江苏省无锡市江阴市青阳中学2017-2018学年高二下学期期中数学试卷(文科) Word版含解析
江苏省无锡市江阴四校2017-2018学年高二下学期期中考试文数试题(精编含解析)
1．-2【解析】分析：由为的子集，得到中的所有元素都属于，从而可得，进而可求出的值. 详解：集合，且，，解得，故答案为.点睛：本题主要考查子集的基本定义，属于简单题.2．【解析】分析：利用共轭复数的定义求得，代入，再由复数的乘除运算法则化简可得结果. 详解：，于是可得，故答案为.点睛：本题主要考查的是复数的乘法、除法运算，属于中档题．解题时一定要注意和以及运算的准确性，否则很容易出现错误.点睛：本题主要考查全称命题的否定，属于简单题.全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词、存在量词改写为全称量词;二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论即可.4．【解析】分析：利用对数函数的定义域，指数函数的单调性解不等式组即可的得结果.详解：要使函数有意义，则，故答案为.点睛：求定义域的三种类型及求法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2) 对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3) 若已知函数的定义域为，则函数的定义域由不等式求出.5．【解析】分析：利用指数函数的性质判断的范围，利用对数函数的性质判断的范围，结合幂函数的单调性可得结果.详解：由指数函数的性质可得，，，递增，，又由对数函数的性质可得，，故答案为.点睛：本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于难题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.6．充分不必要【解析】分析：根据分式不等式的解法，利用充分条件和必要条件的定义进行判断.详解：由得，,可得或，“”是“”的充分不必要条件，故答案为充分不必要.点睛：本题主要考查分式不等式的解法、充分条件与必要条件相关问题，将分式不等式充分条件、必要条件、充要条件相关的问题联系在起来，体现综合应用数学知识解决问题的能力，是基础题.点睛：本题主要考查分段函数的解析式、分段函数解不等式，属于中档题.对于分段函数解析式的考查是命题的动向之一，这类问题的特点是综合性强，对抽象思维能力要求高，因此解决这类题一定要层次清楚，思路清晰.8．【解析】二维空间中圆的一维测度（周长），二维测度（面积）；观察发现，三维空间中球的二维测度（表面积），三维测度（体积），观察发现四维空间中“超球”的三维测度，猜想其四维测度，则，故答案为. 【方法点睛】本题通过观察维测度与二维测度、二维测度与三维测度之间的关系，归纳出一般规律来考查归纳推理，属于中档题.归纳推理的一般步骤:①通过观察个别情况发现某些相同的性质.②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）,由归纳推理所得的结论虽然未必是可靠的，但它由特殊到一般，由具体到抽象的认识功能，对科学的发现十分有用,观察、实验、对有限的资料作归纳整理，提出带规律性的说法是科学研究的最基本的方法之一.9．【解析】试题分析：∵二次函数f（x）=x2+mx-1的图象开口向上，对于任意x∈[m，m+1]，都有f（x）＜0成立，∴，即，解得考点：二次函数性质10．【解析】分析：根据函数奇偶性和单调性之间的关系，利用数形结合思想求解可得到结论.详解：点睛：本题主要考查抽象函数的奇偶性与单调性的应用，属于难题.将奇偶性与单调性综合考查是，一直是命题的热点，解这种题型往往是根据函数在所给区间上的单调性，根据奇偶性判断出函数在对称区间上的单调性(偶函数在对称区间上单调性相反，奇函数在对称区间单调性相同)，然后再根据单调性列不等式求解.11．【解析】分析：根据时，可推导出，由此能求出结果.详解：函数，，故答案为.点睛：本题主要考查分段函数的解析式以及函数周期性的应用，属于中档题.对于分段函数解析式的考查是命题的动向之一，这类问题的特点是综合性强，对抽象思维能力要求高，因此解决这类题一定要层次清楚，思路清晰.点睛：本题主要考查抽象函数的奇偶性与单调性的应用，属于难题.将奇偶性与单调性综合考查是，一直是命题的热点，解这种题型往往是根据函数在所给区间上的单调性，根据奇偶性判断出函数在对称区间上的单调性(偶函数在对称区间上单调性相反，奇函数在对称区间单调性相同)，然后再根据单调性列不等式求解.13．③【解析】分析：利用条件和函数为奇函数，结合时，，综合考虑函数图像，逐一判断四个结论的真假，可得结论.详解：是定义在上的奇函数，对，均有，，可得函数的周期为，且的图象关于对称，故①错误；无最大值，故②错误；方程的实数根个数等于与y-=图象的交点个数，结合函数图象简图，由图可知轴左边有六个交个，轴右边有四个交个共有个交点，即方程有个实数根，故③正确；当时，，则，当时，不符合，故④错误，故答案为③.点睛：本题主要通过对多个命题真假的判断，主要综合考查函数的单调性、函数的奇偶性、函数的图象与性质，属于难题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.14．（2，3]【解析】分析：函数恰有4个零点，等价于的图象与有四个交点，只需，与，，与轴都有两个交点，画出图象，利用数形结合思想求解即可.详解：当时，在上，要使恰有四个零点，则满足，即，解得，故答案为.点睛：本题主要考查函数的图象与性质以及函数与方程思想、数形结合思想的应用，属于难题. 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质．15．（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）且真，则都是真命题，解这两个不等式后取交集即可得到实数的取值范围.（2）是的必要不充分条件，则的范围是的范围的子集，由此得到的取值范围.试题解析：（1）由，得.当时，，即为真命题时，.由得，所以为真时，.若为真，则所以实数的取值范围是.16．（1）或；（2）当时，是偶函数.【解析】分析：（）由可得，根据一元二次不等式的解法，分三种情况讨论求解即可；（2）由是偶函数，可得函数定义域关于原点对称，结合（）可知，；经检验可得结论.详解：（）因为即，当时，不等式的解为或，所以函数的定义域为或．当时，不等式的解为，所以函数的定义域为．当时，不等式的解为或，所以函数的定义域为或．点睛：本题主要考查分函数的定义域、一元二次不等式的解法、分类讨论思想的应用.属于难题.分类讨论思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决含参数问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点. 充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用与解题当中.17．（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）由函数(其中为常数且，）的图象经过点,，知，由此能求出；（2）设，则在上是减函数，故当时，，由此能求出实数的取值范围.学科&网试题解析：（1）由已知可得且且.（2）解：由（1）可得令，只需，易得在为单调减函数，. 18．（1）43.5（万元）；（2）当甲城市投资72万元，乙城市投资48万元时，总收益最大，且最大收益为44万元.【解析】试题分析：（1）当时，此时甲城市投资万元，乙城市投资万元，即可得到总收益；（2）由题知，甲城市投资万元，乙城市投资万元，得出函数的解析式，进而可求解最大值总收益．试题解析：（1）当时，此时甲城市投资50万元，乙城市投资70万元所以总收益=43.5（万元）令，则所以当，即万元时，的最大值为44万元，所以当甲城市投资72万元，乙城市投资48万元时，总收益最大，且最大收益为44万元．点睛：本题考查了根据实际问题分析和解决问题的能力，以及转化与化归的能力，对于函数的应用问题：（1）函数模型的关键是找到一个影响求解目标函数的变量，以这个变量为自变量表达其他需要的量，综合各种条件建立数学模型；（2）在实际问题的函数模型中要特别注意函数的定义域，它是实际问题决定的，不是由建立的函数解析式决定的．（3）利用数学方法得出函数模型的数学结果，再将得到的数学结果转译到实际问题中作出答案．19．（1）；（2）；（3）.【解析】试题分析：（1）⇒，再由f（x）=-1即可求得x的值；（2）由, 在[2，+∞）上是增函数，利用二次函数的单调性可求得a的取值范围；（3）作出,的图象，对m分0＜m≤1与1＜m, 三种情况讨论即可求得答案．试题解析：解：(1)由知即∴(3)图象如图当时，当时，当时，综合.20．(1)；(2)；(3)答案见解析.解析：(1)根据题意得：的对称轴是，故在区间递增，因为函数在区间上存在零点，故有，即，故所求实数的范围是；（2）若对任意的，总存在，使成立，只需函数的值域是函数的值域的子集，时，的值域是，下面求，的值域，③时，的值域是，要使，只需，计算得出；综上，的范围是.（3）根据题意得，计算得出，①时，在区间上，最大，最小，，计算得出：或（舍去）；②时，在区间上，最大，最小，，计算得出：；③时，在区间上，最大，最小，，计算得出：或，故此时不存在常数满足题意，综上，存在常数满足题意，或.点睛：本题是道函数综合题目，在判定零点的时候可以运用零点的存在定理求解，当遇到“对任意的，总存在”时候要转化为两个函数值域的包含关系，从而求解。
2017-2018学年江苏省无锡市江阴四校高二(下)期中数学试卷(文科)(J)
2017-2018学年江苏省无锡市江阴四校高二（下）期中数学试卷（文科）(J)副标题一、填空题（本大题共14小题，共14.0分）1.已知集合，0，，且，则a等于______．【答案】【解析】解：集合，0，，且，，解得：．故答案为：由A为B的子集，得到A中的所有元素都属于B，得到，即可求出a的值．此题考查了集合的包含关系判断与应用，弄清题意是解本题的关键．2.若，则______．【答案】【解析】解：，．则，故答案为：，利用复数的运算法则、共轭复数的性质即可得出．本题考查了复数的运算法则、共轭复数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.已知命题p：，，那么命题￢为______．【答案】，【解析】解：命题是全称命题，则命题的否定是：，，故答案为：，．根据全称命题的否定是特称命题进行求解即可．本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．4.函数的定义域是______．【答案】【解析】解：由，解得．函数的定义域是．故答案为：．由对数式的真数大于0，根式内部的代数式大于等于0联立不等式组求解．本题考查函数的定义域及其求法，是基础的计算题．5.已知，，，则a，b，c的大小关系为______．【答案】【解析】解：，，．故答案为：．根据指数函数和幂函数的性质可得判断a与b与1的关系，根据对数函数的性质可得判断c与1的关系，即可得到所求大小关系．本题考查对数值大小的比较，关键在于掌握三类函数的性质并灵活运用之，注意与0与1的比较，属于基础题．6.是的______条件．【答案】充分不必要条件【解析】解：成立，充分性成立；而或，即不能推出，必要性不成立；是的充分不必要条件．故答案为：充分不必要．由充分条件与必要条件的概念即可判断．本题考查必要条件、充分条件与充要条件的判断，掌握充分条件与必要条件的概念是判断的基础，属于基础题．7.设函数，则满足的x的取值范围是______．【答案】【解析】解：当时，，，解得，当时，，，恒成立，综上所述满足的x的取值范围是，故答案为：根据分段函数和指数函数和对数函数的性质即可求出．本题考查了分段函数和不等式的解法，属于基础题．8.二维空间中，圆的一维测度周长，二维测度面积；三维空间中，球的二维测度表面积，三维测度体积应用合情推理，若四维空间中，“特级球”的三维测度，则其四维测度______．【答案】【解析】解：二维空间中，圆的面积的导数圆周长L，三维空间中，球的体积导数球的表面积S，由此类比，可以求得四维空间中，“特级球”W的导数，所以．故答案为．本题考查类比推理，和初级求导．二维空间中，圆的面积的导数，三维空间中，球的体积导数，由此类比，可以求得四维空间中，W的导数，所以．本题考查类比推理，初级求导，属于基础题目．9.已知函数，若对于任意，都有成立，则实数m的取值范围是______．【答案】【解析】解：二次函数的图象开口向上，对于任意，都有成立，，即，解得，故答案为：．由条件利用二次函数的性质可得，由此求得m的范围．本题主要考查二次函数的性质应用，体现了转化的数学思想，属于基础题．10.若函数定义在R上的奇函数，且在上是增函数，又，则不等式的解集为______．【答案】【解析】解：函数定义在R上的奇函数，且在上是增函数，又，在上是增函数，且，当或时，，当或时，，如图则不等式等价为或，即或，则或，解得或，故不等式的解集为，故答案为：根据函数奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化即可得到结论．本题主要考查不等式的解集，利用函数奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键．11.已知函数，则______．【答案】【解析】解：时，，即有，，，，则，故答案为：．求得，，由函数的周期性计算可得所求和．本题考查函数值的求和，注意运用函数的周期性和分段函数的解析式，考查运算能力，属于基础题．12.设函数，则使成立的x的取值范围是______．【答案】【解析】解：根据题意，函数，有，则函数为偶函数，当时，，其导数，则函数在上为增函数，若，必有，即，变形可得：，解可得：，即x的取值范围为；故答案为：．根据题意，分析可得函数为偶函数，且在上为增函数，进而可以将转化为，解可得x的取值范围，即可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，关键是分析函数的奇偶性与单调性．13.已知函数是定义在R上的奇函数，对任意的，均有，当时，，则下列结论正确的是______．的图象关于对称的最大值与最小值之和为2 方程有10个实数根当时，【答案】【解析】解：是定义在R上的奇函数，，又时，，设，则，，又，是以2为周期的函数，画出函数与的图象，如图所示，结合图象可得函数无对称轴，的最大值与最小值之和为0，当时，与有个交点，当与有5个交点，故方程有10个实数根；当时，，，当时，，故错误，综上所述，正确的为，故答案为：根据奇函数的性质求出时，函数的解析式，再根据函数的周期性，即可得到函数的图象，再画出的图象，由图象即可判断．本题考查了函数的奇偶性周期性，对称性，以及函数零点的问题，考查了转化能力和运算能力，属于中档题．14.已知函数函数，若函数恰有4个零点，则实数a的取值范围是______．【答案】【解析】解：由题意当时，即方程有4个解．又由函数与函数的大致形状可知，直线与函数的左右两支曲线都有两个交点当时，函数的最大值为a，则，同时在上的最小值为，当时，在上，要使恰有4个零点，，解得．则满足，即或故答案为：根据函数和的关系，将转化为，利用数形结合进行求解即可．本题主要考查函数与方程的应用，利用条件转化为，利用数形结合以及绝对值函数以及一元二次函数的性质进行求解即可．二、解答题（本大题共6小题，共6.0分）15.已知p：实数x，满足，q：实数x，满足．若时为真，求实数x的取值范围；若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．【答案】解：由，得当时，，即p为真命题时，．由得，所以q为真时，．若为真，则所以实数x的取值范围是．设，，q是p的充分不必要条件，所以，从而．所以实数a的取值范围是．【解析】利用不等式的解法、复合命题的真假性质即可得出．设，，q是p的充分不必要条件，可得，即可得出．本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法、集合的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16.已知函数．求函数的定义域．若为偶函数，求实数a的值．【答案】解：因为，即，当时，不等式的解为或，此时，函数的定义域为或；当时，不等式的解为，此时，函数的定义域为；当时，不等式的解为或，此时，函数的定义域为或；如果函数是偶函数，则其定义域关于原点对称，由知，．检验：当时，定义域为或，关于原点对称，，则，因此，当时，是偶函数．【解析】由对数的真数大于零得，即，然后对和a的大小进行分类讨论，求出不等式的解，从而求出函数的定义域；由函数为偶函数得函数的定义域关于原点对称，可求出a的值，并将a的值代入函数的解析式，利用偶函数的定义验证函数为偶函数，从而检验a的值是否合乎题意．本题考察函数的定义域的求解以及函数的奇偶性，在求函数的定义域时，关键在于合理进行分类讨论，在考察函数的奇偶性时，关键在于函数奇偶性定义的应用，属于中等题．17.已知函数其中a，b为常量且且的图象经过点，试求a、b的值；若不等式在时恒成立，求实数m的取值范围．【答案】解：Ⅰ函数，其中a，b为常数且，的图象经过点，，，解得，，，Ⅱ设，在R上是减函数，当时，．若不等式在时恒成立，即．【解析】Ⅰ由函数，其中a，b为常数且，的图象经过点，，得到关于a，b的方程组，由此能求出．Ⅱ设，则在R上是减函数，故当时，由此能求出实数m的取值范围．本题考查函数解析式的求法，考查满足条件的实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．18.近年来，“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便，某共享单车公司“Mobike”计划在甲、乙两座城市共投资120万元，根据行业规定，每个城市至少要投资40万元，由前期市场调研可知：甲城市收益P与投入单位：万元满足，乙城市收益Q与投入单位：万元满足，设甲城市的投入为单位：万元，两个城市的总收益为单位：万元．当甲城市投资50万元时，求此时公司总收益；试问如何安排甲、乙两个城市的投资，才能使总收益最大？【答案】解：当时，在乙城市投资为70万元，公司总收益为万元．．，令得，当时，，当时，，在上单调递增，在上单调递减，当时，取得最大值．该公司在甲城市投资72万元，在乙城市投资48万元，总收益最大．【解析】根据收益公式计算；得出的解析式，判断在定义域上的单调性，从而可得取得最大值时对应的x的值，从而得出最佳投资方案．本题考查了函数模型的应用，函数最值的计算，属于中档题．19.已知函数，．若，且，求x的值；当时，若在上是增函数，求a的取值范围；若，求函数在区间上的最大值．【答案】解：由知，又即，．，在上是增函数，即，．，图象如图当时，；当时，；综上．【解析】，再由即可求得x的值；由在上是增函数，利用二次函数的单调性可求得a 的取值范围；作出的图象，对m分与及三种情况讨论即可求得答案．本题考查函数单调性的判断与证明，考查函数最值的应用，考查分类讨论思想与数形结合思想、方程思想的综合运用，属于难题．20.已知函数，．若函数在区间上存在零点，求实数a的取值范围；当时，若对任意的，总存在，使成立，求实数m的取值范围；若的值域为区间D，是否存在常数t，使区间D的长度为？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．注：区间的长度【答案】解：由题意得：的对称轴是，故在区间递增，函数在区间存在零点，故有，即，解得：，故所求实数a的范围是；若对任意的，总存在，使成立，只需函数的值域是函数的值域的子集，时，，的值域是，下面求，的值域，令，则，，时，是常数，不合题意，舍去；时，的值域是，要使，只需，解得：；时，的值域是，要使，只需，解得：，综上，m的范围是；由题意得，解得：，时，在区间上，最大，最小，，即，解得：或舍去；时，在区间上，最大，最小，，解得：；时，在区间上，最大，最小，，即，解得：或，故此时不存在常数t满足题意，综上，存在常数t满足题意，或．【解析】求出函数的对称轴，得到函数的单调性，解关于a的不等式组，解出即可；只需函数的值域是函数的值域的子集，通过讨论，，的情况，得到函数的单调性，从而确定m的范围即可；通过讨论t的范围，结合函数的单调性以及，的值，得到关于t的方程，解出即可．本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想、转化思想，集合思想，是一道综合题．。
2017-2018年江苏省无锡市江阴四校高二(下)期中数学试卷(文科)和答案
2017-2018学年江苏省无锡市江阴四校高二（下）期中数学试卷（文科）一、填空题（每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卷相应位置.）1．（5分）已知集合A={0，1}，B={﹣1，0，a+3}，且A⊆B，则a等于．2．（5分）若z=3﹣2i，则=．3．（5分）已知命题p：∀x＞0，x+≥2，那么命题￢p为．4．（5分）函数y=ln（3﹣x）+的定义域是．5．（5分）已知a=（），b=（），c=log3π，则a，b，c的大小关系为．6．（5分）x＞1是的条件．7．（5分）设函数f（x）=，则满足f（x）≤3的x的取值范围是．8．（5分）二维空间中，圆的一维测度（周长）l=2πr，二维测度（面积）S=πr2；三维空间中，球的二维测度（表面积）S=4πr2，三维测度（体积）．应用合情推理，若四维空间中，“特级球”的三维测度V=12πr3，则其四维测度W=．9．（5分）已知函数f（x）=x2+mx﹣1，若对于任意x∈[m，m+1]，都有f（x）＜0成立，则实数m的取值范围是．10．（5分）若函数f（x）定义在R上的奇函数，且在（﹣∞，0）上是增函数，又f（2）=0，则不等式xf（x+1）＜0的解集为．11．（5分）已知函数f（x）=，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2017）=．12．（5分）设函数f（x）=x2﹣，则使f（2x）≤f（4﹣x）成立的x的取值范围是．13．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，对任意的x∈R，均有f（x+2）=f（x），当x∈[0，1）时，f（x）=2x﹣1，则下列结论正确的是．①f（x）的图象关于x=1对称②f（x）的最大值与最小值之和为2③方程f（x）﹣lg|x|=0有10个实数根④当x∈[2，3]时，f（x）=2x+2﹣1 14．（5分）已知函数f（x）=函数g（x）=2﹣f（x），若函数y=f（x）﹣g（x）恰有4个零点，则实数a的取值范围是．二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤）.15．（14分）已知p：实数x，满足x﹣a＜0，q：实数x，满足x2﹣4x+3≤0．（1）若a=2时p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．16．（14分）已知函数f（x）=lg[x2+（1﹣a）x﹣a]．（1）求函数f（x）的定义域．（2）若f（x）为偶函数，求实数a的值．17．（14分）已知函数f（x）=b•a x（其中a，b为常量且a＞0且a≠1）的图象经过点A（l，8），B（3，32）（I）试求a、b的值；（II）若不等式（）x+（）x﹣m≥0在x∈（﹣∞，1]时恒成立，求实数m的取值范围．18．（16分）近年来，“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便，某共享单车公司“Mobike”计划在甲、乙两座城市共投资120万元，根据行业规定，每个城市至少要投资40万元，由前期市场调研可知：甲城市收益P与投入a（单位：万元）满足P=3﹣6，乙城市收益Q与投入a（单位：万元）满足Q=a+2，设甲城市的投入为x（单位：万元），两个城市的总收益为f（x）（单位：万元）．（1）当甲城市投资50万元时，求此时公司总收益；（2）试问如何安排甲、乙两个城市的投资，才能使总收益最大？19．（16分）已知函数f（x）=x|x﹣2a|，a∈R．（1）若a=0，且f（x）=﹣1，求x的值；（2）当a＞0时，若f（x）在[2，+∞）上是增函数，求a的取值范围；（3）若a=1，求函数f（x）在区间[0，m]（m＞0）上的最大值g（m）．20．（16分）已知函数f（x）=x2+4x+a﹣5，g（x）=m•4x﹣1﹣2m+7．（1）若函数f（x）在区间[﹣1，1]上存在零点，求实数a的取值范围；（2）当a=0时，若对任意的x1∈[1，2]，总存在x2∈[1，2]，使f（x1）=g（x2）成立，求实数m的取值范围；（3）若y=f（x）（x∈[t，2]）的值域为区间D，是否存在常数t，使区间D的长度为6﹣4t？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．（注：区间[p，q]的长度q﹣p）2017-2018学年江苏省无锡市江阴四校高二（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题（每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卷相应位置.）1．（5分）已知集合A={0，1}，B={﹣1，0，a+3}，且A⊆B，则a等于﹣2．【解答】解：∵集合A={0，1}，B={﹣1，0，a+3}，且A⊆B，∴a+3=1，解得：a=﹣2．故答案为：﹣22．（5分）若z=3﹣2i，则=+i．【解答】解：z=3﹣2i，=3+2i．则===+i，故答案为：+i，3．（5分）已知命题p：∀x＞0，x+≥2，那么命题￢p为∃x＞0，x+＜2．【解答】解：命题是全称命题，则命题的否定是：∃x＞0，x+＜2，故答案为：∃x＞0，x+＜2．4．（5分）函数y=ln（3﹣x）+的定义域是[2，3）．【解答】解：由，解得2≤x＜3．∴函数y=ln（3﹣x）+的定义域是[2，3）．故答案为：[2，3）．5．（5分）已知a=（），b=（），c=log3π，则a，b，c的大小关系为a＜b＜c．【解答】解：∵0＜a=（）＜（）=b=（）＜（）0=1，c=log3π＞log33=1，∴a＜b＜c．故答案为：a＜b＜c．6．（5分）x＞1是的充分不必要条件条件．【解答】解：∵x＞1⇒＜1成立，∴充分性成立；而＜1⇔＜0⇔x＜0或x＞1，即＜1不能推出x＞1，∴必要性不成立；∴x＞1是的充分不必要条件．故答案为：充分不必要．7．（5分）设函数f（x）=，则满足f（x）≤3的x的取值范围是[0，+∞）．【解答】解：f（x）≤3当x≤1时，f（x）=31﹣x≤3=31，∴1﹣x≤1，解得1≥x≥0，当x＞1时，f（x）=1﹣log3x≤3，∴log3x≥﹣2，恒成立，综上所述满足f（x）≤3的x的取值范围是[0，+∞），故答案为：[0，+∞）8．（5分）二维空间中，圆的一维测度（周长）l=2πr，二维测度（面积）S=πr2；三维空间中，球的二维测度（表面积）S=4πr2，三维测度（体积）．应用合情推理，若四维空间中，“特级球”的三维测度V=12πr3，则其四维测度W=3πr4．【解答】解：二维空间中，圆的面积S=πr2的导数S′=2πr=圆周长L，三维空间中，球的体积导数V′=4πr2=球的表面积S，由此类比，可以求得四维空间中，“特级球”W的导数W′=V=12πr3，所以W=3πr4．故答案为W=3πr4．9．（5分）已知函数f（x）=x2+mx﹣1，若对于任意x∈[m，m+1]，都有f（x）＜0成立，则实数m的取值范围是（﹣，0）．【解答】解：∵二次函数f（x）=x2+mx﹣1的图象开口向上，对于任意x∈[m，m+1]，都有f（x）＜0成立，∴，即，解得﹣＜m＜0，故答案为：（﹣，0）．10．（5分）若函数f（x）定义在R上的奇函数，且在（﹣∞，0）上是增函数，又f（2）=0，则不等式xf（x+1）＜0的解集为（0，1）∪（﹣3，﹣1）．【解答】解：∵函数f（x）定义在R上的奇函数，且在（﹣∞，0）上是增函数，又f（2）=0，∴f（x）在（0，+∞）上是增函数，且f（﹣2）=﹣f（2）=0，∴当x＞2或﹣2＜x＜0时，f（x）＞0，当x＜﹣2或0＜x＜2时，f（x）＜0，（如图）则不等式xf（x+1）＜0等价为或，即或，则或，解得0＜x＜1或﹣3＜x＜﹣1，故不等式的解集为（0，1）∪（﹣3，﹣1），故答案为：（0，1）∪（﹣3，﹣1）11．（5分）已知函数f（x）=，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2017）=．【解答】解：x＞0时，f（x）=f（x﹣2），即有f（x+2）=f（x），f（2）=f（0）=1，f（3）=f（1）=f（﹣1）=，f（4）=f（0）=1，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2017）=+1++1+…+=×1008+=，故答案为：．12．（5分）设函数f（x）=x2﹣，则使f（2x）≤f（4﹣x）成立的x的取值范围是[﹣4，]．【解答】解：根据题意，函数f（x）=x2﹣，有f（﹣x）=（﹣x）2﹣=x2﹣=f（x），则函数f（x）为偶函数，当x≥0时，f（x）=x2﹣=x2﹣，其导数f′（x）=2x+＞0，则函数f（x）在[0，+∞）上为增函数，若f（2x）≤f（4﹣x），必有|2x|≤|4﹣x|，即4x2≤x2﹣8x+16，变形可得：3x2+8x﹣16≤0，解可得：﹣4≤x≤，即x的取值范围为；故答案为：．13．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，对任意的x∈R，均有f（x+2）=f（x），当x∈[0，1）时，f（x）=2x﹣1，则下列结论正确的是③．①f（x）的图象关于x=1对称②f（x）的最大值与最小值之和为2③方程f（x）﹣lg|x|=0有10个实数根④当x∈[2，3]时，f（x）=2x+2﹣1【解答】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（0）=0，又x∈[0，1）时，f（x）=2x﹣1，设x∈（﹣1，0]，则﹣x∈[0，1），∴f（﹣x）=2﹣x﹣1=﹣f（x），∴f（x）=﹣2﹣x+1又f（x）=f（x+2），∴f（x）是以2为周期的函数，画出函数y=f（x）与y=lg|x|的图象，如图所示，结合图象可得函数f（x）无对称轴，f（x）的最大值与最小值之和为0，当x＞0时，y=f（x）与y=lg|x|有个交点，当x＜0y=f（x）与y=lg|x|有5个交点，故方程f（x）﹣lg|x|=0有10个实数根；∵当x∈[2，3]时，∴x﹣2∈[0，1），∴f（x﹣2）=2x﹣2﹣1=f（x），∴当x∈[2，3]时，f（x）=2x﹣2﹣1，故④错误，综上所述，正确的为③，故答案为：③14．（5分）已知函数f（x）=函数g（x）=2﹣f（x），若函数y=f（x）﹣g（x）恰有4个零点，则实数a的取值范围是（2，3]．【解答】解：由题意当y=f（x）﹣g（x）=2[f（x）﹣1]=0 时，即方程f（x）=1 有4个解．又由函数y=a﹣|x+1|与函数y=（x﹣a）2的大致形状可知，直线y=1 与函数f（x）=的左右两支曲线都有两个交点当x≤1时，函数f（x）的最大值为a，则a＞1，同时在[﹣1，1]上f（x）=a﹣|x+1|的最小值为f（1）=a﹣2，当a＞1时，在（1，a]上f（1）=（1﹣a）2，要使y=f（x）﹣g（x）恰有4个零点，则满足，即，解得2＜a≤3．故答案为：（2，3]二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤）.15．（14分）已知p：实数x，满足x﹣a＜0，q：实数x，满足x2﹣4x+3≤0．（1）若a=2时p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）由x﹣a＜0，得x＜a．当a=2时，x＜2，即p为真命题时，x ＜2．由x2﹣4x+3≤0得1≤x≤3，所以q为真时，1≤x≤3．若p∧q为真，则1≤x＜2所以实数x的取值范围是[1，2）．（2）设A=（﹣∞，a），B=[1，3]，q是p的充分不必要条件，所以B⊆A，从而a＞3．所以实数a的取值范围是（3，+∞）．16．（14分）已知函数f（x）=lg[x2+（1﹣a）x﹣a]．（1）求函数f（x）的定义域．（2）若f（x）为偶函数，求实数a的值．【解答】解：（1）因为x2+（1﹣a）x﹣a＞0，即（x+1）（x﹣a）＞0，当a＜﹣1时，不等式的解为x＜a或x＞﹣1，此时，函数f（x）的定义域为{x|x ＜a或x＞﹣1}；当a=﹣1时，不等式的解为x≠﹣1，此时，函数f（x）的定义域为{x|x≠﹣1}；当a＞﹣1时，不等式的解为x＜﹣1或x＞a，此时，函数f（x）的定义域为{x|x＜﹣1或x＞a}；（2）如果函数f（x）是偶函数，则其定义域关于原点对称，由（1）知，a=1．检验：当a=1时，定义域为{x|x＜﹣1或x＞1}，关于原点对称，f（x）=lg（x2﹣1），则f（﹣x）=lg[（﹣x）2﹣1]=lg（x2﹣1）=f（x），因此，当a=1时，f（x）是偶函数．17．（14分）已知函数f（x）=b•a x（其中a，b为常量且a＞0且a≠1）的图象经过点A（l，8），B（3，32）（I）试求a、b的值；（II）若不等式（）x+（）x﹣m≥0在x∈（﹣∞，1]时恒成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）=b•a x，（其中a，b为常数且a＞0，a≠1）的图象经过点A（1，8），B（3，32），∴，解得a=2，b=4，∴f（x）=4•（2）x=2x+2，（Ⅱ）设g（x）=（）x+（）x=（）x+（）x，y=g（x）在R上是减函数，∴当x≤1时，g（x）min=g（1）=．若不等式（）x+（）x﹣m≥0在x∈（﹣∞，1]时恒成立，即m≤．18．（16分）近年来，“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便，某共享单车公司“Mobike”计划在甲、乙两座城市共投资120万元，根据行业规定，每个城市至少要投资40万元，由前期市场调研可知：甲城市收益P与投入a（单位：万元）满足P=3﹣6，乙城市收益Q与投入a（单位：万元）满足Q=a+2，设甲城市的投入为x（单位：万元），两个城市的总收益为f（x）（单位：万元）．（1）当甲城市投资50万元时，求此时公司总收益；（2）试问如何安排甲、乙两个城市的投资，才能使总收益最大？【解答】解：（1）当x=50时，在乙城市投资为70万元，∴公司总收益为3+=43.5万元．（2）f（x）=3﹣6+=3﹣x+26（40≤x≤80）．f′（x）=﹣，令f′（x）=0得x=72，∴当40≤x＜72时，f′（x）＞0，当72＜x≤80时，f′（x）＜0，∴f（x）在[40，72]上单调递增，在（72，80]上单调递减，∴当x=72时，f（x）取得最大值．∴该公司在甲城市投资72万元，在乙城市投资48万元，总收益最大．19．（16分）已知函数f（x）=x|x﹣2a|，a∈R．（1）若a=0，且f（x）=﹣1，求x的值；（2）当a＞0时，若f（x）在[2，+∞）上是增函数，求a的取值范围；（3）若a=1，求函数f（x）在区间[0，m]（m＞0）上的最大值g（m）．【解答】解：（1）由a=0知f（x）=x|x|，又f（x）=﹣1即x|x|=﹣1，∴x=﹣1．（2）f（x）==，∵f（x）在[2，+∞）上是增函数∴2a≤2，即a≤1，∴0＜a≤1．（3）f（x）=，f（x）图象如图当0＜m≤1时，g（m）=f（m）=m（2﹣m）；当m＞+1时，g（m）=f（m）=m（m﹣2）；综上g（m）=．20．（16分）已知函数f（x）=x2+4x+a﹣5，g（x）=m•4x﹣1﹣2m+7．（1）若函数f（x）在区间[﹣1，1]上存在零点，求实数a的取值范围；（2）当a=0时，若对任意的x1∈[1，2]，总存在x2∈[1，2]，使f（x1）=g（x2）成立，求实数m的取值范围；（3）若y=f（x）（x∈[t，2]）的值域为区间D，是否存在常数t，使区间D的长度为6﹣4t？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．（注：区间[p，q]的长度q﹣p）【解答】解：（1）由题意得：f（x）的对称轴是x=﹣2，故f（x）在区间[﹣1，1]递增，∵函数在区间[﹣1，1]存在零点，故有，即，解得：0≤a≤8，故所求实数a的范围是[0，8]；（2）若对任意的x1∈[1，2]，总存在x2∈[1，2]，使f（x1）=g（x2）成立，只需函数y=f（x）的值域是函数y=g（x）的值域的子集，a=0时，f（x）=x2+4x﹣5，x∈[1，2]的值域是[0，7]，下面求g（x），x∈[1，2]的值域，令t=4x﹣1，则t∈[1，4]，y=mt﹣2m+7，①m=0时，g（x）=7是常数，不合题意，舍去；②m＞0时，g（x）的值域是[7﹣m，2m+7]，要使[0，7]⊆[7﹣m，2m+7]，只需，解得：m≥7；③m＜0时，g（x）的值域是[2m+7，7﹣m]，要使[0，7]⊆[2m+7，7﹣m]，只需，解得：m≤﹣，综上，m的范围是（﹣∞，﹣]∪[7，+∞）；（3）由题意得，解得：t＜，①t≤﹣6时，在区间[t，2]上，f（t）最大，f（﹣2）最小，∴f（t）﹣f（﹣2）=t2+4t+4=6﹣4t，即t2+8t﹣2=0，解得：t=﹣4﹣3或t=﹣4+3（舍去）；②﹣6＜t≤﹣2时，在区间[t，2]上，f（2）最大，f（﹣2）最小，∴f（2）﹣f（﹣2）=16=6﹣4t，解得：t=﹣；③﹣2＜t＜时，在区间[t，2]上，f（2）最大，f（t）最小，∴f（2）﹣f（t）=﹣t2﹣4t+12=6﹣4t，即t2=6，解得：t=或t=﹣，故此时不存在常数t满足题意，综上，存在常数t满足题意，t=﹣4﹣3或t=﹣．。
2017年江苏省江阴四校高二文科下学期数学期中考试试卷
2017年江苏省江阴四校高二文科下学期数学期中考试试卷一、解答题（共5小题；共65分）1. 已知复数满足，则的模为．2. 已知集合，，则．3. 命题“，”的否定是命题．（填“真”或“假”之一）4. 函数的定义域是．5. 已知函数在定义域上的值域为，则实数的取值范围．二、填空题（共1小题；共5分）6. 已知数列中，，时，，猜想的表达式是．三、解答题（共3小题；共39分）7. 函数的递减区间为．8. 设函数是定义在上的奇函数，当时，（为常数），则的值为．9. 若为奇函数，且在上是减函数，又，求不等式的解集为．四、填空题（共1小题；共5分）10. 已知函数的定义域为，则实数的取值范围是．五、解答题（共3小题；共39分）11. 已知实数，函数若，则的值为．12. 设函数是定义在上的偶函数，在上是增函数，若，实数的取值范围是．13. 已知是定义在上的函数，且，当时，，若函数在区间上有个零点（互不相同），则实数的取值范围是．六、填空题（共1小题；共5分）14. 已知函数，若存在且，使得成立，则实数的取值范围是．七、解答题（共6小题；共78分）15. 设关于的不等式的解集为，不等式的解集为．（1）当时，求集合；（2）若，求实数的取值范围．16. 设命题：函数的定义域为；命题：函数在上单调递减．（1）若命题“”为真，“”为假，求实数的取值范围；（2）若关于的不等式的解集为；命题为真命题时，的取值集合为．当“”是“”的充分不必要条件时，求实数的取值范围．17. 己知二次函数（，为常数）满足条件，且方程有两个相等的根．（1）求的解析式；（2）是否存在实数，，使的定义域和值域分别为和?如果存在，求出，的值；如果不存在，请说明理由．18. 某隧道长，通过隧道的车速不能超过．一个由辆车身长都为的同一车型组成的车队（这种型号的车能行驶的最高速度为）匀速通过该隧道，设车队的速度为，根据安全和车流的需要，当时，相邻两车之间保持的距离；当时，相邻两车之间保持的距离，自第辆车车头进入隧道至第辆车车尾离开隧道所用的时间为．（1）将表示为的函数；（2）求车队通过隧道所用的时间的最小值及此时车队的速度．19. 已知函数，．（1）若函数的最小值是，且，求的值；（2）在（1）的条件下，在区间上恒成立，试求的取值范围；（3）令，若，又的图象在轴上截得的弦的长度为，且，试确定的符号．20. 已知函数，．（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；（2）当时，求函数的单调区间；（3）求函数的最小值．答案第一部分1.2.3. 假4.5.第二部分6.第三部分7.8.9.第四部分10.第五部分11.【解析】分类讨论：（）当时，，．这时；；由得，解得，不符合题意，舍去．（）当时，，，这时；，由得，解得．综合（），（）知的值为．12.13.第六部分14.【解析】当，即时，由二次函数的图象和性质，可知：存在且，使得成立，当，即时，若存在且，使得成立，则，解得：，所以，综上所述：实数的取值范围是．第七部分15. （1）当时，由已知得，解得．所以．（2）由已知得．①当时，因为，所以．因为，所以，所以．②当时，，显然有，所以成立．③当时，因为，所以．因为，所以，所以．综上所述，的取值范围是．16. （1）若真：即函数的定义域为，所以，对恒成立，所以，解得：，若真，则，因为命题“”为真，“”为假，所以真假或假真．或所以或解得：或．（2）由题意得，，因为，，所以解得：．17. （1）由，得对称轴为，即，又因为方程，即有两个相等的根，所以，即，，所以．（2）假设存在实数，，使的定义域和值域分别为和，因为，所以，即，又函数的对称轴为，且开口向下，所以在上单调递增，所以又，所以，，所以存在实数，满足题意．18. （1）由题意知，当时，；当时，．所以（2）当时，在时，；当时，，当且仅当为，即时取等号．因为，所以当时，．因为，所以当车队的速度约为时，车队通过隧道所用的时间有最小值为．19. （1）由已知，，且．解得，，所以，可得出所以．（2）在（1）条件下，在区间上恒成立，即在区间上恒成立，从而在区间上恒成立．令函数，则函数在区间上是减函数，且其最小值，所以的取值范围为．（3）由，得，因为，所以，设方程的两根为，，则，，所以，因为，所以，所以，因为且，所以，所．20. （1）当时，，此时为偶函数；当时，因为，，所以，，此时函数既不是奇函数也不是偶函数．（2）当，，所以在上单调递增，在上单调递减，即的单调递增区间是，单调递减区间是．（3）当时，时，的最小值为，时，，而，所以的最小值为．当时，时，的最小值为，时，的最小值为，而，所以的最小值为．当时，的最小值为，综上所述，．。
【高二数学试题精选】江阴市青阳中学高二数学下册学科期末考试题及答案(文史类)
江阴市青阳中学高二数学下册学科期末考试题及答案（文史
类）
5 c 绝密★启用前
江阴市青阳中学高二数学学科期末考试（史类）
本试卷共4页，满分160分，考试时间120分钟
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本试卷分填空题和解答题两部分．考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。
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1．答题前，考生先将自己的姓名、考试证号填写在答题卡上，认真核对密封线内的考试证号、姓名．
2．非选择题答案使用05毫米的黑色中性（签字）笔或炭素笔书写，字体工整，字迹清楚．
3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．
4．保持卷面清洁，不折叠，不破损．
一、填空题本大题共14小题，每小题5分，共70分，把答案填在答题卡的相应位置．
1．若集合，满足，则实数a= ▲ ．
2．已知复数对应的点位于第二象限，则实数的范围为▲ ．3．数列的前项和为，若，则等于▲ ．
4．已知函数，则▲ ．
5．已知是虚数单位，计算的结果是▲ ．
6．已知数列为等差数列，且，则的值为▲ ．
7．已知方程的根，∈Z，则= ▲ ．
8．已知平面向量满足，与的夹角为，以为邻边作平行四边形，则此平行四边形的两条对角线中较短的一条的长度为▲ ．。
江苏省无锡市江阴市青阳中学2017-2018学年高一下学期期中数学试卷 Word版含解析
2017-2018学年江苏省无锡市江阴市青阳中学高一（下）期中数学试卷一．填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需写出解答过程．请把答案直接填写在答题纸相应位置上．1．直线x+y+1=0的倾斜角是．2．在△ABC中，A=60°，AC=3，AB=2，那么BC的长度为．3．数列{a n}的前n项和S n=2n2﹣3n（n∈N*），则a4=．4．若点（1，3）和（﹣4，﹣2）在直线2x+y+m=0的两侧，则m的取值范围是．5．在平面直角坐标系xOy中，直线x+（m+1）y=2﹣m与直线mx+2y=﹣8互相垂直，则实数m=．6．数列{a n}满足a1=3，﹣=5（n∈N+），则a n=．7．若数列{a n}的通项公式为a n=（﹣1）n+1n，S n是其前n项的和，则S100=．8．已知x+2y=6，则2x+4y的最小值为．9．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，B=30°，b=2，则△ABC的面积是．10．若公比不为1的等比数列{a n}满足log2（a1•a2…a13）=13，等差数列{b n}满足b7=a7，则b1+b2…+b13的值为．11．设x，y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的值是最大值为12，则的最小值为．12．△ABC中，若sin（π﹣A）=，tan（π+B）=，则cosC=．13．对于正项数列{a n}，定义为{a n}的“光阴”值，现知某数列的“光阴”值为，则数列{a n}的通项公式为．14．设{a n}是等比数列，公比，S n为{a n}的前n项和．记．设为数列{T n}的最大项，则n0=．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．设不等式x2≤5x﹣4的解集为A．（Ⅰ）求集合A；（Ⅱ）设关于x的不等式x2﹣（a+2）x+2a≤0的解集为M，若M⊆A，求实数a的取值范围．16．在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，且a2+bc=b2+c2（1）求∠A的大小；（2）若b=2，a=，求边c的大小；（3）若a=，求△ABC面积的最大值．17．已知直线l1：3x+2y﹣1=0和l2：5x+2y+1=0的交点为A（1）若直线l3：（a2﹣1）x+ay﹣1=0与l1平行，求实数a的值；（2）求经过点A，且在两坐标轴上截距相等的直线l的方程．18．设数列{a n}的前n项和为S n，且满足S n=2﹣a n，n=1，2，3，…．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足b1=1，且b n+1=b n+a n，求数列{b n}的通项公式；（3）设c n=n（3﹣b n），求数列{c n}的前n项和为T n．19．如图，墙上有一壁画，最高点A离地面4米，最低点B离地面2米．观察者从距离墙x（x＞1）米，离地面高a（1≤a≤2）米的C处观赏该壁画，设观赏视角∠ACB=θ．（1）若a=1.5，问：观察者离墙多远时，视角θ最大？（2）若tanθ=，当a变化时，求x的取值范围．20．已知数列{a n}满足a n+1=a n+t，a1=（t为常数，且t≠）．（1）证明：{a n﹣2t}为等比数列；（2）当t=﹣时，求数列{a n}的前几项和最大？（3）当t=0时，设c n=4a n+1，数列{c n}的前n项和为T n，若不等式≥2n﹣7对任意的n∈N*恒成立，求实数k的取值范围．2017-2018学年江苏省无锡市江阴市青阳中学高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一．填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需写出解答过程．请把答案直接填写在答题纸相应位置上．1．直线x+y+1=0的倾斜角是．【考点】直线的倾斜角．【分析】利用倾斜角与斜率的关系即可得出．【解答】解：设直线x+y+1=0的倾斜角为θ，（θ∈[0，π）），∵tanθ=﹣，∴．故答案为：．2．在△ABC中，A=60°，AC=3，AB=2，那么BC的长度为．【考点】余弦定理．【分析】由已知及余弦定理即可求值．【解答】解：∵在△ABC中，A=60°，AC=3，AB=2，∴由余弦定理可得：BC2=AC2+AB2﹣2AC•AB•cosA=9+4﹣2×3×2×cos60°=7．∴BC=．故答案为：．3．数列{a n}的前n项和S n=2n2﹣3n（n∈N*），则a4=．【考点】等差数列的前n项和；等差数列的通项公式．【分析】由题设条件，利用公式求解即可．【解答】解：∵前n项和，∴a4=S4﹣S3=（2×16﹣3×4）﹣（2×9﹣3×3）=20﹣9=11．故答案为：11．4．若点（1，3）和（﹣4，﹣2）在直线2x+y+m=0的两侧，则m的取值范围是﹣5＜m ＜10．【考点】简单线性规划．【分析】将点（1，3）和（﹣4，﹣2）的坐标代入直线方程，使它们异号，建立不等关系，求出参数m即可．【解答】解：将点（1，3）和（﹣4，﹣2）的坐标代入直线方程，可得两个代数式，∵在直线2x+y+m=0的两侧∴（5+m）（﹣10+m）＜0解得：﹣5＜m＜10，故答案为﹣5＜m＜10．5．在平面直角坐标系xOy中，直线x+（m+1）y=2﹣m与直线mx+2y=﹣8互相垂直，则实数m=﹣．【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【分析】由两直线ax+by+c=0与mx+ny+d=0垂直⇔am+bn=0解得即可．【解答】解：直线x+（m+1）y=2﹣m与直线mx+2y=﹣8互相垂直⇔m+2（m+1）=0⇔m=﹣．故答案为：．6．数列{a n}满足a1=3，﹣=5（n∈N+），则a n=．【考点】数列递推式；等差数列的通项公式．【分析】根据所给的数列的递推式，看出数列是一个等差数列，根据所给的原来数列的首项看出等差数列的首项，根据等差数列的通项公式写出数列，进一步得到结果．【解答】解：∵根据所给的数列的递推式∴数列{}是一个公差是5的等差数列，∵a1=3，∴=，∴数列的通项是∴故答案为：7．若数列{a n}的通项公式为a n=（﹣1）n+1n，S n是其前n项的和，则S100=﹣50．【考点】数列递推式．+a2k=（2k﹣1）﹣（2k）=﹣1．利用分组求和方法即可【分析】a n=（﹣1）n+1n，可得a2k﹣1得出．【解答】解：∵a n=（﹣1）n+1n，∴a2k+a2k=（2k﹣1）﹣（2k）=﹣1．﹣1则S100=（a1+a2）+…+（a99+a100）=﹣1×50=﹣50．故答案为：﹣50．8．已知x+2y=6，则2x+4y的最小值为16．【考点】基本不等式．【分析】根据基本不等式的性质，有2x+4y≥2=2，将已知条件x+2y=6代入可得答案．【解答】解：根据基本不等式的性质，有2x+4y≥2=2=2=16，当且仅当2x=4y即x=2y=3时取等号，∴2x+4y的最小值为16．故答案为：16．9．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，B=30°，b=2，则△ABC的面积是．【考点】解三角形．【分析】根据正弦定理化简，得到a与c的关系式，由余弦定理表示出b2，把b和cosB以及a与c的关系式的值代入，得到关于c的方程，求出方程的解即可得到c 的值，进而得到a的值，利用三角形的面积公式，由a，c和sinB的值，即可求出△ABC的面积．【解答】解：由，根据正弦定理得：a=c，由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accosB，即4=4c2﹣3c2=c2，解得c=2，所以a=2，则△ABC的面积S=acsinB=×2×2×=．故答案为：10．若公比不为1的等比数列{a n}满足log2（a1•a2…a13）=13，等差数列{b n}满足b7=a7，则b1+b2…+b13的值为26．【考点】等比数列的通项公式．【分析】由题意和对数的运算可得a7，再由等差数列的性质可得答案．【解答】解：∵公比不为1的等比数列{a n}满足log2（a1•a2…a13）=13，∴log2（a1•a2…a13）=log2（a7）13=13•log2a7=13，解得a7=2，∴b7=a7=2，由等差数列的性质可得b1+b2…+b13=13b7=26故答案为：2611．设x，y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的值是最大值为12，则的最小值为．【考点】简单线性规划的应用；基本不等式在最值问题中的应用．【分析】先根据条件画出可行域，设z=ax+by，再利用几何意义求最值，将最大值转化为y 轴上的截距，只需求出直线z=ax+by，过可行域内的点（4，6）时取得最大值，从而得到一个关于a，b的等式，最后利用基本不等式求最小值即可．【解答】解：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分，当直线ax+by=z（a＞0，b＞0）过直线x﹣y+2=0与直线3x﹣y﹣6=0的交点（4，6）时，目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）取得最大12，即4a+6b=12，即2a+3b=6，而=．故答案为：．12．△ABC中，若sin（π﹣A）=，tan（π+B）=，则cosC=．【考点】两角和与差的正弦函数．【分析】由同角三角函数的基本关系可sinA和cosA，sinB和cosB，而cosC=﹣cos（A+B）=sinAsinB﹣cosAcosB，代值计算可得．【解答】解：由题意可得sin（π﹣A）=sinA=，∴cosA=±=±，又可得tan（π+B）=tanB=∴sinB=，cosB=．当cosA=时，cosC=﹣cos（A+B）=sinAsinB﹣cosAcosB=﹣=当cosA=﹣时，A∈（，π），由tanB=＞1可得B∈（，），此时两角之和就大于π了，应舍去，故答案为：13．对于正项数列{a n}，定义为{a n}的“光阴”值，现知某数列的“光阴”值为，则数列{a n}的通项公式为．【考点】数列递推式．【分析】根据“光阴”值的定义，及，可得a1+2a2+…+na n=，再写一式，两式相减，即可得到结论．【解答】解：∵∴a1+2a2+…+na n=∵∴a1+2a2+…+na n=①∴a1+2a2+…+（n﹣1）a n=②﹣1①﹣②得﹣=∴故答案为：14．设{a n}是等比数列，公比，S n为{a n}的前n项和．记．设为数列{T n}的最大项，则n0=4．【考点】等比数列的前n项和；等比数列的性质．【分析】首先用公比q和a1分别表示出S n和S2n，代入T n易得到T n的表达式．再根据基本不等式得出n0【解答】解：==因为≧8，当且仅当=4，即n=4时取等号，所以当n0=4时T n有最大值．故答案为：4．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．设不等式x2≤5x﹣4的解集为A．（Ⅰ）求集合A；（Ⅱ）设关于x的不等式x2﹣（a+2）x+2a≤0的解集为M，若M⊆A，求实数a的取值范围．【考点】一元二次不等式的解法；集合的包含关系判断及应用．【分析】（I）求出不等式x2≤5x﹣4的解集确定出集合A，（II）若B⊆A，求实数m的取值范围进要注意B是空集的情况，故此题分为两类求，是空集时，不是空集时，比较两个集合的端点即可．【解答】解：（Ⅰ）原不等式即为x2﹣5x+4=（x﹣1）（x﹣4）≤0，所以1≤x≤4所以不等式的解集A={x|1≤x≤4}（Ⅱ）不等式等价于（x﹣a）（x﹣2）≤0若a＜2，则M=[a，2]，要M⊆A，只需1≤a＜2若a＞2，则M=[2，a]，要M⊆A，只需2＜a≤4若a=2，则M=2，符合M⊆A综上所述，a的取值范围为[1，4]．16．在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，且a2+bc=b2+c2（1）求∠A的大小；（2）若b=2，a=，求边c的大小；（3）若a=，求△ABC面积的最大值．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）由已知及余弦定理可得cosA===，即可解得A．（2）由（1）及余弦定理即可得解．（3）由余弦定理可得：3=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2﹣bc，从而解得bc≤3，利用三角形面积公式即可得解．【解答】解：（1）∵a2+bc=b2+c2，∴cosA===，∴A=．（2）∵由（1）可得：==，整理可得：c2﹣2c+1=0，∴解得：c=1（3）∵a=，A=．∴由余弦定理可得：3=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2﹣bc，解得：bc≤3，∴≤=．17．已知直线l1：3x+2y﹣1=0和l2：5x+2y+1=0的交点为A（1）若直线l3：（a2﹣1）x+ay﹣1=0与l1平行，求实数a的值；（2）求经过点A，且在两坐标轴上截距相等的直线l的方程．【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系；直线的截距式方程．【分析】（1）利用直线平行求出a，然后验证即可．（2）求出A的坐标，设出方程，求出截距，化简求解即可．【解答】解：（1）……当a=2时，l3：3x+2y﹣1=0，与l1重合，不合题意，舍去∴…（多一解扣1分）（2）…由题知直线l的斜率存在且不为0，设l方程为y﹣2=k（x+1）…∴解得k=﹣1或k=﹣2…∴l的方程为y=﹣x+1或y=﹣2x…（用截距式做漏解扣3分）18．设数列{a n}的前n项和为S n，且满足S n=2﹣a n，n=1，2，3，…．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足b1=1，且b n+1=b n+a n，求数列{b n}的通项公式；（3）设c n=n（3﹣b n），求数列{c n}的前n项和为T n．【考点】数列的求和；数列的函数特性；等比数列的通项公式．【分析】（1）利用数列中a n与Sn关系解决．（2）结合（1）所求得出b n+1﹣b n=．利用累加法求b n（3）由上求出c n=n （3﹣b n）=，利用错位相消法求和即可．【解答】解：（1）因为n=1时，a1+S1=a1+a1=2，所以a1=1．因为S n=2﹣a n，即a n+S n=2，所以a n+1+S n+1=2．两式相减：a n+1﹣a n+S n+1﹣S n=0，即a n+1﹣a n+a n+1=0，故有2a n+1=a n．因为a n≠0，所以=（n∈N*）．所以数列{a n}是首项a1=1，公比为的等比数列，a n=（n∈N*）．（2）因为b n+1=b n+a n（n=1，2，3，…），所以b n+1﹣b n=．从而有b2﹣b1=1，b3=（n=2，3，…）．﹣b2=，b4﹣b3=，…，b n﹣b n﹣1将这n﹣1个等式相加，得b n﹣b1=1+++…+==2﹣．又因为b1=1，所以b n=3﹣（n=1，2，3，…）．（3）因为c n=n （3﹣b n）=，所以T n=．①=．②①﹣②，得=﹣．故T n=﹣=8﹣﹣=8﹣（n=1，2，3，…）．19．如图，墙上有一壁画，最高点A离地面4米，最低点B离地面2米．观察者从距离墙x（x＞1）米，离地面高a（1≤a≤2）米的C处观赏该壁画，设观赏视角∠ACB=θ．（1）若a=1.5，问：观察者离墙多远时，视角θ最大？（2）若tanθ=，当a变化时，求x的取值范围．【考点】解三角形的实际应用．【分析】（1）首项利用两角和的正切公式建立函数关系，进一步利用判别式确定函数的最大值；（2）利用两角和的正切公式建立函数关系，利用a的取值范围即可确定x的范围．【解答】解：（1）如图，作CD⊥AF于D，则CD=EF，设∠ACD=α，∠BCD=β，CD=x，则θ=α﹣β，在Rt△ACD和Rt△BCD中，tanα=，tanβ=，则tanθ=tan（α﹣β）==（x＞0），令u=，则ux2﹣2x+1.25u=0，∵上述方程有大于0的实数根，∴△≥0，即4﹣4×1.25u2≥0，∴u≤，即（tanθ）max=，∵正切函数y=tanx在（0，）上是增函数，∴视角θ同时取得最大值，此时，x==，∴观察者离墙米远时，视角θ最大；（2）由（1）可知，tanθ===，即x2﹣4x+4=﹣a2+6a﹣4，∴（x﹣2）2=﹣（a﹣3）2+5，∵1≤a≤2，∴1≤（x﹣2）2≤4，化简得：0≤x≤1或3≤x≤4，又∵x＞1，∴3≤x≤4．20．已知数列{a n}满足a n+1=a n+t，a1=（t为常数，且t≠）．（1）证明：{a n﹣2t}为等比数列；（2）当t=﹣时，求数列{a n}的前几项和最大？（3）当t=0时，设c n=4a n+1，数列{c n}的前n项和为T n，若不等式≥2n﹣7对任意的n∈N*恒成立，求实数k的取值范围．【考点】数列递推式；数列的函数特性．【分析】（1）由已知得，由此能证明{a n﹣2t}是以为首项，以为公比的等比数列．（2）当t=﹣时，{a n+}是以为首项，以为公比的等比数列，求出，由此能求出数列{a n}的前几项和最大．（3）当t=0时，a n=，c n=4a n+1=+1，从而T n=4+n﹣，由不等式≥2n﹣7对任意的n∈N*恒成立，得到3k≥对任意的n∈N*恒成立，由此能求出实数k的取值范围．【解答】证明：（1）∵数列{a n}满足a n+1=a n+t，a1=（t为常数，且t≠），∴，∴=，又a1﹣2t=，∴{a n﹣2t}是以为首项，以为公比的等比数列．解：（2）当t=﹣时，{a n+}是以为首项，以为公比的等比数列，∴，∴，由≥0，解得n≤2．∴数列{a n}的前2项和最大．（3）当t=0时，∴{a n}是以为首项，以为公比的等比数列，∴a n=，c n=4a n+1=+1，∴数列{c n}的前n项和：T n==4+n﹣，∵不等式≥2n﹣7对任意的n∈N*恒成立，∴3k≥对任意的n∈N*恒成立，设，由d n+1﹣d n==，∴当n≤4时，d n+1＞d n，当n≥4时，d n+1＜d n，∵，∴3k，解得k．∴实数k的取值范围是[）．2018年7月23日。
7—18学年下学期高二期中考试数学试题(无答案)
江苏省南菁高级中学2017—2018学年第二学期期中考试高二数学试卷一、（本题包括14小题，每题5分，共70分,请将答案写在答题卡上）1．i 为虚数单位，复数21i-的虚部为 ▲ ． 2．0133333333333...C C C C ++++ 除以9的余数是 ▲ ． 3．已知集合A ＝{1，3，zi }，i 为虚数单位，B ＝{5}，A ∪B ＝A ，则复数z －＝ ▲ ．4．某工厂将4名新招聘员工分配至三个不同的车间，每个车间至少分配一名员工，甲、乙两名员工必须分配至同一车间，则不同的分配方法总数为 ▲ （用数字作答）．5．用数学归纳法证明 “当n 为正奇数时，n n y x +能被y x +整除”，当第二步假设)(12*∈-=N k k n 命题为真时，进而需证=n ▲ 时，命题亦真.6．马路上有10盏灯，为了节约用电，可以熄灭其中3盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，那么熄灯方法共有 ▲ 种．7．在52()x x+展开式中系数最大的项是 ▲ ．8．设(5n x 的展开式的各项系数之和为M ，二项式系数之和为N ，若M －N ＝992， 则展开式中x 3的系数为 ▲ ．9．设等边ABC ∆的边长为a ,P 是ABC ∆内任意一点,且P 到三边AB 、BC 、CA 的距离分别为1d 、2d 、3d ,则有321d d d ++为定值a 23；由以上平面图形的特性类比到空间图形：设正四面体ABCD 的棱长为a ,P 是正四面体ABCD 内任意一点,且P 到平面ABC 、平面ABD 、平面ACD 、平面B C D 的距离分别为1h 、2h 、3h 、h 4，则有321h h h +++h 4为定值 ▲ ．10．若(x ＋1)4(x ＋4)8＝a 0(x ＋3)12＋a 1(x ＋3)11＋a 2(x ＋3)10＋…＋a 11(x ＋3)＋a 12， 则413511log (...)a a a a ++++= ▲ ．11．某停车场有6个停车位，现停进了4辆不同的轿车，考虑到进出方便，要求任何三辆车不能连续停放在一起，共有 ▲ 种停法．（用数字作答）．12．有4张分别标有数字1，2，3，4的红色卡片和4张分别标有数字1，2，3，4的蓝色卡片，从这8 张卡片中取出4张卡片排成一行．如果取出的4张卡片所标数字之和等于10，则不同的排法共有 ▲ 种. （用数字作答）13．已知数列{}n a 的各项分别为11，21，12，31，22，13，41，32，23，14，…，依它的前10项的规律，则9899a a +的值为 ▲ ．14．已知两个正数,a b ，可按规则c ab a b =++扩充为一个新数c ，在,,a b c 三个数中取两个较大的数，按上述规则再扩充得到一个新数，依次下去，将每扩充一次得到一个新数称为一次操作。
2017-2018年江苏省无锡市江阴市南菁高中14班高二(下)期中数学试卷和答案
13． （5 分）如图，边长为 1 的正三角形 ABC 的顶点 A，B 分别在 x 轴，y 轴的
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正半轴上滑动，则
的取值范围是
．
14． （5 分）在锐角三角形 ABC 中，若 sinA=2sinBsinC，则 tanAtanBtanC 的最小 值是 ．
二、 （本题包含 6 大题，共 90 分） 15． （14 分）已知集合 A={x| ≤0}，B={x|x2﹣（m﹣1）x+m﹣2≤0}．
．
sin（x+
）≤1 ．
则 f（x）的最小值为： 故答案为：1
4． （5 分）若 ， 不共线，且 +m 与 2 【解答】解：∵ +m 与 2 k ，
共线，则实数 m 的值为
﹣
．
共线，∴存在实数 k 使得 +m =k（2
）=2k ﹣
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又 ， 不共线， ∴1=2k，m=﹣k． 解得 m=﹣ ． 故答案为：﹣ ． 5． （5 分）已知半径为 r 的扇形，它的周长等于弧所在半圆的弧长，则扇形的圆 心角的弧度数为 π﹣2 ．
17． （14 分）在△ABC 中，
（1）若点 O 是线段 AM 上任意一点，且| 值； （2）若点 P 是∠BAC 内一点，且 最小值． =2
|=|
|=
，求
+
的最小
=2，|
|=2，求|
+
+
|的
18． （16 分）如图，已知海岛 A 与海岸公路 BC 的距离为 50km，B、C 间的距离 为 100km， 从 A 到 C， 先乘船， 船速为 25km/h， 再乘汽车， 车速为 50km/h． 设 登陆点在 D 处，从 A 到 C 所用的时间为 y（单位：h） ．
江苏省无锡市江阴市2017-2018学年高二下学期期末数学试卷(文科) Word版含解析
2017-2018学年江苏省无锡市江阴市高二（下）期末数学试卷（文科）一、填空题：本大题共14题，每题5分，共70分。
请将答案填在答题卡相应的位置上 1．已知全集∪={1，2，3，4}，集合A={2，3}，B={3，4}，则∁U （A ∪B ）=______． 2．若复数z=（a +i ）i （其中i 为虚数单位）的实部与虚部相等，则实数a=______．3．函数y=+log 2（x ﹣1）的定义域是______． 4．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个角不大于60度”时，应假设“三角形的______”（用文字作答）．5．已知tan （π﹣α）=2，则tan2α=______．6．已知函数f （x ）=|log 3x |，若存在两个不同的实数a ，b 满足f （a ）=f （b ），则ab=______．7．已知函数f （x ）=sin （2x ﹣）的图象C 1向左平移个单位得图象C 2，则C 2对应的函数g （x ）的解析式为______．8．已知平面向量，满足||=2，||=4，且（﹣）⊥，则，的夹角是______．9．已知向量=（1，1），点A （﹣3，﹣1），点B 为直线y=2x 上的一个动点，若∥，则点B 的坐标为______．10．已知函数，若函数g （x ）=f （x ）﹣m 有3个零点，则实数m 的取值范围是______．11．设α∈（，π），函数f （x ）=（sin α）的最大值为，则α=______．12．已知定义在R 上的奇函数f （x ）和偶函数g （x ）满足关系f （x ）﹣g （x ）=2x ，则f （1）•g （0）的值为______． 13．如图，在平行四边形OABC 中，点E ，F 分别在AB ，BC 上，且满足AB=2AE ，BC=3CF ．若=λ+μ（λ、μ∈R ），则λ+μ=______．14．已知函数f （x ）=log a （+x ）++1（a ＞0，a ≠1），若f （sin （﹣α））=，则f （cos （α﹣））=______．二、解答题：本大题共6题，计90分。
江苏省无锡市江阴青阳高级中学高二数学理月考试卷含解析
江苏省无锡市江阴青阳高级中学高二数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. △ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,若a、b、c成等比数列，且c =2a,则cosB =A． B．C． D．参考答案：C2. 直线的倾斜角是( )A．B．C．D．参考答案：C略3. （）A. B. C. D.参考答案：A4. 已知椭圆+y2=1（m＞1）和双曲线﹣y2=1（n＞0）有相同的焦点F1，F2，P是它们的一个交点，则△F1PF2的形状是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．随m，n的变化而变化参考答案：B【考点】双曲线的简单性质；椭圆的简单性质．【分析】由双曲线的定义|PF1|﹣|PF2|=2，由椭圆的定义|PF1|+|PF2|=2，再由|F1F2|=2，利用勾股定理能判断△F1PF2的形状．【解答】解：由题意设两个圆锥曲线的焦距为2c，椭圆的长轴长2，双曲线的实轴长为2，不妨令P在双曲线的右支上，由双曲线的定义|PF1|﹣|PF2|=2，①由椭圆的定义|PF1|+|PF2|=2，②∵m﹣n=2，∴n=m﹣2，①2+②2得|PF1|2+|PF2|2=2（m+n），又∵椭圆+y2=1（m＞1）和双曲线﹣y2=1（n＞0）有相同的焦点F1，F2，∴m﹣1=n+1，∴m﹣n=2，∴|PF1|2+|PF2|2=2（m+n）=4m﹣4，|F1F2|2=（2）2=4m﹣4，∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|，则△F1PF2的形状是直角三角形故选：B．【点评】本题考查三角形形状的判断，是中档题，解题时要熟练掌握椭圆和双曲线的简单性质．5. 已知点P(x,y)满足，则点P(x,y)所在区域的面积为( )A．36π B．32πC．20π D．16π参考答案：B6. 已知双曲线的两个焦点是F1和F2，则（）A. B. 2 C. 3 D. 4参考答案：D【分析】根据双曲线的方程，可直接得出焦距.【详解】因为双曲线方程为，所以其焦距为.故选D【点睛】本题主要考查求双曲线的焦距，熟记双曲线的简单性质即可，属于基础题型.7.参考答案：D8. 设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=y﹣2x的最小值为（）A．﹣7 B．﹣4 C．1 D．2参考答案：A9. 在使成立的所有常数中，把的最大值叫做的“下确界”，例如,则故是的下确界，那么（其中，且不全为的下确界是（）A．２B． C．４D．参考答案：B10. 某班要从A，B，C，D，E五人中选出三人担任班委中三种不同的职务，则上届任职的A，B，C三人都不连任原职务的方法种数为（）A．30 B．32 C．36 D．48参考答案：B【考点】D3：计数原理的应用．【分析】这是一道排列组合问题，可按三人中含A，B，C的人数进行分类，分情况讨论．由题意知选出的三人中A，B，C至少含有一人，因此按含1人，含2人，含3人三种情况分别求解．在求解时应先考虑A，B，C被选中的人的安排，再考虑剩下的人的安排．【解答】解：分类：若ABC全选，则有2种；若ABC选两个，则有=18种；若ABC选一个，则有=12种．根据分类计数原理得共2+18+12=32种方法．故选：B．【点评】本题考查排列组合问题，解排列问题要做到不重不漏，有些题目带有一定的约束条件，解题时要先考虑有限制条件的元素．分类与枚举是计数原理中重要的方法，分类要求标准清晰，不重不漏．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 直线：与曲线交点的个数为_________。
2017-2018学年江苏省无锡市高二(下)期末数学试卷(文科)(解析版)
7． 【解答】解：∵向量 ∴
＝（4，5）﹣（k，2）＝（4﹣k，3） ， ＝（6，k）﹣（4，5）＝（2，k﹣5） ，
∵ ∴
⊥
， ＝（4﹣k）×2+3（k﹣5）＝0，
解得 k＝7． 故答案为：7．
3 2 2
个单位，得到函数 g（x） ．
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2017-2018 学年江苏省无锡市高二 （下） 期末数学试卷 （文 科）
参考答案与试题解析
一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分．不需要写出解答过程，请将答 案填写在答题卡相应的位置上． ） 1． 【解答】解：∵ ∴复数 z 的实部为﹣1． 故答案为：﹣1． 2． 【解答】解：函数 ∴ ∴x＞ ， 故答案为： （ ，+∞） ； 3． 【解答】解：∵函数 f（x）＝x ﹣mx+1 的图象是开口方向朝上， 以直线 x＝ 为对称轴的抛物线， 若函数 f（x）在（﹣∞，1）上单调递减， 则 1≤ ， 即 m≥2． 故答案为：2 4． 【解答】解：某班共有 40 人，有围棋爱好者 22 人，有足球爱好者 38 人，同时爱好这两 项的人数为 m， 如图，设围棋爱好者组成集合 A，足球爱好者组成集合 B，全体学生为全集 U，
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14． （5 分）设函数 点，则实数 m 的取值范围为
，若方程 f（x）﹣mx＝0 恰好有 3 个零
二、解答题（本大题共 6 小题，共计 90 分．请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字 说明，证明过程或演算步骤． ） 15． （14 分）已知复数 ω 在复平面内对应的点位于第二象限，且满足 ω +2ω+4＝0． （1）求复数 ω； （2）设复数 z＝x+yi（x，y∈R）满足：ω•z 为纯虚数，|z|＝2，求 x•y 的值． 16． （14 分）如图，角 α 的终边过点 B（2，4） ，∠BOC＝ （1）求 sinα 和 cosα 的值； （2）求点 C 的坐标． ，OC＝ ．
优质金卷：江苏省无锡市江阴四校2017-2018学年高二下学期期中考试理数试题(解析版)
1．【解析】分析：利用复数除法的运算法则化简复数为的形式，即可得到复数虚部.详解：，则复数的虚部，故答案为.点睛：本题主要考查的是复数的乘法、除法运算，属于中档题．解题时一定要注意和以及 运算的准确性，否则很容易出现错误.2．a 、b 都不能被2整除．【解析】试题分析：先写出要证明题的否定，即为所求．解：根据用反证法证明数学命题的步骤，应先假设要证命题的否定成立，而要证命题的否定为：“a，b 都不能被2整除”，故答案为：a 、b 都不能被2整除．点评：本题主要考查用反证法证明数学命题的方法和步骤，求一个命题的否定，属于中档题．点睛：本题主要考查的是共轭复数的概念与运算以及复数的乘法的运算，属于中档题．解题时一定要注意和4．5【解析】由于n=1时，221n n =+;n=2时，221n n <+;n=3时，221n n <+,n=4时，221n n <+;n=5时，221n n >+.所以当5n ≥时，221n n >+成立5．②【解析】试题分析：小前提是特殊的对象，题中②正方形相对于长方形是特殊对象，因此②是小前提． 考点：演绎推理． 6．1－12＋13－14＋…＋121n -－12n ＝11n +＋12n +＋…＋12n【解析】试题分析：观察等式知：第n 个等式的左边有2n 个数相加减，奇数项为正，偶数项为负，且分子为1，分母是1到2n 的连续正整数，等式的右边是11n +＋12n +＋…＋12n.故答案为1－12＋13－14＋…＋121n-－12n＝11n+＋12n+＋…＋12n.考点：归纳推理.7．【解析】分析：用组成无重复数字的五位奇数，可以看作是个空,要求个位是奇数,其它位置无条件限制,因此先从个奇数中任选个填入个位,其它个数在个位置上全排列即可.详解：要组成无重复数字的五位奇数，则个位只能排中的一个数，共有3种排法，然后还剩个数，剩余的个数可以在十位到万位个位置上全排列，共有种排法，由分步乘法计数原理得，由组成的无重复数字的五位数中奇数有个，故答案为.点睛：本题主要考查分步计数原理及位置有限制的排列问题，属于中档题.元素位置有限制的排列问题有两种方法：（1）先让特殊元素排在没限制的位置；（2）先把没限制的元素排在有限制的位置.点睛：项数的变化规律，是利用数学归纳法解答问题的基础，也是易错点，要使问题顺利得到解决，关键是注意两点：一是首尾两项的变化规律；二是相邻两项之间的变化规律.9．【解析】分析：由组合数性质得，解方程求出，进而能求出的值.详解：，，化简得，，，解得或（舍去），，故答案为.点睛：本题主要考查组合式的运算，解答这类问题，一定注意记忆常见组合式：（1）；（2）；（3）.点睛：本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.11．【解析】分析：根据，，，依次由，分别求出，仔细观察，总结规律，可猜想.详解：，，，由此猜测，故答案为.点睛：归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳. 12．【解析】分析：由等差数列类比等比数列，在运用类比推理时，通常等差数列中的求和类比等比数列中乘积，从而可得结果，.详解：在等差数列得前项和为，因为等差数列中的求和类比等比数列中的乘积， 所以各项均为正的等比数列的前项积，故答案为.点睛：本题主要考查类比推理，属于中档题.类比推理问题，常见的类型有：（1）等差数列与等比数列的类比；（2）平面与空间的类比；（3）椭圆与双曲线的类比；（4）复数与实数的类比；（5）向量与实数的类比. 13．180【解析】()()()()1010101121x x x ⎡⎤+=--=-+-⎣⎦， ()()100111x a a x +=+-()()2102101...1a x a x +-++-， ()288102180a C ∴=⋅-=，故答案为180.【方法点晴】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于中档题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式1r n r r r n T C a b -+=；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.若甲乙都不入选，则从其余6人中选出人，有种，再全排，有种，故共有种，综上所述，共有，故答案为.点睛：本题主要考查分类计数原理与分步计数原理及排列组合的应用，属于难题.有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件.解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率.15．（1）①，②，③；（2）.【解析】分析：(1)①利用赋值，令即可计算的值；②令，结合①即可求出的值；③令，结合二项式系数和即可求出结果；（2）利用二项式系数和，把分解为的倍数形式，从而可得结果.详解：(1)①令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝(3－1)4＝16.②令x＝－1得，a0－a1＋a2－a3＋a4＝(－3－1)4＝256，而由(1)知a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝(3－1)4＝16，两式相加，得a0＋a2＋a4＝136.③令x＝0得a0＝(0－1)4＝1，得a1＋a2＋a3＋a4＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4－a0＝16－1＝15.点睛：本题主要考查二项展开式定理的通项与系数以及各项系数和，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，求二项展开式各项系数和往往利用利用赋值法：（1）令可求得；（2）令结合（1）可求得与的值. 16．（1）；（2）.【解析】分析：（1）利用复数除法的运算法则即可得出；（2）结合（1），利用复数模的几何意义可得在复平面内求满足不等式的点构成的图形是一个圆环，面积圆的方程及其面积计算公式即可得出点构成的图形面积.详解：（1）∵w（1+2i）=4+3i，∴；（2）在复平面内求满足不等式1≤|z﹣w|≤2的点Z构成的图形为一个圆环，其中大圆为：以（2，﹣1）为圆心，2为半径的圆；小圆是：以（2，﹣1）为圆心，1为半径的圆,在复平面内求满足不等式1≤|z﹣w|≤2的点Z构成的图形面积=22π﹣12×π=3π．点睛：复数的模的几何意义是复平面内两点间的距离，所以若，则表示点与点的距离，表示以为圆心，以为半径的圆.17．（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】分析：（1）利用分析法证明，将不等式两边平方整理后，可得，再平方比较与的大小可得答案；（2）本题证明结论中结构较复杂，而其否定结构简单，故可用反证法证明，假设与均不小于，可得，与已知相矛盾，其否定不成立，以此来证明结论成立. 详解：证明： （1）要证，只要证，只要证， 只要证，由于，只要证，最后一个不等式成立，所以（2）（反证法）假设均不小于2，即≥2，≥2，∴1+x≥2y，1+y≥2x．将两式相加得：x+y≤2，与已知x+y ＞2矛盾，故中至少有一个小于2．点睛：本题主要考查利用反证法以及分析法证明不等式，属于难题.分析法证明不等式的主要事项：用分析法证明不等式时，不要把“逆求”错误的作为“逆推”，分析法的过程仅需寻求充分条件即可，而不是充要条件，也就是说，分析法的思维是逆向思维，因此在证题时，应正确使用“要证”、“只需证”这样的连接关键词.18．（1）共有3264•120C C (种)选法；（2）246；（3）191.试题解析：⑴第一步：选3名男运动员，有36C 种选法.第二步：选2名女运动员，有24C 种选法. 共有3264•120C C = (种)选法.⑵“至少1名女运动员”的反面为“全是男运动员”.从10人中任选5人，有510C 种选法，其中全是男运动员的选法有36C 种. 所以“至少有1名女运动员”的选法有55106246C C -= (种).(3)当有女队长时，其他人选法任意，共有49C 种选法.不选女队长时，必选男队长，共有48C 种选法.其中不含女运动员的选法有45C 种，所以不选女队长时共有4485C C -种选法.故既要有队长，又要有女运动员的选法有444985191C C C +-= (种).点睛：做排列组合问题时首先将题意分析清楚，当遇到正面情况比较多时，可以先求其反面然后再求解，对于情况比较多的可以根据元素分析法逐一讨论分析，务必要注意讨论的完整性19．（1）T1=x5和T7=13400 ,（2）,（3）101019-.【解析】231011010101010981 (9)C C C -++++12233101010101010999...99C C C C ++++=01223310101010101010999...919C C C C C +++++-=1010(19)110199+--==（1）由4422(2):(2)56:3n n C C --=解得n=10 （2分）因为通项：55106110((2)r rrr r rr n T C C x --+==- （3分）当5﹣为整数，r 可取0，6 （4分）展开式是常数项，于是有理项为T1=x5和T7=13400 （6分）（2）设第r+1项系数绝对值最大，则1110101110102222r r r r r r r r C C C C --++⎧≥⎪⎨≥⎪⎩ （8分）注：等号不写扣（1分）解得，于是r 只能为7 （10分）所以系数绝对值最大的项为 （11分）考点：二项展开式定理 20．（1）；（2）当时，,当时，，证明见解析. 【解析】分析：（1）根据数列是等差数列，由，利用建立的方程，解之即可；（2）要比较与的大小，可先比较与的大小，利用用数学归纳法证明，可得当时，；当时，.详解：(1) 设数列{b n }的公差为d,由题意得,∴b n=3n－2 .(2)证明：由b n=3n－2知S n=log a(1+1)+log a(1+)+…+log a(1+)=log a［(1+1)(1+)…(1+ )］而log a b n+1=log a,于是，比较S n与log a b n+1的大小比较(1+1)(1+)…(1+)与的大小则当n=k+1时，,即当n=k+1时，(*)式成立由①②知，(*)式对任意正整数n都成立于是，当a＞1时，S n＞log a b n+1,当 0＜a＜1时，S n＜log a b n+1 .点睛：本题主要考查等差数列的通项公式、求和公式、归纳推理的应用以及数学归纳法证明不等式，属于难题.利用数学归纳法证明结论的步骤是:(1)验证时结论成立；（2）假设时结论正确，证明时结论正确（证明过程一定要用假设结论）；（3）得出结论.。
2017-2018学年江苏省无锡市高二(下)期末数学试卷及答案(文科)
2017-2018学年江苏省无锡市高二（下）期末数学试卷（文科）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．）1．（5分）复数（i为虚数单位）的实部为．2．（5分）函数的定义域为．3．（5分）若函数f（x）＝x2﹣mx+1在（﹣∞，1）上单调递减，则m的最小值为．4．（5分）某班共有40人，有围棋爱好者22人，有足球爱好者38人，同时爱好这两项的人数为m，则所有m的可能值构成的集合A＝．5．（5分）若函数y＝sin（ωx+φ）（ω＞0，）的图象相邻最高点与最低点横坐标之差为，且图象过点（0，），则其解析式为．6．（5分）已知复数z1，z2满足|z1|＝|z2|＝|z1+z2|＝1，则|z1﹣z2|＝．7．（5分）设向量＝（k，2），＝（4，5），＝（6，k），且⊥，则k＝．8．（5分）已知sin（x+）＝，则sin（）+tan2（）＝．9．（5分）已知函数f（x）＝|lnx|，若存在两个互不相等的实数a，b，满足f（a）＝f（b），则ab＝．10．（5分）平面上画n条直线，且满足任何2条直线都相交，任何3条直线不共点，则这n 条直线将平面分成个部分．11．（5分）已知，且f（a2﹣3a+1）≤f（a﹣2），则实数a的范围为．12．（5分）已知，，则cos（2α﹣2β）＝13．（5分）如图，正方形ABCD的边长为2，三角形DPC是等腰直角三角形（P为直角顶点），E、F分别为线段CD、AB上的动点（含端点），则的范围为．14．（5分）设函数，若方程f（x）﹣mx＝0恰好有3个零点，则实数m的取值范围为二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．（14分）已知复数ω在复平面内对应的点位于第二象限，且满足ω2+2ω+4＝0．（1）求复数ω；（2）设复数z＝x+yi（x，y∈R）满足：ω•z为纯虚数，|z|＝2，求x•y的值．16．（14分）如图，角α的终边过点B（2，4），∠BOC＝，OC＝．（1）求sinα和cosα的值；（2）求点C的坐标．17．（14分）如图，在△ABC中，AC＝10，BC＝8，且，P为边DE上的中点，＝40．（1）求sin∠ACB的值；（2）求的值．18．（16分）已知函数是奇函数．（1）求m的值；（2）用定义证明：函数f（x）是R上的增函数；（3）若对一切实数x满足f（sin x﹣a2）+f（a+cos2x+1）＞0，求实数a的范围．19．（16分）已知函数f（x）＝sin x，将函数f（x）图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），再将所得函数图象向左平移个单位，得到函数g（x）．（1）求g（x）的解析式；（2）若关于x的方程f（x）+g（x）＝m，x∈（0，π）有4个不同的根，求实数m的取值范围．20．（16分）已知函数f（x）＝ax3+|x﹣a|，a∈R．（1）问：f（x）能否为偶函数？请说明理由；（2）总存在一个区间D，当x∈D时，对任意的实数a，方程f（x）＝0无解，当x∉D时，存在实数a，方程f（x）＝0有解，求区间D．2017-2018学年江苏省无锡市高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．）1．【考点】A5：复数的运算．【解答】解：∵＝，∴复数z的实部为﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．2．【考点】33：函数的定义域及其求法．【解答】解：函数，∴，∴x＞，故答案为：（，+∞）；【点评】此题主要考查函数的定义域及其求法，此题是一道基础题；3．【考点】3V：二次函数的性质与图象．【解答】解：∵函数f（x）＝x2﹣mx+1的图象是开口方向朝上，以直线x＝为对称轴的抛物线，若函数f（x）在（﹣∞，1）上单调递减，则1≤，即m≥2．故答案为：2【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解答的关键．4．【考点】1A：集合中元素个数的最值．【解答】解：某班共有40人，有围棋爱好者22人，有足球爱好者38人，同时爱好这两项的人数为m，如图，设围棋爱好者组成集合A，足球爱好者组成集合B，全体学生为全集U，当A∪B＝U时，同时爱好这两项的人最少，最少为：22+38﹣40＝20，当A⊆B时，A∩B＝A，同时爱好这两项的人最多，最多为22人．故所有m的可能值构成的集合A＝{20，21，22}．故答案为：{20，21，22}．【点评】通过V enn图来求解本题，会比较形象，从Venn图上就能看出两项都爱好的何时最多，何时最少，注意对交集、并集的理解．5．【考点】HK：由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【解答】解：由于其图象相邻最高点与最低点横坐标之差为，∴T＝，又ω＞0，|∴T＝＝π，∴ω＝2；又y＝sin（2x+φ）图象过点（0，），∴sinφ＝，∵|φ|＜，∴φ＝．∴其解析式是y＝sin（2x+）．故答案为：y＝sin（2x+）．【点评】本题考查由y＝A sin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，确定A，ω，φ的值是关键，φ的确定是难点，属于中档题．6．【考点】A8：复数的模．【解答】解：设z1对应的点为Z1，z2对应的点为Z2，由|z1|＝|z2|＝|z1+z2|＝1，可知Z1，Z2在单位圆上，且与所成角为120°，∴，则|z1﹣z2|＝．故答案为：．【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查余弦定理的应用，是基础题．7．【考点】9T：数量积判断两个平面向量的垂直关系．【解答】解：∵向量＝（k，2），＝（4，5），＝（6，k），∴＝（4，5）﹣（k，2）＝（4﹣k，3），＝（6，k）﹣（4，5）＝（2，k﹣5），∵⊥，∴＝（4﹣k）×2+3（k﹣5）＝0，解得k＝7．故答案为：7．【点评】本题考查实数值的求法，考查向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．8．【考点】GP：两角和与差的三角函数．【解答】解：∵sin（x+）＝，∴，且sin（）＝sin[π﹣（x+）]＝sin（x+）＝，∴sin（）+tan2（）＝+＝＝．故答案为：．【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式的应用，是中档题．9．【考点】4N：对数函数的图象与性质．【解答】解：由题意，由函数f（x）＝|lnx|＝存在两个互不相等的实数a，b，满足f（a）＝f（b），设a＜b，那么：0＜a＜1，b＞1可得﹣lna＝lnb即lna+lnb＝0那么：lnab＝ln1．∴ab＝1故答案为：1【点评】本题考查的知识点是对数函数的图象和性质，绝对值的函数图象，难度不大，属于基础题．10．【考点】D3：计数原理的应用．【解答】解：∵a1＝2，a2＝4，a3＝7，a4＝11，注意到a n＝a n﹣1+n（n≥2），因为第n（n≥2）条直线与前n﹣1条直线都相交且不共点，则它被前n﹣1条直线分割成n段，每一段将它所在的原区域一分为二，即在原区域数上增加了n个，故a n＝a n﹣1+n（n≥2）；则a2＝a1+2，a3＝a2+3，a4＝a3+4，…a n＝a n﹣1+n将这n﹣1个式子累加得：a n＝a1+2+3+…+n＝1++1＝．故答案为：．【点评】本题考查的知识点是合情推理﹣﹣归纳推理，其中根据已知分析出a n满足：a n ＝a n﹣1+n（n≥2），是解答的关键．11．【考点】5B：分段函数的应用．【解答】解：根据题意，＝，若f（a2﹣3a+1）≤f（a﹣2），必有，解可得：2≤a≤3，即a的取值范围[2，3]；故答案为：[2，3]．【点评】本题考查分段函数的应用，涉及函数单调性的应用，属于基础题．12．【考点】GP：两角和与差的三角函数．【解答】解：，，∴sin2α+2sinαsinβ+sin2β＝，cos2α+2cosαcosβ+cos2β＝，∴2+2sinαsinβ+2cosαcosβ＝，∴cosαcosβ+sinαsinβ＝﹣，∴cos（α﹣β）＝﹣，∴cos（2α﹣2β）＝2cos2（α﹣β）﹣1＝2×﹣1＝﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查了两角差的余弦公式和二倍角公式的应用问题，是基础题．13．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【解答】解：以A为原点，AB和AD分别为x、y轴建立平面直角坐标系，则A（0，0）、B（2，0）、C（2，2）、D（0，2）、P（1，3）设E（a，2）、F（b，0）（0≤a≤2，0≤b≤2），则＝（a﹣1，﹣1），＝（b﹣1，﹣3），∴•＝（a﹣1，﹣1）•（b﹣1，﹣3）＝（a﹣1）（b﹣1）+3，∵0≤a≤2，0≤b≤2，∴﹣1≤a﹣1≤1，﹣1≤b﹣1≤1，∴﹣1≤（a﹣1）（b﹣1）≤1，∴2≤•≤4故•的取值范围是[2，4]【点评】本题考察了向量数量积、不等式性质、数形结合思想．属难题14．【考点】53：函数的零点与方程根的关系．【解答】解：当x≥1时，方程f（x）﹣mx＝0 变为1﹣mx＝0，解得：x＝；当﹣1＜x＜1时，方程f（x）﹣mx＝0 变为x[log2（x+1）﹣m]＝0，解得：x＝0 或x ＝2m﹣1；因为f（x）﹣mx＝0恰好有3个零点，所以，且﹣1＜2m﹣1＜1解得：0＜m＜1故实数m的取值范围是：0＜m＜1．【点评】本题考查了函数的零点、方程的根．属难题．二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．【考点】A5：复数的运算；A8：复数的模．【解答】解：（1）∵ω2+2ω+4＝0，∴，又复数ω在复平面内对应的点位于第二象限，∴；（2）∵z＝x+yi（x，y∈R），∴ω•z＝（﹣1+）（x+yi）＝﹣x﹣+（）i，∵ω•z为纯虚数，∴﹣x﹣，由|z|＝2，得x2+y2＝4，联立可得x＝﹣，y＝1或x＝，y＝﹣1．∴xy＝﹣．【点评】本题考查一元二次方程的解法，考查复数的基本概念及复数模的求法，是基础题．16．【考点】G9：任意角的三角函数的定义．【解答】解：（1）如图，角α的终边过点B（2，4），∴sinα＝＝，cosα＝＝．（2）又∠BOC＝，OC＝，设C（x，y），则x＝2cos（α+）＝2cosαcos﹣2sinαsin＝2•﹣＝﹣；y＝2sin（α+）＝2sinαcos+2cosαcos＝2•+2＝，故点C的坐标为（﹣，）．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，两角和差的三角公式的应用，属于中档题．17．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【解答】解：（1）∵＝+＝+，∴•＝（+）＝（+•）＝40，∴•＝20，解得：cos C＝，0＜C＜π，∴sin C＝＝；（2）∵＝+＝﹣，＝+＝+，∴•＝（﹣）（+）＝﹣﹣•＝25﹣﹣＝．【点评】本题考查了向量的线性运算，考查三角函数问题，是一道常规题．18．【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断；3R：函数恒成立问题．【解答】解：（1）根据题意，函数是奇函数，且在x＝0处有定义，则f（0）＝1﹣＝0，解可得m＝2；（2）由（1）的结论，f（x）＝1﹣，设x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）＝（1+）﹣（1+）＝，又由x1＜x2，则+1＞0，+1＞0，﹣＜0，则f（x1）﹣f（x2）＜0，则函数f（x）是R上的增函数；（3）根据题意，f（sin x﹣a2）+f（a+cos2x+1）＞0⇒f（sin x﹣a2）＞﹣f（a+cos2x+1），⇒f（sin x﹣a2）＞f[﹣（a+cos2x+1）]，又由函数f（x）是R上的增函数，则（sin x﹣a2）＞﹣（a+cos2x+1），变形可得：a2﹣a＜sin x+2﹣sin2x，令t＝sin x+2﹣sin2x，分析可得：0≤t≤，若对一切实数x满足f（sin x﹣a2）+f（a+cos2x+1）＞0，必有a2﹣a＜sin x+2﹣sin2x对于任意的a、x恒成立，则有a2﹣a＜0，解可得0＜a＜1，即a的取值范围为（0，1）．【点评】本题考查函数的单调性与奇偶性的性质以及应用，关键是求出m的值，属于中档题．19．【考点】HJ：函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换．【解答】解：（1）函数f（x）＝sin x，将f（x）图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），得y＝f（2x）＝sin2x；再将所得函数图象向左平移个单位，得y＝sin2（x+），∴函数g（x）＝sin（2x+）＝cos2x；（2）若关于x的方程f（x）+g（x）＝m，可化为sin x+cos2x＝m，sin x+1﹣2sin2x＝m，其中x∈（0，π）；令sin x＝t，t∈（0，1]；当t＝1是方程2t2﹣t+m﹣1＝0的根时，只有3个根，不符合题意；∴关于x的方程f（x）+g（x）＝m，x∈（0，π）有4个不同的根，等价于关于t的方程2t2﹣t+m﹣1＝0在（0，1）上有两个不同的实数根，令h（t）＝2t2﹣t+m﹣1，则有，解不等式组得实数m的取值范围是1＜m＜．【点评】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了方程与函数的应用问题，是综合题．20．【考点】57：函数与方程的综合运用．【解答】解：（1）f（x）的定义域为R，当a＝0时，f（x）＝|x|为偶函数；当a≠0时，函数f（x）＝ax3+|x﹣a|，f（﹣x）＝﹣ax3+|x+a|，可得f（x）﹣f（﹣x）＝2ax3+|x﹣a|﹣|x+a|，若f（a）﹣f（﹣a）＝2a4﹣2|a|＝0，可得|a|＝1；若f（2a）﹣f（﹣2a）＝16a4﹣2|a|＝0，可得|a|＝，则f（x）﹣f（﹣x）＝2ax3+|x﹣a|﹣|x+a|不可能为0，即f（x）不可能为偶函数；（2）先考虑x≥0，①当a＞0，f（x）＝ax3+|x﹣a|＝0无解；②当a＝0时，f（x）＝|x|，x＝0，显然f（x）＝0；③当a＜0时，f（x）＝ax3+|x﹣a|＝ax3+x﹣a＝0，由x＝1上式不成立，a＝＜0，可得x＞1；即当0＜x≤1时，f（x）≠0；再考虑x≤0，①当a＜0，f（x）＝ax3+|x﹣a|＝0无解；②当a＝0时，f（x）＝|x|，x＝0，显然f（x）＝0；③当a＞0时，f（x）＝ax3+|x﹣a|＝ax3+a﹣x＝0，由x＝﹣1上式不成立，a＝＞0，可得x＜﹣1；即当﹣1≤x＜0时，f（x）≠0；综上可得，D＝[﹣1，0）∪（0，1]．【点评】本题考查函数的奇偶性和函数方程的转化思想，注意运用分类讨论思想方法，考查运算能力，属于中档题．。
江苏省江阴市青阳中学高二(下)期中数学试卷(文科)
2015-2016学年江苏省无锡市江阴市青阳中学高二（下）期中数学试卷（文科）一、填空题（共14题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题纸相应位置上）1．已知集合A={x|=0}，则集合A的子集的个数为．2．命题“若α=，则tan α=1”的逆否命题是．3．已知i为虚数单位，||=2，则正实数a=．4．函数的定义域是；值域是．5．由①正方形的对角线相等；②矩形的对角线相等；③正方形是矩形．写一个“三段论”形式的推理，则作为大前提、小前提和结论的依次为（写序号）．6．函数的增区间是．7．若函数f（x）=（m﹣1）xα是幂函数，则函数g（x）=log a（x﹣m）（其中a＞0，a≠1）的图象过定点A的坐标为．8．已知命题p：|x﹣1|＜2和命题q：﹣1＜x＜m+1，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围．9．若x∈（e﹣1，1），a=lnx，b=（）lnx，c=e lnx，则a，b，c的大小关系为．10．若f（x）为R上的奇函数，且在（﹣∞，0）内是增函数，又f（﹣2）=0，则xf（x）＜0的解集为．11．已知函数f（x）是R上的偶函数，若对于x≥0，都有f（x+2）=﹣f（x），且当x∈4，81，+∞）上的最小值为﹣2，求实数m的值．2015-2016学年江苏省无锡市江阴市青阳中学高二（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题（共14题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题纸相应位置上）1．已知集合A={x|=0}，则集合A的子集的个数为2个．【考点】子集与真子集；集合的表示法．【分析】求出集合A中的元素，从而求出集合A的子集的个数即可．【解答】解：由=0，得：，解得：x=2，故A={2}，故A的子集为∅，{2}，共2个，故答案为：2个．2．命题“若α=，则tan α=1”的逆否命题是若tanα≠1，则α≠．【考点】四种命题．【分析】根据命题“若p，则q”的逆否命题是“若￢q，则￢p”，可写出答案．【解答】解：命题“若α=，则tan α=1”的逆否命题是“若tanα≠1，则”．故答案为：若tanα≠1，则．3．已知i为虚数单位，||=2，则正实数a=．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【解答】解：∵==1﹣ai，||=2，∴=2，化为a2=3，a＞0，解得a=．故答案为：．4．函数的定义域是0，1）．【考点】函数的定义域及其求法；函数的值域；指数函数的定义、解析式、定义域和值域．【分析】根据指数函数y=的性质，只要解不等式1﹣≥0，即可求得定义域；欲求值域，还是要依据指数函数y=的性质求解即可．【解答】解：∵1﹣≥0，∴x≥0，故定义域是0，1）故答案为：0，1）．5．由①正方形的对角线相等；②矩形的对角线相等；③正方形是矩形．写一个“三段论”形式的推理，则作为大前提、小前提和结论的依次为②③①（写序号）．【考点】演绎推理的意义．【分析】由题意，根据三段论的形式“大前提，小前提，结论”直接写出答案即可【解答】解：用三段论的形式写出的演绎推理是：大前提②矩形的对角线相等，小前提③正方形是矩形，结论①正方形的对角线相等，故答案为：②③①6．函数的增区间是（﹣∞，1）．【考点】函数的单调性及单调区间．【分析】先求函数的定义域，再根据复合函数的同增异减性确定增区间．【解答】解：的定义域为：（﹣∞，1）∪（2，+∞）令z=x2﹣3x+2 则原函数可以写为：y=是单调递减函数故原函数的增区间为：（﹣∝，1）故答案为：（﹣∝，1）7．若函数f（x）=（m﹣1）xα是幂函数，则函数g（x）=log a（x﹣m）（其中a＞0，a≠1）的图象过定点A的坐标为（3，0）．【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【分析】根据幂函数的定义求出m的值，结合对数函数的性质求出A的坐标即可．【解答】解：若函数f（x）=（m﹣1）xα是幂函数，则m=2，则函数g（x）=log a（x﹣m）=（其中a＞0，a≠1），令x﹣2=1，解得；x=3，g（x）=0，其图象过定点A的坐标为（3，0），故答案为：（3，0）．8．已知命题p：|x﹣1|＜2和命题q：﹣1＜x＜m+1，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围（2，+∞）．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】命题p：|x﹣1|＜2，化为﹣2＜x﹣1＜2，解出x的范围．根据p是q的充分不必要条件，即可得出．【解答】解：命题p：|x﹣1|＜2，化为﹣2＜x﹣1＜2，解得﹣1＜x＜3．命题q：﹣1＜x＜m+1，由p是q的充分不必要条件，∴3＜m+1，解得m＞2．则实数m的取值范围（2，+∞）．故答案为：（2，+∞）．9．若x∈（e﹣1，1），a=lnx，b=（）lnx，c=e lnx，则a，b，c的大小关系为b＞c＞a．【考点】对数函数的图象与性质．【分析】根据指数幂和对数的性质进行判断即可．【解答】解：∵x∈（e﹣1，1），∴lnx∈（﹣1，0），则函数f（t）=t lnx，为减函数，∴f（）＞f（e）＞0，即b＞c＞a，故答案为：b＞c＞a；10．若f（x）为R上的奇函数，且在（﹣∞，0）内是增函数，又f（﹣2）=0，则xf（x）＜0的解集为（﹣2，0）∪（0，2）．【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】根据函数的奇偶性求出f（2）=0，xf（x）＜0分成两类，分别利用函数的单调性进行求解．【解答】解：∵f（x）为奇函数，且满足f（﹣2）=0，且在（﹣∞，0）上是增函数，∴f（﹣2）=﹣f（2）=0，f（x）在（0，+∞）内是增函数∵xf（x）＜0，∴或根据在（﹣∞，0）内是增函数，在（0，+∞）内是增函数解得：x∈（﹣2，0）∪（0，2）．故答案为：（﹣2，0）∪（0，2）．11．已知函数f（x）是R上的偶函数，若对于x≥0，都有f（x+2）=﹣f（x），且当x∈0，2）时的解析式便可求出f（1）+f（2）的值，从而得出答案．【解答】解：f（x）=﹣f（x+2）=﹣=f（x+4）；∴x≥0时，f（x）是周期为4的函数；又f（x）为偶函数；∴f（﹣2013）+f+f+f（2+503×4）=f（1）+f（2）=f（1）+f（﹣2）=f（1）﹣f（0）=log82﹣log81=．故答案为：．12．已知函数f（x）=log a（2x﹣a）在区间上恒有f（x）＞0，则实数a的取值范围是．【考点】对数函数的单调性与特殊点；对数函数的值域与最值．【分析】先利用对数函数的图象性质，即“底、真同，对数为正”的特点，将数f（x）=log a（2x﹣a）在区间上恒有f（x）＞0问题转化为在区间上恒成立或在区间上恒成立，通过解决一次不等式恒成立问题即可得解【解答】解：由对数函数的图象性质，f（x）=log a（2x﹣a）＞0⇔或由在区间上恒成立，得即a∈∅由在区间上恒成立，得即a∈故答案为13．已知函数f（x）=，若关于x的方程f2（x）﹣af（x）=0恰有5个不同的实数解，则a的取值范围是（0，1）．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】作f（x）的图象，从而由f2（x）﹣af（x）=f（x）（f（x）﹣a）=0可得f（x）=a有三个不同的解，从而结合图象解得．【解答】解：作f（x）的图象如下，，f2（x）﹣af（x）=f（x）（f（x）﹣a）=0，∴f（x）=0或f（x）=a；∵f（x）=0有两个不同的解，故f（x）=a有三个不同的解，故a∈（0，1）；故答案为：（0，1）．14．设函数f（x）的定义域为D，若存在非零实数l使得对于任意x∈M（M⊆D），有x+t∈D，且f （x+t）≥f（x），则称f（x）为M上的t高调函数．如果定义域为R的函数f（x）是奇函数，当x ≥0时，f（x）=|x﹣a2|﹣a2，且f（x）为R上的4高调函数，那么实数a的取值范围是﹣1≤a≤1．【考点】函数单调性的性质．【分析】根据分段函数的意义，对f（x）的解析式分段讨论，可得其分段的解析式，结合其奇偶性，可得其函数的图象；进而根据题意中高调函数的定义，可得若f（x）为R上的4高调函数，则对任意x，有f（x+4）≥f（x），结合图象分析可得4≥4a2；解可得答案．【解答】解：根据题意，当x≥0时，f（x）=|x﹣a2|﹣a2，则当x≥a2时，f（x）=x﹣2a2，0≤x≤a2时，f（x）=﹣x，由奇函数对称性，有则当x≤﹣a2时，f（x）=x+2a2，﹣a2≤x≤0时，f（x）=﹣x，图象如图：易得其图象与x轴交点为M（﹣2a2，0），N（2a2，0）因此f（x）在是减函数，其余区间是增函数．f（x）为R上的4高调函数，则对任意x，有f（x+4）≥f（x），故当﹣2a2≤x≤0时，f（x）≥0，为保证f（x+4）≥f（x），必有f（x+4）≥0；即x+4≥2a2；有﹣2a2≤x≤0且x+4≥2a2可得4≥4a2；解可得：﹣1≤a≤1；故答案为﹣1≤a≤1．二、解答题：（本大题共6小题，共90分）15．设复数z=a+bi（a，b∈R，a＞0，i是虚数单位），且复数z满足|z|=，复数（1+2i）z在复平面上对应的点在第一、三象限的角平分线上．（1）求复数z；（2）若为纯虚数（其中m∈R，），求实数m的值．【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义．【分析】（1）由得：a2+b2=10．①，又复数（1+2i）z在复平面上对应的点在第一、三象限的角平分线上得a=﹣3b．②，由①②联立方程组解得a，b的值，则复数z可求．（2）由利用复数代数形式的乘除运算化简，再由纯虚数的条件得到实部等于零，虚部不等于零即可求出实数m的值．【解答】解：（1）设z=a+bi（a，b∈R，a＞0），由得：a2+b2=10．①又复数（1+2i）z=（1+2i）（a+bi）=（a﹣2b）+（2a+b）i在复平面上对应的点在第一、三象限的角平分线上，则a﹣2b=2a+b即a=﹣3b．②由①②联立方程组，解得或．∵a＞0，∴a=3，b=﹣1．∴z=3﹣i；（2）由，可得==，∵为纯虚数，∴，解得m=﹣5．16．设命题p：关于x的函数y=（a﹣1）x为增函数；命题q：不等式﹣x2+2x﹣2≤a对一切实数均成立．若命题“p或q”为真命题，且“p且q”为假命题，求实数a的取值范围．【考点】复合命题的真假．【分析】利用一次函数与二次函数的单调性分别化简命题p，q，由命题“p或q”为真，且“p且q”为假，可得命题p、q一真一假．即可得出．【解答】解：当命题p为真命题时，a＞1．当命题q为真命题时，由﹣x2+2x﹣2=﹣（x﹣1）2﹣1≤﹣1，∴a≥﹣1．由命题“p或q”为真，且“p且q”为假，可得命题p、q一真一假．①当p真q假时，则，无解；②当p假q真时，则，得﹣1≤a≤1，∴实数a的取值范围是．17．若x＞0，y＞0，且x+y＞2，（1），，时，分别比较和与2的大小关系；（2）依据（1）得出的结论，归纳提出一个满足条件x、y都成立的命题并证明．【考点】反证法的应用；归纳推理．【分析】（1）分别代入，计算，即可得出结论；（2）利用反证法，证明即可．【解答】解：（1）当，时，=1+2=3＞2，==1＜2；当时，==8＞2，=＜2；当时，=＜2，=＜2（2）命题：若x＞0，y＞0且x+y＞2，则，至少有一个小于2．证明：假设≥2，≥2，∵x＞0，y＞0，∴1+y≥2x，1+x≥2y．∴2+x+y≥2x+2y，∴x+y≤2．这与已知x+y＞2矛盾．假设不成立．∴和中至少有一个小于2．18．在一次水下考古活动中，潜水员需潜入水深为30米的水底进行作业．其用氧量包含以下三个方面：①下潜时，平均速度为每分钟x米，每分钟的用氧量为升；②水底作业需要10分钟，每分钟的用氧量为0.3升；③返回水面时，速度为每分钟米，每分钟用氧量为0.2升；设潜水员在此次考古活动中的总用氧量为y升．（1）将y表示为x的函数；（1）若x∈，求总用氧量y的取值范围．【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（1）通过速度、时间与路程之间的关系可知下潜所需时间为分钟、返回所需时间为分钟，进而列式可得结论；（2）通过基本不等式可知及x∈可知在上单调递减、在上单调递增，比较当x=4、8时的取值情况即得结论．【解答】解：（1）依题意，下潜所需时间为分钟；返回所需时间为分钟，∴，整理得：（x＞0）；（2）由基本不等式可知，当且仅当即x=6时取等号，因为x∈，所以在上单调递减、在上单调递增，所以当x=6时，y取最小值7，又因为当x=4时；当x=8时，所以y的取值范围是：．19．已知函数f（x）=（a﹣1）x a（a∈R），g（x）=|lgx|．（Ⅰ）若f（x）是幂函数，求a的值并求其单调递减区间；（Ⅱ）关于x的方程g（x﹣1）+f（1）=0在区间（1，3）上有两不同实根x1，x2（x1＜x2），求a++的取值范围．【考点】幂函数的性质；幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【分析】（Ⅰ）根据幂函数的定义，求出a的值，即得f（x）的解析式与单调递减区间；（Ⅱ）把方程化为g（x﹣1）=1﹣a，利用函数y=g（x﹣1）与y=1﹣a在x∈（1，3）的图象上有二交点，得出a的取值范围以及x1，x2的关系，从而求出a++的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=（a﹣1）x a（a∈R），f（x）是幂函数，∴由题有a﹣1=1，得a=2；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣2’∴f（x）=x2的单调递减区间为（﹣∞，0）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣4’（Ⅱ）方程g（x﹣1）+f（1）=0化为g（x﹣1）=1﹣a，由题意函数y=g（x﹣1）与y=1﹣a在x∈（1，3）上有两不同交点．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣5’y=g（x﹣1）=|lg（x﹣1）|=；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣7’在x∈（1，20，+∞），在x∈0，lg2），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣9’所以0＜1﹣a＜lg2，即1﹣lg2＜a＜1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣11’由x1＜x2，可知x1∈（1，2），x2∈（2，3），且即相加消去a，可得lg（x1﹣1）+lg（x2﹣1）=0，即（x1﹣1）（x2﹣1）=1，展开并整理得x1x2=x1+x2，即+=1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣14’所以a++的取值范围为（2﹣lg2，2）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣16’20．设函数f（x）=ka x﹣a﹣x（a＞0且a≠1）是奇函数．（1）求常数k的值；（2）若a＞1，试判断函数f（x）的单调性，并加以证明；（3）若已知f（1）=，且函数g（x）=a2x+a﹣2x﹣2mf（x）在区间hslx3y3h1，+∞）上的最小值为﹣2，求实数m的值．【考点】函数奇偶性的性质；函数单调性的判断与证明．【分析】（1）根据函数的奇偶性的性质，建立方程即可求常数k的值；（2）当a＞1时，f（x）在R上递增．运用单调性的定义证明，注意作差、变形和定符号、下结论几个步骤；（3）根据f（1）=，求出a，然后利用函数的最小值建立方程求解m．【解答】解：（1）∵f（x）=ka x﹣a﹣x（a＞0且a≠1）是奇函数．∴f（0）=0，即k﹣1=0，解得k=1．（2）∵f（x）=a x﹣a﹣x（a＞0且a≠1），当a＞1时，f（x）在R上递增．理由如下：设m＜n，则f（m）﹣f（n）=a m﹣a﹣m﹣（a n﹣a﹣n）=（a m﹣a n）+（a﹣n﹣a﹣m）=（a m﹣a n）（1+），由于m＜n，则0＜a m＜a n，即a m﹣a n＜0，f（m）﹣f（n）＜0，即f（m）＜f（n），则当a＞1时，f（x）在R上递增．（3）∵f（1）=，∴a﹣=，即3a2﹣8a﹣3=0，解得a=3或a=﹣（舍去）．∴g（x）=32x+3﹣2x﹣2m（3x﹣3﹣x）=（3x﹣3﹣x）2﹣2m（3x﹣3﹣x）+2，令t=3x﹣3﹣x，∵x≥1，∴t≥f（1）=，∴（3x﹣3﹣x）2﹣2m（3x﹣3﹣x）+2=（t﹣m）2+2﹣m2，当m时，2﹣m2=﹣2，解得m=2，不成立舍去．当m时，（）2﹣2m×+2=﹣2，解得m=，满足条件，∴m=．2016年8月2日。
2017-2018年江苏省无锡市江阴市南菁高中12、13班高二(下)期中数学试卷和答案
2017-2018学年江苏省无锡市江阴市南菁高中12、13班高二（下）期中数学试卷一、填空题（本题包括14小题，每题5分，共70分，请将答案填在答卷相应题号处）1．（5分）设复数z满足（1+i）z=2i，则|z|=．2．（5分）幂函数y=f（x）的图象经过点（9，3），则此幂函数的解析式为f（x）=．3．（5分）函数f（x）=lg（x+1）+的定义域为．4．（5分）函数的增区间是．5．（5分）设lg2=a，lg3=b，则log512=．（用a，b表示）6．（5分）已知a＞0，a≠1，函数的值域是．7．（5分）若log a＜1，则a的取值范围是．8．（5分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，并满足，当1≤x ≤2时f（x）=x﹣2，则f（6.5）等于．9．（5分）已知函数f（x）=满足对任意x1≠x2，都有＜0成立，则a的取值范围是．10．（5分）已知定义域为{x|x≠0}的函数f（x）为偶函数，且f（x）在区间（﹣∞，0）上是增函数，若f（﹣3）=0，则＜0的解集为．11．（5分）若直线y=2a与函数y=|a x﹣1|（a＞0且a≠1）的图象有两个公共点，则a的取值范围是．12．（5分）已知函数f（x）=|lgx|，若0＜a＜b且f（a）=f（b），则a+2b的取值范围为．13．（5分）对于任意实数a，b，c，定义min{a，b，c}表示a，b，c中的最小者，设函数f（x）=﹣x+2，g（x）=x2，则函数min{f（x），g（x），h（x）}的最大值是．14．（5分）设a＞0且a≠1，函数在[3，5]上是单调增函数，则实数a的取值范围为．二、解答题（本题包括6大题，共90分，请作答在答卷相应题号处）15．（14分）已知集合A={x|（x+4）（x﹣2）＞0}，B={y|y=x2﹣2x+2，x∈R}，C={x|﹣4≤x≤a}．（Ⅰ）求A∩B；（Ⅱ）若∁R A⊆C，求实数a的取值范围．16．（14分）设函数f（x）=（）|x﹣1|，x∈R（1）请画出函数f（x）的大致图象；（2）若要使不等式f（x+1）+f （2x+1）+k≤0有解，试求实数k的取值范围．17．（14分）有甲、乙两种商品，经营销售这两种商品所得的利润依次为M万元和N万元，它们与投入资金x万元的关系可由经验公式给出：M=，N=（x≥1）．今有8万元资金投入经营甲、乙两种商品，且乙商品至少要求投资1万元，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入分别是多少？共能获得多大利润？18．（16分）设函数是定义在（﹣1，1）上的奇函数，且．（1）求函数f（x）的解析式（2）用单调性定义证明f（x）在（﹣1，1）上是增函数（3）解不等式f（|t|﹣1）+f（t2）＜f（0）19．（16分）已知a∈R，函数f（x）=x|x﹣2a|．（1）当a=1时，写出函数y=f（x）的单调递增区间；（2）当a＞2时，求函数y=f（x）在区间[1，2]上的最小值；（3）设a≠0，若函数y=f（x）在（m，n）上既有最大值又有最小值，请分别求出m、n的取值范围．（用a表示）20．（16分）已知函数f k（x）=a x﹣（k﹣1）a﹣x（k∈Z，a＞0，a≠1，x∈R），g （x）=．（1）若a＞1时，判断并证明函数y=g（x）的单调性；（2）若y=f1（x）在[1，2]上的最大值比最小大2，证明函数y=g（x）的奇函数；（3）在（2）条件下，函数y=f0（2x）+2mf2（x）在x∈[1，+∞）有零点，求实数m的取值范围．2017-2018学年江苏省无锡市江阴市南菁高中12、13班高二（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本题包括14小题，每题5分，共70分，请将答案填在答卷相应题号处）1．（5分）设复数z满足（1+i）z=2i，则|z|=．【解答】解：由（1+i）z=2i，得，则|z|=．故答案为：．2．（5分）幂函数y=f（x）的图象经过点（9，3），则此幂函数的解析式为f（x）=，x≥0．【解答】解：设幂函数为：f（x）=x a，幂函数y=f（x）的图象经过点（9，3），可得3=9a，解得a=，幂函数的解析式为：f（x）=，x≥0．故答案为：，x≥0．3．（5分）函数f（x）=lg（x+1）+的定义域为（﹣1，3]．【解答】解：由，解得：﹣1＜x≤3．∴函数f（x）=lg（x+1）+的定义域为（﹣1，3]．故答案为：（﹣1，3]．4．（5分）函数的增区间是（2，+∞）．【解答】解：函数的定义域为{x|x2+x﹣6≥0}化简，得x≤﹣3或x≥2∵t（x）=x2+x﹣6图象是开口向上的抛物线，区间（2，+∞）在对称轴x=的右侧，∴t（x）区间（2，+∞）上是增函数∵函数y=是（0，+∞）上的增函数，∴函数的增区间是（2，+∞）故答案为：（2，+∞）5．（5分）设lg2=a，lg3=b，则log512=．（用a，b表示）【解答】解：log512==．故答案为：．6．（5分）已知a＞0，a≠1，函数的值域是（﹣1，1）．【解答】解：=．∵a x+1＞1，∴0＜＜2，则y=∈（﹣1，1）．故答案为（﹣1，1）．7．（5分）若log a＜1，则a的取值范围是．【解答】解：当a＞1时，，成立．当1＞a＞0时，∵，∴0＜a＜．综上可得，a的取值范围是．故答案为：．8．（5分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，并满足，当1≤x ≤2时f（x）=x﹣2，则f（6.5）等于﹣0.5．【解答】解：∵∴f（x+4）=f[（x+2）+2]=﹣，即函数的周期为4∵f（x）是定义在R上的偶函数，则有f（﹣x）=f（x）∴f（6.5）=f（2.5）=f（﹣1.5）=f（1.5）=﹣0.5故答案为：﹣0.59．（5分）已知函数f（x）=满足对任意x1≠x2，都有＜0成立，则a的取值范围是（0，]．【解答】解：∵对任意x1≠x2，都有＜0成立；∴f（x1）﹣f（x2）与x1﹣x2异号，即x1﹣x2＜0时，f（x1）﹣f（x2）＞0，即x1＜x2时，f（x1）＞f（x2）；∴函数f（x）在R上是减函数；∴x＜0时，f（x）=a x，0＜a＜1；x≥0时，f（x）=（a﹣3）x+4a，a﹣3＜0，a＜3，又a x＞1，（a﹣3）x+4a）max=4a ≤1，∴；又0＜a＜1，∴0＜a≤；∴a的取值范围是．故答案为：．10．（5分）已知定义域为{x|x≠0}的函数f（x）为偶函数，且f（x）在区间（﹣∞，0）上是增函数，若f（﹣3）=0，则＜0的解集为（﹣3，0）∪（3，+∞）．【解答】解：∵f（x）是偶函数，且在区间（﹣∞，0）上是增函数，若f（﹣3）=0，∴在区间（0，+∞）上是减函数，且f（3）=0，则f（x）对应的图象如图：不等式＜0等价为或，则x＞3或﹣3＜x＜0，即不等式的解集为（﹣3，0）∪（3，+∞），故答案为：（﹣3，0）∪（3，+∞）11．（5分）若直线y=2a与函数y=|a x﹣1|（a＞0且a≠1）的图象有两个公共点，则a的取值范围是0＜a＜．【解答】解：①当0＜a＜1时，作出函数y=|a x﹣1|图象：若直线y=2a与函数y=|a x﹣1|（a＞0且a≠1）的图象有两个公共点由图象可知0＜2a＜1，∴0＜a＜．②：当a＞1时，作出函数y=|a x﹣1|图象：若直线y=2a与函数y=|a x﹣1|（a＞0且a≠1）的图象有两个公共点由图象可知0＜2a＜1，此时无解．综上：a的取值范围是0＜a＜．故答案为：0＜a＜12．（5分）已知函数f（x）=|lgx|，若0＜a＜b且f（a）=f（b），则a+2b的取值范围为（3，+∞）．【解答】解：画出y=|lgx|的图象如图：∵0＜a＜b，且f（a）=f（b），∴|lga|=|lgb|且0＜a＜1，b＞1∴﹣lga=lgb即ab=1∴y=a+2b=a+，a∈（0，1）∵y=a+在（0，1）上为减函数，∴y＞1+2=3∴a+2b的取值范围是（3，+∞）故答案为：（3，+∞）13．（5分）对于任意实数a，b，c，定义min{a，b，c}表示a，b，c中的最小者，设函数f（x）=﹣x+2，g（x）=x2，则函数min{f（x），g（x），h（x）}的最大值是4．【解答】解：由题意可得函数min{f（x），g（x），h（x）}=，画出函数y=min{f（x），g（x），h（x）}的图象，由图象可得x=﹣2时，函数y取得最大值4，故答案为：4．14．（5分）设a＞0且a≠1，函数在[3，5]上是单调增函数，则实数a的取值范围为{a|a＞1，或≤a＜}．【解答】解：∵a＞0且a≠1，在[3，5]上，函数=log a|x•（ax ﹣1）|是单调增函数，当a＞1时，y=x•（ax﹣1）在[3，5]上是单调增函数，且y＞0，满足f（x）是增函数；当0＜a＜1时，要使f（x）在[3，5]上是单调增函数，需，求得≤a＜．综上可得，a＞1，或≤a＜，故答案为：{a|a＞1，或≤a＜}．二、解答题（本题包括6大题，共90分，请作答在答卷相应题号处）15．（14分）已知集合A={x|（x+4）（x﹣2）＞0}，B={y|y=x2﹣2x+2，x∈R}，C={x|﹣4≤x≤a}．（Ⅰ）求A∩B；（Ⅱ）若∁R A⊆C，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）A={x|（x+4）（x﹣2）＞0}={x|x＜﹣4或x＞2}；B={y|y=x2﹣2x+2，x∈R}={y|y≥1}；∴A∩B={x|x＞2}；（Ⅱ）∁R A={x|﹣4≤x≤2}；∁R A⊆C，C={x|﹣4≤x≤a}，∴a≥2．16．（14分）设函数f（x）=（）|x﹣1|，x∈R（1）请画出函数f（x）的大致图象；（2）若要使不等式f（x+1）+f （2x+1）+k≤0有解，试求实数k的取值范围．【解答】解：（1）f（x）=（）|x﹣1|=，则对应的图象如图：（2）要使不等式f（x+1）+f （2x+1）+k≤0有解，即不等式f（x+1）+f （2x+1）≤﹣k有解即可，设g（x）=f（x+1）+f （2x+1），则g（x）=（）|x|+（）|2x|=）=（）|x|+[（）|x|]2，设t=（）|x|，则0＜t≤1，则g（x）等价为t2+t=（t+）2﹣∈（0，2]，要使g（x））≤﹣k有解，则﹣k＞0，即k＜0，即实数k的取值范围是（﹣∞，0）．17．（14分）有甲、乙两种商品，经营销售这两种商品所得的利润依次为M万元和N万元，它们与投入资金x万元的关系可由经验公式给出：M=，N=（x≥1）．今有8万元资金投入经营甲、乙两种商品，且乙商品至少要求投资1万元，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入分别是多少？共能获得多大利润？【解答】解：设投入乙种商品的资金为x万元，则投入甲种商品的资金为（8﹣x）万元，…（2分）共获利润…（6分）令（0≤t≤），则x=t2+1，∴…（10分）故当t=时，可获最大利润万元．…（12分）此时，投入乙种商品的资金为万元，投入甲种商品的资金为万元．…（14分）18．（16分）设函数是定义在（﹣1，1）上的奇函数，且．（1）求函数f（x）的解析式（2）用单调性定义证明f（x）在（﹣1，1）上是增函数（3）解不等式f（|t|﹣1）+f（t2）＜f（0）【解答】解：（1）函数f（x）=是定义在（﹣1，1）上的奇函数，∴f（0）=b=0，∴f（x）=，而f（）==，解得a=1，∴f（x）=，x∈（﹣1，1）；（2）函数f（x）=在（﹣1，1）上为增函数；证明如下：任意x1，x2∈（﹣1，1）且x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=﹣=，因为x1＜x2，所以x1﹣x2＜0，又因为x1，x2∈（﹣1，1），所以1﹣x1x2＞0，所以f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），所以函数f（x）在（﹣1，1）上为增函数；（3）由题意，不等式f（|t|﹣1）+f（t2）＜f（0）可化为f（|t|﹣1）+f（t2）＜0，即解不等式f（t2）＜﹣f（|t|﹣1），所以f（t2）＜f（1﹣|t|），所以，解得﹣1＜t＜且t≠0，所以该不等式的解集为（﹣1，0）∪（0，）．19．（16分）已知a∈R，函数f（x）=x|x﹣2a|．（1）当a=1时，写出函数y=f（x）的单调递增区间；（2）当a＞2时，求函数y=f（x）在区间[1，2]上的最小值；（3）设a≠0，若函数y=f（x）在（m，n）上既有最大值又有最小值，请分别求出m、n的取值范围．（用a表示）【解答】解：（1）当a=1时，f（x）=x|x﹣2|=，∵f（x）=（x﹣1）2﹣1的图象时开口向上，对称轴x=1的抛物线，f（x）=﹣（x﹣1）2+1的图象时开口向下，对称轴x=1的抛物线，∴当x≤1时或x≥2时，y=f（x）单调递增，故函数y=f（x）的单调递增区间为：（﹣∞，1]∪[2，+∞）；（2）∵a＞2，x∈[1，2]，∴f（x）=x（2a﹣x）=﹣x2+2ax=﹣（x﹣a）2+a2，又∵区间[1，2]在x=a的左边，∴f（x）min=f（1）=2a﹣1；（3）依题意，f（x）=，①当a＞0时，如下图左所示，由，解得：x=（1+）a，∴0≤m＜a，2a＜n≤（1+）a；②当a＜0时，如下图右所示，由，解得：x=（1+）a，∴（1+）a≤m＜2a，a＜n≤0．20．（16分）已知函数f k（x）=a x﹣（k﹣1）a﹣x（k∈Z，a＞0，a≠1，x∈R），g （x）=．（1）若a＞1时，判断并证明函数y=g（x）的单调性；（2）若y=f1（x）在[1，2]上的最大值比最小大2，证明函数y=g（x）的奇函数；（3）在（2）条件下，函数y=f0（2x）+2mf2（x）在x∈[1，+∞）有零点，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）g（x）===1﹣，若a＞1，a x+a﹣x＞0恒成立，∴g（x）是R上的增函数，证明如下：任取x1＜x2，g（x1）﹣g（x2）=，∵a＞1，x1＜x2，∴+1＞0，﹣＜0，故g（x1）＜g（x2），g（x）在R递增；（2）由题意y=f1（x）=a x，a＞1时，a2﹣a=2，解得：a=2或a=﹣1（舍），当0＜a＜1时，a﹣a2=2，无解，综上，a=2，由（1）得：此时g（x）=的定义域是R，定义域关于原点对称，g（﹣x）==﹣g（x），∴g（x）是奇函数；（3）在（2）的条件下，f0（2x）+2mf2（x）=22x+2﹣2x+2m（2x﹣2﹣x），∵x∈[1，+∞），∴2x﹣2﹣x＞0，故条件等价于﹣2m=在x∈[1，+∞）有零点，令p=2x，则p≥2，令t=p﹣，则t在p∈[2，+∞）递增，∴t≥，﹣2m=，设h（t）==t+，任取t1＞t2≥，则t1﹣t2＞0，t1•t2＞，h（t1）﹣h（t2）=t1+﹣（t2+）=＞0，∴h（t）在t∈[，+∞）递增，h（t）≥，即﹣2m≥，∴m≤﹣．。
【数学】高三数学下学期期中试题文苏教版
【关键字】数学江苏省青阳高级中学高三数学（文科）期中考试一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）已知集合，则▲．已知，那么复数▲.已知，则▲．已知等比数列中，各项都是正数，且成等差数列，则等于▲．“直线：与直线：平行”的充要条件是▲．从这五个数中任取两个数，这两个数的和是奇数的概率为▲．已知点是双曲线上的点，该点关于实轴的对称点为，则=▲．不等式的解集是▲．用半径为cm，面积为cm2的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器（衔接部分忽略不计），则该容器盛满水时的体积是▲．若函数在（0，1）内有极小值，则实数b的取值范围是▲．函数，在区间上单调递增，则实数的取值范围为▲．直线与曲线有3个公共点时，实数的取值范围是▲．已知实数，直线与抛物线和圆从左到右的交点依次为则的值为▲．设函数的定义域为D，如果存在正实数，使对任意，都有，且恒成立，则称函数为D上的“型增函数”．已知是定义在R上的奇函数，且当时，，若为R上的“型增函数”，则实数的取值范围是▲．二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）（本小题14分）已知，，且// ．设函数．（1）求函数的解析式．（2）若在锐角中，，边，求周长的最大值．（本小题14分）在正三棱柱中，点是的中点，．（1）求证：∥平面；（2）试在棱上找一点，使．（本小题15分）某销售商销售某品牌手机，该品牌手机进价为每部1580元，零售价为每部1880元．为促进销售，拟采用买一部手机赠送一定数量礼物的方法，且赠送礼物的价值不超过180元．统计表明：在促销期间，礼物价值每增加15元（礼物的价值都是15元的整数倍，如礼物价值为30元，可视为两次增加15元，其余类推），销售量都增加11%．（1）当赠送礼物的价值为30元时，销售的总成本变为原来不赠送礼物时的多少倍？（2）试问赠送礼物的价值为多少元时，商家可获得最大成本？ （本小题15分） 已知椭圆C ：，点A 、B 分别是椭圆C 的左顶点和上顶点，直线AB 与圆G ： （是椭圆的焦半距）相离，P 是直线AB 上一动点，过点P 作圆G 的两切线，切点分别为M 、N ． （1）若椭圆C 经过两点、，求椭圆C 的方程；（2）当为定值时，求证：直线MN 经过一定点E ，并求的值（O 是坐标原点）； （3）若存在点P 使得△PMN 为正三角形，试求椭圆离心率的取值范围．（本小题16分）已知定义在上的函数和数列满足下列条件：，，当时，，且存在非零常数使恒成立． （1）若数列是等差数列，求的值；（2）求证：数列为等比数列的充要条件是． （3）已知，，且（），数列的前项是，对于给定常数，若的值是一个与无关的量，求的值． 20．（本小题满分16分）已知定义在实数集上的函数，其导函数记为，且满足，为常数，． （1）试求的值； （2）记函数，，若的最小值为6，求实数的值； （3）对于（2）中的，设函数，（）是函数图象上两点，若，试判断的大小，并加以证明． 参考答案 1． 2． 3． 4． 5． 6． 7．2 8．9．331000cm π10．1(0,)211．45[,]33ππ12．（0，1）13．11614．20116a <注：第13题过程设11(,)A x y ，22(,)D x y ，则1||AB y =，2||AB y =（12y y <），则12||||y AB CD y =， 由23420,2,x y p x py -+=⎧⎨=⎩得2281720y py p -+=，得118y p =，22y p =，12||1||16y AB CD y ==．15．解：(1) 因为a // b，所以11sin 22y x x=， (3)分所以()2sin()3f x x π=+ ………6分(2) ∵()2sin()2sin333f A A Aπππ-=-+==∴sin A=．∵(0,)2Aπ∈，∴3Aπ=．………8分又BC=解法一：由正弦定理知，2sinBCRA=得22sin3R==，∴2sinAC B=，2sinAB C=，∴ABC∆22sin2sin2sin2sin()3B C B Bπ+=+-………10分12sin sin)2B B B=++)6Bπ=+．………12分∵2232BBπππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，∴62Bππ<<，则2363Bπππ<+<，所以sin()16Bπ+≤，∴ABC∆周长的最大值为………14分解法二：由余弦定理知，2222cosa b c bc A=+-，23()3b c bc=+-，………10分22()3()334b cbc b c+=+-≤⋅，2()12b c+≤，………13分∴b c+≤，a b c a++≤+∴ABC∆周长的最大值为………14分16．（1）证明：连接1A B，交1AB于点O, 连接OD.∵O、D分别是1A B、BC的中点，∴1A C∥OD．………3分C∵1AC ⊄平面1AB D ，OD ⊂平面1AB D，∴1A C∥平面1AB D． ………6分（2）M 为1CC 的中点． ………7分证明如下： ∵在正三棱柱111ABC A B C -中，1BC BB =，∴四边形11BCC B 是正方形．∵M 为1CC 的中点，D 是BC 的中点，∴1B BD BCM∆≅∆， ………9分∴1BB D CBM ∠=∠，1BDB CMB∠=∠．又∵112BB D BDB π∠+∠=，12CBM BDB π∠+∠=，∴1BM B D ⊥． ………11分∵ABC ∆是正三角形，D 是BC 的中点， ∴AD BC ⊥． ∵平面ABC ⊥平面11BB C C, 平面ABC平面11BB C C BC=，AD ⊂平面ABC ，∴AD ⊥平面11BB C C．∵BM ⊂平面11BB C C ，∴AD ⊥BM ． ………13分 ∵1ADB D D=，∴BM ⊥平面1AB D．∵1AB ⊂平面1AB D，∴1MB AB ⊥． ………14分17．解：设该品牌手机在不赠送礼物的条件下销售量为m 部，（1）原来利润为(18801580)300m m -=元， ………1分 当赠送礼物的价值为30元时，销售的总利润为2(1880158030)(111%) 1.2321270m m --+=⨯， ………3分1.2321270 1.10889300mm ⨯=，即当赠送礼物的价值为30元时，销售的总利润变为原来不赠送礼物时的1.1倍． ………4分 （2）当赠送礼物的价值为15x 元时，销售的总利润为()f x 元，则()(1880158015)(111%)x f x x m =--⋅⋅+=15(20)1.11x m x -⋅，（,x N ∈且12x ≤），………8分(1)()15(1.090.11)1.11x f x f x m x +-=-⋅， ………11分令(1)()0f x f x +-≥，得10911x ≤， ………13分∵,x N ∈且12x ≤，∴当9x ≤时，(1)()f x f x +>；当912x <≤时，(1)()f x f x +<，故当赠送礼物的价值为150元时，可以获得最大利润． ………15分18．解：（1）令椭圆221mx ny +=，其中2211,m n a b ==，得32192714m n m n ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，所以11,94m n ==，即椭圆为22194x y +=． ………3分（2）直线:1x yAB a b +=-，设点00(,)P x y ，则,O P 中点为00(,)22x y ，所以点,,,O M P N 所在的圆的方程为22220000()()224x y x y x y +-+-=，化简为22000x x x y y y -+-=， ………5分与圆2224c x y +=作差，即有直线200:4c MN x x y y +=， 因为点00(,)P x y 在直线AB 上，所以001x y a b +=-，所以20()()04b c x x y by a ++-=，所以2004b x y a c by ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩， 得22,4c c x y a b =-=，故定点22(,)44c c E a b -， …8分 22200(,)(,)444b c c c OP OE x x b a a b ⋅=+⋅-=． ………9分 （3）由直线AB 与圆G ：2224c x y +=（c 是椭圆的焦半距）相离， 222ca b >+，即222224()a b c a b >+，2222224()(2)a a c c a c ->-，得42640e e -+>因为01e <<， 所以2035e << ………11分连接,,,ON OM OP 若存在点P 使PMN ∆为正三角形，则在Rt OPN ∆中，22OP ON r c ===，22ca b≤+，22222()a b c a b ≤+， 222222()(2)a a c c a c -≤-，得42310e e -+≤因为01e <<，所以23512e -≤<，② ………14分 由①②，235352e -≤<所以e ≤<． ………15分19．解:（1）由已知)(1-=n n a f a ，)()()(11---=-n n n n a a k a f a f ),4,3,2(⋅⋅⋅=n ，得由数列{}n a 是等差数列，得=-+n n a a 11--n n a a ),4,3,2(⋅⋅⋅=n所以，1--n n a a )(1--=n n a a k ，),4,3,2(⋅⋅⋅=n ，得1=k ． ………4分（2）充分性证明：若()f x kx =(1)k ≠，则由已知01≠=a a ，1()n n a f a +=得1n na ka +=，所以，{}n a 是等比数列． ………6分必要性证明：若{}n a 是等比数列，设公比为q ，则有1n n a aq -=，*n N ∈由11()()()n n n n f a f a k a a ++-=-及1()n n a f a +=得211()n n n n a a k a a +++-=-又210a a -≠，所以数列1{}n n a a +-是以21a a -为首项，公比为k 的等比数列，所以11[()]n n n a a f a a k -+-=-，当2n ≥时，0122[()]()n n a f a a k k k k a-=-+++++ ………8分①若1k =，[()](1)n a f a a n a=--+，（2n ≥）对1n =也成立． 数列{}n a 是公差为()0f a a -≠的等差数列，不可能是等比数列，所以1k ≠，②1k ≠，11[()]1n n k a f a a ak --=-+-，（2n ≥）对1n =也成立．所以11[()]1n n k a f a a a k --=-+-1()()11n f a a f a a a kk k ---=+-⋅--， 由数列{}n a 是等比数列知，()01f a aa k -+=-，即()f a ka =，即()f a ka =对任意非零实数都成立． 综上可得：数列{}n a 为等比数列的充要条件是()f x kx =(1)k ≠．………10分（3）由（Ⅱ）知，数列{}n a 是首项为2，公比为k 的等比数列，即12n n a k -=，1ln n n b b k+-=是一个常数，故数列{}n b 是等差数列，设公差为d ，依题意1111(1)[(2)]22n S nb n n d n dn b d =+-=+-，1(1)1111(1)[(1)(2)](1)[(1)(2)]21[(2)][(2)]2m n mnm n d m n b d S m d m n b d S m dmn b d mn dmn b d ++++-+++-==+-+-，当且仅当120b d -=或112(1)2b dd m dm b d -+=-时，(1)m n mn S S +是一个与n 无关的常数，112(1)2b dd m dm b d -+=-不成立，所以120b d -=，即2ln 2ln k =，4k =． ………16分20．解：（1）22()f x x =，'2()2f x x=， ………1分依题意，2221121212[()]x x x a x x x x -⋅+-=-，得，12a =． ………4分 （2）()3ln ,F x bx x =-3'()F x b x =-,(0,]x e ∈， ………5分①若3b e ≤，3'()0F x a x =-≤，()F x 在(0,]e 上单调递减，()F x 的最小值是()F e ，由()6F e =得，9b e =（舍去）； ………7分②若3b e >，3'()()b F x x x b =-，令'()0F x =得3x b =，当3(0,)x b ∈时,'()0F x <,()F x 在3(0,)b 上单调递减; 当3(,]x e b ∈时,'()0F x >,()F x 在3(,]e b 上单调递增;所以()F x 的最小值是3()F b ，由3()6F b =得，3b e =． ………9分（3）()xg x e =，结合图象猜测102x x x <<．只需证012x x x e e e <<，∵2102102121'()x x x y y e e g x e x x x x --===--，故只需证211221x x x x e e e e x x -<<-，即证：11221()0x x x e e x x e +--<，且22121()0x x x e e x x e ---<， ………12分 设22()()x x x h x e e x x e =+--，2'()()x h x e x x =--，当2x x ≤时，'()0h x ≥，∴()h x 在(]2,x -∞上是增函数，12x x <，∴12()()h x h x <，即11221()0x x x e e x x e +--<，………15分 设11()()xx x x e e x x e ϕ=---，则1'()()x x e x x ϕ=--，当1x x ≥时，'()0x ϕ≤，∴()x ϕ在[)1,x +∞上是减函数，12x x <，∴12()()x x ϕϕ>，即22121()0x x x e e x x e ---<．综上所述，102x x x << ． ………16分此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word 可编辑版本！。
青阳中学高二文科班周考试卷
青阳中学高二年级周考数学试题 一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共48分) 1．已知A ＝｛x |1≤x ≤3｝，R B ＝｛x |－2＜x ＜2｝,则A ∪B 等于（ ）A ．｛x |x ≤1，或x ≥2｝B ．｛x |x ≤2，或x ≥3｝C ．｛x |x ≤－2，或x ≥1｝D ． R2．如图所示，I 是全集，M 、P 、S 是I 的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）A ．(M ∩P)∩SB ．(M ∩P)∪SC ．(M ∩P)∩I SD ．(M ∩P) ∪I S 3．设集合M ＝{x|0≤x ≤2}，集合N ＝{y |0≤y ≤2}，下图给出4个图形分别表示集合M 到集合N 的对应，其中是函数关系的有()A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个4．下列函数中是奇函数的是()A ．y ＝x ＋1B ．y ＝x 2－2x x －2C ．y ＝⎩⎨⎧x ，x ≠0，1，x ＝0D ．y ＝1x 3 5．如果函数f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，4]上是减函数，则实数a 的X 围是（ ）A ．[－3，＋∞）B ．（－∞，－3]C ．（－∞，5]D ．[3，＋∞）6．在函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2 ， x ≤－1，x 2，－1＜x ＜22x ， x ≥2中，若f (x )＝3，则x 的值是() A ．1B ．1或32C ．±3D ． 3 7．设f (x )是R 上的偶函数，且在[0，＋∞)上是增函数，则f (－2)，f (π)，f (－3)的大小顺序是()A ．f (π)＞f (－3)＞f (－2)B ．f (π)＞f (－2)＞f (－3)C ．f (π)＜f (－3)＜f (－2)D ．f (π)＜f (－2)＜f (－3)8．已知f (x )＝x ＋1，g(x ＋1)＝f (x )，则g(x )＝()A ．x ＋1B ．x －1C ．xD ．x ＋29．已知函数f (2x )的定义域是[－4，2]，则函数f (x )的定义域是()A ．[－4，2]B ．[－2，1]C ．[－8，4]D ．[4，－2]10．f (x )是定义在R 上的任意一个增函数，G(x )＝f (x )－f (－x )，则G(x )必定是()A ．增函数且为奇函数B ．增函数且为偶函数C ．减函数且为奇函数D ．减函数且为偶函数11．在复平面内，复数1i i+＋(1＋3i )2对应的点位于 () A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限12．满足条件||||z i i -=+34的复数z 在复平面上对应点的轨迹是（ ）A. 一条直线B. 两条直线C. 圆D. 椭圆二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13．若C z ∈且|22|,1|22|i z i z --=-+的最小值是______________ 1 2 3 1 2 3 O x y ①1 2 3 1 2 3 O x y ② 1 2 3 1 2 3 O x y ④ 1 2 3 1 2 3 O x y ③ （第2题图）14．函数 的定义域为＿＿＿＿＿＿＿＿。
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2017-2018学年江苏省无锡市江阴市青阳中学高二（下）期中数学试卷（文科）一、填空题（共14题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题纸相应位置上）1．已知集合A={x|=0}，则集合A的子集的个数为．2．命题“若α=，则tan α=1”的逆否命题是．3．已知i为虚数单位，||=2，则正实数a=．4．函数的定义域是；值域是．5．由①正方形的对角线相等；②矩形的对角线相等；③正方形是矩形．写一个“三段论”形式的推理，则作为大前提、小前提和结论的依次为（写序号）．6．函数的增区间是．7．若函数f（x）=（m﹣1）xα是幂函数，则函数g（x）=log a（x﹣m）（其中a＞0，a≠1）的图象过定点A的坐标为．8．已知命题p：|x﹣1|＜2和命题q：﹣1＜x＜m+1，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围．9．若x∈（e﹣1，1），a=lnx，b=（）lnx，c=e lnx，则a，b，c的大小关系为．10．若f（x）为R上的奇函数，且在（﹣∞，0）内是增函数，又f（﹣2）=0，则xf（x）＜0的解集为．11．已知函数f（x）是R上的偶函数，若对于x≥0，都有f（x+2）=﹣f（x），且当x∈[0，2）时，f（x）=log8（x+1），则f（﹣2013）+f已知函数f（x）=log a（2x﹣a）在区间上恒有f（x）＞0，则实数a的取值范围是．13．已知函数f（x）=，若关于x的方程f2（x）﹣af（x）=0恰有5个不同的实数解，则a的取值范围是．14．设函数f（x）的定义域为D，若存在非零实数l使得对于任意x∈M（M⊆D），有x+t ∈D，且f（x+t）≥f（x），则称f（x）为M上的t高调函数．如果定义域为R的函数f（x）是奇函数，当x≥0时，f（x）=|x﹣a2|﹣a2，且f（x）为R上的4高调函数，那么实数a 的取值范围是．二、解答题：（本大题共6小题，共90分）15．设复数z=a+bi（a，b∈R，a＞0，i是虚数单位），且复数z满足|z|=，复数（1+2i）z在复平面上对应的点在第一、三象限的角平分线上．（1）求复数z；（2）若为纯虚数（其中m∈R，），求实数m的值．16．设命题p：关于x的函数y=（a﹣1）x为增函数；命题q：不等式﹣x2+2x﹣2≤a对一切实数均成立．若命题“p或q”为真命题，且“p且q”为假命题，求实数a的取值范围．17．若x＞0，y＞0，且x+y＞2，（1），，时，分别比较和与2的大小关系；（2）依据（1）得出的结论，归纳提出一个满足条件x、y都成立的命题并证明．18．在一次水下考古活动中，潜水员需潜入水深为30米的水底进行作业．其用氧量包含以下三个方面：①下潜时，平均速度为每分钟x米，每分钟的用氧量为升；②水底作业需要10分钟，每分钟的用氧量为0.3升；③返回水面时，速度为每分钟米，每分钟用氧量为0.2升；设潜水员在此次考古活动中的总用氧量为y升．（1）将y表示为x的函数；（1）若x∈[4，8]，求总用氧量y的取值范围．19．已知函数f（x）=（a﹣1）x a（a∈R），g（x）=|lgx|．（Ⅰ）若f（x）是幂函数，求a的值并求其单调递减区间；（Ⅱ）关于x的方程g（x﹣1）+f（1）=0在区间（1，3）上有两不同实根x1，x2（x1＜x2），求a++的取值范围．20．设函数f（x）=ka x﹣a﹣x（a＞0且a≠1）是奇函数．（1）求常数k的值；（2）若a＞1，试判断函数f（x）的单调性，并加以证明；（3）若已知f（1）=，且函数g（x）=a2x+a﹣2x﹣2mf（x）在区间[1，+∞）上的最小值为﹣2，求实数m的值．2017-2018学年江苏省无锡市江阴市青阳中学高二（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题（共14题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题纸相应位置上）1．已知集合A={x|=0}，则集合A的子集的个数为2个．【考点】子集与真子集；集合的表示法．【分析】求出集合A中的元素，从而求出集合A的子集的个数即可．【解答】解：由=0，得：，解得：x=2，故A={2}，故A的子集为∅，{2}，共2个，故答案为：2个．2．命题“若α=，则tan α=1”的逆否命题是若tanα≠1，则α≠．【考点】四种命题．【分析】根据命题“若p，则q”的逆否命题是“若￢q，则￢p”，可写出答案．【解答】解：命题“若α=，则tan α=1”的逆否命题是“若tanα≠1，则”．故答案为：若tanα≠1，则．3．已知i为虚数单位，||=2，则正实数a=．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【解答】解：∵==1﹣ai，||=2，∴=2，化为a2=3，a＞0，解得a=．故答案为：．4．函数的定义域是[0，+∞）；值域是[0，1）．【考点】函数的定义域及其求法；函数的值域；指数函数的定义、解析式、定义域和值域．【分析】根据指数函数y=的性质，只要解不等式1﹣≥0，即可求得定义域；欲求值域，还是要依据指数函数y=的性质求解即可．【解答】解：∵1﹣≥0，∴x≥0，故定义域是[0，+∞）．又＞0，∴1﹣＜1，∴，∴值域是[0，1）故答案为：[0，+∞），[0，1）．5．由①正方形的对角线相等；②矩形的对角线相等；③正方形是矩形．写一个“三段论”形式的推理，则作为大前提、小前提和结论的依次为②③①（写序号）．【考点】演绎推理的意义．【分析】由题意，根据三段论的形式“大前提，小前提，结论”直接写出答案即可【解答】解：用三段论的形式写出的演绎推理是：大前提②矩形的对角线相等，小前提③正方形是矩形，结论①正方形的对角线相等，故答案为：②③①6．函数的增区间是（﹣∞，1）．【考点】函数的单调性及单调区间．【分析】先求函数的定义域，再根据复合函数的同增异减性确定增区间．【解答】解：的定义域为：（﹣∞，1）∪（2，+∞）令z=x2﹣3x+2 则原函数可以写为：y=是单调递减函数故原函数的增区间为：（﹣∝，1）故答案为：（﹣∝，1）7．若函数f（x）=（m﹣1）xα是幂函数，则函数g（x）=log a（x﹣m）（其中a＞0，a≠1）的图象过定点A的坐标为（3，0）．【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【分析】根据幂函数的定义求出m的值，结合对数函数的性质求出A的坐标即可．【解答】解：若函数f（x）=（m﹣1）xα是幂函数，则m=2，则函数g（x）=log a（x﹣m）=（其中a＞0，a≠1），令x﹣2=1，解得；x=3，g（x）=0，其图象过定点A的坐标为（3，0），故答案为：（3，0）．8．已知命题p：|x﹣1|＜2和命题q：﹣1＜x＜m+1，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围（2，+∞）．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】命题p：|x﹣1|＜2，化为﹣2＜x﹣1＜2，解出x的范围．根据p是q的充分不必要条件，即可得出．【解答】解：命题p：|x﹣1|＜2，化为﹣2＜x﹣1＜2，解得﹣1＜x＜3．命题q：﹣1＜x＜m+1，由p是q的充分不必要条件，∴3＜m+1，解得m＞2．则实数m的取值范围（2，+∞）．故答案为：（2，+∞）．9．若x∈（e﹣1，1），a=lnx，b=（）lnx，c=e lnx，则a，b，c的大小关系为b＞c＞a．【考点】对数函数的图象与性质．【分析】根据指数幂和对数的性质进行判断即可．【解答】解：∵x∈（e﹣1，1），∴lnx∈（﹣1，0），则函数f（t）=t lnx，为减函数，∴f（）＞f（e）＞0，即b＞c＞a，故答案为：b＞c＞a；10．若f（x）为R上的奇函数，且在（﹣∞，0）内是增函数，又f（﹣2）=0，则xf（x）＜0的解集为（﹣2，0）∪（0，2）．【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】根据函数的奇偶性求出f（2）=0，xf（x）＜0分成两类，分别利用函数的单调性进行求解．【解答】解：∵f（x）为奇函数，且满足f（﹣2）=0，且在（﹣∞，0）上是增函数，∴f（﹣2）=﹣f（2）=0，f（x）在（0，+∞）内是增函数∵xf（x）＜0，∴或根据在（﹣∞，0）内是增函数，在（0，+∞）内是增函数解得：x∈（﹣2，0）∪（0，2）．故答案为：（﹣2，0）∪（0，2）．11．已知函数f（x）是R上的偶函数，若对于x≥0，都有f（x+2）=﹣f（x），且当x∈[0，2）时，f（x）=log8（x+1），则f（﹣2013）+f当x≥0时，f（x）为周期为4的函数，且f （x）为偶函数，从而可得出f（﹣2013）+f+f（2），而由f（x+2）=﹣f（x）可以得出f（2）=f（0），这样带入x∈[0，2）时的解析式便可求出f（1）+f（2）的值，从而得出答案．【解答】解：f（x）=﹣f（x+2）=﹣[﹣f（x+4）]=f（x+4）；∴x≥0时，f（x）是周期为4的函数；又f（x）为偶函数；∴f（﹣2013）+f+f+f（2+503×4）=f（1）+f（2）=f（1）+f（﹣2）=f（1）﹣f（0）=log82﹣log81=．故答案为：．12．已知函数f（x）=log a（2x﹣a）在区间上恒有f（x）＞0，则实数a的取值范围是．【考点】对数函数的单调性与特殊点；对数函数的值域与最值．【分析】先利用对数函数的图象性质，即“底、真同，对数为正”的特点，将数f（x）=log a（2x﹣a）在区间上恒有f（x）＞0问题转化为在区间上恒成立或在区间上恒成立，通过解决一次不等式恒成立问题即可得解【解答】解：由对数函数的图象性质，f（x）=log a（2x﹣a）＞0⇔或由在区间上恒成立，得即a∈∅由在区间上恒成立，得即a∈故答案为13．已知函数f（x）=，若关于x的方程f2（x）﹣af（x）=0恰有5个不同的实数解，则a的取值范围是（0，1）．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】作f（x）的图象，从而由f2（x）﹣af（x）=f（x）（f（x）﹣a）=0可得f（x）=a 有三个不同的解，从而结合图象解得．【解答】解：作f（x）的图象如下，，f2（x）﹣af（x）=f（x）（f（x）﹣a）=0，∴f（x）=0或f（x）=a；∵f（x）=0有两个不同的解，故f（x）=a有三个不同的解，故a∈（0，1）；故答案为：（0，1）．14．设函数f（x）的定义域为D，若存在非零实数l使得对于任意x∈M（M⊆D），有x+t ∈D，且f（x+t）≥f（x），则称f（x）为M上的t高调函数．如果定义域为R的函数f（x）是奇函数，当x≥0时，f（x）=|x﹣a2|﹣a2，且f（x）为R上的4高调函数，那么实数a 的取值范围是﹣1≤a≤1．【考点】函数单调性的性质．【分析】根据分段函数的意义，对f（x）的解析式分段讨论，可得其分段的解析式，结合其奇偶性，可得其函数的图象；进而根据题意中高调函数的定义，可得若f（x）为R上的4高调函数，则对任意x，有f（x+4）≥f（x），结合图象分析可得4≥4a2；解可得答案．【解答】解：根据题意，当x≥0时，f（x）=|x﹣a2|﹣a2，则当x≥a2时，f（x）=x﹣2a2，0≤x≤a2时，f（x）=﹣x，由奇函数对称性，有则当x≤﹣a2时，f（x）=x+2a2，﹣a2≤x≤0时，f（x）=﹣x，图象如图：易得其图象与x轴交点为M（﹣2a2，0），N（2a2，0）因此f（x）在[﹣a2，a2]是减函数，其余区间是增函数．f（x）为R上的4高调函数，则对任意x，有f（x+4）≥f（x），故当﹣2a2≤x≤0时，f（x）≥0，为保证f（x+4）≥f（x），必有f（x+4）≥0；即x+4≥2a2；有﹣2a2≤x≤0且x+4≥2a2可得4≥4a2；解可得：﹣1≤a≤1；故答案为﹣1≤a≤1．二、解答题：（本大题共6小题，共90分）15．设复数z=a+bi（a，b∈R，a＞0，i是虚数单位），且复数z满足|z|=，复数（1+2i）z在复平面上对应的点在第一、三象限的角平分线上．（1）求复数z；（2）若为纯虚数（其中m∈R，），求实数m的值．【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义．【分析】（1）由得：a2+b2=10．①，又复数（1+2i）z在复平面上对应的点在第一、三象限的角平分线上得a=﹣3b．②，由①②联立方程组解得a，b的值，则复数z可求．（2）由利用复数代数形式的乘除运算化简，再由纯虚数的条件得到实部等于零，虚部不等于零即可求出实数m的值．【解答】解：（1）设z=a+bi（a，b∈R，a＞0），由得：a2+b2=10．①又复数（1+2i）z=（1+2i）（a+bi）=（a﹣2b）+（2a+b）i在复平面上对应的点在第一、三象限的角平分线上，则a﹣2b=2a+b即a=﹣3b．②由①②联立方程组，解得或．∵a＞0，∴a=3，b=﹣1．∴z=3﹣i；（2）由，可得==，∵为纯虚数，∴，解得m=﹣5．16．设命题p：关于x的函数y=（a﹣1）x为增函数；命题q：不等式﹣x2+2x﹣2≤a对一切实数均成立．若命题“p或q”为真命题，且“p且q”为假命题，求实数a的取值范围．【考点】复合命题的真假．【分析】利用一次函数与二次函数的单调性分别化简命题p，q，由命题“p或q”为真，且“p 且q”为假，可得命题p、q一真一假．即可得出．【解答】解：当命题p为真命题时，a＞1．当命题q为真命题时，由﹣x2+2x﹣2=﹣（x﹣1）2﹣1≤﹣1，∴a≥﹣1．由命题“p或q”为真，且“p且q”为假，可得命题p、q一真一假．①当p真q假时，则，无解；②当p假q真时，则，得﹣1≤a≤1，∴实数a的取值范围是[﹣1，1]．17．若x＞0，y＞0，且x+y＞2，（1），，时，分别比较和与2的大小关系；（2）依据（1）得出的结论，归纳提出一个满足条件x、y都成立的命题并证明．【考点】反证法的应用；归纳推理．【分析】（1）分别代入，计算，即可得出结论；（2）利用反证法，证明即可．【解答】解：（1）当，时，=1+2=3＞2，==1＜2；当时， ==8＞2， =＜2；当时， =＜2， =＜2（2）命题：若x ＞0，y ＞0且x +y ＞2，则，至少有一个小于2．证明：假设≥2，≥2，∵x ＞0，y ＞0，∴1+y ≥2x ，1+x ≥2y ．∴2+x +y ≥2x +2y ，∴x +y ≤2．这与已知x +y ＞2矛盾． 假设不成立．∴和中至少有一个小于2．18．在一次水下考古活动中，潜水员需潜入水深为30米的水底进行作业．其用氧量包含以下三个方面：①下潜时，平均速度为每分钟x 米，每分钟的用氧量为升；②水底作业需要10分钟，每分钟的用氧量为0.3升；③返回水面时，速度为每分钟米，每分钟用氧量为0.2升；设潜水员在此次考古活动中的总用氧量为y 升． （1）将y 表示为x 的函数；（1）若x ∈[4，8]，求总用氧量y 的取值范围． 【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（1）通过速度、时间与路程之间的关系可知下潜所需时间为分钟、返回所需时间为分钟，进而列式可得结论；（2）通过基本不等式可知及x ∈[4，8]可知在[4，6]上单调递减、在[6，8]上单调递增，比较当x=4、8时的取值情况即得结论．【解答】解：（1）依题意，下潜所需时间为分钟；返回所需时间为分钟，∴，整理得：（x ＞0）；（2）由基本不等式可知，当且仅当即x=6时取等号，因为x ∈[4，8]，所以在[4，6]上单调递减、在[6，8]上单调递增，所以当x=6时，y 取最小值7，又因为当x=4时；当x=8时，所以y的取值范围是：．19．已知函数f（x）=（a﹣1）x a（a∈R），g（x）=|lgx|．（Ⅰ）若f（x）是幂函数，求a的值并求其单调递减区间；（Ⅱ）关于x的方程g（x﹣1）+f（1）=0在区间（1，3）上有两不同实根x1，x2（x1＜x2），求a++的取值范围．【考点】幂函数的性质；幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【分析】（Ⅰ）根据幂函数的定义，求出a的值，即得f（x）的解析式与单调递减区间；（Ⅱ）把方程化为g（x﹣1）=1﹣a，利用函数y=g（x﹣1）与y=1﹣a在x∈（1，3）的图象上有二交点，得出a的取值范围以及x1，x2的关系，从而求出a++的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=（a﹣1）x a（a∈R），f（x）是幂函数，∴由题有a﹣1=1，得a=2；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣2’∴f（x）=x2的单调递减区间为（﹣∞，0）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣4’（Ⅱ）方程g（x﹣1）+f（1）=0化为g（x﹣1）=1﹣a，由题意函数y=g（x﹣1）与y=1﹣a在x∈（1，3）上有两不同交点．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣5’y=g（x﹣1）=|lg（x﹣1）|=；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣7’在x∈（1，2]时，y=g（x﹣1）单调递减，又y=g（x﹣1）∈[0，+∞），在x∈[2，3）时，y=g（x﹣1）单调递增，y=g（x﹣1）∈[0，lg2），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣9’所以0＜1﹣a＜lg2，即1﹣lg2＜a＜1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣11’由x1＜x2，可知x1∈（1，2），x2∈（2，3），且即相加消去a，可得lg（x1﹣1）+lg（x2﹣1）=0，即（x1﹣1）（x2﹣1）=1，展开并整理得x1x2=x1+x2，即+=1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣14’所以a++的取值范围为（2﹣lg2，2）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣16’20．设函数f（x）=ka x﹣a﹣x（a＞0且a≠1）是奇函数．（1）求常数k的值；（2）若a＞1，试判断函数f（x）的单调性，并加以证明；（3）若已知f（1）=，且函数g（x）=a2x+a﹣2x﹣2mf（x）在区间[1，+∞）上的最小值为﹣2，求实数m的值．【考点】函数奇偶性的性质；函数单调性的判断与证明．【分析】（1）根据函数的奇偶性的性质，建立方程即可求常数k的值；（2）当a＞1时，f（x）在R上递增．运用单调性的定义证明，注意作差、变形和定符号、下结论几个步骤；（3）根据f（1）=，求出a，然后利用函数的最小值建立方程求解m．【解答】解：（1）∵f（x）=ka x﹣a﹣x（a＞0且a≠1）是奇函数．∴f（0）=0，即k﹣1=0，解得k=1．（2）∵f（x）=a x﹣a﹣x（a＞0且a≠1），当a＞1时，f（x）在R上递增．理由如下：设m＜n，则f（m）﹣f（n）=a m﹣a﹣m﹣（a n﹣a﹣n）=（a m﹣a n）+（a﹣n﹣a﹣m）=（a m﹣a n）（1+），由于m＜n，则0＜a m＜a n，即a m﹣a n＜0，f（m）﹣f（n）＜0，即f（m）＜f（n），则当a＞1时，f（x）在R上递增．（3）∵f（1）=，∴a﹣=，即3a2﹣8a﹣3=0，解得a=3或a=﹣（舍去）．∴g（x）=32x+3﹣2x﹣2m（3x﹣3﹣x）=（3x﹣3﹣x）2﹣2m（3x﹣3﹣x）+2，令t=3x﹣3﹣x，∵x≥1，∴t≥f（1）=，∴（3x﹣3﹣x）2﹣2m（3x﹣3﹣x）+2=（t﹣m）2+2﹣m2，当m时，2﹣m2=﹣2，解得m=2，不成立舍去．当m时，（）2﹣2m×+2=﹣2，解得m=，满足条件，∴m=．2018年8月2日。