等差数列的前n项和公式的巧记及其性质

我们都知道等差数列的前n 项和公式有2个，你都记住了吗？有没有巧妙的记忆方法？等差数列的前n 项和S n 有哪些我们必须知道的性质呢？问题2：
问题1：课前提示
目录
1. 等差数列的前n项和公式S n的巧记方法
2. 等差数列的前n项和公式S n的性质及其应用
等差数列的前n项和公式S n的巧记方法
对一般的等差数列{a n } ，则有
S n =a n +a n -1+…+a 12S n =(a 1+a 2+…+a n )+(a n +a n -1+…+a 1)=(a 1+a n )+(a 2+a n -1)+…+(a n +a 1)S n =a 1+a 2+…+a n
=n (a 1+a n
)
等差数列的前n项和
将a n用首项a1和公差d 表示，可得
等差数列的前n项和
已知量首项、末项与项数首项、公差与项数求和
公式S n＝S n＝
1
a n
n
a 1a n n a S n 与梯形面积
1a n a 12
()n n a a n
S +⋅=n 补成平形四边形
n a 1a n S S n
与梯形面积
1a 112()n n n d S n a -=+分割成一个平行四边形和一个三角形n 1a a n =a 1+(n -1)d
(n -1)d n S S n 与梯形面积
例1 已知数列{a n}是等差数列，
(1)若a1＝1，a n＝－512，S n＝－1 022，求公差d；
(2)若a2＋a5＝19，S5＝40，求a10；
(3)若S10＝310，S20＝1 220，求S n.
(1) 若a1＝1，a n＝－512，S n＝－1 022，求公差d；
还有更简单的
方法吗？
(2) 若a2＋a5＝19，S5＝40，求a10；
(3) 若S10＝310，S20＝1 220，求S n.
[题后感悟]　a1，n，d称为等差数列的三个基本量，a n和S n都可以用这三个基本量来表示，五个量a1，n，d，a n ，S n中可知三求二，一般是通过通项公式和前n项和公式联立方程(组)求解，这种方法是解决数列问题的基本方法，在具体求解过程中应注意已知与未知的联系及整体思想的运用．
1. 在等差数列{a n}中，
(1)已知a6＝10，S5＝5，求a8.
(2)已知a2＋a4＝48/5，求S5；
(3)已知a10＝12，a20＝32，S n＝120，求a n和n的值．
(1)已知a6＝10，S5＝5，求a8.
(2)已知a2＋a4＝48/5，求S5；
(3)已知a10＝12，a20＝32，S n＝120，求a n和n的值
a n=a10+(n－10)d
1．等差数列{a n}中，d＝2，a n＝11，S n＝35，则a1等于( )
A．5或7 B．3或5
C．7或－1 D．3或－1
2．已知等差数列{a n}，a1＝50，d＝－2，S n＝0，则n等于( )
A．51 B．50
C．49 D．48
3．等差数列{a n}的前n项和为S n，若a3＋a17＝10，则S19的值为________．
4．已知{a n}是等差数列，a1＋a3＋a5＝9，a6＝9.求此数列前6项的和．
等差数列的前n项和公式S n的性质
等差数列的S n
最值问题2122
()n d d S n a n =+-S n 是一个关于n 的二次函数. 因此我们可以借助二次函数的图像 和性质来研究等差数列前n 项和的有关问题.
等差数列的S n 最值问题2122()n d d S n a n =+-2
A B n S n n =+若某个数列的前n 项和S n 可以表示成 ，则这个数列是等差数列.
2
A B n S n n =+
等差数列的S n 的性质2122()n d d S n a n =+-122
()n S d d n a n =+- 是一个等差数列，公差为 .2d {}n S n
例2 在等差数列{a n}中，a1＝25，S17＝S9，求S n的最大值．
由题目可获取以下主要信息：
①{a n}为等差数列．②a1＝25，S17＝S9.
解答本题可用二次函数求最值或由通项公式求n，使a n≥0，a n＋1<0或利用性质求出大于或等于零的项．
方法三：先求出d＝－2(同方法一)，
由S17＝S9，得a10＋a11＋…＋a17＝0，
而a10＋a17＝a11＋a16＝a12＋a15＝a13＋a14, 故a13＋a14＝0.
∵d＝－2<0，a1>0.
∴a13>0，a14<0，
故n＝13时，S n有最大值169.
已知等差数列{a n}中，a1＝－3，11a5＝5a8－13，
(1)求公差d 的值；
(2)求数列{a n}的前n项和S n的最小值．
已知等差数列{a n}中，a1＝－3，11a5＝5a8－13，(1)求公差d 的值；
(2)求数列{a n}的前n项和S n的最小值．
n117
{|a n|}的前n项和．
由题目可获取以下主要信息：
①数列{a n}为等差数列；
②a1＝－60，a17＝－12，可求得公差d.
先分清哪些项是负的，再分段求出前n项的绝对值之和．
n117 {|a n|}的前n项和．
已知等差数列{a n}中，S2＝16，S4＝24，求数列{|a n|}的前n项和A n.
{}n S n 是等差数列282=S 464=S 公差－1
2．等差数列的前n项和公式的应用
(1)当已知首项、末项和项数时，用前一个公式较为简便；当已知首项、公差和项数时，用后一个公式较好．
(2)两个公式共涉及a1、d、n、a n及S n五个基本量，依据方程的思想，在五个基本量中要知道三个基本量可求其它基本量，这也就是我们所说的“知三求二”．。