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山东省威海市2019届高三上学期期末考试(一模)文科数学试题 Word版含解析

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山东省威海市高三第一次模拟考试数学(文)试题(word版含答案).pdf

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教学内容 1．对应点到旋转中心的距离相等． 2．对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角． 3．旋转前后的图形全等及其它们的运用． 教学目标 理解对应点到旋转中心的距离相等；理解对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；理解旋转前、后的图形全等．掌握以上三个图形的旋转的基本性质的运用． 重难点、关键 1．重点：图形的旋转的基本性质及其应用． 2．难点与关键：运用操作实验几何得出图形的旋转的三条基本性质． 教学过程 （一）复习引入 （学生活动）老师口问，学生口答． 1．什么叫旋转？什么叫旋转中心？什么叫旋转角？ 2．什么叫旋转的对应点？ 3．请独立完成下面的题目． 如图，O是六个正三角形的公共顶点，正六边形ABCDEF能否看做是某条线段绕O点旋转若干次所形成的图形？ （老师点评）分析：能．看做是一条边（如线段AB）绕O点，按照同一方法连续旋转 60°、120°、180°、240°、300°形成的． （二）板书标题，呈现教学目标： 理解对应点到旋转中心的距离相等；理解对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；理解旋转前、后的图形全等．掌握以上三个图形的旋转的基本性质的运用． （三）引导学生自学： 阅读P57-59页，完成58、59页的练习，并思考下列问题: 1．旋转作图应注意哪几个方面？ 2．你对运用旋转知识作图有什么看法？ 6分钟后，检查自学效果 （四）学生自学，教师巡视： 学生认真自学，教师巡视学生练习完成的情况。

（四）检查自学效果： 请看我手里拿着的硬纸板，我在硬纸板上挖下一个三角形的洞， 再挖一个点O作为旋转中心，把挖好的硬纸板放在黑板上，先在黑板上描出这个挖掉的三角形图案（△ABC），然后围绕旋转中心O转动硬纸板， 在黑板上再描出这个挖掉的三角形（△A′B′C′），移去硬纸板． （分组讨论）根据图回答下面问题（一组推荐一人上台说明） 1．线段OA与OA′，OB与OB′，OC与OC′有什么关系？ 2．∠AOA′，∠BOB′，∠COC′有什么关系？ 3．△ABC与△A′B′C′形状和大小有什么关系？ 老师点评：1．OA=OA′，OB=OB′，OC=OC′，也就是对应点到旋转中心相等． 2．∠AOA′=∠BOB′=∠COC′，我们把这三个相等的角， 即对应点与旋转中心所连线段的夹角称为旋转角． 3．△ABC和△A′B′C′形状相同和大小相等，即全等． 综合以上的实验操作和刚才作的（3），得出 （1）对应点到旋转中心的距离相等； （2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角； （3）旋转前、后的图形全等． 例1．如图，△ABC绕C点旋转后，顶点A的对应点为点D，试确定顶点B 对应点的位置，以及旋转后的三角形． 分析：绕C点旋转，A点的对应点是D点，那么旋转角就是∠ACD，根据对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，即∠BCB′=ACD， 又由对应点到旋转中心的距离相等，即CB=CB′，就可确定B′的位置，如图所示． 解：（1）连结CD （2）以CB为一边作∠BCE，使得∠BCE=∠ACD[ （3）在射线CE上截取CB′=CB 则B′即为所求的B的对应点． （4）连结DB′ 则△DB′C就是△ABC绕C点旋转后的图形． 例2．如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，且DE=，△ABF是△ADE的旋转图形． （1）旋转中心是哪一点？ （2）旋转了多少度？ （3）AF的长度是多少？ （4）如果连结EF，那么△AEF是怎样的三角形？ 分析：由△ABF是△ADE的旋转图形，可直接得出旋转中心和旋转角，要求AF 的长度，根据旋转前后的对应线段相等，只要求AE的长度，由勾股定理很容易得到． △ABF与△ADE是完全重合的，所以它是直角三角形． 解：（1）旋转中心是A点． （2）∵△ABF是由△ADE旋转而成的 ∴B是D的对应点 ∴∠DAB=90°就是旋转角 （3）∵AD=1，DE=∴AE==∵对应点到旋转中心的距离相等且F是E的对应点 ∴AF=（4）∵∠EAF=90°（与旋转角相等）且AF=AE ∴△EAF是等腰直角三角形． （五）应用拓展 例3．如图，K是正方形ABCD内一点，以AK为一边作正方形AKLM，使L、M 在AK的同旁，连接BK和DM，试用旋转的思想说明线段BK与DM的关系． 分析：要用旋转的思想说明就是要用旋转中心、旋转角、对应点的知识来说明． 解：∵四边形ABCD、四边形AKLM是正方形 ∴AB=AD，AK=AM，且∠BAD=∠KAM为旋转角且为90° ∴△ADM是以A为旋转中心，∠BAD为旋转角由△ABK旋转而成的 ∴BK=DM （六）课堂训练 课本59—61页 （七）归纳小结（学生总结，老师点评） 本节课应掌握： 1．对应点到旋转中心的距离相等； 2．对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角； 3．旋转前、后的图形全等及其它们的应用． （八）课后作业 《感悟》第42---44页 初中学习网，资料共分享！我们负责传递知识！。

山东省威海市文登区2019-2020学年高三上学期期末数学试题(解析版)

山东省威海市文登区2019-2020学年高三上学期期末数学试题(解析版)

高三数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑． 回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1.已知集合2{|230}A x Z x x =∈--≤，1{|0}x B x x +=>，若集合{|C x x A =∈且}x B ∉，则C =（）A. [1,0]-B. [0,3]C. {1,0}-D. {0,1,2,3}【答案】C【解析】【分析】解不等式可得集合{}1,0,1,2,3A =-，()(),11,B =-∞-+∞，即可得到集合C.【详解】由题可得：{}2{|230}1,0,1,2,3A x Z x x =∈--≤=-，()()1{|0},10,x B x x +=>=-∞-+∞，{|C x x A =∈且}x B ∉={1,0}-.故选：C【点睛】此题考查集合的基本运算，关键在于准确求解不等式，根据集合的新定义求解.2.若复数z 满足(1)1z i i -=+，i 为虚数单位，则2019z =（ ）A. 1-B. 1C. i -D. i【答案】C【解析】【分析】求出z i ，根据()201950434i i i =即可得解.【详解】由题(1)1z i i -=+()()()112(1)12i i iz i i i ++===-+，()2019201043954i i z i i ==-=.故选：C 【点睛】此题考查复数的运算，关键在于熟练掌握复数的乘法和乘方运算法则.3.命题“2[1,2],20x x a ∃∈-≥”为真命题的一个必要不充分条件是（ ） A. 12a < B. 12a ≤ C. 2a ≤ D. 3a ≤【答案】D【解析】【分析】根据题意解得命题“2[1,2],20x x a ∃∈-≥”为真命题的充要条件时2a ≤，结合四个选项即可得到其必要不充分条件.【详解】2[1,2],20x x a ∃∈-≥即()2max 20x a -≥，所以420a -≥，解得2a ≤，只有D 选项3a ≤是其必要不充分条件.故选：D【点睛】此题考查求必要不充分条件，关键在于根据特称命题的真假准确求解参数的取值范围，根据充分性和必要性判断.4.在我国古代数学名著《孙子算经》的下卷中，记载这样一个问题：有兵一队，若列成五行纵队，则末行一人；成六行纵队，则末行五人；成七行纵队，则末行四人；成十一行纵队，则末行十人，求兵数．试计算这些士兵可能有（ ）A. 2006B. 2111C. 2113D. 2141【答案】B【解析】【分析】 根据总数除以5余1，除以6余5，除以7余4，除以11余10，依次判断排除即可得解.【详解】有兵一队，若列成五行纵队，则末行一人；成六行纵队，则末行五人；成七行纵队，则末行四人；成十一行纵队，则末行十人，设总人数x ，除以5余1，除以6余5，除以7余4，除以11余10，2006不满足除以6余5，2113不满足除以5余1，2141不满足除以11余10，2111全都满足故选：B【点睛】此题以中华民族优秀传统文化背景，考查推理，涉及数论相关知识，但此题可通过排除法求解，降低思维难度.5.已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，将角α的终边按逆时针方向旋转π4后经过点(，则tan α=（ ）A. 3--B. 3-+C. 1-D. 1【答案】A【解析】【分析】 设π,tan 42βαβ=+=-，πtan tan 4αβ⎛⎫=- ⎪⎝⎭利用两角差的正切公式即可得解. 【详解】由题：设π,tan 4βαβ=+=，即，tan 2β=- πtan tanπ4tan tan 3π41tan tan 4βαββ-⎛⎫=-==-- ⎪⎝⎭+故选：A【点睛】此题考查根据角的终边上的点的坐标求三角函数值，根据两角差的正切公式进行三角恒等变换解决给值求值的问题.6.若函数||()21()x m f x m +=-∈R 为偶函数，设0.30.2(2),(log 3),(2)m a f b f c f ===，则,,a b c 的大小关系为（ ）A. a c b <<B. a b c <<C. c b a <<D. b a c <<【答案】D【解析】【分析】根据函数奇偶性求出0m =得出单调性，通过转化0.30.255(1),(log 3)(log 3)(log 3),(2)a f b f f f c f ===-==即可得到大小关系.【详解】函数||()21()x m f x m +=-∈R 为偶函数，()()f x f x =-恒成立，||||22x m x m +-+=恒成立，即0m =，||()21x f x =-在()0,x ∈+∞单调递增，所以0.30.2(1),(log 3),(2)a f b f c f ===，0.30.255(1),(log 3)(log 3)(log 3),(2)a f b f f f c f ===-==，0.350log 312<<<所以b a c <<.故选：D【点睛】此题考查根据函数的奇偶性求参数的取值，根据单调性和奇偶性的综合运用比较函数值的大小. 7.二项式2()n x x -的展开式中，第3项的二项式系数比第2项的二项式系数大9，则该展开式中的常数项为（ ）A. 160-B. 80-C. 80D. 160 【答案】A【解析】【分析】根据展开式的二项式系数关系求解n ，结合通项即可得到常数项.【详解】由题第3项的二项式系数比第2项的二项式系数大9，即()21219,,2,9,61802n n n n C C n N n n n n *--=∈≥-=--= 解得：6n =， 二项式62()x x -的展开式中，通项6162()r r r r T C xx -+=-， 当r =3时，取得常数项，3333162()160T C x x +=-=-.故选：A【点睛】此题考查二项式定理，根据二项式系数关系求解参数，根据通项求展开式中的指定项. 8.已知函数22,0()log (1),0x x x f x x x ⎧-+<=⎨+≥⎩，若|()|2f x ax ≥，则实数a 的取值范围是（ ） A. (,0]-∞ B. [1,0]- C. [1,1]- D. 1[,0]2-【答案】D【解析】【分析】作出函数图象，结合图象分别讨论即可得解.【详解】作出函数图象：结合图象可得，要使|()|2f x ax ≥恒成立，当x ＞0，必有0a ≤，当0x ≤时，只需22x x ax -≥，即12x a -≤恒成立， 所以12a ≥- 综上所述1[,0]2a ∈-故选：D【点睛】此题考查分段函数，根据不等式恒成立求参数的取值范围，涉及分类与整合，数形结合思想.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9.下图为某省高考数学理科试卷近三年难易程度的对比图（图中数据为分值）．根据对比图，下列结论正确的有（ ）A. 近三年容易题分值逐年增加B. 近三年难题分值逐年减少C. 近三年中档题分值所占比例最高的年份是2017年D. 2018年的容易题与中档题的分值之和占总分的90%以上【答案】AD【解析】【分析】根据对比图可得，近三年容易题分值逐年增加，三年难题分值不是逐年减少，2016年中档题的占比最高，2018年的容易题与中档题的分值之和占总分的90%以上【详解】根据对比图可得容易题这三年分别分值40,55,96，逐年增加，A 正确；难题分值：34,46,12，并不是逐年减少，所以B 不正确；2016年中档题分值76，占比最高，所以C 不正确；2018年的容易题与中档题的分值之和占总分的138100%90%150⨯>，所以D 正确. 故选：AD 【点睛】此题考查对统计图的认识，关键在于认真审题读懂对比图中反映的数据特征，根据所需判断条件计算分析.10.如图，正三棱柱111ABC A B C -的底面是边长为1的等边三角形，侧棱长为2，,D E 分别是1,BB AC 的中点，则下列结论成立的是（ ）A. 直线CD 与11B C 是异面直线B. 直线BE 与平面1A CD 平行C. 直线AC 与直线1A D 2D. 直线CD 与平面11AAC C 所成角的余弦值为104 【答案】BCD【解析】直线CD 与11B C 在同一平面内，不是异面直线，分别证明线面平行，计算异面直线夹角和直线与平面所成角的大小即可得解. 【详解】直线CD 与11B C 在同一平面11B C CB 内，不是异面直线，所以A 选项错误；取11,A C AC 交点O ，连接,OE OD ，1//,//OE CC OE BD 11=2OE CC BD =， 所以四边形BDOE 是平行四边形，//BE OD ， BE ⊄平面1A CD ，OD ⊂平面1A CD ，所以直线BE 与平面1A CD 平行，B 选项正确；11//AC A C 直线AC 与直线1A D 所成角就是11A C 与直线1A D 所成角，正三棱柱111ABC A B C -的底面是边长为1的等边三角形，侧棱长为2，连接1C D 在11AC D ∆中，11111,2AC C D A D === 由余弦定理可得112cos 4212DAC ∠==⨯⨯ 所以直线AC 与直线1A D 所成角的余弦值为24，所以C 选项正确； 由题可得：平面11AA C C ⊥平面ABC ，交线为AC ，BE AC ⊥，BE ⊂平面ABC ，根据面面垂直的性质可得BE ⊥平面11AAC C ，//BE OD ，所以OD ⊥平面11AAC C ，线CD 与平面11AAC C 所成角就是DCO ∠，在直角三角形DCO 中，52,CD CO == 直线CD 与平面11AAC C 10，所以D 选项正确.【点睛】此题考查空间线面位置关系，涉及异面直线判定，求异面直线所成角，判断线面平行，求直线与平面所成角的大小，关键在于熟练掌握相关定理和解决问题的基本方法.11.已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且(3)(1)f x f x +=-，若当[0,2]x ∈时，()21x f x =-，则下列结论正确的是（ ）A. 当[2,0]x ∈-时，()21x f x -=-B. (2019)1f =C. ()y f x =的图像关于点(2,0)对称D. 函数2()()log g x f x x =-有3个零点 【答案】ABD【解析】【分析】根据函数的奇偶性和周期性判定AB 正确，结合图象可得D 正确，利用反例推翻C 选项，或者作图得C 选项错误.【详解】已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且(3)(1)f x f x +=-，即该函数周期为4，由题：[0,2]x ∈时，()21xf x =-，当[2,0]x ∈-时，[0,2]x -∈，()()21x f x f x -=-=-，所以A 选项正确； ()()()(2019)45051111f f f f =⨯-=-==，所以B 选项正确；()y f x =的图象关于点(2,0)对称，则()(3)10f f +=，但是()()(3)111f f f =-==，()(3)10f f +≠与()(3)10f f +=矛盾，所以C 选项错误；作出函数2(),log y f x y x ==的图象即可得到， 函数2()()log g x f x x =-有3个零点，所以D 选项正确.故选：ABD【点睛】此题考查函数周期性与奇偶性的综合应用，利用性质求函数值，根据函数图象解决零点个数问题.12.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的一条渐近线过点22P ，F 为C 的右焦点，则下列结论正确的是（ ）A. C 的离心率为2B. C 的渐近线方程为0x =C. 若F 到C ，则C 的方程为22142x y -=D. 设O 为坐标原点，若||||PO PF =,则2POF S ∆=【答案】AC【解析】【分析】根据双曲线渐近线经过的点求渐近线方程，结合斜率求解离心率，根据焦点到渐近线距离求解方程，结合线段相等关系求解三角形面积.【详解】由题：双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的一条渐近线过点22P ，所以渐近线方程为2y x =±，所以B 选项错误；所以2b a =，离心率2c e a ====，所以A 选项正确；若F 到C ，即2b a ==则C 的方程为22142x y -=，所以C 选项正确；O 为坐标原点，若||||PO PF =,P ，所以F12POF S ∆==，所以D 选项错误. 故选：AC【点睛】此题考查双曲线的几何性质，涉及渐近线方程的斜率与离心率的关系，根据长度和点的坐标关系求解三角形面积，关键在于熟练掌握双曲线的几何性质.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中相应题的横线上． 13.已知单位向量,m n 的夹角为23π，则|3|m n +=________．【解析】【分析】 根据题意22|3|96m n m n m n +=++⋅结合平面向量数量积运算即可得解. 【详解】单位向量,m n 的夹角为23π， 则22|3|9619m n m n m n +=++⋅=+=.【点睛】此题考查求解向量的模长，关键在于熟练掌握平面向量数量积的运算法则，根据基本运算律进行计算化简.14.ABC 的内角,,AB C 的对边分别为,,a b c ，cos b C 与cos c B 的等差中项为cos a B ．则B =________；若5ac +=，ABC 的面积S =b =________． 【答案】 (1).3π (2).【解析】【分析】①根据正弦定理2sin cos sin cos sin cos A B B C C B =+，即2sin cos sin A B A =，即可得解； ②根据面积公式求得4ac =，由余弦定理b ==即可得解．【详解】①由题：cos b C 与cos c B 的等差中项为cos a B即2cos cos cos a B b C c B =+，由正弦定理可得：2sin cos sin cos sin cos A B B C C B =+，即()()sin si n cos n 2si B A B C A π==+-()sin ,0,,si 2cos n 0sin A B A A A π∈=>，所以()1cos ,0,,23B B B ππ=∈=， ②5a c +=，ABC的面积S =1sin 42ac B ac ==则由余弦定理b ====故答案为：①3π【点睛】此题考查正余弦定理的应用，根据正弦定理进行边角互化求角的大小，根据面积公式和余弦定理求解边长.15.已知圆22:4440C x y x y +--+=，抛物线2:2(0)E y px p =>过点C ，其焦点为F ，则直线CF 被抛物线截得的弦长为________________． 【答案】258【解析】 【分析】根据圆心坐标求出抛物线方程和焦点坐标，求出直线42:33CF y x =-，联立抛物线方程和直线方程根据弦长公式即可得解.【详解】圆22:4440C x y x y +--+=，所以()2,2C ，抛物线2:2(0)E y px p =>过点C ，即44,1p p ==，其焦点为1,02F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2041322CF k -==- 则直线42:33CF y x =-，联立直线与抛物线方程：242332y x y x ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，整理得281720x x -+=， 直线217640∆=->，设其两根为12,x x 弦长121725188x x p ++=+= 所以被抛物线截得的弦长为258. 故答案为：258【点睛】此题考查根据抛物线经过的点求抛物线方程和焦点坐标，根据直线与抛物线形成弦长公式求解弦长，关键在于熟练掌握直线与抛物线问题常见处理办法.16.已知三棱锥S ABC -内接于半径为4的球中，SA ⊥平面ABC ，45BAC ∠=，22BC =，则三棱锥S ABC -体积的最大值为________． 【答案】8(63)3+【解析】 【分析】根据外接球的性质求出SA 的长度，将体积最大值转化为求三角形ABC 面积最大值，结合图形求解【详解】设三棱锥S ABC -外接球O ，三角形ABC 所在外接圆O 1， 由正弦定理可得三角形ABC 2222= 根据球的几何性质有1OO ⊥平面ABC ，1//OO AS ， 取AS 中点E ，4OS OA ==，OE AS ⊥， 所以216443AS =-= 所以三棱锥S ABC -体积433S ABC ABC V S -∆=结合图形可得当三角形ABC 面积最大时，A 到BC 距离最大，结合圆的几何性质可得此时AB =AC ，190BO C ∠=︒，1O 到BC 2， A 到BC 距离2，三角形ABC 面积最大值为(122222222⨯=+三棱锥S ABC -体积3S ABC ABC V S -∆=⨯的最大值为3(2+=3故答案为：3【点睛】此题考查多面体外接球问题，根据几何特征处理几何体的体积，将体积问题转化为求三角形面积问题，涉及数形结合，转化与化归思想.四、解答题：本题共6小题，共70分．把解答写在答题卡中．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.在①()f x 的图像关于直线56x πω=对称，②()cos f x x x ωω=，③()(0)f x f ≤恒成立这三个条件中任选一个，补充在下面问题中．若问题中的ω存在，求出ω的值，若ω不存在，请说明理由． 设函数()2cos()(0,0)2f x x πωϕωϕ=+>≤≤，________，是否存在正整数ω，使得函数()f x 在[0,]2π上是单调的？ 【答案】见解析 【解析】 【分析】任选一个条件求出ϕ的取值，结合单调性分析ω的情况即可得解. 【详解】若选①，令,x k k Z ωϕπ+=∈，代入56x πω=，解得5,6k k Z πϕπ=-∈， 因为02πϕ≤≤，所以当1k =时，6π=ϕ，()2cos()6f x x πω=+， 当[0,]2x π∈时，[,]6626x πππωπω+∈+， 若函数()f x 在[0,]2π上单调，则有26πωππ+≤，解得503ω<≤， 所以存在正整数1ω=时，使得函数()f x 在[0,]2π上是单调的．若选②，()cos 2cos()3f x x x x πωωω==+，所以3πϕ=，当[0,]2x π∈时，[,]3323x πππωπω+∈+， 若函数()f x 在[0,]2π上单调，则有23πωππ+≤，解得403ω<≤， 所以存在正整数1ω=时，使得函数()f x 在[0,]2π上是单调的．若选③，因为()(0)f x f ≤恒成立，即max ()(0)2cos 2f x f ϕ===，所以cos 1ϕ=， 因为02πϕ≤≤，所以0ϕ=，()2cos f x x ω=，当[0,]2x π∈时，[0,]2x πωω∈，若函数()f x 在[0,]2π上单调，则有2πωπ≤，解得02ω<≤，所以存在正整数1ω=或2时，使得函数()f x 在[0,]2π上是单调的．【点睛】此题考查三角函数的综合应用，根据对称性单调性以及最值的关系求解参数，需要熟练掌握三角函数相关性质.18.已知各项都为正数的数列{}n a 满足14a =，211(21)20n n n n a a a a ++---=．（1）求{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足*(25)cos ()n n b a n n n N =+-∈π，求数列{}n b 的前2n 项和． 【答案】（1）12n n a += （2）22224n n ++-【解析】 【分析】（1）原式变形11(2)(1)0n n n a a a ++-+=，结合各项都为正数，即可得到等比数列，求得通项公式；（2）结合（1）写出通项公式11252,21,22-5,2,n n n n n k n N b n n k n N++*⎧+-=+∈=⎨+=∈⎩，利用分组求和即可得解. 【详解】（1）由211(21)20n n n n a a a a ++---=得11(2)(1)0n n n a a a ++-+=，11110,2,2n n n n na a a a a ++++>∴=∴=． 所以{}n a 为首项为4,2q =的等比数列，11422n n n a -+∴=⋅=．（2）由题意11252,21,22-5,2,n n n n n k n Nb n n k n N++*⎧+-=+∈=⎨+=∈⎩ 则{}n b 的前2n 项和2321222 (2)2[(21)(43)...(221)]n n S n n +=++++-+-++-+ 222242222412n n n n ++-=+=+--．【点睛】此题考查根据数列递推关系求通项公式，利用分组求和进行数列求和，需要熟练掌握常见递推数列处理办法，熟记相关公式.19.已知正三棱柱111ABC A B C -中，2AB =，13AA =，D 为AC 的中点．（1）当112AE EA =时，求证：1DE BC ⊥； （2）在线段1AA 上是否存在点E ，使二面角A BE D --等于30？若存在求出AE 的长；若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明见解析 （2）不存在，理由见解析 【解析】 【分析】（1）通过证明ED ⊥平面1BDC 得证线线垂直； （2）建立空间直角坐标系，利用法向量解决.【详解】（1）证明：连结1DC ，因为111ABC A B C -为正三棱柱，所以ABC 为正三角形， 又因为D 为AC 的中点，所以BD AC ⊥，又平面ABC ⊥平面11ACC A ，所以BD ⊥平面11ACC A ，所以BD DE ⊥． 因为112AE EA =,2AB =，13AA =3AE=31AD =， 所以在Rt ADE △中，30ADE ∠=︒，在1Rt DCC 中，160C DC ∠=︒， 所以190EDC ∠︒＝，即1ED DC ⊥，所以ED ⊥平面1BDC ，1BC ⊂面1BDC ，所以1DE BC ⊥．（也可以利用建系的方法证明） （2）假设存在点E 满足条件，设AE h =．取11A C 的中点1D ，连结1DD ，则1DD ⊥平面ABC ，所以1DD AD ⊥，1DD BD ⊥，分别以DA 、DB 、1DD 所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，则A(1,0,0)?，B(0,3,0) ，E(1,0,)h ，所以(0,3,0) DB = (1,0,) DE h = (-1,3,0) AB =(0,0,)AE h =， 设平面DBE 的一个法向量为1111(,,)n x y z =，则1100n DB n DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩⇒11130x hz ⎧=⎪⎨+=⎪⎩令11z =，得1,0,1()n h -=，同理，平面ABE 的一个法向量为2222(,,)n x y z =，则2200n AB n AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩⇒222300x hz ⎧-=⎪⎨=⎪⎩∴2(3,1,0)n =． 所以122|3|3cos ,21h n n h -==+， 所以2||1h h + 所以h 无解．故不存在点E ，使二面角A BE D --等于30．【点睛】此题考查线面垂直的证明，利用线面垂直证明线线垂直，利用空间直角坐标系解决空间角的问题，需要熟练掌握法向量法在解决空间角问题中的应用.20.某公司生产的某种产品，如果年返修率不超过千分之一，则其生产部门当年考核为优秀．现获得该公司20112018-年的相关数据如下表所示：年份2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018注：=年返修台数年返修率年生产台数．（1）从该公司20112018-年的相关数据中任意选取4年的数据，以ξ表示4年中生产部门考核为优秀的次数，求ξ的分布列和数学期望；（2）根据散点图发现2015年数据偏差较大，如果去掉该年的数据，试用剩下的数据求出年利润y （百万元）关于年生产台数x （万台）的线性回归方程（精确到0.01）．参考公式：回归方程y bx a =+，其中1121221(ˆ()())n niii ii i nniii i x y x x y x y n x ybx x xn ====---==--∑∑∑∑ˆˆay bx =-． 参考数据：81168i i x x ===∑，81148i i y y ===∑，81()()34.5i i i x x y y =--=∑，81()18.045i i y y =-=∑，821()72ii x x =-=∑．【答案】（1）分布列见解析，() 2.5E ξ=； （2）0.48 1.27y x =+ 【解析】 【分析】（1）ξ可能取1,2,3,4，分别求出其概率，写出分布列，根据公式求得期望；（2）因为56x x ==，所以去掉2015年的数据后不影响ˆb的值，根据新数据求出样本点的中心，即可得到回归直线方程.【详解】（1）由数据可知，2012,2013,2016,2017,2018五个年份考核优秀．ξ可能取1,2,3,4．所以3135481(1)14C C P C ξ===,2235483(2)7C C P C ξ===，1335483(3)7C C P C ξ===，0435481(4)7C C P C ξ===． 所以ξ的分布列为故数学期望13315()1234 2.51477142E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯==（万元）． （2）因为56x x ==，所以去掉2015年的数据后不影响ˆb的值， 所以121(34.5ˆ0.4872()())niii nii bx x x x y y ==--==≈-∑∑． 去掉2015年的数据后，68667x ⨯-'==，4832977y ⨯-'==， 所以2934.5ˆˆ6 1.27772ay bx =-=-⨯≈， 所以y 关于x 的线性回归方程为0.48 1.27y x =+．【点睛】此题考查求离散型随机变量分布列和期望，根据数据求解回归直线方程，关键在于熟练掌握回归方程相关数据的求解方法，准确计算概率.21.已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>的焦距为2，一个顶点在抛物线2y =的准线上．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过右焦点2F 做斜率存在的直线l ，交椭圆于A B 、两点．（i ）已知点1(0,)2M ，是否存在直线l ，使||||MA MB =？若存在，求直线l 方程；若不存在，说明理由； （ii ）若O 为坐标原点，求ABOS的取值范围．【答案】（1）2212x y +=； （2）（i ）存在，0y =；（ii）(0,2【解析】 【分析】（1）根据焦距和顶点坐标求解椭圆的标准方程；（2）（i ）设出直线方程，联立直线和椭圆方程结合韦达定理，利用斜率关系求解；（ii ）求出弦长和点到直线距离表示出三角形面积，利用函数关系求解三角形面积取值范围. 【详解】（1）由题意可得22,1c c =∴=抛物线2y =的准线为x a =∴=解得222211b a c ∴=-=-=所以椭圆的标准方程为2212x y +=（2）（i ）已知2(1,0)F ，设直线的方程为(1)y k x =-，11(,)A x y 22(,)B x y联立直线与椭圆方程22(1)12y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，化简得：2222)202142(-=+-+x k x k k 所以22121222422,1212k k x x x x k k-+==++，121222()212k y y k x x k k -+=+-=+ 所以AB 的中点坐标为2222(,)1212k kG k k-++ ①当0k ≠时，2222212121122||||,24012MGk k k k MA MB k k k kk ------+=∴===-+， 整理得22210,k k -+=方程无解②当0k =时，AB 的中垂线方程为0x =，满足题意． 所以存在直线0y =满足题意．（ii ）由（i）知||AB ==22)12k k +=+而原点O 到直线l的距离d =所以1||2ABOSAB d ===221,0,4()1,02ABOk R k k S∈≠∴+>∴<< 综上，ABOS的取值范围为(0,2． 【点睛】此题考查求椭圆的标准方程，根据直线与椭圆的位置关系结合韦达定理解决是否存在满足条件的探索问题，求解面积最值问题. 22.已知函数()2ln f x x x x =+．（1）若直线l 过点(0,2)-，且与曲线()y f x =相切，求直线l 的方程； （2）若1x ∀>时，()0f x kx k -+>成立，求整数k 的最大值． 【答案】（1）32y x =- （2）4 【解析】 【分析】（1）设切点坐标，写出切线方程，建立等量关系求解； （2）将问题转化为1x ∀>，2ln 1x x xk x +>-恒成立，利用函数求解最值，即可得解.【详解】（1）因为点(0,2)-不在直线l 上， 设切点坐标为00(,)x y ，则00002ln y x x x =+． 因为()12ln 232ln f x x x '=++=+． 所以00000000222ln ()32ln l y x x x k f x x x x +++'==+==，解得01x =． 所以3l k =，所以直线l 的方程为32y x =-． （2）由题意知，1x ∀>，2ln 1x x xk x +>-恒成立min 2ln ()1x x xk x +>-令2ln ()1x x xg x x +=-，22(32ln )(1)(2ln )22ln 3()(1)(1)x x x x x x x g x x x +--+--'∴==--．设()22ln 3h x x x =--，所以2(1)()0x h x x-'=>， 所以()h x 在(1,)+∞上单调递增． 又55(2)12ln 20,()2(1ln )022h h =--<=->， 所以存在05(2,)2x ∈，在005(2,),()0,(,),()02x x h x x x h x ∈<∈>，所以()g x 在0(2,)x 上单调递减，在05(,)2x 上单调递增． 所以000min 002ln ()()1x x x g x g x x +==-， 而000()22ln 30,h x x x =--= 所以200min 0022()21x x g x x x -==-． 所以0max 2(4,5),4k x k <∈∴=．【点睛】此题考查导数的综合应用，利用导数的几何意义解决切线问题，等价转化，分离参数，利用导数求解最值问题，涉及隐零点问题的处理.。

2019年威海市数学高考第一次模拟试卷含答案

2019年威海市数学高考第一次模拟试卷含答案

2019年威海市数学高考第一次模拟试卷含答案一、选择题1．如图所示的圆锥的俯视图为（ ）A ．B ．C ．D ．2．123{3x x >>是12126{9x x x x +>>成立的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．即不充分也不必要条件3．设向量a ，b 满足2a =，||||3b a b =+=，则2a b +=（ ） A ．6B ．32C ．10D ．424．已知向量()3,1a =，b 是不平行于x 轴的单位向量，且3a b ⋅=，则b =（ ）A ．31,22⎛⎫⎪⎪⎝⎭B ．13,22⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭ C ．133,44⎛⎫⎪⎪⎝⎭D ．()1,05．在“近似替代”中，函数()f x 在区间1[,]i i x x +上的近似值（ ） A ．只能是左端点的函数值()i f x B ．只能是右端点的函数值1()i f x +C ．可以是该区间内的任一函数值()(i i fξξ∈1[,]i i x x +）D ．以上答案均正确6．正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F 是BC 的一个三等分点，那么EF =（ ）A ．1123AB AD - B ．1142AB AD + C ．1132AB DA + D ．1223AB AD -.7．已知函数()3sin 2cos 2[0,]2f x x x m π=+-在上有两个零点，则m 的取值范围是A ．（1,2）B ．[1,2）C ．（1,2]D ．[l,2]8．已知236a b ==，则a ，b 不可能满足的关系是（） A ．a b ab += B ．4a b +> C ．()()22112a b -+-<D ．228a b +>9．渐近线方程为0x y ±=的双曲线的离心率是（ ） A ．22B ．1C ．2D ．210．样本12310,?,?,? a a a a ⋅⋅⋅的平均数为a ，样本12310,?,?,? b b b b ⋅⋅⋅的平均数为b ，那么样本1122331010,? ,,? ,?,,?,? a b a b a b a b ⋅⋅⋅的平均数为（ ）A ．()a b +B ．2()a b +C ．1()2a b + D ．1()10a b + 11．已知a R ∈，则“0a =”是“2()f x x ax =+是偶函数”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件12．把红、黄、蓝、白4张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁4个人，每人分得一张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是 A ．对立事件 B ．互斥但不对立事件 C ．不可能事件D ．以上都不对二、填空题13．若过点()2,0M 且斜率为3的直线与抛物线()2:0C y ax a =>的准线l 相交于点B ，与C 的一个交点为A ，若BM MA =，则a =____．14．复数()1i i +的实部为 ． 15．在平行四边形ABCD 中，3A π∠=，边AB ，AD 的长分别为2和1，若M ，N 分别是边BC ，CD 上的点,且满足CN CDBM BC=，则AM AN ⋅的取值范围是_________．16．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2b =，3c =，2C B =，则ABC 的面积为______．17．若,满足约束条件则的最大值 ．18．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为 ▲19．已知直线：与圆交于两点，过分别作的垂线与轴交于两点.则_________.20．如图，已知P 是半径为2，圆心角为3π的一段圆弧AB 上一点，2A B B C =，则PC PA ⋅的最小值为_______．三、解答题21．已知平面直角坐标系xoy .以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，P 点的极坐标为23,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭，曲线C 的极坐标方程为223sin 1ρρθ+=（1）写出点P 的直角坐标及曲线C 的普通方程； （2）若Q 为C 上的动点，求PQ 中点M 到直线32:2x tl y t =+⎧⎨=-+⎩（t 为参数）距离的最小值.22．设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，离心率为12.已知A 是抛物线22(0)y px p =>的焦点，F 到抛物线的准线l 的距离为12. （I ）求椭圆的方程和抛物线的方程；（II ）设l 上两点P ，Q 关于x 轴对称，直线AP 与椭圆相交于点B （B 异于点A ），直线BQ 与x 轴相交于点D .若APD △的面积为62，求直线AP 的方程. 23．为评估设备生产某种零件的性能，从设备生产该零件的流水线上随机抽取100个零件为样本，测量其直径后，整理得到下表：经计算，样本的平均值，标准差，以频率值作为概率的估计值.（I ）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为，并根据以下不等式进行判定（表示相应事件的概率）： ①； ②； ③.判定规则为：若同时满足上述三个式子，则设备等级为甲；若仅满足其中两个，则等级为乙，若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部都不满足，则等级为了.试判断设备的性能等级.（Ⅱ）将直径尺寸在之外的零件认定为是“次品”.①从设备的生产流水线上随机抽取2个零件，求其中次品个数的数学期望；②从样本中随意抽取2个零件，求其中次品个数的数学期望.24．如图，在四棱锥P ABCD -中，已知PC ⊥底面ABCD ，AB AD ⊥，//AB CD ，2AB =，1AD CD ==，E 是PB 上一点.（1）求证:平面EAC ⊥平面PBC ；（2）若E 是PB 的中点，且二面角P AC E --6，求直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值.25．已知函数()()2f x x 2a 1x 2alnx(a 0)=-++>．()1求()f x 的单调区间；()2若()f x 0≤在区间[]1,e 上恒成立，求实数a 的取值范围．26．选修4-5：不等式选讲：设函数()13f x x x a =++-. （1）当1a =时，解不等式()23f x x ≤+；（2）若关于x 的不等式()42f x x a <+-有解，求实数a 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】 【分析】找到从上往下看所得到的图形即可． 【详解】由圆锥的放置位置，知其俯视图为三角形．故选C. 【点睛】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图，本题容易误选B ，属于基础题.2．A解析：A 【解析】 试题分析：因为123{3x x >>12126{9x x x x +>⇒>，所以充分性成立；1213{1x x ==满足12126{9x x x x +>>，但不满足123{3x x >>，必要性不成立，所以选A.考点：充要关系3．D解析：D 【解析】 【分析】3=，求得2a b ⋅=-，再根据向量模的运算，即可求解． 【详解】∵向量a ，b 满足2a =，3b a b =+=3=，解得2a b ⋅=-． 则22224424a b a b a b +=++⋅=+．故选D ． 【点睛】本题主要考查了向量的数量积的运算，及向量的模的运算问题，其中解答中熟记向量的数量积的运算和向量的模的运算公式，合理、准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．4．B解析：B 【解析】 【分析】设()(),0b x y y =≠，根据题意列出关于x、y 的方程组，求出这两个未知数的值，即可得出向量b 的坐标. 【详解】设(),b x y =，其中0y ≠，则3a x y b ⋅=+=由题意得2210x y y y ⎧+=+=≠⎪⎩，解得12x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩13,22b ⎛= ⎝⎭.故选：B. 【点睛】本题考查向量坐标的求解，根据向量数量积和模建立方程组是解题的关键，考查方程思想的应用以及运算求解能力，属于基础题.5．C解析：C 【解析】 【分析】 【详解】根据近似替代的定义，近似值可以是该区间内的任一函数值()(i i f ξξ∈ []1,i i x x +），故选C ．6．D解析：D 【解析】 【分析】用向量的加法和数乘法则运算。

山东省潍坊市2019届高三上学期期末测试数学(文科)试卷含答案

山东省潍坊市2019届高三上学期期末测试数学(文科)试卷含答案

高三文科数学一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本道题计算集合A的范围,结合集合交集运算性质,即可.【详解】,所以,故选D.【点睛】本道题考查了集合交集运算性质,难度较小.f(x)x>02.已知函数为奇函数，且当时，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本道题结合奇函数满足,计算结果,即可.【详解】,故选C.【点睛】本道题考查了奇函数的性质,难度较小.cos2伪=3.若，则（）A. B. C. D. 23【答案】C【解析】【分析】本道题化简式子,计算出,结合,即可.【详解】,得到,所以sin 伪=33,故选C.【点睛】本道题考查了二倍角公式,难度较小.4.双曲线：，当变化时，以下说法正确的是（ ）A. 焦点坐标不变B. 顶点坐标不变C. 渐近线不变D. 离心率不变【答案】C【解析】【分析】本道题结合双曲线的基本性质，即可。

【详解】当由正数变成复数,则焦点由x 轴转入y 轴，故A 错误。

顶点坐标和离心率都会随改变而变，故B,D 错误。

该双曲线渐近线方程为，不会随改变而改变，故选C 。

【点睛】本道题考查了双曲线基本性质，可通过代入特殊值计算，即可。

难度中等。

5.若实数，满足，则的最大值是（ ）x y1A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】结合不等式，绘制可行域，平移目标函数，计算最值，即可。

【详解】结合不等式组，建立可行域，如图图中围成的封闭三角形即为可行域，将转化成从虚线处平移，要计算z的最大值，即可计算该直线截距最小值，当该直线平移到A(-1,-1)点时候，z最小，计算出z=1,故选B。

【点睛】本道题考查了线性规划计算最优解问题，难度中等。

6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）主视图左视图俯视图A. B. C. D. 803403325【答案】C【解析】【分析】结合三视图，还原直观图，计算体积，即可。

2019届山东省高三第一次大联考数学(文)试题(解析版)

2019届山东省高三第一次大联考数学(文)试题(解析版)

2019届山东省高三第一次大联考数学（文）试题一、单选题1．已知集合，，则的元素个数是（）A．0B．1C．2D．3【答案】D【解析】根据两个函数图像交点的个数确定的元素个数.【详解】由幂函数的图像可以知道，它们有三个交点，所以集合有三个元素.选D.【点睛】本题考查集合的表示、交集的运算，考查幂函数的图像.考查直观想象能力.属基础题2．若复数满足，则的虚部为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】先由得到，再由复数除法运算，即可得出结果.【详解】因为，所以，故的虚部为.故选D.【点睛】本题考查了复数的运算、复数的虚部的概念，突显了对数学运算、基本概念的考查. 解答本题首先要了解复数的虚部的概念，其次要能熟练进行复数的四则运算.3．设是不共线的向量，则“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】D【解析】将转化为相互垂直，转化为模长相等，即可得出结果.【详解】，可知以为邻边的平行四边形为矩形，可知两条对角线不一定垂直，当，可知以为邻边的平行四边形为菱形，不一定是矩形，所以不一定成立，所以“”是“”的既不充分也不必要条件.故选D.【点睛】本题主要考查了向量的几何性质、充分与必要条件的基本概念，熟记充分条件与必要条件的概念以及向量的数量积即可，属于基础题型.4．已知向量的夹角为，则等于（）A．B．C．D．【答案】A【解析】先根据向量夹角公式求，再根据二倍角公式得结果.【详解】因为，所以.选A.【点睛】本题考查向量的坐标运算、二倍角公式，考查基本求解能力，属基本题.5．已知直线与圆相交于两点，为坐标原点，则的面积为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】结合图像，先确定为等腰三角形，根据题意得到腰长和顶角，代入面积公式即可得出结果.【详解】由题意直线，圆均过原点，通过图形观察可知为等腰三角形，且，，所以.故选A.【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，结合圆的特征以及三角形面积公式即可求解，属于基础题型.6．已知抛物线的焦点为，上一点在轴上的投影为，为坐标原点.若的面积为，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】先由题意，不妨设在第一象限，再由的面积为，求出，根据在抛物线上，求出，最后由即可求出结果.【详解】由对称性可知，不妨设在第一象限，，即，因为在抛物线上，即，解得，由抛物线定义，故选B.【点睛】本题考查了抛物线的定义的应用，熟记抛物线的结构特征以及抛物线定义即可，属于基础题型.7．我国现代著名数学家徐利治教授提出：图形的对称性是数学美的具体内容.如图，一个圆的外切正方形和内接正方形构成一个优美的几何图形，正方形所围成的区域记为Ⅰ，在圆内且在正方形外的部分记为Ⅱ，在圆外且在大正方形内的部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】首先要将小正方形旋转度，由此看出大正方形与小正方形边长的比值，进而得到面积比，从而可确定概率间的关系.【详解】将小正方形旋转度，图像转化为:由图像易知：小正方形的面积是大正方形面积的一半，所以.则选A.【点睛】本题考查了几何概型，着重考查了利用相似比求面积比，突显了对数学抽象与直观想象的考查.8．设，则的大小关系是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】本题首先根据指数函数的单调性得出，然后根据对数函数的单调性得出，最后根据对数的换底公式进一步判断的大小关系即可得出结果.【详解】，，所以最小，所以，所以选B. 【点睛】本题考查对数运算，考查指数、对数函数的性质、不等式的性质，以及函数与方程的思想，熟记指数函数与对数函数的性质即可，属于基础题型.9．如图，在中，点在边上，且,,,的面积为，则线段的长度为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】先由, 的面积为，得到的面积；进而求出，再由余弦定理求出，最后在中，再根据余弦定理即可求出结果.【详解】因为, 的面积为，所以的面积为，则,即.在中，，所以，又因为，，，所以，.所以在中，，即，所以选C.【点睛】本题主要考查余弦定理解三角形，熟记余弦定理即可，属于常考题型.10．相关变量的散点图如图所示，现对这两个变量进行线性相关分析，方案一：根据图中所有数据，得到线性回归方程，相关系数为；方案二：剔除点，根据剩下数据得到线性回归直线方程：，相关系数为.则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据相关系数的意义：其绝对值越接近，说明两个变量越具有线性相关，以及负相关的意义作判断.【详解】由散点图得负相关，所以，因为剔除点后，剩下点数据更具有线性相关性，更接近，所以.选D.【点睛】本题考查线性回归分析，重点考查散点图、相关系数，突显了数据分析、直观想象的考查.属基础题.11．设函数，则不等式的解集为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】先由函数解析式判断出函数的奇偶性，以及单调性，再由，，结合函数单调性，即可求出结果.【详解】易知函数为奇函数，且在上为增函数，又因为，由，得，即，解得，故选B.【点睛】本题考查了分段函数的奇偶性、单调性，以及不等式的解法，熟记函数的奇偶性和单调性、以及不等式的解法即可，属于常考题型.12．如图，一个正四棱锥和一个正三棱锥，所有棱长都相等，为棱的中点，将、、分别对应重合为，得到组合体.关于该组合体有如下三个结论：①；②；③，其中错误的个数是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】先由题意可知，两个锥体叠加后得到的是三棱柱，根据三棱锥的对称性得出空间直线的垂直、平行关系，即可得出结果.【详解】由于正四棱锥和一个正三棱锥，所有的棱长都相等，可看作有两个相同的正四棱柱拼凑而成，如图所示：点对应正四棱锥的上底面中心，点对应另一正四棱锥的上底面中心，由图形可知拼成一个三棱柱，设为的中点，由此可知，又因为平面，所以，因为，，所以.故选A.【点睛】本题考查了空间几何体的叠加，重点考查了几何体的“割”与“补”，突显了对数学抽象和数学建模的考查，熟记空间中线面位置关系即可，属于常考题型.二、填空题13．已知函数在点处的切线方程为___________.【答案】【解析】先由解析式求出，再对函数求导，求出切线斜率，进而可得出结果.【详解】,∴在点处的切线方程为，即. 【点睛】本题考查了导数的四则运算、切线的斜率与切点处导数的关系，重点考查了导数的乘法运算，突显了对数学运算的考查.14．网格纸上小正方形的边长为，粗实线画出的是某四面体的三视图，则该四面体最大侧棱长为_________.【答案】【解析】首先要能将三视图还原成立体图形，再由勾股定理求棱长，即可得出结果.【详解】由三视图可知该几何体为三棱锥，其中底面为等腰直角三角形，，，故，取中点，，即最大棱长为.【点睛】本题考查了几何体的三视图，重点考查了主视图、左视图、俯视图“长对正、高平齐、宽相等”的关系，以及空间线面垂直的判定与性质，突显了对数学抽象和直观想象的考查.15．关于的不等式组表示的平面区域为，若平面区域内存在点，满足，则实数的取值范围是______.【答案】【解析】先由约束条件作出可行域，再由题意可得，过定点的动直线与平面区域有公共点，结合图像即可得出结果.【详解】画出平面区域为图中阴影部分区域，其中，，而表示过定点的动直线，又题意可转化为：过定点的动直线与平面区域有公共点，也即与线段相交，所以，而，，即.【点睛】本题考查了线性规划问题，重点考查了可行域、目标函数、最优解的概念，属于常考题型.16．已知函数的图象关于点对称，且在上有且只有三个零点，则的最大值是_________.【答案】【解析】根据函数在上有且只有三个零点，可得，求出，再由，从大到小依次取验证即可得出结果.【详解】依题意，，当时，，，所以，所以或，因为，所以，函数的零点可由求得，有四个零点，函数的零点可由求得，有四个零点，不符合条件.当时，，，所以，所以或，因为，所以，函数的零点可由求得，有三个零点，函数的零点可由求得，有三个零点，综上，的最大值是.【点睛】本题考查了三角函数图像的性质、函数的零点，熟记正弦函数的周期性、对称性等即可，属于常考题型.三、解答题17．已知数列，，且满足.(1)求数列的通项公式；(2)若数列满足，求数列的前项和.【答案】(1)；(2).【解析】(1)由题意①当为奇数时，根据求出通项公式；②当为偶数时，根据求出通项公式，最后再综合两种情况即可得出结果.(2)根据并项求和的方法求和即可得出结果.【详解】(1)①当为奇数时，.②当为偶数时，.综上，. (2)∵.【点睛】本题考查了等差数列的通项公式及求和公式，熟记等差数列的通项公式以及前n项和公式，结合并项求和的思想即可求解，属于常考题型.18．已知四棱锥的底面是等腰梯形，，，，，.(1)证明：平面；(2)若点是棱上一点，且平面，求三棱锥的体积.【答案】(1)见解析；(2).【解析】（1）根据线面垂直的判定定理，直接证明即可；(2)首先要将线面平行即平面转化为线线平行，从而确定点的位置，最后利用比例关系将所求三棱锥的体积转化为其它棱锥的体积，进而可得出结果. 【详解】(1)因为是等腰梯形，所以，即，即，，所以，又因为，，，所以平面；(2)因为平面，，所以，所以，所以，即，所以平面，又因为平面，平面平面，平面，所以，即，所以.【点睛】本题考查线面垂直关系的判定，考查线面平行的性质，考查体积公式应用，熟记线面垂直的判定定理和性质定理以三棱锥的体积公式即可，属于常考题型.19．下表是年个重点城市（序号为一线城市，其它为非一线城市）的月平均收入与房价对照表，根据表中数据并适当修正，得到房价中位数与月平均收入的线性回归方程是，我们把根据房价与月平均收入的线性回归方程得到的房价称为参考房价，若实际房价中位数大于参考房价，我们称这个城市是“房价偏贵城市”.序月评房价参考序月评房价参考序月评房价参考号价收入中位数房价号价收入中位数房价号价收入中位数房价1106706782211708117327257042170811479215972 210015525845118012706513918194762270651874115780 39561509004573213702716286194042370271053815324 48798307293657614697416667182042469741206914688 574241092620088156920974317760256920233314040 67825267142490016690310627181202669031358213836 77770397232424017688429000173882768842212613608 8775015114240001866547979165842866541220710848 97723177272367619664812500169202966481247210776 107635130122262020660812298162003066081640610286(1)计算城市的参考房价；(2)从个一线城市中随机选取个城市进行调研，求恰好选到一个“房价偏贵城市”的概率；(3)完成下面的列联表，并判断是否有的把握认为一线城市与该城市为“房价偏贵城市”有关？一般城市非一线城市总计房价偏贵城市不是房价偏贵城市总计附参考公式及数据：，其中.0.1000.0500.012.7063.841 6.635【答案】(1)；(2)；(3)见解析.【解析】（1）将代入，即可求出结果；(2)用列举法分别列举“这五个城市中选取个”以及“其中恰好有一个房价偏贵城市”所包含的基本事件，基本事件的个数比即是所求概率；(3)根据题中数据先完善列联表，再由求出，结合临界值表即可得出结果.【详解】(1)城市的参考房价为：；(2)一线城市中，城市是房价偏贵城市，不是房价偏贵城市，从这五个城市中选取个的所有可能有：，，，，，，，，，共十种，其中恰好有一个房价偏贵城市的情形有：，，，，，，所以恰好选到一个房价偏贵城市的概率.(3)一般城市非一线城市总计房价偏贵城市 3 9 12不是房价偏贵城市 2 16 18总计 5 25 30，所以我们没有的把握认为是否是一线城市与该城市是否是房价偏贵城市有关.【点睛】本题考查了线性回归分析、古典概率、独立性检验，熟记古典概型的概率计算公式，以及独立性检验的思想即可，属于常考题型.20．椭圆的左、右焦点分别为，过点且斜率为的直线与椭圆相交于两点.已知当时，，且的面积为.(1)求椭圆的方程；(2)当时，求过点且圆心在轴上的圆的方程.【答案】(1)；(2).【解析】(1)由当时，，且的面积为，得到，进而求出，求解即可得到，，从而可得椭圆方程；(2) 当时，，代入椭圆方程，求出点坐标，进而可得线段的中垂线方程，从而可求出所求圆心和半径，得到所求圆的方程.【详解】(1)由已知得：当时，，此时，所以，，所以椭圆的方程为. (2)当时，，代入椭圆的方程得：，所以，，所以，线段的中点坐标，线段的中垂线方程为，令，即圆心坐标为，所以半径，因此所求圆的方程为：.【点睛】本题考查了椭圆的标准方程与几何性质、直线方程，通常需要联立直线与椭圆方程，结合题中条件求解，属于常考题型.21．已知函数（为常数，且）(1）当时，求函数的单调区间；(2）若函数在区间上有唯一的极值点，求实数和极值的取值范围.【答案】(1) 函数的递增区间是，递减区间是；(2)【解析】(1）先对函数求导，将代入导函数，解导函数对应的不等式，即可求出结果；(2）先记，根据函数在区间上有唯一的极值点，可得函数图像是开口向下的抛物线，且，从而可得的范围，再由，以及在上单调递增，即可求出的取值范围.【详解】(1)（，当时，由解得，所以函数的递增区间是，递减区间是；(2)记，，函数在区间上有唯一极值点，则函数图像是开口向下的抛物线，且，即，所以的取值范围是，，所以，因为在上单调递增，且时，，，所以的取值范围是.【点睛】本题考查了导数的计算、导数的应用，考查了函数与方程思想、数形结合思想，通常需要对函数求导，利用导数的方法研究函数的单调性以及极值等，属于常考题型.22．在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.为曲线上的动点，点在射线上，且满足.（Ⅰ）求点的轨迹的直角坐标方程；（Ⅱ）设与轴交于点，过点且倾斜角为的直线与相交于两点，求的值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）首先依据动点的极坐标的关系找到点的极坐标方程，再化为直角坐标方程；（Ⅱ）首先根据条件确定直线的参数方程，依据参数的几何意义，结合解方程，利用韦达定理得到解.【详解】（Ⅰ）设的极坐标为，的极坐标为，由题设知.所以，即的极坐标方程，所以的直角坐标方程为.（Ⅱ）交点，所以直线的参数方程为（为参数），曲线的直角坐标方程，代入得：，，设方程两根为，则分别是对应的参数，所以.【点睛】本题考查直线与圆的极坐标方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化、直线参数方程的应用，突显了直观想象的考查.23．已知函数.（Ⅰ）当时，求不等式的解集；（Ⅱ）若不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（Ⅰ）或；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）首先通过对绝对值内式子符号的讨论，将不等式转化为一元一次不等式组，再分别解各不等式组，最后求各不等式组解集的并集，得到所求不等式的解集；（Ⅱ）首先利用绝对值不等式定理得到函数的最小值，将不等式恒成立问题转化为关于的不等式解的问题，再通过对绝对值内式子符号的讨论，转化为不含绝对值的不等式组，最后求解不等式组.【详解】（Ⅰ）不等式为，可以转化为：或或，解得或，所以原不等式的解集是或.（Ⅱ），所以或，解得或.所以实数的取值范围是.【点睛】本题考查绝对值不等式的解法、绝对值不等式定理，考查转化与化归思想、分类与整合思想，突显了数学运算、逻辑推理的考查.。

山东省威海市2019届高三上学期期末数学试卷(文科)Word版含解析

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山东省威海市2019届高三上学期期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知i是虚数单位，若复数z满足（1+i）z=2i，则z的虚部是（）A．1 B．﹣1 C．﹣i D．i2．若集合，B={x||x|＜3}，则集合 A∪B为（）A．{x|﹣5＜x＜3} B．{x|﹣3＜x＜2} C．{x|﹣5≤x＜3} D．{x|﹣3＜x≤2}3．命题p：若λ=0，则=0；命题q：∃x0＞0，使得x﹣1﹣lnx=0，则下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．p∨（￢q） C．（￢p）∧（￢q）D．（￢p）∧q 4．已知某程序框图如图所示，则执行该程序后输出的结果是（）A．2 B．C．﹣1 D．﹣25．函数的一条对称轴为（）A．B．C．D．6．已知实数x，y满足，则z=3x﹣y的最大值为（）A．﹣5 B．1 C．3 D．47．设m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，下列四个命题为真命题的是（）①若m⊥α，n⊥m，则n∥α；②若α∥β，n⊥α，m∥β，则n⊥m；③若m∥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β；④若m∥α，n⊥β，m∥n，则α⊥β．A．②③B．③④C．②④D．①④8．已知双曲线与抛物线y2=8x的准线交于点P，Q，抛物线的焦点为F，若△PQF是等边三角形，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．9．偶函数f（x）满足f（x﹣1）=f（x+1），且当x∈[﹣1，0]时，f（x）=﹣x，则函数g（x）=f（x）﹣lgx在x∈（0，10）上的零点个数是（）A．10 B．9 C．8 D．710．已知Rt△ABC，两直角边AB=1，AC=2，D是△ABC内一点，且∠DAB=60°，设（λ，μ∈R），则=（）A．B． C．3 D．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．函数y=的定义域是．12．已知=（2，m），=（1，1），•=|+|则实数m的值为．13．直线3x+4y=b与圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0相交，则b的取值范围为．14．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为．15．观察下列等式，按此规律，第n 个等式的右边等于 ．三、解答题：本大题6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足．（Ⅰ）求角C 的值；（Ⅱ）若a=5，△ABC 的面积为，求sinB 的值．17．为监测全市小学生身体形态生理机能的指标情况，体检中心从某小学随机抽取100名学生，将他们的身高（单位：厘米）数据分成如下5个组：[100，110），[110，120），…，[140，150），并绘制成频率分布直方图（如图所示）．（Ⅰ）若该校共有学生1000名，试估计身高在[100，130）之间的人数；（Ⅱ）在抽取的100名学生中，按分层抽样的方法从身高为：[100，110），[130，140），[140，150）3个组的学生中选取7人参加一项身体机能测试活动，并从这7人中任意抽取2人进行定期跟踪测试，求这2人取自不同组的概率．18．已知各项均为正数的数列{a n }满足a 1=1，．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）若数列，求数列{b n }前n 项和T n ．19．空间几何体ABCDEF 如图所示．已知面ABCD ⊥面ADEF ，ABCD 为梯形，ADEF 为正方形，且AB ∥CD ，AB ⊥AD ，CD=4，AB=AD=2，G 为CE 的中点．（Ⅰ）求证：BG∥面ADEF；（Ⅱ）求证：CB⊥面BDE；（Ⅲ）求三棱锥E﹣BDG的体积．20．已知椭圆C的离心率为，F1，F2分别为椭圆的左右焦点，P为椭圆上任意一点，△PF1F2的周长为，直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆C相交于A，B两点．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若直线l与圆x2+y2=1相切，过椭圆C的右焦点F2作垂直于x轴的直线，与椭圆相交于M，N两点，与线段AB相交于一点（与A，B不重合）．求四边形MANB面积的最大值及取得最大值时直线l的方程．21．已知函数f（x）=x2+alnx﹣x（a≠0），g（x）=x2．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若对于任意的a∈（1，+∞），总存在x1，x2∈[1，a]，使得f（x1）﹣f（x2）＞g（x1）﹣g（x2）+m成立，求实数m的取值范围．2016-2017学年山东省威海市高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知i是虚数单位，若复数z满足（1+i）z=2i，则z的虚部是（）A．1 B．﹣1 C．﹣i D．i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】由（1+i）z=2i，得，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：由（1+i）z=2i，得=，则z的虚部是：1．故选：A．2．若集合，B={x||x|＜3}，则集合 A∪B为（）A．{x|﹣5＜x＜3} B．{x|﹣3＜x＜2} C．{x|﹣5≤x＜3} D．{x|﹣3＜x≤2}【考点】并集及其运算．【分析】分别化简集合A，B，再由并集的含义即可得到．【解答】解：集合={x|﹣5≤x＜2}，B={x||x|＜3}={x|﹣3＜x＜3}，则A∪B={x|﹣5≤x＜3}．故选：C．3．命题p：若λ=0，则=0；命题q：∃x0＞0，使得x﹣1﹣lnx=0，则下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．p∨（￢q） C．（￢p）∧（￢q）D．（￢p）∧q【考点】命题的真假判断与应用；复合命题的真假．【分析】先判断命题p，q的真假，进而根据复合命题真假判断的真值表，可得答案．【解答】解：若λ=0，则=，故命题p为假命题；当x0=1时，x﹣1﹣lnx=0，故命题q为真命题，故p∧q，p∨（￢q），（￢p）∧（￢q）均为假命题；（￢p）∧q为真命题，故选：D4．已知某程序框图如图所示，则执行该程序后输出的结果是（）A．2 B．C．﹣1 D．﹣2【考点】程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知该程序的作用是利用循环计算变量a的值并输出，依次写出每次循环得到的a，i的值，当i=11时，满足条件，计算即可得解．【解答】解：程序运行过程中，各变量的值如下表示：a i 是否继续循环循环前 2 1第一圈 2 是第二圈﹣1 3 是第三圈 2 4 是…第9圈 2 10 是第10圈 11 是故最后输出的a值为．故选：B．5．函数的一条对称轴为（）A．B．C．D．【考点】弧长公式；二倍角的余弦．【分析】利用倍角公式可得函数y=cos（2x﹣）+，由2x﹣=kπ，k∈Z，解得对称轴方程，k取值为﹣1即可得出．【解答】解：∵==cos（2x﹣）+，∴令2x﹣=kπ，k∈Z，解得对称轴方程为：x=+，k∈Z，∴当k=﹣1时，一条对称轴为x=﹣．故选：D．6．已知实数x，y满足，则z=3x﹣y的最大值为（）A．﹣5 B．1 C．3 D．4【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据z的几何意义，利用数形结合即可得到z的最大值．【解答】解：不等式组，对应的平面区域如图：由z=3x﹣y得y=3x﹣z，平移直线y=3x﹣z，则由图象可知当直线y=3x﹣z经过点A时直线y=3x﹣z的截距最小，此时z最大，为3x﹣y=3．，解得，即A（1，0），此时点A在z=3x﹣y，解得z=3，故选：C．7．设m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，下列四个命题为真命题的是（）①若m⊥α，n⊥m，则n∥α；②若α∥β，n⊥α，m∥β，则n⊥m；③若m∥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β；④若m∥α，n⊥β，m∥n，则α⊥β．A．②③B．③④C．②④D．①④【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】①，若m⊥α，n⊥m，则n∥α或n⊂α；②，若α∥β，n⊥α⇒n⊥β，又∵m∥β，则n⊥m；③，若m∥α，n⊥β，m⊥n，则α、β不一定垂直；④，若n⊥β，m∥n⇒m⊥β，又∵m∥α，则α⊥β．【解答】解：对于①，若m⊥α，n⊥m，则n∥α或n⊂α，故错；对于②，若α∥β，n⊥α⇒n⊥β，又∵m∥β，则n⊥m，故正确；对于③，若m∥α，n⊥β，m⊥n，则α、β不一定垂直，故错；对于④，若n⊥β，m∥n⇒m⊥β，又∵m∥α，则α⊥β，故正确．故选：C8．已知双曲线与抛物线y2=8x的准线交于点P，Q，抛物线的焦点为F，若△PQF是等边三角形，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题意，x=﹣2，等边三角形的边长为，将（﹣2，）代入双曲线，可得方程，即可求出m的值．【解答】解：由题意，x=﹣2，等边三角形的边长为，将（﹣2，）代入双曲线，可得=1，∴，故选：B．9．偶函数f（x）满足f（x﹣1）=f（x+1），且当x∈[﹣1，0]时，f（x）=﹣x，则函数g（x）=f（x）﹣lgx在x∈（0，10）上的零点个数是（）A．10 B．9 C．8 D．7【考点】根的存在性及根的个数判断；函数零点的判定定理．【分析】根据已知条件推导函数f（x）的周期，再利用函数与方程思想把问题转化，画出函数的图象，即可求解．【解答】解：∵f（x﹣1）=f（x+1）∴f（x）=f（x+2），∴原函数的周期T=2．又∵f（x）是偶函数，∴f（﹣x）=f（x）．又当x∈[﹣1，0]时，f（x）=﹣x，∴x∈[0，1]时，f（x）=x，函数的周期为2，∴原函数的对称轴是x=1，且f（﹣x）=f（x+2）．设 y1=f（x），y2=lgx，x=10，y2=1函数g（x）=f（x）﹣lgx在（0，10）上的零点的个数如图：即为函数y1=f（x），y2=lgx的图象交点的个数为9个．函数g（x）=f（x）﹣lgx有9个零点故选：B．10．已知Rt△ABC，两直角边AB=1，AC=2，D是△ABC内一点，且∠DAB=60°，设（λ，μ∈R），则=（）A．B． C．3 D．【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】建立平面直角坐标系，分别写出B、C点坐标，由于∠DAB=60°，设D点坐标为（m，），由平面向量坐标表示，可求出λ和μ．【解答】解：如图以A为原点，以AB所在的直线为x轴，以AC所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，则B点坐标为（1，0），C点坐标为（0，2），∠DAB=60°，设D点坐标为（m，），=λ（1，0）+μ（0，2）=（λ，2μ）⇒λ=m，μ=，则=．故选：A二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．函数y=的定义域是（﹣1，2）．【考点】对数函数的定义域．【分析】无理式被开方数大于等于0，对数的真数大于0，分母不等于0，解答即可．【解答】解：要使函数有意义，须解得﹣1＜x＜2，即函数的定义域为（﹣1，2）故答案为：（﹣1，2）12．已知=（2，m），=（1，1），•=|+|则实数m的值为 3 ．【考点】平面向量的坐标运算．【分析】根据向量的数量积公式和向量的模得到关于m的方程，解得即可．【解答】解：∵=（2，m），=（1，1），•=|+|，∴•=2+m，|+|=，∴2+m=，解得m=3，故答案为：3．13．直线3x+4y=b与圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0相交，则b的取值范围为（2，12）．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】求出圆的标准方程，利用直线和圆相交的条件建立不等式关系进行求解即可．【解答】解：圆的标准方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=1，则圆心坐标为（1，1），半径r=1，则若直线3x+4y=b与圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0相交，则圆心到直线的距离d==＜1，即|b﹣7|＜5，则﹣5＜b﹣7＜5，即2＜b＜12，故答案为：（2，12）14．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图，可得该几何体是以俯视图为底面的棱柱，代入柱体体积公式，可得答案．【解答】解：由已知中的三视图，可得该几何体是以俯视图为底面的棱柱，底面面积为：S=2×2=4，底面周长为：C=2×（2+）=4+4，高h=4，故几何体的表面积为：2S+Ch=；故答案为：．15．观察下列等式，按此规律，第n个等式的右边等于3n2﹣2n ．【考点】归纳推理．【分析】由图知，第n个等式左边是n个奇数的和，第一个奇数是2n﹣1，由等差数列的求和公式计算出第n个等式的和，即可得结果．【解答】解：由图知，第n个等式的等式左边第一个奇数是2n﹣1，故n个连续奇数的和故有n×=n×（3n﹣2）=3n2﹣2n．故答案为3n2﹣2n．三、解答题：本大题6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足．（Ⅰ）求角C的值；（Ⅱ）若a=5，△ABC的面积为，求sinB的值．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（Ⅰ）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得，结合sinB≠0，可得：，进而可求C的值．（Ⅱ）由已知利用三角形面积公式可求b，由余弦定理得c，进而利用正弦定理可求sinB的值．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由正弦定理，，可整理变形为：，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣由A=π﹣（B+C），可得：sinA=sin（B+C）所以：，整理得：，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣因为sinB≠0，所以，可得：，∴，∴．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）由已知a=5，，得，﹣﹣﹣﹣﹣﹣由余弦定理得c2=a2+b2﹣2abcosC=21，故，…可得：．…17．为监测全市小学生身体形态生理机能的指标情况，体检中心从某小学随机抽取100名学生，将他们的身高（单位：厘米）数据分成如下5个组：[100，110），[110，120），…，[140，150），并绘制成频率分布直方图（如图所示）．（Ⅰ）若该校共有学生1000名，试估计身高在[100，130）之间的人数；（Ⅱ）在抽取的100名学生中，按分层抽样的方法从身高为：[100，110），[130，140），[140，150）3个组的学生中选取7人参加一项身体机能测试活动，并从这7人中任意抽取2人进行定期跟踪测试，求这2人取自不同组的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．【分析】（Ⅰ）由频率分布图中小矩形面积之和为1的性质，先求出a=0.030，从而求出身高在[110，130）之间的频率，由此能求出身高在[110，130）之间的人数．（Ⅱ）该学校学生身高在[100，110），[130，140），[140，150）内的频率分别是0.05，0.2，0.1，这三个组的人数分别为5人，20人，10人，共35人，这三个组分别为A组，B组，C 组．从A组抽取人数1人，B组抽取4人，C组抽取2人，利用列举法能求出任意抽取2人，这2人取自不同身高组的概率．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由（0.005+0.035+a+0.020+0.010）×10=1，解得a=0.030．所以身高在[110，130）之间的频率为：（0.035+0.030）×10=0.65， 所以身高在[110，130）之间的人数为：0.65×100=65人．（Ⅱ）估计该学校学生身高在[100，110），[130，140），[140，150）内的频率分别是0.05，0.2，0.1，所以这三个组的人数分别为5人，20人，10人，共35人． 记这三个组分别为A 组，B 组，C 组．则A 组抽取人数为；B 组抽取人数为；C 组抽取人数为， 设“任意抽取2人，这2人取自不同身高组”为事件M ， 则所有的基本事件空间为：共21个元素，事件M 包含的基本事件有：（A 1，B 1），（A 1，B 2），（A 1，B 3），（A 1，B 4），（A 1，C 1），（A 1，C 2），（B 1，C 1），（B 1，C 2）， （B 2，C 1），（B 2，C 2），（B 3，C 1），（B 3，C 2），（B 4，C 1），（B 4，C 2），共14个，所以这2人取自不同组的概率．18．已知各项均为正数的数列{a n }满足a 1=1，．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）若数列，求数列{b n }前n 项和T n ．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（Ⅰ） 由数列的递推公式，可得所以数列{a n }为等比数列，且公比，首项a 1=1，（Ⅱ）根据错位相减法，即可求出数列的数列{b n }前n 项和T n ．【解答】解：（ I ），因为数列{an }各项均为正数，所以an+1≠0，所以an=2an+1，所以数列{an }为等比数列，且公比，首项a1=1所以；（Ⅱ），，①②①﹣②得，所以．19．空间几何体ABCDEF如图所示．已知面ABCD⊥面ADEF，ABCD为梯形，ADEF为正方形，且AB∥CD，AB⊥AD，CD=4，AB=AD=2，G为CE的中点．（Ⅰ）求证：BG∥面ADEF；（Ⅱ）求证：CB⊥面BDE；（Ⅲ）求三棱锥E﹣BDG的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）取ED中点H，连接HG、AH，推导出AHGB为平行四边形，从而AH∥BG，由此能证明BG∥面ADEF．（Ⅱ）推导出BD⊥BC，ED⊥AD，ED⊥BC，由此能证明BC⊥面BDE．（Ⅲ）三棱锥E﹣BDG的体积VE﹣BDG =VE﹣BDC﹣V_G﹣BDC，由此能求出结果．【解答】（本小题满分12分）证明：（Ⅰ）取ED中点H，连接HG、AH，因为G、H分别为EC、ED的中点，所以HG∥CD且；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣因为AB∥CD且所以AB∥HG，且AB=HG，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣所以AHGB为平行四边形，所以AH∥BG；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣因为BG⊄面PBC，AH⊂面PBC，所以BG∥面ADEF；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）在直角梯形ABCD中，由题意得，在Rt△ABD中，由题意得所以△BDC中，由勾股定理可得BD⊥BC﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣由ADEF为正方形，可得ED⊥AD由面ABCD⊥面ADEF，得ED⊥面ABCDBC⊂面ABCD，所以ED⊥BC﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣所以BC⊥面BDE﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅲ）因为DE⊥平面BDC，DE=2，G到到平面BDC的距离d==1，S△BDC===4，所以三棱锥E﹣BDG的体积﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣20．已知椭圆C的离心率为，F1，F2分别为椭圆的左右焦点，P为椭圆上任意一点，△PF1F2的周长为，直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆C相交于A，B两点．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若直线l与圆x2+y2=1相切，过椭圆C的右焦点F2作垂直于x轴的直线，与椭圆相交于M，N两点，与线段AB相交于一点（与A，B不重合）．求四边形MANB面积的最大值及取得最大值时直线l的方程．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）根据椭圆的离心率及△PF1F2的周长求出a、b即可；（Ⅱ）由已知求出MN的长度，然后，由直线和圆相切得到m，k的关系，再联立直线方程和椭圆方程，求出A，B的横坐标，代入四边形面积公式，利用基本不等式求得最值，并得到使四边形ACBD的面积有最大值时的m，k的值，从而得到直线l的方程．【解答】解：（ I）设椭圆的方程为，由题可知，﹣﹣解得，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣所以椭圆C的方程为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（ II）令，解得，所以|MN|=1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣直线l与圆x2+y2=1相切可得，即k2+1=m2，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣联立直线与椭圆的方程，整理得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣所以﹣﹣﹣﹣将k2+1=m2代入可得．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣当且仅当，即时，等号成立，此时．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣所以，当时，四边形MANB的面积具有最大值，直线l方程是或．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣21．已知函数f（x）=x2+alnx﹣x（a≠0），g（x）=x2．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若对于任意的a∈（1，+∞），总存在x1，x2∈[1，a]，使得f（x1）﹣f（x2）＞g（x1）﹣g（x2）+m成立，求实数m的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，得到函数的单调区间即可；（Ⅱ）令F（x）=f（x）﹣g（x）=x2+alnx﹣x﹣x2=alnx﹣x，x∈[1，a]．原问题等价于：对任意的a∈（1，+∞），总存在x1，x2∈[1，a]，使得F（x1）﹣F（x2）＞m成立，即F（x）max﹣F（x）min＞m，根据函数的单调性求出m的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣令2x2﹣x+a=0，△=1﹣8a（1）当△=1﹣8a≤0，即时，2x2﹣x+a≥0恒成立，即f′（x）≥0恒成立，故函数f（x）的单增区间为（0，+∞），无单减区间．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）当△＞0，即时，由2x2﹣x+a=0解得或i）当时，0＜x1＜x2，所以当或时f′（x）＞0当时f′（x）＜0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3）当a≤0时，所以当时f′（x）＞0，当时f′（x）＜0；﹣﹣﹣﹣﹣﹣综上所述：当时，函数f（x）的单增区间为（0，+∞），无单减区间．当时，函数f（x）的单增区间为和，单减区间为．当a≤0时，函数f（x）的单增区间为，单减区间为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）令F（x）=f（x）﹣g（x）=x2+alnx﹣x﹣x2=alnx﹣x，x∈[1，a]．原问题等价于：对任意的a∈（1，+∞），总存在x1，x2∈[1，a]，使得F（x1）﹣F（x2）＞m成立，即F（x）max ﹣F（x）min＞m．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∵，∵a∈（1，+∞），x∈[1，a]，∴F′（x）＞0，∴F（x）在x∈[1，a]上单调递增，∴F（x）≤F（x）max ﹣F（x）min=F（a）﹣F（1）=alna﹣a+1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣即alna﹣a+1＞m对任意的a∈（1，+∞）恒成立，令h（a）=alna﹣a+1，a∈（1，+∞），只需h（a）min＞m，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣h′（a）=lna，∵a∈（1，+∞），∴h′（a）＞0，∴h（a）在a∈（1，+∞）上单调递增，∴h（a）＞h（1）=0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣所以m≤0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣。

2019届高三上期末考试数学(文科)试卷(有答案)

2019届高三上期末考试数学(文科)试卷(有答案)

2019届高三上学期期末考试数学（文科）试题本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共150分，考试时间120分钟。

请在答题卷上作答。

第I 卷 （选择题 共60分）一、选择题(共12小题,每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求。

) 1.已知集合，集合，则（）A. B. C.D.2.已知复数,z a i a R =+∈，若2z =，则a 的值为（）A. 1B.C. 1±D. 3.设函数()2log 2g x x m x =--，则“函数()g x 在()2,8上存在零点”是“()1,3m ∈”的（） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分且必要条件 D. 既不充分也不必要条件4.过抛物线22y px =（0p >）的焦点F 作斜率大于0的直线l 交抛物线于A ，B 两点（A 在B 的上方），且l 与准线交于点C ，若4CB BF =，则AF BF=（）A.53B. 52C. 3D. 2 5.设1F ，2F 分别为椭圆1C ：221122111(0)x y a b a b +=>>与双曲线2C ：222222221(0,0)x y a b a b -=>>的公共焦点，它们在第一象限内交于点M ，1290F MF ∠=︒，若椭圆的离心率134e =，则双曲线2C 的离心率2e 的值为（）A.92B. 2C. 32D. 546.已知函数()()2142,1{ 1log ,1a x a x f x x x -+-<=+≥，若()fx 的值域为R ，则实数a 的取值范围是（）A. (]1,2B. (],2-∞C. (]0,2D. [)2,+∞ 7.已知()()()4201xf x a x x x =-+>+，若曲线()f x 上存在不同两点,A B ，使得曲线()f x 在点,A B 处的切线垂直，则实数a 的取值范围是（）A. (B. ()2,2-C. ()2D. (- 8.执行如图所示的程序框图，输出的T ＝A. 29B. 44C. 52D. 62 9.已知等比数列满足，则的值为（）A. 2B. 4C.D. 6 10.定义行列式运算12142334a a a a a a a a =-，将函数()sin2cos2x f x x =的图像向左平移6π个单位，以下是所得函数图像的一个对称中心是（）A. ,04π⎛⎫ ⎪⎝⎭B. ,02π⎛⎫ ⎪⎝⎭C. ,03π⎛⎫⎪⎝⎭D. ,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭11.在ABC ∆中，P 是边BC 的中点，Q 是BP 的中点，若6A π∠=，且ABC ∆的面积为1，则AP AQ ⋅的最小值为（）A.2C. 1+D. 312.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）A.B.C.D.第II 卷（非选择题 共90分）二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知实数,x y 满足10{20 0x y x y x -+≤+-≤≥，则2z x y =-的最大值为__________．14.设函数()()sin f x A x ωϕ=+（,,A ωϕ是常数，0,0A ω>>）.若()f x 在区间,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上具有单调性，且2236f f f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则()f x 的最小正周期为. 15.设正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则以1S ，3S ，4S 为前三项的等差数列的第8项与第4项之比为________. 16.平面四边形中，,沿直线将翻折成，当三棱锥的体积取得最大值时，该三棱锥的外接球的表面积是__________．三、解答题(共6小题 ,共70分。

山东省威海市2019-2020学年高考第一次模拟数学试题含解析

山东省威海市2019-2020学年高考第一次模拟数学试题含解析

山东省威海市2019-2020学年高考第一次模拟数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设全集为R ，集合{}02A x x =<<，{}1B x x =≥，则()A B =R I ðA ．{}01x x <≤B ．{}01x x <<C ．{}12x x ≤<D ．{}02x x << 【答案】B【解析】分析：由题意首先求得R C B ，然后进行交集运算即可求得最终结果.详解：由题意可得：{}|1R C B x x =<，结合交集的定义可得：(){}01R A C B x ⋂=<<.本题选择B 选项.点睛：本题主要考查交集的运算法则，补集的运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 2．已知a ，b 为两条不同直线，α，β，γ为三个不同平面，下列命题：①若//αβ，//αγ，则//βγ；②若//a α，//a β，则//αβ；③若αγ⊥，βγ⊥，则αβ⊥；④若a α⊥，b α⊥，则//a b .其中正确命题序号为( )A ．②③B ．②③④C ．①④D ．①②③ 【答案】C【解析】【分析】根据直线与平面，平面与平面的位置关系进行判断即可.【详解】根据面面平行的性质以及判定定理可得，若//αβ，//αγ，则//βγ，故①正确；若//a α，//a β，平面,αβ可能相交，故②错误；若αγ⊥，βγ⊥，则,αβ可能平行，故③错误；由线面垂直的性质可得，④正确；故选：C【点睛】本题主要考查了判断直线与平面，平面与平面的位置关系，属于中档题.3．设某大学的女生体重y （单位：kg ）与身高x （单位：cm ）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i ，y i ）（i=1，2，…，n ），用最小二乘法建立的回归方程为ˆy=0.85x-85.71，则下列结论中不正确的是A ．y 与x 具有正的线性相关关系B ．回归直线过样本点的中心（x ，y ）C ．若该大学某女生身高增加1cm ，则其体重约增加0.85kgD ．若该大学某女生身高为170cm ，则可断定其体重比为58.79kg 【答案】D 【解析】根据y 与x 的线性回归方程为 y=0.85x ﹣85.71，则=0.85＞0，y 与 x 具有正的线性相关关系，A 正确；回归直线过样本点的中心（,x y ），B 正确；该大学某女生身高增加 1cm ，预测其体重约增加 0.85kg ，C 正确；该大学某女生身高为 170cm ，预测其体重约为0.85×170﹣85.71=58.79kg ，D 错误． 故选D ．4．在ABC V 中，12BD DC =u u u v u u u v ，则AD uuu v =（ ） A ．1344+AB AC u u u v u u u v B ．21+33AB AC u u u v u u u v C ．12+33AB AC u u u v u u u v D ．1233AB AC -u u u v u u u v 【答案】B【解析】【分析】在,AB AC 上分别取点E F 、,使得12,2AE EB AF FC ==u u u r u u u r u u u r u u u r , 可知AEDF 为平行四边形，从而可得到2133AD AE AF AB AC u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r =+=+，即可得到答案． 【详解】如下图，12BD DC =u u u r u u u r ，在,AB AC 上分别取点E F 、,使得12,2AE EB AF FC ==u u u r u u u r u u u r u u u r , 则AEDF 为平行四边形，故2133AD AE AF AB AC u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r =+=+,故答案为B.【点睛】本题考查了平面向量的线性运算，考查了学生逻辑推理能力，属于基础题．5．如图，平面四边形ACBD 中，AB BC ⊥，AB DA ⊥，1AB AD ==，2BC =，现将ABD △沿AB 翻折，使点D 移动至点P ，且PA AC ⊥，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为（ ）A ．8πB ．6πC ．4πD ．823π 【答案】C【解析】【分析】 由题意可得PA ⊥面ABC ，可知PA BC ⊥，因为AB BC ⊥，则BC ⊥面PAB ，于是BC PB ⊥.由此推出三棱锥P ABC -外接球球心是PC 的中点，进而算出2CP =，外接球半径为1，得出结果.【详解】解：由DA AB ⊥，翻折后得到PA AB ⊥，又PA AC ⊥，则PA ⊥面ABC ，可知PA BC ⊥．又因为AB BC ⊥，则BC ⊥面PAB ，于是BC PB ⊥，因此三棱锥P ABC -外接球球心是PC 的中点．计算可知2CP =，则外接球半径为1，从而外接球表面积为4π．故选：C.【点睛】本题主要考查简单的几何体、球的表面积等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力及创新意识，属于中档题．6．某网店2019年全年的月收支数据如图所示，则针对2019年这一年的收支情况，下列说法中错误的是（ ）A ．月收入的极差为60B ．7月份的利润最大C ．这12个月利润的中位数与众数均为30D ．这一年的总利润超过400万元【答案】D【解析】【分析】直接根据折线图依次判断每个选项得到答案.【详解】由图可知月收入的极差为903060-=，故选项A 正确；1至12月份的利润分别为20，30，20，10，30，30，60，40，30，30，50，30，7月份的利润最高，故选项B 正确；易求得总利润为380万元，众数为30，中位数为30，故选项C 正确，选项D 错误.故选：D .【点睛】本题考查了折线图，意在考查学生的理解能力和应用能力.7．已知双曲线C ：2222x y a b-=1(a>0，b>0)的右焦点为F ，过原点O 作斜率为43的直线交C 的右支于点A ，若|OA|=|OF|，则双曲线的离心率为（ ）A 3B ．5C ．2D 3+1【答案】B【解析】【分析】 以O 为圆心，以OF 为半径的圆的方程为222x y c +=，联立22222221x y c x y ab ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，可求出点222,c b b A c c ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭22243b c a c b =+，整理计算可得离心率. 【详解】解：以O 为圆心，以OF 为半径的圆的方程为222x y c +=， 联立22222221x y c x y a b ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，取第一象限的解得2x c b y c ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即2b A c ⎫⎪⎪⎝⎭243b c=， 整理得()()22229550c a c a --=， 则22519c a =<（舍去），225c a=，c e a∴==. 故选：B.【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，考查学生的计算能力，是中档题.8．设命题p ：,a b R ∀∈，a b a b -<+，则p ⌝为A ．,a b R ∀∈，a b a b -≥+B ．,a b R ∃∈，a b a b -<+C ．,a b R ∃∈，a b a b ->+D ．,a b R ∃∈，a b a b -≥+ 【答案】D【解析】【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可.【详解】因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题p ：,a b R ∀∈，a b a b -<+，则p ⌝为：,a b R ∃∈，a b a b -≥+.故本题答案为D.【点睛】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题.9．已知函数()2x f x x x ln a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，关于x 的方程f （x ）＝a 存在四个不同实数根，则实数a 的取值范围是（ ）A ．（0，1）∪（1，e ）B ．10e ⎛⎫ ⎪⎝⎭， C ．11e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，D ．（0，1）【答案】D【解析】【分析】原问题转化为221x x a a =有四个不同的实根，换元处理令t =，对g （t）21lnt t t ⎫=--⎪⎭进行零点个数讨论.【详解】由题意，a ＞2，令t =， 则f （x ）＝a ⇔2x x x ln a a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭⇔221x x a a -=⇔221t -=⇔210lnt t t ⎫-=⎪⎭． 记g （t）21lnt t t ⎫=-⎪⎭．当t ＜2时，g （t ）＝2ln （﹣t）t 1t-）单调递减，且g （﹣2）＝2，又g （2）＝2，∴只需g （t ）＝2在（2，+∞）上有两个不等于2的不等根．则210lnt t t ⎫--=⎪⎭221tlnt t =-， 记h （t ）221tlnt t =-（t ＞2且t≠2）， 则h′（t ）()()()22222222212122141(1)(1)t t lnt lnt t t lnt t t t ⎛⎫-+- ⎪+--+⎝⎭==--． 令φ（t ）2211t lnt t -=-+，则φ′（t ）()()2222222221211(1)(1)(1)t t t t t t t t t +---=-=-++＜2． ∵φ（2）＝2，∴φ（t ）2211t lnt t -=-+在（2，2）大于2，在（2，+∞）上小于2． ∴h′（t ）在（2，2）上大于2，在（2，+∞）上小于2，则h （t ）在（2，2）上单调递增，在（2，+∞）上单调递减．由211222112t t tlnt lnt lim lim t →→+==-1，即a ＜2． ∴实数a 的取值范围是（2，2）．故选：D ．【点睛】此题考查方程的根与函数零点问题，关键在于等价转化，将问题转化为通过导函数讨论函数单调性解决问题.10．双曲线2214x y -=的渐近线方程是（ ）A ．y x =±B ．y x =C ．2x y =±D ．2y x =±【答案】C【解析】【分析】根据双曲线的标准方程即可得出该双曲线的渐近线方程.【详解】 由题意可知，双曲线2214x y -=的渐近线方程是2x y =±. 故选：C.【点睛】本题考查双曲线的渐近线方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意双曲线的简单性质的合理运用．11．观察下列各式：2x y ⊗=，224x y ⊗=，339x y ⊗=，4417x y ⊗=，5531x y ⊗=，6654x y ⊗=，7792x y ⊗=，L ，根据以上规律，则1010x y ⊗=（ ）A ．255B ．419C ．414D ．253 【答案】B【解析】【分析】每个式子的值依次构成一个数列{}n a ，然后归纳出数列的递推关系12n n n a a a n --=++后再计算．【详解】以及数列的应用根据题设条件，设数字2，4，9，17，31，54，92，L 构成一个数列{}n a ，可得数列{}n a 满足12n n n a a a n --=++()*3,n n ≥∈N ， 则876854928154a a a =++=++=，9879154929255a a a =++=++=，10981025515410419a a a =++=++=．故选：B ．【点睛】本题主要考查归纳推理，解题关键是通过数列的项归纳出递推关系，从而可确定数列的一些项． 12．设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则m β⊥的一个充分条件是（ ） A ．αβ⊥且m α⊂ B ．//m n 且n β⊥C ．αβ⊥且//m αD ．m n ⊥且//n β 【答案】B【解析】由//m n 且n β⊥可得m β⊥，故选B.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

山东省威海市文登区2019-2020学年高三上学期期末数学试题(解析版)

山东省威海市文登区2019-2020学年高三上学期期末数学试题(解析版)

高三数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑． 回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1.已知集合2{|230}A x Z x x =∈--≤，1{|0}x B x x +=>，若集合{|C x x A =∈且}x B ∉，则C =（）A. [1,0]-B. [0,3]C. {1,0}-D. {0,1,2,3}【答案】C【解析】【分析】解不等式可得集合{}1,0,1,2,3A =-，()(),11,B =-∞-+∞U ，即可得到集合C.【详解】由题可得：{}2{|230}1,0,1,2,3A x Z x x =∈--≤=-，()()1{|0},10,x B x x +=>=-∞-+∞U ，{|C x x A =∈且}x B ∉={1,0}-.故选：C【点睛】此题考查集合的基本运算，关键在于准确求解不等式，根据集合的新定义求解.2.若复数z 满足(1)1z i i -=+，i 为虚数单位，则2019z =（ ）A. 1-B. 1C. i -D. i【答案】C【解析】【分析】求出z i =，根据()201950434i i i =即可得解.【详解】由题(1)1z i i -=+()()()112(1)12i i iz i i i ++===-+，()2019201043954i i z i i ==-=.故选：C 【点睛】此题考查复数的运算，关键在于熟练掌握复数的乘法和乘方运算法则.3.命题“2[1,2],20x x a ∃∈-≥”为真命题的一个必要不充分条件是（ ） A. 12a < B. 12a ≤ C. 2a ≤ D. 3a ≤【答案】D【解析】【分析】根据题意解得命题“2[1,2],20x x a ∃∈-≥”为真命题的充要条件时2a ≤，结合四个选项即可得到其必要不充分条件.【详解】2[1,2],20x x a ∃∈-≥即()2max 20x a -≥，所以420a -≥，解得2a ≤，只有D 选项3a ≤是其必要不充分条件.故选：D【点睛】此题考查求必要不充分条件，关键在于根据特称命题真假准确求解参数的取值范围，根据充分性和必要性判断.4.在我国古代数学名著《孙子算经》的下卷中，记载这样一个问题：有兵一队，若列成五行纵队，则末行一人；成六行纵队，则末行五人；成七行纵队，则末行四人；成十一行纵队，则末行十人，求兵数．试计算这些士兵可能有（ ）A. 2006B. 2111C. 2113D. 2141【答案】B【解析】【分析】 根据总数除以5余1，除以6余5，除以7余4，除以11余10，依次判断排除即可得解.【详解】有兵一队，若列成五行纵队，则末行一人；成六行纵队，则末行五人；成七行纵队，则末行四人；成十一行纵队，则末行十人，设总人数x ，除以5余1，除以6余5，除以7余4，除以11余10，2006不满足除以6余5，2113不满足除以5余1， 的2141不满足除以11余10，2111全都满足故选：B【点睛】此题以中华民族优秀传统文化背景，考查推理，涉及数论相关知识，但此题可通过排除法求解，降低思维难度.5.已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，将角α的终边按逆时针方向旋转π4后经过点(，则tanα=（）A. 3--B. 3-+C. 1-D. 1【答案】A【解析】分析】设π,tan4βαβ=+=，πtan tan4αβ⎛⎫=-⎪⎝⎭利用两角差的正切公式即可得解.【详解】由题：设π,tan42βαβ=+=-，即，tan2β=-πtan tanπ4tan tan3π41tan tan4βαββ-⎛⎫=-==--⎪⎝⎭+故选：A【点睛】此题考查根据角的终边上的点的坐标求三角函数值，根据两角差的正切公式进行三角恒等变换解决给值求值的问题.6.若函数||()21()x mf x m+=-∈R为偶函数，设0.30.2(2),(log3),(2)ma fb fc f===，则,,a b c的大小关系为（）A. a c b<< B. a b c<< C. c b a<< D. b a c<<【答案】D【解析】【分析】根据函数奇偶性求出0m=得出单调性，通过转化0.30.255(1),(log3)(log3)(log3),(2)a fb f f fc f===-==即可得到大小关系.【【详解】函数||()21()x m f x m +=-∈R 为偶函数，()()f x f x =-恒成立，||||22x m x m +-+=恒成立，即0m =，||()21x f x =-在()0,x ∈+∞单调递增，所以0.30.2(1),(log 3),(2)a f b f c f ===，0.30.255(1),(log 3)(log 3)(log 3),(2)a f b f f f c f ===-==，0.350log 312<<<所以b a c <<.故选：D【点睛】此题考查根据函数的奇偶性求参数的取值，根据单调性和奇偶性的综合运用比较函数值的大小. 7.二项式2()n x x -的展开式中，第3项的二项式系数比第2项的二项式系数大9，则该展开式中的常数项为（ ）A. 160-B. 80-C. 80D. 160 【答案】A【解析】【分析】根据展开式的二项式系数关系求解n ，结合通项即可得到常数项.【详解】由题第3项的二项式系数比第2项的二项式系数大9，即()21219,,2,9,61802n n n n C C n N n n n n *--=∈≥-=--= 解得：6n =， 二项式62()x x -的展开式中，通项6162()r r r r T C x x-+=-， 当r =3时，取得常数项，3333162()160T C x x +=-=-.故选：A【点睛】此题考查二项式定理，根据二项式系数关系求解参数，根据通项求展开式中的指定项. 8.已知函数22,0()log (1),0x x x f x x x ⎧-+<=⎨+≥⎩，若|()|2f x ax ≥，则实数a 的取值范围是（ ） A. (,0]-∞B. [1,0]-C. [1,1]-D. 1[,0]2- 【答案】D【解析】【分析】作出函数图象，结合图象分别讨论即可得解.【详解】作出函数图象：结合图象可得，要使|()|2f x ax ≥恒成立，当x ＞0，必有0a ≤，当0x ≤时，只需22x x ax -≥，即12x a -≤恒成立， 所以12a ≥- 综上所述1[,0]2a ∈-故选：D【点睛】此题考查分段函数，根据不等式恒成立求参数的取值范围，涉及分类与整合，数形结合思想.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9.下图为某省高考数学理科试卷近三年难易程度的对比图（图中数据为分值）．根据对比图，下列结论正确的有（ ）A. 近三年容易题分值逐年增加B. 近三年难题分值逐年减少C. 近三年中档题分值所占比例最高的年份是2017年D. 2018年的容易题与中档题的分值之和占总分的90%以上【答案】AD【解析】【分析】根据对比图可得，近三年容易题分值逐年增加，三年难题分值不是逐年减少，2016年中档题的占比最高，2018年的容易题与中档题的分值之和占总分的90%以上【详解】根据对比图可得容易题这三年分别分值40,55,96，逐年增加，A 正确；难题分值：34,46,12，并不是逐年减少，所以B 不正确；2016年中档题分值76，占比最高，所以C 不正确；2018年的容易题与中档题的分值之和占总分的138100%90%150⨯>，所以D 正确. 故选：AD 【点睛】此题考查对统计图的认识，关键在于认真审题读懂对比图中反映的数据特征，根据所需判断条件计算分析.10.如图，正三棱柱111ABC A B C -的底面是边长为1的等边三角形，侧棱长为2，,D E 分别是1,BB AC 的中点，则下列结论成立的是（ ）A. 直线CD 与11B C 是异面直线B. 直线BE 与平面1A CD 平行C. 直线AC 与直线1A DD. 直线CD 与平面11AAC C 【答案】BCD【解析】【分析】直线CD 与11B C 在同一平面内，不是异面直线，分别证明线面平行，计算异面直线夹角和直线与平面所成角的大小即可得解.【详解】直线CD 与11B C 在同一平面11B C CB 内，不是异面直线，所以A 选项错误；取11,A C AC 交点O ，连接,OE OD ，1//,//OE CC OE BD 11=2OE CC BD =， 所以四边形BDOE 是平行四边形，//BE OD ， BE ⊄平面1A CD ，OD ⊂平面1A CD ，所以直线BE 与平面1A CD 平行，B 选项正确；11//AC A C 直线AC 与直线1A D 所成角就是11A C 与直线1A D 所成角，正三棱柱111ABC A B C -的底面是边长为1的等边三角形，侧棱长为2，连接1C D 在11AC D ∆中，11111,AC C D A D ===由余弦定理可得11cos DAC ∠==所以直线AC 与直线1A D 所成角的余弦值为4，所以C 选项正确； 由题可得：平面11AA C C ⊥平面ABC ，交线为AC ，BE AC ⊥，BE ⊂平面ABC ，根据面面垂直的性质可得BE ⊥平面11AAC C ，//BE OD ，所以OD ⊥平面11AAC C ，线CD 与平面11AAC C 所成角就是DCO ∠，在直角三角形DCO 中，CD CO ==直线CD 与平面11AAC C D 选项正确. 故选：BCD【点睛】此题考查空间线面位置关系，涉及异面直线判定，求异面直线所成角，判断线面平行，求直线与平面所成角的大小，关键在于熟练掌握相关定理和解决问题的基本方法.11.已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且(3)(1)f x f x +=-，若当[0,2]x ∈时，()21x f x =-，则下列结论正确的是（ ）A. 当[2,0]x ∈-时，()21x f x -=-B. (2019)1f =C. ()y f x =的图像关于点(2,0)对称D. 函数2()()log g x f x x =-有3个零点 【答案】ABD【解析】【分析】根据函数的奇偶性和周期性判定AB 正确，结合图象可得D 正确，利用反例推翻C 选项，或者作图得C 选项错误.【详解】已知()f x 是定义在R 上偶函数，且(3)(1)f x f x +=-，即该函数周期为4， 由题：[0,2]x ∈时，()21x f x =-，当[2,0]x ∈-时，[0,2]x -∈，()()21x f x f x -=-=-，所以A 选项正确；()()()(2019)45051111f f f f =⨯-=-==，所以B 选项正确；()y f x =的图象关于点(2,0)对称，则()(3)10f f +=，但是()()(3)111f f f =-==，()(3)10f f +≠与()(3)10f f +=矛盾，所以C 选项错误；作出函数2(),log y f x y x ==的图象即可得到， 函数2()()log g x f x x =-有3个零点，所以D 选项正确.故选：ABD【点睛】此题考查函数周期性与奇偶性的综合应用，利用性质求函数值，根据函数图象解决零点个数问题. 的12.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的一条渐近线过点22P ，F 为C 的右焦点，则下列结论正确的是（ ）A. C 的离心率为2B. C 的渐近线方程为0x -=C. 若F 到C ，则C 的方程为22142x y -=D. 设O 为坐标原点，若||||PO PF =,则2POF S ∆=【答案】AC【解析】【分析】根据双曲线渐近线经过的点求渐近线方程，结合斜率求解离心率，根据焦点到渐近线距离求解方程，结合线段相等关系求解三角形面积.【详解】由题：双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的一条渐近线过点P ，所以渐近线方程为2y x =±，所以B 选项错误；所以2b a =，离心率c e a ====A 选项正确；若F 到C ，即2b a ==则C 的方程为22142x y -=，所以C 选项正确；O 为坐标原点，若||||PO PF =,P ，所以F12POF S ∆==，所以D 选项错误. 故选：AC【点睛】此题考查双曲线的几何性质，涉及渐近线方程的斜率与离心率的关系，根据长度和点的坐标关系求解三角形面积，关键在于熟练掌握双曲线的几何性质.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中相应题的横线上．13.已知单位向量,m n u r r 的夹角为23π，则|3|m n +=u r r ________．【解析】【分析】根据题意|3|m n +=u r r 结合平面向量数量积运算即可得解.【详解】单位向量,m n u r r 的夹角为23π，则|3|m n +===u r r .【点睛】此题考查求解向量的模长，关键在于熟练掌握平面向量数量积的运算法则，根据基本运算律进行计算化简.14.ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，cos b C 与cos c B 的等差中项为cos a B ．则B =________；若5a c +=，ABC V的面积S =b =________． 【答案】 (1).3π(2). 【解析】【分析】 ①根据正弦定理2sin cos sin cos sin cos A B B C C B =+，即2sin cos sin A B A =，即可得解； ②根据面积公式求得4ac =，由余弦定理b ==即可得解．【详解】①由题：cos b C 与cos c B 的等差中项为cos a B即2cos cos cos a B b C c B =+，由正弦定理可得：2sin cos sin cos sin cos A B B C C B =+，即()()sin si n cos n 2si B A B C A π==+-()sin ,0,,si 2cos n 0sin A B A A A π∈=>，所以()1cos ,0,,23B B B ππ=∈=，②5a c +=，ABC V的面积S =1sin 42ac B ac ==则由余弦定理b ===故答案为：①3π【点睛】此题考查正余弦定理的应用，根据正弦定理进行边角互化求角的大小，根据面积公式和余弦定理求解边长.15.已知圆22:4440C x y x y +--+=，抛物线2:2(0)E y px p =>过点C ，其焦点为F ，则直线CF 被抛物线截得的弦长为________________． 【答案】258【解析】 【分析】根据圆心坐标求出抛物线方程和焦点坐标，求出直线42:33CF y x =-，联立抛物线方程和直线方程根据弦长公式即可得解.【详解】圆22:4440C x y x y +--+=，所以()2,2C ，抛物线2:2(0)E y px p =>过点C ，即44,1p p ==，其焦点为1,02F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2041322CF k -==- 则直线42:33CF y x =-，联立直线与抛物线方程：242332y x y x ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，整理得281720x x -+=， 直线217640∆=->，设其两根为12,x x 弦长121725188x x p ++=+= 所以被抛物线截得的弦长为258. 故答案为：258【点睛】此题考查根据抛物线经过的点求抛物线方程和焦点坐标，根据直线与抛物线形成弦长公式求解弦长，关键在于熟练掌握直线与抛物线问题常见处理办法.16.已知三棱锥S ABC -内接于半径为4的球中，SA ⊥平面ABC ，45BAC ∠=o ，BC =锥S ABC -体积的最大值为________．【答案】3【解析】 【分析】根据外接球的性质求出SA 的长度，将体积最大值转化为求三角形ABC 面积最大值，结合图形求解【详解】设三棱锥S ABC -外接球O ，三角形ABC 所在外接圆O 1，由正弦定理可得三角形ABC 2= 根据球的几何性质有1OO ⊥平面ABC ，1//OO AS ， 取AS 中点E ，4OS OA ==，OE AS ⊥，所以AS ==所以三棱锥S ABC -体积3S ABC ABC V S -∆=结合图形可得当三角形ABC 面积最大时，A 到BC 距离最大，结合圆的几何性质可得此时AB =AC ，190BO C ∠=︒，1O 到BC ，A 到BC 距离，三角形ABC 面积最大值为(1222⨯=+三棱锥S ABC -体积3S ABC ABC V S -∆=的最大值为3(2+=3故答案为：3【点睛】此题考查多面体外接球问题，根据几何特征处理几何体的体积，将体积问题转化为求三角形面积问题，涉及数形结合，转化与化归思想.四、解答题：本题共6小题，共70分．把解答写在答题卡中．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.在①()f x 的图像关于直线56x πω=对称，②()cos f x x x ωω=，③()(0)f x f ≤恒成立这三个条件中任选一个，补充在下面问题中．若问题中的ω存在，求出ω的值，若ω不存在，请说明理由．设函数()2cos()(0,0)2f x x πωϕωϕ=+>≤≤，________，是否存在正整数ω，使得函数()f x 在[0,]2π上是单调的？ 【答案】见解析 【解析】 【分析】任选一个条件求出ϕ的取值，结合单调性分析ω的情况即可得解. 【详解】若选①，令,x k k Z ωϕπ+=∈，代入56x πω=，解得5,6k k Z πϕπ=-∈， 因为02πϕ≤≤，所以当1k =时，6π=ϕ，()2cos()6f x x πω=+， 当[0,]2x π∈时，[,]6626x πππωπω+∈+， 若函数()f x 在[0,]2π上单调，则有26πωππ+≤，解得503ω<≤， 所以存在正整数1ω=时，使得函数()f x 在[0,]2π上是单调的．若选②，()cos 2cos()3f x x x x πωωω==+，所以3πϕ=，当[0,]2x π∈时，[,]3323x πππωπω+∈+， 若函数()f x 在[0,]2π上单调，则有23πωππ+≤，解得403ω<≤， 所以存在正整数1ω=时，使得函数()f x 在[0,]2π上是单调的．若选③，因为()(0)f x f ≤恒成立，即max ()(0)2cos 2f x f ϕ===，所以cos 1ϕ=，因为02πϕ≤≤，所以0ϕ=，()2cos f x x ω=，当[0,]2x π∈时，[0,]2x πωω∈，若函数()f x 在[0,]2π上单调，则有2πωπ≤，解得02ω<≤，所以存在正整数1ω=或2时，使得函数()f x 在[0,]2π上是单调的．【点睛】此题考查三角函数的综合应用，根据对称性单调性以及最值的关系求解参数，需要熟练掌握三角函数相关性质.18.已知各项都为正数的数列{}n a 满足14a =，211(21)20n n n n a a a a ++---=．（1）求{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足*(25)cos ()n n b a n n n N =+-∈π，求数列{}n b 的前2n 项和． 【答案】（1）12n n a += （2）22224n n ++-【解析】 【分析】（1）原式变形11(2)(1)0n n n a a a ++-+=，结合各项都为正数，即可得到等比数列，求得通项公式；（2）结合（1）写出通项公式11252,21,22-5,2,n n n n n k n N b n n k n N++*⎧+-=+∈=⎨+=∈⎩，利用分组求和即可得解. 【详解】（1）由211(21)20n n n n a a a a ++---=得11(2)(1)0n n n a a a ++-+=，11110,2,2n n n n na a a a a ++++>∴=∴=Q ． 所以{}n a 为首项为4,2q =的等比数列，11422n n n a -+∴=⋅=．（2）由题意11252,21,22-5,2,n n n n n k n Nb n n k n N ++*⎧+-=+∈=⎨+=∈⎩则{}n b 的前2n 项和2321222 (2)2[(21)(43)...(221)]n n S n n +=++++-+-++-+ 222242222412n n n n ++-=+=+--．【点睛】此题考查根据数列递推关系求通项公式，利用分组求和进行数列求和，需要熟练掌握常见递推数列处理办法，熟记相关公式.19.已知正三棱柱111ABC A B C -中，2AB =，1AA =D 为AC 的中点．（1）当112AE EA =u u u r u u u r时，求证：1DE BC ⊥；（2）在线段1AA 上是否存在点E ，使二面角A BE D --等于30°？若存在求出AE 的长；若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明见解析 （2）不存在，理由见解析 【解析】 【分析】（1）通过证明ED ⊥平面1BDC 得证线线垂直； （2）建立空间直角坐标系，利用法向量解决.【详解】（1）证明：连结1DC ，因为111ABC A B C -为正三棱柱，所以ABC V 为正三角形， 又因为D 为AC 的中点，所以BD AC ⊥，又平面ABC ⊥平面11ACC A ，所以BD ⊥平面11ACC A ，所以BD DE ⊥．因为112AE EA =u u u r u u u r ,2AB =，1AA =AE=31AD =， 所以在Rt ADE △中，30ADE ∠=︒，在1Rt DCC V 中，160C DC ∠=︒， 所以190EDC ∠︒＝，即1ED DC ⊥，所以ED ⊥平面1BDC ，1BC ⊂面1BDC ，所以1DE BC ⊥．（也可以利用建系的方法证明） （2）假设存在点E 满足条件，设AE h =．取11A C 的中点1D ，连结1DD ，则1DD ⊥平面ABC ，所以1DD AD ⊥，1DD BD ⊥，分别以DA 、DB 、1DD 所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，则A(1,0,0)?，，E(1,0,)h ，所以DB =u u u r (1,0,) DE h =u u ur AB =uu u r (0,0,)AE h =u u u r，设平面DBE 的一个法向量为1111(,,)n x y z =u r，则1100n DB n DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u v u u u vu v u u u v⇒11100x hz ⎧=⎪⎨+=⎪⎩ 令11z =，得1,0,1()n h -=u r，同理，平面ABE 的一个法向量为2222(,,)n x y z =u u r，则2200n AB n AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u v u u u vu u v u u u v⇒22200x hz ⎧-+=⎪⎨=⎪⎩∴2n =u u r．所以12 cos ,n n ==o u r u u r ，所以||h = 所以h 无解．故不存在点E ，使二面角A BE D --等于30°．【点睛】此题考查线面垂直的证明，利用线面垂直证明线线垂直，利用空间直角坐标系解决空间角的问题，需要熟练掌握法向量法在解决空间角问题中的应用.20.某公司生产的某种产品，如果年返修率不超过千分之一，则其生产部门当年考核为优秀．现获得该公司20112018-年的相关数据如下表所示：注：=年返修台数年返修率年生产台数．（1）从该公司20112018-年的相关数据中任意选取4年的数据，以ξ表示4年中生产部门考核为优秀的次数，求ξ的分布列和数学期望；（2）根据散点图发现2015年数据偏差较大，如果去掉该年的数据，试用剩下的数据求出年利润y （百万元）关于年生产台数x （万台）的线性回归方程（精确到0.01）．参考公式：回归方程y bx a =+$$$，其中1121221(ˆ()())n niii ii i nniii i x y x x y x y n x ybx x xn ====---==--∑∑∑∑ˆˆay bx =-． 参考数据：81168i i x x ===∑，81148i i y y ===∑，81()()34.5i i i x x y y =--=∑，81()18.045i i y y =-=∑，821()72ii x x =-=∑．【答案】（1）分布列见解析，() 2.5E ξ=； （2）$0.48 1.27y x =+ 【解析】 【分析】（1）ξ可能取1,2,3,4，分别求出其概率，写出分布列，根据公式求得期望；（2）因为56x x ==，所以去掉2015年的数据后不影响ˆb的值，根据新数据求出样本点的中心，即可得到回归直线方程.【详解】（1）由数据可知，2012,2013,2016,2017,2018五个年份考核优秀．ξ可能取1,2,3,4．所以3135481(1)14C C P C ξ===,2235483(2)7C C P C ξ===，1335483(3)7C C P C ξ===，0435481(4)7C C P C ξ===． 所以ξ的分布列为故数学期望13315()1234 2.51477142E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯==（万元）． （2）因为56x x ==，所以去掉2015年的数据后不影响ˆb的值， 所以121(34.5ˆ0.4872()())niii nii bx x x x y y ==--==≈-∑∑． 去掉2015年的数据后，68667x ⨯-'==，4832977y ⨯-'==， 所以2934.5ˆˆ6 1.27772ay bx =-=-⨯≈， 所以y 关于x 的线性回归方程为$0.48 1.27y x =+．【点睛】此题考查求离散型随机变量分布列和期望，根据数据求解回归直线方程，关键在于熟练掌握回归方程相关数据的求解方法，准确计算概率.21.已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>的焦距为2，一个顶点在抛物线2y =的准线上．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过右焦点2F 做斜率存在的直线l ，交椭圆于A B 、两点．（i ）已知点1(0,)2M ，是否存在直线l ，使||||MA MB =？若存在，求直线l 方程；若不存在，说明理由； （ii ）若O 为坐标原点，求ABO S V 的取值范围．【答案】（1）2212x y +=； （2）（i ）存在，0y =；（ii ）(0,2【解析】 【分析】（1）根据焦距和顶点坐标求解椭圆的标准方程；（2）（i ）设出直线方程，联立直线和椭圆方程结合韦达定理，利用斜率关系求解；（ii ）求出弦长和点到直线距离表示出三角形面积，利用函数关系求解三角形面积取值范围. 【详解】（1）由题意可得22,1c c =∴=抛物线2y =的准线为x a =∴=解得222211b a c ∴=-=-=所以椭圆的标准方程为2212x y +=（2）（i ）已知2(1,0)F ，设直线的方程为(1)y k x =-，11(,)A x y 22(,)B x y联立直线与椭圆方程22(1)12y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，化简得：2222)202142(-=+-+x k x k k 所以22121222422,1212k k x x x x k k -+==++，121222()212k y y k x x k k -+=+-=+ 所以AB 的中点坐标为2222(,)1212k kG k k-++ ①当0k ≠时，2222212121122||||,24012MGk k k k MA MB k k k kk ------+=∴===-+Q ， 整理得22210,k k -+=方程无解②当0k =时，AB 的中垂线方程为0x =，满足题意． 所以存在直线0y =满足题意．（ii ）由（i）知||AB ==22)12k k+=+ 而原点O 到直线l的距离d =所以1||2ABOS AB d ===V221,0,4()1,022ABO k R k k S ∈≠∴+>∴<<V Q 综上，ABO S V的取值范围为． 【点睛】此题考查求椭圆的标准方程，根据直线与椭圆的位置关系结合韦达定理解决是否存在满足条件的探索问题，求解面积最值问题. 22.已知函数()2ln f x x x x =+．（1）若直线l 过点(0,2)-，且与曲线()y f x =相切，求直线l 的方程； （2）若1x ∀>时，()0f x kx k -+>成立，求整数k 的最大值． 【答案】（1）32y x =- （2）4 【解析】 【分析】（1）设切点坐标，写出切线方程，建立等量关系求解； （2）将问题转化为1x ∀>，2ln 1x x xk x +>-恒成立，利用函数求解最值，即可得解.【详解】（1）因为点(0,2)-不在直线l 上， 设切点坐标为00(,)x y ，则00002ln y x x x =+． 因为()12ln 232ln f x x x '=++=+． 所以00000000222ln ()32ln l y x x x k f x x x x +++'==+==，解得01x =． 所以3l k =，所以直线l 的方程为32y x =-． （2）由题意知，1x ∀>，2ln 1x x xk x +>-恒成立min 2ln ()1x x xk x +>-令2ln ()1x x x g x x +=-，22(32ln )(1)(2ln )22ln 3()(1)(1)x x x x x x x g x x x +--+--'∴==--．设()22ln 3h x x x =--，所以2(1)()0x h x x-'=>， 所以()h x 在(1,)+∞上单调递增． 又55(2)12ln 20,()2(1ln )022h h =--<=->， 所以存在05(2,)2x ∈，在005(2,),()0,(,),()02x x h x x x h x ∈<∈>，所以()g x 在0(2,)x 上单调递减，在05(,)2x 上单调递增． 所以000min 002ln ()()1x x x g x g x x +==-， 而000()22ln 30,h x x x =--= 所以200min 0022()21x x g x x x -==-． 所以0max 2(4,5),4k x k <∈∴=．【点睛】此题考查导数的综合应用，利用导数的几何意义解决切线问题，等价转化，分离参数，利用导数求解最值问题，涉及隐零点问题的处理.。

山东省威海市2019届高三上学期期末考试数学文试题Word版含答案

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绝密★启用并使用完毕前山东省威海市2019届上学期期末考试高三数学文试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页．考试时间120分钟．满分150分．答题前，考生务必用0.5毫米的黑色签字笔将自己的姓名、座号、考号填写在答题纸规定的位置．第Ⅰ卷（选择题 共50分）注意事项：每小题选出答案后，用铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．一、选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知i 是虚数单位，若复数z 满足(1i)2i z +=，则z 的虚部是 A.1 B.1- C.i D.i -2.若集合5{|0}2x x x A +=≤-，{||3}x x B =<，则集合A B U 为 A.{|53}x x -<< B.{|32}x x -<< C.{|53}x x -≤< D.{|32}x x -<≤3.命题:p 若λ=0a ，则=0a ；命题:q 00x ∃>，使得001ln 0x x --=，则下列命题 为真命题的是A.p q ∧B.()p q ∨⌝C.()()p q ⌝∧⌝D.()p⌝∧4.已知某程序框图如图所示，则执行该程序后输出的结果是 A.2 B.12C.1-D.2- 5.函数2cos ()6y x π=-的一条对称轴为A.6x π=-B.512x π=C.3x π=D.3x π=- 6.已知实数,x y 满足103101x y x y x -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≤⎩，则3z x y =-的最大值为A.5-B.1C.3D.47.设m,n 是不同的直线，,αβ是不同的平面, 下列四个命题为真命题的是①若,m n m α⊥⊥,则n ∥α； ②若α∥,,n m βα⊥∥β,则n m ⊥； ③若m ∥,,n m n αβ⊥⊥,则 αβ⊥；④若m ∥,,n m αβ⊥∥n ,则αβ⊥.A.②③B.③④C.②④D.①④8.已知双曲线221y x m-=与抛物线x y 82=的准线交于点,P Q ，抛物线的焦点为F ， 若PQF ∆是等边三角形，则双曲线的离心率为 A.43B.53C.259 D.1699.偶函数()f x 满足(1)(1)f x f x -=+，且当[1,0]x ∈-时，()f x x =-，则函数()()lg g x f x x =-在(0,10)x ∈上的零点个数是A.10B.9C.8D.710.已知Rt ABC V ，两直角边1,2AB AC ==，D 是ABC ∆内一点，且60DAB ∠=o，设(,)AD AB AC R λμλμ=+∈u u u r u u u r u u u r ，则λμ=A.3B.3C.3D.第Ⅱ卷（非选择题 共100分）注意事项：1． 请用0.5毫米的黑色签字笔将每题的答案填写在答题纸的指定位置．书写的答案如需改动，要先划掉原来的答案，然后再写上新答案．2． 不在指定答题位置答题或超出答题区域书写的答案无效．在试题卷上答题无效． 二、填空题:本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11.函数()f x =的定义域是 . 12.已知(2,)m =a ，(1,1)=b ，||⋅=+a b a b 则实数m 的值 为 .13.直线34x y b +=与圆222210x y x y +--+=相交，则b 的取值范围是 .14.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为 .左视图俯视图15.观察下列等式1=1 3+5=8 5+7+9=21 7+9+11+13=40 9+11+13+15+17=65 L L按此规律，第n 个等式的右边等于 .三、解答题:本大题6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16.（本小题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足cos )c B B a b +=+.（Ⅰ）求角C 的值；（Ⅱ）若5a =，ABC ∆的面积为sin B 的值.17.（本小题满分12分）为监测全市小学生身体形态生理机能的指标情况，体检中心从某小学随机抽取100名学生，将他们的身高(单位:厘米)数据分成如下5个组: ，并绘制成频率分布直方图(如图所示). （Ⅰ）若该校共有学生1000名，试估计身高在3个组的学生中选取7人参加一项身体机能测试活动，并从这7人中任意抽取2人进行定期跟踪测试，求这2人取自不同组的概率.18.（本小题满分12分）已知各项均为正数的数列{}n a 满足11a =，211(21)20n n n n a a a a ++---=. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列2log n n n b a a =⋅，求数列{}n b 前n 项和n T .19.（本小题满分12分）空间几何体ABCDEF 如图所示.已知面ABCD ⊥面ADEF ，ABCD 为梯形，ADEF 为正方形，且AB ∥, ,CD AB AD ⊥4,CD =2AB = AD =，G 为CE 的中点.（Ⅰ）求证：BG ∥面ADEF ；（Ⅱ）求证：CB ⊥面BDE ； （Ⅲ）求三棱锥E BDG -的体积.2，12,F F 分别20.（本小题满分13分）已知椭圆C 的离心率为为椭圆的左右焦点，P 为椭圆上任意一点，12PF F ∆的周长为4+:(0)l y kx m k =+≠与椭圆C相交于,A B 两点.（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若直线l 与圆221x y +=相切，过椭圆C 的右焦点2F 作垂直于x 轴的直线，与椭圆相交于,M N 两点，与线段AB 相交于一点（与,A B 不重合）.求四边形MANB 面积的最大值及取得最大值时直线l 的方程.21.（本小题满分14分）已知函数2()ln (0)f x x a x x a =+-≠，2()g x x =. （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若对于任意的(1,)a ∈+∞，总存在12,[1,]x x a ∈，使得121()()()f x f x g x ->2()g x m -+成立，求实数m 的取值范围.山东省威海市2019届高三上学期期末考试数学文试题参考答案一、选择题A C D B D , C C B B A 二、填空题11. {|12}x x -<<； 12.3； 13. 512b <<； 14. 24+ 15. 232n n -三、解答题16.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由正弦定理，cos )c B B a b +=+可整理变形为sin cos )sin sin C B B A B +=+， ----------------------2分由()A B C π=-+，可得sin sin()A B C =+所以sin cos )sin()sin C B B B C B +=++整理得sin cos 1)0B C C --=， ----------------------4分 因为sin 0B ≠cos 1C C -=1sin()62C π-=，66C ππ∴-=，3C π∴=. ----------------------6分（Ⅱ）由已知5a =，ABC S ∆=15422b b ⨯⨯==， ------8分 由余弦定理得2222cos 21c a b ab C =+-=，故c = (10)分sin sin b C B c === ………………12分 17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由 (0.005+0.035+a +0.020+0.010)×10=1,解得a =0.030. ------------------1分所以估计该学校学生身高在内的频率分别是0.05，0.2，0.1，所以这三个组的人数分别为5人，20人，10人，共35人。

山东省威海市2019-2020学年高考数学一模试卷含解析

山东省威海市2019-2020学年高考数学一模试卷含解析

山东省威海市2019-2020学年高考数学一模试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知奇函数()f x 是R 上的减函数，若,m n 满足不等式组()(2)0(1)0()0f m f n f m n f m +-≥⎧⎪--≥⎨⎪≤⎩，则2m n -的最小值为（ ） A ．-4 B ．-2C ．0D ．4【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性和单调性得到可行域，画出可行域和目标函数，根据目标函数的几何意义平移得到答案. 【详解】奇函数()f x 是R 上的减函数，则()00f =，且2100m nm n m ≤-⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，画出可行域和目标函数，2z m n =-，即2n m z =-，z 表示直线与y 轴截距的相反数，根据平移得到：当直线过点()0,2，即0.2m n ==时，2z m n =-有最小值为2-. 故选：B.【点睛】本题考查了函数的单调性和奇偶性，线性规划问题，意在考查学生的综合应用能力，画出图像是解题的关键.2．过抛物线()220y px p =>的焦点F 作直线与抛物线在第一象限交于点A ，与准线在第三象限交于点B ，过点A 作准线的垂线，垂足为H .若tan 2AFH ∠=，则AF BF=（ ）A ．54B ．43C ．32D ．2【答案】C 【解析】 【分析】需结合抛物线第一定义和图形，得AFH V 为等腰三角形，设准线与x 轴的交点为M ，过点F 作FC AH ⊥，再由三角函数定义和几何关系分别表示转化出()cos 2pBF πα=-，()tan sin 2p AF απα=-，结合比值与正切二倍角公式化简即可【详解】如图，设准线与x 轴的交点为M ，过点F 作FC AH ⊥.由抛物线定义知AF AH =， 所以AHF AFH α∠=∠=，2FAH OFB πα∠=-=∠，()()cos 2cos 2MF pBF παπα==--，()()()tan tan sin 2sin 2sin 2CF CH p AF ααπαπαπα===---，所以()2tan tan tan 13tan 2tan 222AFBF αααπαα-====--.故选：C 【点睛】本题考查抛物线的几何性质，三角函数的性质，数形结合思想，转化与化归思想，属于中档题3．已知甲、乙两人独立出行，各租用共享单车一次（假定费用只可能为1、2、3元）．甲、乙租车费用为1元的概率分别是0.5、0.2，甲、乙租车费用为2元的概率分别是0.2、0.4，则甲、乙两人所扣租车费用相同的概率为（ ） A ．0.18 B ．0.3C ．0.24D ．0.36【答案】B 【解析】 【分析】甲、乙两人所扣租车费用相同即同为1元，或同为2元，或同为3元，由独立事件的概率公式计算即得．【详解】由题意甲、乙租车费用为3元的概率分别是0.3,0.4， ∴甲、乙两人所扣租车费用相同的概率为0.50.20.20.40.30.40.3P =⨯+⨯+⨯=．故选：B ． 【点睛】本题考查独立性事件的概率．掌握独立事件的概率乘法公式是解题基础．4．已知抛物线22(0)y px p =>上一点(5,)t 到焦点的距离为6，P Q 、分别为抛物线与圆22(6)1x y -+=上的动点，则PQ 的最小值为（ ）A 1B ．2C ．D ．1【答案】D 【解析】 【分析】利用抛物线的定义，求得p 的值，由利用两点间距离公式求得PM ，根据二次函数的性质，求得minPM ，由PQ 取得最小值为min1PM -，求得结果.【详解】由抛物线2:2(0)C y px p =>焦点在x 轴上，准线方程2p x =-， 则点(5,)t 到焦点的距离为562pd =+=，则2p =， 所以抛物线方程：24y x =，设(,)P x y ，圆22:(6)1M x y -+=，圆心为(6,1)，半径为1，则PM ===，当4x =时，PQ 11=， 故选D. 【点睛】该题考查的是有关距离的最小值问题，涉及到的知识点有抛物线的定义，点到圆上的点的距离的最小值为其到圆心的距离减半径，二次函数的最小值，属于中档题目.5．已知A ，B ，C ，D 是球O 的球面上四个不同的点，若2AB AC DB DC BC =====，且平面DBC ⊥平面ABC ，则球O 的表面积为（ ）A ．203πB ．152πC ．6πD ．5π【答案】A 【解析】 【分析】由题意画出图形，求出多面体外接球的半径，代入表面积公式得答案． 【详解】 如图，取BC 中点G ，连接AG ，DG ，则AG BC ⊥，DG BC ⊥，分别取ABC V 与DBC V 的外心E ，F ，分别过E ，F 作平面ABC 与平面DBC 的垂线，相交于O ， 则O 为四面体A BCD -的球心，由AB AC DB DC BC 2=====，得正方形OEGF 的边长为33，则6OG 3=， ∴四面体A BCD -的外接球的半径222265R OG BG ()133=+=+= ∴球O 的表面积为2520π4π33⨯=． 故选A ． 【点睛】本题考查多面体外接球表面积的求法，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．6．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”。

山东省威海市2019届高三上学期期末统考语文试卷(附解析)

山东省威海市2019届高三上学期期末统考语文试卷(附解析)

2019届山东省威海市高三上学期期末统考语 文注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷第I 卷（选择题)评卷人 得分一、选择题阅读下面的文字，完成下列小题。

作为中国核武器事业开拓者之一，( )。

1946年，程开甲前往英国爱丁堡大学求学，师从著名物理学家M·玻恩。

四年后，他婉拒了导师玻恩的挽留，放弃了英国皇家化学工业研究所研究员的优厚待遇，毅然回到了 的中国，开启了报效祖国的漫长征程。

1960年，为了国家需要，程开甲 奔赴罗布泊，在条件艰苦的西北大漠开启了中国核武器研究，自此程开甲在学术界 20多年。

20年中，他带领团队解决了包括核试验场地选址、工程施工、场区内外安全以及方案制定等方面的一系列理论和技术难题。

1964年10月16日，中国第一颗原子弹试验成功，程开甲带领团队研制的1700多台(套)仪器全部拿到测试数据。

有关资料记载，法国第一次核试验没拿到任何数据，美国、英国、苏联第一次核试验只拿到很少一部分数据，而中国首次核试验中97%的测试仪器记录数据完整、准确。

这其中，程开甲 。

程开甲院士为中国核武器事业的发展鞠躬尽瘁。

斯人已逝，但其爱国奉献的精神依然会感召后辈。

1．下列在文中括号内补写的语句，最恰当的一项是( ) A ．程开甲一生与核试验分不开，他也因此被人称为中国“核司令” B ．程开甲一生与核试验分不开，人们因此称他为中国“核司令” C ．程开甲的一生与核试验分不开，因此人们称他为中国“核司令” D ．程开甲的一生与核试验分不开，因此他也被人称为中国“核司令” 2．依次填入文中横线处的成语，全都恰当的一项是( )A ．一清二白 义无反顾 隐姓埋名 功德无量B ．一穷二白 义不容辞 隐名埋名 功不可没C ．一清二白 义不容辞 销声匿迹 功德无量D ．一穷二白 义无反顾 销声匿迹 功不可没3．文中画横线的句子有语病，下列修改最恰当的一项是( )A ．他带领团队解决了核试验场地选址、工程施工、场区内外安全以及方案制定等方面的一系列理论和技术难题B ．他带领团队解决了包括核试验场地选址、工程施工、场区内外安全以及方案制定等在内的一系列理论和技术难题C ．他带领团队解决了包括核试验场地选址、方案制定、场区内外安全以及工程施工等在内的一系列理论和技术难题D ．他带领团队解决了一系列核试验场地选址、方案制定、场区内外安全以及工程施工等方面的理论和技术难题第II 卷（非选择题)评卷人 得分二、现代文阅读阅读下面的文字，完成下列小题。

2019届山东省高三上学期第一次综合测试数学文试题Word版含答案

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2019届山东省高三上学期第一次综合测试数学文试题一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.设等差数列{a n }的公差为非零常数d ，且a 1＝1，若a 1，a 3，a 13成等比数列，则公差d ＝( ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)52.已知各项均为正数的等比数列{a n }中，lg(a 3a 8a 13)＝6，则a 1a 15的值为( ) (A)100 (B)1 000 (C)10 000 (D)103.(株洲模拟)已知数列{a n }，a n ＝2n ＋1，则1a 2－a 1＋1a 3－a 2＋…＋1a n ＋1－a n＝ ( )(A)1＋12n (B)1－2n (C)1－12n (D)1＋2n4.已知数列{a n }中，a 1＝1，以后各项由公式a n ＝a n －1＋1n(n －1)(n≥2，n∈N ＋)给出，则a 4＝( )(A)74 (B)－74 (C)47 (D)－475.已知数列－1，a 1，a 2，－4成等差数列，－1，b 1，b 2，b 3，－4成等比数列，则a 2－a 1b 2的值为( )(A)12 (B)－12 (C)12或－12 (D)146.已知S n 为等比数列{a n }的前n 项和，a 1＝2，若数列{1＋a n }也是等比数列，则S n 等于( ) (A)2n (B)3n (C)2n ＋1－2 (D)3n －17.数列{x n }满足x 1＝1，x 2＝23，且1x n －1＋1x n ＋1＝2x n (n∈N ＋，n≥2)，则x n 等于( )(A)2n ＋1(B)(23)n －1 (C)(23)n(D)2n ＋28.(大庆模拟)若Sn 为等差数列{an}的前n项和，S9＝－36，S13＝－104，则a5与a7的等比中项为( )2 (B)±2 2 (C)±4 2 (D)329.(济宁模拟)设{an }(n∈N＋)是等差数列，Sn是其前n项的和，且S5＜S6，S6＝S7＞S8，则下列结论错误的是( )(A)d＜0 (B)a7＝0 (C)S9＞S5(D)S6与S7均为Sn的最大值10.(易错题)某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批同意方可投入生产.已知该生产线连续生产n年的产量为f(n)＝12n(n＋1)(2n＋1)吨，但如果年产量超过150吨，将会给环境造成危害.为保护环境，环保部门应给该厂这条生产线的生产期限是( )(A)5年 (B)6年 (C)7年 (D)8年二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分.请把答案填在题中横线上)11.已知数列{an }的前n项和Sn和通项an满足Sn＝12(1－an)，则数列{an}的通项12.已知{an }为等差数列，且a3＝－6，a6＝0.等比数列{bn}满足b1＝－8，b2＝a1＋a2＋a3，则{bn}的前n项和Sn＝.13.已知数列{an }的前n项和为Sn，a1＝1，若n≥2时，an是Sn与Sn－1的等差中项，则S5＝.14.已知函数f(x)对应关系如表所示，数列{an }满足a1＝3，an＋1＝f(an)，则a2 013＝.15.(抚顺模拟)在数列{an }中，若a2n－a2n－1＝p，(n≥2，n∈N＋，p为常数)，则称{an}为“等方差数列”.下列是对“等方差数列”的判断：①若{an }是等方差数列，则{a2n}是等差数列；②{(－1)n}是等方差数列；③若{an }是等方差数列，则{akn}(k∈N＋，k为常数)也是等方差数列；④若{an}既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数数列.其中正确命题的序号为.(将所有正确命题的序号填在横线上).三、解答题(本大题共6小题，共75分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16.(12分)(济南模拟)已知数列{an }的前n项和为Sn，Sn＋1＝4an－2，且a1＝2.(1)求证：对任意n∈N＋，an＋1－2an为常数C，并求出这个常数C；(2)如果bn ＝1anan＋1，求数列{bn}的前n项的和.17.(12分)在等比数列{an }中，an＞0(n∈N＋)，且a1a3＝4，a3＋1是a2和a4的等差中项.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{bn }满足bn＝an＋1＋log2an(n＝1,2,3，…)，求数列{bn}的前n项和Sn.18.(12分)(济宁模拟){an }是等差数列，{bn}是各项都为正数的等比数列，且a1＝b1＝1，a3＋b 5＝21，a5＋b3＝13.(1)求{an }、{bn}的通项公式；(2)求数列{anbn}的前n项和Sn.19.(12分)已知数列{an }的前n项和为Sn，对任意的n∈N＋，点(an，Sn)都在直线2x－y－2＝0上.(1)求{an}的通项公式；(2)是否存在等差数列{bn }，使得a1b1＋a2b2＋…＋anbn＝(n－1)·2n＋1＋2对一切n∈N＋都成立？若存在，求出{bn}的通项公式；若不存在，说明理由.20.(13分)已知数列{an }满足a1＝3，an＋1－3an＝3n(n∈N＋).数列{bn }满足bn＝3－n an.(1)求证：数列{bn}是等差数列；(2)设Sn ＝a13＋a24＋a35＋…＋ann＋2，求满足不等式1128＜SnS2n＜14的所有正整数n的值.21.(14分) （山东高考文）已知等差数列{a n}的前5项和为105，且a10＝2a5.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)对任意m∈N*，将数列{a n}中不大于72m的项的个数记为b m，求数列{b m}的前m项和S m.2019届山东省高三上学期第一次综合测试数学文试题答案解析1.【解析】选B.由题意知，a23＝a1·a13，即(1＋2d)2＝1＋12d，又d≠0，∴d＝2.2.【解析】选C.∵lg(a3a8a13)＝6，∴a3a8a13＝a38＝106，∴a8＝100，∴a1a15＝a28＝10 000.3.【解析】选C.an＋1－an＝2n＋1＋1－(2n＋1)＝2n＋1－2n＝2n，∴1a2－a1＋1a3－a2＋…＋1an＋1－an＝12＋122＋123＋…＋12n＝12[1－(12)n]1－12＝1－(12)n＝1－12n.4.【解题指南】∵an －an－1＝1n－1－1n(n≥2，n∈N＋)，∴可采用累加法.【解析】选A.an －an－1＝1n－1－1n(n≥2，n∈N＋)，a 2－a1＝1－12，a3－a2＝12－13，a4－a3＝13－14，以上各式两边分别相加.∴a4－a1＝1－14，∴a4＝a1＋34＝1＋34＝74.5.【解析】选A.由题意知3(a2－a1)＝－4－(－1)＝－3，∴a2－a1＝－1，又b22＝(－1)〓(－4)＝4，且b2＜0，∴b2＝－2，∴a2－a1b2＝12.6.【解析】选A. 设数列{an}的公比为q，∵数列{1＋an}是等比数列，∴(1＋2q)2＝3(1＋2q2) q＝1，∴S n＝2n.7.【解析】选A.数列{1xn}是首项为1，公差为12的等差数列，∴1x n ＝1＋12(n －1)＝n ＋12，∴x n ＝2n ＋1. 8.【解析】选C.∵S 9＝9(a 1＋a 9)2＝9a 5＝－36，∴a 5＝－4，∵S 13＝13(a 1＋a 13)2＝13a 7＝－104，∴a 7＝－8，∴a 5·a 7＝32， 故a 5与a 7的等比中项为〒4 2.【变式备选】在3和9之间插入两个正数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则这两个数的和是( ) (A)454 (B)274 (C)92(D)9 【解析】选A.设中间两数为x ，y ，则x 2＝3y,2y ＝x ＋9，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝92y ＝274或⎩⎨⎧x ＝－3y ＝3(舍去)，所以x ＋y ＝454.9.【解析】选C.∵S 5＜S 6，S 6＝S 7＞S 8，∴a 6＝S 6－S 5＞0，a 7＝S 7－S 6＝0，a 8＝S 8－S 7＜0， ∴d ＜0，a 7＝0，(S n )max ＝S 6＝S 7，故选C.10.【解题指南】令第n 年的年产量为a n ，根据题意先求a n ，再解不等式a n ≤150，从而得出答案.【解析】选C.令第n 年的年产量为a n ，则由题意可知第一年的产量a 1＝f(1)＝12〓1〓2〓3＝3(吨)；第n(n ＝2,3，…)年的产量a n ＝f(n)－f(n －1)＝12n(n ＋1)(2n ＋1)－12(n －1)·n ·(2n－1)＝3n2(吨).令3n2≤150，则结合题意可得1≤n≤5 2.又n∈N＋，所以1≤n≤7，即生产期限最长为7年.【变式备选】甲型H1N1流感病毒是寄生在宿主的细胞内的，若该细胞开始时是2个，记为a0＝2，它们按以下规律进行分裂，1小时后分裂成4个并死去1个，2小时后分裂成6个并死去1个，3小时后分裂成10个并死去1个，…，记n(n∈N＋)小时后细胞的个数为an，则an＝(用n表示).【解析】按规律，a1＝4－1＝3，a2＝2〓3－1＝5，a3＝2〓5－1＝9，…，an＋1＝2an－1，∴an＋1－1＝2(an－1)，即{an －1}是等比数列，其首项为2，公比为2，故an－1＝2n，∴an＝2n＋1.(本题也可由a1＝3＝2＋1，a2＝5＝22＋1，a3＝9＝23＋1，…，猜想出an＝2n＋1.)答案：2n＋111.【解析】选B.当n≥2时，an ＝Sn－Sn－1＝12(1－an)－12(1－an－1)＝－12an＋12an－1，化简得2an＝－an ＋an－1，即anan－1＝13.又由S1＝a1＝12(1－a1)，得a1＝13，所以数列{an}是首项为13，公比为13的等比数列.所以an ＝13〓(13)n－1＝(13)n.12.【解析】设等差数列{an}的公差为d，因为a3＝－6，a6＝0，所以⎩⎨⎧a1＋2d＝－6a1＋5d＝0，解得a1＝－10，d＝2，所以an＝－10＋(n－1)·2＝2n－12.设等比数列{bn }的公比为q，因为b2＝a1＋a2＋a3＝－24，b1＝－8，所以－8q＝－24，即q＝3，所以{bn }的前n项和为Sn＝b1(1－q n)1－q＝4(1－3n).答案：4(1－3n)13.【解析】由题意知n≥2时，2an ＝Sn＋Sn－1，∴2an＋1＝Sn＋1＋Sn，∴2an＋1－2an＝an＋1＋an，∴an＋1＝3an(n≥2)，又n＝2时，2a2＝S2＋S1，∴a2＝2a1＝2，∴数列{an }中，a1＝1，a2＝2，an＝2〓3n－2(n≥2)，∴S5＝81.答案：8114.【解题指南】解答此类题目应先找规律，即先求a2，a3，a4，从中找出周期变化的规律.【解析】由题意知a2＝f(a1)＝f(3)＝1，a3＝f(a2)＝f(1)＝3，a4＝f(a3)＝f(3)＝1，∴数列{an}是周期为2的数列，∴a2 013＝a1＝3.答案：315.【解析】由定义可知，{a2n}是公差为p的等差数列，①正确；因为[(－1)n]2－[(－1)n－1]2＝0(n≥2，n∈N＋)为常数，故{(－1)n}是等方差数列，②正确；若a2n－a2n－1＝p(n≥2，n∈N＋)，则a2kn －a2k(n－1)＝(a2kn－a2kn－1)＋(a2kn－1－a2kn－2)＋…＋(a2kn－k＋1－a2k(n－1))＝kp为常数，③正确；设{an}的公差为d，则p＝a2n －a2n－1＝(an－an－1)(an＋an－1)＝d(an＋an－1)，结合p＝d(an＋1＋an)，两式相减可得0＝d(an＋1－an－1)＝2d2 d＝0，故{an}是常数数列，④正确.答案：①②③④16.【解析】(1)∵Sn＋1＝4an－2且Sn＝4an－1－2，相减得：an＋1＝4(an－an－1)，∴an＋1－2an＝2(an－2an－1)，∴an＋1－2an＝(a2－2a1)·2n－1.又a2＋a1＝4a1－2，∵a1＝2，∴a2＝4，∴an＋1－2an＝0，∴C＝0.(2)由(1)得an ＝2n，∵b1＝1a1a2＝18，bn＝1anan＋1＝122n＋1，∴Sn ＝18(1－(14)n)1－14＝16(1－(14)n).17.【解析】(1)设等比数列{an }的公比为q.由a1a3＝4可得a22＝4，因为an ＞0，所以a2＝2，依题意有a2＋a4＝2(a3＋1)，得2a3＝a4＝a3q，因为a3＞0，所以q＝2，所以数列{an}的通项公式为an＝2n－1.(2)bn ＝an＋1＋log2an＝2n＋n－1，可得Sn ＝(2＋22＋23＋…＋2n)＋[1＋2＋3＋…＋(n－1)]＝2(1－2n)1－2＋(n－1)n2＝2n＋1－2＋n(n－1)2.18.【解析】(1)设{an }的公差为d，{bn}的公比为q，则依题意有q＞0且⎩⎨⎧1＋2d＋q4＝211＋4d＋q2＝13，解得d＝2，q＝2.所以an ＝1＋(n－1)d＝2n－1，bn＝1〓q n－1＝2n－1.(2)anbn＝2n－12n－1，Sn＝1＋321＋522＋…＋2n－32n－2＋2n－12n－1，①2Sn ＝2＋3＋52＋…＋2n－32n－3＋2n－12n－2，②②－①得Sn ＝2＋2＋22＋222＋…＋22n－2－2n－12n－1＝2＋2〓(1＋12＋122＋…＋12n－2)－2n－12n－1＝2＋2〓1－12n－11－12－2n－12n－1＝6－2n＋32n－1.19.【解析】(1)由题意得2an －Sn－2＝0，当n＝1时，2a1－S1－2＝0得a1＝2，当n≥2时，由2an －Sn－2＝0 ①得2an－1－Sn－1－2＝0 ②①－②得2an －2an－1－an＝0即an＝2an－1，因为a1＝2，所以anan－1＝2，所以{an}是以2为首项，2为公比的等比数列，所以an＝2·2n－1＝2n.(2)假设存在等差数列{bn }，使得a1b1＋a2b2＋…＋anbn＝(n－1)·2n＋1＋2对一切n∈N＋都成立，则当n＝1时，a1b1＝(1－1)·22＋2得b1＝1，当n≥2时，由a1b1＋a2b2＋…＋anbn＝(n－1)·2n＋1＋2 ③得a 1b1＋a2b2＋…＋an－1bn－1＝(n－1－1)·2n＋2 ④③－④得an bn＝n·2n即bn＝n，当n＝1时也满足条件，所以bn＝n，因为{bn }是等差数列，故存在bn＝n(n∈N＋)满足条件.【方法技巧】构造法求递推数列的通项公式对于由递推公式所确定的数列的求解，通常可通过对递推公式的变换转化，构造出等差数列或等比数列.一般根据递推式子的特点采取以下方法：(1)递推式为an＋1＝qan(q为常数)：作商构造；(2)递推式为an＋1＝an＋f(n)：累加构造；(3)递推式为an＋1＝pan＋q(p，q为常数)：待定系数构造；(4)递推式为an＋1＝pan＋q n(p，q为常数)：辅助数列构造；(5)递推式为an＋2＝pan＋1＋qan：待定系数构造；思路：设an＋2＝pan＋1＋qan可以变形为：an＋2－αan＋1＝β(an＋1－αan)，就是an＋2＝(α＋β)an＋1－αβan ，则可从⎩⎨⎧α＋β＝pα·β＝－q解得α，β，于是{an＋1－αan}是公比为β的等比数列，就转化为前面的类型.(6)递推式为an＋1＝f(n)an(n∈N＋)：累乘构造；(7)递推式为an －an－1＋panan－1＝0(p为常数)：倒数构造.20.【解析】(1)由bn ＝3－n an得an＝3n bn，则an＋1＝3n＋1bn＋1.代入an＋1－3an＝3n中，得3n＋1bn＋1－3n＋1bn＝3n，即得bn＋1－bn＝13，所以数列{bn}是等差数列.(2)因为数列{bn }是首项为b1＝3－1a1＝1，公差为13的等差数列，则bn ＝1＋13(n－1)＝n＋23，则an ＝3n bn＝(n＋2)〓3n－1.从而有ann＋2＝3n－1，故Sn ＝a13＋a24＋a35＋…＋ann＋2＝1＋3＋32＋…＋3n－1＝1－3n1－3＝3n－12.则S n S 2n ＝3n－132n －1＝13n ＋1，由1128＜S n S 2n ＜14. 得1128＜13n ＋1＜14.即3＜3n ＜127，因n ∈N ＋，则可得1＜n ≤4. 故满足不等式1128＜S n S 2n ＜14的所有正整数n 的值为2,3,4.21. 解：(1)设数列{a n }的公差为d ，前n 项和为T n . 由T 5＝105，a 10＝2a 5，得到⎩⎪⎨⎪⎧ 5a 1＋5×(5－1)2d ＝105，a 1＋9d ＝2(a 1＋4d )，解得a 1＝7，d ＝7.因此a n ＝a 1＋(n －1)d ＝7＋7(n －1)＝7n (n ∈N *)．(2)对m ∈N *，若a n ＝7n ≤72m ，则n ≤72m －1.因此b m ＝72m －1，所以数列{b m }是首项为7公比为49的等比数列．故S m ＝b 1(1－q m )1－q ＝7×(1－49m )1－49＝7×(72m －1)48＝72m ＋1－748.。

山东省威海市第十六中学2019年高三数学文期末试题含解析

山东省威海市第十六中学2019年高三数学文期末试题含解析

山东省威海市第十六中学2019年高三数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知集合，，若，则实数a值集合为（）A. {－1}B. {2}C.{－1,2}D. {－1,0,2}参考答案：D【分析】,可以得到，求出集合的子集，这样就可以求出实数值集合.【详解】,的子集有，当时，显然有；当时，；当时，；当，不存在，符合题意，实数值集合为，故本题选D.【点睛】本题考查了通过集合的运算结果，得出集合之间的关系，求参数问题.重点考查了一个集合的子集，本题容易忽略空集是任何集合的子集这一结论.2. 二项式的展开式中常数项是（）A．28 B．-7 C．7 D．-28参考答案：C3. 现有8个人排成一排照相，其中甲、乙、丙三人两两不相邻的排法的种数为……（）（A）（B）（C）（D）参考答案：C先排剩下的5个人有种，5个人之间有6个空，然后从6个空中选3个把甲乙丙三人进行排列此时有种，所以共有种，选C.4.设，若对任意都有成立，则的最小值为（）A. 4B. 2C. 1D.参考答案：答案：B5. 某程序框图如图所示，该程序运行后输出的值为 ( )A. 102B. 410C. 614D. 1638参考答案：B略6. 已知命题p：（x+2）（x+1）＜0命题q：x+∈[﹣，﹣2]，则下列说法正确的是（）A．p是q的充要条件B．p是q的必要不充分条件C．p是q的充分不必要条件D．是q的既不充分也不必要条件参考答案：C【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由题设知：命题p：﹣2≤x≤﹣1，命题q：﹣2≤x≤﹣，由此得到p是q的充分不必要条件．【解答】解：∵命题p：（x+2）（x+1）＜0，∴命题P：﹣2＜x＜﹣1，∵命题，∴﹣2≤x≤﹣，∴p是q的充分不必要条件，故选：C．7. 已知为锐角，且＝,＝－,则＝（A）（B）（C）（D）以上答案都不对参考答案：A8. 已知变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+y的最小值是（）A．4 B．3 C．2 D．1参考答案：D【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A（0，1）时，直线的截距最小，此时z最小，此时z=0×2+1=1，故选：D．9. 若变量x，y满足则z=3x+2y的最大值是（）A．90 B．80 C．70 D．40参考答案：C【考点】简单线性规划的应用．【分析】本题考查的知识点是简单线性规划的应用，我们要先画出满足约束条件的平面区域，然后分析平面区域里各个角点，进一步求出目标函数z=3x+2y的最大值．【解答】解：满足约束条件的平面区域如下图示：由图可知，当x=10，y=20时，z=3x+2y有最大值70故选C．10. 已知函数f（x）=有最小值，则实数a的取值范围是（）A．（4，+∞）B．[4，+∞） C．（﹣∞，4] D．（﹣∞，4）参考答案：B【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】按分段函数分类讨论函数值的取值，从而确定a的取值范围．【解答】解：①当x＞0时，f（x）=x+≥2=4，（当且仅当x=，即x=2时，等号成立）；②当x≤0时，a＜2x+a≤1+a，∵函数f（x）=有最小值，∴a≥4，故选B．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若函数称为“准奇函数”，则必存在常数a，b，使得对定义域的任意x值，均有，已知为准奇函数”，则a＋b＝_________。

2019届山东省高三第一次大联考数学(文)试题(解析版)

2019届山东省高三第一次大联考数学(文)试题(解析版)
11．设函数 ，则不等式 的解集为（）
A．
B．
பைடு நூலகம்C．
D．
【答案】B
【解析】先由函数解析式判断出函数的奇偶性，以及单调性，再由 ， ，结合函数单调性，即可求出结果.
【详解】
易知函数 为奇函数，且在 上为增函数，又因为 ，由 ，得 ，即 ，解得 ，故选B.
【点睛】
本题考查了分段函数的奇偶性、单调性，以及不等式的解法，熟记函数的奇偶性和单调性、以及不等式的解法即可，属于常考题型.
3．设 是不共线的向量，则“ ”是“ ”的（）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】将 转化为 相互垂直， 转化为 模长相等，即可得出结果.
【详解】
，可知以 为邻边的平行四边形为矩形，可知两条对角线不一定垂直，当 ，可知以 为邻边的平行四边形为菱形，不一定是矩形，所以 不一定成立，所以“ ”是“ ”的既不充分也不必要条件.
又因为 ， ， ，所以 ， .
所以在 中， ，即 ，所以选C.
【点睛】
本题主要考查余弦定理解三角形，熟记余弦定理即可，属于常考题型.
10．相关变量 的散点图如图所示，现对这两个变量进行线性相关分析，方案一：根据图中所有数据，得到线性回归方程 ，相关系数为 ；方案二：剔除点 ，根据剩下数据得到线性回归直线方程： ，相关系数为 .则（）
5．已知直线 与圆 相交于 两点， 为坐标原点，则 的面积为（）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】结合图像，先确定 为等腰三角形，根据题意得到腰长 和顶角 ，代入面积公式即可得出结果.
【详解】
由题意直线 ，圆 均过原点，通过图形观察可知 为等腰三角形，且 ， ，所以 .

山东威海2019年高三第一次重点试题数学(文)

山东威海2019年高三第一次重点试题数学(文)

山东威海2019年高三第一次重点试题数学（文）本试卷分第I 卷〔选择题〕和第II 卷〔非选择题〕两部分，共5页.考试时间120分钟.总分值150分析.答题前，考生务必用0.5毫米的黑色签字笔将自己的姓名、座号、考号填写在答题纸规定的位置.第I 卷〔选择题 共60分〕 本卷须知每题选出答案后，用铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上.【一】选择题〔本大题共12小题，每题5分，共60分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.〕1.复数 ,1i z -=那么=+z z 1A.i 2321+ B.i 2321- C.i 2323- D.i 2123- 2.设集合{}{}32,2,,1，B p A =-=，那么“P ＝3”是“B B A =⋂”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件3.=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛∈ααππα2tan ,55cos 23，，A.34B.34-C.2-D.24.一个总体分为A ，B ，C 三层，其个体数之比为5：3：2，假设用分层抽样的方式抽取容量200的样本，那么应从B 中抽取的个体数为A.40B.60C.80D.100A.假设,,//,βαβα⊥⊥m l 那么m l ⊥B.假设,,,,n l m l n m ⊥⊥⊂⊂αα那么α⊥lC.假设,,//,//α⊥l n m m l 那么α⊥nD.假设,//,//,//βαβαn m 那么n m //6.函数()bx x x f 22+=过〔1，2〕点，假设数列()⎭⎬⎫⎩⎨⎧n f 1的前N 项和为n S ，那么2012S 的值为A.20112012B.20112010C.20122013D.201320127.数列{}n a 中，对任意+++∈321*a a ，a N n …,13-=+nn a 那么+++232221a a a (2)n a +等于A.()213-nB.()1921-nC.19-nD.()1341-n8.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 对应的边分别是A ，B ，C ，3,3,2===∆ABC S C c π，那么ABC ∆周长为A.6B.5C.4D.324+9.圆的方程为,08622=--+y x y x 设该圆中过点〔3，5〕的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，那么四边形ABCD 的面积是A.610B.620C.630D.64010.平面上不共线的四点O ，A ，B ，C.假设,32=+的值为A.21B.31C.41D.6111.函数()()R x x f y ∈=的图象如右图所示，以下说法正确的选项是 ①函数()x f y =满足()();x f x f -=-②函数()x f y =满足()();2x f x f -=+③函数()x f y =满足()();x f x f =- ④函数()x f y =满足()().2x f x f =+ A.①③B.②④C.①②D.③④12.函数()x f 在R 上单调递增，设()111,1≠+=+=λλβλλα，假设有()()βαf f -》()()01f f -，那么λ的取值范围是A.()1,-∞-B.()()0,11,-⋃-∞-C.()0,1-D.()()+∞⋃-∞-,11,第II 卷〔非选择题共90分〕本卷须知1.请用0.5毫米的黑色签字笔将每题的答案填写在答题纸的指定位置.书写的答案如需改动，要先划掉原来的答案，然后再写上新答案.2.不在指定答题位置答题或超出答题区域书写的答案无效.在试题卷上答题无效. 【二】填空题〔本大题共4小题，每题4分，共16分〕 13.执行右面的程序框图，如果输入的N 是5，那么输出的S 是＿＿＿＿＿＿＿＿＿.14.设实数y x ,满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-≤-+.0,0,042y y x y x 那么y x 2-的最大值为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.15.()⎪⎩⎪⎨⎧-≥=0,0,x x x x x f ，那么不等式()2≤⋅+x f x x 的解集是＿＿＿＿＿＿＿＿＿. 16.以下四种说法①命题“x x R x -∈∃2,》0”的否定是“0,2≤-∈∀x x R x ”；②“命题q p ∨为真”是“命题q p ∧为真”的必要不充分条件；③“假设2am 《2bm ，那么a 《b ”的逆命题为真；④假设实数[]1.0,∈y x ，那么满足：22y x +》1的概率为4π；正确的有＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.〔填序号〕【三】解答题〔本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.〕17.〔本小题总分值12分〕＞ ＜向量(),sin ,6sin ,sin cos 3,cos 2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛+=-=x x x x x π且满足().x f ⋅= 〔I 〕求函数()x f y =的单调递增区间；〔II 〕设ABC ∆的内角A 满足(),2=A f 且3=⋅，求边BC 的最小值. 18.〔本小题总分值12分〕〔I 〕假设,138=x 求a ； 〔II 〕在六位家庭成员中任取两位，收到的短信数均超过100的概率为多少？19.〔本小题总分值12分〕如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，,6,1,30,901===∠=∠AA BC BAC ACB oo M 是棱BB1的中点，N 是CC1的中点，AC1与A1N 相交于点E.〔I 〕求三棱锥A —MNA1的体积；〔II 〕求证：.11M A AC ⊥ 20.〔本小题总分值12分〕 设{}n a 是单调递增的等差数列，n S 为其前N 项和，且满足2,4263+=a S S 是131,a a 的等比中项.〔I 〕求数列{}n a 的通项公式；〔II 〕是否存在*,N k m ∈，使24++=+k m ma a a ？说明理由； 〔III 〕假设数列{}n b 满足,,111n n n ab b b =--=+求数列{}n b 的通项公式.21.〔本小题总分值12分〕椭圆14222=+b y x 〔0《B 《2〕的离心率等于,23抛物线py x 22=〔P 》0〕.〔1〕假设抛物线的焦点F 在椭圆的顶点上，求椭圆和抛物线的方程；〔II 〕假设抛物线的焦点F 为⎪⎭⎫⎝⎛21,0，在抛物线上是否存在点P ，使得过点P 的切线与椭圆相交于A ，B 两点，且满足OB OA ⊥？假设存在，求出点P 的坐标；假设不存在，请说明理由.22.〔本小题总分值14分〕函数()().ln 1212x a x a x x f ++-=〔I 〕假设曲线()x f 在点()()2,2f 处的切线与直线0132=++y x 垂直，求A 的值； 〔II 〕讨论函数()x f y =的单调性；〔III 〕当2=a 时，关于x 的方程()m x f =有三个不同的实数根，求实数M 的取值范围.。

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2018-2019学年高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（本题共12个小题）1．若集合A＝{x|x2﹣3x+2＞0}，B＝{x||x﹣1|＜2}，则A∩B＝（）A．（﹣1，1）B．（2，3）C．（﹣1，3）D．（﹣1，1）U（2，3）2．若复数z满足z（1+2i）＝4+3i，则＝（）A．2+i B．2﹣i C．1+2i D．1﹣2i3．命题“∃x≤0，x2﹣x＞0”的否定是（）A．∀x＞0，x2﹣x≤0 B．∀x≤0，x2﹣x≤0C．∃x＞0，x2﹣x≤0 D．∃x≤0，x2﹣x≤04．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，对称轴与准线的交点为T，P为C上任意一点，若|PT|＝2|PF|，则∠PTF＝（）A．30°B．45°C．60°D．75°5．如图所示函数图象经过何种变换可以得到y＝sin2x的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位6．已知变量x，y满足不等式组，则2x﹣y的最小值为（）A．﹣4 B．﹣2 C．0 D．47．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．48+12B．60+12C．72+12D．848．已知cos（﹣α）＝，α∈（，π），则sinα﹣cosα＝（）A．B．﹣C．D．﹣9．某设备使用年限x（年）与所支出的维修费用y（万元）的统计数据（x，y）分别为（2，1.5），（3，4.5），（4，5.5），（5，6.5），由最小二乘法得到回归直线方程为＝1.6x+，若计划维修费用超过15万元将该设备报废，则该设备的使用年限为（）A．8年B．9年C．10年D．11年10．公比为2的等比数列{a n}中存在两项a m，a n，满足a m a n＝32a12，则的最小值为（）A．B．C．D．11．函数f（x）＝2x3﹣ax2+1在（0，+∞）内有且只有一个零点，则a的值为（）A．3 B．﹣3 C．2 D．﹣212．设F1，F2分别为双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点F1作圆x2+y2＝b2的切线与双曲线的左支交于点P，若|PF2|＝2|PF1|，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．记S n为等比数列{a n}的前n项和，已知a5＝﹣2，S3＝a2+3a1，则a1＝．14．已知半径为R的圆周上有一定点A，在圆周上等可能地任取一点与点A连接，则所得弦长介于R与R之间的概率为．15．如图所示梯子结构的点数依次构成数列{a n}，则a100＝．16．在△ABC中，∠BAC＝60°，AD为∠BAC的角平分线，且＝+，若AB＝2，则BC＝．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，sin（A+B）＝4．（Ⅰ）求cos C；（Ⅱ）若b＝7，D是BC边上的点，且△ACD的面积为6，求sin∠ADB．18．改革开放40年，我国经济取得飞速发展，城市汽车保有量在不断增加，人们的交通安全意识也需要不断加强．为了解某城市不同性别驾驶员的交通安全意识，某小组利用假期进行一次全市驾驶员交通安全意识调查．随机抽取男女驾驶员各50人，进行问卷测评，所得分数的频率分布直方图如图所示．规定得分在80分以上为交通安全意识强．（Ⅰ）求a的值，并估计该城市驾驶员交通安全意识强的概率；（Ⅱ）已知交通安全意识强的样本中男女比例为4：1，完成下列2×2列联表，并判断有多大把握认为交通安全意识与性别有关；（Ⅲ）用分层抽样的方式从得分在50分以下的样本中抽取6人，再从6人中随机选取2人，对未来一年内的交通违章情况进行跟踪调查，求至少有1人得分低于40分的概率．安全意识强安全意识不强合计男性女性合计附：，其中n＝a+b+c+d．P（K2≥k）0.010 0.005 0.001k 6.635 7.879 10.82819．在以ABCDEF为顶点的五面体中，底面ABCD为菱形，∠ABC＝120°，AB＝AE＝ED＝2EF，EF∥AB，点G为CD中点，平面EAD⊥平面ABCD．（Ⅰ）证明：BD⊥EG；（Ⅱ）若三棱锥V E﹣FBC＝，求菱形ABCD的边长．20．已知抛物线y2＝4x的准线过椭圆C：（a＞b＞0）的左焦点F，且点F到直线l：x＝（c为椭圆焦距的一半）的距离为4．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）过点F做直线与椭圆C交于A，B两点，P是AB的中点，线段AB的中垂线交直线l于点Q．若|PQ|＝2|AB|，求直线AB的方程．21．设函数f（x）＝e x﹣ax﹣1（a∈R）．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）若关于x的方程ln（ax+a+1）﹣x＝1有唯一的实数解，求a的取值范围．四、解答题（共2小题，满分10分）22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为为参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝10cosθ．（Ⅰ）设直线l与曲线C交于M，N两点，求|MN|；（Ⅱ）若点P（x，y）为曲线C上任意一点，求|x+y﹣10|的取值范围．23．已知函数f（x）＝|2x﹣a|+|x﹣1|（a∈R）．（Ⅰ）当a＝1时，求不等式f（x）≥1的解集；（Ⅱ）若存在x∈R满足不等式f（x）＜4，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题（本题共12个小题）1．若集合A＝{x|x2﹣3x+2＞0}，B＝{x||x﹣1|＜2}，则A∩B＝（）A．（﹣1，1）B．（2，3）C．（﹣1，3）D．（﹣1，1）U（2，3）【分析】可以求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．解：∵A＝{x|x＜1或x＞2}，B＝{x|﹣1＜x＜3}，∴A∩B＝（﹣1，1）∪（2，3）．故选：D．2．若复数z满足z（1+2i）＝4+3i，则＝（）A．2+i B．2﹣i C．1+2i D．1﹣2i【分析】等号两边同时除以1+2i，再进行化简，整理．解：＝2﹣i．故选：B．3．命题“∃x≤0，x2﹣x＞0”的否定是（）A．∀x＞0，x2﹣x≤0 B．∀x≤0，x2﹣x≤0C．∃x＞0，x2﹣x≤0 D．∃x≤0，x2﹣x≤0【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“∃x≤0，x2﹣x＞0”的否定是：∀x ≤0，x2﹣x≤0．故选：B．4．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，对称轴与准线的交点为T，P为C上任意一点，若|PT|＝2|PF|，则∠PTF＝（）A．30°B．45°C．60°D．75°【分析】由抛物线的定义可得|PF|＝|PM|，sin∠PTM＝．，可得∠PTM＝，即有则∠PTF＝即可．解：设P在准线l上的射影为M，由抛物线的定义可得|PF|＝|PM|，∵若|PT|＝2|PF|，则sin∠PTM＝．，可得∠PTM＝，即有则∠PTF＝．故选：C．5．如图所示函数图象经过何种变换可以得到y＝sin2x的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位【分析】本题关键是画出函数y＝sin2x的图象，然后与题干中图象进行比较，即可得到结果．解：由题意，函数y＝sin2x的图象如下：根据图，由y＝sin2x的图象向左平移﹣＝个单位即可得到题中图象，则反过来，题中图象向右平移﹣＝个单位即可得到y＝sin2x的图象．故选：D．6．已知变量x，y满足不等式组，则2x﹣y的最小值为（）A．﹣4 B．﹣2 C．0 D．4【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z＝2x﹣y表示直线在y 轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最值即可．解：变量x，y满足不等式组，目标函数z＝2x﹣y，画出图形：点A（1，1），B（0，2），z在点B处有最小值：z＝2×0﹣2＝﹣2，故选：B．7．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．48+12B．60+12C．72+12D．84【分析】首先把三视图准换为几何体，进一步利用几何体的表面积公式的应用求出结果解：根据几何体的三视图转换为几何体为：所以，该几何体的表面积为：S＝2××（4+2）×2+2×6+2×6+4×6+2×6＝60+12．故选：B．8．已知cos（﹣α）＝，α∈（，π），则sinα﹣cosα＝（）A．B．﹣C．D．﹣【分析】由α∈（，π），所以（），又因为cos（﹣α）＝＞0，所以角（）是第四象限角，所以sin（）＝﹣，再利用两角和与差的三角函数公式即可算出结果．解：∵α∈（，π），∴（），又∵cos（﹣α）＝＞0，∴角（）是第四象限角，∴sin（）＝﹣，∴sinα＝sin[﹣（﹣α）]＝sin cos（）﹣cos sin（）＝，cosα＝cos[﹣（﹣α）]＝cos cos（）+sin sin（）＝﹣，∴sinα﹣cosα＝，故选：C．9．某设备使用年限x（年）与所支出的维修费用y（万元）的统计数据（x，y）分别为（2，1.5），（3，4.5），（4，5.5），（5，6.5），由最小二乘法得到回归直线方程为＝1.6x+，若计划维修费用超过15万元将该设备报废，则该设备的使用年限为（）A．8年B．9年C．10年D．11年【分析】由已知表格中的数据，我们易计算出变量x，y的平均数，根据回归直线一定经过样本数据中心点，求出后，代入y＝15可得答案．解：由表中数据可得：＝＝3.5，＝＝4.5，∵归直线一定经过样本数据中心点，故＝﹣1.23＝4.5﹣1.6×3.5＝﹣1.1；故＝1.6x﹣1.1；当y＝15时，x＝10.625该设备的使用年限为10年．故选：C．10．公比为2的等比数列{a n}中存在两项a m，a n，满足a m a n＝32a12，则的最小值为（）A．B．C．D．【分析】利用等比数列的通项公式，转化求解m、n的方程，利用基本不等式求解表达式的最小值即可．解：公比为2的等比数列{a n}中存在两项a m，a n，满足a m a n＝32a12，可得：a1•2m﹣1•a1•2n﹣1＝32a12，可得m+n﹣2＝5，所以m+n＝7，则＝（）×（m+n）＝≥＝，当且仅当n＝2m，并且m+n＝7时，取等号，但是m，n∈N，所以m＝2，n＝4时，表达式的值为：＝，m＝3，n＝4时，表达式的值为：，m＝2，n＝5时，表达式的值为：．表达式的最小值：．故选：D．11．函数f（x）＝2x3﹣ax2+1在（0，+∞）内有且只有一个零点，则a的值为（）A．3 B．﹣3 C．2 D．﹣2【分析】先对函数求导，然后结合导数的符号判断函数的单调性，结合零点判定定理即可求解．解：∵函数f（x）＝2x3﹣ax2+1（a∈R）在（0，+∞）内有且只有一个零点，∴f′（x）＝2x（3x﹣a），x∈（0，+∞），①当a≤0时，f′（x）＝2x（3x﹣a）＞0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，f（0）＝1，f（x）在（0，+∞）上没有零点，舍去；②当a＞0时，f′（x）＝2x（3x﹣a）＞0的解为x＞，∴f（x）在（0，）上递减，在（，+∞）递增，又f（x）只有一个零点，∴f（）＝﹣+1＝0，解得a＝3．故选：A．12．设F1，F2分别为双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点F1作圆x2+y2＝b2的切线与双曲线的左支交于点P，若|PF2|＝2|PF1|，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【分析】由双曲线的定义可得，|PF2|﹣|PF1|＝2a，则|PF2|＝4a，|PF1|＝2a，设切点为M，则|OM|＝b，|OF1|＝c，又|MF1|＝a，|PF2|＝2b，即有4a＝2b，即可．解：P为双曲线左支上的一点，则由双曲线的定义可得，|PF2|﹣|PF1|＝2a，由|PF2|＝2|PF1|，则|PF2|＝4a，|PF1|＝2a，设切点为M，则|OM|＝b，|OF1|＝c，∴|MF1|＝a，∴OM为△PF1F2的中位线，则|PF2|＝2b即有4a＝2b即有e＝．故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．记S n为等比数列{a n}的前n项和，已知a5＝﹣2，S3＝a2+3a1，则a1＝﹣．【分析】根据题意，设等比数列{a n}的公比为q，由S3＝a2+3a1变形可得1+q+q2＝q+3，即q2＝2，结合等比数列的通项公式分析可得答案．解：根据题意，设等比数列{a n}的公比为q，若S3＝a2+3a1，则a1+a2+a3＝a2+3a1，即a1+a2+a3＝a2+3a1，变形可得：1+q+q2＝q+3，即q2＝2，又由a5＝﹣2，则a1＝＝＝﹣；故答案为：﹣．14．已知半径为R的圆周上有一定点A，在圆周上等可能地任取一点与点A连接，则所得弦长介于R与R之间的概率为．【分析】先找出满足条件弦的长度介于R与R之间的图形测度，再代入几何概型计算公式求解．解：本题利用几何概型求解．测度是弧长．根据题意可得，满足条件：”弦长介于R与R之间”，其构成的区域是2（﹣）圆的周长，则弦长介于R与R之间的概率P＝．故答案为：．15．如图所示梯子结构的点数依次构成数列{a n}，则a100＝5252 ．【分析】由题意知第n个图形，通过等差数列前n项和公式求其通项，代入100可求结果．解：由题意知a n＝2+3+4+…+n+（n+1）+（n+2）＝，则＝5252．故答案为：5252．16．在△ABC中，∠BAC＝60°，AD为∠BAC的角平分线，且＝+，若AB＝2，则BC＝2．【分析】因为AD为∠BAC的角平分线，所以，设AC＝x，则，2＝＝+，＝，结合条件得x＝6，利用余弦定理就可解出BC．解：因为AD为∠BAC的角平分线，所以，设AC＝x，则，＝，＝，所以2＝，2＝+﹣，2＝++（），2＝++（）（﹣），2＝+，＝，所以，解得x＝6，即AC＝6，在△ABC中，cos∠BAC＝，cos60°＝，解得BC＝2．故答案为：2三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，sin（A+B）＝4．（Ⅰ）求cos C；（Ⅱ）若b＝7，D是BC边上的点，且△ACD的面积为6，求sin∠ADB．【分析】（I）由已知结合二倍角及诱导公式进行化简可求cos C，（II）结合三角形的面积可求CD，然后由余弦定理可求AD，再由正弦定理及诱导公式求解解：（I）∵sin（A+B）＝4，∴＝4×，即+2cos C＝2，∴7cos2C﹣8cos C+1＝0，∵C∈（0，π），∴cos C＝1（舍）或cos C＝，（II）b＝7，△ACD的面积为6，舍CD＝m，结合（1）可得sin C＝，∴＝6，∴m＝CD＝3，由余弦定理可得，AD2＝9＝52，∴AD＝2，由正弦定理可得，，∴sin∠ADB＝sin∠ADC＝18．改革开放40年，我国经济取得飞速发展，城市汽车保有量在不断增加，人们的交通安全意识也需要不断加强．为了解某城市不同性别驾驶员的交通安全意识，某小组利用假期进行一次全市驾驶员交通安全意识调查．随机抽取男女驾驶员各50人，进行问卷测评，所得分数的频率分布直方图如图所示．规定得分在80分以上为交通安全意识强．（Ⅰ）求a的值，并估计该城市驾驶员交通安全意识强的概率；（Ⅱ）已知交通安全意识强的样本中男女比例为4：1，完成下列2×2列联表，并判断有多大把握认为交通安全意识与性别有关；（Ⅲ）用分层抽样的方式从得分在50分以下的样本中抽取6人，再从6人中随机选取2人，对未来一年内的交通违章情况进行跟踪调查，求至少有1人得分低于40分的概率．安全意识强安全意识不强合计男性女性合计附：，其中n＝a+b+c+d．P（K2≥k）0.010 0.005 0.001k 6.635 7.879 10.828【分析】（Ⅰ）根据频率和为1列方程求得a的值，计算得分在80分以上的频率即可；（Ⅱ）根据题意填写列联表，计算K2，对照临界值得出结论；（Ⅲ）用分层抽样法求得抽取各分数段人数，用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值．解：（Ⅰ）根据频率和为1，得（0.004+0.008+0.020+0.028+0.020+a+0.004）×10＝1，解得a＝0.016；计算得分在80分以上的频率为（0.016+0.004）×10＝0.20，所以估计该城市驾驶员交通安全意识强的概率为0.20；（Ⅱ）根据题意知，安全意识强的人数有100×0.2＝20，其中男性为20×＝16（人），女性为4人，填写列联表如下；安全意识强安全意识不强合计男性16 34 50女性 4 46 50合计20 80 100计算K2＝＝9＞7.879，所以有超过99.5%的把握认为“交通安全意识与性别有关”；（Ⅲ）用分层抽样法从得分在50分以下的样本中抽取6人，其中[30，40）内有2人，记为A、B，[40，50）内有4人，分别记为c、d、e、f；从这6人中随机选取2人，基本事件为：AB、Ac、Ad、Ae、Af、Bc、Bd、Be、Bf、cd、ce、cf、de、df、ef共15种不同取法；则至少有1人得分低于40分的基本事件为AB、Ac、Ad、Ae、Af、Bc、Bd、Be、Bf共9种不同取法；故所求的概率为P＝＝．19．在以ABCDEF为顶点的五面体中，底面ABCD为菱形，∠ABC＝120°，AB＝AE＝ED＝2EF，EF∥AB，点G为CD中点，平面EAD⊥平面ABCD．（Ⅰ）证明：BD⊥EG；（Ⅱ）若三棱锥V E﹣FBC＝，求菱形ABCD的边长．【分析】（Ⅰ）取AD中点O，连结EO、GO、AC，推导出OG⊥BD，EO⊥AD，从而EO⊥平面ABCD，进而EO⊥BD，BD⊥平面EOG，由此能证明BD⊥EG．（Ⅱ）设菱形ABCD的边长为a，则AB＝AE＝ED＝2EF＝a，以O为原点，OA为x轴，OB 为y轴，OE为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出菱形ABCD的边长．解：（Ⅰ）证明：取AD中点O，连结EO、GO、AC，∵底面ABCD为菱形，∠ABC＝120°，AB＝AE＝ED＝2EF，EF∥AB，点G为CD中点，平面EAD⊥平面ABCD．∴OG⊥BD，EO⊥AD，∴EO⊥平面ABCD，∵BD⊂平面ABCD，∴EO⊥BD，∵OE∩OG＝O，∴BD⊥平面EOG，∵EG⊂平面EOG，∴BD⊥EG．（Ⅱ）解：设菱形ABCD的边长为a，则AB＝AE＝ED＝2EF＝a，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OE为z轴，建立空间直角坐标系，则E（0，0，），F（，，），B（0，，0），C（﹣2a，，0），＝（，，0），＝（0，，﹣），＝（﹣2a，，﹣），设平面EFB的法向量＝（x，y，z），则，取x＝，得＝（），∴C到平面EFB的距离d＝＝，cos＜＞＝＝＝，∴sin＜＞＝＝，S△BEF＝＝＝．∵三棱锥V E﹣FBC＝，∴V E﹣FBC＝＝×a＝，解得a＝．∴菱形ABCD的边长为．20．已知抛物线y2＝4x的准线过椭圆C：（a＞b＞0）的左焦点F，且点F到直线l：x＝（c为椭圆焦距的一半）的距离为4．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）过点F做直线与椭圆C交于A，B两点，P是AB的中点，线段AB的中垂线交直线l于点Q．若|PQ|＝2|AB|，求直线AB的方程．【分析】（Ⅰ）由题意知椭圆的c，点F到直线l：x＝（c为椭圆焦距的一半）的距离为4知，a，c的关系，再由a，b，c之间的关系求出椭圆方程；（Ⅱ）神州行AB的方程与椭圆联立，求出两根之和及两根之积，进而求出弦长AB及中点坐标，再由椭圆求出Q的坐标，进而求出PQ的长，再由题意求出参数m的值，即求出直线AB的方程．解：（Ⅰ）由题意得c＝1，+c＝4，b2＝a2﹣c2，解得：a2＝3，b2＝2，所以椭圆C的标准方程：+＝1；（Ⅱ）由（Ⅰ）得F（﹣1，0），x＝＝3，显然直线AB的斜率不为零，设直线AB的方程：x＝my﹣1，A（x，y），B（x'，y'），联立与椭圆的方程：（3+2m2）y2﹣4my﹣4＝0，y+y'＝，yy'＝，x+x'＝m （y+y'）﹣2＝，所以中点P的坐标（，），所以AB的中垂线方程：y﹣＝﹣m （x+）即：y＝﹣mx﹣，与直线x＝3联立得：所以Q的坐标（3，﹣），∴|PQ|2＝（3+）2+（）2＝36•，|AB|2＝（）2•|y﹣y'|2＝（1+m2）•[（）2+]＝48•（）2由题意|PQ|＝2|AB|，∴36＝4•48•（）2，整理得：3m4﹣4m2﹣4＝0，解得：m2＝2，所以m＝，所以直线AB方程：x＝y﹣1．21．设函数f（x）＝e x﹣ax﹣1（a∈R）．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）若关于x的方程ln（ax+a+1）﹣x＝1有唯一的实数解，求a的取值范围．【分析】（1）对函数求导，然后结合导数与单调性的关系即可判断，（2）结合（1）的讨论及零点判定定理即可求解．解：（I）∵f（x）＝e x﹣ax﹣1，∴f′（x）＝e x﹣a，①当a≤0时，f′（x）＞0恒成立，f（x）在R上单调递增，②a＞0时，若x∈（lna，+∞），f′（x）＞0，f（x）单调递增，若x∈（﹣∞，lna），f′（x）＜0，f（x）单调递减，综上可得，当a≤0时，f（x）在R上单调递增；a＞0时，f（x）在（lna，+∞）上单调递增，（﹣∞，lna）上单调递减，（Ⅱ）若关于x的方程ln（ax+a+1）﹣x＝1有唯一的实数解，即e x+1＝ax﹣a+1＝a（x+1）+1有唯一的实数根，令t＝x+1，则e t＝at+1即e t﹣at﹣1＝0有唯一的实数根，结合（1）的讨论可知，①当a≤0时，f′（t）＞0恒成立，f（t）在R上单调递增，f（0）＝0，结合零点判定定理可知，只有一个零点0，②a＞0时，若，t∈（lna，+∞），f′（x）＞0，f（t）单调递增，若t∈（﹣∞，lna），f′（t）＜0，f（t）单调递减，若只有1个零点，则f（lna）＝a﹣alna﹣1＝0，令g（x）＝x﹣xlnx﹣1，则g′（x）＝﹣lnx，则g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，x＝1时，g（x）取得最大值g（1）＝0，∴a＝1综上可得，a的范围为{a|a≤0或a＝1}四、解答题（共2小题，满分10分）22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为为参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝10cosθ．（Ⅰ）设直线l与曲线C交于M，N两点，求|MN|；（Ⅱ）若点P（x，y）为曲线C上任意一点，求|x+y﹣10|的取值范围．【分析】（Ⅰ）参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，利用勾股定理的应用求出弦长．（Ⅱ）利用方程之间的转换和三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．解：（Ⅰ）直线l的参数方程为为参数），转换为直角坐标方程为：4x+3y ＝0，曲线C的极坐标方程为ρ＝10cosθ，转换为直角坐标方程为（x﹣5）2+y2＝25．所以圆心（5，0）到直线4x﹣3y＝0的d＝，所以：|MN|＝2．（Ⅱ）圆的直角坐标方程转换为参数方程为（θ为参数），所以y＝|x+＝|＝，当时，y max＝15，当时，y min＝0，所以|x+y﹣10|的取值范围为[0，15]．23．已知函数f（x）＝|2x﹣a|+|x﹣1|（a∈R）．（Ⅰ）当a＝1时，求不等式f（x）≥1的解集；（Ⅱ）若存在x∈R满足不等式f（x）＜4，求实数a的取值范围．【分析】（Ⅰ）当a＝1时，f（x）＝|2x﹣1|+|x﹣1|，由绝对值的意义，去绝对值，解不等式，求并集可得解集；（Ⅱ）由题意可得f（x）min＜4，由绝对值的性质和绝对值的意义，求得最小值，解不等式可得a的范围．解：（Ⅰ）当a＝1时，f（x）＝|2x﹣1|+|x﹣1|，当x≥1时，f（x）≥1即2x﹣1+x﹣1≥1，解得x≥1；当x≤时，f（x）≥1即1﹣2x+1﹣x≥1，解得x≤；当＜x＜1时，f（x）≥1即2x﹣1+1﹣x≥1，解得x∈∅，则原不等式的解集为（﹣∞，]∪[1，+∞）；（Ⅱ）若存在x∈R满足不等式f（x）＜4，即为f（x）min＜4，由f（x）＝|2x﹣a|+|x﹣1|＝|x﹣|+（|x﹣|+|x﹣1|）≥0+|（x﹣）﹣（x﹣1）|＝|1﹣|，即x＝时f（x）取得最小值|1﹣|，所以|1﹣|＜4，解得﹣6＜a＜10．。

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