等差数列的前n项和
计算等差数列的前n项和
计算等差数列的前n项和计算等差数列的前n项和是数学中的一个常见问题，对于中学生来说，掌握这个知识点可以帮助他们更好地理解数列的性质和运算规律。
在本文中，我将以实例为基础，分析和说明如何计算等差数列的前n项和，希望能够帮助中学生和他们的父母更好地掌握这一知识点。
一、等差数列的概念和性质等差数列是指数列中的每一项与它的前一项之差都相等的数列。
例如，1，3，5，7，9就是一个等差数列，公差为2。
等差数列的性质包括：公差d、首项a1、通项公式an=a1+(n-1)d等。
二、计算等差数列的前n项和的方法计算等差数列的前n项和有多种方法，下面我将分别介绍两种常用的方法。
方法一：逐项相加法这种方法适用于等差数列项数较少的情况。
具体步骤如下：1. 根据等差数列的性质，得到首项a1、公差d和项数n。
2. 将等差数列的每一项逐个相加，直到第n项。
3. 计算得到的和即为等差数列的前n项和。
例如，计算等差数列1，3，5，7，9的前3项和：a1=1，d=2，n=31+3+5=9所以，前3项和为9。
方法二：利用求和公式这种方法适用于等差数列项数较多的情况，可以通过求和公式快速计算前n项和。
具体步骤如下：1. 根据等差数列的性质，得到首项a1、公差d和项数n。
2. 利用求和公式S=n/2(a1+an)计算前n项和，其中S表示前n项和，a1表示首项，an表示第n项。
例如，计算等差数列1，3，5，7，9的前5项和：a1=1，d=2，n=5S=5/2(1+9)=25所以，前5项和为25。
三、实际应用举例等差数列的前n项和在实际应用中有着广泛的应用。
举例来说，假设小明每天存钱，第一天存1元，之后每天比前一天多存2元，问小明存了10天后一共存了多少钱？我们可以将这个问题转化为等差数列的前n项和的计算问题。
首项a1=1，公差d=2，项数n=10。
利用求和公式S=n/2(a1+an)，可以得到前10项和为S=10/2(1+19)=100。
等差数列的前n项和公式推导与例题解析
等差数列的前n 项和·例题解析一、等差数列前n 项和公式推导：（1） Sn=a1+a2+......an-1+an 也可写成Sn=an+an-1+......a2+a1两式相加得2Sn=（a1+an)+(a2+an-1)+......(an+a1)=n(a1+an)所以Sn=[n （a1+an ）]/2 （公式一）（2）如果已知等差数列的首项为a1，公差为d ，项数为n ，则 an=a1+(n-1)d 代入公式公式一得Sn=na1+ [n(n+1)d]/2（公式二）二、对于等差数列前n 项和公式的应用【例1】 等差数列前10项的和为140，其中，项数为奇数的各项的和为125，求其第6项．解 依题意，得10a d =140a a a a a =5a 20d =1251135791＋＋＋＋＋＋101012()-⎧⎨⎪⎩⎪ 解得a 1=113，d=－22．∴ 其通项公式为a n =113＋(n －1)·(－22)=－22n ＋135∴a 6=－22×6＋135＝3说明 本题上边给出的解法是先求出基本元素a 1、d ，再求其他的．这种先求出基本元素，再用它们去构成其他元素的方法，是经常用到的一种方法．在本课中如果注意到a6=a1＋5d，也可以不必求出a n而直接去求，所列方程组化简后可得＋＋相减即得＋，a2a9d=28a4d=25a5d=3 6111⎧⎨⎩即a6＝3．可见，在做题的时候，要注意运算的合理性．当然要做到这一点，必须以对知识的熟练掌握为前提．【例2】在两个等差数列2，5，8，…，197与2，7，12，…，197中，求它们相同项的和．解由已知，第一个数列的通项为a n＝3n－1；第二个数列的通项为b N=5N－3若a m＝b N，则有3n－1＝5N－3即＝＋ n N 213 () N-若满足n为正整数，必须有N＝3k＋1(k为非负整数)．又2≤5N－3≤197，即1≤N≤40，所以N＝1，4，7，…，40 n=1，6，11，…，66∴两数列相同项的和为2＋17＋32＋…＋197=1393【例3】选择题：实数a，b，5a，7，3b，…，c组成等差数列，且a＋b＋5a＋7＋3b＋…＋c＝2500，则a，b，c的值分别为[ ]A ．1，3，5B ．1，3，7C ．1，3，99D ．1，3，9解 C 2b =a 5a b =3a 由题设＋⇒又∵ 14＝5a ＋3b ，∴ a ＝1，b ＝3∴首项为1，公差为2又＋∴＋·∴＝S =na d 2500=n 2 n 50n 1n n n n ()()--1212 ∴a 50=c=1＋(50－1)·2=99∴ a ＝1，b ＝3，c ＝99【例4】 在1和2之间插入2n 个数，组成首项为1、末项为2的等差数列，若这个数列的前半部分的和同后半部分的和之比为9∶13，求插入的数的个数．解 依题意2＝1＋(2n ＋2－1)d①前半部分的和＝＋＋②后半部分的和′＝＋·＋·－③S (n 1) d S (n 1)2(d)n+1n+1()()n n n n ++1212由已知，有′化简，得解之，得④S S n nd n nd nd nd n n ++=+++-=+-=111121229131222913()()()() nd =511 由①，有(2n ＋1)d=1⑤由④，⑤，解得，d =111n =5 ∴ 共插入10个数．【例5】 在等差数列{a n }中，设前m 项和为S m ，前n 项和为S n ，且S m ＝S n ，m ≠n ，求S m+n ．解 S (m n)a (m n)(m n 1)d (m n)[a (m n 1)d]m+n 11∵＝＋＋＋＋－＝＋＋＋－1212且S m ＝S n ，m ≠n∴＋－＝＋－整理得－＋－＋－ma m(m 1)d na n(n 1)d (m n)a (m n)(m n 1)=011112122d 即－＋＋－由≠，知＋＋－＝(m n)[a (m n 1)d]=0m n a (m n 1)d 0111212∴S m+n ＝0【例6】 已知等差数列{a n }中，S 3=21，S 6=64，求数列｛|a n |｝的前n 项和T n ．分析 n S =na d a n 11等差数列前项和＋，含有两个未知数，n n ()-12d ，已知S 3和S 6的值，解方程组可得a 1与d ，再对数列的前若干项的正负性进行判断，则可求出T n 来．解 d S na d 3a 3d =21ba 15d =24n 111设公差为，由公式＝＋得＋＋n n ()-⎧⎨⎩12 解方程组得：d ＝－2，a 1＝9∴a n ＝9＋(n －1)(n －2)＝－2n ＋11由＝－＋＞得＜，故数列的前项为正，a 2n 110 n =5.5{a }5n n 112其余各项为负．数列{a n }的前n 项和为：S 9n (2)=n 10n n 2＝＋－－＋n n ()-12∴当n ≤5时，T n ＝－n 2＋10n当n ＞6时，T n ＝S 5＋|S n －S 5|＝S 5－(S n －S 5)＝2S 5－S n∴T n ＝2(－25＋50)－(－n 2＋10n)＝n 2－10n ＋50即－＋≤－＋＞∈T =n 10n n 5n 10n 50 n 6n *n 22⎧⎨⎪⎩⎪N说明 根据数列{a n }中项的符号，运用分类讨论思想可求｛|a n |｝的前n 项和．【例7】 在等差数列{a n }中，已知a 6＋a 9＋a 12＋a 15＝34，求前20项之和．解法一 由a 6＋a 9＋a 12＋a 15＝34得4a 1＋38d ＝34又＝＋×S 20a d 20120192＝20a 1＋190d＝5(4a 1＋38d)=5×34=170解法二 S =(a +a )202=10(a a )20120120×＋ 由等差数列的性质可得：a 6＋a 15=a 9＋a 12＝a 1＋a 20 ∴a 1＋a 20=17S 20＝170【例8】 已知等差数列{a n }的公差是正数，且a 3·a 7=－12，a 4＋a 6=－4，求它的前20项的和S 20的值．解法一 设等差数列{a n }的公差为d ，则d ＞0，由已知可得(a 2d)(a bd)12 a 3d a 5d = 4 1111＋＋＝－①＋＋＋－②⎧⎨⎩由②，有a 1＝－2－4d ，代入①，有d 2=4再由d ＞0，得d ＝2 ∴a 1=－10最后由等差数列的前n 项和公式，可求得S 20＝180 解法二 由等差数列的性质可得：a 4＋a 6＝a 3＋a 7 即a 3＋a 7＝－4又a 3·a 7=－12，由韦达定理可知：a 3，a 7是方程x 2＋4x －12＝0的二根解方程可得x 1=－6，x 2＝2∵ d ＞0 ∴{a n }是递增数列∴a 3＝－6，a 7=2d =a =2a 10S 1807120--a 373，＝－，＝ 【例9】 等差数列{a n }、{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，若S T n n a b n n =+231100100，则等于 [ ]A 1B C D ．．．．23199299200301 分析 n S =n(a +a )n n 1n 该题是将与发生联系，可用等差数列的前项和公式把前项和的值与项的值进行联系．a b S T n n n n 1001002312=+ 解法一 ∵，∴∴S n a a T n b b S T a a b b a a b b n n n n n n n n n n n n =+=+=++++=+()()11111122231∵2a 100＝a 1＋a 199，2b 100＝b 1＋b 199∴××选．a b a b 100100199199=a b =21993199+1=199299C 11++解法二 利用数列{a n }为等差数列的充要条件：S n ＝an 2＋ bn∵S T n n n n =+231可设S n ＝2n 2k ，T n ＝n(3n ＋1)k∴∴××a b S S T T n k n k n n k n n kn n n n a b n n n n n n =--=--+---+=--=--=--=--1122100100221311311426221312100131001199299()()()[()] 说明 该解法涉及数列{a n }为等差数列的充要条件S n =an 2＋bn ，由已知，将和写成什么？若写成，＋，S T n n n n =+231S T S =2nk T =(3n 1)k n n n n k 是常数，就不对了．【例10】 解答下列各题：(1)已知：等差数列{a n }中a 2＝3，a 6＝－17，求a 9；(2)在19与89中间插入几个数，使它们与这两个数组成等差数列，并且此数列各项之和为1350，求这几个数；(3)已知：等差数列{a n }中，a 4＋a 6＋a 15＋a 17＝50，求S 20；(4)已知：等差数列{a n }中，a n =33－3n ，求S n 的最大值．分析与解答(1)a =a (62)d d =562＋－＝－--1734a 9=a 6＋(9－6)d=－17＋3×(－5)=－32(2)a 1=19，a n+2=89，S n+2＝1350∵∴＋×＋S =(a +a )(n +2)2n 2=2135019+89=25 n =23a =a =a 24d d =3512n+21n+2n+2251 故这几个数为首项是，末项是，公差为的个数．211112*********23 (3)∵a 4＋a 6＋a 15＋a 17=50又因它们的下标有4＋17＝6＋15=21∴a 4＋a 17=a 6＋a 15=25S =(a +a )2020120××210250417=+=()a a (4)∵a n =33－3n ∴a 1＝30S =(a +a )n 2n 1n ·×=-=-+=--+()()633232632322123218222n n n n n ∵n ∈N ，∴当n=10或n=11时，S n 取最大值165．【例11】 求证：前n 项和为4n 2＋3n 的数列是等差数列．证设这个数列的第n项为a n，前n项和为S n．当n≥2时，a n＝S n－S n-1∴a n＝(4n2＋3n)－[4(n－1)2＋3(n－1)]=8n－1当n=1时，a1=S1=4＋3=7由以上两种情况可知，对所有的自然数n，都有a n=8n －1又a n+1－a n＝[8(n＋1)－1]－(8n－1)＝8∴这个数列是首项为7，公差为8的等差数列．说明这里使用了“a n=S n－S n-1”这一关系．使用这一关系时，要注意，它只在n≥2时成立．因为当n＝1时，S n-1=S0，而S0是没有定义的．所以，解题时，要像上边解答一样，补上n＝1时的情况．【例12】证明：数列{a n}的前n项之和S n＝an2＋bn(a、b为常数)是这个数列成为等差数列的充分必要条件．证由S n＝an2＋bn，得当n≥2时，a n＝S n－S n-1＝an2＋bn－a(n－1)2－b(n－1)=2na＋b－aa1＝S1＝a＋b∴对于任何n ∈N ，a n ＝2na ＋b －a且a n －a n-1=2na ＋(b －a)－2(n －1)a －b ＋a＝2a(常数)∴{a n }是等差数列．⇐若{a n }是等差数列，则S na d =d n(a d)=d 2n 11＝＋··＋－n n n n n n a d ()()()-++-1212221 若令，则－，即d d 22=a a =b 1 S n =an 2＋bn综上所述，S n =an 2＋bn 是{a n }成等差数列的充要条件． 说明 由本题的结果，进而可以得到下面的结论：前n 项和为S n =an 2＋bn ＋c 的数列是等差数列的充分必要条件是c ＝0．事实上，设数列为{u n }，则：充分性＝＋是等差数列．必要性是等差数列＝＋＝． c =0S an b {u } {u }S an bn c 0n 2n n n n 2⇒⇒⇒⇒【例13】 等差数列{a n }的前n 项和S n ＝m ，前m 项和S m ＝n(m ＞n)，求前m ＋n 项和S m+n ．解法一 设{a n }的公差d按题意，则有S na d m S ma d n (m n)a d =n m n 1m 11＝＋＝①＝＋＝②①－②，得－·＋·－n n m m m n m n ()()()()--⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪-+-121212 即＋－∴··a d =11m n S m n a m n m n d m n a m n d m n ++=++++-=+++-+12121211()()()()() =－(m ＋n)解法二 设S x ＝Ax 2＋Bx(x ∈N)Am Bm n An Bn m 22＋＝①＋＝②⎧⎨⎪⎩⎪①－②，得A(m 2－n 2)＋B(m －n)＝n －m∵m ≠n ∴ A(m ＋n)＋B=－1故A(m ＋n)2＋B(m ＋n)＝－(m ＋n)即S m+n ＝－(m ＋n)说明 a 1，d 是等差数列的基本元素，通常是先求出基本元素，再解决其它问题，但本题关键在于求出了＋＝－，这种设而不a d 11m n +-12解的“整体化”思想，在解有关数列题目中值得借鉴．解法二中，由于是等差数列，由例22，故可设S x =Ax 2＋Bx ．(x ∈N)【例14】 在项数为2n 的等差数列中，各奇数项之和为75，各偶数项之和为90，末项与首项之差为27，则n 之值是多少？解 ∵S 偶项－S 奇项=nd∴nd=90－75=15又由a 2n －a 1＝27，即(2n －1)d=27nd 15 (2n 1)d 27n =5＝－＝∴⎧⎨⎩【例15】 在等差数列{a n }中，已知a 1＝25，S 9＝S 17，问数列前多少项和最大，并求出最大值．解法一 建立S n 关于n 的函数，运用函数思想，求最大值．根据题意：＋×，＝＋×S =17a d S 9a d 1719117162982∵a 1=25，S 17＝S 9 解得d ＝－2∴＝＋－－＋－－＋S 25n (2)=n 26n =(n 13)169n 22n n ()-12∴当n=13时，S n 最大，最大值S 13＝169解法二 因为a 1=25＞0，d ＝－2＜0，所以数列{a n }是递减等差数列，若使前项和最大，只需解≥≤，可解出．n a 0a 0n n n+1⎧⎨⎩ ∵a 1＝25，S 9＝S 17∴×＋××＋×，解得－9252d=1725d d=29817162∴a n=25＋(n－1)(－2)=－2n＋27∴－＋≥－＋＋≥≤≥∴2n2702(n1)270n13.5n12.5n=13⎧⎨⎩⇒⎧⎨⎩即前13项和最大，由等差数列的前n项和公式可求得S13=169．解法三利用S9=S17寻找相邻项的关系．由题意S9=S17得a10＋a11＋a12＋…＋a17=0而a10＋a17=a11＋a16=a12＋a15=a13＋a14∴a13＋a14＝0，a13=－a14∴a13≥0，a14≤0∴S13=169最大．解法四根据等差数列前n项和的函数图像，确定取最大值时的n．∵{a n}是等差数列∴可设S n＝An2＋Bn二次函数y=Ax2＋Bx的图像过原点，如图3．2－1所示∵S9＝S17，∴对称轴x=9+172=13∴取n=13时，S13＝169最大。
等差数列前N项和的公式
若把次序颠倒是Sn=an+an-1+…+a2+a1 (2) 由等差数列的性质
a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…
由(1)+(2) 得 即
Sn=n(a1+an)/2
2sn=(a1+an）+(a1+an）+(a1+an)+..
由此得到等差数列的{an}前n项和的公式
n(a1 an ) 公式1 Sn 2
n(n 1) n(n 1) 公式2 Sn na1 d nan d 2 2
熟练掌握等差数列的两个求和公式并能灵 活运用解决相关问题．
由以上例题可以得出:在求等差数列的前n项的和时,当
知道首项和公差,或者是知道首项和末项,均可以得出.
已知等差数列an中,已知a6=20,求S11=?
例4 等差数列-10，-6，-2，
2，…前多少项的和是54？ 本题实质是反用公式，解一 个关于n 的一元二次函数，注 意得到的项数n 必须是正整数.
解：将题中的等差数列记为｛an｝，sn代表该数列
复习回顾
(1) 等差数列的通项公式: 已知首项a1和公差d,则有: an=a1+ (n-1) d 已知第m项am和公差d,则有: an=am+ (n-m) d, d=（an-am）/（n-m） (2) 等差数列的性质: 在等差数列﹛an﹜中,如果m+n=p+q (m,n,p,q∈N),那么: an+am=ap+aq
n(n 1)10 由题意，得 :100 n (n 2)180 2 解得 n=8 或 n=9（舍）
等差数列前n项和的实际应用
性质二:若等差数列{an}共有2n-1项，
S奇 S偶 a中 an ,
若等差数列{an}共有2n项，则S偶-S奇=nd,
S奇 n = S偶 n-1
S奇 S偶
=
an an+1
如{an}为等差数列，项数为奇数，奇数项和为44，偶数项和为33，求数列的中间项和项数。
a中 =11，n=7
例1、设等差数列的前n项和为Sn,已知a3=12,S12>0,S13<0. 求:1) 公差d的取值范围 2)指出 S1,S2,…Sn,…中哪一个值最大，并说明理由 。
n
)
监测：P21-5
(1)求数列a n 的通项公式. (2)判断数列a n 的单调性.
解：有log2 2a
n
1 2 2n an 2nan 1 0 a log2 2
n
a n n
n 1
2
0 x 1, 0 2 a 1 an 0
n
a
ห้องสมุดไป่ตู้n n
2)由于a7<0,a6>0,所以S6最大。
a6 a7 0 S12 0 注意： S 0 a 0 13 7
例2、在等差数列{an}中，已知a1=20,前n项和为Sn,且S10=S15， 求当n取何值时，Sn有最大值，并求出它的最大值。
解：由S10=S15得a11+a12+a13+a14+a15=0
等差数列前n项和的实际应用
一、求和公式的性质：
性质1、若数列{an}的前n项和为Sn=pn2+qn (p,q为常数)，则数列{an}是等差数列。 {an}是等差数列
Sn=pn2+qn(p,q为常数,d=2p)
等差数列前n项和的性质及应用
密码学：等差数列 前n项和公式可用于 设计密码算法和加 密方案
计算机图形学：等差数 列前n项和公式可用于 生成等差数列曲线，用 于计算机图形学中的渲 染和动画制作
定义：等差数 列中，任意两 项的差为常数
公式： Sn=n/2*(a1+a
n)
推导：利用等 差数列的定义， 将前n项和展开，
得到 Sn=na1+n(n-
算法优化：通过减少重复计算和利用已知值来加速计算过程，从而提高了算法的效率。
应用场景：等差数列前n项和的优化算法在数学、物理、工程等领域有广泛的应用， 尤其在处理大规模数据时具有显著优势。
计算等差数列前n项和的最小 值
求解等差数列中项的近似值
判断等差数列是否存在特定性 质
优化等差数列前n项和的计算 过程
,a click to unlimited possibilities
汇报人：
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等差数列前n项和 是数列中前n个数 的和，记作Sn。
等差数列前n项和的 公式为：Sn = n/2 * (a1 + an)，其中a1为 首项，an为第n项。
等差数列前n项和 的性质包括对称性、 奇偶性、线性关系 等。
等差数列前n项和的定义：一个数列， 从第二项起，每一项与它的前一项的 差都等于同一个常数，这个数列就叫 做等差数列。
等差数列前n项和的性质1：若 m+n=p+q，则S_m+S_n=S_p+S_q。
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等差数列前n项和的公式： S_n=n/2*(2a_1+(n-1)d)，其中a_1 是首项，d是公差。
4.2.2等差数列的前n项和公式
= 1 +
.
2
作用：已知 a1，d和 n，求 Sn.
典型例题
例1已知数列{an}是等差数列.
（1）若a1=7，a50=101，求 S50；
5
（2）若a1=2，a2= ，求S10；
2
1
1
（3）若a1= ，d= − ，Sn=−5，求n.
2
6
解：（1）∵a1=7，a50=101，
当n＝6时，an＝0；
所以 an＋1＜an .所以{an}是递减数列.
当n＞6时，an＜0.
由 a1＝10，dБайду номын сангаас＝－2，
得 an＝10＋(n－1)×(－2) ＝－2n＋12.
所以 , S1＜S2＜…＜S5＝S6＞ S7＞…
令 an＞0，解得 n ＜6.
所以，当n＝5或6时，Sn最大.
因为5 = 5 × 10
2
= + (1 − ).
2
2
Sn＝Sn－1＋an（n≥2）
函数思想
课后作业
1.某市一家商场的新年最高促销奖设立了两种领奖方式：第一种，
所以2 = (1 + ) + (1 + ) + ⋯ + (1 + )
= (1 + ).
(1 + )
=
.
2
等差数列的前n项和公式
等差数列{an}的前n项和Sn公式：
(1 + )
=
.
2
作用：已知 a1，an 和 n，求 Sn.
an＝a1＋(n－1)d，(n∈N*)
，有
2
101 + 45 = 310，
前n项求和公式方法
前n项求和公式方法前n项求和公式是数学中常见的一个概念，用于计算一系列数字的总和。
它在代数、数学和物理等领域都有广泛的应用。
本文将对前n 项求和公式进行详细介绍，并讨论其推导方法和一些实际应用。
前n项求和公式，也被称为等差数列求和公式，是指将一个等差数列的前n个项相加得到的总和。
等差数列是一种特殊的数列，每个项与前一项的差值都相等。
在等差数列中，首项为a，公差为d，第n项为an。
根据前n项求和公式，等差数列的总和可以表示为：Sn = (a + an) * n / 2其中，Sn表示前n项的总和。
为了更好地理解前n项求和公式的推导过程，我们来具体分析一下。
假设等差数列的前n项和为Sn，第一项为a，公差为d，最后一项为an。
根据等差数列的性质，我们可以得到第一项与最后一项的关系为：an = a + (n - 1) * d接下来，我们将等差数列按照正序和倒序各自相加，并将两个和相加，可以得到：Sn = a + (a + d) + (a + 2d) + ... + (a + (n - 1)d)Sn = an + (an - d) + (an - 2d) + ... + (an - (n - 1)d)2Sn = (a + an) + (a + an) + ... + (a + an)2Sn = n(a + an)根据等差数列的性质，可以进一步简化表达式：2Sn = n(a + a + (n - 1)d)2Sn = n(2a + (n - 1)d)Sn = (a + an) * n / 2通过以上推导过程，我们得到了前n项求和公式，即Sn = (a + an) * n / 2。
这个公式可以帮助我们高效地计算等差数列的前n项和。
在实际应用中，前n项求和公式有很广泛的应用。
例如，我们可以用它来计算一段时间内的总收入或总支出，将每个时间点的收入或支出视为等差数列的项数，并使用前n项求和公式求解总和。
此外，前n项求和公式还可以用于计算物理中的位移、速度和加速度等问题，以及金融中的贷款利息和存款利息计算等。
等差数列前n项和公式(优质课)教案
等差数列的前n 项和 （优质课）教案教学目标：教学重点： 掌握等差数列前n 项和通项公式及性质，数列最值的求解，与函数的关系 教学难点： 数列最值的求解及与函数的关系教学过程：1. 数列的前n 项和一般地，我们称312...n a a a a ++++为数列{}n a 的前n 项和，用n S 表示；记法：123...n n S a a a a =++++ 显然，当2n ≥时，有1n n n a S S −=− 所以n a 与n S 的关系为n a = ①1S ()1n =②()12n n S S n −−≥2. 等差数列的前n 项和公式()()11122n n n a a n n S na d +−==+ 3. 等差数列前n 项和公式性质（1） 等差数列中，依次()2,k k k N +≥∈项之和仍然是等差数列，即23243,,,,...k k k k k k k S S S S S S S −−− 成等差数列，且公差为2k d（2） n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列 （3） 等差数列{}n a 中，若(),n m a m a n m n ==≠，则0m n a +=；若(),,n m S m S n m n ==≠则()m n S m n +=−+（4） 若{}n a 和{}n b 均为等差数列，前n 项和分别是n S 和n T ，则有2121n n n n a S b T −−=（5） 项数为2n 的等差数列{}n a ，有()1,n n n S n a a +=+有S 偶 -S 奇 =nd ，S S 奇 /偶 =1nn a a + 4. 等差数列前n 项和公式与函数的关系等差数列前n 项和公式()112n n n S na d −=+可以写成2122n d d S n a n ⎛⎫=+− ⎪⎝⎭ 若令1,,22d dA aB =−=类型一： 数列及等差数列的求和公式例1.已知数列{}n a 的前n 项和22,n S n n =+ 求{}n a解析：当1n =时，113a S ==；当2n ≥时，121n n n a S S n −=−=+当1n =时，上式成立所以21n a n =+答案：21n a n =+练习1. 已知数列{}n a 的前n 项和22,n S n n =+求2a 答案：25a =练习2：已知数列{}n a 的前n 项和22,n S n n =+求10a 答案：1021a =例2.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，131,,15,22m a d S ==−=−求m 及m a 解析：()131..15222m m m S m −⎛⎫=+−=− ⎪⎝⎭，整理得27600,m m −−= 解得12m =或5m =−（舍去）()12311211522m a a ⎛⎫∴==+−⨯−=− ⎪⎝⎭答案：1212,4m a ==−练习3. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，11,512,1022n n a a S ==−=−，求d答案：171d =−练习4. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，524,S =求24a a + 答案：24485a a +=例3.在等差数列{}n a 中，前n 项和为n S (1) 若81248,168,S S ==求1a 和公差d(2) 若499,6,a a ==−求满足54n S =的所有n 的值解析：（1）由等差数列前n 项和公式有11182848,1266168,8,4a d a d a d +=+=∴=−=（2）由4919,6,18,3a a a d ==−∴==−所以()()11813542n S n n n =+−−=即213360n n −+= 解得4n =或9n = 答案：（1）18,4a d =−= （2）4n =或9n =练习5.设n S 是等差数列{}n a 的前项和，1532,3,a a a ==则9S =___________ 答案：54−练习6.在等差数列{}n a 中，241,5,a a ==则{}n a 的前5项和 5S = ______________ 答案：15类型二： 等差数列前n 项和公式的性质 例4.在等差数列{}n a 中， （1） 若41720a a +=，求20S（2） 若共有n 项，且前四项之和为21，后四项之和为67，前n 项和286n S = ，求n （3） 若10100100,10S S ==求110S解析：（1）由等差数列的性质，知()1204172012020202002a a a a S a a +=+=∴=+= （2）由题意得，知123412321,67,n n n n a a a a a a a a −−−+++=+++= 由等差数列的性质知()121324311488,22n n n n n n a a a a a a a a a a a a −−−+=+=+=+∴+=∴+=又()12n n nS a a =+ ，即 222862n ⨯=26n ∴= （4） 因为数列{}n a 是等差数列，所以10,2010302010090110100,,...,,S S S S S S S S S −−−−成等差数列，首项为10100S =，设其公差为d ，则100S 为该数列的前10项和，()()10010201010090109 (10100102)S S S S S S d ⨯∴=+−++−=⨯+=解得22d =−，又110S 为该数列的前11项和，故()110111011100221102S ⨯=⨯+⨯−=− 答案：（1）20200S = （2）26n = （3）110110S =−练习7.（2014山东淄博一中期中）设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若4813S S =，则816S S 等于（）A.19 B.13 C.310 D.18答案：C练习8.（2014山东青岛期中）已知等差数列{}n a 的公差0d >，()122013...2013t a a a a t N ++++=∈ 则t = （）A.2014B.2013C.1007D.1006 答案：C例5.已知等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，且21n n S nT n =+则33a b =（） A.32 B.43 C.53 D. 127解析：当n 为奇数时，等差数列{}n a 的前n 项和()1122n n n n a a S na ++== 同理12n n T nb +=令5n =得33533552555513a a Sb b T ⨯====+ 答案：C练习9.已知是{}n a 等差数列，n S 为其前n 项和，n N +∈若32016,20a S ==则10S 的值为______ 答案：110练习10.已知等差数列{}n a 的公差为2，项数是偶数，所有奇数项之和为15，所有偶数项之和为35，则这个数列的项数为______________ 答案：20类型三：等差数列前n 项和公式的最值及与函数的关系 例6.已知数列{}n a 的前项和为2230n S n n =− （1） 这个数列是等差数列吗？求出它的通项公式 （2） 求使得n S 最小的n 值解析：（1）因为()14322n n n a S S n n −=−=−≥当1n =时1123028a S ==−=−也适合上式，所以这个数列的通项公式为432n a n =−又因为()()()1432413242n n a a n n n −−=−−−−=≥⎡⎤⎣⎦ 所以{}n a 是等差数列（2）2215225230222n S n n n ⎛⎫=−=−− ⎪⎝⎭因为n 是正整数，所以当7n =或8时n S 最小，最小值为-112答案：（1）是；432n a n =−（2）当7n =或8时n S 最小，最小值为-112练习11.已知等差数列{}n a 的前n 项和为715,7,75n S S S ==，n T 为数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，求数列{}n T 的通项公式答案：2944n n T n =− 练习12.等差数列{}n a 中，若61024,120S S ==，求15S =_____________ 答案：15330S =例7.已知等差数列{}n a 中，19120,,a S S <=求使该数列前n 项和n S 取得最小值的n 的值 解析：设等差数列{}n a 的公差为d ，则由题意得111199812121122a d a d +⨯⨯⨯=+⨯⨯⨯ 即21112121330,10,00228n d a d a d a d S n d ⎛⎫=−∴=−<∴>∴=−− ⎪⎝⎭ 0n d S >∴有最小值；又,10n N n +∈∴=或11n =时，n S 取最小值答案：10n =或11n =时，n S 取最小值练习13.已知等差数列{}n a 中，128,4a d =−=则使前n 项和n S 取得最小值的n 值为（） A.7 B.8 C.7或8 D.6或7 答案：C练习14.数列{}n a 满足211n a n =−+，则使得其前n 项和取得最大值的n 等于（） A.4 B.5 C.6 D.7 答案：B1. 四个数成等差数列，S 4＝32，a 2a 3＝13，则公差d 等于( )A ．8B ．16C ．4D ．0 答案：A2. 设{a n }是等差数列，S n 为其前n 项和，且S 5<S 6，S 6＝S 7>S 8，则下列结论错误的是( ) A ．d <0 B ．a 7＝0 C ．S 9>S 5 D ．S 6与S 7均为S n 的最大值． 答案：C3. 已知{a n }为等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，S n 是等差数列{a n }的前n 项和，则使得S n 达到最大值的n 是( )A ．21B ．20C ．19D ．18 答案：B4. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5＝5，S 5＝15，则数列{1a n a n ＋1}的前100项和为( )A.100101B.99101C.99100D.101100 答案：A5. 在等差数列{a n }中，若S 12＝8S 4，且d ≠0，则a 1d等于( )A.910B.109 C ．2 D.23 答案：A6. 设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，公差d ＝2，S k ＋2－S k ＝24，则k ＝( ) A ．8 B ．7 C ．6 D ．5 答案：D7. (2014·福建理，3)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，S 3＝12，则a 6等于( ) A ．8 B ．10 C ．12 D ．14 答案：C_________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________基础巩固 1. 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a m －1＋a m ＋1－a 2m ＝0，S 2m －1＝38，则m ＝( ) A ．38 B ．20 C ．10 D ．9 答案：C2.数列{a n }是等差数列，a 1＋a 2＋a 3＝－24，a 18＋a 19＋a 20＝78，则此数列的前20项和等于( ) A ．160 B ．180 C ．200 D ．220 答案：B3.等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，当首项a 1和d 变化时，a 2＋a 8＋a 11是一个定值，则下列各数中也为定值的是( )A ．S 7B ．S 8C ．S 13D ．S 15 答案：C4. 已知等差数列共有10项，其中奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差是( ) A ．5 B ．4 C ．3 D ．2 答案：C5. 在等差数列{a n }中，a 1＞0，d ＝12，a n ＝3，S n ＝152，则a 1＝________，n ＝________.答案：2 ，36. 设S n 是等差数列{a n }(n ∈N *)的前n 项和，且a 1＝1，a 4＝7，则S 5＝________.答案：257. 设{a n }是公差为－2的等差数列，若a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 97＝50，则a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 99的值为________． 答案：－828.若等差数列{a n }满足a 7＋a 8＋a 9>0，a 7＋a 10<0，则当n ＝________时，{a n }的前n 项和最大． 答案：89. 已知等差数列{a n }的前n 项和S n 满足S 3＝0，S 5＝－5.(1)求{a n }的通项公式；(2)求数列{1a 2n －1a 2n ＋1}的前n 项和．答案：(1)设{a n }的公差为d ，则S n ＝na 1＋n (n －1)2d .由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧3a 1＋3d ＝05a 1＋10d ＝－5，解得a 1＝1，d ＝－1.由{a n }的通项公式为a n ＝2－n . (2)由(1)知1a 2n －1a 2n ＋1＝1(3－2n )(1－2n )＝12(12n －3－12n －1)， 从而数列{1a 2n －1a 2n ＋1}的前n 项和为12(1－1－11＋11－13＋…＋12n －3－12n －1)＝n 1－2n. 10. 设{a n }是等差数列，前n 项和记为S n ，已知a 10＝30，a 20＝50.(1)求通项a n ；(2)若S n ＝242，求n 的值． 答案：(1)设公差为d ，则a 20－a 10＝10d ＝20， ∴d ＝2.∴a 10＝a 1＋9d ＝a 1＋18＝30， ∴a 1＝12.∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝12＋2(n －1)＝2n ＋10. (2)S n ＝n (a 1＋a n )2＝n (2n ＋22)2＝n 2＋11n ＝242， ∴n 2＋11n －242＝0， ∴n ＝11.能力提升11. 在等差数列{a n }和{b n }中，a 1＝25，b 1＝15，a 100＋b 100＝139，则数列{a n ＋b n }的前100项的和为( )A ．0B ．4 475C ．8 950D ．10 000 答案：C12. 等差数列{a n }中，a 1＝－5，它的前11项的平均值是5，若从中抽取1项，余下的10项的平均值为4，则抽取的项是( )A ．a 8B ．a 9C ．a 10D ．a 11 答案：D13. 一个凸多边形的内角成等差数列，其中最小的内角为120°，公差为5°，那么这个多边形的边数n 等于( )A ．12B ．16C ．9D ．16或9答案：C14. 已知一个等差数列的前四项之和为21，末四项之和为67，前n 项和为286，则项数n 为( ) A ．24 B ．26 C ．27 D ．28 答案：B15. 设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 3＝4a 3，a 7＝－2，则a 9＝( )A ．－6B ．－4C ．－2D ．2 答案：A16. 设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 3S 6＝13，则S 6S 12等于( )A.310B.13C.18D.19 答案：A17. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若OB →＝a 1OA →＋a 200OC →，且A 、B 、C 三点共线(该直线不过点O )，则S 200＝( )A ．100B ．101C ．200D ．201 答案：A18. 已知等差数列{a n }的前n 项和为18，若S 3＝1，a n ＋a n －1＋a n －2＝3，则n ＝________. 答案：2719. 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－8，则通项公式a n ＝________.答案：⎩⎪⎨⎪⎧－7 (n ＝1)2n －1 (n ≥2)20. 设{a n }是递减的等差数列，前三项的和是15，前三项的积是105，当该数列的前n 项和最大时，n 等于( )A ．4B ．5C ．6D ．7 答案： A21. 等差数列{a n }中，d <0，若|a 3|＝|a 9|，则数列{a n }的前n 项和取最大值时，n 的值为______________． 答案：5或622. 设等差数列的前n 项和为S n .已知a 3＝12，S 12>0，S 13<0.(1)求公差d 的取值范围；(2)指出S 1，S 2，…，S 12中哪一个值最大，并说明理由．答案：(1)依题意⎩⎨⎧S 12＝12a 1＋12×112d >0S13＝13a 1＋13×122d <0，即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋11d >0， ①a 1＋6d <0. ②由a 3＝12，得a 1＋2d ＝12. ③将③分别代入②①，得⎩⎪⎨⎪⎧24＋7d >03＋d <0，解得－247<d <－3.(2)由d <0可知{a n }是递减数列，因此若在1≤n ≤12中，使a n >0且a n ＋1<0，则S n 最大． 由于S 12＝6(a 6＋a 7)>0，S 13＝13a 7<0，可得 a 6>0，a 7<0，故在S 1，S 2，…，S 12中S 6的值最大． 23. 已知等差数列{a n }中，a 1＝1，a 3＝－3.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{a n }的前k 项和S k ＝－35，求k 的值． 答案：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d .由a 1＝1，a 3＝－3可得1＋2d ＝－3.解得d ＝－2. 从而，a n ＝1＋(n －1)×(－2)＝3－2n . (2)由(1)可知a n ＝3－2n . 所以S n ＝n [1＋(3－2n )]2＝2n －n 2.进而由S k ＝－35，可得2k －k 2＝－35. 又k ∈N *，故k ＝7为所求． 24. 在等差数列{a n }中：(1)已知a 5＋a 10＝58，a 4＋a 9＝50，求S 10； (2)已知S 7＝42，S n ＝510，a n －3＝45，求n . 答案：(1)解法一：由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧a 5＋a 10＝2a 1＋13d ＝58a 4＋a 9＝2a 1＋11d ＝50， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3d ＝4.∴S 10＝10a 1＋10×(10－1)2×d ＝10×3＋10×92×4＝210. 解法二：由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧a 5＋a 10＝(a 1＋a 10)＋4d ＝58a 4＋a 9＝(a 1＋a 10)＋2d ＝50， ∴a 1＋a 10＝42，∴S 10＝10(a 1＋a 10)2＝5×42＝210. 解法三：由(a 5＋a 10)－(a 4＋a 9)＝2d ＝58－50，得d ＝4由a 4＋a 9＝50，得2a 1＋11d ＝50，∴a 1＝3.故S 10＝10×3＋10×9×42＝210. (2)S 7＝7(a 1＋a 7)2＝7a 4＝42，∴a 4＝6. ∴S n ＝n (a 1＋a n )2＝n (a 4＋a n －3)2＝n (6＋45)2＝510. ∴n ＝20.25.已知等差数列{a n }的前n 项和S n ＝－32n 2＋2052n ，求数列{|a n |}的前n 项和T n . 答案：a 1＝S 1＝101，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(－32n 2＋2052n )－[－32(n －1)2＋2052(n －1)] ＝－3n ＋104.又n ＝1也适合上式．∴数列通项公式a n ＝－3n ＋104.由a n ＝－3n ＋104≥0，得n ≤1043， 即当n ≤34时，a n >0；当n ≥35时，a n <0.①当n ≤34时，T n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝S n ＝－32n 2＋2052n . ②当n ≥35时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 34|＋|a 35|＋…＋|a n | ＝a 1＋a 2＋…＋a 34－(a 35＋a 36＋…＋a n ) ＝2(a 1＋a 2＋…＋a 34)－(a 1＋a 2＋…＋a n ) ＝2S 34－S n＝32n 2－2052n ＋3 502.故T n ＝⎩⎨⎧ －32n 2＋2052n (n ≤34)32n 2－2052n ＋3 502 (n ≥35).。
等差数列前n项和的性质
则
S偶-
S奇=
nd 2
.
特别地, 若 m+n=2p, 则 am+an=2ap .
2.等差中项
b=
a+c 2
3.若数列 {an}是等差数列，则 d k 2d
Sk , S2k Sk , S3k S2k , S4k S3k , 也是等差数列
4.若等差数列 {an} 的前 2n-1 项和为 S2n-1, 等差数列 {bn} 的
前 2n-1 项和为 T2n-1,
则
S2n-1 T2n-1
=
an bn
.
三、判断、证明方法
1.定义法; 2.通项公式法; 3.等差中项法.
{an}为等差数列 an kn b
Sn An2 Bn
注: 三个数成等差数列, பைடு நூலகம்设为 a-d, a, a+d(或 a, a+d, a+2d) 四个数成等差数列, 可设为a-3d, a-d, a+d, a+3d.
一、概念与公式
1.定义 若数列 {an} 满足: an+1-an=d(常数), 则称 {an} 为等差数列.
2.通项公式 an=a1+(n-1)d=am+(n-m)d.
3.前n项和公式
Sn=na1+
n(n-1)d 2
=
n(a1+an) 2
.
二、等差数列的性质
1.若 m+n=p+q(m、n、p、qN*), 则 am+an=ap+aq .
四、Sn的最值问题
1.若 a1>0, d<0 时,
满足
an≥0, an+1≤0.
等差数列的前n项和
专题 等差数列的前n 项和目 录⚫ 【1.等差数列前n 项和基本量计算】 .............................................. 1 ⚫ 【2.含绝对值的等差数列项和】 ...................................................... 2 ⚫ 【3.等差数列奇（偶）数项和】 ...................................................... 3 ⚫ 【4.等差数列的片段和性质】 .......................................................... 3 ⚫ 【5.两个等差数列的前n 项和之比（Sn T n ）】 (4)⚫ 【6.等差数列前n 项和的最值】 (4)⚫ 【1.等差数列前n 项和基本量计算】1．已知等差数列{}n a 的前n 项和为174,1,510n S a S a =−=+，则4S =（ ） A ．6B ．7C ．8D ．102．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若48a =，318S =，则5S =（ ） A ．34B ．35C ．36D ．383．记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若5985a a a +=+，117a =，则16S =（ ） A ．64B ．80C ．96D ．1204．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若333,3a S ==，则12S =（ ） A ．144B ．120C ．100D ．805．等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若10111012101310148a a a a +++=，则2024S =（ ） A ．8096B ．4048C ．4046D ．20246．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若761311S S =，则1511S S = ．⚫ 【2.含绝对值的等差数列前n 项和】7．已知等差数列{}n a 中，19a =，43a =，设12||||||n n T a a a =++⋅⋅⋅+，则21T =（ ）A ．245B ．263C ．281D ．2908．设等差数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1＝－7，S 3＝－15.求： (1)S n 及S n 的最小值； (2)数列{|a n |}的前n 项和T n .9．已知在等差数列{}n a 中，公差0d ≠，其前n 项和为n S ，216S =，且2154a a a =．(1)求数列{}n a 的通项公式； (2)求数列{}n a 的前n 项和nT ．10．已知数列{}n a 的前n 项和()2*12n S n kn k =−+∈N ，且n S 的最大值为92． (1)确定常数k ，并求n a ； (2)求数列{}n a 的前15项和15T ．11．已知数列{}n a 的前n 项和为n S .若n Sn ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，且满足18S =，454S =. (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)设12n nT a a a =++⋅⋅⋅+，求nT .12．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，2217n S n n =−. (1)求{}n a 的通项公式，并求n S 的最小值； (2)设n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和nT .⚫ 【3.等差数列奇（偶）数项和】13．已知等差数列{}n a 的项数为()21Ν,m m *+∈其中奇数项之和为140, 偶数项之和为 120,则m =( ) A ．6B ．7C ．12D ．1314．已知等差数列{}n a 共有21n −项，奇数项之和为60，偶数项之和为54，则n = ．15．已知等差数列{}n a 的项数为21m +()*m ∈N ，其中奇数项之和为140，偶数项之和为120，则数列{}n a 的项数是 .16．在等差数列{}n a 中，已知公差12d =，且1359960+++⋅⋅⋅+=a a a a ，求12399100a a a a a +++⋅⋅⋅++的值．⚫ 【4.等差数列的片段和性质】17．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若42S =，812S =，则20S =（ ） A ．30B ．58C ．60D ．9018．在等差数列{}n a 中，若363,24S S ==，则12S =（ ） A ．100B ．120C ．57D ．1819．记n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若36S =，621S =，则12S =（ ） A ．27B ．36C ．45D ．78⚫ 【5.两个等差数列的前n 项和之比（S n T n）】20．设等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S ，nT ，若对任意正整数n都有2343n nS n T n −=−，则839457a a b b b b +=++（ ） A ．37B ．521C ．1941D ．1940E ．均不是21．已知等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n n S T ､，若342nnS n T n +=+，则57210a a b b +=+（ ）A ．3713B ．11113C ．11126D ．372622．等差数列 {}n a ，{}n b 的前 n 项和分别为 n S ，n T ，若对任意的正整数n都有5321n n S n T n −=+，则 77a b = . 23．已知数列{}n a ，{}n b 都是等差数列，n S ，nT 分别是它们的前n 项和，并且713n n S n T n +=+，则2517228101216a a a ab b b b +++=+++ ． ⚫ 【6.等差数列前n 项和的最值】24．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若890,0S S <>，则（ ） A ．10a <B ．0d <C ．n S 的最小值为4SD ．n nS a 的最小值为55Sa25．已知数列{}n a 是公差为d 的等差数列，n S 是其前n 项的和，若10a <，20002024S S =，则（ ）A ．0d >B ．20120a =C ．40240S =D ．2012n S S ≥26．设数列{}n a 是等差数列，公差为d ，n S 是其前n 项和，10a >且69S S =，则（ ）A ．0d >B ．80a =C ．7S 或8S 为n S 的最大值D ．56S S >27．在数列{}n a 中，若121a =，前n 项和22n S n bn =−+，则n S 的最大值为 ． 28．已知在等差数列{}n a 中，19a =，470a a +=． (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)求当n 为何值时，数列{}n a 的前n 项和取得最大值，并求最大值.。
等差数列的前n项和的性质
A.22 B.26 C.30 D.34
C 由等差数列的前n项和性质知S673,S1346-S673,S2019-S1346 成等差数列,所以由等差中项的性质知 2(S1346-S673)=S673+S2019-S1346,又S673=2,S1346=12, 所以S2019=3(S1346-S673)=30,故选C.
Sn在转折项有最大值
an 0 an1 0
a1 0, d 0 , , ,(0),+, , , Sn在转折项有最小值
an 0
an1
0
等差数列的前n项的最值问题
例1.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11, 求n取何值时,Sn取最大值.
解法1 由S3=S11得 1.根据Sn二次模型,寻找对称轴
法一 : 基本量思想 转为a1和d 法二 : 整体做差
3. an 是等差数列, Sn是前n项的和,求证: S6, S12 S6, S18 S12也成等差 推广: 若 an 是等差数列, Sn , S2n Sn , S3n S2n也成等差
等差数列an, Sn 100, S2n 500,求S3n
练习题
1.等差数列 an ,a10 30,a20 50,求a40
法一 : 基本量思想 转为a1和d 法二 : a10,a20 , a30, 还成等差
结论 : 若an是等差数列, 则 a10n还是等差 2.等差数列 an ,a1 a2 a3 35,a2 a3 a4 63,求a3 a4 a5
Sn 2n 3 ,求 a9 .
37
Tn 3n 1 b9
50
an S2n1 bn T2n1
an S2n1
bn
T2n1
二、等差数列的前n项的最值问题 Sn最值问题
等差数列的前n项和性质+练习
1、等差数列{a n }前n 项和公式： n S = n a n 2a 1+=d n n n a 2)1(1-+=d n n na n 2)1(--。
等差数列的前n 项之和公式可变形为，若令A ＝，B ＝a 1－，则＝An 2+Bn.在解决等差数列问题时，如已知，a 1，a n ，d ，，n 中任意三个，可求其余两个。
2、等差数列{a n }前n 项和的性质性质1:S n ,S 2n －S n ,S 3n －S 2n , …也在等差数列,公差为n 2d性质2:(1)若项数为偶数2n,则 S 2n =n(a 1+a 2n )=n(a n +a n+1) (a n ,a n+1为中间两项),此时有:S 偶－S 奇= nd , 性质3:(2)若项数为奇数2n －1,则 S 2n-1=(2n － 1)a n (a n 为中间项), 此时有:S 奇－S 偶= a n ,1-n n s =偶奇s 性质4:数列{nn s }为等差数列 性质5:若数列{a n }与{b n }都是等差数列,且前n 项的和分别为S n 和T n ,则2121n n n n a S b T --= 典型例题：热点考向1：等差数列的基本量（a 1，a n ，d ，，n 中任意三个，可求其余两个）例1、在等差数列{n a }中，已知81248,168S S ==，求1,a 和d 已知6510,5a S ==，求8a 和8S训练： 1、在等差数列{}n a 中，已知102030,50a a ==.（1）求通项公式{}n a ；（2）若242n S =，求n .2.在等差数列{}n a 中,n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知7157,75S S ==，n T 为数列{n S n }的前n 项和，求n T 3、已知等差数列的前n 项之和记为S n ，S 10=10 ，S 30=70，则S 40等于 。
4. 已知是等差数列，且满足，则等于________。
等差数列的前n项和-概念解析
数学教育
等差数列的前n项和公式是数学 教育中的重要内容，是中学数学
课程中的必修知识点。
在物理领域的应用
物理学中的周期性现象
等差数列的前n项和公式可以用于描述物理学中的周期性现象，例如声音的振 动、波动等。
物理学中的序列问题
等差数列的前n项和公式可以用于解决物理学中的序列问题，例如在研究粒子运 动、流体动力学等领域中，可以通过等差数列的前n项和公式来描述一系列物理 量的变化规律。
解答
由于该等差数列是偶数项，所以它的前10项和等于中间两 项之和（第5项和第6项）乘以10除以2，即$(3 - 3) times 10 / 2 = 0$。
习题三：等差数列前n项和的实际应用问题
01 总结词
02 详细描述
03 应用1
04 应用2
05 应用3
掌握等差数列前n项和在实 际问题中的应用
等差数列前n项和在实际问 题中有着广泛的应用，如 计算存款、贷款、工资等 问题。
总结词
详细描述
公式
示例
解答
理解等差数列前n项和的 概念
等差数列的前n项和是指 从第一项到第n项的所有 项的和，可以通过公式 或递推关系式来求解。
$S_n = frac{n}{2} times (2a_1 + (n-1)d)$，其中 $a_1$是首项，$d$是公 差，$n$是项数。
求等差数列$1, 3, 5, 7, ldots$的前5项和。
等差数列前n项和的公式推导
等差数列前n项和的公式可以通过数学归 纳法进行推导。
化简得：$S_{k+1} = frac{(k+1)}{2}(2a_1 + kd)$，所以当n=k+1时，公式也成立。
等差数列的前n项和公式
故a1=5
例3
n(a1 an ) 公式 S n 和S n 2
n ( n 1) na1 d 2 2)在等差数列中，a1=-2,S10=-11,求d
分析:若a1 = -2, S10 =-11, n=10,求d,活用公式2
解: S10=-2X10+10(10-1)d/2
所以-11=-20+45d
思考:
n(a1 an ) Sn 2
又因为an=a1+(n-1)d，代入上式 这个式子化简又变成什么呢?
n(n 1) S n na1 d 2
于是得到了求等差数列前n项和的两 个公式：
思考:(1)这两个公式有那些相同的参数,不同的? 可以得到什么结论 ?(2) 每个公式中至少要知道 几个参数,才能求任意的一个? 注意:1) 相同点: 已知a1和n; 不同点:一个已知 an,一个已知d 2) 知三求一
书295页Aቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ1，4，5 B组1，2
先 把 公 式 抄 三 遍 哦
每个人都有一双隐形的翅膀,努力就会成功!
谢谢指导！
感谢高一(1)班的同学!!
答案:500, 做对了吗?
答案: 8900 对了吗?
n ( n 1) n(a1 an ) 公式 Sn 2 和 S n na1 2 d 例3 (1)在等差数列中，a20=15,S20=200, 求a1?
分析：对公式1活用，注意n=20 解: 因为sn=n(a1+an)/2 故S20 =20(a1+a20)/2 200=20(a1+15)/2 =>20= a1+15
三.讲解新课
一般地，把一个数列的前n项和，记做Sn
即有Sn=a1+a2+a3+……+an
(完整版)等差数列的前n项和与项数、首项之间的关系总结
(完整版)等差数列的前n项和与项数、首项之间的关系总结简介等差数列是数学中常见的数列类型，其中每个数与它前一个数之间的差值相等。
本文档旨在总结等差数列的前n项和与项数、首项之间的关系。
具体公式假设等差数列的首项为a，公差为d，项数为n。
根据等差数列的性质，可以得出以下关系式：1.第n项的值为：a + (n-1)d2.前n项和的公式为：S_n = (n/2)(2a + (n-1)d)分析与推导由以上公式可以看出，等差数列的前n项和与项数、首项之间存在一定的关系。
1.首项a的变化：- 当项数n增加时：- 如果公差d保持不变，前n项和S_n也会增加。
- 如果前n项和S_n保持不变，公差d和首项a会产生相应变化。
- 当公差d增加时：- 如果项数n保持不变，前n项和S_n也会增加。
- 如果前n项和S_n保持不变，项数n和首项a会产生相应变化。
2.项数n的变化：- 当首项a增加时：- 如果公差d保持不变，前n项和S_n会随着项数n的增加而增加。
- 当公差d增加时：- 如果首项a保持不变，前n项和S_n会随着项数n的增加而增加。
3.公差d的变化：- 当项数n增加时：- 如果首项a保持不变，前n项和S_n会随着公差d的增加而增加。
总结- 等差数列的前n项和与项数、首项之间的关系可以用公式S_n = (n/2)(2a + (n-1)d)表示。
- 当项数n或首项a增加时，前n项和S_n会增加。
- 当公差d增加时，前n项和S_n也会增加。
- 通过控制项数n、首项a和公差d，可以灵活控制等差数列的前n项和的数值。
以上是关于等差数列的前n项和与项数、首项之间的关系的总结。
希望对您有所帮助！。
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将它们代入公式
nn 1 S n na1 d 2
a1 4 d 6
S 20 1220
10 a1 45 d 310 得： 20 a1 190 d 1220
所以
n(n 1) S n 4n 6 3n 2 n 2
an 可以建立一个等差数列
a1 500
d 50
n 10
• 课本45页练习1题
• 课本46页1（1）（2）
小结
• 1、等差数列的前n项和公式推导 • 倒序相加法 • 2、等差数列的前n项和公式
Sn na1 an 2
S n na1
nn 1 d 2
• 3、公式的应用
na1 an Sn 2
• 把 an a1
na1 an n 1 d 代入 S n 2
，得到 Sn 也
可以用首项 a1 与公差 d 表示，即
nn 1 S n na1 d 2
• 3、等差数列前n项和公式
na1 d 2
的自变量 x 取正整数时的函数值.
解：由题意知：等差数列的首项a1=5，公差为
5 d 7 n(n 1) 5 S n 5n ( ) 2 7 5 2 75 n n 14 14
所以
配方
5 15 2 1125 (n ) 14 2 56
所以，当n取与7.5最近的整数即7或8时，Sn 取最大值.
复习等差数列的有关概念
定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等 于同一个常数（指与n无关的数），这个数列就叫做等差数列，
这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。
an1 an d (是与n无关的数或式子）
等差数列
an a1 (n 1)d
an 的通项公式为
• 已知一个等差数列的前6 项的和是150， 前12项的和是516，由此可以确定求其前项 n和的公式吗？
a1 10
d 6
• 课本46页2题
例3. 已知数列{an}的前n项和为Sn=n2+0.5n，求 这个数列的通项公式. 这个数列是等差数列吗？如果 是，它的首项与公差分别是什么？ 解：根据Sn a1 a2 an1 an
学习指导（一）
• 请同学们用8分钟时间学习课本42页探究~43页思 考的内容，注意：
• 1、体会等差数列前n项和公式的推导过程 • 2、记住等差数列的前n项和公式
• 8分钟后检测，比比谁的学习效果好！
学习效果检测
• 1、数列的前n项和
• 一般地，我们称
a1 a2 a3 an
• 为数列an 的前n项和，用 Sn 表示，即
首项、未项与项数
首项、公差与项数
学习指导（二）
请同学们用5分钟时间学习课本43页的例1，注意：
1、从例1中抽象出具体的数学问题.
2、所得数列的首项、公差、项数分别是什 么？
5分钟后检测，比比谁的学习效果好！
• 例1、2001年工程经费为500万元，以后每 年投入的资金都比上一年增加50万元.那么从 2001年起的未来10年内，工程投入是多少？
2
∴S=5050 注：此法称倒序求和（属代数法）
3、上述求解过程带给我们什么启示？ (1)所求的和可以用首项、末项及项数来表示；
(2)任意的第k项与倒数第k项的和都等于首项与末项 的和。
学习目标
• 1、了解等差数列前n项和公式的推导过程
• 2、记住等差数列前n项和公式
• 3、会应用公式解决实际问题
第50项与倒数第50项的和：50+51=101.
100 于是所求的和为： 101 5050 2
解法2:设：∵S= 1 +2 +3 +4+· · · +97+98+99+100 , S=100+99+98+97+· · · +4 +3 +2 +1 , ∴2S=(1+100)+(2+99)+(3+98)+(4+97)+ · · · (97+4)+(98+3) +(99+2)+(100+1) 100 1 100 =100×（1+100） S
Sn a1 a2 a3 an
倒序求和法 Sn=a1 +a2 +a3 +… Sn=an +an-1 +an-2+… +an-2 +an-1 +an +a3 +a2 +a1
,,
∴2Sn =(a1+ an)+(a2+an-1)+(a3+an-2 )+… +(an-2 +a3 )+(an-1+a2 )+(an+a1 ) 2Sn=n(a1+an)
• 作业 • 课本46页3题
学习目标
• 1、运用方程思想解决等差数列前n项和问 题 • 2、会用前n项和公式求通项公式，并会判 断是否为等差数列
例2：已知一个等差数列的前10 项的和是310， 前20项的和是1220，由此可以确定求其前项n和的公 式吗？
分析：只要根据已知的两个条件求出首项a1 和公差d即可.
Sn1 a1 a2 an1 n 1
1 1 2 n n [( n 1) (n 1)] 2 2
2
当n>1时， an
S n S n 1
1 2n 2
当n=1时，a1也满足上式，
1 所以{an}通项公式 an 2n 2 {an}是首项为3/2，公差为2的等差数列.
前n项和的函数的特性
例4.已知等差数列 4 2 5, 4 , 3 , 7 7 前n项和为Sn，求使得Sn最大的序号n的值.
分析：等差数列的前n项和公式
n(n 1) d 2 d S n na1 d n (a1 )n 2 2 2
Sn可以看成关于n的函数，即在二次函数
d 2 d y x (a1 ) x 2 2
ab A 2
如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数 列，那么A叫做a与b的等差中项
一、等差数列前n项和的引入：
１、引例：1+2+3+…+100=? 2、高斯的算法： 首项与末项的和：1+100=101, 第2项与倒数第2项的和：2+99=101, 第3项与倒数第3项的和：3+98=101, ……