2016-2017年湖南省长沙市雨花区雅礼中学高一(上)数学期中试卷和答案
湖南省高一上学期期中数学试题(解析版)
一、单选题1．已知全集 ，集合 ，集合 ，则集合 {}1,2,3,4,5,6,7,8U ={}2,3,5,6A ={}1,3,4,6,7B =U A B ⋂=ðA ． B ．C ．D ．{}2,5{}3,6{}2,5,6{}2,3,5,6,8【答案】A【详解】,所以，故选A. {}2,5,8U B =ð{}2,5U A B ⋂=ð【解析】集合的运算.2．已知幂函数在上为增函数，则m 值为（ ）()()22333m f x m m x -=--()0,+¥A ．4B ．-3C ．-1D ．-1或4【答案】A【分析】根据幂函数的定义及区间单调性有，求解即可.2331230m m m ⎧--=⎨->⎩【详解】由题设，知：，解得.2331230m m m ⎧--=⎨->⎩4m =故选：A3．已知集合，，则“”是“”的（ ） {}1,A a ={}1,2,3B =2a =A B ⊆A ．充要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】解：因为，， {}1,A a ={}1,2,3B =当时，显然，故充分性成立； 2a ={}1,2A =A B ⊆当，则或，即必要性不成立； A B ⊆2a =3a =所以“”是“”的充分不必要条件. 2a =A B ⊆故选：C4．函数的定义域为（ ） 2()2f x x =-A ． B ． {|1}x x >-{|12}x x x >-≠,C ． D ．{|2}x x ≥{|12}x x x ≥-≠,【答案】D【解析】根据题意得，解不等式即可得答案.2010x x -≠⎧⎨+≥⎩【详解】解：要使函数有意义，则需满足，解得且2010x x -≠⎧⎨+≥⎩1x ≥-2x ≠所以函数的定义域为：. {|12}x x x ≥-≠,故选：D.5．已知，，，则，，的大小关系是（ ） 0.22a =0.20.4b =0.60.4c =a b c A ． B ． C ． D ．a b c >>a c b >>c a b >>b c a >>【答案】A【分析】根据指数函数的单调性结合中间量“1”即可得解. 【详解】解：因为函数为减函数， 0.4x y =所以， 00.20.610.40.40.4=>>又因为， 0.20221a =>=所以. a b c >>故选：A.6．定义在R 上的奇函数f(x)，满足f ＝0，且在(0，＋∞)上单调递减，则xf(x)＞0的解集为12⎛⎫⎪⎝⎭( )A ．11| 22x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或B ．11|00 22x x x ⎧⎫<<-<<⎨⎬⎩⎭或C ．11|0 22x x x ⎧⎫<<<-⎨⎬⎩⎭或D ．11|0 22x x x ⎧⎫-<<>⎨⎬⎩⎭或【答案】B【分析】由已知中f （）=0，且在（0，+∞）上单调递减，可得f （﹣）=0，且在区间（﹣∞，12120）上单调递减，分类讨论后，可得xf （x ）＞0的解集【详解】∵函数f （x ）是奇函数，在（0，+∞）上单调递减，且f （）=0， 12∴f （﹣）=0，且在区间（﹣∞，0）上单调递减， 12∵当x ＜0，当﹣＜x ＜0时，f （x ）＜0，此时xf （x ）＞0 12当x ＞0，当0＜x ＜时，f （x ）＞0，此时xf （x ）＞0 12综上xf （x ）＞0的解集为11{|00}22x x x -＜＜或＜故选B ．【点睛】本题主要考查函数的单调性和奇偶性的综合应用，体现了转化的数学思想，判断出f （﹣）=0，且在区间（﹣∞，0）上单调递减是解题的关键． 127．已知函数是上的增函数，则的取值范围是（ ） ()27,1,1x ax x f x ax x ⎧---≤⎪=⎨>⎪⎩(),-∞+∞a A ． B ． [)4,0-[]4,2--C ． D ．(],2-∞-(),0∞-【答案】B【分析】依题意可得函数在各段均是增函数且在断点的左侧的函数值不大于断点右侧的函数值，即可得到不等式组，解不等式组即可.【详解】因为且在上单调递增， 27,1(),1x ax x f x ax x ⎧---≤⎪=⎨>⎪⎩()f x R 所以，解得，即01217a a a a <⎧⎪⎪-≥⎨⎪≥---⎪⎩42a -≤≤-[]4,2a ∈--故选：B8．已知函数是奇函数，，且与图象的交点为，()2y f x =-23()x g x x+=()f x ()g x ()11,x y ()22,x y ，……，，则（ ） (),m m x y 12m y y y ++⋅⋅⋅+=A ．0 B ．C ．D ．m 2m 4m 【答案】C【分析】首先判断出函数的图象关于对称，然后判断出函数的图象也关于对()f x ()0,2()g x ()0,2称，由此求得的值.12m y y y ++⋅⋅⋅+【详解】令，则，则， ()()2F x f x =-()()F x F x -=-()2()2f x f x --=-+即，故函数的图象关于对称，又∵关于对称， ()()4f x f x -+=()f x ()0,2233()2x g x x x+==+()0,2∴两个函数图象的交点都关于对称，设关于对称的两个点的纵坐标分别为，，则()0,2()0,2i y i y '， 4i i y y '+=即． 12422m my y y m ++⋅⋅⋅+=⨯=故选：C【点睛】本小题主要考查函数奇偶性的应用，考查函数图象的对称性，属于中档题.二、多选题9．(多选)若函数(,且)的图像经过第一、三、四象限，则下列选项中正确的有 1x y a b =+-0a >1a ≠A ． B ．C ．D ．1a >01a <<0b >0b <【答案】AD【分析】根据指数型函数的图象分布列式可解得.【详解】因为函数 (,且)的图像经过第 一、三、四象限，所以其大致图像如1x y a b =+-0a >1a ≠图所示:由图像可知函数为增函数，所以.当时，， 1a >0x =110y b b =+-=<故选AD.【点睛】本题考查了指数函数的图象,属于基础题. 10．下列说法中正确的是（ ）A ．“，”是“”成立的充分条件 1a >1b >1ab >B ．“”是“”成立的充分不必要条件 a b >22a b >C ．命题“若，则”的否定是假命题0a b >>11a b <D ．命题P ：，，则：， x ∀∈R 20x >P ⌝x ∃∈R 20x <【答案】AC【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断A 、B ，判断原命题的真假即可得到其否定的真假，从而判断C ，根据全称量词命题的否定为特称量词命题判断D.【详解】解：对于A ：由，可以得到，故“，”是“”成立的充分条1a >1b >1ab >1a >1b >1ab >件，即A 正确；对于B ：由推不出，如，满足，但是，故充分性不成立，则B a b >22a b >1a =1b =-a b >22a b =错误；对于C ：命题“若，则”为真命题，则其否定为假命题，故C 正确； 0a b >>11a b<对于D ：命题P ：，，则：，，故D 错误； x ∀∈R 20x >P ⌝x ∃∈R 20x ≤故选：AC11．下列命题正确的是（ ） A ．当时， B ．当时，1ab =2a b +≥1ab =2b aa b+≥C ． D82821x x +-≥-2≥【答案】BD【分析】逐项判断每个选项的正误进行判断.【详解】对于A ，当时，,不满足，A 错误； 1ab =1,1,2a b a b =-=-+=-2a b +≥对于B ，当时，所以,可得， 10ab =>0,0b a a b >>2b a a b +≥=当且仅当，即或时，等号成立,B 正确；b a ab=1a b ==1a b ==-对于C ，，因为时，,不满足，C 错误； 8281y x x =+--0x =828161x x +-=--82821x x +-≥-对于D ,， 0>2≥,D 正确.=a =故选：BD.12．定义一种运算.设（为常数），且{},()min ,,()a a b a b b a b ≤⎧=⎨>⎩{}2()min 42,f x x x x t =+--t []3,3x ∈-，则使函数最大值为4的值可以是（ ） ()f x t A ．-2 B ．6C ．4D ．-4【答案】AC【解析】根据定义，先计算在，上的最大值，然后利用条件函数最大值242y x x =+-[3x ∈-3]()f x 为4，确定的取值即可．t 【详解】在，上的最大值为5， 242y x x =+-[3x ∈-3]所以由，解得或，2424x x +-=2x =0x =所以时，，()0,2x ∈2424y x x =+->所以要使函数最大值为4，则根据定义可知，()f x 当时，即时，，此时解得，符合题意； 1t <2x =24t -=2t =-当时，即时，，此时解得，符合题意； 1t >0x =04t -=4t =故或4， 2t =-故选：AC三、填空题13．已知命题P :，则命题为______ x ∀∈R 220ax ax --<P ⌝【答案】，x ∃∈R 220ax ax --≥【分析】“任意一个都符合“的否定为“存在一个不符合”.【详解】“任意一个都符合”的否定为“存在一个不符合”，故命题为，. P ⌝x ∃∈R 220ax ax --≥故答案为：，.x ∃∈R 220ax ax --≥14．若函数的定义域为，则的定义域为______ ()21y f x =+[]2,4-()1y f x =-【答案】[]2,10-【分析】根据的定义域求出的取值范围，即可得到，求出的取值()21y f x =+21x +319x -≤-≤x 范围，即可得解.【详解】解：因为函数的定义域为， ()21y f x =+[]2,4-即，则，[]2,4x ∈-[]213,9x +∈-令，解得，即的定义域为. 319x -≤-≤210x -≤≤()1y f x =-[]2,10-故答案为：[]2,10-15．已知，且，若不等式恒成立，则实数的范围是______0,0x y >>281x y +=a x y ≤+a 【答案】(],18-∞【解析】先根据基本不等式“1”的用法得的最值，进而得的取值范围. x y +a 【详解】解：根据题意不等式恒成立， a x y ≤+所以即可.()min a x y ≤+因为，且，0,0x y >>281x y+=所以， ()28281010818y xx y x y x y x y ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭当且仅当，即时等号成立； 28y xx y=212y x ==所以实数的范围是. a (],18-∞故答案为：(],18-∞【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.16．关于的不等式x 2-mx +m +2>0对-2≤x ≤4恒成立，则的取值范围为___. x m【答案】(2-2+【解析】设函数，则对称轴为，分3种情况讨论，根据二次函数的图象和2()2f x x mx m =-++2mx =性质列出不等式组，解出的范围即可．m 【详解】设函数，则对称轴为， 2()2f x x mx m =-++2m x =①当，即时， 22m-…4m -…则，解得， (2)0f ->2m -<又，4m - …无解；∴②当，即， 242m-<<48m -<<则△，解得 2()4(2)0m m =--+<22m -<<+又，48m -<<∴22m -<<+③当，即时， 42m…8m …则，解得，(4)0f >6m <又，8m …无解，∴综上所述，的取值范围为：．m (2-2+故答案为：．(2-2+【点睛】本题主要考查了二次函数根的分布，二次函数的图象与性质，考查了解不等式组，属于中档题．四、解答题17．计算 (1))2log 3lg12lg1001-+-(2))0.523124-⎛⎫+⎪⎝⎭【答案】(1)；2(2).1π3-【分析】（1）根据对数运算的性质和指数运算性质求解； （2）根据指数运算和根式的性质求解即可. 【详解】（1）)2log 3lg12lg1001-+-)32lg101=-+321=-+； 2=（2）)0.523124-⎛⎫+⎪⎝⎭20.5233233π22-⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 13π322-⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭.1π3=-18．设p ：实数x 满足，q ：实数x 满足:，若p 是q 的充分不必要312x <<()224300x ax a a -+<>条件，求实数a 的取值范围．【答案】112a ≤≤【分析】解不等式求出命题p ，q 对应的集合A ，B ，由p 是q 的充分不必要条件可得，A B ， 由此建立关于a 的不等式组，解之即可得到结果. 【详解】p ：实数x 满足,记， 312x <<3|12A x x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭由，得， 22430x ax a -+<0a >3a x a <<记，{|3}B x a x a =<<∵p 是q 的充分不必要条件，∴A B ，则，2213323(1)302a a a a ⎧⎪≤⎪⎪≥⎨⎪⎪⎛⎫-+-≠⎪ ⎪⎝⎭⎩即． 112a ≤≤19．已知，，．{}2230A x x x =--≥1082B x x x ⎧⎫=<≤≥⎨⎬⎩⎭或{}210C x x ax a =-+->(1)求；R ()ðA B (2)若，求a 的取值范围．A C C = 【答案】(1) R 102AB x x ⎧⎫⋂=<≤⎨⎬⎩⎭ð(2)的取值范围为. a {}04a a <<【分析】(1)化简，结合补集的运算和交集的运算法则求即可. A R ()ðA B (2)根据题目得到，讨论，，三种情况得到答案.A C ⊆2a >2a =2a <【详解】（1）因为或，所以，{}{2|2301A x x x x x =--≥=≤-}3x ≥()R 1,3A =-ð又，1082B x x x ⎧⎫=<≤≥⎨⎬⎩⎭或.R 102A B x x ⎧⎫⋂=<≤⎨⎬⎩⎭ð（2）因为，所以.A C C = A C ⊆不等式 可化为.210x ax a -+->(1)[(1)]0x x a --->当时： 或，则，所以； 2a >{1C x x =<}1x a >-13a -<24a <<当时： ，满足，故符合条件； 2a ={}1C x x =≠A C ⊆2a =当时： 或，则，所以； 2a <{1C x x a =<-}1x >11a ->-02a <<综上知的取值范围为. a {}04a a <<20．已知f (x )=是定义在(-1，1)上的函数. 221xx +（1）判断函数f (x )的奇偶性.（2）利用函数单调性的定义证明f (x )是其定义域上的增函数. 【答案】（1）奇函数；（2）增函数.【解析】（1）利用函数奇偶性的定义，先判断f (x )定义域为(-1，1)，关于原点对称，再判断 f (-x )与f (x )的关系即可.（2）设-1<x 1<x 2<1，作差变形为f (x 1)-f (x 2)，再判断其正负号即可.()()()()121222121211x x x x x x --=++【详解】（1）因为f (x )定义域为(-1，1)，关于原点对称， 又f (-x )==-f (x )， 221xx -+所以f (x )=是奇函数. 221xx +（2）设-1<x 1<x 2<1 则f (x 1)-f (x 2)=1222122211x x x x -++()()()()221221221211211x x x x x x +-+=++()()()()121222121211x x x x x x --=++因为-1<x 1<x 2<1， 所以x 1-x 2<0，1-x 1x 2>0. 所以f (x 1)-f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2).所以函数f (x )在(-1，1)上是增函数.【点睛】方法点睛：1、判断函数单调性的常用方法：(1)定义法和导数法，注意证明函数单调性只能用定义法和导数法；(2)图象法，由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集：二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接．2、判断函数的奇偶性，包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；(2)判断f (x )与f (－x )是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f (x )＋f (－x )＝0(奇函数)或f (x )－f (－x )＝0(偶函数))是否成立．21．食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用给人民群众的健康带来了一定的危害，为了给消费者带来放心的蔬菜，某农业合作社每年投入200万元，搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜．根据以往种菜经验，发现种西红柿的年收入P （单位：万元）、种黄瓜的年收入Q （单位：万元）与投入a （单位：万元）满足，设甲大棚投入为x （单位：万元），每年两个大棚的总收80P =+11204Q a =+益为（单位：万元）．()f x (1)求函数的解析式和定义域，并求的值；()y f x =()50f (2)试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收益最大？()f x【答案】(1)，定义域为，. ()12504x f x -+={}20180x x ≤≤()50277.5f =(2)投入甲大棚128万元，乙大棚72万元时，才能使总收益最大．()f x【分析】（1）由条件结合关系确定函数解析式，再求其定义域，由解析式()()(200)f x P x Q x =+-求；()50f（2）换元t =【详解】（1）由题知，， ()()1802001204f x x =+-+化简可得， ()12504x f x -+=依题意得 20,20020,x x ≥⎧⎨-≥⎩解得，20180x ≤≤故，函数的定义域为. ()12504x f x -++=()f x {}20180x x ≤≤所以； ()150********.54f =-⨯+=（2）令，，t=2t x=t ⎡∈⎣则，(221125028244y t t =-++=--+当时，取得最大值282，t =128x =y 所以投入甲大棚128万元，乙大棚72万元时，总收入最大，且最大收入为282万元．22．设函数，.()2f x x ax b =-+,a b ∈R (1)已知在区间上单调递增，求b 的取值范围； ()()f x g x x=[)1,+∞(2)是否存在正整数a ，b ，使得？若存在，求出a ，b 的值；若不存(){}[]12,00,x f x x b ≤≤≥=在，请说明理由.【答案】(1)(],1-∞(2)存在满足条件2,2a b == 【分析】（1），分与结合单调性讨论即可求解； ()b g x x a x=+-0b ≤0b >（2）当时，恒成立，等价于， []0,x b ∈()12f x ≤≤()()min max 12f x f x ⎧≥⎪⎨≤⎪⎩利用对称轴与的关系进行讨论，分别研究即可求解[]0,b 【详解】（1）由题意可知， ()()2f x x ax b b g x x a x x x-+===+-当时，在上单调递增， 0b ≤()g x ()0+∞，从而在上单调递增，符合题意；()g x [)1+∞，当时，由对勾函数的性质可知在上单调递减， 0b >()g x (0在上单调递增， ()g x )+∞又在上单调递增，()g x [)1+∞，，即，1≤01b <≤综上可知，b 的取值范围是 (],1-∞（2）因为的对称轴为， ()22224a a f x x ax b x b ⎛⎫=-+=-+- ⎪⎝⎭2a x =由题设知：，0,0a b >>当时，恒成立，等价于， []0,x b ∈()12f x ≤≤()()min max 12f x f x ⎧≥⎪⎨≤⎪⎩当时，即时，不满足题设，不予考虑； 02a <a<00a >当，即时，在上单调递减， 2ab >20a b >>()f x []0,b 所以， ()()()()2min max 102f x f b b ab b f x f b ⎧==-+≥⎪⎨==≤⎪⎩因为，20a b >>所以，22ab b -<-所以，与矛盾； ()2221112244f b b b b b ⎛⎫<-+=--+≤ ⎪⎝⎭()1f b ≥当时，即时， 02a b ≤≤02a b ≤≤则有，()()()2min 2211240222324a a f x f b f b a a f b b b ⎧⎛⎫==-≥⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪=≤⎨⎪⎛⎫⎪=-+-≤ ⎪⎪⎝⎭⎩（）（）（）由（1）可得， 2114a b ≥+≥结合（2）可得，12b ≤≤由（1）（3）可得，，即， 2122a b ⎛⎫-+≤ ⎪⎝⎭212a b ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭又，所以，即 02a b ≤≤012a b ≤-≤012a b ≤-≤再结合（1）则有，解得， ()22114a b b -≤≤-12b ≤≤综上，的范围是，b 12b ≤≤又为正整数，,a b 故当时，由得，此时，不符合； 1b =()22114a b b -≤≤-2004a ≤≤0a =故当时，由得，此时符合条件； 2b =()22114a b b -≤≤-2114a ≤≤2a =故存在满足条件 2,2a b ==所以 2,2a b ==。
【全国百强校】湖南省长沙市长郡中学2016-2017学年高一上学期期中考试数学试题解析(解析版)
一、选择题（本大题共15个小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知全集{}0,1,2,3,4U =，集合{}1,2,3A =，{}2,4B =，则()U A B ð为（ ）A ．{}1,2,4B ．{}2,3,4C ．{}0,2,4D ．{}0,2,3,4【答案】C 【解析】试题分析：由题意得{0,4}U A =ð，所以{}()0,2,4U A B =ð，故选C ．考点：集合的运算．2.下列函数中，定义域是R 且为增函数的是（ ） A ．xy e -= B ．3y x =C ．ln y x =D ．||y x =【答案】B考点：函数的单调性．3.设集合A 和B 都是坐标平面上的点集{}(,)|,x y x R y R ∈∈，映射f ：A B →使集合A 中的元素(,)x y 映射成集合B 中的元素(,)x y x y +-，则在映射f 下，象(2,1)的原象是（ ） A ．()3,1 B ．31(,)22C ．31(,)22-D ．(1,3)【答案】B 【解析】试题分析：由题意得，令21x y x y +=⎧⎨-=⎩，解得31,22x y ==，即在映射f 下，象(2,1)的原象是31(,)22，故选B ．考点：映射的概念及其应用．4.设集合{}|02M x x =≤≤，{}|02N y y =≤≤，从M 到N 有四种对应如图所示：其中能表示为M 到N 的函数关系的有（ ） A ．①② B ．②③C ．③④D ．①④【答案】B 【解析】试题分析：根据映射的概念，可知能表示为M 到N 的函数关系的只有②③，故选B ． 考点：映射的概念．5.下列各对函数中，是同一函数的是（ ）A ．()f x =，()g x =B ．||()x f x x =，1,0()1,0x g x x ≥⎧=⎨-<⎩C ．2()f x =，212()(n g x -=（n 为正整数）D ．()f x =，()g x =【答案】C考点：同一函数的概念． 6.函数||x y x x=+的图象是（ ）【答案】D 【解析】试题分析：由函数||x y x x=+，可知，当0x >时，1y x =+，当0x <时，1y x =-，根据一次函数的图象可知，函数||x y x x=+的图象为选项D ，故选D ． 考点：函数的图象．7.已知函数()ln 38f x x x =+-的零点[]0,x a b ∈，且1b a -=（a ，b N +∈），则a b +=（ ） A ．5 B ．4C ．3D ．2【答案】A考点：函数的零点．【方法点晴】本题主要考查了函数的零点问题，其中解答中涉及到对数函数的图象与性质，函数值的求解，函数零点的存在性定理及函数零点的概念等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解答中熟记函数零点的存性性定理和准确求解函数值是解答的关键，试题比较基础，属于基础题． 8.若()f x =，则()f x 的定义域为（ ）A ．1(,1)2B ．1(,1]2C ．1(,)2+∞D ．(1,)+∞【答案】A 【解析】试题分析：由题意得，函数()f x =0211x <-<，解得112x <<，所以函数的定义域为1(,1)2，故选A ． 考点：函数的定义域．9.若函数()y f x =是函数3x y =的反函数，则1()2f 的值为（ ） A ．3log 2- B ．2log 3-C ．19D【答案】A 【解析】试题分析：由函数()y f x =是函数3xy =的反函数，所以()3log f x x =，所以3311()log log 222f ==-，故选A ．考点：指数函数与对数函数的概念及应用． 10.已知幂函数()f x x α=的图象经过点，则(4)f 的值等于（ ） A ．16 B ．116 C ．2D ．12【答案】D考点：幂函数的解析式及应用．11.函数()2log (1)3x a f x x =+++恒过定点为（ ） A ．()0,4 B ．()0,1C ．7(1,)2-D ．(1,4)-【答案】A 【解析】试题分析：由函数()2log (1)3x a f x x =+++，令0x =，解得0(0)2log (01)34a f =+++=，所以函数()2log (1)3x a f x x =+++恒过定点()0,4，故选A ．考点：函数过定点问题．12.已知0.6log 0.5a =，ln 0.5b =，0.50.6c =，则（ ） A ．a b c >> B ．c a b >>C ．a c b >>D ．c b a >>【答案】C考点：指数函数与对数函数的性质．13.已知函数2(1)(0)()(3)2(0)a x a x f x a x x -+<⎧=⎨-+≥⎩在(,)-∞+∞上是减函数，则实数a 的取值范围为（ ） A ．()2,3 B ．()1,3C ．[2,3)D ．[]1,3【答案】C 【解析】试题分析：由函数2(1)(0)()(3)2(0)a x a x f x a x x -+<⎧=⎨-+≥⎩在(,)-∞+∞上是减函数，则10302a a a -<⎧⎪-<⎨⎪≥⎩，解得23a ≤<，故选C ．考点：分段函数的单调性．14.若函数22()log (3)f x x ax a =--在区间(,2]-∞-上是减函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,4)-∞ B ．(4,4]-C ．(,4)[2,)-∞-+∞ D ．[4,4)-【答案】D 【解析】试题分析：令23t x ax a =--，则由函数2()log f x t =在区间(,2]-∞-上是减函数，可得函数t 在区间(,2]-∞-上是减函数且(2)0t ->，所以有22(2)4230at a a ⎧≤-⎪⎨⎪-=-+>⎩解得44a -≤<，故选D ． 考点：复合函数的单调性及其应用．【方法点晴】本题主要考查了复合函数的单调性及其应用问题，其中解答中涉及到对数函数的单调性及其应用，二次函数的图象与性质，复合函数的单调性等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解得中根据复合函数单调性的判定方法——同增异减和正确理解对数函数的定义域是解答的关键，试题比较基础，属于基础题． 15.已知函数1()1f x x=-（0x >），若存在实数a ，b （a b <），使()y f x =的定义域为(),a b 时，值域为(,)ma mb ，则实数m 的取值范围是（ ） A ．14m <B ．104m <<C ．14m <且0m ≠ D ．14m > 【答案】B考点：函数性质的综合应用．【方法点晴】本题主要考查了函数性质的综合应用问题，其中解答中涉及到函数的定义域与函数的值域，函数的单调性与函数值域之间的关系等知识点的综合考查，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及数学转化思想和二次函数性质的应用，本题的解答中熟练掌握一元二次函数的图象与性质及判别式与根的关系是解答的关键，试题有一定的难度，属于中档试题．第Ⅱ卷（非选择题共55分）二、填空题（本大题共5小题，每题3分，满分15分．）16.计算21log 32.51log 6.25lg ln 2100++++= ． 【答案】132【解析】试题分析：由222511log 3log 61422.5521113log 6.25lg 2log lg(10)ln 221610022e +-++=+++=-++=．考点：对数的运算．17.设2()2f x ax bx =++是定义在[]1,2a +上的偶函数，则()f x 的值域是 ．【答案】[]10,2-考点：函数的奇偶性的应用．18.一次函数()f x 是减函数，且满足[]()41f f x x =-，则()f x = ． 【答案】21x -+ 【解析】试题分析：因为一次函数()f x 是减函数，设()(0)f x ax b a =+<，所以[]2()()()41f f x f ax b a ax b b a x ab b x =+=++=++=-，所以24,1a ab b =+=，解得2,1a b =-=，所以函数的解析式为()f x =21x -+． 考点：函数的解析式．19.某公司为激励创新，计算逐年加大研发奖金投入，若该公司2016年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是 年（参考数据：lg1.120.05=，lg1.30.11=，lg 20.30=）． 【答案】2020 【解析】试题分析：设第n 年开始超过200万元，则2016130(112%)200n -⨯+>，化简得(2016)lg1.12lg 2lg1.3n ->-，所以2016 3.8n ->，取2020n =，所以开始超过200万元的年份为2020年．考点：等比数列的应用问题．【方法点晴】本题主要考查了等比数列的应用问题，其中解答中涉及到等比数列的通项公式及其应用，不等式的性质，对数的运算等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理能力与运算能力，试题有一定的难度，属于中档试题，本题的解答中根据题意得到关于年份的函数解析式是解答的关键．20.甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一个方向运动，其路程()(1,2,3,4)i f x i =关于时间x (0)x ≥的函数关系式分别为1()21x f x =-，32()f x x =，3()f x x =，42()log (1)f x x =+，有以下结论：①当1x >时，甲走在最前面； ②当1x >时，乙走在最前面；③当01x <<时，丁走在最前面，当1x >时，丁走在最后面； ④丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面； ⑤如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲．其中，正确结论的序号为 （把正确结论的序号都填上，多填或少填均不得分） 【答案】③④⑤考点：函数模型的应用．【方法点晴】本题主要考查了函数模型的应用，其中解答中涉及到指数函数、幂函数、一次函数和对数型函数的增长速度以及各类基本初等函数的性质等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转化与化归思想的应用，本题的解答中根据各类基本初等函数，利用取特值验证结论是解答的关键，试题有一定的难度，属于中档试题．三、解答题（本大题共5小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）21.设a R ∈，集合A R =，{}2|(2)2(2)30B x R a x a x =∈-+--<． （1）若3a =，求集合B （用区间表示）； （2）若A B =，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）()3,1B =-；（2）(1,2]-．试题解析：（1）3a =时，2230x x +-<，解得31x -<<， ∴集合()3,1B =-． （2）当A B R ==时，（i ）当20a -=，即2a =时，30-<符合题意；（ii ）当20a -≠，则有220,4(2)12(2)0,a a a -<⎧⎨∆=-+-<⎩解得12a -<<． 综上，a 的取值范围为(1,2]-． 考点：集合的运算．22.已知函数22()3px f x q x +=-是奇函数，且5(2)3f =-．（1）求函数()f x 的解析式；（2）判断函数()f x 在(0,1)上的单调性，并用单调性定义证明．【答案】（1）222()3x f x x+=-；（2）单调递增，证明见解析．【解析】试题分析：（1）由()f x 是奇函数，得对定义域内的任意的x ，都有()()f x f x -=-，列出方程即可求解q 的值，再由5(2)3f =-，解得p 的值，即可得到函数的解析式；（2）利用函数的单调性的定义，即可判定和证明函数的单调性．试题解析：（1）∵()f x 是奇函数，∴对定义域内的任意的x ，都有()()f x f x -=-，即222233px px q x q x++=-+-，整理得33q x q x +=-+，∴0q =，又∵5(2)3f =-，∴425(2)63p f +==--，解得2p =，∴所求的解析式为222()3x f x x +=-． （2）由（1）可得22221()()33x f x x x x+==-+-，设1201x x <<<，则由于122121211()()()()3f x f x x x x x ⎡⎤-=+-+⎢⎥⎣⎦2121211()()3x x x x ⎡⎤=-+-⎢⎥⎣⎦1221122()3x x x x x x ⎡⎤-=-+⎢⎥⎣⎦121221()(1)3x x x x =--12121212()3x x x x x x -=-⋅ ，因此，当1201x x <<<时，1201x x <<，从而得到12()()0f x f x -<，即12()()f x f x <， ∴(0,1)是()f x 的递增区间．考点：函数的奇偶性的应用及单调性的判定． 23.已知函数()2xf x =，||1()22x g x =+． （1）求函数()g x 的值域；（2）求满足方程()()0f x g x -=的x 的值． 【答案】（1）(2,3]；（2）2log (1x =．试题解析：（1）||||11()2()222x x g x =+=+， 因为||0x ≥，所以||10()12x <≤，即2()3g x <≤，故()g x 的值域是(2,3]．（2）由()()0f x g x -=，得||12202x x --=，当0x ≤时，显然不满足方程，即只有0x >时满足12202x x --=，整理得2(2)2210x x-⋅-=，2(21)2x -=，故21x =±因为20x >，所以21x =2log (1x =+．考点：指数函数的图象与性质．24.物理学家和数学家牛顿曾提出了物体在常温环境下温度变化的冷却模型，如果物体的初始温度为1C θ︒，空气温度为0C θ︒，则min t 后物体的温度()f t 满足：010()()kt f t e θθθ-=+-⨯（其中k 为正的常数，2.71828e =…为自然对数的底数），现有65C ︒的物体，放在15C ︒的空气中冷却，5min 以后物体的温度是45C ︒．（1）求k 的值；（2）求从开始冷却，经过多少时间物体的温度是25.8C ︒？【答案】（1）15ln 53k =；（2）15min ．试题解析：（1）由题意可知，1=65θ，015θ=，当5t =时，45θ=，于是535k e -=， 化简得35ln 5k -=，即15ln 53k =． （2）由（1）可知()1550kt f t e-=+（其中15ln 53k =）， ∴由25.81550kt e -=+，得27125kt e -=， 结合15ln 53k =，得5327()5125t =，得15t =． ∴从开始冷却，经过15min 物体的温度是25.8C ︒．考点：函数的实际应用问题．【方法点晴】本题主要考查了函数的实际应用问题，其中解答中涉及到指数函数的图象与性质的应用，函数解析式的求解，对数的运算等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转化与化归思想的应用，本题的解答中根据题意建立函数关系式，利用指数函数与对数函数的性质解答是求解的关键，试题有一定的难度，属于中档试题．25.已知函数()|1|2f x x x x =-+．（1）当3a =时，求方程()f x m =的解的个数；（2）若()f x 在(4,2)-上单调递增，求a 的取值范围．【答案】（1）当6m =或254时，方程有两个解，当6m <或254m >时，方程一个解，当2564m <<时，方程有三个解；（2）6a ≤-或2a ≥-．试题解析：（1）当3a =时，22,3,()5, 3.x x x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨-<⎪⎩ 当6m =或254时，方程有两个解； 当6m <或254m >时，方程一个解； 当2564m <<时，方程有三个解． （2）22(2),,()(2),.x a x x a f x x a x x a ⎧+-≥⎪=⎨-++<⎪⎩ ①22a a -≤且22a a +≥，即22a -≤≤，()f x 在R 单调递增，满足题意； ②22a a ->且22a a +≥，即2a <-， ()f x 在(,)a -∞和2(,)2a -+∞上单调递增， ∵()f x 在(4,2)-上单调递增，∴2a ≥或242a -≤-， ∴6a ≤-； ③22a a ->且22a a +<，即2a <-且2a >，舍去； ④22a a -≤且22a a +<，即2a >， ()f x 在2(,)2a +-∞和(,)a +∞上单调递增， 因为()f x 在(4,2)-上单调递增，所以222a +≥或4a ≤-， 所以2a >．综上，6a ≤-或2a ≥-．考点：函数的性质的综合应用．【方法点晴】本题主要考查了函数性质的综合应用问题，其中解答中涉及到分段函数的性质，一元二次函数的图象与性质的应用，方程解的个数的判定等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转化思想与分类讨论思想的应用，本题的解答中去掉绝对值号，得到分段函数的解析式，利用二次函数的图象与性质，合理分类讨论是解答的关键，试题有一定的难度，属于中档试题．。
2016雅礼中学新高一入学数学试卷
雅礼2016年高一新生分班考试数学试卷时间：120分钟 满分：120分一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1.21的倒数为（ ） A. 21 B. 2 C. 2- D. 1- 2. 下图中所示几何体的俯视图是（ ）A B C D3. 下列运算正确的是（ ）A. 326a a a =÷B. 222235a a a =-C. 532)(a a a -=⋅-D. ab b a 725=+4. 为了迎接中考体育测试，甲、乙两同学近期5次1000米跑步训练成绩的平均数相同，甲同学成绩的方差1.32=甲S ，乙同学成绩的方差是，42=乙S ，则对他们测试成绩的稳定性判断正确的是（ ）A. 甲的成绩较稳定B. 乙的成绩较稳定C. 甲、乙成绩的稳定性相同D. 甲、乙成绩的稳定性无法比较5. 一次函数12-=x y 的图象大致是（ ）A B C D6. 如图，将ABC ∆绕点A 逆时针旋转80°得到C B A ''∆，若︒=∠50BAC ，则B CA '∠的度数为（ ）A. 30°B. 40°C. 50°D. 80°第6题图 第8题图 第9题图7. 为了响应国家“节能减排”的号召，张峰同学对所居住小区的100户家庭的节电量情况进行了统计，2016年4月份与3月份相比，节电情况如下表：则4月份这100户节电量的平均数，中位数，众数分别是（ ）A. 35，35，30B. 25，30，20C. 36，35，30D. 36，30，308. 如图，在ABC ∆中，︒=∠90C ，3=AC ，︒=∠30B ，点P 是BC 边上的动点，则AP 长不可能是（ ）A. 3.5B. 4.2C. 5.8D. 79. 如图所示，在ABCD 中，AC 平分DAB ∠，3=AB ，则ABCD 的周长为（ ）A. 6B. 9C. 12D. 1510. 若二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则反比例函数xa y =与正比例函数bx y =在同一坐标系内的大致图象是（ ）A B C D二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11. 分解因式：=-x x 32；12. 某省2016年生产总值为12602.2亿元，把12602.2亿元用科学记数法表示为 元；13. 学校为了解七年级学生参加课外兴趣小组的活动情况，随机调查了40名学生，将结果绘制成了如图所示的频数分布直方图，则参加绘画兴趣小组的频率是 ；14. 将一个底面半径为5cm ，母线长为12cm 的圆锥形纸筒沿一条母线剪开并展平，所得的侧面展开图的圆心角是 ；15. 如图，在图1中，1A ，1B ，1C 分别是ABC ∆的边BC ，CA ，AB 的中点，在图2中，2A ，2B ，2C 分别是111C B A ∆的边11C B ，11A C ，11B A 的中点……按此规律，则第n 个图形中平行四边形的个数共有 个；16. 如图，双曲线)0(2>=x xy 经过四边形OABC 的顶点A ，C ，︒=∠90ABC ，OC 平分AOD ∠，x AB //轴，将ABC ∆沿AC 翻折后得到C B A '∆，点B '落在OA 上，则四边形OABC 的面积是 。
2017学年湖南雅礼中学高一期中数学试卷含答案
2016-2017学年湖南省长沙市雨花区雅礼中学高一（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合M={1，2，3}，N={2，3，4}，则下列式子正确的是（）A．M⊆N B．N⊆M C．M∩N={2，3} D．M∪N={1，4}2．（5分）计算的结果为（）A．a B．a C．a D．a3．（5分）若f（2x+1）=x2﹣2x，则f（2）的值为（）A ．﹣B ．C．0 D．14．（5分）定义A﹣B={x|x∈A，且x∉B}，若A={1，2，4，6，8，10}，B={1，4，8}，则A﹣B=（）A．{4，8} B．{1，2，6，10} C．{1} D．{2，6，10}5．（5分）下列四个函数中，在（0，+∞）上是增函数的是（）A．f（x）=﹣B．f（x）=x2﹣3x C．f（x）=3﹣x D．f （x）=﹣|x|6．（5分）已知函数f（x）=，则f（f （））（）A ．B ．C ．D ．7．（5分）设f（x）=3x+3x﹣8，用二分法求方程3x+3x﹣8=0在x∈（1，2）内近似解的过程中得f（1）＜0，f（1.5）＞0，f（1.25）＜0，则方程的根落在区间（）A．（1，1.25）B．（1.25，1.5）C．（1.5，2）D．不能确定8．（5分）已知a=，b=log 2，c=log，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a9．（5分）已知a＞0且a≠1，函数y=log a x，y=a x，y=x+a在同一坐标系中的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．110．（5分）函数f（x）=log a（6﹣ax）在[0，2]上为减函数，则a的取值范围是（）A．（0，1）B．（1，3）C．（1，3] D．[3，+∞）11．（5分）已知函数f（x）=|lgx|﹣（）x有两个零点x1，x2，则有（）A．x1x2＜0 B．x1x2=1 C．x1x2＞1 D．0＜x1x2＜112．（5分）已知关于x的方程x2+2alog2（x2+2）+a2﹣3=0有唯一解，则符合条件的实数a值是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）设集合={a2，a+b，0}，则a2014+b2015=．14．（5分）已知幂函数y=f（x ）的图象过点，则f（9）=．15．（5分）已知函数f（x），g（x）分别由如表给出满足不等式f[g（x）]＞g[f（x）]解集是．16．（5分）函数y=2x﹣的值域是．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知函数f（x）=a x（a＞0且a≠1）的图象经过点（2，）（1）求a的值（2）比较f（2）与f（b2+2）的大小．2。
湖南省长沙市雅礼书院中学高一上学期期中考试数学试题Word版含答案
高一 数学时量:120分钟 满分:150分一、 选择题 ：(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选择项中,只有一项是符合题目要求的. 请将选择题答案填入答题栏内)1.已知全集{}{}{}()====N M C ，N M U U I 则3,2,2.1,0,4,3,2,1,0( ) A. {}2 B. {}3 C. {}432，， D. {}43210，，，。
2.函数1a )x (f )22(+=-x 恒过定点（ ）A ．（-1,2）B ．（1,-2）C ．（1,2）D ．（-1,-2）3.下列函数与y x =有相同图象的一个是（ ）A、y = B 、2x y x=C 、log (0,a x y a a =>且1)a ≠D 、log (0,x a y a a =>且1)a ≠ 4.下列函数中是偶函数的是( )A.3y x=- B.]3,3(,22-∈+=x x y C.x y 2log =D.2-=x y5.下列函数中，在区间（0，1）上为增函数的是（ ） A.322+-=x x yB.x y )(31= C.32x y =D.x y 21log =6.当10<<a 时,在同一坐标系中,函数x y a y a x log ==-与的图象是( )A B C D7.三个数3.0222,3.0log ,3.0===c b a 之间的大小关系是( )A b c a <<. B. c b a << C. c a b << D.a c b << 8.已知函数f (n )=⎩⎨⎧<+≥-),10)](5([),10(3n n f f n n 其中n ∈N ，则f (8)等于( )A.2B.4C.6D.7 9. 函数)1,0(log )(≠>=a a x x f a 对任意的正实数x 、y ，都有（ ）A ．)()()(y f x f y x f •=•B ．)()()(y f x f y x f +=•C ．)()()(y f x f y x f •=+D ．)()()(y f x f y x f +=+10.函数xx x f 2ln )(-=的零点所在的大致区间是( ) ()2,1A ()3,2.B ⎝⎛⎪⎭⎫e C 1,1.和()4,3 )(∞+,e D11.若函数()f x 为奇函数，且在(0,)+∞内是增函数，又(2)f 0=，则()()0f x f x x--<的解集为( )A ．( 2.0)(0,2)-UB ．(,2)(0,2)-∞-UC ．(,2)(2,)-∞-+∞UD ．(2,0)(2,)-+∞U12.若,*,(1)(2)(1)nx x R n N E x x x x n ∈∈=+++-L 定义，例如：44(4)(3)(2)(1)24E -=-⋅-⋅-⋅-= , 则52()x f x x E -=⋅的奇偶性为（ ）A. 为偶函数不是奇函数B. 是奇函数不是偶函数C. 既是奇函数又是偶函数D. 非奇非偶函数二．填空题:（本大题共4小题，每题5分，共20分，请将选择题答案填入答题栏内）13.若幂函数y =()x f 的图象经过点（9,13）, 则f(25)的值是14.若函数()()()3122+-+-=x a x a x f 是偶函数,则()x f 的增区间是 15.函数)23(log 32-=x y 的定义域为16.关于下列命题:①若函数x y 2=的定义域是{}0≤x x ,则它的值域是{}1≤y y ; ②若函数x y 1=的定义域是{}2>x x ,则它的值域是⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤21y y ; ③若函数2x y =的值域是{}40≤≤y y ,则它的定义域一定是{}22≤≤-x x ; ④若函数x y 2log =的值域是{}3≤y y ,则它的定义域一定是{}80≤<x x ; 其中不正确的命题的序号是 三、解答题: （本大题共6小题，共70分） 17．（本题满分10分）设}1log {x B },2733{x 2x >=≤≤=x A ，求 A.B)(C B,R ⋃⋂A ．18. (本题满分12分） 求值: (1)3log 2333558log 932log 2log 2-+- (2)25.0403482)2019()22(⨯--+19．（本题满分12分）已知1)1(),32(log )(24=++=f x ax x f . （1）求函数)(x f 的解析式及其定义域; （2）求)(x f 的单调区间.20. (本题满分12分）某体育用品商场经营一批进价为40元的运动服,经市场调查发现销售量y （件）与销售单价x （元）符合一次函数模型，且销售单价为60元时，销量是600件；当销售单价为64元时，销量是560件。
湖南高一高中数学期中考试带答案解析
湖南高一高中数学期中考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.已知全集或，，则（）D．或A．B．C．2.设函数的定义域是，则函数的定义域是（）A．B．C．D．3.若集合，则（）A．B．C．或D．或4.函数= 的定义域为（）A．B．C．D．5.若指数函数在上是减函数，则实数的取值范围是（）A．且B．C．且D．6.当时，函数的值域为（）A．B．C．D．7.已知关于的方程，那么在下列区间中含有方程的根的是( )A．B．C．D．8.函数是定义在上的增函数，若，则的范围是（）A．B．C．D．9.已知偶函数在单调递减，若，则的大小关系是（）A．B．C．D．10.已知奇函数与偶函数满足，且，则的值为（）A．B．C．D．11.设，用二分法求方程在内近似解的过程中得，则方程的根落在区间（）A．B．C．D．不能确定12.《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问题：“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例（即百分比）为“衰分比”．如：甲、乙、丙、丁分别分得，递减的比例为，那么“衰分比”就等于，今共有粮石，按甲、乙、丙、丁的顺序进行“衰分”，已知丙分得石，乙、丁所得之和为石，则“衰分比”与的值分别是（）A．B．C．D．二、填空题1.若幂函数为其定义域上的单调递增函数，则实数的值为________．2.若函数为奇函数，则________．3.函数的单调递减区间是________．4.对于实数和，定义运算“”：，设函数，若方程恰有两个不同的解，则实数的取值范围是________．三、解答题1.已知集合，求．2.计算下列各式．（1）；（2） .3.已知：函数且.（1）求定义域；（2）判断的奇偶性，并说明理由；（3）求使的的解集．4.已知．（1）若函数的值域为，求实数的取值范围；（2）若函数在区间上是减函数，求实数的取值范围．5.已知定义域为的单调递减的奇函数，当时，.（1）求的值；（2）求的解析式；（3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．6.已知函数.（1）求函数的零点；（2）若实数满足.湖南高一高中数学期中考试答案及解析一、选择题1.已知全集或，，则（）D．或A．B．C．【答案】A【解析】或，，，，故选A.2.设函数的定义域是，则函数的定义域是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】函数的定义域是，，则函数的定义域为，故选A.3.若集合，则（）A．B．C．或D．或【答案】C【解析】集合，集合且，故集合或，故选C.4.函数= 的定义域为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】要使函数有意义，则，即，得，即函数的定义域为，故选B.5.若指数函数在上是减函数，则实数的取值范围是（）A．且B．C．且D．【答案】D【解析】指数函数是上的减函数，，解得，故选D.6.当时，函数的值域为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，设，则函数等价为，，即函数的值域为，故选D.7.已知关于的方程，那么在下列区间中含有方程的根的是( )A．B．C．D．【答案】B【解析】令，显然在递减，而，故在有零点，即关于的方程，在区间中含有方程的根，故选B.8.函数是定义在上的增函数，若，则的范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】函数是定义在上的增函数，若，，求得，故选C.【方法点晴】本题主要考查抽象函数的定义域、抽象函数的单调性及抽象函数解不等式，属于难题.根据抽象函数的单调性解不等式应注意以下三点：（1）一定注意抽象函数的定义域（这一点是同学们容易疏忽的地方，不能掉以轻心）；（2）注意应用函数的奇偶性（往往需要先证明是奇函数还是偶函数）；（3）化成后再利用单调性和定义域列不等式组.9.已知偶函数在单调递减，若，则的大小关系是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，为偶函数，且在上单调递减，，故选C.【方法点睛】本题主要考查指数函数的性质、对数函数的性质，抽象函数的奇偶性与单调性以及比较大小问题，属于中档题. 解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间，；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.10.已知奇函数与偶函数满足，且，则的值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】奇函数与偶函数满足，，，①，，②①+②，得，，，，故选D.11.设，用二分法求方程在内近似解的过程中得，则方程的根落在区间（）A．B．C．D．不能确定【答案】B【解析】根据二分法求方程解的步骤，由在符号不变.由在符号改变，故存在解，故本题正确答案为B.【考点】二分法求近似解.【方法点睛】给定精确度用二分法求函数的零点近似值的步骤：（1）在定义域内取区间，使，则零点在区间内；（2）求区间的中点，记为；（3）计算：若，则就是函数的零点；若，则此时零点；若，则此时零点；（4）继续实施上述步骤，直到零点所属区间的端点按照给定的精确度所取的近似值相同时，这个近似值就是函数的近似零点，计算终止.12.《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问题：“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例（即百分比）为“衰分比”．如：甲、乙、丙、丁分别分得，递减的比例为，那么“衰分比”就等于，今共有粮石，按甲、乙、丙、丁的顺序进行“衰分”，已知丙分得石，乙、丁所得之和为石，则“衰分比”与的值分别是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】设“衰分比”为，乙分得石，丁分得石，则，解得，∴甲分得石．“衰分比”为，则石，故选D．【方法点睛】本题考查等比数列的定义与性质、阅读能力转化与划归思想以及新定义问题属于难题. 新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，一定要有信心，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.本题定义“衰分比”达到考查等比数列的定义与性质.二、填空题1.若幂函数为其定义域上的单调递增函数，则实数的值为________．【答案】【解析】函数为幂函数，故，解得或，当时，函数在上单调递减函数，不满足要求，当时，函数在定义域上为单调递增函数，满足要求，故，故答案为.2.若函数为奇函数，则________．【答案】【解析】根据题意，当时，为奇函数，，则故答案为.3.函数的单调递减区间是________．【答案】【解析】，设，对称轴，，递减，在上递增，根据复合函数的单调性判断：函数的调减区间为，故答案为.【方法点睛】本题主要考查对数函数的性质、复合函数的单调性，属于中档题.复合函数的单调性的判断可以综合考查两个函数的单调性，因此也是命题的热点，判断复合函数单调性要注意把握两点：一是要同时考虑两个函数的的定义域；二是同时考虑两个函数的单调性，正确理解“同增异减”的含义（增增增，减减增，增减减，减增减）.4.对于实数和，定义运算“”：，设函数，若方程恰有两个不同的解，则实数的取值范围是________．【答案】【解析】令，求得，则，画出函数的图象，如图，方程恰有两个不同的解，即是函数的图象与直线有个交点，数形结合可得，，故答案为.【方法点睛】本题主要考查分段函数的解析式、函数的零点以及新定义问题，属于难题.已知函数零点个数(方程根的个数)求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为的交点个数的图象的交点个数问题 .三、解答题1.已知集合，求．【答案】,,.【解析】根据指数函数的单调性化简集合根据对数函数的定义域积单调性化简集合，再根据交集、并集与补集的定义进行计算即可得结果．试题解析：集合A={x|1≤2x ﹣3＜16}={x|0≤x ﹣3＜4}={x|3≤x ＜7}=[3，7）， 集合B={x|log 2（x ﹣2）＜3}={x|0＜x ﹣2＜8}={x|2＜x ＜10}=（2，10）； ∴A ∪B=（2，10），A∩B=A ， C R A=（﹣∞，3）∪[7，+∞）；∴C R （A ∪B ）=（﹣∞，2]∪[10，+∞）， C R （A∩B ）=（﹣∞，3）∪[7，+∞）， （C R A ）∩B=（2，3）∪[7，10）.2.计算下列各式． （1）；（2）.【答案】（1）19；（2）. 【解析】（1）化为为，由最后一项的系数得到，对数的真数展开平方运算，整理后即可得到答案；（2）直接根据对数的运算法则和指数幂的运算性质计算即可的结果. 试题解析：（1）.（2）.3.已知：函数且.（1）求定义域；（2）判断的奇偶性，并说明理由；（3）求使的的解集．【答案】（1）；（2）是奇函数；（3）.【解析】（1）利用对数函数的指数大于零，列出不等式组，解不等式组即可求解函数的定义域．（2）利用对数的运算法则可得,结合函数的定义域关于原点对称，可得为奇函数．（3）利用对数函数的单调性与定义域化简不等式即可求解不等式． 试题解析：（1）由题意得，即﹣2＜x ＜2．∴f （x ）的定义域为（﹣2，2）；（2）∵对任意的x ∈（﹣2，2），﹣x ∈（﹣2，2） f （﹣x ）=log a （2﹣x ）﹣log a （2+x ）=﹣f （x ）， ∴f （x ）=log a （2+x ）﹣log a （2﹣x ）是奇函数；（3）f （x ）=log a （2+x ）﹣log a （2﹣x ）＞0，即log 2（2+x ）＞log a （2﹣x ）， ∴当a ∈（0，1）时，可得2+x ＜2﹣x ，即﹣2＜x ＜0． 当a ∈（1，+∞）时，可得2+x ＞2﹣x ，即x ∈（0，2）. 4.已知 ． （1）若函数的值域为，求实数的取值范围；（2）若函数在区间上是减函数，求实数的取值范围．【答案】（1） 或；（2）.【解析】（1）函数的值域为，即是不等式的解集为，利用二次函数性质可得判别式小于零即可得结果；（2）根据区间即是函数定义域的子集又是二次函数减区间的子集，列不等式组求解即可.试题解析：（1）f （x ）值域为R ，令g （x ）=x 2﹣mx ﹣m ， 则g （x ）取遍所有的正数 即△=m 2+4m≥0 ∴m≥0或m≤﹣4； （2）由题意知.【方法点晴】本题主要考查函数的定义域、值域及利用单调性求参数的范围，属于中档题. 利用单调性求参数的范围的常见方法：① 视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数需注意若函数在区间上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的; ② 利用导数转化为不等式或恒成立问题求参数范围，本题（2）是利用方法 ① 求解的．5.已知定义域为的单调递减的奇函数，当时，.（1）求的值； （2）求的解析式；（3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】（1）根据函数为奇函数得，结合当时，，即可求出的值；（2）由定义域为的函数是奇函数，知．当时，，由函数是奇函数，知，由此能求出的解析式；（3）由是上单调递减的奇函数，，得即恒成立，再由根的判别式小于零即可求出实数的取值范围．试题解析：（1）f （﹣1）=﹣f （1）=﹣（﹣2）=；（2）∵定义域为R 的函数f （x ）是奇函数， ∴f （0）=0，当x ＜0时，﹣x ＞0，f （﹣x ）=﹣﹣2﹣x ，又∵函数f （x ）是奇函数， ∴f （﹣x ）=﹣f （x ），∴f （x ）=+2﹣x ， 综上所述f （x ）=．（3）∵f （1）=﹣＜f （0）=0， 且f （x ）在R 上单调， ∴f （x ）在R 上单调递减，由f （t 2﹣2t ）+f （2t 2﹣k ）＜0， 得f （t 2﹣2t ）＜﹣f （2t 2﹣k ）， ∵f （x ）是奇函数，∴f （t 2﹣2t ）＜f （k ﹣2t 2）， 又∵f （x ）是减函数， ∴t 2﹣2t ＞k ﹣2t 2即3t 2﹣2t ﹣k ＞0对任意t ∈R 恒成立， ∴△=4+12k ＜0得k ＜﹣，即为所求．6.已知函数.（1）求函数的零点；（2）若实数满足.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）分，两种情况讨论，分别求出函数对应方程根的个数，综合讨论结果，可得答案．（2）根据函数的奇偶性化简不等式，再根据单调性可将不等式化为，进而可得结果．试题解析：（1）解：当x ＜0时，解得：x="ln" =﹣ln3， 当x≥0时，解得：x=ln3，故函数f （x ）的零点为±ln3（2）解：当x ＞0时，﹣x ＜0， 此时f （﹣x ）﹣f （x ）= = =0，故函数f （x ）为偶函数， 又∵x≥0时，f （x ）=为增函数，∴f （log 2t ）+f （log 2）＜2f （2）时，2f （log 2t ）＜2f （2）， 即|log 2t|＜2， ﹣2＜log 2t ＜2， ∴t ∈（，4）故f （t ）∈（，）.。
【精选高中试题】最新版湖南高一上学期期中考试 数学(必修1) Word版含答案
湖南师大附中2016－2017学年度高一第一学期期中考试数学试题－(这是边文，请据需要手工删加)湖南师大附中2016－2017学年度高一第一学期期中考试数 学命题：高一数学备课组 审题：高一数学备课组时量：120分钟 满分：150分得分：____________第Ⅰ卷(满分100分)一、选择题：本大题共11小题，每小题5分，共55分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U ＝{1，2，3，4}，集合A ＝{1，2}，B ＝{2}，则∁U (A ∪B)＝A ．{1，3，4}B ．{3，4}C ．{3}D ．{4}2．已知a ＝0.67，b ＝70.6，c ＝log 0.76，则a ，b ，c 的大小关系是A ．b ＜c ＜aB ．b ＜a ＜cC ．c ＜a ＜bD ．c ＜b ＜a3．下列各组函数中，f(x)与g(x)为相同函数的是A ．f(x)＝x ，g(x)＝x 2B ．f(x)＝x ，g(x)＝(x)2C ．f(x)＝x 2，g(x)＝x 3xD ．f(x)＝|x|，g(x)＝⎩⎨⎧x ，x ≥0－x ，x<04．已知函数f(x)＝x ＋1x ，g(x)＝2x ＋12x ，则下列结论正确的是 A ．f(x)是奇函数，g(x)是偶函数B ．f(x)是偶函数，g(x)是奇函数C ．f(x)和g(x)都是偶函数D ．f(x)和g(x)都是奇函数5．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≤1ln x ，x>1，e 为自然对数的底数，则f[f(e )]＝ A ．0 B ．1 C ．2 D ．eln 26．已知幂函数f(x)的图象经过点⎝⎛⎭⎫2，14，则f ⎝⎛⎭⎫12的值为 A ．－14 B .14C ．－4D ．4 7．函数f(x)＝(2)x ＋3x 的零点所在的区间是A ．(－2，－1)B ．(0，1)C ．(－1，0)D ．(1，2)8．函数f(x)＝a －x 2＋3x ＋2(0<a<1)的单调递增区间是A .⎝⎛⎭⎫－∞，32B . ⎝⎛⎭⎫32，＋∞ C .⎝⎛⎭⎫－∞，－32 D .⎝⎛⎭⎫－32，＋∞ 9．函数f(x)＝lg (|x|－1)的大致图象是10．已知f(x)是定义在R 上的偶函数，且f (x )在(－∞，0]上单调递减，则不等式f (lg x )＞f (－2)的解集是A.⎝⎛⎭⎫1100，100B ．(100，＋∞)C.⎝⎛⎭⎫1100，＋∞D.⎝⎛⎭⎫0，1100∪(100，＋∞) 11．已知投资x 万元经销甲商品所获得的利润为P ＝x 4；投资x 万元经销乙商品所获得的利润为Q ＝a 2x (a ＞0)．若投资20万元同时经销这两种商品或只经销其中一种商品，使所获得的利润不少于5万元，则a 的最小值为A. 5 B ．5 C. 2 D ．212．已知100a ＝5，10b ＝2，则2a ＋b ＝__________．13．函数f(x)＝11－2x的定义域是__________． 14．若函数f(x)＝|2x －2|－m 有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是__________．三、解答题：本大题共3个小题，共30分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．(本小题满分8分)(1)计算：2723－2log 23×log 218＋log 23×log 34； (2)已知0＜x ＜1，且x ＋x －1＝3，求x 12－x －12的值．。
长沙数学高一上期中经典测试题(含答案解析)
一、选择题1．(0分)[ID ：11828]已知集合{}220A x x x =-->，则A =RA ．{}12x x -<< B ．{}12x x -≤≤C ．}{}{|12x x x x <-⋃D ．}{}{|1|2x x x x ≤-⋃≥2．(0分)[ID ：11826]设常数a ∈R ，集合A={x|（x ﹣1）（x ﹣a ）≥0}，B={x|x≥a ﹣1}，若A ∪B=R ，则a 的取值范围为（ ） A ．（﹣∞，2）B ．（﹣∞，2]C ．（2，+∞）D ．[2，+∞）3．(0分)[ID ：11825]设集合{}1,2,4A =，{}240B x x x m =-+=．若{}1A B ⋂=，则B = ( ) A ．{}1,3-B ．{}1,0C ．{}1,3D ．{}1,54．(0分)[ID ：11824]已知集合{}{}2|320,,|05,A x x x x R B x x x N =-+=∈=<<∈，则满足条件A C B ⊆⊆的集合C 的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．45．(0分)[ID ：11821]若集合{}|1,A x x x R =≤∈，{}2|,B y y x x R ==∈，则A B =A ．{}|11x x -≤≤B ．{}|0x x ≥C ．{}|01x x ≤≤D ．∅6．(0分)[ID ：11819]在下列区间中，函数()43xf x e x =+-的零点所在的区间为（ ） A ．1,04⎛⎫-⎪⎝⎭B ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．11,42⎛⎫⎪⎝⎭D ．13,24⎛⎫⎪⎝⎭7．(0分)[ID ：11818]已知函数f (x )＝23,0{log ,0x x x x ≤>那么f 1(())8f 的值为( )A ．27B ．127C ．－27D ．－1278．(0分)[ID ：11808]已知函数()1ln 1xf x x-=+，则不等式()()130f x f x +-≥的解集为（ ） A ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．11,32⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．12,43⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭9．(0分)[ID ：11802]设奇函数()f x 在(0)+∞，上为增函数，且(1)0f =，则不等式()()0f x f x x --<的解集为（ ）A ．(10)(1)-⋃+∞，， B ．(1)(01)-∞-⋃，， C ．(1)(1)-∞-⋃+∞，， D ．(10)(01)-⋃，，10．(0分)[ID ：11795]已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－x －6≤0}，B ＝{x |14x x +-＞0}，那么集合A ∩(∁U B )＝( ) A ．{x |－2≤x ＜4} B ．{x |x ≤3或x ≥4} C ．{x |－2≤x ＜－1}D ．{x |－1≤x ≤3}11．(0分)[ID ：11788]已知函数2221,2,()2,2,x x x x f x x -⎧-++<=⎨≥⎩且存在三个不同的实数123,,x x x ，使得123()()()f x f x f x ==，则123x x x ++的取值范围为（ ）A ．(4,5)B ．[4,5)C ．(4,5]D ．[4,5]12．(0分)[ID ：11787]已知函数21(1)()2(1)a x x f x x x x x ⎧++>⎪=⎨⎪-+≤⎩在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是 A ．[]0,1B ．(]0,1C ．[]1,1-D ．(]1,1-13．(0分)[ID ：11747]若函数6(3)3,7(),7x a x x f x a x ---≤⎧=⎨>⎩单调递增,则实数a 的取值范围是( ) A ．9,34⎛⎫⎪⎝⎭B ．9,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．()1,3D ．()2,314．(0分)[ID ：11743]设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在()0,∞+单调递减，则（ ）A ．233231log 224f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭B ．233231log 224f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C ．23332122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭D ．23323122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭15．(0分)[ID ：11804]已知函数()f x 的定义域为R .当0x <时，3()1f x x =-；当11x -≤≤时，()()f x f x -=-；当12x >时，11()()22f x f x +=-.则(6)f =（ ） A ．2-B ．1-C ．0D ．2二、填空题16．(0分)[ID ：11927]如果定义在区间[3＋a ，5]上的函数f(x)为奇函数，那么a 的值为________.17．(0分)[ID ：11920]已知函数21,1()()1a x x f x x a x ⎧-+≤=⎨->⎩，函数()2()g x f x =-，若函数()()y f x g x =-恰有4个不同的零点，则实数a 的取值范围为______． 18．(0分)[ID ：11906]1232e 2(){log (1)2x x f x x x ，，-<=-≥，则f （f （2））的值为____________．19．(0分)[ID ：11903]若函数()y f x =的定义域是[0,2]，则函数()g x =的定义域是__________．20．(0分)[ID ：11887]已知函数()2()lg 2f x x ax =-+在区间(2,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是______.21．(0分)[ID ：11879]已知2a =5b =m ,且11a b+=1,则m =____. 22．(0分)[ID ：11861]已知函数()()212log 22f x mx m x m ⎡⎤=+-+-⎣⎦，若()f x 有最大值或最小值，则m 的取值范围为______．23．(0分)[ID ：11840]函数()221,0ln 2,0x x f x x x x x ⎧+-≤=⎨-+>⎩的零点的个数是______． 24．(0分)[ID ：11926]已知()2x a x af x ++-=，g(x)=ax+1 ，其中0a >，若()f x 与()g x 的图象有两个不同的交点，则a 的取值范围是______________.25．(0分)[ID ：11864]已知函数()266,34,x x f x x ⎧-+=⎨+⎩0x x ≥<，若互不相等的实数1x ，2x ，3x 满足()()()123f x f x f x ==，则123x x x ++的取值范围是__________．三、解答题26．(0分)[ID ：12006]已知函数()()()sin 0,0,f x A x A ωϕωϕπ=+>><，在同一周期内，当12x π=时，()f x 取得最大值4：当712x π=时，()f x 取得最小值4-. （1）求函数()f x 的解析式；（2）若,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数()()21h x f x t =+-有两个零点，求实数t 的取值范围. 27．(0分)[ID ：11992]已知函数()xf x b a =⋅，（其中,a b 为常数且0,1a a >≠）的图象经过点(1,6),(3,24)A B （1）求()f x 的解析式（2）若不等式11120x xm a b ⎛⎫⎛⎫++-≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在(],1x ∈-∞上恒成立，求实数m 的取值范围. 28．(0分)[ID ：11975]已知函数22()f x x x=+. （1）求(1)f ，(2)f 的值；（2）设1a b >>，试比较()f a 、()f b 的大小，并说明理由； （3）若不等式2(1)2(1)1f x x m x -≥-++-对一切[1,6]x ∈恒成立，求实数m 的最大值. 29．(0分)[ID ：11968]已知函数()22f x ax ax b =-+()0a >在[]2,3上的值域为[]1,4. （1）求a ，b 的值； （2）设函数()()f xg x x=，若存在[]2,4x ∈，使得不等式()22log 2log 0g x k x -≥成立，求k 的取值范围.30．(0分)[ID ：11937]为了研究某种微生物的生长规律，研究小组在实验室对该种微生物进行培育实验．前三天观测的该微生物的群落单位数量分别为12，16，24．根据实验数据，用y 表示第()*x x ∈N天的群落单位数量，某研究员提出了两种函数模型；①2y ax bx c =++；②x y p q r =⋅+，其中a ，b ，c ，p ，q ，r 都是常数．（1）根据实验数据，分别求出这两种函数模型的解析式；（2）若第4天和第5天观测的群落单位数量分别为40和72，请从这两个函数模型中选出更合适的一个，并计算从第几天开始该微生物群落的单位数量超过1000．【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案**科目模拟测试一、选择题 1．B 2．B 3．C 4．D5．C6．C7．B8．D9．D10．D11．A12．C13．B14．C15．D二、填空题16．－8【解析】∵f(x)定义域为3＋a5且为奇函数∴3＋a＝－5∴a＝－8点睛：利用奇偶性求值的类型及方法(1)求函数值：利用奇偶性将待求值转化到已知区间上的函数值进而得解(2)求参数值：在定义域关于17．【解析】【分析】由函数把函数恰有个不同的零点转化为恰有4个实数根列出相应的条件即可求解【详解】由题意函数且函数恰有个不同的零点即恰有4个实数根当时由即解得或所以解得；当时由解得或所以解得综上可得：实18．2【解析】【分析】先求f（2）再根据f（2）值所在区间求f（f（2））【详解】由题意f（2）=log3（22–1）=1故f（f（2））=f（1）=2×e1–1=2故答案为：2【点睛】本题考查分段函数19．【解析】首先要使有意义则其次∴解得综上点睛：对于抽象函数定义域的求解(1)若已知函数f(x)的定义域为ab则复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出；(2)若已知函数f(g(x))20．【解析】【分析】根据复合函数单调性同增异减以及二次函数对称轴列不等式组解不等式组求得实数的取值范围【详解】要使在上递增根据复合函数单调性需二次函数对称轴在的左边并且在时二次函数的函数值为非负数即解得21．10【解析】因为2a=5b=m所以a=log2mb=log5m由换底公式可得=logm2+logm5=logm10=1则m=10点睛：(1)在对数运算中先利用幂的运算把底数或真数进行变形化成分数指数22．或【解析】【分析】分类讨论的范围利用对数函数二次函数的性质进一步求出的范围【详解】解：∵函数若有最大值或最小值则函数有最大值或最小值且取最值时当时由于没有最值故也没有最值不满足题意当时函数有最小值没23．4【解析】【分析】当时令即作和的图象判断交点个数即可当时令可解得零点从而得解【详解】方法一：当时令即作和的图象如图所示显然有两个交点当时令可得或综上函数的零点有4个方法二：当时令可得说明导函数有两个24．(01)【解析】结合与的图象可得点睛：数形结合是数学解题中常用的思想方法数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化生动化能够变抽象思维为形象思维有助于把握数学问题的本质在运用数形结合思想分析和解决25．【解析】【分析】画出分段函数的图像由图像结合对称性即可得出【详解】函数的图像如下图所示不妨设则关于直线对称所以且满足则故的取值范围是【点睛】解决本题的关键是要会画分段函数的图像由图像结合对称性经过计三、解答题26．27．28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题1．B解析：B 【解析】分析：首先利用一元二次不等式的解法，求出220x x -->的解集，从而求得集合A ，之后根据集合补集中元素的特征，求得结果. 详解：解不等式220x x -->得12x x -或， 所以{}|12A x x x =<->或，所以可以求得{}|12R C A x x =-≤≤，故选B.点睛：该题考查的是有关一元二次不等式的解法以及集合的补集的求解问题，在解题的过程中，需要明确一元二次不等式的解集的形式以及补集中元素的特征，从而求得结果.2．B解析：B 【解析】 试题分析：当时，，此时成立，当时，，当时，，即，当时，，当时，恒成立，所以a 的取值范围为，故选B.考点：集合的关系3．C解析：C 【解析】∵ 集合{}124A ，，=，{}2|40B x x x m =-+=，{}1A B ⋂= ∴1x =是方程240x x m -+=的解，即140m -+= ∴3m =∴{}{}{}22|40|43013B x x x m x x x =-+==-+==，，故选C4．D解析：D 【解析】 【分析】 【详解】求解一元二次方程，得{}()(){}2|320,|120,A x x x x x x x x =-+=∈=--=∈R R {}1,2=，易知{}{}|05,1,2,3,4B x x x =<<∈=N .因为A C B ⊆⊆，所以根据子集的定义， 集合C 必须含有元素1,2，且可能含有元素3,4，原题即求集合{}3,4的子集个数，即有224=个，故选D. 【点评】本题考查子集的概念，不等式，解一元二次方程.本题在求集合个数时，也可采用列举法.列出集合C 的所有可能情况，再数个数即可.来年要注意集合的交集运算，考查频度极高.5．C解析：C 【解析】 【分析】求出集合B 后可得A B .【详解】因为集合{}|1,{|11}A x x x R x x =≤∈=-≤≤，{}2|,{|0}B y y x x R y y ==∈=≥则A B ={}|01x x ≤≤，选C【点睛】本题考查集合的交，注意集合意义的理解，如(){}|,x y f x x D =∈表示函数的定义域，而(){}|,y y f x x D =∈表示函数的值域，()(){},|,x y y f x x D =∈表示函数的图像.6．C解析：C 【解析】 【分析】先判断函数()f x 在R 上单调递增，由104102f f ⎧⎛⎫< ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪> ⎪⎪⎝⎭⎩,利用零点存在定理可得结果.【详解】因为函数()43xf x e x =+-在R 上连续单调递增，且114411221143204411431022f e e f e e ⎧⎛⎫=+⨯-=-<⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=+⨯-=-> ⎪⎪⎝⎭⎩, 所以函数的零点在区间11,42⎛⎫⎪⎝⎭内，故选C. 【点睛】本题主要考查零点存在定理的应用，属于简单题.应用零点存在定理解题时，要注意两点：（1）函数是否为单调函数；（2）函数是否连续.7．B解析：B【分析】利用分段函数先求f （1)8）的值，然后在求出 f 1(())8f 的值． 【详解】 f＝log 2＝log 22－3＝－3，f＝f (－3)＝3－3＝.【点睛】本题主要考查分段函数求值以及指数函数、对数函数的基本运算，属基础题．8．D解析：D 【解析】 【分析】根据题意可得函数()f x 的奇偶性以及单调性，据此原不等式转化为()()31f x f x ≥-，求解可得x 的取值范围，即可得出结论． 【详解】根据题意，函数()1ln 1xf x x-=+， 则有101xx->+，解可得11x -<<， 即函数的定义域为()1,1-，关于原点对称， 又由()()11lnln 11x xf x f x x x+--==-=--+， 即函数()f x 为奇函数， 设11xt x -=+，则y lnt =， 12111x t x x -==-++，在()1,1-上为减函数， 而y lnt =在()0,∞+上为增函数， 故()1ln1xf x x-=+在区间()1,1-上为减函数， ()()()()13013f x f x f x f x +-≥⇒≥-- ()()3131111311x x f x f x x x ≤-⎧⎪⇒≥-⇒-<<⎨⎪-<-<⎩，解可得：1223x ≤<，即不等式的解集为12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭； 故选:D ．本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，解题时不要忽略函数的定义域，属于中档题．9．D解析：D 【解析】由f (x )为奇函数可知，()()f x f x x--＝()2f x x<0.而f (1)＝0，则f (－1)＝－f (1)＝0. 当x >0时，f (x )<0＝f (1)； 当x <0时，f (x )>0＝f (－1)． 又∵f (x )在(0，＋∞)上为增函数， ∴奇函数f (x )在(－∞，0)上为增函数． 所以0<x <1，或－1<x <0. 选D点睛：解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为(())(())f g x f h x >的形式，然后根据函数的单调性去掉“f ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意()g x 与()h x 的取值应在外层函数的定义域内10．D解析：D 【解析】依题意A ＝{x |－2≤x ≤3}，B ＝{x |x ＜－1或x ＞4}，故∁U B ＝{x |－1≤x ≤4}，故A ∩(∁U B )＝{x |－1≤x ≤3}，故选D.11．A解析：A 【解析】不妨设123x x x <<，当2x <时，()()212f x x =--+，此时二次函数的对称轴为1x =，最大值为2，作出函数()f x 的图象如图，由222x -=得3x =，由()()()123f x f x f x ==，，且1212x x +=，即122x x +=，12332,x x x x ∴++=+ 由图可知3323,425x x <<∴<+<， 即123x x x ++的取值范围是()4,5，故选A.12．C解析：C 【解析】x ⩽1时,f (x )=−(x −1)2+1⩽1， x >1时,()()21,10a af x x f x x x=++'=-在(1,+∞)恒成立， 故a ⩽x 2在(1,+∞)恒成立， 故a ⩽1，而1+a +1⩾1，即a ⩾−1， 综上,a ∈[−1,1]， 本题选择C 选项.点睛：利用单调性求参数的一般方法：一是求出函数的单调区间，然后使所给区间是这个单调区间的子区间，建立关于参数的不等式组即可求得参数范围；二是直接利用函数单调性的定义：作差、变形，由f (x 1)－f (x 2)的符号确定参数的范围，另外也可分离参数转化为不等式恒成立问题．13．B解析：B 【解析】 【分析】利用函数的单调性，判断指数函数底数的取值范围，以及一次函数的单调性，及端点处函数值的大小关系列出不等式求解即可 【详解】解：函数6(3)3,7(),7x a x x f x a x ---⎧=⎨>⎩单调递增， ()301373a a a a⎧->⎪∴>⎨⎪-⨯-≤⎩解得934a ≤<所以实数a 的取值范围是9,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭． 故选：B ． 【点睛】本题考查分段函数的应用，指数函数的性质，考查学生的计算能力，属于中档题．14．C解析：C 【解析】 【分析】由已知函数为偶函数，把233231log ,2,24f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，转化为同一个单调区间上，再比较大小． 【详解】()f x 是R 的偶函数，()331log log 44f f ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭．223303322333log 4log 31,1222,log 422---->==>>∴>>，又()f x 在(0，+∞)单调递减，∴()23323log 422f f f --⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，23323122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选C ．【点睛】本题主要考查函数的奇偶性、单调性，解题关键在于利用中间量大小比较同一区间的取值．15．D解析：D 【解析】 试题分析：当时,11()()22f x f x +=-,所以当时,函数是周期为的周期函数,所以,又函数是奇函数,所以,故选D ．考点：函数的周期性和奇偶性．二、填空题16．－8【解析】∵f(x)定义域为3＋a5且为奇函数∴3＋a ＝－5∴a ＝－8点睛：利用奇偶性求值的类型及方法(1)求函数值：利用奇偶性将待求值转化到已知区间上的函数值进而得解(2)求参数值：在定义域关于 解析：－8【解析】 ∵f(x)定义域为[3＋a ，5]，且为奇函数， ∴3＋a ＝－5，∴a＝－8.点睛：利用奇偶性求值的类型及方法(1)求函数值：利用奇偶性将待求值转化到已知区间上的函数值，进而得解．(2)求参数值：在定义域关于原点对称的前提下，根据奇函数满足f(－x)＝－f(x)或偶函数满足f(－x)＝f(x)列等式，根据等式两侧对应相等确定参数的值．特别要注意的是：若能够确定奇函数的定义域中包含0，可以根据f(0)＝0列式求解，若不能确定则不可用此法．17．【解析】【分析】由函数把函数恰有个不同的零点转化为恰有4个实数根列出相应的条件即可求解【详解】由题意函数且函数恰有个不同的零点即恰有4个实数根当时由即解得或所以解得；当时由解得或所以解得综上可得：实 解析：(]2,3【解析】 【分析】由函数()2()g x f x =-，把函数()()y f x g x =-恰有4个不同的零点，转化为()1f x =恰有4个实数根，列出相应的条件，即可求解. 【详解】由题意，函数()2()g x f x =-，且函数()()y f x g x =-恰有4个不同的零点， 即()1f x =恰有4个实数根，当1x ≤时，由11a x -+=，即110x a +=-≥，解得2=-x a 或x a =-，所以2112a a a a -≤⎧⎪-≤⎨⎪-≠-⎩，解得13a ；当1x >时，由2()1x a -=，解得1x a =-或1x a =+，所以1111a a ->⎧⎨+>⎩，解得2a >，综上可得：实数a 的取值范围为(]2,3. 【点睛】本题主要考查了函数与方程的应用，其中解答中利用条件转化为()1f x =，绝对值的定义，以及二次函数的性质求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与计算能力，属于中档试题.18．2【解析】【分析】先求f （2）再根据f （2）值所在区间求f （f （2））【详解】由题意f （2）=log3（22–1）=1故f （f （2））=f （1）=2×e1–1=2故答案为：2【点睛】本题考查分段函数解析：2 【解析】 【分析】先求f （2），再根据f （2）值所在区间求f （f （2））. 【详解】由题意，f （2）=log 3（22–1）=1，故f （f （2））=f （1）=2×e 1–1=2，故答案为：2． 【点睛】本题考查分段函数求值，考查对应性以及基本求解能力.19．【解析】首先要使有意义则其次∴解得综上点睛：对于抽象函数定义域的求解(1)若已知函数f(x)的定义域为ab 则复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b 求出；(2)若已知函数f(g(x))解析：3,14⎛⎫⎪⎝⎭【解析】首先要使(2)f x 有意义，则2[0,2]x ∈， 其次0.5log 430x ->，∴0220431x x ≤≤⎧⎨<-<⎩，解得01314x x ≤≤⎧⎪⎨<<⎪⎩，综上3,14x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭． 点睛：对于抽象函数定义域的求解(1)若已知函数f(x)的定义域为[a ，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b 求出；(2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a ，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]上的值域．20．【解析】【分析】根据复合函数单调性同增异减以及二次函数对称轴列不等式组解不等式组求得实数的取值范围【详解】要使在上递增根据复合函数单调性需二次函数对称轴在的左边并且在时二次函数的函数值为非负数即解得 解析：(],3-∞【解析】 【分析】根据复合函数单调性同增异减，以及二次函数对称轴列不等式组，解不等式组求得实数a 的取值范围. 【详解】要使()f x 在()2,+∞上递增，根据复合函数单调性，需二次函数22y x ax =-+对称轴在2x =的左边，并且在2x =时，二次函数的函数值为非负数，即2222220a a ⎧≤⎪⎨⎪-+≥⎩，解得3a ≤.即实数a 的取值范围是(],3-∞.【点睛】本小题主要考查复合函数的单调性，考查二次函数的性质，属于中档题.21．10【解析】因为2a=5b=m 所以a=log2mb=log5m 由换底公式可得=logm2+logm5=logm10=1则m=10点睛：(1)在对数运算中先利用幂的运算把底数或真数进行变形化成分数指数解析：10 【解析】因为2a =5b =m ,所以a =log 2m ,b =log 5m , 由换底公式可得11a b+=log m 2+log m 5=log m 10=1,则m =10. 点睛：(1)在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后再运用对数运算法则化简合并，在运算中要注意化同底或指数与对数互化．(2)熟练地运用对数的三个运算性质并配以代数式的恒等变形是对数计算、化简、证明常用的技巧．22．或【解析】【分析】分类讨论的范围利用对数函数二次函数的性质进一步求出的范围【详解】解：∵函数若有最大值或最小值则函数有最大值或最小值且取最值时当时由于没有最值故也没有最值不满足题意当时函数有最小值没解析：{|2m m >或2}3m <- 【解析】 【分析】分类讨论m 的范围，利用对数函数、二次函数的性质，进一步求出m 的范围. 【详解】解：∵函数()()212log 22f x mx m x m ⎡⎤=+-+-⎣⎦，若()f x 有最大值或最小值，则函数2(2)2y mx m x m =+-+-有最大值或最小值，且y 取最值时，0y >.当0m =时，22y x =--，由于y 没有最值，故()f x 也没有最值，不满足题意. 当0m >时，函数y 有最小值，没有最大值，()f x 有最大值，没有最小值.故y 的最小值为24(2)(2)4m m m m ---，且 24(2)(2)04m m m m--->，求得 2m >；当0m <时，函数y 有最大值，没有最小值，()f x 有最小值，没有最大值.故y 的最大值为24(2)(2)4m m m m ---，且 24(2)(2)04m m m m--->，求得23m <-.综上，m 的取值范围为{|2m m >或2}3m <-. 故答案为：{|2m m >或2}3m <-. 【点睛】本题主要考查复合函数的单调性，二次函数、对数函数的性质，二次函数的最值，属于中档题.23．4【解析】【分析】当时令即作和的图象判断交点个数即可当时令可解得零点从而得解【详解】方法一：当时令即作和的图象如图所示显然有两个交点当时令可得或综上函数的零点有4个方法二：当时令可得说明导函数有两个解析：4 【解析】 【分析】当0x >时，令()2ln 20f x x x x =-+=，即2ln 2x x x =-，作y ln x =和22y x x =-的图象，判断交点个数即可，当0x <时，令()210f x x =+-=，可解得零点，从而得解. 【详解】方法一：当0x >时，令()2ln 20f x x x x =-+=，即2ln 2x x x =-.作y ln x =和22y x x =-的图象，如图所示，显然有两个交点，当0x <时，令()210f x x =+-=，可得1x =-或3-. 综上函数的零点有4个.方法二：当0x >时，()2ln 2f x x x x =-+，()21221'22x x f x x x x-++=-+=，令()'0f x =可得()2'2210f x x x =-++=，()'01f =，()'230f =-<，说明导函数有两个零点，函数的()110f =>，()30f <，可得0x >时， 函数的零点由2个．0x <时，函数的图象如图：可知函数的零点有4个． 故答案为4． 【点睛】本题考查了对分段函数分类问题和利用构造函数，把方程问题转换为函数交点问题，函数()()y f x g x =-零点的个数即等价于函数()y f x =和()y g x =图象交点的个数，通过数形结合思想解决实际问题．24．(01)【解析】结合与的图象可得点睛：数形结合是数学解题中常用的思想方法数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化生动化能够变抽象思维为形象思维有助于把握数学问题的本质在运用数形结合思想分析和解决解析：(0,1), 【解析】(),,2x x a x a x af x a x a ≥++-⎧==⎨<⎩， 结合()f x 与()g x 的图象可得()0,1.a ∈点睛：数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质. 在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念及其几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围25．【解析】【分析】画出分段函数的图像由图像结合对称性即可得出【详解】函数的图像如下图所示不妨设则关于直线对称所以且满足则故的取值范围是【点睛】解决本题的关键是要会画分段函数的图像由图像结合对称性经过计解析：11(,6)3【解析】 【分析】画出分段函数的图像，由图像结合对称性即可得出。
湖南高一高中数学期中考试带答案解析
湖南高一高中数学期中考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.的值是( )A．B．C．D．2.下列函数中，最小正周期为的是( )A．B．C．D．3.半径为10cm，弧长为20的扇形的圆心角为( )A．B．2弧度C．弧度D．10弧度4.已知在平行四边形ABCD中，若，，则( )A．B．C．D．5.已知向量="(3," 2),="(x," 4)，若与共线,则x的值为( )A．6B．-6C．D．6.若，则与垂直的单位向量的坐标为( )A．B．C．D．( 1, 1)或(-1,-1)7.函数，（）在一个周期内的图象如图所示，此函数的解析式为( )A．B．C．D．8.设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点，由此定义了正弦（）、余弦（）、正切（），其实还有另外三个三角函数，分别是：余切（）、正割（）、余割（）. 则下列关系式错误的是( )A．B．C．D．二、填空题1.若 .2..的值为 .3.已知，且与的夹角为，则与的夹角为 .4..函数的定义域是 .5.已知函数，，且，则的值为 .6.. .7..给出下列命题：①函数是偶函数；②函数在闭区间上是增函数；③直线是函数图象的一条对称轴；④将函数的图象向左平移单位，得到函数的图象；其中正确的命题的序号是 .三、解答题1.（本小题满分8分）已知为锐角，若试求的值.2..（本小题满分9分）已知,是同一平面内的两个向量，其中，且与垂直，(1)求；(2)求|- |.3.（本小题满分9分）已知：（1）求的值；（2）求的值．4.（本小题满分9分）如图，在中，，L为线段BC的垂直平分线，L与BC交与点D，E为L上异于D的任意一点，(1)求的值。
(2)判断的值是否为一个常数，并说明理由。
5.（本小题满分10分）如图，在平面直角坐标系中，以轴为始边做两个锐角，它们的终边分别与单位圆相交于A、B两点，已知A、B的纵坐标分别为．（1）求；（2）求的值.6.(本小题满分10分)已知向量设函数；(1)写出函数的单调递增区间；(2)若x求函数的最值及对应的x的值；-(3)若不等式在x恒成立，求实数m的取值范围.湖南高一高中数学期中考试答案及解析一、选择题1.的值是( )A．B．C．D．【答案】C【解析】本题考查诱导公式的应用。
【其中考试】湖南省长沙市某校高一(上)期中数学试卷答案与详细解析
湖南省长沙市某校高一（上）期中数学试卷一、选择题（每小题5分，共60分）1. 命题“∃x 0∈R ，x 02+x 0+1<0”的否定为（ ）A.不存在x 0∈R ，x 02+x 0+1≥0B.∃x 0∈R ，x 02+x 0+1≥0C.∀x ∈R ，x 2+x +1<0D.∀x ∈R ，x 2+x +1≥02. 已知集合M ={x|−4<x <2}，N ={x|x 2−x −6<0}，则M ∩N =（ ）A.{x|−4<x <3}B.{x|−4<x <−2}C.{x|−2<x <2}D.{x|2<x <3}3. 计算2√a⋅√a 23的结果为（ ） A.a 32 B.a 16 C.a 56 D.a 654. 若f(2x +1)＝x 2−2x ，则f(2)的值为（ ）A.−34B.34C.0D.15. 若a ，b ，c ∈R ，a >b ，则下列不等式成立的是（ ）A.1a <1bB.a 2>b 2C.a|c|>b|c|D.a c 2+1>bc 2+16. 设集合A ={−1, 0, 2}，集合B ={−x|x ∈A, 且2−x ∉A}，则B =( )A.{1}B.{−2}C.{−1, −2}D.{−1, 0}7. 若a >0，b >0，则“a +b <4”是“ab <4”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件8. 已知a >0且a ≠1，函数y =log a x ，y =a x ，y =x +a 在同一坐标系中的图象可能是（ ）A. B.C.D.9. 已知f(x)＝ax 5+bx 3+x 2+x +1（a ，b 为常数），若f(2)＝11，则f(−2)＝（ ）A.−11B.−1C.0D.110. 已知x ，y 为正实数，则( )A.2lgx+lgy =2lgx +2lgyB.2lg （x+y ）=2lgx ⋅2lgyC.2lgx⋅lgy =2lgx +2lgyD.2lg （xy ）=2lgx ⋅2lgy11. 已知函数f(x)={−x 2−ax −5(x ≤1),a x(x >1)是R 上的增函数，则a 的取值范围是( ) A.−3≤a <0B.−3≤a ≤−2C.a ≤−2D.a <012. 设a ＝ln 12，b =log 1312，则（ ） A.a +b <ab <0 B.ab <a +b <0 C.a +b <0<ab D.ab <0<a +b二、填空题（每小题5分，共20分）已知幂函数y =f(x)的图象过点(2, √2)，则f(9)=________．已知√a √a =32，则√a √a =________．已知偶函数f(x)在[0, +∞)单调递减，f(2)=0，若f(x −1)>0，则x 的取值范围是________．若函数f(x)=(a −1)ln(2−ax)在区间(0, 1)上是减函数，则实数a 的取值范围是________．三、解答题（共6小题，共70分）已知不等式(1−a)x 2−4x +6>0的解集为{x|−3<x <1}．（1）求a的值；（2）若不等式ax2+mx+3≥0的解集为R，求实数m的取值范围．已知函数f(x)＝a x(a>0且a≠1)的图象经过点(2, 9)．（1）求a的值；（2）b∈R，比较f(2b)与f(b2+1)的大小．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2−2x+2．（1）求函数f(x)的解析式；（2）求函数f(x)的值域．某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量P(mg/L)与时间t （小时）间的关系为P＝P0e−kt．如果在前5个小时消除了10%的污染物，试求：（1）10个小时后还剩百分之几的污染物？（2）污染物减少50%所需要的时间．（参考数据：ln2＝0.7，ln3＝1.1，ln5＝1.6）设函数f(x)＝ka x−a−x(a>0且a≠1)是定义域为R的奇函数．（1）若f(1)>0，试求不等式f(x2+2x)+f(x−4)>0的解集；，且g(x)＝a2x+a−2x−4f(x)，求g(x)在[1, +∞)上的最小值．（2）若f(1)=32已知函数f(x)＝x2+bx+c(b、c∈R)对于任意x∈R恒有2x+b≤f(x)成立．（1）证明：当x≥0时，f(x)≤(x+c)2（2）若对于满足题设要求的任意b、c，不等式f(c)−f(b)≤M(c2−b2)恒成立，求M 的最小值．参考答案与试题解析湖南省长沙市某校高一（上）期中数学试卷一、选择题（每小题5分，共60分）1.【答案】D【考点】命题的否定【解析】利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．【解答】∵ 特称命题的否定是全称命题．∴ 命题p:∃x 0∈R ，使x 02+x 0+1<0的否定是：∀x ∈R ，x 2+x +1≥0．2.【答案】C【考点】交集及其运算【解析】利用一元二次不等式的解法和交集的运算即可得出．【解答】解：∵ M ={x|−4<x <2}，N ={x|x 2−x −6<0}={x|−2<x <3}，∴ M ∩N ={x|−2<x <2}．故选C .3.【答案】C【考点】有理数指数幂的运算性质及化简求值有理数指数幂的化简求值【解析】化根式为分数指数幂，再由有理指数幂的运算性质化简求值．【解答】 2√a⋅√a 23=a 2⋅a −12⋅a −23=a 2−12−23=a 56．4.【答案】A【考点】函数的求值求函数的值【解析】直接利用函数的解析式，求解即可．【解答】f(2)＝f(2×12+1)=(12)2−2×12=−34．5.【答案】D【考点】不等式的概念【解析】本题中a，b，c∈R，a>b，三个参数的关系不定，故可以采用排除法对四个选项依次判断，排除错误的，得出正确选项．【解答】A选项不对，当a>0>b时不等式不成立，故排除；B选项不对，当a＝0，b＝−1时不等式不成立，故排除；C选项不对，当c＝0时，不等式不成立，故排除；D选项正确，由于1c2+1>0，又a>b故ac2+1>bc2+16.【答案】A【考点】集合的包含关系判断及应用【解析】本题的关键是认清集合B的研究对象，利用列举法写出集合B的元素即可．【解答】解：∵集合A={−1, 0, 2}，集合B={−x|x∈A, 且2−x∉A}，−1∈A，且2−(−1)=3∉A，故1∈B；0∈A，但2−0=2∈A，不满足题意；2∈A，但2−2=0∈A，不满足题意；故B={1}，故选A.7.【答案】A【考点】充分条件、必要条件、充要条件【解析】由a>0，b>0，且a+b<4，利用均值不等式得到ab<4；举例说明由ab<4不能得到a+b<4，再由充分必要条件的判定得答案．【解答】)2<4；∵a>0，b>0，且a+b<4，∴ab≤(a+b2，满足ab＝1<4，但a+b>4．反之，若a＝4，b=14∴ “a+b<4”是“ab<4”的充分不必要条件．8.【答案】C【考点】函数图象的作法函数的图象变换【解析】根据函数y=a x与y=log a x互为反函数，得到它们的图象关于直线直线y=x对称，从而对选项进行判断即得．【解答】解：∵函数y=a x与y=log a x互为反函数，∴它们的图象关于直线y=x对称．再由函数y=a x的图象过(0, 1)，y=a x的图象过(1, 0)，观察图象知，只有C正确．故选C．9.【答案】B【考点】函数奇偶性的性质与判断【解析】根据f(2)＝11即可求出a⋅25+b⋅23＝4，这样即可求出f(−2)＝−1．【解答】∵f(2)＝a⋅25+b⋅23+4+2+1＝11，∴a⋅25+b⋅23＝4，∴f(−2)＝−a⋅25−b⋅23+4−2+1＝−4+4−2+1＝−1．10.【答案】D【考点】对数的运算性质有理数指数幂的化简求值【解析】直接利用指数与对数的运算性质，判断选项即可．【解答】解：因为a s+t=a s⋅a t，lg(xy)=lgx+lgy（x，y为正实数），所以2lg（xy）=2lgx+lgy=2lgx⋅2lgy，满足上述两个公式.故选D．11.【答案】B【考点】二次函数的性质【解析】由函数f(x)上R 上的增函数可得函数，设g(x)=−x 2−ax −5，ℎ(x)=a x ，则可知函数g(x)在x ≤1时单调递增，函数ℎ(x)在(1, +∞)单调递增，且g(1)≤ℎ(1)，从而可求【解答】解：∵ 函数f(x)={−x 2−ax −5(x ≤1),a x(x >1)是R 上的增函数. 设g(x)=−x 2−ax −5(x ≤1)，ℎ(x)=a x (x >1),由分段函数的性质可知，函数g(x)=−x 2−ax −5在(−∞, 1]上单调递增，函数ℎ(x)=a x 在(1, +∞)上单调递增，且g(1)≤ℎ(1),∴ {−a 2≥1,a <0,−a −6≤a,∴ {a ≤−2,a <0,a ≥−3,解可得，−3≤a ≤−2.故选B.12.【答案】B【考点】对数值大小的比较【解析】利用对数函数的性质、运算法则直接求解．【解答】∵ a ＝ln 12<ln 1e =−1，0<b =log 1312<log 1313=1， ∴ ab <a +b <0．二、填空题（每小题5分，共20分）【答案】3【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域函数的求值【解析】先由幂函数的定义用待定系数法设出其解析式，代入点的坐标，求出幂函数的解析式，再求f(16)的值【解答】解：由题意令y=f(x)=x a，由于图象过点(2, √2)，得√2=2a，a=12，∴y=f(x)=x 1 2，∴f(9)=3．故答案为：3．【答案】52【考点】有理数指数幂的运算性质及化简求值【解析】设√a√a =t，则t>0，所以t2=(√a√a)2=(√a√a)2+4=254，即可得到√a+√a的值．【解答】依题意，设√a√a=t，则t>0，所以t2=(√a√a )2=(√a√a)2+4=254，所以t=52，【答案】(−1, 3)【考点】函数奇偶性的性质函数单调性的性质【解析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系将不等式等价转化为f(|x−1|)>f(2)，即可得到结论．【解答】解：∵偶函数f(x)在[0, +∞)单调递减，f(2)=0，∴不等式f(x−1)>0等价为f(x−1)>f(2)，即f(|x−1|)>f(2)，∴|x−1|<2，解得−1<x<3.故答案为：(−1, 3).【答案】(−∞, 0)∪(1, 2]【考点】对数函数的单调区间复合函数的单调性【解析】根据f(x)在(0, 1)上是减函数可得出a<0或a>1，从而得出：a<0时，可得出满足题意；a>1时，可求出f(x)的定义域为(−∞,2a )，据题意知(0, 1)⊆(−∞,2a)，从而可求出1<a≤2，这样即可得出a的取值范围．【解答】解：根据题意，a<0，或a>1，①a<0时，f(x)的定义域为(2a ,+∞)，且满足(0,1)⊆(2a,+∞)，∴a<0；②a>1时，f(x)的定义域为(−∞,2a )，且(0,1)⊆(−∞,2a)，∴2a≥1，解得1<a≤2，∴实数a的取值范围是(−∞, 0)∪(1, 2]．故答案为：(−∞, 0)∪(1, 2].三、解答题（共6小题，共70分）【答案】不等式(1−a)x2−4x+6>0的解集为{x|−3<x<1}，∴1−a<0，且方程(1−a)x2−4x+6＝0的两根为−3，1；由根与系数的关系知{41−a =−3+16 1−a =−3，解得a＝3；不等式3x2+mx+3≥0的解集为R，则△＝m2−4×3×3≤0，解得−6≤m≤6，∴实数m的取值范围为(−6, 6)．【考点】一元二次不等式的应用【解析】（1）一元二次不等式与对应方程的关系，旅游根与系数的关系求出a的值；（2）根据一元二次不等式解集为R，利用判别式△≤0，求出m的取值范围．【解答】不等式(1−a)x2−4x+6>0的解集为{x|−3<x<1}，∴1−a<0，且方程(1−a)x2−4x+6＝0的两根为−3，1；由根与系数的关系知{41−a =−3+16 1−a =−3，解得a＝3；不等式3x2+mx+3≥0的解集为R，则△＝m2−4×3×3≤0，解得−6≤m≤6，∴实数m的取值范围为(−6, 6)．【答案】依题意，函数f(x)＝a x(a>0且a≠1)的图象经过点(2, 9)．所以a2＝9，又因为a>0且a≠1，所以a＝3，由（1）知，f(x)＝3x，所以f(x)为R上的增函数，又2b−(b2+1)＝−(b−1)2≤0，所以2b≤b2+1，所以f(2b)≤f(b2+1)，【考点】指数函数的单调性与特殊点【解析】（1）图象经过点(2, 9)，所以a2＝9，得a＝3；（2）f(x)＝3x，所以f(x)为R上的增函数，将f(2b)与f(b2+1)的大小比较转化为2b 和b2+1的大小比较．【解答】依题意，函数f(x)＝a x(a>0且a≠1)的图象经过点(2, 9)．所以a2＝9，又因为a>0且a≠1，所以a＝3，由（1）知，f(x)＝3x，所以f(x)为R上的增函数，又2b−(b2+1)＝−(b−1)2≤0，所以2b≤b2+1，所以f(2b)≤f(b2+1)，【答案】∵f(x)是R上的奇函数，∴f(0)＝0，且x>0时，f(x)＝x2−2x+2，∴设x<0，−x>0，则f(−x)＝x2+2x+2＝−f(x)，∴f(x)＝−x2−2x−2，∴f(x)={x2−2x+2x>00x=0−x2−2x−2x<0；x>0时，f(x)＝x2−2x+2＝(x−1)2+1≥1，∴x<0时，f(x)≤−1，且f(0)＝0，∴f(x)的值域为{f(x)|f(x)≤−1或f(x)≥1或f(x)＝0}．【考点】函数奇偶性的性质与判断【解析】（1）根据f(x)是R上的奇函数即可得出f(0)＝0，再根据当x>0时，f(x)＝x2−2x+ 2可设x<0，从而得出f(−x)＝x2+2x+2＝−f(x)，从而得出f(x)={x2−2x+2x>00x=0−x2−2x−2x<0；（2）x >0时，f(x)＝x 2−2x +2＝(x −1)2+1≥1，根据f(x)是奇函数可得出x <0时，f(x)≤−1，并且f(0)＝0，这样即可得出f(x)的值域．【解答】∵ f(x)是R 上的奇函数，∴ f(0)＝0，且x >0时，f(x)＝x 2−2x +2，∴ 设x <0，−x >0，则f(−x)＝x 2+2x +2＝−f(x)，∴ f(x)＝−x 2−2x −2，∴ f(x)={x 2−2x +2x >00x =0−x 2−2x −2x <0； x >0时，f(x)＝x 2−2x +2＝(x −1)2+1≥1，∴ x <0时，f(x)≤−1，且f(0)＝0，∴ f(x)的值域为{f(x)|f(x)≤−1或f(x)≥1或f(x)＝0}．【答案】由P ＝P 0e −kt ，可知，当t ＝0时，P ＝P 0；当t ＝5时，P ＝(1−10%)P 0．于是有(1−10%)P 0=P 0e −5k ，解得k =−15ln0.9，那么P =P 0e (15ln0.9)t ，∴ 当t ＝10时，P =P 0e (15ln0.9)×10=P 0e ln0.81=81%P 0．∴ 10个小时后还剩81%的污染物；当P ＝50%P 0时，有50%P 0=P 0e (15ln0.9)t ，解得t =ln0.515ln0.9=51n 12ln 910=5⋅−ln2ln9−ln10=5⋅ln2ln2+ln5−21n3=35．∴ 污染物减少50%所需要的时间为35个小时．【考点】根据实际问题选择函数类型【解析】（1）由5小时后剩留的污染物列等式求出P ＝P 0e −kt 中k 的值，得到具体关系式后代t ＝10求得10个小时后还剩污染物的百分数；（2）由污染物减少50%，即P ＝50%P 0列等式50%P 0=P 0e (15ln0.9)t 求解污染物减少50%所需要的时间．【解答】由P ＝P 0e −kt ，可知，当t ＝0时，P ＝P 0；当t ＝5时，P ＝(1−10%)P 0．于是有(1−10%)P 0=P 0e −5k ，解得k =−15ln0.9，那么P =P 0e (15ln0.9)t ， ∴ 当t ＝10时，P =P 0e (15ln0.9)×10=P 0e ln0.81=81%P 0．∴ 10个小时后还剩81%的污染物；当P ＝50%P 0时，有50%P 0=P 0e (15ln0.9)t ，解得t =ln0.515ln0.9=51n 12ln 910=5⋅−ln2ln9−ln10=5⋅ln2ln2+ln5−21n3=35．∴ 污染物减少50%所需要的时间为35个小时．【答案】∵ f(1)>0，∴ a −1a >0．又a >0且a ≠1，∴ a >1．∵ k ＝1，∴ f(x)＝a x −a −x ．当a >1时，y ＝a x 和y ＝−a −x 在R 上均为增函数，∴ f(x)在R 上为增函数．原不等式可化为f(x 2+2x)>f(4−x)，∴ x 2+2x >4−x ，即x 2+3x −4>0．∴ x >1或x <−4．∴ 不等式的解集为{x|x >1或x <−4}．∵ f(1)=32，∴ a −1a =32，即2a 2−3a −2＝0．∴ a ＝2或a =−12（舍去）．∴ g(x)＝22x +2−2x −4(2x −2−x )＝(2x −2−x )2−4(2x −2−x )+2．令t ＝ℎ(x)＝2x −2−x (x ≥1)，则g(t)＝t 2−4t +2，∵ t ＝ℎ(x)在[1, +∞)上为增函数（由（1）可知），ℎ(x)≥ℎ(1)=32，即t ≥32． g(t)＝t 2−4t +2＝(t −2)2−2，t ∈[32,+∞)．∴ 当t ＝2时，g(t)取得最小值2，即g(x)取得最小值−2，此时x =log 2(1+√2)． 故当x =log 2(1+√2)时，g(x)有最小值−2．【考点】函数与方程的综合运用【解析】（1）利用函数是奇函数，求出k ，利用f(1)>0，推出a >1，判断函数的单调性，利用单调性的性质转化不等式为代数不等式，求解即可．（2）通过f(1)=32，求出a ，化简函数的解析式，通过换元法结合二次函数的性质转化求解函数的最小值即可．【解答】∵ f(1)>0，∴ a −1a >0． 又a >0且a ≠1，∴ a >1．∵ k ＝1，∴ f(x)＝a x −a −x ．当a >1时，y ＝a x 和y ＝−a −x 在R 上均为增函数，∴ f(x)在R 上为增函数．原不等式可化为f(x 2+2x)>f(4−x)，∴ x 2+2x >4−x ，即x 2+3x −4>0．∴ x >1或x <−4．∴ 不等式的解集为{x|x >1或x <−4}．∵ f(1)=32，∴ a −1a =32，即2a 2−3a −2＝0．∴ a ＝2或a =−12（舍去）．∴ g(x)＝22x +2−2x −4(2x −2−x )＝(2x −2−x )2−4(2x −2−x )+2．令t ＝ℎ(x)＝2x −2−x (x ≥1)，则g(t)＝t 2−4t +2，∵ t ＝ℎ(x)在[1, +∞)上为增函数（由（1）可知），ℎ(x)≥ℎ(1)=32，即t ≥32． g(t)＝t 2−4t +2＝(t −2)2−2，t ∈[32,+∞)． ∴ 当t ＝2时，g(t)取得最小值2，即g(x)取得最小值−2，此时x =log 2(1+√2)． 故当x =log 2(1+√2)时，g(x)有最小值−2．【答案】证明：由题设，对任意的x ∈R ，2x +b ≤x 2+bx +c ，即x 2+(b −2)x +c −b ≥0恒成立，∴ (b −2)2−4(c −b)≤0，从而c ≥b 24+1． 于是c ≥1，且c ≥2√b 24×1=|b|，因此2c −b ＝c +(c −b)>0．故当x ≥0时，有(x +c)2−f(x)＝(2c −b)x +c(c −1)≥0．即当x ≥0时，f(x)≤(x +c)2；由（1）得，c ≥|b|，当c >|b|时，有M ≥f(c)−f(b)c 2−b 2=c 2−b 2+bc−b 2c 2−b 2=c+2b c+b ， 令t =b c ，则−1<t <1，∴ c+2b c+b =2−1t+1，而函数g(t)＝2−1t+1(−1<t <1)的值域(−∞, 32)，因此，当c >|b|时M 的取值集合为[32, +∞)；当c ＝|b|时，由（1）知，b ＝±2，c ＝2．此时f(c)−f(b)＝−8或0，c 2−b 2＝0，从而f(c)−f(b)≤32(c 2−b 2)恒成立．综上所述，M 的最小值为32．【考点】函数恒成立问题二次函数的图象二次函数的性质【解析】（1）把2x+b≤f(x)转化为x2+(b−2)x+c−b≥0恒成立，找到b和c之间的关系，再对f(x)和(x+c)2作差整理成关于b和c的表达式即可．（2）对c≥|b|分c>|b|和c＝|b|两种情况分别求出对应的M的取值范围，再综合求M的最小值即可．【解答】证明：由题设，对任意的x∈R，2x+b≤x2+bx+c，即x2+(b−2)x+c−b≥0恒成立，∴(b−2)2−4(c−b)≤0，从而c≥b24+1．于是c≥1，且c≥2√b 24×1=|b|，因此2c−b＝c+(c−b)>0．故当x≥0时，有(x+c)2−f(x)＝(2c−b)x+c(c−1)≥0．即当x≥0时，f(x)≤(x+c)2；由（1）得，c≥|b|，当c>|b|时，有M≥f(c)−f(b)c2−b2=c2−b2+bc−b2c2−b2=c+2bc+b，令t=bc，则−1<t<1，∴c+2bc+b =2−1t+1，而函数g(t)＝2−1t+1(−1<t<1)的值域(−∞, 32)，因此，当c>|b|时M的取值集合为[32, +∞)；当c＝|b|时，由（1）知，b＝±2，c＝2．此时f(c)−f(b)＝−8或0，c2−b2＝0，从而f(c)−f(b)≤32(c2−b2)恒成立．综上所述，M的最小值为32．。
湖南高一高中数学期中考试带答案解析
湖南高一高中数学期中考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.已知角θ=30°，则sinθ的值是 ( )A．1/2B．C．D．12.已知角θ的终边上有一点 P（-4,3) , 则的值是 ( )A．B．C．D．3.与60°角终边相同的角的集合可以表示为( )A．{|=k·360°+，k Z}B．{|=2k+60°，k Z}C．{|=k·180°+60°，k Z}D．{|=2k+，k Z}4.已知sinα=，且α为第二象限角，那么tanα的值等于（）A．B．C．D．5.在△ABC中，若最大角的正弦值是，则△ABC必是（）A．等边三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．锐角三角形6.已知，则tanα的值是（）A．±B．C．D．无法确定7.为了得到函数y=cos(x+)的图象，只需把余弦曲线y=cosx上的所有的点 ( )A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度8.= （）A．B．C．D．9.已知,且∥,则（）A．－3B．C．0D．10.已知，，，则与的夹角是（）A．150B．120C．60D．3011.已知tan(α＋β)=，tan(α＋)=, 那么tan(β－)的值是（）A．B．C．D．12.已知函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)在同一周期内,当x=时,ymax =2;当时，ymin=-2．那么函数的解析式为 ( )A．y=2sin(2x+)B．y=2sin(-)C．y=2sin(2x+)D．y=2sin(2x-)二、填空题1.60°="_________" ．（化成弧度）2.=_________．3.函数的最大值是．4.函数的最小正周期是．三、解答题1.已知扇形的周长为30，当它的半径R和圆心角各取何值时，扇形的面积S最大？并求出扇形面积的最大值．2.已知．（1）求函数的值域；（2）求函数的最大值和最小值．3.已知函数（1）求函数的周期；（2）求函数的单调递增区间；（3）若时，的最小值为– 2 ，求a的值．4.已知=，=，若存在非零实数k，t使得，，且⊥,试求：的最小值．湖南高一高中数学期中考试答案及解析一、选择题1.已知角θ=30°，则sinθ的值是 ( )A．1/2B．C．D．1【答案】A【解析】∵，∴．【考点】特殊角的三角函数值．2.已知角θ的终边上有一点 P（-4,3) , 则的值是 ( )A．B．C．D．【答案】B【解析】∵θ的终边上有一点 P（-4,3) ，∴．【考点】任意角的三角函数值．3.与60°角终边相同的角的集合可以表示为( )A．{|=k·360°+，k Z}B．{|=2k+60°，k Z}C．{|=k·180°+60°，k Z}D．{|=2k+，k Z}【答案】D【解析】A,B把弧度制与角度制混在了一起，不规范，而C，应为=k·360°+60°，D正确．【考点】终边相同的角的集合．4.已知sinα=，且α为第二象限角，那么tanα的值等于（）A．B．C．D．【答案】B【解析】∵sinα=，且α为第二象限角，∴，∴．【考点】同角三角函数的基本关系．5.在△ABC中，若最大角的正弦值是，则△ABC必是（）A．等边三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．锐角三角形【答案】C【解析】∵△ABC中，最大角的正弦值是，∴最大角为135°（45°舍去，不可能是△ABC中的最大角），∴△ABC必定是钝角三角形．【考点】特殊角的三角函数值．6.已知，则tanα的值是（）A．±B．C．D．无法确定【解析】∵，∴，即．【考点】同角三角函数的基本关系．7.为了得到函数y=cos(x+)的图象，只需把余弦曲线y=cosx上的所有的点 ( )A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度【答案】A【解析】根据函数图像平移“左加右减、上加下减”的规律，可知，要得到的图像，只需把上所有的点都向左平移个单位长度．【考点】函数图像平移的规律．8.= （）A．B．C．D．【答案】D【解析】．【考点】二倍角的余弦公式．9.已知,且∥,则（）A．－3B．C．0D．【答案】B【解析】∵，∴即．【考点】向量共线的坐标表示．10.已知，，，则与的夹角是（）A．150B．120C．60D．30【答案】B【解析】∵，∴与的夹角为120°．【考点】平面向量的数量积．11.已知tan(α＋β)=，tan(α＋)=, 那么tan(β－)的值是（）A．B．C．D．【解析】．【考点】三角恒等变形．12.已知函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)在同一周期内,当x=时,ymax =2;当时，ymin=-2．那么函数的解析式为 ( )A．y=2sin(2x+)B．y=2sin(-)C．y=2sin(2x+)D．y=2sin(2x-)【答案】A【解析】由题意可得A=2，，∴，∴，排除B又∵当时，，∴，∴，A,C,D中只有A符合，故选A．【考点】三角函数的图像与性质．二、填空题1.60°="_________" ．（化成弧度）【答案】【解析】根据角的弧度数的定义，弧度．【考点】角度制与弧度制的转化．2.=_________．【答案】1【解析】．【考点】二倍角的正弦公式．3.函数的最大值是．【答案】2【解析】∵，∴，即，∴最大值为2．【考点】三角函数的值域．4.函数的最小正周期是．【答案】3【解析】函数的最小正周期T=．【考点】余弦型函数的性质．三、解答题1.已知扇形的周长为30，当它的半径R和圆心角各取何值时，扇形的面积S最大？并求出扇形面积的最大值．【答案】当扇形半径为，圆心角为2时，扇形有最大面积．【解析】根据条件扇形的周长为30可以得到l+2R=30,从而扇形的面积S=lR=（30－2R）R=，即把S表示为R的二次函数，根据二次函数求最值的方法，可以进一步变形为S=－（R－）2+，从而得到当扇形半径为，圆心角为2时，扇形有最大面积．∵扇形的周长为30，∴l+2R=30，l=30-2R，∴S=lR=（30－2R）R==－（R－）2+．．．．．5分∴当R=时，扇形有最大面积，此时l=30－2R=15，==2．．．．．．．．8分答：当扇形半径为，圆心角为2时，扇形有最大面积．．．．．10分．【考点】1、弧度制下扇形相关公式；2、二次函数求最值．2.已知．（1）求函数的值域；（2）求函数的最大值和最小值．【答案】（1）；（2）最大值：，最小值．【解析】（1）根据题意，由余弦函数的图像易得：当时，，当时，，即函数的值域；（2）将y做如下变形：，即将y转化为关于cosx的二次函数，设t=cosx，则，，二次函数的对称轴为直线t=，根据二次函数求最值的方法，易得y的最大值是，最小值是．（1）∵，∴当时，，当时，，∴函数的值域．．．．．．4分；（2），设t=cosx．．．．．．．．6分，则，，二次函数的对称轴为直线，∵，∴当时，y有最小值，．．．．．．．．8分当时，y有最大值．．．．．．．10分．【考点】1、三角函数的值域；2、三角函数与二次函数综合．3.已知函数（1）求函数的周期；（2）求函数的单调递增区间；（3）若时，的最小值为– 2 ，求a的值．【答案】（1）；（2）；（3）a=-1．【解析】（1）将做如下变形：，根据正弦型函数的性质，最小正周期T=；（2）根据正弦函数的单调递增区间为，可令，解得：，从而可以得到的单调递增区间为；（3）当时，，∴当时，取最小值，结合条件最小值为-2，即可得到有关a的方程，从而求得a=-1．（1）3分∴的最小正周期T= 4分（2）令，解得： 5分即当函数使单调递增，故所求单调递增区间为．．．．．．．．7分；（3）∵，∴，∴，∴当时，取最小值 9分又∵的最小值为-2，∴，∴a="-1" 10分【考点】1、正弦型函数的性质；2、三角函数的单调性；3、三角函数的值域．4.已知=，=，若存在非零实数k，t使得，，且⊥,试求：的最小值．【答案】．【解析】根据题意=，=，可得，又∵⊥，∴，将，代入化简后得，因此，这是一个关于t的二次函数，利用二次函数求最值的相关方法，可以得到的最小值为．∵=，=，∴，又∵⊥，∴ 3分，化简得 5分，∴ 8分，∴当t=-2时有最小值 10分．【考点】1、平面向量的数量积；2、二次函数求最值．。
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2016-2017学年湖南省长沙市雨花区雅礼中学高一（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合M={1，2，3}，N={2，3，4}，则下列式子正确的是（）A．M⊆N B．N⊆M C．M∩N={2，3}D．M∪N={1，4}2．（5分）计算的结果为（）A．a B．a C．a D．a3．（5分）若f（2x+1）=x2﹣2x，则f（2）的值为（）A．﹣ B．C．0 D．14．（5分）定义A﹣B={x|x∈A，且x∉B}，若A={1，2，4，6，8，10}，B={1，4，8}，则A﹣B=（）A．{4，8}B．{1，2，6，10}C．{1}D．{2，6，10}5．（5分）下列四个函数中，在（0，+∞）上是增函数的是（）A．f（x）=﹣B．f（x）=x2﹣3x C．f（x）=3﹣x D．f （x）=﹣|x| 6．（5分）已知函数f（x）=，则f（f（））= （）A．B．C．D．7．（5分）设f（x）=3x+3x﹣8，用二分法求方程3x+3x﹣8=0在x∈（1，2）内近似解的过程中得f（1）＜0，f（1.5）＞0，f（1.25）＜0，则方程的根落在区间（）A．（1，1.25）B．（1.25，1.5）C．（1.5，2）D．不能确定8．（5分）已知a=，b=log2，c=log，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a9．（5分）已知a＞0且a≠1，函数y=log a x，y=a x，y=x+a在同一坐标系中的图象可能是（）A．B． C．D．10．（5分）函数f（x）=log a（6﹣ax）在[0，2]上为减函数，则a的取值范围是（）A．（0，1） B．（1，3） C．（1，3]D．[3，+∞）11．（5分）已知函数f（x）=|lgx|﹣（）x有两个零点x1，x2，则有（）A．x1x2＜0 B．x1x2=1 C．x1x2＞1 D．0＜x1x2＜112．（5分）已知关于x的方程x2+2alog2（x2+2）+a2﹣3=0有唯一解，则符合条件的实数a值是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）设集合={a2，a+b，0}，则a2014+b2015=．14．（5分）已知幂函数y=f（x）的图象过点，则f（9）=．15．（5分）已知函数f（x），g（x）分别由如表给出满足不等式f[g（x）]＞g[f（x）]解集是．16．（5分）函数y=2x﹣的值域是．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知函数f（x）=a x（a＞0且a≠1）的图象经过点（2，）（1）求a的值（2）比较f（2）与f（b2+2）的大小．18．（12分）已知全集U=R，集合A={x|2＜x＜9}，B={x|﹣2≤x≤5}．（1）求A∩B；B∪（∁U A）；（2）已知集合C={x|a≤x≤a+2}，若C⊆∁U B，求实数a的取值范围．19．（12分）设函数f（x）=log2（4x）•log2（2x），，（1）若t=log2x，求t取值范围；（2）求f（x）的最值，并给出最值时对应的x的值．20．（12分）已知函数f（x）=x﹣．（1）利用定义证明：函数f（x）在区间（0，+∞）上为增函数；（2）当x∈（0，1）时，t•f（2x）≥2x﹣1恒成立，求实数t的取值范围．21．（12分）A城市的出租车计价方式为：若行程不超过3千米，则按“起步价”10元计价；若行程超过3千米，则之后2千米以内的行程按“里程价”计价，单价为1.5元/千米；若行程超过5千米，则之后的行程按“返程价”计价，单价为2.5元/千米．设某人的出行行程为x千米，现有两种乘车方案：①乘坐一辆出租车；②每5千米换乘一辆出租车．（Ⅰ）分别写出两种乘车方案计价的函数关系式；（Ⅱ）对不同的出行行程，①②两种方案中哪种方案的价格较低？请说明理由．22．（12分）二次函数y=ax2+x+1（a＞0）的图象与x轴两个交点的横坐标分别为x1，x2．（1）证明：（1+x1）（1+x2）=1；（2）证明：x1＜﹣1，x2＜﹣1；（3）若x1，x2满足不等式|lg|≤1，试求a的取值范围．2016-2017学年湖南省长沙市雨花区雅礼中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合M={1，2，3}，N={2，3，4}，则下列式子正确的是（）A．M⊆N B．N⊆M C．M∩N={2，3}D．M∪N={1，4}【解答】解：∵1∈M，1∉N，∴M⊆N不正确；同理知N⊆M不正确；∵M={1，2，3}，N={2，3，4}，∴M∩N={2，3}，M∪N={1，2，3，4}；故选：C．2．（5分）计算的结果为（）A．a B．a C．a D．a【解答】解：=．故选：C．3．（5分）若f（2x+1）=x2﹣2x，则f（2）的值为（）A．﹣ B．C．0 D．1【解答】解：f（2）=f（2×）==．故选：A．4．（5分）定义A﹣B={x|x∈A，且x∉B}，若A={1，2，4，6，8，10}，B={1，4，8}，则A﹣B=（）A．{4，8}B．{1，2，6，10}C．{1}D．{2，6，10}【解答】解：A﹣B是由所有属于N但不属于M的元素组成，所以A﹣B={2，6，10}．故选：D．5．（5分）下列四个函数中，在（0，+∞）上是增函数的是（）A．f（x）=﹣B．f（x）=x2﹣3x C．f（x）=3﹣x D．f （x）=﹣|x|【解答】解：对于A：函数在（0，+∞）递增，符合题意；对于B：函数的对称轴是x=，在（0，）递减，不合题意；对于C：函数在R递减，不合题意；对于D：函数在（0，+∞）递减，不合题意；故选：A．6．（5分）已知函数f（x）=，则f（f（））= （）A．B．C．D．【解答】解：∵函数f（x）=，∴f（）==﹣2，f（f（））=f（﹣2）=．故选：B．7．（5分）设f（x）=3x+3x﹣8，用二分法求方程3x+3x﹣8=0在x∈（1，2）内近似解的过程中得f（1）＜0，f（1.5）＞0，f（1.25）＜0，则方程的根落在区间（）A．（1，1.25）B．（1.25，1.5）C．（1.5，2）D．不能确定【解答】解析：∵f（1.5）•f（1.25）＜0，由零点存在定理，得，∴方程的根落在区间（1.25，1.5）．故选：B．8．（5分）已知a=，b=log2，c=log，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a【解答】解：∵0＜a=＜20=1，b=log2＜log21=0，c=log=log 23＞log22=1，∴c＞a＞b．故选：C．9．（5分）已知a＞0且a≠1，函数y=log a x，y=a x，y=x+a在同一坐标系中的图象可能是（）A．B． C．D．【解答】解：∵函数y=a x与y=log a x互为反函数，∴它们的图象关于直线y=x对称．再由函数y=a x的图象过（0，1），y=log a x，的图象过（1，0），A选项中的y=a x，a＞1，y=log a x，a＞1，但y=x+a中的a＜1，不符合题意；B选项中的y=a x，a＞1，y=log a x，0＜a＜1，但y=x+a中的a＜1，不符合题意；C选项中的y=a x，0＜a＜1，y=log a x，0＜a＜1，但y=x+a中的a＜1，符合题意；D选项中的y=a x，0＜a＜1，y=log a x，0＜a＜1，但y=x+a中的a＞1，不符合题意；观察图象知，只有C正确．故选：C．10．（5分）函数f（x）=log a（6﹣ax）在[0，2]上为减函数，则a的取值范围是（）A．（0，1） B．（1，3） C．（1，3]D．[3，+∞）【解答】解：若函数f（x）=log a（6﹣ax）在[0，2]上为减函数，则解得a∈（1，3）故选：B．11．（5分）已知函数f（x）=|lgx|﹣（）x有两个零点x1，x2，则有（）A．x1x2＜0 B．x1x2=1 C．x1x2＞1 D．0＜x1x2＜1【解答】解：f（x）=|lgx|﹣（）x有两个零点x1，x2即y=|lgx|与y=2﹣x有两个交点由题意x＞0，分别画y=2﹣x和y=|lgx|的图象发现在（0，1）和（1，+∞）有两个交点不妨设x1在（0，1）里x2在（1，+∞）里那么在（0，1）上有2﹣x1=﹣lgx1，即﹣2﹣x1=lgx1…①在（1，+∞）有2﹣x2=lg x2…②①②相加有2﹣x2﹣2﹣x1=lgx1x2∵x2＞x1，∴2﹣x2＜2﹣x1即2﹣x2﹣2﹣x1＜0∴lgx1x2＜0∴0＜x1x2＜1故选：D．12．（5分）已知关于x的方程x2+2alog2（x2+2）+a2﹣3=0有唯一解，则符合条件的实数a值是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：∵方程x2+2alog2（x2+2）+a2﹣3=0有唯一解，又∵函数f（x）=x2+2alog2（x2+2）+a2﹣3是偶函数；∴方程x2+2alog2（x2+2）+a2﹣3=0的唯一解为0；故2a+a2﹣3=0，故a=1或a=﹣3；经验证，当a=1时，成立；当a=﹣3时，方程有三个解；故选：A．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）设集合={a2，a+b，0}，则a2014+b2015=1．【解答】解：∵集合A={a，，1}，B={a2，a+b，0}，且A=B，∴a≠0，则必有=0，即b=0，此时两集合为A={a，0，1}，集合Q={a2，a，0}，∴a2=1，∴a=﹣1或1，当a=1时，集合为P={1，0，1}，集合Q={1，1，0}，不满足集合元素的互异性．当a=﹣1时，P={﹣1，0，1}，集合Q={1，﹣1，0}，满足条件，故a=﹣1，b=0．a2014+b2015=1，故答案为：1．14．（5分）已知幂函数y=f（x）的图象过点，则f（9）=27．【解答】解：设幂函数y=f（x）=x a，a∈R，且图象过点，∴2a=2，解得a=，∴f（x）=；∴f（9）==27．故答案为：27．15．（5分）已知函数f（x），g（x）分别由如表给出满足不等式f[g（x）]＞g[f（x）]解集是{2} ．【解答】解：若x=1，则g（1）=3，f[g（x）]=f（3）=1，g[f（1）]=g（1）=3，此时f[g（x）]＞g[f（x）]不成立，若x=2，f[g（2）]=f（2）=3，g[f（2）]=g（3）=1，此时f[g（x）]＞g[f（x）]成立，若x=3，则f[g（3）]=f（1）=1，g[f（3）]=g（1）=3，此时f[g（x）]＞g[f（x）]不成立，故不等式的解集为{2}，故答案为：{2}16．（5分）函数y=2x﹣的值域是（﹣∞，] ．【解答】解：令，则x=；∴；∴该函数在[0，+∞）上单调递减；∴，即y；∴原函数的值域为（﹣]．故答案为：（﹣]．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知函数f（x）=a x（a＞0且a≠1）的图象经过点（2，）（1）求a的值（2）比较f（2）与f（b2+2）的大小．【解答】解：（1）f（x）=a x（a＞0且a≠1）的图象经过点（2，），∴a2=，∴a=；（2）∵f（x）=（）x在R上单调递减，又2≤b2+2，∴f（2）≥f（b2+2）．18．（12分）已知全集U=R，集合A={x|2＜x＜9}，B={x|﹣2≤x≤5}．（1）求A∩B；B∪（∁U A）；（2）已知集合C={x|a≤x≤a+2}，若C⊆∁U B，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）全集U=R，集合A={x|2＜x＜9}，B={x|﹣2≤x≤5}．则：∁U A={x|2≥x或x≥9}那么：A∩B={x|2＜x≤5}；B∪（∁U A）={x|5≥x或x≥9}．（2）集合C={x|a≤x≤a+2}，B={x|﹣2≤x≤5}．则：∁U B={x|﹣2＞x或x＞5}，∵C⊆∁U B，∴需满足：a+2＜﹣2或a＞5，故得：a＜﹣4或a＞5，所以实数a的取值范围是（﹣∞，﹣4）∪（5，+∞）．19．（12分）设函数f（x）=log2（4x）•log2（2x），，（1）若t=log2x，求t取值范围；（2）求f（x）的最值，并给出最值时对应的x的值．【解答】解：（1）∵∴即﹣2≤t≤2（2）f（x）=（log2x）2+3log2x+2∴令t=log2x，则，∴时，当t=2即x=4时，f（x）max=1220．（12分）已知函数f（x）=x﹣．（1）利用定义证明：函数f（x）在区间（0，+∞）上为增函数；（2）当x∈（0，1）时，t•f（2x）≥2x﹣1恒成立，求实数t的取值范围．【解答】（1）证明：任取x1、x2∈（0，+∞），且x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=（x1﹣）﹣（x2﹣）=，∵0＜x 1＜x2，∴1+x1x2＞0，x1x2＞0，x1﹣x2＜0，∴＜0，即f（x1）﹣f（x2）＜0，∴f（x1）＜f（x2），∴函数f（x）在区间（0，+∞）上为增函数；（2）∵t（2x﹣）≥2x﹣1，∴≥2x﹣1∵x∈（0，1），∴1＜2x＜2，∴t≥恒成立，设g（x）==1﹣，显然g（x）在（0，1]上为增函数，g（x）的最大值为g（1）=，故t的取值范围是（，+∞）．21．（12分）A城市的出租车计价方式为：若行程不超过3千米，则按“起步价”10元计价；若行程超过3千米，则之后2千米以内的行程按“里程价”计价，单价为1.5元/千米；若行程超过5千米，则之后的行程按“返程价”计价，单价为2.5元/千米．设某人的出行行程为x千米，现有两种乘车方案：①乘坐一辆出租车；②（Ⅰ）分别写出两种乘车方案计价的函数关系式；（Ⅱ）对不同的出行行程，①②两种方案中哪种方案的价格较低？请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）方案①计价的函数为f（x），方案②计价的函数为g（x），则f（x）=；g（x）=；（Ⅱ）当0＜x≤5时，f（x）=g（x），x＞5时，f（x）＜g（x）即方案①的价格比方案②的价格低，理由如下：x∈（5k，5k+3）（k∈N），f（x）﹣g（x）=2.5x﹣13k﹣9.5≤﹣0.5k﹣2＜0；x∈（5k+3，5k+5）（k∈N），f（x）﹣g（x）=x﹣5.5k﹣5≤﹣0.5k＜0．22．（12分）二次函数y=ax2+x+1（a＞0）的图象与x轴两个交点的横坐标分别为x1，x2．（1）证明：（1+x1）（1+x2）=1；（2）证明：x1＜﹣1，x2＜﹣1；（3）若x1，x2满足不等式|lg|≤1，试求a的取值范围．【解答】（1）证明：由题意得：x1+x2=﹣，x1•x2=，∴（1+x1）（1+x2）=x1x2+（x1+x2）+1=1；（2）证明：由△=1﹣4a＞0，解得：a＜，∵（1+x1）（1+x2）=1＞0，而（1+x1）+（1+x2）=x1+x2+2=﹣+2＜﹣4+2＜0，∴1+x1＜0，1+x2＜0，故x1＜﹣1，x2＜﹣1；（3）解：x2=﹣，|lg|≤1，∵≤≤10，∴≤﹣（1+x 1）≤10，∴﹣11≤x1≤﹣，a==﹣（+）=﹣+，当=﹣时，a的最大值是，当=﹣时，a的最小值是，故a的范围是[，]．。