固体物理金属电子论作业答案

解：Na电子的费米速度：
2 EF 0 2 3.2 1.60 1019 J vF 1.06 106 m/s 1.06 108 cm/s m 9.111031 kg
由： vF (3 2 n)1/ 3 m
由：
n q 2 m
得： n
3 m 3v F
3 2 3
2. 已知KCl晶体的摩尔体积为3.7110-5m3。在可见光频率，钾 离子和氯离子的极化率分别为1.48和3.29（单位10-40 F· 2）。 m （1）计算KCl晶体的光频介电常数；（2）计算在105V/m的 有效电场下， KCl晶体正负电荷的位移。
解：KCl分子密度为：
6.02 1023 n 1.62 1028 3.7110-5
3） 费米速度
0 2 EF k F 1.05 10 34 J s vF 1.20 1010 m 1 m m 9.1110 31 kg
1.38 106 m / s 1.38 108 cm / s
3.用a3代表每个原子占据的体积，若金属中的自由电子气体在温 度为0K时能级被填充到kF0=(62)1/3/a，试计算每个原子的价电子 数目？并导出电子气在温度0K时的费米能的表达式？ 解：假设价电子数位Z，则电子浓度为： n
r
室温本征电阻l（室温）可认为仅与金属类型有关，与杂质 含量无关。金属纯度越高，剩余电阻越低，电阻率比越大； 反之，金属杂质含量多，则剩余电阻较大，电阻率比较小。
故金属电阻率比可近似表征一个金属样品的纯度。
•试解释为什么金刚石静态介电常数与光频介电常数几乎相等，但氧化 钛的静态介电常数远大于光频介电常数 （具体值见讲义）。 答：固体静态介电常数来自偶极子取向极化、离子极化和电子极化等不同 极化机制，而光频介电常数主要来自电子极化。金刚石只存在电子极化， 故静态介电常数与光频介电常数相等。而氧化钛低频时三种极化同时存在， 介电常数相对光频时（电子极化主导）较大。
费米面态密度（每摩尔）：
3N 0 3N 0 g ( EF 0 ) 2 EF 0 2k BTF 3 6.02 10 23 5.3110 23 eV 1mol 1 19690 1.38 10 23 2 1.60 10 19
5. Na的费米能EF0=3.2eV，在T=0K时的电导率= 2.1107 (cm)1，试求该温度下电子的弛豫时间和平均自由程？
•传统硅基集成电路的栅介电材料和互连介质材料均为SiO2，但随集成度的提高， 需要提高栅介电的介电常数，而互连介质的介电常数最好能降低。根据克劳修斯莫索提关系，请试给出你认为可行的技术措施。 答：根据克劳修斯-莫索提关系，介电常数与原子密度和原子极化率有关。 提高介电常数：掺N(致密度或极化率提高）或采用其它氧化物（ZrO2、HfO2等） 降低介电常数：掺F（利用F离子强束缚电子特性降低极化率）或制备多空SiO2或 采用有机材料。
2
2.08 103 T J mol 1 K 1
故费米温度：
TF
2N 0 kB
2 2.08 10 3 mJ mol 1 K 1
3.142 6.02 1023 1.38 1023 J K 1 19690 K 3 1 1 2 2.08 10 J mol K
1.48 3.29 4.77 1040 F m2
1 n 1.62 1028 m 3 4.77 10 40 F m 2 0.29 12 1 2 3 0 3 8.85 10 F m
2.23
2）
p Eeff
6. 定义金属电阻率比为室温电阻率对剩余电阻率的比值， 可用
来近似表征一个金属样品的纯度。试说明其原理。 答：金属的电阻率可表示为
l (T ) r
l为本征电阻，由晶格散射引起，随温度升高增大；r为剩
余电阻，由缺陷、杂质散射引起，不随温度改变。 金属电阻率比定义为：l (室温) 1
S
L2
k+dk
（2）0K时，正方形中内电子气体的电子数表示为：
N
EF 0
g ( E ) f ( E )dE
0 0
EE 0
L2 m L2 m 0 dE 2 EF 2
0 EF
2 N
m L
2
2. 若将银看成具有球形费米面的单价金属，计算以下各量 1) 费密能量和费密温度 2） 费米波矢 3） 费米速度 银的密度=10.5gcm-3，银的分子量=107.87 解：银的电子浓度： n 6.02 10 23 5.86 10 22 cm 3 M 1） 2 (1.05 1034 J s) 2 2 2/3 3 n EF 0 (3 3.142 5.86 1028 m 3 ) 2 / 3 31
K+离子位移： 位移： l
Eeff
q
l
Eeff
q
1.48 1040 F m 2 105V m 1 9.25 1017 m 1.6 1019 C
Cl+离子位移：
l
Eeff
q
3.29 1040 F m 2 105V m 1 2.06 1016 m 1.6 1019 C
m 3 2 3 3 2 (1.05 10 34 )3 2.1109 2 3 2 2 nq vF q m (1.06 106 )3 (1.60 10 19 ) 2 (9.1110 31 ) 2
2.92 1012 s
平均自由程：
vF 2.92 1012 s 1.06 108 cm / s 3.10 106 m
2 1/ 3 2 Z 费米波矢： k F (3 n) 3 3 a 1/ 3
Z a3
1 a
6

2 1/ 3
可得：Z=2 电子气在温度0K时的费米能：
EF 0 3 2 n 2m
2Leabharlann 2/3 2 2 3 3 2m a
1. 限制在边长为L的正方形中的N个电子，单电子能量为E(kx, ky)=ћ2(kx2+ky2)/(2m)
(1) 求能量EE+dE之间的状态数？ (2) 求0K时的费米能EF0？
解：
（1）考虑k空间半径k k+dk一圆环 内的状态数：
k
dk G 2 2kdk k E 2 2 dE 1 L2 m k 2 E 2 E k/m L2 m g (E) 2 L2
2m 2 9.1110 kg
8.711019 J 5.44eV
EF 0 8.7110 19 J TF 63116 K 23 k B 1.38 10 J / K
2）费米波矢
k F 3 n
2


1/ 3
(3 3.142 5.86 1022 cm3 )1/ 3 1.20 108 cm1
2
2/3
2 6 2 2ma 2

2/3
4.低温下金属钾的摩尔电子热容的实验测量结果为C=2.08T mJ· -1· -1，在自由电子模型下估算钾的费米温度和费米面 mol K 态密度。 解：一个钾原子有一个价电子，一摩尔钾的电子热容：
kBT 2 T kB CV N0 N 0 kB E 2 2 TF F0