为14.68 小时 …………….13分 （18）（共14分）解：（Ⅰ）因为三棱柱111ABC A B C - 中，侧棱垂直于底面，所以1BB ⊥平面111A B C . 因为11B C ⊂平面111A B C ， 所以111BB B C ⊥.又因为1111B C A B ⊥，1111A B BB B =I ， 所以11B C ⊥平面 11AA B B . 因为1A B ⊂平面11AA B B ， 所以111A B B C ⊥.因为12AA AB ==，所以四边形11AA B B 为菱形. 所以11A B AB ⊥. 因为1111B C AB B =I ，所以1A B ⊥平面11AB C . ……………………………..5分10（Ⅱ） 由已知，1BB ⊥平面111A B C ，11A B ⊂平面111A B C ，所以 111BB A B ⊥.因为1111A B B C ⊥， 1111B C BB B =I ， 所以 11A B ⊥平面11BB C C .又112A B AB ==，故1A 到平面11BB C C 的距离为2. 因为E 为11A C 中点，所以E 点到平面11BB C C 距离为1. 所以11111211323B ECC E BCC V V --==⨯⨯⨯⨯=．……..9分 （Ⅲ）在三棱柱111ABC A B C -中，因为E ，H 为平面EAB 与平面111A B C 的公共点， 所以平面EAB I 平面111A B C EH =.因为平面ABC //平面111A B C ，AB ⊂平面ABC ， 所以//AB 平面111A B C .又平面111A B C I 平面EAB EH =, 所以//EH AB .又11//AB A B ，所以11//EH A B .因为E 为11A C 中点, 所以H 为11B C 中点 . 所以1111122B H BC ==．………………………..14分（19）（共13分）解：（Ⅰ）()f x 的定义域为R ,'()(1)1(1)(1)x x f x ae x x x ae =+--=+-．当1a =时，'(0)0f =，(0)0f =，所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为0y =．………………………..7分 (Ⅱ) '()(1)1(1)(1)x x f x ae x x x ae =+--=+-.11(1) 当0a £时，10x ae -<，所以当1x >-时，'()0f x <；当1x <-时，'()0f x >. 所以()f x 的单调递增区间为(–∞，–1)，单调递减区间为(–1，+∞). (2) 当0a >时，令'()0f x =，得11x =-，2ln x a =-.①当ln 1a -=-，即a e =时，'()0f x ³，所以()f x 的单调递增区间为(–∞，+∞)，无单调递减区间； ②当ln 1a -<-，即a e >时，当ln 1a x -<<-时，'()0f x <；当ln 1x a x <->-或时，'()0f x >.所以()f x 的单调递减区间为(ln ,1)a --，单调递增区间为(,ln )a -?，(1,)-+?；③当ln 1a ->-，即0a e <<时，当1ln x a -<<-时，'()0f x <；当1ln 或x x a <->-时，'()0f x >.所以()f x 的单调递减区间为(1,ln )a --，单调递增区间为(,1)-?，(ln ,)a -+?. …………………………………………………………………………………………13分 （20）（共14分）解：（I ） 由已知有2222,21,.c a c a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪-=⎪⎪⎩解得2,1,1.a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩12所以椭圆C 的方程为2212x y +=. ……………………………………5分（II ）由22(2),12y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，整理得2222(12)8(82)0k x k x k +++-=. 由已知，2222(8)4(12)(82)0k k k Δ=-+->，解得2222k -<<. 设1122(,),(,)A x y B x y ，则2122212284,123820.12k x x k k x x k ⎧-+==-⎪⎪+⎨-⎪==⎪+⎩2221212122511()4.3AB k x x k x x x x =+-=+⋅+-=直线l 的方程为220x y -+=，1(1,0)F -到直线l 的距离15d =. 所以1F AB ∆的面积为11251122335AB d ⋅=⨯⨯=. …………………………………10分 （III ）当21x =-时，222y =±. 此时直线l 的斜率为22±，由（II ）知不符合题意，所以21x ≠-. 设直线1BF 的斜率为222(1)1y t x x =≠-+. 则直线1BF 的方程为(1)y t x =+.由22(1),12y t x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，整理得2222(12)4(22)0t x t x t +++-=.13设33(,)E x y ，则有22222232222222224()14412(1)212()1y x y t x x y t x y x -+--+===+++++. 由222212x y +=得222212x y =-，代入上式整理得223222423x x x x -+=+， 解得2323423x x x --=+.因为21212311223423()42323x x x x x x x x x x ----+--=-=++，将2122812k x x k -+=+，21228212k x x k -=+代入，整理得310x x -=，所以31x x =. 所以直线AE 与x 轴垂直. ……………………………………14分。