苏教版高中数学必修二课时37直线与圆的复习课2

高中数学学习材料（灿若寒星精心整理制作）课时37 直线与圆的复习课（2）【课标展示】1、熟练掌握用待定系数法求圆的方程；2、能应用直线与圆的相关知识解决一些综合问题。

【要点归纳】1、圆的标准方程为，圆心坐标为；半径为圆的一般方程为，圆心坐标为；半径为2、直线与圆的位置关系为判断方法有两种方法（1）代数法（2）几何法3、圆与圆有五种位置关系即其判断方法有两种：（1）代数式法（2）几何法4、经过两圆交点的圆系方程为【典例探究】例1 已知△ABC的三个项点坐标分别是A（4，1），B（6，－3），C（－3，0），求△ABC 外接圆的方程。

例2 已知与曲线C ：012222=+--+y x y x 相切的直线l 交y x ,的正半轴与B A 、两点，O 为原点，OA =a ，b OB =，)2,2(>>b a ． （1）求线段AB 中点的轨迹方程； （2）求ab 的最小值．例3 已知直线l :y=k(x +22)与圆O ：x 2+y 2=4相交于A 、B 两点，O 是坐标原点，三角形ABO 的面积为S ．（1）试将S 表示成k 的函数，并求出它的定义域； （2）求S 的最大值，并求取得最大值时k 的值【课时作业37】1．若直线y x b =+与曲线21x y =-恰有一个交点，则实数b 的取值范围是 . 2.已知点P 在xoy 平面内,点A 的坐标为(0,0,4),5PA =,则满足此条件的点P 组成的曲线是 .3.圆2244100x y x y +---=上的点到直线140x y +-=的最大距离与最小距离的差是 .4.圆心为(11)，且与直线4x y +=相切的圆的方程 .5.半径为25，且与直线:260l x y +-=切于点(1,4)T 的圆的方程是 .6. 实数x,y 满足2x 4y ,01y 2x 2y x 22--=+--+则的取值范围为 . 7. 如图，直角三角形ABC 的顶点坐标(20)A -，，直角顶点(0,22)B -，顶点C 在x 轴上， （Ⅰ）求BC 边所在直线方程；（Ⅱ）M 为直角三角形ABC 外接圆的圆心，求圆M 的方程.yxPOCBA8. 设圆上的点(2,3)A 关于直线20x y +=的对称点仍在圆上，且与直线10x y -+=相交的弦长为22，求圆的方程.9．（探究创新题）已知圆心坐标为)1,3(M 的圆M 与x 轴及直线x y 3=均相切，切点分别为A 、B ，另一圆N 与圆M 、x 轴及直线x y 3=均相切，切点分别为C 、D ．（1）求圆M 和圆N 的方程；（2）过点B 作直线MN 的平行线l ，求直线l 被圆N 截得的弦的长度．10．在平面直角坐标系xOy 中，记二次函数2()2f x x x b =++（x ∈R ）与两坐标轴有三个交点．经过三个交点的圆记为C ． （1）求实数b 的取值范围； （2）求圆C 的方程；（3）问圆C 是否经过定点（其坐标与b 的无关）？请证明你的结论．【疑点反馈】（通过本课时的学习、作业之后，还有哪些没有搞懂的知识，请记录下来）课时37 直线与圆的复习课（2）例1 分析：如果设圆的标准方程222()()x a y b r -+-=，将三个顶点坐标分别代入，即可确定出三个独立参数a ，b ，r ，写出圆的标准方程；如果注意到△ABC 外接圆的圆心是△ABC 三边垂直平分线的交点，由此可求圆心坐标和半径，也可以写出圆的标准方程。

解法一：设所求圆的方程是222()()x a y b r -+-= ①因为A （4，1），B （6，－3），C （－3，0）都在圆上， 所以它们的坐标都满足方程①，于是222222222(4)(1),(6)(3),(3)(0).a b r a b r a b r ⎧-+-=⎪-+--=⎨⎪--+-=⎩可解得21,3,25.a b r =⎧⎪=-⎨⎪=⎩ 所以△ABC 的外接圆的方程是22(1)(3)25x y -++=。

解法二：因为△ABC 外接圆的圆心既在AB 的垂直平分线上，也在BC 的垂直平分线上，所以先求AB 、BC 的垂直平分线方程，求得的交点坐标就是圆心坐标。

∵31264AB k --==--，0(3)1363BC k --==---，线段AB 的中点为（5，－1），线段BC 的中点为33(,)22-，∴AB的垂直平分线方程为11(5)2y x +=-，①BC 的垂直平分线方程333()22y x +=- ②解由①②联立的方程组可得1,3.x y =⎧⎨=-⎩∴△ABC 外接圆的圆心为Ｅ（1，－3）， 半径22||(41)(13)5r AE ==-++=。

故△ABC 外接圆的方程是22(1)(3)25x y -++=．点评：解法一用的是“待定系数法”，解法二利用了圆的几何性质。

“待定系数法”是求圆的方程的常用方法．一般地，在选用圆的方程形式时，若问题涉及圆心和半径，则选用标准方程比较方便，否则选用一般方程方便些。

例 2 [解析]：（1）设AB 的中点为P(x ,y) ,圆C 的方程化简为：1),1,1(,1)1()1(22=∴-+-r C y x又直线l 的方程为：)2,2(0,1>>=-+=+b a ab ay bx bya x 即，相切与圆C l ， ExyOCBA0222)(1222222222=--+⇒-+=+⇒=+-+=∴→ab b a ab b a ab b a b a b a ab b a d l C 2,2>>b a22222)2(0222--=⇒-=-⇒=--+⇒a a b a b a b a ab ①，又∵P 是AB 的中点，2,2b y a x ==∴ y b x a 2,2==⇒，代入①得)1(2212>--=x x x y ，即线段AB 中点的轨迹方程为；)1(2212>--=x x x y ． （2）624)2(224)2(6)2(22222)1(222+-+-=-+-+-=--=--=a a a a a a a a a a a ab ，02>-a2424)2(2≥-+-∴a a ，246+≥∴ab .∴246+的最小值为ab 例3 [解析]：(1)22222114)122(42122,022:k k k kAB k kd k y kx l l O +-=+-=∴+=∴=+-→ 2221)1(2421k k k d AB S l O +-=⋅=∴→，定义域：01120≠<<-⇒<<→k k d l O 且．（2）设23)2)(1()1(),1(12222-+-=--=-≥=+t t t t k k t t k 则81)431(224231242324222+--=-+-=-+-⋅=∴t t t t t t S ，222124,3334,431max =⋅=±===∴S k t t 时，即当，∴S 的最大值为2，取得最大值时k=33±【课时作业37】 1、-1＜b ≤1或2b =2、以（0，0，0）为圆心，3为半径的圆3、624、22(1)(1)2x y -+-=5、22(3)(2)20x y ++-=或22(5)(6)20x y -+-= 6、4[,)3+∞ 7、解：（1）222AB BC k k =-∴=从而直线BC 所在的直线方程为 240x y --=（2）由（1）得C （4，0），所以圆M 的圆心M （1，0），半径为3 所以圆M 的方程为22(1)9x y -+=8、解：设所求圆的圆心为（a ，b ），半径为r ，因为点A 关于直线20x y +=的对称点仍在圆上，所以圆心在直线20x y +=上，从而 2a b =- ① 又因(2,3)A 在圆上，所以222(2)(3)a b r -+-= ② 又因为圆与直线10x y -+=相交的弦长为22 ，所以22|1|2()2a b r -+=+ ③解①②③得26,3,52a b r ==-=或214,7,244a b r ==-=，故所求的圆方程为22(6)(3)52x y -++=或22(14)(7)244x y -++=9、解：（1）由题意得圆M 的方程为22(3)(1)1x y -+-=，圆N 的方程为22(33)(3)9x y -+-=（2）可求出33(,)22B ，又3113333MN k -==-，所以直线l 的方程为330x y -+=，从而直线l 被圆N 截得的弦的长度为3310、解：（Ⅰ）令x ＝0，得抛物线与y 轴交点是（0，b ）；令()220f x x x b =++=，由题意b ≠0 且Δ＞0，解得b ＜1 且b ≠0．（Ⅱ）设所求圆的一般方程为2x 20y Dx Ey F ++++=令y ＝0 得20x Dx F ++=这与22x x b ++＝0 是同一个方程，故D ＝2，F ＝b ． 令x ＝0 得2y Ey +＝0，此方程有一个根为b ，代入得出E ＝―b ―1． 所以圆C 的方程为222(1)0x y x b y b ++-++=. （Ⅲ）圆C 必过定点，证明如下：假设圆C 过定点0000(,)(,)x y x y b 不依赖于 ，将该点的坐标代入圆C 的方程，并变形为22000002(1)0x y x y b y ++-+-= （*）为使（*）式对所有满足1(0)b b <≠的b 都成立，必须有010y -=，结合（*）式得2200020x y x y ++-=，解得000002 11x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩，－，或，，经检验知，点(0,1),(2,0)-均在圆C 上，因此圆C 过定点。