(十年高考)江苏省溧水县第三高级中学2004-高考数学 真题分类汇编 函数

函数
一、选择填空题
1.（江苏2004年5分）若函数)1,0)((log ≠>+=a a b x y a 的图象过两点(－1，0)和(0，1)，则【 】
(A) a =2，b =2 (B)a = 2 ，b =2 (C)a =2，b =1 (D)a = 2 ，b = 2 【答案】A 。

【考点】对数函数的单调性与特殊点。

【分析】将两点代入即可得到答案：
∵函数y=log a （x+b ）（a ＞0，a ≠1）的图象过两点（－1，0）和（0，1）， ∴log a （－1+b ）=0，log a （0+b ）=1。

∴a =2，b =2。

故选A 。

【分析】用导研究函数13)(3+-=x x x f 在闭区间[－3，0]上的单调性，利用单调性求函数的最值：
∵2()330, 1f x x x '=-==±，且在[－3，－1）上()0f x >'，在（－1，0]上()0f x <'
∴函数13)(3+-=x x x f 在[－3，－1]上是增函数，在[－1，0]上是减函数。

又∵(3)17, (1)3, (0)1f f f -=--==，
∴函数13)(3+-=x x x f 在闭区间[－3，0]上的最大值是3，最小值分别为－17。

故选C 。

3.（江苏2005年5分）函数)(32
1R x y x
∈+=-的反函数的解析表达式为【】
A ．32log 2
-=x y B ．23log 2-=x y C ．23log 2x y -= D ．x
y -=32
log 2 【答案】A 。

【考点】反函数。

【分析】由函数解析式解出自变量x ，再把 x 、y 位置互换，即可得到反函数解析式：
∵()()112222
23321log 31log 3log 3
x x y y x y x y y --=+⇒-=⇒-=-⇒=--=- ∴)(321R x y x ∈+=-的反函数为：2
2
log 3
y x =-。

故选 A 。

4.（江苏2005年4分）若[)1,,618.03+∈=k k a a ，()k Z ∈,则k = ▲ 【答案】－1。

【考点】指数函数的单调性与特殊点。

【分析】先判断出0.618所在的范围，必须与3有关系，再根据3x y =在定义域上是增函数，得出a 所在的区间，即能求出k 的值：
∵1
3
＜0.618＜1，且函数3x y =在定义域上是增函数， ∴30.618a =，－1＜a ＜0，则k =－1。

5.（江苏2005年4分）已知,a b 为常数，若34)(2++=x x x f ，2()1024f ax b x x +=++，则b a -5= ▲ 。

【答案】2。

【考点】复合函数解析式的运用，待定系数法。

6.（江苏2007年5分）设函数()f x 定义在实数集上，它的图像关于直线1x =对称，且当1x ≥时，()31x
f x =-，则有【 】
A ．1
32()()()323f f f << B ．231()()()323
f f f <<
C ．213()()()332f f f <<
D ．321()()()233
f f f << 【答案】B 。

【考点】指数函数的单调性与特殊点，函数图象的对称性。

【分析】由函数()f x 定义在实数集上，它的图像关于直线1x =对称，且当1x ≥时，
()31x f x =-为单调增函数，由对称性知当1x <时，()f x 是单调减函数，其图象的特征是
自变量离1的距离越远，其函数值越大。

∵231111323-
<-<-，∴231
()()()323
f f f <<。

故选B 。

7.（江苏2007年5分）设2
()lg(
)1f x a x
=+-是奇函数，
则使()0f x <的x 的取值范围是【 】 A ．(1,0)- B ．(0,1) C ．(,0)-∞ D ．(,0)(1,)-∞+∞
【答案】A 。

【考点】奇函数的性质，对数函数的单调性。

【分析】∵2
()lg(
)1f x a x
=+-是奇函数，∴(0)0f =得1a =-。

∴由011lg )(<-+=x x x f 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-+>-+111011x
x x
x
解得 10x -<<。

故选A 。

8.（江苏2009年5分）函数32()15336f x x x x =--+的单调减区间为 ▲ . 【答案】(1,11)-。

【考点】利用导数判断函数的单调性。

【分析】要求函数的单调减区间可先求出()f x '，并令其小于零得到关于x 的不等式求出解集即可：
∵2()330333(11)(1)f x x x x x '=--=-+，
∴由(11)(1)0x x -+<得单调减区间为(1,11)-。

亦可填写闭区间或半开半闭区间。

9.（江苏2009年5
分）已知a =，函数()x f x a =，若实数m 、n 满足()()f m f n >，则m 、n 的大小关系为 ▲ . 【答案】m ＜n 。

【考点】指数函数的单调性。

【分析】∵(0,1)a =
，∴函数()x f x a =在R 上递减。

由()()f m f n >得：m ＜n 。

10.（江苏2010年5分）设函数()()
e e (R)x x
f x x a x -=+∈是偶函数，则实数a = ▲ 【答案】－1。

【考点】函数奇偶性的性质。

【分析】∵()()
e e (R)x x
f x x a x -=+∈是偶函数，∴()e e (R)x x
g x a x -=+∈为奇函数。

∴()00g =，即00e e 0a -+=。

∴a =－1。

11.（江苏2010年5分）已知函数21,0
()1,
0x x f x x ⎧+≥=⎨<⎩,则满足不等式2(1)(2)f x f x ->的x
的范围是 ▲ 。

【答案】(11)x ∈-。

【考点】分段函数的单调性。

【分析】分段讨论：
当1x <-时，210x <-，20x <，则2(1)1f x -=，(2)1f x =。

∴2(1)(2)f x f x ->无解。

当10x <-≤时，210x -≥，20x <，则222(1)(1)1f x x -=-+，(2)1f x =。

∴由
2(1)(2)f x f x ->得，
22(1)1x -+>1，解得1x ≠±。

∴此时x 的范围是（－1，0）。

当01x ≤≤时，210x -≥，20x >，则222(1)(1)1f x x -=-+，2(2)(2)1f x x =+。

∴由2(1)(2)f x f x ->得，22(1)1x -+>2(2)1x +，解得01x ≤。

∴此时x 的范围是
[01）。

当1x >时，210x <-，20x >，则2(1)1f x -=，2(2)(2)1f x x =+。

∴由2(1)(2)f x f x ->得1>2(2)1x +，无解。

综上所述，满足不等式2(1)(2)f x f x ->的x 的范围是(11)x ∈-。

12.（江苏2010年5分）将边长为1m 正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，
其中一块是梯形，记2
(S =梯形的周长）
梯形的面积
,则S 的最小值是 ▲ 。

【考点】求闭区间上函数的最值。

【分析】设剪成的小正三角形的边长为
x ，则
：
2
2
2
(3)(01)1x S x x
-=
<<- 令
111
3,(2,3),(,)
32
x t t t -=∈∈，
则
：
22
2211
8668131
1888
t S t t t t t ===-+-⎛⎫-+---+ ⎪⎝⎭。

∴当138t =时，2
131
888
t ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭有最大值，其倒数有最小值。

∴当138t =，即1
3
x =
时，S。

本题还可以对函数S 进行求导，令导函数等于0求出x 的值，根据导函数的正负判
断函数的单调性进而确定最小值。

13.（江苏2011年5分）函数)12(log )(5+=x x f 的单调增区间是 ▲ _ 【答案】⎪⎭
⎫
⎝⎛+∞-
,21。

【考点】对数函数图象和性质。

【分析】由012>+x ，得21-
>x ，所以函数的单调增区间是⎪⎭
⎫
⎝⎛+∞-,21。

14.（江苏2011年5分）已知实数0≠a ，函数⎩⎨
⎧≥--<+=1
,21
,2)(x a x x a x x f ，若
)1()1(a f a f +=-，则a 的值为 ▲
【答案】34
-。

【考点】函数的概念，函数和方程的关系，含参数的分类讨论。

【分析】根据题意对a 分类：
当0>a 时，11,11<->+a a ，a a a a 2)1()1(2-+-=+-，解之得2
3-=a ，不合舍去；
当0<a 时，11,11>-<+a a ，a a a a 2)1()1(2---=++，解之得4
3-
=a 。

15.（江苏2011年5分）在平面直角坐标系xOy 中，已知点P 是函数)0()(>=x e x f x 的图象上的动点，该图象在P 处的切线l 交y 轴于点M ，过点P 作l 的垂线交y 轴于点N ，设线段MN 的中点的纵坐标为t ，则t 的最大值是 ▲ 【答案】
)(2
1
1-+e e 。

【考点】指数运算，函数的导数的求法及导数的几何意义，导数用于求函数的最值。

【分析】设P 点坐标为)0)(,(>m e m m ，
由x e x f =')(得，l 的方程为)(m x e e y m m -=-，令0=x 得，m m me e y -=。

∴过点P 的l 的垂线方程为)(m x e e y m m --=--，令0=x 得，m m me e y -+=。

∴)(2
1m m m m
me e me e t -++-=。

对函数t(m )求导，得1()(1)2
x x t e e x -'=+-，
∴t 在(0,1)上单调增，在(1,)+∞单调减，当1=m 时，函数t(m )的最大值为
)(2
1
1-+e e 。

16. （2012年江苏省5分）函数x x f 6log 21)(-=的定义域为 ▲ ．
【答案】(
0。

【考点】函数的定义域，二次根式和对数函数有意义的条件，解对数不等式。

【解析】根据二次根式和对数函数有意义的条件，得
1266000112log 0log 620<x >x >x >x x x x ≤-≥≤≤⎧⎧⎧⎪⎪
⇒⇒⎨⎨⎨
⎩⎪⎪⎩⎩。

17. （2012年江苏省5分）已知函数2()()f x x ax b a b =++∈R ，
的值域为[0)+∞，，若关于x 的不等式
()f x c <的解集为(6)m m +，，则实数c 的值为 ▲ ．
【答案】9。

【考点】函数的值域，不等式的解集。

【解析】由值域为[0)+∞，，当2
=0x ax b ++时有2
40a b =-=V ，即2
4
a b =，
∴2
22
2
()42a a f x x ax b x ax x ⎛⎫
=++=++=+ ⎪⎝⎭。

∴2
()2a f x x c ⎛
⎫=+< ⎪⎝
⎭解得2a x +<，22a a x <。

∵不等式()f x c <的解集为(6)m m +，
，∴)()622
a
a -=，解得9c =。

18、（2013江苏卷1）、函数)4
2sin(3π
+
=x y 的最小正周期为 ▲
19、（2013江苏卷11）11．已知)(x f 是定义在R 上的奇函数。

当0>x 时，x x x f 4)(2-=，
则不等式x x f >)(的解集用区间表示为 。

11．()()+∞-,50,5
10、（2013江苏卷13）13．在平面直角坐标系xOy 中，设定点),(a a A ，P 是函数x
y 1
=
（0>x ）图象上一动点，若点A P ，之间的最短距离为22，则满足条件的实数a 的所有值为 。

答案：13．1-或10
二、解答题
1.（江苏2005年12分）已知R a ∈，函数||)(2
a x x x f -=
⑴当2=a 时，求使x x f =)(成立的x 的集合；（4分） ⑵求函数)(x f y =在区间]2,1[上的最小值（10分） 【答案】解：（1）由题意，|2|)(2
-=x x x f
当2<x 时，由x x x x f =-=)2()(2，解得0=x 或1=x ； 当2≥x 时，由x x x x f =-=)2()(2，解得21+=x
综上，所求解集为{0, 1, 1。

（2）设此最小值为m
①当1≤a 时，在区间[1，2]上，23)(ax x x f -=， ∵0)3
2
(323)('2
>-
=-=a x x ax x x f ，)2,1(∈x ， ∴)(x f 是区间[1，2]上的增函数，所以a f m -==1)1(。

②当21≤<a 时，在区间[1，2]上，0||)(2≥-=a x x x f ，由0)(=a f 知，
0)(==a f m 。

③当2>a 时，在区间[1，2]上，32)(x ax x f -=， ∵)3
2
(332)('2
x a x x ax x f -=-=
若3≥a ，在区间（1，2）上，0)('>x f ，则)(x f 是区间[1，2]上的增函数， ∴1)1(-==a f m 。

若32<<a ，则23
2
1<<a ， 当a x 321<
<时，0)('>x f ，则)(x f 是区间[1，a 32
]上的增函数， 当232<<x a 时，0)('<x f ，则)(x f 是区间[a 3
2
，2]上的减函数， ∴当32<<a 时，1)1(-==a f m 或)2(4)2(-==a f m 。

当3
7
2≤<a 时，1)2(4-≤-a a ，故)2(4)2(-==a f m 。

当
33
7
<<a 时，1)2(4-<-a a ，故1)1(-==a f m 。

综上所述，，所求函数的最小值⎪⎪⎪⎩⎪
⎪⎪⎨⎧>
-≤<-≤<≤-=3
7137
2)
2(42
1011a a a a a a a m 。

【考点】函数与导数综合运用，分段函数的解析式求法。

【分析】（1）把2=a 代入函数解析式，根据绝对值的符号分为两种情况，即2<x 和2≥x 分别求解对应方程得根，再把所有的根用列举法表示出来。

（2）根据区间[1，2]和绝对值内的式子进行分类讨论，即1≤a 、
21≤<a 和2>a 三种情况，分别求出解析式和它的导函数，利用导函数的符号判断在闭区间上的单调性，再求最小值；当3≥a 时最小值可能取在区间的两端，再通过作差和分类进行比较两个函数值的大小，最后用分段函数表示函数的最小值。

2.（江苏2006年16分） 设a 为实数，设函数x x x a x f -+++-=111)(2的最大值为g (a )。

（Ⅰ）设t ＝x x -++11，求t 的取值范围，并把()f x 表示为t 的函数()m t （4分） （Ⅱ）求()g a （6分）
（Ⅲ）试求满足)1
()(a
g a g =的所有实数a （6分）
【答案】解：（Ⅰ）对于t =t 意义，必须10x +≥且10x -≥，即
11x -≤≤。

∴22[2, 4]t =+，0t ≥。

∴t 的取值范围是。

由22t =+21
12
t =-，
∴()22111, 22m t a t t at t a t ⎛⎫
=-+=+-∈ ⎪⎝⎭。

（Ⅱ）由题意知()g a 为函数()21
, 2
m t at t a t =+-∈的最大值，注意
到直线1t a =-
是抛物线()21
2
m t at t a =+-的对称轴，分以下几种情况讨论：
⑴当0a >时，函数()y m t =, t ∈的图象是开口向上的抛物线的一段，
由10t <a
=-知()m t 在上单调递增，
∴()()22g a m a ==+。

(2)当0a =时，()m t t =，t ∈，∴()()22g a m ==。

(3)当0a <时,函数()y m t =, t ∈的图象是开口向下的抛物线的一
段，
若1
t a
=-∈
，即a ≤
()g a m =；
若1t a =-∈
，即12a <≤-则11()()2g a m a a a
=-=--； 若1(2,)t a =-∈+∞，即1
02
a -<<则()(2)2g a m a ==+
综上,
得12211()22a a g a a a a a ⎧⎛⎫
⎪+>- ⎪
⎪⎝
⎭⎪
⎛⎫⎪=--<≤- ⎪⎨ ⎪⎝⎭⎪
⎛≤ ⎝⎭⎩。

（Ⅲ）情形1：当2a <-时
112a >-
，此时()g a 11
()2g a a
=+。

由1
2a
+=
1a =--，与2a <-矛盾。

情形2：
当2a -≤<
112a <≤-，
此时()g a ，11()2
a g a a =--。

12
a
a =--
解得a =与2a <-矛盾。

情形3：
当a ≤-
时，1a ≤，
此时1
()()g a g a
=。

所
以2
a ≤≤-。

情形4：
当12a <≤-
时，12a -≤<此时1()2g a a a =--
，1()g a =。

由1
2a a
--
a =
12a <≤-矛盾。

情形5：当102a -<<时，12a <-，
此时()2g a a =+
，1
()g a
由2a +=
解得2a ，与1
02
a -<<矛盾。

情形6：当0a >时，10a >，此时()2g a a =+, 11()2g a a =+ 。

由1
22
a a
+=+解得1a =±，由0a >得1a =。

综上所述，满足1
()()g a g a =的所有实数a
为2
a ≤≤或1a =。

【考点】函数最值的应用
【分析】（I ）由t ＝x x -++11
2112
t -转化。

（II ）求()g a 的最大值，即求函数()21, 2
m t at t a t =+-∈的最大值．严格
按照二次函数求最值的方法进行。

（III ）要求满足1()()g a g a
=的所有实数a ，则必须应用()g a 的解析式，它是分
段函数，必须分情况选择解析式进行求解。

3.（江苏2007年16分）已知,,,a b c d 是不全为0的实数，函数2()f x bx cx d =++，
32()g x ax bx cx d =+++，方程()0f x =有实根，且()0f x =的实数根都是
(())0g f x =的根，反之，(())0g f x =的实数根都是()0f x =的根，
（1）求d 的值；（3分）
（2）若0a =，求c 的取值范围；（6分） （3）若1,(1)0a f ==，求c 的取值范围。

（7分）
【答案】解：（1）设0x 是()0f x =的根，那么()00f x =，
则0x 是(())0g f x =的根，则()00,g f x =⎡⎤⎣⎦即()00g =，∴0d =。

（2）∵0a =，∴()()22
,f x bx cx g x bx cx =+=+， 则()()(())g f x f x bf x c =+⎡⎤⎣⎦=()()2
2
2
bx cx
b x
bcx c +++=0的根也是
()()0f x x bx c =+=的根。

（a ）当0b =， 0c ≠时，此时()0f x =的根为0，而(())0g f x =的根也
是0，∴0c ≠。

（b ）当0b ≠， 0c =时，()0f x =的根为0，而(())0g f x =的根也是0。

（c ）当0b ≠，0c ≠时，()0f x =的根为0和c
b
-
，而()0bf x c +=的根不可能为0和c b
-
， ∴()0bf x c +=必无实数根，
∴()2
2
40bc b c ∆=-<，由0b ≠解得04c <<。

∴综上所述，当0b =时，0c ≠；当0b ≠时，04c ≤<。

（3）1,(1)0a f ==，∴0b c +=，即()0f x =的根为0和1。

∴(
)
()2
2
2cx cx
c cx cx c -+--++=0必无实数根。

（a ）当0c >时，t =2
cx cx -+=2
1244c c c x ⎛⎫--+≤ ⎪⎝⎭
，即函数
()2h t t c t c
=-+在4
c
t ≤，()0h t >恒成立。

又()2
22
24c c h t t ct c t c ⎛⎫=-+=-+- ⎪⎝⎭
，∴()min 04c h t h ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，即
22
0,164
c c c -+> ∴1603
c <<。

（b ）当0c <时，t =2
cx cx -+=2
1244c c c x ⎛⎫--+≥ ⎪⎝⎭
，即函数
()2h t t c t c
=-+在4
c
t ≥，()0h t >恒成立。

又()2
22
24c c h t t ct c t c ⎛⎫=-+=-+- ⎪⎝⎭
，∴()min 02c h t h ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，即
24c c -0>，而0c <，∴2
4
c c -0<，∴c 不可能小于0。

（c ）0,c =则0,b =这时()0f x =的根为一切实数，而()0g f x =⎡⎤⎣⎦，
∴0,c =符合要求。

∴综上所述，16
03
c ≤<。

【考点】函数与方程的综合运用。

【分析】（1）不妨设0x 为方程的一个根，即()00f x =，则由题设得()00g f x =⎡⎤⎣⎦，从而由()0g d =求解。

（2）由（1）知
()()22,f x bx cx g x bx cx =+=+．所以有
()()(())g f x f x bf x c =+⎡⎤⎣⎦
=()()2
2
2
bx cx
b x
bcx c +++=0。

而方程()()0f x x bx c =+=。

最后按方程的类型，分（ⅰ）
0b =， 0c ≠，（ⅱ）0b ≠， 0c =，（ⅲ）0b ≠，0c ≠讨论。

（3）由1,(1)0a f ==得0b c +=，将函数的系数都用c 表示，分0c >，0c <，
0c =三种情况讨论。

4.（江苏2008年16分）已知函数1
1()3
x p f x -=，2
2()23
x p f x -=⋅（12,,x R p p ∈为常数）．函
数()f x 定义为：对每个给定的实数x ，112212(),()()
()(),()()
f x f x f x f x f x f x f x ≤⎧=⎨
>⎩若若
（1）求1()()f x f x =对所有实数x 成立的充分必要条件（用12,p p 表示）；
（2）设,a b 是两个实数，满足a b <，且12,(,)p p a b ∈．若()()f a f b =，求证：函数()f x 在区间[,]a b 上的单调增区间的长度之和为
2
b a
-（闭区间[,]m n 的长度定义为n m -） 【答案】解：（1）由()f x 的定义可知，1()()f x f x =（对所有实数x ）等价于
()()12f x f x ≤（对所有实数x ）这又等价于1
2
3
23
x p x p --≤，即
12
3log 23
32x p x p ---≤=对所有实数x 均成立. （*）
由于121212()()()
x p x p x p x p
p p x R ---≤
---=-∈的最大值为12p p -，
故（*）等价于12
3
2p p -≤，即123log 2p p -≤，这就是所求的充分必要条件。

（2）分两种情形讨论：
（i ）当1232p p log -≤时，由（1）知1()()f x f x =（对所有实数[,]x a b ∈）
则由()()f a f b =及1a p b <<易知12
a b
p +=
， 再由11
1
11
3,()3,p x
x p x p f x x p --⎧<⎪=⎨
≥⎪⎩的单调性可知， 函数()f x 在区间[,]a b 上的单调增区间的长度
为22
a b b a b +--=（参见示意图1） （ii ）1232p p log ->时，不妨设12,p p <，则213log 2p p ->，于是 当1x p ≤时，有1
212()33()p x
p x f x f x --=<<，从而1()()f x f x =；
当2x p ≥时，有31
2122122log 212()3
33333()x p p p x p p p x p x p f x f x --+----===>=
从而 2()()f x f x = ；
当12p x p <<时，11()3x p f x -=，及22()23p x f x -=⋅，由方程1
23
23x p p x --=⋅
解得12()()f x f x 与图象交点的横坐标为
12031
log 222p p x +=
+ ⑴ 显然10221321
[()log 2]2
p x p p p p <=---<，
这表明0x 在1p 与2p 之间。

由⑴易知
10
1022
(),()(),p x x f x f x x x p f x ≤≤⎧=⎨<≤⎩。

综上可知，在区间[,]a b 上，0
102(),()(),a x x f x f x x x b
f x ≤≤⎧=⎨<≤⎩ （参
见示意图2）
故由函数1()f x 及2()f x 的单调性可知，()f x 在区间[,]a b 上的单调增区间的长度之和为012()()x p b p -+-，由于()()f a f b =，即123
23p a
b p --=⋅，得
123log 2p p a b +=++ ⑵
故由⑴、⑵得 0121231()()[log 2]22
b a
x p b p b p p --+-=-+-=。

综合（i ）（ii ）可知，()f x 在区间[,]a b 上的单调增区间的长度和为
2
a
b -。

【考点】指数函数综合题。

【分析】（1）根据题意，先证充分性：由()f x 的定义可知，1()()f x f x =对所有实数成立，
等价于()()12f x f x ≤对所有实数x 成立，等价于1
2
3
23
x p x p --≤，即
12
3log 23
32x p x p ---≤=对所有实数x 均成立，分析容易得证。

再证必要性：
12
3log 23
32x p x p ---≤=对所有实数x 均成立等价于12
3
2p p -≤，即
123log 2
p p -≤。

（2）分两种情形讨论（i ）当1232p p lo g -≤时，由中值定理及函数的单调性得到
函数()f x 在区间[,]a b 上的单调增区间的长度；（ii ）1232p p log ->时，,a b 是两个实
数，满足a b <，且12,(,)p p a b ∈，根据图象和
函数的单调性得到函数()f x 在区间[,]a b 上的单调增区间的长度。

5.（江苏2009年16分）设a 为实数，函数()2()2f x x x a x a =+--. (1)若(0)1f ≥，求a 的取值范围； (2)求()f x 的最小值；
(3)设函数()()(),, +h x f x x a =∈∞ ，直接写出．．．．(不需给出演算步骤)不等式()1h x ≥的解集. 【答案】解（1）若(0)1f ≥，则||1a a -≥ 当0a <时，21a ≥，∴1a ≤-； 当0a >时，21a -≥无解。

∴a 的取值范围为1a ≤-。

（2）当x a ≥时，22()32,f x x ax a =-+()
()22
min
()20()2()03
3f a a a f x a a f a ⎧=≥⎪
=⎨=<⎪⎩； 当x a ≤时，22
()2,f x x ax a =+-()()
2
min
2()20()()20f a a a f x f a a a ⎧-=-≥⎪=⎨=<⎪⎩ ∴综上()
()22
min
20()203
a a f x a a ⎧-≥⎪
=⎨<⎪⎩。

（3
）当a ∈时，解集为(,)a +∞;
当(a ∈
时，解集为3([)
a a
+-+∞;
当[a ∈时，解集为)+∞。

【考点】二次函数的性质，一元二次不等式的解法。

【分析】（1）(0)1||1f a a ≥⇒-≥再去绝对值求a 的取值范围。

（2）分x a ≥和x a ≤两种情况来讨论去绝对值，再对每一段分别求最小值，最后综
合即可。

（3）()1h x ≥转化为223210x ax a -+-≥，因为不等式的集由对应方程的根决定，
所以再对其对应的判别式分三种情况讨论求得对应解集即可。

(,)x a ∈+∞时，由()1h x ≥得223210x ax a -+-≥，
∴222412(1)128a a a ∆=--=-
当a a ≤≥时，0,(,)x a ∆≤∈+∞；
当a <<
△>0,得：(0x x x a
⎧⎪≥⎨⎪>⎩。

因此，讨论得：
当a ∈时，解集为(,)a +∞;
当(2a ∈
时，解集为3([)
a
a +-+∞;
当[a ∈时，解集为)+∞。

6.（江苏2010年16分）设)(x f 是定义在区间),1(+∞上的函数，其导函数为)('x f 。

如果存在实数a 和函数)(x h ，其中)(x h 对任意的),1(+∞∈x 都有)(x h >0，使得
)1)(()('2+-=ax x x h x f ，则称函数)(x f 具有性质)(a P 。

(1)设函数)(x f 2
ln (1)1
b x x x +=+
>+，其中b 为实数。

(i)求证：函数)(x f 具有性质)(b P ； (ii)求函数)(x f 的单调区间。

(2)已知函数)(x g 具有性质)2(P 。

给定1212,(1,),,x x x x ∈+∞<设m 为实数，
21)1(x m mx -+=α，21)1(mx x m +-=β，且1,1>>βα，
若|)()(βαg g -|<|)()(21x g x g -|，求m 的取值范围。

【答案】解：（1）(i) 证：'()f x 222121
(1)(1)(1)
b x bx x x x x +=
-=-+++ ∵1x >时，2
1
()0(1)
h x x x =
>+恒成立，∴函数)(x f 具有性质)(b P 。

(ii)设2()1x x bx ϕ=-+，
当2b ≤时，对于1x >，222()121(1)0x x bx x x x ϕ=-+≥-+=-> ∴)('x f 0>，故此时)(x f 在区间),1(+∞上递增；
当2b >时，()x ϕ图像开口向上，对称轴12
b
x =
>，方程()0x ϕ=的两根为：
(0,1)>=。

当(1,2
b x ∈时，()x ϕ0<，)('x f 0<，故此时)(x f 在区间
(1,2
b 上递减，
同理得：)(x f 在区间)+∞上递增。

综上所述，当2b ≤时，)(x f 在区间),1(+∞上递增；当2b >时，)(x f 在
上递减；)(x f 在)+∞上递增。

(2)由题意，得：22'()()(21)()(1)g x h x x x h x x =-+=-， 又)(x h 对任意的),1(+∞∈x 都有)(x h >0，
∴对任意的),1(+∞∈x 都有()0g x '>，()g x 在(1,)+∞上递增。

又1212,(21)()x x m x x αβαβ+=+-=--， 当
1
,12
m m >
≠时，
αβ<，且
11
22(1)(1)
,
(1
)
x m x m x x m x m αβ-=-+--
=-+-，
综上所述，所求m 的取值范围是（0，1）。

【考点】利用导数研究函数的单调性。

【分析】（1）(i)先求出函数)(x f 的导函数'()f x ，然后将其配凑成21f '(x )h(x )(x bx )=-+这种形式，再说明h(x )对任意的x ∈（1，+∞）都有h(x )＞0，即可证明函数)(x f 具有性质)(b P ；
(ii)设2()1x x bx ϕ=-+，分2b ≤和2b >两种情况讨论：根据(i)令
2()1x x bx ϕ=-+，讨论对称轴与2的大小，当2b ≤时，对于1x >，()x ϕ＞0，所以'()
f x ＞0，可得)(x f ）在区间（1，+∞）上单调性，当2b >时， ()x ϕ图象开口向上，对称轴
12
b
x =
>，可求出方程()x ϕ=0的两根，判定两根的范围，从而确定()x ϕ的符号，得到'()f x 的符号，求出单调区间。

（2）对)(x g 求导，由已知条件，应用不等式的性质求解。

7.（江苏2011年14分）请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD 是边长为60cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD 四个点重合于图中的点P ，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E 、F 在AB 上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=x cm.
（1）若广告商要求包装盒侧面积S （cm 2
）最大，试问x 应取何值？
（2）若广告商要求包装盒容积V （cm 3
）最大，试问x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比
值.
P
【答案】解：设包装盒的高为)(cm h ，底面边长为)(cm a 。

由已知得 30 030
a h x ),x =-<<。

（1）∵1800)15(8)30(842+--=-==x x x ah S ， ∴当15=x 时，S 取得最大值。

（
2
）
∵
2
2)2)(30)(030)V x x x =-=-<<，
∴()20V x '=-。

由0='V 得，0=x (舍)或20=x 。

∴当()0 20x ,∈时0>'V ；当()20 30x ,∈时0<'V ，
∴当20=x 时取得极大值，也是最大值，此时x 1
2h a =）， 即包装盒的高与底面边长的比值为
2
1。

【考点】建立数学函数模型求解能力、导数在实际问题中的应用
【分析】（1）可设包装盒的高为)(cm h ，底面边长为)(cm a ，写出a ，h 与x 的关系式，并注明x 的取值范围．再利用侧面积公式表示出包装盒侧面积S 关于x 的函数解析式，最后求出何时它取得最大值即可。

（2）利用体积公式表示出包装盒容积V 关于x 的函数解析式，利用导数知识求出何
时它取得的最大值即可。

8.（江苏2011年16分）已知a ，b 是实数，函数32f (x )x ax,g(x )x bx,=+=+ )(x f '和
)(x g '是)(),(x g x f 的导函数，若0)()(≥''x g x f 在区间I 上恒成立，则称)(x f 和)(x g 在
区间I 上单调性一致.
（1）设0>a ，若函数)(x f 和)(x g 在区间),1[+∞-上单调性一致,求实数b 的取值范围； （2）设,0<a 且b a ≠，若函数)(x f 和)(x g 在以a ，b 为端点的开区间上单调性一致，
求|a －b |的最大值.
【答案】解：由32f (x )x ax,g(x )x bx =+=+ 得232f (x )x a,g (x )x b ''=+=+ 。

（1）由题意得0)()(≥''x g x f ，在[)+∞-,1上恒成立。

∵0>a ，∴230f (x )x a '=+>。

∴20g (x )x b '=+>，即x b 2-≥在区间[)+∞-,1上恒成立。

∴2≥b ，∴b 的取值范围是[)+∞,2。

（2）令0)(='x f ，解得3
a x -±=。

若0>
b ，由0<a 得),(0b a ∈。

又∵0)0()0(<=''ab g f ，∴函数)(x f 和)(x g 在),(b a 上不是单调性一致的。

∴0≤b 。

当⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-
-∞-∈3,a x 时，0)(<'x g ，0)(>'x f 。

∴函数)(x f 和)(x g 在),(b a 上不是单调性一致的。

当x ⎛⎫
∈ ⎪ ⎪⎝⎭
时，0)(<'x g ，0f (x )<'。

∴函数)(x f 和)(x g 在),(b a 上是
单调性一致的。

∴由题设得3a a --≥且3
a
b --≥，从而031<≤-a ，于是031≤≤-b 。

∴31≤
-b a ，且当0,31
=-=b a 时等号成立。

又当0,3
1=-=b a 时，9
1
(6)()(2
-
=''x x x g x f )， 从而当⎪⎭⎫ ⎝⎛-
∈0,31x 时，0)()(>''x g x f ，∴函数)(x f 和)(x g 在⎪⎭
⎫
⎝⎛-0,31上单调性一致的。

∴b a -的最大值为
3
1。

【考点】单调性概念，导数运算及应用，含参数不等式恒成立问题。

【分析】（1）先求出函数)(x f 和)(x g 的导函数，再利用函数)(x f 和)(x g 在区间[－1，+∞）上单调性一致即0)()(≥''x g x f 在[-1，+∞）上恒成立，以及230x a +>，来求实数b 的取
值范围。

（2）先求出0)(='x f 的根3
a x -±=，讨论
b 的取值范围，得到0≤b 。

再讨论⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--∞-∈3,a x
和x ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭时两个单调性一致的情况，从而求得|b a -|的最大值。

9.（2012年江苏省16分）若函数)(x f y =在0x x =处取得极大值或极小值，则称0x 为函数)(x f y =的极值点。

已知a b ，是实数，1和1-是函数32()f x x ax bx =++的两个极值点．
（1）求a 和b 的值；
（2）设函数()g x 的导函数()()2g x f x '=+，求()g x 的极值点；
（3）设()(())h x f f x c =-，其中[22]c ∈-，
，求函数()y h x =的零点个数． 【答案】解：（1）由32()f x x ax bx =++，得2()32f'x x ax b =++。

∵1和1-是函数32()f x x ax bx =++的两个极值点，
∴ (1)32=0f'a b =++，(1)32=0f'a b -=-+，解得==3a b -0，。

（2）∵ 由（1）得，3()3f x x x =- ，
∴()()23()()2=32=12g x f x x x x x '=+-+-+，解得123==1=2x x x -，。

∵当2x <-时，()0g x <'；当21<x <-时，()0g x >'，
∴=2x -是()g x 的极值点。

∵当21<x <-或1x >时，()0g x >'，∴ =1x 不是()g x 的极值点。

∴()g x 的极值点是－2。

（3）令()=f x t ，则()()h x f t c =-。

先讨论关于x 的方程()=f x d 根的情况：[]2, 2d ∈- 当=2d 时，由（2 ）可知，()=2f x -的两个不同的根为I 和一2 ，注
意到()f x 是奇函数，∴()=2f x 的两个不同的根为一和2。

当2d <时，∵(1)=(2)=20f d f d d >----，
(1)=(2)=20f d f d d <----- ，
∴一2 , －1，1 ，2 都不是()=f x d 的根。

由（1）知()()()=311f'x x x +-。

① 当()2x ∈+∞，时，()0f 'x > ，于是()f x 是单调增函数，从而
()(2)=2f x >f 。

此时()=f x d 在()2+∞，无实根。

② 当()1 2x ∈，时．()0f'x >，于是()f x 是单调增函数。

又∵(1)0f d <-，(2)0f d >-，=()y f x d -的图象不间断，
∴()=f x d 在（1 , 2 ）内有唯一实根。

同理，()=f x d 在（一2 ，一I ）内有唯一实根。

③ 当()1 1x ∈-，时，()0f'x <，于是()f x 是单调减两数。

又∵(1)0f d >--， (1)0f d <-，=()y f x d -的图象不间断，
∴()=f x d 在（一1，1 ）内有唯一实根。

因此，当=2d 时，()=f x d 有两个不同的根12x x ，满足12=1 =2x x ，；当
2d < 时
()=f x d 有三个不同的根315x x x ，，，满足2 =3, 4, 5i x <i ，。

现考虑函数()y h x =的零点：
( i ）当=2c 时，()=f t c 有两个根12t t ，，满足12==2t t 1，。

而1()=f x t 有三个不同的根，2()=f x t 有两个不同的根，故()y h x =有5 个
零点。

( 11 ）当2c <时，()=f t c 有三个不同的根345t t t ，，，满足
2 =3, 4
, 5i t <i ，。

而() =3,() 4, = 5i f x t i 有三个不同的根，故()y h x =有9 个零点。

综上所述，当=2c 时，函数()y h x =有5 个零点；当2c <时，函数()
y h x =有9 个零点。

【考点】函数的概念和性质，导数的应用。

【解析】（1）求出)(x f y =的导数，根据1和1-是函数)(x f y =的两个极值点代入列方程组求解即可。

（2）由（1）得，3()3f x x x =-，求出()g x '，令()=0g x '，求解讨论即可。

（3）比较复杂，先分=2d 和2d <讨论关于x 的方程()=f x d 根的情况；再考虑函数()y h x =的零点。