高三数学上册期末试卷

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高三上学期期末考试数学试卷(附答案解析)

高三上学期期末考试数学试卷(附答案解析)班级:___________姓名：___________考号：______________一、单选题1．已知集合12|log (1)0A x ax ⎧⎫=->⎨⎬⎩⎭，若1A ∈，则a 的取值范围是（）A ．(,2)-∞B ．31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．(1,2)D ．(2,)+∞2．设函数f （x ）=cosx+bsinx （b 为常数），则“b=0”是“f （x ）为偶函数”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件3．给出如下几个结论:①命题“R,cos sin 2x x x ∃∈+=”的否定是“R,cos sin 2x x x ∃∈+≠”; ②命题“1R,cos 2sin x x x ∃∈+≥”的否定是“1R,cos 2sin x x x∀∈+<”; ③对于π10,,tan 22tan x x x⎛⎫∀∈+≥ ⎪⎝⎭;④R x ∃∈，使sin cos x x +=其中正确的是（） A ．③B ．③④C ．②③④D ．①②③④4．已知a 、b 为正实数，a+b=1，则2134a b+的最小值是（） A ．1112 B ．116C ．1112+D ．1112+5．函数2441()2x f x x -+=的大致图象是（）A ．B ．C ．D ．6．当()0,x ∈+∞时幂函数()2531m y m m x --=--为减函数，则实数m 的值为（）A ．2m =B ．1m =-C ．1m =-或2m =D ．m ≠7．若0.110a =与lg0.8b =和5log 3.5c =，则（） A ．a b c >> B ．b a c >> C ．c a b >>D ．a c b >>8．已知函数()f x 是定义在R 上的函数,()11f =.若对任意的1x ,2x R ∈且12x x <有12123f x f x x x ,则不等式()()222log 32log 163log 32f x x -<--⎡⎤⎣⎦的解集为A ．2,13⎛⎫⎪⎝⎭B ．4,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ C ．24,33⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．4,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭9．已知0,,0,22ππαβ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且()2sin 2cos 2cos 1sin αβαβ=+，则下列结论正确的是（）A ．22παβ-=B ．22παβ+=C ．2παβ+=D ．2παβ-=10．已知函数()()2sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭，其图象相邻的最高点之间的距离为π，将函数()y f x =的图象向左平移12π个单位长度后得到函数()g x 的图象，且()g x 为奇函数，则（） A ．()f x 的图象关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称B ．()f x 的图象关于点,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称C ．()f x 在,63ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增D ．()f x 在2,36ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增 11．函数()2sin(),(0,)22f x x ππωϕωϕ=+>-<<的部分图象如图所示，则,ωϕ的值分别是（）A．2,3π-B．2,6π-C．4,6π-D．4,3π12．已知函数()2ln,01,0xxf x xx x⎧>⎪=⎨⎪-≤⎩若函数()()g x f x k=-有三个零点，则（）A．1ek<≤B．1ek-<<C．1e<<k D．11ek<<二、填空题13．若22x x a++≥对Rx∈恒成立，则实数a的取值范围为___.14．已知实数0a≠，函数2,1()2,1x a xf xx a x+<⎧=⎨--≥⎩，若(1)(1)f a f a-=+，则a的值为________ 15．已知1cos63πα⎛⎫⎪⎝=⎭+，则5cos6πα⎛⎫-⎪⎝⎭的值为______．三、双空题四、解答题17．已知幂函数()2()294mf x m m x=+-在(,0)-∞上为减函数.(1)试求函数()f x解析式；(2)判断函数()f x的奇偶性并写出其单调区间.18．已知函数()e ln exf x a x=--.（1）当1a=时讨论函数()f x的零点存在情况；（2）当1a>时证明：当0x>时()2ef x>-.19．已知函数2()sin sin 2f x x x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.（1）求()f x 的最小正周期和最大值；（2）讨论()f x 在2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性.20．已知函数()()2112122f x cos x sin x cos x x R ππ⎛⎫⎛⎫=+++-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．()1求()f x 在区间,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值；()2若7224f απ⎛⎫-=⎪⎝⎭2sin α的值． 21．已知函数()||1()f x x x a x =--+∈R .(1)当2a =时试写出函数()()g x f x x =-的单调区间； (2)当1a >时求函数()f x 在[1,3]上的最大值.22．已知函数π()e sin sin ,[0,π]4xf x x x x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭.(1)若1a ≤，判断函数()f x 的单调性； (2)证明：e (π)1sin cos x x x x -+≥-.参考答案与解析1．C【详解】1A ∈12log (1)0a ∴-> 011a ∴<-<，即12a <<则实数a 的取值范围是(1,2) 故选:C. 2．C【分析】根据定义域为R 的函数()f x 为偶函数等价于()=()f x f x -进行判断. 【详解】0b = 时()cos sin cos f x x b x x =+=, ()f x 为偶函数；()f x 为偶函数时()=()f x f x -对任意的x 恒成立()cos()sin()cos sin f x x b x x b x -=-+-=-cos sin cos sin x b x x b x +=- ，得0bsinx =对任意的x 恒成立，从而0b =.从而“0b =”是“()f x 为偶函数”的充分必要条件，故选C.【点睛】本题较易，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查. 3．B【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题可判断①，②；利用基本不等式判断③;结合三角函数恒等变换以及性质判断④,可得答案.【详解】根据全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题知①不正确命题“1R,cos 2sin x x x ∃∈+≥”的否定是“1R,cos 2sin x x x∀∈+<或sin 0x = ”,故②不正确；因为π10,,tan 22tan x x x ⎛⎫∀∈+≥ ⎪⎝⎭当且仅当1tan tan x x=即π0,2π4x ⎛=∈⎫ ⎪⎝⎭ 时取等号，③正确；由πsin cos [4x x x ⎛⎫+=+∈ ⎪⎝⎭，比如π4x =时π4x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭故R x ∃∈，使sin cos x x += 故选：B 4．D 【分析】将2134a b +与a b +相乘，展开后利用基本不等式可求得2134a b+的最小值.【详解】由已知条件可得()2118318311111113412121212b a a b a b a b a b ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝=时等号成立.因此，2134a b +的最小值是1112+故选：D. 5．D【分析】判断函数的奇偶性可排除B ，C ；利用特殊值可判断A,D,即得答案.【详解】因为函数2441()2x f x x -+=的定义域为(,0)(0,)-∞+∞ ，且2441()()2x f x f x x -+-== 故2441()2x f x x -+=是偶函数，排除选项B ，C ；当2x =时15(2)032f -=<，对应点在第四象限，故排除A 故选：D. 6．A【分析】根据幂函数的定义和单调性可得答案.【详解】因为函数()2531m y m m x --=--既是幂函数又是()0,+∞的减函数所以211530m m m ⎧--=⎨--<⎩解得：m=2.故选：A. 7．D【分析】根据指数函数以及对数函数的性质，判断a,b,c 的范围，即可比较大小，可得答案. 【详解】由函数10x y =为增函数可知0.1110a =>由lg y x =为增函数可得lg0.80b =<，由由5log y x =为增函数可得50log 3.51c <=<0.15101log 3.50lg0.8a c b ∴=>>=>>=a cb ∴>>故选:D 8．C【解析】因为等式12123f x f x x x 可化为()()()12123f x f x x x -<--,即()()112233f x x f x x +<+,令函数()()3F x f x x =+,根据函数()F x 是R 上的增函数,即可求得答案.【详解】不等式12123f x f x x x 可化为()()()12123f x f x x x -<--即()()112233f x x f x x +<+令函数()()3F x f x x =+,由()()112233f x x f x x +<+ 可得()()21>F x F x ,结合12x x <∴ 函数()()3F x f x x =+是R 上的增函数又()14F =不等式()()222log 32log 163log 32f x x -<--⎡⎤⎣⎦ ∴ ()()2log 321F x F -<⎡⎤⎣⎦ ∴ ()2log 321x -<,即0322x <-< ∴2433x <<不等式()()222log 32log 163log 32f x x -<--⎡⎤⎣⎦的解集为:24,33⎛⎫⎪⎝⎭. 故选:C.【点睛】利用函数性质解抽象函数不等式,解题关键是根据已知构造函数,利用对应函数单调性进行求解函数不等式,考查了转化能力和分析能力,属于中档题. 9．A【分析】用二倍角公式、两角差的正弦公式和诱导公式化简()2sin 2cos 2cos 1sin αβαβ=+，由此得出正确结论.【详解】有()2sin 2cos 2cos 1sin αβαβ=+，得()22sin cos cos 2cos 1sin ααβαβ=+sin cos cos sin cos αβαβα-= ()πsin cos sin 2αβαα⎛⎫-==- ⎪⎝⎭，由于0,,0,22ππαβ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以ππ,222αβααβ-=--=，故选A. 【点睛】本小题主要考查三角恒等变换，考查二倍角公式、两角差的正弦公式和诱导公式，属于中档题. 10．C【分析】根据函数()f x 图象相邻的最高点之间的距离为π，得到T π=，易得()()2sin 2f x x ϕ=+.将函数()y f x =的图象向左平移12π个单位长度后，可得()2sin 26g x x πϕ⎛⎫++ ⎪⎝⎭=，再根据()g x 是奇函数，得到()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，然后逐项验证即可.【详解】因为函数()f x 图象相邻的最高点之间的距离为π 所以其最小正周期为T π=，则22Tπω==. 所以()()2sin 2f x x ϕ=+. 将函数()y f x =的图象向左平移12π个单位长度后可得()2sin 22sin 2126x x g x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦=的图象又因为()g x 是奇函数，令()6k k Z πϕπ+=∈所以()6k k ϕπ=π-∈Z .又2πϕ<所以6πϕ=-.故()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.当6x π=时()1f x =，故()f x 的图象不关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称，故A 错误；当6x π=-时()2f x =-，故()f x 的图象关于直线6x π=-对称，不关于点,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，故B 错误；在,63ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上2,622x πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，()f x 单调递增，故C 正确；在2,36ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上3,2262x πππ⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，()f x 单调递减，故D 错误. 故选：C【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质及其图象变换，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 11．A【分析】根据()f x 的图象求得T π=，求得2ω=，再根据5()212f π=，求得2,3k k Z πϕπ=-+∈，求得ϕ的值，即可求解.【详解】根据函数()f x 的图象，可得353()41234T πππ=--=，可得T π=所以22Tπω== 又由5()212f π=，可得5sin(2)112πϕ⨯+=，即52,62k k Z ππϕπ+=+∈ 解得2,3k k Z πϕπ=-+∈因为22ππϕ-<<，所以3πϕ=-.故选：A. 12．C【分析】将问题转化为()y f x =与y k =图象有三个交点，分析分段函数的性质并画出()f x 图象，即可确定k 的范围.【详解】由题意，()y f x =与y k =图象有三个交点当0x >时()ln x f x x=，则()21ln xf x x -'=∴在()0,e 上0fx，()f x 递增，在()e,+∞上0fx，()f x 递减∴0x >时()ln x f x x =有最大值()1e ef =，且在()0,e 上()1(,)e f x ∈-∞，在()e,+∞上()1(0,)ef x ∈.当0x ≤时()21f x x =-+单调递增∴()f x 图象如下∴由图知：要使函数()g x 有三个零点，则10e<<k . 故选：C. 13．94a ≥【分析】根据一元二次不等式对R x ∈恒成立，可得Δ14(2)0a =--≤ ，即可求得答案. 【详解】220x x a ++-≥对R x ∈恒成立，9Δ14(2)0,4a a ∴=--≤∴≥ 故答案为：94a ≥14．34-【解析】分当0a >时和当a<0时两种分别讨论求解方程，可得答案. 【详解】当0a >时11,1+>1a a -<，所以(1)(1)f a f a -=+ ()()211+2,a a a a -+=--解得302a =-<，不满足，舍去；当a<0时1>1,1+1a a -<，所以()()1221,a a a a ---=++解得304a =-<，满足.故答案为34-.【点睛】本题考查解分段函数的方程，在分段函数求函数值的时候，要把自变量代入到所对应的解析式中是解本题的关键，属于基础题．15．13-【分析】由已知条件，利用诱导公式化简5cos cos 66ππαπα⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦即可求解.【详解】解：因为1cos 63πα⎛⎫ ⎪⎝=⎭+所以51cos cos cos 6663πππαπαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-+=-+=-⎪⎛⎫⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎪⎝⎭ 故答案为：13-.16． sin x - 【分析】对()cos f x x '=求导可得()sin f x x ''=-，由正弦函数的图象可知()0f x ''<成立根据函数的性质123123sin sin sin 3sin 3x x x x x x ++⎛⎫++≤ ⎪⎝⎭，即可求得123sin sin sin x x x ++的最大值. 【详解】设()sin f x x =，()0,πx ∈则()cos f x x '= 则()sin f x x ''=-，()0,πx ∈由于()0f x ''<恒成立故()f x 有如下性质()()()1212n n f x f x f x x x x f n n ++++++⎛⎫≥⎪⎝⎭.则123123πsin sin sin 3sin 3sin 33x x x x x x ++⎛⎫++≤=⨯= ⎪⎝⎭∴123sin sin sin x x x ++故答案为 sin x -17．(1)5()f x x -=(2)奇函数，其单调减区间为(,0)-∞ (0,)+∞【分析】（1）根据幂函数的定义，令22941m m +-=，求解即可；（2）根据幂函数的性质判断函数的单调性，继而可得其单调区间. 【详解】（1）由题意得22941m m +-=，解得12m =或5m =- 经检验当12m =时函数12()f x x =在区间(,0)-∞上无意义所以5m =-，则5()f x x -=. （2）551()f x x x -==，∴要使函数有意义，则0x ≠ 即定义域为(,0)(0,)-∞+∞，其关于原点对称.5511()()()f x f x x x-==-=--∴该幂函数为奇函数.当0x >时根据幂函数的性质可知5()f x x -=在(0,)+∞上为减函数函数()f x 是奇函数，∴在(,0)-∞上也为减函数故其单调减区间为(,0)-∞ (0,)+∞.18．（1）两个零点；（2）证明见解析.【分析】(1)将1a =代入可得(1)0f =，求出函数()f x 的导数，利用导数探讨函数的单调性并借助零点存在性定理即可求解；(2)根据已知条件构造函数()e ln 2x g x x =--，证明()0g x >在0x >时恒成立即可得解.【详解】(1)当1a =时()e ln e x f x x =--，显然(1)0f =，即1是()f x 的一个零点求导得()1e x f x x '=-，()f x '在(0,)+∞上单调递增，且131e 303f ⎛⎫'=-< ⎪⎝⎭(1)e 10f '=-> 则()f x '在1(,1)3上存在唯一零点0x ，当00x x <<时()0f x '<，当0x x >时()0f x '> 因此，函数()f x 在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，而()0(1)0f x f <= 31e 31e 3e 0ef ⎛⎫=+-> ⎪⎝⎭ 从而得在()00,x 上函数()f x 存在一个零点所以函数()f x 存在两个零点；(2)令()e ln 2x g x x =--，x>0，则1()e x g x x'=-，由(1)知()g x '在(0,)+∞上单调递增，且在1(,1)3上存在唯一零点0x ，即001x e x = 当()00,x x ∈时()g x 单调递减，当()0,x +∞时()g x 单调递增因此()000000011()e ln 2e ln 220e x x x g x g x x x x ≥=--=--=+->，即ln 2x e x ->，则e ln e 2e x x -->- 而1a >，有e e x x a >，于是得()e ln e>e ln e 2e x x f x a x x =---->-所以当1a >，0x >时()2e f x >-.19．（1）最小正周期为π，最大值为1（2）在5,612ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，在52,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减. 【分析】（1）由条件利用三角恒等变换化简函数，再利用正弦函数的周期性和最值求得()f x 的最小正周期和最大值；（2）根据[]20,3x ππ-∈，利用正弦函数的单调性，分类讨论求得()f x 的单调性. 【详解】（1）2()sin sin 2f x x x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭2sin cos x x x =11cos 2sin 222x x +=sin 23x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭则()f x 的最小正周期为22T ππ== 当22,32x k k Z πππ-=+∈，即25,1ππ=+∈x k k Z 时()f x取得最大值为1；（2）当2,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时[]20,3x ππ-∈ 则当20,32x ππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，即5,612x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时()f x 为增函数；当2,32x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦时即52,123x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时()f x 为减函数 f x 在5,612ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，在52,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减. 【点睛】本题考查正弦函数的性质，解题的关键是利用三角恒等变换化简函数.20．（1）3()4=max f x()min f x =；（2）2325 【分析】利用倍角公式降幂，再由辅助角公式化积．()1由x 的范围求得相位的范围，则函数最值可求；()2由已知求得145sin πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，再由诱导公式及倍角公式求2sin α的值．【详解】解：()2112122f x cos x sin x cos x ππ⎛⎫⎛⎫=+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭212111622222222sin x cos x cos x cos x x π⎛⎫+ ⎪⎛⎫+⎝⎭=+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭131222222223cos x x sin x x x π⎛⎫⎫⎛⎫=+=+ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． ()1,02x π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦,22,333x πππ⎡⎤∴+∈-⎢⎥⎣⎦23sin x π⎡⎛⎫∴+∈-⎢ ⎪⎝⎭⎣⎦ 则3()4max f x =()min f x = ()2由7224f απ⎛⎫-= ⎪⎝⎭7123ππα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭145sin πα⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭． 2123221212242525sin cos sin ππααα⎛⎫⎛⎫∴=-=--=-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【点睛】本题考查三角函数的恒等变换应用,考查()y Asin x ωϕ=+型函数的图象与性质，考查计算能力,属于中档题．21．(1)单调递减区间为3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦和[2,)+∞，单调递增区间为3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭ (2)()()max 1(13)103(34)24a f x a a a a ⎧<≤⎪=-<<⎨⎪-≥⎩【分析】（1）当2a =时求出()()()2231(2)12x x x g x f x x x x x ⎧-+<⎪=-=⎨-++≥⎪⎩，利用二次函数的性质确定函数的单调区间；（2）作出函数()f x 的大致图象，数形结合，分类讨论，比较()f x 在[1,3]上的函数值(1)f (3)f ()f a 的大小关系，即可求得答案.（1）当2a =时()()2221(2)21212x x x f x x x x x x ⎧-+<⎪=--+=⎨-++≥⎪⎩所以()()()2231(2)12x x x g x f x x x x x ⎧-+<⎪=-=⎨-++≥⎪⎩当2x <时2()31g x x x =-+，其图象开口向上，对称轴方程为32x =所以()g x 在3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦上单调递减，在3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增；当2x ≥时2()1g x x x =-++，其图象开口向下，对称轴方程为12x =所以()g x 在[2,)+∞上单调递减. 综上可知，()g x 的单调递减区间为3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦和[2,)+∞，单调递增区间为3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2）由题意知1a >，()()2211()x ax x a f x x ax x a ⎧-++≥=⎨-+<⎩作出大致图象如图：易得(0)()1f f a == 2124a a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 所以可判断()f x 在[1,3]上的最大值在(1)f (3)f ()f a 中取得.当13a 时max ()()1f x f a ==.当3a >时()f x 在1,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在,32a ⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增又13422a a a ⎛⎫⎛⎫---=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以，若34a <<，则max ()(3)103f x f a ==-；若4a ≥，则max ()(1)2f x f a ==-.综上可知，在区间[1,3]上()()max1(13)103(34)24a f x a a a a ⎧<≤⎪=-<<⎨⎪-≥⎩ . 22．(1)在3π[0,]4上，()f x 为增函数；在3π[,π]4上时()f x 为减函数. (2)证明见解析.【分析】（1）求出函数的导数，判断导数正负，从而判断函数单调性；（2）当1a =时结合（1）可得πe sin 14x x x ⎛⎫-≥- ⎪⎝⎭，整理为e sin 1sin cos x x x x +≥-，然后构造函数()πsin g x x x =--，利用其导数证明结论.【详解】（1）因为π()e sin sin ,[0,π]4x f x x x x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭所以()π()e sin e cos cos()e sin cos )(cos sin )e (sin (cos )4x x x x f x x x x x x a x x a x x '=+-=+-+=-+因为1a ≤，所以在()0,π上e 0x a ->由()0f x '=，解得3π4x =. 当3π04x <<时()0f x '>，故()f x 在3π[0,]4上为增函数；当3ππ4x <<时()0f x '<，()f x 在3π[,π]4上为减函数. （2）证明：由（1）知，当1a =时π()e sin 4x f x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在3π[0,]4上为增函数，在3π[,π]4上为减函数. 因为(0)1,(π)1f f ==-所以()(π)f x f ≥故πe sin 14x x x ⎛⎫-≥- ⎪⎝⎭所以e sin sin cos 1x x x x ≥--所以e sin 1sin cos x x x x +≥-.设()πsin ,()1cos 0g x x x g x x '=--=--≤所以()g x 在[0,π]上为减函数.又(π)0g =，则()(π)0g x g ≥=，所以πsin x x -≥所以e (π)1e sin 1sin cos x x x x x x -+≥+≥-.【点睛】本题考查了利用导数判断函数的单调性以及利用导数证明不等式问题，解答时要明确导数与函数的单调性之间的关系，解答的关键是根据题中要证明的不等式合理变式，构造函数，利用导数判断单调性进而进行证明.。

2023-2024学年北京市昌平区高三(上)期末数学试卷【答案版】

2023-2024学年北京市昌平区高三（上）期末数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2＞1}，那么∁U A ＝（） A ．[﹣1，1] B ．[1，+∞）C ．（﹣∞，1]D ．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）2．在复平面内，复数z 1和z 2对应的点分别为A ，B ，则z 1•z 2＝（）A ．﹣1﹣3iB ．﹣3﹣iC ．1﹣3iD ．3+i3．若双曲线x 2a 2−y 2b 2=1的离心率为√3，则其渐近线方程为（）A ．y ＝±2xB ．y =±√2xC ．y =±12xD ．y =±√22x4．已知（1﹣3x ）5＝a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3+a 4x 4+a 5x 5，则a 2+a 4＝（） A ．﹣32B ．32C ．495D ．5855．下列函数中，在区间（0，2）上为减函数的是（） A ．y ＝2x B ．y ＝sin xC ．y =x 1−xD ．y ＝log 0.5（﹣x 2+4x ）6．设函数f （x ）的定义域为R ，则“∀x ∈R ，f （x +1）＜f （x ）”是“f （x ）为减函数”的（） A ．充分必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分而不必要条件D ．既不充分也不必要条件7．已知点P 在圆（x ﹣1）2+y 2＝1上，点A 的坐标为(−1，√3)，O 为原点，则AO →⋅AP →的取值范围是（） A ．[﹣3，3]B ．[3，5]C ．[1，9]D ．[3，7]8．“三斜求积术”是我国宋代的数学家秦九韶用实例的形式提出的，其实质是根据三角形的三边长a ，b ，c 求三角形面积S ，即S =√14[c 2a 2−(c 2+a 2−b 22)2]．现有面积为3√15的△ABC 满足sin A ：sin B ：sin C＝2：3：4，则△ABC 的周长是（） A ．9B ．12C ．18D ．369．已知函数f （x ）＝2sin x ﹣2cos x ，则（） A ．f(π4+x)=f(π4−x)B ．f （x ）不是周期函数C ．f （x ）在区间(0，π2)上存在极值D ．f （x ）在区间（0，π）内有且只有一个零点10．如图，在棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 为线段AB 上的点，且AE EB=3，点P 在线段D 1E上，则点P 到直线AD 距离的最小值为（）A ．√22B ．√32C ．35D ．1二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11．已知sinx =−35，x ∈(π，32π)，则tan x ＝．12．抛物线x 2＝4y 上一点P 到焦点的距离为8，则点P 到x 轴的距离为．13．已知数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＝2a n ﹣a 1，且a 1，a 2+1，a 3成等差数列，则a 1＝；a n＝．14．若函数f(x)={2x −m ，x ≤1，lnx ，x ＞1在定义域上不是单调函数，则实数m 的一个取值可以为．15．已知数列{a n }，a 1＝a （0＜a ＜1），a n +1=a a n ．给出下列四个结论： ①a 2∈（a ，1）； ②a 10＞a 9；③{a 2n }为递增数列；④∀n ∈N *，使得|a n +1﹣a n |＜1﹣a ．其中所有正确结论的序号是．三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16．（13分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，AD ⊥DC ，AB ∥DC ，AB ＝AD ＝2，DC ＝PD ＝4，点N 是PD 的中点，直线PC 交平面ABN 于点M ．（1）求证：点M 是PC 的中点；（2）求二面角A ﹣MN ﹣P 的大小．17．（14分）在△ABC 中，b cos C +c cos B ＝2a cos A ．（1）求角A 的大小；（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使得△ABC 存在且唯一确定，求△ABC 的面积．条件①：a ＝7；条件②：c ＝8；条件③：cos C =17．注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．18．（13分）某汽车生产企业对一款新上市的新能源汽车进行了市场调研，统计该款车车主对所购汽车性能的评分，将数据分成5组：[90，100），[100，110），[110，120），[120，130），[130，140]，并整理得到如下频率分布直方图：（1）求m 的值；（2）该汽车生产企业在购买这款车的车主中任选3人，对评分低于110分的车主送价值3000元的售后服务项目，对评分不低于110分的车主送价值2000元的售后服务项目．若为这3人提供的售后服务项目总价值为X 元，求X 的分布列和数学期望E （X ）；（3）用随机抽样的方法从购买这款车的车主中抽取10人，设这10人中评分不低于110分的人数为Y ，问k （k ＝0，1，2，…，10）为何值时，P （Y ＝k ）的值最大？（结论不要求证明）19．（15分）已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）经过点M （2，0），离心率为√22．（1）求椭圆E的方程；（2）设过点T（t，0）的直线l与椭圆E有两个不同的交点A，B（均不与点M重合），若以线段AB为直径的圆恒过点M，求t的值．20．（15分）已知函数f（x）＝x2e2﹣x﹣x+1．（1）求曲线y＝f（x）在（2，f（2））处的切线方程；（2）设函数g（x）＝f'（x），求g（x）的单调区间；（3）判断f（x）极值点的个数，并说明理由．21．（15分）已知Q：a1，a2，…，a k为有穷正整数数列，且a1≤a2≤…≤a k，集合X＝{﹣1，0，1}．若存在x i∈X，i＝1，2，…，k，使得x1a1+x2a2+…+x k a k＝t，则称t为k﹣可表数，称集合T＝{t|t＝x1a1+x2a2+…+x k a k，x i∈X，i＝1，2，…，k}为k﹣可表集．（1）若k＝10，a i＝2i﹣1，i＝1，2，…，k，判定31，1024是否为k﹣可表数，并说明理由；（2）若{1，2，…，n}⊆T，证明：n≤3k−1 2；（3）设a i＝3i﹣1，i＝1，2，…，k，若{1，2，…，2024}⊆T，求k的最小值．2023-2024学年北京市昌平区高三（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2＞1}，那么∁U A ＝（） A ．[﹣1，1] B ．[1，+∞）C ．（﹣∞，1]D ．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）解：全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2＞1}＝（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），∁U A ＝[﹣1，1]，故选：A ．2．在复平面内，复数z 1和z 2对应的点分别为A ，B ，则z 1•z 2＝（）A ．﹣1﹣3iB ．﹣3﹣iC ．1﹣3iD ．3+i解：由图可知，z 1＝﹣2﹣i ，z 2＝1+i ，故z 1•z 2＝（﹣2﹣i ）•（1+i ）＝﹣2﹣2i ﹣i +1＝﹣1﹣3i ．故选：A ．3．若双曲线x 2a 2−y 2b 2=1的离心率为√3，则其渐近线方程为（）A ．y ＝±2xB ．y =±√2xC ．y =±12xD ．y =±√22x解：由双曲线的离心率√3，可知c =√3a ，又a 2+b 2＝c 2，所以b =√2a ，所以双曲线的渐近线方程为：y =±bax =±√2x ．故选：B ．4．已知（1﹣3x ）5＝a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3+a 4x 4+a 5x 5，则a 2+a 4＝（） A ．﹣32B ．32C ．495D ．585解：令x ＝0，解得a 0＝1；当x ＝1时，a 0+a 1+a 2+a 3+a 4+a 5＝﹣32；①，当x ＝﹣1时，a 0−a 1+a 2−a 3+a 4−a 5=45，②，故①+②得：2a 0+2a 2+2a 4＝1024﹣32＝992，解得a 0+a 2+a 4＝496，故a 2+a 4＝495．故选：C ．5．下列函数中，在区间（0，2）上为减函数的是（） A ．y ＝2x B ．y ＝sin xC ．y =x 1−xD ．y ＝log 0.5（﹣x 2+4x ）解：根据题意，依次分析选项：对于A ，y ＝2x ，是指数函数，在（0，2）上为增函数，不符合题意；对于B ，y ＝sin x ，是正弦函数，在（0，π2）上为增函数，不符合题意；对于C ，y =x 1−x =−1x−1−1，可以由函数y =−1x向右平移一个单位，向下平移一个单位得到，故y =x1−x在区间（0，2）上不是单调函数，不符合题意；对于D ，y ＝log 0.5（﹣x 2+4x ），设t ＝﹣x 2+4x ，y ＝log 0.5t ， t ＝﹣x 2+4x 在（0，2）上为增函数，且t ＞0恒成立， y ＝log 0.5t 在（0，+∞）上为减函数，故y ＝log 0.5（﹣x 2+4x ）在区间（0，2）上为减函数，符合题意．故选：D ．6．设函数f （x ）的定义域为R ，则“∀x ∈R ，f （x +1）＜f （x ）”是“f （x ）为减函数”的（） A ．充分必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分而不必要条件D ．既不充分也不必要条件解：根据题意，函数f （x ）={ ⋯⋯x −4，2≤x ＜3x −2，1≤x ＜2x ，0≤x ＜1x +2，−1≤x ＜0⋯⋯，在R 上满足f （x +1）＜f （x ），当f （x ）不是增函数，反之，若f （x ）为减函数，必有f （x +1）＜f （x ），故“∀x ∈R ，f （x +1）＜f （x ）”是“f （x ）为减函数”的必要而不充分条件．故选：B ．7．已知点P 在圆（x ﹣1）2+y 2＝1上，点A 的坐标为(−1，√3)，O 为原点，则AO →⋅AP →的取值范围是（） A ．[﹣3，3]B ．[3，5]C ．[1，9]D ．[3，7]解：设P （x ，y ），由图可知，AO →与AP →夹角为锐角，故AO →⋅AP →＞0，又AO →=(1，−√3)，AP →=(x +1，y −√3)，则AO →⋅AP →=x −√3y +4，令t =|x−√3y+4|2，则t 为点P （x ，y ）到直线x −√3y +4=0的距离，圆心C （1，0）到直线x −√3y +4=0的距离d =52，所以t ∈[32，72]，故AO →⋅AP →∈[3，7]．故选：D ．8．“三斜求积术”是我国宋代的数学家秦九韶用实例的形式提出的，其实质是根据三角形的三边长a ，b ，c 求三角形面积S ，即S =√14[c 2a 2−(c 2+a 2−b 22)2]．现有面积为3√15的△ABC 满足sin A ：sin B ：sin C＝2：3：4，则△ABC 的周长是（） A ．9B ．12C ．18D ．36解：由正弦定理可得，a ：b ：c ＝sin A ：sin B ：sin C ＝2：3：4，故可设a ＝2x ，b ＝3x ，c ＝4x ， S =√14[c 2a 2−(c 2+a 2−b 22)2]=12√(8x 2)2−(16x 2+4x 2−9x 22)2=3√15，解得，x ＝2，故△ABC 的周长为4+6+8＝18．故选：C ．9．已知函数f （x ）＝2sin x ﹣2cos x ，则（） A ．f(π4+x)=f(π4−x)B ．f （x ）不是周期函数C ．f （x ）在区间(0，π2)上存在极值D ．f （x ）在区间（0，π）内有且只有一个零点解：对于A ：因为函数f （x ）＝2sin x ﹣2cos x ，所以f （x +π2）+f （﹣x ）＝2sin(x+π2)−2cos(x+π2)+2sin（﹣x ）﹣2cos（﹣x ）＝2cos x ﹣2﹣sin x+2﹣sin x﹣2cos x ＝0，所以f （x ）关于点（π4，0）对称，所以f （π4+x ）＝﹣f （π4−x ），故A 错误；对于B ：因为f （x +2π）＝2sin（x +2π）﹣2cos（x +2π）＝2sin x ﹣2cos x ＝f （x ），所以2π为函数f （x ）的一个周期，故B 错误；对于C ：因为f （x ）＝2sin x ﹣2cos x ，所以f ′（x ）＝2sin x cos x •ln 2+2cos x sin x •ln 2，当0＜x ＜π2时，f ′（x ）＞0，f （x ）单调递增，所以f （x ）在（0，π2）上单调递增，故C 错误；对于D ：令f （x ）＝2sin x ﹣2cos x ＝0，即2sin x ＝2cos x ，即sin x ＝cos x ，因为x ∈（0，π），则tan x ＝1，所以x =π4，所以方程在（0，π）上只有一个根，所以函数f （x ）在（0，π）内有且只有一个零点，故D 正确．故选：D ．10．如图，在棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 为线段AB 上的点，且AE EB=3，点P 在线段D 1E上，则点P 到直线AD 距离的最小值为（）A ．√22B ．√32C ．35D ．1解：以D 为原点，分别以DA ，DC ，DD 1为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则D （0，0，0），A （1，0，0），E （1，34，0），D 1（0，0，1），∴DA →=(1，0，0)，ED 1→=(−1，−34，1)，设n →=(x ，y ，z)，由{n →⋅DA →=x =0n →⋅ED 1→=−x −34y +z =0，取y ＝1，得n →=(0，1，34)． ∴点P 到直线AD 距离的最小值为d =|n →⋅AE →||n →|=34√1+916=35．故选：C ．二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11．已知sinx =−35，x ∈(π，32π)，则tan x ＝ 34．解：因为sinx =−35，x ∈(π，32π)，所以cos x =−45，则tan x =sinx cosx =34．故答案为：3412．抛物线x 2＝4y 上一点P 到焦点的距离为8，则点P 到x 轴的距离为 7 ．解：根据抛物线方程可求得焦点坐标为（0，1），准线方程为y ＝﹣1，根据抛物线定义，∴y p +1＝8，解得y p ＝7，∴点P 到x 轴的距离为7，故答案为：7．13．已知数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＝2a n ﹣a 1，且a 1，a 2+1，a 3成等差数列，则a 1＝ 2 ；a n ＝ 2n ．解：由S n ＝2a n ﹣a 1，得S n +1＝2a n +1﹣a 1，两式相减得a n +1＝2a n +1﹣2a n ，即a n+1a n=2，∴{a n }是以q ＝2为公比的等比数列，由a 1，a 2+1，a 3成等差数列，得2（a 2+1）＝a 1a 3，即2（2a 1+1）＝a 1+4a 1，解得a 1＝2， ∴a n ＝2×2n ﹣1＝2n ．故答案为：2，2n ．14．若函数f(x)={2x −m ，x ≤1，lnx ，x ＞1在定义域上不是单调函数，则实数m 的一个取值可以为 0（答案不唯一）．解：根据题意，假设函数f(x)={2x −m ，x ≤1，lnx ，x ＞1在定义域上是单调函数，则有21﹣m ≤ln 1，即2﹣m ≤0，解可得：m ≥2，反之，若函数f(x)={2x −m ，x ≤1，lnx ，x ＞1在定义域上不是单调函数，必有m ＜2，即m 的取值范围为（﹣∞，2），故m 的值可以为0．故答案为：0（答案不唯一）．15．已知数列{a n }，a 1＝a （0＜a ＜1），a n +1=a a n ．给出下列四个结论： ①a 2∈（a ，1）； ②a 10＞a 9；③{a 2n }为递增数列；④∀n ∈N *，使得|a n +1﹣a n |＜1﹣a ．其中所有正确结论的序号是 ①②④ ．解：根据题意可知a 2=a a 1=a a ，因为0＜a ＜1，所以a 1＜a a ＜a 0⇒a 2∈（a ，1）即①正确；由a 1＜a 2＜1，可得a a 1＞a a 2＞a 1，得1＞a 2＞a 3＞a 1＝a ，所以a a 2＜a a 3＜a a 1，即a 3＜a 4＜a 2，故③不正确；根据递推式有a ＜a 3＜a 4＜a 2＜1，a a 3＞a a 4＞a a 2，即a 4＞a 5＞a 3，同理可得a 4＞a 6＞a 5，a 5＜a 7＜a 6，a 6＞a 8＞a 7，a 7＜a 9＜a 8，从而可得a a 7＞a a 9＞a a 8，即a 8＞a 10＞a 9，故②正确；因为0＜a ＜1，所以a a ＝a 2∈（a ，1），则a a 2∈(a ，1)，依次可知a a n ∈(a ，1)，所以{a ＜a n+1＜1a ≤a n ＜1，故|a n +1﹣a n |＜1﹣a 成立，④正确．故答案为：①②④．三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16．（13分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，AD ⊥DC ，AB ∥DC ，AB ＝AD ＝2，DC ＝PD ＝4，点N 是PD 的中点，直线PC 交平面ABN 于点M ．（1）求证：点M 是PC 的中点；（2）求二面角A ﹣MN ﹣P 的大小．（1）证明：因为AB ∥DC ，AB ⊄平面PDC ，DC ⊂平面PDC ，所以AB ∥平面PDC ，又AB ⊂平面ABMN ，平面ABMN ∩平面PDC ＝MN ，所以AB ∥MN ，故MN ∥DC ，又N 为PD 中点，所以M 为PC 中点；（2）解法一：由PD ⊥平面ABCD ，可得PD ⊥AD ，又AD ⊥DC ，DC ∩PD ＝D ，则AD ⊥平面PDC ，故∠AND 为二面角A ﹣MN ﹣P 的平面角的补角，又AD ＝2，PD ＝4，点N 是PD 的中点，则AD ＝DN ＝2，故∠AND ＝45°，故二面角A ﹣MN ﹣P 的大小为135°；解法二：由PD ⊥平面ABCD ，可得PD ⊥AD ，PD ⊥DC ，又AD ⊥DC ，则DA ，DC ，DP 两两垂直，故以D 为坐标原点，DA ，DC ，DP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，由AD ＝2，DC ＝PD ＝4，点M ，N 是分别是PD ，PC 的中点，则A （2，0，0），M （0，2，2），N （0，0，2），即AM →=(−2，2，2)，AN →=(−2，0，2)，设平面AMN 的一个法向量为n →=(x ，y ，z)，则由{n →⋅AM →=−2x +2y +2z =0n →⋅AN →=−2x +2z =0，令x ＝1，可得y ＝0，z ＝1，则平面AMN 的一个法向量为n →=(1，0，1)，不妨取平面PMN 的一个法向量为m →=(1，0，0)，则cos ＜m →，n →＞=m →⋅n →|m →||n →|=1√2=√22，由图可知二面角A ﹣MN ﹣P 的平面角为钝角，则二面角A ﹣MN ﹣P 的大小为135°．17．（14分）在△ABC 中，b cos C +c cos B ＝2a cos A ．（1）求角A 的大小；（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使得△ABC 存在且唯一确定，求△ABC的面积．条件①：a＝7；条件②：c＝8；条件③：cos C=1 7．注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．解：（1）由b cos C+c cos B＝2a cos A及正弦定理，可得sin B cos C+sin C cos B＝2sin A cos B，即sin（B+C）＝2sin A cos A，即sin A＝2sin A cos A，又A∈（0，π），sin A≠0，所以cosA=12，即A=π3；（2）若选①②：即a=7，c=8，A=π3，由正弦定理，可得sinC=sinAa⋅c=√327×8=4√37，因为a＜c，所以A＜C，即C可能为锐角或钝角，故△ABC不唯一，不合题意；若选①③：即a=7，cosC=17，A=π3，由cosC=17，可得sinC=4√37，由正弦定理可c=asinA⋅sinC=7√32×4√37=8，由余弦定理可得c2＝a2+b2﹣2ab•cos C，即64=49+b2−2×7×b×17，整理得b2﹣2b﹣15＝0，，解得b＝5，故S△ABC=12absinC=12×7×5×4√37=10√3；若选②③：即c=8，cosC=17，A=π3，由cosC=17，可得sinC=4√37，由正弦定理可得：a=csinC⋅sinA=84√37√32=7，由余弦定理可得c2＝a2+b2﹣2ab•cos C，即64=49+b2−2×7×b×17，整理得b2﹣2b﹣15＝0，，解得b＝5，故S△ABC=12absinC=12×7×5×4√37=10√3．18．（13分）某汽车生产企业对一款新上市的新能源汽车进行了市场调研，统计该款车车主对所购汽车性能的评分，将数据分成5组：[90，100），[100，110），[110，120），[120，130），[130，140]，并整理得到如下频率分布直方图：（1）求m的值；（2）该汽车生产企业在购买这款车的车主中任选3人，对评分低于110分的车主送价值3000元的售后服务项目，对评分不低于110分的车主送价值2000元的售后服务项目．若为这3人提供的售后服务项目总价值为X元，求X的分布列和数学期望E（X）；（3）用随机抽样的方法从购买这款车的车主中抽取10人，设这10人中评分不低于110分的人数为Y，问k（k＝0，1，2，…，10）为何值时，P（Y＝k）的值最大？（结论不要求证明）解：（1）依题意，（0.005+0.025+0.035+m+0.007）×10＝1，所以m＝0.028；（2）由题意可知，X的可能取值为：6000，7000，8000，9000，任选1人，估计认为该款车性能的评分不低于110分的概率为0.7，则P(X=6000)=C33×0.73×0.30=0.343；P(X=7000)=C32×0.72×0.3=0.441，P(X=8000)= C31×0.7×0.32=0.189，P(X=9000)=C30×0.70×0.33=0.027，所以X的分布列为：所以E（X）＝6000×0.343+7000×0.441+8000×0.189+9000×0.027＝6900元；（3）k＝7时，P（Y＝k）的值最大，理由如下：由题意可知Y～B（10，0.7），则{C10k×0．7k×0．310−k≥C10k+1×0．7k+1×0．39−kC10k×0．7k×0．310−k≥C10k−1×0．7k−1×0．311−k，解得6.7≤k≤7.7，又因为k＝0，1，2，…，10，所以k＝7，即k ＝7时，P （Y ＝k ）的值最大．19．（15分）已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）经过点M （2，0），离心率为√22．（1）求椭圆E 的方程；（2）设过点T （t ，0）的直线l 与椭圆E 有两个不同的交点A ，B （均不与点M 重合），若以线段AB 为直径的圆恒过点M ，求t 的值．解：（1）因为椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）经过点M （2，0），离心率为√22，所以a ＝2，c ＝b =√2，所以椭圆E 的方程x 24+y 22=1．（2）设直线l 的方程为：x ＝my +t ，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由{x =my +t x 2+2y 2−4=0，得（m 2+2）y 2+2mty +t 2﹣4＝0， Δ＝（2mt ）2﹣4（m 2+2）（t 2﹣4）＞0，y 1+y 2=−2mt m 2+2，y 1y 2=t 2−4m 2+2， x 1+x 2＝m （y 1+y 2）+2t =4t 2+m 2，x 1x 2＝（my 1+t ）（my 2+t ）＝m 2y 1y 2+mt （y 1+y 2）+t 2=m 2(t 2−4)2+m 2−2m 2t 22+m 2+t 2=2t 2−4m 22+m 2，因为以线段AB 为直径的圆恒过点M ，所以MA →⋅MB →=0，即（x 1﹣2）（x 2﹣2）+y 1y 2＝0，所以x 1x 2﹣2（x 1+x 2）+4+y 1y 2＝0，即2t 2−4m 22+m 2−2×4t 2+m 2+4+t 2−4m 2+2=0，即3t 2﹣8t +4＝0，解得t =23或t ＝2（舍），所以t =23． 20．（15分）已知函数f （x ）＝x 2e 2﹣x ﹣x +1．（1）求曲线y ＝f （x ）在（2，f （2））处的切线方程；（2）设函数g （x ）＝f '（x ），求g （x ）的单调区间；（3）判断f （x ）极值点的个数，并说明理由．解：（1）∵f （x ）＝x 2e 2﹣x ﹣x +1， ∴f ′（x ）＝e 2﹣x （2x ﹣x 2）﹣1， ∴f ′（2）＝﹣1，f （2）＝3，∴y ＝f （x ）在（2，f （2））处的切线方程为y ﹣3＝﹣（x ﹣2），即x +y ﹣5＝0；（2）∵g（x）＝f'（x）＝e2﹣x（2x﹣x2）﹣1，x∈R，∴g′（x）＝e2﹣x（x2﹣4x+2）=e2−x(x−2+√2)(x−2−√2)，∴当x∈（﹣∞，2−√2）∪（2+√2，+∞）时，g′（x）＞0；当x∈（2−√2，2+√2）时，g′（x）＜0，∴g（x）的单调增区间为（﹣∞，2−√2），（2+√2，+∞），单调减区间为（2−√2，2+√2）；（3）2个极值点，理由如下：又（2）知：当x＜2−√2时，g（x）在（﹣∞，2−√2）上单调递增，且g（2−√2）=(2−√2)e√2−1＞12e−1＞0，g（0）＝﹣1＜0，∴存在唯一x1∈（0，2−√2），使得g（x1）＝0；当2−√2＜x＜2+√2时，g（x）在（2−√2，2+√2）上单调递减，g（2−√2）＞0，g（2+√2）＜g（2）＝﹣1＜0，∴存在唯一x2∈（2−√2，2+√2），使得g（x1）＝0；当x＞2+√2时，﹣x2+2x＜0，e2﹣x＞0，∴g（x）＝e2﹣x（2x﹣x2）﹣1＜0，∴g（x）在（2+√2，+∞）上无零点，综合可得：当x∈（﹣∞，x1），g（x）＝f'（x）＜0，当x∈（x1，x2），g（x）＝f'（x）＞0，当x∈（x2，+∞），g（x）＝f'（x）＜0，∴当x＝x1时，f（x）取得极小值；当x＝x2时，f（x）取得极大值，故f（x）有2个极值点．21．（15分）已知Q：a1，a2，…，a k为有穷正整数数列，且a1≤a2≤…≤a k，集合X＝{﹣1，0，1}．若存在x i∈X，i＝1，2，…，k，使得x1a1+x2a2+…+x k a k＝t，则称t为k﹣可表数，称集合T＝{t|t＝x1a1+x2a2+…+x k a k，x i∈X，i＝1，2，…，k}为k﹣可表集．（1）若k＝10，a i＝2i﹣1，i＝1，2，…，k，判定31，1024是否为k﹣可表数，并说明理由；（2）若{1，2，…，n}⊆T，证明：n≤3k−1 2；（3）设a i＝3i﹣1，i＝1，2，…，k，若{1，2，…，2024}⊆T，求k的最小值．解：（1）31是，1024不是，理由如下：由题意可知x1a1+x2a2+⋯+x k a k＝t，当a i=2i−1，k＝10时，有x1+2x2+⋯+29x10=t，x i∈{﹣1，0，1}，显然若x1＝﹣1，x6＝1，x i＝0（i∈{2，3，4，5，7，8，9，10}）时，t＝31，而t ≤20×1+21×1+22×1+⋯+29×1＝210﹣1＝1023＜1024，故31是k ﹣可表数，1024不是k ﹣可表数；（2）由题意可知若x i ＝0⇒t ＝0，即0∈T ，设s ∈T ，即∃x i ∈{﹣1，0，1}使得x 1a 1+x 2a 2+⋯+x k a k ＝S ，所以（﹣x 1a 1）+（﹣x 2a 2）+⋯+（﹣x k a k ）＝﹣s ，且﹣x i ∈{﹣1，0，1}成立，故﹣s ∈T ，所以若{1，2，…，n }⊆T ，则{±1，±2，…，±n ，0}⊆T ，即{±1，±2，…±n ，0}中的元素个数不能超过T 中的元素，对于确定的Q ，T 中最多有3k 个元素，所以2n +1≤3k ⇒n ≤3k−12；（3）由题意可设∀n ∈N *，∃m ∈N *使3m−1−12＜n ≤3m −12，又x 1×1+x 2×3+x 3×32+⋯+x m−1×3m−2≤1×1+1×3+1×32+…+1×3m ﹣2=3m−1−12，所以k ＞m ﹣1，即k ≥m ，而1×1+1×3+1×32+⋯+1×3m−1=3m −12，即当n =3m−12时，取a 1＝1，a 2＝3，…，a m =3m−1 时，n 为m ﹣可表数，因为2×(1×1+1×3+1×32+⋯+1×3m−1)=2×3m−12=3m −1，由三进制的基本事实可知，对任意的0≤p ≤3m ﹣1，存在r ∈{0，1，2}（i ＝1，2，…，m ，），使p =r 1×30+r 2×31+⋯r m ×3m−1，所以p −3m−12=(r 1×30+r 2×31+⋯r m ×3m−1)−(30+31+⋯+3m−1)=(r 1−1)×30+(r 2−1)×31+⋯+(r m −1)×3m−1，令x i ＝r i ﹣1 则有x i ∈{﹣1，0，1}，i ＝1，2，…，m ，设t =p −3m −12⇒−3m −12≤t ≤3m−12，由p 的任意性，对任意的−3m −12≤t ≤3m −12，t ∈Z ，都有t =x 1×30+x 2×31+⋯+x m ×3m−1，x i ∈{﹣1，0，1}，i ＝1，2，…，m ，又因为n ≤3m−12，所以对于任意的﹣n ≤t ≤n ，t ∈Z ，t 为m ﹣可表数，综上，可知k 的最小值为m ，其中m 满足3m−1−12＜n ≤3m −12，又当n ＝2024时，37−12＜n ≤38−12，所以k 的最小值为8．。

山东省潍坊市2024届高三上学期期末数学含答案解析

潍坊市2023-2024学年上学期期末考试高三数学本试卷共4页.满分150分.考试时间120分钟.注意事项：1.答题前、考生务必在试卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名.2.回答选择题时，选出每小题答案后、用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束，考生必须将试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合{}2P x x =<，12xQ y y ⎧⎫⎪⎪⎛⎫==⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，则P Q = （）A.1,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B.10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C.()0,2 D.∅【答案】C【解析】因为12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭，函数的值域为()0,∞+，所以{}0Q y y =>，又因为{}2P x x =<，所以()0,2P Q = .故选：C 2.已知复数z 在复平面内对应的点的坐标为()3,4-，则43iz=+（）A.iB.i- C.1i+ D.1i-【答案】A【解析】复数z 在复平面内对应的点的坐标为()3,4-，则34i z =-+，则()()()()34i 43i 34i 25ii 43i 43i 43i 43i 25z -+--+====+++-，故选：A3.已知角ϕ的终边落在()0y x =>上，下列区间中，函数()()2sin f x x ϕ=+单调递增的区间是（）A.π,02⎛⎫-⎪⎝⎭B.π0,2⎛⎫⎪⎝⎭C.π,π2⎛⎫⎪⎝⎭D.3ππ,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】因为角ϕ的终边落在()0y x =>上，可取一点(，则sin 2ϕ=，则ϕ与π3的终边相同，可令π3ϕ=，则()π2sin 3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令ππ2π+2π,Z 232k x k k π-+≤≤+∈,所以5ππ2π2π,Z 66k x k k -+≤≤+∈，所以()f x 的单调递增区间为5ππ2π,2πZ 66k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦，只有π5ππ,02π,2πZ 266k k k ⎛⎫⎡⎤-⊆-++∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故A 正确，B,C,D 错误，故选：A.4.已知圆锥的侧面展开图是半径为的半圆，则该圆锥的体积为（）A.B. C.3πD.9π【答案】C【解析】由圆锥的侧面展开图是半径为l =，设圆锥的底面半径为r ，则2πr ，解之得r =，则圆锥的高3h ==则该圆锥的体积为211ππ333π33r h =⨯⨯=，故选：C 5.如图，谢尔宾斯基地毯是一种无限分形结构，由波兰数学家谢尔宾斯基于1916年发明.它的美妙之处在于，无论将其放大多少次，它总是保持着相同的结构.它的构造方法是：首先将一个边长为1的正方形等分成9个小正方形，把中间的小正方形抠除，称为第一次操作；然后将剩余的8个小正方形均重复以上步骤，称为第二次操作；依次进行就得到了谢尔宾斯基地毯.则前n 次操作共抠除图形的面积为（）A.1889n⎛⎫⎪⎝⎭B.819n⎛⎫- ⎪⎝⎭C.1189n⎛⎫- ⎪⎝⎭D.111889n⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】B【解析】观察图形的变化可知：图①中，第一次操作涂黑部分正方形的面积为89，图②中，第二次操作涂黑部分正方形的面积为289⎛⎫ ⎪⎝⎭，图③中，第三次操作涂黑部分正方形的面积为389⎛⎫ ⎪⎝⎭，依次类推，可得第n 次操作涂黑部分正方形的面积为89n⎛⎫ ⎪⎝⎭，故前n 次操作共抠除图形的面积为819n⎛⎫- ⎪⎝⎭.故选：B 6.若函数()ln e 1xf x mx =--为偶函数，则实数m =（）A.1B.1-C.12D.12-【答案】C【解析】由函数()ln e 1xf x mx =--为偶函数，可得()()11f f -=，即1ln e 1ln e 1m m --+=--，解之得12m =，则()1ln e 1(0)2x f x x x =--≠，()()111ln e 1ln e 1ln e 1222x x x f x x x x x f x --=-+=--+=--=故()1ln e 12x f x x =--为偶函数，符合题意.故选：C 7.已知甲：1x ≥，乙：关于x 的不等式()01x aa x a -<∈--R ，若甲是乙的必要不充分条件，则a 的取值范围是（）A.1a ≥B.1a > C.a<0D.0a ≤【答案】A【解析】甲：1x ≥，设此范围对应集合[)1,A =+∞；由1a a <+，则乙：()()01011x ax a x a a x a x a -<⇔---<⇔<<+--，设此范围对应集合(,1)B a a =+，若甲是乙的必要不充分条件，则B A ⊆，其中A B =必不成立；则(,1)a a +[)1,⊆+∞，所以1a ≥.故选：A.8.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，左顶点为A ，点P 在C 上，且112PF AF =，2160PF F ∠=︒，则C 的离心率为（）A.2B.2C.33D.12【答案】D【解析】由题意可得1AF a c =-，则11222PF AF a c ==-，则1222PF a PF c =-=，又212F F c =，2160PF F ∠=︒，则21PF F 为等边三角形，则222a c c -=，即2a c =，故C 的离心率12c e a ==.故选：D 二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.9.某校举行演讲比赛，6位评委对甲、乙两位选手的评分如下：甲：7.57.57.87.88.08.0乙：7.57.87.87.88.08.0则下列说法正确的是（）A.评委对甲评分的平均数低于对乙评分的平均数B.评委对甲评分的方差小于对乙评分的方差C.评委对甲评分的40%分位数为7.8D.评委对乙评分的众数为7.8【答案】ACD【解析】选项A ，评委对甲评分的平均数7.57.57.87.88.08.017.87.8630x +++++==-<甲，评委对乙评分的平均数7.57.87.87.88.08.017.87.8660x +++++==+>乙，所以x x <甲乙，故A 正确；选项B ，由A 知，两组数据平均数均约为7.8，且纵向看，甲组数据与乙组数据仅一组数据7.5,7.8不同，其余数据相同，又甲组数据7.5与平均数的差明显大于乙组数据7.8与平均数的差，且差距较大，故与平均数比较，甲组数据波动程度明显大些，即评委对甲评分的方差大于对乙评分的方差，故B 错误；选项C ，由640% 2.4⨯=不是整数，则评委对甲评分的40%分位数为从小到大第3个数据，即：7.8，故C 正确；选项D ，评委对乙评分中最多的数据，即众数为7.8，故D 正确.故选：ACD.10.双曲线22:1E mx ny +=（0m >，0n <）的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在E 上，则（）A.12PF PF -=B.12F F =C.ED.E的渐近线方程为y =【答案】ABD【解析】221mx ny +=（0m >，0n <），所以双曲线的标准方程为22111x y m n -=⎛⎫- ⎪⎝⎭，双曲线为焦点在x 轴，所以21a m =，a =21b n =-，b =，22211c a b m n=+=-，c =122PF PF a -==A正确；122F F c ==，所以B 正确；E的离心率为e ==，所以C 错误；双曲线的渐近线方程为b y x a =±=，所以D 正确.故选：ABD 11.如图，棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，M 为棱11D C 的中点，N 为棱1CC 上的动点（不与端点重合），则（）A.直线AM 与BN 为异面直线B.存在点N ，使得MN ⊥平面BDNC.当//AM 平面BDN 时，23CN =D.当N 为1CC 的中点时，点C 到平面BDN的距离为3【答案】AD【解析】如图：以D 为原点，建立空间直角坐标系.则()0,0,0D ，()2,0,0A ，()2,2,0B ，()0,2,0C ，()0,1,2M ，()0,2,N t （02t <<）.对A ：假设A ，B ，M ，N 共面，则存在,,R x y z ∈，使得DA xDB yDM zDN =++，且1x y z ++=，即()()()()2,0,02,2,00,1,20,2,x y z t =++⇒2202021x x y y tz x y z =⎧⎪=+⎪⎨=+⎪⎪++=⎩，解得：1222x y z t =⎧⎪=-⎪⎨=⎪⎪=⎩，即()0,2,2N .故只有N ，1C 重合时，才有直线AM 与BN 共面.而条件N 不与线段1CC 端点重合，所以AM 与BN 必为异面直线，故A 对；对B ：若MN ⊥平面BDN ，则MN DB ⊥⇒()()0,1,2·2,2,00t -=⇒20=，故B 错误；对C ：当23CN =时，设平面DBN 的一个法向量(),,n x y z = ，则n DB n DN ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩ ⇒()()(),,·2,2,002,,·0,2,03x y z x y z ⎧=⎪⎨⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎩⇒003x y z y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，取1x =可得：()1,1,3n =- ，此时()()·2,1,2·1,1,33AM n =--= ，所以AM 与n 不垂直，即AM 平面BDN 不成立，故C 错误；对D ：当N 为1CC 中点时，设C 到平面BDN 的距离为h ，则··BDC BDN S CN S h = .而·2BDC S CN = ，在BDN 中，22DB =，5DN BN ==，所以DB 523-=122362BDN S =⨯= 636h ==，故D 正确.故选：AD 12.已知函数()()2221R f x ax x x ax a =++++∈，则（）A.当1a =-时，()f x 为增函数B.若()f x 有唯一的极值点，则0a >C.当2a ≤-时，()f x 的零点为1±D.()f x 最多有2个零点【答案】ACD【解析】函数()()2221R f x ax x x ax a =++++∈，对于A 中，当1a =-时，()1f x x =+单调递增，所以A 正确；对于B 中，当0a =时，()221f x x x =++，此时函数()f x 只有一个极大值点，所以B 错误；对于C 中，当2a ≤-时，设210x ax ++=的两个根据分别为12,x x 且12x x ≤，则122x x a +=-≥，121=x x ，所以1201,1x x <≤≥，当1x x <或2x x >时，()2(1)(2)1f x a x a x =++++，此时函数()f x 的开口向下，且对称轴为()20,102(1)a x f a +=-<-=+，当12x x x <<时，()2(1)(2)1f x a x a x =-+--，此时函数()f x 的开口向下，且对称轴为()20,102(1)a x f a -=>=-，如图所示，所以C 正确；对于D 中，由选项C 可知，当2a ≤-时，函数()f x 有两个零点，当22a -<≤时，240a ∆=-<，可得()2(1)(2)1f x a x a x =++++至多有两个零点；当2a >时，设方程210x ax ++=的两个根据分别为12,x x 且12x x ≤，则122x x a +=-<，121=x x ，所以122,10x x <--<<，当1x x <或2x x >时，()2(1)(2)1f x a x a x =++++，此时图象开口向上，对称轴为()21,01,(1)02(1)2a x f f a -+=<-=-=+；当12x x x <<时，()2(1)(2)1f x a x a x =-+--，此时图象开口向上，对称轴为()2(0,1),10,(0)12(1)a x f f a -=∈==--，(1)2(2)0f a -=->，如图所示，所以D 正确.故选：ACD.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.13.已知向量a ，b满足2a b == ，,60a b =︒ ，则a b -=r r ___.【答案】2【解析】向量a ，b满足2a b == ，,60a b =︒ ，则a b -==r r2===，14.已知函数()()()ln e ,021,0x x f x f x x ⎧-+≤⎪=⎨->⎪⎩，则()2f =_________.【答案】4【解析】由题意()()()221404ln e=4f f f ===.故答案为：4.15.无重复数字且各位数字之和为8的三位数的个数为__________.【答案】24【解析】分两类：第一类不含数字0，有以下几种组合125++和134++，结果为332A 12=；第二类含数字0，有以下几种组合017++、026++和035++，结果为12223C A 12=；综上，无重复数字且各位数字之和为8的三位数的个数是24.故答案是：24.16.已知1n a n=，若对任意的()*n n ∈N ，都有()()()212222n a a a kn +++ ≥，则实数k 的最大值为___.【答案】158【解析】由题意可得：()()()122222n a a a k n +++≤对*n ∈N 恒成立.设()()()122222n n a a a b n +++=，令11n n b b +≥，得()2212111n n n ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭≥+⇒331n n ≥+⇒2n ≥，又11231b +==，()2112215248b ⎛⎫++ ⎪⎝⎭==，所以158k ≤.故答案为：158四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知等比数列{}n a 满足112a =，246a a =.（1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n na 的前n 项和.【解析】（1）设{}n a 的公比为q ，由已知得()23511a q a q ⋅=⋅，……………………………………………………2分所以112q =，2q =，…………………………………………………………3分所以121222n n n a --=⨯=.………………………………………………………4分（2）22n n na n -=⋅设数列{}n na 的前n 项和为n S ，则10121222322n n S n --=⋅+⋅+⋅++⋅ ，①所以()012121222122n n n S n n --=⋅+⋅++-⋅+⋅ ，②……………………………6分①-②得1121121212122n n n S n ----=⋅+⋅+⋅++⋅-⋅ ，()11122212n n n --=-⋅-……………………………………………………8分()11122n n -=-⋅-……………………………………………………9分所以()11122n n S n -=-⋅+.…………………………………………………………10分18.如图，矩形ABCD 中，4AB =，6BC =，点E ，F 在边BC ，AD 上，且2CE DF ==.将矩形CDFE 沿EF 折起至C D FE ''，使得60C EB '∠=︒，M ，N 分别为AB ，C D ''的中点.（1）证明：EN ⊥平面MNF ；（2）求EN 与平面C AE '所成角的正弦值.【解析】（1）在矩形C D FE ''中，2C N C E ''==，90C '∠=︒，所以45C NE '∠=︒，同理45D NF '∠=︒，故EN NF ⊥，①…………………………………………2分连结BC '、ME ，在BEC '△中，由余弦定理知：2222cos 164812BC EB EC EB EC C EB =+-⋅⋅∠=+-''=''，所以BC '=MN =，又因为NE ===ME ===所以222ME MN NE =+，所以90ENM ∠=︒，即EN MN ⊥，②………………………5分由①，②及MN NF N = ，,MN NF ⊂平面MNF ，可得EN ⊥平面MNF .………………6分（2）以E 为坐标原点，EF ，EB 所在直线为x ，y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系E xyz -.则()0,0,0E，(C '，()4,4,0A，(N，(EC '= ，()4,4,0EA =，设平面C AE '的法向量(),,n x y z =，则0440n EC y n EA x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=⎪⎩'+=，令x =y =，1z =，所以)n =.…………………………………………………………9分因为(EN =，所以42cos ,14n EN n EN n EN⋅===，………………………………………………………11分所以EN 与平面C AE '所成角的正弦值为14.…………………………………………………………12分19.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c，且a c +=，3A C π-=.（1）求cosB ；（2）若b =ABC 的面积.【解析】（1）因为a c +=，所以由正弦定理得sin sin A C B +=，…………………………………………………………1分因为3A C π-=，且A B C π++=，所以32B C π=-，232B A π=-，…………………………………………………………2分所以2sin sin 3232B B B ππ⎛⎫⎛⎫-+-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即22sin cos cos sin sin cos cos sin 32323232B B B B B ππππ-+-=，…………………………4分2B B =，所以cos4sin cos 222B B B =，因为022B π<<，所以1sin 24B =，…………………………………………………………5分所以27cos 12sin 28B B =-=；…………………………………………………………6分（2）由余弦定理可得2222cos b a c ac B =+-，………………………………………………………7分即()27524a c ac ac =+--，得()21554ac =-，得443ac =，…………………………………………………………9分因为7cos 8B =，所以sin 8B =，………………………………………………………10分所以1sin 212ABC S ac B ==△…………………………………………………………12分20.已知函数()()()e 2ln 0x f x a a x a =+->，()f x 的导函数为()f x '.（1）当1a =时，解不等式()e xf x >；（2）判断()f x '的零点个数；（3）证明：()224ln 4a f x a ++≥.【解析】（1）当1a =时，()e 12ln e x x f x x =+->，所以1ln 2x <，所以0x <<，所以不等式的解集为(.…………………………………………………………3分（2）函数()f x 的定义域为()0,∞+，()2e 2e x xax f x a x x ='-=-.………………………………4分令()e 2x g x ax =-，则()()1e 0xg x a x =+>'，所以()g x 在区间()0,∞+上单调递增.…………………………………………………………5分又因为()020g =-<，2222e 22e 10a a g a ⎛⎫⎛⎫=-=-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以存在020,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使得()00g x =，所以()f x '在区间()0,∞+上有且只有一个零点0x .……………………………………………………7分（3）证明：由（2）知，当()00,x x ∈时，()0f x '<，()f x 在()00,x 上单调递减，当()0,x x ∞∈+时，()0f x '>，()f x 在()0,x ∞+上单调递增，所以()()()000e 2ln x f x f x a a x ≥=+-.…………………………………………………………9分因为00e 20x ax -=，所以002e x a x =，00ln ln 2ln a x x +=-.……………………………………10分所以()()()0200002e 2ln 2ln 2ln x f x a a x a a x x =+-=+---22220022ln 4ln 44a a x a a x =+++++≥，所以()224ln 4a f x a ≥++.…………………………………………………………12分21.某人从A 地到B 地有路程接近的2条路线可以选择，其中第一条路线上有n 个路口，第二条路线上有m 个路口.（1）若2n =，2m =，第一条路线的每个路口遇到红灯的概率均为23；第二条路线的第一个路口遇到红灯的概率为34，第二个路口遇到红灯的概率为35，从“遇到红灯次数的期望”考虑，哪条路线更好？请说明理由.（2）已知；随机变量i X 服从两点分布，且()()110i i i P X P X p ==-==，.则11n i i n i i E X p ==⎛⎫= ⎪⎝⎭∑∑，且()2112,1,2,3,,n n i i i i i j i j E X p p p i j n ==<⎡⎤⎛⎫=+=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦∑∑∑ .若第一条路线的第i 个路口遇到红灯的概率为12i ，当选择第一条路线时，求遇到红灯次数的方差.【解析】（1）应选择第一条路线，…………………………………………………………1分理由如下：设走第一、第二条路线遇到的红灯次数分别为随机变量1X 、2X ，则10,1,2X =，20,1,2X =，()2111039P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()1122141C 339P X ==⨯⨯=，()2212242C 39P X ⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭，所以()1484993E X =+=；…………………………………………………………3分又()212104510P X ==⨯=，()2321391454520P X ==⨯+⨯=，()233924520P X ==⨯=，所以()299272202020E X =+⨯=；……………………………………………………5分因为427320<，所以应选择第一条路线.………………………………………………6分（2）设选择第一条路线时遇到的红灯次数为X ，所以()11n n i i i i E X E X p ==⎛⎫== ⎪⎝⎭∑∑；()22112n n i i i j i i i j E X E X p p p ==<⎡⎤⎛⎫==+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦∑∑∑，………………………………………………8分设随机变量Y ，Y 取值为()1,2,3,,i Y i n =L ，其概率分别为i q ，且11n i i q==∑，()(){}21n i i i D Y Y E Y q ==-⎡⎤⎣⎦∑()(){}2212n i i i i i i Y q E Y Y q E Y q ==⋅-⋅+⋅⎡⎤⎣⎦∑()()()()()22111222n n ni i i i i i i i Y q E Y Y q E Y q E Y E Y ====⋅-⋅+⋅⎡⎤⎣⎦=-⎡⎤⎣⎦∑∑∑所以()()()()22D X E X E X=-2112n n i i j i i i j i p p p p =<=⎛⎫=+- ⎪⎝⎭∑∑∑21122n n i i j i i j i i j i i j p p p p p p =<=<⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭∑∑∑∑()21ni i i p p ==-∑，………………………………………11分又因为12i i p =，所以()1111111111224411241124n n n n i i i i D X ==⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-=---∑∑2113342n n =+-⋅.…………………………………………………………12分22.在直角坐标系xOy 中，点P 到直线92y =的距离等于点P 到点70,2⎛⎫ ⎪⎝⎭的距离，记动点P 的轨迹为C .（1）求C 的方程；（2）设A ，B 是C 上位于y 轴两侧的两点，过A ，B 的C 的切线交于点Q ，直线QA ，QB 分别与x 轴交于点M ，N ，求QMN 面积的最小值.【解析】（1）设(),P x y ，92y =-，…………………………………………………………1分整理得282x y =-；…………………………………………………………3分（2）如图：设2,42a A a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，2,42b B b ⎛⎫- ⎪⎝⎭，不妨设0a b <<，因为242x y =-，所以y x '=-，…………………………………………………………4分所以过点A 的切线方程为()242a y a x a ⎛⎫--=-- ⎪⎝⎭，即242a y ax =-++，同理可得过点B 的切线方程242b y bx =-++，………………………………………………………6分联立QA ，QB 方程，得8,22a b ab Q +-⎛⎫⎪⎝⎭，令0y =，得4,02a M a ⎛⎫+⎪⎝⎭，4,02b N b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以()42a b b a MN ab --=+，…………………………………………………………8分所以QMN 的面积()4181822222a b ab b a ab S MN ab ⎡⎤----⎛⎫⎛⎫=⨯=+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦，因为0a ->，所以()()418222b a b a ab S ab ⎧⎫⎡⎤+-+--⎪⎪⎛⎫⎣⎦=+⎨⎬ ⎪-⎝⎭⎪⎪⎩⎭142284822222ab ab ab ab ⎛⎛⨯--⎛⎫⎛⎫≥+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，………………………………10分t =，得234816416224t t S t t t t ⎛⎫+⎛⎫⎛⎫=+=++ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以221643164S t t ⎛⎫=+- ⎝'⎪⎭，令0S '=，得283t =由0S '>⇒22643160t t +->⇒()()223880t t -+>⇒283t >；所以当2803t <<时，()S t 单调递减，当283t >时，()S t 单调递增；所以当283t =，即3t =时，9S =为最小值.…………………………………………………12分。

2023-2024学年江苏省连云港市高三(上)期末数学试卷【答案版】

2023-2024学年江苏省连云港市高三（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若复数z 满足（1+i ）•z ＝i ，则此复数z 的虚部为（） A ．12B ．−12C ．12iD ．−12i2．已知集合S ＝{x |x ＝k −12，k ∈Z }，T ＝{x |x ＝2k +12，k ∈Z }，则S ∩T ＝（）A ．SB ．TC ．ZD ．R3．随机变量X ～N （2，σ2），若P （X ≤1.5）＝m ，P （2≤X ≤2.5）＝1﹣3m ，则P （X ≤2.5）＝（） A ．0.25B ．0.5C ．0.75D ．0.854．图1是蜂房正对着蜜蜂巢穴开口的截面图，它是由许多个正六边形互相紧挨在一起构成．可以看出蜂房的底部是由三个大小相同的菱形组成，且这三个菱形不在一个平面上．研究表明蜂房底部的菱形相似于菱形十二面体的表面菱形，图2是一个菱形十二面体，它是由十二个相同的菱形围成的几何体，也可以看作正方体的各个正方形面上扣上一个正四棱锥（如图3），且平面ABCD 与平面ATBS 的夹角为45°，则cos ∠ASB ＝（）A ．√22B ．√32 C ．13D ．2√235．某学校广播站有6个节目准备分2天播出，每天播出3个，其中学习经验介绍和新闻报道两个节目必须在第一天播出，谈话节目必须在第二天播出，则不同的播出方案共有（） A ．108种B ．90种C ．72种D ．36种6．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1（a ＞0，b ＞0）的左顶点为M ，左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2作x 轴的垂线交C 于A ，B 两点，若∠AMB 为锐角，则C 的离心率的取值范围是（） A ．（1，√3）B ．（1，2）C ．（√3，+∞）D ．（2，+∞）7．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若c ＝4，A =π3，且BE 为边AC 上的高，AD 为边BC 上的中线，则AD →•BE →的值为（）A ．2B ．﹣2C ．6D ．﹣68．已知a ＝ln 3，b ＝log 2e ，c =6(2−ln2)e，则a ，b ，c 的大小关系是（） A ．a ＜b ＜cB ．b ＜c ＜aC ．c ＜a ＜bD ．a ＜c ＜b二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2023-2024学年北京市西城区高三(上)期末数学试卷【答案版】

2023-2024学年北京市西城区高三（上）期末数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 1．已知集合A ＝{x |﹣1＜x ＜3}，B ＝{x |x 2≥4}，则A ∪B ＝（） A ．（﹣1，+∞）B ．（﹣1，2]C ．（﹣∞，﹣2]∪（﹣1，+∞）D ．（﹣∞，﹣2]∪（﹣1，3）2．在复平面内，复数z =i−2i的对应点位于（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．设a ，b ∈R ，且a ＞b ，则（） A ．1a ＜1bB ．tan a ＞tan bC ．3﹣a ＜2﹣bD ．a |a |＞b |b |4．已知双曲线C 的一个焦点是F 1（0，2），渐近线为y =±√3x ，则C 的方程是（） A ．x 2−y 23=1B ．x 23−y 2=1C ．y 2−x 23=1D ．y 23−x 2=15．已知点O （0，0），点P 满足|PO |＝1．若点A （t ，4），其中t ∈R ，则|P A |的最小值为（） A ．5B ．4C ．3D ．26．在△ABC 中，∠B ＝60°，b =√7，a ﹣c ＝2，则△ABC 的面积为（） A ．3√32B ．3√34 C ．32D ．347．已知函数f(x)=ln1+x1−x，则（） A ．f （x ）在（﹣1，1）上是减函数，且曲线y ＝f （x ）存在对称轴B ．f （x ）在（﹣1，1）上是减函数，且曲线y ＝f （x ）存在对称中心C ．f （x ）在（﹣1，1）上是增函数，且曲线y ＝f （x ）存在对称轴D ．f （x ）在（﹣1，1）上是增函数，且曲线y ＝f （x ）存在对称中心 8．设a →，b →是非零向量，则“|a →|＜|b →|”是“|a →•b →|＜|b →|2”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9．设{a n }是首项为正数，公比为q 的无穷等比数列，其前n 项和为S n ．若存在无穷多个正整数k ，使S k ≤0，则q 的取值范围是（） A ．（﹣∞，0）B ．（﹣∞，﹣1]C ．[﹣1，0）D ．（0，1）10．如图，水平地面上有一正六边形地块ABCDEF ，设计师规划在正六边形的顶点处矗立六根与地面垂直的柱子，用以固定一块平板式太阳能电池板A 1B 1C 1D 1E 1F 1．若其中三根柱子AA 1，BB 1，CC 1的高度依次为12m ，9m ，10m ，则另外三根柱子的高度之和为（）A ．47mB ．48mC ．49mD ．50m二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

高三数学上册期末考试试卷

高三数学上册期末考试试卷一、选择题（每题5分，共60分）1. 设集合A = {x|x² - 3x + 2 = 0}，B = {x|x² - ax + a - 1 = 0}，若A∪B = A，则实数a的值为（）A. 2B. 3C. 2或3D. 1或2或32. 已知复数z = (1 + i)/(1 - i)，则z的共轭复数z̅为（）A. iB. -iC. 1D. -13. 函数y = log₂(x² - 3x + 2)的定义域为（）A. {x|x > 2或x < 1}B. {x|x > 2}C. {x|x < 1}D. {x|1 < x < 2}4. 若向量a = (1,2)，b = (2,m)，且a⊥b，则m的值为（）A. -1B. -4C. 1D. 45. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3 + a7 = 10，则S9等于（）A. 45B. 50C. 90D. 1006. 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a = 2，b = 3，C = 60°，则c的值为（）A. 7B. 19C. 7D. 197. 若函数f(x) = sin(ωx + φ)(ω>0, -π/2 < φ < π/2)的最小正周期为π，且图象过点(0, -1/2)，则ω和φ的值分别为（）A. ω = 2，φ = -π/6B. ω = 2，φ = -π/3C. ω = 1，φ = -π/6D. ω = 1，φ = -π/38. 已知双曲线x²/a² - y²/b² = 1(a > 0,b > 0)的一条渐近线方程为y = 3x，则双曲线的离心率为（）A. 10B. 10/3C. 2D. 229. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）（此处应给出三视图的描述以便计算体积，这里假设一个简单情况）假设主视图是一个边长为2的正方形，左视图是一个宽为1高为2的矩形，俯视图是一个边长为2的正方形，则该几何体是一个长方体，长、宽、高分别为2、2、1。

高三上学期数学期末考试试卷

高三上学期数学期末考试试卷一、单选题（共4题；共8分）1.若命题甲：，命题乙：，则命题甲是命题乙的（）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 非充分也非必要条件2.已知函数为函数的反函数，且函数的图像经过点，则函数的图像一定经过点（）A. B. C. D.3.以抛物线的焦点为右焦点，且长轴为4的椭圆的标准方程为（）A. B. C. D.4.动点在圆上绕坐标原点作逆时针匀速圆周运动，旋转一周的时间恰好是12秒，已知时间时，点的坐标是，则动点的纵坐标关于（单位：秒）的函数在下列哪个区间上单调递增（）A. B. C. D.二、填空题（共12题；共13分）5.若集合，集合，则________6.________7.已知复数z满足iz=1+i（i为虚数单位），则|z|=________8.若关于、的方程组为，则该方程组的增广矩阵为________9.设是等差数列，且，，则________10.在的二项展开式中，常数项的值为________11.已知圆柱的底面半径为1，母线长为2，则其侧面积为________.12.已知集合，任取，则幂函数为偶函数的概率为________（结果用数值表示）13.在△中，边、、满足，，则边的最小值为________14.若函数存在零点，则实数的取值范围是________15.已知数列，，，若对于任意的，，不等式恒成立，则实数的取值范围为________16.如果方程组有实数解，则正整数的最小值是________三、解答题（共5题；共60分）17.如图，四棱锥的底面是正方形，平面，，点是线段上任意一点.（1）求证：；（2）试确定点的位置，使与平面所成角的大小为30°.18.已知函数.（1）求函数的最小正周期及单调递增区间；（2）在△中，，若函数的图像经过点，求△的面积.19.某贫困村共有农户100户，均从事水果种植，平均每户年收入为1.8万元，在当地政府大力扶持和引导下，村委会决定2020年初抽出户（，）从事水果销售工作，经测算，剩下从事水果种植的农户平均每户年收入比上一年提高了，而从事水果销售的农户平均每户年收入为万元.（1）为了使从事水果种植的农户三年后平均每户年收入不低于2.4万元，那么2020年初至少应抽出多少农户从事水果销售工作？（2）若一年后，该村平均每户的年收入为（万元），问的最大值是否可以达到2.1万元？20.已知曲线，过点作直线和曲线交于、两点.（1）求曲线的焦点到它的渐近线之间的距离；（2）若，点在第一象限，轴，垂足为，连结，求直线倾斜角的取值范围；（3）过点作另一条直线，和曲线交于、两点，问是否存在实数，使得和同时成立？如果存在，求出满足条件的实数的取值集合，如果不存在，请说明理由. 21.定义（，）为有限实数列的波动强度.（1）求数列1，4，2，3的波动强度；（2）若数列，，，满足，判断是否正确，如果正确请证明，如果错误请举出反例；（3）设数列，，，是数列，，，，的一个排列，求的最大值，并说明理由.答案解析部分一、单选题1.【答案】A2.【答案】B3.【答案】C4.【答案】D二、填空题5.【答案】6.【答案】7.【答案】8.【答案】9.【答案】10.【答案】1511.【答案】12.【答案】13.【答案】14.【答案】15.【答案】16.【答案】三、解答题17.【答案】（1）证明：连结，因为四边形为正方形，所以，，又因为⊥平面，平面，所以．由平面．又因为平面，所以．解法2：以为坐标原点，建立空间直角坐标系．，，，．设,则则，因为，所以（2）解：解法一：设，因为⊥平面，所以与平面所成角为在中，由．所以，当时，与平面所成角的大小为．解法2：取平面的一个法向量为因为，可知直线的一个方向向量为．设与平面所成角为，由题意知．与所成的角为，则，因为，所以，，解得，．当时，与平面所成角的大小为．18.【答案】（1）解：由已知令，得所以函数的单调递增区间为（2）解：由已知，又，\19.【答案】（1）解：经过三年，种植户的平均收入为因而由题意，得由,即至少抽出户贫困农户从事水果销售工作（2）解：对称轴，因而当时，可以达到万元20.【答案】（1）解：曲线的焦点为，渐近线方程，由对称性，不妨计算到直线的距离，.（2）解：设，，从而又因为点在第一象限，所以，从而，所以直线倾斜角的取值范围是（3）解：当直线，直线，当直线，直线时，不妨设，与双曲线联立可得，由弦长公式，将替换成，可得由，可得，解得，此时成立．因此满足条件的集合为21.【答案】（1）解：（2）解：是正确的证明：或，且所以，即并且当时，可以取等号，当时，可以取等号，所以等号可以取到（3）解：设，，是单调递增数列.分是奇、偶数情况讨论，其中，，并且.经过上述调整后的数列，系数不可能为0.当为偶数时，系数中有个和个，个和个.当为奇数时，有两种情况：系数中有个和个，个；或系数中有个和个，个.[1] 是偶数，，[2] 是奇数，，因为，，可知综上，当为偶数时，，；当为奇数时，，。

2023-2024学年北京市石景山区高三(上)期末数学试卷【答案版】

2023-2024学年北京市石景山区高三（上）期末数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．已知集合A ＝{﹣2，0，2，4}，B ＝{x |x 2≤4}，则A ∩B ＝（） A ．{﹣2，0，2}B ．{0，2}C ．{﹣2，2}D ．{0，2，4}2．若复数z 1＝1+2i 与复数z 2在复平面内对应的点关于虚轴对称，则z 1z 2＝（） A ．5B ．﹣5C ．3D ．﹣33．(x 2−2x)4展开式中含x 5的项的系数为（）A ．8B ．﹣8C ．4D ．﹣44．已知向量a →=（5，m ），b →=（2，﹣2），若（a →−b →）⊥b →，则m ＝（） A ．﹣1B ．1C ．2D ．﹣25．已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 2＝15，S 5＝65，则a 1+a 4＝（） A ．24B ．26C ．28D ．306．直线2x ﹣y +m ＝0与圆x 2+y 2﹣2x ﹣4＝0有两个不同交点的一个充分不必要条件是（） A ．﹣5＜m ＜3B ．0＜m ＜5C ．﹣9＜m ＜3D ．﹣7＜m ＜37．设函数f(x)={log 2(2−x)，x ＜12x−1，x ≥1，则f （﹣2）+f （log 210）＝（）A ．2B ．5C ．7D ．108．在△ABC 中，2a cos A ＝b cos C +c cos B ，则∠A ＝（） A ．π6B ．π3C ．π2D ．2π39．已知函数f （x ）＝ln |x +1|﹣ln |x ﹣1|，则f （x ）（） A ．是偶函数，且在（﹣1，1）上单调递增 B ．是奇函数，且在（1，+∞）上单调递减C ．是偶函数，且在（﹣∞，﹣1）上单调递增D ．是奇函数，且在（﹣1，1）上单调递减10．在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点P 在正方形ADD 1A 1内（不含边界），则在正方形DCC 1D 1内（不含边界）一定存在一点Q ，使得（）A．PQ∥AC B．PQ⊥ACC．AC⊥平面PQC1D．平面PQC1∥平面ABC 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

2023-2024学年北京市大兴区高三(上)期末数学试卷【答案版】

2023-2024学年北京市大兴区高三（上）期末数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1．已知全集U ＝{x |x ＞1}，集合A ＝{x |x ≥2}，则∁U A ＝（） A ．{x |1＜x ≤2}B ．{x |x ＜2}C ．{x |1＜x ＜2}D ．{x |x ≤1}2．若复数z 满足i •（z +i ）＝1，则复数z 的虚部是（） A ．﹣2B ．2C ．﹣1D ．03．(x 2−1x)6的展开式中的常数项为（）A ．20B ．﹣20C ．15D ．﹣154．设向量a →，b →，若|a →|=1，b →=(−3，4)，b →=λa →(λ＞0)，则a →=（） A ．(45，−35)B ．(−45，35)C ．(35，−45)D ．(−35，45)5．已知函数f （x ）＝2x ﹣1，则不等式f （x ）≤x 的解集为（） A ．（﹣∞，2]B ．[0，1]C ．[1，+∞）D ．[1，2]6．在△ABC 中，“C =π2”是“sin 2A +sin 2B ＝1”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．已知定点M （1，3）和抛物线C ：x 2＝8y ，F 是抛物线C 的焦点，N 是抛物线C 上的点，则|NF |+|NM |的最小值为（） A ．3B ．4C ．5D ．68．已知a ＞b ＞0且ab ＝10、则下列结论中不正确的是（） A ．lga +lgb ＞0 B ．lga ﹣lgb ＞0 C ．lga ⋅lgb ＜14D ．lga lgb＞19．木楔在传统木工中运用广泛．如图，某木楔可视为一个五面体，其中四边形ABCD 是边长为2的正方形，且△ADE ，△BCF 均为等边三角形，EF ∥CD ，EF ＝4，则该木楔的体积为（）A ．√2B ．2√2C ．2√23D ．8√2310．设无穷等差数列{a n }的公差为d ，集合T ＝{t |t ＝sin a n ，n ∈N *}．则（） A ．T 不可能有无数个元素B ．当且仅当d ＝0时，T 只有1个元素C ．当T 只有2个元素时，这2个元素的乘积有可能为12D ．当d =2πk，k ≥2，k ∈N ∗时，T 最多有k 个元素，且这k 个元素的和为0 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11．设{a n }是等比数列，a 1＝1，a 2•a 4＝16，则a 5＝． 12．若双曲线x 2−y 2b2=1（b ＞0）的一条渐近线方程为2x ﹣y ＝0，则b ＝． 13．能够说明“设a ，b ，c 是任意实数．若a ＞b ＞c ，则ab ＞c 2”是假命题的一组整数a ，b ，c 的值依次为．14．如图是六角螺母的横截面，其内圈是半径为1的圆O ，外框是以为O 中心，边长为2的正六边形ABCDEF ，则O 到线段AC 的距离为；若P 是圆O 上的动点，则AC →⋅AP →的取值范围是．15．设函数f （x ）的定义域为R ，且f （x ）满足如下性质：（i ）若将f （x ）的图象向左平移2个单位，则所得的图象关于y 轴对称，（ii ）若将f （x ）图象上的所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的12，再向左平移12个单位，则所得的图象关于原点对称．给出下列四个结论：①f （1）＝f （3）；②f （0）＝0；③f （2）+f （4）＝0；④f(−12)f(112)≤0．其中所有正确结论的序号是．三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程，16．（14分）如图．在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，BB 1⊥平面ABC ，CA ＝CB =√5，AA 1=AB ＝2，D 、E 分别为AB ，AA 1的中点．（1）求证：平面CDE ⊥平面ABB 1A 1；（2）求直线CE 与平面BCC 1B 1所成角的正弦值．17．（13分）在△ABC中，a＝1，b＝2．（1）若c=2√2，求△ABC的面积：（2）在下列三个条件中选择一个作为已知，使△ABC存在，求∠A．条件①：∠B＝2∠A；条件②：∠B=π3+∠A；条件③：∠C＝2∠A．注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．18．（13分）为了解客户对A，B两家快递公司的配送时效和服务满意度情况，现随机获得了某地区客户对这两家快递公司评价的调查问卷，已知A，B两家公司的调查问卷分别有120份和80份，全部数据统计如下：假设客户对A，B两家快递公司的评价相互独立．用频率估计概率，（1）从该地区选择A快递公司的客户中随机抽取1人，估计该客户对A快递公司配送时效的评价不低于75分的概率；（2）分别从该地区A和B快递公司的样本调查问卷中，各随机抽取1份，记X为这2份问卷中的服务满意度评价不低于75分的份数，求X的分布列和数学期望；（3）记评价分数x≥85为“优秀”等级，75≤x＜85为“良好”等级，65≤x＜75为“一般”等级、已知小王比较看重配送时效的等级，根据该地区A，B两家快递公司配送时效的样本评价分数的等级情况．你认为小王选择A，B哪家快递公司合适？说明理由．19．（15分）已知椭圆C的两个顶点分别为A（﹣2，0），B（2，0），焦点在x轴上，离心率为√3 2．（1）求椭圆C 的方程；（2）设O 为原点，过点T （4，0）的直线l 交椭圆C 于点M ，N ，直线BM 与直线x ＝1相交于点P ，直线AN 与y 轴相交于点Q ．求证：△OAQ 与△OTP 的面积之比为定值． 20．（15分）已知函数f(x)=ax +ln1−x1+x．（1）若曲线y ＝f （x ）在点（0，f （0））处的切线斜率为0，求a 的值；（2）当a ＝4时，求f （x ）的零点个数；（3）证明：0≤a ≤2是f （x ）为单调函数的充分而不必要条件．21．（15分）若各项为正的无穷数列{a n }满足：对于∀n ∈N *，a n+12−a n 2=d ，其中d 为非零常数，则称数列{a n }为D 数列．记b n ＝a n +1﹣a n ．（1）判断无穷数列a n =√n 和a n ＝2n 是否是D 数列，并说明理由；（2）若{a n }是D 数列，证明：数列{b n }中存在小于1的项；（3）若{a n }是D 数列，证明：存在正整数n ，使得∑ n i=11a i＞2024．2023-2024学年北京市大兴区高三（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1．已知全集U ＝{x |x ＞1}，集合A ＝{x |x ≥2}，则∁U A ＝（） A ．{x |1＜x ≤2}B ．{x |x ＜2}C ．{x |1＜x ＜2}D ．{x |x ≤1}解：U ＝{x |x ＞1}，集合A ＝{x |x ≥2}，则∁U A ＝{x |1＜x ＜2}．故选：C ．2．若复数z 满足i •（z +i ）＝1，则复数z 的虚部是（） A ．﹣2B ．2C ．﹣1D ．0解：∵i •（z +i ）＝1，∴z +i =1i=−i ，解得z ＝﹣2i ，∴z 的虚部为﹣2．故选：A ．3．(x 2−1x)6的展开式中的常数项为（）A ．20B ．﹣20C ．15D ．﹣15解：通项公式T r +1=∁6r （x 2）6﹣r(−1x)r =（﹣1）r ∁6r x 12﹣3r ，令12﹣3r ＝0，解得r ＝4．∴展开式中的常数项=∁64=15．故选：C ．4．设向量a →，b →，若|a →|=1，b →=(−3，4)，b →=λa →(λ＞0)，则a →=（） A ．(45，−35)B ．(−45，35)C ．(35，−45)D ．(−35，45)解：设a →=（m ，n ），∵若|a →|=1，b →=(−3，4)，b →=λa →(λ＞0)， ∴λm ＝﹣3，λn ＝4，且m 2+n 2＝1，即9λ2+16λ2=1，∴λ2＝25，又λ＞0， ∴λ＝5，∴m =−35，n =45，∴a →=（m ，n ）＝（−35，45）．故选：D ．5．已知函数f （x ）＝2x ﹣1，则不等式f （x ）≤x 的解集为（）A．（﹣∞，2]B．[0，1]C．[1，+∞）D．[1，2]解：令g（x）＝f（x）﹣x＝2x﹣x﹣1，则g′（x）＝2x ln2﹣1，令g′（x）＝0，得2x=1ln2=log2e，即x＝log2（log2e），当x∈（﹣∞，log2（log2e））时，g′（x）＜0，当x∈（log2（log2e），+∞）时，g′（x）＞0，∴g（x）在区间（﹣∞，log2（log2e））上单调递减，在区间（log2（log2e），+∞）上单调递增，又g（0）＝0，g（1）＝0，∴当x∈[0，1]时，g（x）＝f（x）﹣x＝2x﹣x﹣1≤0，∴不等式f（x）≤x的解集为[0，1]．故选：B．6．在△ABC中，“C=π2”是“sin2A+sin2B＝1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解：在△ABC中，当C=π2时，则A+B=π2，故sin2A+sin2B=sin2A+sin2(π2−A)=sin2A+cos2A＝1，故充分性成立，当A＝120°，B＝30°，满足sin2A+sin2B＝1，但C≠π2，故必要性不成立，综上所述，在△ABC中，“C=π2”是“sin2A+sin2B＝1”的充分不必要条件．故选：A．7．已知定点M（1，3）和抛物线C：x2＝8y，F是抛物线C的焦点，N是抛物线C上的点，则|NF|+|NM|的最小值为（）A．3B．4C．5D．6解：作出抛物线C：x2＝8y的图象如图：点M（1，3）在抛物线C：x2＝8y内，抛物线的准线方程为y＝﹣2，过M作准线的垂线，垂足为K，垂线交抛物线于N，则此时|NF|+|NM|取最小值为|MK|＝3﹣（﹣2）＝5．8．已知a ＞b ＞0且ab ＝10、则下列结论中不正确的是（） A ．lga +lgb ＞0 B ．lga ﹣lgb ＞0 C ．lga ⋅lgb ＜14D ．lga lgb＞1解：∵a ＞b ＞0且ab ＝10，∴a b＞1，b =10a ，a ＞√10（若a ≤√10，则b ＜√10，ab ＜10，与已知矛盾），∴lgab ＝lga +lgb ＝lg 10＝1＞0，A 正确； ∴lg ab =lga ﹣lgb ＞lg 1＝0，B 正确；由a ＞√10，得lga ＞12，∴（lga −12）2＞0，∴lga •lgb ＝lga •lg 10a=lga （1﹣lga ）＝﹣（lga −12）2+14＜14，C 正确；∵lga lgb −1=lga−lgb lgb 中，分子lga ﹣lgb ＞0，但分母lgb 的符号不确定，故lga lgb−1的符号不确定，D 错误．故选：D ．9．木楔在传统木工中运用广泛．如图，某木楔可视为一个五面体，其中四边形ABCD 是边长为2的正方形，且△ADE ，△BCF 均为等边三角形，EF ∥CD ，EF ＝4，则该木楔的体积为（）A ．√2B ．2√2C ．2√23D ．8√23解：如图，分别过点A ，B 作EF 的垂线，垂足分别为G ，H ，连接DG ，CH ，由四边形ABCD 是边长为2的正方形，且△ADE ，△BCF 均为正三角形，EF ∥CD ，EF ＝4，得EG ＝HF ＝1，AG ＝GD ＝BH ＝HC =√3．取AD 的中点O ，连接GO ，可得GO =√2， ∴S △ADG ＝S △BCH =12×√2×2=√2． ∴该木楔子的体积V ＝V E ﹣ADG +V F ﹣BCH +V AGD ﹣BHC ＝2V E ﹣ADG +V AGD ﹣BHC =2×13×√2×1+√2×2=8√23．10．设无穷等差数列{a n }的公差为d ，集合T ＝{t |t ＝sin a n ，n ∈N *}．则（） A ．T 不可能有无数个元素B ．当且仅当d ＝0时，T 只有1个元素C ．当T 只有2个元素时，这2个元素的乘积有可能为12D ．当d =2πk，k ≥2，k ∈N ∗时，T 最多有k 个元素，且这k 个元素的和为0 解：对于A ，不妨令a n ＝n ，则d ＝1，则t ＝sin a n ，由于y ＝sin x 的周期为2π，且对称轴为x =π2+kπ，k ∈Z ，则对任意的a i ，a j ，i ，j ∈N *，i ≠j ，必有sin a i ≠sin a j ，当a n 有无穷项时，T 中有无数元素，A 错误；对于B ，令a n ＝n π，此时d ＝π，此时sin n π＝0，T 中只有一个元素0，B 错误；对于C ，若T 中只有两个元素，根据y ＝sin x 的周期性与中心对称性，sin a n 的值必一正一负，因为若两个值都为正，必不满足等差数列的定义，所以该两个数的乘积必为负，C 错误；对于D ，当d =2πk ，k ≥2，k ∈N ∗时，在y ＝sin x 的一个周期[0，2π）内，取a 1＝0，此时k ×2πk=2π，比如取k ＝5，此时sin a 1，sin a 2，⋯，sin a 5两两不相等，此时T 有5个元素；而结合y ＝sin x 的周期为2π可知，必有sin a i 必周期性重复出现，所以T 中最多有k 个元素；再证明和为0，∑ k−1i=0sin(α+2iπk )=12sin πk ∑ k−1i=0[sin(α+2iπk )sin πk ]=12sin πk ∑ k−1i=0[cos(α+2i−1k π)−cos(α+2i+1k π)]=12sin πk[cos(α−πk )−cos （α+2k−1k π）]＝0，D 正确．故选：D ．二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11．设{a n }是等比数列，a 1＝1，a 2•a 4＝16，则a 5＝ 16 ．解：因为等比数列{a n }中，a 1＝1，a 2a 4=a 12⋅q 4=16，则q 4＝16，所以a 5=a 1⋅q 4=16．故答案为：16．12．若双曲线x 2−y 2b2=1（b ＞0）的一条渐近线方程为2x ﹣y ＝0，则b ＝ 2 ．解：双曲线x 2−y 2b2=1（b ＞0），则渐近线为y =±ba =±b ，双曲线x 2−y 2b2=1（b ＞0）的一条渐近线方程为2x ﹣y ＝0，即y ＝2x ，b ＞0，则b ＝2．故答案为：2．13．能够说明“设a ，b ，c 是任意实数．若a ＞b ＞c ，则ab ＞c 2”是假命题的一组整数a ，b ，c 的值依次为 ﹣1，﹣2，﹣3（答案不唯一）．解：当a ＝﹣1，b ＝﹣2，c ＝﹣3时，满足a ＞b ＞c ，但ab ＝2，c 2＝9，ab ＜c 2，故“设a ，b ，c 是任意实数．若a ＞b ＞c ，则ab ＞c 2”是假命题．故答案为：﹣1，﹣2，﹣3（答案不唯一）．14．如图是六角螺母的横截面，其内圈是半径为1的圆O ，外框是以为O 中心，边长为2的正六边形ABCDEF ，则O 到线段AC 的距离为 1 ；若P 是圆O 上的动点，则AC →⋅AP →的取值范围是 [6﹣2√3，6+2√3] ．解：如图以O 为坐标原点，AD 所在直线为x 轴，AD 的垂直平分线所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系，设点P （cos θ，sin θ）（0≤θ≤2π），由题意知，A （﹣2，0），O （0，0），C （1，−√3），直线AC 的斜率k =−√31−(−2)=−√33，AC 的方程为y ﹣0=√33（x +2），即x +√3y +2＝0，故O 到线段AC 的距离d =2√1+(√3)2=1；又AC →=（3，−√3），AP →=（2+cos θ，sin θ），AC →⋅AP →=6+3cos θ−√3sin θ＝6+2√3（√32cos θ−12sin θ）＝6+2√3sin （π3−θ）∈[6﹣2√3，6+2√3]．故答案为：1；[6﹣2√3，6+2√3]．15．设函数f （x ）的定义域为R ，且f （x ）满足如下性质：（i ）若将f （x ）的图象向左平移2个单位，则所得的图象关于y 轴对称，（ii ）若将f （x ）图象上的所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的12，再向左平移12个单位，则所得的图象关于原点对称．给出下列四个结论：①f （1）＝f （3）；②f （0）＝0；③f （2）+f （4）＝0；④f(−12)f(112)≤0．其中所有正确结论的序号是 ①③④ ．解：∵将f （x ）的图象向左平移2个单位，则所得的图象关于y 轴对称，∴f （x ）的图象关于x ＝2对称，∴f （﹣x ）＝f （x +4），∴f （1）＝f （3），∴①正确；∵将f （x ）图象上的所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的12，再向左平移12个单位，则所得的函数为f （2x +1），又f （2x +1）的图象在R 上关于原点对称，∴f （﹣2x +1）+f （2x +1）＝0，∴2f （1）＝0，∴f （1）＝0， ∴f （x ）关于（1，0）对称，∴f （﹣x ）＝﹣f （x +2），又f （﹣x ）＝f （x +4）， ∴f （x +4）＝﹣f （x +2），∴f （x +2）＝﹣f （x ）， ∴f （x +4）＝f （x ），∴f （x ）的周期T ＝4，∵f （﹣x ）＝﹣f （x +2），∴f （0）＝﹣f （2），而x ＝2是f （x ）的对称轴，∴f （2）不一定为0， ∴f （0）＝0不一定成立，∴②错误；∵f （0）＝﹣f （2），∴f （2）+f （0）＝0，由周期性可知f （0）＝f （4）， ∴f （2）+f （4）＝0，∴③正确； ∵f （x ）的周期T ＝4，∴f （112）＝f （4+32）＝f （32），又f （x +2）＝﹣f （x ），∴f （32）＝﹣f （−12），∴f （112）＝f （4+32）＝f （32）＝﹣f （−12），∴f （−12）f （112）=−[f(−12)]2≤0，∴④正确．故答案为：①③④．三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程，16．（14分）如图．在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，BB 1⊥平面ABC ，CA ＝CB =√5，AA 1=AB ＝2，D 、E 分别为AB ，AA 1的中点．（1）求证：平面CDE ⊥平面ABB 1A 1；（2）求直线CE 与平面BCC 1B 1所成角的正弦值．（1）证明：由BB 1⊥平面ABC ，CD ⊂平面ABC ，可得BB 1⊥CD ，由CA ＝CB ，D 为AB 中点，可得CD ⊥AB ，又AB ∩BB 1＝B ，AB ，BB 1⊂平面ABB 1A 1，所以CD ⊥平面ABB 1A 1，又CD ⊂平面CDE ，所以平面CDE ⊥平面ABB 1A 1；（2）解：由（1）知：DA ，DC ，BB 1两两垂直，过D 作Dz ∥BB 1，则DA ，DC ，Dz 两两垂直，故以D 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，由CA ＝CB =√5，AA 1=AB ＝2，D 、E 分别为AB ，AA 1的中点，可得B （﹣1，0，0），C （0，2，0），C 1（0，2，2），E （1，0，1），则CE →=(1，−2，1)，CB →=(−1，−2，0)，CC 1→=(0，0，2)，设平面BCC 1B 1的法向量为n →=(x ，y ，z)，则有{n →⋅CB →=−x −2y =0n →⋅CC 1→=2z =0，令x ＝2，则y ＝﹣1，z ＝0，可得平面BCC 1B 1的一个法向量为n →=(2，−1，0)，设直线CE 与平面BCC 1B 1所成角为θ，则有sinθ=|cos ＜CE →，n →＞|=|CE →⋅n →||CE →||n →|=4√6×√5=2√3015，故直线CE 与平面BCC 1B 1所成角的正弦值为2√3015．17．（13分）在△ABC中，a＝1，b＝2．（1）若c=2√2，求△ABC的面积：（2）在下列三个条件中选择一个作为已知，使△ABC存在，求∠A．条件①：∠B＝2∠A；条件②：∠B=π3+∠A；条件③：∠C＝2∠A．注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．解：（1）在△ABC中，a＝1，b＝2，c=2√2，由余弦定理，可得cos C=a2+b2−c22ab=1+4−82×2×1=−34，又C∈（0，π），可得sin C=√1−916=√74，故S△ABC=12ab⋅sinC=12×1×2×√74=√74；（2）若选条件①：由题意有B＝2A，a＝1，b＝2，则由正弦定理，可得sinBsinA=ba，即sin2AsinA=2cos A＝2，即cos A＝1，又A∈（0，π），cos A≠1，故△ABC不存在；若选条件②：由题意有B=π3+A，a＝1，b＝2，则由正弦定理，可得sinBsinA=ba，即sin(π3+A)sinA=2，即32sinA−√32cosA=0，即√3sin(A−π6)=0，所以sin(A−π6)=0，又A∈（0，π），所以A−π6∈(−π6，5π6)，故A−π6=0，即A=π6；若选条件③：由题意有C＝2A，a＝1，b＝2，则由正弦定理，可得sinCsinA=ca，即sin2AsinA=2cosA=ca，由余弦定理，可得b2+c2−a22bc=c2a，即4+c2﹣1＝2c2，解得c=√3，故cos A=c2a=√32，又A∈（0，π），所以A=π6；综上，只能选择条件②或③，解得A=π6．18．（13分）为了解客户对A，B两家快递公司的配送时效和服务满意度情况，现随机获得了某地区客户对这两家快递公司评价的调查问卷，已知A，B两家公司的调查问卷分别有120份和80份，全部数据统计如下：假设客户对A ，B 两家快递公司的评价相互独立．用频率估计概率，（1）从该地区选择A 快递公司的客户中随机抽取1人，估计该客户对A 快递公司配送时效的评价不低于75分的概率；（2）分别从该地区A 和B 快递公司的样本调查问卷中，各随机抽取1份，记X 为这2份问卷中的服务满意度评价不低于75分的份数，求X 的分布列和数学期望；（3）记评价分数x ≥85为“优秀”等级，75≤x ＜85为“良好”等级，65≤x ＜75为“一般”等级、已知小王比较看重配送时效的等级，根据该地区A ，B 两家快递公司配送时效的样本评价分数的等级情况．你认为小王选择A ，B 哪家快递公司合适？说明理由．解：（1）根据题中数据，该地区参与A 快递公司调查的问卷共120份，样本中对A 快递公司配送时效的评价不低于75分的问卷共29+47＝76 份，所以样本中对A 快递公司配送时效的评价不低于75分的频率为76120=1930，估计该地区客户对A 快递公司配送时效的评价不低于75分的概率1930；（2）X 的所有可能取值为0，1，2，记事件C 为“从该地区A 快递公司的样本调查问卷中随机抽取1份，该份问卷中的服务满意度评价不低于75分”，事件D 为“从该地区B 快递公司的样本调查问卷中随机抽取1份，该份问卷中的服务满意度评价不低于75分”，由题设知，事件C ，D 相互独立，且P(C)=24+56120=23，P(D)=12+4880=34，所以P （X ＝0）＝P （CD ）＝（1−23）×（1−34）=112，P （X ＝1）＝P （CD ∪C D ）＝（1−23）×34+23×(1−34)=512，P （X ＝2）＝P （CD ）=23×34=12，所以X的分布列为：故X的数学期望E（X）＝0×112+1×512+2×12=1712；（3）答案不唯一，答案示例1：小王选择A快递公司合适，理由如下：根据样本数据，估计A快递公司配送时效评价为“优秀”的概率是29120，估计B快递公司配送时效评价为“优秀”的概率是1 5，因为29120＞15，故小王选择A快递公司合适，答案示例2：小王选择B快递公司合适，理由如下：由（1）知，估计A快递公司配送时效评价为“良好”以上的概率是1930，由样本数据可知，估计B快递公司配送时效评价为“良好”以上的概率是16+4080=5680=710，因为1930＜710，故小王选择B快递公司合适．19．（15分）已知椭圆C的两个顶点分别为A（﹣2，0），B（2，0），焦点在x轴上，离心率为√3 2．（1）求椭圆C的方程；（2）设O为原点，过点T（4，0）的直线l交椭圆C于点M，N，直线BM与直线x＝1相交于点P，直线AN与y轴相交于点Q．求证：△OAQ与△OTP的面积之比为定值．解：（1）由题意可得a＝2，e=ca=√32，可得c=√3，所以b2＝a2﹣c2＝4﹣3＝1，所以椭圆C的方程为：x24+y2＝1；证明：（2）显然直线l的斜率存在且不为0，由题意设直线l的方程为x＝my+4，设M（x1，y1），N（x2，y2），联立{x=my+4x24+y2=1，整理可得：（4+m2）y2+8my+12＝0，则Δ＝82m2﹣4×12×（4+m2）＞0，即m2＞12，且y1+y2=−8m4+m2，y1y2=124+m2，可得y1y2y1+y2=−128m=−32m，即2my1y2＝﹣3（y1+y2），设直线BM的方程为y=y1x1−2（x﹣2），令x＝1，可得y P=−y1x1−2=−y1my1+2，直线AN 的方程为y =y 2x 2+2（x +2），令x ＝0，可得y Q =2y 2x 2+2=2y 2my 2+6，所以S △OAQ S OTP=12|OA|⋅|y Q |12|OT|⋅|y P |=24•|2y 2my 2+6y 1my 1+2|＝|my 1y 2+2y 2my 1y 2+6y 1|＝|−32(y 1+y 2)+2y 2−32(y 1+y 2)+6y 1|=13•|y 2−3y 1−y 2+3y 1|=13，为定值．即证得：△OAQ 与△OTP 的面积之比为定值，且定值为13．20．（15分）已知函数f(x)=ax +ln1−x1+x．（1）若曲线y ＝f （x ）在点（0，f （0））处的切线斜率为0，求a 的值；（2）当a ＝4时，求f （x ）的零点个数；（3）证明：0≤a ≤2是f （x ）为单调函数的充分而不必要条件．解：（1）函数f(x)=ax +ln1−x 1+x 的导数为f ′（x ）＝a +1+x 1−x •−2(1+x)2=a +2x 2−1，可得曲线y ＝f （x ）在点（0，f （0））处的切线斜率为a ﹣2＝0，解得a ＝2；（2）当a ＝4时，f （x ）＝4x +ln 1−x 1+x ，由1−x1+x＞0，解得﹣1＜x ＜1，f （x ）的定义域为（﹣1，1），关于原点对称，f （﹣x ）+f （x ）＝﹣4x +ln 1+x 1−x +4x +ln 1−x1+x=0+ln 1＝0，即f （﹣x ）＝﹣f （x ），可得f （x ）为奇函数，则f （0）＝0，当0＜x ＜1时，f （x ）的导数为f ′（x ）＝4+2x 2−1=4x 2−2x 2−1，当0＜x ＜√22时，f ′（x ）＞0，f （x ）递增；当√22＜x ＜1时，f ′（x ）＜0，f （x ）递减，可得f （x ）在x =√22处取得最大值，又x →1时，f （x ）→﹣∞，所以0＜x ＜1时，f （x ）有一个零点；由奇函数的性质可得﹣1＜x ＜0时，f （x ）有一个零点，则当a ＝4时，f （x ）的零点个数为3；（3）证明：由f （x ）＝ax +ln 1−x1+x为单调函数，即f （x ）在（﹣1，1）内递增，或递减．由f ′（x ）＝a +2x 2−1，若f （x ）在（﹣1，1）内递增，则f ′（x ）≥0，即a ≥21−x 2恒成立．由g （x ）=21−x 2∈[2，+∞），则a ≥21−x 2不恒成立，即f （x ）在（﹣1，1）内不为递增函数．若f （x ）在（﹣1，1）内递减，则f ′（x ）≤0，即a ≤21−x 2恒成立．由g （x ）=21−x 2∈[2，+∞），则a ≤2，所以，f （x ）为单调函数的充要条件为a ≤2，而{a |0≤a ≤2}⫋（﹣∞，2]，则0≤a ≤2是f （x ）为单调函数的充分而不必要条件．21．（15分）若各项为正的无穷数列{a n }满足：对于∀n ∈N *，a n+12−a n 2=d ，其中d 为非零常数，则称数列{a n }为D 数列．记b n ＝a n +1﹣a n ．（1）判断无穷数列a n =√n 和a n ＝2n 是否是D 数列，并说明理由；（2）若{a n }是D 数列，证明：数列{b n }中存在小于1的项；（3）若{a n }是D 数列，证明：存在正整数n ，使得∑ n i=11a i＞2024．解：（1）数列a n =√n 是D 数列．理由如下：a n+12−a n 2=(√n +1)2−(√n)2=1满足D 数列定义，数列a n =2n 不是D 数列．理由如下：a n+12−a n 2=(2n+1)2−(2n )2=22n+2−22n =3⋅22n 不是常数；（2）以下证明：d ＞0．假设d ＜0，由a n+12−a n 2=d 知{a n 2}为等差数列，故a n 2=a 12+(n −1)d ，因为{a n }是各项为正的无穷数列，当n 取大于[−a 12d ]+1 的整数时，a n 2≤a 12+([−a 12d]+2−1)d ＜0，与已知矛盾，所以假设不成立，所以d ＞0，以下证明{a n } 是递增数列．因为d ＞0，a n+12=a n 2+d ＞a n 2，且{a n }是各项为正的无穷数列，所以a n +1＞a n ，所以{a n } 是递增数列，以下证明：∀t ＞0，∃k ∈N *，当n ≥k 时，a n ＞t ，若t ＜a 1，当n ＞1时，显然a n ＞t ，若t ≥a 1，取k =[t 2−a 12d]+2，当n ≥k时，a n2≥a 12+([t 2−a 12d ]+2−1)d ＞t 2，即a n ＞t 成立，因为b n =a n+1−a n =d a n+1+a n ＜d2a n，取t =d 2，当m ≥k 时，a n ＞t ，此时，b n ＜d2⋅d 2=1．所以若{a n } 是D 数列，则数列{b n }中存在小于1的项；（3）由（2）知，∃k ∈N ，当n ≥k 时，b n ＜1，即a π+1＜a n +1，以此类推，0＜a k +m ＜a k +m ﹣1+1＜a k +m ﹣2+2＜…＜a k +m ，m ∈N ，所以1a k+m＞1a k +m，m ∈N *，设此时 2s−1≤a k ＜2s ，s ∈N *，令 n ＝k +m ，所以∑n i=11a i＞∑k+mi=k1a i＞1a k＞1a k+1+1a k+2+⋯+1a k+m＞12s+12s+1+12s+2+⋯+12s+m，因为12s+12s+1+12s+2+⋯+1s2s+(2s−1)＞12s+2s=12，所以当m＝2s+2×2024﹣1，m∈N*，∑n i=11a i ＞∑k+mi=k1a i＞12s+12s+1+12s+2+⋯+12s+(2s+2×2024−1)=(12s+12s+1+⋯+12s+(2s−1))+(12s+1+12s+1+1+⋯+12s+1+(2s+1−1))+...+(12s+2×2024+12s+2×2024+1+⋯+12s+2×2024+(2s+2×2024−1))＞2×20242=2024．所以存在正整数n，使得∑n i=11a n＞2024．。

浙江省杭州市2023-2024学年高三上学期期末数学试题含答案

2023-2024学年浙江省杭州市高三（上）期末数学试卷（答案在最后）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2230A x x x =--≤，311B x x ⎧⎫=≤⎨⎬-⎩⎭，则A B = （）A.[]1,3 B.(]1,3 C.[]1,1- D.[)1,1-【答案】D 【解析】【分析】先求出集合,A B ，再由交集的定义求解即可.【详解】由2230x x --≤可得：()()130x x +-≤，解得：13x -≤≤，由311x ≤-可得3101x -≤-，即3101x x -+≤-，即()()1401x x x ⎧--≥⎨≠⎩，解得：1x <或4x ≥，故[]1,3A =-，()[),14,B ∞∞=-⋃+，所以A B = [)1,1-.故选：D .2.已知复数z 满足i z z =-（i 为虚数单位），且z =，则2z =（）A.2iB.2i-C.D.【答案】B 【解析】【分析】设i z a b =+，结合共轭复数的定义和复数的模公式求出即可.【详解】设i z a b =+，(),R a b ∈，则i z a b =-，因为i z z =-，则()()i i i i 0a b a b a b a b a b +=--⨯⇒+++=⇒=-，又z =，则222a b +=，解得1,1a b ==-或1,1a b =-=，所以1i z =-或1i z =-+，所以()221i 2i z =-=-或()221i 2i z =-+=-，故选：B.3.已知随机变量1X ，2X 分别满足二项分布111~,3X B n ⎛⎫ ⎪⎝⎭，221~,3X B n ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则“12n n >”是“()()12D X D X >”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】由二项分布的方差公式求出()()12,D X D X ，再由充分条件和必要条件的定义求解即可.【详解】因为111~,3X B n ⎛⎫ ⎪⎝⎭，221~,3X B n ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以()()1112221121121,1339339D X n n D X n n ⎛⎫⎛⎫=⋅⋅-==⋅⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以12n n >，则()()12D X D X >，若()()12D X D X >，则12n n >.所以“12n n >”是“()()12D X D X >”的充要条件.故选：C .4.若102x <<，则1112x x+-的最小值是（）A.3+B.6C. D.9【答案】A 【解析】【分析】由2(12)1x x +-=，得到1111[2(12)]()1212x x x x x x+=+-+--，结合基本不等式，即可求解.【详解】因为102x <<，可得120x ->，且2(12)1x x +-=，则1111122[2(12)]()3121212x x x x x x x x x x -+=+-+=++---33≥+=+，当且仅当12212x x x x -=-时，即22x =时，等号成立，所以1112x x+-的最小值是3+.故选：A.5.冬季是流行病的高发季节，大部分流行病是由病毒或细菌引起的，已知某细菌是以简单的二分裂法进行无性繁殖，在适宜的条件下分裂一次（1个变为2个）需要23分钟，那么适宜条件下1万个该细菌增长到1亿个该细菌大约需要（参考数据：lg 20.3≈）（）A.3小时 B.4小时C.5小时D.6小时【答案】C 【解析】【分析】设适宜条件下1万个该细菌增长到1亿个该细菌大约需要x 分钟，则231210000x⋅=，两边同时取对数得，结合对数的运算性质求解即可.【详解】设适宜条件下1万个该细菌增长到1亿个该细菌大约需要x 分钟，则231210000x ⋅=，两边同时取对数得，lg 2lg10000423x⋅==，所以42392306.7lg 20.3x ⨯=≈≈，所以大约需要306.7560≈小时.故选：C .6.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()sin cos 0xf x xf x '+>，则（）A.ππ36f ⎫⎫⎛⎛< ⎪ ⎪⎝⎝⎭⎭B.ππ63f f ⎫⎫⎛⎛< ⎪ ⎪⎝⎝⎭⎭C.ππ36f ⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D.ππ63f ⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】B 【解析】【分析】构造函数()()cos f x F x x=，ππ,Z 2x k k ≠+∈，求导得到其单调性，从而得到ππ63F F ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简后得到答案.【详解】令()()cos f x F x x=，ππ,Z 2x k k ≠+∈，故()()()2cos sin 0cos f x x f x xF x x+='>'恒成立，故()()cos f x F x x=在πππ,π,Z 22k k k ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭上单调递增，故ππ63F F ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即ππππππ6363ππ163cos cos6322f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭<⇒⇒< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：B7.已知数列{}n a ，{}n b 满足111a b ==，1n n n a a b +=+，1n n n b a b +=-，则n a =（）A.12n - B.122n - C.122n + D.()21142nn -+-【答案】D 【解析】【分析】根据递推关系，归纳出数列{}n a 的奇数项与偶数项分别为公比为2的等比数列，进而可得数列{}n a 的通项公式.【详解】因为1n n n a a b +=+，1n n n b a b +=-，则112n n n a b a +++=，又211n n n a a b +++=+，则22n n a a +=，所以数列{}n a 的奇数项与偶数项分别为公比为2的等比数列，由111a b ==可得2112a a b =+=，则数列{}n a 的各项为1,2,2,4,4,8,8, ，其中奇数项的通项公式为1122122n n n a a --=⋅=，偶数项的通项公式为122222n n n a a -=⋅=，所以数列{}n a 的通项公式为()21142nn n a -+-=.故选：D8.已知四面体ABCD ，ABC 是边长为6的正三角形，DA DB ==，二面角D AB C --的大小为2π3，则四面体ABCD 的外接球的表面积为（）A.40πB.52πC.72πD.84π【答案】B 【解析】【分析】画出图形，找出外接球球心的位置，利用OD OC r ==以及图形几何关系表示出相应的线段长度，结合勾股定理列方程求出外接球半径即可得解.【详解】如图，取AB 中点E ，连接,CE DE ，因为ABC 是边长为6的正三角形，DA DB ==，则由三线合一可知,AB CE AB DE ⊥⊥，所以二面角D AB C --的平面角为2π3CED ∠=，取三角形ABC 的外心1O ，设外接球的球心为O ，则1OO ⊥平面ABC ，且OA OB OC OD r ====，其中r 为四面体ABCD 外接球的半径，过点D 作DG 垂直平面ABC ，垂足为点G ，由对称性可知点G 必定落在1O E 的延长线上面，由几何关系，设DF x =，而由正弦定理边角互换得112sin 60AB C O =⨯=进而1162O E CE CO =-=⨯-，由勾股定理得DE ==从而()πcos πcos 3EG DE CED DE =⋅-∠=⋅=，()π3sin πsin 32DG DE CED DE =⋅-∠=⋅=，所以132OO FG x ==-，12OF O G ==，所以由OD OC r ==得，2222231222r x r x ⎧⎛⎫=+-⎪ ⎪⎝⎭⎪⎨⎛⎫⎪=+ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎩，解得5,2x r ==，所以四面体ABCD 的外接球的表面积为24π52πr =.故选：B.【点睛】关键点点睛：关键是合理转换二面角D AB C --的大小为2π3，并求出外接球半径，由此即可顺利得解.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知平面向量)a =，(),3b x =- ，则下列命题正确的是（）A.若a b∥，则x =- B.若a b ⊥，则x =C.若a b +=，则0x = D.若5π,6a b =，则x =【答案】ABD 【解析】【分析】A.由共线向量定理求解判断；B.利用向量的数量积运算求解判断；C.利用向量的模公式求解判断；D.由向量的夹角公式求解判断.【详解】A.若a b∥，则13x ⨯=-，解得x =-，故正确；B .若a b ⊥()130+⨯-=，解得x =C.若a b +=，0x =或x =-D.若5π,6a b =，则5πcos ,cos 62a b ===- ，解得x =故选：ABD 10.已知四棱柱1111ABCD A B C D -的底面ABCD 为菱形，且π3DAB ∠=，12A A AB =，11A AB A AD ∠=∠，O 为11AC 的中点，P 为线段1AB 上的动点，则下列命题正确的是（）A.{}1,,OA BD AB可作为一组空间向量的基底B.{},,OA OD AB可作为一组空间向量的基底C.直线//OP 平面1C BDD.向量CP 在平面11AB D 上的投影向量为OP【答案】BCD 【解析】【分析】选项A ，找到11BD B D =，容易判断{}111,,OA B D AB 共面，从而做出判断即可；选项B ，先找到含有两个向量,OA OD 的平面OAD ，判断AB与平面OAD 的关系即可；选项C ，证明平面11//AB D 平面1C BD 即可；选项D ，证明OC 垂直平面11AB D 即可.【详解】如图所示，四棱柱1111ABCD A B C D -，对于选项A ，11BD B D =，三个向量{}111,,OA B D AB 都在平面11AB D ，即三个向量{}111,,OA B D AB 共面，则{}1,,OA BD AB也共面，{}1,,OA BD AB不可作为一组空间向量的基底，选项A 错误；对于选项B ，两个向量,OA OD都在平面OAD ，显然直线AB 与平面OAD 是相交关系，AB不与平面OAD 平行，故三个向量{},,OA OD AB不共面，可作为一组空间向量的基底，选项B 正确；对于选项C ，由于11//BD B D ，11//AB DC ，易得11//B D 平面1C BD ，1//AB 平面1C BD ，从而有平面11//AB D 平面1C BD ，且OP ⊂平面11AB D ，所以直线//OP 平面1C BD ，选项C 正确；对于选项D ，取{}1,,AB AD AA作为一组空间向量的基底，1111()2OC OC C C AB AD AA =+=+- ，111()2B D BD AD AB ==- ，1111()2OA OA A A AB AD AA =+=-+-，其中22111111()()42OC B D AD AB AA AB AA AD ⋅=-+⋅-⋅ ，因为底面ABCD 为菱形，且π3DAB ∠=，12A A AB =，11A AB A AD ∠=∠，得22AD AB = ，11AA AB AA AD ⋅=⋅，所以110OC B D ⋅= ，即11OC B D ⊥，11OC B D ⊥，其中2211[()]2OC OA AA AB AD ⋅=-+ ，显然22134AA AB = ，2222222111π3[()](2)(2cos )24434AB AD AB AD AB AD AB AB AB AB +=++⋅=++= ，所以0OC OA ⋅=，即OC OA ⊥ ，OC OA ⊥，因为11OC B D ⊥，OC OA ⊥，且11B D ⊂平面11AB D ，OA ⊂平面11AB D ，11B D OA O ⋂=，所以OC ⊥平面11AB D ，所以向量CP 在平面11AB D 上的投影向量为OP，选项D 正确；故选：BCD.11.已知函数()cos 2f x x =，()πsin 23g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则（）A.将函数()y f x =的图象右移π12个单位可得到函数()y g x =的图象B.将函数()y f x =的图象右移π6个单位可得到函数()y g x =的图象C.函数()y f x =与()y g x =的图象关于直线π24x =对称D.函数()y f x =与()y g x =的图象关于点7π,024⎛⎫⎪⎝⎭对称【答案】ACD【解析】【分析】由三角函数的平移变换可判断A ，B ；由()π12g x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭可判断C ；由()7π12g x f x ⎛⎫-=-⎪⎝⎭可判断D .【详解】因为()ππππsin 2cos 2cos 23236g x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-++=- ⎪ ⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，将函数()y f x =的图象右移π12个单位可得到ππcos 2cos 2126y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，将函数()y f x =的图象右移π6个单位可得到ππcos 2cos 263y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故A 正确，B 错误；由A 选项可知，()π12g x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以函数()y f x =与()π12y g x f x ⎛⎫==- ⎪⎝⎭的图象关于直线π24x =对称，故C 正确；若函数()y f x =与()y g x =的图象关于点7π,024⎛⎫⎪⎝⎭对称，则在()y f x =上取点()11,A x y 关于7π,024⎛⎫ ⎪⎝⎭的对称点117π,12A x y ⎛⎫-- ⎪⎝⎭必在()y g x =上，所以11cos 2y x =，所以1117π7ππ7ππsin 2sin 21212363g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1113πsin 2cos 22x x y ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭，故D 正确.故选：ACD .12.（多选）已知数据1234567x x x x x x x <<<<<<，若去掉4x 后剩余6个数的平均数比7个数的平均数大，记1x ，2x ，3x ，4x 的平均数与方差为1x ，21s ，记4x ，5x ，6x ，7x 的平均数与方差为2x ，22s ，则（）A.1242x x x +>B.1242x x x +<C.()()47222212441414k k k k s s x x x x ==⎡⎤->---⎢⎥⎣⎦∑∑D.()()47222212441414k k k k s s x x x x ==⎡⎤-<---⎢⎥⎣⎦∑∑【答案】AC 【解析】【分析】根据平均数的大小列出不等式变形即可判断AB ，根据方差公式作差后变形，利用1242x x x +>，即可判断CD.【详解】因为123567123456767x x x x x x x x x x x x x +++++++++++>，所以12356746x x x x x x x +++++>，所以()()1234456748x x x x x x x x x +++++++>，所以1242x x x +>，故A 正确，B 错误；2222222222212346412724123455674444 x x x x x x x x x x x x x s x s x x ⎡⎤+++++++++⎛⎫-=--⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎡⎤+++⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎣⎦()()()2222222212356217144x x x x x x x x ⎡⎤=++-+++-⎢⎥⎣⎦()()()()2222221235621217144x x x x x x x x x x ⎡⎤=++-+++-⎣+⎦()()()222222123564271184x x x x x x x x x ⎡⎤>++-++-⎣+⎦()()4722441414k k k k x x x x ==⎡⎤---⎢⎥⎣⎦∑∑，故C 正确，D 错误.故选：AC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.直线y =的倾斜角是___________.【答案】0【解析】【分析】根据斜率得到倾斜角.【详解】y =的斜率为0，设倾斜角为[)0,πα∈，则tan 0α=，解得0α=，故倾斜角为0故答案为：014.已知二项式()12nx +的展开式中含2x 的项的系数为84，则n =___________.【答案】7【解析】【分析】应用二项展开式的通项公式求解即可.【详解】二项式()12nx +中含2x 的项为：223C (2)n T x =，该项的系数为22(1)2C 42(1)2n n n n n -=⨯=-，由于该项的系数为84，得方程2(1)84n n -=，即2420n n --=，解得7n =或6-（舍去），故答案为：7.15.位于奥体核心的杭州世纪中心总投资近100亿元，总建筑面积约53万平方米，由两座超高层双子塔和8万平方米商业设施构成，外形为杭州的拼音首字母“H”，被誉为代表新杭州风貌、迎接八方来客的“杭州之门”.如图，为测量杭州世纪中心塔高AB ，可以选取与塔底B 在同一水平面内的两个测量基点C 与D ，现测得70BCD ∠=︒，30BDC ∠=︒，108CD =米，在点C 测得塔顶A 的仰角为80°，则塔高AB 为___________米.（结果保留整数，参考数据：cos800174︒≈.）【答案】310【解析】【分析】设AB h =米，进而可得tan80h BC =︒，在BCD △中由正弦定理求出BC ，求解即可得出答案.【详解】设AB h =米，因为在点C 测得塔顶A 的仰角为80°，所以80BCA ∠=︒，在ABC 中，tan 80AB hBC BC=︒=，所以tan80h BC =︒，在BCD △中，因为70BCD ∠=︒，30BDC ∠=︒，所以180703080CBD ∠=︒-︒-︒=︒，由正弦定理得sin sin 30CD BC CBD =∠︒，所以1081sin 802BC=︒，则1108542sin 80sin 80BC ⨯==︒︒，所以545454tan 80tan 80310sin 80cos800.174h BC =︒=⋅︒=≈≈︒︒米.故答案为：310.16.已知点P 是双曲线C ：()22221,0x y a b a b-=>与圆222213x y a c +=+在第一象限的公共点，若点P 关于双曲线C 其中一条渐近线的对称点恰好在y 轴负半轴上，则双曲线C 的离心率e =___________.【答案】62【解析】【分析】根据题意，联立双曲线与圆的方程，求得点P 的坐标，再求得其对称点Q 的坐标，再由1PQ b k a ⎛⎫⋅-=- ⎪⎝⎭，化简即可得到,a b 的关系，再由离心率公式，即可得到结果.【详解】联立22222222113x y a b x y a c ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=+⎪⎩，取0,0x y >>，解得2333x a y b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即,33P a b ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，设点P 关于双曲线C 的渐近线by x a=-的对称点为Q ，则Q 恰好在y 轴负半轴上，且OQ OP ==0,Q ⎛ ⎝，由点P 与点Q 关于渐近线b y x a =-对称，所以直线PQ 的斜率为a b，233a b =，即3233b a b =，化简可得222a b =，所以2c e a ====.故答案为：2四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，4a =，8b =，角C 为锐角，已知ABC 的面积为.（1）求c ；（2）若CD 为AB 上的中线，求BDC ∠的余弦值.【答案】（1）c =（2）34.【解析】【分析】（1）由三角形的面积公式和余弦定理求解即可；（2）因为CD 为AB 上的中线，所以()12CD CA CB =+，对其两边同时平方可求出CD = ，再由余弦定理求解即可.【小问1详解】由ABC 的面积为可得：1sin 2ab C =因为4a =，8b =，解得：得sin 4C =，由角C 为锐角得3cos 4C =，故2222cos 32c a b ab C =+-=，解得c =【小问2详解】因为CD 为AB 上的中线，所以()12CD CA CB =+，所以()22212cos 4CD CA CB CA CB ACB =++⋅，()2212cos 4b a b a ACB =++⋅1364162483244⎛⎫=++⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，解得：CD =.故22222222243cos 2422242BD DC a BDC BD DC +-+-∠===⋅⋅⋅.18.已知n S 为公差为2的等差数列{}n a 的前n 项和，若数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列.（1）求n a ；（2）求数列{}2n S 的前n 项和.【答案】（1）2n a n=（2）11410233n n +++-.【解析】【分析】（1）由等差中项的性质可得3212132S S S a a a ⋅=+，再由等差数列的通项公式和前n 项和公式代入化简可求得12a =，即可求出答案；（2）由（1）得2n S n n =+，则242n nnS =+，再由等比数列的前n 项和公式和分组求和法求解即可.【小问1详解】因为数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，所以3212132S S S a a a ⋅=+，因为n S 为公差为2的等差数列{}n a 的前n 项和，则111122362124a a a a ++⋅=+++，解得12a =.故()2212n a n n =+-=.【小问2详解】由（1）得()122n n n a a S n n +==+，故242n n nS =+，故数列{}2n S 的前n 项和为()()114142124102141233n nn n ++--=+=+---.19.已知直三棱柱111ABC A B C -，1122AB AC AA ===，AB AC ⊥，D ，E 分别为线段1CC ，1BB 上的点，1CD =.（1）证明：平面BDA ⊥平面1ECA ；（2）若点1B 到平面1ECA 的距离为47，求直线BD 与平面1ECA 所成的角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）1121.【解析】【分析】（1）建系，分别求出平面BDA 和平面1ECA 的法向量，利用两法向量垂直，两面垂直即可证明；（2）设出E 点坐标，由已知点面距离利用向量法解出点E 坐标，再代入线面角的向量公式求出即可.【小问1详解】证明：在直三棱柱中，AB AC ⊥，1AA ⊥平面ABC ，所以以A 为原点，AB ，AC ，1AA 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则点()10,0,4A ，()2,0,0B ，()12,0,4B ，()0,2,0C ，()0,2,1D ，则()2,2,1BD =- ，()2,0,0AB = ，()10,2,4A C =-，设BE t =，则()2,0,E t ，()2,2,EC t =--设平面BDA 和平面1ECA 的法向量分别为()()11112222,,,,,n x y z n x y z ==，则11111122020n BD x y z n AB x ⎧⋅=-++=⎪⎨⋅==⎪⎩，取11y =，则()10,1,2n =- ；22222122220240n EC x y mz n A C y z ⎧⋅=-+-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，取21z =，则24,2,12m n -⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，因为120n n ⋅=，所以平面BDA ⊥平面1ECA .【小问2详解】设点()2,0,E t ，由()10,2,4A C =- ，()12,0,4A E t =- 得平面1ECA 的法向量()4,4,2n t =-，由()112,0,0A B =得点1B 到平面1ECA 的距离1147A B n d n⋅===，解得83t =，由()2,2,1BD =- ，4,4,23n ⎛⎫= ⎪⎝⎭得，直线BD 与平面1ECA 所成的角的正弦值为11cos ,21BD n BD n BD n ⋅==⋅ .20.已知点1F ，2F 为椭圆C ：2212x y +=的左，右焦点，椭圆C 上的点P ，Q 满足12//F P F Q ，且P ，Q在x 轴上方，直线1FQ ，2F P 交于点G .已知直线1PF 的斜率为()0k k >.（1）当1k =时，求12PF QF +的值；（2）记1PFG ，2QF G △的面积分别为1S ，2S ，求12S S -的最大值.【答案】（1（2）2.【解析】【分析】（1）由椭圆的性质可得1211PF QF PF Q F =+'+，再利用弦长公式求解即可；（2）利用已知条件将12S S -表示出来，在利用基本不等式即可求解.【小问1详解】设直线1PF 与椭圆的另一个交点为Q '，由椭圆的对称性得Q ，Q '关于原点对称.设点()11,P x y ，()22,Q x y '.因为C ：2212x y +=中222,1,1a b c ====，所以()11,0F ，所以当1k =时，直线1PF 的方程为：1y x =+，联立直线1y x =+与椭圆22220x y +-=的方程得2340x x +=，所以12124,03x x x x +=-=，所以1243x x -==，所以12111212PF QF PF Q F x x +=+=-=-='【小问2详解】由题可设直线1PF 的方程为：1yx k=-，联立直线1y x k =-与椭圆22220x y +-=得：2212210y y k k ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭，所以122221122ky y k k k+==++，1212121212F F P F F Q F F P F F Q S S S S S S '-=-=- ，()()1211221212111222122222F F y F F y y y y y kk=⋅-⋅-=⨯+=+=≤+，所以当12k k =即2k =时等号成立，12S S -取到最大值2.【点睛】思路点睛：本题考查直线与椭圆综合应用中的面积问题的求解，求解此类问题的基本思路如下：①假设直线方程，与椭圆方程联立，整理为关于y 的一元二次方程的形式,得到韦达定理；②表示出12S S -的面积，将韦达定理代入，再借助基本不等式即可求出面积的最大值.21.我国有天气谚语“八月十五云遮月，正月十五雪打灯”，说的是如果中秋节有降水，则来年的元宵节亦会有降水.某同学想验证该谚语的正确性，统计了40地5年共200组中秋节与来年元宵节的降水状况，整理如下：中秋天气元宵天气合计降水无降水降水194160无降水5090140合计69131200（1）依据0.05α=的独立性检验，能否认为元宵节的降水与前一年的中秋节降水有关？（2）从以上200组数据中随机选择2组，记随机事件A 为二组数据中中秋节的降水状况为一降水一无降水，记随机事件B 为二组数据中元宵节的降水状况为一降水一无降水，求()P B A .参考公式与数据：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++.α0.10.050.010.0050.001x α2.7063.8416.6357.87910.828【答案】（1）无关（2）47105【解析】【分析】（1）计算2χ的值，与临界值比较得出结论；（2）利用条件概率公式求解.【小问1详解】零假设为0H ：元宵节的降水与中秋节的降水无关.()222200199041502003400.3 3.84169131601406913160140χ⨯⨯-⨯⨯==≈<⨯⨯⨯⨯⨯⨯，因为20.05x χ<，所以没有充分证据推断0H 不成立，故元宵节的降水与中秋节的降水无关.【小问2详解】中秋节的降水状况为一降水一无降水概率为()220014060C P A ⨯=，中秋节、元宵节的降水状况均为一降水一无降水概率为()220019904150C P AB ⨯+⨯=，故()()()47105P AB P B A P A ==.22.定义满足()()00f x f x '=的实数0x 为函数()y f x =的然点.已知()()ln e xf x x a -=+.（1）证明：对于a ∀∈R ，函数()y f x =必有然点；（2）设0x 为函数()y f x =的然点，判断函数()()()0g x f x f x =-的零点个数并证明.【答案】（1）证明见解析（2）2个零点，证明见解析【解析】【分析】（1）根据函数零点存在原理，结合导数的性质、题中定义进行运算证明即可；（2）根据（1）的结论，结合函数零点存在原理、结合放缩法进行求解即可.【小问1详解】()1ln e x f x x a x -⎛⎫'=-- ⎪⎝⎭，由()()f x f x '=得1ln 02x a x -+=.令()1ln 2h x x a x=-+，因为()h x 在()0,∞+上单调递增，故()h x 至多一个零点，又因为()1e02e aah --=-<，()2222221e 2102e a ah a a a a ++=++->++>，所以()220e ,ea ax -+∃∈使()00h x =，故对于a ∀∈R ，函数()y f x =有唯一然点0x .【小问2详解】由（I ）得001ln 2a x x =-，()1ln e xg x x a x -⎛⎫'=-- ⎪⎝⎭令()1ln G x x a x =--，因为()G x 在()0,∞+上单调递减，且()00102G x x =>，()2222221e 210eaa G a a a a ++=---<---<，故()220,e at x +∃∈使()0G t =，()g x 在(]0,t 上单调递增，在[),t +∞上单调递减.因为()00g x =，故()()00g t g x >=，将001ln 2a x x =-代入，得()00001e ln ln e 22x x g x x x x x --⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭()002000020010c 211ln 1e 2211e e e 22e x x x x x x g x x x --+-⎛⎫+++⎪-⎛⎫⎝⎭++=⋅-⋅ ⎪-⎝⎭()000020011e 221e 12e e 2x x x x x x -⎛⎫++ ⎪- ⎪<-⎛⎫ ⎪⋅+ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭()0000000e 2e 21e 02e e 222(e 2)x x x x x x x -⎛⎫+ ⎪- ⎪=-< ⎪⎛⎫⋅+ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，所以()g x 有2个零点.【点睛】关键点睛：根据题中定义，运用零点存在原理是解题的关键.。

高三上学期期末考试数学试卷-附答案解析

高三上学期期末考试数学试卷-附答案解析班级:___________姓名：___________考号：___________一、单选题 1．设全集{6}Ux N x =∈<∣，集合{1,2,3},{1,4}A B ==，则()UA B ⋃等于（）A ．{1,2,3,4}B ．{5}C ．{2,4}D ．{0,5}2．生物入侵指生物由原生存地入侵到另一个新的环境，从而对入侵地的生态系统造成危害的现象.若某入侵物种的个体平均繁殖数量为Q ，一年四季均可繁殖，繁殖间隔T 为相邻两代间繁殖所需的平均时间.在物种入侵初期，可用对数模型()ln K n n λ=来描述该物种累计繁殖数量n 与入侵时间K （单位：天）之间的对应关系，且1TQ λ=+，在物种入侵初期，基于现有数据得出9Q =和80T =.据此，累计繁殖数量比现有数据增加3倍所需要的时间约为（ln 20.69≈，ln3 1.10≈）（） A ．6.9天B ．11.0天C ．13.8天D ．22.0天3．“1a =-”是“直线1:430l ax y +-=与直线()2:320l x a y +-+=平行的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知符号函数1,0sgn 0,01,0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，偶函数()f x 满足()()2f x f x +=，当[]0,1x ∈时()f x x =，则（）A ．()sgn 0f x >⎡⎤⎣⎦B ．202112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．()()sgn 211k f k +=⎡⎤⎣⎦∈ZD ．()()sgn sgn f k k k =∈⎡⎤⎣⎦Z5．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数()()20f x f x --+=，当(]0,1x ∈时()2log f x x =，则4039924f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（） A ．3- B ．1- C ．2 D ．36．已知函数()2log 2f x ax =-的图象关于直线x=2对称，则函数f （x ）图象的大致形状为（）A ．B ．C ．D ．7．已知函数()41xf x x=+，则不等式()3213f x -<+<的解集是（） A ．1,2B ．()2,1-C ．()(),12,-∞-+∞D ．()(),21,-∞-+∞8．下列关于命题的说法错误的是9．曲线(2)x y ax e =+在点(0,2)处的切线方程为2y x b =-+，则ab =（） A ．4-B ．8-C ．4D ．810．已知定义在R 上的偶函数()f x ，其导函数为()f x '，若()()20xf x f x '->，()21f -= 则不等式()214f x x <的解集是（） A ．()2,2- B ．()(),22,-∞-+∞C ．()()2,00,2-⋃D ．()(),00,2-∞11．关于函数()222e xx x f x +-=，有如下列结论：①函数()f x 有极小值也有最小值；②函数()f x 有且只有两个不同的零点；③当2262e e k -<<时()f x k =恰有三个实根；④若[]0,x t ∈时()2max 6ef x =，则t 的最小值为2．其中正确．．结论的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．412．已知函数221552sin ,544()5log (1),4x x f x x x π⎧-≤≤⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩＞，若存在实数满足1234()()()()f x f x f x f x m ====，则（）A ．01m ≤≤B ．1252x x += C ．34340x x x x --= D ．340x x >二、填空题13．命题“2230ax ax -->不成立”是真命题，则实数a 的取值范围是______．14．在△ABC 中，点O 是BC 的三等分点2OC OB =，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于点E ，F ，且AB mAE =，AC nAF =(0m >，0n >)，若()210t t m n+>的最小值为3，则正数t 的值为___________.15．已知函数()322sin x x x f x =+-，则不等式()()2650f x f x -+≤的解集为___________.16．已知()3,0e 3,0x xx f x x x x ⎧≥⎪=⎨⎪-<⎩，若关于x 的方程()f x a =有3个不同实根，则实数a 取值范围为______．三、解答题 17．化简求值：（1）2302427216log log 839π-⎛⎫++- ⎪⎝⎭；（2）已知tan 2α，求2sin()sin 2cos()sin(3)ππααααπ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭-+-的值．18．已知定义域为R 的函数()122xx b f x a+-=+是奇函数．(1)求实数a 、b 的值；(2)判断函数()f x 在R 的单调性并给予证明； (3)求函数()f x 的值域．19．已知函数()1xf x e ax =--.(1)当1a =时求()f x 的单调区间与极值；(2)若()2f x x ≤在[)0,x ∈+∞上有解，求实数a 的取值范围.20．已知：函数()(1)ln()f x ax x ax =+-. （1）当1a =时讨论函数()f x 的单调性；（2）若()f x 在(0,)x ∈+∞上单调递增，求实数a 的取值范围.21．已知函数()316f x x x =+-．（1）求曲线()y f x =在点()2,6-处的切线方程；（2）直线l 为曲线()y f x =的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标．22．已知函数()()2ln 2f x x ax a x =+++和a ∈R ．(1)当2a =-时讨论()f x 的单调性；(2)当a<0时若关于x 的不等式()21f x b a≤-+-恒成立，求实数b 的取值范围；(3)设*n ∈N 时证明：()1111ln 12ln 22341n n n ⎛⎫+≥++++- ⎪+⎝⎭．参考答案与解析1．【答案】D故选：D ． 2．【答案】C 【分析】根据1TQ λ=+，9Q =与80T =，求得λ，进而得到()ln K n n λ=求解. 【详解】因为1TQ λ=+，9Q =与80T =所以8091λ=+解得10λ=.设初始时间为1K ，初始累计繁殖数量为n ，累计繁殖数量增加3倍后的时间为2K 则()21442213.80K K ln n lnn ln ln λλλ-=-==≈天. 故选：C 3．【答案】A【分析】求出当12l l //时实数a 的值，再利用集合的包含关系判断可得出结论. 【详解】当12l l //时()34a a -=，即2340a a --=，解得1a =-或4.当1a =-时直线1l 的方程为430x y -+=，直线2l 的方程为420x y -+=，此时12l l //；当4a =时直线1l 的方程为304x y +-=，直线2l 的方程为20x y ++=，此时12l l //. 因为{}1-{}1,4-，因此，“1a =-”是“直线1:430l ax y +-=与直线()2:320l x a y +-+=平行”的充分不必要条件. 故选：A. 4．【答案】C【分析】利用特殊值法可判断AD 选项；利用函数的周期性以及题中定义可判断BC 选项. 【详解】对于A 选项 ()sgn 0sgn 00f ==⎡⎤⎣⎦，A 错；对于B 选项 202111110102222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，B 错；对于C 选项，对任意的Z k ∈，()()2111f k f +== 则()sgn 21sgn11f k +==⎡⎤⎣⎦，C 对；对于D 选项 ()()sgn 2sgn 0sgn 00f f ===⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，而sgn 21=，D 错. 故选：C. 5．【答案】D【分析】由函数()f x 是定义在R 上的奇函数，结合()()20f x f x --+=，可得函数的周期为4，然后利用周期和()()20f x f x --+=及奇函数的性质，分别对40399,24f f ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭化简，使其自变量在区间(]0,1上，然后代入解析式中求解即可【详解】解：因为函数()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()()0f x f x +-= 因为()()20f x f x --+=，所以()(2)f x f x -=+ 所以()(2)f x f x =-+，所以(2)(4)f x f x +=-+所以()(4)f x f x =+，所以()f x 的周期为4所以403911711201945043222222f f f f f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=⨯++==-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭911124444f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭因为当(]0,1x ∈时()2log f x x = 所以40399112424f f ff ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭2211log log 24=--22log 2log 43=+=故选：D 6．【答案】A【分析】根据函数图象的变换和()2log 2f x ax =-的图象关于2x =对称得到220a -=，即1a =，然后再根据对数函数的图象和图象的变换判断即可.【详解】因为()2log 2f x ax =-的图象关于2x =对称，所以220a -=，解得1a =，则()2log 2f x x =- 所以()f x 的图象可由函数2log y x =的图象沿y 轴翻折，再向右平移2个单位得到. 故选：A. 7．【答案】B【分析】先判断函数()f x 的奇偶性和单调性，再利用函数的单调性化简得3213x -<+<，解不等式即得解. 【详解】因为()()f x f x -=-，所以()f x 是奇函数当0x >时()44411x f x x x==-++是增函数，此时()0f x > 又(0)0f =所以()f x 在R 上是增函数．又因为()33f -=- ()33f = 所以()3213f x -<+<可化为()(3)21(3)f f x f -<+< 所以3213x -<+< 解得2<<1x -．故选：B 8．【答案】D【分析】利用原命题与逆否命题的关系可判断出A 选项的正误；根据充分必要性判断出B 选项的正误；利用特称命题的否定可判断出C 选项的正误；利用作商法和指数函数的单调性可判断出D 选项的正误. 【详解】对于A 选项，命题的逆否命题，只需把原命题的结论否定当条件，条件否定当结论即可，A 选项正确；对于B 选项，若函数()log a f x x =在区间()0,∞+上为增函数，则1a >，所以，“2a =”是“函数()log a f x x =在区间()0,∞+上为增函数”的充分不必要条件，B 选项正确；对于C 选项，特称命题的否定为全称，C 选项正确；对于D 选项，当0x <时由于函数32x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭为增函数，则03331222x x x ⎛⎫⎛⎫=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 23x x ∴>，D 选项错误.故选D.【点睛】本题考查四种命题的关系、充分不必要条件的判断、特称命题的否定以及特称命题真假的判断，考查逻辑推理能力，属于中等题. 9．【答案】B【解析】求函数导数，利用切线斜率求出a ，根据切线过点(0,2)求出b 即可. 【详解】因为(2)x y ax e =+ 所以(2)x y e ax a '=++ 故0|22x k y a ='==+=- 解得4a =- 又切线过点(0,2)所以220b =-⨯+，解得2b = 所以8ab =- 故选：B【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，切线方程，属于中档题. 10．【答案】C【解析】构造函数令2()()f x g x x =，依题意知()g x 为偶函数且在区间(0,)+∞单调递增；不等式2()1()(2)4f x g x g x <⇔<，利用单调性脱去“g ”即可求得不等式2()14f x x <的解集．【详解】解：令2()()f xg x x=，则243()2()()2()()x f x xf x xf x f x g x x x '-'-'==因为()2()0xf x f x '->所以，当0x >时()0g x '>，即()g x 在区间(0,)+∞单调递增；又()f x 是R 上的偶函数又()2f ()21f =-=；故()2g 2(2)124f == 于是，不等式2()14f x x <化为()()2g x g < 故||2x <解得22x -<<，又0x ≠ 故选：C ．【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查函数奇偶性，考查化归思想与运算能力，属于难题． 11．【答案】C【分析】求导后，根据()f x '正负可确定()f x 的单调性；根据()0f x >在()2,+∞上恒成立，结合极值和最值的定义可知①正确；利用零点存在定理可说明②正确；作出()f x 图象，将问题转化为()f x 与y k =的交点个数问题，采用数形结合的方式可确定③错误；根据图象和函数值域可确定④正确. 【详解】()()()2224e e x xx x x f x +--'==∴当()(),22,x ∈-∞-+∞时()0f x '<；当()2,2x ∈-时0fx ；f x 在(),2-∞-，()2,+∞上单调递减，在()2,2-上单调递增；对于①，()f x 在2x =-处取得极小值，极小值为()222e 0f -=-<当2x >时2220x x +->恒成立，()0f x ∴>在()2,+∞上恒成立()2f ∴-为()f x 的最小值，则()f x 既有极小值也有最小值，①正确；对于②()33e 0f -=> ()222e 0f -=-< ()110f =>ef x 在()3,2--和()2,1-上各有一个零点又当2x >时()0f x >恒成立，f x 有且只有两个不同的零点，②正确；对于③()262e f =，f x 图象如下图所示由图象可知：当22e 0k -<≤时()f x 与y k =有且仅有两个不同交点即当22e 0k -<≤时()f x k =有且仅有两个不等实根，③错误；对于④，若[]0,x t ∈时()2max 6e f x =，结合图象可知：2t ≥，即t 的最小值为2，④正确. 故选：C.【点睛】方法点睛：本题考查利用导数研究函数的相关性质的问题，其中考查了方程根的个数问题，解决此类问题的基本方法有：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根来确定根的个数；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 12．【答案】C【分析】根据题意分段函数的定义，逐个分析即可. 【详解】由15544x -≤≤得3π2ππ252x -≤≤ ()[]2π2sin 2,25f x x ∴=∈- 由54x >得114x ->()()20log 1f x x ∴=-≥对应函数图像如图所示若1234()()()()f x f x f x f x m ==== 则2m <，A 错；1x ，2x 关于54x =-对称 1252x x ∴+=-，B 错；由()()34221log lo 1g x x -=-()()23420log l 11og x x ∴-+-=()()342110log x x ∴--=⎡⎤⎣⎦，得()()34111x x --=即34340x x x x --=，C 对；由34340x x x x --=，得34111x x +=>(31x 41x ≠) 344x x ∴>，D 错.故选：C 13．【答案】【详解】2230ax ax --≤恒成立，当0a =时30-≤成立；当0a ≠时 20{4120a a a <∆=+≤得30a -≤< 30a ∴-≤≤ 14．【答案】3【分析】由平面向量基本定理可得2133AO mAE nAF =+，进而又由点E ，O ，F 三点共线，则21133m n +=，根据“1”的作用由基本不等式的性质，可解得t 的值．【详解】解：在ABC 中，点O 是BC 的三等分点 ||2||OC OB = ∴1121()3333AO AB BO AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+AB mAE = AC nAF = ∴2133AO mAE nAF =+ O ，E ，F 三点共线 ∴21133m n += ∴2222222112122222()()233333393333t t n mt t t t t m n m n m n m n +=++=+++++=++当且仅当2233n mt m n =，即2222m t n =时取等号，∴21t m n +的最小值为2233t +即22333t += 0t > 3t ∴=故答案为：3 15．【答案】[2,3]【分析】由奇偶性定义、导数判断()f x 的奇偶性及单调性，再应用奇函数、单调性求解不等式即可.【详解】由题设，()322sin ()f x x x f x x =-+=---且定义域为R ，故()f x 为奇函数又()()2321cos 0f x x x =+-≥'，()f x 在定义域上递增 ∴()()2650f x f x -+≤，可得()2(65)(56)f x f x f x ≤--=-∴256(2)(3)0x x x x -+=--≤，解得23x ≤≤ ∴原不等式解集为[2,3]. 故答案为：[2,3]. 16．【答案】10,e ⎛⎫⎪⎝⎭【分析】利用导函数研究出函数()y f x =的单调性，极值情况，画出函数图象，并将函数的根的问题转化为两函数交点个数问题，数形结合求出实数a 的取值范围. 【详解】当0x ≥时()e xx f x = ()1e x xf x -'=当[)0,1x ∈时()10e x xf x -'=>，当()1,x ∈+∞时()10e xx f x -'=< 故()f x 在[)0,1x ∈上单调递增，在()1,x ∈+∞上单调递减且()11e f =，当0x >时()ex xf x =恒为正当0x <时()33=-f x x x ()()()233311f x x x x '=-=+-当(),1x ∈-∞-时()2303'=-<f x x ，当()1,0x ∈-时()2303'=->f x x故()f x 在(),1x ∈-∞-上单调递减，在()1,0x ∈-上单调递增且()1312f -=-+=-画出()3,0e 3,0x xx f x x x x ⎧≥⎪=⎨⎪-<⎩的图象如下：要想关于x 的方程()f x a =有3个不同实根，则要函数()y f x =与y a =有3个不同的交点即可显然当10,e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时符合要求.故答案为：10,e ⎛⎫⎪⎝⎭17．【答案】（1）49；（2）1-.【分析】(1)根据指数与对数的运算公式求解即可； (2)根据诱导公式，转化为其次问题进行求解即可.【详解】(1)原式2222241log log 333⎛⎫=++- ⎪⎝⎭2411log 92=++ 49=. (2)原式2sin cos cos sin αααα+=-2tan 11tan αα+=-1=-.18．【答案】(1)2,1a b == (2)单调递减，证明见详解 (3)11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】（1）利用()00f =，()()011f f +-=列方程求出a 、b 的值，然后验证函数()f x 为奇函数即可；（2）任取12x x >，然后通过计算()()12f x f x -的正负来判断证明单调性；（3）以120x +>为基础，利用不等式的性质计算121222x +-+的范围，即为函数()f x 的值域.【详解】（1）定义域为R 的函数()122xx b f x a +-=+是奇函数∴()00f = ()()011f f +-=即110222041b ab b a a --⎧=⎪⎪+⎨--⎪+=⎪++⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩ 即()11222x x f x +-=+又()()111112121221022222222x x x x x x x x f x f x -+-+++----+-=+=+=++++ ()11222xx f x +-∴=+是奇函数2,1a b ∴==；（2）由（1）得()11122222122x x x f x ++-=+=-++，其为定义域在R 上的单调减函数任取12x x >()()()()()2112121112111122121222222222222x x x x x x f x f x ++++++⎛⎫⎛⎫∴-=---= ⎪ ⎪++++⎝+⎭-+⎝⎭ 12x x > 1211x x ∴+>+1211220x x ++∴>>()()120f x f x ∴-<，即()()12f x f x <∴函数()f x 是R 上单调递减函数；（3）120x +>1222x +∴+>1110222x +∴<<+120122x +∴<<+1121122222x +∴-<-<+即函数()f x 的值域为11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭19．【答案】(1)在(),0∞-上单调递减，在()0,∞+上单调递增，函数()f x 有极小值0，无极大值 (2)2a e ≥-【分析】（1）利用导数的正负判断函数的单调性，然后由极值的定义求解即可；（2）分0x =和0x >两种情况分析求解，当0x >时不等式变形为1()x e a x x x-+在[0x ∈，)∞+上有解，构造函数1()()x e g x x x x=-+，利用导数研究函数()g x 的单调性，求解()g x 的最小值，即可得到答案．(1)当1a =时()1x f x e x =--，所以()1xf x e '=-当0x <时()0f x '<；当0x >时0fx所以()f x 在(),0∞-上单调递减，在()0,∞+上单调递增所以当0x =时函数()f x 有极小值()00f =，无极大值.(2)因为()2f x x ≤在[)0,∞+上有解所以210x e x ax ---≤在[)0,∞+上有解当0x =时不等式成立，此时a R ∈ 当0x >时1x e a x x x ⎛⎫≥-+ ⎪⎝⎭在()0,∞+上有解令()1x e g x x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，则()()()()22221111xx x e x e x x g x x x x ⎡⎤--+-⎛⎫-⎣⎦'=-= ⎪⎝⎭由（1）知0x >时()()00f x f >=，即()10xe x -+>当01x <<时()0g x '<；当1x >时()0g x '> 所以()g x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增所以当1x =时()min 2g x e =-，所以2a e ≥- 综上可知，实数a 的取值范围是2a e ≥-.【点睛】利用导数研究不等式恒成立问题或有解问题的策略为：通常构造新函数或参变量分离，利用导数研究函数的单调性，求出最值从而求得参数的取值范围．20．【答案】（1）()0,∞+单调递增；（2）[]0,e .【解析】（1）由1a =得到()()1ln()f x x x x =+-，求导1ln 1()ln x x f x x x x+'=+=，再讨论其正负即可. （2）根据()f x 在(0,)x ∈+∞上单调递增，则1()ln 0f x a x x'=+≥，(0,)x ∈+∞恒成立，转化ln 10ax x +≥，(0,)x ∈+∞恒成立，令()ln 1h x ax x =+求其最小值即可.【详解】（1）当1a =时()()1ln()f x x x x =+- 所以1ln 1()ln x x f x x x x+'=+= 令()ln 1g x x x =+，则()1ln g x x '=+ 当10x e<<时()0g x '<，()g x 递减；当1x e>时()0g x '>，()g x 递增；所以()g x 取得最小值1110g e e ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭所以()0f x '>在()0,∞+上成立所以()f x 在()0,∞+上递增；（2）因为()f x 在(0,)x ∈+∞上单调递增所以1()ln 0f x a x x'=+≥，(0,)x ∈+∞恒成立即ln 10ax x +≥，(0,)x ∈+∞恒成立令()ln 1h x ax x =+，则()()1ln h x a x '=+ 当0a >时当10x e<<时()0h x '<，()h x 递减；当1x e>时()0h x '>，()h x 递增；所以()h x 取得最小值11a h e e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭所以10ae-≥ 0a e <≤当a<0时易知()ln 11ah x ax x e=+≤-，不成立当a=0时()10h x =>成立综上：0a e ≤≤所以实数a 的取值范围[]0,e .【点睛】方法点睛：1、利用导数研究函数的单调性，当f(x)不含参数时关键在于准确判定导数的符号；当f(x)含参数时需依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论．2、可导函数f(x)在指定的区间D 上单调递增(减)，求参数范围问题，转化为f ′(x)≥0(或f ′(x)≤0)恒成立问题，构建不等式求解，要注意“＝”是否取到．21．【答案】（1）1332y x =-；（2）直线l 的方程为13y x =，切点坐标为(226)--，．【分析】（1）求导，由导数在切点处的导数值可求切线斜率，根据点斜式即可求解；（2）设切点，求出切线方程，根据切线方程经过()00，，代入切线方程即可求解. 【详解】(1)∵()3222166f ＝＋－＝－ ∴点()26-，在曲线上． ∵()321631()f x x x x ''＝＋－＝＋ ∴在点()26-，处的切线的斜率为()2232113.k f '⨯＝＝＋＝ ∴切线的方程为)132(6)(y x ＝－＋－．即1332y x ＝－.(2)设切点为00()x y ，则直线l 的斜率为()2003 1f x x '＝＋∴直线l 的方程为：2300003116()()y x x x x x ＝＋－＋＋－.又∵直线l 过点(0,0)∴2300000 3 116()()x x x x ＝＋－＋＋－整理得308=-x∴3002221626()()x y ＝－，＝－＋－－＝－∴23()3211k ⨯＝－＋＝∴直线l 的方程为13y x ＝，切点坐标为(226)－，－． 22．【答案】(1)()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减(2)[)1,-+∞ (3)证明见解析【分析】（1）将2a =-代入()f x ，对其求导，利用导数与函数的单调性的关系即可得解；（2）先利用导数求得()f x 的最大值，再将问题转化为()max 21f x b a ≤-+-，从而得到11ln b a a⎛⎫≥-+ ⎪⎝⎭，构造函数()()ln 0g t t t t =->，求得()max g t 即可得解；（3）结合（2）中结论取特殊值得到2ln 21x x ≤-恒成立，进而得到()2ln 1ln ln 2n n n--≤-，利用累加法即可得证，注意1n =的验证.【详解】（1）当2a =-时()2ln 2f x x x =-，()0,x ∈+∞则()21144x f x x x x-'=-=．当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时0fx；当1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时()0f x '<所以()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减．（2）当a<0时()()()1121212a x x ax x a f x x x ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭'==．当10,x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时0f x ；当1,x a ∈-+∞⎛⎫⎪⎝⎭时()0f x '<所以()f x 在10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭上单调递减．所以()max 111211ln ln 1a f x f a a a a a a+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+-=--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．由不等式()21f x b a ≤-+-恒成立，得112ln 11b a aa ⎛⎫---≤-+- ⎪⎝⎭恒成立即11ln b a a⎛⎫≥-+ ⎪⎝⎭在a<0时恒成立令1t a =-，()()ln 0g t t t t =->则()111tg t t t-'=-=．当()0,1t ∈时()()0,g t g t '>单调递增；当()1,t ∈+∞时()()0,g t g t '<单调递减．所以()g t 的最大值为()11g =-所以1b ≥-，即实数b 的取值范围是[)1,-+∞．【点睛】结论点睛：恒成立问题：（1）()0f x >恒成立()min 0f x ⇔>；()0f x <恒成立()max 0f x ⇔<．（2）()f x a >恒成立()min f x a ⇔>；()f x a <恒成立()max f x a ⇔<．（3）()()f x g x >恒成立()()min 0f x g x ⇔->⎡⎤⎣⎦；()()f x g x <恒成立()()max 0f x g x ⇔-<⎡⎤⎣⎦；（4）1x M ∀∈，2x N ∀∈与()()()()1212min max f x g x f x g x >⇔>．。

高三数学上册期末试卷答案

一、选择题（每题5分，共50分）1. 下列各数中，绝对值最小的是（）A. -2B. -1C. 0D. 1答案：C2. 函数 y = x^2 - 4x + 4 的图像的对称轴是（）A. x = 2B. x = 0C. y = 0D. y = 4答案：A3. 已知等差数列 {an} 的首项为 a1，公差为 d，若 a1 + a2 + a3 = 9，则 a1 + a4 + a5 的值为（）A. 12B. 15C. 18D. 21答案：B4. 若sin α = 1/2，cos α = √3/2，则sin 2α 的值为（）A. √3/2B. 1/2C. -√3/2D. -1/2答案：A5. 下列命题中，正确的是（）A. 对于任意实数 x，都有x^2 ≥ 0B. 对于任意实数 x，都有x^3 ≥ 0C. 对于任意实数 x，都有x^4 ≥ 0D. 对于任意实数 x，都有x^5 ≥ 0答案：A6. 函数 y = log2(x - 1) 的定义域为（）A. x > 1B. x ≥ 1C. x < 1D. x ≤ 1答案：A7. 若 a，b，c 是等差数列，且 a + b + c = 12，a + c = 8，则 b 的值为（）A. 2B. 4C. 6D. 8答案：B8. 下列函数中，为奇函数的是（）A. y = x^2B. y = |x|C. y = x^3D. y = x^4答案：C9. 若sin α = 1/2，cos α = √3/2，则tan α 的值为（）A. √3/2B. 1/2C. -√3/2D. -1/2答案：A10. 已知等比数列 {an} 的首项为 a1，公比为 q，若 a1 + a2 + a3 = 9，则 a1 + a4 + a5 的值为（）A. 12B. 15C. 18D. 21答案：C二、填空题（每题5分，共25分）11. 函数 y = 2x - 3 的图像与 x 轴的交点坐标为 _______。

高三数学第一学期期末试题(附答案)

高三数学第一学期期末试题2cos 2sin2sin sin β-αβ+α=β+α 2sin2cos 2sin sin β-αβ+α=β-α 2cos 2cos 2cos cos β-αβ+α=β+α 2sin2sin 2cos cos β-αβ+α-=β-α一、选择题：（本大题共12道小题，每小题5分，共60分） 1．在等差数列}a {n 中，90S 15=，则8a 等于 A ．3 B ．4 C ．6 D ．122．如果)x (f )x (f -=π+且)x (f )x (f -=，则f(x)可以是 A ．sin2x B ．cosx C ．sin|x| D ．|sinx|3．题设：平面α、β、γ直线l 、m 满足：α⊥γ，γI α=m ，γI β=l ，l ⊥m ，结论：①β⊥γ；②m ⊥β；③α⊥β，那么由题设可以推出的正确结论是 A ．①和② B ．③ C ．②和③ D ．①和③4．从1、2、3…，100这100个数中任取两个数相乘，如果乘积是3的倍数，则不同的取法有A ．167133C CB ．233167133C C C + C ．233CD ．1C 2C 267100--5．若复数z 满足|z+2i|+|z-2i|=4，记|z+1+i|的最大值和最小值分别为M ，m 则mM等于（） A ．2 B ．5 C ．10 D ．210 6．过抛物线x 4y 2=的焦点F 做直线与抛物线交于P ，Q 两点，当此直线绕其焦点F 施转时，弦PQ 中点的轨迹方程为（）A ．)1x (2y 2-=B ．1x 2y 2-=C ．1x y 2-=D ．21y y 2-= 7．设复数i 31z 1+=，i 3z 2+=，则)z z arg(21等于（） A ．2π B ．3π C ．4π D ．6π 8．将长为2πcm ，宽为πcm 的长方形纸片围成一个容器（不考虑底面及粘接处），立放于桌面上，下面四个方案中，容积最大的是A ．直三棱柱B ．直四棱柱C ．高为π的圆柱D ．高为2π的圆柱9．椭圆1m )6y (4)3x (222=++-的一条准线为x=7，则随圆的离心率等于A ．21 B ．22 C ．23 D ．4110．在正方体1111D C B A ABCD -中，EF 为异面直线D A 1和AC 的公垂线，则直线EF 与1BD 的关系是A ．异面B ．平行C ．相交且垂直D ．相交但不垂直 11．（理）在极坐标系中，点)611,2(P π到直线1)6sin(=π-θρ的距离等于A ．2B ．1C ．3D ．31+（文）自点（-1，4）作圆012y 6x 4y x 22==--+的切线，则切线长为 A ．5 B ．5 C ．10 D ．312．某工厂8年来某种产品总产量c 与时间t （年）的函数关系如图，下列四种说法：①前三年中，产量增长的速度越来越慢；②前三年中，产量增长的速度越来越快；③第三年后，这种产品停止生产；④第三年后，年产量保持不变，其中说法正确的是（）A ．②与③B ．②与④C ．①与③D ．①与④二、填空题：（本大题共四道小题每小题4分共16分）13．已知曲线C 与曲线02y 2x 2==+关于直线x-y=0对称，则曲线C 的焦点坐标为_________。

2023-2024学年北京市东城区高三(上)期末数学试卷【答案版】

2023-2024学年北京市东城区高三（上）期末数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．已知全集U ＝{x |0＜x ＜4}，集合A ＝{x |0＜x ＜2}，则∁U A ＝（） A ．{x |2＜x ＜4}B ．{x |2＜x ≤4}C ．{x |2≤x ＜4}D ．{x |2≤x ≤4}2．设复数z 满足（1+i ）z ＝i ，则z 的共轭复数z =（） A ．12+12iB ．12−12iC ．−12+12iD ．−12−12i3．(x +1x)5的展开式中，x 的系数为（）A ．1B ．5C ．10D ．204．设等比数列{a n }的各项均为正数，S n 为其前n 项和，若a 1＝2，a 2a 3a 4＝a 9，则S 3＝（） A ．6B ．8C ．12D ．145．已知非零向量a →，b →满足|a →|＝|b →|，且a →•b →=0，对任意实数λ，μ，下列结论正确的是（） A ．（λa →−μb →）•（λa →−μb →）＝0 B ．（λa →−μb →）•（μa →+λb →）＝0 C ．（λa →−μb →）•（λa →+μb →）＝0D ．（λa →+μb →）•（μa →+λb →）＝06．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，E ，F 分别是DD 1，BB 1的中点．用过点F 且平行于平面ABE 的平面去截正方体，得到的截面图形的面积为（）A ．2√5B ．√6C ．√5D ．√527．已知a ＞0，b ＞0，则“a 12＞b 12”是“12a＜12b”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．一粒子在平面上运动的轨迹为抛物线的一部分，在该平面上建立直角坐标系后，该粒子的运动轨迹如图所示．在t ＝0时刻，粒子从点A （0，1）出发，沿着轨迹曲线运动到B （1，﹣1），再沿着轨迹曲线途经A 点运动到C （﹣1，﹣1），之后便沿着轨迹曲线在B ，C 两点之间循环往复运动．设该粒子在t 时刻的位置对应点P （x ，y ），则坐标x ，y 随时间t （t ≥0）变化的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．9．已知线段AB 的长度为10，M 是线段AB 上的动点（不与端点重合）．点N 在圆心为M ，半径为MA 的圆上，且B ，M ，N 不共线，则△BMN 的面积的最大值为（） A ．252B ．254C ．25√32D ．25√3410．设函数f(x)=cosx +√cos2x ，对于下列四个判断： ①函数f （x ）的一个周期为π； ②函数f （x ）的值域是[−√22，2]；③函数f （x ）的图象上存在点P （x ，y ），使得其到点（1，0）的距离为√22；④当x ∈[−π4，π4]时，函数f （x ）的图象与直线y ＝2有且仅有一个公共点．正确的判断是（） A ．①B ．②C ．③D ．④二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

2022-2023学年浙江省绍兴市高三(上)期末数学试卷【答案版】

2022-2023学年浙江省绍兴市高三（上）期末数学试卷一、单项选择题。

（本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）1．设全集U ＝{1，2，3，4，5，6}，集合A ＝{1，2，3}，B ＝{1，3，5}，则A ∩（∁U B ）＝（） A ．{1}B ．{1，3}C ．{2}D ．{1，2，3，4，6}2．已知i 为虚数单位，复数z 满足z （1+i ）＝1，则复数z 在复平面内对应的点位于（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知平面向量a →=(3，4)，b →=(−k ，2)，若(a →+b →)∥ka →，则实数k （k ≠0）的值为（） A ．−12B ．12C ．−32D ．324．某校进行“七选三”选课，甲、乙两名学生都要从物理、化学、生物、政治、历史、地理和技术这7门课程中选择3门课程进行高考，假设他们对这7门课程都没有偏好，则他们所选课程中有2门课程相同的概率为（） A ．1235B ．1335C ．1528D ．13285．仰望星空，探索宇宙一直是人类的梦想，“神舟十五号”载人飞船于北京时间11月29日23时08分发射，约10分钟后，“神舟十五号”载人飞船与火箭成功分离．早在1903年，科学家康斯坦丁•齐奥尔科夫斯基就提出单级火箭在不考虑空气阻力和地球引力的理想情况下的最大速度v 满足公式：v =v 0lnm 1+m 2m 1，其中m 1，m 2分别为火箭结构质量和推进剂的质量，v 0是发动机的喷气速度．已知某单级火箭结构质量是推进剂质量的2倍，火箭的最大速度为8km /s ，则火箭发动机的喷气速度为（）（参考数据：ln 2≈0.7，ln 3≈1.1，ln 4≈1.4） A ．10km /sB ．20km /sC ．803km/s D ．40km /s6．已知0＜a ＜b ，log a x +log b y ＜log a y +log b x ，则下列说法正确的是（） A ．当log a b ＞0时，x ＞y B ．当log a b ＞0时，x ＜yC ．当log a b ＜0时，x ＜yD ．当log a b ＜0时，x ，y 大小不确定7．已知函数f(x)=2sin(ωx +π6)−1(ω＞0)，若函数f （x ）在x ∈[1，7]上恰有3个零点，则实数ω的取值范围是（） A ．[π3，2π3)B ．[2π3，2π)C ．[8π21，3π7)D ．[8π21，4π7)8．已知△ABC 是边长为4的正三角形，M ，N 分别为BA ，BC 边上的一点（不含端点），现将△BMN 折起，记二面角B ﹣MN ﹣A 的平面角为α，若α=π3，则四棱锥B ﹣MNAC 体积的最大值为（）A ．83B ．163C ．16√39D ．32√39二、多项选择题。

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高三数学上册期末试卷一、填空题（4x12=48分） 1．若函数()2x f x x =+的反函数是y f x =-1()，则f -⎛⎝ ⎫⎭⎪=113________________ 2．方程2lg x 2lg x 3=0--的解集是________3．在等比数列{}n a 中，4732a a π=，则()38sin a a =___________4．在无穷等比数列{a n }中，n n n n T a a a a T q a ∞→++++===lim ,,21,1222624221则记Λ等于 ____________5．平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点()21A ，，()x,y B若点B 满足OA AB ⊥u u u r u u u r，则点B 的轨迹方程为____________6．在ABC ∆中，43AB B π==，，ABC ∆AC =______7．某班有50名学生，其中15人选修A 课程，另外15人选修B 课程，其它人不选任何课程，从中任选两名学生，则他们选修不同课程的学生概率为_________8．用一张长宽分别为8cm 、4cm 的矩形硬纸板折成正四棱柱的侧面，则四棱柱的对角线长为9．（理）若3y x π=+，则sinx ·siny 的最小值为___________ （文）sin(α-β)cos α-cos(α-β)sin α,β在第三象限，则cos β= 10．将正奇数按如下规律填在5列的数表中：则xx 排在该表的第行，第列（行是从上往下数，列是从左往右数）11．已知函数b ax x a x f +++=2)((a ，b 为实常数)，若f(x)的值域为[0，＋∞)，则常数a ，b应满足的条件________________________________12．设函数()x f 的定义域是D ，a,b D ∈任意的，有()()a+b a b ,1+ab f f f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭且()x f 的反函数为()x H ，已知()()a ,b H H ，则()a b H +=_____________________（用()()a ,b H H 的代数式表示）；二、选择题（4x4=16分）13．下列函数表示同一函数的是（）A. 212)()(xa x f =与xa x g =)(（a>0）B.1)(2++=x x x f 与02)12()(-++=x x x x gC. 22)(+⋅-=x x x f 与4)(2-=x x gD. 2lg )(x x f =与x x g lg 2)(=14．设q p ,均为实数，则“0q <”是“方程20x px q ++=有一个正实根和一个负实根”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件15.已知函数1)2sin()(--=ππx x f ，则下列命题正确的是（）A ．)(x f 是周期为1的奇函数B ．)(x f 是周期为2的偶函数C ．)(x f 是周期为1的非奇非偶函数D ．)(x f 是周期为2的非奇非偶函数16．函数()()2 0()4sin 0x x f x x x π⎧≤⎪=⎨<≤⎪⎩，则集合()(){}0x f f x =元素的个数有（）A 、2个B 3个C 4个D 5个三、解答题（12+12+12+14+18+18=86分）17．设O 为坐标原点，已知向量1OZ u u u u r、2OZ 分别对应复数1z 、2z ，且i a a z )10(5321-++=、212),()52(12z z R a i a az +∈-+-=若其中是实数，求2z 的值.18．设函数()4f x x b =-+，不等式|()|6f x <的解集为（－1，2）（1）求b 的值；（2）解不等式40()x mf x +>．19．如图P 分别是正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱DD 1上的点，PB 与面ABCD 所成的线面角是求异面PB 与AD 1线所成的角20．已知x y 、之间满足()222104x y b b +=> （1）方程()222104x y b b +=>表示的曲线经过一点12⎫⎪⎭，，求b 的值（2）动点(x ,y )在曲线14222=+by x (b >0)上变化，求x 2+2y 的最大值；（3）由()222104x y b b +=>能否确定一个函数关系式()y f x =，如能，求解析式；如不能，再加什么条件就可使x y 、之间建立函数关系，并求出解析式。

21．政府决定用“对社会的有效贡献率”对企业进行评价用n a 表示某企业第n 年投入的治理污染的环保费用，用n b 表示该企业第n 年的产值设1a a =（万元），且以后治理污染的环保费用每年都比上一年增加2a （万元）；又设1b b =（万元），且企业的产值每年比上一年的平均增长率为用100n nn a b P ab=表示企业第n 年“对社会的有效贡献率”⑴ 求该企业第一年和第二年的“对社会的有效贡献率”；⑵试问：从第几年起该企业“对社会的有效贡献率”不低于20%？22．函数y f (x),x R =∈满足()f(x 1)af x a 0+=，是不为的常数，当0x 1≤≤时，f(x)=x(1-x)，（1）若函数y f (x),x R =∈是周期函数，写出符合条件a 的值；（2）求n x n+1(n 0,n Z)≤≤≥∈时，求y f (x)=的表达式()n y f x =；（3）若函数y f (x)=在[)0+∞，上的值域是闭区间，求a 的取值范围；A BA 1D CD 1 C 1B 1P高三数学参考答案一、填空题（每个4分，共48分）1．1； 2．110010⎧⎫⎨⎬⎩⎭，； 3．1-； 4．415； 5．2x y 50+-=； 67．949； 8．； 9．34-；10．第251行第5列； 11．2a<0a=05a b 0b=4⎧⎧⎪⎨⎨≤⎩⎪⎩或； 12．()()()()()a b a+b 1a b H H H H H +=+⋅；二、选择题（每个4分，共16分）13．A ； 14．C ； 15．B ； 16．D ；三、解答题（12+12+12+14+18+18=86分） 17．解：由213(10),5z a i a =--+ （2分） 21232[(10)(25)]51z z a a i a a ∴+=++-+-+- （5分）,3,5,01522=-==-+∴a a a a 或解得（8分）又分母不为零，3=∴a （10分）2z 1i ∴=-+2z （12分）18．解（1）∵()6f x <的解集为（－1，2）∴614624b b -⎧=-⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩ 得b=2 （6分）（2）由0244>+-+x m x 得0214<⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+x m x （8分）①当214>-m ，即2-<m 时，421mx -<< ②当214=-m，即2-=m 时，无解 ③当214<-m ，即2->m 时，214<<-x m （11分） ∴当2-<m 时，解集为⎪⎭⎫⎝⎛-4,21m当2-=m 时，解集为空集当2->m 时，解集为⎪⎭⎫⎝⎛-21,4m （12分）19．解：正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，DD 1⊥面ABCD ，PBD ∠是PB 与面ABCD 所成的（2分）设正方形边长为a ，DP z =，则是1tg =63z a ∠=（4分）分别以1DD DC DA ，，为x 轴、y 轴、z 轴建立直角坐标系（5分）则B (a ，a ，0)，，D 1(0，0，a ) A (a ，0，0)∴P (0，0，13a ) （6分）=BP {－a ，－a ，13a }，1AD =u u u u r {－a ，0，a }，（8分）设与的夹角为θ，cos θ=2114||||a BA AD BP AD ⋅===⋅u u u r u u u u ru u u r u u u u r 所求的异面直线所成的角为为（12分） 20．解：（1）()2110144b b b+=>∴= （4分）（2）根据()222104x y b b +=>得22241y x b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（5分） ()222222242412444y b b x y y y b y b b b ⎛⎫⎛⎫∴+=-+=--++-≤≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （7分）()22max 42244b b b x y b ≥≥+=+当时，即时()222max 42444b b b b x y ≤≤≤+=+当时，即0时()()()22max24424044b b x y bb ⎧+≥⎪∴+=⎨+≤<⎪⎩，，（10分）（2）不能（11分）如再加条件xy 0<就可使x y 、之间建立函数关系（12分）解析式()()x 00y x ⎧>⎪⎪=< （14分）（不唯一，也可其它答案）21．（1）因为 11,a a b b ==，根据题意：2123a a a a =+=，()21110% 1.1b b b =+= （2分）所以 1111%100a b Pab == （4分） 2223 1.1 3.3%100100a b a b P ab ab⨯=== （6分）该企业第一年和第二年的“对社会的有效贡献率”分别为1%和3.3%（7分）⑵ 因为 ()()12121n a a a n n a =+-=- ()*n N ∈ （9分）()111110% 1.1n n n b b b --=⨯+= ()*n N ∈ （11分）所以 ()()1121 1.1211.1%100n n n n a bP n ab---⨯==-g （12分）下证：()()1211.1%n n P f n n -==- 为增函数（15分）证法1：12121.11 1.112121n nP n P n n ++⎛⎫==⨯=+⨯> ⎪--⎝⎭L 又 0n P >则 ()()1211.1%n n P f n n -==- 为增函数证法2：()110.2 2.1 1.1%0n n n P P n -+-==+⨯>L ∴1n n P P +>则 ()()1211.1%n n P f n n -==- 为增函数再验证： 6713 1.1%23.01%20%P =⨯≈>，5611 1.1%17.71%20%P =⨯≈< （17分）故，从第七年起该企业“对社会的有效贡献率”不低于20% （18分）22．（1） a 1T=1=时，（3分）a -1T=2=时，（6分）（2）n x n+1(n 0,n Z)≤≤≥∈时n x n+1(n 0,n Z)≤≤≥∈时()()()()211112nn n n f x af x a f x a f x n --=-=-==-L （9分）()()()1n n f x a x n n x ∴=-+- （9分）（3）()()()()11a 1a a 44n n nn n f x x n n x f x =-+-∴-≤≤Q ，（14分）当a 1>时()()f x ∈-∞∞，+舍去当a 1=时()104f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，符合当a 1=-时()1144f x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，符合当0<a 1<时()104f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，符合当-1<a 0<时()104f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，符合 [)(]a 1,00,1∴∈-U （18分）。