画法几何复习题

4（ 3）
3
5 （6）
1 （2）
2
6 1
4
类似形
5
2
3
1 6
类似形
5
4
Ⅲ
Ⅱ Ⅰ
Ⅳ Ⅵ
Ⅴ
例18 求九棱柱被正垂面截切后的俯视图。
3´=4´=6´=7´
5´ 2´=8´
1´=9´
87
9
6
5
1
4
23
7″ 6″ 4″ 3″ 5″
8″ 9″
2″ 1″
例18 求九棱柱被正垂面截切后的俯视图。
用截交线的 类似性检查
s'
2'
c' 6' 5'
4'
解题步骤： 1、分析两立体的空间关系， 根据积聚性，确定相贯线的已
b' 知投影。
a 3
2、求相贯线上的贯穿点。
1
s (6) (5) (4)
b 3、先判断可见性，依次连接
2
贯穿点。
c
例20：已知三棱锥与三棱柱相交，求作相贯线
3'
a'
1'
s' 2
c' 6' 5'
4'
解题步骤： 1、分析两立体的空间关系， 根据积聚性，确定相贯线的
Ⅵ Ⅴ
Ⅳ Ⅲ
Ⅱ Ⅰ
6'
4' (5')
1' 2' (3')
(6 ")
5"
4"
3" 1" 2 "
5 3
1
6
2
4
类似形
类似 形
例16 求带缺口的正四棱台的H投影。
例17 求立体切割后的投影。
4
3
（3）
5
6
（6）
1（2）
2
1
4 单一平面截 5 切平面立体
2
3
1 6
Ⅲ
Ⅱ Ⅰ
Ⅳ Ⅵ
Ⅴ
5
4
例17 求立体切割后的投影。
求解一般位置直线的实长及倾角
根据一般位置直线的投影求解其实长及 倾角是画法几何综合习题中的常遇见的基本 问题之一，也是工程实际中经常需要解决的
问题。而用直角三角形法求解实长及倾角最
为简便、快捷。
直角三角形法
直角三角形法的四要素：投影长、坐标差、 实长、倾角。已知四要素中的任意两个，便可 确定另外两个。
OX
bd
a
c
a
b' d'
c' O
bd
c
空间两直线平行
注意：对于一般位置 的两直线，仅根据它 们的水平投影及正面
a' c'
Z a"
c"
投影是否平行，就可
判定它们在空间是否 平行。但是对于侧平
d'
b'
O
Байду номын сангаас
线，则必须考察它们 X
c
d" b" YW
的侧面投影，才可以
a
断定它们在空间的真 实位置。
d b
AB、CD不平行
b' 已知投影。
a
3
2、求相贯线上的贯穿点。
1
s (6) (5) (4) 2
b 3、先判断可见性，依次连接 贯穿点。
c
4、补全棱线。
例21 完成三棱锥和三棱柱相贯后的三面投影。
例22 完成三棱锥和贯穿孔的三面投影。
例23 已知同坡屋面的倾角及其同高檐线的平面 图,
完成屋面的三面投影图
1′
2 ′ (3 ′) 4 ′
顺序连接各点。
例19 求八棱柱被平面P截切后的水平投影。
作图步骤: 1、画出棱柱未截切时的投影； 2、求棱线与截平面的交点； 3、判断可见性,顺序连接各点； 4、确定截切后各棱线的长度； 5、用投影的对应关系检查截交线的投影； 6、加深图线。
例20：已知三棱锥与三棱柱相交，求作相贯线
3'
a'
1'
c′
b′
a′
a′
a′
b′ c′
c′
b′
b
a
c
(a)相交
b
a
c
(b)垂直相交
b
c
a
(c)相交
例6:判断下列各图中两直线的位置关系
a′ c′
b′ d′ d
a
c′
a′
d′
b′
a
b
a′ c′ b′ d′
c b
c
d
c (d) a (b)
(d)交叉
(e)平行
(f )平行
例7:判断下列各图中两直线的位置关系
(g)相交
最高点A
b ca
一般点C
最低点B
例27 求圆锥截割后的H、W投影。
例28 求圆锥截割后的H、W投影。
例29 求圆台截交线。
6‘(7') 4‘(5')
1'
2'(3')
7
5
3
1 2
46
3"
2"
7"
6"
5"
4"
1"
例30 求三棱柱与半球的相贯线。
3' 4' 5'
1' 2'
PH
1
QH
3
SH
4
TH
5
2
例9：确定A点到正平线CD的距离。
a'
c'
m
所求距离
b'
d'
X
O
a
m
c
d
b
例10 作三角形ABC，ABC为直角，使BC在MN
上，且BCAB =23。
a
bc=BC
b
ab
c
SCAB
c
b
a
|yA-yB|
例11 已知 ABC给定一平面，试过点C作属于该平面的 正平线，过点B作属于该平面的水平线。
n m
1'
n
m
1
例12 已知AC为正平线，补全平行四边形ABCD 的水平投影。
解法一： b
解法二： b
a
k
c a
c
X
d
d
X
d
d
a
k
ca
c
b
b
例12 已知五边形ABCDE的V面投影及一边AB 的H面投影，并AC为正平线，试完成其H投影。
c′ b′
1′
a′
2′
d′
e′
b
a
1
c
2
d e
平面内的最大斜度线
平面内最大斜度线对投影面的倾角 等于该平面对相应投影面的倾角。
AB为平面P内对H
PA
面的最大斜度线
C
c
D
α
d B H
AB对H面的倾角等于 平面P对H面的倾角
例13 求作 ABC平面上对水平面的最大斜度线BE。
d' e' e
d b
例14 已知△ABC的两面投影，试求其 对H面的倾角α
b'
d'
a'
e'
m c'
e α
a
d b
c m
例15 补出立体被截割后的投影。
YH
空间两直线相交
两直线相交必有一个公共交点，因此：若空间两直
线相交，则它们的各同面投影均相交，且交点符合点的
投影规律。反之亦然。
b'
k'
d' B
k' c'
c' a'
a' C
X
X
c
K
O
bD
c
b' d'
O b
A
k
k
a
d
a
d
空间两直线相交
同平行的两直线一 样，对于一般位置的 两直线，只根据水平
Z
c'
c"
b' b"
投影及正面投影的相
对位置，就可判别它 a' X
d'
O d" a"
YW
们在空间是否相交。
但是对于其中有一条 a
d
是侧平线的两直线，
则必须考察它们的侧 面投影是否相交。
c b
YH
空间两直线相叉
空间两直线即不平行也不相交时，称为相叉.
V a'
c' X
A C
ca H
d' a'
b' B D
O b
d
c' X
c a
d' b'
O b d
空间两直线相叉
空间两直线相叉 时，它们的同面投影 可能相交，但交点不 可能符合点的投影规 律；它们的某个同面 投影可能平行，但不 可能三个同面投影都 同时出现平行。
d' m' f ' (e')
a'
b'
n'
c'
X
O
m(n) c
eb
a
f
d
例5:判断下列各图中两直线的位置关系
(h)相交
( i )交叉
例8:判断下列各图中两直线的位置关系
a′ c′
b′ d′
b′ d′
a′ c′
X
c
b
a
d
X a
d cb
AB 相交于 CD
AB ∥ CD
直角的投影(直角定理)
互相垂直（相交或交叉）的两直线其中一 条为投影面平行线时，则两直线在投影面上的 投影必定互相垂直。
反之，若两直线在某一投影面上的投影成 直角，且其中一条直线平行于该投影面时，则 空间两直线一定垂直。
解题步骤：
（1）进行线面分析， 判断相贯线的形状；
（2）作相贯线上转 折点、特殊位置点 的投影； （3）根据情况作若 干个相贯线上一般 位置点的投影；
（4）光滑地连接各 点，并判断可见性.
（5）整理轮廓。
例30—副题
a"
a
例31 完成半圆球和四棱柱相贯后的投影。
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考试题型
一、已知点的两面投影求第三投影——5分 二、两直线的位置关系——5分 三、直角三角形法与最大斜度线的综合——10分 四、直线的投影——10分 五、做平面的投影——10分 六、平面切割曲面立体——10分 七、平面切割平面立体——10分 八、两平面立体相交——10分 九、同坡屋面——10分 十、平面立体与曲面立体相交——10分 十一、轴测图的绘制——10分
例19 求八棱柱被平面P截切后的水平投影。
4=5 Pv
2=3=6=7
1=8 8
7 5
6
3
4
1
2
单一平面截
切平面立体
5
4
7
6 3
2
Ⅴ Ⅳ
Ⅶ Ⅵ
8
1
Ⅷ
Ⅲ Ⅱ
求截交线
Ⅰ
1、补画棱柱未截
切时的水平投影； 截分检截交析查交线棱截线的线交的投
2、求棱线与截 影的线特投的形性影投状？影？ 平面的交点；
加深图线。 3、判断可见性，
1〞(
2
〞
3
) 〞
4〞
30°
1
2
3
4
例24 补画水平投影。
例25 求圆锥被截切后的水平投影和侧面投影
分析：截平面过锥顶, 截交线为三角形。
作图：
例26 求圆锥截交线。
a' c' b'
a"
c" b"
解题步骤
1.分析截平面为正平面，截 交线为双曲线；截交线的水 平和侧面投影已知，正面投 影为双曲线并反映实形； 2.求截交线上的特殊点A、B 3.求出一般点C ； 4.光滑顺次地连接各点，作 出截交线，并判别可见性； 5.整理轮廓线。
解题时，直角三角形画在任何位置都 不影响解题结果，但用哪个长度来作直角 边不能搞错。
例1:求一般位置直线AB对V面的倾角β
SCAB
NEW
例2:求一般位置直线AB对W面的倾角
SCAB
例3:已知直线的投影a'b'及实长，求投影ab。
SCAB
X a' a
AB
B0
b' O
解题思路及步骤:
1.根据Rt△的组成，利用 a'b'及实长作直角三角形； 2 .求出Y坐标差； 3. 利用Y坐标差求ab投影。
思考：若将已知条件实长换
b
成=30°，则如何解题？
例4:过点C作正平线CD与直线AB相交。
a′
c′ X
c
d′ b′ b
d
a
空间两直线平行
两直线在空间互相平行，则它们的同面投影也相互 平行。反之，若两直线的各个同面投影均相互平行，则 该两直线在空间也一定相互平行。
b' B d'
a'
D
a'
c'
X
A
C