2017秋季数学集训二队每周习题(11)参考答案
2017秋季数学集训队国庆专题训练(2)参考答案
2017秋季数学集训二队国庆专题训练(参考答案)图形计数1.数线段：线段有( 15 )条线段有( 24 )条线段有( 31 )条算式：5＋4＋3＋2＋1＝15算式：3＋2＋1＋5＋4＋3 算式：6＋5＋4＋3＋2＋1＋2＋1＋2＋1＝24 ＋4＋3＋2＋1＝31线段有( 30 )条线段有( 10 )条线段有( 36 )条算式：(3＋2＋1)×5＝30 算式：3＋2＋1＋1×4＝10算式：(5＋4＋3＋2＋1)×2＋1×6＝362.数角：角有( 10 )个角有( 16 )个角有( 16 )个算式：4＋3＋2＋1＝10 算式：(2＋1)×4＋4＝16算式：4×2＋4×2＝16 3.数三角形：三角形有( 10 )个三角形有( 20 )个三角形有( 24 )个算式：4＋3＋2＋1＝10算式：(4＋3＋2＋1)×2＝20算式：(4＋3＋2＋1)×2＋4＝24三角形有(8 )个三角形有( 27 )个三角形有( 30 )个算式：6＋2＝8算式：16＋7＋3＋1＝27算式：(5＋4＋3＋2＋1)×＝304.数长方形：长方形有( 10 )个长方形有( 30 )个长方形有( 60 )个算式：4＋3＋2＋1＝10算式：(4＋3＋2＋1)算式：(4＋3＋2＋1)×(2＋1)＝30 ×(3＋2＋1)＝60长方形有( 27 )个长方形有( 51 )个长方形有( 10 )个算式：(3＋2＋1)×(2＋1)算式：(5＋4＋3＋2＋1)算式：3＋2＋1＋2＋1＋1＝10＋4＋5＝27 ×(2＋1)＋6＝515.数正方形：正方形有( 5 )个正方形有( 14 )个正方形有( 11 )个算式：2×2＋1×1＝5算式：3×3＋2×2＋1×1＝14算式：4×2＋3×1＝11正方形有(7 )个正方形有(9 )个正方形有( 15 )个算式：4＋3＝7算式：4＋4＋1＝9算式：(4＋1)×3＝15正方形有(8 )个正方形有( 23 )个正方形有( 18 )个算式：3×2＋2×1＝8 算式：(3×3＋2×2＋1×1)算式：3×3＋2×2＋1×2－(2×2＋1×1)＝23 ×1＋4＝18火柴棒游戏1.用9根火柴棒摆成4个同样大小的三角形。
2017春季数学集训一队每周习题(10)参考答案
2017春季数学集训一队每周习题(10)参考答案星期一以图代数。
思维引导：以图代数题型中，相同的图形表示相同的数，不同的图形表示不同的数。
在计算时，一个图形或多个图形尽量用数来代替，也可以把不同的图形先替换成相同的图形，使得在算式中只剩一种图形。
再利用等量关系来计算，得到结果。
1.已知：○＋※＋□＝36，○＋□＝20，○＋※＝24。
那么：○＝8 ，※＝16 ，□＝12 。
2.已知：A＋B＝9，A＋A＋B＋B＋B＝25。
那么：A＝ 2 ，B＝7 。
3.已知：你＋我＝17，我＋他＝15，你＋我＋他＝24。
那么：你＝9 ，我＝8 ，他＝7 。
4.已知：☆＋☆＋☆＝9，△＋△＋△＋△＝32。
那么：△－☆＝ 5 。
5.已知：○＋○＋□＋□＝36，□＝○＋○。
那么：○＝ 6 ，□＝12 。
6.已知：○＋○＋◎＋◎＝18，○＋○＋◎＋◎＋◎＝24。
那么：○＝ 3 ，◎＝ 6 。
星期二7.巧解竖式谜。
快 5 5 笑美8 友 1＋2 乐＋欢 1 －2 好＋友好7 9 7 5 3 5 8 友快＝ 5 笑＝ 4 美＝ 5 友＝ 4乐＝ 4 欢＝ 2 好＝ 3 好＝ 3A 7 2 □ A 0 △ 3＋2 B ＋△7 －2 B －4 □5 16 5 3 5 1 △A＝ 2 □＝8 A＝ 6 △＝ 6B＝ 4 △＝ 3 B＝ 5 □＝7星期三调整法—消灭差。
我们可以用“减多余”或“补不足”的方法，来消灭差。
把原来并不相同的数，调整为相同，以利于推算。
例：已知：○＋△＝10，○－△＝2。
那么：△＝ 4 ，○＝ 6 。
思维引导1：“补不足”：给第一个等式中的△补上2，就变成第2个○。
第一个等式就改造为：○＋○＝10＋2＝12，所以○＝6。
思维引导2：“减多余”：给第一个等式中的○减去2，就变成第2个△。
第一个等式就改造为：△＋△＝10－2＝8，所以△＝4。
8.如果○＋△＝23，○－△＝5。
那么：△＝9 ，○＝14 。
9.铅笔盒＋橡皮＝17元，铅笔盒－橡皮＝13元。
奥数夏令营讲义之平面几何(11)调和点列、线束
∵ 、 、 、 是一个调和线束，
∴ 和 调和分割线段 ，这样 是 的（内角或外角）平分线，于是我们有 .
同理
两式相乘，得到
这样， 、 、 、 四点共圆，∴
下证
事实上
于是 ，这样 、 、 、 四点共圆.
证明：如图所示，设直线 、 相交于点 ，连接 、 由正弦定理及旁切圆性质，有
同理，有 ，注意到 ， ，
我们得到 .
这说明 是 的一条内角平分线，而 就是相应角的外角平分线，故 、 、 、 成调和点列，这样 、 、 、 就是一个调和线束，而它们与 直线的交点 、 、 、 也成调和点列.
2.如图，在 中， ， 是其内心， 是 在 边上的垂足.过 作 ，与直线 、 分别交于点 、 .设 是 的外心，延长 交 边于点 .设点 是直线 与 的外接圆的第二个交点.证明： .(2016年第15届中国女子数学奥林匹克)
证明：首先可以证明 是 外接圆在 处的切线，故 .
如图，设 是 的中点，易知 ，
故 ，∴ 、 、 、 四点共圆.∴ .
由于 、 都与 垂直，∴ .
又∵ ，∴ 、 平行或重合.故它们重 Nhomakorabea，即 、 、 三点共线.
考虑线束 、 、 、 和截线 ，由于 ，且 与 的交点 恰好是 、 与 的交点 、 两点为端点的线段的中点，故 、 、 、 为调和线束，
∴ 、 、 、 为调和点列，即 .
3.对于平面上的凸四边形 ，设直线 交直线 于 ，交直线 于 ，交直线 于 ，交直线 于 ，交直线 于 ，交直线 于 .已知以上六点在 上按照 、 、 、 、 、 的顺序排列.证明：以 、 、 为直径的三个圆共点.(2017年中国国家集训队测试姚一隽)
北京市西城区2017届高三二模数学(理)试题【含答案】
北京市西城区2016-2017学年度高三第二次统练理科数学2017．5一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．在复平面内，复数z 对应的点是()12Z -，，则复数z 的共轭复数z =（ ） A ．12i +B ．12i -C ．2i +D ．2i -2．下列函数中，值域为[]01， 的是（ ） A ．2y x =B ．sin y x =C ．211y x =+D．y =3．在极坐标系中，圆sin r q =的圆心的极坐标是（ ）A ．12π⎛⎫ ⎪⎝⎭，B ．()10，C ．122π⎛⎫ ⎪⎝⎭，D ．102⎛⎫⎪⎝⎭，4．在平面直角坐标系中，不等式组3203300x y x y y -≥⎧⎪--≤⎨⎪>⎩表示的平面区域的面积是（ ）A ．1B ．32C ．2D ．525．设双曲线()2222=100y x a b a b->>，的离心率是3，则其渐近线的方程为（ ）A．0x ±=B．0y ±=C ．80x y ±=D ．80x y ±=6．设a ，b 是平面上的两个单位向量，35a b ⋅=．若m R ∈，则|a mb +的最小值是（ ） A ．34B ．43C ．45D ．547．函数()f x x x =．若存在[)1x ∈+∞，，使得()20f x k k --<，则k 的取值范围是（ ） A ．()2+∞，B ．()1+∞，C ．12⎛⎫+∞⎪⎝⎭，D ．14⎛⎫+∞⎪⎝⎭， 8．有三支股票A B C ，，，28位股民的持有情况如下：每位股民至少持有其中一支股票．在不持有A 股票的人中，持有B 股票的人数是持有C 股票的人数的2倍．在持有A 股票的人中，只持有A 股票的人数比除了持有A 股票外，同时还持有其它股票的人数多1．在只持有一支股票的人中，有一半持有A 股票．则只持有B 股票的股民人数是（ ） A ．7B ．6C ．5D ．4二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为__________．10．已知等差数列{}n a 的公差为2，且124a a a ，，成等比数列，则1a =__________；数列{}n a 的前n 项和nS =__________．11．在ABC ∆中，角A B C ，，的对边边长分别是a b c ，，，若13A a b π===，，则c 的值为__________．12．函数()220log 0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，，，则14f ⎛⎫= ⎪⎝⎭__________；方程()12f x -=的解是__________．13．大厦一层有A B C D ，，，四部电梯，3人在一层乘坐电梯上楼，其中2人恰好乘坐同一部电梯，则不同的乘坐方式有__________种．（用数字作答）14．在空间直角坐标系O xyz -中，四面体A BCD -在xOy ，yOz ，zOx 坐标平面上的一组正投影图形如图所示（坐标轴用细虚线表示）．该四面体的体积是__________．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知函数()tan 4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．（Ⅰ）求()f x 的定义域； （Ⅱ）设()0βπ∈，，且()2cos 4f πββ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，求β的值．如图，在几何体ABCDEF 中，底面ABCD 为矩形，//EF CD AD FC ⊥，．点M 在棱FC 上，平面ADM 与棱FB 交于点N ． （Ⅰ）求证：//AD MN ；（Ⅱ）求证：平面ADMN ⊥平面CDEF ；（Ⅲ）若2CD EA EF ED CD EF ⊥==，，，平面ADE 平面BCF l =，求二面角A l B --的大小．某大学为调研学生在A B ，两家餐厅用餐的满意度，从在A B ，两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了100人，每人分别对这两家餐厅进行评分，满分均为60分．整理评分数据，将分数以10为组距分成6组：[)010， ，[)1020， ，[)2030， ，[)3040， ，[)4050， ，[]5060， ，得到A 餐厅分数的频率分布直方图，和B 餐厅分数的频数分布表：定义学生对餐厅评价的“满意度指数”如下：（Ⅰ）在抽样的100人中，求对A 餐厅评价“满意度指数”为0的人数；（Ⅱ）从该校在A B ，两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取1人进行调查，试估计其对A 餐厅评价的“满意度指数”比对B 餐厅评价的“满意度指数”高的概率；（Ⅲ）如果从A B ，两家餐厅中选择一家用餐，你会选择哪一家？说明理由．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C 的顶点是原点，以x 轴为对称轴，且经过点()12P ， ． （Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）设点A B ，在抛物线C 上，直线PA PB ，分别与y 轴交于点M N 、，PM PN =．求直线AB 的斜率．已知函数()()21xf x x ax a e -=+-，其中a R ∈．（Ⅰ）求函数()'f x 的零点个数；（Ⅱ）证明：0a ≥是函数()f x 存在最小值的充分而不必要条件．设集合{}()212322n A n n N n *=∈≥， ， ，， ，．如果对于2n A 的每一个含有()4m m ≥个元素的子集P P ，中必有4个元素的和等于41n +，称正m 为集合2n A 的一个“相关数”． （Ⅰ）当3n =时，判断5和6是否为集合6A 的“相关数”，说明理由； （Ⅱ）若m 为集合2n A 的“相关数”，证明：30m n --≥； （Ⅲ）给定正整数n ．求集合2n A 的“相关数”m 的最小值．2017年北京市西城区高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）在复平面内，复数z对应的点是Z（1，﹣2），则复数z的共轭复数=（）A．1+2i B．1﹣2i C．2+i D．2﹣i【解答】解：由复数z对应的点是Z（1，﹣2），得z=1﹣2i．则复数z的共轭复数=1+2i．故选：A．2．（5分）下列函数中，值域为[0，1]的是（）A．y=x2B．y=sinx C．D．【解答】解：y=x2的值域为[0，+∞），y=sinx的值域为[﹣1，1]，y=值域为[（0，1]，y=的值域为[0，1]，故选：D．3．（5分）在极坐标系中，圆ρ=sinθ的圆心的极坐标是（）A．，B．（1，0）C．，D．，【解答】解：圆ρ=sinθ即ρ2=ρsinθ，化为直角坐标方程：x2+y2=y，配方为：x2+=．可得圆心C，，可得圆心的极坐标是，．故选：C．4．（5分）在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积是（）A．1 B．C．2 D．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得B（2，3），∴平面区域的面积S=．故选：B．5．（5分）设双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率是3，则其渐近线的方程为（）A．B．C．x±8y=0 D．8x±y=0【解答】解：双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率是3，可得，则=．双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率是3，则其渐近线的方程为：x．故选：A．6．（5分）设，是平面上的两个单位向量，•=．若m∈R，则|+m|的最小值是（）A．B．C．D．【解答】解：设，是平面上的两个单位向量，则||=1，||=1，∵•=，∴|+m|2=||2+m2||2+2m•=1+m2+m=（m+）2+，当m=﹣时，|+m|2有最小值，∴|+m|的最小值是，故选：C7．（5分）函数f（x）=x|x|．若存在x∈[1，+∞），使得f（x﹣2k）﹣k＜0，则k的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（1，+∞）C．（，+∞）D．（，+∞）【解答】解：根据题意，x∈[1，+∞）时，x﹣2k∈[1﹣2k，+∞）；①当1﹣2k≤0时，解得k≥；存在x∈[1，+∞），使得f（x﹣2k）﹣k＜0，即只要f（1﹣2k）﹣k＜0即可；∵1﹣2k≤0，∴f（1﹣2k）=﹣（1﹣2k）2，∴﹣（1﹣2k）2﹣k＜0，整理得﹣1+4k﹣4k2﹣k＜0，即4k2﹣3k+1＞0；∵△=（﹣3）2﹣16=﹣7＜0，∴不等式对一切实数都成立，∴k≥；②当1﹣2k＞0时，解得k＜；存在x∈[1，+∞），使得f（x﹣2k）﹣k＜0，即只要f（1﹣2k）﹣k＜0即可；∵1﹣2k＞0，∴f（1﹣2k）=（1﹣2k）2，∴（1﹣2k）2﹣k＜0，整理得4k2﹣5k+1＜0，解得＜k＜1；又∵k＜，∴＜k＜；综上，k∈（，）∪[，+∞）=（+∞）；∴k的取值范围是k∈（，+∞）．故选：D．8．（5分）有三支股票A，B，C，28位股民的持有情况如下：每位股民至少持有其中一支股票．在不持有A股票的人中，持有B股票的人数是持有C股票的人数的2倍．在持有A股票的人中，只持有A股票的人数比除了持有A股票外，同时还持有其它股票的人数多1．在只持有一支股票的人中，有一半持有A股票．则只持有B股票的股民人数是（）A．7 B．6 C．5 D．4【解答】解：由题意作出文氏图，如下：其中m+n+p=7．∴只持有B股票的股民人数是7人．故选：A．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为10．【解答】解：由已知可得该程序的功能是计算并输出S=﹣12+22﹣32+42的值∵S=﹣12+22﹣32+42=10故答案为：1010．（5分）已知等差数列{a n}的公差为2，且a1，a2，a4成等比数列，则a1=2；数列{a n}的前n项和S n=n2+n．【解答】解：∵数列{a n}是公差为2的等差数列，且a1，a2，a4成等比数列，∴a1，a1+2，a1+6成等比数列，∴（a1+2）2=a1（a1+6），解得a1=2，数列{a n}的前n项和S n=2n+=n2+n．故答案为：2；n2+n．11．（5分）在△ABC中，角A、B、C的对边边长分别是a、b、c，若，，b=1，则c的值为2．【解答】解：∵，∴，∴，∵a＞b，所以A＞B．角A、B、C是△ABC中的内角．∴，∴，∴．故答案为：2．12．（5分）函数f（x）=，，＞则=﹣2；方程f（﹣x）=的解是﹣或1．【解答】解：f（）=log2=﹣2，由方程f（﹣x）=，得或＞，解得：x=1或x=﹣，故答案为：﹣2；﹣或1．13．（5分）大厦一层有A，B，C，D四部电梯，3人在一层乘坐电梯上楼，其中2人恰好乘坐同一部电梯，则不同的乘坐方式有36种．（用数字作答）【解答】解：根据题意，分2步进行分析：先将3人分成2组，有C32=3种分组方法，再在A，B，C，D四部电梯中任选2部，安排2组人乘坐，有C42A22=12种情况，则3人不同的乘坐方式有3×12=36种；故答案为：36．14．（5分）在空间直角坐标系O﹣xyz中，四面体A﹣BCD在xOy，yOz，zOx坐标平面上的一组正投影图形如图所示（坐标轴用细虚线表示）．该四面体的体积是．【解答】解：由三视图可知几何体为三棱锥，该三棱锥的底面积S底==4，高h=2，∴V==．故答案为．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知函数．（Ⅰ）求f（x）的定义域；（Ⅱ）设β∈（0，π），且，求β的值．【解答】解：（Ⅰ）由，得，k∈Z．[（3分）]所以函数f（x）的定义域是，．[（4分）]（Ⅱ）依题意，得．[（5分）]所以，[（7分）]整理得，[（8分）]所以，或．[（10分）]因为β∈（0，π），所以，，[（11分）]由，得，；[（12分）]由，得，．所以，或．[（13分）]16．（14分）如图，在几何体ABCDEF中，底面ABCD为矩形，EF∥CD，AD⊥FC．点M在棱FC上，平面ADM与棱FB交于点N．（Ⅰ）求证：AD∥MN；（Ⅱ）求证：平面ADMN⊥平面CDEF；（Ⅲ）若CD⊥EA，EF=ED，CD=2EF，平面ADE∩平面BCF=l，求二面角A﹣l﹣B的大小．【解答】（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为ABCD为矩形，所以AD∥BC，[（1分）]所以AD∥平面FBC．[（3分）]又因为平面ADMN∩平面FBC=MN，所以AD∥MN．[（4分）]（Ⅱ）证明：因为ABCD为矩形，所以AD⊥CD．[（5分）]因为AD⊥FC，[（6分）]所以AD⊥平面CDEF．[（7分）]所以平面ADMN⊥平面CDEF．[（8分）]（Ⅲ）解：因为EA⊥CD，AD⊥CD，所以CD⊥平面ADE，所以CD⊥DE．由（Ⅱ）得AD⊥平面CDEF，所以AD⊥DE．所以DA，DC，DE两两互相垂直．[（9分）]建立空间直角坐标系D﹣xyz．[（10分）]不妨设EF=ED=1，则CD=2，设AD=a（a＞0）．由题意得，A（a，0，0），B（a，2，0），C（0，2，0），D（0，0，0），E（0，0，1），F（0，1，1）．所以=（a，0，0），=（0，﹣1，1）．设平面FBC的法向量为=（x，y，z），则即令z=1，则y=1．所以=（0，1，1）．[（12分）]又平面ADE的法向量为=（0，2，0），所以＜，＞==．因为二面角A﹣l﹣B的平面角是锐角，所以二面角A﹣l﹣B的大小45°．[（14分）]17．（13分）某大学为调研学生在A，B两家餐厅用餐的满意度，从在A，B两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了100人，每人分别对这两家餐厅进行评分，满分均为60分．整理评分数据，将分数以10为组距分成6组：[0，10），[10，20），[20，30），[30，40），[40，50），[50，60]，得到A餐厅分数的频率分布直方图，和B餐厅分数的频数分布表：定义学生对餐厅评价的“满意度指数”如下：（Ⅰ）在抽样的100人中，求对A餐厅评价“满意度指数”为0的人数；（Ⅱ）从该校在A，B两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取1人进行调查，试估计其对A餐厅评价的“满意度指数”比对B餐厅评价的“满意度指数”高的概率；（Ⅲ）如果从A，B两家餐厅中选择一家用餐，你会选择哪一家？说明理由．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由对A餐厅评分的频率分布直方图，得对A餐厅“满意度指数”为0的频率为（0.003+0.005+0.012）×10=0.2，[（2分）]所以，对A餐厅评价“满意度指数”为0的人数为100×0.2=20．[（3分）]（Ⅱ）设“对A餐厅评价‘满意度指数’比对B餐厅评价‘满意度指数’高”为事件C．记“对A餐厅评价‘满意度指数’为1”为事件A1；“对A餐厅评价‘满意度指数’为2”为事件A2；“对B餐厅评价‘满意度指数’为0”为事件B0；“对B餐厅评价‘满意度指数’为1”为事件B1．所以P（A1）=（0.02+0.02）×10=0.4，P（A2）=0.4，[（5分）]由用频率估计概率得：，．[（7分）]因为事件A i与B j相互独立，其中i=1，2，j=0，1．所以P（C）=P（A1B0+A2B0+A2B1）=0.4×0.1+0.4×0.1+0.4×0.55=0.3．[（10分）]所以该学生对A餐厅评价的“满意度指数”比对B餐厅评价的“满意度指数”高的概率为0.3．（Ⅲ）如果从学生对A，B两家餐厅评价的“满意度指数”的期望角度看：A餐厅“满意度指数”X的分布列为：B餐厅“满意度指数”Y的分布列为：因为EX=0×0.2+1×0.4+2×0.4=1.2；EY=0×0.1+1×0.55+2×0.35=1.25，所以EX＜EY，会选择B餐厅用餐．[（13分）]注：本题答案不唯一．只要考生言之合理即可．18．（14分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线C的顶点是原点，以x轴为对称轴，且经过点P（1，2）．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）设点A，B在抛物线C上，直线P A，PB分别与y轴交于点M，N，|PM|=|PN|．求直线AB的斜率．【解答】解：（Ⅰ）依题意，设抛物线C的方程为y2=ax（a≠0）．[（1分）]由抛物线C经过点P（1，2），得a=4，[（3分）]所以抛物线C的方程为y2=4x．[（4分）]（Ⅱ）因为|PM|=|PN|，所以∠PMN=∠PNM，所以∠1=∠2，所以直线P A与PB的倾斜角互补，所以k P A+k PB=0．[（6分）]依题意，直线AP的斜率存在，设直线AP的方程为：y﹣2=k（x﹣1）（k≠0），将其代入抛物线C的方程，整理得k2x2﹣2（k2﹣2k+2）x+k2﹣4k+4=0．[（8分）]设A（x1，y1），则x1=，y1=﹣2，[（10分）]所以A（，﹣2）．[（11分）]以﹣k替换点A坐标中的k，得B（，﹣﹣2．[（12分）]所以k AB==﹣1，所以直线AB的斜率为﹣1．[（14分）]19．（13分）已知函数f（x）=（x2+ax﹣a）•e1﹣x，其中a∈R．（Ⅰ）求函数f'（x）的零点个数；（Ⅱ）证明：a≥0是函数f（x）存在最小值的充分而不必要条件．【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=（x2+ax﹣a）•e1﹣x，得f′（x）=（2x+a）e1﹣x﹣（x2+ax﹣a）•e1﹣x=﹣[x2+（a﹣2）x﹣2a]•e1﹣x=﹣（x+a）（x﹣2）•e1﹣x，令f′（x）=0，得x=2，或x=﹣a．所以当a=﹣2时，函数f′（x）有且只有一个零点：x=2；当a≠﹣2时，函数f′（x）有两个相异的零点：x=2，x=﹣a．（Ⅱ）证明：①当a=﹣2时，f′（x）≤0恒成立，此时函数f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递减，所以，函数f（x）无极值．②当a＞﹣2时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：所以，a≥0时，f（x）的极小值为f（﹣a）=﹣ae1+a≤0．又x＞2时，x2+ax﹣a＞22+2a﹣a=a+4＞0，所以，当x＞2时，f（x）=）=（x2+ax﹣a）•e1﹣x＞0恒成立．所以，f（﹣a）=﹣ae1+a为f（x）的最小值．故a≥0是函数f（x）存在最小值的充分条件．③当a=﹣5时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：因为当x＞5时，f（x）=（x2﹣5x+5）e1﹣x＞0，又f（2）=﹣e﹣1＜0，所以，当a=﹣5时，函数f（x）也存在最小值．所以，a≥0不是函数f（x）存在最小值的必要条件．综上，a≥0是函数f（x）存在最小值的充分而不必要条件．20．（13分）设集合A2n={1，2，3，…，2n}（n∈N*，n≥2）．如果对于A2n的每一个含有m（m≥4）个元素的子集P，P中必有4个元素的和等于4n+1，称正整数m为集合A2n的一个“相关数”．（Ⅰ）当n=3时，判断5和6是否为集合A6的“相关数”，说明理由；（Ⅱ）若m为集合A2n的“相关数”，证明：m﹣n﹣3≥0；（Ⅲ）给定正整数n．求集合A2n的“相关数”m的最小值．【解答】解：（Ⅰ）当n=3时，A6={1，2，3，4，5，6}，4n+1=13，①对于A6的含有5个元素的子集{2，3，4，5，6}，因为2+3+4+5＞13，所以5不是集合A6的“相关数”；②A6的含有6个元素的子集只有{1，2，3，4，5，6}，因为1+3+4+5=13，所以6是集合A6的“相关数”．（Ⅱ）考察集合A2n的含有n+2个元素的子集B={n﹣1，n，n+1，…，2n}，B中任意4个元素之和一定不小于（n﹣1）+n+（n+1）+（n+2）=4n+2．所以n+2一定不是集合A2n的“相关数”；所以当m≤n+2时，m一定不是集合A2n的“相关数”，因此若m为集合A2n的“相关数”，必有m≥n+3，即若m为集合A2n的“相关数”，必有m﹣n﹣3≥0；（Ⅲ）由（Ⅱ）得m≥n+3，先将集合A2n的元素分成如下n组：C i=（i，2n+1﹣i），（1≤n），对A2n的任意一个含有n+3个元素的子集p，必有三组，，同属于集合P，再将集合A2n的元素剔除n和2n后，分成如下n﹣1组：D j=（j，2n﹣j），（1≤j≤n﹣1），对于A2n的任意一个含有n+3个元素的子集P，必有一组属于集合P，这一组与上述三组，，中至少一组无相同元素，不妨设与无相同元素．此时这4个元素之和为[i1+（2n+1﹣i1）+（2n﹣j4）]=4n+1，所以集合A2n的“相关数”m的最小值为n+3．第21页（共21页）。
2017秋季数学集训二队每周习题(9)
2017秋季数学集训二队每周习题(9)星期一解答题。
1.甲、乙两人都有一些邮票。
若甲给乙15张，则两人的邮票张数一样多。
原来甲比乙多几张？2.甲、乙两人都有一些邮票。
若甲给乙10张，则乙比甲还少2张。
原来甲比乙多几张？3.甲、乙两人都有一些邮票。
若甲给乙10张，则乙比甲少4张。
原来甲比乙多几张？星期二4.有两根铁丝，第一根长32米，从第一根剪下12米给第二根，则两根铁丝就一样长了。
原来第二根铁丝长多少米？5.有两条彩带。
若第一条剪去16米，第二条接上22米，两条彩带就一样长。
原来第一条彩带比第二条长多少米？6.有两条彩带，第一条剪去38米，第二条剪去26米，这时两根彩带一样长。
原来第一条彩带比第二条彩带长多少米？星期三7.姐姐和妹妹都有一些钱，姐姐比妹妹多28元。
妹妹给了姐姐4元后，这时姐姐比妹妹多多少元？8.有两篮火龙果，从甲篮中拿出9个放入乙篮，则乙篮的火龙果的个数比甲篮多3个，这时乙篮有火龙果23个。
甲篮中原有火龙果多少个？9.有甲、乙两个书橱，甲书橱上摆放了52本图书，乙书橱上摆放了30本图书。
又运来了38本图书，管理员应该怎样摆放才能使两个书橱上的图书一样多？星期四10.书架上层有8本不同的科技书，下层有5本不同的美术书。
现在任意取一本，一共有几种不同的取法？若是每次取出一本科技书和一本美术书，一共有几种不同的取法？11.小乐有两盒弹珠，甲盒有85颗，乙盒有35颗。
每次从甲盒取5颗弹珠放到乙盒中，取多少次后，两盒弹珠的颗数就同样多？12.同学们排成每行人数同样多的队伍进行体操表演。
小华从前数或从后数都是第5个，从左数是第4个，从右数是第3个。
参加这次体操表演的同学一共有多少人？星期五13.一排队伍中，小红的左边有9人，小月的右边有7人，两人之间有2人。
如果小红在小月的左边，那么这一行共有多少人？如果小红在小月的右边，那么这一行共有多少人？14.李大爷和王大爷各挑着一担西瓜去集市。
王大爷担中有10个西瓜，每个西瓜重8千克；李大爷担中有8个西瓜，每个西瓜重6千克。
2017级数学试题答案(11.12)
2016-2017学年高一数学试卷一、选择题： BABBD DCDDB AA二、填空题:13．（0，1）； 14．)16,4( ； 15．（0，1] ；16．),2()1,0(+∞ ．三、解答题:17．解：(I)已知函数f （x ）=2x ，x ∈（0，2）的值域为A ， ∴A=（1，4）， …………2分 函数g （x ）=log 2（x ﹣2a ）+（a ＜1）的定义域为B ．∴B=（2a ，a+1]，a ＜1， …………5分 (II)若B ⊆A ，则（2a ，a+1]⊆（1，4），∴，解得：≤a ＜1． …………10分18．解：(I)（）0.5﹣2×（2）﹣2×（）0+（）﹣2=6572； …………6分(II)log 535+2log 0.5﹣log﹣log 514+51+=+15=17． …………12分19．解：(I)证明：f （x ）的定义域为R…（1分）设x 1＜x 2，则=…（4分）因为所以即f （x 1）＜f （x 2）所以，不论a 何值f （x ）为增函数 …………6分 (II)因为f （﹣x ）+f （x ）=0所以f （1﹣2x ）=﹣f （2x ﹣1） 又因为f （x+1）+f （1﹣2x ）＞0所以f （x+1）＞f （2x ﹣1）…（9分） 又因为f （x ）为增函数，所以x+1＞2x ﹣1解得 x ＜2 …………12分 20．解：(I)定义域为R ；所以ax 2+2x+1＞0对一切x ∈R 成立； 当a=0时，2x+1＞0不可能对一切x ∈R 成立； 所以即：；综上 a ＞1． …………6分(II)；令；所以y=u 2﹣2u+2=（u ﹣1）2+1，u ∈[t ，t+1]； ①当t≥1时，；②当0＜t ＜1时，y min =1； ③当t≤0时，；所以 . .…………12分21．解：(I)由⎩⎨⎧>->+.01,01x x 解得11<<-x ，所以函数)(x f 的定义域为)1,1(-．…………2分依题意，可知)(x f 为偶函数，所以)()(x f x f =-， 即=++-)1(log )1(log 22x a x )1(log )1(log 22x a x -++， 即0)]1(log )1()[log 1(22=--+-x x a ，即011log )1(2=-+-xxa 在)1,1(-上恒成立， 所以1=a ． …………6分（说明：用特殊值求解，没有代回验证过程，只给2分）(II)解法一：由（Ⅱ）可知)1(log )1(log )1(log )(2222x x x x f -=-++=，所以t x x x g 21)(2--+=，它的图象的对称轴为直线21-=x ． …………8分 依题意，可知)(x g 在)1,1(-内有两个不同的零点，只需⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-=<--=⎪⎭⎫⎝⎛->--=-.021)1(,024521,021)1(t g t g t g 解得2185-<<-t ．所以实数t 的取值范围是⎪⎭⎫⎝⎛--21,85． …………12分 解法二：由（Ⅱ）可知)1(log )1(log )1(log )(2222x x x x f -=-++=，所以t x x x g 21)(2--+=． …………7分 依题意，可知)(x g 在)1,1(-内有两个不同的零点，即方程122-+=x x t 在)1,1(-内有两个不等实根，即函数t y 2=和12-+=x x y 在)1,1(-上的图象有两个不同的交点. …………8分 在同一坐标系中，分别作出函数)11(12<<--+=x x x y 和t y 2=的图象，如图所示. …………11分观察图形，可知当1245-<<-t ，即2185-<<-t 时，两个图象有两个不同的交点. 所以实数t 的取值范围是⎪⎭⎫⎝⎛--21,85． …………12分22．解：(I) 当x <0时， f (x )＝0，无解； ………… 2分当x ≥0时，f (x )＝2x －12x ，由2x －12x ＝32，得2·22x －3·2x －2＝0，看成关于2x 的一元二次方程，解得2x ＝2或－12， ………… 4分∵2x >0，∴x ＝1. ………… 6分 (II)当t ∈[1，2]时，2t ⎝⎛⎭⎫22t －122t ＋m ⎝⎛⎭⎫2t －12t ≥0， 即m (22t －1)≥－(24t －1)， ………… 8分 ∵22t －1>0，∴m ≥－(22t ＋1)，∵t ∈[1，2]，∴－(22t ＋1)∈[－17，－5]， ………… 10分 故m 的取值范围是[－5，＋∞)． …………12分。
2017届八校二联理科数学参考答案
2
2 a 1 2 a 1 2 2 2 2 2 b 2 c 3 2 1 1 2 b 2 1 c 3 1 a b c 6 2 2
Q f x x a x b c b a c b a c ,
由 h( x )
=0 得， x=e ，当 0<x<e 时， h ( x )
h 1 0,
>0 ；当 x>e 时， h ( x )
当且仅当 x b
时等号成立，又
2 故 h(x)max=h(e)= e ，
2 ③若 0 ln a e
时，当 x>0 时， f(x) 有 2 个零点，故 x ∈ R 时， f(x) 有 3 个零点 . （ 9
1 8 2 2 2 a 1 b 2 c 3 , 4 3
（ 7 分） 即a
11 8 11 时等号成立 。（ 10 分） ,b ,c 3 3 3
2017 届 八 校 二 联 理 数 参 考 答 案
一、 选择题 CDABD CADBB AC
故 PB ∥平面 ACM ；（ 4 分） （ 2 ）取 DO 的中点 N ，连结 MN ， AN ，则 MN ∥ PO ，∵ PO ⊥平面 ABCD ，∴ MN ⊥平面 ABCD ， 故∠ MAN= α为所求的直线 AM 与平面 ABCD 所成的角 .
28 3
20. 解 ：（ 1 ）由题知 c 2 a 2 (8 a 2 ) 2a 2 8 ，由 e
（ 2 ）∵ S bc sin A
3 7 bc 3 ， 4 3
，（ 7 分）
2017年4月 数学国家集训队 第二轮
2017年4月数学国家集训队第二轮2017年4月，是中国的数学国家集训队的第二轮选拔阶段。
数学国家集训队是中国最高水平的数学竞赛选拔队伍，是培养优秀数学人才的重要平台。
在第二轮选拔中，选手们需要完成一系列的数学试题，包括解题、推理、证明等各个方面。
而这些试题的出题者则是由一些著名的数学教育专家组成的评委团，他们根据选手的解题能力和数学思维能力进行评判。
这个选拔过程对选手和评委来说都是一次极为艰巨的挑战。
对于选手而言，他们需要充分发挥自己的数学才华和创造力，通过解决复杂的数学问题来展示自己的实力。
而对于评委团来说，他们需要设计出既能考察选手们的数学素养，又有足够挑战性和创新性的试题。
在这次的选拔中，有一道题目引起了广泛关注。
这道题目是一道关于数学证明的题目，要求选手证明某一性质在所有情况下都成立。
这道题目的难度较高，需要选手们从各个角度出发进行思考，并灵活运用数学知识和推理能力来解决。
而最终能够给出完整、严密的证明的选手，则能够在选拔中脱颖而出，成为国家集训队的一员。
除了数学解题题目外，选拔还包括了一些团队合作和创新思维的考察。
比如，选手们需要组队完成一道集体解题题目。
在这个过程中，选手们需要协商合作，充分发挥团队的力量，共同解决问题。
而在创新思维的考察中，选手们需要根据给定的条件，进行创新性的思考，并提出符合题目要求的解决方案。
整个选拔过程充分考察了选手们的数学素养、解题能力、创新思维和团队合作能力。
通过这样的考察，选拔队能够更好地挖掘和培养数学人才，为我国的数学事业做出积极贡献。
通过这次选拔的严格选拔和高标准要求，中国数学国家集训队将有幸选出最优秀的数学选手，他们将代表中国参加国际数学竞赛，为中国赢得荣誉。
这也将进一步提高中国在数学领域的国际影响力，对于提高中国的数学水平和科技实力，具有重要的推动作用。
总之，2017年4月的数学国家集训队第二轮选拔是一次充满挑战的选拔过程，旨在发现和培养中国数学人才。
2017考研数学二真题及答案解析
2017年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.（1））若函数1cos ,0(),0x f x axb x ⎧->⎪=⎨⎪≤⎩在0x =处连续，则（）(A)12ab =(B)12ab =-(C)0ab =(D)2ab =【答案】A【解析】001112lim lim ()2x x xf x ax ax a ++→→-== 在0x =处连续11.22b ab a ∴=⇒=选A.（2）设二阶可导函数()f x 满足(1)(1)1,(0)1f f f =-==-且''()0f x >，则（）()()1111011110()()0()0()()()()()A f x dx B f x dx C f x dx f x dxD f x dx f x dx----><><⎰⎰⎰⎰⎰⎰【答案】B 【解析】()f x 为偶函数时满足题设条件，此时011()()f x dx f x dx -=⎰⎰，排除C,D.取2()21f x x =-满足条件，则()112112()2103f x dx xdx --=-=-<⎰⎰，选B.（3）设数列{}n x 收敛，则（）()A 当lim sin 0n n x →∞=时，lim 0n n x →∞=()B当lim(0n n x →∞+=时，lim 0n n x →∞=()C 当2lim()0n n n x x →∞+=时，lim 0n n x →∞=()D 当lim(sin )0n n n x x →∞+=时，lim 0n n x →∞=【答案】D【解析】特值法：（A ）取n x π=，有lim sin 0,lim n n n n x x π→∞→∞==，A 错；取1n x =-，排除B,C.所以选D.（4）微分方程的特解可设为（A ）22(cos 2sin 2)xx Ae e B x C x ++（B ）22(cos 2sin 2)xx Axee B x C x ++（C ）22(cos 2sin 2)xx Aexe B x C x ++（D ）22(cos 2sin 2)xx Axee B x C x ++【答案】A【解析】特征方程为：21,248022iλλλ-+=⇒=±222*2*212()(1cos 2)cos 2,(cos 2sin 2),x x x x xf x e x e e x y Ae y xe B x C x =+=+∴==+ 故特解为：***2212(cos 2sin 2),xx y y y Aexe B x C x =+=++选C.（5）设(,)f x y 具有一阶偏导数，且对任意的(,)x y ，都有(,)(,)0,0f x y f x y x y∂∂>>∂∂，则（A ）(0,0)(1,1)f f >（B ）(0,0)(1,1)f f <（C ）(0,1)(1,0)f f >（D ）(0,1)(1,0)f f <【答案】C 【解析】(,)(,)0,0,(,)f x y f x y f x y x y∂∂><⇒∂∂是关于x 的单调递增函数，是关于y 的单调递减函数，所以有(0,1)(1,1)(1,0)f f f <<，故答案选D.（6）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位：m ）处，图中实线表示甲的速度曲线1()v v t =（单位：/m s ），虚线表示乙的速度曲线2()v v t =，三块阴影部分面积的数值依次为10,20,3，计时开始后乙追上甲的时刻记为0t （单位：s ），则（）（A ）010t =（B ）01520t <<（C ）025t =（D ）025t >【答案】B【解析】从0到0t 这段时间内甲乙的位移分别为120(t),(t),t t v dt v dt ⎰⎰则乙要追上甲，则210(t)v (t)10t v dt -=⎰，当025t =时满足，故选C.（7）设A 为三阶矩阵，123(,,)P ααα=为可逆矩阵，使得1012P AP -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则123(,,)A ααα=（）（A ）12αα+（B ）232αα+（C ）23αα+（D ）122αα+【答案】B【解析】11231232300011(,,)(,,)12222P AP AP P A αααααααα-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=⇒=⇒==+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,因此B 正确。
【精品】浙江省2017届高考《数学》第二次联考试题及答案
浙江省2017届高考数学第二次联考试题本试题卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．注意事项:1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷和答题纸规定的位置上。
2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
不能答在试题卷上。
参考公式：球的表面积公式：24S R =π ，球的体积公式： 343R V π=（其中R 表示球的半径）锥体的体积公式：13V Sh =（其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高）柱体的体积公式：V sh =（其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱的高）台体的体积公式：()1213V h S S =（其中12S S ，分别表示台体的上、下底面积，h 表示台体的高）如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+第I 卷(选择题 共40分)一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．）1．若全集{}2,1,0,1-=U ，{}22<∈=x Z x A ，则=A C U （ ▲ ）A ．{}2B ．{}2,0C ．{}2,1-D ．{}2,0,1-2．设*n N ∈，则“数列{}2n a 为等比数列”是“数列{}n a 为等比数列”的（ ▲ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．若关于x 的不等式223x x a -++>对任意x R ∈恒成立，则a 的取值范围为（ ▲ ） A ．(,7)-∞B ．7(,)2-∞C ．[0,7)D ．7[0,)24．若83log 3, log 5p q ==，则lg 5（用,p q 表示）等于（ ▲ ）A ．35p q + B ．13pq p q ++ C ．313pq pq + D ．22p q +5．若向量(( (cos ,sin )().2222m n p R ααα==-=∈实数,a b 满足 ,am bn p +=则22(3)a b +-的最小值为（ ▲ ）A ．1B ．2C ．3D ．46．已知点P 是ABC ∆所在平面外一定点，直线l 过点P ，与,,AB BC CA 所成角均相等，这样的直线l 有（ ▲ ）条 A ．无数 B ．4C ．3D ．17．定义集合{,}A B x x A x B -=∈∉称为集合A 与集合B 的差集 ． 又定义()()A B A B B A ∆=-- 称为集合,A B 的对称差集 ． 记A 表示集合A 所含元素个数 ． 现有两个非空有限集合,S T ，若S T ∆=1，则S T +的最小值为（ ▲ ） A ．1B ．2C ．3D ．48．已知双曲线22221(,0)x y a b a b-=>的左、右焦点分别为12,F F ，过2F 的直线l 与双曲线右支交于,A B 两点（B 在第四象限），若1ABF ∆是B 为直角顶点的等腰直角三角形，设该双曲线的离心率为e ，则2e 为（ ▲ ）A ．5-．225+ C ．224+ D ． 22-4第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题（本大题共7小题，9～12小题每小题6分，13～15小题每小题4分，共36分）9．已知复数1z =（其中i 是虚数单位），满足20z az +=，则实数a =▲ ，z a += ▲ ．10．已知函数()sin 2f x x =向左平移6π个单位，得到函数()y g x =，则()g x = ▲ ， ()y g x =的递增区间是 ▲ ．11．若函数()1f x a x b =+-在(1,)+∞上是减函数，则实数a 的取值范围是 ▲ ，实数b 的取值范围是 ▲ ．12．已知，某几何体的三视图(单位：cm) 如右图所示，则该几何体的体积为 ▲ (cm 3)；表面积为 ▲ (cm 2)．13．方程220x -=的解可视为函数y x =2y x=的图像交点的横坐标 ． 若方程440x ax +-=的各个实根12,,...,(4)k x x x k ≤所对应的点是4(,)(1,2,...,)i ix i k x =均在直线y x =的同侧，则实数a 的取值范围是 ▲ ．14．已知半径分别为1和2 的两球紧贴放在水平桌面上， 则两球在桌面上的俯视图的公共P弦长为 ▲ ．15．已知单位向量,,,a b c x，且0a b c ++= ，记y x a x b x c =-+-+- ，则y 的最大值为 ▲ ．三、解答题：本大题共5个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
2017秋季数学集训二队每周习题(8)
2017秋季数学集训二队每周习题(8)星期一1.巧填竖式。
(每题中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字)爱爱爱＋69爱＝( )祖国国＋43祖＝( )祖国＝( )美丽6＋85美＝( )丽丽＝( )喜欢欢＋89喜＝( )欢欢＝( )速6归－8 速＝( )归归＝( )9 图画－6图＝( )画画＝( )奥数数＋89奥＝( )奥数＝( )壮美壮－23壮＝( )5美＝( )星期二2.在下面各竖式的□内填入合适的数字，使竖式成立。
①⑥星期三3.不同的汉字、图形代表不同的的数字，相同的汉字、图形代表相同的数字。
当它们各代表4＋－39971585427－98803 7 207799 538－什么数字时，下面的竖式成立？①②③ ④星期四4.有一个长方形场地，长38米，宽22米。
乐乐沿场地走一圈，用了4分钟。
他每分钟走多少米？＋＝( )＝( )＝( )＝( )( )＝( ) 55＋5777奥 数学 奥 数我 学 奥 数1 9 0 8＋数奥学我＝( ) ＝( ) ＝( )＝( )北 京 爱 北 京我 爱 北 京 2 0 0 7＋ 我爱北京＝( ) ＝( )＝( ) ＝( )5.乐乐家养一些鸡，黄鸡比黑鸡多16只，白鸡比黄鸡多14只，白鸡正好是黑鸡的2倍。
白鸡、黄鸡、黑鸡各有多少只？6.王奶奶养有鸡、鸭共43只。
她卖出5只鸡，又卖出8只鸭，这时鸭的只数是鸡的2倍。
王奶奶原来养了多少只鸡？星期五7.简便计算：①798＋398－103 ②2203＋377－204 ③1201－92－201－108④1490－128－490－172 ⑤1853－(853＋178)－22 ⑥3259－337＋338⑦1－2＋3－4＋5－6＋……－90＋91 ⑧304＋295＋301＋296＋298＋302⑨2000－199－1－198－2－197－3－196－4 ⑩2001－398－101－968.巧填运算符号：1 1 1 1 1 ＝242 2 2 2 2 ＝123 3 3 3 3 ＝114 4 4 4 4 ＝415 5 5 5 5 ＝196 6 6 6 6 ＝197 7 7 7 7 ＝41 8 8 8 8 8 ＝10 9 9 9 9 9 ＝105 5 5 5 5 ＝51 7 7 7 7 7 ＝476 6 6 6 6 ＝117 7 7 7 7 ＝4 9 9 9 9 9 ＝99 7 7 7 7 7 ＝166 6 6 6 6 ＝9 6 6 6 6 6 ＝27 7 7 7 7 ＝21。
2017秋季数学集训队预科班每周习题(5)参考答案(参考模板)
2017秋季数学集训队预科班每周习题(5)参考答案星期一1.用彩色笔涂色。
⑴把从左数起第5个娃娃涂上红色。
⑵把右边数起5顶帽子涂上绿色。
⑶把左边数起5个梨涂上黄色。
2.看图填数。
⑴从左往右数，●是第5个；从右往左数●是第6个。
⑵从上往下数，●是第3个；从下往上数●是第2个。
3.看谁算得快。
1 + 2＝32 + 3＝53 - 1＝24 - 2＝25 - 3＝21 + 4＝5 5 - 3＝2 4 - 3＝1 2 + 2＝4 4 - 2＝22 + 1＝34 - 1＝35 - 1＝4 3 + 1＝4 3 + 2＝5星期二1.(1)一共有8支。
(2)把左边数起的第3支铅笔涂上颜色。
(3)把右边数起的3支铅笔圈起来。
2.(1)从左边数起，☆排在第1位、第2位、第4位和第7位。
(2)从右边数起，△排在第1位、第3位、第4位和第6位。
3.涂一涂。
从左边数起，给第2辆、第6辆卡车涂上颜色。
星期三1.⑴水果一共有9个。
⑵从右边数起，将第4个水果涂上颜色。
⑶梨一共有5个。
从左边数起，是从第5个到第9个。
2.⑴一共有6张数字卡片。
⑵从左边数起是第3张；从右边数起是第3张。
⑶把左边3张卡片圈起来。
3.在下图中，从右往左数，★排在第6。
那么，★的右边还有几个☆？请把它们画出来。
星期四1.在左边的图形中圈一圈。
(1)把右图中第一行左边的4个笑脸圈起来。
(2)把右图中第二行右边的2个笑脸圈起来。
(3)把右图中第三行从左边数起第2个到第4个圈起来。
2.7 09 6 7 0 4 5⑴排在左边数起第4；排在右边数起第1。
(2) 从右边数起是第五，从左边数起是第五。
3.请你按要求在下面的横线上画一画。
从左往右数，△是第7个，△的左边有6个○。
○○○○○○△星期五1.小朋友玩游戏，从前往后数丽丽排第2，从后往前数丽丽排第3。
这一排一共有多少个小朋友？解：画图示意: ○△○○列式：2＋3－1＝4（个）答：这一排一共有4个小朋友。
2.小朋友排成一队，李锐前面有3人，他的后面有2人。
2016-2017年度双周测高二数学参考答案9.24
--WORD 格式--可编辑----2016-2017年度双周测高二数学参考答案9.24一、填空题：1．若c a b +=2，则c b a ,,成等差数列 2． R x ∈∀,使0322≠+-x x3．[-3，4] 4．12 5． 53 6．2 7. [-12,1] 8. 假 9．10010. 51≥a 11. 充分不必要 12． 5 13． x<0或x>5 14． 3 二、解答题：15.解：（1…………6分 （2…………8分16. 解：0))(2(>--a x x ，两根为a ，2 ………2分当2>a 时，解集为),()2,(+∞⋃-∞a ………4分 当2=a 时，解集为),2()2,(+∞⋃-∞ ………4分 当2<a 时，解集为),2(),(+∞⋃-∞a ………4分17．解：P 为真时，82≤≤m ； ………2分 q 为真时，41>-<m m 或 ………2分 命题p 或q 为真命题，命题p 且q 为假命题，则p ，q 一真一假 ………2分 （1）当p 真q 假时⎩⎨⎧≤≤-≤≤4182m m ，则42≤≤m ………3分 （2）当p 假q 真时，则81>-<m m 或………3分综上：实数m 的取值范围为42≤≤m 或81>-<m m 或 ………2分18．解：(1)当0<x ≤40，W ＝xR(x)－(16x ＋40)＝－6x 2＋384x －40；当x>40，W ＝xR(x)－(16x ＋40)＝－－16x ＋7360.所以，W ＝………6分(2)①当0<x ≤40，W ＝－6(x －32)2＋6104，所以W max ＝W(32)＝6104； ………4分 ②当x>40时，W ＝－－16x ＋7360，由于＋16x ≥2＝1600，当且仅当＝16x ，即x ＝50∈(40，＋∞)时，W 取最大值为5760. ………4分综合①②知，当x ＝32时，W 取最大值为6104. ………2分19．证明：（1）必要性由“02=++c bx ax 有一根为1”证“0=++c b a ” ………7分（2）充分性由“0=++c b a ”证“方程02=++c bx ax 有一根为1” ………7分 综上：“方程02=++c bx ax 有一根为1”的充要条件是“0=++c b a ” ………2分20．（本小题满分16分）解：（1）当0=m 时，显然01<-成立 ………2分 （2）当0≠m 时，则⎩⎨⎧<∆<0m ，解之04<<-m ………4分综上：实数m 的取值范围为04≤<-m ………2分 （2）参数分离162+-<x x m 恒成立（012>+-x x ）………4分 又12+-=x x y 在]3,1[∈x 上的最大值为7 ………2分所以m 的取值范围为76<m ………2分 （也可以构造函数，对m 分类讨论）。
2017届理科数学训练(2) 答案
2017届理科数学训练（2）1．已知全集}5,4,3,2,1{=U ，集合}3,1{=A ，}5,4,3{=B ，则集合C U （A∩B ）=CA ．}3{B ．}5,4{C ．}5,4,2,1{D ．}5,4,3{2．设120.7a =，120.8b =，3log 0.7c =，则 BA ．c b a <<B ．c a b <<C ．a b c <<D ．b a c <<3．函数log (2)1a y x =++的图象过定点 D A ．（1，2） B ．（2，1） C ．（-2，1）D ．（-1，1）4．若，则f （－3）的值为 DA ．2B ．8C ．21D ．815．下列函数中，在区间)2,0(上是增函数的是 BA ．542+-=x x yB ．x y =C ．2x y -=D ．12log y x =6．满足条件{}{}3,2,11=⋃M 的集合M 的个数是 C A ．4 B ．3C ．2D ．17．函数()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x >时()1f x x =-+，则当0x <时，()f x 的表达式为 DA ．()1f x x =+B ．()1f x x =-C ．()1f x x =-+D ．()1f x x =-- 8．函数()312f x ax a =+-，在区间(1,1)-上存在一个零点，则a 的取值范围是 AA ．15a >或1a <-B ．15a >C ．115a -<<D ．1a <- 9．若奇函数f （x ）在[1,3]上为增函数且有最小值0，则它在[－3，－1]上 CA ．是减函数，有最大值0B ．是减函数，有最小值0C ．是增函数，有最大值0D ．是增函数，有最小值010．函数g （x ）＝2x ＋5x 的零点所在的一个区间是 BA ．（0,1）B ．（－1,0）C ．（1,2）D ．（－2，－1） 11．已知2()23f x x x =-+在区间[0,]t 上有最大值3，最小值2，则t 的取值范围是 DA ．[1,)+∞B ．[0,2]C ．(,2]-∞D ．[1,2]12．已知偶函数f （x ）在（-∞，-2]上是增函数，则下列关系式中成立的是 DA ．)4()3()27(f f f <-<-B ．)4()27()3(f f f <-<-C ．)27()3()4(-<-<f f fD ．)3()27()4(-<-<f f f13．给出以下结论：①f （x ）=11--+x x 是奇函数；②221)(2-+-=x x x g 既不是奇函数也不是偶函数；③))(()()(R x x f x f x F ∈-=是偶函数；④xxx h +-=11lg )(是奇函数，其中正确的有 CA ．1个B ．2个C ．3个D ．4个14．函数1)3(2)(2+-+=x a ax x f 在区间[)+∞-,2上递减，则实数a 的取值范围 BA ．(]3,-∞-B ．[]0,3-C ．[)0,3-D ．[]0,2-15．义在R 上的奇函数)(x f ，满足0)21(=f ，且在),0(+∞上单调递减，则0)(>x xf 的解集为 BA ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧>-<2121x x x 或B ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<<<021-210x x x 或C ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<<<21210x x x 或D ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧><<-21021x x x 或 16.设集合{}{}20,1,2,2M N x x x ===，则A B =（ B ） A. {}0,1,2 B. {}0,2 C. {}2 D. {}017.函数()f x 的定义域是（ B ） A. [)1,1- B. [)1,1(1,)-+∞ C. [)1,-+∞ D. (1,)+∞ 18.下列函数中，是偶函数的是（ C ）A. 2y x =B.(1)y x =-︒C. y =D. y =19.下列四组函数中()f x 与()g x 是同一函数的是（D ）A. 2(),()x f x x g x x ==B. 121()(),()2xf xg x x ==C. 2()2,()f x lgx g x lgx ==D. (0)(),()(0)x x f x x g x x x ≥⎧==⎨-<⎩20.幂函数y x ∂=必过定点（ B ）A.（0，0）B.（1，1）C.（0，1）D.（1，0） 21.()2f x lnx x =+-的零点所在区间（ D ）A.（0，1）B.（1，2）C.（2，3）D.（3，4）22.2(0)()(0)x x f x x a x ⎧≥=⎨+<⎩是R 上的增函数，则a 的范围是（ B ）A. [1,)+∞B. (],1-∞C. [2,)+∞D. (],2-∞23.1()21xf x a =++是奇函数，则a =（ A ） A. 12- B. 12C. 1-D. 124.31()(0)()3(0)xx f x log x x ⎧≤⎪=⎨⎪>⎩则1()9f f ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦（ C ）A.2-B. 3-C.9D.1925.已知2()101,()43x f x g x x x =-=-+-，若()()f m g n =，则n 的范围是（A ）A. (2-B. 2⎡⎣C. (]1,1-D. [1,3]26.已知函数f （x ＋1）＝3x ＋4，则f （x ）的解析式为_____f(x)=3x+1． 27.已知集合U ＝{2,3,6,8}，A ＝{2,3}，B ＝{2,6,8}，则（C U A ）∩B ＝___{6,8}28.函23)(2+-=x x x f 数的单调增区间是 x>=2．29.函数)5(log 31-=x y 的定义域是(5,6]30.函数132+=x y 的值域为 (0,3].函数25x y a -=+过定点____(2,6)_.32.()y f x =的定义域为（-1，1），则(3)y f x =-定义域为___(2,4).33.()f x 为奇函数，()g x 为偶函数，且(1)(1)4,(1)(1)f g f g -+=+-=，则(1)g =_3 .34.2()23f x x x a =---有四个零点，则a 的取值范围是___(0,4).35.已知12122112,(),(),22a b c log a log b log c ===则,,a b c 的大小关系是___b>c>a.36.设M 、N 是非空集合，定义M ⊙N ＝{x |x ∈M ∪N 且x ∉M ∩N }．已知M ＝{x |y ＝2x －x 2}，N ＝{y |y ＝2x ，x >0}，则M ⊙N 等于__[0,1)．37.已知全集为R ，集合{}{}{}15,3,A x x B x x C x x a =≤<=>=<（1）求A B ⋂=(3,5)；（2）求()R A C B ={x/x<5}；（3）若,A C ⊆求a 的范围.a>=538.计算下列各式：（1）21023213(2)(9.6)(3)(1.5)48-----+；=1/2（2）7log 23log lg 25lg 473+++=15/4（3）12132392825()225log lg lg -+++=539.设0,()x x e aa f x a e>=+是R 上的偶函数.（1）求a 的值（2）证明()f x 在(0,)+∞上是增函数(1)a=1 （用f(-1)=f(1)） (2)用定义或导数 40.已知函数21)(x bx x f ++=为奇函数。
2017秋季数学集训队预科班每周习题(1)
2017秋季数学集训队预科班每周习题(1)
星期一
1.练习写0～9的数字。
(要求在家多练习，能熟练书写数字)
2.数一数，涂一涂。
3.把数量相同的图形用线连起来。
星期二
1.看数画“□”。
4： 7：
6： 9：
2.再补画几个○，使○的个数与左边的数同样多。
7： ○○
10： ○○○○
3.照样子，涂一涂。
星期三
1.连线：把物体的个数与正确的数相连。
1 8 6
2
3
4
5 7
2.
3.
数一数，每种图形各有多少个？
☆○☆△☆□○△□□△☆□□□□○○○○☆□△△
○有
个，△有
个，□有 个，☆有 个。
星期四
1.看数继续涂色。
2.把正方形右边的1个“○”涂黑，再把正方形左边的2个“○”涂黑。
3.把下面数量少的图形涂色。
星期五
1.看数，将图中缺少的图形补齐。
2.有5个小朋友分星星，每个小朋友分到2颗，那么哪一堆星星比较合适？在下面的“。
3.数一数，下面一共有
双筷子。
2017年全国高中数学联赛二试试题及答案解析.pdf
2010年全国高中数学联合竞赛加试 试题参考答案及评分标准（A 卷）说明：1. 评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分.2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，10分为一个档次，不要增加其他中间档次。
一、（本题满分40分）如图，锐角三角形ABC 的外心为O ，K 是边BC 上一点（不是边BC 的中点），D 是线段AK 延长线上一点，直线BD 与AC 交于点N ，直线CD 与AB 交于点M ．求证：若OK ⊥MN ，则A ，B ，D ，C 四点共圆．证明：用反证法．若A ，B ，D ，C 不四点共圆，设三角形ABC 的外接圆与AD 交于点E ，连接BE 并延长交直线AN 于点Q ，连接CE 并延长交直线AM 于点P ，连接PQ ．因为2PK =P 的幂（关于⊙O ）+K 的幂（关于⊙O ） ()()2222PO rKOr =−+−，同理 ()()22222QK QO rKOr =−+−，所以 2222PO PK QO QK −=−，故 OK ⊥PQ ． （10分）由题设，OK ⊥MN ，所以PQ ∥MN ，于是AQ APQN PM=． ① 由梅内劳斯（Menelaus ）定理，得1NB DE AQBD EA QN⋅⋅=， ② 1MC DE APCD EA PM⋅⋅=． ③ 由①，②，③可得NB MCBD CD=， （30分） 所以ND MDBD DC=，故△DMN ∽ △DCB ，于是DMN DCB ∠=∠，所以BC ∥MN ，故OK ⊥BC ，即K 为BC 的中点，矛盾！从而,,,A B D C 四点共圆. （40分）注1：“2PK =P 的幂（关于⊙O ）+K 的幂（关于⊙O ）”的证明：延长PK 至点F ，使得PK KF AK KE ⋅=⋅， ④则P ，E ，F ，A 四点共圆，故PFE PAE BCE ∠=∠=∠，从而E ，C ，F ，K 四点共圆，于是PK PF PE PC ⋅=⋅， ⑤⑤-④，得 2PK PE PC AK KE =⋅−⋅=P 的幂（关于⊙O ）+K 的幂（关于⊙O ）． 注2：若点E 在线段AD 的延长线上，完全类似．二、（本题满分40分）设k 是给定的正整数，12r k =+．记(1)()()f r f r r r ==⎡⎤⎢⎥，()()l f r = (1)(()),2l f f r l −≥．证明：存在正整数m ，使得()()m f r 为一个整数．这里，x ⎡⎤⎢⎥表示不小于实数x 的最小整数，例如：112⎡⎤=⎢⎥⎢⎥，11=⎡⎤⎢⎥．证明：记2()v n 表示正整数n 所含的2的幂次．则当2()1m v k =+时，()()m f r 为整数．下面我们对2()v k v =用数学归纳法．当0v =时，k 为奇数，1k +为偶数，此时()111()1222f r k k k k ⎛⎞⎡⎤⎛⎞=++=++⎜⎟⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎢⎥⎝⎠为整数． （10分)假设命题对1(1)v v −≥成立．对于1v ≥，设k 的二进制表示具有形式1212222v v v v v k αα++++=+⋅+⋅+"，FE Q PO NM KDC B A这里，0i α=或者1，1,2,i v v =++"． （20分)于是 ()111()1222f r k k k k ⎛⎞⎡⎤⎛⎞=++=++⎜⎟⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎢⎥⎝⎠2122kk k =+++ 11211212(1)2()222v v v vv v v ααα−++++=+++⋅++⋅+++""12k ′=+， ①这里1121122(1)2()22v v v v v v v k ααα−++++′=++⋅++⋅+++""．显然k ′中所含的2的幂次为1v −．故由归纳假设知，12r k ′′=+经过f 的v 次迭代得到整数，由①知，(1)()v f r +是一个整数，这就完成了归纳证明． （40分） 三、（本题满分50分）给定整数2n >，设正实数12,,,n a a a "满足1,1,2,,k a k n ≤="，记12,1,2,,kk a a a A k n k+++==""．求证：1112nnk k k k n a A ==−−<∑∑． 证明：由01k a <≤知，对11k n ≤≤−，有110,0kni ii i k a k an k ==+<≤<≤−∑∑． （10分）注意到当,0x y >时，有{}max ,x y x y −<，于是对11k n ≤≤−，有11111kn n k i i i i k A A a a n k n ==+⎛⎞−=−+⎜⎟⎝⎠∑∑11111n ki i i k i a a n k n =+=⎛⎞=−−⎜⎟⎝⎠∑∑ 11111max ,n k i i i k i a a n k n =+=⎧⎫⎛⎞<−⎨⎬⎜⎟⎝⎠⎩⎭∑∑111max (),n k k nk n ⎧⎫⎛⎞≤−−⎨⎬⎜⎟⎝⎠⎩⎭1k n=−， （30分） 故111nnnk kn k k k k a AnA A ===−=−∑∑∑()1111n n nk n k k k AA A A −−===−≤−∑∑111n k k n −=⎛⎞<−⎜⎟⎝⎠∑12n −=． （50分） 四、（本题满分50分）一种密码锁的密码设置是在正n 边形12n A A A "的每个顶点处赋值0和1两个数中的一个，同时在每个顶点处涂染红、蓝两种颜色之一，使得任意相邻的两个顶点的数字或颜色中至少有一个相同．问：该种密码锁共有多少种不同的密码设置？解：对于该种密码锁的一种密码设置，如果相邻两个顶点上所赋值的数字不同，在它们所在的边上标上a ，如果颜色不同，则标上b ，如果数字和颜色都相同，则标上c ．于是对于给定的点1A 上的设置（共有4种），按照边上的字母可以依次确定点23,,,n A A A "上的设置．为了使得最终回到1A 时的设置与初始时相同，标有a 和b 的边都是偶数条．所以这种密码锁的所有不同的密码设置方法数等于在边上标记a ，b ，c ，使得标有a 和b 的边都是偶数条的方法数的4倍． （20分）设标有a 的边有2i 条，02n i ⎡⎤≤≤⎢⎥⎣⎦，标有b 的边有2j 条，202n i j −⎡⎤≤≤⎢⎥⎣⎦．选取2i 条边标记a 的有2in C 种方法，在余下的边中取出2j 条边标记b 的有22jn i C −种方法，其余的边标记c ．由乘法原理，此时共有2in C 22jn i C −种标记方法．对i ，j 求和，密码锁的所有不同的密码设置方法数为222222004n n i i j n n i i j C C −⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦−==⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠∑∑． ①这里我们约定001C =． （30分）当n 为奇数时，20n i −>，此时22221202n i j n i n i j C −⎡⎤⎢⎥⎣⎦−−−==∑． ② 代入①式中，得()()2222222221222000044222n n i n n i j i n i i n i n n i n n i j i i C C C C −⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎢⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦−−−−====⎛⎞⎜⎟==⎜⎟⎜⎟⎝⎠∑∑∑∑ 0022(1)(21)(21)nnkn kk n kk n n nn k k C C −−===+−=++−∑∑ 31n =+． （40分）当n 为偶数时，若2n i <，则②式仍然成立；若2ni =，则正n 边形的所有边都标记a ，此时只有一种标记方法．于是，当n 为偶数时，所有不同的密码设置的方法数为222222004n n i i j n n i i j C C −⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎦−==⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠∑∑()122210412n i n i n i C ⎡⎤−⎢⎣⎦−−=⎛⎞⎜⎟×+⎜⎟⎜⎟⎝⎠∑ ()222124233n i n i n n i C ⎡⎤⎢⎣⎦−−==+=+∑．综上所述，这种密码锁的所有不同的密码设置方法数是：当n 为奇数时有31n+种；当n 为偶数时有33n+种． （50分）。
2017秋季数学集训二队每周习题(1)
2017秋季数学集训二队每周习题(1)
星期一
1.一条直线上有4个点。
能数出多少条不同的线段？
2.一条直线上能数出15条不同的线段。
这条直线上至少要有多少个点？
3.有6个小朋友，见面互相握手。
一共要握多少次手？
星期二
4.数线段：
线段有( )条线段有( )条线段有( )条
算式：算式：算式：
线段有( )条线段有( )条线段有( )条算式：算式：算式：
星期三
5.数角(小于平角)：
角有( )个角有( )个角有( )个算式：算式：算式：
6.数三角形：
三角形有( )个三角形有( )个三角形有( )个算式：算式：算式：
三角形有( )个三角形有( )个三角形有( )个算式：算式：算式：
星期四
7.数正方形：
正方形有( )个正方形有( )个正方形有( )个算式：算式：算式：
正方形有( )个正方形有( )个正方形有( )个算式：算式：算式：
8.数长方形：
长方形有( )个长方形有( )个长方形有( )个
算式：算式：算式：
长方形有( )个长方形有( )个长方形有( )个
算式：算式：算式：
星期五
9.一本故事书共有105页，页码依次为1，2，3，……，104，105。
十位和个位数字相同的页码一共出现了多少次？
10.小明要制作1～100这100张数字卡片，在打印时，打印机发生了故障，将数字“1”错打成了“7”。
请问有多少张数字卡片被打错了？
11.如图，将一个正方体的表面全涂上绿色，再切成27个小正方体。
问：在切成的27个小
个？没涂绿色的有多少个？。
2017年嘉定区高考数学二模试卷含答案(K12教育文档)
2017年嘉定区高考数学二模试卷含答案(word版可编辑修改)编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2017年嘉定区高考数学二模试卷含答案(word版可编辑修改)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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2017年度嘉定区高考数学二模试卷含答案一、填空题（本大题共有12题，满分54分,第1～6题每题4分，第7~12题每题5分） 考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．函数1)2(sin 22-=x y 的最小正周期是________________． 2．设i 为虚数单位,复数i2i21+-=z ，则=||z ____________． 3．设)(1x f -为12)(+=x xx f 的反函数,则=-)1(1f _____________． 4．=++++∞→n n n n n 3232lim 11_______________．5．若圆锥的侧面积是底面积的2倍,则其母线与轴所成角的大小是______________． 6．设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若3535=a a ，则=35S S___________． 7．直线⎩⎨⎧-=+=t y t x 4,2（t 为参数）与曲线⎪⎩⎪⎨⎧+=+=θθsin 25,cos 23y x (θ为参数)的公共点的个数是______________．8 ．已知双曲线1C 与双曲线2C 的焦点重合,1C 的方程为1322=-y x ,若2C 的一条渐近线的倾斜角是1C 的一条渐近线的倾斜角的2倍,则2C 的方程为__________________． 9．若2131)(--=x x x f ，则满足0)(>x f 的x 的取值范围是_______________．10．某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为32和53．现安排甲组研发新产品A ,乙组研发新产品B ，设甲、乙两组的研发相互独立 ，则至少有一种 新产品研发成功的概率为______________．11．设等差数列}{n a 的各项都是正数，前n 项和为n S ,公差为d ．若数列{}nS 也是公差为d 的等差数列,则}{n a 的通项公式为=n a _____________．12．设R ∈x ，用][x 表示不超过x 的最大整数（如2]32.2[=，5]76.4[-=-），对于给定的*N ∈n ，定义)1][()1()1][()1(+--+--=x x x x x n n n C x n ，其中),1[∞+∈x ，则当⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈3,23x 时,函数xC x f 10)(=的值域是____________________．二、选择题（本大题共有4题，满分20分,每题5分) 每题有且只有一个正确选项．考 生应在答题纸的相应位置,将代表正确选项的小方格涂黑．13．命题“若1=x ，则0232=+-x x ”的逆否命题是………………………………( ）．（A ）若1≠x ,则0232≠+-x x （B)若0232=+-x x ，则1=x (C ）若0232=+-x x ,则1≠x （D ）若0232≠+-x x ，则1≠x 14．如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，M 、E 是AB 的三等分点，G 、N 是CD 的三等分点，F 、H 分别是BC 、MN 的中点，则四棱锥EFGH A -1的左视图是…………………………………………（ )．（A ） （B) (C ） （D）15．已知△ABC 是边长为4的等边三角形，D、P 是△ABC 内部两点，且满足)(41+=，81+=,则△ADP 的面积为…………………( ）． （A ）43 （B)33 (C ）23（D ）3 16．已知)(x f 是偶函数,且)(x f 在),0[∞+上是增函数，若)2()1(-≤+x f ax f 在 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈1,21x 上恒成立，则实数a 的取值范围是……………………………………（ ）．（A ）]1,2[- （B ）]0,2[- （C ）]1,1[- （D ）]0,1[-三、解答题（本大题共有5题,满分76分） 解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出D A BCD 1FHE MN GA 1B 1C 1必要的步骤．17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,已知2=-b a ，4=c ,B A sin 2sin =． （1）求△ABC 的面积S ； (2）求)2sin(B A -的值．18．(本题满分14分,第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图，在长方体1111D C B A ABCD -中，8=AB ,5=BC ，41=AA ，平面α截长方体得到一个矩形EFGH ，且211==F D E A ，5==DG AH ．(1）求截面EFGH 把该长方体分成的两部分体积之比；（2）求直线AF 与平面α所成角的正弦值．19．(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图，已知椭圆C ：12222=+b y a x （0>>b a )过点⎪⎭⎫⎝⎛23,1，两个焦点为)0,1(1-F 和)0,1(2F ．圆O 的方程为222a y x =+．(1）求椭圆C 的标准方程；（2）过1F 且斜率为k （0>k ）的动直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，与圆O 交于P 、Q 两点（点A 、P 在x 轴上方），当||2AF ，||2BF ，||AB 成等差数列时，求弦PQ 的长．ACD E FG A 1B 1 1D 120．（本题满分16分,第1小题满分4分，第2小题满分6分,第3小题满分6分）如果函数)(x f y =的定义域为R ，且存在实常数a ，使得对于定义域内任意x ,都有)()(x f a x f -=+成立，则称此函数)(x f 具有“)(a P 性质”． （1）判断函数x y cos =是否具有“)(a P 性质"，若具有“)(a P 性质”,求出所有a 的值的集合;若不具有“)(a P 性质”，请说明理由；（2)已知函数)(x f y =具有“)0(P 性质”，且当0≤x 时，2)()(m x x f +=,求函数)(x f y =在区间]1,0[上的值域；(3）已知函数)(x g y =既具有“)0(P 性质"，又具有“)2(P 性质”，且当11≤≤-x 时,||)(x x g =，若函数)(x g y =的图像与直线px y =有2017个公共点,求实数p 的值．21．（本题满分18分,第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）给定数列}{n a ，若满足a a =1(0>a 且1≠a ），对于任意的*,N ∈m n ,都有m n m n a a a ⋅=+，则称数列}{n a 为指数数列．(1）已知数列}{n a ，}{n b 的通项公式分别为123-⋅=n n a ，n n b 3=，试判断}{n a ，}{n b 是不是指数数列(需说明理由）；（2）若数列}{n a 满足:21=a ,42=a ,n n n a a a 2312-=++,证明:}{n a 是指数数列; （3）若数列}{n a 是指数数列，431++=t t a （*N ∈t )，证明：数列}{n a 中任意三项都不能构成等差数列．2016-2017学年度嘉定区高三年级第二次质量调研数学试卷参考答案与评分标准一、填空题（本大题共有12题,满分54分，第1～6题每题4分，第7~12题每题5分） 1．2π 2．1 3．1 4．3 5．6π 6．257．1 8．1322=-y x 9．),1(∞+ 10．1513 11．412-n 12．(]45,15320,5 ⎥⎦⎤⎝⎛二、选择题（本大题共有4题,满分20分,每题5分) 13．D 14．C 15．A 16．B三、解答题(本大题共有5题，满分76分)17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）（1)因为B A sin 2sin =，所以由正弦定理得b a 2=， ……………………（1分） 又2=-b a ,故4=a ，2=b ， ……………………………………………(3分)所以412cos 222=-+=bc a c b A ，因为),0(π∈A ,所以415sin =A ．………（5分）所以154154221sin 21=⋅⋅⋅==A bc S ．………………………………（6分) （2）因为415sin =A ，41cos =A ，所以815cos sin 22sin ==A A A ，87sin cos 2cos 22-=-=A A A ，……………（4分）815sin 21sin ==A B ,因为a b <，所以B 为锐角，所以87cos =B （或由c a =得到A B 2-=π，872cos )2cos(cos =-=-=A A B π）．………………………………（5分） 所以，32157sin 2cos cos 2sin )2sin(=-=-B A B A B A ． ………………………（8分)18．(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） （1）由题意，平面α把长方体分成两个高为5的直四棱柱， 7054)52(21)(211111=⋅⋅+⋅=⋅⋅+⋅=-AD A A AH E A V FG DD EH AA ， ………………(2分） 9054)63(21)(211111=⋅⋅+⋅=⋅⋅+⋅=-BC B B E B BH V CGFC BHEB ， …………………（4分） 所以,971111=--CGFC BHEB FG DD EH AA V V ．………………………………………………………………（6分）（2）解法一：作EH AM ⊥，垂足为M ，由题意，⊥HG 平面11A ABB ，故AM HG ⊥,所以⊥AM 平面α． ………………………………………………………………(2分） 因为141=EH AA S 梯形，41=∆E AA S ,所以10=∆AEH S ，）因为5=EH ，所以4=AM ． ……………………………………………………(4分)又532121121=++=F D D A AA AF ， ……………………………………………（6分）设直线AF 与平面α所成角为θ，则1554sin ==AF AM θ．………………………（7分） 所以,直线AF 与平面α所成角的正弦值为1554． …………………（8分)解法二：以DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则 )0,0,5(A ，)0,5,5(H ,)4,2,5(E ，)4,2,0(F ， ………………………（2分）故)0,0,5(=，)4,3,0(-=, …………………………………（3分)设平面α一个法向量为),,(z y x n = ，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅,0,0HE n FE n 即⎩⎨⎧=+-=,043,05z y x所以可取)3,4,0(=n． ……………………………………………………………（5分）设直线AF 与平面α所成角为θ，则1554||||sin ==AF n AFθ． ……………………（7分) 所以,直线AF 与平面α所成角的正弦值为1554． ………………………………(8分）19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）（1)由题意，1=c ， ………………………………………………………………(1分）设椭圆C 的方程为112222=-+a y a x ，将点⎪⎭⎫⎝⎛23,1代入, 1)1(49122=-+a a ，解得42=a (412=a 舍去)， ………………………………(3分） 所以，椭圆C 的方程为13422=+y x ． ………………………………………………（4分） （2）由椭圆定义，4||||21=+AF AF ，4||||21=+BF BF ，两式相加，得 8||||||22=++BF AF AB ,因为||2AF ，||2BF ，||AB 成等差数列,所以||2||||22BF AF AB =+，于是8||32=BF ，即38||2=BF ． …………………（3分）设),(00y x B ，由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+-,134,964)1(20202020y x y x 解得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--315,34B ，…………………（5分) (或设)sin 3,cos 2(θθB ，则964sin 3)1cos 2(22=+-θθ,解得32cos -=θ，35sin -=θ，所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--315,34B )． 所以,15=k ，直线l 的方程为)1(15+=x y ，即01515=+-y x ，……（6分） 圆O 的方程为422=+y x ，圆心O 到直线l 的距离415=d , ………………（7分） 此时,弦PQ 的长2742||2=-=d PQ ． …………………………………………（8分）20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分） （1）由题意，)cos()cos(x a x -=+，即x a x cos )cos(=+对于任意实数x 成立， …………………………………………（1分） 由诱导公式x k x cos )2cos(=+π,函数x y cos =具有“)(a P 性质”，且所有a 的值的集合为},2{Z ∈=k k a a π． ……………………………………………………………（4分） (2)因为函数)(x f y =具有“)0(P 性质”,所以)()(x f x f -=，即)(x f y =是偶函数． ………………………………………………………………(1分） 所以当0≥x 时，0≤-x ，22)()()()(m x m x x f x f -=+-=-=． ……………（2分） 当0≤m 时，函数)(x f y =在]1,0[上递增，值域为])1(,[22m m -． ……………（3分）当210<<m 时,函数)(x f y =在],0[m 上递减,在]1,[m 上递增，0)(min ==m f y ，2max )1()1(m f y -==，值域为])1(,0[2m -． …………………………………(4分） 同理，当121≤≤m 时，0)(min ==m f y ，2max )0(m f y ==，值域为],0[2m ．…(5分)当1>m 时，函数)(x f y =在]1,0[上递减，值域为],)1[(22m m -． ……………（6分） （3）由题意)()(x g x g -=，函数)(x g y =偶函数,又)()()2(x g x g x g =-=+，所以函数)(x g y =是以2为周期的函数． …………………………………………(1分）因为当11≤≤-x 时，||)(x x g =，所以当31≤≤x 时，121≤-≤-x ，|2|)2()(-=-=x x g x g ， …………………………………………………………（2分） 一般地，当1212+≤≤-k x k （Z ∈k )时，|2|)(k x x g -=． …………………（3分)作出函数)(x g y =的图像，可知,当0=p 时，函数)(x g y =与直线px y =交于点)0,2(k (Z ∈k )，即有无数个交点，不合题意． …………………………………（4分）当0>p 时,在区间]2016,0[上，函数)(x g y =有1008个周期，要使函数)(x g y =的图像与直线px y =有2017个交点，则直线在每个周期内都有2个交点，且第2017个交点恰好为)1,2017(，所以20171=p ．同理，当0<p 时,20171-=p ．综上，20171±=p ． ……………………………………………………(6分）(p 的值漏掉一个扣1分）21．（本题满分18分,第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分)（1）对于数列}{n a ，31=a ，62=a ,123=a ，因为21213a a a a ⋅≠=+，所以}{n a 不是指数数列． ………………………………………………………………………………（2分）对于数列}{n b ，对任意*,N ∈m n ,因为m n m n m n m n b b b ⋅=⋅==++333，所以}{n b 是指数数列． ……………………………………………………………………………………（4分)（2) 由题意,)(2112n n n n a a a a -=-+++，所以数列}{1n n a a -+是首项为212=-a a ，公比为2的等比数列． ……………………………………………………………………（2分） 所以n n n a a 21=-+．所以，2222)()()(21112211++++=+-++-+-=----- n n n n n n n a a a a a a a an n 2221)21(21=+--=-，即}{n a 的通项公式为n n a 2=（*N ∈n ）． ………………（5分)所以m n m n m n m n a a a ⋅=⋅==++222,故}{n a 是指数数列． …………………………（6分)(3）因为数列}{n a 是指数数列,故对于任意的*,N ∈m n ，有m n m n a a a ⋅=+，令1=m ,则n n n a t t a a a ⋅++=⋅=+4311,所以}{n a 是首项为43++t t ，公比为43++t t 的等比数列，所以,nn t t a ⎪⎭⎫⎝⎛++=43． …………………………………………………………………………（2分)假设数列}{n a 中存在三项u a ,v a ，w a 构成等差数列，不妨设w v u <<， 则由w u v a a a +=2，得wuvt t t t t t ⎪⎭⎫⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++4343432,所以u w u w u v v w t t t t ----+++=++)3()4()3()4(2， ………………………………（3分)当t 为偶数时，u v v w t t --++)3()4(2是偶数，而u w t -+)4(是偶数，u w t -+)3(是奇数， 故u w u w u v v w t t t t ----+++=++)3()4()3()4(2不能成立; …………………………（5分） 当t 为奇数时,u v v w t t --++)3()4(2是偶数,而u w t -+)4(是奇数，u w t -+)3(是偶数,故u w u w u v v w t t t t ----+++=++)3()4()3()4(2也不能成立．…………………………（7分） 所以，对任意*N ∈t ,u w u w u v v w t t t t ----+++=++)3()4()3()4(2不能成立,即数列}{n a 的任意三项都不成构成等差数列． ……………………………………………………（8分)(另证：因为对任意*N ∈t ，u v v w t t --++)3()4(2一定是偶数，而4+t 与3+t 为一奇一偶，故uw t -+)4(与u w t -+)3(也为一奇一偶,故等式右边一定是奇数，等式不能成立．)。
2017全国数学联赛模拟二试试题及答案3
2017全国数学联赛模拟二试试题及答案31.已知圆内接四边形ABCD 的两条对角线,AC BD 交于点P ，P 在线段,,,AB BC CD DA 上的投影分别为,,,E F G H ，且边,,,AB BC CD DA 的中点分别为,,,L M N K ，若EG 与MK 交于点Q ，FH 与LN 交于点R ，证明,,P Q R 三点共线。
2.已知正数列{}()1n a n ≥满足2121,,,3,4,n n n a a a a b a n a --==== ，求n a 的通项公式。
3.证明方程()2222()x z y z x y -=+无正整数解(),,x y z 。
4.()1是否存在()2012n n ≥个共圆的整点，满足任意两点之间的距离为整数，以任意三点为三角形的顶点构成的三角形的面积为整数？()2是否存在()2012n n ≥个共圆的点，满足任意两点之间的距离为无理数，以任意三点为三角形的顶点构成的三角形的面积为整数？参考答案1、证明： 连,,,,,,,EF FG GH HE PE PF PG PH ，因为,,,A E P H 及,,,B E P F 均四点共圆，所以PEH PAH PBF PEF ∠=∠=∠=∠，即EP 为HEF ∠的角平分线。
同理可得,,FP GP HP 分别为,,EFG FGH GHE ∠∠∠的角平分线，因此四边形EFGH 有内切圆，且圆心为P 。
连,,,DE AG EK GK 。
因为AEP ∆∽DGP ∆，所以APE DPG ∠=∠，从而有A P G D P E ∠=∠。
又因为PA PDPE PG=，即P A P G P =，可得2cos 2cos PA PG APG PD PE DPE ∠=∠ 。
由余弦定理，有222222PA PG AG PD PE DE +-=+-，即222222PA PE DE AG PD PG -+=+-，因此有2222AE DE AG DG +=+。
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2017秋季数学集训二队每周习题(11)参考答案
星期一
1.多啦A梦变出了一个4年前的大雄与12年后的大雄，两个大雄互相看着对方。
如果这两个大雄的年龄和是30岁，那么今年的大雄是多少岁？
解法①：(30＋4－12)÷2＝11(岁)
解法②：(30－4－12)÷2＋4＝11(岁)
答：今年的大雄是11岁。
2.大雄和大胖两人共有200元钱。
如果大雄增加40元，大胖减少20元，这样大雄的钱还比大胖少20元。
原来大雄、大胖各有多少元钱？
解法①：原来的差：40＋20＋20＝80(元)
大雄：(200－80)÷2＝60(元)
大胖：60＋80＝140(元)
或大胖：(200＋80)÷2＝140(元)
大雄：140－80＝60(元)
解法②：先“和差”再“还原”。
大雄现在有：(200＋40－20－20)÷2＝100(元)
大雄原来有：100－40＝60(元)
大胖：200－60＝140(元)
答：大雄有60元，大胖有140元。
3.多啦A梦从它的“四次元口袋”里拿出了一些苹果、梨、桔子，共有55个。
其中苹果比梨多5个，梨比桔子多10个。
那么三种水果各有多少个？
解：向梨看齐：苹果－5，桔子＋10，苹果和桔子的个数就和梨相同。
梨：(55－5＋10)÷3＝20(个)
苹果：20＋5＝25(个)
桔子：20－10＝10(个)
答：梨子有20个，苹果有25个，桔子有10个。
星期二
4.多啦A梦用它的大嘴巴一口吃下了一箱水果，有苹果、梨和桔子共60个。
已知：苹果比桔子多4个，梨比桔子少4个。
那么三种水果各有多少个？
解：向桔子看齐：苹果－4，梨＋4，苹果和梨的个数就和桔子相同。
桔子：(60＋4－4)÷3＝20(个) 苹果：20＋4＝24(个)
梨：20－4＝16(个)
答：苹果有24个，桔子有20个，梨有16个。
5.数码宝贝们组成了一个减法算式，被减数、减数、差之和是160。
如果差比减数大20，那么被减数、减数、差各是多少？
解：被减数：160÷2＝80 减数：(80－20)÷2＝30
差：80－30＝50 或30＋20＝50
答：被减数是80，减数是30，差是50。
6.妈妈给大雄买了一套衣服和鞋子共200元。
衣服比裤子贵10元，衣服和裤子的总价正好比鞋子多100元。
那么衣服、裤子和鞋子各需要多少元？
解：鞋子：(200－100)÷2＝50(元)
衣服＋裤子：200－50＝150(元)
裤子：(150－10)÷2＝70(元) 衣服：70＋10＝80(元)
答：鞋子需要50元，裤子需要70元，衣服需要80元。
星期三
7.多啦A 梦和大雄用原子炉烤了24个红薯，多啦A 梦分到的个数是大雄的3倍。
那么多啦A 梦和大雄各分到了多少个红薯？
解：大雄：24÷(3＋1)＝6(个)
多啦A 梦：6×3＝18(个) 或24－6＝18(个)
200元 鞋子： 衣服＋裤子： 多100 裤子： 衣服：
150元 多10
答：多啦A梦分到18个，大雄分到6个。
8.已知：甲＋乙＝40，甲÷乙＝4。
求：甲、乙两个数分别是多少？
解：乙：40÷(4＋1)＝8
甲：8×4＝32 或40－8＝32
答：甲数是32，乙数是8。
9.多啦A梦摇动它的铃铛，引来了60只猫，其中白猫的只数是黑猫的一半。
那么白猫和黑猫各有多少只？
解：白猫：60÷(2＋1)＝20(只)
黑猫：20×2＝40(只)或60－20＝40(只)
答：白猫有20只，黑猫有40只。
星期四
10.大雄从妈妈那里拿了两次钱，共有120元钱。
第二次拿的钱比第一次多2倍，那么第一次和第二次各拿了多少元钱？
解：第一次：120÷(2＋1＋1)＝30(元) (第二次拿的钱比第一次多2倍，应该是3倍关系) 第二次：120－30＝90(元)或30×(2＋1)＝90(元)
答：第一次拿了30元，第二次拿了90元。
11.大雄和小静两人3小时一共叠了120只千纸鹤。
已知小静每小时叠的只数是大雄的3倍，那么大雄和小静每小时各叠多少只千纸鹤？
解：大雄和小静每小时一共叠千纸鹤：120÷3＝40(只)
大雄：40÷(3＋1)＝10(只)
小静：10×3＝30(只)或40－10＝30(只)
答：大雄每小时叠10只千纸鹤，小静每小时叠30只千纸鹤。
12.数码宝贝们组成了一个除法算式。
如果在除数的末尾添上一个0，就和被除数相等。
若被除数与除数之和是55，则被除数、除数各是多少？
解：除数：55÷(10＋1)＝5
被除数：5×10＝50或55－5＝50
答：被除数是50，除数是5。
星期五
13.多啦A梦又一次摇动它的铃铛，引来了130只猫，其中大猫的只数比小猫的3倍还多10只。
那么大猫和小猫各有多少只？
解：小猫：(130－10)÷(3＋1)＝30(只)
大猫：130－30＝100(只)或30×3＋10＝100(只)
答：大猫有100只，小猫有30只。
14.大雄有图书19本，大胖有图书21本。
大雄给大胖多少本书后，大胖的图书本数是大雄的3倍？
解：大胖是大雄3倍时，大雄有：(19＋21)÷(3＋1)＝10(本)
大雄给大胖：19－10＝9(本)
答：大雄给大胖9本，大胖的图书本数是大雄的3倍。
15.多啦A梦从它的“四次元口袋”里拿出了一些水果，有苹果、梨、桔子共有48个。
其中桔子是梨的3倍，苹果是梨的2倍。
那么这三种水果各有多少个？
解：梨：48÷(1＋3＋2)＝8(个)
桔子：8×3＝24(个)
苹果：8×2＝16(个)
答：梨有8个，桔子有24个，苹果有16个。