插 值 法(3)

第三章 插 值 法
在观察或总结某些现象时，往往会发现所关心变量之间存在着某种联系，但是这种联一般很难用解析式表达。

有时即便找出了其解析表达式，由于表达式过于复杂，使用或计算起来也可能十分困难。

于是就想到能否用形式比较简单的函数去近似原来很困难得到或应用起来不便的函数。

本章所讨论的插值法就是函数近似表达的一种方法。

这里介绍的插值方法本身也是以后介绍的方法如：数值积分，数值微分，以及微分方程的数值解的基础。

本章主要介绍插值函数的构造，误差估计及简单介绍方法的收敛性和稳定性。

§1.插值的基本概念
插值定义：
设f(x)为定义在[a,b]上的函数，n 10x ,,x ,x 为［a,b ］上n+1个互不相同的点，Ｙ为给定的某一个函数类，若Ｙ上有函数y(x)，满足：
n ,,2,1,0i ),x (f )x (y i i ==
(3—１)
则称y(x)为f(x)关于节点n 10x ,,x ,x 在Ｙ上的插值函数，点n 10x ,,x ,x 称为插值节点,f(x)称为被插值函数。

包含插值节点的区间[a,b]称为插值区间，条件（3—１）称为插值条件。

关于函数插值，我们要回答以下几个问题：
(1)给定了被插函数（即f(x)），插值节点n 10x ,,x ,x 及插值函数类Ｙ，那么满足插值条件的插值函数是否存在？若存在，是否唯一？即插值的存在性与唯一性问题。

(2)如若插值函数存在唯一，如何构造插值函数?即采用何种插值方法问题。

(3)y(x)作为f(x)的近似函数，存在误差R(x)=f(x)-y(x)。

如何估计其误差？当不斯地增加插值节点，那么插值函数列是否收敛被插函数。

现在首先回答第一个问题：
由于我们这里介绍的插值函数类Ｙ是多项式类。

故要求插值函数是多项式的情况下，来回答存在性与唯一性问题。

定理：设)x (M n 表示次数不超过n 次的多项式的全体，则满足插值条件（3—１）的，属于函数类Ｙ＝)x (M n 的插值多项y(x)存在且唯一。

证明：因为对)x (M )x (y n ∈∀必可写成：n n 10x a x a a )x (y +++= ，只要能证唯一确定i a 即可（i=0,1,…，n ）
由条件（3—1）得：
)x (f x a x a a 1n
0n 010=+++ )x (f x a x a a 1n 1n 110=+++
（3—2）
……………………
)x (f x a x a a n n n n n 10=+++
这是一个线性方程组，由于系数行列式是著名的Vandemonde 行列式，它为：
det 0)x x (x x 1
x x 1x x 1j i n
i j 0n n n n 11n
00≠-∏=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡≤<≤
从而由Cramer 法则知：方程组（3—2）的解是唯一的，即满足插值条件的次数不超过n
次插值多项式是唯一的。

注：如果要求插值多项式的次数一定要小于n －1，一般不存在。

但如果要求插值多项式的次数超过n 次，则存在但不唯一。

上面定理告诉我们，不管用何种方法构造插值多项式，次数不超过n 次的满足插值条件（3—１）的多项式是同一个多项式。

下面分别介绍几种构造插值多项式的方法。

§２．Lagrange 插值多项式
记)x (l j 为满足如下条件的n 次多项式：
⎩⎨
⎧≠==j
k 0
j
k 1
)x (l k j (3－３)
从而很易得到：)
x x ()x x )(x x ()x x )(x x ()x x ()x x )(x x ()x x )(x x ()x (l n j 1j j 1j j 1j 0j n 1j 1j 10j ----------=
+-+-
)x x ()x x ()x x )(x x ()x (i n
i n 101n -∏=---=π=+
则)x x ()x x )(x x ()x x )(x x ()x (n j 1j j 1j j 1j 0j j 1n -----=π'+-+ 从而
)
x ()x x ()x ()x (l j 1n j 1n j ++π'-π=
（j=0,1,2,…，n ） (3—4)
满足条件（3－３）的n 次多项式)x (l ,),x (l ),x (l n 10 称为Lagrange 插值基函数。

从而满足插值条件（3—１）的不超过n 次的插值多项式可表示为：
∑==
n
j j
j
)x (l )x (f )x (y
（3—５）
我们称形如（3—５）的插值多项式为Lagrange 插值多项式，常记为)x (L n 。

特别：当n=1时，称一次插值函数)x (f x x x x )x (f x x x x )x (L 10
1001
011--+
--=称为线性插值
（函数）。

当n=2时，称二次插值函数
)f (x )
x )(x x (x )x )(x x (x )f (x )
x )(x x (x )x )(x x (x )f (x )
x )(x x (x )x )(x x (x (x)L 2120210121012002010212----+
----+
----=
为抛物插值（函数）。

用插值多项式)x (L n 去近似f(x)，它们间的误差)x (f )x (R n =－L n (x)怎样估计？下面的定理给出了在f(x)满足一定条件的估计方法。

定理２：设f(x)在［a,b ］上存在n 阶连续导数，在（a,b ）上存在n+1阶导数，)x (L n 是满足条件（3－１）属于)x (M n 插值多项式，则对任何)b ,a (x ∈，插值余项为：
)x ()!
1n ()(f )x (R 1n )1n (n ++π+ε=
(3—６)
其中)b ,a (∈ε，且依赖于x ，)x x ()x (j n
j 1n -∏=π=+
证明：对于任意取定的x ∈[a,b]作辅助函数：
)t ()t (L )t (f )t (F 1n n +λπ--=
其中λ是取使F(x)=0的与x 有关的常数（注意这里x 是任意取定的），则F(t)在区间（a,b ）有n+1阶导数且有n+2个零点：x ,x ,x ,x n 10 。

由Roller 定理知：
)t (F '在（a,b ）至少有n+1个零点
)t (F ''在 (a,b)至少有n 个零点
)1n (F +(t)在（a,b ）中至少有一个零点
设)1n (F +(t)在(a,b)中的一个零点为ε，则0)(F )1n (=ε+。

又由于)1n (F +(t)=)1n (f +(t)-λ（n+1）！， 从而得)(f )1n (ε+—λ（n+1）!=0
故有：
λ=
)!
1n ()(f )
1n (+ε+
从而知：)x ()!
1n ()(f )x (L )x (f 1n )1n (n ++π+ε=
-。

应当指出余项表达式（3—6）只有在f(x)存在n+1阶导数时才能应用。

由于ε不能具体给出，故应用公式（3—6）有困难。

但如果)x (f )1n (+在(a,b)中有界，即存在M>0，使
)b ,a (x ,M |)x (f |)1n (∈≤+，则余项误差|)x (|)!
1n (M |)x (R |1n n +π+≤
由于误差的大小不仅与节点个数n 有关，还与)x (1n +π有关。

故一般情况下：如果x
接近节点n 10x ,x ,x ，则误差要小一些，否则就可能要大一些。

推论：满足条件(3—3)的Lagrange 插值基函数：)n ,,1,0j (),x (l j =，有如下性质：
（1）
∑
=≡n
0j k
j k j x )
x (l x ，(k=0,1,…,n)，特别
∑==n
j j 1)x (l
（2）
∑==-n
j j k j
0)x (l )x x
(（k=1,…,n ）
例：设f(x)=cosx 给出函数表：
x 0.4 0.5 0.7 0.8 cosx
0.921060994
0.877582561
0.764842187
0.696706709
试估计cos0.6的值（其真值为cos0.6≈0.825335614）
解：取00.4x =，5.0x 1=，7.0x 3=，8.0x 4=，6.0x =
则6
1)6.0(l 0-
=，3
2)6.0(l 1=
，3
2)6.0(l 2=
，6
1)6.0(l 3-
=
cos0.6∑=≈≈
3
j j
j
825321882.0)x (f )6.0(l
由余项估计表达式（3—6）可得：55310667.1!
4|
)6.0(|)6.0(R |-⨯=π≤
实际误差：5310373.1|)6.0(R |-⨯=，可见实际误差在估计误差的范围内。

下面是Lagrange 插值多项式的计算框图：(见下页)
§3．差商（均差）与Newton 插值法
Lagrange 插值多项式有一个明显的优点：形式对称易编程序。

但当增加节点时（如计算精度不够时，有时通过增加节点可提高一定精度），原来的计算结果不能利用，还需重新计算，很不经济。

下面介绍的Newton 法可避免此缺点。

为便于叙述此方法，先介绍差商这个概念及其简单性质。

定义：设f(x)在[a,b]有定义,]b ,a [x i ∈,（i=0,1,2,…,n ）,称0
10110x x )x (f )x (f ]x ,x [f --=
为
函数f(x)关于节点10x ,x 的一阶差商。

称0
21021210x x ]
x ,x [f ]x ,x [f ]x ,x ,x [f --=
为函数f(x)
关于节点210x ,x ,x 的二阶差商。

一般地称
=
]x ,,x ,x [f k 10 0
k k 10k 21x x ]
x ,,x ,x [f ]x ,,x ,x [f -- 为f(x)关于节点k 10x ,,x ,x 的k
阶差商。

性质：)x (f )
x x
(1
]x ,,x ,x [f j k
j i j
j
i k 10∑=≠-∏=
证明：对差商的阶数用归纳法，当k=1时，
∑=≠-∏=
--=
1
j j i j
j
i 0
10110)x (f )
x x
(1
x x )x (f )x (f ]x ,x [f
性质成立，现假设本结论对k-1阶差商成立，在k 阶差商时：
k 1k 10k 1k 10x x ]
x ,,x ,x [f ]x ,,x [f ]x ,,x ,x [f --=
-
=
k k
1
j 1
k 0
j j i j 1
k j i 0j i j k
j i 1x x )
x (f )
x x (1
)x (f )
x x (1
--∏
-
-∏∑
∑
=-=-≤≠≤≤≠≤
而得
1
1
101
1
1
()()()()
k
k j j j j j i j i i j k
i j k f x f x x x x x -==≤≠≤≤≠≤--∏-∏
-∑
∑
=
)x (f )
x x ()x x )(x x (1
)x (f )
x x ()x x (1
01k 02010k 1k k 1k ------
-- +
∑
-=+------1
k 1
j k j 1j j 1j j 1j )
x x ()x x )(x x ()x x (1
(
)x (f ))
x x ()x x )(x x ()x x )(x x (1
j 1k j 1j j 1j j 1j 0j -+------
=1
001
1101
1
0()
1
1
()()()()()()k k k j k k j j i i j
k i i i i i k
x x f x f x f x x x x x x x ---=≠==≤≤--+∏-∏-∏-∑
从而有：]x ,,x ,x [f k 10 =
∑=≠-∏k
j j i j
j
i )x (f )
x x
(1
性质2：如果k 10i ,,i ,i 是0，1，2，…，k 的一个排列，则
]x ,,x ,x [f ik 1i 0i =]x ,,x ,x [f k 10
证明：由性质1直接可得。

下面给出Newton 插值法所用的方法： 由于：)x x ](x ,x [f )x (f )x (f 000-+=
)x x ](x ,x ,x [f ]x ,x [f ]x ,x [(f 110100-+=
)x x ](x ,x .,,x ,x [f ]x ,,x ,x [f ]x ,x ,,x ,x [f k k 10k 101k 10-+=-
)x x ](x ,x .,,x ,x [f ]x ,,x ,x [f ]x ,x ,,x ,x [f n n 10n 101n 10-+=- 由此可以得到：
)
x x ()x x )(x x ](x ,,x ,x [f )x x ](x ,x [f )x (f )x (f 1n 10n 100100----++-+=
+)x x ()x x )(x x ](x ,x ,,x ,x [f n 10n 10---
记：)x x ()x x ](x ,,x ,x [f )x x ](x ,x [f )x (f )x (N 1k 0k 100100k ---++-+=
（k=1，…，n ）
故：)x (]x ,x x ,x [f )x (N )x (f 1n n 10n +π⋅+=
（3—7）
定理3：)x (N k 是满足插值条件)x (f )x (N j j k =，(j=0,1,…,k)，的不超过k 次的插值多项式（称此为Newton 插值多项式）
证明：)x (N k 不超过k 次是显然的。

下证它满足插值条件，为此用归纳法证，当k=1时，因为：)x x ](x ,x [f )x (f )x (N 01001-+=,显然)x (f )x (N 001=，而
)x x ](x ,x [f )x (f )x (N 0110011-+=，由于)x x ](x ,x [f )x (f )x (f 0100-+=，故有)x (N )x (f 111=，即k=1时成立。

现假设在k-1时成立，即：)x (f )x (N j j 1k =-（j=0,1,2，…，
k-1）
由于)x x ()x x )(x x ](x ,,x ,x [f )x (N )x (N 1k 10k 101k k -----+= 故必有：)x (N )x (N j 1k j k -=
（j=0,1,2，…，k-1）
由于)x x ()x x )(x x ](x ,x ,,x ,x [f )x (N )x (f 1k 101k 101k ------+= 从而)x x )(x x ](x ,,x ,x [f )x (N )x (f 1k k 0k k 10k 1k k ----+= =)x (N k k 从而得证。

由此定理及定理的证明可以看出，在已经得到)x (N n 的情况下，如果再增加一个节点
1n x +，则其插值多项式)x (N 1n +，只要在原有插值多项式)x (N n 的基础上，再增加一项)x x ()x x )(x x ](x ,,x ,x [f n 101n 10---+ 即可。

即
)x (N 1n +=)x (N n +)x x ()x x )(x x ](x ,,x ,x [f n 101n 10---+
我们称此特性为承袭性或继承性。

由于插值多项式的唯一性，故还可得出如下的性质。

性质1：Newton 插值多项式的余项为R(x)=f(x)-)x (N n
=)x (]x ,x ,,x ,x [f 1n n 10+π
性质2：如果f(x)有n 阶导数，则!
n )(f ]x ,,x ,x [f )n (n 10ε=
其中：}x ,,x ,x max{}x ,,x ,x min{n 10n 10 <ε< 应用插值公式时，只要求出节点
n 10x ,,x ,x 的各阶差商，就可很快地用类似秦九
韶算法，计算出f(x)的值。

为计算差商，我们可列一个差商表：
0x f(0x )
1x f(1x ) ]x ,x [f 10
2x
f(2x ) ]x ,x [f 21 ]x ,x ,x [f 210
3x
f(3x ) ]x ,x [f 32
]x ,x ,x [f 321
]x ,x ,x ,x [f 3210
……
……
……
……
……
为计算)x x ()x x )(x x (a )x x (a a )x (N 1n 10n 010n ----++-+= 其中：]x ,,x ,x [f a 1i 10i -= （i=0,1,…，n ）
可用⎩⎨
⎧=+-==--+--)
n ,,1k (a )x x (S S a S k
n k n 1k n k n n
n
进行计算,0S 即为所求点x 的插值之值。

例：已知函数f(x)=shx 的函数表如下，作插值多项式并计算f(0.596)
k
0 1 2 3 4 k x
0.4 0.55 0.65 0.80 0.9 f(k x )
0.41075
0.57815
0.69675
0.88811
1.02652
解：均差表如下：
k k x f(k x ) 一阶均差 二阶均差 三阶均差 四阶均差
0.596-k x 0
0.40 0.41075 0.196 1 0.55 0.57815 1.1160 0.046 2 0.65 0.69675 1.1860 0.2800 -0.054 3 0.80 0.88811 1.2757 0.3588 0.197 -0.204 4
0.90
1.02652
1.3841 0.4336 0.214 0.034
)x (N 4=0.41075+1.1160(x-0.4)+0.2800(x-0.4)(x-0.55)+0.197(x-0.4)(x-0.55)(x-0.65)
+0.034(x-0.4)(x-0.55)(x-0.65)(x-0.80)
≈)596.0(N 40.63192
在Lagrange 插值法和Newton 插值法中，我们没有要求，节点非要从小到大的排列。

用Newton 插值法进行计算也是比较容易在计算机上实现的，特别对用计算器来计算是比较方便的。

§4．差分及其插值公式
在实际应用时，经常会遇到等距节点的情形。

此时，插值公式可以进一步得到简化，计算也变得简单。

下面我们用差分的方法给出Newton 前插和Newton 后插的计算公式，此法特别适宜于用计算器计算。

定义：设节点是等距节点，步长为h ，则称 ∆f(x)=f(x+h)-f(x) 为f(x)一阶向前差分。

一般也称：
)x (f )h x (f )x (f 1k 1k k --∆-+∆=∆ k=1,2,…
为f(x)的k 阶向前差分。

特别规定f(x)的零阶向前差分为：
0∆f(x)=f(x)
性质1：∑=-+-=∆k
j j k j
k k
)jh x (f C )
1()x (f
证明：用归纳法易证。

性质2：如果n 10x ,,x ,x 是等距的节点（ih x x 0i +=）,那么
f[k 10x ,,x ,x ]=
k
k h !k )x (f ∆。

如果f(x)在由0x ，k x 构成的区间上有k 阶导数(k=1,…，n)，则)(f h )x (f )k (k 0k ε=∆。

证明：我们对差商的阶数用归纳法证明。

当是一阶差商时：由于h
)
x (f x x )x (f )x (f ]x ,x [f 00
10110∆=
--=
结论成立。

假设k-1阶均差时结论成立，在k 阶均差时：
k k 10k 1k 10x x ]
x ,,x ,x [f ]x ,,x [f ]x ,,x ,x [f --=
因f[k 1x ,,x ]=1
k 11k h )!1k ()x (f ---∆, f[1k 10x ,,x ,x - ]=
1
k 01k h )!1k ()x (f ---∆
从而有：
f[k 10x ,,x ,x ]=
kh
h
)!1k ()x (f )x (f 1
k 01k 11k ⋅-∆-∆---
=0()!k k
f x k h
∆
如果f(x)有k 阶导数，则f[k 10x ,,x ,x ]=
!
k )(f )k (ε,从而：)(f h )x (f k (k 0k ε=∆，ε属
于k 0x ,x 构成的区间。

在计算差分时，列出一个差分表是方便的，且便于用计算器计算：
0x f(0x ) 1x f(1x ) ∆ f(0x )
2x
f(2x ) ∆ f(1x ) 2∆ f(0x )
3x
f(3x ) ∆ f(2x )
2∆ f(1x )
3∆ f(0x )
……
由于满足插值条件（1—1）的不超过n 次插值多项式可以写为)x (N n 的形式：
)x x ()x x )(x x ](x ,,x ,x [f )x x ](x ,x [f )x (f )x (N 1n 10n 100100n ----++-+=
因为：f[k 10x ,,x ,x ]=
k
0k h !k )x (f ∆，又对给定的x ，令：x=0x +th ，即：t=
h
x x 0
-，则：
)x (f !
n )
1n t ()1t (t )x (f !
2)1t (t )x (f !
1t
)x (f )x (N 0n 02000n ∆+--+
+∆-+
∆+
∆=
令：1C ,!
k )
1k t ()1t (t C t 0t k
=+--= ，则：
∑=∆=
+n
k 0k
t k 0n )x (f C
)th x (N
（3—8）
我们称（3—8）公式为Newton 前插公式。

由于本质上它就是)x (N n ，故在f(x)具有n+1阶导数的情况下，其误差：
)x ()!
1n ()(f )x (N )x (f )x (R !n )1n (n n ++π+ε=
-=
=
h
x x t (,h )(f )!
1n ()
n t ()1t (t 0
1n )1n (-=
ε+--++ ）
例：给出了y=cosx 的函数表从x=0到此为0.6，h=0.1。

计算cos0.048的值（其真值cos0.048≈0.99884822）。

解：利用函数值表作差分表：
由x=0.048靠近表头，我们从误差项)x (R n 中有)x (1n +π知道，用靠近0.048的点作为插值节点较好，此时t=0.48
9976.01
t )x (f )x (f )048.0(N 0001=⨯
∆+∆= 9988.0!
2)
1t (t )
x (f )048.0(N )048.0(N 0212=-∆+=
99885.0!
3)
2t )(1t (t )x (f )048.0(N )048.0(N 0323=--∆+=
99884.0!
4)
3t )(2t )(1t (t )
x (f )048.0(N )048.0(N 0434=---∆+=
由于)x (f 05∆很小，故改变不大。

这样N 4（0.048）相当于我们用由节点
43210x ,x ,x ,x ,x 确定的插值多项式)x (N 4来近似cosx 而计算在x=0.048的值。

现如果我们要计算cos0.575怎样算？由于0.575靠近表尾，显然用后面的节点作插值节点比较合理。

为了也能象Newton 前插公式那样具有承袭性，为此我们再介绍Newton 后插公式。

在Newton 插值公式中，我们已经看到节点的大小顺序是不作要求，现对节点按如下次序011n n x ,x ,,x ,x -作插值，显然：
)x x )(x x ](x ,x ,x [f )x x ](x ,x [f )x (f )x (N 1n n 2n 1n n n 1n n n n ------+-+=
+…+)x x ()x x )(x x ](x ,x ,,x ,x [f 11n n 011n n -----
（3—9）
由于 h
)
x (f ]x ,x [f ]x ,x [f 1n n 1n 1n n ---∆=
=
2
2n 2n 1n 2n 2n 1n n h
!2)x (f ]x ,x ,x [f ]x ,x ,x [f -----∆==
……
n 0n 011n n h !n )x (f ]x ,x ,,x ,x [f ∆=-
令 th x x n +=，即h
x x t n
-=
上面的（3—9）化为： )1n t ()1t (t !
n )x (f )1t (t !
2)
x (f t !
1)
x (f )x (f )th x (N )x (N 0n 2n 21n n n n n -++∆+
++∆+
∆+
=+=--
（3—10）
称公式（3—10）为Newton 后插公式。

其中用到的各阶差分就是差分表中最下一斜行上的各对应值。

误差)x (N )x (f )x (R n n -=)(f h )!
1n ()
n t ()1t (t )1n (1n ε+++=++ （这里假定f(x)有n+1阶
导数）。

现计算上例中的cos0.575，用后插公式：25.01
.0575
.06.0t =+-=
8384.0t !
1)x (f )x (f )575.0(N 561=∆+
=
83919.0)1t (t !2)x (f )575.0(N )575.0(N 4212=+∆+
=
83919.0)2t )(1t (t !
3)x (f )575.0(N )575.0(N 3323=++∆+
=
而真值cos0.575≈0.8391923
§5．Hermite 插值
·········
前面介绍的插值函数y(x)只满足插值条件（3—1）。

如果我们还知道f(x)在节点i x 的导数)r ,,1,0i (),x (f i ='，那么我们还希望插值函数y(x)满足)r ,,1,0i (),x (f )x (y i i ='='
定义：如果H(x)是满足插值条件（3—1）及)r ,,1,0i (),x (f )x (H i i ='='的次数不超过次n+r+1的多项式，那么我们称H(x)是Hermite 插值多项式。

(r ≤n)
性质：满足条件)n ,,1,0i ()x (f )x (H i i ==
)r ,,1,0i ()
x (f )x (H i i ='='
的次数不超过n+r+1次的多项式存在且唯一。

证明：存在性可由下面的构造法给出。

下证唯一性：设)x (H *也是满足上面二条件的Hermite 插值多项式，则多项式)x (H )x (H *-最多是n+r+1次多项式，但由于r 0x ,,x 至少是)x (H )x (H *-=0的二重根n 1r x ,,x +至少是它的一重根，即)x (H )x (H *-=0至少有n+r+2个根。

从而可知：)x (H )x (H *-≡0，即)x (H )x (H *≡
下面给出Hermite 插值多项式的求法（同时也说明了存在），采用的方法类似于Lagange 基函数法。

令 ∑∑=='+=
n 0
j r
j j
j
j
j
)x (f )x (h )x (f )x (h )x (H
如果)x (h j 满足：n ,,2,1,0k j
k 0
j k 1
)x (h k j =⎩⎨
⎧≠== （3—11）
0)x (h k j ='
k=0,1,2,…r (3—12)
j=0,1,…,n
)x (h j 应满足：0)x (h k j =
k=0,1,2,…,n (3—13)
1()0
j k k j h x k j
=⎧'=⎨
≠⎩ （3—14）
k ,j=0,1,…,r
且)x (h j 及)x (h j 都是次数不超过n+r+1的多项式，则H(x)即为所求的Hermite 插值多项式。

令： )x x ()x x )(x x ()x (n 101n ---=π+
)x x ()x x )(x x ()x (r 101r ---=π+
则：当r j 0≤≤时，由于要求)x (h j 满足：在r 10x ,,x ,x 中除j x 外都有：0)x (h k j = 且0)x (h k j ='，故)x (h j 必有因式2r 21j 21j 2120)x x ()x x ()x x ()x x ()x x (-----+- 又因在点n 1r x ,,x +，有0)x (h k j =，(k=r+1,…,n)，故)x (h j 必有因式
)x x ()x x (n 1r --+ 这样
2
01
()()()()r n
j i i j i i r i j
h x x x x x t x ==+≠=-⋅-∏∏
由)x (h j 是不超过n+r+1次的多项式，从而)x (t j 最多是一次多项式。

为便于表达， 令：)
x ()x x ()
x ()x (l j 1n j 1n jn ++π'-π=
j=0,1,…,n
)
x ()x x ()x ()x (l j 1r j 1r jr ++π'-π=
j=0,1,…,r
则有：)x (l )x (l )x ()x (h jr jn j j ⋅τ=，这里)x (j τ是一次多项式，不妨设为()j x ax b τ=+。

由于：1)x (h j j =，而1)x (l )x (l j jr j jn ==，这样：1)x (j j =τ。

从而()1()j j x a x x τ=+-
又因0)x (h j j ='，即：0)x (l )x (l )x (j jr j jn j j ='+'+τ'，即(()())j n j j r j a l x l x ''=-+
从而得：)]x (l )x (l )[x x (1)x (j jr j jn j j '+'--=τ
如果j >r ，即j=r+1,…，n 时，由条件（3－11），（3－12）知：)x (h j 有因式：
)x x ()x x )(x x ()x x ()x x ()x x ()x x (n 1j 1j 1r 2r 2120-------+-+
而此因式已经是n+r+1次多项式，故
)x x ()x x (a
)x (h i
n
j
i 1
r i 2i
r
i j -⋅-=∏∏≠+==
由1)x (h j j =得：)
x x
()x x
(1
a i j
n
j
i 1r i 2
i j
r
i --=
∏∏≠+==
故：)
x ()x ()
x (l )x (h j 1r 1r jn j ++π'π=
(j=r+1,…,n) (3—15)
对),x (h j 由条件（3—13）和（3—14）得：
a )x x ()x x ()x (h i
r
j
i 0i i
n 0
i j ⋅-⋅-=
∏∏≠==
(j=0,1,…，r)
故：)x x ()x x ()x x (a )x (h i
r
j
i 0
i i n j i 0i j j -⋅
⎥⎥⎥
⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⋅-=∏∏≠=≠=
因：1)x (h j j ='，故：)x x
()x x (a )x (h i j
r
j
i 0
i i j n j i 0i j j -⋅
⎥⎥⎥
⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-='∏∏≠=≠==1
故：)x (l )x (l )x x ()x (h jr jn j j -='，j=0,1,…,r
这样我们知道次数不超过n+r+1次的Hermite 插值多项式可写成：
()()()()()n r
j j j j j j H x h x f x x f x =='=+∑∑
这里 ⎪⎩
⎪
⎨⎧+=π'π⋅=τ=++n
,,1r j )
x ()
x (l r ,,1,0j )x (l )x (l )x ()x (h j 1r 1r jn jr jn j j
)x (l )x (l )x x ()x (h jr jn j j -=
（j=0,1,…,r ）
而 n ,,1,0j )
x ()x x ()x ()x (l j 1n j 1n jn =π'-π=
++
r ,,1,0j )
x ()x x ()
x ()x (l j 1r j 1r jr ='
π-π=
++
r ,,1,0j )]
x (l )x (l )[x x (1)x (j jr j jn j j ='+'--=τ
用Hermite 插值多项式去替代f(x)产生的误差为：R(x)=f(x)-H(x)。

如f(x)在(a,b)中有n+r+2阶导数时，误差可写成如下形式
)(f )!
2r n ()x ()x ()x (R )2r n (1r 1n ε++ππ=
++++ 其中ε∈（a,b ）
其证明方法与Lagrange 插值多项式的误差证明类似。

下面给出简单说明：
对任意固定的x ∈[a,b]，令λ是使下式成立的值：
f(x)-H(x)=)x ()x (1r 1n ++πλπ
现令
F(t)= f(t)－H(t)－)t ()t (1r 1n ++πλπ
则显然F(t)在[a,b]中至少有n+r+3个零点（包括重数）。

反复应用Roller 定理知：)
t (F )2r n (++在（a,b ）中至少有一个零点记为ε，则)(F )
2r n (ε++=0，从而得出：)!
2r n ()(f )2r n (++ε=
λ++,这样
就得到)x ()x ()!
2r n ()(f )x (R 1r 1n )2r n (++++ππ++ε=
§6．插值多项式的收敛性稳定性与分段插值
对于给定在区间[a,b]上性态很好的函数f(x)，人们自然希望插值节点越多，插值的效果
就越好，特别当n →∞时，期望插值多项式)x (L n 收敛于f(x)。

但愦憾的是情况并不是这样的，即便f(x)具有很好的特性。

如f(x)有任意阶导数时，也并不一定有
)n (),x (f )x (L n ∞→→。

尽管当插值节点增加时，有更多点的函数值与f(x)相等，但对
两节点间的x ，n L (x)与f(x)可能不能很好地近似。

例：下面分别是 ：2
1
()1
f x x =
+对区间[-5，5]， 2()x f x e x =+对区间[-0.5，0.5]，作22等分，其分点作为节点，作不超过22次的Lagrange 插值多项式22()L x 。

在非节点处插值函数所得值与准确值结果对比如下: 2
1
()1
f x x =
+ 2()x f x e x =+ x 22()L x ()f x -4.7727 94.1287 0.0421
-4.3182 -5.2034 0.0509
-3.8636 0.8546 0.0628
-3.4091 -0.0824 0.0792
-2.9545 0.1474 0.1028
-2.5000 0.1219 0.1379
-2.0455 0.2001 0.1929
-1.5909 0.2792 0.2832
-1.1364 0.4390 0.4364
-0.6818 0.6809 0.6827
-0.2273 0.9515 0.9509
0.2273 0.9516 0.9509
0.6818 0.6809 0.6827
1.1364 0.4390 0.4364
1.5909 0.2792 0.2832
2.0455 0.2002 0.1929
2.5000 0.1217 0.1379
2.9545 0.1482 0.1028
3.4091 -0.0868 0.0792
3.8636 0.8936 0.0628
4.3182 -6.1226 0.0509
4.7727 80.8623 0.0421
我们可以发现：在插值区间中间部分误差较小，在靠近区间端点部分误差很大。

这不是偶然现象。

由于Runge 发现并举过这方面的例子，我们称这种现象为Runge 现象。

这就告诉我们：并不是所有的函数都可通过增加节点（从而将提高插值多项式的次数）来无限逼近。

同时，如果用Lagrange 插值法来做的话，随着插值多项式次数的提高，方法越来越不稳定。

如果用差分方法去做的话，由于舍入等误差在高阶差分中的传播以极快的速度增加，无法控制，故在使用高阶差分或高价插值时要特别小心。

下面图(a)为21
()1
f x x =
+与其相应的插值函数22()L x 的比较图，图(b)为2()x f x e x =+与其相应的插值函数22()L x 的差即2122()()x f x e x L x =+-的图形。

图(a)
图(b)
由于用高次插值并不一定能很好地逼近f(x)，且高次会使计算不稳定，故一种很自然的想法，将区间[a,b]划分为若干个子区间，在每上子区间上采用低次插值多项式去近似被插值函数f(x)，即所谓的分段低次插值。

较常用的有：分段线性插值以及分段的三次Hermite 插值。

一、分段线性插值
设已知点a=b x x x n 10=<<< 上的函数值)x (f ,),x (f ),x (f n 10 ，如果)x (y n 满足：
（1）)x (y n 在[a,b]上连续 （2）)x (f )x (y i i n =
(i=0,1,…,n)
（3）)x (y n 在每个子区间[1i i x ,x +]（i=0,1,…,n-1）上是线性函数，则称)x (y n 为分 段线性插值函数。

因y n (x)在[1i i x ,x +]是线性函数，故
]x ,x [x ),x (f x x x x )x (f x x x x )x (y 1i i 1i i
1i i i 1
i i 1i n +++++∈--+
--=
若f(x)具有二阶的连续导数，则可由线性插值误差公式得：当]x ,x [x 1i i +∈时 )x x )(x x (!
2)(f )x (y )x (f 1i i n +--ε''=
-,令|)x (f |max M b
x a 2''=≤≤从而知：
|)x x )(x x (|!2M |)x (y )x (f |1i i 2n +--≤
-
2i 1i 2)x x (4
12
M -⋅≤
+
这样，当区间加密时，0)x x (max i 1i i
→-+时，)x (f )x (y n →
定理：设f(x)在[a,b]上具有二阶连续导数，i x 为插值节点(i=0,1,…，n)，且：
b x x x a n 10=<<<= ，)x (y n 是f(x)的分段线性插值函数，)x x (max h i 1i 1
n i 0-=+-≤≤，
则当h →0时，y n (x)→f(x)
注：本定理中条件f(x)，在[a,b]上具有二阶连续导数可放宽至f(x)在[a,b]上连续，定理仍成立，并且)x (f )x (y n →是一致收敛。

二、分段三次Hermite 插值
分段的线性插值函数)x (y n 尽管具有收敛性，但)x (y n 本身在插值节点处一般是不可导的。

如果我们要求插值函数还具有连续的导数，且满足在节点处的导数与被插值函数在
节点的导数相等，我们可以用分段三次Hermite 插值函数)x (H n ，即它满足如下条件：
(1) )x (H n 在[a,b]上具有一阶连续的导数。

(2) )x (H i n =)x (f i ，)x (f )x (H i i n '='（i=0,1,2,…,n ） (3) 在每一区间段]x ,x [1i x +上，)x (H n 是一个三次多项式。

由于)x (H n 在]x ,x [1i x +上是满足：)x (H i n =)x (f i ，)x (H 1i n +=)x (f 1i +
)x (H i n '=)x (f i '，)x (H 1i n +'=)x (f 1i +'
的三次多项式，从而易得当]x ,x [x 1i i +∈时，
22
1111111()(12)()(12
)()i i i i n i i i i i i i i i i x x x x x x x x H x f x f x x x x x x x x x +++++++⎛⎫⎛⎫----=-+- ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭
+2
2
11111()()()()i i i i
i i i i i i x x x x x x f x x x f x x x x x +++++⎛⎫⎛⎫
--''-+- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭
如果f(x)在[a,b]上具有四阶的连续导数，记|)x (f (|max M )4(b
x a 4≤≤=，则分段三次
Hermite 插值函数替代f(x)产生的误差可表示为：
21i 2i )4(n )x x ()x x (!4|
)(f |)x (H )x (f +--ε≤
-
]x ,x [x )x x (4
1!4M 1i i 4
i 1i 4++∈-≤
记 |x x |max h i 1i 1
n j 0-=+-≤≤，则：
44n h 4
1!
4M |)x (H )x (f |⋅
≤
-
这样当区间加密时，当0)x x (max i 1i 1
n i 0→-+-≤≤时,)x (f )x (H n →
定理：设f(x)在[a,b]上具有四阶连续导数，i x 为插值节点(i=0,1,…,n),且
b x x x a n 10=<<<= ,)x (H n 是f(x)的分段三次Hermite 插值函数，
)x x (max h i 1i 1
n i 0-=+-≤≤，则当h →0时, )x (H n →f(x)
注：本定理中条件f(x)在[a,b]上具有四阶连续导数可加宽为f(x)在[a,b]上具一阶连续导数，并且实际上)x (f )x (y n →还是一致收敛。

§7．三次样条插值
上面介绍的分段低次插值有很好的收敛性质，而且在每个小区间上只是一个低阶的多项式，但光滑性不够理想，如分段线性插值函数)x (y n 在节点不可导，从)x (y n 的几何图形上看，在节点处构成一个角，不光滑。

分段三次的插值函数)x (H n 在节点处可导，但一般难保证在节点处具有二阶导数，这样其光滑性不够理想。

在实际问题中有时对光滑性要求很高，如在飞机、船舶、汽车等外形设计中，要求外形曲线呈流线型，即要求曲线很光滑。

如果用分段线性插值或分段三次Hermite 插值函数构成的曲线作为其替代曲线很难满足其相当光滑的要求，为此我们介绍三次样条函数和三次样条插值。

定义：如果函数S(x)在[a ，b]区间满足： (1) S (x)在[a ，b]上具有二阶连续导数。

(2) 对［a ，b ］上的划分b x x x a n 10=<<<= ,S(x)在每一个区间]x ,x [1i i +上， S(x)是一个不高于３次的多项式，(i=0,1,…,n-1)。

则我们称S(x)是关于划分b x x x a n 10=<<<= 的一个三次样条函数。

定义：对f(x)及区间[a,b]的划分：b x x x a n 10=<<<= ，若对此划分的一个三次样条函数S(x)满足：
)x (f )x (S i i =
（i=0,1,…,n ）
则称：S(x)为关于划分b x x x a n 10=<<<= 的一个三次样条插值函数。

至于三次样条插值函数是否存在，下面给出的构造方法就就说明其存在，但不唯一。

如果再增加二个或三个（针对f(x)是周期函数）限制条件，就可得到三次样条插值函数S(x)是唯一的。

一般此限制条件在端点提出，即所谓的
（１）第一边界条件：)b (f )b (S ),a (f )a (S '=''='
（２）第二边界条件：)b (f )b (S ),a (f )a (S ''=''''=''。

特别0)b (S ,0)a (S =''=''称为
自然边界条件。

（3）第三边界条件（周期条件）：当f(x)是以b-a 为周期函数时，再增加边界条件：
2,1,0k )
0b (S )0a (S )k ()k (=-=+
三次样条的表达式的方法及计算式
由于三次样条插值函数S(x)在每一个区间段1i i x ,x [+］上是三次多项式，Ｓ(x)在[a ，b]上具有二阶连续导数，只要保证它在节点处S(x)，)x (S '及)x (S ''连续即可。

（１） 系数用节点处的二阶导数表示的三次样条插值函数
设在i 1i x ,x [-］上S(x)=)x (S i ,(i=1,2,…,n)，假定S(x)在i x 处的二阶导数为i M ，则有：
i i i 1i 1i i M )x (S ,M )x (S =''=''--
由于)x (S i 在i 1i x ,x [-］上是三次多项式，故：)x (S i ''在i 1i x ,x [-］上是一次多项式，这样：
i 1
i i 1i 1i i
1i i i M x x x x M x x x x )x (S ------+
--=
''
令i i 1i i i y )x (f ,x x h =-=-，对上式连积两次得
21i
3
1i i
i
3
i 1
i i C x C h 6)x x (M h 6)x x (M )x (S ++-+-=--
由)x (f )x (S ),x (f )x (S 1i 1i i i i i --==得：
)M M (6
h h y y C i 1i i i
1
i i 1-+
-=
--
)x M x M (6
h h x y x y C i 1i 1i i i i
1
i i i 1i 2-----+
-=
从而得到：
i
i 2
i 1i 1i i
3
1i i
i 3
i 1
i i h x x )
h 6
M y (h 6)x x (M h 6)x x (M )x (S --
+-+-=----
+i
1
i 2
i i i h x x )
h 6
M y (---
（i=1,…,n ）
(3—16)
为了求出S(x)，现只要把系数n 10M ,,M ,M 求出即可。

由于S(x)在节点处应该可导，也即：)1n ,,1i (),0x (S )0x (S i 1i i i -=+'=-'+ ，这样可得到i M 间的关系。

由于 i i
1i i
1i i i i 2
1i 1i i
2
i i h 6
M M h 1)
y y (M h 2)x x (M h 2)x x ()x (S -+
-+-+
--
='----
从而 i 1
i i i i
1i i i i i h y y h 6
M M h 2
M )0x (S ---+
-+=
-'
1
i i
1i 1i 1
i i 1i i i 1i h y y h 6
M M h 2
M )0x (S ++++++-+
-+
-=+'
由)0x (S )0x (S i i i 1i -=+'+可得：
i
1
i i 1
i i
1i 1i 1i i 1
i i 1i i h y y h y y M 6h M 3
h h M 6
h -+++++---
-=
+
++
（3—17）
令,h h h 1,h h h 1
i i i
i i 1
i i 1i i ++++=
λ-=μ+=
λ
]x ,x ,x [f 6h y y h y y h h 6d 1i i 1i i 1
i i 1i i 1i 1
i i i +--+++=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛---+=
（i=1,2,…,n-1） (3—18) 则上式（3—17）可化为：
i 1i i i 1i i d M M 2M =λ++μ+-（i=1,2,…,n-1）
（3—19）
共可得到n-1个等式，而未知系数i M 共有n+1个。

为了唯一确定i M ，一般还须增加端点条件：如第一边界条件,第二边界条件,第三边界条件,则可得唯一解0M ,1M ,…，n M 。

如果是第一边界条件，即：)x (f )x (S ),x (f )x (S n n 00'=''='
则因：)M M (6h h y y 2
h M )x (S 1011
11001
-+
-+
-=' 由： 0001y )x (f )x (S '='='得：1
010
11
010
h )y y (y h 6
M M 2
h M -'=-+
-
即：⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛'--=
+010
1110y h y y h 6M M 2 （3—20）
同理：由n n n 1y )x (f )x (S '='='得⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛--'=
+--n 1
n n n n n 1n h y y y h 6M 2M （3—21）
这样得到了M i 间的关系式：（3—19），（3—20），（3—21）。

将它们写成矩阵形式，得：
⎥
⎥
⎥
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
⎡μλλμλμλ-2222n 1n 2
21
10
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡n 210M M M M =012n d d d d ⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
（3—22）
其中：⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛--'=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛'--==μ=λ-n 1
n n n n n 010110n 0h y y y h 6d ,y h y y h 6d ,1 即： ])x x [f y (hn
6d ),y ]x x [f (h 6d n 1n n n 0101
0⋅-'=
'-⋅=
-
其它i i i d ,,μλ满足关系（3—18）
如果是第二边界条件，即n
n n 000y )x (f )x (S ,y )x (f )x (S ''=''=''''=''='' 即n
n 00y M ,y M ''=''=，再加上条件（3—19），也可写成（3—22）的形式，此时： 000y 2d ,0''==λ；n
n n y 2d ,0''==μ。

不管是第一边界条件还是第二边界条件，i M 间关系（i=0,1,…,n ）都可统一写成：
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
⎡μλλμλμλ-2222n 1n 2
21
10
012n M M M M ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ =012n d d d d ⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢
⎥⎣⎦ （3—23）
其中：0
0010100y )1(2)y ]x ,x [f (h 6d ''λ-+'-λ=
n
n n 1n n n
n n y )1(2])x ,x [f y (h 6d ''μ-+-'μ=-
]x ,x ,x [f 6d 1i i 1i i +-=
（i=1,2,…,n-1）
当第一边界条件时，1n 0=μ=λ，第二边界条件时，0n 0=μ=λ。

如果由第三边界条件：即,M M ),x (S )x (S 0n n 0='='及n 0y y = 得：])x ,x [f ]x ,x [f (h h 6M M 2M n 1n 10n
11001n 0---+=
λ++μ
n
1n 00n
110h h h 1,h h h +=
λ-=μ+=
λ （3—24）
这样得到1n 10M ,,M ,M - 的关系为：
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡μλλλμμλ---222
2n 1n 2n 1100 ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-1n 10M M M =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-1n 10d d d
其中：])x ,x [f ]x ,x [f (h h 6d n 1n 10n
10--+=
（3—25）
00n
1101,h h h λ-=μ+=
λ
1
111
,1,6[,,],1,,1i i i i i i i i i i h d f x x x i n h h λμλ+-++=
=-==-+
（2）系数用节点处的一阶导数表示的三次样条插值函数
设n ,,2,1,0i ,m )x (S i i =='，则易知S(x)实际就是分段三次的Hermite 插值函数，在区间i 1i x ,x [-]上的三次多项式为
)x (f )x x )](x x (2h [h 1)x (S 1i 2i 1i i 3i i ----+=
+)x (f )x x )](x x (2h [h 1i 21i i i 3i
----
1i 2i 1i 2
i m )x x )(x x (h 1----+
+
i 21i i 2
i m )x x )(x x (h 1---
(3—26)
)x (f )]x x (2h [h 6)x (f )]x x (2h [h 6)x (S i 1i i 3i
1i i i 3i
i ----+
-+=
''
+
i i 1i 2
i 1i i i 2
i m ]h 2)x x (6[h 1m ]h 2)x x (6[h 1
--++---
由二阶导函数的连续性知：)0x (S )0x (S i 1i i i +''=-''+得：
1i 1
i i 1i 1i 21
i i 21
i i i
1i i
i 2
i 1i 2
i m h 2m h 4y h 6y h 6m h 4m h 2y h 6y h 6++++++---
-
+-=+
+
-
即：]x ,x [f h 6]x ,x [f h 6m h 2m h h )h h (4m h 21i i 1
i i 1i i
1i 1
i i i
1i i 1i 1i i
++-++++-+=+++
令：i
1i i i i i
1i 1i i h h h 1,h h h +=
λ-=μ+=
λ+++
这样得到：
])x ,x [f ]x ,x [f (3m m 2m 1i i i 11i i 1i i i 1i i +-+-μ+λ=μ++λ（i=1,…,n ）。

为了唯一确定n+1个系数n 10m ,,m ,m 仍需给定端点条件。

如果是第一边界条件，即
n n 00y m ,y m '='=
可写成：⎩⎨⎧=λ=μ'=+λ'=μ+0,y 2m m y 2m m 2n 0n n n n 0
100
如果是第二边界条件：n
n 00y )x (S ,y )x (S ''=''''='' 这相当于给定了如下两个方程：
)y 6
h ]x ,x [f (3m m 2011010''-
=+ )y 6h ]x ,x [f (3m 2m n
n n 1n n 1n ''+
=+-- 不管那一种边界条件情况，n 10m ,,m ,m 满足的关系都可写成：
⎥⎥
⎥
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
⎡λλλμλμλμ--22222
n 2n 1n 2
21
10
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-n 1n 10m m m m =⎥
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-n 1n 10C C C C
其中：00011000y )1(2)y 6
h ]x ,x [f (3C 'μ-+''-μ=
n n n
n n 1n n n y )1(2)y 6
h ]x ,x [f (3C 'λ-+''+
λ=- )n ,,1i (]},x ,x [f ]x ,x [f {3C 1i i i i 1i i i =μ+λ=+-
)1n ,,1i (,h h h 1,h h h i
1i i i i i
1i 1i i -=+=
λ-=μ+=
λ+++
当第一边界条件时，0n 0=λ=μ，在第二边界条件时1n 0=λ=μ 如果边界条件是第三类：（则有)x (S )x (S ,m m ),x (f )x (f n 0n 0n n ''=''== 这样的1n 10m ,,m ,m - 关系为
⎥⎥⎥⎥
⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡λμμμλμλλμ---2222
2n 1n 2n 221100
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-1n 10m m m =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-1n 10C C C
其中 1
n n 001
n 10h h h 1,h h h +=
λ-=μ+=
λ
]}x ,x [f ]x ,x [f {3C 100n 1n 00μ+λ=- (3—27)
i
1i i i i i
1i 1i i h h h 1,h h h +=
λ-=μ+=
λ+++
]}x ,x [f ]x ,x [f {3C 1i i i i 1i i i +-μ+λ=
（i=1,2,…,n-1）
例：确定三次自然样条插值函数S(x),它在节点i x （i=0,1,2,3,4）满足如下插值条件，其中：
i x 0.25 0.30 0.39 0.45 0.53 i f
0.500
0.5477
0.6245
0.6708
0.7280
解：1h =0.05 2h =0.09 3h =0.06 4h =0.08
由1
1
,1i i i i i i h h h λμλ++=
=-+ 可得： 1491=λ， 225λ= ， 743=λ
14
51=
μ ， 5
32=
μ， 33
7
μ=
]x ,x [f 10=0.9540 ]x ,x [f 21=0.8533 ]x ,x [f 32=0.7717 ]x ,x [f 43=0.7150 3157.4]x ,x ,x [f 6d 2101-== 264.3]x ,x ,x [f 6d 3212-==
430.2]x ,x ,x [f 6d 4323==
从而得：
4300
.2M 7
4M 2M 7
32640.3M 52M 2M 5
33157.4M 14
9M 2M 14
54323
212
10-=+
+-=+
+-=+
+ 因自然边界是条件为0M M 40==,解得：1M =-1.8806,2M =-0.8266,3M =-1.0261 从而可由（7—1）写出：
323322(0.25)0.3 1.88060.251.88060.5(0.54770.05),[0.25,0.30]60.050.0560.05(0.39)(0.30) 1.88060.390.82661.8806(0.8266)(0.54770.09)(0.62450.09)60.0960.0960.096()x x x x x x x x S x -----⨯+⨯+-⨯∈⨯-------⨯+-⨯+-⨯⨯+-⨯⨯⨯=33
223
20.30,[0.30,0.39]0.09(0.45)(0.39)0.82660.45 1.02610.390.8266(1.0261)(0.62450.06)(0.67080.06),[0.39,0.45]60.0660.0660.0660.06(0.53) 1.02611.0261(0.67080.0860.086x x x x x x x ∈-------⨯+-⨯+-⨯⨯+-⨯∈⨯⨯---⨯+-⨯⨯0.530.45)0.7280,[0.45,0.53]0.080.08x x x ⎧⎪⎪
⎪
⎪⎪⎨⎪⎪⎪--⎪+⨯∈⎪⎩
它是分段函数，但具有二阶连续的导数。

对于大型问题，三对角方程组可由后面介绍的追赶法解。

（三）三次样条插值函数的收敛性
三次样条插值函数S(x)具有很好的收敛性，不仅S(x)可收敛于f(x)，且其导函数
)x (S ),x (S '''，也有这样的性质。

定理：设被插函数f(x)在[a ，b]上具有四阶的连续导数，S(x)为相应于第一边界条件或第二边界条件的三次样条插值函数，则在[a ，b]上成立余项估计式：
|)x (f |max h C |)x (S )x (f |max )4(b
x a i 4i )i ()i (b
x a ≤≤-≤≤≤- （i=0,1,2）
其中2
1C C ,384
24C ),x x (max h 210i 1i 1
n i 0=
==
-=+-≤≤
（证明略）。

习题三
1
2
试分别用线性插值与二次插值计算Ln11.75的近似值，并估计截断误差。

3．给出函数表：。