2019年1月北京市丰台区高三数学文科期末试卷(有答案)
北京市丰台区2023-2024学年高三上学期期末练习数学试卷含答案
丰台区2023～2024学年度第一学期期末练习高三数学（答案在最后）2024.01本试卷共6页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分选择题（共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知集合{3,2,1,0,1,2}U =---，{1,0,1}A =-，{1,2}B =，则()U A B ⋃=ð（）A.{3,2}-- B.{3,2,1,2}--C.{3,2,1,0,1}--- D.{3,2,1,0,2}---【答案】A【解析】【分析】由补集和并集的定义求解即可.【详解】因为{3,2,1,0,1,2}U =---，{1,0,1}A =-，{1,2}B =，所以{}1,0,1,2A B ⋃=-，U ð(){}3,2A B ⋃=--.故选：A .2.若(1i)1i z -=+，则||z =（）A.iB.1C. D.2【答案】B【解析】【分析】根据复数的运算法则进行运算，继而直接求模即可.【详解】因为(1i)1i z -=+，所以()()()()1i 1i 1i 2i i 1i 1i 1i 2z +++====-+-，所以i 1z z =-=，，故选：B ．3.在6(2)x y -的展开式中，42x y 的系数为（）A.120- B.120C.60- D.60【答案】D【解析】【分析】求出6(2)x y -的通项，令2r =即可得出答案.【详解】6(2)x y -的通项为：()()66166C 2C 2r rr r r r r r T x y x y --+=-=-，令2r =可得：42x y 的系数为()226C 215460-=⨯=.故选：D .4.在中国文化中，竹子被用来象征高洁、坚韧、不屈的品质．竹子在中国的历史可以追溯到远古时代，早在新石器时代晚期，人类就已经开始使用竹子了．竹子可以用来加工成日用品，比如竹简、竹签、竹扇、竹筐、竹筒等．现有某饮料厂共研发了九种容积不同的竹筒用来罐装饮料，这九种竹筒的容积129,,,a a a L （单位：L ）依次成等差数列，若1233a a a ++=，80.4a =，则129a a a +++= （）A.5.4B.6.3C.7.2D.13.5【答案】B【解析】【分析】利用等差数列的性质及求和公式求解.【详解】∵129,,,a a a L 依次成等差数列，1233a a a ++=，∴233a =，即21a =，又80.4a =，则()()()81912299910.49 6.3222a a a a a a a +⨯+⨯+⨯+++==== .故选：B.5.已知直线y kx =与圆221x y +=相切，则k =（）A.1± B.C. D.2±【答案】B【解析】【分析】根据题意可得圆心(0,0)O 到0-=kx y 的距离等于半径1，即可解得k 的值．【详解】直线y kx =+即0-=kx y ，由已知直线y kx =+与圆221x y +=相切可得，圆221x y +=的圆心(0,0)O 到0kx y -=的距离等于半径1，1=，解得k =，故选：B ．6.如图，函数()f x 的图象为折线ACB ，则不等式π()tan 4f x x >的解集是（）A.{|20}x x -<< B.{|01}x x <<C.{|21}x x -<< D.{|12}x x -<<【答案】C【解析】【分析】利用正切型函数的图象与性质结合分段函数性质即可得到解集.【详解】设()πtan4h x x =，令π242k x k ππππ-<<+，且k ∈Z ，解得4242k x k -<<+，k ∈Z ，令0k =，则22x -<<，则()h x 在()2,2-上单调递增，()00h =1,1BC AC k k =-=，则2,02()2,20x x f x x x -+≤<⎧=⎨+-<<⎩，则当20x -<≤时，()0h x ≤，()0f x >，则满足()()f x h x >，即π()tan 4f x x >，当02x <<时，()11f =，且()f x 单调递减，()11h =，且()h x 单调递增，则()0,1x ∈时，()()f x h x >，即π()tan4f x x >；()1,2x ∈时，()()f x h x <，即()πtan 4f x x <；综上所述：π()tan4f x x >的解集为()2,1-，故选；C.7.在某次数学探究活动中，小明先将一副三角板按照图1的方式进行拼接，然后他又将三角板ABC 折起，使得二面角A BC D --为直二面角，得图2所示四面体ABCD ．小明对四面体ABCD 中的直线、平面的位置关系作出了如下的判断：①CD ⊥平面ABC ；②AB ⊥平面ACD ；③平面ABD ⊥平面ACD ；④平面ABD ⊥平面BCD ．其中判断正确的个数是（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】【分析】根据题意，结合线面位置关系的判定定理和性质定理，逐项判定，即可求解.【详解】对于①中，因为二面角A BC D --为直二面角，可得平面ABC ⊥平面BCD ，又因为平面ABC ⋂平面BCD BC =，DC BC ⊥，且DC ⊂平面BCD ，所以DC ⊥平面ABC ，所以①正确；对于②中，由DC ⊥平面ABC ，且AB ⊂平面ABC ，可得AB CD ⊥，又因为AB AC ⊥，且AC CD C = ，,AC CD ⊂平面ACD ，所以AB ⊥平面ACD ，所以②正确；对于③中，由AB ⊥平面ACD ，且AB ⊂平面ABD ，所以平面ABD ⊥平面ACD ，所以③正确；对于④，中，因为DC ⊥平面ABC ，且DC ⊂平面BCD ，可得平面ABC ⊥平面BCD ，若平面ABD ⊥平面BCD ，且平面ABD ⋂平面ABC AB =，可得AB ⊥平面BCD ，又因为BC ⊂平面BCD ，所以AB BC ⊥，因为AB 与BC 不垂直，所以矛盾，所以平面ABD 和平面BCD 不垂直，所以D 错误.8.已知,a b 是两个不共线的单位向量，向量c a b λμ=+r r r （,λμ∈R ）．“0λ>，且0μ>”是“()0c a b ⋅+> ”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】举例验证必要性，通过向量的运算来判断充分性.【详解】当0λ>，且0μ>时，()()()()()22cos ,c a b a b a b a a b b a b λμλλμμλμλμ⋅+=+⋅+=++⋅+=+++ ()0λμλμ>+-+=，充分性满足；当()0c a b ⋅+> 时，()()cos ,c a b a b λμλμ⋅+=+++ ，当0λ>，0μ=时，()cos ,c a b a b λλ⋅+=+ 是可以大于零的，即当()0c a b ⋅+> 时，可能有0λ>，0μ=，必要性不满足，故“0λ>，且0μ>”是“()0c a b ⋅+>”的充分而不必要条件.故选：A .9.在八张亚运会纪念卡中，四张印有吉祥物宸宸，另外四张印有莲莲．现将这八张纪念卡平均分配给4个人，则不同的分配方案种数为（）A.18B.19C.31D.37【答案】B【分析】设吉祥物宸宸记为a ，莲莲记为b ，将这八张纪念卡分为四组，共有3种分法，再分给四个人，分别求解即可.【详解】设吉祥物宸宸记为a ，莲莲记为b①每人得到一张a ，一张b ，共有1种分法；②将这八张纪念卡分为()()()(),,,,,,,a a a a b b b b 四组，再分给四个人，则有2242C C 6=种分法③将这八张纪念卡分为()()()(),,,,,,,a b a a a b b b 四组，再分给四个人，则有2142C C 12=种分法共有：161219++=种.故选：B .10.已知函数2()||2||f x x a x =++，当[2,2]x ∈-时，记函数()f x 的最大值为()M a ，则()M a 的最小值为（）A.3.5B.4C.4.5D.5【答案】C【解析】【分析】先利用函数的奇偶性，转化为求()f x 在[]0,2上的最大值；再根据a 的取值范围的不同，讨论函数()f x 在[]0,2上的单调性，求函数()f x 的最大值.【详解】易判断函数()f x 为偶函数，根据偶函数的性质，问题转化为求函数()22f x x a x =++，[]0,2x ∈上的最大值()M a .当0a ≥时，()22f x x x a =++，二次函数的对称轴为1x =-，函数在[]0,2上单调递增，所以()()288M a f a ==+≥；当10a -≤<时，()222,022x x a x f x x x ax ⎧-+-≤≤⎪=⎨++≤⎪⎩，1≤，所以()f x在⎡⎣上递增，在2⎤⎦上也是递增，所以()()287M a f a ==+≥；当41a -<<-时，()222,022x x a x f x x x ax ⎧-+-≤≤⎪=⎨++≤⎪⎩，因为12<<，所以()f x 在[]0,1上递增，在(上递减，在2⎤⎦上递增，所以()()11M a f a ==-或()()28M a f a ==+，若18a a -≥+⇒742a -≤≤-，则()()9112M a f a ==-≥；若18a a -<+⇒712a -<<-，则()()9282M a f a ==+>;当4a ≤-时，()22f x x x a =-+-，[]0,2x ∈2≥），所以函数()f x 在[]0,1上递增，在(]1,2上递减，所以()()115M a f a ==-≥.综上可知：()M a 的最小值为92.故选：C【点睛】关键点点睛：问题转化为二次函数在给定区间上的最值问题，然后讨论函数在给定区间上的单调性，从而求最大值.认真分析函数的单调性是关键.第二部分非选择题（共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11.双曲线2214x y -=的渐近线方程________．【答案】12y x =±【解析】【分析】先确定双曲线的焦点所在坐标轴，再确定双曲线的实轴长和虚轴长，最后确定双曲线的渐近线方程．【详解】∵双曲线2214x y -=的a=2，b=1，焦点在x 轴上而双曲线22221x y a b-=的渐近线方程为y=±b x a ∴双曲线2214x y -=的渐近线方程为y=±12x故答案为y=±12x 【点睛】本题考查了双曲线的标准方程，双曲线的几何意义，特别是双曲线的渐近线方程，解题时要注意先定位，再定量的解题思想12.已知()44x x f x -=-，则11(()22f f -+=___．【答案】0【解析】【分析】由解析式直接代入求解即可.【详解】因为1122113()442222f -=-=-=，1122113()442222f --=-=-=-，所以11((022f f -+=.故答案为：0.13.矩形ABCD 中，2AB =，1BC =，且,E F 分为,BC CD 的中点，则AE EF ⋅= ___．【答案】74-##-1.75【解析】【分析】以A 为坐标原点，建立如下图所示的平面直角坐标系，求出,AE EF ，由数量积的坐标表示求解即可.【详解】以A 为坐标原点，建立如下图所示的平面直角坐标系，()()()()()10,0,2,0,2,1,0,1,2,,1,12A B C D E F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以112,,1,22AE EF ⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，()11172122244AE EF ⋅=⨯-+⨯=-+=- .故答案为：74-.14.如图，在平面直角坐标系xOy 中，角(0π)αα<<的始边为x 轴的非负半轴，终边与单位圆O 交于点P ，过点P 作x 轴的垂线，垂足为M ．若记点M 到直线OP 的距离为()f α，则()f α的极大值点为___，最大值为___．【答案】①.π4或3π4②.12##0.5【解析】【分析】根据三角函数的概念得(cos ,sin )P αα及,,OP OM MP ，利用面积法求得()f α，根据α的范围及三角函数的性质讨论()f α的单调性，进而求得答案.【详解】由题意(cos ,sin )P αα，1,cos ,sin OP OM MP αα===，由()1122OP f OM MP α⋅=⋅，得()1πsin 2,0122cos sin sin cos sin 21π2sin 2,π22f αααααααααα⎧<<⎪⎪=⋅===⎨⎪-<<⎪⎩，∴当π04α<<时，()f α单调递增；当ππ42α<<时，()f α单调递减；当π3π24α<<时，()f α单调递增；当3ππ4α<<时，()f α单调递减，则()f α的极大值点为π4或3π4，∵0πα<<，022πα<<，∴当sin 21α=±，即π4α=或3π4α=时，()f α取最大值为12．故答案为：π4或3π4；12.15.在平面直角坐标系内，动点M 与定点(0,1)F 的距离和M 到定直线:3l y =的距离的和为4．记动点M 的轨迹为曲线W ，给出下列四个结论：①曲线W 过原点；②曲线W 是轴对称图形，也是中心对称图形；③曲线W 恰好经过4个整点（横、纵坐标均为整数的点）；④曲线W 围成区域的面积大于则所有正确结论的序号是___．【答案】①③④【解析】【分析】根据题目整理方程，分段整理函数，画出图象，可得答案.【详解】设(),M x y ，则MF =，M 到直线l 的距离3d y =-，34y +-=，222(1)(43)x y y +-=--，22221168369x y y y y y +-+=--+-+，224483x y y =---，当3y ≥时，2214812412x y y x =-=-+，，则2214312,12x x x -+≥≤-≤≤，当3y <时，22144x y y x ==，，则2134x <，212x <，x -<<可作图如下：由图可知：曲线W 过原点，且是轴对称图形，但不是中心对称图形，故①正确，②错误；曲线W 经过()()()()0,02,10,42,1O A C E -，，，4个点，没有其它整点，故③正确；由()B ，()D -，()0,3F ，四边形AFEO 的面积113462S =⨯⨯=，122ABF EFD S S ==⨯= ，112BCD S =⨯⨯= ，多边形ABCDEO 的面积626S =+⨯=+曲线W 围成区域的面积大于，故④正确.故答案为：①③④.三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.在△ABC 中，a =，2π3A =．（1）求C 的大小；（2）在下列三个条件中选择一个作为已知，使ABC 存在且唯一确定，并求出AC 边上的中线的长度．条件①：2a b =；条件②：△ABC 的周长为4+ABC 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】（1）π6（2【解析】【分析】（1）由正弦定理可解得；（2）条件②由余弦定理可得；条件③由三角形的面积公式和余弦定理可得.【小问1详解】在ABC 中，因为sin sin a cA C=，又a =，所以sin A C =．因为2π3A =，所以1sin 2C =．因为π03C <<，所以π6C =．【小问2详解】选择条件②：因为ABC 中，2π3A =，π6C =，πA B C ++=，所以π6B =，即ABC 为等腰三角形，其中b c =．因为a =，所以24a b c b ++=+=+．所以2b =．设点D 为线段AC 的中点，在ABD △中，1AD =．因为ABD △中，2222cos BD AB AD AB AD BAD=+-⋅∠22221221cos73π=+-⨯⨯⨯=，所以7BD =AC 7．选择条件③：因为ABC 中，2π3A =，π6C =，πA B C ++=，所以π6B =，即ABC 为等腰三角形，其中b c =．因为ABC 的面积为312πsin 323ABC S bc ∆==，所以2b c ==．设点D 为线段AC 的中点，在ABD △中，1AD =．因为ABD △中，2222cos BD AB AD AB AD BAD=+-⋅∠22221221cos73π=+-⨯⨯⨯=，所以7BD =AC 7．由题可知3a b =，故①不合题意.17.如图，四棱锥P ABCD -的底面为正方形，PA ⊥底面ABCD ，AD PA =，点E 为PA 中点．（1）求证：AD //平面BCE ；（2）点Q 为棱BC 上一点，直线PQ 与平面BCE 所成角的正弦值为515，求BQ BC 的值．【答案】（1）证明见解析（2）12BQ BC =【解析】【分析】（1）根据线面平行的判定定理证明即可；（2）建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法可得Q 的坐标，即可得解.【小问1详解】因为正方形ABCD 中，//BC AD ．因为BC ⊂平面BCE ，AD ⊄平面BCE ，所以//AD 平面BCE ．【小问2详解】因为PA ⊥底面ABCD ，正方形ABCD 中AB AD ⊥，分别以,,AB AD AP的方向为,,x y z 轴正方向，建立空间直角坐标系A xyz -，如图不妨设2PA =，因为AD PA =，点E 为PA 的中点，点Q 为棱BC 上一点，则(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(2,2,0)C ，(0,0,1)E ，(0,0,2)P ，(2,,0)Q m (02)m ≤≤．所以(0,2,0)BC = ，(2,0,1)BE =- ，(2,,2)PQ m =-．设(,,)n x y z =为平面BCE 的法向量，则BCn ⊥ ，BE n ⊥．所以2020BC n y BE n x z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令1x =，得102x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以(1,0,2)n = ．设直线PQ 与平面BCE 所成角为θ，则sin cos ,15PQ n PQ n PQ n θ⋅==== ，解得21m =，因为02m ≤≤，所以1m =，所以12BQ BC =．18.2023年冬，甲型流感病毒来势汹汹．某科研小组经过研究发现，患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异．在某地的两类人群中各随机抽取20人的该项医学指标作为样本，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值a ，将该指标小于a 的人判定为阳性，大于或等于a 的人判定为阴性．此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为()p a ；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为()q a ．假设数据在组内均匀分布，用频率估计概率．（1）当临界值20a =时，求漏诊率()p a 和误诊率()q a ；（2）从指标在区间[20,25]样本中随机抽取2人，记随机变量X 为未患病者的人数，求X 的分布列和数学期望；（3）在该地患病者占全部人口的5%的情况下，记()f a 为该地诊断结果不符合真实情况的概率．当[20,25]a ∈时，直接写出使得()f a 取最小值时的a 的值．【答案】（1）(20)0.1p =，(20)0.05q =（2）分布列见解析；期望为65（3）20a =【解析】【分析】（1）由频率分布直方图计算可得；（2）利用超几何分布求解；（3）写出()f a 的表达式判单调性求解.【小问1详解】由频率分布直方图可知(20)0.0250.1p =⨯=，(20)0.0150.05q =⨯=．【小问2详解】样本中患病者在指标为区间[20,25]的人数是200.0252⨯⨯=，未患病者在指标为区间[20,25]的人数是200.0353⨯⨯=，总人数为5人．X 可能的取值为0，1，2．202325C C 1(0)10C P X ===，112325C C 3(1)C 5P X ===，022325C C 3(2)10C P X ===．随机变量X 的分布列为X012P11035310随机变量X 的期望为1336()012105105E X =⨯+⨯+⨯=．【小问3详解】由题，()()()95%5%f a q a p a =⨯+⨯，[20,25]a ∈时，令()20,0,1,2,3,4,5a t t =+=()()50.010.03,50.020.0255t t q a p a ⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯=⨯-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以()()50.010.0395%50.020.025%55t t f a g t ⎛⎫⎛⎫==⨯+⨯⨯+⨯-⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，关于t 的一次函数系数为()50.0319%0.021%0⨯-⨯>，故()g t 单调递增，则0=t 即20a =时()f a 取最小值19.已知函数2()e ()x f x x ax a =--．（1）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线平行于x 轴，求实数a 的值；（2）求函数()f x 的单调区间．【答案】（1）1（2）答案见解析【解析】【分析】（1）先求函数()f x 的导函数，若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线平行于x 轴，只需保证()01f '=，求实数a 的值即可；（2）求得()0f x '=有两个根“2x =-和x a =”，再分2a <-、2a =-和2a >-三种情况分析函数()f x 的单调性即可.【小问1详解】由题可得2()e [(2)2]x f x x a x a '=+--，因为()f x 在点(1,(1))f 处的切线平行于x 轴，所以()01f '=，即e(33)0a -=，解得1a =，经检验1a =符合题意．【小问2详解】因为2()e [(2)2]x f x x a x a '=+--，令()0f x '=，得2x =-或x a =．当2a <-时，随x 的变化，()f x '，()f x 的变化情况如下表所示：x(,)a -∞a(,2)a -2-(2,)-+∞()f 'x +-+()f x 单调递增()f a 单调递减(2)f -单调递增所以()f x 在区间(,)a -∞上单调递增，在区间(,2)a -上单调递减，在区间(2,)-+∞上单调递增．当2a =-时，因为2()e (2)0x f x x '=+≥，当且仅当2x =-时，()0f x '=，所以()f x 在区间(,)-∞+∞上单调递增．当2a >-时，随x 的变化，()f x '，()f x 的变化情况如下表所示：x(,2)-∞-2-(2,)a -a(,)a +∞()f 'x +-+()f x 单调递增(2)f -单调递减()f a 单调递增所以()f x 在区间(,2)-∞-上单调递增，在区间(2,)a -上单调递减，在区间(,)a +∞上单调递增．综上所述，当2a <-时，()f x 的单调递增区间为(,)a -∞和(2,)-+∞，单调递减区间为(,2)a -；当2a =-时，()f x 的单调递增区间为(,)-∞+∞，无单调递减区间；当2a >-时，()f x 的单调递增区间为(,2)-∞-和(,)a +∞，单调递减区间为(2,)a -．20.已知椭圆22:143x y E +=．（1）求椭圆E 的离心率和焦点坐标；（2）设直线1:l y kx m =+与椭圆E 相切于第一象限内的点P ，不过原点O 且平行于1l 的直线2l 与椭圆E 交于不同的两点A ，B ，点A 关于原点O 的对称点为C ．记直线OP 的斜率为1k ，直线BC 的斜率为2k ，求12k k 的值．【答案】（1）离心率为12，焦点坐标分别为(1,0)-，(1,0)（2）121k k =【解析】【分析】（1）根据椭圆方程直接求出离心率与焦点坐标；（2）根据直线1l 与椭圆E 相切求出P 坐标并得到134k k=-，法一：设直线2l 的方程为y kx n =+，由韦达定理求出234k k=-证得结论．法二：记1122(,),(,)A x y B x y ，由点差法求2k k ⋅可证得结论．【小问1详解】由题意得2222243a b c a b ⎧=⎪=⎨⎪=-⎩，解得21a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩．所以椭圆E 的离心率为12c e a ==，焦点坐标分别为(1,0)-，(1,0)．【小问2详解】由22,143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 并整理得：222()4384120k x kmx m +++-=①其判别式Δ0=得222(8)4(43)(412)0km k m -+-=，化简为2243m k =+．此时方程①可化为2228160m x kmx k ++=，解得4kx m=-，(由条件知,k m 异号)．记00(,)P x y ，则04k x m=-，所以220443()k m k y k m m m m -=-+==，即点43(,)k P m m -．所以OP 的斜率13344m k k k m==--．法一：因为12//l l ，所以可设直线2l 的方程为(0,)y kx n n n m =+≠≠．由22,143y kx n x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 并整理得：222(43)84120k x knx n +++-=．当其判别式大于零时，有两个不相等的实根，设1122(,),(,)A x y B x y ，则21212228412,4343kn n x x x x k k -+=-=++．因为C 是A 关于原点O 的对称点，所以点C 的坐标为11(,)C x y --．所以直线BC 的斜率22121221212122243384443y y kx n kx n n n k k k k k kn x x x x x x k k k +++++===+=+=-=-+++-+．所以121k k =．法二：记1122(,),(,)A x y B x y ，因为点C 与点A 关于原点对称，所以11(,)C x y --．因为12//l l ，所以直线AB 的斜率为k ，所以22212121222212121y y y y y y k k x x x x x x -+-⋅=⋅=-+-．因为点,A B 在椭圆上，所以2211143x y +=，2222143x y+=．两式相减得：22222121043x x y y --+=．所以2221222134y yx x-=--，即234k k⋅=-，所以234kk=-．所以121kk=．【点睛】方法点睛：将P视为1l与椭圆相交弦中点，由中点弦定理得212bk ka⋅=-，设AB中点为M，由中点弦定理得22OMbk ka⋅=-，由2OMk k=得222bk ka⋅=-，故12k k=.21.对于数列{}n a，如果存在正整数T，使得对任意*()n n∈N，都有n T na a+=，那么数列{}na就叫做周期数列，T叫做这个数列的周期．若周期数列{}n b，{}n c满足：存在正整数k，对每一个*(,)i i k i∈N≤，都有i ib c=，我们称数列{}n b和{}n c为“同根数列”．（1）判断下列数列是否为周期数列．如果是，写出该数列的周期，如果不是，说明理由；①sinπna n=；②121,1,3,2,, 3.nn nnb nb b n--=⎧⎪==⎨⎪-≥⎩（2）若{}n a和{}n b是“同根数列”，且周期的最小值分别是3和5，求证：6k≤；（3）若{}n a和{}n b是“同根数列”，且周期的最小值分别是2m+和4m+*()m∈N，求k的最大值．【答案】（1）{}n a、{}n b均是周期数列，数列{}n a周期为1（或任意正整数），数列{}n b周期为6（2）证明见解析（3）答案见解析【解析】【分析】（1）由周期数列的定义求解即可；（2）由“同根数列”的定义求解即可；（3）m是奇数时，首先证明25k m+≥不存在数列满足条件，其次证明24k m=+存在数列满足条件.当m 是偶数时，首先证明24k m+≥时不存在数列满足条件,其次证明23k m=+时存在数列满足条件．【小问1详解】{}n a 、{}n b 均是周期数列，理由如下：因为1sin (1)π0sin πn n a n n a +=+===，所以数列{}n a 是周期数列，其周期为1（或任意正整数）．因为32111n n n n n n n b b b b b b b +++++=-=--=-，所以63n n n b b b ++=-=．所以数列{}n b 是周期数列，其周期为6（或6的正整数倍）．【小问2详解】假设6k ≤不成立，则有7k ≥，即对于17i ≤≤，都有i i a b =．因为71a a =，722b b a ==，所以12a a =．又因为63a a =，611b b a ==，所以13a a =．所以123a a a ==，所以1=n n a a +，与1T 的最小值是3矛盾．所以6k ≤．【小问3详解】当m 是奇数时，首先证明25k m +≥不存在数列满足条件．假设25k m +≥，即对于125i m +≤≤，都有i i a b =．因为()54m t m t a b t m ++=≤≤+，所以()24454t t t a b a t m ---==≤≤+，即1352m a a a a +==== ，及2461m a a a a +==== ．又5t m =+时，12(2)12511m m m m a a b b a +++++====，所以1=n n a a +，与1T 的最小值是2m +矛盾．其次证明24k m =+存在数列满足条件．取(2)31,=21(1)212,2(1)2m l im i k k a m i k k +++⎧-≤≤⎪⎪=⎨+⎪=≤≤⎪⎩()l ∈N及()431,=21(1)212,2(1)21,32,4m l i m i k k m i k k b i m i m +++⎧-≤≤⎪⎪+⎪=≤≤=⎨⎪=+⎪⎪=+⎩()l ∈N ，对于124i m +≤≤，都有i i a b =．当m 是偶数时，首先证明24k m +≥时不存在数列满足条件．假设24k m +≥，即对于124i m +≤≤，都有i i a b =．因为()53m t m t a b t m ++=≤≤+，所以()24453t t t a b a t m ---==≤≤+，即1351m a a a a +==== ，及246m a a a a ==== ．又4t m =+时，2m m m a b a +==，所以2=n n a a +，与1T 的最小值是2m +矛盾．其次证明23k m =+时存在数列满足条件．取()221,=21(1)22,2(1)23,2m l i m i k k a m i k k i m +++⎧-≤≤⎪⎪=⎨=≤≤⎪⎪=+⎩()l ∈N 及()421,=21(1)22,2(1)23,21,32,4m l im i k k m i k k b i m i m i m +++⎧-≤≤⎪⎪⎪=≤≤⎪=⎨⎪=+⎪=+⎪⎪=+⎩()l ∈N ，对于123i m +≤≤，都有i i a b =．综上，当m 是奇数时，k 的最大值为24m +；当m 是偶数时，k 的最大值为23m +．【点睛】关键点睛：本题(3)的突破口是利用“同根数列”的定义分类讨论，当m 是奇数时，首先证明25k m +≥不存在数列满足条件，其次证明24k m =+存在数列满足条件.当m 是偶数时，首先证明24k m +≥时不存在数列满足条件，其次证明23k m =+时存在数列满足条件．。
2019年1月北京市丰台区高三数学文科期末试卷及答案
丰台区2018—2019学年度第一学期期末练习2019.01高三数学（文科）第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．已知集合{1,0,1,2}A =-，{|22}B x x =-<<，那么A B = （A ）{0,1}（B ）{1,0,1}-（C ）{1,0,1,2}-（D ）{|22}x x -<<2．复数(1i)(2+i)z =+在复平面内对应的点位于（A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限3．执行如图所示的程序框图，输出的S 的值为（A ）34（B ）45（C ）56（D ）674．若,x y 满足1,1,210,x y x y x y +⎧⎪-⎨⎪-+⎩≤≤≥则2x y -的最大值是（A ）2-（B ）12-（C ）1（D ）45．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的棱中，最长的棱的长度为（A ）2（B ）5（C ）22（D ）236．设,a b 是非零向量，则“=a b ”是“2=a a b ”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件7．已知抛物线28y x =的焦点与椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个焦点重合，且椭圆截抛物线的准线所得线段长为6，那么该椭圆的离心率为（A ）2（B ）23（C 2（D ）128．如图，在平面直角坐标系xOy 中，O 是正六边形126A A A 的中心，若1151,44A ，则点3A 的纵坐标为（A ）1538+（B ）1538（C ）3518（D ）3518第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
9．已知函数3()log ()f x x a =+的图象过点(2,1)，那么a =____．10．在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若a b >22sin a b A =，则B =____．11．能够说明“设,a b 是任意非零实数．若1>ba，则>b a ”是假命题的一组整数．．,a b 的值依次为____．12．已知双曲线222:1(0)3x y C a a -=>的一个焦点是(2,0)F ，那么双曲线C 的渐近线方程为____．13．已知两点(1,0)A -，(1,0)B ，动点Q 满足0AQ BQ =.若P 为直线20x y -+=上一动点，则||PQ 的最小值为____．14．已知函数||2,,(),.x x x x a f x x x a -+⎧=⎨<⎩≥①若0=a ，则函数()f x 的零点有____个；②若()(1)f x f ≤对任意的实数x 都成立，则实数a 的取值范围是____．三、解答题共6小题，共80分。
北京市丰台区2019届高三上学期期末练习数学(文科) Word版含答案
丰台区2018—2019学年度第一学期期末练习 2019.01高三数学（文科） 第一部分 （选择题 共40分）一、 选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．已知集合{1,0,1,2}A =-，{|22}B x x =-<<，那么A B =（ ）（A ）{0,1} （B ）{1,0,1}- （C ）{1,0,1,2}-（D ）{|22}x x -<<2．复数(1i)(2+i)z =+在复平面内对应的点位于（ ） （A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限3．执行如图所示的程序框图，输出的S 的值为（ ） （A ）34 （B ）45 （C ）56 （D ）674．若,x y 满足1,1,210,x y x y x y +⎧⎪-⎨⎪-+⎩≤≤≥ 则2x y -的最大值是（（A ）2- （B ）12-（C ）1（D ）45．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的 棱中，最长的棱的长度为（ ） （A ）2（B （C ）（D ）俯视图侧（左）视图正（主）视图6．设,a b 是非零向量，则“=a b ”是“2=a a b ”的（ ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件7．已知抛物线28y x =的焦点与椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个焦点重合，且椭圆截抛物线的准线所得线段长为6，那么该椭圆的离心率为（ ） （A ）2 （B ）23（C（D ）128．如图，在平面直角坐标系xOy 中，O 是正六边形126A A A的中心，若11)44A ，则点3A 的纵坐标为（ ）（A（B（C（D第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
9．已知函数3()log ()f x x a =+的图象过点(2,1)，那么a =____．10．在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若a b >2sin b A =，则B =____． 11．能够说明“设,a b 是任意非零实数．若1>ba，则>b a ”是假命题的一组整数．．,a b 的值依次为____．12．已知双曲线222:1(0)3x y C a a -=>的一个焦点是(2,0)F ，那么双曲线C 的渐近线方程为____．13．已知两点(1,0)A -，(1,0)B ，动点Q 满足0AQ BQ =.若P 为直线20x y -+=上一动点，则||PQ 的最小值为____．14．已知函数||2,,(),.x x x x a f x x x a -+⎧=⎨<⎩≥ ① 若0=a ，则函数()f x 的零点有____个；② 若()(1)f x f ≤对任意的实数x 都成立，则实数a 的取值范围是____．三、解答题共6小题，共80分。
2019年1月北京丰台区高三数学文期末试卷及答案
丰台区2018—2019学年度第一学期期末练习 2019.01高三数学（文科） 第一部分 （选择题 共40分）一、 选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．已知集合{1,0,1,2}A =-，{|22}B x x =-<<，那么A B =（A ）{0,1} （B ）{1,0,1}- （C ）{1,0,1,2}-（D ）{|22}x x -<<2．复数(1i)(2+i)z =+在复平面内对应的点位于 （A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限3．执行如图所示的程序框图，输出的S 的值为 （A ）34 （B ）45 （C ）56 （D ）674．若,x y 满足1,1,210,x y x y x y +⎧⎪-⎨⎪-+⎩≤≤≥ 则2x y -的最大值是（A ）2- （B ）12-（C ）1（D ）45．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的 棱中，最长的棱的长度为 （A ）2 （B（C）（D）6．设,a b 是非零向量，则“=a b ”是“2=a a b ”的俯视图侧（左）视图正（主）视图（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件7．已知抛物线28y x =的焦点与椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的一个焦点重合，且椭圆截抛物线的准线所得线段长为6，那么该椭圆的离心率为 （A ）2（B ）23（C）（D ）128．如图，在平面直角坐标系xOy 中，O 是正六边形126A A A的中心，若11()44A ，则点3A 的纵坐标为（A）8 （B）（C）（D）第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
9．已知函数3()log ()f x x a =+的图象过点(2,1)，那么a =____．10．在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若a b >2sin b A =，则B =____．11．能够说明“设,a b 是任意非零实数．若1>b a ，则>b a ”是假命题的一组整数,a b 的值依次为____．12．已知双曲线222:1(0)3x y C a a -=>的一个焦点是(2,0)F ，那么双曲线C 的渐近线方程为____．13．已知两点(1,0)A -，(1,0)B ，动点Q 满足0AQ BQ =.若P 为直线20x y -+=上一动点，则||PQ 的最小值为____． 14．已知函数||2,,(),.x x x x a f x x x a -+⎧=⎨<⎩≥ ① 若0=a ，则函数()f x 的零点有____个；② 若()(1)f x f ≤对任意的实数x 都成立，则实数a 的取值范围是____．三、解答题共6小题，共80分。
2019年1月丰台区高三数学理期末试卷及答案
丰台区2018—2019学年度第一学期期末练习 高三数学（理科） 2019.01第一部分 （选择题 共40分）一、 选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．已知集合{1,0,1,2,3}A =-，{|22}B x x =-≤≤，那么A B = （A ）{1,0,1}- （B ）{1,0,1,2}- （C ）{1,0,1,2,3}-（D ）{|22}x x -≤≤2．若复数(2i)(i)a -+的实部与虚部互为相反数，则实数a = （A ）3（B ）13（C ）13-（D ）3-3．执行如图所示的程序框图，输出的S 的值为（A ）34 （B ）45 （C ）56（D ）674．已知等差数列{}n a 中，13a =，26a =. 若2n n b a =，则数列{}n b 的前5项和等于 （A ）30 （B ）45 （C ）90（D ）1865．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的 棱中，最长的棱的长度为 （A ）2 （B（C）（D ）俯视图侧（左）视图正（主）视图6．设a ，b 是非零向量，则“=a b ”是“2=a a b ”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件7．一种画双曲线的工具如图所示，长杆OB 通过O 处的铰链与固定好的短杆OA 连接，取一条定长的细绳，一端固定在点A ，另一端固定在点B ，套上铅笔（如图所示）.作图时，使铅笔紧贴长杆OB ，拉紧绳子，移动笔尖M （长杆OB 绕O 转动），画出的曲线即为双曲线的一部分.若||10OA =，||12OB =，细绳长为8，则所得双曲线的离心率为（A ）65（B ）54（C ）32（D ）528．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，,,E F G 分 别是棱1,,AB BC CC 的中点，P 是底面ABCD 内一动点，若直线1D P 与平面EFG 不存在公共点，则三角形1PBB 的面积的最小值为 （A（B ）1 （C（D ）2第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
2019丰台区高三一模试卷及答案(数学文)
北京丰台区2019年高三年级第二学期统一练习（一）数 学 试 题（文）注意事项：1．答题前，考生务必先将答题卡上的学校、班级、姓名、准考证号用黑色字迹签字笔填写清楚，并认真核对条形码上的准考证号、姓名，在答题卡的“条形码粘贴区”贴好条形码。
2．本次考试所有答题均在答题卡上完成。
选择题必须使用2B 铅笔以正确填涂方式将各小题对应选项涂黑，如需改动，用橡皮擦除干净后再选涂其它选项。
非选择题必须使用标准黑色字迹签字笔书写，要求字体工整、字迹清楚。
作图题用2B 铅笔作图，要求线条、图形清晰。
3．请严格按照答题卡上题号在相应答题区内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题、草稿纸上答题无效。
4．请保持答题卡卡面清洁，不要装订、不要折叠、不要破损。
第一部分 （选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合2{|9},{|1}A x x B x x =≤=<，则A B = （ ） A ．{|3}x x ≤B ．{|31}x x -<<C ．{|31}x x -≤<D ．{|33}x x -≤≤2．设 4.20.60.60.6,7,log 7a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系是 （ ）A ．c b a <<B ．c a b <<C ．a c b <<D ．a b c << 3．若变量x ，y 满足条件0,21,43,y x y x y ≤⎧⎪-≥⎨⎪-≤⎩则35z x y =+的取值范围是（ ） A ．[)3,+∞ B ．[8,3]- C ．(],9-∞ D ．[8,9]-4．若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．202π-B ．2203π-C ．2403π-D ．4403π- 5．已知向量(1,2),(1,0)a b ==-，若()a mb a +⊥，则实数m 等于（ ） A ．-5 B ．52 C ．0 D ．56．若函数1(),0,()2,0,x x f x x a x ⎧≤⎪=⎨⎪-+>⎩则"1"a =是“函数()y f x =在R 上的单调递减的”（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 7．设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若11a =，且2342,,2a S a +成等差数列，则数列2{}n a 的前5项和为（ ） A ．341 B ．10003 C ．1023 D ．10248．已知定义在R 上的函数()y f x =满足(2)()f x f x +=，当11x -<≤时，3()f x x =，若函数()()log ||a g x f x x =-至少有6个零点，则a 的取值范围是（ ）A ．（1，5）B ．[)1(0,)5,5+∞C ．[)10,5,5⎛⎤+∞ ⎥⎝⎦D ．(]1,11,55⎡⎫⎪⎢⎣⎭第二部分 （非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
丰台区高三期末考试(数学文)有答案.doc
正视图俯视图丰台区高三数学第一学期期末试卷（文科）201X.1一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．复数21ii+等于 A ．1i --B ．1i -+C ．1i -D ．1i +2．某单位有老年人27人，中年人54人，青年人81人，为了调查他们身体状况的某项指标，按照老、中、青三个年龄层次进行分层抽样．已知在青年人中抽了18人，那么该单位抽取的样本容量为 A ．27B ．36C ．54D ．813．若一个螺栓的底面是正六边形，它的正视图和俯视图如图所示，则它的体积是A．32225+π B．3225π C．3225π D．12825π4．已知(0)4πα∈，，3log sin a α=，sin 2b α=，cos 2c α=，那么a ，b ，c 的大小关系是A ．a > c > bB ．c > a > bC ．b > c > aD ． c > b >a5．已知等比数列{}n a 的公比为12，并且a 1+a 3 + a 5 +…+a 99=60，那么a 1+a 2 +a 3+…+a 99 +a 100的值是A ．30B ．90C ．100D ．1206．已知命题p ：1x ∃>，210x ->，那么p ⌝是A ．1x ∀>，210x -> B ．1x ∀>，210x -≤ C ．1x ∃>，210x -≤D ．1x ∃≤，210x -≤7．对任意非零实数a ，b ，若a b ⊗的运算原理如右图 程序框图所示，则(32)4⊗⊗的值是A ．0B ．12C ．32D ．98．已知函数31()()l o g 5xf x x =-，若0x 是函数()y f x =的零点，且100x x <<，则1()f xA ．恒为正值B ．等于0C ．恒为负值D ．不大于0二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分9．在△ABC 中，如果5AB =，3AC =，7BC =，那么A ∠= ．10．已知向量(43)a =，，(12)b =-，，那么a 与b 夹角的余弦值为 ． 11．某年级举行校园歌曲演唱比赛，七位评委为学生甲打出的演唱分数茎叶图如右图所示，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为 ， ．12．过点(34)-，且与圆22(1)(1)25x y -+-=相切的直线方程为 ．13．已知x ，y 满足约束条件1260y y x x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+-≤⎩，，， 那么3z x y =+的最小值为 ．14．若X 是一个集合，τ是一个以X 的某些子集为元素的集合，且满足：①X 属于τ，∅属于τ；②τ中任意多个元素的并集属于τ；③τ中任意多个元素的交集属于τ．则称τ是集合X 上的一个拓扑．已知集合X ={,,}a b c ，对于下面给出的四个集合τ：①{{}{}{}}a c a b c τ=∅，，，，，； ②{{}{}{}{}}b c b c a b c τ=∅，，，，，，，； ③{{}{}{}}a a b a c τ=∅，，，，，； ④{{}{}{}{}}a c b c c a b c τ=∅，，，，，，，，．其中是集合X 上的拓扑的集合τ的序号是 ．三、解答题：本大题共6小题，共80分 15．（本小题共13分）已知函数2()2sin cos 2cos ()f x x x x x R =-∈． （Ⅰ）求函数)(x f 的最小正周期；（Ⅱ）当02x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，求函数)(x f 的取值范围．16．（本小题共13分）直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB =5，AC =4，BC =3，AA 1=4，D 是AB 的中点． （Ⅰ）求证：AC ⊥B 1C ； （Ⅱ）求证：AC 1∥平面B 1CD ；17．（本小题满分14分）已知函数()log a f x x =（0a >且1a ≠）．（Ⅰ）若函数()f x 在[23]，上的最大值与最小值的和为2，求a 的值； （Ⅱ）将函数()f x 图象上所有的点向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得函数图象不经过第二象限，求a 的取值范围．AA 1BCDB 1C 118．（本小题14分）已知O 为平面直角坐标系的原点，过点(20)M -，的直线l 与圆221x y +=交于P ，Q 两点．（Ⅰ）若PQ =l 的方程； （Ⅱ）若12MP MQ =，求直线l 与圆的交点坐标．19．（本小题共13分）已知函数2()(1)xf x e x ax =++．（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(2(2))f ，处的切线与x 轴平行，求a 的值； （Ⅱ）求函数()f x 的极值．20．（本小题共13分）已知函数2()(0)f x ax bx a =+≠的导函数()422f x x '=-+，数列}{n a 的前n 项和为n S ，点()n n P n S ，（*n ∈N ）均在函数)(x f y =的图象上．（Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式n a 及前n 项和n S ； （Ⅱ）存在*k ∈N ，使得k nS S S n <+++ 2121对任意*n ∈N 恒成立，求出k 的最小值；（Ⅲ）是否存在*m ∈N ，使得12m m m a a a ++⋅为数列{}n a 中的项？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）丰台区高三数学第一学期期末文科参考答案及评分标准201X.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
2019年1月北京丰台区高三数学文科期末试卷及答案解析
丰台区 2018-2019 学年度第一学期期末练习 高三数学文科试卷
2019.01
第一部分 （选择题 共 40 分） 一、 选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一 项。 1．已知集合 A {1, 0,1, 2} ， B {x | 2 x 2} ，那么 A B （A） {0,1} （C） {1, 0,1, 2} （B） {1, 0,1} （D） { x | 2 x 2}
2．复数 z (1 i)(2+i) 在复平面内对应的点位于 （A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限
3．执行如图所示的程序框图，输出的 S 的值为 （A） （B） （C） （D）
3 4 4 5 5 6 6 7
x y ≤1, 4．若 x, y 满足 x y ≤1, 则 x 2 y 的最大值是 2 x y 1≥ 0,
（A） 2 （C）1 （B） （D）4
1 2
5．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的 棱中，最长的棱的长度为 （A）2 （B） 5 （C） 2 2 （D） 2 3
1
2019 年 1 月北京丰台区高三数学文科期末试卷及答案解析
6．设 a, b 是非零向量，则“ a b ”是“ a 2 a b ”的 （A）充分而不必要条件 （C）充分必要条件 7．已知抛物线 y 2 8 x 的焦点与椭圆 （B）必要而不充分条件 （D）既不充分也不必要条件
的最小值为____．
x | x | 2 x, x ≥ a, 14．已知函数 f ( x) xa. x,
2
2019.1丰台区高三期末练习文科数学试题【含答案】
丰台区2018—2019学年度第一学期期末练习2019.01高三数学（文科）第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．已知集合{1,0,1,2}A=-，{|22}B x x=-<<，那么A B=（）（A）{0,1}（B）{1,0,1}-（C）{1,0,1,2}-（D）{|22}x x-<<2．复数(1i)(2+i)z=+在复平面内对应的点位于（）（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限3．执行如图所示的程序框图，输出的S的值为（）（A）34（B）45（C）56（D）674．若,x y满足1,1,210,x yx yx y+⎧⎪-⎨⎪-+⎩≤≤≥则2x y-的最大值是（（A）2-（B）12-（C）1 （D）45．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的棱中，最长的棱的长度为（）（A）2（B（C）（D）侧（左）视图正（主）视图6．设,a b 是非零向量，则“=a b ”是“2=a ab ”的（ ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件7．已知抛物线28y x =的焦点与椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个焦点重合，且椭圆截抛物线的准线所得线段长为6，那么该椭圆的离心率为（ ） （A ）2 （B ）23 （C（D ）128．如图，在平面直角坐标系xOy 中，O 是正六边形126A A A的中心，若11()44A ，则点3A 的纵坐标为（ ）（A（B（C（D第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
9．已知函数3()log ()f x x a =+的图象过点(2,1)，那么a =____．10．在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若a b >，2sin b A =，则B =____． 11．能够说明“设,a b 是任意非零实数．若1>ba，则>b a ”是假命题的一组整数．．,a b 的值依次为____．12．已知双曲线222:1(0)3x y C a a -=>的一个焦点是(2,0)F ，那么双曲线C 的渐近线方程为____．13．已知两点(1,0)A -，(1,0)B ，动点Q 满足0AQ BQ =.若P 为直线20x y -+=上一动点，则||PQ 的最小值为____． 14．已知函数||2,,(),.x x x x a f x x x a -+⎧=⎨<⎩≥① 若0=a ，则函数()f x 的零点有____个；② 若()(1)f x f ≤对任意的实数x 都成立，则实数a 的取值范围是____．三、解答题共6小题，共80分。
2019年北京丰台区高三一模文科数学试卷-学生用卷
2019年北京丰台区高三一模文科数学试卷-学生用卷一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1、【来源】 2019年北京丰台区高三一模文科第1题5分已知全集U=R，A={x|x>1}，B={x|x2>1}，那么(∁U A)∩B等于（）．A. {x|−1<x⩽1}B. {x|−1<x<1}C. {x|x<−1}D. {x|x⩽−1}2、【来源】 2019年北京丰台区高三一模文科第2题5分复数z=11+i的共轭复数是（）．A. 12+12iB. 12−12iC. 1+iD. 1−i3、【来源】 2019年北京丰台区高三一模文科第3题5分2019~2020学年10月福建南平建瓯市建瓯市第二中学高三上学期月考文科第3题5分设命题p:∀x∈R，sinx⩽1，则¬p为（）．A. ∀x∈R，sinx⩾1B. ∃x0∈R，sinx0⩽1C. ∀x∉R，sinx>1D. ∃x0∈R，sinx0>14、【来源】 2019年北京丰台区高三一模文科第4题5分执行如图所示的程序框图，如果输入的a=1，那么输出的S=（）．A. 15B. 6C. −10D. −215、【来源】 2019年北京丰台区高三一模文科第5题5分2018~2019学年北京海淀区北京市第五十七中学高二下学期期末第4题5分2019~2020学年陕西西安雁塔区唐南中学高二下学期期末理科第10题5分2019~2020学年北京海淀区北京市第二十中学高二上学期期末第5题5分已知两条直线l，m与两个平面α，β，下列命题正确的是（）．A. 若l//α，l⊥m，则m⊥αB. 若l⊥α，l//β，则α⊥βC. 若l//α，m//α，则l//mD. 若α//β，m//α，则m//β6、【来源】 2019年北京丰台区高三一模文科第6题5分2018~2019学年北京丰台区北京市第十二中学高一下学期期中第9题5分已知正△ABC的边长为4，点D为边BC的中点，点E满足AE→=ED→，那么EB→⋅EC→的值为（）．B. −1C. 1D. 3A. −837、【来源】 2019年北京丰台区高三一模文科第7题5分设函数f(x)={(12)x−1,x <0x 12,x ⩾0，则使得f(x)⩾1的自变量x 的取值范围为（ ）． A. [−1,1]B. [−1,0)∪[1,+∞)C. (−∞,−1]∪(0,1]D. (−∞,−1]∪[1,+∞)8、【来源】 2019年北京丰台区高三一模文科第8题5分2018~2019学年北京西城区北京师范大学附属中学高二下学期期中第8题4分2019~2020学年11月广东深圳南山区深圳实验学校高一上学期周测A 卷第11题5分 2019~2020学年北京西城区北京市第四十四中学高三上学期期中第10题4分2019~2020学年广东佛山禅城区佛山市第一中学高一上学期期中第7题5分某电动汽车“行车数据”的两次记录如下表：（注：累计里程指汽车从出厂开始累计行驶的路程，累计耗电量指汽车从出厂开始累计消耗的电量，平均耗电量=累计耗电量累积里程，剩余续航里程=剩余电量平均耗电量） 下面对该车在两次记录时间段内行驶100公里的耗电量估计正确的是（ ）．A. 等于12.5B. 12.5到12.6之间C. 等于12.6D. 大于12.6二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9、【来源】 2019年北京丰台区高三一模文科第9题5分2017~2018学年江苏泰州高二上学期期末文科第5题5分2014~2015学年北京海淀区高二上学期期末文科第10题4分2014~2015学年北京海淀区高二上学期期末理科第10题5分2015~2016学年北京朝阳区北京市第八十中学高二上学期期中文科第11题4分双曲线x 216−y29=1的渐近线方程为．10、【来源】 2019年北京丰台区高三一模文科第10题5分2019年北京丰台区高三一模理科第9题5分已知平面向量a→=(1,−3)，b→=(−2,m)，且a→//b→，那么m=．11、【来源】 2019年北京丰台区高三一模文科第11题5分2019~2020学年北京东城区北京市第二中学高二上学期段考（三）第12题5分直线y=kx+2与圆x2+y2=4相交于M，N两点，若|MN|=2√2，则k=．12、【来源】 2019年北京丰台区高三一模文科第12题5分若存在x∈[0,1]使不等式a⩽x2−x成立，则实数a的取值范围是．13、【来源】 2019年北京丰台区高三一模文科第13题5分2019年北京丰台区高三一模理科第13题5分已知函数f(x)=cos(2x+φ)(−π2<φ<0)．(1) 函数f(x)的最小正周期为．(2) 若函数f(x)在区间[π3,4π3]上有且只有三个零点，则φ的值是．14、【来源】 2019年北京丰台区高三一模文科第14题5分2019~2020学年北京西城区北京师范大学附属中学高二上学期期中第16题5分无穷数列{a n}的前n项和为S n，若对任意n∈N∗，S n∈{1,2}．(1) 数列{a n}的前三项可以为．(2) 数列{a n}中不同的项最多有个．三、解答题（本大题共6小题，共80分）15、【来源】 2019年北京丰台区高三一模文科第15题13分2020~2021学年10月北京海淀区北京一零一中学高三上学期月考第16题已知{a n}是公差不为0的等差数列，且满足a1=2，a1，a3，a7成等比数列．(1) 求数列{a n}的通项公式．(2) 设b n=a n+2a n，求数列{b n}的前n项和S n．16、【来源】 2019年北京丰台区高三一模文科第16题13分．在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知cos2C=−34(1) 求sinC．(2) 当c=2a，且b=3√2时，求a．17、【来源】 2019年北京丰台区高三一模文科第17题13分随着经济全球化、信息化的发展，企业之间的竞争从资源的争夺转向人才的竞争．吸引、留住培养和用好人才成为人力资源管理的战略目标和紧迫任务．在此背景下，某信息网站在15个城市中对刚毕业的大学生的月平均收入薪资和月平均期望薪资做了调查，数据如下图所示．(1) 若某大学毕业生从这15座城市中随机选择一座城市就业，求该生选中月平均收入薪资高于8500元的城市的概率．(2) 若从月平均收入薪资与月平均期望薪资之差高于1000元的城市中随机选择2座城市，求这2座城市的月平均期望薪资都低于8500元的概率．18、【来源】 2019年北京丰台区高三一模文科第18题14分2018~2019学年江苏扬州高邮市高一下学期期中第19题12分三棱柱ABC—A1B1C1，被平面A1B1C截去一部分后得到如图所示几何体，BB1⊥平面ABC，∠ABC=90°，BC=BB1，E为棱B1C上的动点（不包含端点），平面ABE交A1C于点F．(1) 求证：AB⊥平面B1BC；(2) 求证：EF//AB；(3) 试问是否存在点E，使得平面ABE⊥平面A1B1C？并说明理由．19、【来源】 2019年北京丰台区高三一模文科第19题13分2019~2020学年北京高三下学期期中模拟第24题2018~2019学年北京海淀区北京市海淀外国语实验学校高二下学期期末第22题10分已知函数f(x)=e xx −ax−alnx．(1) 当a=0时，求函数f(x)的单调区间．(2) 若函数f(x)在x=1处取得极大值，求实数a的取值范围．20、【来源】 2019年北京丰台区高三一模文科第20题14分已知椭圆W:x2+2y2=2，直线l1:y=kx+m(km≠0)与椭圆W交于A，B两点，直线l2:y= kx−m与椭圆W交于C，D两点．(1) 求椭圆W的离心率．(2) 证明：四边形ABCD不可能为矩形．1 、【答案】 C;2 、【答案】 A;3 、【答案】 D;4 、【答案】 C;5 、【答案】 B;6 、【答案】 B;7 、【答案】 D;8 、【答案】 D;9 、【答案】y=±34x;10 、【答案】6;11 、【答案】±1;12 、【答案】a⩽0;13 、【答案】 (1) π;(2) −π;614 、【答案】 (1) 1，1，0（答案不唯一）;(2) 4;15 、【答案】 (1) a n=n+1．;(2) S n=2n+2+n2+3n−8．2;16 、【答案】 (1) sinC=√14．4;(2) a=2．;17 、【答案】 (1) 2．5;(2) 2．3;18 、【答案】 (1) 证明见解析．;(2) 证明见解析．;(3) 存在，理由见解析．;19 、【答案】 (1) f(x)的增区间为(1,+∞)，减区间为(0,1)．;(2) (e,+∞)．;20 、【答案】 (1) √2．2;(2) 证明见解析．;。
北京市丰台区2019届高三数学上学期期末练习试题含答案文
北京市丰台区2019届高三数学上学期期末练习试题 文第一部分 （选择题 共40分）一、 选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．已知集合{1,0,1,2}A =-，{|22}B x x =-<<，那么A B =（ ）（A ）{0,1} （B ）{1,0,1}- （C ）{1,0,1,2}-（D ）{|22}x x -<<2．复数(1i)(2+i)z =+在复平面内对应的点位于（ ） （A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限3．执行如图所示的程序框图，输出的S 的值为（ ） （A ）34 （B ）45 （C ）56（D ）674．若,x y 满足1,1,210,x y x y x y +⎧⎪-⎨⎪-+⎩≤≤≥ 则2x y -的最大值是（（A ）2- （B ）12-（C ）1（D ）45．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的 棱中，最长的棱的长度为（ ） （A ）2（B （C ）（D ）俯视图侧（左）视图正（主）视图6．设,a b 是非零向量，则“=a b ”是“2=a a b ”的（ ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件7．已知抛物线28y x =的焦点与椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的一个焦点重合，且椭圆截抛物线的准线所得线段长为6，那么该椭圆的离心率为（ ） （A ）2 （B ）23（C（D ）128．如图，在平面直角坐标系xOy 中，O 是正六边形126A A A的中心，若11)4A ，则点3A 的纵坐标为（ ）（A）8 （B）8 （C（D第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
9．已知函数3()log ()f x x a =+的图象过点(2,1)，那么a =____．10．在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若a b >2sin b A =，则B =____． 11．能够说明“设,a b 是任意非零实数．若1>ba，则>b a ”是假命题的一组整数．．,a b 的值依次为____．12．已知双曲线222:1(0)3x y C a a -=>的一个焦点是(2,0)F ，那么双曲线C 的渐近线方程为____．13．已知两点(1,0)A -，(1,0)B ，动点Q 满足0AQ BQ =.若P 为直线20x y -+=上一动点，则||PQ 的最小值为____．14．已知函数||2,,(),.x x x x a f x x x a -+⎧=⎨<⎩≥① 若0=a ，则函数()f x 的零点有____个；② 若()(1)f x f ≤对任意的实数x 都成立，则实数a 的取值范围是____．三、解答题共6小题，共80分。
2019年1月丰台区高三数学文期末试卷及答案
丰台区2018—2019学年度第一学期期末练习 2019.01高三数学（文科） 第一部分 （选择题 共40分）一、 选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．已知集合{1,0,1,2}A =-，{|22}B x x =-<<，那么A B =（A ）{0,1} （B ）{1,0,1}- （C ）{1,0,1,2}-（D ）{|22}x x -<<2．复数(1i)(2+i)z =+在复平面内对应的点位于 （A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限3．执行如图所示的程序框图，输出的S 的值为（A ）34 （B ）45（C ）56（D ）674．若,x y 满足1,1,210,x y x y x y +⎧⎪-⎨⎪-+⎩≤≤≥ 则2x y -的最大值是（A ）2- （B ）12- （C ）1（D ）45．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的 棱中，最长的棱的长度为 （A ）2（B（C）（D）俯视图侧（左）视图正（主）视图6．设,a b 是非零向量，则“=a b ”是“2=a a b ”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件7．已知抛物线28y x =的焦点与椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个焦点重合，且椭圆截抛物线的准线所得线段长为6，那么该椭圆的离心率为 （A ）2 （B ）23（C（D ）128．如图，在平面直角坐标系xOy 中，O 是正六边形126A A A的中心，若11()44A ，则点3A 的纵坐标为（A（B（C（D第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
9．已知函数3()log ()f x x a =+的图象过点(2,1)，那么a =____．10．在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若a b >，2sin b A =，则B =____． 11．能够说明“设,a b 是任意非零实数．若1>ba，则>b a ”是假命题的一组整数．．,a b 的值依次为____．12．已知双曲线222:1(0)3x y C a a -=>的一个焦点是(2,0)F ，那么双曲线C 的渐近线方程为____．13．已知两点(1,0)A -，(1,0)B ，动点Q 满足0AQ BQ =.若P 为直线20x y -+=上一动点，则||PQ 的最小值为____．14．已知函数||2,,(),.x x x x a f x x x a -+⎧=⎨<⎩≥ ① 若0=a ，则函数()f x 的零点有____个；② 若()(1)f x f ≤对任意的实数x 都成立，则实数a 的取值范围是____．三、解答题共6小题，共80分。
2019届北京丰台区高三数学(文)期末试卷及答案解析
丰台区2017~2018学年度第一学期期末练习高三数学（文科）第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}1,0,1A =-，{}=1B x x =，则A B =I （ ） A ．{}1 B ．{}1-C ．{}1,1-D ．{}1,0,1- 2．“2x >”是“2log 0x >”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．执行如图所示的程序框图，若输入的x 的值为-3.7，则输出的y 值是（ ）A ．-0.7B ．0.3C ．0.7D ．3.74．若,x y 满足1,1,0,x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩则2z x y =-的最大值是（ ）A ．-2B ．-1C ．1D ．25．已知向量()1,1a =r ，()44,2a b +=r r，则向量a r 与b r 的夹角为（ ）A ．4π B ．3π C ．23π D ．34π 6．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长的棱的棱长为（ ）A ．3B ．22C 5．27．已知抛物线24y x =的焦点为F ，点A 在y 轴上，线段AF 的中点B 在抛物线上，则AF =（ ） A ．1 B ．32C ．3D ．6 8．全集(){},,U x y x y =∈∈Z Z ，非空集合S U ⊆，且S 中的点在平面直角坐标系xOy 内形成的图形关于x 轴、y 轴和直线y x =均对称.下列命题： A ．若()1,3S ∈，则()1,3S --∈B ．若()0,0S ∉，则S 中元素的个数一定为偶数C ．若()0,4S ∈，则S 中至少有8个元素D ．若(){},4,,x y x y x y S +=∈∈⊆Z Z ，则(){},4,,x y x y x y S +=∈∈⊆Z Z第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9．复数i1iz =-在复平面内所对应的点在第 象限． 10．某单位员工中年龄在20~35岁的有180人，35~50岁的有108人，50~60岁的有72人.为了解该单位员工的日常锻炼情况，现采用分层抽样的方法从该单位抽取20人进行调查，那么在35~50岁年龄段应抽取 人．11．已知4sin 5α=，2παπ<<，则cos 4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭ ．12．已知直线210x y --=和圆()2211x y -+=交于,A B 两点，则AB = ． 13．能够说明“方程()()()()221313m x m y m m -+-=--的曲线不是双曲线”的一个m 的值是 ．14．设函数()()f x x ∈R 的周期是3，当[)2,1x ∈-时，(),20,1,0 1.2x x a x f x x +-≤<⎧⎪=⎨⎛⎫≤< ⎪⎪⎝⎭⎩①132f ⎛⎫=⎪⎝⎭； ②若()f x 有最小值，且无最大值，则实数a 的取值范围是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．在ABC ∆中，23sin 22sin B B =． （Ⅰ）求角B 的值；（Ⅱ）若4a =，27b =，求c 的值.16．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，,E F 分别是,PB PD 的中点，PA AD =.（Ⅰ）求证：EF ∥平面ABCD ； （Ⅱ）求证：AF ⊥平面PCD ；（Ⅲ）若4AD =，2CD =，求三棱锥E ADF -的体积..17．等差数列{}n a 中，25a =，1412a a +=，等比数列{}n b 的各项均为正数，且满足12n an n b b +=.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式及数列{}n b 的公比q ； （Ⅱ）求数列{}n n a b +的前n 项和n S .18．某校为了鼓励学生热心公益，服务社会，成立了“慈善义工社”.2017年12月，该校“慈善义工社”为学生提供了4次参加公益活动的机会，学生可通过网路平台报名参加活动.为了解学生实际参加这4次活动的情况，该校随机抽取100名学生进行调查，数据统计如下表，其中“√”表示参加，“×”表示未参加.（Ⅰ）从该校所有学生中任取一人，试估计其2017年12月恰参加了2次学校组织的公益活动的概率； （Ⅱ）若在已抽取的100名学生中，2017年12月恰参加了1次活动的学生比4次活动均未参加的学生多17人，求,a b 的值；（Ⅲ）若学生参加每次公益活动可获得10个公益积分，试估计该校4000名学生中，2017年12月获得的公益积分不少于30分的人数.19．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别是12,F F ，点(3B 在椭圆C 上，12F BF ∆是等边三角形.（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）点A 在椭圆C 上，线段1AF 与线段2BF 交于点M ，若12MF F ∆与12AF F ∆的面积之比为2:3，求点M 的坐标.20．已知函数()()22ln f x a x x ax a =-+∈R .（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）当0a >时，若()f x 在()1,e 上有零点，求实数a 的取值范围.丰台区2017-2018学年度第一学期期末练习2018.01高三数学（文科）答案及评分参考一、选择题1-4:CABD 5-8:DACC二、填空题9．二 10．6 11．21012．2 13．13m ≤≤之间的数即可 14．22，51,2⎛⎤ ⎥⎝⎦三、解答题15．解：（Ⅰ）因为23sin 22sin B B =， 所以223sin cos 2sin B B B =. 因为0B π<<，所以sin 0B ≠， 所以tan 3B =，所以3B π=.（Ⅱ）由余弦定理可得()22227424cos3c c π=+-⋅⋅⋅，所以24120c c --=，解得6c =或2c =-（舍）. 解得6c =.16．解：（Ⅰ）证明：连接BD ， 因为,E F 分别是,PB PD 的中点， 所以EF BD ∥.又因为EF ⊄平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， 所以EF ∥平面ABCD .（Ⅱ）证明：因为PA AD =，F 为PD 中点. 所以AF PD ⊥.又因为ABCD 是矩形， 所以CD AD ⊥. 因为PA ⊥底面ABCD ， 所以PA CD ⊥. 因为PA AD A =I ， 所以CD ⊥平面PAD . 因为AF ⊂平面PAD ， 所以CD AF ⊥. 又因为PD CD D =I ， 所以AF ⊥平面PCD .（Ⅲ）由（Ⅱ）知CD ⊥平面PAD . 因为AB CD ∥， 所以AB ⊥平面PAD . 因为点E 是PB 的中点， 所以点E 到平面AFD 的距离等于12AB . 所以1114413233E ADF ADF V S AB -∆⎛⎫=⋅=⋅⋅= ⎪⎝⎭， 即43E ADF V -=. 17．解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d .依题意1115312a d a a d +=⎧⎨++=⎩，解得132a d =⎧⎨=⎩.所以21n a n =+.设等比数列{}n b 的公比为q ，由2112n n n b b ++=，得23122n n n b b +++=.因为21221n n n n n n b b b q b b b ++++==，且2312211242n n n n n n b b b b +++++==，所以24q =.因为数列{}n b 的各项均为正数，所以2q =.（Ⅱ）因为2112n n n b b ++=， 令1n =，得3122b b =， 因为231211122b b b b q b ===， 所以12b =，所以1222n nn b -=⋅=.所以()()()1122n n n S a b a b a b =++++++=L ()()1212n n a a a b b b +++++++L L()()212321212nn n ⋅-++⋅=+=-21222n n n +++-.所以21222n n S n n +=++-.18．解：（Ⅰ）设“从该校所有学生中任取一人，其2017年12月恰有2次参加公益活动”为事件A ， 则()203011002P A +==. 所以从该校所有学生中任取一人，其2017年12月恰有2次参加公益活动的概率为12. （Ⅱ）依题意131017a b a b +=⎧⎨+-=⎩，所以103a b =⎧⎨=⎩.（Ⅲ）121540001080100+⨯=. 所以估计该校4000名学生中，12月获得的公益积分不少于30分的人数约为1080人. 19．解：（Ⅰ）由题意(B 是椭圆C 短轴上的顶点，所以b =因为12F BF ∆是正三角形， 所以122F F =，即1c =. 由2224a b c =+=，所以2a =.所以椭圆C 的标准方程是22143x y +=.（Ⅱ）设()00,M x y ，(),A A A x y ，依题意有00x >，00y >，0A x >，0A y >. 因为121223MF F AF F S S ∆∆=，所以01213A x x +=+，且023A y y =， 所以0312A x x +=，032A y y =，即00313,22x A y +⎛⎫⎪⎝⎭. 因为点A 在椭圆上，所以22143A A x y +=，即220031322143x y +⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=. 所以200152270x x -+=，解得01x =，或0715x =. 因为线段1AF 与线段2BF 交于点M ， 所以01x <，所以0715x =. 因为直线2BF 的方程为)31y x =--， 将0715x =代入直线2BF 的方程得到083y =.所以点M 的坐标为78315⎛⎝⎭. 20．解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为()0,+∞，()()()2222a x a x a ax x f x x x-++-'==.由()0f x '=得x a =或2ax =-. 当0a =时，()0f x '<在()0,+∞上恒成立，所以()f x 的单调递减区间是()0,+∞，没有单调递增区间.当0a >时，()(),,x f x f x '的变化情况如下表：所以()f x 的单调递增区间是()0,a ，单调递减区间是(),a +∞. 当0a <时，()(),,x f x f x '的变化情况如下表：所以()f x 的单调递增区间是0,2a ⎛⎫-⎪⎝⎭，单调递减区间是,2a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭. （Ⅱ）当0a >时，()f x 的单调递增区间是()0,a ，单调递减区间是(),a +∞. 所以()f x 在()1,e 上有零点的必要条件是()0f a ≥， 即2ln 0a a ≥，所以1a ≥. 而()11f a =-，所以()10f ≥.若1a =，()f x 在()1,e 上是减函数，()10f =，()f x 在()1,e 上没有零点. 若1a >，()10f >，()f x 在()1,a 上是增函数，在(),a +∞上是减函数，所以()f x 在()1,e 上有零点等价于()e 01ef a <⎧⎪⎨<<⎪⎩，即22e e 01ea a a ⎧-+<⎨<<⎩，解得)51e 12a <<.综上所述，实数a 的取值范围是)51e 1,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.。
北京市丰台区2019届高三第一学期期末考试数学(理)试题(解析版)
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
利用平面向量数量积的运算法则以及充分条件与必要条件的定义判断即可.
【详解】因为 是非零向量，
所以若 ，则 ，即 ；
若 ，则 ，可得 或 ，
所以 是 的充分不必要条件，故选A.
第二部分（非选择题共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
9.在极坐标系中，圆C： 的圆心到点 的距离为____．
【答案】
【解析】
【分析】
将极坐标方程化为直角坐标方程，求出圆心坐标，利用两点间距离公式即可得结果.
【详解】 化为 ，
化为直角坐标为 ，
即为 ，圆心坐标为 ， 的直角坐标仍然是 ,
【详解】
由三视图可知，该三棱锥的底面是直角梯形，一条侧棱与底面垂直，直观图如图，
图中， 与底面垂直，且 ，
由勾股定理可得 ，所以最长的棱为 ，故选D.
【点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.
16.如图，在四棱锥 中，底面 为正方形，侧棱 底面 ， 为棱 的中点， ．
（Ⅰ）求证： ；
（Ⅱ）求直线 与平面 所成角的正弦值；
（Ⅲ）求二面角 的余弦值．
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ） ；（Ⅲ） .
北京市丰台区2014—2015学年度第一学期期末练习高三数学(文科)试卷
甲 乙6 67 68 8 8 2 8 3 6 7北京市丰台区2014—2015学年度第一学期期末练习高三数学（文科）试卷第一部分（选择题 共40分）选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．在复平面内，复数2i1i-对应的点的坐标是(A) (-1,1) (B) (-1, -1) (C) (1, -1) (D) (1,1) 2．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，如果a 1=2，a 3+ a 5=22，那么S 3等于(A) 8 (B) 15 (C) 24 (D) 30 3．命题p ：∀x >0，e 1x >，则p ⌝是(A) ∃00x ≤，0e 1x ≤ (B) ∃00x >，0e 1x ≤ (C) ∀0x >，e 1x ≤(D) ∀0x ≤，e 1x ≤4．已知32log 2a =，14log 2b =，132c -=，则a ，b ，c 的大小关系是(A) a > b > c (B) c > b > a (C) c > a >b (D) a >c >b5．甲、乙两名同学在5次体能测试中的成绩的茎叶图如图所示，设1x ，2x 分别表示甲、乙两名同学测试成绩的平均数，1s ，2s 分别表示甲、乙两名同学测试成绩的标准差，则有(A) 12x x =，12s s < (B) 12x x =，12s s > (C) 12x x >，12s s > (D)12x x =，12s s =6．已知函数sin y a bx =+（b >0且b ≠1）的图象如图所示，那么函数log ()b y x a =-的图象可能是xy-1-1-2211O(B)xy4-13211O(C) 7．如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个锥体的侧视图和俯视图，则该锥体的正视图可能是(A)(B)(C)(D)8．在平面直角坐标系xOy 中，如果菱形OABC 的边长为2，点A 在x 轴上，则菱形内（不含边界）整点（横纵坐标都是整数的点）个数的取值集合是 (A) {1，2} (B) {1，2，3} (C) {0，1，2} (D) {0，1，2，3}第二部分（非选择题 共110分）一、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．已知集合2{20}A x x x =->，{1,2,3,4}B =，则A B = ．10．已知向量a b ⊥，且(,1)a x =，(1,2)b =-，那么实数x = ； a b += ． 11．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是___．12．如果变量x ，y 满足条件240,280,0,x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩且3z x y =+，那么z 的取值范围是___．13．已知圆C ：22240x y x y ++-=，那么圆心坐标是 ；如果圆C 的弦AB侧视图俯视图点坐标是(-2，3)，那么弦AB 所在的直线方程是___．14．设函数()f x 与()g x 是定义在同一区间[,]a b 上的两个函数，如果函数()()y f x g x =-在区间[,]a b 上有*()k k ∈N 个不同的零点，那么称函数()f x 和()g x 在区间[,]a b 上为“k 阶关联函数”．现有如下三组函数： ①()f x x =，()sin2g x x π=；②()2x f x -=，()ln g x x =； ③()|1|f x x =-，()g x =．其中在区间[0,4]上是“2阶关联函数”的函数组的序号是___．（写出所有．．满足条件的函数组的序号）二、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15.（本小题共13分）已知函数()2sin cos cos(2)cos(2)66f x x x x x ππ=+-++，R x ∈．（Ⅰ）求()12f π的值；（Ⅱ）求函数)(x f 在区间[,]2ππ上的最大值和最小值，及相应的x 的值．16.（本小题共13分）某市为了了解本市高中学生的汉字书写水平，在全市范围内随机抽取了近千名学生参加汉字听写考试，将所得数据进行分组，分组区间为：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，并绘制出频率分布直方图，如图所示．（Ⅰ）求频率分布直方图中的a 值；从该市随机选取一名学生，试估计这名学生参加考试的成绩低于90分的概率；（Ⅱ）设A ，B ，C 三名学生的考试成绩在区间[80,90)内，M ，N 两名学生的考试成绩在区间[60,70)内，现从这5名学生中任选两人参加座谈会，求学生M ，N 至少有一人被选中的概率；（Ⅲ）试估计样本的中位数落在哪个分组区间内 (只需写出结论) ． （注：将频率视为相应的概率）17.（本小题共14分）如图，在四棱锥S-ABCD 中，底面ABCD 为菱形，∠BAD =60°，平面SAD ⊥平面ABCD ，SA=SD ，E ，P ，Q 分别是棱AD ，SC ，AB 的中点．（Ⅰ）求证：PQ ∥平面SAD ； （Ⅱ）求证：AC ⊥平面SEQ ；（Ⅲ）如果SA=AB=2，求三棱锥S -ABC 的体积．18.（本小题共13分）已知函数1()1ex f x x =+-．（Ⅰ）求函数()f x 的极小值；（Ⅱ）过点(0,)B t 能否存在曲线()y f x =的切线，请说明理由．19.（本小题共14分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的一个顶点为(2,0)A -，（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）直线l 过点A ，过O 作l 的平行线交椭圆C 于P ，Q 两点，如果以PQ 为直径的圆与直线l 相切，求l 的方程．20.（本小题共13分）已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足1n n nS a λλ=-+，(1λ≠±，*)n ∈N ． （Ⅰ）如果0λ=，求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）如果2λ=，求证：数列1{}3n a +为等比数列，并求n S ；（Ⅲ）如果数列{}n a 为递增数列，求λ的取值范围．（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）丰台区2014—2015学年度第一学期期末练习2015．01高三数学（文科）答案及评分参考9．{3，4} 10．211．4 12．[2,9] 13．(1,2)-；50x y -+= 14．①③ 注：第10，13题第一个空2分；第二个空3分。
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丰台区2018—2019学年度第一学期期末练习 2019.01高三数学（文科） 第一部分 （选择题 共40分）一、 选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．已知集合{1,0,1,2}A =-，{|22}B x x =-<<，那么A B =（A ）{0,1} （B ）{1,0,1}- （C ）{1,0,1,2}-（D ）{|22}x x -<<2．复数(1i)(2+i)z =+在复平面内对应的点位于 （A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限3．执行如图所示的程序框图，输出的S 的值为 （A ）34 （B ）45 （C ）56 （D ）674．若,x y 满足1,1,210,x y x y x y +⎧⎪-⎨⎪-+⎩≤≤≥则2x y -的最大值是（A ）2- （B ）12-（C ）1（D ）45．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的 棱中，最长的棱的长度为 （A ）2 （B（C）（D）6．设,a b 是非零向量，则“=a b ”是“2=a a b ”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件7．已知抛物线28y x =的焦点与椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个焦点重合，且椭圆截抛物线的准线所得线段长为6，那么该椭圆的离心率为俯视图侧（左）视图正（主）视图（A ）2（B ）23（C（D ）128．如图，在平面直角坐标系xOy 中，O 是正六边形126A A A的中心，若11)4A ，则点3A 的纵坐标为（A）8 （B（C （D第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
9．已知函数3()log ()f x x a =+的图象过点(2,1)，那么a =____．10．在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若a b >2sin b A =，则B =____． 11．能够说明“设,a b 是任意非零实数．若1>ba，则>b a ”是假命题的一组整数．．,a b 的值依次为____． 12．已知双曲线222:1(0)3x y C a a -=>的一个焦点是(2,0)F ，那么双曲线C 的渐近线方程为____．13．已知两点(1,0)A -，(1,0)B ，动点Q 满足0AQ BQ =.若P 为直线20x y -+=上一动点，则||PQ 的最小值为____． 14．已知函数||2,,(),.x x x x a f x x x a -+⎧=⎨<⎩≥① 若0=a ，则函数()f x 的零点有____个；② 若()(1)f x f ≤对任意的实数x 都成立，则实数a 的取值范围是____．三、解答题共6小题，共80分。
解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
15．（本小题13分）已知函数()cos cos 2f x x x x =-． （Ⅰ）求()6f π的值；（Ⅱ）求证：当π[0,]2x ∈时，()1f x -≥．16．（本小题13分）已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足234a b ==，6516a b ==． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求和：135b b b +++…21n b -+．17．（本小题14分）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为正方形，侧棱1AA ⊥底面ABCD ，E 为棱1AA 的中点，2AB =，13AA =． （Ⅰ）求证：1A C ∥平面BDE ； （Ⅱ）求证：1BD AC ⊥； （Ⅲ）求三棱锥A BDE -的体积．18．（本小题13分）2018年11月5日上午，首届中国国际进口博览会拉开大幕，这是中国也是世界上首次以进口为主题的B D 1国家级博览会.本次博览会包括企业产品展、国家贸易投资展.其中企业产品展分为7个展区，每个展区统计了备受关注百分比，如下表：值．（Ⅰ）从企业产品展7个展区的企业中随机选取1家，求这家企业是选自“智能及高端装备”展区备受关注的企业的概率；（Ⅱ）某电视台采用分层抽样的方法，在“消费电子及家电”展区备受关注的企业和“医疗器械及医药保健”展区备受关注的企业中抽取6家进行了采访，若从受访企业中随机抽取2家进行产品展示，求恰有1家来自于“医疗器械及医药保健”展区的概率.19．（本小题14分）已知椭圆C:22221(0)x ya ba b+=>>的右焦点为(1,0)F，离心率为12，直线:(4)l y k x=-(0)k≠与椭圆C交于不同两点,M N.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）求证：直线MF的倾斜角与直线NF的倾斜角互补.20．（本小题13分）已知函数()sin f x x x =-．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(,())22f ππ处的切线方程； （Ⅱ）求证：当(0,)2x π∈时，310()6f x x <<.（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效） 丰台区2018~2019学年度第一学期期末练习 高三数学（文科）参考答案及评分参考2019．01二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分。
有两空的小题，第一空3分，第二空2分）9．110．4π11．满足0b a <<且,a b ∈Z 即可12．y =13114．2；1⎡⎤-⎣⎦三、解答题（共6小题，共80分）15．（共13分）解：（Ⅰ）因为(2cos 2f x x x -2sin(2)6x π=-所以()2sin 166f ππ==. ……………….6分 （Ⅱ）证明：因为02x π≤≤， 所以52666x πππ--≤≤.当266x ππ-=-时， 即0x =时，()f x 取得最小值1-.所以当π[0,]2x ∈时，()1f x -≥．……………….13分16．（共13分）解：（Ⅰ）因为21614,516,a a d a a d =+=⎧⎨=+=⎩ ……………….2分所以11,3.a d =⎧⎨=⎩……………….4分从而32n a n =-. ………………6分 （Ⅱ）因为2314514,16,b b q b b q ⎧==⎨==⎩ ………………8分 所以121,4.b q =⎧⎨=⎩………………10分所以22211211()4n n n n b b qq ----=⋅==，………………11分所以135211441143n n n b b b b ---+++==-. ………………13分17．（共14分） 解：（Ⅰ）设O BD AC = ，连接OE ，因为1ACA ∆中，O ，E 分别为AC ，1AA 的中点，所以OE 为1ACA ∆的中位线，即//OE C A 1， ………………2分 因为⊄C A 1平面BDE ，⊂OE 平面BDE ，所以//1C A 平面BDE ． ………………4分底面ABCD ，⊂BD 底面ABCD ，………………5分 因为底面ABCD 为正方形，所以BD AC ⊥， ………………6分 因为A AC AA = 1，所以⊥BD 平面11A ACC ， ……………… 8分 因为⊂C A 1平面11A ACC ，所以C A BD 1⊥． ………………10分（Ⅲ）因为侧棱⊥1AA 底面ABCD 于A ，E 为棱1DD 的中点，所以AE 为三棱锥ABD E -的高. 因为31=AA ，1B所以23=AE . 因为2==AD AB ，所以221=⋅=∆AD AB S ABD . 所以131=⋅==∆--AE S V V ABD ABD E BDEA ， ………………14分18．（共13分） 解：（Ⅰ）7个展区企业数共400+60+70+650+1670+300+450=3600家，其中备受关注的智能及高端装备企业共40025%100⨯=家，设从各展区随机选1家企业，这家企业是备受关注的智能及高端装备为事件A ，所以1001()360036P A ==. ………………5分 （Ⅱ）消费电子及家电展区备受关注的企业有6020%12⨯=家，医疗器械及医药保健展区备受关注的企业有3008%24⨯=家，共36家.所以抽取的6家企业中，来自消费电子及家电展区企业有612236⨯=家，记为1A ，2A ；来自医疗器械及医药保健展区企业有624436⨯=家，记为1B ，2B ，3B ，4B .抽取两家进行产品展示的企业所有可能为：12A A ，11A B ，12A B ，13A B ，14A B ，21A B ，22A B ，23A B ，24A B ，12B B ，13B B ，14B B ，23B B ，24B B ，34B B 共15种；其中满足恰有1家来自于医疗器械及医药保健展区的有11A B ，12A B ，13A B ，14A B ，21A B ，22A B ，23A B ，24A B ，共8种；设恰有1家来自于医疗器械及医药保健展区为事件B ， 所以8()15P B =. ………………13分 19．（共14分）解：（Ⅰ）由题意得222112.c c a a b c =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，，解得2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以椭圆C 的方程为22143x y += …………………5分（Ⅱ）设()()1122,,,M x y N x y .由()224,1.43y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2222433264120k x k x k +-+-=依题意()()()2222=3244364120kk k ∆--⋅+⋅->，即2104k <<.则2122212232,436412.43k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩…………………8分当11x =或21x =时，得214k =，不符合题意.因为121211MF NF y yk k x x +=+-- ()()12124411k x k x x x --=+-- ()()()12121225811k x x x x x x -++⎡⎤⎣⎦=-- ()()222212641232258434311k k k k k x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-⋅-⋅+⎢⎥ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎣⎦=--0=.所以直线MF 的倾斜角与直线NF 的倾斜角互补. …………………14分20．（共13分） 解：（Ⅰ）因为()1cos f x x '=-.所以()12f π'=，()122f ππ=-，所以曲线()y f x =在点(,())22f ππ处的切线方程1()22y x ππ-+=-.整理得：10x y --=………………5分（Ⅱ）先证()0f x >.因为()1cos f x x '=-，(0,)2x ∈π，所以()0f x '>.所以函数()f x 在(0,)2π上单调递增，所以()(0)0f x f >=，即sin 0x x ->.①………………8分 再证31()6f x x <. 设()31()6g x f x x =-，则21()1cos 2g x x x '=--，设21()1cos 2h x x x =--，则()sin h x x x '=-，由①可知()0h x '<，所以()h x 在(0,)2π上单调递减，()(0)0h x h <=.所以(0,)2x π∈时，()0g x '<.所以()g x 在(0,)2π上单调递减，()(0)0g x g <=.即()316f x x <.②综合①②可知:当(0,)2x ∈π时，()3106f x x <<. ………………13分（若用其他方法解题，请酌情给分）。