空间立体几何图形的截面
立体几何中的截面(解析版)
专题13 立体几何中的截面【基本知识】1．截面定义：在立体几何中，截面是指用一个平面去截一个几何体（包括圆柱，圆锥，球，棱柱，棱锥、长方体，正方体等等），得到的平面图形，叫截面。
其次，我们要清楚立体图形的截面方式，总共有三种，分别为横截、竖截、斜截。
最后，我们要了解每一种立体图形通过上述三种截面方式所得到的截面图有哪些。
2、正六面体的基本斜截面：3、圆柱体的基本截面：正六面体斜截面是不会出现以下几种图形：直角三角形、钝角三角形、直角梯形、正五边形。
【基本技能】技能1.结合线、面平行的判定定理与性质性质求截面问题；技能2.结合线、面垂直的判定定理与性质定理求正方体中截面问题；技能3.猜想法求最值问题：要灵活运用一些特殊图形与几何体的特征，“动中找静”：如正三角形、正六边形、正三棱锥等；技能4.建立函数模型求最值问题：①设元②建立二次函数模型③求最值。
例1 一个正方体内接于一个球，过这个球的球心作一平面，则截面图形不可能．．．是（）分析考虑过球心的平面在转动过中，平面在球的内接正方体上截得的截面不可能是大圆的内接正方形，故选D。
例2 如图，在透明的塑料制成的长方体ABCD-A1B1C1D1容器内灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜程度的不同，有下列四个命题：①水的部分始终呈棱柱状；②水面EFGH的面积不改变；③棱A1D1始终与水面EFGH平行；④当容器倾斜到如图5（2）时，BE·BF是定值；其中正确的命题序号是______________A CBD分析 当长方体容器绕BC 边转动时，盛水部分的几何体始终满足棱柱定义，故①正确；在转动过程中EH//FG ，但EH 与FG 的距离EF 在变，所以水面EFGH 的面积在改变，故②错误；在转动过程中，始终有BC//FG//A 1D 1，所以A 1D 1//面EFGH ，③正确；当容器转动到水部分呈直三棱柱时如图5（2），因为BC BF BE V ⋅⋅=21水是定值，又BC 是定值，所以BE ·BF 是定值，即④正确。
高考数学：立体几何截面问题
高考数学：立体几何截面问题一、引言立体几何是高考数学的重要组成部分，其中截面问题是一个重要的考点。
截面问题涉及到三维空间中的几何形状、位置关系以及函数关系等多个方面，需要学生具备较高的空间想象能力和逻辑推理能力。
本文将从多个方面介绍截面问题的相关知识，以帮助考生更好地理解和掌握该知识点。
二、截面的定义与性质1.截面的定义：截面是指通过一个平面与三维空间中的几何体相交，所得到的交线或交面的几何形状。
2.截面的性质：截面具有与原几何体相同的形状和大小，但位置关系可能不同。
截面的形状和大小取决于平面与几何体的相对位置和方向。
三、截面与平面几何的关系1.平面几何的基本图形在三维空间中仍然适用，如线段、三角形、四边形等。
2.截面是平面几何图形在三维空间中的表现形式，可以通过平面的移动和旋转来改变截面的形状和大小。
四、截面与立体几何的关联1.立体几何的基本概念和定理在解决截面问题时同样适用，如平行、垂直、平行四边形等。
2.截面问题是立体几何中的一个特殊情况，可以通过特殊情况来推导一般情况，也可以通过一般情况来推导特殊情况。
五、截面的形状与大小1.截面的形状取决于平面与几何体的相对位置和方向。
不同的位置关系可以得到不同的截面形状，如圆形、椭圆形、长方形等。
2.截面的大小取决于平面与几何体的交线长度或交面积大小。
不同的平面位置可以得到不同的截面大小。
六、截面与空间几何的关系1.空间几何的基本概念和定理在解决截面问题时同样适用，如距离、角度、面积等。
2.截面问题是空间几何中的一个特殊情况，可以通过特殊情况来推导一般情况，也可以通过一般情况来推导特殊情况。
3.截面问题可以转化为空间几何问题来解决，也可以通过空间几何问题来推导截面问题的解决方法。
七、截面的对称性1.截面问题中常常涉及到对称性，如轴对称、中心对称等。
2.对称性可以帮助我们简化问题，找到解决问题的关键点。
3.对称性也可以帮助我们判断截面的形状和大小，以及确定平面与几何体的相对位置和方向。
高考数学立体几何截面问题
高考数学立体几何截面问题在高考数学立体几何中，截面问题是一个重要的考点。
本文将从以下几个方面对截面问题进行讲解：截面的形状和性质、截面与几何体的关系、截面与投影的关系以及截面与面积的关系。
一、截面的形状和性质1.截面的形状截面是指通过一个平面与一个几何体相交，所得的交线。
截面的形状可能是一个点、一条直线、一个平面多边形或一个圆。
在解决立体几何问题时，我们需要根据题目所给的条件，判断出截面的形状，并进一步解决问题。
2.截面的性质截面的性质包括以下几点：（1）截面是平面图形，其形状取决于几何体和截面的位置关系。
（2）截面与几何体的边界相交，但不穿过几何体的内部。
（3）截面与几何体的表面平行，因此可以运用平行投影的知识来研究截面的性质。
二、截面与几何体的关系1.截面与正方体的关系正方体的截面有三种情况：三角形、矩形和五边形。
当截面与正方体的中心轴平行时，可以得到一个正方形；当截面与正方体的中心轴垂直时，可以得到一个三角形；当截面与正方体的中心轴斜交时，可以得到一个矩形或五边形。
长方体的截面也有三种情况：三角形、矩形和五边形。
当截面与长方体的中心轴平行时，可以得到一个矩形；当截面与长方体的中心轴垂直时，可以得到一个三角形；当截面与长方体的中心轴斜交时，可以得到一个梯形或不规则四边形。
三、截面与投影的关系1.投影的定义及性质投影是指将一个几何体投射到一个平面上的结果。
投影的性质包括以下几点：（1）投影是直线与平面相交的结果。
（2）投影的长度等于被投影线段的长度。
（3）投影的方向与被投影线段的方向相同或相反。
2.截面与投影的关系截面与投影之间存在一定的关系。
如果一个几何体在一个平面上的投影是一个多边形，那么这个多边形的形状就取决于该几何体的形状以及它与平面的相对位置。
因此，在解决立体几何问题时，我们需要通过判断几何体在某一平面上的投影来推断出它的形状和性质。
四、截面与面积的关系1.面积的定义及计算方法面积是指一个平面图形所占的面积大小。
立体几何中的 截面问题
立体几何中的截面问题立体几何中的截面问题⒈引言立体几何是研究空间之中各种几何体的形态、位置、运动和性质的数学学科。
在立体几何中，截面问题是一个重要的研究方向。
本文将介绍截面问题的基本概念、解题方法以及应用领域。
⒉基本概念⑴截面的定义截面是指将一个立体体积由一个或多个平面切割所得到的平面图形。
⑵截面的种类常见的截面包括平行截面、垂直截面、倾斜截面等。
平行截面是指与立体体积的底面平行的截面，垂直截面是指与立体体积的底面垂直的截面，倾斜截面是指与立体体积的底面既不平行也不垂直的截面。
⒊解题方法⑴平行截面的求解方法平行截面与底面平行，因此可以通过计算底面的面积和位于底面高度上的平行截面与底面的比例关系来求解平行截面的面积。
⑵垂直截面的求解方法垂直截面与底面垂直，因此可以通过计算底面的面积和垂直截面的高度来求解垂直截面的面积。
⑶倾斜截面的求解方法倾斜截面与底面既不平行也不垂直，因此求解倾斜截面的面积需要考虑其与底面的夹角以及截面的形状。
可以通过投影的方法或截面形状的几何关系来求解倾斜截面的面积。
⒋应用领域⑴建筑设计在建筑设计中，截面问题常常用于计算建筑物的横截面积，从而确定建筑物的结构稳定性和负荷承受能力。
⑵工程力学在工程力学中，截面问题常常用于计算结构件的截面形状和尺寸，从而确定结构件的刚度和强度。
⑶生物学在生物学中，截面问题常常用于计算生物体的截面积，从而确定生物体的体积和表面积，进而研究生物体的生理功能和生物学特性。
附件：本文档涉及的附件包括：⒈示例图片：包括平行截面、垂直截面和倾斜截面的示意图。
⒉计算表格：包括计算平行截面、垂直截面和倾斜截面面积的示例表格。
法律名词及注释：⒈立体几何：是数学学科中研究空间中各种几何体的形态、位置、运动和性质的学科。
⒉截面：把立体体积由一个或多个平面切割所得到的平面图形。
立体几何中的 截面问题
立体几何中的截面问题本文档旨在介绍立体几何中的截面问题，包括截面的定义、性质、计算方法等方面的内容。
通过对截面问题的介绍和详细解析，读者可以更好地理解和应用相关知识。
1、截面的定义在立体几何中，截面是指一个平面和立体图形相交而形成的曲线或平面部分。
截面可以是二维的曲线，也可以是三维的平面。
截面问题主要研究在不同情况下的截面形状、面积、体积等性质。
2、截面的性质截面的性质取决于所截图形的性质以及截面的位置和方向。
主要包括以下几个方面：2.1 几何形状：截面可以是点、线段、圆、椭圆、抛物线等各种几何形状。
2.2 面积：截面的面积可能是有限的，也可能是无限的。
2.3 体积：截面可以用来计算图形的体积，从而解决与立体几何有关的问题。
2.4 位置和方向：不同位置和方向的截面可以得到不同的结果，需要根据具体问题进行分析和计算。
3、截面的计算方法根据截面的性质和具体问题的要求，有多种不同的计算方法可以用来求解截面问题。
常用的计算方法包括以下几种：3.1 几何分析法：通过几何分析截面的形状和性质，利用几何定理和方法计算截面的面积、体积等。
3.2 数学建模法：将截面问题转化为数学模型，利用数学方法和计算机技术进行计算和求解。
3.3 数值模拟法：通过数值模拟和计算机仿真，模拟和计算截面问题的解答。
3.4 实验测量法：通过实际测量和实验，获取截面的相关数据和性质进行计算和分析。
附件：本文档无附件。
法律名词及注释：1、立体几何：研究三维空间中点、线、面等几何图形的性质和变换的数学学科。
2、截面：一个平面和立体图形相交而形成的曲线或平面部分。
立体几何截面问题
立体几何截面问题立体几何截面问题是指在三维空间中，分析和解决物体的表面形状及其横截面以及相应交点的问题。
这一问题与传统的几何学有很大的不同，它是一种更加复杂的几何问题，具有较强的实际应用性。
在三维空间中，立体几何截面问题可以概括为如下几个方面：1、立体几何截面中各种物体形状的表面积、体积及曲率的计算。
可以看到，物体的表面积、体积及曲率都是立体几何截面中重要的概念。
物体的表面积可以表示物体的大小，而体积则可以表示物体的体积，曲率则可以表示物体的表面形状。
2、立体几何截面中物体的位置关系及相应交点的求解。
在立体几何截面中，物体的位置关系及相应的交点是关键的概念，因此，对于物体的位置关系及相应的交点的求解也是重要的工作。
3、立体几何截面中物体的对称性及其属性的分析。
物体的对称性及其属性的分析也是立体几何截面中重要的内容，可以帮助我们更好地理解物体的外观特征。
4、立体几何截面中物体的多边形化及其格式化。
物体的多边形化是指将物体表面上的所有点通过直线连接起来，形成一个简单的多边形，以便更加直观地表示物体的形状。
格式化则是指将物体的多边形表示法转换为更加精确的数学表达式，以便更加方便地分析物体的特征。
通过以上几点，我们可以清楚地看到，立体几何截面问题的研究非常复杂，其中涉及到的概念也是十分广泛的，因此，解决这一问题需要综合运用几何学、代数学及其他学科的知识。
立体几何截面的研究有着重要的实际意义。
它可以被应用于工程设计、建筑设计、机械设计等多个领域。
例如，在工程设计中，立体几何截面可以帮助我们更加清晰地了解物体的表面形状，从而使我们能够更好地设计出合理的工程结构；在建筑设计中，立体几何截面可以帮助我们更清楚地认识建筑物的外形，从而使我们得以更好地设计出更加美观的建筑；在机械设计中，立体几何截面可以帮助我们更清楚地认识机械部件的形状，从而能够更加精确地设计出符合要求的机械部件。
总之，立体几何截面问题是一个非常复杂的问题，它既能够提高我们对物体形状的理解，又能够为工程设计、建筑设计、机械设计等提供有效的指导。
立体几何中的截面问题 教学设计
《立体几何中的截面问题》教学设计一、引言立体几何是数学中一个重要的分支，它研究的是三维空间中的图形和体积。
在立体几何中，截面问题是一个非常有趣的话题，它涉及到了平面和立体图形的相互作用，对于学生来说是一个较为抽象的概念，但又是非常重要的。
在本次教学设计中，我们将以立体几何中的截面问题为主题，通过深入浅出的教学方式，帮助学生全面理解这一概念。
二、知识点介绍1.截面的定义在几何学中，截面是指一个几何图形在确定条件下与另一个几何图形交叠的部分。
在立体几何中，我们通常讨论的是平面与立体的交点部分，这些交点形成的图形称为截面。
2.截面与立体图形的关系通过对截面的研究，我们可以更加深入地理解立体图形的形状、体积和特性。
截面不仅可以帮助我们了解一个立体图形的内部结构，还能够将抽象的立体图形转化为平面图形来进行研究。
3.截面问题的应用在工程、建筑、艺术等领域，截面问题都有着广泛的应用。
通过对截面问题的研究，我们可以更好地理解和利用立体图形，从而应用到实际的生活和工作中。
三、教学目标1.了解截面的基本定义和特性。
2.掌握不同立体图形的截面求解方法。
3.能够应用截面问题解决实际生活中的问题。
4.培养学生分析和解决问题的能力。
四、教学内容与逻辑安排1.引入：通过展示一些真实生活中的立体图形，引出截面问题的概念，激发学生的兴趣。
2.理论知识讲解：首先介绍截面的定义和基本特性，然后分别针对不同的立体图形（如长方体、球体、圆柱体等）详细讲解其截面求解方法和特点。
3.实例演练：给出一些具体的例题，让学生通过实际计算和画图来掌握截面问题的求解方法。
4.拓展应用：结合实际生活中的案例，让学生应用截面问题来解决一些实际问题，培养学生的应用能力。
5.总结回顾：总结截面问题的求解方法和应用，强调理论与实际的联系，让学生对本次教学内容有一个全面的回顾和总结。
五、个人观点和理解在我看来，立体几何中的截面问题不仅是一个重要的知识点，更是一个非常有趣和实用的概念。
立体几何中的 截面问题
立体几何中的截面问题立体几何中的截面问题⒈简介立体几何是研究物体的形状、尺寸和空间关系的一门学科。
在立体几何中，截面问题是一个重要的研究方向。
截面问题指的是在一个立体物体中，通过给定的切割平面，研究切割所得的平面图形与原立体物体的关系。
⒉切割平面的表示方法在研究截面问题时，我们通常将切割所用的平面表示为一个方程。
常见的表示方法有点法式、一般式和截距式等。
⑴点法式点法式是通过给定平面上的一点和法向量来表示平面的方程。
设平面上一点为P(x0, y0, z0)，法向量为n(n1, n2, n3)，则平面的点法式为：n1(x ●x0) + n2(y ●y0) + n3(z ●z0) = 0⑵一般式一般式将平面的方程表示为一个二次齐次方程，形式为Ax +By + Cz + D = 0。
其中A、B、C是平面的法向量的坐标，D是一个与平面有关的常数。
⑶截距式截距式是通过平面与坐标轴交点的位置来表示平面的方程。
设平面与x轴、y轴、z轴的交点分别为(x0, 0, 0)，(0, y0, 0)，(0, 0, z0)，则平面的截距式为：x/x0 + y/y0 + z/z0 = 1⒊平面与立体物体的相交及分类当给定切割平面后，它可能与立体物体相交于不同的方式。
根据相交情况的不同，我们将平面与立体物体的相交分为以下几类：⑴完全相交当切割平面与立体物体完全相交时，即切割平面穿过了立体物体的内部，并将其分成两个或多个部分。
⑵部分相交当切割平面与立体物体部分相交时，即切割平面与立体物体的边界相交。
⑶不相交当切割平面与立体物体不相交时，即切割平面与立体物体没有交点。
⒋截面图形的性质通过研究切割平面与立体物体的相交情况，可以得到截面图形的一些性质。
⑴形状截面图形的形状与切割平面的位置和方向有关。
在同一个立体物体中，不同位置和方向的切割平面可能得到不同形状的截面图形。
⑵面积截面图形的面积可以通过计算得到。
对于平面图形，常用的计算方法有面积公式和积分法。
强基专题--立体几何中的截面问题
强基专题3 立体几何中的截面问题
[跟进训练]
1．(2021·重庆模拟)在三棱锥 P-ABC 中，PA，PB，PC 两两垂直，
PA＝3，PB＝4，PC＝5，点 E 为线段 PC 的中点，过点 E 作该三棱
锥外接球的截面，则所得截面圆的面积不可能为( )
A．6π
B．8π
C．10π
D．12π
1234 5
(2)当π2＜θ＜π时，0＜α＜θ＜π，此时sin θ＜1，sin α可以取到最 大值1，
此时过圆锥母线的截面面积最大，最大值为S＝12l2.
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强基专题3 立体几何中的截面问题
综上所述，过圆锥母线的截面面积的最大值与轴截面顶角θ的范 围有关，
当0＜θ≤π2时，轴截面面积最大，最大值为S＝12l2sin θ. 当π2＜θ＜π时，过圆锥母线的截面面积最大，最大值为S＝12l2.
同理 FG∥EH，所以四边形 EFGH 为平行四边形，又 AD⊥BC， 所以四边形 EFGH 为矩形．
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强基专题3 立体几何中的截面问题
由相似三角形的性质得BECF＝AACF，FACC＝AFDG， 所以BECF＋FAGD＝AACF＋FACC，BC＝AD＝2， 所以 EF＋FG＝2，所以四边形 EFGH 的周长为定值 4，S 四边形 EFGH ＝EF×FG≤EF＋2 FG2＝1， 所以四边形 EFGH 的面积有最大值 1.故选 B．]
1 2
l2sin θ.截面VCD的面积S′＝12l2sin α.在△V强基专题3 立体几何中的截面问题
(1)当0＜θ≤π2时，0＜α＜θ≤π2，sin α＜sin θ⇒S′＜S，此时过圆 锥母线的截面面积最大为轴截面面积S＝12l2sin θ.
截面形状及相应面积的求法 (1)结合线、面平行的判定定理与性质定理求截面问题； (2)结合线、面垂直的判定定理与性质定理求正方体中截面问题； (3)猜想法求最值问题：“要灵活运用一些特殊图形与几何体的 特征，“动中找静”，如正三角形、正六边形、正三棱锥等； (4)建立函数模型求最值问题：①设元；②建立二次函数模型； ③求最值．
人教A版高考总复习一轮文科数学精品课件 第8章立体几何 指点迷津(八) 空间几何体的截面问题 (2)
所以截面面积为
+
S= 2
·h=
2+2 2
2
×
3 2
2
=
2 2
)
2
9
.故选
2
B.
=
9
2
=
3 2
,
2
本 课 结 束
是棱C1C的中点,则过线段AG且平行于平面A1EF的截面图形为(
A.矩形
B.三角形
C.正方形
D.等腰梯形
)
答案:D
解析:取BC的中点H,连接AH,GH,由题意得GH∥EF,AH∥A1F,
又GH⊄平面A1EF,EF⊂平面A1EF,
∴GH∥平面A1EF,同理AH∥平面A1EF,
又GH∩AH=H,GH,AH⊂平面AHG,
α∥平面A1BC1或者α与平面A1BC,BC,CC1,C1D1,D1A1,A1A的中点为E,F,G,H,K,L,易证点
E,F,G,H,K,L共面.则正六边形EFGHKL平行于平面A1BC1.
由 KH
1
A1C1,得
2
KH=
2
,
2
正六边形 EFGHKL 的面积
第八章
指点迷津(八) 空间几何体的截面问题
空间几何体的截面问题
用平面去截一个几何体,所截出的面叫做截面.我们可以想象,类似于用刀
去切(截)几何体,把几何体分成两部分,刀在几何体上留下的痕迹就是截面
的形状,截面是一个平面图形.空间几何体的截面问题涉及平面的基本事实、
空间线面的位置关系、点线共面、线共点等问题,综合性较强,对直观想象
和逻辑推理的数学素养有着较高的要求.
立体截面总结
立体截面总结在几何学中，立体截面指的是通过对立体进行截取得到的平面图形。
立体截面的研究主要涉及到平行截面和斜截面两个方面。
在本文中，我们将对立体截面进行总结和介绍。
1. 平行截面平行截面是指通过平行于立体的一个平面将立体截取得到的截面。
平行截面的特点是与原立体相似且相等，仍然保持原有的图像比例和形状。
1.1 平行截面的性质•平行截面得到的截面与原立体的截面相似，即具有相同的形状和比例关系。
•平行截面的面积等于原立体与截面所构成的平行四边形的面积。
•平行截面与原立体的体积比等于截面与底面的面积比。
1.2 平行截面的应用平行截面在几何学的应用中具有重要意义，可以用于计算体积、推导图形属性以及理解空间结构。
在建筑学、工程学以及地理学等领域，平行截面也被广泛应用。
2. 斜截面斜截面是指通过与立体不平行的平面将立体截取得到的截面。
与平行截面不同，斜截面得到的截面形状与原立体不一致，且缺乏直观的几何对应。
2.1 斜截面的性质•斜截面得到的截面形状与原立体不一致，一般具有较为复杂的几何特征。
•斜截面的面积无法直接通过简单的几何关系计算，需要应用更为复杂的数学方法。
•斜截面的图形特征取决于截面的位置和方向。
2.2 斜截面的应用斜截面在立体几何的研究中具有重要意义，可以用于理解立体的形状、计算截面的特征以及推导几何性质。
在建筑设计、车身工程、工艺切割等领域，斜截面也有广泛的应用。
3. 立体截面的实际应用立体截面不仅在几何学中有重要应用，还在实际生活和工作中有广泛的应用。
以下是一些立体截面的实际应用场景的示例：•切割技术：使用平行截面和斜截面的方法，可以实现对材料的精确切割，广泛应用于工艺加工和制造业。
•电影特效与动画制作：通过斜截面的技术，可以实现虚拟场景的建模和渲染，为电影特效和动画制作提供基础。
•道路和桥梁设计：平行截面和斜截面的应用可以帮助工程师进行道路和桥梁设计，确保结构的稳定性和安全性。
•三维打印：立体截面的应用可以帮助设计师将三维模型进行分层处理，实现对模型的逐层打印。
立体几何体的截面及三视图
立体几何专题（部分内容）一.圆柱的截面用一个平面去截（分三种情形：①用与圆柱的底面平行的平面去截；②用与圆柱的底面垂直的平面去截；③用与圆柱的底面不垂直的平面去截.），观察图1，很容易得出它们分别是：圆、长方形、椭圆.图1二.圆锥的截面用一个平面去截一个圆锥体，圆、三角形、椭圆.图2三.球的截面用一个平面去截一个球体图3四.三棱锥的截面请同学们尝试用一个平面去截一个三棱锥，试判断所截得的平面图形是什么？观察图4图4五.正方体的截面（需补充两面截图）补充：三视图或投影经典考题公式：空间几何体的表面积棱柱、棱锥的表面积：各个面面积之和圆柱的表面积 ：222S rl r ππ=+ 圆锥的表面积：2Srl r ππ=+圆台的表面积：22S rl r Rl R ππππ=+++球的表面积：24SR π=扇形的面积公式2211=36022n R S lr r πα==扇形（其中l 表示弧长，r 表示半径，α表示弧度） 空间几何体的体积 柱体的体积 ：VS h =⨯底锥体的体积 ：13V S h =⨯底 台体的体积 ： 1)3V S S S S h =++⨯下下上上（ 球体的体积：343V R π=空间几何体的三视图和直观图：正俯长相等、正侧高相同、俯侧宽一样正视图：光线从几何体的前面向后面正投影，得到的投影图。
侧视图：光线从几何体的左边向右边正投影，得到的投影图。
俯视图：光线从几何体的上面向右边正投影，得到的投影图。
1、线线平行的判断：（1）、平行于同一直线的两直线平行。
（3）、如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
（6）、如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。
（12）、垂直于同一平面的两直线平行。
2、线线垂直的判断：（7）、在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
（8）、在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线的射影垂直。
立体几何中的截面问题
立体几何中的截面问题一．基本原理：过正方体（长方体）上三点做截面.1.三点中有两点共面例1.如图，在正方体ABCD－A 1B 1C 1D 1中，E，F，G 分别在AB，BC，DD 1上，求作过E，F，G 三点的截面．思路：当三点中有两点共面时，做截面的思路就是先找共面两点所在直线与该平面所有的棱交点，而这些交点由同时在另外一个平面中，即该截面和正方体某个侧面的交点，这样利用公理1，逐次相连找到所有的交点，即可得到截面.解析：作法：①.由于F E ,共面，在底面AC 内，过F E ,作直线EF ，与DA 于L ，显然，此时L 即在侧面D A 1内，又在欲求截面内，而该截面与侧面D A 1又交于点G ，根据公理1，截面与侧面D A 1交于L .同理，过F E ,作直线EF 与DC 的延长线交于M ，此时M 即在侧面1DC 内，又在欲求截面内，根据公理1，截面与侧面1DC 交于M .②在侧面D A 1内，连接LG 交1AA 于K .③在侧面1DC 内，连接GM 交1CC 于H .④连接FH KE ,.则五边形EFHGK EFHGK 即为所求的截面．练习1.（三点两两共面）P，Q，R 三点分别在直四棱柱AC 1的棱BB 1，CC 1和DD 1上，试画出过P，Q，R 三点的截面作法．解析：作法：（1）连接QP，QR 并延长，分别交CB，CD 的延长线于E，F.（2）连接EF 交AB 于T，交AD 于S.（3）连接RS，TP.则五边形PQRST 即为所求截面．例2.（三点所在的棱两两异面）如图，长方体1111D C B A ABCD -中，R Q P ,,分别为111,,CC AB D A 上三点，求过这三点的截面.分析：此题的难点在于R Q P ,,三点均不在同一个侧面（底面）中，这样我们就暂时无法通过侧面（底面）中连线与棱的交点来找到截面的边界点，于是需要先做出一个平面来，让上面三点RQ P ,,中有两点共面，这就转化成例1的情形，从而解决问题.解：如图，作1//BB QE 交11B A 与E ，则1,RC QE 确定一个平面，转化为例1的情形.连接QR EC ,1,交于点F ；连接PF 交1111,B A D C 延长线于H G ,；连接HQ 交11,BB AA 延长线于J I ,；连接JR 交BC 于K .则KRGPIQK 为所作截面.例3.利用平行关系确定截面在三棱锥A BCD -中，AB CD a ==，截面MNPQ 与AB ，CD 都平行，则截面MNPQ 的周长等于（）A．2a B．4a C．a D．无法确定解析：设AM k CM=，因为//AB 平面MNPQ ，平面ABC 平面MNPQ MN =，AB Ì平面ABC ，所以//MN AB ，同理可得//PQ AB ，//MQ CD ，//NP CD ，故四边形MNPQ 为平行四边形，所以11MN PQ AB AB k ==+，1MQ NP k CD CD k ==+.因为AB CD a ==，所以1a MN PQ k==+，1ak MQ NP k ==+，所以四边形MNPQ 的周长为2211a ak MN PQ MQ NP a k k ⎛⎫+++=+= ⎪++⎝⎭.故选：A.二．截面的的画法小结1.确定截面的主要依据有（1）平面的四个公理及推论．（2）直线和平面平行的判定和性质．（3）两个平面平行的性质．2.作截面的几种方法（1）直接法：有两点在几何体的同一个面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面实际就是找交线的过程。
【高中数学】微专题几何体的截面或交线课件2022-2023学年高一数学人教A版(2019)必修第二册
)
A.三角形 B.四边形 C.五边形
D.六边形
解析 正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，M、N 分别是棱 DD1 和 BB1 上的点，
MD＝13DD1，NB＝13BB1， 延长C1M交CD的延长线于P，延长C1N交CB的延长线于Q，
连接PQ交AD于E，AB于F，连接NF，ME，
则正方体的过M，N，C1的截面图形是五边形.故选C.
所以GH∥平面A1EF，同理AH∥平面A1EF， 又GH∩AH＝H，GH，AH⊂平面AHGD1，所以平面AHGD1∥平面A1EF. 故过线段AG且与平面A1EF平行的截面图形为四边形AHGD1， 显然为等腰梯形.
练一练: 如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，
N 分 别 是 A1D1 ， A1B1 的 中 点 ， 过 直 线 BD 的 平 面 α∥ 平 面
D.1条或2条
解析 如图所示，平面α即平面EFGH，则四边形EFGH为
平行四边形，则EF∥GH. ∵EF⊄平面BCD，GH⊂平面BCD，
∴EF∥平面BCD.又∵EF⊂平面ACD，平面BCD∩平面ACD＝CD，
∴EF∥CD.又EF⊂平面EFGH，CD⊄平面EFGH.
∴CD∥平面EFGH，同理，AB∥平面EFGH.
D.四边形
BFD1E
面积的最小值为
6 2
解 析 对 于 选 项 A ， 过 BD1 ， 作 平 面 与 正 方 体 ABCD －
A1B1C1D1的截面为四边形BFD1E， 因为平面ABB1A1∥平面DCC1D1，且平面BFD1E∩平面ABB1A1＝BE， 平面BFD1E∩平面DCC1D1＝D1F，所以BE∥D1F，同理D1E∥BF. 故四边形BFD1E为平行四边形，因此A错误；
立体几何截面问题专题总结
立体几何截面问题专题总结前言在立体几何截面问题专题的学习中，我深入研究了这一领域的知识，积累了丰富的经验。
在本文中，我将总结我对立体几何截面问题的理解和方法，并分享一些解决这类问题的技巧。
正文什么是立体几何截面问题立体几何截面问题是指在三维空间中，通过一个封闭曲面与另一个几何体相交，求得相交部分的形状、面积、体积等相关问题。
常见的立体几何截面问题包括求圆柱与平面的截面、球与平面的截面等。
解决立体几何截面问题的方法解决立体几何截面问题可以采用以下方法：1.几何推导法：通过几何知识进行推导，得到截面形状和相关参数。
可以使用几何证明、相似三角形等方法来推导。
2.代数方程法：将截面问题转化为几何方程，通过代数方法解方程得到结果。
常用的代数方程包括二元一次方程、二次方程等。
3.平面几何投影法：将立体物体投影到一个平面上，通过对投影图形的分析得出截面形状和相关参数。
4.立体几何体积法：通过计算立体几何体积的方法得到截面的面积或体积。
常见的计算公式包括圆柱的体积公式、球的体积公式等。
解决立体几何截面问题的技巧解决立体几何截面问题时，可以运用以下技巧：•画图辅助：通过画图来理清问题的思路，将立体物体和截面形状清晰地表示出来，有助于理解问题和找出解决方法。
•寻找几何相似：在推导过程中，可以尝试找出几何相似的部分，通过相似三角形或相似比例来得到所需的截面形状或参数。
•利用几何关系：在立体几何中，不同几何形状之间存在着特定的关系，例如平行、垂直关系等。
利用这些关系可以简化问题的求解过程。
•积极总结经验：在解决立体几何截面问题的过程中，积累并总结经验是非常重要的。
经验的积累可以帮助我们更快地解决类似的问题，并提高解题的效率。
结尾通过学习立体几何截面问题专题，我对这一领域有了更深入的了解。
在解决立体几何截面问题时，适当地运用几何推导法、代数方程法、平面几何投影法和立体几何体积法等方法，并结合绘图和几何关系，我们可以更好地解决这类问题。
立体几何找截面方法
立体几何找截面方法立体几何是数学中的一个重要分支，它研究的是三维空间中的几何形体。
在立体几何中，我们经常需要找到一个几何体的截面，以便更好地理解它的性质和特征。
本文将介绍几种常见的找截面方法。
我们来看平行截面法。
这种方法是指将一个几何体沿着一个平面切割成两个部分，从而得到一个截面。
这个平面可以是任意方向的，但必须与几何体平行。
例如，我们可以将一个长方体沿着一条平行于底面的平面切割，得到一个长方形的截面。
这种方法常用于研究几何体的体积、表面积等性质。
我们来看垂直截面法。
这种方法是指将一个几何体沿着一个垂直于它的平面切割成两个部分，从而得到一个截面。
这个平面可以是任意方向的，但必须与几何体垂直。
例如，我们可以将一个圆柱体沿着一条垂直于底面的平面切割，得到一个圆形的截面。
这种方法常用于研究几何体的截面形状、面积等性质。
第三，我们来看旋转截面法。
这种方法是指将一个几何体沿着一个轴线旋转，从而得到一系列平面截面。
这个轴线可以是任意方向的，但必须与几何体相交。
例如，我们可以将一个圆锥体沿着它的轴线旋转，得到一系列圆形的截面。
这种方法常用于研究几何体的旋转对称性、截面形状等性质。
我们来看投影截面法。
这种方法是指将一个几何体沿着一个方向投影到一个平面上，从而得到一个截面。
这个方向可以是任意方向的，但必须与几何体相交。
例如，我们可以将一个立方体沿着一个垂直于它的方向投影到一个平面上，得到一个正方形的截面。
这种方法常用于研究几何体的投影形状、投影面积等性质。
找截面是立体几何中的一个重要问题，它可以帮助我们更好地理解几何体的性质和特征。
以上介绍的几种方法只是其中的一部分，实际上还有很多其他的方法，需要根据具体情况选择合适的方法。
《立体几何》微专题3 空间中的截面
《立体几何》微专题3 空间中的截面一､内容解析在立体几何中，截面是指用一个平面去截一个几何体(如圆柱､圆锥､球､棱柱､棱锥､长方体等)所得的平面图形．高考中涉及空间几何体截面的地方较多，如:判断截面图形的形状，判断截面与其他直线(平面)的位置关系，计算截面的边长、周长和面积（或者求相关几何体的表面积､体积）等．在破解较复杂的综合问题的过程中，要把握好“定位”､“定形”､“定量”这三个环节．首先，由已知条件作出截面与空间几何体的交线；其次，根据线面位置关系相关定理确定截面的基本特征；再次，运用平面几何的有关知识计算截面的边长､周长、面积等．其中，作出空间几何体的截面图形是解决问题的关键．现将空间几何体中截面作图的主要原理(三个公理＋两个定理)梳理如下:1．三个公理ABPPA唯一的注:平面的三公理说明了三个问题:(1)平面是平的，平面是无限延展的；(2)要确定两平面交线，可以找两个两平面的交点；(3)确定一个平面的4种方法．【应用举例】如图所示，G是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱DD1延长线上的一点，E，F是棱AB，BC的中点．试分别画出过下列各点､直线的平面与正方体表面的交线．(1)过点G及AC；(2)过三点E，F，D1．【分析】我们可以将截面与空间几何体表面的交集（交线）叫做截线，将截面与空间几何体的棱的交集（交点）叫做截点．本题的关键在于确定截点，有了位于多面体同一表面上的两个截点即可连接成截线，从而得到截面．【作法】(1)连接GA交A1D1于点M，连接GC交C1D1于点N；连接MN，AC，则MA，CN，MN，AC为所求平面与正方体表面的交线．如图①所示．(2)连接EF交DC的延长线于点P，交DA的延长线于点Q；连接D1P交CC1于点M，连接D1Q交AA1于点N；连接MF，NE，则D1M，MF，FE，EN，ND1为所求平面与正方体表面的交线．如图②所示．2．两个定理则过这条直线的任一平面与此平面的交【应用举例】(1)在三棱锥P－ABC中，G为△PAC的重心，过点G作三棱锥的截面α，使其平行于PB 和AC，请画出截面α与三棱锥表面的交线．【分析】若截面α与PB和AC平行，则交线分别与PB和AC中的一条平行．【作法】如图，过G作EF∥AC，分别交PA，PC于点E，F，过点F作FM∥PB交BC于点M，过点E作EN∥PB交AB于点N，连接MN，可知EN∥FM，所以E、F、M、N四点共面，且MN∥AC∥EF，EN∥PB∥FM，则EF，FM，MN，EN即为截面α与三棱锥表面的交线．(2)如图，一个四面体木块ABCD，在△ABC的面内有一点P，过点P作一个截面α，使其垂直于直线AD，请画出截面α与四面体表面的交线．【分析】若截面α与AD垂直，则交线与AD垂直．由于在平面ABD和平面ACD内垂直于AD的直线有无数条，故根据面面平行的性质定理，可采用平移法，先作出AD的一个垂面，再平移至点P．【作法】如图，在AD上任取异于A，D的一点Q，过点Q分别在平面ABD和平面ACD 内作QR⊥AD，QS⊥AD，分别交AB，AC于R，S两点．连接RS，过点P在平面ABC内作EF∥RS交AB，AC于E，F两点．过F在平面ACD内作FG∥SQ交AD于G，连接EG，可先证明平面QRS∥平面EFG，再由面面平行的性质定理证明RQ∥EG，从而可证直线AD垂直于平面EFG，则EF，FG，GE即为截面α与四面体表面的交线．【注】截面问题中与平行有关的定理不仅可以用于在截面作图的过程中确定截面的交线，还可以判断截面图形的形状．有关线面､面面垂直的定理在解题时主要用于确定截面的位置关系，故不再专门列出．通过上述分析，可以将空间几何体中截面作图方法小结如下：① 若已知两点在同一平面内，只要连接这两点，就可以得到截面与多面体的一个面的截线； ② 若面上只有一个已知点，应设法在同一平面内再找出第二个确定的点； ③ 若已知两个点分别在两个相邻的面上，应找出这两个平面的交线与截面的交点； ④ 若所做截面要求与多面体的某一条棱平行，则由一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行的性质，可得截面与平面的交线； ⑤ 若两平行平面中的一个平面与截面有交线，另一个面上只有一个已知点，则由平行平面与第三个平面相交，那么它们的交线互相平行的性质，可得截面与平面的交线； ⑥ 若有一个点在面上而不在棱上，则可通过作辅助平面转化为棱上的点的问题；同理，若已知点在体内，则可通过辅助平面使它转化为面上的点，再转化为棱上的点的问题来解决．下面以正方体为例，列举其基本斜截面图形如下（横截面和竖截面均为正方形）： ① 三角形（锐角三角形） （等腰三角形） （等边三角形）注：可以分别用反证法和余弦定理证明，不可能出现直角三角形和钝角三角形截面． ② 四边形（梯形） （平行四边形） （菱形） （矩形） 注：可以用反证法证明，不可能出现直角梯形截面． ③ 五边形1A1A1A1A1A1A1A（普通五边形）注：可以用反证法证明，不可能出现正五边形截面． ④ 六边形（普通六边形） （正六边形）其他空间多面体和旋转体的截面也可以类似作出，并进行分类研究． 二､典型例题题型一､判断截面图形的形状例1 过正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱AB ，BC 的中点E ，F 作一个截面使截面与底面所成的角为45o ，则此截面的形状为( )A ．三角形或五边形B ．三角形或六边形C ．六边形D ．三角形 【分析】此题中可以直接去找与底面成45o 角的截面，也可以找一些特殊位置的截面，通过计算其与底面所成角得出所求截面的相对位置，体现了运动变化的动态探究． 【答案】B 【解析】如图，显然，本题中的截面有两个，其中一个与线段B 1B 相交，截面为三角形，故只需判断另一个截面的位置和形状．111A1A A连接BD 交EF 于G ，设上下底面中心分别为O 1，O ，设过点D 1的截面与底面的所成角为α，易得tan α＝tan ∠D 1GD ＝223＜1， 故α＜45o ；设过棱A 1C 1的截面与底面的所成角为β，易得tan β＝tan ∠O 1GO ＝22＞1，故α＞45o ， 故所求截面应与A 1D 1，C 1D 1都相交(不过其端点)，为六边形． 故选B ．【注】若截面与棱D 1D 相交，则截面为五边形；若截面与棱A 1D 1，C 1D 1都相交(不过其端点)，则截面为六边形；若截面与棱A 1B 1，B 1C 1都相交(不过点B 1)，则截面为四边形．题型二､判断截面与其他直线(平面)的位置关系例2 如图，在下列三个正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G 均为所在棱的中点，过E ，F ，G 作正方体的截面．在各正方体中，直线BD 1与平面EFG 的位置关系描述正确的是( )① ② ③ A ． BD 1∥平面EFG 的有且只有①；BD 1⊥平面EFG 的有且只有② B ． BD 1∥平面EFG 的有且只有②；BD 1⊥平面EFG 的有且只有① C ． BD 1∥平面EFG 的有且只有①；BD 1⊥平面EFG 的有且只有②③ D ． BD 1∥平面EFG 的有且只有②；BD 1⊥平面EFG 的有且只有③【分析】无论是线面位置关系，还是面面位置关系，归根结底都应转化为对线线位置关系的探求．在判断截面与其他直线(平面)的位置关系的问题中，可以借助截面图形中现有的直线探寻位置关系，也可以将截面进行延展，作出与空间几何体的交线，通过交线(也可以是截面中的其他直线)探寻位置关系． 【答案】C【解析】若从图①研究起，取A 1D 1中点H ，通过截面EFHG 与对角面BDD 1B 1平行，可得BD 1∥面EFG ，从而排除B ，D 选项；1A1A1A若从图②研究起，可通过证明BD 1⊥EF ，BD 1⊥EG ，得证BD 1⊥平面EFG ，从而排除B ，D 选项；对比A ，C 选项，只需考查图③对应的结论:取AA 1中点M ，连EM ，FM ，仿图②，可证BD 1⊥平面EFM ，故BD 1⊥EF ；类似可证得BD 1⊥GF (BD 1⊥EG ) ．从而BD 1⊥平面EFG ，排除A ． 故选C ．题型三､计算截面的面积和周长例3 有一正三棱柱(底面为正三角形的直棱柱)木料ABC －A 1B 1C 1，各棱长都为2．已知O 1，O 2分别为上，下底面的中心，M 为O 1O 2的中点，过A ，B ，M 三点的截面把该木料截成两部分，则截面面积为( )A ． 7B ． 1639C ． 3194D ． 2【分析】本题中构造截面并发现截面的特征是解决问题的关键，而构造截面的过程需运用面面平行的性质定理． 【答案】 B【解析】如图，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，各棱长都为2，M 为O 1O 2的中点， 由面面平行的性质定理，可知过A ，B ，M 三点的截面为等腰梯形ABEF ， 则EF ＝13A 1B 1＝23，梯形的高为PD ＝22＋(233)2＝433，则截面面积为S ＝12×(23＋2)×433＝1639． 故选B ．例4 已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，M 为CC 1的中点，若AM ⊥平面α，且B ∈平面α，则平面α截正方体所得截面的周长为( )1AA ． 32＋2 5B ． 4＋4 2C ． 22＋2 5D ． 6 2【分析】本题中构造与AM 垂直的截面是解决问题的关键，而构造截面的过程需运用线面垂直的判定定理(定义)和面面平行的性质定理． 【答案】A【解析】如图，取BB 1中点N ，A 1B 1中点E ，连接MN ，AN ，BE ，可证AM ⊥面DBE ， 由面面平行的性质定理可知截面α与正方体的上下底面的交线平行．由E 为A 1B 1中点可取A 1D 1中点F ，则α即为截面BEFD ，易求周长为32＋25，故选A ．三､反馈练习A 组（一）单选题：1．截一个几何体，所得各截面都是圆面，则这个几何体一定是( )A. 圆柱B. 圆锥C. 球D. 圆台【答案】C【解析】A.圆柱的轴截面是一个矩形，此选项错误； B.圆锥的轴截面是一个三角形，此选项错误； C.球的截面是一个圆面，此选项正确； D.圆台的轴截面一个梯形，此选项错误． 故选C ．2．如图，在四棱锥P －ABCD 中，AD 与BC 相交．若平面α截此四棱锥得到的截面是一个平行四边形，则这样的平面α的个数是( )A ．不存在B ．恰有1个C ．恰有5个D ．有无数个1A【答案】D【解析】 在平面ABCD 中作直线MN ∥AB ，交AD ､BC 于点M ､N ，在平面PAB 中作EF ∥AB ，交PA ､PB 于点E ､F ，使MN ＝EF ，由线面平行的性质定理可知四边形EFNM 为平行四边形，这样的平行四边形显然可以做无数个，且平行四边形所在平面即为所求的平面α． 故选D ．（二）多选题：3. (多选题)过正方体中心的截面图形可以是( )A ．三角形B ．四边形C ．五边形D ．六边形 【答案】BD【解析】过正方体中心的截面图形至少与正方体的四个面相交，所以不可能是三角形．又因为截面是五边形时不过正方体的中心．过正方体一面上相邻两边的中点及正方体的中心的截面形状为正六边形． 故答案为BD ．4．(多选题)用一个平面截正四面体，下列结论中正确的是( ) A ．正四面体的截面不可能是正方形； B ．正四面体的截面可能是等腰梯形； C ．正四面体的截面可能是直角三角形；D ．若正四面体的截面是三角形，一定是等腰三角形． 【答案】BC【解析】利用正四面体的性质，分析4个选项，取正四面体各条棱的中点连接而成的截面图形是正方形，故选项A 错误；当截面只与正四面体对棱中的一条平行时，截面为等腰梯形，故选项B 正确；对于选项C 、D ，正四面体的截面可以是三角形，但不一定为等腰三角形，A如下图，过点A 作AO ⊥平面BCD ，要构造截面直角三角形APQ ，只需先在底面BCD 内构造直角三角形OPQ ，故选项C 正确，选项D 错误，故答案为BC ．（三）填空题：5．过正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的顶点A 1，C 1，B 的平面与底面ABCD 所在的平面的交线为l ，则l 与A 1C 1的位置关系是________． 【答案】平行【解析】由于平面ABCD ∥平面A 1B 1C 1D 1，平面A 1B 1C 1D 1∩平面A 1C 1B ＝A 1C 1，平面ABCD ∩平面A 1C 1B ＝l ，所以l ∥A 1C 1．6．在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，平面α与正方体每条棱所成的角均相等，则平面α截正方体所形成的三角形截面中，截面面积的最大值为_____________；平面α与正方体每条棱所成的角的正弦值为_____________． 【答案】32，33 【解析】如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，与A 1B 1，A 1D 1， A 1A 平行的直线各有4条， ∵A 1B 1＝A 1D 1＝A 1A ，∴三棱锥A 1－AB 1D 1是正三棱锥，∴A 1B 1，A 1D 1，A 1A 与平面AB 1D 1所成角相等，∴与正方体的12条棱所在直线所成角均相等的一个平面α是平面A 1BD 1(或平面AB 1C 或平面ACD 1)，且截面面积最大，1A由棱长为1，故AB 1＝2，再由三角形AB 1D 1为正三角形，其面积为34×(2)2＝32，故答案为32． 由顶点A 1到平面AB 1D 1的距离为体对角线的13，则平面α与正方体每条棱所成的角的正弦值为33a a ＝33．（四）解答题：7．如图所示，在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，试作出过AC 且与直线D 1B 平行的截面，并说明理由．【解答】如图，连接DB 交AC 于点O ，取D 1D 的中点M ，连接MA ，MC ，MO ，则截面MAC 即为所求作的截面．证明：∵MO 为△D 1DB 的中位线，∴D 1B ∥MO ．∵D 1B ⊄平面MAC ，MO ⊂平面MAC ，∴D 1B ∥平面MAC ，则截面MAC 为过AC 且与直线D 1B 平行的截面．8．下图表示以AB ＝4，BC ＝3的矩形ABCD 为底面的长方体被一平面斜截所得的几何体，其中四边形EFGH 为截面．已知AE ＝5，BF ＝8，CG ＝12，1A A1A(1)截面四边形EFGH 是否为菱形？证明你的结论；(2) 求DH 的长． 【解答】(1)截面EFGH 为菱形．证明如下:∵平面ABFE ∥平面DCGH ，且平面EFGH 分别截平面ABFE 与平面DCGH 得直线EF 与直线GH ，∴EF ∥GH ．同理，FG ∥EH ，∴四边形EFGH 为平行四边形．又∵EF 2＝AB 2＋(BF －AE )2＝25，FG 2＝BC 2＋(CG －BF )2＝25，∴EF ＝FG ＝5， ∴四边形EFGH 为菱形．(2) ∵几何体是长方体被一平面斜截所得的，∴AE ＋CG ＝BF ＋DH ，将AE ＝5，BF ＝8，CG ＝12代入得，DH 的长为9．B 组填空题：9．各面均为等边三角形的四面体ABCD 的外接球的表面积为12π，过棱AB 作球的截面，则截面面积的最小值为________． 【答案】2π【解析】根据题意，球的半径为3，面积最小的截面是以AB 为直径的截面，将四面体ABCD 放置于正方体中，可得正方体的外接球就是四面体ABCD 的外接球，设AB ＝a ，则△ABC 的外接圆半径为32a ×23＝33a ，可求得三棱锥的高为a 2－13a 2＝63a 2，则63a －32＋33a 2＝32，解得a ＝2，进而截面面积的最小值为π×22＝2π．故答案为2π．10．如图，已知球O 是棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的内切球，则平面ACD 1截球O 的截面面积为________．AE【答案】π6 【解析】根据题意知，平面ACD 1是边长为2的正三角形，且球与以点D 为公共点的三个面的切点恰为三角形ACD 1三边的中点，故所求截面的面积是该正三角形的内切圆的面积，则由上图得，△ACD 1内切圆的半径是22×tan30o ＝66， 则所求的截面圆的面积是π×(66)2＝π6．故答案为66．11. 如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，动点P 在对角线BD 1上，过点P 作垂直于BD 1的平面γ，记这样得到的截面多边形（含三角形）的周长为y ，设BP=x ，则当x ∈[33a ，233 a ]时，函数y=f （x ）的值域为________．【答案】{32a } 【解析】1AA1A如图，当x ∈[33a ，233 a ]时，截面多边形为六边形HIJKLM ， 设11111B I HIA CBC λ==，则11111C I IJ B C B C λ==-,故HI+IJ=2a 为定值，从而截面多边形（含三角形）的周长为32a ．12．如图，在四面体ABCD 中，AB ＝CD ＝2，AC ＝BD ＝3，AD ＝BC ＝5，E ，F 分别是AD ，BC 的中点．若用一个与直线EF 垂直，且与四面体的每个面都相交的平面α去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积的最大值为________．【答案】62 【解析】将四面体补成长､宽､高分别为3，2，1的长方体，如图，∵EF ⊥α，∴截面为平行四边形MNKL ，可得KL ＋KN ＝5，G 1A ABGHDA设异面直线BC 与AD 所成的角为θ，则sin θ＝sin ∠HFB ＝sin ∠LKN ，可得sin θ＝265， S MNKL ＝NK ·KL sin ∠NKL ≤62(NK ＋KL 2)2＝62，当且仅当KL ＝KN 时取等号，故该多边形截面面积的最大值为62．四､真题再现1． (2015全国2文 19)如图，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝16，BC ＝10，AA 1＝8，点E ，F 分别在A 1B 1，D 1C 1上，A 1E ＝D 1F ＝4．过点E ，F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．(Ⅰ)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)； (Ⅱ)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值． 【解答】(Ⅰ)交线围成的正方形EHGF 如图：(Ⅱ)作EM ⊥AB ，垂足为M ，则AM ＝A 1E ＝4，EB 1＝12，EM ＝AA 1＝8．因为EHGF 为正方形，所以EH ＝EF ＝BC ＝10．于是MH ＝EH 2－EM 2＝6，AH ＝10，HB ＝6． 因为长方形被平面α分成两个高为10的直棱柱，所以其体积的比值为97(79也正确)．2． (2016年全国1文 11)平面α过正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的顶点A ，α∥平面CB 1D 1，α∩平面ABCD ＝m ，α∩平面ABB 1A 1＝n ，则m ，n 所成角的正弦值为A ．32 B ．22 C ．33 D ．13【答案】A1A AAA 1【解析】因为过点A 的平面α与平面CB 1D 1平行，平面ABCD ∥平面A 1B 1C 1D 1，所以m ∥B 1D 1∥BD ，又A 1B ∥平面CB 1D 1，所以n ∥A 1B ，则BD 与A 1B 所成的角为所求角，所以m ，n 所成角的正弦值为32，选A ．3． (2018全国1理 12)已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为A ．334B ．233C ．324D ．32【答案】A【解析】记该正方体为ABCD －A'B'C'D'，正方体的每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，即共点的三条棱A'A ，A'B'，A'D'与平面α所成的角都相等，如图，连接AB'，AD'，B'D'，因为三棱锥A'－AB'D'是正三棱锥，所以A'A ，A'B'，A'D'与平面AB'D'所成的角都相等，分别取C'D'，B'C'，BB'，AB ，AD ，DD'的中点E ，F ，G ，H ，I ，J ，连接EF ，FG ．GH ，IH ，IJ ，IE ，易得E ，F ，G ，H ，I ，J 六点共面，平面EFGHIJ 与平面AB'D'平行，且截正方体所得截面的面积最大，又EF ＝FG ＝GH ＝IH ＝IJ ＝JE ＝22，所以该正六边形的面积为6×34×(23)2＝334，所以α截此正方体所得截面面积的最大值为334，故选A ．4．(2019全国2文 16)中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体､正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1)．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有________个面，其棱长为_________．(本题第一空2分，第二空3分．)【答案】26，2－1．【解析】如图，依题意知，题中的半正多面体的上､下､左､右､前､后6个面都在正方体的表面上，且该半正多面体的表面由18个正方形，8个正三角形组成，故该半正多面体共有18＋8＝26个面，或者逐层计算得8＋8＋8＋2＝26个面．关注到该半正多面体的俯视图（或水平截面、竖直截面）的轮廓是一个正八边形，设该半正多面体的棱长为x，则x＋22x＋22x＝1，解得x＝2－1．。
截面画法大全 高中数学
截面画法大全高中数学
在高中数学中，截面画法通常用于解决立体几何问题，特别是涉及到计算空间中的距离、角度等问题。
以下是一些基本的截面画法：
1. 水平截面法：这是最常见的截面画法，即在平面中通过一个水平切割来观察立体图形。
例如，如果你想要计算一个圆柱体的高度，你可以通过在底部垂直切割来得到一个水平截面，然后通过测量截面中圆形周长的一半（即圆柱体的底面直径），再根据圆周长公式计算出高度。
2. 垂直截面法：这与水平截面法类似，只是在平面中通过一个垂直切割来观察立体图形。
例如，如果你想要计算一个圆柱体的底面半径，你可以通过在顶部水平切割来得到一个垂直截面，然后通过测量截面中圆形周长的一半，再根据圆周长公式计算出底面半径。
3. 正交截面法：这是在平面中通过一个既不是水平也不是垂直的切割来观察立体图形。
例如，如果你想要计算一个圆柱体的侧面积，你可以通过
在侧面倾斜切割来得到一个正交截面，然后通过测量截面中矩形的面积（即圆柱体的侧面积）。
以上就是高中数学中常见的截面画法，希望对你有所帮助。
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空间立体几何图形的截面江苏省前黄高级中学许云峰教学背景本课为以立体几何的截面图为核心，让学生借助《几何画板》的实际模拟和探索功能进行学习，由学生自我探究，进行知识迁移，通过类比，自己去尝试并最终解决问题。
教师在此过程中进行必要的总结和在学生出现困难时进行指导，由此培养学生思维的独立和发散性，使学生真正成为学习的主体。
教学目标：1．认知目标：整合几何体的截面情况，形成完整的认知体系。
2．能力目标：学生利用《几何画板》探索问题的能力，以培养学生知识迁移能力，发散思维和类比思维能力。
3．情感目标：培养学生探索创新能力，激发学生学习的热情和积极性。
重点与难点重点：空间几何体的截面图的作法；空间旋转体的截面作法。
难点：空间几何图形的交点的作法；由极限思想作出空间旋转体的截面图的作法。
教学策略与教法设计策略：教师提出问题，然后逐层展开，分步进行研究（需学生进行探索和分析），然后学生进行分组讨论和实际操作，通过自主学习、探究学习、合作学习达到认知的意义建构。
教法1．演示法：把制作的课件展示给学生，便于学生对知识的深层次的把握，并从中获得启发，从而解决问题。
这同时也给学生制作作品提供了模板，让学生明白作品需达到的要求。
2．谈话法：在教师指导下，由全班或小组成员围绕某一中心问题发表自己的看法，从而进行相互学习、合作学习，集思广益。
3．成果展示法：将学生制作的作品有选择的展示（以小组为单位进行制作，每个小组推荐1~2个进行演示），让学生获得成功的喜悦和认同，从而激发学生后续学习的热情。
4．讨论法：就学生探索所得成果，各小组可自由提问，或者师生共同评价，最后总结成整体观点。
教学过程设计先期准备在《几何画板》中建立立体几何的图形工具包，方便学生在最快的时间内作出准确的立体几何图形，以方便学生进行探究性学习，避免在作图上花费过多时间和精力；同时可以给学生以示范，让学生学会如何作出形象的立体几何直观图。
教学目标提出探究空间几何图形上过任意三点的截面1．分三个小组对多面体进行协作探究：第一小组：柱体；第二小组：锥体；第三小组：台体。
主要探究任意三点的位置和截面的形状。
2．探究圆锥的截面。
分组探究，层层推进，把问题推向纵深通过发挥学生自主学习的特点，并根据几何体的特征可以分类，故我们采取分组进行自我探索，相互协作，小组讨论，师生共同总结等方法进行教学。
在此过程中，老师作为主导者，主要为学生提供必要的帮助和方向指引，而学习的过程主要靠学生自我完成。
学生进行分组协助学习。
每小组的探索活动都可分为三个层次进行：以最简单的图形出发，即三棱柱、三棱锥、三棱台研究任意三点的位置的取法。
随后作出过三点的截面（作法依据：公理及其推论），并拖动三点，观察截面的变化情况，从而得出结论，并进行组内交流，形成小组统一观点。
对几何体作广度延伸：把底面边数增加，类比的作出截面，并归纳出截面变化情况。
最后统一制作成作品，准备交流。
在小组探索中，充分发挥学生的自主性，使学生真正成为学习的主人。
各小组进行作品展示。
各小组可以对展示作品进行讨论，可以对作品提问，讨论（可以应用网络的讨论板块进行或直接的讨论），师生共同评价（或者先学生讨论，教师再总结）。
学生在老师的帮助下，加深对知识的理解，从而得到启发，进行知识建构。
发散与推广运用极限的逼近思想，来解决圆锥曲线的截面问题，使截面问题达到高潮：既加深对原有问题（多面体的截面）的认识，又引发出问题新的生长点，大大激发学生的探索兴趣。
把问题向纵深推广：伴随正棱柱、正棱锥、正棱台底面边数的增加，多面体逼近旋转体，我们能够通过逼近的思想把旋转体的截面作出来呢？旋转体，是母线饶轴旋转而来，故截面与旋转体侧面的交线即为母线与截面交点饶轴旋转而来，由此我们可以作出过母线上任意三点的旋转体的截面了。
以圆锥为例，作出圆锥截面，并探究截面的情形。
并把圆柱和圆台的问题留在课后，使学生继续进行探究活动。
本课教学的主题是学生，这使学生在如何加工信息、怎样推理验证等方面得到锻炼，利于培养学生探索能力，使学生既学到了知识，学到了科学的思想方法，又提高了能力；让学生从整个知识体系中去掌握知识点的来龙去脉，也就是把它的逻辑锁链搞清楚，并尝试从知识体系中寻找新的知识生长点！对同学们的表现进行评价，要及时表扬一些表现好的同学，同时鼓励其他同学，以提高同学们学习的积极性并知道他们进行新的探索，使学生产生后继学习的激情。
空间立体几何图形的截面江苏省前黄高级中学许云峰教学背景本课为以立体几何的截面图为核心，让学生借助《几何画板》的实际模拟和探索功能进行学习，由学生自我探究，进行知识迁移，通过类比，自己去尝试并最终解决问题。
教师在此过程中进行必要的总结和在学生出现困难时进行指导，由此培养学生思维的独立和发散性，使学生真正成为学习的主体。
教学目标：1．认知目标：整合几何体的截面情况，形成完整的认知体系。
2．能力目标：学生利用《几何画板》探索问题的能力，以培养学生知识迁移能力，发散思维和类比思维能力。
3．情感目标：培养学生探索创新能力，激发学生学习的热情和积极性。
重点与难点重点：空间几何体的截面图的作法；空间旋转体的截面作法。
难点：空间几何图形的交点的作法；由极限思想作出空间旋转体的截面图的作法。
教学对象分析教学对象：高二及高二以上年级学生学生特点：（1）在操作方面：高二年级的学生有一定的电脑操作基础，可以自己操作电脑。
但学生的操作水平参差不齐，特别是对数学软件《几何画板》不够熟悉，还不能熟练地操作，所以在上这节课之前要上预备课，主要教学生软件的使用。
要做到能独立操作软件且能较熟练地完成一定的学习任务。
（2）在知识方面：高二的学生通过对立体集合内容的学习，对空间立体几何有较为全面的认识，但是空间想象能力还有待进一步提高。
本节课让学生自己操作软件，通过同学之间的相互协作及通过网络的交流来发现规律，实现知识的整合。
教学策略与教法设计策略：教师提出问题，然后逐层展开，分步进行研究（需学生进行探索和分析），然后学生进行分组讨论和实际操作，通过自主学习、探究学习、合作学习达到认知的意义建构。
教法1．演示法：把制作的课件展示给学生，便于学生对知识的深层次的把握，并从中获得启发，从而解决问题。
这同时也给学生制作作品提供了模板，让学生明白作品需达到的要求。
2．谈话法：在教师指导下，由全班或小组成员围绕某一中心问题发表自己的看法，从而进行相互学习、合作学习，集思广益。
3．成果展示法：将学生制作的作品有选择的展示（以小组为单位进行制作，每个小组推荐1~2个进行演示），让学生获得成功的喜悦和认同，从而激发学生后续学习的热情。
4．讨论法：就学生探索所得成果，各小组可自由提问，或者师生共同评价，最后总结成整体观点。
网络环境分析：一人一机的网络教室和网络控制软件《TOP2000》等教学过程设计先期准备在《几何画板》中建立立体几何的图形工具包，方便学生在最快的时间内作出准确的立体几何图形，以方便学生进行探究性学习，避免在作图上花费过多时间和精力；同时可以给学生以示范，让学生了解如何作出形象的立体几何直观图。
教学目标提出探究空间几何图形上过任意三点的截面1．分三个小组对多面体进行协作探究：第一小组：柱体；第二小组：锥体；第三小组：台体。
主要探究任意三点的位置和截面的形状。
2．探究圆锥的截面。
分组探究，层层推进，把问题推向纵深第一小组：探究柱体上过棱上任意三点的截面。
1．由三棱柱开始，研究其过棱棱上任意三点的截面，探究：（1）任意三点的取法，（2）每种取法下，截面有几种形状，最后总结三棱柱截面情况；学生首先给出取点位置：（图1）三点都在侧棱上；三点都在底面上（一面上两个，另一面上一个）；棱上一个，底面上两个（一上，一下或两个在同一底面）；侧棱上两个，底面上一个。
作出三棱柱，分别画出上述情况，并拖动原始点观察截面图的变化情况，最终得出三棱柱截面的情况：当截面与三棱柱的侧棱不相交时，截面为四边形；当截面与三棱柱的侧棱相交时，截面为四边形或三角形。
图12．类似探究四棱柱，五棱柱……（图2）四棱柱：截面可为六边形，五边形，四边形，三角形。
五棱柱：截面可为七边形，六边形，五边形，四边形，三角形。
第二小组：探究锥体上过棱上任意三点的截面。
1．由三棱锥开始，研究其过棱棱上任意三点的截面，探究：（1）任意三点的取法，（2）每种取法下，截面有几种形状，最后总结三棱锥截面情况。
学生找出点的取法（图3）：两个在侧棱上，一个在底面；两个在底面，一个在侧棱；三个在侧棱。
作出三棱锥，分别画出上述情况，并拖动原始点观察截面图的变化情况，最终得出三棱柱截面的情况。
有点在底面上时（不包括顶点），截面为四边形，否则为三角形。
2．类似探究四棱柱，五棱柱……（图4）AB CA B 图2 图3四棱柱：截面可为五边形，四边形，三角形。
五棱柱：截面可为六边形，五边形，四边形，三角形。
第三小组：探究台体上过棱上任意三点的截面。
1．由三台锥开始，研究其过棱棱上任意三点的截面，探究：（1）任意三点的取法，（2）每种取法下，截面有几种形状，最后总结三棱台截面情况。
学生首先给出取点位置：（图5）三点都在侧棱上；三点都在底面上（一面上两个，另一面上一个）；棱上一个，底面上两个（一上，一下或两个在同一底面）；侧棱上两个，底面上一个。
作出三棱台，分别画出上述情况，并拖动原始点观察截面图的变化情况，最终得出三棱台截面的情况。
当截面与三棱柱的侧棱不相交时，截面为四边形；当截面与三棱柱的侧棱相交时，截面为四边形或三角形。
2．类似探究四棱台，五棱台……（图6）四棱台：截面可为六边形，五边形，四边形，三角形。
五棱台：截面可为七边形，六边形，五边形，四边形，三角形。
各小组可以对展示作品进行讨论，可以对作品提问，讨论（可以应用网络的讨论板块进行或直接的讨论），师生共同评价（或者先学生讨论，教师再总结）。
学生在老师的帮助下，加深对知识的理解，从而得到启发，图4 图5图6进行知识建构。
发散与推广把问题向纵深推广：伴随正棱柱、正棱锥、正棱台底面边数的增加，多面体逼近旋转体，我们能够通过逼近的思想把旋转体的截面作出来呢？旋转体，是母线饶轴旋转而来，故截面与旋转体侧面的交线即为母线与截面交点饶轴旋转而来，由此我们可以作出过母线上任意三点的旋转体的截面了。
我们以圆锥为例，作出圆锥截面，并探究截面的情形。
本课教学的主题是学生，这使学生在如何加工信息、怎样推理验证等方面得到锻炼，利于培养学生探索能力，使学生既学到了知识，学到了科学的思想方法，又提高了能力；让学生从整个知识体系中去掌握知识点的来龙去脉，也就是把它的逻辑锁链搞清楚，并尝试从知识体系中寻找新的知识生长点！对同学们的表现进行评价，要及时表扬一些表现好的同学，同时鼓励其他同学，以提高同学们学习的积极性并知道他们进行新的探索，使学生产生后继学习的激情。