2016_2017学年高中数学第一章立体几何初步1.4空间图形的基本关系与公理第二课时公理4与等角定理高效测评
高中数学第一章立体几何初步1.4空间图形的基本关系与公理1.4.1空间图形的基本关系与公理1公理3课
问题导学
当堂检测
1.公理 1 的应用 活动与探究 例 1 已知 a∥b,a∩c=A,b∩c=B,求证:a,b,c 三条直线在同一 平面内. 思路分析:依题意,可先证 a 与 b 确定一个平面,再证明 c 在这个平 面内,从而可证 a,b,c 在同一平面内. 证明:∵ a ∥b , ∴ a 与 b 确定一个平面 α, ∵ a∩c=A,∴ A∈a,从而 A∈α; ∵ b∩c=B,∴ B∈b,从而 B∈α. 于是 AB⫋α,即 c⫋α,故 a,b,c 三条直线在同一平面内.
若 A∈α,A∈β,且 α,β 不重 合,则 α∩β=l,且 A∈l
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预习引导
预习交流 3
公理 1 的三个推论是什么? 提示:推论 1:一条直线和直线外一点确定一个平面. 推论 2:两条相交直线确定一个平面. 推论 3:两条平行直线确定一个平面.
预习交流 4
公理 1 中的“有且只有一个”的含义是什么? 提示:“有”是说图形存在,“只有一个”是说图形唯一.“有且只有”强 调的是存在性和唯一性两个方面,确定一个平面中的“确定”是“有且只 有”的同义词,也是指存在性和唯一性这两个方面.
高中数学 第一章 立体几何初步 1234 空间图形的基本关系与公理导学案(无答案)北师大版必修2 学
4空间图形的基本关系与公理【教学目标】1.理解空间中点、线、面的位置关系；2.理解空间中平行直线、相交直线、异面直线、平行平面、相交平面等概念；3.掌握三个公理及推论，并能运用它们去解决有关问题；4.会用集合语言来描述点、直线和平面之间的关系以及图形的性质．【重点难点】掌握三个公理及推论，并能运用它们去解决有关问题【教法教具】以讲学稿为依托的探究式教学方法,多媒体教学【教学课时】 2课时【教学流程】自主学习（课前完成，含独学和质疑）1．空间点与直线的位置关系(1)如果点P在直线a，记作P∈a.(2)如果点P在直线a，记作P∉a.2．空间点与平面的位置关系(1)如果点P在平面α，记作P∈α.(2)如果点P在平面α，记作P∉α.3．空间两条直线的位置关系(1)平行直线：如果直线a和b在同一个平面内，但没有，这样的两条直线叫作平行直线，记作a∥b.(2)相交直线：如果直线a和b有且只有公共点P，这样的两条直线叫作相交直线，记作a∩b＝P.(3)异面直线：如果直线a和b不同在平面内，这样的两条直线叫作异面直线．4．空间直线与平面的位置关系(1)直线在平面内：如果直线a与平面α有个公共点，我们称直线a在平面α内，记作aα.(2)直线与平面相交：如果直线a与平面α有且只有公共点P，我们称直线a与平面α相交于点P，记作a∩α＝P.(3)直线与平面平行：如果直线a与平面α没有，我们称直线a与平面α平行，记作a∥α.5．空间平面与平面的位置关系(1)平行平面：如果平面α与平面β没有，我们称平面α与平面β是平行平面，记作α∥β.(2)相交平面：如果平面α和平面β不重合，但有，我们称平面α与平面β相交于直线l，记作α∩β＝l.6．公理1如果一条直线上的在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内(即直线在平面内)．7．公理2经过的三点，有且只有一个平面．或简单说成：不共线的三点确定一个平面．8．公理3如果两个的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线．9．公理2的推论推论1：经过一条直线和这条，有且只有一个平面；推论2：经过两条直线，有且只有一个平面；推论3：经过两条直线，有且只有一个平面．合作探究：（对学、群学）探究点一空间点、线、面的位置关系导引观察下面三个长方体回答下列问题．思考 1 观察长方体，你能发现长方体有多少个顶点？多少条棱？多少个面？棱所在的直线，以及侧面、底面之间的位置关系吗？例1 将下面用符号语言表示的关系用文字语言予以叙述，并用图形语言予以表示：α∩β＝l，A∈l，ABα，ACβ.跟踪训练1 根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相应的图形：(1)A∈α，B∉α；(2)lα，m∩α＝A，A∉l；(3)P∈l，P∉α；Q∈l，Q∈α.探究点二空间图形的公理思考1 实际生活中，我们有这样的经验：把一根直尺边缘上的任意两点放到桌面上，可以看到，直尺的整个边缘就落在了桌面上．从经验中我们能得到什么结论呢？思考2 如何用符号语言表示公理1？公理1有怎样的用途？思考3 生活中经常看到用三角架支撑照相机；测量员用三角架支撑测量用的平板仪；有的自行车后轮旁只安装一只撑脚．上述事实和类似经验可以归纳出平面怎样的性质？思考4 如何用符号语言表示公理2？公理2有怎样的用途？思考5 如图所示，直线BC外一点A和直线BC能确定一个平面吗？为什么？思考6 如图所示，两条相交直线能不能确定一个平面？为什么？思考7 如图所示，两条平行直线能不能确定一个平面？为什么？思考8 我们已经看到各种棱柱、棱锥的每两个相交的面之间的交线都是直线段，由此你能总结出怎样的结论？思考9 如何用符号语言表示公理3？公理3有怎样的用途？例2 已知a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C.求证：a，b，c和l共面．跟踪训练2 已知：如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求证：直线l1、l2、l3在同一平面内．探究点三共线问题例3 已知△ABC在平面α外，AB∩α＝P，AC∩α＝R，BC∩α＝Q，如图所示．求证：P、Q、R三点共线．跟踪训练3 如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E为AB的中点，F为AA1的中点．求证：CE、D1F、DA三线交于一点．【达标拓展】（检测、拓展）1．若A∈平面α，B∈平面α，C∈直线AB，则( )A．C∈αB．C αC．ABαD．AB∩α＝C2．平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为( )A．3 B．4 C．5 D．63．若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成________部分．4．如图，已知D，E是△ABC的边AC，BC上的点，平面α经过D，E两点，若直线AB与平面α的交点是P，则点P与直线DE的位置关系是________．【学后反思】【练案】一、基础过关1．下列图形中，不一定是平面图形的是( )A．三角形B．菱形C．梯形D．四边相等的四边形2．空间中，可以确定一个平面的条件是( )A．两条直线B．一点和一条直线C．一个三角形 D．三个点3．如图所示，用符号语言可表示为( )A．α∩β＝m，nα，m∩n＝AB．α∩β＝m，n∈α，m∩n＝AC．α∩β＝m，nα，A m，A nD．α∩β＝m，n∈α，A∈m，A∈n4．已知平面α与平面β、γ都相交，则这三个平面可能的交线有( ) A．1条或2条B．2条或3条C．1条或3条 D．1条或2条或3条5．给出以下命题：①和一条直线都相交的两条直线在同一平面内；②三条两两相交的直线在同一平面内；③有三个不同公共点的两个平面重合；④两两平行的三条直线确定三个平面．其中正确命题的个数是________．6．已知α∩β＝m，aα，bβ，a∩b＝A，则直线m与A的位置关系用集合符号表示为________．7.如图，梯形ABDC中，AB∥CD，AB>CD，S是直角梯形ABDC所在平面外一点，画出平面SBD和平面SAC的交线，并说明理由．二、能力提升8．空间不共线的四点，可以确定平面的个数是( )A．0B．1C．1或4D．无法确定9．空间中A，B，C，D，E五个点，已知A，B，C，D在同一平面内，B，D，C，E在同一平面内，那么这五点( )A．共面B．不一定共面C．不共面D．以上都不对10．已知α、β为平面，A、B、M、N为点，a为直线，下列推理错误的是________．①A∈a，A∈β，B∈a，B∈β⇒aβ；②M∈α，M∈β，N∈α，N∈β⇒α∩β＝MN；③A∈α，A∈β⇒α∩β＝A；④A、B、M∈α，A、B、M∈β，且A、B、M不共线⇒α、β重合．11.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，O1是A1C1与B1D1的交点，长方体体对角线A1C交截面AB1D1于点P.求证：O1，P，A三点在同一条直线上．12.已知a，b，c，d是两两相交且不共点的四条直线，求证：a，b，c，d共面．三、探究与拓展13.在四面体ABCD中，E，G分别为BC，AB的中点，F在CD上，H在AD上，且有DF∶FC＝DH∶HA＝2∶3.求证：EF，GH，BD交于一点．。
高中数学第一章立体几何初步1.4.1空间图形基本关系的认识1.4.2空间图形的公理一课件北师大版必修2
4．1 空间图形基本关系的认识 4．2 空间图形的公理(一)
•学习目标 1.理解空间中点、线、面的位置关系(重 点)；2.理解空间中平行直线、相交直线、异面直线、 平行平面、相交平面等概念(重点)；3.掌握三个公理 及推论，并能运用它们去解决有关问题(重、难 点)．
• 知识点一 点、线、面之间的位置关系 • 一些文字语言与数学符号的对应关系：
的位置关系 面面相交
α∥β α∩β＝a
异面直线 不同在 任何一个平面内 的两条直线，叫作异面直线
• 【预习评价】
• (1)若A∈a，a α，是否可以推出A∈α？
• 提示 根据直线在平面内定义可知，若A∈a，a α，则A∈α.
• (2)长方体的一个顶点与12条棱和6个面分别有哪 些位置关系？
• 提示 顶点与12条棱所在直线的关系是在棱上,或 不在棱上；顶点和6个面的关系是在面内，或在面 外．
•∴不共线的三个点A、B、C既在平面α内，又在平 面β内．
•∴平面α和β重合，即直线l1、l2、l3在同一平面内．
• 方向2 点共线问题
• 【例3-2】 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1 • 中，点M、N、E、F分别是棱CD、AB、
• DD1、AA1上的点，若MN与EF交于点Q， • 求证：D、A、Q三点共线．
•解析 与AC1异面的棱是A1B1，DC，BC，A1D1， BB1，DD1. •答案 C
考查 方向
题型三 平面性质的应用
• 方向1 共面问题
• 【例3-1】 已知：如图所示，l1∩l2＝A，
•
l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求证：直线l1、
• l2、l3在同一平面内．
• 证明 方法一 (纳入平面法)
高中数学 第一章 立体几何初步 1.4 空间图形的基本关系与公理 第一课时 空间图形基本关系的认识及
公理第一课时空间图形基本关系的认识及公理1、2、3高效测评北师大版必修2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2016-2017学年高中数学第一章立体几何初步1.4 空间图形的基本关系与公理第一课时空间图形基本关系的认识及公理1、2、3高效测评北师大版必修2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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系与公理第一课时空间图形基本关系的认识及公理1、2、3高效测评北师大版必修2一、选择题（每小题5分,共20分）1．下列说法正确的是（）A．三点确定一个平面B．四边形一定是平面图形C．梯形一定是平面图形D．平面α和平面β有不在同一条直线上的三个交点解析：不共线的三点可以确定一个平面，排除A;四边形可以是空间四边形，排除B；根据公理3可以知道D不正确，故选C。
答案: C2．在下列命题中，不是公理的是（）A．平行于同一个平面的两个平面相互平行B．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面C．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么他们有且只有一条过该点的公共直线解析: 公理是不用证明的，定理是要求证明的．选项A是面面平行的性质定理，是由公理推证出来的，而公理是不需要证明的．答案：A3．两个不重合的平面可把空间分成( ）A．3部分B．4部分C．3或4部分D．2或3部分解析：当两个平面平行时把空间分成3部分;当两个平面相交时把空间分成4部分．答案: C4．有下列说法:①梯形的四个顶点在同一平面内；②三条平行直线必共面；③有三个公共点的两个平面必重合；④平面外的一条直线和平面没有公共点．其中,正确的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个解析: 梯形是一个平面图形，所以其四个顶点在同一个平面内，则①正确；两条平行直线确定1个平面，三条平行直线确定1个或3个平面，则②错；三个公共点可以同在两个相交平面的公共直线上，则③错;平面外的直线可能和平面相交，故④错．答案：B二、填空题(每小题5分，共10分）5．如果三个平面把空间分成六部分,那么这三个平面的位置关系是________．解析：由于三个平面把空间分成六部分,那么结合空间中面面的位置关系可知要么是三个平面相交于同一直线，要么是一个平面与另两个平行平面相交．答案: 三个平面相交于同一条直线或一个平面与另两个平行平面相交6．如图,在这个正方体中：①BM与ED平行；②CN与BM是异面直线；③CN与BE是异面直线；④DN与BM是异面直线．以上四个命题中，正确命题的序号是________．解析：观察图形，可知①③错误，②④正确．答案：②④三、解答题（每小题10分，共20分)7．已知a,b，c是三条直线，如果a与b是异面直线，b与c是异面直线,那么a与c有怎样的位置关系?并画图说明．解析：直线a与直线c的位置关系可以是平行、相交、异面，如图(1）（2)（3）．8．如图所示，△ABC与△A1B1C1不在同一个平面内,如果三条直线AA1，BB1,CC1两两相交，求证:三条直线AA1，BB1，CC1交于一点.证明：设BB1与CC1,CC1与AA1,AA1与BB1分别确定平面α，β,γ，AA1与BB1的交点为P,因为P∈AA1，P∈BB1，AA1平面β,BB1平面α，所以P∈平面α，P∈平面β，即P∈α∩β。
2016-2017学年高中数学 第一章立体几何初步 1.4.1 空间图形的基本关系与公理课件 北师大
思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打
“×”.
(1)如果直线a与直线b是异面直线,直线b与直线c也是异面直线,那 么直线a与直线c也一定是异面直线. ( ) (2)如果两个平面有三个公共点,那么这两个平面必重合. ( ) (3)平面α与平面β会只有一个公共点. ( ) (4)不共线的四点最多可确定4个平面. ( ) (5)两两相交的三条直线必共面. ( )
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五 易错辨析
解析:因为M∈A1C,A1C⫋平面A1ACC1, 所以M∈平面A1ACC1. 因为M∈平面BDC1,且平面A1ACC1∩平面BDC1=C1O,所以 M∈C1O.故选C. 答案:C
探究一
探究二
探究三
探究五公理4的应用
探究四
探究五 易错辨析
【例5】如图所示,点P是△ABC所在平面外一点,点D,E分别是 △PAB和△PBC的重心.求证DE∥AC,DE= 1 AC.
∵l1∩l2=A,∴l1和l2确定一个平面α. ∵l2∩l3=B,∴B∈l2.又l2⫋α,∴B∈α. 同理可证C∈α.又B∈l3,C∈l3,∴l3⫋α. ∴直线l1,l2,l3在同一平面内.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五 易错辨析
方法二:(重合法)
∵l1∩l2=A,∴l1,l2确定一个平面α. ∵l2∩l3=B,∴l2,l3确定一个平面β. ∵A∈l2,l2⫋α,∴A∈α. ∵A∈l2,l2⫋β,∴A∈β.
公 理
如果一条直线上的两 点在一个平面内,那么 这条直线在此平面内
2 (即直线在平面内)
图形语言
符号语言 A,B,C 三点不共线⇒ 有且只有一个平面 α,使 A∈α,B∈α,C∈ α
高中数学第一章立体几何初步44.1空间图形基本关系的认识4.2空间图形的公理(1)高一数学
D．A b∈β
第三十五页，共四十四页。
解析：点与直线、平面之间的关系用符号“∈”或“∉”；直 线在平面内用符号“ ”．
答案：B
第三十六页，共四十四页。
2．如果直线 a 平面 α，直线 b 平面 α，M∈a，N∈b，M
∈l，N∈l，则( ) A．l α
B．l⃘α
C．l∩α＝M
D．l∩α＝N
解析：∵M∈a，a α，∴M∈α，同理，N∈α，又 M∈l，N
第二十三页，共四十四页。
【规律总结】 证明线共面问题，一种思路是先确定一个平 面，再证明其他直线都在这个平面内；另一种思路是先由一部分 直线确定一个平面 α，另一部分直线确定平面 β，再证明 α 与 β 重合即可．
第二十四页，共四十四页。
已知 A∈l，B∈l，C∈l，D∉l(如图)，求证： 直线 AD，BD，CD 共面．
答案：共线
第四十页，共四十四页。
5．给出下列四个命题： ①空间四点共面，则其中必有三点共线； ②空间四点中有三点共线，则此四点必共面； ③空间四点中任何三点不共线，则此四点不共面； ④空间四点不共面，则任意三点不共线． 其中正确命题的序号是________．
第四十一页，共四十四页。
解析：①错，空间四点共面，未必有三点共线；②正确；③ 错，此四点可能共面；④正确，若任意三点共线，则四点必共面， 与已知矛盾．
第五页，共四十四页。
练一练 (1) 点 P 在直线 l 上，直线 l 在平面 α 内，用符号表 示为( )
A．P l，l α
B．P∈l，l∈α
C．P l，l∈α 答案：D
D．P∈l，l α
第六页，共四十四页。
3．空间图形的公理及推论
文字语言
图形语言
高中数学第一章立体几何初步4空间图形的基本关系与公理第1课时空间图形基本关系的认识与公理1_3北师大必修2
[核心必知] 一、空间图形的基本位置关系
二、空间图形的3条公理
4．集合中元素的性质 集合中的元素具有确定性、互异性和无序性．
4．集合中元素的性质 集合中的元素具有确定性、互异性和无序性．
[问题思考] 1．三点确定一个平面吗？ 提示：当三点在一条直线上时，不能确定一个平面，当
法二：∵AP∩AR＝A， ∴直线 AP 与直线 AR 确定平面 APR. 又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R， ∴平面 APR∩平面 α＝PR. ∴B∈平面 APR，C∈平面 APR，∴BC 又∵Q∈直线 BC， ∴Q∈平面 APR.又 Q∈α，∴Q∈PR. ∴P，Q，R 三点共线． 平面 APR.
证明点共线问题的常用方法有：法一是首先找出两个平
则A，B，C，D，E五点可能不共面．
综上所述，在题设条件下，A，B，C，D，E五点不一定 共面．
1．下列图形中不一定是平面图形的是( A．三角形 B．菱形
)
C．梯形
D．四边相等的四边形
解析：四边相等不具有共面的条件，这样的四 庆 高 考 )设 四面 体 的六 条棱 的 长分 别 为 1,1,1,1， 2和 a，且长为 a 的棱与长为 2的棱异面，则 a 的取值范围是 A．(0， 2) C．(1， 2) ( ) B．(0， 3) D．(1， 3)
解析：如图所示的四面体 ABCD 中，
设 AB＝a，则由题意可得 CD＝ 2，其他边的长都为 1， 故三角形 ACD 及三角形 BCD 都是以 CD 为斜边的等腰直 角三角形，显然 a>0.取 CD 中点 E，
连接 AE，BE，则 AE⊥CD，BE⊥CD 且 AE＝BE＝
1－
2 2 2 ＝ ，显然 A、B、E 三点能构成三角形，应 2 2
立体几何-空间图形的基本关系与公理1
空间图形的基本关系与公理研究对象：点、线、面的关系 三种语言：文字语言、符合语言、图形语言（看图说话）点线关系：点在线上、点在线外 点面关系：点在面上、点在面外 线线关系：平行、相交、异面线面关系：线面平行、线面相交、线在面内 面面关系：面面平行、面面相交公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内。
公理2：不共线的三点，可以确定一个平面。
推论1：直线和直线外的一点可以确定一个平面 推论2：两条平行直线可以确定一个平面。
推论3：两条相交直线可以确定一个平面。
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线（两个平面的交线）。
公理4：平行于同一条直线的两条直线平行（平行的传递性）。
等角定理：空间中，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。
推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所组成的锐角（或直角）相等。
异面直线a 、b 所成角：过空间任意一点P 分别引两条异面直线a 、b 的平行线1l 、2l ()12//,//a l b l ，这两条相交直线所成的锐角（或直角）就是异面直线a 、b 所成角。
如果两条异面直线所成的角是直角，我们称这两条直线互相垂直，记作a b ⊥。
论证点、线共面的通法之一，即证部分元素确定一个平面，再证余下元素也在平面内。
论证点、线共面的通法之二，即根据确定平面的条件，先证各部分元素分别确定平面，再证这些平面有相同的确定平面的条件，即重合。
点共线、线共点：依据是公理3，如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线（两个平面的交线）。
证明多点共线：通常是过其中两点作一直线，然后证明其他的点在这条直线上，或者根据已知条件设法证明这些点在两个相交平面内，然后根据公理2就得到这些点在两个平面的交线上。
证明多线共点：可把其中一条作为分别过其余两条的两个平面的交线，然后再证另两条直线的交点在此直线上。
高中数学 第一章 立体几何初步 1.4 空间图形的基本关系与公理 第1课时 空间图形的公理(公理1、
第1课时空间图形的公理(公理1、2、3)1.通过长方体这一常见的空间图形，了解空间图形的基本构成——点、线、面的基本位置关系.2.理解异面直线的概念，以及空间图形的基本关系.(重点、易错点)3.掌握空间图形的公理1、2、3.(重点、难点)[基础·初探]教材整理1 空间图形的基本关系阅读教材P22～P23“练习”以上部分，完成下列问题.位置关系图形表示符号表示点与线的位置关系点A不在直线a上A∉a 点B在直线a上B∈a点与面的位置关系点A在平面α内A∈α点B在平面α外B∉α直线与直线的位置关系平行a∥b相交a∩b＝O 异面a与b异面直线与平面的位置关系线在面内aα线面相交a∩α＝A线面平行a∥α平面与平面的位置关系面面平行α∥β面面相交α∩β＝a(1)不平行的两条直线的位置关系为相交.( )(2)两个平面的交线可以是一条线段.( )(3)直线l在平面α内，可以表示为“lα”.()(4)平面内的直线与不在该平面内的直线互为异面直线.( )【解析】(1)不平行的两条直线的位置关系为相交或异面，故(1)错.(2)两个平面的交线是直线，故(2)错.(3)正确.(4)可能相交或平行，故(4)错.【答案】(1)×(2)×(3)√(4)×教材整理2 空间图形的公理阅读教材P23“练习”以下至P25“公理4”以上部分，完成下列问题.1.三个公理：名称内容图形表示符号表示公理1过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面(即可以确定一个平面)若A，B，C三点不共线，则点A，B，C确定一个平面α使A∈α，B∈α，C∈α公理2如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内(即直线在平面内)若A∈l，B∈l，A∈α，B∈α，则lα公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线若A∈α，A∈β，且α与β不重合，则α∩β＝l，且A∈l.2.公理1的三个推论：推论1：一条直线和直线外一点确定一个平面.推论2：两条相交直线确定一个平面.推论3：两条平行直线确定一个平面.公理1及其推论给出了确定平面的依据.两个平面若有三个公共点，则这两个平面( )A.相交B.重合C.相交或重合D.以上都不对【解析】若三个点在同一条直线上，则两平面可能相交；若这三个点不在同一直线上，则这两个平面重合.【答案】 C[小组合作型]空间点、线、面的位置关系(1)如果aα，bα，l∩a＝A，l∩b＝B，那么l与α的位置关系是________.图141(2)如图141，在正方体ABCDA′B′C′D′中，哪几条棱所在的直线与直线BC′是异面直线？【精彩点拨】(1)把文字语言翻译成图形语言，作出判断；(2)可借助空间中的实物模型判断.【自主解答】(1)如图，l上有两点A，B在α内，根据公理2，lα.【答案】直线l在平面α内(2)棱DC，A′B′，AA′，DD′，AD，A′D′所在的直线与直线BC′是异面直线.1.判断空间点、线、面之间的位置关系要善于根据题意画出示意图，充分发挥空间想象能力，对位置关系做出判断.2.对于异面直线，它们“不同在任何一个平面内”，注意对关键词“任何”的理解.[再练一题]1.根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相应的图形：(1)A∈α，B∉α；(2)lα，m∩α＝A，A∉l；(3)P∈l，P∉α；Q∈l，Q∈α.【解】(1)点A在平面α内，点B不在平面α内；(2)直线l在平面α内，直线m与平面α相交于点A，且点A不在直线l上；(3)直线l经过平面α外一点P和平面α内一点Q.图形分别如图(1)(2)(3)所示.点线共面问题证明：两两相交且不共点的三条直线在同一平面内.【导学号：39292015】【精彩点拨】先说明两条相交直线确定一个平面，然后证明另外一条直线也在该平面内.或利用公理1的推论，说明三条相交直线分别确定两个平面α，β，然后证明α，β重合.【自主解答】已知：如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求证：直线l1，l2，l3在同一平面内.法一：∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α.∵l2∩l3＝B，∴B∈l2又l2α，∴B∈α.同理可证C∈α，又B∈l3，C∈l3，∴l3α.∴直线l1，l2，l3在同一平面内.法二：∵l1∩l2＝A，∴l1，l2确定一个平面α.∵l2∩l3＝B，∴l2，l3确定一个平面β.∵A∈l2，l2α，∴A∈α.∵A∈l2，l2β，∴A∈β.同理可证，B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.∵不共线的三个点A，B，C既在平面α内，又在平面β内，∴平面α和平面β重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内.证明点、线共面问题的理论依据是公理1和公理2，常用方法有：(1)先由部分点、线确定一个面，再证其余的点、线都在这个平面内，即用“纳入法”；(2)先由其中一部分点、线确定一个平面α，其余点、线确定另一个平面β，再证平面α与β重合，即用“同一法”；(3)假设不共面，结合题设推出矛盾，即用“反证法”.[再练一题]2.已知A∈l，B∈l，C∈l，D∉l(如图142)，求证：直线AD，BD，CD共面.图142【证明】因为D∉l，所以D和l可确定一平面，设为α.因为A∈l，所以A∈α.又D∈α，所以ADα.同理BDα，CDα，所以AD，BD，CD都在平面α内，即它们共面.[探究共研型]点共线与线共点问题探究1 如图143所示，在空间四边形各边AD，AB，BC，CD上分别取E，F，G，H四点，如果EF，GH交于一点P，那么点P，B，D共线吗？请说明理由.图143【提示】连接BD.∵EF，HG相交于一点P，且EF平面ABD，GH平面CBD，∴P∈平面ABD且P∈平面CBD.又平面ABD∩平面BCD＝BD，∴P∈BD，∴点P，B，D共线.探究2 如图144，在正方体ABCDA1B1C1D1中，设线段A1C与平面ABC1D1交于Q，能否判断B，Q，D1三点共线？图144【证明】∵D1∈平面ABC1D1，D1∈平面A1D1CB，B∈平面ABC1D1，B∈平面A1D1CB，∴平面ABC1D1∩平面A1D1CB＝BD1.∵A1C∩平面ABC1D1＝Q，且A1C平面A1D1CB，∴Q∈平面A1D1CB，Q∈平面ABC1D1，∴Q在两平面的交线BD1上，∴B，Q，D1三点共线.已知△ABC在平面α外，它的三边所在的直线分别交平面α于P，Q，R(如图145).求证：P，Q，R三点共线.图145【精彩点拨】解答本题可以先选两点确定一条直线，再证明第三点也在这条直线上.【自主解答】证明：法一：∵AB∩α＝P，∴P∈AB，P∈平面α.又AB平面ABC，∴P∈平面ABC.∴由公理3可知，点P在平面ABC与平面α的交线上.同理可证Q，R也在平面ABC与平面α的交线上.∴P，Q，R三点共线.法二：∵AP∩AR＝A，∴直线AP与直线AR确定平面APR.又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R，∴平面APR∩平面α＝PR.∵B∈平面APR，C∈平面APR，∴BC平面APR.又∵Q∈直线BC，∴Q∈平面APR.又Q∈α，∴Q∈PR，∴P，Q，R三点共线.1.证明多点共线主要采用如下两种方法：一是首先确定两个平面，然后证明这些点是这两个平面的公共点，再根据公理3，这些点都在这两个平面的交线上；二是选择其中两点确定一条直线，然后再证明其他的点都在这条直线上.2.证明三线共点问题的方法主要是：先确定两条直线交于一点，再证明该点是这两条直线所在平面的公共点，第三条直线是这两个平面的交线.[再练一题]3.如图146所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为AB的中点，F为AA1的中点.求证：CE，D1F，DA三线交于一点.图146【提示】如图，连接EF，D1C，A1B.∵E为AB的中点，F为AA1的中点，∴EF ═∥12A 1B .又∵A 1B ∥D 1C ，∴EF ∥D 1C ，∴E ，F ，D 1，C 四点共面，且EF ＝12D 1C ，∴D 1F 与CE 相交于点P . 又D 1F平面A 1D 1DA ，CE 平面ABCD ，∴P 为平面A 1D 1DA 与平面ABCD 的公共点. 又平面A 1D 1DA ∩平面ABCD ＝DA ，根据公理3，可得P ∈DA ，即CE ，D 1F ，DA 三线交于一点.1.下列图形中不一定是平面图形的是( ) A.三角形 B.菱形C.梯形D.对边相等的四边形【解析】 对四边相等的四边形可以是空间四边形. 【答案】 D2.若点Q 在直线b 上，b 在平面β内，则Q ，b ，β之间的关系可记作( ) A.Q ∈b ∈β B.Q ∈b βC.Qb β D.Qb ∈β【解析】 ∵点Q (元素)在直线b (集合)上，∴Q ∈b .又∵直线b (集合)在平面β(集合)内，∴bβ，∴Q ∈b β.【答案】 B3.设平面α与平面β交于直线l ，A ∈α，B ∈α，且直线AB ∩l ＝C ，则直线AB ∩β＝________.【解析】 ∵α∩β＝l ，AB ∩l ＝C ，∴C ∈β，C ∈AB ，∴AB ∩β＝C . 【答案】 C4.若a ，b 是异面直线，b ，c 是异面直线，则直线a 与直线c 的位置关系是________. 【解析】 两条直线a ，c 都与同一条直线b 是异面直线，则这两条直线平行、相交或异面都有可能.【答案】平行、相交或异面5.已知直线a∥b，直线l与a，b都相交，求证：过a，b，l有且只有一个平面.【导学号：39292016】【证明】如图所示.∵a∥b，∴直线a，b确定一个平面，证这个平面为α.设a∩l＝A，b∩l＝B，∴A∈α，B∈α，且A∈l，B∈l，∴lα.即过a，b，l有且只有一个平面.。
高中数学 第一章 立体几何初步 1.4.1-2 空间图形基本关系的认识 空间图形的公理学案(含解析)
§4空间图形的基本关系与公理4．1空间图形基本关系的认识4．2空间图形的公理知识点一点、直线、平面之间位置关系的三种语言表示[填一填][答一答]1．点、线、面之间的关系为什么可借助于集合的符号来表示？提示：因为点可看作元素，则直线与平面都可看作是点的集合，所以，点与线、点与面之间的关系就是元素与集合的关系，线与面之间的关系就是集合与集合之间的关系，所以用集合的符号表示点、线、面之间的关系正好与集合中元素、集合的关系一致．知识点二空间图形的公理[填一填][答一答]2．你对公理2及课本思考交流中的三个问题是怎样理解的？提示：它们都可作为确定平面的依据，还可作为判定两个平面重合的依据．“确定”和“有且只有一个”是同义词．“有”说明存在性，“只有一个”说明唯一性．数学中的“只有一个”并不保证符合条件的图形一定存在，所以不能用“只有一个”来代替“有且只有一个”．符合某一条件的图形既存在，而且只能有一个，就说明这个图形是完全确定的．知识点三定理[填一填]空间中，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．这个定理实质上是由如下两个结论合成的：(1)若一个角的两边与另一个角的两边分别平行且方向相同，那么这两个角相等．(2)若一个角的两边与另一个角的两边分别平行，有一组对边方向相同，另一组对边方向相反，那么这两个角互补．知识点四异面直线所成的角[填一填]知识点五空间四边形[填一填]四个顶点不在同一平面内的四边形叫作空间四边形．[答一答]3．如何理解异面直线？提示：若直线a，b是异面直线，则在空间中找不到一个平面，使其同时经过a、b两条直线．例如，如图所示的长方体ABCD－A1B1C1D1中，棱AB和B1C1所在的直线既不平行又不相交，找不到一个平面同时经过这两条棱所在的直线．要注意分别在两个平面内的直线不一定是异面直线，可以平行，可以相交，也可以异面．4．已知两条直线相交，过其中任意一条直线上的一点作另一条直线的平行线，这些平行线是否都共面？为什么？提示：都共面，如图所示，a∩b＝A，过b上任意一点B作c∥a，则a、c可确定一个平面α，因为A∈a，所以A∈α.又因为B∈c，所以B∈α，所以ABα，即bα.所以a、b、c共面．同理在a上任取一点作b的平行线，都与a、b共面，所以这些平行线都共面．公理1、公理2、公理3的意义和作用1．公理1说明了平面与曲面的本质区别．通过直线的“直”来刻画平面的“平”，通过直线的“无限延伸”来描述平面的“无限延展性”，它既是判断直线在平面内，又是检验平面的方法．2．公理2是空间里确定一个平面位置的方法与途径，而确定平面是将空间问题转化为平面问题的重要条件，这个转化使得立体几何的问题得以在确定的平面内充分使用平面几何的知识来解决，是立体几何中解决相当一部分问题的主要的思想方法．3．公理3揭示了两个平面相交的主要特征，提供了确定两个平面交线的方法.类型一公理、定理的考查【例1】判断下列命题是否正确：(1)空间两两相交的三条直线确定一个平面；(2)四边相等的四边形是菱形；(3)空间任意一点和一条直线确定一个平面；(4)一组对边平行的四边形一定是平面图形．【思路探究】考查确定平面的条件．【解】命题(1)是错误的．如果三线共点，那么此三线可能不共面，仔细观察教室的墙角处，这是一个很好的反例模型；命题(2)是错误的．四边相等并不能保证此四边形是平面图形，也就不能保证它是菱形；命题(3)是错误的．若点在直线上，那么经过此点和这条直线的平面有无数多个；命题(4)是正确的．因为对边平行，可以确定一个平面α，又四个顶点都在平行的对边上，故都在平面α内，所以另两条边也在平面α内，故此四边形是平面图形．规律方法应准确掌握确定平面的条件．下列命题中正确的是(D)A．空间三点可以确定一个平面B．若两个平面α、β有一个公共点A，则α∩β＝AC．若A、B、C、D四点既在平面α内，又在平面β内，则平面α，β重合D．三角形一定是平面图形解析：A中：若三点在一条直线上，则三点所在的平面不唯一；B中：两个平面不可能只有一个公共点，两平面若不重合，则要么相交(此时有一条公共直线)，要么平行；C中：A、B、C、D四点共线时，平面α、β不一定重合；D中：不共线三点才能构成三角形，∴三角形为平面图形．故选D.类型二多线共面问题【例2】求证：两两相交且不共点的四条直线共面．【思路探究】可尝试先证明其中两条直线确定一个平面，然后证明其他直线也在此平面内．【证明】①没有三线共点情况，如图(1)所示，设a∩d＝M，b∩d＝N，c∩d＝P，a∩b ＝Q，a∩c＝R，b∩c＝S.∵a∩d＝M，∴a，d可确定一个平面α.∵N∈d，Q∈a，∴N∈α，Q∈α，∴NQα，即bα.同理cα，∴a，b，c，d共面．②有三线共点的情况，如图(2)所示，设b，c，d三线相交于点K，与a分别交于N，P，M且K∉a，∵K∉a，∴K和a确定一个平面，设为β.∵N∈a，aβ，∴N∈β.∴NKβ，即bβ.同理cβ，dβ，∴a，b，c，d共面．由①②知，a，b，c，d共面．规律方法 1.证明线共面问题往往先利用条件确定一个平面．再证明其余线都在此平面内，也可以证明两个平面重合．2．公理2是确定平面的依据，公理1是确定线在已确定的面上的依据．一条直线与三条平行直线都相交．求证：这四条直线共面．已知：如图所示，a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C.求证：直线a，b，c，l共面．证明：因为a∥b，所以a和b确定一个平面α.因为l∩a＝A，l∩b＝B，所以A∈α，B∈α.故lα.又a∥c，所以a和c确定一个平面β.同理lβ.即l和a既在α内又在β内，且l与a相交，故α，β重合，即直线a，b，c，l共面．类型三线共点和点共线问题【例3】如图，△ABC在平面α外，AB∩α＝P，AC∩α＝R，BC∩α＝Q.求证：P，Q，R三点共线．【思路探究】方法一，证明P，Q，R三点同时在平面ABC和平面α内，利用公理3即可得出结论．方法二，利用直线AP与AR确定平面APR，由平面APR∩α＝PR，再证明点Q在直线PR上即可．【证明】方法一：∵AB∩α＝P，∴P∈AB，P∈平面α.又∵AB平面ABC，∴P∈平面ABC.由公理3可知点P在平面ABC与平面α的交线上．同理可证，点Q，R也在平面ABC与平面α的交线上．∴P，Q，R三点共线．方法二：∵AP∩AR＝A，∴直线AP与直线AR确定平面APR.又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R，∴平面APR∩平面α＝PR.∵B∈平面APR，C∈平面APR，∴BC平面APR.∵Q∈直线BC，∴Q∈平面APR.又∵Q∈α，∴Q∈直线PR，∴P，Q，R三点共线．规律方法点共线问题就是证明三个或三个以上的点在同一条直线上．常用以下两种方法：方法一，首先找出两个平面，然后证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理3知，这些点都在这两个平面的交线上；方法二，选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在这条直线上．在三棱锥S－ABC的棱SA，SC，AB，BC上分别取点E，F，G，H，若EF∩GH＝P，求证：EF，GH，AC三条直线交于一点．证明：如图，∵E ∈SA ，SA 平面SAC ，F ∈SC ，SC 平面SAC ，∴E ∈平面SAC ，F ∈平面SAC .∴EF 平面SAC .∵G ∈AB ，AB 平面ABC ，H ∈BC ，BC 平面ABC ，∴G ∈平面ABC ，H ∈平面ABC ，∴GH 平面ABC .又∵EF ∩GH ＝P ，∴P ∈平面SAC ，P ∈平面ABC .∵平面SAC ∩平面ABC ＝AC ，∴P ∈AC ，即直线EF ，GH ，AC 交于一点P .类型四 公理4与定理的应用【例4】 已知四边形ABCD 是空间四边形，E ，H 分别是边AB ，AD 的中点，F ，G 分别是边CB ，CD 上的点，且CF CB ＝CG CD ＝23.求证：四边形EFGH 有一组对边平行但不相等． 【思路探究】 由平面几何知识得到线线平行，用公理4进行转化．【证明】 如图所示．由已知得EH 是△ABD 的中位线，所以EH ∥BD ，EH ＝12BD .在△BCD 中，CF CB ＝CG CD ＝23，所以FG ∥BD ，FG ＝23BD .根据公理4，知EH ∥FG ，又FG >EH ，所以四边形EFGH 有一组对边平行但不相等． 规律方法 1.证明两条直线平行的方法(1)公理4：即找到第三条直线，证明这两条直线都与之平行，这是一种常用方法，要充分用好平面几何知识，如有中点时用好中位线性质等；(2)平行直线的定义：证明在同一平面内，这两条直线无公共点．2．运用“等角定理”判定两个角是相等还是互补的方法(1)判定两个角的方向是否相同，若相同则必相等，若相反则必互补；(2)判定这两个角是否均为锐角或均为钝角，若均是则相等，若不均是则互补．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，E1，F1分别为棱AD，AB，B1C1，C1D1的中点．求证：∠EA1F＝∠E1CF1.证明：如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，取A1B1的中点M，连接BM，F1M，则BF＝A1M.又∵BF∥A1M，∴四边形A1FBM为平行四边形．∴A1F∥BM.而F1，M分别为C1D1，A1B1的中点，则F1M綊C1B1.而C1B1綊BC，∴F1M綊BC，∴四边形F1MBC为平行四边形．∴BM∥F1C.又BM∥A1F，∴A1F∥CF1.同理，取A1D1的中点N，连接DN，E1N，则有A1E∥CE1.∴∠EA1F与∠E1CF1的两边分别对应平行，且方向都相反，∴∠EA1F＝∠E1CF1.类型五异面直线所成的角【例5】如右图所示，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，BC＝2，DA⊥AC 于点A，DA⊥AB于点A，若DA＝1，且E为DA的中点，求异面直线BE与CD所成角的余弦值．【思路探究】根据异面直线所成角的定义，可选择适当的点，分别引BE与DC的平行线．本题中BE 可不动，过点E 作CD 的平行线EF ，这样BE 与CD 所成的角即为∠BEF 与其补角中的锐角，在△EFB 中求解．【解】 取AC 的中点F ，连接EF 和BF .在△ACD 中，E ，F 分别是AD ，AC 的中点，∴EF ∥CD ， ∴∠BEF 或其补角中的锐角即为异面直线BE 和CD 所成的角． ∵△ABC 为等腰直角三角形，且BC ＝2， 在Rt △ABE 中，AB ＝1，AE ＝12，∴BE ＝52.在Rt △AEF 中，AF ＝12，AE ＝12，∴EF ＝22.在Rt △ABF 中，AB ＝1，AF ＝12，∴BF ＝52.∴△EBF 为等腰三角形．在△EBF 中，cos ∠FEB ＝12EF BE ＝2452＝1010.故异面直线BE 与CD 所成角的余弦值为1010. 规律方法 解决异面直线所成角的问题，通常将空间角转化为平面角，在三角形中求解．如图，已知P 为△ABC 所在平面外的一点，PC ⊥AB ，PC ＝AB ＝2，E 、F 分别为P A 和BC 的中点．(1)求证：EF 与PC 是异面直线； (2)求EF 与PC 所成的角．解：(1)证明：若EF与PC不是异面直线，则存在平面α使得E，F，P，C∈α，从而直线PE与CF都在平面α内，∴A，B∈α，故点A，B，C，P都在α内，与P在平面ABC外矛盾，故EF与PC是异面直线．(2)如图，取AC的中点G，连接EG、FG，则EG∥PC，FG∥AB，由PC⊥AB，得EG⊥FG，且EG＝FG＝1，∴EF与PC所成的角为45°.类型六交线的作法【例6】如图所示，E、F分别为正方体ABCD－A1B1C1D1的棱CC1和AA1的中点，画出平面BED1F与平面ABCD的交线．【解】设法找出两个平面的公共点，两公共点的连线就是两个平面的交线．如图所示，在平面AA1D1D内，D1F与DA不平行，分别延长D1F与DA，则D1F与DA必相交，设交点为M.因为M∈FD1，M∈DA，FD1平面BED1F，AD平面ABCD，所以平面BED1F∩平面ABCD＝M，又平面BED1F∩平面ABCD＝B.所以连接MB，则MB＝平面BED1F∩平面ABCD.即直线MB为所求两平面的交线．规律方法求两平面的交线的突破口是求两个平面的公共点．本题所求两平面已有一个公共点B，由于直线D1F与DA在同一平面内且不平行，因此，它们的延长线必相交于一点，利用公理1即可推出该点为两平面的公共点，此两点确定的直线即为所求．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，F，G分别是CC1、BC两边的中点，画出平面D1FG 与平面ABCD的交线．解：如图，连接AD1，AG，BC1，则AG是平面D1FG与平面ABCD的交线．证明如下：∵在长方体ABCD-A1B1C1D1中，F，G分别是CC1，BC两边的中点，∴FG∥BC1.又BC1∥AD1，∴FG∥AD1，∴A，G，F，D1四点共面于平面D1FG，∵AG平面ABCD，∴AG是平面D1FG与平面ABCD的交线．————多维探究系列——三个平面划分空间问题讨论【例7】三个两两相交的平面可将空间分成几部分？请画出它们的直观图．【思路分析】设三个两两相交的平面分别为α，β，γ，由于它们相交的情况不同，可分三种情况讨论：(1)平面α，β，γ两两相交于同一条直线；(2)平面α，β，γ两两相交的三条直线交于一点；(3)平面α，β，γ两两相交的三条交线平行．【精解详析】(1)当平面α，平面β，平面γ两两相交，且三条交线重合(即α∩β＝l，α∩γ＝l且β∩γ＝l)时，将空间分成六部分，其图形如下图①所示．(2)当平面α，平面β，平面γ两两相交且三条交线共点，但互不重合时，将空间分成八部分，其图形如下图②所示．(3)当平面α，平面β，平面γ两两相交且三条交线平行时，将空间分成七部分，其图形如下图③所示．【解后反思】首先确定两个平面在空间中的位置关系，再让第三个平面以不同形式介入，以此为分类依据即可解决问题．长方体的各个面延伸后能把空间分成多少部分？解：可想象成分成上、中、下三部分，每部分分成9部分，所以共3×9＝27部分．一、选择题1．下列说法中正确的个数为(C)①梯形一定是平面图形；②若四边形的两对角线相交于一点，则该四边形是平面图形；③圆心和圆上两点可确定一个平面；④三条平行线最多可确定三个平面．A．1B．2C．3 D．4解析：对于命题③，当圆心与圆上两点共线时，不能确定一个平面．2．如果直线a平面α，直线b平面α，M∈a，N∈b，M∈l，N∈l，则(A)A．lαB．lαC．l∩α＝M D．l∩α＝N解析：∵M∈a，aα，∴M∈α.∵N∈b，bα，∴N∈α.又M∈l，N∈l，∴lα.3．空间两两相交的三条直线，可以确定的平面数是(D)A．1 B．2C．3 D．1或3解析：若三条直线两两相交共有三个交点，则确定1个平面；若三条直线两两相交且交于同一点时，可能确定3个平面．二、填空题4．平面α∩平面β＝l，点A，B∈α，点C∈平面β且C∉l，AB∩l＝R.设过A，B，C三点的平面为平面γ，则β∩γ＝CR.解析：根据题意画出图形．如图所示．因为点C∈β，且点C∈γ，所以C∈β∩γ.因为点R∈AB，所以点R∈γ.又R∈β，所以R∈β∩γ，从而β∩γ＝CR.三、解答题5．已知直线a∥b，直线l与a，b都相交．求证：直线a，b，l共面．证明：∵a∥b，∴直线a，b确定一个平面，记为α，如图．设a∩l＝A，b∩l＝B，则A∈a，B∈b，∴A∈α，B∈α. ∴lα.∴直线a，b，l共面．。
高中数学 第一章 立体几何初步 1.4.1 空间图形基本关系的认识课件5高一数学课件
Pa Pa
（2）空间点与平面的位置关系有__种:
P P
（3）空间两直线的位置关系有__种:
平行直线. 共面直线 相交直线. 异面直线.
（4）空间直线与平面的位置关系有__种:
a
c A
a //
（5）空间平面与平面的位置关系有__种:
//
// BC
第十页，共十一页。
内容(nèiróng)总结
a
b B
①点P在直线(zhíxiàn)a上记,作: Pa
c
P
②点P不在直线a上, 记作: P a
（2）空间点与平面的位置关系有__种: 2
D
α
A
C bB
①点P在平面α内, 记作: P ②点P在平面α外, 记作: P
（3）空间两直线的位置关系有__种:3
①直线a与b在同一平面内且没有公共点---
（2）与直线(zhíxiàn)AB1成异面直线的有_6____条; （3）与直线BD1成异面直线的有_____条6;
D1 A1
C1 B1
D A
C
B
第九页，共十一页。
二、课堂(kètáng)小结
空间中点、线、面之间的位置(wèi zhi)关系:
（1）空间点与直线(zhíxiàn)的位置关系有__种:
（3）在画图时，如果图形(túxíng)的一部分被另 一部分遮住，可以把遮住部分画成虚线，也可 以不画.
第三页，共十一页。
二、平面的表示(biǎoshì)方法：
平面可以用希腊字母表示，也可以用代表表示 平面的平行四边形的四个顶点或相对的两个(liǎnɡ ɡè)
顶点字母表示.
D
C
A
B
如：平面(píngmiàn)α，平面β，平面ABCD，平 面AC，平面BD等.
高中数学 第一章 立体几何初步 1.4.1 空间图形基本关
练习
2.说出正方体中各对线段、线段与平面的位置关系：
（1）AB和CC1； （2）A1 C和BD1 ； （3）A1 A和CB1； （4）AC和A1 C1； （5）BC与平面A1 C1； （6）B1 C与平面AC；
（7）AB与平面AC。
D1 A1
D A
C1 B1
C B
课堂小结
请归纳空间点线面的位置关系
b
a α
b
a γ
4.空间直线与平面的位置关系有三种：
（1）直线在平面内——直线 与平面有无数个公共点。
（2）直线与平面相交——直 线与平面只有一个公共点。
αa
a ≠b
o β
（3）直线与平面平行——直 线与平面没有公共点。 c
γ
b∩β=O c∥γ
直线在平面内
直线与平面
的位置关系
直线与平面平行
位置关 文字表述 图形语言
系
点A在直线l上
点与直 点A不在直线l上 线 点A在平面内
点A不在平面
内
点与平 面
平行直线
相交直线
直线与 异面直线
符号语
言Al Al
A
A
a / /b
ab A
a、b异面
位置关系 文字表述 图形语言
直线l在
平面内
直线l平行
直线与平 于平面
面
直线l与平
2.空间点与平面的位置关系有两种：
①点在平面内
记作：O
D A
D’
C B
C’
②点在平面外 A’
B’
记作：P
P
O β
3.空间两条直线的位置关系有三种：
①平行直线——在同一个平面内，没有公共 点的两条直线。
高中数学 第一章 立体几何初步 1.4.1 空间图形基本关系的认识课件2高一数学课件
D A
C B
记作：O
D’
C’
②点在平面 外 A’ (píngmiàn)
记作：P
β
第六页，共十九页。
B’ P
O
3.空间两条直线的位置关系(guān xì)有三种：
①平行直线——在同一个平面内，没有(méi yǒu)公共点 的两条直线。
②相交直线——在同一个平面内，有且只有(zhǐyǒu)
一个公共点的两条直线。
空间图形 基 (kōngjiān túxíng) 本关系的认识
第一页，共十九页。
1.点的表示(biǎoshì)
A
点A
2.直线(zhíxiàn)的表示
A
B
a
直线 a (zhíxiàn) AB (zhíxiàn)
直线
第二页，共十九页。
3.平面的表示
平面 α (píngmiàn) 平面 ABCD (píngmiàn) 平面 AC (píngmiàn)
A
B
第十五页，共十九页。
课堂 小结 (kètáng)
请归纳(guīnà)空间点线面的位置关系
第十六页，共十九页。
位置关 文字表述 图形语言
系
点A在直线l上
点与直 点 A不 在 直 线 l上 线 点 A在 平 面 内
点A不在平面
内
点与平
面
平行直线
相交直线
直线与
异面直线
第十七页，共十九页。
符号语
言A l Al
A
A
a / /b
abA
a、b异面
位置关系 文字表述 图形语言
直 线 l在
平 面 内
直 线 l平 行
直线与平 于 平 面
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2016-2017学年高中数学 第一章 立体几何初步1.4 空间图形的基本关系与公理 第二课时公理4与等角定理高效测评 北师大版必修2
一、选择题(每小题5分，共20分) 1．下列结论正确的是( )
①在空间中，若两条直线不相交，则它们一定平行； ②平行于同一条直线的两条直线平行；
③一条直线和两条平行直线中的一条相交，那么它也和另一条相交； ④空间四条直线a ，b ，c ，d ，如果a ∥b ，c ∥d ，且a ∥d ，那么b ∥c . A ．①②③ B ．②④ C ．③④
D ．②③
解析： ①错，可以异面．②正确．③错误，和另一条可以异面．④正确，由平行直线的传递性可知．
答案： B
2．两个三角形不在同一平面内，它们的边两两对应平行，那么这两个三角形( ) A ．全等
B ．相似
C ．仅有一个角相等
D ．无法判断
解析： 由题意知，这两个三角形的三个角对应相等，故这两个三角形相似． 答案： B
3．如图，α∩β＝l ，a α，b β，且a ，b 为异面直线，则以下结论正确的是( ) A ．a ，b 都与l 平行
B ．a ，b 中至多有一条与l 平行
C ．a ，b 都与l 相交
D ．a ，b 中至多有一条与l 相交
解析： 如果，a ，b 都与l 平行，根据公理4，有a ∥b ，这与a ，b 为异面直线矛盾，故a ，b 中至多有一条与l 平行．
答案： B
4．已知空间四边形ABCD 中，M ，N 分别为AB ，CD 的中点，则下列判断正确的是( ) A ．MN ≥1
2(AC ＋BD ) B ．MN ≤1
2(AC ＋BD ) C ．MN ＝1
2(AC ＋BD )
D ．MN ＜1
2(AC ＋BD )
解析： 如图，取BC 的中点H ，据题意有MH ＝12AC ，MH ∥AC ，HN ＝1
2BD ，HN ∥BD .在△MNH 中，由两边之和大于第三边知，MN ＜MH ＋HN ＝1
2(AC ＋BD ) .
答案： D
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，BD 和B 1D 1是正方形ABCD 和A 1B 1C 1D 1的对角线． (1)∠DBC 的两边与________的两边分别平行且方向相同； (2)∠DBC 的两边与________的两边分别平行且方向相反．
解析： (1)因为B 1D 1∥BD ，B 1C 1∥BC 且方向相同，所以∠DBC 的两边与∠D 1B 1C 1的两边分别平行且方向相同．
(2)B 1D 1∥BD ，D 1A 1∥BC 且方向相反，所以∠DBC 的两边与∠B 1D 1A 1的两边分别平行且方向相反．
答案： (1)∠D 1B 1C 1 (2)∠B 1D 1A 1
6．如图，在空间四边形ABCD 中，E ，H 分别是AB ，AD 的中点，F ，G 分别是CB ，CD 上
的点，且CF CB ＝CG CD ＝2
3.若BD ＝6 cm ，梯形EFGH 的面积为28 cm 2
，则平行线EH ，FG 间的距离
为________．
解析： 在△BCD 中，∵CF CB ＝CG CD ＝2
3， ∴GF ∥BD ，FG BD ＝2
3.∴FG ＝4 cm.
在△ABD 中，∵点E ，H 分别是AB ，AD 的中点，
∴EH ＝1
2BD ＝3(cm)．
设EH ，FG 间的距离为d cm.则1
2×(4＋3)×d ＝28，∴d ＝8. 答案： 8 cm
三、解答题(每小题10分，共20分) 7．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，求证： (1)∠ABC ＝∠A 1B 1C 1； (2)∠A 1D 1A ＝∠B 1C 1B .
证明： (1)如下图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，由长方体的性质可得：A 1B 1∥AB ，BC ∥B 1C 1，且方向相同，由等角定理可得∠ABC ＝∠A 1B 1C 1.
(2)如上图在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中， 由长方体的性质可得：D 1C 1綊AB ， ∴四边形ABC 1D 1为平行四边形．
∴AD 1∥BC 1且A 1D 1∥B 1C 1，并且方向相同， ∴∠A 1D 1A ＝∠B 1C 1B .
8．直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中∠ACB ＝90°，D 1、F 1分别是A 1B 1、A 1C 1的中点．若BC ＝CA ＝
CC 1＝2，求异面直线BD 1与AF 1所成的角．
解析： 取BC 中点G ，连接F 1G ，AG ，D 1F 1，则D 1F 1∥B 1C 1且D 1F 1＝1
2B 1C 1， 又∵B 1C 1綊BC ，G 为BC 的中点．
∴D 1F 1綊BG ，
∴四边形D 1F 1GB 是平行四边形，
∴BD1∥F1G，
∴∠AF1G(或其补角)为异面直线BD1与AF1所成的角．
在Rt△ACG中，AG＝AC2＋CG2＝22＋12＝ 5.
同理在Rt△BB1D1，Rt△A1AF1中可求BD1＝AF1＝ 5.
又BD1＝GF1，故△AGF1是等边三角形，∴∠AF1G＝60°，
∴异面直线BD1与AF1所成的角是60°.
尖子生题库 ☆☆☆
9．(10分)如图，已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点．
(1)求证：E、F、G、H四点共面；
(2)若四边形EFGH是矩形，求证：AC⊥BD.
证明：(1)在△ABD中，
∵E、H分别是AB、AD的中点，
EH∥BD，同理FG∥BD，
∴EH∥FG，∴E、F、G、H四点共面．
(2)由(1)知EH∥BD，同理AC∥GH.
又∵四边形EFGH是矩形，
∴EH⊥GH，∴AC⊥BD.。