等差数列前n项和公式及性质
等差数列前n项和的性质及应用
密码学：等差数列 前n项和公式可用于 设计密码算法和加 密方案
计算机图形学：等差数 列前n项和公式可用于 生成等差数列曲线，用 于计算机图形学中的渲 染和动画制作
定义：等差数 列中，任意两 项的差为常数
公式： Sn=n/2*(a1+a
n)
推导：利用等 差数列的定义， 将前n项和展开，
得到 Sn=na1+n(n-
算法优化：通过减少重复计算和利用已知值来加速计算过程，从而提高了算法的效率。
应用场景：等差数列前n项和的优化算法在数学、物理、工程等领域有广泛的应用， 尤其在处理大规模数据时具有显著优势。
计算等差数列前n项和的最小 值
求解等差数列中项的近似值
判断等差数列是否存在特定性 质
优化等差数列前n项和的计算 过程
,a click to unlimited possibilities
汇报人：
01
02
03
04
05
06
等差数列前n项和 是数列中前n个数 的和，记作Sn。
等差数列前n项和的 公式为：Sn = n/2 * (a1 + an)，其中a1为 首项，an为第n项。
等差数列前n项和 的性质包括对称性、 奇偶性、线性关系 等。
等差数列前n项和的定义：一个数列， 从第二项起，每一项与它的前一项的 差都等于同一个常数，这个数列就叫 做等差数列。
等差数列前n项和的性质1：若 m+n=p+q，则S_m+S_n=S_p+S_q。
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等差数列前n项和的公式： S_n=n/2*(2a_1+(n-1)d)，其中a_1 是首项，d是公差。
等差数列前n项和公式的几个性质和与应用 (3)
等差数列前n项和公式的几个性质和与应用性质1：设等差数列{}n a的前n项和公式和为n S，公差为d，*m∈n.N则①()dm n m S n S m N -=-21②()mnd S S S S nm n m S n m n m n m ++=--+=+性质2：设等差数列{}n a 的前n 项和公式和为n S ，*..N k n m ∈,若k n m ..成等差数列，则k S n S m S knm,,成等差数列性质3：设等差数列{}n a 的前n 项和公式和为n S ，*....N n m q p ∈,若n m q p +=+，则qp S S n m S S qp n m --=--性质4：设等差数列{}na 的前n 项和公式和为k S①当()*2N k k n ∈=时，()12++=k k k a a k S ②当()*12N k k n ∈-=时，()121212---=k k a k S例1：如果等差数列{}n a 的前4项和是2，前9项和是-6，求其前n 项和公式。
解1：由性质1得：()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=-d n S nS d S S n 4214492149449 ()()21将9,294-==S S 代入()()2,1得：nn S n 30433072+-=解2：求1a ,d.例2：设n S 是等差数列{}n a 的前n项和，已知331S 和441S 的等比中项为551S ，331S 和441S 的等差中项为1，求等差数列{}na 的通项公式n a 。
解1：由性质1和题意知，()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=-=+=-=-d d S S S S d d S S 2145214523421342134453434)3()2()1( 解得：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=+=-=d S dS d S 431541144113543又3453425S S S ⋅=⎪⎭⎫⎝⎛，即⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+d d d 4114114312，∴5120-==d d 或当d=0时，33=S ，∴*,1N n a n ∈= 当512-=d 时，52435124113=⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--=S又da S 223313⨯+=，即524512331=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+a ，∴41=a故()*,512153251214N n n n a n ∈-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=例3：一等差数列前4项和是24，前5项和的差是27，求这个等差数列的通项公式。
等差数列前n项和公式及性质
2.2 等差数列的前n项和第一课时等差数列前n项和公式及性质【选题明细表】题号知识点、方法易中等差数列前n项和公式应用1、3、9 7、8等差数列前n项和性质的应用2、4等差数列性质的综合应用5、6基础达标1.在等差数列{a n}中,已知a1=2,a2+a3=13,则a4+a5+a6等于( B )(A)40 (B)42 (C)43 (D)45解析:∵a1=2,a2+a3=13,∴3d=13-4=9,∴d=3,a4+a5+a6=S6-S3=6×2+×6×5×3-(3×2+×3×2×3)=42.故选B. 2.等差数列{a n}共有2n+1项,其中奇数项之和为319,偶数项之和为290,则其中间项为( B )(A)28 (B)29 (C)30 (D)31解析:∵S奇=a1+a3+…+a2n+1=(n+1)a n+1,S偶=a2+a4+…+a2n=na n+1,∴S奇-S偶=a n+1=29.故选B.3.(2013南阳高二阶段性考试)已知等差数列{a n}的前n项和为S n,若2a8=6+a11,则S9等于( D )(A)27 (B)36 (C)45 (D)54解析:∵2a8=a5+a11=6+a11,∴a5=6,∴S9===9a5=54.故选D.4.(2012郑州四十七中月考)设等差数列{a n}的前n项和为S n,若S3=9,S6=36,则a7+a8+a9等于( B )(A)63 (B)45 (C)36 (D)27解析:由S3,S6-S3,S9-S6成等差数列,∴2(S6-S3)=S3+(S9-S6),∴a7+a8+a9=S9-S6=2(S6-S3)-S3=2×(36-9)-9=45.故选B.5.(2013广州市铁一中第一学期期中测试)在各项均不为零的等差数列中,若a n+1-+a n-1=0(n≥2),则S2n-1-4n等于( A )(A)-2 (B)0 (C)1 (D)2解析:由已知得2a n-=0,又a n≠0,∴a n=2,∴S2n-1===2(2n-1),∴S2n-1-4n=-2.故选A.6.等差数列{a n}中,已知a14+a15+a17+a18=82,则S31= .解析:结合已知条件,运用性质可以得出a1+a31=a14+a18=a15+a17=41,所以S31===.答案:7.设等差数列{a n}的前n项和为S n,若a5=5a3,则= .解析:设公差为d,则a1+4d=5(a1+2d),∴a1=-d,∴==×=×=-.答案:-能力提升8.(2013海州高级中学高二第一学期期中检测)在等差数列{a n}中,S n 是其前n项和,且a1=2,-=2,则数列﹛﹜的前n项和是.解析:设{a n}的公差为d,则S n=2n+d,∴=2+d,∴(2+d)-(2+d)=2,解之,得d=2,∴S n=2n+×2=n2+n,于是===-.∴数列﹛﹜的前n项和++…+=+++…+=1-=.答案:9.等差数列{a n}的前n项和记为S n,已知a10=30,a20=50.(1)求通项a n;(2)若S n=242,求n.解:(1)由a n=a1+(n-1)d,a10=30,a20=50,得方程组解得所以a n=2n+10.(2)由S n=na1+d,S n=242,得方程12n+×2=242,即n2+11n-242=0,解得n=11或n=-22(舍去).所以n=11.。
等差数列前n项和公式及性质(一)
若
a1＜0，d＞0，则满足
am≤0， am＋1≥0
的项数 m 使得 Sn 取得最小值 Sm.
课外作业
1.已知数列an 的各项均为正数，记Sn为an 的前n项和， 从下面123中选取两个作为条件，证明另一个成立.
1数列an是等差数列；2数列 Sn 是等差数列；3a2 3a1.
注：若选择不同的组合分别解答，则第一个解答记分.
3.等差数列an 的前n项和公式：
Sn
na1 an
2
na1
nn 1 d
2
nN
4.等差数列an中：若正整数m，n，s，t满足m n s t，
a a 则am an
s
t
5.若Sn为等差数列{an}的前n项和，
则Sk，S2k Sk，S3k S2k，是以Sk为首项k 2d为公差的等差数列.
课堂探究
探究二：
设Sn为等差数列{an}的前n项和，且an 2n 8，
求数列
Sn n
的前n项的和Tn
.
达标检测
1.一个正项等差数列前n项的和为3，前3n项的和为21，
则前2n项的和为
A.18
B.12
C.10
D.6
2 (2018·全国卷Ⅱ)记Sn为等差数列{ an }的前n项和
已知 a1 7, S3 15
2、课时规范练：3 、7、B组3、4
课题
学习目标
1、通过对等差数列的前n项和Sn的研究发现它的一些性质。
2、能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等 差数列的相关知识解答相应问题。
必备知识
1.等差数列的定义：an1 an d 常数 .
2.等差数列an 的通项公式：
an a1 n 1d ak n k d n N 且k N ，k n
等差数列性质公式总结
等差数列性质公式总结等差数列，是指数列中的每一项都与它的前一项之差保持相等的数列。
等差数列具有许多性质和公式，本文将对这些性质和公式进行总结。
以下是对等差数列性质公式的详细总结：一、基本概念与公式1. 等差数列：数列中的每一项都与它的前一项之差相等，这个差值称为公差d。
记作a1, a2, a3, ...，其中a1为首项，d为公差，则等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d。
2. 前n项和公式：等差数列的前n项和Sn = (a1 + an) * n / 2 或Sn = (2a1 + (n-1)d) * n / 2。
3. 首项与末项的关系：an = a1 + (n-1)d。
4. 公差与项数的关系：d = (an - a1) / (n-1)。
5. 首项与末项的平均值：(a1 + an) / 2 = a[(n+1) / 2]，其中a是中项的下标。
6. 首项与末项的乘积：a1 * an = a[m + (n-m)/2] * a[m - (n-m)/2]，其中m为项数之和。
7. 通项求和：已知a1，an和n，求等差数列的每一项之和Sn。
Sn = (a1 + an) * n / 2。
二、相邻项间的关系8. 任意两项的平均值：(an + a(n+1)) / 2 = a[(n+2) / 2]。
9. 任意三项的关系：a(n-1) + a(n+1) = 2an。
10. 任意四项的关系：a(n-2) + a(n-1) + a(n+1) + a(n+2) = 2(an + an+1)。
11. 连续奇(偶)数项之和：an + a(n-2) + ... + a3 + a1 =(n+1)a[(n+1)/2]。
12. 连续奇(偶)数项之和：an + a(n-2) + ... + a4 + a2 = na[n/2]。
13. 间隔和公式：a1 + a3 + a5 + ... + a(2n-1) = n^2。
14. 间隔和公式：a2 + a4 + a6 + ... + a(2n) = n(n+1)。
等差数列前n项和性质
等差数列前n项和性质等差数列是数学中经常遇到的一类数列，它的每一项与前一项之差相等。
在研究等差数列时，我们经常关注它的前n项和性质。
本文将探讨等差数列前n项和的计算方法，以及相关的重要性质。
首先，我们来介绍等差数列前n项和的计算公式。
设等差数列的首项为a_1，公差为d，前n项的和为S_n。
根据数列的性质，我们可以得到如下计算公式：S_n = n/2 * (2a_1 + (n-1)d)其中，n表示数列的项数。
这个公式的推导可以通过数学归纳法来证明。
首先，我们知道等差数列的第一项是a_1，最后一项是a_n= a_1 + (n-1)d。
根据等差数列的性质，我们可以将S_n分为两部分：前n-1项和加上最后一项。
根据等差数列的求和公式，前n-1项的和为n/2 * [2a_1 + (n-2)d]，最后一项为a_n。
将两部分相加，得到公式S_n = n/2 * (2a_1 + (n-1)d)。
通过这个公式，我们可以方便地计算等差数列前n项的和。
接下来，我们来研究一些关于等差数列前n项和的重要性质。
首先，等差数列前n项和的性质之一是与项数n的关系。
从等差数列前n项和的计算公式中可以看出，当项数n增加时，前n项的和也会随之增加。
特别地，当n为正整数时，前n项和是一个关于n的递增函数。
这说明等差数列的前n项和是随着项数的增加而增加的。
其次，等差数列前n项和的性质之二是与首项a_1和公差d的关系。
从公式S_n = n/2 * (2a_1 + (n-1)d)可以看出，首项a_1和公差d都会对前n项和产生影响。
首项a_1的大小决定了等差数列的起点，而公差d的大小则决定了等差数列的增量。
当首项a_1增加或者公差d增加时，前n项和也会相应地增加。
这说明等差数列前n项和与首项和公差之间存在着一定的关系。
此外，等差数列前n项和的性质之三是与项数n的奇偶性相关。
当项数n为奇数时，前n项和的计算公式中的2a_1 + (n-1)d中的n-1是一个偶数，所以前n项的和是一个关于n的奇数倍。
等差数列前n项和性质
公式应用
计算等差数列前n项和
利用等差数列前n项和公式， 可以快速计算出等差数列的前 n项和，避免了逐项相加的繁 琐过程。
判断等差数列的性质
通过等差数列前n项和公式， 可以推导出等差数列的一些性 质，如等差中项、等差数列的 和与项数的关系等。
解决实际问题
等差数列前n项和公式在实际 问题中有着广泛的应用，如计 算存款利息、求解物理问题等 。通过灵活运用公式，可以简 化问题求解过程。
等差数列求和与数学归纳法
数学归纳法是一种证明等差数列前n项和性质的有效方法。 通过数学归纳法，可以证明等差数列前n项和公式的正确性 ，以及推导其他相关性质。
06
总结与展望
总结等差数列前n项和性质
• 等差数列前n项和公式：等差数列前n项和S_n=n/2*[2a_1+(n-1)d]，其中a_1为首项，d为公差，n为项数。该公式用于计 算等差数列前n项的和。
等差数列是数列中的一种特殊情况，学生可以将 所学的知识和方法拓展到等比数列和其他类型的 数列中，加深对数列的理解和掌握。
掌握等差数列的求解方法
在学习等差数列的过程中，学生需要掌握各种求 解方法，如直接代入法、待定系数法、配方法等 。通过不断练习，提高解题速度和准确性。
结合实际问题进行应用
数列在现实生活中有着广泛的应用，如分期付款 、人口增长、物理运动等问题。建议学生结合实 际问题，运用所学的等差数列知识进行求解和分 析，提高解决实际问题的能力。
若两个等差数列的前n项和分别为S_n和T_n，且S_n/T_n=k（k为 常数），则这两个数列的公差之比为k。
对未来学习的建议
深入学习等差数列的性质
除了前n项和性质外，等差数列还有许多其他重 要的性质，如通项公式、中项性质等。建议学生 深入学习这些性质，并理解它们之间的联系和应 用。
等差数列前n项和性质及应用
2)由于a7<0,a6>0,所以S6最大。
a6 a7 0 S12 0 注意： S13 0 a7 0
等差数列绝对值的前n项和
例5、等差数列{ a n }， S n n 32 n ，
2
求{| a n |}的前n项和为 S
'
n
例.设数列{an}的通项公式为an=2n-7, 则|a1|+|a2|+|a3|+……+|a15|= 153 .
复习回顾
等差数列的前n项和公式:
n（a1 an ) 形式1: Sn 2
形式2:
n（n 1) Sn na1 d 2
.将等差数列前n项和公式
看作是一个关于n的函数，这个函数有什么 特点？
n(n 1)d S n na1 2
d d 令 A , B a1 2 2
2
求 n 为何值时， S n 最大？
变式、等差数列{ a n }， S n n 7n ，
2
求 n 为何值时， S n 最小？
3n 21 例 2、 等差数列{ a n }，a n , 求 2 2
n 为何值时， S n 最小？
方法（二） ：不等式组法（已知 a n 的表达式用此法）
a n 0 d<0时，前n项和有最大值，可由 求得n的值 a n 1 0
4 1 例6：已知a n 数列满足a1 =4,a n =4- ，令bn . a n-1 an 2 (1)求证数列b n 是等差数列。
(2)求数列an 的通项公式。
4 2(an 2) 解：（） 1 a n+1 2 2 an an 1 an 1 1 a n+1 2 2(an 2) 2 an 2 1 1 1 1 . bn1 bn . a n+1 2 an 2 2 2
等差数列前N项和及性质
等差数列前N 项和及性质1、等差数列的前n 项和公式： ①22111()(1)1()2222n n n a a n n d S na d n a d n An Bn +-==+=+-=+ （其中A 、B 是常数，所以当0d ≠时，n S 是关于n 的二次式且常数项为0）当11a s =也符合n ≥2时那么n a 不需要分类2 ①当项数为偶数n 2时，则 ()121135212n n n n a a S a a a a na --+=+++⋅⋅⋅+==奇()22246212n n n n a a S a a a a na ++=+++⋅⋅⋅+==偶 ()11n n n n S S na na n a a ++-=-=-偶奇 11n n n n S na a S na a ++==奇偶 ②当项数为奇数12+n 时，则21(21)(1)1n S S S n a S n a S n S S a S na S n +⎧=+=+=+⎧+⎪⎪⇒⇒=⎨⎨-==⎪⎪⎩⎩n+1n+1奇偶奇奇n+1n+1奇偶偶偶（其中a n+1是项数为21n +的等差数列的中间项）3{}n b 的前n 和分别为n A 、n B ，且()n n A f n B =，则2121(21)(21)(21)n n n n n n a n a A f n b n b B ---===--。
4等差数列{}n a 的前n 项和m S n =，前m 项和n S m =，则前m n +项和()m n S m n +=-+ 5若{n a }是等差数列，则232,,n n n n n S S S S S --，…也成等差数列6m p =则0m p +=例1.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11,求n 取何值时,Sn 取最大值例2.一个等差数列的前10项的和为100,前100项的和为10,则它的前110项的和为例3一个等差数列的前12项的和为354,其中项数为偶数的项的和与项数为奇数的项的和之比为32:27,则公差为例4.设等差数列{an}的前n 项和为Sn,若S3=9,S6=36,则a7+a8+a9={)1()2(11=≥--=n S n S S n n n a一、选择题1．(2011年杭州质检)等差数列{a n}的前n项和为S n，若a2＝1，a3＝3，则S4＝( ) A．12 B．10 C．8 D．62．在等差数列{a n}中，a2＋a5＝19，S5＝40，则a10＝( )A．24 B．27 C．29 D．483．在等差数列{a n}中，S10＝120，则a2＋a9＝( )A．12 B．24 C．36 D．484．已知等差数列{a n}的公差为1，且a1＋a2＋…＋a98＋a99＝99，则a3＋a6＋a9＋…＋a96＋a99＝( ) A．99 B．66 C．33 D．05．若一个等差数列的前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有( ) A．13项 B．12项 C．11项 D．10项6．在项数为2n＋1的等差数列中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n等于( ) A．9 B．10 C．11 D．127．若一个等差数列首项为0，公差为2，则这个等差数列的前20项之和为( )A．360 B．370 C．380 D．3908．已知a1＝1，a8＝6，则S8等于( )A．25 B．26 C．27 D．289、一个等差数列前3项和为34，后3项和为146，所有项和为390，则这个数列的项数为A. 13B. 12C. 11D. 1019、等差数列{}na的前m项的和为30，前2m项的和为100，则它的前3m项的和为( )A. 130B. 170C. 210D. 260二、填空题1．设数列{a n}的首项a1＝－7，且满足a n＋1＝a n＋2(n∈N*)，则a1＋a2＋…＋a17＝________. 2．已知{a n}是等差数列，a4＋a6＝6，其前5项和S5＝10，则其公差为d＝__________. 3．设S n是等差数列{a n}的前n项和，a12＝－8，S9＝－9，则S16＝________.4．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a6＝S3＝12，则{a n}的通项a n＝________.5．在等差数列{a n}中，已知a5＝14，a7＝20，求S5.三、解答题10．已知数列{a n}的前n项和公式为S n＝n2－23n－2(n∈N*)．(1)写出该数列的第3项；(2)判断74是否在该数列中．11设等差数列{a n}满足a3＝5，a10＝－9.(1)求{a n}的通项公式；(2)求{a n}的前n项和S n及使得S n最大的序号n的值．12．已知数列{a n}是等差数列．(1)前四项和为21，末四项和为67，且各项和为286，求项数；(2)S n＝20，S2n＝38，求S3n.。
等差数列的前n项和的性质
A.22 B.26 C.30 D.34
C 由等差数列的前n项和性质知S673,S1346-S673,S2019-S1346 成等差数列,所以由等差中项的性质知 2(S1346-S673)=S673+S2019-S1346,又S673=2,S1346=12, 所以S2019=3(S1346-S673)=30,故选C.
Sn在转折项有最大值
an 0 an1 0
a1 0, d 0 , , ,(0),+, , , Sn在转折项有最小值
an 0
an1
0
等差数列的前n项的最值问题
例1.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11, 求n取何值时,Sn取最大值.
解法1 由S3=S11得 1.根据Sn二次模型,寻找对称轴
法一 : 基本量思想 转为a1和d 法二 : 整体做差
3. an 是等差数列, Sn是前n项的和,求证: S6, S12 S6, S18 S12也成等差 推广: 若 an 是等差数列, Sn , S2n Sn , S3n S2n也成等差
等差数列an, Sn 100, S2n 500,求S3n
练习题
1.等差数列 an ,a10 30,a20 50,求a40
法一 : 基本量思想 转为a1和d 法二 : a10,a20 , a30, 还成等差
结论 : 若an是等差数列, 则 a10n还是等差 2.等差数列 an ,a1 a2 a3 35,a2 a3 a4 63,求a3 a4 a5
Sn 2n 3 ,求 a9 .
37
Tn 3n 1 b9
50
an S2n1 bn T2n1
an S2n1
bn
T2n1
二、等差数列的前n项的最值问题 Sn最值问题
等差数列的前n项和公式
等差数列的前n项和公式等差数列是数学中常见且有一定规律的数列，其中每一项与前一项之间的差值保持恒定。
等差数列的求和是一种基本的数学问题，其中一个重要的公式是等差数列的前n项和公式。
本文将详细介绍等差数列以及其前n项和公式。
一、等差数列的定义和性质等差数列是指数列中相邻两项之间的差值保持恒定的数列。
设等差数列的首项为a，公差为d，则等差数列的通项公式为an = a + (n-1) * d。
等差数列的性质如下：1. 等差数列的通项公式为an = a + (n-1) * d。
2. 等差数列的首项为a，公差为d，末项为a + (n-1) * d。
3. 等差数列的任意两项之和等于首项与末项之和的一半，即an + a= 2a + (n-1) * d。
4. 等差数列的前n项和可表示为Sn = n * (a + an) / 2。
5. 当n为正整数时，等差数列的前n项和Sn = n * a + (n * (n-1) * d) / 2。
二、等差数列的前n项和公式推导为了推导等差数列的前n项和公式，我们首先将等差数列的前n项和Sn表示为Sn = a + (a + d) + (a + 2d) + ... + (a + (n-1)d)，可以观察到每一项与首项之差都是d。
我们可以将等差数列的前n项和倒序排列，即Sn = (a + (n-1)d) + (a + (n-2)d) + ... + (a + d) + a。
将两式相加，我们有2Sn = (2a + (n-1)d) + (2a + (n-1)d) + ... + (2a + (n-1)d)。
根据等差数列的性质3，等式右边的每一项都等于2a + (n-1)d，共有n项。
则2Sn = n * (2a + (n-1)d)，整理得到Sn = n * (a + an) / 2。
三、等差数列的前n项和公式应用举例为了更好地理解和应用等差数列的前n项和公式，我们来举一个实际的例子。
等差数列前n项和的性质及其推导过程
等差数列前n项和的性质及其推导过程等差数列前n项和的性质及其推导过程：1. 性质等差数列前n项和即等差数列 S 的前 n 项之和，表达式为：S = a1 + a2 + a3 + …… + an，即求前 n 项之和，其中 a1 为等差数列的首项，an 为等差数列的第 n 项。
等差数列的前 n 项之和具有以下性质：（1）当 n 是正整数时， Sn = na1 + n（n - 1）d ;（2）等差数列的前 n 项之和和差的乘积总是 n(n - 1) 个以 a1 为首项的等差数列之和；（3）a1 s = Sn - nd；2. 推导过程（1）当 n 是正整数时，等差数列的前 n 项之和 Sn = a1 + a2 + a3+ …… + an = a1 + a1 + d + a1 + 2d + …… + a1 + (n - 1)d，其中 a1 为等差数列的首项，d 为等差数列的公差。
将上面的式子进行合并可得：Sn = a1 + a1 + d + a1 + 2d + …… + a1 + (n - 1)d = na1 + d + d + d + …… + d = na1 + n(n - 1)d，因此，等差数列的前 n 项之和 Sn = na1 + n(n - 1)d；（2）等差数列的前 n 项之和 S n = n a1 + n(n - 1)d，只需要将 n 移到后面 T n = (n - 1) a1 + n(n - 1)d，不难看出 Sn - Tn = a1，Tn - Tn-1 = a1，由此可知，等差数列的前 n 项之和 S n 和差的乘积总是 n(n - 1) 个以 a1 为首项的等差数列之和；（3）令 Tn = S n - nd，由上可知 Tn = (n - 1) a1 + n(n - 1)d ，可以得到另外一个式子：a1 s = Sn - nd 。
综上所述，等差数列的前 n 项之和的性质及其推导过程主要有三点：（1）当 n 是正整数时， Sn = na1 + n（n - 1）d；（2）等差数列的前 n 项之和和差的乘积总是 n(n - 1) 个以 a1 为首项的等差数列之和；（3）a1 s = Sn - nd。
等差数列的性质和前n项和
等差数列的性质和前n 项和[概念与规律]1．等差数列}a {n 具有如下性质： （1）通项公式：dn a a n )1(1-+=，)N m ,n (d )m n (a a m n*∈-+=；（2）若qp mn +=+，则q p m n a a a a +=+（其中m 、n 、p 、*∈Nq ）。
反之未必成立；（3）公差d 的计算方法：① d=n a －1-n a ② d =11--n a a n ③ d =mn a a m n --2．在等差数列}a {n 中，序号成等差的项又组成一个等差数列，即l a ，k l a +，k l a 2+，…，1)k -(m +l a ，mkl a +，…是等差数列，公差为kd 。
3．在等差数列}a {n 中，依次k 个项之和仍组成一个等差数列。
即k S ，kkS S -2，kkS S 23-，…，k)l (lk S S 1--，…（2≥k ，*∈N k ）成等差数列。
4．等差数列的判断方法：①定义法：1+n a －n a =d （d 为常数），②),(为常数q p q pn a n +=⇔数列}a {n 是首项为p+q ，公差为p 的等差数列；③等差中项的定义；④前n 项和Sn=An 2+Bn （A ，B 为常数）⇔数列}a {n 是首项为A+B ，公差为2A 的等差数列。
（附：求n a 和n S 都可用待定系数法）[讲解设计]·重点与难点例1 （1）已知}a {n 是等差数列，且21512841=+-+-a a a a a ，求133a a +的值。
（2）已知在等差数列}a {n 中，若80a 49=，100a 59=，求79a 。
解 ：点评 若由已知去求首项1a 与公差d ，则运算量较大。
例2 已知数列{a n }满足a 1=4,a n =4-14-n a (n ≥2),令b n =21-n a .求证：数列{b n }是等差数列.练习：{a n }为等差数列，公差d ≠0,a n ≠0,(n ∈N *),且a k x 2+2a k +1x +a k +2=0(k ∈N *) (1)求证：当k 取不同自然数时，此方程有公共根； (2)若方程不同的根依次为x 1,x 2,…,x n ,…,求证：数列11,,11,1121+++n x x x 为等差数列.例3 已知等差数列}a {n 的前n 项和为n S ，且100S 10=，10100=S ，试求110S 。
第3节 等差数列的前n项和及其性质
第3节 等差数列的前n 项和及其性质要点一 等差数列的前n 项和公式已知量 首项，末项与项数 首项，公差与项数 求和公式S n ＝n (a 1＋a n )2S n ＝na 1＋n (n －1)2d1．等差数列前n 项和公式的推导方法是倒序相加．( √ ) 2．若数列{a n }的前n 项和S n ＝kn (k ∈R )，则{a n }为常数列．( √ ) 3．等差数列的前n 项和，等于其首项、第n 项的等差中项的n 倍．( √ ) 4．1＋2＋3＋…＋100＝100×(1＋100)2.( √ )一、等差数列前n 项和的有关计算 例1 在等差数列{a n }中：(1)已知a 6＝10，S 5＝5，求a 8和S 10；(2)已知a 1＝4，S 8＝172，求a 8和d . 解 (1)⎩⎪⎨⎪⎧S 5＝5a 1＋5×42d ＝5，a 6＝a 1＋5d ＝10，解得a 1＝－5，d ＝3.∴a 8＝a 6＋2d ＝10＋2×3＝16，S 10＝10a 1＋10×92d ＝10×(－5)＋5×9×3＝85.(2)由已知得S 8＝8(a 1＋a 8)2＝8(4＋a 8)2＝172，解得a 8＝39，又∵a 8＝4＋(8－1)d ＝39，∴d ＝5.∴a 8＝39，d ＝5. 反思感悟 等差数列中的基本计算 (1)利用基本量求值：等差数列的通项公式和前n 项和公式中有五个量a 1，d ，n ，a n 和S n ，这五个量可以“知三求二”．一般是利用公式列出基本量a 1和d 的方程组，解出a 1和d ，便可解决问题．解题时注意整体代换的思想．(2)结合等差数列的性质解题：等差数列的常用性质：若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ，常与求和公式S n ＝n (a 1＋a n )2结合使用．跟踪训练1 在等差数列{a n }中： (1)a 1＝1，a 4＝7，求S 9； (2)a 3＋a 15＝40，求S 17；(3)a 1＝56，a n ＝－32，S n ＝－5，求n 和d .解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，则a 4＝a 1＋3d ＝1＋3d ＝7，所以d ＝2. 故S 9＝9a 1＋9×82d ＝9＋9×82×2＝81.(2)S 17＝17×(a 1＋a 17)2＝17×(a 3＋a 15)2＝17×402＝340.(3)由题意得，S n ＝n (a 1＋a n )2＝n ⎝⎛⎭⎫56－322＝－5，解得n ＝15.又a 15＝56＋(15－1)d ＝－32，所以d ＝－16，所以n ＝15，d ＝－16.二、等差数列前n 项和的比值问题例2 有两个等差数列{a n }，{b n }满足a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝7n ＋2n ＋3，求a 5b 5.解 方法一 设等差数列{a n }，{b n }的公差分别为d 1，d 2，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a nb 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝na 1＋n (n －1)2d 1nb 1＋n (n －1)2d 2＝a 1＋n －12d 1b 1＋n －12d 2，则有a 1＋n －12d1b 1＋n －12d2＝7n ＋2n ＋3，① 又由于a 5b 5＝a 1＋4d 1b 1＋4d 2，②观察①，②，可在①中取n ＝9，得a 1＋4d 1b 1＋4d 2＝7×9＋29＋3＝6512.故a 5b 5＝6512.方法二 设{a n }，{b n }的前n 项和分别为A n ，B n ，则有A n B n ＝7n ＋2n ＋3，其中A n ＝(a 1＋a n )n 2，由于a 1＋a 9＝2a 5.即a 1＋a 92＝a 5，故A 9＝(a 1＋a 9)·92＝a 5×9.同理B 9＝b 5×9.故A 9B 9＝a 5×9b 5×9.故a 5b 5＝A 9B 9＝7×9＋29＋3＝6512. 方法三 设{a n }，{b n }的前n 项和分别为A n ，B n ， 因为等差数列的前n 项和为S n ＝an 2＋bn ＝an ⎝⎛⎭⎫n ＋ba ， 根据已知，可令A n ＝(7n ＋2)kn ，B n ＝(n ＋3)kn (k ≠0)． 所以a 5＝A 5－A 4＝(7×5＋2)k ×5－(7×4＋2)k ×4＝65k ，b 5＝B 5－B 4＝(5＋3)k ×5－(4＋3)k ×4＝12k .所以a 5b 5＝65k 12k ＝6512.方法四 设{a n }，{b n }的前n 项和分别为A n ，B n ，由A 2n －1B 2n －1＝a n b n ，有a 5b 5＝A 9B 9＝7×9＋29＋3＝6512.反思感悟 设{a n }，{b n }的前n 项和为S n ，T n ，则a n ∶b n ＝S 2n －1∶T 2n －1.跟踪训练2 已知等差数列{a n }，{b n }，其前n 项和分别为S n ，T n ，a n b n ＝2n ＋33n －1，则S 11T 11等于( )A.1517B.2532 C ．1 D ．2 答案 A解析 由等差数列的前n 项和公式以及等差中项的性质得S 11＝11(a 1＋a 11)2＝11a 6，同理可得T 11＝11b 6，因此，S 11T 11＝11a 611b 6＝a 6b 6＝2×6＋33×6－1＝1517.要点二 等差数列前n 项和的性质1．若数列{a n }是公差为d 的等差数列，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也是等差数列，且公差为d2.2．设等差数列{a n }的公差为d ，S n 为其前n 项和，则S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…仍构成等差数列，且公差为m 2d .3．若等差数列{a n }的项数为2n ，则S 2n ＝n (a n ＋a n ＋1)，S 偶－S 奇＝nd ，S 偶S 奇＝a n ＋1a n .4．若等差数列{a n }的项数为2n ＋1，则S 2n ＋1＝(2n ＋1)·a n ＋1，S 偶－S 奇＝－a n ＋1，S 偶S 奇＝nn ＋1. 思考 在性质3中，a n 和a n ＋1分别是哪两项？在性质4中，a n ＋1是哪一项？ 答案 中间两项，中间项．要点三 等差数列{a n }的前n 项和公式的函数特征1．公式S n ＝na 1＋n (n －1)d 2可化成关于n 的表达式：S n ＝d2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n . 当d ≠0时，S n 关于n 的表达式是一个常数项为零的二次函数式，即点(n ，S n )在其相应的二次函数的图象上，这就是说等差数列的前n 项和公式是关于n 的二次函数，它的图象是抛物线y ＝d2x 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2x 上横坐标为正整数的一系列孤立的点． 2．等差数列前n 项和的最值 (1)在等差数列{a n }中，当a 1>0，d <0时，S n 有最大值，使S n 取得最值的n 可由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥0，a n ＋1≤0确定；当a 1<0，d >0时，S n 有最小值，使S n 取到最值的n 可由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0，a n ＋1≥0确定．(2)S n ＝d2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n ，若d ≠0，则从二次函数的角度看：当d >0时，S n 有最小值；当d <0时，S n 有最大值．当n 取最接近对称轴的正整数时，S n 取到最值．一、等差数列前n 项和的性质例1 (1)在等差数列{a n }中，S 10＝120，且在这10项中，S 奇S 偶＝1113，则公差d ＝________.解析 由⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＋S 偶＝120，S 奇S 偶＝1113，得⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＝55，S 偶＝65，所以S 偶－S 奇＝5d ＝10，所以d ＝2.(2)等差数列{a n }的前m 项和为30，前2m 项和为100，求数列{a n }的前3m 项的和S 3m . 解 方法一 在等差数列中，∵S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 成等差数列，∴30,70，S 3m －100成等差数列． ∴2×70＝30＋(S 3m －100)，∴S 3m ＝210.方法二 在等差数列中，S m m ，S 2m 2m ，S 3m 3m 成等差数列，∴2S 2m 2m ＝S m m ＋S 3m3m .即S 3m ＝3(S 2m －S m )＝3×(100－30)＝210.反思感悟 利用等差数列前n 项和的性质简化计算(1)在解决等差数列问题时，先利用已知求出a 1，d ，再求所求，是基本解法，有时运算量大； (2) 等差数列前n 项和S n 的有关性质在解题过程中，如果运用得当可以达到化繁为简、化难为易、事半功倍的效果．(3)设而不求，整体代换也是很好的解题方法．跟踪训练1 (1)已知数列{a n }是项数为偶数的等差数列，它的奇数项的和是50，偶数项的和为34，若它的末项比首项小28，则该数列的公差是________． 解析 设等差数列{a n }的项数为2m ，∵末项与首项的差为－28， ∴a 2m －a 1＝(2m －1)d ＝－28，①∵S 奇＝50，S 偶＝34，∴S 偶－S 奇＝34－50＝－16＝md ，②，由①②得d ＝－4. (2)已知一个等差数列的前10项和为100，前100项和为10，求前110项之和． 解 S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，…，S 100－S 90，S 110－S 100成等差数列．设其公差为d ，前10项和为10S 10＋10×92d ＝S 100＝10，解得d ＝－22，∴S 110－S 100＝S 10＋(11－1)d ＝100＋10×(－22)＝－120，∴S 110＝－120＋S 100＝－110. 二、等差数列前n 项和的最值问题例2 在等差数列{a n }中，a 1＝25，S 8＝S 18，求前n 项和S n 的最大值． 解 方法一 因为S 8＝S 18，a 1＝25，所以8×25＋8×(8－1)2d ＝18×25＋18×(18－1)2d ，解得d ＝－2.所以S n ＝25n ＋n (n －1)2×(－2)＝－n 2＋26n ＝－(n －13)2＋169.所以当n ＝13时，S n 有最大值为169.方法二 同方法一，求出公差d ＝－2.所以a n ＝25＋(n －1)×(－2)＝－2n ＋27.因为a 1＝25>0，由⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝－2n ＋27≥0，a n ＋1＝－2(n ＋1)＋27≤0得⎩⎨⎧n ≤1312，n ≥1212.又因为n ∈N *，所以当n ＝13时，S n 有最大值为169.方法三 因为S 8＝S 18，所以a 9＋a 10＋…＋a 18＝0.由等差数列的性质得a 13＋a 14＝0. 因为a 1>0，所以d <0.所以a 13>0，a 14<0.所以当n ＝13时，S n 有最大值．由a 13＋a 14＝0，得 a 1＋12d ＋a 1＋13d ＝0，解得d ＝－2，所以S 13＝13×25＋13×122×(－2)＝169，所以S n 的最大值为169.方法四 设S n ＝An 2＋Bn .因为S 8＝S 18，a 1＝25，所以二次函数图象的对称轴为x ＝8＋182＝13，且开口方向向下，所以当n ＝13时，S n 取得最大值．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 82A ＋8B ＝182A ＋18B ，A ＋B ＝25，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝－1，B ＝26，所以S n ＝－n 2＋26n ，所以S 13＝169，即S n 的最大值为169.反思感悟 (1)等差数列前n 项和S n 最大(小)值的情形 ①若a 1>0，d <0，则S n 存在最大值，即所有非负项之和． ②若a 1<0，d >0，则S n 存在最小值，即所有非正项之和． (2)求等差数列前n 项和S n 最值的方法①寻找正、负项的分界点，可利用等差数列性质或利用⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥0，a n ＋1≤0或⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0，a n ＋1≥0来寻找． ②运用二次函数求最值．跟踪训练2 在等差数列{a n }中，a 10＝18，前5项的和S 5＝－15. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列{a n }的前n 项和的最小值，并指出何时取最小值． 解 (1)设等差数列的公差为d ，因为在等差数列{a n }中，a 10＝18，S 5＝－15，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋9d ＝18，5a 1＋52×4×d ＝－15， 解得a 1＝－9，d ＝3，所以a n ＝3n －12，n ∈N *. (2)因为a 1＝－9，d ＝3，a n ＝3n －12，所以S n ＝n (a 1＋a n )2＝12(3n 2－21n )＝32⎝⎛⎭⎫n －722－1478， 所以当n ＝3或4时，前n 项的和S n 取得最小值S 3＝S 4＝－18.三、求数列{|a n |}的前n 项和例3 数列{a n }的前n 项和S n ＝100n －n 2(n ∈N *)． (1)判断{a n }是不是等差数列，若是，求其首项、公差； (2)设b n ＝|a n |，求数列{b n }的前n 项和．解 (1)当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(100n －n 2)－[100(n －1)－(n －1)2]＝101－2n . ∵a 1＝S 1＝100×1－12＝99，适合上式，∴a n ＝101－2n (n ∈N *)．又a n ＋1－a n ＝－2为常数，∴数列{a n }是首项为99，公差为－2的等差数列． (2)令a n ＝101－2n ≥0，得n ≤50.5，∵n ∈N *，∴n ≤50(n ∈N *)．①当1≤n ≤50时，a n >0，此时b n ＝|a n |＝a n ，∴数列{b n }的前n 项和S n ′＝100n －n 2. ②当n ≥51时，a n <0，此时b n ＝|a n |＝－a n ，由b 51＋b 52＋…＋b n ＝－(a 51＋a 52＋…＋a n )＝－(S n －S 50)＝S 50－S n ，得数列{b n }的前n 项和S n ′＝S 50＋(S 50－S n )＝2S 50－S n ＝2×2 500－(100n －n 2)＝5 000－100n ＋n 2.由①②得数列{b n }的前n 项和为S n ′＝⎩⎪⎨⎪⎧100n －n 2，1≤n ≤50，5 000－100n ＋n 2，n ≥51，n ∈N *. 反思感悟 已知等差数列{a n }，求绝对值数列{|a n |}的有关问题是一种常见的题型，解决此类问题的核心便是去掉绝对值，此时应从其通项公式入手，分析哪些项是正的，哪些项是负的，即找出正、负项的“分界点”．跟踪训练3 在等差数列{a n }中，a 10＝23，a 25＝－22. (1)数列{a n }前多少项和最大？ (2)求{|a n |}的前n 项和S n .解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋9d ＝23，a 1＋24d ＝－22，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝50，d ＝－3，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－3n ＋53.令a n >0，得n <533，∴当n ≤17，n ∈N *时，a n >0；当n ≥18，n ∈N *时，a n <0，∴数列{a n }的前17项和最大． (2)当n ≤17，n ∈N *时，|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝－32n 2＋1032n .当n ≥18，n ∈N *时，|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a 17－a 18－a 19－…－a n ＝2(a 1＋a 2＋…＋a 17)－(a 1＋a 2＋…＋a n )＝2⎝⎛⎭⎫－32×172＋1032×17－⎝⎛⎭⎫－32n 2＋1032n ＝32n 2－1032n ＋884. ∴S n＝⎩⎨⎧－32n 2＋1032n ，n ≤17，n ∈N *，32n 2－1032n ＋884，n ≥18，n ∈N *.等差数列前n 项和公式的实际应用典例 某单位用分期付款的方式为职工购买40套住房，共需1 150万元，购买当天先付150万元，按约定以后每月的这一天都交付50万元，并加付所有欠款利息，月利率为1%，若交付150万元后的一个月开始算分期付款的第一个月，问分期付款的第10个月应付多少钱？全部付清后，买这40套住房实际花了多少钱？解 因购房时付150万元，则欠款1 000万元，依题意分20次付款，则每次付款的数额依次构成数列{a n }，则a 1＝50＋1 000×1%＝60， a 2＝50＋(1 000－50)×1%＝59.5， a 3＝50＋(1 000－50×2)×1%＝59， a 4＝50＋(1 000－50×3)×1%＝58.5，所以a n ＝50＋[1 000－50(n －1)]×1%＝60－12(n －1)(1≤n ≤20，n ∈N *)．所以{a n }是以60为首项，－12为公差的等差数列．所以a 10＝60－9×12＝55.5，a 20＝60－19×12＝50.5.所以S 20＝12×(a 1＋a 20)×20＝10×(60＋50.5)＝1 105.所以实际共付1 105＋150＝1 255(万元)．[素养提升] (1)本题属于与等差数列前n 项和有关的应用题，其关键在于构造合适的等差数列．(2)遇到与正整数有关的应用题时，可以考虑与数列知识联系，抽象出数列的模型，并用有关知识解决相关的问题，是数学建模的核心素养的体观．等差数列前n 项和1．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若2a 6＝a 8＋6，则S 7等于( ) A ．49 B ．42 C ．35 D ．28 答案 B解析 2a 6－a 8＝a 4＝6，S 7＝72(a 1＋a 7)＝7a 4＝42.2．在等差数列{a n }中，已知a 1＝10，d ＝2，S n ＝580，则n 等于( ) A ．10 B ．15 C ．20 D ．30 答案 C解析 因为S n ＝na 1＋12n (n －1)d ＝10n ＋12n (n －1)×2＝n 2＋9n ，所以n 2＋9n ＝580， 解得n ＝20或n ＝－29(舍)．3．设{a n }为等差数列，公差d ＝－2，S n 为其前n 项和．若S 10＝S 11，则a 1等于( ) A ．18 B ．20 C ．22 D ．24 答案 B解析 由S 10＝S 11， 得a 11＝S 11－S 10＝0，所以a 1＝a 11＋(1－11)d ＝0＋(－10)×(－2)＝20.4．(多选)在等差数列{a n }中，d ＝2，a n ＝11，S n ＝35，则a 1等于( ) A ．－1 B ．3 C ．5 D ．7 答案 AB解析 由题意知a 1＋(n －1)×2＝11，① S n ＝na 1＋n (n －1)2×2＝35，②由①②解得a 1＝3或－1.5．在等差数列{a n }中，已知a 1＝－12，S 13＝0，则使得a n >0的最小正整数n 为( ) A ．7 B ．8 C ．9 D ．10答案 B解析 由S 13＝13(a 1＋a 13)2＝0，得a 13＝12，则a 1＋12d ＝12，得d ＝2， ∴数列{a n }的通项公式为 a n ＝－12＋(n －1)×2＝2n －14，由2n －14>0，得n >7，即使得a n >0的最小正整数n 为8.6．已知{a n }是等差数列，a 4＋a 6＝6，其前5项和S 5＝10，则其首项a 1＝________，公差d ＝________. 答案 1 12解析 a 4＋a 6＝a 1＋3d ＋a 1＋5d ＝6，① S 5＝5a 1＋12×5×(5－1)d ＝10，②由①②联立解得a 1＝1，d ＝12.7．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，公差d ＝2，S k ＋2－S k ＝24，则k ＝________. 答案 5解析 因为S k ＋2－S k ＝a k ＋1＋a k ＋2＝a 1＋kd ＋a 1＋(k ＋1)d ＝2a 1＋(2k ＋1)d ＝2×1＋(2k ＋1)×2＝4k ＋4＝24，所以k ＝5.8．在等差数列{a n }中，S 10＝4S 5，则a 1d ＝________.答案 12解析 设数列{a n }的公差为d ，由题意得10a 1＋12×10×9d ＝4⎝⎛⎭⎫5a 1＋12×5×4d ，所以10a 1＋45d ＝20a 1＋40d ， 所以10a 1＝5d ，所以a 1d ＝12.9．在等差数列{a n }中，a 10＝30，a 20＝50. (1)求数列的通项公式； (2)若S n ＝242，求n .解 (1)设数列{a n }的首项为a 1，公差为d .则⎩⎪⎨⎪⎧a 10＝a 1＋9d ＝30，a 20＝a 1＋19d ＝50， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝12，d ＝2，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝12＋(n －1)×2＝10＋2n .(2)由S n ＝na 1＋n (n －1)2d 以及a 1＝12，d ＝2，S n ＝242，得方程242＝12n ＋n (n －1)2×2，即n 2＋11n －242＝0，解得n ＝11或n ＝－22(舍去)．故n ＝11.10．已知{a n }为等差数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，且S 7＝7，S 15＝75，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前n项和T n .解 设等差数列{a n }的公差为d ，则S n ＝na 1＋n (n －1)2d .∵S 7＝7，S 15＝75，∴⎩⎪⎨⎪⎧7a 1＋21d ＝7，15a 1＋105d ＝75， 即⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋3d ＝1，a 1＋7d ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－2，d ＝1， ∴S nn ＝a 1＋n －12d ＝－2＋n －12， ∴S n ＋1n ＋1－S n n ＝12， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等差数列，且其首项为－2，公差为12.∴T n ＝14n 2－94n .11．在小于100的自然数中，所有被7除余2的数之和为( ) A ．765 B ．665 C ．763 D ．663 答案 B解析 ∵a 1＝2，d ＝7,2＋(n －1)×7<100， ∴n <15，∴n ＝14，S 14＝14×2＋12×14×13×7＝665.12．设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n ·S n ＋1，则S n ＝________. 答案 －1n解析 当n ＝1时，S 1＝a 1＝－1， 所以1S 1＝－1.因为a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝S n S n ＋1， 所以1S n －1S n ＋1＝1， 即1S n ＋1－1S n＝－1， 所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以－1为首项，－1为公差的等差数列，所以1S n＝(－1)＋(n －1)·(－1)＝－n ， 所以S n ＝－1n. 13．已知两个等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别是S n 和T n ，且a n ∶b n ＝(2n ＋1)∶(3n －2)，则S 9T 9＝________. 答案 1113解析 ∵{a n }，{b n }均为等差数列，∴S 9T 9＝9(a 1＋a 9)29(b 1＋b 9)2＝a 5b 5＝2×5＋13×5－2＝1113.14．现有200根相同的钢管，把它们堆成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为________．答案 10解析 钢管排列方式是从上到下各层钢管数组成了一个等差数列，最上面一层钢管数为1，逐层增加1个．∴钢管总数为1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2. 当n ＝19时，S 19＝190.当n ＝20时，S 20＝210>200.∴当n ＝19时，剩余钢管根数最少，为10根．15．如图所示，将若干个点摆成三角形图案，每条边(包括两个端点)有n (n >1，n ∈N *)个点，相应的图案中总的点数记为a n ，则a 2＋a 3＋a 4＋…＋a n 等于( )A.3n 22B.n (n ＋1)2C.3n (n －1)2D.n (n －1)2答案 C 解析 由图案的点数可知a 2＝3，a 3＝6，a 4＝9，a 5＝12，所以a n ＝3n －3，n ≥2，所以a 2＋a 3＋a 4＋…＋a n ＝(n －1)(3＋3n －3)2＝3n (n －1)2. 16．已知等差数列{a n }的公差d >0，前n 项和为S n ，且a 2a 3＝45，S 4＝28.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝S n n ＋c(c 为非零常数)，且数列{b n }也是等差数列，求c 的值． 解 (1)∵S 4＝28，∴(a 1＋a 4)×42＝28，a 1＋a 4＝14， ∴a 2＋a 3＝14，又a 2a 3＝45，公差d >0，∴a 2<a 3，∴a 2＝5，a 3＝9，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋d ＝5，a 1＋2d ＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝4， ∴a n ＝4n －3，n ∈N *.(2)由(1)，知S n ＝2n 2－n ，∴b n ＝S n n ＋c ＝2n 2－n n ＋c， ∴b 1＝11＋c ，b 2＝62＋c ，b 3＝153＋c. 又{b n }也是等差数列，∴b 1＋b 3＝2b 2，即2×62＋c ＝11＋c ＋153＋c， 解得c ＝－12(c ＝0舍去)．等差数列前n 项和的性质及应用1．在等差数列{a n }中，a 1＝1，其前n 项和为S n ，若S 88－S 66＝2，则S 10等于( ) A ．10 B ．100 C ．110 D ．120答案 B解析 ∵{a n }是等差数列，a 1＝1，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也是等差数列且首项为S 11＝1. 又S 88－S 66＝2， ∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的公差是1， ∴S 1010＝1＋(10－1)×1＝10， ∴S 10＝100.2．若等差数列{a n }的前m 项的和S m 为20，前3m 项的和S 3m 为90，则它的前2m 项的和S 2m 为( )A ．30B ．70C ．50D ．60答案 C解析 ∵等差数列{a n }中，S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 也成等差数列，∴2(S 2m －S m )＝S m ＋S 3m －S 2m ，∴2(S 2m －20)＝20＋90－S 2m ，∴S 2m ＝50.3．已知数列{2n －19}，那么这个数列的前n 项和S n ( )A ．有最大值且是整数B ．有最小值且是整数C ．有最大值且是分数D ．无最大值和最小值答案 B解析 易知数列{2n －19}的通项a n ＝2n －19，∴a 1＝－17，d ＝2.∴该数列是递增等差数列．令a n ＝0，得n ＝912.∴a 1<a 2<a 3<…<a 9<0<a 10<….∴该数列前n 项和有最小值，为S 9＝9a 1＋9×82d ＝－81. 4．(多选)已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，且S 6>S 7>S 5，下列判断正确的是( )A ．d <0B ．S 11>0C ．S 12<0D ．数列{S n }中的最大项为S 11答案 AB解析 ∵S 6>S 7，∴a 7<0，∵S 7>S 5，∴a 6＋a 7>0，∴a 6>0，∴d <0，A 正确；又S 11＝112(a 1＋a 11)＝11a 6>0，B 正确； S 12＝122(a 1＋a 12)＝6(a 6＋a 7)>0，C 不正确； 数列{S n }中最大项为S 6，D 不正确．故正确的选项是AB.5．在等差数列{a n }中，S n 是其前n 项和，且S 2 011＝S 2 018，S k ＝S 2 009，则正整数k 为( )A ．2 017B ．2 018C ．2 019D ．2 020答案 D解析 因为等差数列的前n 项和S n 是关于n 的二次函数，所以由二次函数的对称性及S 2 011＝S 2 018，S k ＝S 2 009，可得2 011＋2 0182＝2 009＋k 2， 解得k ＝2 020.6．已知在等差数列{a n }中，公差d ＝1，且前100项和为148，则前100项中的所有偶数项的和为________．答案 99解析 由题意，得S 奇＋S 偶＝148，S 偶－S 奇＝50d ＝50，解得S 偶＝99.7．已知在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，已知S 3＝9，a 4＋a 5＋a 6＝7，则S 9－S 6＝________. 答案 5解析 ∵S 3，S 6－S 3，S 9－S 6成等差数列，而S 3＝9，S 6－S 3＝a 4＋a 5＋a 6＝7，∴S 9－S 6＝5.8．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,7a 5＋5a 9＝0，且a 9>a 5，则S n 取得最小值时n 的值为________．答案 6解析 由7a 5＋5a 9＝0，得a 1d ＝－173. 又a 9>a 5，所以d >0，a 1<0.因为函数y ＝d 2x 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2x 的图象的对称轴为x ＝12－a 1d ＝12＋173＝376，取最接近的整数6，故S n 取得最小值时n 的值为6.9．已知在等差数列{a n }中，a 1＝9，a 4＋a 7＝0.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)当n 为何值时，数列{a n }的前n 项和取得最大值？解 (1)由a 1＝9，a 4＋a 7＝0，得a 1＋3d ＋a 1＋6d ＝0，解得d ＝－2，∴a n ＝a 1＋(n －1)·d ＝11－2n .(2)方法一 a 1＝9，d ＝－2，S n ＝9n ＋n (n －1)2·(－2)＝－n 2＋10n ＝－(n －5)2＋25，∴当n ＝5时，S n 取得最大值．方法二 由(1)知a 1＝9，d ＝－2<0，∴{a n }是递减数列．令a n ≥0，则11－2n ≥0，解得n ≤112. ∵n ∈N *，∴当n ≤5时，a n >0；当n ≥6时，a n <0.∴当n ＝5时，S n 取得最大值．10．在数列{a n }中，a 1＝8，a 4＝2，且满足a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝0(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |，求T n .解 (1)∵a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝0，∴a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ，∴{a n }是等差数列，又∵a 1＝8，a 4＝2，∴d ＝－2，a n ＝a 1＋(n －1)d ＝10－2n ，n ∈N *.(2)设数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ＝8n ＋n (n －1)2×(－2)＝9n －n 2.∵a n ＝10－2n ，令a n ＝0，得n ＝5.当n >5时，a n <0；当n ＝5时，a n ＝0；当n <5时，a n >0.∴当n ≤5时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝9n －n 2.当n >5时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a 5－(a 6＋a 7＋…＋a n )＝S 5－(S n －S 5)＝2S 5－S n＝2×(9×5－25)－9n ＋n 2＝n 2－9n ＋40，∴T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 9n －n 2，n ≤5，n ∈N *，n 2－9n ＋40，n ≥6，n ∈N *.11．若数列{a n }的前n 项和是S n ＝n 2－4n ＋2，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 10|等于( )A ．15B ．35C ．66D ．100答案 C解析 易得a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －1，n ＝1，2n －5，n ≥2.|a 1|＝1，|a 2|＝1，|a 3|＝1，令a n >0，则2n －5>0，∴n ≥3.∴|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 10|＝1＋1＋a 3＋…＋a 10＝2＋(S 10－S 2)＝2＋[(102－4×10＋2)－(22－4×2＋2)]＝66.12．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 2＝11，S 1515－S 77＝－8，则S n 取最大值时的n 为() A ．6 B ．7 C ．8 D ．9答案 B解析 设数列{a n }是公差为d 的等差数列， 则⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是公差为d 2的等差数列． 因为S 1515－S 77＝－8， 故可得8×d 2＝－8，解得d ＝－2； 则a 1＝a 2－d ＝13，则S n ＝－n 2＋14n ＝－(n －7)2＋49，故当n ＝7时，S n 取得最大值．13．已知S n ，T n 分别是等差数列{a n }，{b n }的前n 项和，且S n T n ＝2n ＋14n －2(n ∈N *)，则a 10b 3＋b 18＋a 11b 6＋b 15＝________.答案 4178解析 因为b 3＋b 18＝b 6＋b 15＝b 10＋b 11，所以a 10b 3＋b 18＋a 11b 6＋b 15＝a 10＋a 11b 10＋b 11＝10(a 10＋a 11)10(b 10＋b 11)＝S 20T 20＝2×20＋14×20－2＝4178. 14．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 4S 8＝13，那么S 8S 16＝________. 答案 310解析 设S 4＝k ，S 8＝3k ，由等差数列的性质得S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12构成等差数列．所以S 8－S 4＝2k ，S 12－S 8＝3k ，S 16－S 12＝4k .所以S 12＝6k ，S 16＝10k .S 8S 16＝310.15．设项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，则这个数列的中间项是________，项数是________．答案 11 7解析 设等差数列{a n }的项数为2n ＋1(n ∈N *)，S 奇＝a 1＋a 3＋…＋a 2n ＋1＝(n ＋1)(a 1＋a 2n ＋1)2＝(n ＋1)a n ＋1，S 偶＝a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n＝n (a 2＋a 2n )2＝na n ＋1， 所以S 奇S 偶＝n ＋1n ＝4433， 解得n ＝3，所以项数2n ＋1＝7，S 奇－S 偶＝a n ＋1， 即a 4＝44－33＝11，为所求的中间项．16．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a n >0，a 1<2,6S n ＝(a n ＋1)(a n ＋2)．(1)求证：{a n }是等差数列；(2)令b n ＝3a n a n ＋1，数列{b n }的前n 项和为T n ，求证：T n <1. 证明 (1)因为6S n ＝(a n ＋1)(a n ＋2)， 所以当n ≥2时，6S n －1＝(a n －1＋1)(a n －1＋2)，两式相减，得到6a n ＝(a 2n ＋3a n ＋2)－(a 2n －1＋3a n －1＋2)，整理得(a n －a n －1)(a n ＋a n －1)＝3(a n ＋a n －1)， 又因为a n >0，所以a n －a n －1＝3，所以数列{a n }是公差为3的等差数列．(2)当n ＝1时，6S 1＝(a 1＋1)(a 1＋2)， 解得a 1＝1或a 1＝2，因为a 1<2，所以a 1＝1，由(1)可知a n －a n －1＝3，即公差d ＝3， 所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝1＋(n －1)×3＝3n －2，所以b n ＝3a n a n ＋1＝3(3n －2)(3n ＋1)＝13n －2－13n ＋1， 所以T n ＝1－14＋14－17＋…＋13n －2－13n ＋1＝1－13n ＋1<1.。
等差数列的前n项和公式的性质
例 3. 项数为奇数的等差数列{an }，奇数项之和为 44，偶数项之和为
33，求这个数列的中间项及项数．
解：设等差数列{an}共有(2n＋1)项，则奇数项有(n＋1)项，偶数项
有 n 项，中间项是第(n＋1)项，即 an＋1，
1
S奇 2a1＋a2n＋1n＋1 n＋1an＋1 n＋1 44 4
解法1: 由S3=S11, 得
1
1
3 13 3 2 d 1113 1110 d
2
2
∴ d=－2
1
Sn 13n n(n 1) (2)
2
n2 14n
( n 7)2 49
故当n=7时, Sn取最大值49.
解法2: 由S3=S11, 得d=－2<0
=
5+2
，则
+3
10n 3
67
7
=_______；
=_______；
2n 2
18
8
课堂小结
等差数列的前n项和公式的性质
性质1：数列{an}是等差数列⟺Sn=An2+Bn (A,B为常数)
Sn
性质2: 若数列{an}是公差为d的等差数列, 则数列 也
d
n
是等差数列, 且公差为 2 .
当m=n时，公式变化？
an S 2 n 1
bn T2 n1
例 4.已知{an},{bn}均为等差数列，其前 n 项和分别为 Sn,
5
a5
Sn 2n＋2
Tn，且T ＝
，则b ＝________.
3
n
5
n＋3
变式1. 若
等差数列前n项和公式的几个性质和与应用
等差数列前n项和公式的几个性质和与应用-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1等差数列前n 项和公式的几个性质和与应用等差数列是高中数学的一项重要内容，其中心是通项公式与前n 项和公式。
透彻理解并掌握他们的相关性，能使我们的解题简洁方便。
现就等差数列前n 项和的几个性质与应用略举几个例子供大家参考。
性质1：设等差数列{}n a 的前n 项和公式和为n S ，公差为d ，*.N n m ∈ 则①()d m n m S n S m N -=-21 ②()mnd S S S S nm n m S n m n m n m ++=--+=+ 性质2：设等差数列{}n a 的前n 项和公式和为n S ，*..N k n m ∈若k n m ..成等差数列，则kS n S m S k n m ,,成等差数列 性质3：设等差数列{}n a 的前n 项和公式和为n S ，*....N n m q p ∈若n m q p +=+，则qp S S n m S S q p n m --=-- 性质4：设等差数列{}n a 的前n 项和公式和为k S①当()*2N k k n ∈=时，()12++=k k k a a k S②当()*12N k k n ∈-=时，()121212---=k k a k S例1：（人教版高中数学第一册上123P 7题）如果等差数列{}n a 的前4项和是2，前9项和是6-，求其前n 项和公式。
解：由性质1得：()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=-d n S nS d S S n 4214492149449 ()()21将9,294-==S S 代入()()2,1得：n n S n 30433072+-= 例2：（97年全国高考文科卷）设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，已知331S 和441S 的等比中项为551S ，331S 和441S 的等差中项为1，求等差数列{}n a 的通项公式n a 。
等差数列的性质总结
等差数列的性质总结等差数列是指一个数列中的任意两个相邻的数之间的差值是固定的。
这个固定的差值称为公差，记作d。
等差数列可以用一般的形式表示为a₁、a₂、a₃、...、aₙ，其中n为数列的项数。
1. 前n项和公式：等差数列的前n项和公式是指数列的前n个项的和Sn。
Sn可以通过以下公式求得：Sn = (n/2)(a₁ + aₙ) = (n/2)(2a₁ + (n-1)d)其中，n为数列的项数，a₁为首项，aₙ为末项，d为公差。
2. 通项公式：等差数列的通项公式是指可以通过公式直接计算第n项的值an。
通项公式可以通过以下公式求得：an = a₁ + (n-1)d其中，n为数列的项数，a₁为首项，d为公差。
3. 等差数列的性质：- 等差数列的每一项都是前一项与公差的和。
an = a(n-1) + d- 两个等差数列的和还是一个等差数列，公差等于之前两个等差数列的公差之和。
- 等差数列的对称性：对于一个等差数列，以中间一项为中心，数列中间项a(n/2)与首项相加等于尾项与中间项a((n/2)+1)相加。
即a(n/2) + a((n/2)+1) = a(n/2 + 1) + a(n/2 + 2) = ... = a(n-1) + aₙ。
- 等差数列的性质与图像：等差数列可以表示为一条直线，数列中的每一项都在直线上的相应位置。
4. 等差中项公式：等差中项公式是指等差数列中的两个项之间存在一个等差数列。
中项公式可以通过以下公式求得：a(n/2) = (a₁ + aₙ)/2其中，a(n/2)为等差数列中的中项，a₁为首项，aₙ为末项。
5. 均值不等式：对于一个等差数列，数列中任意三个项满足以下均值不等式：对于an < am < ap，有：am < (an + ap)/2即等差数列中的中项的值大于前一项值和后一项值的平均值。
6. 等差数列的应用：- 数学题和应用题的问题求解：等差数列的性质和公式可以帮助我们在数学题或应用题中快速解决问题，例如求和、求某一项的值等。
等差数列前n项和性质
0得
n n
13.5 12.5
当n 13, (Sn )max 169
3. 已知数列{an}是正数数列，且
Sn
1 8
(an
2)2 (n
N)
(1)求证{an}是等差数列 ；
(2)若
bn
=
1 2
an
-30，则数列{bn
}的前n项和有最什么值，
并求该最值；
（3）求数列{ bn }的前n项和Tn
(1) 由
Sn
d 2
n2
(a1
d )n 2
利用二次函
数配方法求得最值时n的值.
(2) 当a1＞0，d＜0，前n项和有最大值. 可由an≥0，且an＋1 ＜ 0，求得n的值； 当a1＜0，d＞0，前n项和有最小值. 可由an≤0，且an＋1 ＞ 0，求得n的值.
3.等差数列前n项和的性质（2）
（1）S奇
S偶
an (an是中间项)(2)
S奇 S偶
n n 1
1.当项数为2n（偶数）时：
（1）S偶
S奇
n d (2)
S偶 S奇
an1 an
证明：
S偶
a2
a4
...
a2n
n(a2
2
a2n )
n (2 an1) 2
n an1
S奇
a1
a2n1 )
n (2 2
an )
n an n a中
(1)S奇 S偶 n an (n 1) an an a中
等差数列的前n项和的性质
由二次函数性质得，当n=13时，Sn有最大值169. „„12分
方法二：先求出公差 d=-2（同方法一），„„„6分 ∵a1=25＞0,故{an}为递减数列，由
1 n 13 2 n 1） 0 25 （ 2 解得 , 25 2n 0 n 12 1 2 1 1 即12 n 13 . 又n∈N*
或利用二次函数Sn=an2+bn(a,b为常数)
求Sn的最值。
举例应用:
【例1】(12分)有两个等差数列{an}，{bn}，其前n项和
a5 S 7n 2 n 分别为Sn和Tn，若 . ，求 b5 Tn n 3
【解答】方法一：
a 5 2a 5 b5 2b5
S9 T9 93
65 . 12
d<-3 a 3 +4d<0 a7 <0 24 24 - <d<-3 7 a6 +a7 >0 2a 3 +7d>0 d> 7
例3.
a6 a7 0 S12 0 2)分析： 注意： S13 0 a7 0
解：
练习：在等差数列{an}中，a1=25，S17=S9， 求Sn的最大值. 【审题指导】题目给出首项和S17=S9等条件，欲求Sn 的最大值可转化为二次函数求最值，或利用通项公 式an求n使得an≥0,an+1＜0或利用性质求出大于或等 于零的项.
已知n, a1 , d , an中的三个.
引入:
d 2 d Sn =na1 + d= n + a1 - n 2 2 2 可见d≠0时，Sn是关于n的缺常数项的二次 函数，其二次项系数是公差的一半。
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=
7 22 1 31 = = . 22 3 5 31 答案: 5
解本题的关键是什么?应用了什 么基本思想?（解题关键根据等差数列的性质化
n 1
n(n-1)d,在具体应用时,应
采取哪种形式运算比较合理? (在求等差数列的和时,一般地,若已知首项 a1 及末
n( a1 an ) 项 a ,用公式 S = 2
n n n 1
较好,若已知首项 a1
n n 1 及公差 d,用公式 S =na + d 较好) 2
(3)如何理解等差数列{an}中五个量 a1,an,n,d,Sn 之间的关系? (由等差数列的通项公式 an=a1+(n-1)d 和 前 n 项和公式
【例 2】 (12 分)一等差数列共有偶数项,且奇 数项之和与偶数项之和分别为 24 和 30,最后一 项与第一项之差为 10.5,求此数列的首项、 公差 以及项数.
名师导引:有了等差数列的奇数项之和与偶 数项之和的值及最后一项与第一项之差,要 求 a1,d,n 应怎样应用条件求解?(法一:设数 * 列的项 n=2k(k∈N ),由 S 偶-S 奇=kd 及 an-a1=(2k-1)d 建立方程组求解. 法二:根据等差数列中的奇数项依次仍成等 差数列,偶数项依次仍成等差数列可求解)
解:法一
*
设此数列首项为 a1,公差为 d,项数为
2k(k∈N ), 由已知得
S奇 24 S偶 30， ………………………2 分 21 a2 k a1 , 2
S偶 S奇 6, 21 …………………………4 分 a2 k a1 ， 2 kd 6, 21 ………………………6 分 2k 1 d ， 2
1099 110 109 11 =110× + × 2 100 50
1099 109 11 =110 =-110. 100
故此数列的前 110 项之和为-110. 法二 数列 S10,S20-S10,S30-S20,…,S100-S90,S110-S100 成等差 数列, 设其公差为 d,前 10 项和
试一试:(1)已知等差数列{an}中,a2+a8=8,则该 数列的前 9 项和 S9 等于( C ) (A)18 (B)27 (C)36 (D)45 (2)已知数列{an}中,a1=-7,an+1=an+2,则 a1+a2+… +a17= .
解析:(1)∵a1+a9=a2+a8=8,
9(a1 a9 ) 9 8 ∴S = = =36.故选 C. 2 2
n n 1 m na1 d, 2 (2)由已知得 n ma m m 1 d , 1 2
m n 1 两式相减得 a + d=-1. 2 n(n 1) 再由 S =na + d 可得 2
1 n 1
Sm+n=(m+n)a1+
m n m n 1
n n 1
10 9 10a1 d 100 ① 2 由已知得 100a 100 99 d 10 ② 1 2
11 ①×10-②,整理得 d=, 50 1099 代入①,得 a = . 100 110 109 ∴S =110a + d 2
1 110 1
k 4, 解得 3 …………………………8 分 d ， 2
因为 S2k
1 =2ka + 2
1
×2k(2k-1)d=8a1+42.
所以 8a1+42=54…………………………10 分
3 故a= 2
1
,
3 所以数列的首项是 2
3 ,公差是 2
,
项数是 8.………12 分
法二
2a11 2a12 a11 a12 = = 2b11 2b12 b11 b12 a11 a12 (2)求 b11 b12
）
的值需转化为什么量? （转
S 22 化为求 的值） T22
a2 a5 a17 a22 解析: b8 b10 b12 b16
a2 a22 a5 a17 a11 a12 = = b8 b16 b10 b12 b11 b12
n(n 1) d. S = na1 2
n
质疑探究:(1)等差数列前 n 项和是用什么方法 得出的? (在推导等差数列前 n 项和时,充分利用等差数 列性质 a1+an=a2+an-1=… =ai+an-i+1(i=1,2,…,n-1)
S n a1 a2 an S n an an 1 a1
3 所以此数列首项为 2 3 ,公差为 2
,
项数为 8.…………………………………12 分
跟踪训练 2-1:一个等差数列的前 10 项之和为 100,前 100 项之和为 10,求前 110 项之和. 解:法一 设等差数列{an}的首项为 a1,公差
n(n 1) 为 d,前 n 项和为 S ,则 S =na + d. 2
设此数列首项为 a1,公差为 d,项数为 2k(k∈N ),
*
根据题意,得
1 2 k a1 a2 k 1 24, S奇 24 1 即 S偶 30， k a2 a2 k 30, ……6 分 2 21 a2 k a1 , 21 2 2k 1 d 2 ,
2
d
m n 1 =(m+n)(a + d)=-(m+n). 2
1
a1 2 n 1 11, (3)由已知得 na n n 1 35, 1
a1 3, a1 1, 解得 或 n 5 n 7.
等差数列前 n 项和性质的 应用
等差数列前 n 项和公式
你知道高斯是怎样求和的吗? (1+2+3+…+100=(1+100)+(2+99)+… +(50+51)=101×50=5050)
如果等差数列{an}的首项为 a1,公差
n( a1 an ) 为 d,第 n 项为 a ,则前 n 项和 S = , 2
n n
若将前 n 项和用 a1,d,n 表示,可表示成
1 n( a1 an ) S= =na + 2 2
n 1
n(n-1)d,可以看
到等差数列中的五个量 a1,an,d,n,Sn,已知 其中的任意三个,可求出剩余的两个)
(4)在等差数列{an}中,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,… 之间有什么关系? (在等差数列{an}中,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…成 2 等差数列,公差为 n d)
跟踪训练 1-1:(1)已知 a1=14.5,an=32,Sn=604.5, 求 n. (2)已知 Sn=m,Sm=n,其中 m≠n,m,n∈N ,求 Sm+n. (3)已知 an=11,Sn=35,d=2,求 a1,n.
*
解:(1)已知 a1=14.5,an=32,Sn=604.5,
n(14.5 32) ∴604.5= ,解得 n=26. 2
k a1 k 1 d 24, k a1 kd 30, ……………………8 分 即 21 2k 1 d , 2
3 a , 1 2 3 解得 d , ………………………10 分 2 k 4.
两式相加得 2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+…
n( a1 an ) +(a +a )=n(a +a ),故 S = .这是一 2
n 1 1 n n
种重要的思想方法,通常称为倒序相加法)
(2)等差数列的前 n 项和公式的两种形式
1 n( a1 an ) S= =na + 2 2
n n
a2 a5 a17 a22 b8 b10 b12 b16
=
.
a2 a5 a17 a22 名师导引:(1) b8 b10 b12 b16
化简吗? （
能进一步
a2 a5 a17 a22 b8 b10 b12 b16
=
a2 a22 a5 a17 b8 b16 b10 b12
a2 a5 a17 a22 b8 b10 b12 b16
思想）
S 22 为 ;体现了转化与化归 T22
跟踪训练 3-1:(2013 即墨实验高中质检)两等差数 列{an}和{bn},前 n 项和分别为 Sn,Tn,且
S n 5n 2 a2 a20 = ,则 Tn 4n 1 b7 b15
2.2 等差数列的前 n 项和 第一课时 等差数列前 n 项 和公式及性质
【课标要求】
1.通过实例了解等差数列前 n 项和公式的推导 过程. 2.理解等差数列前 n 项和公式推导所体现的数 学思想. 3.掌握等差数列前 n 项和公式,会应用公式解 决等差数列问题.
课前预习
栏 目 导 航
课堂探究
【实例】 近代数学奠基者之一,德国数学家、物理学 家、天文学家、大地测量学家高斯,与阿基米德、牛 顿、欧拉并列为历史上最伟大的数学家.人们用天才、 早熟、 高产、 创造力不衰、 数学王子等称赞高斯是 “人 类的骄傲”,爱因斯坦也说:“高斯对于近代物理学的 发展,尤其是对于相对论的数学基础所作的贡献,其 重要性是超越一切,无与伦比的.”传说高斯 3 岁便能 纠正他父亲的借债账目问题,10 岁时用很短的时间算 出老师布置的任务:对自然数 1 到 100 求和.